Post on 22-Oct-2015
description
Axioma supliment matematic nr.37
31
Probleme propuse pentru clasa a IX-a 4) 1. Să se determine funcţia f :N->N cu proprietatea că f(f(n))+f(n)=2n+6, nN.
Petre Năchilă,Cătălin Năchilă ,Ploieşti 2. Fie ABC , astfel încât 2B A
şi 'B piciorul 'B AC bisectoarei interioare a
unghiului B . Dacă I este centrul cercului tangent cercurilor ABB’, BB’C şi laturii AB, să se arate că BI AC .
Miron Oprea
3. Să se determine funcţiile f :RR cu proprietatea că f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy, x,yR. Petre Năchilă,Cătălin Năchilă ,Ploieşti
4. Fie numerele strict pozitive 1 2, ,....., , , 2na a a n n astfel încât naaa n ....21 .
Demonstraţi că 1 21 2 .......
1 3 2 1n
naa aa a a nn
.
Petre Bătrâneţu, Galţi 5. Să se determine mulţimea: ; 4 2005 502A x y x x y .
Mihai Totolici, Galaţi 6. Rezolvaţi în NN ecuaţia:
.1513 2yx Gabriel Tica, Bailesti
7. Dacă a , b , c > 0 si a + b + c = 1 , să se demonstreze că : 64∙(a+bc)(b+ca)(c+ab) ≤ 8∙ (1– a2)(1– b2)(1– c2) ≤ (1+a)2(1+b)2(1+c)2
dr. Dorin Mărghidanu, Corabia 8. Se considera triunghiul ABC cu laturile de lungimi a,b,c, cu R raza cercului circumscris
si cu r raza cercului inscris.Notam cu O centrul cercului circumscris, cu G centrul de greutate si cu I centrul cercului inscris in triunghiul ABC. a)Sa se arate ca 9 )(9 22222 cbaROG . b)Sa se arate ca RrROI 222
(***)
9. Să se rezolve în numere reale ecuaţia 22x x x .
Cătălin Năchilă, Ploieşti 10 Să se rezolve în *R inecuaţia:
3 31 1x x x x . Petre Năchilă, Ploieşti
4) Se primesc soluţii până la 25 ianuarie 2011
Axioma supliment matematic nr.37
32
Probleme propuse pentru clasa a X-a 1. Dacă a este număr întreg , arătaţi că ecuaţia:
5 4 3 23 2 2 1 2 3 3 2 5 0,x ax a x a x x a nu admite rădăcini întregi.
Cezar Ozunu, Daneţi, Dolj 2. Fie n numar natural par si naaa ,...,, 21 numere intregi in progresie aritmetica ,
nji
aa jiA1
)1( ,
nji
aa jiB1
)1( . Demonstrati ca 22 BA sau
BA 2 Claudiu Militaru, Ploiesti
3. Demonstrati ca ecuatia 1273812 xx are solutie unica si determinati aceasta solutie.
Claudiu Militaru, Ploiesti 4. Fie a,b,cC astfel încât |a|=|b|=|c|=1 si |a+b+c|=|a+b|=|b+c|=|c+a|. Să se
determine |z|, unde
cbacbaz 111
(***) 5. Mulţimea A este formată din n numere reale, pozitive, cu proprietatea că pentru orice
,a b A , avem a b A sau a b A , unde , 4n n . Să se arate că numerele din A sunt în progresie aritmetică.
6. Să se rezolve sistemul:
2 2 22 3 5log 15 log 10 log 6 2
.5
x y z xy yz zxx y z
Marius Damian, Brăila
7. Să se calculeze suma rădăcinilor ecuaţiei: x+1=2 )22006(log2)32(log 42xx .
Florin Smeureanu, Rm. Vâlcea 8. Fie a,b,c lungimile laturilor unui triunghi. Arătaţi că:
a7+b7+7abc(a2+ab+b2)>c7. Lucian Tuţescu, Craiova
9. Să se determine parametrul real m astfel încât ecuaţia cos2x-mcosx=msinx să admită
rădăcină unică pe [0, ] Florin Smeureanu, Rm. Vâlcea
10. Fie o radacina a ecuatie 012 xx si multimea Q( Qbaba ,/) . Sa se
arate ca functia N :Q( ) Q , N(a+b Qbababa ,,) 22 are proprietatea N(z )(,),()() 212121 QzzzNzNz .
(***)
Axioma supliment matematic nr.37
33
Probleme propuse pentru clasa a XI-a 1. Determinaţi m R astefel încât ecuaţia :
4 3 2 23 2 3 4 2 0x x m x mx m , sa nu admita radacini reale. Felicia Ozunu, Vulcan, Hunedoara
2. Fie sirul 1)( nna , 3)313(log 21 na
na , 1n , Ra 1 . Demonstrati ca
sirul este convergent daca si numai daca 51 a . Claudiu Militaru, Ploiesti
3. Sa se determine numerele x0 din intervalul (a,b) astfel incat sirul
1 ( )( )2n n n
a bx x a b x
sa fie convergent unde 0<a<b.
O. Purcaru, Ploiesti
4. Fie 1,
20
nkCx
n
k
kn
n . Să se calculeze nn
n
nx2
lim
.
(***) 5.
Fie şirul 1nna cu 1,,1,0 2
2
12111 n
naaaaaa n
nn . Fie şirul
2,1
11
n
nab
nn . Să se studieze convergenţa celor două şiruri.
(***) 6.
Fie şirul 0nnx cu NnexxRx nxnn
,, 10 . Să se calculeze n
xnn lnlim
.
(***) 7. Se consideră şirul de numere reale 1n n
x
care pentru orice numere naturale m şi n
verifică relaţia: 2 2 2 2( ) 8 6 4m n n m n mx x x x x x . Să se calculeze:
2 2001 2001lim sin 1nnx n
.
Romeo Zamfir,Galaţi 8.
Fie matricea )(605
000504
3 CMA
.Calculati nA , n *N .
(***) 9.
Fie a 1; . Să se rezolve în numere reale sistemul:
1
1
yx
xy
a x a
a y a
Petre Năchilă, Ploieşti
Axioma supliment matematic nr.37
34
Probleme propuse pentru clasa a XII-a 1. a.Sa se rezolve în 7Z sistemul:
5 3 52 3 44 3 1
x yy zz x
b. Determinati k 7Z astefel încât 4k k kx y z . Mihai Ozunu, Daneţi, Dolj
2. Să se calculeze limita L=
n
nn x
xn2
2006
1001
1
2005lim dx.
Lucian Tuţescu, Craiova
3. Pe Z se defineşte legea xoy=axy+bx+by+c, unde a,b,cZ. Ştiind că legea admite element neutru şi că 0 este elementul simetrizabil, să se determine numărul elementelor simetrizabile.
(***) 4.
Să se determine nnx
lim , unde avem 2,,ln)122(ln
1
nNnnnkx nn
kn
.
(***) 5. Fie M=(0,1) şi a,b,cR. Ştiind că (M,o) este grup, unde
12
cybxxyaxyxoy , să se
determine a,b,c. (***)
6. Pe Z se defineşte legea asociativă Zbabyxaxyxoy ,,)(2 . Fie }""|{ olegeacuraportinZluiastabilapartesifinitamultimeHZHA . Să se
determine numărul elementelor mulţimii A. Petre Năchilă, Cătălin Năchilă, Ploieşti
7. Se consideră funcţia :f care admite o primitivă F astfel încât
cos sinf x F x cos ,x x şi 0 1F . Să se arate că funcţia :g ,
cos sing x F x F x este constantă şi să se determine funcţia f pe intervalul
0;1 . Romeo Zamfir,Galaţi
8. Fie I interval, , :f g I două funcţii cu proprietăţile:
1) f admite primitive şi 0,f x x I .
2) g este continuă pe I . Arătaţi funcţia f g admite primitive.