Culegere MEF

7/22/2019 Culegere MEF

http://slidepdf.com/reader/full/culegere-mef 1/246

Ştefan Sorohan Cristian Cătălin Petre

PROGRAME ŞI APLICAŢII CUELEMENTE FINITE

Editura PRINTECHISBN: 973-7!-""#-$

Bu%ure&ti' (""$)re*i+uită Se,t (""7.

Prefaţă/is%i,linele tehni%e %lasi%e' 0nt12,ină adeseori reuta4i 0n re+ol*area unor

,ro5le2e ,ra%ti%e' deoare%e eo2etria %o2,le6ă &i 2ai ales %ondi4iile la li2ită'nu ,ot 0n%adra ,ro5le2a 0ntr-o %ateorie re+ol*a5ilă ,e %ăi analiti%e na dintresolu4iile 8sal*atoare %ele 2ai răs,1ndite &i utili+ate' este etoda Ele2entelor;inite )E;.' un ,uterni% instru2ent de %al%ul la 0nde21na ininerului

Pia4a de soft oferă nu2eroase ,rora2e de %al%ul %u ele2ente finite<5ordarea unui anu2it ,rora2 de fir2ă' ne%esită ,e l1nă 2anualele de utili+are%are 0nso4es% ,rora2ul' o %unoa&tere te2eini%ă a %on%e,telor &i no4iunilor de

5a+ă ale E;

Cartea de fa4ă se adresea+ă %u ,re%ădere studen4ilor de la fa%ultă4ile2e%ani%e' 0n s,e%ial Trans,orturi &i <erona*e' unde autorii ,redau %ursurile deele2ente finite 0n inineria 2e%ani%ă' res,e%ti* %o2,le2ente de re+isten4a2aterialelor' dar ,oate fi utilă %elor %are dores% să o54ină un 5aa= 2ini2 de%unostin4e des,re 2etoda ele2entelor finite a,li%ată 0n tehni%ă >u%rarea este%on%e,ută astfel 0n%1t să ,oată fi ,ar4ial ,ar%ursă de studen4i ,e ,ar%ursul unuise2estru 0n %adrul &edin4elor de la5orator

/in %au+a difi%ultă4ii de ela5orarea a unei %uleeri de ,ro5le2e %uele2ente finite' enerată 0n s,e%ial de de,enden4a fa4ă de un ,rora2 de %al%ul'a%est 2anual a fost %on%e,ut &i de+*oltat ,e 5a+a unor ,rora2e dedi%ate'de+*oltate de autori 0n li25a=ul de ,rora2are ;reePas%al "" Prora2ele sunt

%on%e,ute să lu%re+e %u %1te un sinur ti, de ele2ent finit' sunt testate' %ore%tate&i ,erfe%4ionate ti2, de ,este " ani &i s-au do*edit foarte utile studen4ilor

Pentru asi2ilarea %1t 2ai ra,idă &i te2eini%ă a %on%e,telor &i a tehni%ilorde 2odelare' fie%are %a,itol de a,li%a4ii este 0nso4it de o des%riere su2ară a uneloras,e%te teoreti%e' de o serie de ,ro5le2e re+ol*ate 0n detaliu' %u %o2entarii &istudii %o2,arati*e Pro5le2ele ,ro,use sunt 0n eneral ins,irate din ,ra%ti%aininereas%ă &i au fost 0n ,rin%i,al ,reluate dintr-o %uleere anterior ,u5li%ată de

,ri2ul autornul dintre as,e%tele %ele 2ai i2,ortante 0n re+ol*area a%%e,ta5ilă a

,ro5le2elor este 8dezvoltarea” %ore%tă a 2odelului de %al%ul >u%rarea insistăfoarte 2ult ,e ,osi5ilită4ile de redu%ere a di2ensiunii 2odelului folosind si2etriaeo2etri%ă &i %ea de 0n%ăr%are

/eoare%e %al%ulul nu2eri% efe%ti* este efe%tuat de %al%ulator' sar%inautili+atorului se redu%e la ela5orarea 2odelului' la ,reătirea &i introdu%ereadatelor de intrare' ,re%u2 &i la inter,retarea re+ultatelor o54inute &i 2ai a,oiluarea unor de%i+ii %ores,un+ătoare

? aten4ie deose5ită se a%ordă ,ăr4ii rafi%e de *i+uali+are a 2odelului &i are+ultatelor' se s%ot 0n e*iden4ă %ara%teristi%ile funda2entale ale re,re+entărilorrafi%e ,e %al%ulator nul dintre %a,itole este %onsa%rat ,re+entării unei serii de

(

alorit2i de 5a+ă folosi4i 0n rafi%a leată de ele2entele finite >i,sa %uno&tin4elorele2entare de re,re+entare rafi%ă ,e %al%ulator ,oate %ondu%e la inter,retărire&ite ale re+ultatelor %ore%te @

Pre+entarea 0n detaliu a 2atri%elor %ara%teristi%e &i a *e%torilor de0n%ăr%are ,entru ele2entele finite folosite 0n ,rora2ele autorilor' este o in*ita4iela ,rora2are ,entru %ei %are dores% să i2,le2ente+e 2i%i ,rora2e %u ele2entefinite <lături de li25a=ele %lasi%e' ;?RTR<N' B<SIC' P<SC<>' ,rora2ul<T><B s-a do*edit foarte efi%ient ,entru de+*oltarea de ,rora2e %u ele2entefinite 0n s%o, dida%ti% &i %hiar ,ra%ti%

Prora2ele' %on%e,ute să lu%re+e 0n 2od intera%ti* dar &i 85at%h' ,ot fia5ordate relati* u&oar de %ătre studen4i /is%reti+area 2anuală %1t &i introdu%erea

%o2,letă a datelor )fără enerare.' %ondu%e la a,rofundarea no4iunilor de 5a+ă ale2etodei E%hi*alarea nodală a unor 2ări2i de %ătre utili+ator 0n %adrul unor ,ro5le2e' are s%o,ul de a s%oate 0n e*iden4ă 0n%ă o dată 0n ,lus' %ara%terula,ro6i2ati* al 2etodei

/in re+u2atul no4iunilor teoreti%e %are ,re%ed %a,itolele de a,li%a4ii' se ,ot afla infor2a4ii su,li2entare' ne%esare utili+ării unor ,rora2e de fir2ă 2ult2ai %o2,lete de%1t %ele dida%ti%e ,re+entate 0n %arte Ele2entele finite ,re+entatesunt 0n eneral %ele dis%utate la %ursurile de E; ale fa%ultă4ilor 2e%ani%e dinPB' din a%est 2oti* nu s-a insistat ,e ,artea teoreti%ă funda2entală' %i doar ,eas,e%tele ,ra%ti%e esen4iale' ne%esare unui utili+ator al E;

Par%urerea' 0n ,aralel' a %ursurilor de E; &i efe%tuarea la5oratoarelor %u

%artea &i %al%ulatorul 0n fa4ă' %onstituie un 2od efi%ient de a fa%e ,ri2ul ,as %ătre0n4eleerea &i stă,1nirea a%estei 2etode %are a de*enit %ele5ră 0n +ilele noastre

Se,te25rie (""7' Bu%ure&ti <utorii

3

Cuprins

Nota4ii #>ista ,rora2elor folosite 0n %arte " Ce este E; si unde se a,li%ă A ( Cuno&tin4e ne%esare ,entru a reali+a ,rora2e de E; (3 Cuno&tin4e ne%esare unui utili+ator al E; (($ Prin%i,ii funda2entale ale E; (# Cele trei fa+e ale re+ol*rii unui 2odel %u E; 3#

No4iuni funda2entale de rafi% ,e %al%ulator 3!7 Siste2e de 5are arti%ulate #7< Siste2e ,lane de 5are arti%ulate #7B Siste2e 3/ de 5are arti%ulate 7#

! Siste2e de 5are &i rin+i sudate !!< Cadre ,lane !!B Cadre 0n s,a4iu 97

9 odelarea ,lană a unor ,ro5le2e de anali+ă stati%ă stru%turală !9< Ele2entul triunhiular %u trei noduri

)CST.!

9B Ele2entul ,atrulater %u ,atru noduri )D</$. $(

" odelarea 5idi2ensională a unor feno2ene ter2i%e 7"< Ele2entul ter2i% triunhiular %u trei noduri 0n anali+astationară 7"B Ele2entul ter2i% triunhiular %u trei noduri 0n anali+atran+itorie !

odelarea 2i&%arii fluidelor ideale 0n rei2 sta4ionar 9!Ele2entul triunhiular %u trei noduri 0n anali+a %urerii ,oten4ialea fluidelor ideale 9!

( odelarea 3/ a unor ,ro5le2e de anali+ă stati%ă stru%turală ((Ele2entul he6aedral %u o,t noduri )BRICF. ((

Bi5liorafie ($#

$

NotaţiiSiste2e de a6e

G? -siste2ul lo5al de a6e 0n ,lan?G -siste2ul lo5al de a6e 0n s,atiu6oJ -siste2ul de a6e al ele2entului 0n ,lano6J+ -siste2ul de a6e al ele2entului 0n s,atiul' 2' n -%osinusurile dire%toare ale unei dre,te 0n siste2ul lo5alGSi2 -si2etrie fa4ă de un ,lan GK%onstSi2 -si2etrie fa4ă de un ,lan K%onst

Si2 -si2etrie fa4ă de un ,lan K%onstG<si2 -antisi2etrie fa4ă de un ,lan GK%onst<si2 -antisi2etrie fa4ă de un ,lan K%onst<si2 -antisi2etrie fa4ă de un ,lan K%onst

/ate enerale de %ontrol

NEC -nu2arul total de e%ua4ii al siste2ului lo5al redus>B -se2ilă4i2ea 2atri%ei )de riiditate. lo5ale reduse

NN -nu2ărul total de noduri al dis%reti+ării NE -nu2arul total de ele2ente al dis%reti+ării

NP -nu2arul de ,un%te de %al%ulti2, -ti2,ul de %al%ulTIPE -ti,ul ele2entului ,entru ,rora2e %are ,er2it aleerea

ti,ului de ele2ent finit-" - a6ial si2etri% )S<S.- - stare ,lană )de tensiune. )SP' SPT.-( - stare ,lană de defor2a4ie )SP/.-,entru ele2entul finit BRICF: sau (: se foloses% ! sau fun%4ii de for2ă ,entru a,ro6i2are

/ate des,re noduri

L>N -nu2ărul de rade de li5ertate ,e nod NI -nu2ărul de identifi%are al unui nod oare%areBG' B' B -5lo%a=e la transla4ie ,e dire%4iile a6elor G' ' BGG' B' B -5lo%a=e la rotire ,e dire%4iile a6elor G' '

-5lo%at"-li5er

G' ' -%oordonate nodale lo5ale

#

IC?N -%ondi4ie de restri%4ie 0n te2,eratura nodală-te2,eratura nu *aria+ă' ră21ne %onstantă - Ti"-te2,eratura este ne%unos%ută

;IC?N -%ondi4ie de restri%4ie 0n ,oten4ial nodal-,oten4ialul nu *aria+ă' ră21ne %onstant - ;i"-,otentialul este ne%unos%ut

Ti -te2,eratura i2,usă sau ini4ială )fun%4ie de %a+.;i -,oten4ialul i2,us

/ate des,re 2ateriale

N<T -nu2ărul total de 2ateriale diferite 0ntr-un 2odel<TI -nu2ărul de identifi%are al 2aterialului<T -nu2ărul 2aterialului ata&at ele2entuluiE -2odulul de elasti%itate lonitudinal al 2aterialului MN2(OL -2odulul de elasti%itate trans*ersal al 2aterialului MN2(Oniu' ν -%oefi%ientul de %ontra%4ie trans*ersală )Poisson./ENS' ρ -densitatea 2aterialului MF23O<>;<' α -%oefi%ient de dilatare ter2i%ă MFO% -%ăldura s,e%ifi%ă 2asi%ă MsFFO>a25daG' λ6 -%ondu%ti*itatea ter2i%ă a 2aterialului ortotro, ,e

dire%4ia G M2FO

>a25da' λJ -%ondu%ti*itatea ter2i%ă a 2aterialului ortotro, ,edire%4ia M2FO

λ -%ondu%ti*itatea ter2i%ă a 2aterialului i+otro, M2FO -%onstanta ra*itatională M2s(O

/ate leate de ele2entele finite

EI -nu2ărul de identifi%are al unui ele2ent finitI' Q' F' >' -nodurile ele2entului finit EI

NSECT -nu2ărul total de se%tiuni diferite 0ntr-un 2odel %u 5areSECTI -nu2ărul de identifi%are al se%4iuniiSECT -nu2ărul se%4iunii ata&at ele2entului EI

NPR?P -nu2ărul total de ,ro,rietă4i de ele2ent 0ntr-un 2odelPR?PI -nu2ărul de identifi%are al ,ro,rietă4ii de ele2entPR?P -nu2ărul ,ro,rietă4ii ata&at ele2entului EI< -aria se%4iunii unei 5are sau aria unui ele2ent finit

triunhiular IJ' IJ -2o2entul de iner4ie al se%tiunii fa4ă de a6a ,rin%i,ală JI+' I+ -2o2entul de iner4ie al se%tiunii fa4ă de a6a ,rin%i,ală +

It' It -2o2entul de iner4ie %on*en4ional la torsiune;iJ' ΦJ ;i+' Φ+ -%oefi%ien4ii de %ore%4ie a efe%tului for4ei tăietoare asu,ra

%al%ului de,lasărilor ,e %ele două a6e J &i + 0n 2odelul 5arei Ti2osheno

t -rosi2ea ele2entului finit ,lan )CST' D</' et%.INT -ordinul de interare Lauss->eendre ,entru %al%ulul

2atri%elor %ara%teristi%e )de o5i%ei ( sau 3.

/ate des,re 0n%ăr%ari

N; -nu2ărul total de noduri 0n %are e6istă 0n%ăr%ari %u for4e

%on%entrate )&i 2o2ente %on%entrate da%ă e %a+ul. NI; -nu2ărul de identifi%are a unui nod 0n%ăr%at %u for4e &i2o2ente %on%entrate

;G' ;' ; -for4e nodale 0n siste2ul lo5al de a6eG' ' -2o2ente nodale 0n siste2ul lo5al de a6e -flu6ul ter2i% *olu2i% enerat 0ntr-un ele2ent

N;>G -nu2ărul total de laturi ale ele2entelor 2odeluluidis%reti+at ,e %are e6istă flu6 ter2i% i2,us

EI; -nu2arul de identifi%are al unui ele2ent ,e %are e6istă flu6ter2i% i2,us -

><T -nu2ărul laturii ele2entului )' ( sau 3.

N' N( -nodurile %are for2ea+ă latura ><T -flu6 ter2i% i2,us ,e o latura M2(O NC?NU -nu2ărul total de laturi ale ele2entelor 2odelului

dis%reti+at ,e %are e6istă transfer ter2i% %on*e%ti*EIC -nu2ărul de identifi%are al unui ele2ent finit ,e %are e6istă

flu6 ter2i% %on*e%ti*<>;<' α -%oefi%ientul de %on*e%4ie al su,rafe4ei unei laturi M2(FOT<' T< -te2,eratura 2ediului a25iant

NUIT -nu2ărul total de laturi ale ele2entelor unei dis%reti+ări ,e %are e6istă *ite+ă i2,usă de %urere U"

U" -*ite+a de %urere %unos%ută' ,er,endi%ulară ,e latură

Re+ultate

G' ' sau/G' /' / -de,lasările nodale 0n siste2ul lo5al de a6eRG' R' R -rotirile nodale 0n siste2ul lo5al de a6e

N' T' -eforturile 0n 5are din %o2,onen4a %adrelor ,lane N' TJ' T+' &i

7

t' J' + -eforturile 0n 5are soli%itate 0n 3/SIL<' σ -tensiunea nor2ală 0n 5ară )0n siste2ul de referin4ă al 5arei.SG -tensiunea nor2ală 0n dire%4ia G )a siste2ului lo5al de

referin4ă.S -tensiunea nor2ală 0n dire%4ia )a siste2ului lo5al de

referin4ă.S -tensiunea nor2ală 0n dire%4ia )a siste2ului lo5al de

referin4ă.SG -tensiunea tanentială 0n ,lanul G? )a siste2ului lo5al

de referin4ă.S -tensiunea tanentială 0n ,lanul ? )a siste2ului lo5al

de referin4ă.SG -tensiunea tanentială 0n ,lanul G? )a siste2ului lo5al de referin4ă.

S' S(' S3 -tensiunile ,rin%i,ale<>;< -unhiul dire%4iei tensiunii ,rin%i,ale S %u a6a G ,entru

SPT sau SP/Se%h -tensiunea e%hi*alentă *on isesTEP' T -te2,eratura 0n noduri;i -,oten4ialul 0n noduriUG' UG U' U -*ite+ele de %urere 0n ele2entele finite de %urere' fa4ă de

siste2ul de referin4ă lo5al

Utot -*ite+a totală de %urere

Nota4ii 2atri%eale &i *e%toriale

MO -2atri%ea de 2asă lo5ală a stru%turii dis%reti+ateMCO -2atri%ea de a2orti+are lo5ală a stru%turii dis%reti+ateMLO -2atri%ea iros%o,i%ă lo5ală a stru%turii dis%reti+ateMFO -2atri%ea de riiditate lo5ală a stru%turii dis%reti+ate[ ]r F -2atri%ea de riiditate lo5ală redusă a stru%turii

dis%reti+ate de di2ensiune NEC× >BMF eO -2atri%ea de riiditate 0n %oordonate lo5ale a unui ele2entM eO -2atri%ea de riiditate 0n %oordonate lo%ale a unui ele2entMTO -2atri%ea de transfor2are a %oordonatelor din siste2ul de

referin4ă lo%al la %el lo5alVW' VTW' V;iW -*e%torul ne%unos%utelor nodale lo5ale )de,lasări'

te2,eraturi' ,oten4ial. r ' r T ' r ;i -*e%torul ne%unos%utelor nodale %ores,un+ător 2atri%ei

lo5ale reduse )de,lasări' te2,eraturi' ,oten4ial.V;W' VDW -*e%torul 0n%ăr%ărilor lo5ale

!

r

;

'

r

D

-*e%torul 0n%ăr%ărilor lo5ale %ores,un+ător 2atri%eilo5ale reduse ' T -*e%torul deri*atelor 0n ra,ort %u ti2,ul )al *ite+elor

nodale. -*e%torul deri*atelor de ordinul doi 0n ra,ort %u ti2,ul

)al a%%elera4iilor nodale.M/O -2atri%ea de riiditate )elasti%itate. a 2aterialuluiMBO -2atri%ea deri*atelor fun%4iilor de for2ă

<lte notatii

δ -de,lasareσa -tensiune ad2isi5ilă a 2aterialuluia' 5' h -%otă' distan4ăd' / -dia2etre>' -luni2e; -for4ă -2o2ent al for4elor )%u,lu de for4e.

9

Lista prograe!or fo!osite "n #arte

ARTPL$%E&E' Prora2 dedi%at stru%turilor de 5are arti%ulate ,lane' soli%itatestati%' li2itat la """ noduri' (""" ele2ente' lăti2e de se2i5andă#""' ,er2ite ("" 2ateriale &i ("" se%4iuni diferite

ART(P$%E&E' Prora2 dedi%at stru%turilor de 5are arti%ulate 0n s,a4iu soli%itatestati%' li2itat la """ noduri' (""" ele2ente' lă4i2e de se2i5andă$""' ,er2ite ("" 2ateriale &i ("" se%4iuni diferite

CA)PL$%E&E' Prora2 dedi%at stru%turilor de %adre ,lane' soli%itate stati%'li2itat la """ noduri' """ ele2ente' lăti2e de se2i5andă #""'

,er2ite (" se%4iuni &i (" 2ateriale diferite

CA)(P$%E&E' Prora2 dedi%at stru%turilor de %adre 0n s,a4iu' soli%itate stati%'li2itat la """ noduri' """ ele2ente' lă4i2e de se2i5andă $""' ,er2ite (" se%4iuni &i (" 2ateriale diferite

C(TPL$%E&E' Prora2 dedi%at stru%turilor ,lane )SPT' SP/. soli%itate stati%'li2itat la """ noduri' (""" ele2ente' lă4i2e de se2i5andă #""'

,er2ite (""" 2ateriale &i (""" de rosi2i diferite*UA)+PL$%E&E' Prora2 dedi%at stru%turilor ,lane )SPT' SP/' S<S.' soli%itate

stati%' li2itat la """ noduri' """ ele2ente' lă4i2e de se2i5andă#""' ,er2ite """ 2ateriale &i """ de rosi2i diferite

TERM(T$%E&E' Prora2 dedi%at 2odelelor ,lane )SP' S<S. de anali+ă ter2i%ăstationară' li2itat la """ noduri' (""" ele2ente' lă4i2e dese2i5andă #"" &i (" 2ateriale diferite

TERMTR$%E&E' Prora2 dedi%at 2odelelor ,lane )SP' S<S. de anali+ă ter2i%ătran+itorie' li2itat la """ noduri' (""" ele2ente' lă4i2e dese2i5andă #""' ,er2ite (" 2ateriale diferite &i "" ,asi de %al%ul

CURGPL$%E&E' Prora2 dedi%at 2odelelor ,lane de %urere la2inară a fluidelorideale' li2itat la """ noduri' (""" ele2ente &i lăti2e dese2i5andă #""

,RIC-.$%E&E' Prora2 dedi%at anali+ei %or,urilor 3/ soli%itate stati%' li2itat la3""" noduri' (#"" ele2ente' lă4i2e de se2i5andă ("""' ,er2ite" 2ateriale &i " ,ro,rietă4i de ele2ent diferite

Notă/ <%este ,rora2e se ,ot o54ine din >a5oratorul de ele2ente finite )sala

CA00.. de la %atedra de Re+isten4a 2aterialelor' ;a%ultatea IST' ni*ersitateaP?>ITEHNIC< Bu%ure&ti

"



Cap% 1% Ce este MEF 2i un3e se ap!i#4 5etoda ele2entelor finite )E;. este o 2etod eneral de re+ol*are

a,ro6i2ati* a e%ua4iilor diferen4iale %u deri*ate ,ar4iale %are des%riu sau nufeno2ene fi+i%e Prin%i,ial E; %onst 0n des%o2,unerea do2eniului de anali+ă 0n

,or4iuni de for2ă eo2etri%ă si2,lă' anali+a a%estora &i re%o2,unerea do2eniuluires,e%t1nd anu2ite %erin4e 2ate2ati%e

Pro5le2a deri*atelor ,ar4iale este redus la un siste2 de e%ua4ii ale5ri%e' lao ,ro5le2 de *alori &i *e%tori ,ro,rii sau la un siste2 de e%ua4ii diferen4ialeordinare de ordinul unu sau doi Re+ol*area siste2elor de e%ua4ii sau a ,ro5le2elorde *alori si *e%tori ,ro,rii ar fi ,ra%ti% i2,osi5il da% nu s-ar dis,une de

CALCULATOR )2a&ină de %al%ul nu2eri%. &i (OFT )totalitatea ,rora2elor de%al%ul %are reali+ea+ fun%4ionalitatea &i folosirea %al%ulatorului./in ,un%t de *edere al do2eniilor de a,li%a4ie 2etoda ,oate fi e6tins 0n

ori%e do2eniu de a%ti*itate %are des%rie un feno2en %u a=utorul unor e%ua4iidiferen4iale P1n 0n ,re+ent 2etoda s-a de+*oltat 0n 2od deose5it 0n do2enii %a:anali+a stru%tural anali+a ter2i% anali+a fluidelor anali+a ele%tri% anali+a2aneti%' dar &i 0n anali+a feno2enelor %o2,le6e interdis%i,linare %u2 ar fi:anali+a ter2oelasti%ă' anali+a %u,lată ter2i% &i stru%tural' anali+a intera%4iunii fluid-solid anali+a ele%tro-2aneti%ă anali+a ,ie+oele%tri%ă &i altele

Con#epte 3e 6a7ă

n do2eniu de anali+ă );i .' ra,ortat la un siste2 de referin4ă G?'nu2it sistem de referintă global ' este 0n%ăr%at %u o for4ă ; &i 0n%astrat ,e %onturuldin st1na ;ie%are ,un%t al do2eniului ,re+intă o de,lasare elasti%ă ,e dire%4ia?G' notată ( )'Gu &i una ,e dire%4ia ?' ( )'G*

Fig% 1%1/ /o2eniu de anali+ă/in ,un%t de *edere 2ate2ati%' ,ro5le2a este des%risă de un set de e%ua4ii

diferen4iale %u deri*ate ,ar4iale &i de anu2ite %ondi4ii la li2ită Pentru anu2ite

%a+uri ,arti%ulare e6istă solu4ii analiti%e ,entru e6,resiile %12,ului de,lasărilordar 0n eneral ,ro5le2a nu se ,oate re+ol*a ,e %ale analiti%ă Se 2en4ionea+ă %ă osolu4ie analiti%ă ,re+intă solu4ii ,entru toate ,un%tele din do2eniul de anali+ă %arere,re+intă o stru%tură %ontinuă

Pentru a re+ol*a ,ro5le2a %u E;' do2eniul de anali+ă )sau *olu2ulstru%turii. notat U' se 02,arte 0ntr-un nu2ăr NE de su5do2enii );i (.' ,or4iunide for2ă eo2etri%ă relati* si2,lă Ue' nu2ite elemente finite /eoare%e

ele2entele finite nu se interse%tea+ă 0ntre ele se ,oate s%rie %ă ∑=

= NE

e

eUU ;ie%are

ele2ent finit se nu2erotea+ă )este identifi%at ,rintr-un nu2ăr.' de o5i%ei de la lanu2ărul total de ele2ente finite NE Ra,ortarea la un ele2ent oare%are se fa%e de

o5i%ei ,rintr-un indi%e su,erior )e ,entru un ele2ent oare%are.Ele2entele finite se defines% )eo2etri%. ,rin inter2ediul unor ,un%te' de

e6e2,lu %ol4urile triunhiului' da%ă ele2entul finit are for2a unui triunhi Se ,oate %onsidera' ,entru 0n%e,ut' fără o defini4ie funda2entată teoreti%' %ă a%este ,un%te ,oartă denu2irea de noduri Ele2entele finite Xse leaăX )intera%4ionea+ă.0ntre ele ,rin inter2ediul nodurilor %o2une Yn do2eniul de anali+ă e6istă unnu2ăr finit de noduri &i ele2ente' de o5i%ei definite de utili+ator Si2ilarele2entelor' nodurile se nu2erotea+ă' de o5i%ei' de la la nu2ărul total denoduri' notat NN

Fig% 1%8/ /is%reti+area do2eniului de anali+ă

?,era4ia de 02,ăr4ire a anui do2eniu 0n noduri &i ele2ente de un anu2it

fel ,re%u2 &i nu2erotarea a%estora ,oartă denu2irea de discretizare;ie%are nod din do2eniul de anali+ă are o de,lasare ,e ori+ontală &i*erti%ală' se ,oate s,une %ă e6istă doi ,ara2etrii inde,enden4i %are %ara%teri+ea+ăde,lasarea unui nod <%e&ti ,ara2etrii ,oartă denu2irea de grade de libertate anodului /e o5i%ei radele de li5ertate ale tuturor nodurilor re,re+intăne%unos%utele ,ro5le2ei' 0n e6e2,lul de fa4ă' radele de li5ertate notate G &i defines% de,lasarea X,osi5ilăX a unui nod oare%are

Pentru unele noduri )' (' 3 &i $ din 0n%astrare.' de,lasările sunt nule' de%i0n a%este ,un%te radele de li5ertate se defines% X,oten4ialX' ele nu re,re+intă

(



ne%unos%ute Nu2ărul total de rade de li5ertate al ,ro5le2ei N se o54ine ,rin0nsu2area radelor de li5ertate a%ti*e ale tuturor nodurilor Prin rade de li5ertatea%ti*e se 0n4ele a%ele rade de li5ertate %are defines% o de,lasare ne%unos%ută

/in %ele ,re+entate 2ai sus re+ultă %ă un do2eniu %ontinuu %u un nu2ărinfinit de rade de li5ertate este trans,us 0ntr-un 2odel dis%ret %u N rade deli5ertate' de%i ne%unos%utele ,ro5le2ei se li2itea+ă /e o5i%ei 0n ,ra%ti%ă nu2ărulradelor de li5ertate nu se ,re%i+ea+a e6,li%it' se s,e%ifi%ă de o5i%ei nu2ărul totalde noduri Z NN' &i nu2ărul total de ele2ente NE aso%iat %u ti,ul ele2entelorfinite )triunhiuri' ,atrulatere' tetraedre' et%.

Pentru toată stru%tura se define&te *e%torul deplasărilor nodale totale

T NN'J NN'6('J('6'J'6 = ' ).

&i vectorul forţelor nodale exterioare

T NN'J NN'6('J('6'J'6 ;;;;;;; = )(.

Pentru un ele2ent oare%are )e. din ;i 3' ,entru %are se notea+ă %ele treinoduri %u I' Q &i F' se define&te vectorul deplasărilor nodale

TF 'JF '6Q'JQ'6I'JI'6

e = ' )3.

%are este un su5set al *e%torului ).' &i *e%torul for4elor nodale a ele2entului

Te

F 'J

e

F '6

e

Q'J

e

Q'6

e

I'J

e

I'6

e ;;;;;;; = )$.

Fig% 1%9/ 8E%hili5rul unui ele2ent

0ntre %are e6istă rela4ia 2atri%eală 8de e%hili5ru [ ] eee F ; = ' NE''('e = )#.

si2ilară rela4iei de e%hili5ru a unui siste2 elasti% )ar%. %u un rad de li5ertate F=kx atri%ea ,ătrati%ă [ ]eF ,oartă denu2irea de matricea de rigiditate a

3

elementului finit <%easta se ,oate deter2ina ,entru fie%are ele2ent finit'deo%a2dată se neli=ea+ă 2odul 0n %are ea se ,oate o54ine

/a%ă se i+olea+ă un nod oare%are n );i $.' ,entru %are e6istă N%ele2ente %on%urente' atun%i fie%are ele2ent finit a%4ionea+ă %u o for4ă 0n a%el nod&i din 2oti*e de e%hili5ru su2a tuturor for4elor tre5uie să fie +ero <tun%i %1nd 0nnodul i+olat a%4ionea+ă &i for4e e6terioare' e%hili5rul se s%rie

n'6

N%

i

i

n'6 ;; =∑=

n'J

N%

i

i

n'J ;; =∑=

NN''('n = ).

Fig% 1%+/ E%hili5rul unui nod

/a%ă se 4ine sea2a de %ele NN( ∗ e%ua4ii ).' &i 0n e6,resiile su2elor seintrodu% for4ele o54inute din rela4iile )#.' se o54ine o rela4ie de for2a

[ ] 7F ; = )7.

0n %are [ ]F este nu2ită matricea de rigiditate globală a structurii <%eastăo,era4ie de o54inere a 2atri%ei de riiditate lo5ale din 2atri%ele de riiditate a

ele2entelor ,oartă denu2irea de asamblarea 2atri%ei de riiditate lo5ală &i se ,re+intă suesti* 0n s%he2a[ ] ;F ;F

NE''('e

<S<:B><REeee = → ==

/i2ensiunea 2atri%ei de riiditate [ ]F este ( ) ( ) NN( NN( ∗×∗ &i deo5i%ei a%easta este sinulară' de%i din e%ua4ia )7. nu se ,ot o54ine dire%tde,lasările ne%unos%ute /a%ă 0nsă se 4ine sea2a de %ondi4iile la li2ită' adi%ă

,entru unele noduri se %unos% de,lasările iar ,entru altele for4ele e6terioarea,li%ate &i radele de li5ertate se %lasifi%ă 0n două seturi )*e+i ;i $. a/

$



de,lasări %unos%ute )de %ele 2ai 2ulte ori nule. &i for4e ne%unos%ute &i 6/de,lasări ne%unos%ute &i for4e %unos%ute' e%ua4iile )7. se ,ot ,arti4iona )rearan=a.0n ra,ort %u a%estea &i re+ultă siste2ul de e%ua4ii

[ ] [ ]

[ ] [ ]

=

5

a

5

a

55 5a

a5aa

;

;

F F

F F )!.

/in a doua e%ua4ie 2atri%eală )!. re+ultă de,lasările ne%unos%ute [ ] [ ] ( )a 5a 5

55 5 F ;F −= − ' )9.

iar a,oi din ,ri2a e%ua4ie )!. re+ultă for4ele ne%unos%ute )rea%4iunile. [ ] [ ] 5a5aaaa F F ; += )".

Cunos%1nd %12,ul de,lasărilor 0n %ele NN noduri se ,oate re,re+enta' la

s%ară 2ult 2ărită' %onfiura4ia defor2atei stru%turii );i #. /a%ă 0nsă2atri%ele de riiditate ale ele2entelor nu au fost Xade%*atX %al%ulate' a*1nd 0n*edere %ă ele2entele sunt leate 0ntre ele nu2ai 0n noduri' e ,osi5il uneori %adefor2ata să arate 0n realitate %a 0n fiura #5' adi%ă să a,ară oluri sausu,ra,uneri 0ntre laturile ele2entelor finite adia%ente )nu este 0nde,linită %ondi4iade %ontinuitate. sau da%ă a%easta este 0nde,linită este ,osi5il să nu fie res,e%tate%ondi4iile la li2ită );i #%.

a 5 %Fig% 1%:/ a /efor2ata %ore%tă 5 Ele2entele nu asiură %ontinuitatea ,e laturile

%o2une %: Nu se asiură %ondi4iile la li2ită

E#uaţia genera!ă 3e e#;i!i6ru

Yn anali+a stru%turală' ,entru un siste2' %u n rade de li5ertate' e%ua4ia de2i&%are ra,ortată la un siste2 de referin4ă lo5al fi6 este de for2a[ ] [ ] [ ] ;F C: =++ ' ).

0n %are MO este 2atri%ea de 2asă stru%turii' MCO este 2atri%ea de a2orti+are*1s%oasă' este *e%torul *ite+elor nodale este *e%torul a%%elera4iilornodale' V;W este *e%torul 0n%ăr%ărilor nodale atri%ele din ). ,ot fi %onstantesau *aria5ile

#

Yn anali+a ter2i%ă' re+ultă o e%ua4ie si2ilară %elei de 2ai sus 0n %are MO K "Se 2en4ionea+ă %ă de reulă E; indiferent de do2eniul a,li%a4iilor %ondu%e lae%ua4ii 2atri%eale de for2a ). sau %hiar 2ai si2,le

Ap!i#aţii "n ana!i7a stru#turi!or

<nali+a stru%turilor %onst 0n %al%ule de anali+:-stati% )stationar.-dina2i%-de sta5ilitate

<nali+a dina2i% u+uală %onst 0n %al%ule %u de,lasri 2i%i )*i5ra4ii liniar elasti%e.'

dar %hiar &i 0n do2eniul de,lasrilor de %or, riid Se distin dou %ateorii esen4ialede ,ro5le2e 0n %al%ulul dina2i%:-anali+a 2odal-ras,unsul dina2i%

<nali+a 2odală este de o5i%ei ,ri2a eta,ă de %al%ul a unei stru%turi &i ,oate %ondu%ela infor2a4ii esen4iale de %o2,ortare dina2i%ă a stru%turii neori a%easta anali+ăeste o fa+ă ,re2erătoare a unei anali+e dina2i%e %o2,le6eRas,unsul dina2i% )la ,ertur5a4ii %u de,lasri ini4iale' *ite+e ini4iale sau for4e

,ertur5atoare. ,oate fi tratat fun%4ie de for2a ,ertur5a4iei 0n ,ro5le2e de:-anali+ ar2oni%-anali+ tran+itorie

-anali+ s,e%tral<nali+a de sta5ilitate s-a de+*oltat 0n dou dire%4ii:-anali+ stati%ă neliniar %are ,oate %a,ta feno2ene de ,ierdere a sta5ilită4ii-anali+ de *alori &i *e%tori ,ro,rii' *ala5ilă 0n do2eniul de,lasărilor 2i%iPro5le2ele 0nt1lnite 0n ,ra%ti% sunt 0n eneral neliniare Totu&i' 2a=oritatea

a,li%a4iilor ,ot fi a5ordate 0n rei2 de %o2,ortare liniar /a%ă i,ote+ele deliniari+are nu satisfa% %erin4ele ,ra%ti%e atun%i anali+a %u ele2ente finite ,oate fineliniară

Cal%ulul liniar este un %al%ul si2,lifi%at %are 0n eneral ,er2ite o54inereasolu4iei ,ro5le2ei du, un ,as de %al%ul

Neliniaritatea se ,oate ,une 0n e*iden4 ,rin %el ,u4in una din situa4ii:

-de,lasrile sunt 2ari' &i de%i e%ua4iile de e%hili5ru tre5uie s%rise ,entrustru%tura defor2at

-for4ele 0&i s%hi25 orientarea odat %u defor2ata stru%turii-2aterialul are o %o2,ortare neliniar )neliniaritate %onstituti*.' riiditatea

se 2odifi% 0n ti2,ul 0n%r%rii' ,ot a,are feno2ene de %ureri &i defor2a4ii ,er2anente 0n 2aterial

-0n%r%area este de durat 2are &i a,are feno2enul de flua=' adi%ă *aria4ia 0nti2, a defor2a4iilor su5 0n%r%are %onstant ;eno2enul de,inde de 0n%r%are &i estea%%entuat de te2,eraturile ridi%ate

-2aterialul are o %o2,ortare neliniar )%ur5a %ara%teristi%. %hiar la 0n%r%ri2i%i' %u2 ar fi %au%iu%ul )2aterial hi,erelasti%.

-0n ti2,ul 0n%r%rii anu2ite ,or4iuni din stru%tur ,ot *eni 0n %onta%t sau ,otdesfa%e o leătură %u altele %o2,onente sau %u +onele de fi6are

/in ,un%t de *edere teoreti% neliniarita4ile se %onsideră de dou %ateorii:-neliniarita4i eo2etri%e ),roduse de ,lasri 2ari %are ,ot fi 0nso4ite sau nu &i

de feno2ene de %onta%t.-neliniarită4i de 2aterial

/in ,un%t de *edere ,ra%ti% neliniaritatea este enerală neori unul dintreas,e%tele de 2ai sus este ,re,onderent &i atun%i anali+a neliniară se ,oate si2,lifi%aSe 2en4ionea+ă %ă anali+ele neliniare se efe%tuea+ă de reulă du,ă o anali+ă liniarăsi2,lifi%ată <nali+ele neliniare sunt 2ult 2ai %o2,li%ate' ne%esită un *olu2 2ai2are de date de intrare &i un efort de %al%ul %onsidera5il

<%eastă %arte nu a5ordea+ă as,e%te ale E; a,li%ate 0n ele%tri%itate2anetis2' sau anali+e %o25inate interdis%i,linare

Ana!i7a stati#4 este folosit ,entru deter2inareade,lasrilor' tensiunilor' defor2a4iilor s,e%ifi%e &i a eforturilor

,entru 5are &i ,lă%i 0n 2odele de stru%turi ,entru %are se ,oate

neli=a efe%tul 2asei )altele de%1t for4ele de reutate sau deiner4ie sta4ionar. Yn%r%rile ,ot fi for4e' ,resiuni' forteinertiale 0n rei2 stationar' de,lasări i2,use' defor2a4iienerate de 0n%r%ri ter2i%e %unos%ute <nali+a stati% ,oate

fi liniar sau neliniară <nali+a stati%ă liniară este %el 2ai si2,lu %al%ul din ,un%t de*edere nu2eri%' se a=une la un siste2 de e%ua4ii ale5ri%e liniare %are se re+o*8e6a%t )neli=1nd erorile de %al%ul nu2eri%. ,rin 2etode de eli2inare %u2 ar fi2etoda Lauss sau 2etoda de re+ol*are frontal' sau 8a,ro6i2ati* %u a=utorul2etodelor iterati*e de re+ol*are a e%ua4iilor %u2 ar fi 2etoda Qa%o5i sau 2etodaradien4ilor %on=ua4i <nali+ele neliniare se tratea+ folosind 2etode de re+ol*arein%re2entale &i iterati*e )Ne[ton-Ra,hson.

Ana!i7a o3a!4 este folosit ,entru deter2inareafre%*en4elor &i 2odurilor ,ro,rii de *i5ra4ie ,entru stru%turisau %o2,onente de stru%turi ;re%*en4ele ,ro,rii &i 2odurile

,ro,rii sunt 2ări2i i2,ortante ,entru ,roie%tarea stru%turilor%are lu%rea+ 0n rei2 dina2i% <nali+a 2odal este o fa+ao5iatorie de %al%ul ,entru anali+a s,e%tral &i anali+atran+itorie ,rin su,ra,unere de efe%te <nali+a 2odal este o

7

anali+ liniar' %are %onstă 0n re+ol*area unei ,ro5le2e de *alori &i *e%tori ,ro,riietodele de re+ol*are a ,ro5le2elor de *alori &i *e%tori ,ro,rii %are s-au i2,us 0n2od deose5it sunt:

-2etoda Qa%o5i-2etoda itera4iilor ,e su5s,a4ii-2etode DR-2etoda *e%torilor >an%+os

Efortul de %al%ul ,entru re+ol*area unei ,ro5le2e de *alori &i *e%tori ,ro,rii este2ult 2ai 2are de%1t %el ne%esar re+ol*ării unei anali+e stati%e neori este ne%esar%a 0nainte de re+ol*area nu2eri%ă efe%ti*ă să se redu%ă di2ensiunea ,ro5le2eiini4iale %are ,ra%ti% nu ,oate fi re+ol*ată Pentru redu%erea di2ensiunii se foloses%

2etode s,e%iale de %ondensare dina2i% %u2 ar fi 2etoda Irons-LuJan sau 2etodede su5stru%turare dina2i%ă %u2 ar fi 2etoda Crai-Ba2,ton

Ana!i7a aroni#4 este o tehni% utili+at ,entrudeter2inarea răs,unsului sta4ionar ,entru o stru%tur %u%o2,ortare liniar su,us unei 0n%r%ri ,arti%ulare%onst1nd dintr-un set de for4e )sau de,lasri' *ite+e'a%%elera4ii. %u *aria4ie sinusoidal 0n ti2,' de a,litudine &ifre%*en4ă %unos%ute <%east tehni% ,er2ite %al%ululrăs,unsului sta4ionar al unor *i5ra4ii 0ntre4inute )for4ate.Efe%tul tran+itoriu nu este luat 0n %onsiderare &i toate

0n%r%rile tre5uie s ai5 a%eea&i fre%*en4

Ana!i7a tran7itorie este utili+at ,entru deter2inarears,unsului dina2i% al unei stru%turi 0n%r%at %u ori%e siste2de for4e de,endent de ti2, <%est ti, de anali+ ,oate fiutili+at ,entru deter2inarea *aria4iei de,lasrilor' tensiunilor'defor2a4iilor &i for4elor 0ntr-o stru%tur %a ur2are a unei0n%r%ri oare%are <nali+a se efe%tuea+ă ,rin interarenu2eri%ă 0n ti2,' ,as %u ,as Se ,ot in%lude toate ti,urile deneliniarită4i )in%lusi* a2orti+are. &i ,entru un ,as de %al%ul sea=une la re+ol*area unui siste2 de e%ua4ii liniare Cele 2ai

folosite tehni%i de interare a e%ua4iilor diferen4iale ordinare sunt 2etodele deinterare i2,li%ite ilson θ' Hou5oult' Ne[2ar β

Ana!i7a spe#tra!4 este utili+at ,entru deter2inareade,lasrilor' defor2a4iilor' rea%4iunilor &i tensiunilor 0ntru-un2odel ,entru %are 0n%ăr%area se i2,une su5 for2a unui8s,e%tru %unos%ut <%eastă anali+ă este liniară &i se 5a+ea+ă

,e %o2,unerea răs,unsului 2odal o54inut din anali+a 2odal

;K;osin)ω t\ϕ .

;

!

Cal%ulul s,e%tral este o *ariantă si2,lifi%ată de o54inere a răs,unsului 2a6i2tran+itoriu ,entru o 0n%ăr%are aleatorie de enul &o%urilor &i *i5ra4iilor ,roduse de%utre2ure' for4a *0ntului' *alurile o%eanelor' *i5ra4ia 2otoarelor et% /in ,un%tul de*edere al utili+atorului un s,e%tru este o re,re+entare rafi%ă )de reulă o54inutăe6,eri2ental. a *alorilor de,lasărilor' a *ite+ei' a a%%elera4iei sau a for4elor i2,usefun%4ie de fre%*en4ă <nali+a su,ortă di*erse for2ulri s,e%trale: rs,uns s,e%tral

,entru e6%ita4ie 0ntr-un ,un%t rs,uns s,e%tral ,entru e6%ita4ie 2ulti,un%t' rs,unss,e%tral al densit4ii de ,utere &i altele. E6%ita4iile ,ot fi ,e una două sau ,e %ele treidire%4ii ale siste2ului de %oordonate lo5al Se ,er2it &i e6%ita4ii de rotire

Ana!i7a 3e sta6i!itate )fla25a=.' este utili+at ,entru

deter2inarea sar%inii %riti%e de fla25a= la %are stru%turade*ine nesta5il ),un%te de 5ifur%a4ie. &i for2a aso%iatstru%turii defor2ate 0n a%east situa4ie <%eastă anali+ă%onstă 0n re+ol*area unei ,ro5le2e de *alori &i *e%tori

,ro,rii' ,entru *alorile ,ro,rii %ele 2ai 2i%i <nali+a de sta5ilitate ,er2itedease2enea de,istarea ,un%telor de 0n%ăr%are li2ită &i o54inerea %ur5elor%ara%teristi%e de răs,uns a stru%turilor )de tre%ere ,rintr-o ,o+i4ie insta5il la2e25rane ,o%nitoare de e6e2,lu.' %a+ 0n %are anali+a este de fa,t o anali+ă stati%ăneliniară 0n do2eniul de,lasărilor 2ari <lorit2ii de re+ol*are sunt in%re2entali &iiterati*i <nali+a neliniar de sta5ilitate este re%o2andat ,entru % deter2insar%ina %riti% de fla25a= ,entru o %re&tere in%re2ental a 0n%r%rii <nali+a de

*alori &i *e%tori ,ro,rii se folose&te ,entru a ,re+i%e re+isten4a teoreti% la fla25a= ,entru o stru%tur ideal la %are de,lasările elasti%e ,1nă la ,ierderea de sta5ilitatesunt foarte 2i%i Yn eneral este 5ine s fie e*itat ,entru stru%turi %u de,lasri 2ari&i ne%onser*ati*e

Ap!i#aţii "n ana!i7a teri#4

<nali+a ter2i%ă ,resu,une 0n eneral dou ti,uri de %al%ule' 0n rei2:-stationar-tran+itoriu

Ana!i7a teri#4 stationar4 )stati%. este utili+at ,entru deter2inarea distri5u4iei de te2,eratur' &i aflu6urilor ter2i%e 0n stru%turi ,entru %are %antitatea de%ăldură ,ri2ită este eală %u %ăldura %edată Yn%r%rile%onsiderate sunt: flu6 ter2i% %on*e%ti*' flu6 ter2i% enerat'radia4ii' te2,eraturi i2,use' et% Se ,oate fa%e anali+ liniarsau neliniar )da%ă %onstantele de 2aterial de,ind de

9

te2,eratur.' iar ,ro5le2a la %are se a=une este un siste2 de e%ua4ii liniar' 0n %arenu%unos%utele sunt te2,eraturile 0n noduri

Ana!i7a teri#4 tran7itorie este utili+at ,entrudeter2inarea distri5u4iei de te2,eratură &i a flu6ului ter2i%0n stru%turi %u 0n%r%ri de,endente de ti2,' sau ,entru

,erioade s%urte de ti2, 0n %are stru%tura nu a=une la une%hili5ru ter2i% Se ,ot fa%e anali+e liniare sau neliniare),ara2etrii de,enden4i de te2,eratur. /in ,un%t de *edere

nu2eri% se a=une la re+ol*area unor e%ua4ii diferen4iale de ordinul 0nt1i

Ap!i#aţii "n e#ani#a f!ui3e!orAna!i7a f!ui3e!or este utili+at ,entru deter2inarea

%ara%terului de %urere a fluidelor' a distri5u4iei de *ite+e &i ,resiuni' a dire%4iilor de %urere' a for4elor aerodina2i%e &i alefe%tului te2,eraturii asu,ra %urerii Yn%r%rile folositesunt *ite+e ini4iale' ,resiuni' te2,eraturi' enerie %ineti% de

tur5ulen4' %oefi%ientul disi,rii tur5ulen4ei' %on*e%4ie' flu6 ter2i%' et% Pot fire+ol*ate ,ro5le2e de %urere la2inar sau tur5ulent' se ,ot utili+a 2odele de fluid%o2,resi5il sau in%o2,resi5il' se ,oate %onsidera %on*e%4ia li5er' for4at sau 2i6t'se ,oate 4ine %ont de %ondu%4ia ter2i% et% Se ,oate fa%e &i studiu a%usti% )anali+

ar2oni%. <nali+a fluidelor este una dintre %ele 2ai %o2,li%ate anali+e' de o5i%eia5ordarea teoreti%ă este %ea %are li2itea+ă ,osi5ilită4ile E; Pentru 2odeleteoreti%e si2,le &i o a5ordare euleriană se ,ot fa%e anali+e sta4ionare' dar de reulăanali+a fluidelor se fa%e 0n rei2 dina2i%

Yn ulti2ul ti2, anali+a %u 2etoda ele2entelor finite a a5ordat ,ro5le2e deo,ti2i+are' su5stru%turare' s-au i2,le2entat o serie de lei %onstituti*e de 2aterial%are s ,er2it %al%ulul 2aterialelor de altă natură de%1t %ele 2etali%e %lasi%e'%o2,o+ite' ,lasti%e' et% at1t 0n do2eniul 0n do2eniul liniar %1t &i 0n %el neliniar S-aude+*oltat ele2ente finite noi' 2ult 2ai ,erfor2ante de%1t %ele ini4ial folosite' e6istăfoarte 2ulte ti,uri de ele2ente finite de %u,lare a efe%telor )efe%tul ter2i% %u %el

2e%ani%' ele%tri% &i %el 2aneti% et%. Pentru a fa%ilita o,era4ia de dis%reti+are s-aude+*oltat noi tehni%i de dis%reti+are auto2at' 5a+ate ,e eroarea de %al%ul o54inut lao ,ri2ă dis%reti+are rosolan

Proresul &i su%%esul 2etodei ele2entelor finite din ulti2a *re2e sedatorea+ă de+*oltării s,e%ta%uloase a %al%ulatoarelor nu2eri%e ,re%u2 &i a

,rora2elor de %al%ul %u ele2ente finite Se ,oate afir2a %u tărie %ă 0n 2o2entul defa4ă ,roie%tarea este de ne%on%e,ut fără utili+area 2etodei ele2entelor finite 0n%al%ule de re+isten4ă' sta5ilitate' o5oseală' et%

("

Cap% 8% Cuno2tinţe ne#esare pentru a rea!i7a prograe 3e MEF

E; are un %ara%ter ,luridis%i,linar' ,entru a reali+a ,rora2e de re+ol*atanu2ite ti,uri de ,ro5le2e )sau un ,rora2 eneral de %al%ul.' 0n do2eniulinineriei 2e%ani%e' %u ,re%dere ,entru %al%ule ale stru%turilor de re+isten4' sei2,une st,1nirea di%i,linelor )*e+i fi (.:

-2e%ani%a stru%turilor )2e%ani%a stati%' dina2i%' re+isten4a 2aterialelor'*i5ra4ii.

-anali+a nu2eri% ),ro%eduri &i alorit2i de %al%ul ,re%u2 &i %uno&tin4e derafi% ,e %al%ulator.

-,rora2are 0ntr-un li25a= de ni*el 0nalt );?RTR<N' C' B<SIC sauP<SC<>./e o5i%ei ru,ri 2i%i de %er%ettori 0ntr-un do2eniu relati* restr1ns

ela5orea+ ,rora2e de %al%ul folosind E; ,entru ne*oile i2ediate sau ,ro5le2erelati* si2,le

Prora2e 2ari' %u fa%ilitati 2ulti,le sunt reali+ate de fir2e s,e%iali+ate'astfel se ,ot enu2era %1te*a ,rora2e )%oduri e6e%uta5ile. %are sunt folosite de%ole%ti*ele de ,roie%tare%er%etare din 4ar sau 0n uni*ersit4i' 0n s%o, edu%a4ional &ide %er%etare: N<STR<N' <NSS' C?S?S' <>L?R' I<LES3/' *arianteS<P

Prora2ele ,re+entate 0n a%east %arte sunt s%rise 0n li25a=ul de ,rora2are

Tur5o Pas%al "' sunt ,rora2e 2i%i' s,e%iali+ate ,e di*erse ti,uri de ,ro5le2e &iau fost reali+ate 0n s%o, dida%ti%/e&i ,rora2ele 2ari de fir2 sunt s%rise de o5i%ei 0n li25a=ul ;?RTR<N'

s-a re%urs la li25a=ul Pas%al ,entru % este u&or de ur2rit &i studen4ii 0l 0n*a4 0n%adrul ,rora2rii

Yn ulti2ul ti2, a luat a*1nt ,rora2area 0n <T><B %are ,entru studen4ieste foarte %o2od' &i ,er2ite re+ol*area unor a,li%a4ii la te2ele de %asă

Fig% 8%1/ Cara%terul ,luridis%i,linar al E;

(

Cap% 9% Cuno2tinţe ne#esare unui uti!i7ator a! MEFn utili+ator este ,us 0n situa4ia re+ol*rii unei anu2ite ,ro5le2e' &i nu 0n a

i2,le2enta un ,rora2 de E; ,entru re+ol*area ei' de a%eea utili+atorul tre5uie safle da% ,ro5le2a se ,retea+ re+ol*rii %u E; &i s foloseas% un ,rora2ade%*at ,ro5le2ei res,e%ti*e

?dat sta5ilit ,rora2ul de %al%ul este ne%esar a se fa%e o infor2are asu,ra ,osi5ilita4ii ,rora2ului /a% ,erfor2an4ele ,rora2ului ne %on*in tre5uie s neinfor22 des,re 2odul de lu%ru al ,rora2ului &i s ,reti2 ,ro5le2a ,entrure+ol*are @

Tre5uie s 2en4ion2 de la 0n%e,ut % ,rora2ul de %al%ul folosit ,entru

anali+a ,ro5le2ei nu re+ol* stru%tura reală' %i doar un ?/E> al ei ,e %are 0neneral 0l fa%e utili+atorul Re+ultatele ,ot fi %onfir2ate sau nu' fun%4ie de %u2 a fostales 2odelul de %al%ul odelarea este o a%ti*itate de si2,lifi%are a stru%turii ,rin0n%adrarea di*erselor ,or4iuni ale stru%turii 0n %ateoria 5arelor' ,l%ilor' 5lo%urilor'

,rin %onsiderarea 0n%r%rilor &i a re+e2rilor et% odelarea %ore%t )%1t 2aia,roa,e de realitate. este o ,ro5le2 de e6,erien4' ins,ira4ie &i nu 2ai ,u4in de%unoa&tere a 5a+elor teoreti%e ale 2etodei

S%o,ul a%estei lu%rri este de a s%oate 0n e*iden4 unele as,e%te ale 2odelrii&i a no4iunilor enerale de lu%ru %u E; astfel 0n%1t du, ,ar%urerea a%estei lu%rriutili+atorul s ,oat utili+a %u 2i%i re+er*e ori%e %od de E;

Cuno&tin4ele ne%esare se do51ndes% ,e 2sur %e utili+atorul re+ol* di*erse

,ro5le2e Nu tre5uie uitat fa,tul % ,entru a re+ol*a %ore%t o ,ro5le2 este a5solutne%esar )nu &i sufi%ientă. li*rarea tuturor datelor %are %ara%teri+ea+ ,ro5le2aProra2ele %on%e,ute &i dis%utate 0n a%east lu%rare ,er2it introdu%erea

datelor 0n 2od intera%ti* )8%al%ulatorul 0ntrea5 - utili+atorul rs,unde. dar &i dire%t0n 2od fi&ier ,entru reluarea unei ,ro5le2e sau ,entru %ei %are editea+ 2ai u&or unfi&ier &i %unos% 2odul de introdu%ere a datelor ,ro5le2ei

Prora2ele de fir2 res,e%t anu2ite reuli enerale de introdu%ere adatelor )nota4ii unifi%ate' ordonarea %o2en+ilor de ,retire a datelor et%.' %eea %efa%ilitea+ lu%rul la ,rora2e diferite ,entru utili+atori e6,eri2enta4i Pentru0n%e,tori este indi%at a se folosi un sinur ,rora2 de lu%ru

NU UITA <MEF nu re7o!=4 pro6!ea iniţia!4 #i un o3e! a! ei> de%i 0ntre stru%tura de

%al%ul &i anali+a %u E; se afl 2odelul:

STRCTR< /E C<>C> → ?/E> → <N<>I] %u E;

?dat sta5ilit 2odelul de %al%ul' se i2,une ,retirea datelor de intrare ,entru re+ol*area ,ro5le2ei ;ie%are ,rora2 %u ele2ente finite ,re+int

((

,arti%ularitti %are tre5uie 0n*4ate dar e6ist o serie de reuli de 5a+ ale 2etodei%are odat st,1nite ,er2ite a5ordarea ori%rui ,rora2 %u ele2ente finite

Yn %ontinuare se ,re+int %1te*a as,e%te %o2une tuturor ,rora2elor' ur21nda se re*eni asu,ra no4iunilor de 5a+ ,e %are tre5uie s le st,1neas% un utili+ator' 0nur2toarele trei %a,itole

Unitaţi 3e 4sur4

/e o5i%ei utili+atorul hotr&te %u %e unit4i de 2sur lu%rea+ dar tre5uiea*ut 0n *edere %ă ori%e a5atere de la SI )Siste2ul Interna4ional al nit4ilor desur. atrae o aten4ie deose5it asu,ra unit4ilor de 2sur ado,tate Yn a%est sens

tre5uie res,e%tate unit4ile de 2sur ini4ial sta5ilite ,entru a5solut toate datele deintrare ale ,ro5le2ei Re+ultatele finale se *or resi 0n unit4ile sta5ilite deutili+ator

Pentru a e*ita e*entualele ,ro5le2e %are ,ot a,are la s%hi25area ti,ului deanali+ă se recomandǎ lucrul în SI /e e6e2,lu da%ă un 2odel se anali+ea+ă stati%0ntr-un siste2 de 2ăsură altul de%1t SI &i a,oi ur2ea+ă un %al%ul dina2i%' sauter2i%' este ,osi5il %a unel 2ări2i %u2 ar fi fre%*en4ele ,ro,rii de *i5ra4ie să nu ai5ăse2nifi%a4ia reală' %hiar da%ă a,arent unită4ile de 2ăsură sunt %onsistente

(istee 3e a?e

en4ion2 % toate ,rora2ele %u ele2ente finite tratea+ 2odelul 0ntr-unsiste2 de a6e lo5al )?G. <%est siste2 de a6e este un siste2 %arte+ian dre,t &i0n eneral 2odelul se ,o+i4ionea+ 0n siste2ul lo5al de a6e %onfor2 dorin4elorutili+atorului E6ist &i e6%e,4ii' ,entru ,ro5le2e ,lane' %1nd siste2ul de a6e este

,lan )G?.' &i ,entru ,ro5le2e a6ial si2etri%e' %are ,resu,un aleerea a6ei desi2etrie' de reulă' dre,t a6a ? Pentru u&urarea introdu%erii %oordonatelor sefoloses% &i siste2e de a6e %ilindri%e' sferi%e sau siste2e de a6e definite de utili+ator'0n final 0ns ,ro5le2a este tratat 0n siste2ul de a6e lo5al

Notaţii u7ua!e

Pe 2sur %e s-au de+*oltat noi ,rora2e %u ele2ente finite' au a,rutno4iuni noi de lu%ru dar o ,arte a denu2irilor &i nota4iilor nu s-au 2odifi%at Nota4iileutili+ate 0n a%east %arte sunt ins,irate dintr-o serie de ,rora2e de fir2 desutili+ate' 2en4ionate 0n %a,itolul ( >ista nota4iilor din ,rora2ele ,re+entate 0n%a,itolele ur2toare este ,re+entat la 0n%e,utul %r4ii

<stfel' anti%i,2 %1te*a no4iuni &i nota4ii )%are se 0nt1lnes% 0n %a,itolelei2ediat ur2toare.' %u2 ar fi radele de li5ertate nodale )L>N. Pentru un 2odel destru%tur 0n s,a4iu' un nod )+onă de di2ensiune finită @. are &ase rade de li5ertate'

(3

adi% trei transla4ii 0n lunul a6elor G' ' &i trei rota4ii 0n =urul a%elora&i a6e G' ' Lradele de li5ertate transla4ii se notea+ de o5i%ei %u G' ' iar radele deli5ertate rota4ii se notea+ %u RG' R' R /a% unele rade de li5ertate se %unos%a,riori %a fiind nule' atun%i se denu2es% blocae In a%east situa4ie ,ot e6ista

5lo%a=e la transla4ie ,e %ele trei dire%4ii: BG' B' B &i 5lo%a=e la rota4ie: BGG'B' B Con*en4ional se atri5uie unui rad de li5ertate *aloarea ! dacǎ este

"liber” &i *aloarea # dacǎ este "blocat”?rdon1nd radele de li5ertate' adi% G' ' ' RG' R' R' o referire la

5lo%a=e se ,oate fa%e %u un %od nu2eri%' adi% (3$# <,ari4ia 0n %od a unei %ifrede la la ,re%i+ea+ 5lo%a= ,e dire%4ia res,e%ti* )e6e2,lu 3$ se2nifi%ă BGKBK BGGK.

/e%lararea ele2entelor se fa%e not1nd nodurile %u: I' Q' F' >' ' N' ?' P' 'de,inde de %1te noduri are ele2entulTensiunile 0n 2odel se ,re+int 0n eneral 0n siste2ul lo5al de a6e' )nu

o5liatoriu 0ns. &i %o2,onentele tensorului tensiune se notea+: SG' S' S' SG'S' SG' iar tensiunile ,rin%i,ale se notea+: S' S(' S3' &i 0ntotdeauna se res,e%treula S ^ S( ^ S3

Tipuri 3e ateria!e

/in ,un%t de *edere al ,ro,riet4ilor ,e diferite dire%4ii ale 2aterialului2aterialele u+uale se ,ot %lasifi%a 0n:

-i+otro,e-ortotro,e-ani+otro,e

? %ateorie a,arte o fa% 2aterialele hi,erelasti%e %u2 ar fi %au%iu%ulaterialele i+otro,e se %ara%teri+ea+ ,rin trei %onstante de 2aterial E' L' ν

0ntre %are e6ist o rela4ie de letur:

.)(

EL

ν+= )3.

Yn eneral ,rora2ele de %al%ul *erifi% rela4ia )3. sau %o2,letea+ one%unos%ut da% se de%lar dou dintre %onstantele de 2aterial nele ,rora2e

atri5uie unor %onstante de 2aterial *alori i2,li%ite' %u2 ar fi de e6e2,lu νK"'3 sau νK" /e o5i%ei 0n ,ra%ti%ă se de%lară E )2odulul de elasti%itate lonitudinal. &i ν)%oefi%ientul de %ontra%4ie trans*ersală.

aterialele ortotro,e se %ara%teri+ea+ ,rin ( %onstante de 2aterial%ores,un+tor %elor trei dire%4ii ,rin%i,ale ale 2aterialului' dintre %are nouă suntinde,endente <%estea din ur2ă' se introdu% dre,t date de intrare &i sunt: E ' (E '

3E ' (L ' (3L ' 3L ' ν ( ' ν (3 ' ν 3

($

aterialele ani+otro,e se %ara%teri+ea+ ,rin ( de %onstante de 2aterialinde,endente' iar ,entru anali+e neliniare e6istă lei de 2aterial ,ro,rii fie%ărui ti,de 2aterial

/e o5i%ei ,rora2ele de fir2ă au i2,le2entate %el ,u4in %1te*a sute de leide 2aterial din %are utili+atorul tre5uie să aleaă 2odelul ade%*at &i să introdu%ă oserie de %onstante de 2aterial <%este %onstante de 2aterial se o54in din 0n%er%ărie6,eri2entale' de%i leile de 2aterial %ara%teri+ea+ă 2aterialul din ,un%t de *edere2a%ros%o,i%' de%i ,entru anali+a unor 2odele de di2ensiuni foarte 2i%i leile de2aterial tre5uie re%onsiderate Considerente si2ilare tre5uie a*ute 0n *edere &i

,entru leile &i e%ua4iile 2ate2ati%e %u %are se i2,le2entea+ă fie%are ti, de ele2entfinit

(#



Cap% +% Prin#ipii fun3aenta!e a!e MEF

)is#reti7area

Yn %ele %e ur2ea+ se ,une ,ro5le2a dis%utrii ,rin%i,iilor E; din ,un%tulde *edere al utili+atorului S-a 2en4ionat 2ai sus % E; %onsider 2odelul de%al%ul for2at dintr-o su2 de ,or4iuni nu2ite ele2ente finite leate 0ntre ele

,un%tual' adi% 0n noduriEste %lar ,entru ori%ine' % o

stru%tur )un do2eniu. ,oate fi02,r4it 0n di*erse 2oduri' %u 2ai2ulte sau 2ai ,u4ine noduri &iele2ente Yn fiura $ se ,re+int02,r4irea do2eniului ,atrulater a 0ntriunhiuri 5 sau 0n ,atrulatere %

E; a de+*oltat o serie de ti,uri de ele2ente finite %are ,entru 0n%e,ut ,ot fi%lasifi%ate 0n )referire la ele2ente stru%turale.:

-ele2ente finite unidi2ensionale )re,re+ent1nd 5are dar nu nu2ai .-ele2ente finite 5idi2ensionale )re,re+ent1nd ,l%i' &i %hiar *olu2e @.-ele2ente finite tridi2ensionale )re,re+ent1nd solidele' 5lo%urile.

Fig% +%8: Ti,uri de ele2ente finite

Yn fiura $( se ,re+int di*erse ti,uri de ele2ente finite Se o5ser* %ele2entele finite sunt enerate de ,un%te %are nu sunt alt%e*a de%1t noduri ale

Fig% +%1/ oduri de dis%reti+are 0n ,lan

(

stru%turii E6ist ele2ente de rad su,erior %elor %u5i%e )%are sunt 2ai ,erfor2ante.'dar %el 2ai des utili+ate sunt ele2entele liniare &i ,ara5oli%e

S nu uit2 % ne%unos%utele unei ,ro5le2e sunt alese %hiar 0n nodurileele2entelor finite' noduri 2ai 2ulte ,e ele2ent 0nsea2n 0n eneral ,re%i+ie 2ai

5unnele ele2ente finite au noduri interioare ),e fe4e sau 0n interiorul

*olu2elor. ,entru a 025unt4i ,re%i+ia' dar utili+atorul nu lu%rea+ %u a%este noduri ,entru % ele sunt enerate &i a,oi %ondensate 0n fa+a de %al%ul a 2atri%ilor deriiditate ale ele2entelor

?,era4ia de 02,r4ire a unei stru%turi )do2eniu. 0n ele2ente finite' ,rin ,unerea 0n e*iden4 a nodurilor &i a ele2entelor ,oart denu2irea de

$IS%&'(I)*&'+ Rea2inti2 % ele2entele nu au ,or4iuni %o2une 0ntre ele de%1tnodurile %o2une ),entru ele2ente *e%ine. Reuniunea tuturor ele2entelor tre5uie sre,rodu% do2eniul ini4ial

n e6e2,lu suesti* al dis%reti+rii ,oate fi %onsiderat o olind s,art &ili,it %u 5u%4i 2i%i de 5and ade+i* la %ol4uri <lt e6e2,lu ilusrati* ar fi o haindin ,ete%e %usute doar la %ol4urile ,ete%elor

Reuniunea %ontururilor ele2entelor enerea+ re4eaua dis%reti+riiReferirea la noduri &i ele2ente se fa%e ,rin nu2erotarea a%estora ?,era4ia

de dis%reti+are in%lude ,e l1n 02,r4irea stru%turii 0n noduri &i ele2entenu2erotarea nodurilor de la la NN )nu2rul total de noduri. &i a ele2entelor de la la NE )nu2rul total de ele2ente. Nu2erotarea nodurilor &i a ele2entelor ,oate

s nu 0n%ea, de la unu &i să nu fie nea,ărat 0n ordine ,entru ,rora2e de fir2?,era4ia de dis%reti+are este de o5i%ei diri=at de utili+ator %hiar da% ,rora2ele de fir2 ,er2it utili+area dis%reti+arii auto2ate ,e di*erse do2enii

(ta6i!irea 3oeniu!ui 3e ana!i74 2i a #on3iţii!or !a !iită

/o2eniul de anali+ re,re+int un 2odel al %or,ului de studiat' sau nu2ai alunei reiuni se2nifi%ati*e a,ar4in1nd a%estuia El se o54ine ,rintr-un ,ro%es deideali+are a eo2etriei %or,ului oriinal &i uneori de sele%4ie a reiunii de anali+

Ideali+area este ne%esar ,entru a redu%e din %o2,le6itatea %onfiura4ieieo2etri%e a %or,ului oriinal' ,entru a 2i%&ora efortul de ,retire a datelor de

intrare &i de %al%ul Yn a%ela& s%o, se fa%e &i sele%4ia unei reiuni de anali+' atun%i%1nd ,ro,riet4ile de si2etrie &i o2oenitate ,er2it a%est lu%ru /e ase2enea'sele%4ia a,are ne%esar atun%i %1nd se lu%rea+ %u %or,uri de di2ensiuni foarte 2ari'sau atun%i %1nd o ,ro5le2 tridi2ensional se transfor2 0ntr-o ,ro5le2

5idi2ensional sau unidi2ensionalYn %a+ul 0n %are do2eniul de anali+ re,re+int nu2ai o ,arte din %or,ul

oriinal de studiat' o aten4ie deose5it tre5uie a%ordat ada,trii %ondi4iilor la li2it'

(7

astfel 0n%1t s nu s%hi252 odat %u eo2etria &i stru%tura %12,ului de *aria5ileanali+at

a: S%he2a reală 5: odelul ideali+atFig% +%9/ Lrindă 0n %onsolă

E?ep!u! 1% Se %onsideră ele2entul de rindă' de se%4iune *aria5ilă 0n %are sunta,li%ate două ăuri %ir%ulare ;i $3a <%eastă rindă este ,arte %o2,onentă aunei stru%turi 2ult 2ai 2ari &i ,reia o for4ă 0n %a,ătul li5er' enerată de %onta%tul%u altă %o2,onentă a unei alte stru%turi Se %ere să se deter2ine săeata dinse%4iunea B ,re%u2 &i tensiunea e%hi*alentă 2a6i2ă Se ,resu,une %ă sunt%unos%ute toate di2ensiunile' *aloarea &i ,o+i4ia for4ei re+ultante ; ,re%u2 &i%ara%teristi%ile 2aterialului

Pentru a%eastă a,arent si2,lă ,ro5le2ă a,ar o serie de 0ntre5ări' la %areanalistul tre5uie să ia de%i+iile %ele 2ai ade%*ate ,entru a o54ine solu4ia %u o

,re%i+ie %1t 2ai 2are nele dintre a%este 0ntre5ări sunt: a este ade%*at un 2odel0n ,lan sau 0n s,a4iu' răs,unsul 0n eneral de,inde de rosi2ea a%estei rin+i' da%ărinda este 0naltă )adi%ă are rosi2e 2i%ă.' un 2odel 0n 3/ nu se =ustifi%ă'deoare%e efortul de %al%ul %re&te %onsidera5il fără a o54ine un re+ultat 2ai ,re%is

5 2odelul tre5uie să in%ludă &i +onele din *e%inătatea for4ei a,li%ate &i res,e%ti* o+onă %1t 2ai 2are din stru%tura de %are a%eastă rindă este fi6ată' răs,unsul laa%eastă 0ntre5are este reu de ,re%i+at 0n s,e%ial din %au+ă %ă de,lasarea se%4iuniiB este ,rodusă at1t de defor2a4ia rin+ii %1t &i de defor2a4ia stru%turii de %area%easta este fi6ată' tensiunea 2a6i2ă 0nsă este de a&te,tat să a,ară 0n +ona slă5ităa %elor două ăuri &i nu de,inde esen4ial de %ondi4iile de 2odelare a stru%turii %aresus4ine rinda 0n *irtutea ,rin%i,iului Saint U_nant /a%ă stru%tura de fi6are arin+ii se ,oate %onsidera riidă' atun%i %el 2ai %o2od este să se 2odele+e efe%tul

a%esteia asu,ra rin+ii ,rintr-o 0n%astrare riidă % %u2 se %onsideră a,li%ată for4a'a*1nd 0n *edere %ă de fa,t se %unoa&te re+ultanta for4ei distri5uite &i ,un%tul dea,li%a4ie al ei' a,li%area for4ei 0ntr-un sinur nod ,oate %ondu%e la o54inerea unortensiuni XfalseX foarte 2ari 0n *e%inătatea a%estui nod' da%ă dis%reti+area din +onares,e%ti*ă este foarte fină' a,oi ,ro5le2a s-a deli2itat %a +onă de interes 0nse%4iunea din ,un%tul B &i 0n *e%inătatea %elor două ăuri /in a%est 2oti*' +onadin drea,ta ,un%tului B ,oate să nu fa%ă ,arte din 2odelul de %al%ul' iar0n%ăr%area se ,oate a,li%a 0n se%4iunea B' ,rin i2,unerea %ondi4iilor la li2ită 0ntensiuni' )o54inute din rela4iile Na*ier &i Qura*si. sau ,ur &i si2,lu se %onsideră

(!

torsorul e%hi*alent din se%4iunea B &i for4ele se a,li%ă %on%entrat 0n noduri da%ădis%reti+area 0n a%eastă se%4iune nu %on4ine 2ulte noduri Yn %ondi4iile de%i+iilorde 2ai sus 2odelul de %al%ul se ,re+intă 0n ;i$35 El ur2ea+ă să fie dis%reti+at%u ele2ente de ti, solid ,lan: D$' D' D!' et% &i a,oi anali+at

<s,e%tele de 2odelare ar ,utea %ontinua %u fa+a a doua adi%ă aleereati,ului de ele2ent %el 2ai ade%*at' 2odul de dis%reti+are' et% Nu tre5uie ,ierdutdin *edere %ă re+ultatele o54inute refle%tă 2odelul de %al%ul &i nu stru%tura reală &ia%estea tre5uie inter,retate %u 2are aten4ie

S%o,ul &i ti,ul %al%ului ,oate influen4a aleerea do2eniului de anali+' asfelda% interesea+ un efe%t lo%al &i la distan4 se ,ot %onsidera *aria4ia 2ri2ilor%unos%ut' do2eniul de anali+ se ,oate redu%e la +ona de interes <%east redu%ere

nu este 0ntotdeauna ,osi5il' e6e2,lul de 2ai sus al %on%entratorului ,oate fi *ala5il0ntr-un %al%ul stati% dar nu &i 0n unul dina2i%

(ta6i!irea ipote7e!or 3e !u#ru

Sta5ilirea %ore%t a i,ote+elor de lu%ru este fa%torul esen4ial 0n o54inerea unorre+ultate a,ro,iate de solu4ia e6a%t Yn a%est sens se au 0n *edere:

-eo2etria %or,ului-,ro,riet4ile 2aterialelor )liniar elasti%e' neliniare' ,lasti%e et%.-do2eniul de *aria4ie al ,rin%i,alelor 2ri2i de %12, in*estiate-rei2ul de fun%4ionare )stati%' dina2i% et%.

-2odul de a,li%are al sar%inilor si felul rea+e2elor' et%E?ep!u! 8% Se %onsideră o rindă de se%4iune *aria5ilă )stru%tura unui ,ode4.%are s,ri=ină ,rin a&e+are ,e trei st1l,i %a 0n ;i $$a Stru%tura tre5uie să ,reia o0n%ăr%are unifor2 distri5uită dată de ,resiunea de *aloare %onstantă ,' &ia%%idental sar%ina a6ială distri5uită liniar de *aloare 2a6i2ă a ,resiunii Se %eresă se ,re%i+e+e *aloarea 2a6i2ă a rea%4iunilor din rea+e2e &i tensiunea 2a6i2ădin rindă ,entru trei %a+uri de 0n%ăr%are: a nu2ai for4a distri5uită , 5 nu2aifor4a distri5uită % a25ele for4e lu%rea+ă si2ultan Se ,resu,une %ă sunt%unos%ute eo2etria stru%turii' datele des,re 2ateriale &i 0n%ăr%ări

Yn for2a ,re+entată' ,ro5le2a de 2ai sus ,re+intă de=a %1te*a%ara%teristi%i de 2odelare ,ri2ară in%luse 0n enun4' a%estea ar ,utea ,ro*eni de la

un 5enefi%iar %are %o2andă un astfel de %al%ul Este de ,resu,us %ă 0n%ăr%area %ufor4ele distri5uite , 2odelea+ă for4ele utile de 0n%ăr%are a,ărute 0n 2o2entulsoli%itării rin+ii ,re%u2 &i 0n%ăr%area enerată de reutatea ,ro,rie ;or4eledistri5uite ar ,utea ,ro*eni dintr-o ,reluare inefi%ientă a dilatării ter2i%e Nu se

,re%i+ea+ă ni2i% des,re o ,osi5ilă nealiniere a %elor trei st1l,i de s,ri=in <%esteas,e%te ar ,utea fi o2ise inten4ionat sau nu de %ătre 5enefi%iar' &i 0n a%eastăsitua4ie interesea+ă doar li*rarea unor re+ultate %ores,un+ătoare ,entru 2odelul

,ro,us

(9

Fig% +%+/ Lrindă stati% nedeter2inată

Pri2ele as,e%te %are se ,ot e*iden4ia sunt: si2etria 2odelului &i a%a+urilor de 0n%ăr%are %ara%terul stati% nedeter2inat al stru%turii din ,un%t de*edere al rea%4iunilor din ,artea %elor trei st1l,i

/a%ă di2ensiunea d a dia2etrului %elor trei st1l,i este relati* 2i%ă 0n%o2,ara4ie %u di2ensiunile rin+ii' 0n%ăr%area ne%unos%ută %u ,resiunea de%onta%t dintre st1l,i &i rindă se ,oate 0nlo%ui %u un rea+e2 si2,lu 0ntr-un sinur

nod )sau 2ai 2ulte noduri fun%4ie de dis%reti+are.' dar ai%i a,are o ,ro5le2ăesen4ială &i anu2e: rea%4iunile sunt orientate 0n sus sau e ,osi5il %a sensul lor săfie in*ers A <%eastă in%ertitudine fa%e ,ro5le2a neliniară' ,entru %ă de e6e2,lurea+e2ul din B lu%rea+ă nu2ai ,e o dire%4ie Pro5le2a 0nsă se anali+ea+ă 0n douăeta,e: . se ,resu,une %ă rea+e2ul lu%rea+ă sau nu lu%rea+ă &i (. se fa%e*erifi%area re+ultatelor

Fig% +%:/ Piesă de anali+at fi6ată %u ,atru&uru5uri ,e un 5lo% riid

E?ep!u! 9% Piesa din ;i $# tre5uieanali+ată din ,un%t de *edere stati%

,entru anali+a stării de tensiune /in2oti*e de si2etrie &i anali+a %u aten4ie a%o2,ortării ,iesei se ,oate ado,ta2odelul de %al%ul ,re+entat 0n ;i $Se o5er*ă %ă 2odelarea se fa%e nu2ai

,entru ,iesa de interes' iar efe%tul%elorlalte %o2,onente se 8in%lude ,rin%ondi4iile la li2ită 0n de,lasări &i for4edistri5uite du,ă anu2ite lei %onsideratede analist

3"



Fig% +%@/ odelul de %al%ul ,entru ,ro5le2a din fiura $#

Fa#tori 3e inf!uenţ4 a 3is#reti74rii

Se ,oate fa%e o distin%4ie net 0ntre:-dis%reti+area stru%turilor %are au un su,ort fi+i% res,e%ti* dis%reti+area 0n

ele2entele sale %o2,onente )stru%turi din 5are.-(dis%reti+area %or,urilor solide sau fluide %are este un ,ro%es ,ur2ate2ati%' ar5itrar

? serie de fa%tori %are %ondi4ionea+ dis%reti+area sunt:-ti,ul ele2entelor finite )se ale fun%4ie de ti,ul ,ro5le2ei &i do2eniul de

anali+' de ,re%i+ia dorit' de *aria4ia 2ri2ii ne%unos%ute et%. Ele2entele ,ara5oli%e sunt ,referate ele2entelor liniare' 0ntru%1t la a%ela& nu2r de nodurisolu4ia dis%reti+rii %u ele2ente ,ara5oli%e este 2ai ,re%is de%1t %ea %u ele2enteliniare /a% e6ist 2ai 2ulte ti,uri de ele2ente finite la rani4 dintre ele tre5uie sse asiure %ontinuitatea

-2ri2ea &i nu2rul ele2entelor

finite influen4ea+ %on*eren4a solu4iei )*e+i;i $7. Se o5ser* % la un nu2r 2ai2are de ele2ente re+ultatul se a,ro,ie %tresolu4ia e6a%t dar %re&terea e6%esi* ,oatedu%e la un 8%ola,s datorit efe%tului eroriide 2a&in la un *olu2 2are de %al%ule

-,o+i4ionarea nodurilor' %are 0neneral se fa%e unifor2 0n stru%tur

Fig% +%/ Influenta nu2arului deele2ente asu,ra ,re%i+iei

3

/is%ontinuita4i 0n eo2etrie );i $!a. sau 0n 0n%r%are );i $!5. i2,un aleereaunor noduri inter2ediare Tre%erea de la o +on %u dis%reti+are fin la una %udis%reti+are rosolan se fa%e ,rores*' nu 5rus%

-radul de unifor2itate al re4elei de ele2ente finite )*e+i ;i $9. Se e*itfolosirea ele2entelor %u for2 alunit )triunhiuri foarte as%u4ite' dre,tunhiuri %ura,ortul di2ensiunilor 2ai 2are de 3. Prefera5il ar fi %a dis%reti+area %u triunhiuris %on4in nu2ai triunhiuri e%hilaterale' dis%reti+area %u ,atrulatere s %on4in doar

,trate iar %ea s,a4ial %u 5ri%uri s %on4in ele2ente %u5i%e et%

Fig%+%./ /is%ontinuitati 0n eo2etrie &i0n%ăr%are

Fig% +%B/ ;or2e 5idi2ensionale deele2ente

-sta5ilirea +onelor de frontier' ,entru introdu%erea %ore%t a %ondi4iilor lali2it

-nu2rul 2a6i2 de noduri sau ele2ente ,er2is de ,rora2-,osi5ilitatea nu2erotrii o,ti2e a nodurilor sau a ele2entelor ,entru

redu%erea ne%esarului de 2e2orie &i %al%ul

Cu poate re3u#e sietria geoetri#4 3iensiunea pro6!eei5

Se ,oate arta )%u 2etoda eforturilor studiat la re+isten4a 2aterialelor' dee6e2,lu.' % stru%turile %u si2etrie eo2etri% fa4 de un ,lan )si2etrie 0n olind.'0n%r%ate si2etri% )Si2. sau antisi2etri% )<Si2. fa4 de a%ela&i ,lan de si2etrie ,otredu%e ,ro5le2a la tratarea ,e =u2tate ,entru fie%are ,lan de si2etrie ,rin%onsiderarea %ondi4iilor de defor2a4ie 0n ,lanul de si2etrie eo2etri% )*e+i ;i$".

Yn eneral se ,un 0n e*iden4 si2etrii fa4 de %ele trei a6e ale siste2ului de

referin4ă lo5al /a% nor2ala ,lanului de si2etrie %oin%ide %a dire%4ie %u a6a G ses,une % si2etria este fa4 de ,lanul G Yn%r%rile fa4 de a%est ,lan ,ot fi si2etri%e)GSi2. sau antisi2etri%e )G<Si2.

3(

Yn ta5elul $ se ,re+int %ondi4iile la li2it 0n ,lanul de si2etrie ,entru %ele ,osi5ilit4i de si2etrie &i antisi2etrie de 0n%r%are ,entru stru%turi %u si2etrie fa4

de siste2ul lo5al de a6e /e%i' nodurile %are se află 0n ,lanul de si2etrie' tre5uie săfie 85lo%ate ,e anu2ite dire%4ii la transla4ii &i rota4ii da%ă e %a+ul )se dis%ută anali+astru%turală' dar %ondi4ii si2ilare e6istă si ,entru alte ti,uri de anali+e.' astfel 0n%1tdefor2atele stru%turilor să fie si2etri%e sau antisi2etri%e' fun%4ie de 0n%ăr%are

Ta6e!u! +%1/Condi4ii la li2ită 0n ,lanul de si2etrie refle6i*ăYn%ăr%are BG B B BGG B B %od al

5lo%a =elor GSi2 " " " #Si2 " " " ($

Si2 " " " 3$#G<ntiSi2 " " " (3$<ntiSi2 " " " 3#<ntiSi2 " " " (

en4ion2 % o stru%tur si2etri%' 0n%ar%at oare%u2' ,entru un %al%ulliniar ,oate fi &i ea redus la re+ol*area a dou ,ro5le2e tratate ,e =u2tate &isu,ra,unere de efe%te %onfor2 %u fiura $

Fig% +%10/ Redu%erea ,ro5le2ei ,rin si2etrie eo2etri%ă

33



Si2etria 8%i%li%ă ,oate redu%e %onsidera5il 2odelul de %al%ul )*e+i ;i$(. He6aonul reulat 0n%r%at %u o for4 %entral ,er,endi%ular ,e ,lan ,oate fitratat ,e a dous,re+e%ea ,arte )deoare%e e6istă &i si2etrie refle6i*ă ,entru fie%aretriunhi e%hilateral %are for2ea+ă he6aonul. ;or4a se 02,arte eal ,e %eledous,re+e%e +one

Pentru a ,utea a*ea a%%es la ase2enea artifi%ii ,rora2ul tre5uie s ,er2it ,unerea %ondi4iilor la li2ită 0n de,lasri ,e ori%e dire%4ie

Fig% +%18/ Si2etrie 8%i%li%ă Fig% +%19/ Si2etrie a6ială

Stru%turile a6ial si2etri%e )%u eo2etria o54inut ,rin rotirea unei fiuri ,lane 0n =urul unei a6e. 0n%r%ate si2etri% )nu nea,rat. de&i sunt s,a4iale se ,ot trata0n ,lan' %onfor2 %u ;i $3 ;or4a e%hi*alent ; re,re+int su2a for4elor distri5uite

,e 0ntreaa %ir%u2ferin4 sau su2a for4elor ,e ar%ul %ores,un+tor unui radian'

de,inde de ,rora2ul de lu%ru Condi4iile la li2it 0n de,lasri ,e dire%4ia G a,ardoar da% eo2etria stru%turii %on4ine a6a Pentru alte ti,uri de ,ro5le2e )%u2 ar fi anali+a ter2i% ,e stru%turi %u

si2etrie. %ondi4iile la li2it se ,un 2ai si2,lu

Fig% +%11/ Redu%erea ,ro5le2ei %u si2etrie eo2etri%a in doua ,ro5le2e ,arti%ulare%are se ,ot trata ,e =u2atate

3$

Cap% :% Ce!e trei fa7e a!e re7o!=4rii unui o3e! #u MEF

Yn ,rora2ele 2ari de fir2 se distin trei fa+e i2,ortante de re+ol*are aunei ,ro5le2e %u a=utorul E;' &i anu2e:

-,re,ro%esarea-,ro%esarea-,ost,ro%esarea

Prepro#esarea este eta,a de ,retire a datelor de intrare ,entru re+ol*areaunei ,ro5le2e )2odel al ,ro5le2ei. &i sal*area lor 0ntr-un fi&ier al datelor de intrare

,entru ,ro5le2ă ;i&ierul %u date ,oate fi editat dire%t da% se %unoa&te for2atule6a%t al fi&ierului %u datele ,ro5le2ei sau se editea+ 0ntr-un 2eniu al ,rora2uluide fir2

Eta,a de ,re,ro%esare %onst 0n introdu%erea datelor des,re 2ateriale' des,refor2a' ti,ul &i di2ensiunile ele2entelor finite folosite' datele des,re dis%reti+are)%oordonatele nodale &i %onfiura4ia ele2entelor.' date des,re 0n%r%ri &i 5lo%a=e)%ondi4ii la li2it. /is%reti+area' o,era4ia %ea 2ai la5orioas se ,oate fa%e automat

de ,ro%eduri s,e%iali+ate' %u o,4iuni s,e%ifi%ate de %ătre utili+ator' sau direct de %treuti+ator ,rin s,e%ifi%area tuturor %oordonatelor nodale &i a ele2entelor finite

<%easta eta,' a ,re,ro%esrii este de o5i%ei eta,a %ea 2ai difi%il &i %ea 2aila5orioas ? detaliere a %elor ,re+entate 2ai sus se ,re+int 0n %ontinuare

/ate ne%esare ,entru re+ol*area unui 2odel

1% Ti,ul anali+ei )stati%' dina2i%' ter2i%' sta5ilitate et%.8% /ate des,re 2ateriale ;un%4ie de ti,ul ,ro5le2ei se ,re%i+ea+ o serie de%onstante de 2aterial %u2 ar fi: 2odulul de elasti%itate lonitudinal )E.' sautrans*ersal )L.' %oefi%ientul %ontra%4iei trans*ersale )%oefi%ientul lui Poisson ν.'densitatea 2aterialului )ρ.' %oefi%ientul de dilatare ter2i% )α.' %ldura s,e%ifi%2asi% )%.' %ondu%ti*itatea 2aterialului )λ. et%9% /ate ,ro,rii ele2entelor folosite 0n dis%reti+are' %are de,ind de ti,ul ele2entuluifinit Yn %ateoria a%estor date intr:

-,entru 5are: aria se%4iunii trans*ersale )<.' 2o2entele de iner4ie eo2etri%ale se%4iunii )It' IJ' I+.' di2ensiunile se%4iunii ,entru %al%ulul tensiunilor' %oefi%ien4iide %ontri5u4ie a for4ei tietoare la deter2inarea de,lasrilor );iJ' ;i+.

-,entru ,l%i: rosi2ea ,l%ii )t.' ordinul de interare Lauss->eendre )INT.'&i alte 2ri2i de,endente de teoria ele2entului de ,la%

-,entru ele2ente s,a4iale: ordinul de interare &i e*entual al4i ,ara2etriide,enden4i de teoria de ele2ent+% /ate des,re dis%reti+area 2odelului:

3#

a Coordonatele nodale G' ' 5 /efinirea ele2entelor )2atri%ea de %one%ti*itate' 2aterialul ele2entului' &i

2ri2ile %are %ara%teri+ea+ ele2entul. Rea2inti2 % nodurile ele2entului senotea+ %u I' Q' F' >' ' N'' iar ordinea de de%larare a nodurilor unui ele2ent nueste 0nt12,ltoare' %u e6%e,4ia %1tor*a %a+uri )5are arti%ulate s,re e6e2,lu.

Yn ur2a dis%reti+rii re+ult %ara%teristi%ile enerale ale dis%reti+rii' %u2 arfi nu2rul total de noduri )NN. &i nu2rul total de ele2ente )NE.:% /ate des,re %ondi4ii la li2it <%estea de,ind de ti,ul ,ro5le2ei Pentru ,ro5le2ede anali+ stru%tural se ,ot ,une 0n e*iden4:

a /ate des,re re+e2ri )5lo%a=e sau rela4ii 0ntre radele de li5ertate. 5 /ate des,re 0n%r%ri )for4e' de,lasri i2,use nenule' te2,eraturi 0n

noduri sau ele2ente' ,resiuni et%.IMPORTANT <

Re+ol*area unor ,ro5le2e de E; ,resu,une re+ol*area unui siste2 dee%ua4ii ale5ri%e %are da% este sinular nu ,er2ite re+ol*area ,ro5le2ei Yn enerala%este situa4ii se 0nt1lnes% atun%i %1nd nu sunt a,li%ate sufi%iente %ondi4ii la li2it )0nrestri%4ii de de,lasare ,entru ,ro5le2e de anali+ stru%tural stati%.

Se ,oate arta % un 2odel %are ,er2ite 2i&%ări de solid riid )transla4ie saurotatie.' sau 2i&%ări de 2e%anis2' enerea+ o 2atri%e de riiditate sinular' %eea%e fa%e i2,osi5il re+ol*area ,ro5le2ei de defor2a4ie 0n anali+a stati%ă Qustifi%area

a%estei situa4ii se ,oate fa%e din ,un%t de *edere fi+i%: su5 0n%r%area %u for4esiste2ul se a%%elerea+ &i 2ate2ati%: 0ntru%1t un siste2 de e%ua4ii sinular nu aresolu4ie uni%

/a% 2odelul de %al%ul este 0n e%hili5ru su5 a%4iunea for4elor %are a%4ionea+asu,ra lui dar nu sunt ,re*+ute sufi%iente leturi %u e6teriorul )5lo%a=e.'utili+atorul tre5uie s inter*in %u %o2,letarea unor 5lo%a=e %are s 0nlture 2i&%areade %or, riid dar %are s nu 2odifi%e defini4ia ini4ial a ,ro5le2ei C1te*a e6e2,lede a%est en se ses% 0n %a,itolele de a,li%a4ii %are ur2ea+

Yn ulti2a *re2e ,re,ro%esoarele sunt 0n 2ăsură să ,reia o serie de date deintrare din ,rora2e C</ 0n %are 2odelele unor stru%turi au fost de=a definite

Pro#esarea %onst 0n re+ol*area efe%ti* ,e %ale nu2eri% a 2odelului ,ro5le2ei /atele de=a ,retite )0n ,re,ro%esor. sunt ,reluate din fi&ierul de date &i8rulate %onfor2 ti,ului de ,ro5le2 &i %erin4elor s,e%ifi%ate 0n ,re,ro%esor

Re+ultatele rulrii sunt sto%ate 0ntr-un fi&ier )sau 2ai 2ulte. 0n *ederea ,relu%rrii lor ulterioare nele ,rora2e %onsider fa+ă a ,ro%esrii &i introdu%erea%ondi4iilor la li2it <%east fa+ a ,ro%esrii este ,ra%ti% 8%reierul ,rora2ului'

,ro%edurile %ele 2ai %o2,le6e sunt 0n%or,orate 0n a%east +on

3

Ti2,ul de lu%ru efe%ti* de,inde de ti,ul %al%ulatorului' de felul %al%ulului &ide 2ri2ea ,ro5le2ei )nu2r de ele2ente' nu2r de noduri' nu2rul radelor deli5ertate al nodului. Relati* la ti2,ul ,etre%ut 0n fa+a de ,re,ro%esare' fa+a

,ro%esrii este s%urt )nu 0n toate %a+urile 0ns.

Eta,e enerale de %al%ul

1% Pentru fie%are ele2ent finit se %al%ulea+ 2atri%ele de riiditate' 2asă' a2orti+areet%8% Se asa25lea+ 2atri%ele ele2entelor 0n 2atri%ele lo5ale ale stru%turii ,re%u2 &i*e%torii li5eri 0n *e%torul li5er lo5al

9% Re+ol*area siste2ului lo5al ordinar de e%ua4ii &i o54inerea ne%unos%utelor nodale ,rin %onsiderarea %ondi4iilor la li2ită Yn %a+ul %el 2ai eneral ,entru anali+astru%tural' siste2ul de e%ua4ii este:

W;VWOVF MWOVLCMWOV:M r r r r r r r r =+++ ' )#.0n %are se2nifi%a4ia 2ări2ilor a%estei e%ua4ii 2atri%eale se ,re+intă 0n ,araraful8Nota4ii Yn eneral' ,entru un ,as de %al%ul' 2atri%ele [ ]r : ' [ ]r C ' [ ]r L ' [ ]r F &i

*e%torul r ; sunt %onstante+% ?54inerea 2ri2ilor de interes )ne%unos%ute ele2entale' de e6e2,lu. fun%4ie dere+ultatele o54inute la ,asul 3O6ser=aţii

i nele ,rora2e %are foloses% 2etoda frontal de re+ol*are a e%ua4iilor ,ro5le2ei' ,ar%ur ,a&ii ( &i 3 si2ultanii Pentru ,ro5le2e neliniare o ,arte a eta,elor de %al%ul se re,et de un

nu2r de ori

Postpro#esarea este fa+a de 8e6a2inare a re+ultatelor 0n for2ă ta5elar sau0n for2 rafi% <%east fa+ ,er2ite e*aluarea &i %o2entarea re+ultatelor;olosirea rafi%elor &i a re,re+entrii 0n %ulori a 2ri2ilor de interes si2,lifi%foarte 2ult 2un%a utili+atorului )0n tre%ut re+ultatele se ,re+entau su5 for2a unorliste. Ca,itolul ,re+int o serie de fa%ilit4i rafi%e foarte utile 0n ,ost,ro%esare

37

Cap% @% Noţiuni fun3aenta!e 3e grafi#4 pe #a!#u!ator

Eta,ele de ,re- &i ,ost ,ro%esare ,re+int desene ale stru%turii' dis%reti+area'nu2erotarea nodurilor &i a ele2entelor' rafi%e' distri5u4ii de 2ri2i de interes et%

Creatorul de ,rora2e tre5uie s foloseas% ,osi5ilita4ile rafi%e ale%al%ulatorului ,entru a u&ura 2un%a de *erifi%are a %ore%titudinii datelor introduse &i

,entru ur2rirea %u u&urin4 a re+ultatelortili+atorul de ,rora2e tre5uie s %unoas% se2nifi%a4ia rafi% &i

,osi5ilit4ile de %are dis,une ,entru a-&i u&ura 2un%a de ela5orare &i re+ol*are a uneianu2ite ,ro5le2e %u un ,rora2 de %al%ul %u ele2ente finite Yn %ontinuare se

,re+int o serie de ,ro%eduri &i fa%ilit4i rafi%e de+*oltate de autoriCu s,eran4a % re,rodu%erile unor 8%utii nere 0ntr-un 2od intuiti* folose&teultili+atorilor ,re%u2 &i %elor %are dores% să i2,le2ente+e ,rora2e %u ele2entefinite' 0n %ontinuare se ,re+int o serie de no4iuni si2,le de ale5r liniar &i rafi%ă

,e %al%ulator %a,a5ile s re,rodu% alorit2i 8interesan4i ,re+en4i 0n ,rora2ele2ari de fir2ă

Transforarea #oor3onate!or pentru 3esenare pe e#ran

Pentru a re,rodu%e o i2aine ,lană ),olionul <BC/E;L din ;i a.enerată 0n siste2ul lo5al da a6e G?' 0n fereastra enerată de ,un%tele si ( ale

e%ranului de 2onitor );i 5. se ,ot folosi rela4iile de transfor2are a%oordonatelor:

Fig% @%1/ Yn%adrarea unui desen 0ntr-o fereastră a e%ranului de 2onitor

3!

Gr C;F .GG)GG −+=

)a.r C; F .)G −−= )5.

0n %are:G;' ; - %oordonatele 0n fereastra de lu%ru )nu2ere naturale.GC K /G;(' C K /;( - %oordonatele %entrului ferestreiG' -%oordonatele unui ,un%t oare%are din siste2ul lo5al de a6eGr K)G2a6\G2in.( r K)2a6\2in.( -%oordonatele %entrului dre,tunhiului0n %are se 0ns%rie i2ainea ,lanăF G' F -fa%tori de s%alare a i2ainii/e o5i%ei F G ≠ F ' datorită fa,tului %ă ,i6elii sunt dre,tunhiulari' nu

,ătra4i ;a%torii de s%alare ,ot 2ări sau 2i%&ora i2ainea re,rodusă ,e e%ran' dar de

o5i%ei ei se ale ini4ial astfel in%1t sa re,rodu%ă interal i2ainea ,e e%ran /ee6e2,lu da%ă se dore&te re,rodu%erea i2ainii %u o re+er*ă de " ` se ,ot folosirela4iile:

=

=

R G

G

G;G

<F F

/

/9'"F

da%ă;

G;R

G

/

/<

/

/> )(a.

=

=

R G

;

<F F

/

/9'"F

da%ă;

G;R

G

/

/<

/

/≤ )(5.

unde:Pi6elH

Pi6elG<R = ' adi%ă ra,ortul di2ensiunii unui ,i6el ,entru 2odul %urent de

ini4iali+area al e%ranului

Efe#tu! 3e ărirei#2orare D7oo a! iaginii

odifi%1nd fa%torii de s%alare F G &i F i2ainea re,rodusă ,e e%ran se ,oaterela fun%4ie de dorin4ă ărirea i2ainii ,oate re,rodu%e ,ar4ial fiura' de,ă&indfereastra ini4ială de lu%ru da%ă interesea+ă +one din i2ainea re,rodusă ,e e%ran<2,lifi%1nd fa%torii de s%ală %u nu2ere su5unitare se o54ine 2i%&orarea i2ainii 0n

ti2, %e a2,lifi%area %u nu2ere su,raunitare 2are&te i2aineaărirea i2ainii %u " de e6e2,lu se ,oate fa%e %u rela4iile:F G K 'F G )3a.F K 'F )35.

i%&orarea i2ainii %u " se ,oate fa%e folosind rela4iile:F G K "'9F G )$a.F K "'9F )$5.

)ep!asarea iaginii pe e#ran Dpan

39

<&a %u2 au fost alese fun%4iile de transfor2are a %oordonatelor )*e+i rela4iile. este %lar %ă 2odifi%area %oordonatelor GC' C ,rodu%e de,lasări ale i2ainii ,ee%ran

Pentru de,lasări de " ,e ori+ontală se folose&te rela4ia:

G;CC /'"GG ±= ' #.0n %are se ia \ ,entru de,lasări s,re drea,ta &i - ,entru de,lasări s,re st1na

Pentru de,lasări de " ,e *erti%ală se folose&te rela4ia:

;CC /'" = ' ).0n %are se ia - ,entru de,lasări 0n sus &i \ ,entru de,lasări 0n =os

Repre7entarea e!eente!or

/e o5i%ei re,re+entarea fidelă a ele2entelor )0n %on%ordan4ă %u eo2etriareală a lor. este reoaie &i se re%ure la re,re+entări si2,lifi%ate' suesti*e <stfel se

,ot ,une 0n e*iden4ă re,re+entări ale ele2entelor fun%4ie de %lasifi%area lor du,ădi2ensiuni:

A Ele2ente unidi2ensionale )TRSS' BE<. - Se trasea+ă o linie 0ntre%oordonatele nodurilor de %a,ăt I si Q )*e+i ;i (a.O6ser=aţie/ da%ă ele2entul este ,ara5oli% )%u trei noduri' unul inter2ediar %aredefine&te 5ara %ur5ă' se *a trasa o ,or4iune de ,ara5olă sau un %er% 0ntre nodurile de%a,ăt %are tre%e ,rin nodul inter2ediar.

, Ele2ente 5idi2ensionale )CST' D</. - Se desenea+ă un ,olion 0n%his%u trei sau ,atru laturi )I Q F > din ;i (5. /a%ă ele2entul este ,ara5oli% se ,otfolosi re,re+entări %u laturi %ur5e' si2ilar ele2entelor unidi2ensionale ,ara5oli%e

Fig% @%8/ Re,re+entarea ele2entelor

C Ele2ente tridi2ensionale )BRICF. - Pentru ele2ente he6aedri%e sedesenea+ă &ase ,atrulatere %ores,un+ătoare %elor &ase fe4e sau ( linii%ores,un+ătoare %elor ( 2u%hii );i (%. Pentru ele2ente ,ara5oli%e se ,oatefolosi re,re+entarea %u linii %ur5e Re,re+entarea ele2entelor tetraedri%e sau

,entaedri%e se fa%e si2ilar

$"

Efe#tu! s;rinH 3e repre7entare a e!eente!or

? *i+ionare ra,idă a re,re+entării ele2entelor unei stru%turi nu ,oate ,une 0ne*iden4ă li,sa unor ele2ente sau de%lararea re&ită a lor Pentru 0nlaturarea a%estuinea=uns se ,oate re%ure la re,re+entarea 2i%&orată a ele2entelor )*e+i ;i 3.

Re,re+entarea redusă )2i%&orată a ele2entelor 0n ,lan se ,oate fa%e %urela4iile.:

−−=′−−=′

.)S

.GG)SGG

2F 2

2F 2 ' )7.

unde:SF ∈ )"'O- fa%tor de XshrinX

)redu%ere.G2 &i 2 -%oordonatele )fi6e.

ne2odifi%a5ile la %ontra%4ie' deo5i%ei %entrul de reutate alele2entului

(tru#turi "n spaţiu ' p!an 3e proie#ţie

? i2aine ,lană este 0n esen4ă re,rodu%erea ,roie%4iei o5ie%tului ,e un ,lan<stfel i2ainea din ;i a ),olionul ha&urat. este 8,roie%4ia 0n ,lanul G? a

unui %or, /in ,un%tul de *edere al unui o5ser*ator as,e%tul ,roie%4iei de,inde de ,o+i4ia o5ser*atorului 0n s,a4iu' de ,o+i4ia sursei de lu2ină' a ,lanului de ,roie%4ieet%

Este %lar %ă un %or, 0n s,a4iu la un 2o2ent dat nu ,oate fi 8*ă+ut de%1t ,ar4ial de %ătre un sinur o5ser*ator Pentru a ,utea a*ea a%%es la ,ăr4i ne*ă+ute aleo5ie%tului su,us aten4iei' 0ntre o5ie%t &i o5ser*ator tre5uie să e6iste o 2i&%arerelati*ă' astfel %ele 2ai si2,le două situa4ii sunt:

1 Po+i4ia o5ser*atorului este fi6ă 0n ti2, %e o5ie%tul se rote&te8 ?5ie%tul stă ,e lo%' dar o5ser*atorul 0&i s%hi25ă ,o+i4ia &i dire%4ia de

,ri*irePentru si2,lifi%area no4iunilor' 0n %ontinuare *o2 %onsidera ,o+i4ia

o5ser*atorului &i a sursei de lu2ină 0n a%ela&i ,un%t' la distan4ă foarte 2are )infinit.de o5ie%tul su,us aten4iei

Rota4ia a6elor o5ie%tului

Să ,resu,une2 situa4ia ini4ială ,re+entată 0n ;i $ %1nd ,o+i4iao5ser*atorului este la ∞→ ona a%%esi5ilă o5ser*a4iei este ,roie%4ia 0n ,lanul

Fig% @%9/ Re,re+entarea %u 8shrin

$



G? Po+i4ia o5ser*atorului fiind fi6ă' la rotirea a6elor )de %are este fi6at o5ie%tul.el *a X*edeaX ,roie%4ia o5ie%tului 0n ,lanul ini4ial G? Esen4ial ,entru %onstruireai2ainii la un 2o2ent dat este stă,1nirea %oordonatelor G si

Fig% @%+/ Proie%4ia ,e un ,lan al unui o5ie%t %are se rote&te

/a%ă notă2 %u TWGV ′′′ noile %oordonate ale unui ,un%t VG WT su,us

unei transfor2ări de rota4ie ℜ se o54ine:

ℜ=

′′′

G

G

)!.

atri%ele de transfor2are R G' R ' R %ores,un+ătoare rota4iei 0n =urul a6ei G%u unhiul α' 0n =urul a6ei %u unhiul β &i 0n =urul a6ei %u unhiul γ aue6,resiile:

−=

%ossin"

sin%os"

""

R G )9a.

−=

b%os"bsin

""

bsin"b%os

R )95.

$(

−=""

"c%oscsin"csinc%os

R )9%.

Tre5uie 2en4ionat %ă rota4ia nu este o o,era4ie #outati=ă &i ,entru a *edea0ntre %or,ul sunt sufi%iente 3ouă 3in #e!e trei transfor2ări de rota4ie

/a%ă interesea+ă ,o+i4ia %or,ului du,ă a,li%area su%%esi*ă a trei rota4ii 0n =urul a6elor G' &i ' 2atri%ea de transfor2are are e6,resia:

'

b%os%osb%ossinbsin

csinbsin%osc%ossincsinbsinsinc%os%oscsinb%os

c%osbsin%oscsinsinc%osbsinsincsin%osc%osb%os

R GH

−−−

−−−

= )".

unde: R GKR GR R

/e 2ulte ori ,entru a e*ita re%entrarea fiurii ,roie%tate' rota4iile se fa% 0n =urul a6elor GC' C' C %are tre% ,rin %entrul ,araleli,i,edului 0n %are se 0ns%rieo5ie%tul &i sunt ,aralele %u a6ele ini4iale G' ' /a%ă notă2 %u Gr ' r ' r

%oordonatele ,un%tului C 0n siste2ul de a6e ?G rela4iile de transfor2are ,rinrota4ie se 2odifi%ă astfel:

−−−

ℜ+

=

′′′

r

r

r

r

r

r

GG

G

G

).

(/ire%4ia de ,ri*ire a o5ie%tului

/a%ă o5ie%tul su,us aten4iei se află 0ntr-un siste2 de referin4ă fi6 ?G' ,o+i4ia o5ser*atorului )%a dire%4ie. se ,oate defini ,rintr-un *e%tor %e tre%e ,rinoriinea siste2ului de a6e )a'5'%.' %u2 se ,oate o5ser*a 0n ;i #

/istan4a o5ser*atorului fa4ă de o5ie%t fiind foarte 2are se ,oate %onsidera %a+ona o5ser*ată este ,roie%4ia ,e ,lanul nor2al dire%4iei de ,ri*ire ?G ′′ Pro5le2a%are ră21ne nere+ol*ată este ,o+i4ia de s,in 0n =urul dire%4iei de ,ri*ire' astfelo5ser*atorul are o infinitate de ,o+i4ii ale ,roie%4iei fun%4ie de unhiul de s,in /eo5i%ei a%est nea=uns se re+ol*ă ,rin %onsiderarea a %1tor*a ,o+i4ii ,arti%ulare de

,roie%tie a %elor trei a6e ,e e%ranul de ,roie%tie Se ,ot alee situa4iile de ,roie%4ie aa6ei ?G *erti%ală 0n sus sau *erti%ală 0n =os' si2ilar se ,ot alee a6ele ? sau ?'re+ult1nd 0n final &ase ,o+i4ii distin%te

/in ,un%t de *edere 2ate2ati% se ,une ,ro5le2a deter2inării 2atri%ei <)3× 3. %are fa%e leătura dintre %ele două siste2e de a6e ?G &i ?G ′ ′ ′ latre%erea de la o 5a+ă ortonor2ată Vi = W la o alta V ′ ′ ′i = W Noile %oordonate aleunui ,un%t V G ′′′ W se e6,ri2ă fun%4ie de %ele *e%hi ,rin rela4ia:

$3

Fig% @%:/ Proie%4ia o5ie%tului ,e un ,lan ,er,endi%ular dire%4iei de ,ri*ire

=

′′′

G

aaa

aaa

aaa

G

333(3

(3(((

3(

)(.

Pentru a deter2ina 2atri%ea M<O se ,un %ondi4iile:

-,lanul ?G ′′ este nor2al la *e%torul )a'5'%. al dire%4iei de ,ri*ire- G? ′′′ este siste2ul de a6e rotit fa4ă de siste2ul ?G-o a6ă ?G' ? sau ? se ,roie%tea+ă %a a6ă ? ′+ sau ? ′− Yn %ontinuare se ,re+intă dedu%erea 2atri%ei M<O ,entru %a+ul %1nd a6a ? se

,roie%tea+ă %a a6a ? ′ E%ua4ia ,lanului ?G ′′ nor2al la dire%4ia de ,ri*ire tre%e ,rin ?)"' "' ". &i

de%i e%ua4ia %are 0l des%rie este:"% 5aG =++ )3.

E6,resia *ersorului ′ este:

. % = 5ia)

r

++=′ ' )$.

0n %are ((( % 5ar ++=

Uersorul )a6a ?. &i [ )sau ′ . deter2ină un ,lan Planul deter2inat de si ′ are e%ua4ia:

"a 5G"

""

% 5a

G

=−⇔= )#.

$$

Interse%4ia ,lanelor deter2inate de rela4iile )3. si )#. dă o drea,tă ? ′de ,ara2etrii dire%tori:

%a"a

% 5l ⋅=

−= % 5

5"

a%2 ⋅== . 5a)

a 5

5an (( +−=

−= ).

/e%i' e6,resia *ersorului =′ )a6a ? ′ . este:

. . 5a) = 5%ia%)r

= ((

′++′−′−=′ ' )7.

unde: (((((

. 5a). 5%).a%)r +++=

Se2nul 2inus la %osinusurile dire%toare s-a ales ,entru a %onsidera a6a ? ′ 0n sus

Uersorul i′ re+ultă din %ondi4ia %a =′ &i ′ sunt ,er,endi%ulare ,e i′ de%i:

. =ai 5)r

r

r

%

r

5

r

a

r

5a

r

5%

r

a%

=i

=i

((

+−=+

−−=′×′=′ )!.

Yn final' 2atri%ea de transfor2are' 4in1nd %ont de rela4iile )!.' )7.')$. &i )(.' de*ine:

[ ]

+−−

−

=

r

%

r

5

r

a

r

5a

r

5%

r

a%

"r

ar

r

5r

<

((

)9.

Yn ta5elul se ,re+intă 2atri%ea de transfor2are ,entru %ele &ase %a+uri2ai sus 2en4ionate

$#

Ta6e!u! @%1Po+i4ia a6ei *erti%ale r' r atri%ea de transfor2are M<O

G sus((( % 5ar ++=

(((((

.% 5).a%).a5)r +++=

−−+

−

r

%

r

5

r

a

r

a%

r

a5

r

% 5

r

5r

r

%r "

((

G =os

((( % 5ar ++=

(((((

.% 5).a%).a5)r +++=

+−

−

r

%

r

5

r

a

r a%

r a5

r % 5

r

5r

r

%r "

((

sus((( % 5ar ++=

(((((

.%a). 5%).a5)r +++=

−+

−

−

r

%

r

5

r

a

r

5%

r

%a

r

a5

r

ar "

r

%r

((

=os((( % 5ar ++=

(((((

.%a). 5%).a5)r +++=

+−

−

r

%

r

5

r

a

r

5%

r

%a

r

a5r

ar "

r

%r

((

sus((( % 5ar ++=

(((((

. 5a). 5%).a%)r +++=

+−−

−

r

%

r

5

r

a

r

5a

r

%5

r

a%

"r

ar

r

5r

((

=os((( % 5ar ++=

(((((

. 5a). 5%).a%)r +++=

+−

−

r

%

r

5

r

a

r

5a

r

%5

r

a%

"r

ar

r

5r

((

$



Rela4iile din ta5el ,ot fi folosite ,entru *i+uali+area o5ie%tului din ori%e ,o+i4ie din s,a4iu dar nu 0ntotdeauna ,ot fi *ala5ile o,4iunile de ,o+i4ie a a6ei*erti%ale' s,re e6e2,lu da%ă dori2 să ,ri*i2 un o5ie%t %u ,ara2etrii dire%tori)"'"'.' adi%ă ,o+i4ia o5ser*atorului este la infinit ,e a6a ' nu se ,oate 0n a%ela&iti2, a se ,roie%ta a6a a siste2ului de %oordonate *erti%ală 0n sus sau 0n =os

entionă2 %ă ,ara2etrii dire%tori ase2enea )s,re e6e2,lu )'('3. &i()('$'.. ,rodu% a%ela&i efe%t

Transforarea 3e =e3ere "n perspe#ti=4

/a% se renun4 la i,ote+a % o5ser*atorul se afl la infinit fa4 de o5ie%tul

studiat &i se a%%e,t ideea % el ,ri*e&te de la o distan4 relati* 2i%' atun%i ,ute2 ,une 0n e*iden4 un unhi (θ )*e+i ;i . de ,roie%4ie %are d un efe%t s,e%ial de*edere 0n ,ers,e%ti*

θ

θ

Fig% @%@/ Proie%4ie ,entru *ederea 0n ,ers,e%ti*ă

Este e*ident %ă +onele 2ai a,ro,iate de o5ser*ator 8se *ăd 2ai 2ari fa4ă de%ele 2ai de,ărtate' de a%eea transfor2area fun%4iei de unhiul de ,ers,e%ti*ă (θ'

,oate fi 1ndită %a o transfor2are de ,ers,e%ti*ă ,ira2idală sau %oni%ă Yn

%ontinuare ne *o2 referi la transfor2area ,ira2idală' %are transfor2ă %oordonateleG′ &i ′ inde,endent de rela4ia dintre ele /a%ă se ,roie%tea+ă ,un%tul P ,e ,lanul

2in′ din rela4iile de ase2ănare ale triunhiurilor se o54ine:

′′−

−=′

P

P

2in2in

S?

S? )(".

Rela4ia )(". se 2odifi%ă da%ă se 0nlo%uie&te S? %onfor2 %u nota4iile din fi :

$7



′−′+′+=′

″=

P2a6P

PP

ddi2d

F ' )(.

unde d

t=

′di2

( θ

Se ,oate s%rie de%i:

′=′′′=′′

HF H

GF G

P

P' )((.

0n %areC

CF

(

P ′−

= ' ) F P ≥ . este un fa%tor de ,ers,e%ti*ă iar C' C( - %onstante

;a%torul de ,ers,e%ti*ă tre5uie rea%tuali+at la fie%are transfor2are )((.0ntru%1t de,inde de %oordonata ′

A!gorit pentru 3esenarea u#;ii!or 2i feţe!or !i6ere

n do2eniu ,lan dis%reti+at %u ele2ente finite triunhiulare sau&i ,atrulatere %o2,li%ă re,re+entarea rafi%ă' da%ă se dore&te doar re,re+entarea%onturului do2eniului se ,oate re%ure la o ,ro%edură foarte si2,lă r2ărind ;i7 se ,oate trae %on%lu+ia %ă da%ă o latură a,ar4ine la două ele2ente atun%i ea nuse desenea+ă

Pro%edura ,oate fi enerali+ată ,entrudesenarea fe4elor unui %or, s,a4ialdis%reti+at 0n ele2ente de *olu2 )5ri%-uri sau tetraedre %u2 se ,oate o5ser*a 0n;i !a. dar se desenea+ă &i fe4ele %arenu se *ăd )*e+i ;i !5.' ,entru a0nlătura a%est i2,edi2ent alorit2ultre5uie %o25inat %u un alorit2 deas%undere a liniilor

A!gorit 3e as#un3ere a !inii!or

Stru%turile dis%reti+ate desenate %o2,let )toate ele2entele. %o2,li%ă foarte2ult desenul da%ă ele2entele finite sunt de ti, SHE>> sau BRICF' *e+i ;i !aPentru a distine ,ar4i din stru%tura desenată se re%ure la desenarea liniilor %are se*ăd din re4eaua dis%reti+ării sau ,ur &i si2,lu se desenea+ă ele2entele %are se *ăd);i !%.

;i 7: Eli2inarea liniilor interioare

$!

Fig% @%./ Re,re+entarea dis%reti+ării solidelor

<lorit2ii de as%undere a liniilor sunt foarte %o2,li%a4i dar 0n E; sefoloses% alorit2i si2,lifi%a4i %are ,entru stru%turi dis%reti+ate %ore%t nu dau rateuriSe %onsideră un ele2ent de *olu2

)5ri%. 0ntr-o ,o+i4ie oare%are 0n s,a4iu)*e+i ;i 9. Yn ,o+i4ia desenată trei fe4esunt *i+i5ile &i trei fe4e sunt as%unse Pentrua desena doar fe4ele *i+i5ile se a,elea+ă laur2ătoarea o5ser*a4ie: ,entru %a o fa4ă săfie *i+i5ilă tre5uie %a ,roie%4ia *ersoruluinor2alei la su,rafa4a fe4ei ,e dire%4ia de

,ri*ire să fie ,o+iti*ă Pot a,are ,ro5le2e

da%ă %ele ,atru noduri ale unei fe4e nu sunt%o,lanare' dar se ,oate re%ure la o 2edierea nor2alei Yn eneral %ondi4iile de ,re%i+iea ele2entului 5ri% i2,une e6isten4a unor

a5ateri 2i%i de la ,laneitatea fe4elor /a%ă s,re e6e2,lu se dore&te *erifi%area*i+i5ilită4ii fe4ei I Q F >' ne li2ită2 la *erifi%area *i+i5ilită4ii ,lanului deter2inat deI Q F &i e*entual se *erifi%ă %o,lanaritatea nodului > %u ,lanul deter2inat denodurile I Q F Cu %ele trei noduri se ,ot %onstrui doi *e%tori 0ntre IQ &i QF Nor2ala%o2ună la %ei doi *e%tori este ,rodusul *e%torial al %elor doi *e%tori Tre5uie2en4ionat %ă 0n2ul4irea *e%torială nu este %o2utati*ă &i *e%torii IQ &i QF tre5uie ale&i0n %on%ordan4ă %u nu2erotarea ele2entului 5ri% Yn2ul4irea *e%torială se *a fa%e 0nsiste2ul de %oordonate G? ′′′ al ,roie%4iei ,e ,lanul nor2al dire%4iei de ,ri*ireConfor2 reulii de 02ul4ire *e%torială se o54ine:

′−′′−′′−′

′−′′−′′−′′′′

=

IF QF QF

IQIQIQIQF

GG

GG

=i

n )(3.

Fig% @%B/ Uerifi%area fe4elor *i+i5ile

$9



Proie%4ia nor2alei la dire%4ia de ,ri*ire este ,rodusul s%alar 0ntre nIQF &i ′ 'adi%ă:

..)GG)..)GG). 'n) IQQF QF IQIQF

′−′′−′−′−′′−′=′ )($.

/in studiul se2nului ,rodusului s%alar dat de rela4ia )($. se ,oate dedu%e da%ă fa4adeter2inată de nodurile I Q F este *i+i5ilă sau nu

Yn %on%lu+ie' o stru%tură for2ată din 2ai 2ulte fe4e li5ere )su,rafe4ee6terioare. ,oate fi desenată %u liniile %are nu se *ăd as%unse da%ă:

-ordinea de desenare a fe4elor este 8din s,ate %ătre 0n fa4ă' adi%ă nu 0nordinea nu2erotării ele2entelor %i 0n ordinea %res%ătoare a %otei ′ %ores,un+ătoare%entrelor ele2entelor sau fe4elor su,rafe4elor li5ere

-fe4ele se desenea+ă ,line' adi%ă nu se *ede ,rin fa4ă-,entru ele2entele de *olu2 se desenea+ă doar fe4ele %are se *ăd

Repre7entarea 3istri6uţii!or unor ării pe suprafeţe!e e!eente!or

;ie 2odelul dis%reti+at al unei stru%turi ,lane %el din ;i "a Yn ur2are+ol*ării ,ro5le2ei se o54in ne%unos%utele nodale &i 2ări2ile de interes 0n nodurileele2entelor' să %onsideră2 ,entru a%est e6e2,lu tensiunile ,rin%i,ale 0n nodurile2odelului dis%reti+at

a 5Fig% @%10/ /istri5u4ie ,e 2odel

Este destul de la5orios să e6a2ină2 o listă a *alorilor 0n toate nodurilor &ia,oi să trae2 o %on%lu+ie Pentru a e*ita a%eastă 2un%ă de ur2ărire a re+ultatelorde 2ulte ori se re%ure la ,re+entarea re+ultatelor su5 for2a unor re,re+entărirafi%e' to,oloi%e )%ur5e' su,rafe4e de ni*el %onstant. diferit %olorate )sau ha&urate.'a&a %u2 se ,oate ur2ări 0n ;i "5

#"

<,are ,ro5le2a ha&urării unui ,atrulater ),olion. %u un nu2ăr de ha&uridiferite re+ultat din *alorile lo5ale ale su,rafe4ei &i *alorile nodale ale ,atrulaterului0n i,ote+a %ă 0ntreaa su,rafa4ă %onstă0n re,re+entarea a Nh ha&uri diferite

Fig% @%11/ Re,re+entarea unei distri5u4ii ,e un ele2ent ,atrulater

E?ep!u Patrulaterul din ;i a are *alorile nodale eale %u: U I K # UQ K (UF K U> K ! Stiind %ă ,atrulaterul fa%e ,arte dintr-o stru%tură 0n %are *alorilenodale li2ită sunt U2in K " U2a6 K (" &i re,re+entarea este %u Nh K " ha&uridiferite 0n ;i 5 se ,re+intă ha&urile ,e ,atrulater Ha&urile diferite au ,asul

( N

UU

h

2in2a6 =− %a ur2are' da%ă se ,resu,une *aria4ia 2ări2ilor liniară ,e ele2ent

&i da%ă deli2itarea +onelor se fa%e doar ,rin de,istarea ,un%telor de tre%ere de la o+onă la alta de ,e laturile ele2entului' tre5uie să se o54ină disti5u4ia de 2ai sus

<lorit2ul %are ,oate reali+a ha&urarea )%olorarea. unui ,olion ),atrulatersau triunhi. 0n %on%ordan4ă %u ,ro5le2a e6,usă 2ai sus ,oate fi re+u2at 0n:

-,entru fie%are inter*al %are %ores,unde unui ti, de ha&ura )din %ele N h. 8se 5aleia+ă laturile ,olionului re4in1ndu-se ,un%tele %are deli2itea+ă +onele deha&ură de ,e fie%are latură )se in%lud &i *1rfurile ,atrulaterului da%ă e %a+ul. %u

,un%tele re4inute' )da%ă e6istă. se trasea+ă un ,olion ha&urat %ores,un+ător ti,ului

de ha&ură %ăutatCu 2i%i 2odifi%ări alorit2ul de 2ai sus ,oate fi ada,tat &i la trasarea%ur5elor de ni*el %onstant <stfel' da%ă se re*ene la e6e2,lul anterior' %ur5e de ni*el%onstant ar ,utea fi %ele de (' $' ' !''(" )*e+i ;i (a. Re,re+entarea unor2ări2i de ni*el %onstant ,entru e6e2,lul din ;i "a %u 2ar%area *alorilor este

,re+entată 0n ;i (5 /e reulă re,re+entarea %ur5elor de ni*el %onstant se fa%e%u linii diferit %olorate

#

a 5Fig% @%18/ Re,re+entarea %u linii )%ur5e. de ni*el %onstant

<lorit2ul ,entru trasarea %ur5elor de ni*el %onstant ,oate fi re+u2at 0n:-,entru fie%are ni*el %onstant se 5aleia+ă laturile ,olionului re4in1ndu-se

,un%tele %ores,un+ătoare de ,e fie%are latură %u ,un%tele re4inute' )da%ă e6istă. setrasea+ă un ,olion %ores,un+ător ni*elului %ăutat

Repre7entarea #on=enţiona!ă a tensiuni!or prin#ipa!e

? altă ,osi5ilitate de re,re+entare a2ări2ilor *e%toriale' de o5i%ei a tensiunilor ,rin%i,ale 0n %entrul ele2entelor finite estere,re+entarea %u săe4i Ualorile ,o+iti*e sere,re+intă %u sensul săe4ilor s,re e6terioriar *alorile neati*e %u sensul săe4ilor s,reinteriorul ,un%tului de re,re+entare/ire%4iile săe4ilor %ores,und dire%4iilor

,rin%i,ale ale tensiunilorYn ;i 3 se ,re+intă re,re+entarea

la s%ară a tensiunilor ,rin%i,ale 0n %entrul

ele2entelor ,atrulatere ,lane unde tensiunile ,rin%i,ale nenule sunt două )0n s,a4iu e6istătrei tensiuni ,rin%i,ale.

Pro%edura de re,re+entare %u săe4i)du5le sau si2,le. este relati* si2,lă &i ,oate fi u&or re,rodusă de %ătre %ei interesa4i

,rin folosirea ele2entelor rafi%e linii &i s%alarea %ores,un+ătoare a 2ări2ilorsae4ilor

Fig% @%19/ Re,re+entare %u săe4i atensiunilor ,rin%i,ale

#(



Trasarea 3eforatei

;oarte utilă %a ,ri2a *erifi%are du,ă re+ol*area unei ,ro5le2e %u E; astru%turilor de re+isten4ă este desenarea stru%turii defor2ate 0n ur2a 0n%ăr%ărilor /eo5i%ei ,entru %al%ule reale defor2ata %oin%ide ,ra%ti% %u stru%tura nedefor2ată %aur2are a de,lasărilor foarte 2i%i ale stru%turii

Pentru *i+uali+area stru%turii defor2ate )de 2ulte ori su,ra,usă ,estestru%tura nedefor2ată. se i2,une re,re+entarea defor2atei la s%ara 2arită ade,lasărilor /a%ă %oordonatele ini4iale ale nodurilor sunt G i' i' i' iar de,lasărilenodale sunt u' *' [ atun%i %oordonatele stru%turii defor2ate sunt:

+=+=+=

[F

*F uF GG

/if

/if

/if

' )(#.

unde: Gf ' f ' f sunt %oordonatele defor2atei 0n siste2ul lo5al de a6e' iar F / estefa%torul de s%ală al de,lasărilor

/e o5i%ei F / se alee astfel 0n%1t defor2ata)de,lasarea 2a6i2ă a stru%turii re,re+entate. săre,re+inte o fra%4iune )"-(" `. dindi2ensiunea 2a6i2ă a stru%turii Ca e6e2,lu se

,oate ur2ări ;i $ unde s-a ales un fa%tor de

s%ală de " ` din di2ensiunea 2a6i2ă astru%turii' 0n %a+ul de fa4ă >

/a%ă se notea+ă %u a6L di2ensiunea 2a6i2ă a stru%turii &i %u a6/de,lasarea 2a6i2ă re+ultată din %al%ul' F / de deter2ina %u rela4ia:

:a6/

:a6L'"F / = )(#.

Tre5uie 2en4ionat %ă anu2ite ele2ente finite )de o5i%ei rin+i &i ,lă%i. au &irade de li5ertate rotiri alături de transla4ii astfel %ă ,entru a re,re+enta %ore%tdefor2ata ar tre5ui să se 4ină sea2a &i de rotirile %al%ulate Introdu%erea rotirilor 0ntrasarea defor2atei %o2,li%ă ,ro%edurile de s%alare a fa%torului F / ,re%u2 &i

,ro%edurile de desenare a ele2entelor defor2ate &i de o5i%ei se renun4ă la%onsiderarea lor

/in ,un%t de *edere rafi% re,re+entarea defor2atei fără %onsiderarearotirilor este satisfă%ătoare da%ă nu2ărul ele2entelor finite este relati* 2are )%el

,utin $-# ele2ente de-a lunul unei 5are sau $-# ele2ente shell ,e fie%are din %eledouă di2ensiuni ale su,rafe4ei.

Fig% @%1+/ Trasarea defor2atei

#3

Aniaţia iagini!or

Pentru *i+uali+area unor feno2ene %a 2oduri ,ro,rii de *i5ra4ie' e*olu4iadefor2ării 0n ti2,' 2odifi%area stărilor de tensiune su5 0n%ăr%are ,roresi*ă &i alteleeste utilă re,re+entarea se%*en4ială 0n ti2, a unor ,o+i4ii sau distri5u4ii <%este

,ro%eduri se reali+ea+ă ,rin re,re+entarea su%%esi*ă a desenelor &i o s%urtă ,au+ăUite+a de ani2a4ie de,inde de ,uterea %al%ulatorului &i %o2,le6itatea

i2ainii de desenat /a%ă se%*en4a de ani2a4ie este ,eriodi%ă' tehni%a de ani2a4ie se ,oate si2,lifi%a ,rin desenarea &i sto%area )0n 2e2orie sau ,e hard. a i2ainilor %e%o2,un ani2a4ia re1n%ăr%area i2ainilor ata %onstruite fiind 2ai ra,idă de%1tre,rodu%erea lor

i7ua!i7area nuerotării no3uri!or 2i a e!eente!or

Pentru lo%ali+area unor noduri sau ele2ente sau da%ă dis%reti+area uneistru%turi este re&ită &i se dore&te identifi%area ele2entelor &i a nodurilor este foarteutilă o ,ro%edură de notare a nu2ărului nodurilor &i ele2entelor /e o5i%ei nu2ărulnodului se a,li%ă 0n i2ediata *e%inătate a lui iar nu2ărul ele2entului se fiurea+ă 0n%entrul ele2entului finit

Fig% @%1:/ Nu2erotare &i %ondi4ii la li2ită

Yn ;i # se ,oate ur2ări nu2erotarea nodurilor &i a ele2entelor' de undese ,oate trae %on%lu+ia %ă nodul 7 are %oordonatele re&ite iar ele2entul estede%larat re&it

Pro%edurile de re,re+entare a nu2erotării sunt foarte si2,le' ne%esit1nd%uno&tin4e de s%riere 0n 2od rafi%

#$



i7ua!i7area #on3iţii!or !a !iită

/e%lararea %ore%tă a %ondi4iilor la li2ită ,entru o ,ro5le2ă este esen4ială ,entru o54inerea unor re+ultate %ore%te' din a%est 2oti* &i a%este %ondi4ii se ,ot*i+uali+a 0n ,rora2ele %u ele2ente finite Yn ;i # se ,oate ur2ării 5lo%areanodurilor ' ( si 3' ,re%u2 &i for4ele de 0n%ăr%are %are a%4ionea+ă 0n nodurile &i (de *aloare """

##

Cap% % (istee 3e 6are arti#u!ate%A% (istee p!ane 3e 6are arti#u!ate

A% Cara%teristi%i ,rin%i,ale ale ele2entului 5ar arti%ulat ,lan );i 7.:

β

Fig% %1/ Ele2entul 5ară arti%ulată 0n ,lan

este enerat de dou noduri I &i Q( are dou rade de li5ertate ,e nod )L>N K (.' transla4ii G &i )G' .3 este 5ară drea,tă' 0n%ăr%ată a6ial la %a,ete )nu ,oate ,relua 0n%o*oiere.' %u

,ro,rietă4i unifor2e de la un %a,ăt la %elălalt$ ele2entul ,oate fi folosit ,entru a 2odela 5ara arti%ulată ,lană' ar% 0n ,lan

et%' )fun%4ie de a,li%a4ie.

# 2atri%ea de riiditate 0n %oordonate lo5ale este:

−−−−

−−−−

=

((

((

((

((

e

2l22l2

l2ll2l

2l22l2

l2ll2l

>

E<OF M ' )7.

0n %are: l K %osβ 2 K sinβ u+ual ele2entul este denu2it TRSS' R?/ sau >INF

,% /ate leate de ele2ent

aria trans*ersală a se%4iunii 5arei - <C% /ate des,re 2aterialul ele2entului

2odulul de elasti%itate lonitudinal - E)(. %oefi%ientul de dilatare ter2i%ă - α)3. densitatea 2aterialului - ρ)$. a%%elera4ia ra*ita4ională - sau reutatea s,e%ifi%ă - γ K ρ

#

)% /ate des,re 0n%ăr%ări 5lo%a=e 0n dire%4ia G-BG &i 0n dire%4ia -B( for4e la noduri 0n dire%4ia G-;G &i -;)3. de,lasări i2,use ,e ori%e dire%4ie)$. te2,eraturi 0n noduri sau 0n ele2ente)#. for4e de iner4ie enerate de %12,ul ra*ita4ional ),entru %are sunt

ne%esare %a date de intrare ρ' dire%4ia &i sensul ra*ita4iei.' sau enerată de2i&%area de rota4ie unifor2ă ),entru %are tre5uie ,re%i+ate a6a de rota4ie &i *ite+aunhiularăω.

E% Re+ultatele re+ol*ării

de,lasările nodale - G' ( eforturile &i tensiunile 0n 5are: N' SIL<)3. rea%4iunile din leăturile %u e6teriorul

F% Stru%tura fi&ierului %u date de intrare /ate enerale

NN NE( /ate des,re noduri

NI BG B G 3 /ate des,re ele2ente

EI I Q < E$ /ate des,re 0n%ăr%ări %u for4e

N; NI; ;G ;

G% Prora2ul de lu%ru<RTP>EGE

<%est ,rora2 a fost %on%e,ut astfel 0n%1t lu%rea+ă %u no4iunile )datele. de la ,un%tele ,'E %are nu sunt in%luse 0ntre ,arante+e Prora2ul este de fa,t

i2,le2entarea 2etodei de,lasărilor )2etoda de %al%ul e6a%tă. ,entru siste2e de 5are arti%ulate 0n ,lan

J% S%he2a loi%ă a ,rora2ului se ,re+intă 0n ;i 7( Siste2ul de e%ua4ii %are sere+ol*ă este sto%at 0n 2e2oria R< a %al%ulatorului su5 for2ă de 2atri%e 5andă/i2ensiunea 2a6i2ă a ,ro5le2elor %e ,ot fi re+ol*ate re+ultă din nu2ărulne%unos%utelor &i lă4i2ea de 5andă Pentru a re+ol*a ,ro5le2e de di2ensiuni 2ari sei2,une re%onsiderarea estionării resurselor hard )2e2oria e6tinsă.

#7

Fig% %8/ S%he2a loi%ă a ,rora2ului <RTP>EGE

Ap!i#aţii

ARTP1% n siste2 de sus4inere )*e+i ;i 73. este for2at dintr-o s1r2ă deo4el de dia2etru φ &i o 5aretă de ,lasti% de se%4iune dre,tunhiulară (" × # M22Oarti%ulată 0n ,un%tul < Ştiind %ă siste2ul sus4ine o for4ă *erti%ală de N' 2odulul

#!

de elasti%itate al o4elului este E?>K("# Pa iar al ,lasti%ului E ,lasti%K"$ Pa' se%ere de,lasarea ,un%tului B &i tensiunile din 2ateriale

Re+ol*are

/eoare%e leăturile din B &i C ,otfi %onsiderate arti%ula4ii )s1r2a nu ,reia0n%o*oiere de%1t da%ă este foarte roasă.

,ute2 0n%adra ,ro5le2a 0n %ateoria 5arelor arti%ulate ,lane

Se alee siste2ul lo5al de a6e %u

oriinea 0n ,un%tul <' unită4ile de 2ăsurăfolosite se ale M22O ,entru di2ensiuniMNO ,entru for4e &i re+ultă M22(O ,entruarie' MPaO ,entru tensiuni

;i&ierul %u date de intrare art,%onstruit intera%ti* este:

3 ( """""""""""E\"" """""""""""E\"" ( """""""""""E\"" 3#"""""""""E\"( 3 " " #""""""""""E\"( 3#"""""""""E\"(

( 3 (!("""""""E\" (""""""""""E\"# ( 3 3""""""""""E\"( """"""""""E\"$ 3 """""""""""E\"" -""""""""""E\"3

Atenţie< ;i&ierul nu tre5uie să %on4ină linii oale ni%i la 0n%e,utul fi&ierului ni%i 0ntredatele inter2ediare Pentru se,ararea datelor 0n %adrul liniei se folose&te %el ,u4in uns,a4iu )5lan%.

/is%reti+area se ,oate ur2ări 0n ;i 7$ )i2aine re,rodusă de ,e e%ran.

Fig% %+/ /is%reti+are <RTP Fig% %:/ /efor2ata <RTP

Fig% %9/ Pro5le2a <RTP

#9

Rul1nd ,rora2ul se o54ine listinul:

N?/ BG B G

"""""""""""E\"" """""""""""E\"" ( """""""""""E\"" 3#"""""""""E\"( 3 " " #""""""""""E\"( 3#"""""""""E\"(

E>E I Q < E

( 3 (!("""""""E\" (""""""""""E\"#

( 3 3""""""""""E\"( """"""""""E\"$ N?/ ;G ;

"""""""""""E\"" """""""""""E\"" ( """""""""""E\"" """""""""""E\"" 3 """""""""""E\"" -""""""""""E\"3

N<R /E EC<TII NECK (SEIB<N/< <TRICII /E RILI/IT<TE >BK (

/EP><S<RI N?/<>E

N?/ G

"""""""""""E\"" """""""""""E\"" ( """""""""""E\"" """""""""""E\"" 3 (377#$9E -" -7997"!7$E -"

E;?RTRI SI TENSINI IN E>EENTE

E>E N SIL<

$(!#7$(!E\"3 #"##""#9#E\" ( -7$3793#9$E\"3 -#!($##33E\""

Inter,retarea re+ultatelor

"

Re+ultatele se ,ot %iti din listă' nodul B este nodul nu2ărul 3' de%ide,lasarea lui este "'( 22 ,e ori+ontală s,re drea,ta &i "'799 22 ,e *erti%ală 0nsus )in*ers sensului a6ei 0ntru%1t *aloarea este neati*ă. Tensiunea din 5ara deo4el' )ele2entul nu2ărul . este 0ntindere de *aloare #"'## Pa iar 0n 5ara de ,lasti%)ele2entul nu2arul (. este de %o2,resiune %u #'! Pa Ualorile o54inute ,entrude,lasare sunt foarte 2i%i' %eea %e =ustifi%ă %al%ulul liniar Tensiunile o54inute sunta%%e,ta5ile /efor2ata stru%turii se ,re+intă 0n ;i 7#

;a+a de inter,retare a re+ultatelor este i2,ortantă ,entru o ,ri2ă %onfir2area re+ultatelor Pentru a,li%a4iile %are ur2ea+ă a%eastă fa+ă %ade 0n ri=a %elui %arere+ol*ă ,ro5le2ele

ARTP8% Pentru siste2ul de 5are arti%ulate din ;i 7 se %ere să sedeter2ine for4a %a,a5ilă ;%a, &i de,lasarea ei &tiind %ă 5arele sunt din o4el %uEK('"# Pa <K"" 22( aK"' 2 σa K #" Pa )tensiunea ad2isi5ilă.

Fig% %@/ Pro5le2a <RTP( Fig% %/ /is%reti+are <RTP(

Re+ol*areSe o5ser*ă %a ,ro5le2a ,re+intă si2etrie eo2etri%ă &i de 0n%ăr%are )0ntru%1t

rea%4iunile *erti%ale din C &i / sunt eale iar rea%4iunea ori+ontală din rea+e2ul Ceste nulă.' de%i ,ute2 ado,ta re+ol*area unui 2odel ,e =u2ătate din stru%tură ;or4a; se 02,arte eal ,e %ele două =u2ătă4i' %a &i aria 5arei din a6a de si2etrie Stiind %ă

rela4ia dintre tensiune &i efort este liniară )<

N = .' &i eforturile din 5are sunt fun%4ie

de ;' se ado,tă ini4ial o *aloare oare%are ,entru ; )s,re e6e2,lu ;K N. &i din

tensiunile 2a6i2e %ores,un+ătoare a%estei for4e se ,oate deter2ina for4a %a,a5ilăfun%4ie de tensiunea ad2isi5ilă

/is%reti+area %u %ondi4iile la li2ită se ,oate ur2ări 0n ;i 77 )sau ,ee%ranul 2onitorului da%ă se rulea+a fi&ierul art,(.

;i&ierul %u datele de intrare este:3 3 " """ "" ( " """ (""

3 " ("" """ ( "" (E# ( ( 3 "" (E# 3 3 "" (E# """ -"#"

Re+ultatele rulării sunt:

/EP><S<RI N?/<>E

N?/ G """""""""""E\"" -9""!$!77E-"# ( """""""""""E\"" -!#(##$"$E-"# 3 #!39(!(#E -"# """""""""""E\""

E;?RTRI &i TENSINI IN E>EENTE

E>E N SIL<

""""""""""E\"" """"""""""E-"(

( -$$(3#($E\"" -$$(3#($E-"( 3 !"339!!!E\"" !"339!!!E-"(

Tensiunea 2a6i2ă )0n *aloare a5solută. se atine 0n 5ara ( &i este(

;2a6 "$$(' −= ⋅= Pa /a%ă for4a %re&te tensiunea 2a6i2ă 0n a%eastă 5ară

,oate atine σa' de%i for4a %a,a5ilă ,oate %re&te de;2a6

a

= ori' de%i ;%a,K

("$$('

#"−⋅

K""7 N

/e,lasarea ,e *erti%ală a nodului este -9'""!$" -# ,entru ;K' ,entru;%a, de,lasarea *a fi ).⋅;%a,K -"'9#$ 22 ,e *erti%ală &i G)3.⋅;%a,K "'! 22 ,eori+ontalăTEMK/ Trata4i ,ro5le2a fără a 4ine sea2a de si2etrie ,entru a *erifi%a re+ultatelede 2ai sus

(

ARTP9% n %adru dre,tunhiular %udiaonale for2at din 5are arti%ulate estesoli%itat %a 0n fiura 7! Ştiind %ă 5arele suntdin o4el %u EK('"# Pa' &i toate au arie<K("" 22( aK"'# 2 σaK"" Pa &i ;K3N' se %ere să se fa%ă *erifi%area soli%itării 0n

5are &i să se deter2ine de,lasarea relati*ă0ntre ,un%tele < &i C

Re+ol*are

<&a %u2 este dată ,ro5le2a de&i 0n e%hili5ru' stru%tura are 82i&%are de solidriid &i nu ,oate fi re+o*ată de%1t da%ă se i2,un de,lasări )de o5i%ei 5lo%a=e. unornoduri ale 2odelului Yn ,lan nu2ărul radelor de li5ertate 2e%ani%ă sunt trei )douătransla4ii &i o rota4ie.' ,rin ur2are se i2,une 5lo%area a 2ini2 trei rade de li5ertatedin 2odel astfel 0n%1t să nu se 2odifi%e ,ro5le2a ini4ială nele 2odele ,ot arăta %a0n ;i 79

Fig% %B/ odele ,entru ,ro5le2a <RTP3

odelele a' 5' % introdu% trei 5lo%a=e %are asiură 0nlăturarea 2i&%ării desolid riid' 2odifi%area a,arentă a 0n%ăr%ărilor 5' % nu 2odifi%ă ,ro5le2a 0ntru%1t%al%ul1nd rea%4iunile din rea+e2e' a%estea sunt eale %u for4ele din 0n%ăr%areodelul d' de&i are trei 5lo%a=e %ondu%e la 2atri%e de riiditate sinulară 0ntru%1t

,oate a*ea 2i&%are de rota4ie 0n =urul ,un%tului / )*e+i ;i 7!. odelul e 2odifi%ă ,ro5le2a 0ntru%1t i2,iedi%ă de,lasarea relati*ă 0ntre < &i C odelul f 2odifi%ă ,ro5le2a ,rin introdu%erea de ele2ente su,li2entare' dar da%ă riidită4ile a%estorele2ente' sunt neli=a5ile fa4ă de %ele ale 5arelor reale atun%i se ,oate o54ine un

Fig% %./ Pro5le2a <RTP3

3

re+ultat foarte a,roa,e de %el real <%easta 2etodă )8a riidită4ilor adi4ionale. ,oatefi folosită &i ,entru 0nlăturarea 2i&%ării de 2e%anis2 Pentru ,ro5le2a de 2ai sussunt sufi%iente trei sau %hiar două 5are 0n lo%ul %elor ,atru din %ol4uri neori2odifi%area riidită4ilor ,oate du%e la o54inerea de re+ultate false' deoare%e 2atri%eade riiditate re+ultă sla5 %ondi4ionată

E ,osi5il %a ,rora2ul să rule+e &i fără %ondi4ii la li2ită 0n de,lasări &iuneori se ,ot o54ine re+ultate a%%e,ta5ile datorită fa,tului %a ,ro%edura de re+ol*arefolosită 0n ,rora2 )Lauss.' nu fa%e toate *erifi%ările ne%esare re+ol*ării %ore%te aunui siste2 de e%ua4ii

/a%ă se ado,tă ,entru re+ol*are 2odelul din ;i 79f' ale1nd ,entru2odulul de elasti%itate al ele2entelor su,li2entare *aloarea E K Pa' iar ,entru

arie se ,ăstrea+ă <K("" 22(

)se ,ot 2odifi%a E &i < 0n sensul s%ăderii *alorilor &i >0n sensul %re&terii.' %u dis%reti+area din ;i 7" fi&ierul datelor de intrare este:

! " " " """E\"" """E\"" ( " " ""E\"3 """E\"" 3 " " ""E\"3 #""E\"( $ " " """E\"" #""E\"( # -(#"E\"( -(#"E\"( (#E\"3 -(#"E\"( 7 (#E\"3 7#"E\"(

! -(#"E\"( 7#"E\"( ( (""E\"( ("E\"# ( ( 3 (""E\"( ("E\"# 3 3 $ (""E\"( ("E\"# $ $ (""E\"( ("E\"# # 3 (""E\"( ("E\"# ( $ (""E\"( ("E\"# 7 # (""E\"( ""E\"" ! ( (""E\"( ""E\"" 9 7 3 (""E\"( ""E\""" ! $ (""E\"( ""E\""

$ """E\"" 3"E\"$ ( ("E\"$ """E\"" 3 """E\"" -3"E\"$ $ -("E\"$ """E\""

Fig% %10/ /is%reti+are <RTP3

$

/EP><S<RI N?/<>E

N?/ G

33$93E -" -3!"$"E -" ( #33##E -" $!$!3E -" 3 -33$93E -" 3!"$"E -" $ -#33##E -" -$!$!3E -" # """""""E\"" """"""E\""

"""""""E\"" """"""E\"" 7 """""""E\"" """"""E\"" ! """""""E\"" """"""E\""


E>E N SIL<

!$9"E\"3 $($#E\" ( -!7#$E\"3 - $377E\" 3 !$9"E\"3 $($#E\"

$ -!7#$E\"3 -$377E\" # -9$9(E\"3 -$7$E\" 9#7E\"$ 97!!E\" 7 -9#!E -"( -9793E -"# ! -9#!E -"( -9793E -"# 9 -9#!E -"( -9793E -"#" -9#!E -"( -9793E -"#

/efor2ata stru%turii se ,oate ur2ări 0n ;i 7' iar re,re+entareatensiunilor ,e ele2ente 0n ;i 7( n anu2it ti, de linie ,re%i+ea+ă tensiune 0ntre*aloarea i2ediat su,erioară &i inferioară din leenda tensiunilor' s,re e6e2,lu 5ara 3

se 0n%adrea+ă 0ntre tensiuni %u,rinse 0ntre 39'7$ &i #$'$# Pa' adi%ă 2ai ,re%is )dinlista tensiunilor. $('$# Pa Cea 2ai 2are tensiune 0n *aloare a5solută este 0n 5arănu2ărul &i are *aloare 97'!! Pa inferioară tensiunii ad2isi5ile

Pentru a afla de,lasarea relati*ă < - C se %al%ulea+ă lunirea 5arei # adi%ă:

δ<C K (#('"("""'(

#"""""!#'9$9(

<E

> N#

((

## =⋅⋅

+⋅=

⋅⋅

22 sau se ,oate folosi rela4ia de

%al%ul a de,lasării 0ntre două noduri:

Fig% %11/ /efor2ata <RTP3

#

−−−++−−+=(

QQII

(

QQIIIQ .).GGGG)(

QI

(

QI .).GG) −+−− ' )7(.

%are dă a%ela&i re+ultat

Fig% %18/ /istri5u4ia tensiunilor <RTP3

ARTP+ ? rindă %u +ă5rele se s,ri=ină ,e trei ar%uri identi%e %a 0n ;i 73Cunos%1nd for4a ; K # N' aria se%4iunilor 5arelor < K #"" 22( E K ("# Pa a K"'3 2' iar ,entru ar%uri: ra+a s,irei de0nfă&urare R K $" 22 dia2etrul s1r2ei dK " 22 nu2ărul s,irelor i K ( 2odululde elasti%itate trans*ersal L K !'"$ Pase %er tensiunile 2a6i2e 0n 5are &i 0n ar%uri

,re%u2 &i săeata 2a6i2ă a ar%urilor

Re+ol*are

<r%urile s,irale du,ă %u2 se &tie lu%rea+ă 0n ,rin%i,al la răsu%ire' dar din ,un%t de *edere al riidită4ii %u %are ,arti%i,ă la stru%tură ,oate fi %onsiderat o 5ară/a%ă 4ine2 sea2a de rela4ia dintre săeată &i for4a ,entru un ar%:

ar%$

3

ar% ;Ld

iR $f = ' )73.

&i de rela4ia dintre lunire &i for4ă ,entru o 5ară de luni2e >:

Fig% %19/ Pro5le2a <RTP$

NE<

>>g = ' )7$.

re+ultă %ă 0ntre riidită4ile unui ar% &i ale unei 5are e6istă rela4ia:

iR $

Ld

>

E<3

$

= )7#.

/a%ă alee2 ,entru 5ara e%hi*alentă ar%ului EK("# Pa &i > K a K 3"" 22re+ultă ,entru se%4iunea 5arei %are 2odelea+ă ar%ul )din rela4ia 7#. aria:

(

3#

$$

3

$

"$79('(($""($

3""""'!

iER $

>Ld< −⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

== 22(

/is%reti+area se ,re+intă 0n

;i 7$ Blo%a=ul nodului ( ,e ori+ontală se introdu%e ,entru 0nlăturarea ,osi5ilită4iide ,endulare a %adrului)2i&%are de 2e%anis2.

;i&ierul %u date de intrareart,$ este:

"""""""""""E\"" """""""""""E\""

( " """""""""""E\"" 3""""""""""E\"( 3 " " 3""""""""""E\"( 3""""""""""E\"( $ " " 3""""""""""E\"( #"""""""""E\"( # """"""""""E\"( """""""""""E\"" " " """"""""""E\"( 3""""""""""E\"( 7 " " """"""""""E\"( #"""""""""E\"( ! " " 9""""""""""E\"( 3""""""""""E\"( 9 " " 9""""""""""E\"( #"""""""""E\"( " ("""""""""E\"3 """""""""""E\"" " " ("""""""""E\"3 3""""""""""E\"( ( 3 #""""""""""E\"( (""""""""""E\"#

( ( $ #""""""""""E\"( (""""""""""E\"# 3 3 $ #""""""""""E\"( (""""""""""E\"# $ 3 #""""""""""E\"( (""""""""""E\"# # 3 7 #""""""""""E\"( (""""""""""E\"# $ 7 #""""""""""E\"( (""""""""""E\"# 7 7 #""""""""""E\"( (""""""""""E\"# ! ! #""""""""""E\"( (""""""""""E\"# 9 7 ! #""""""""""E\"( (""""""""""E\"#

Fig% %1+/ /is%reti+are - <RTP$

7

" 7 9 #""""""""""E\"( (""""""""""E\"# ! 9 #""""""""""E\"( (""""""""""E\"# ( ! #""""""""""E\"( (""""""""""E\"# 3 9 #""""""""""E\"( (""""""""""E\"# $ ( ($79(3!"""E -"( (""""""""""E\"# # # ($79(3!"""E -"( (""""""""""E\"# " ($79(3!"""E -"( (""""""""""E\"# $ """""""""""E\"" -#""""""""""E\"3


/EP><S<RI N?/<>E

N?/ G

"""""""""""E\"" """""""""""E\"" ( """""""""""E\"" -797"!9E\"( 3 ($99!$#9#E -"( -39(7#37E\"( $ -(#($"!"#E\" -397(!#7E\"( # """""""""""E\"" """""""""""E\"" "!9!($37E -"( -"#!!!#(#E\"(

7 -(#3#7(3#E\" -"(3!"#E\"( ! 93!7!"(!!E -"( -3(("3!(9E\" 9 -(#3!3"(3$E\" -3(9#"!"9#E\"" """""""""""E\"" """""""""""E\"" ($(379!E -"( -(#(7($"#"3"E\"

E;?RTRI &i TENSINI IN E>EENTE

E>E N SIL<

$39$!#"E\"3 !33(7!973""E\""

( -#"!#73(9!$E\"3 -"7$#!37E\" 3 -("!3#(3$!7(E\"3 -$7"$97$#E\"" $ !993($"E\"3 (379!#((79E\"" # 333(3#7$9E\"3 7($7"3$99E\"" -$39$77(9E\"3 -!33(7!9#$#7E\"" 7 -7"$7"3E\"3 -333$"9$(7(E\"" ! !993(7E\"3 (379!#(3$(E\"" 9 -7(($!9(7$E\"( -$#($97!$3#E\""

!

" -#9$9(#9"9E\"( -!993(#!(E\"" $$7$(33E\"( !3(9#(!$7(E-" ( #9$9(93"9E\"( !993(#!(E\"" 3 -7(($!9"#"7E\"( -$#($97!"E\"" $ -(9$7337E\"3 -79!$"7(E\"# # -7"$7"$"(E\"3 -7$39(#!3$E\"$ -$$739#E\"( -!$!(7""("E\"$

Tensiunea 2a6i2ă 0n 5are este -"'7 Pa 0n 5ara ( Săeata 2a6i2ă a ar%ului%ores,unde %u de,lasarea ,e *erti%ală a nodului ( &i este 7'97 22 Tensiunile din

5arele %are 2odelea+ă ar%urile sunt false' ,entru a afla tensiunea din ar%uri folosi2

rela4ia:3

ar%ar%

d

R ; = )7.

;or4a din ar%ul $ )2odelat %a 5ară. este for4a 2a6i2ă %are 0n%ar%ă un ar%' de%itensiunea 2a6i2ă 0n a%est ar% este:

'#9$"

$"(9

3ar% ≅⋅

⋅⋅= Pa

ARTP:% Să se di2ensione+e %use%4iune %ir%ulară 5arele stru%turii din ;i7#' &tiind %ă: a K 2 E K 7"$ Pa;K"" N σa K ("" Pa' &i să se %al%ule+ede,lasarea totală a ,un%tului de a,li%a4ie alfor4ei ;

Indi%a4ie Se alee ini4ial <K 22(' <ne%

re+ultă %ă tre5uie să fie dea

<2a6

=ori 2ai

2are

Raspuns/ <K'7 22(' de%i φ$'3! &i φ("'(9 Yn ,ra%ti%ă se ale *alori rotun=ite

su,erior #!!'#(!#'$#!'3G ((((

; =+=+= 22

Fig% %1:/ Pro5le2a <RTP#

9

ARTP@% Pentru rinda %u +ă5rele )0n %onsolă. din ;i7 se %ere distri5u4iatensiunilor 0n ele2entele stru%turii &i săeata 2a6i2ă a rin+ii &tiind %ă: a K "'$ 2;K N toate 5arele sunt din o4el %u EK("# Pa &i au a%eea&i arie a se%4iunii<K$"" 22( Nu2erota4i diferit nodurile &i %onstata4i %are sunt 2odifi%ările 0n rulare&i re+ultate

Răspuns/*2a6 K -#'"9 22Pentru distri5u4ie*e+i ;i77

Fig%%1@/ Pro5le2a <RTP

Fig%%1/ /istri5u4ia de tensiuni - <RTP

ARTP Lrinda %u +ă5rele

din ;i7! este for2ată din 5are dese%4iune %ir%ulară φ" Se %unos%EK('"# Pa a K(#" 22 &i σa K#" Pa Pentru 0n%ăr%area din fiurăse %ere for4a 2a6i2ă %a,a5ilă ;%a, de0n%ăr%are a rin+ii' de,lasarea ,eori+ontală a rea+e2ului din drea,ta &i

5ara %ea 2ai soli%itată

Fig%%1./ Pro5le2a <RTP7

7"

Răspuns/ ;%a, K #9'"$( N δuK -"'$!7# 22

ARTP.% Stru%tura din ;i79 este for2ată din 5are de o4el )E K ('"#

Pa. de se%4iune ,ătrată ("6(" fi6ate %u 5ol4uri la %a,ete Stiind %ă a K "'$ 2 ; K7" N si σa K #" Pa să se *erifi%e 5arele

Fig%%1B/ Pro5le2a <RTP! Fig%%80/ Pro5le2a <RTP9

Indi%a4ii: odelul se ,oate fa%e ,e =u2ătate din stru%tura' dar ,entru 0nlăturarea2i&%ării de 2e%anis2 )a,arută ,rin tăierea 5arelor %entrale. se 2ai adauă douăele2ente %u riidită4i neli=a5ile Este utilă tratarea 0n ,aralel a %elor două 2odele'

%u 0ntreaa stru%tură &i ,e =u2ătate

Răspuns/ σ2a6 K 3$ Pa

ARTPB% Să se deter2ine for4a %a,a5ilă la %are re+istă stru%tura din ;i7("'&i de,lasarea relati*ă 0ntre ,un%tele de a,li%a4ie ale for4elor ),entru for4a %a,a5ilă.&tiind %ă: < K (#" 22( E K ('"# Pa a K "'( 2 σa K"" Pa Ce se 0nt12,lăda%ă li,ses% %ele două rea+e2e A

Indi%a4ii: odelul se ,oate alee ,e un sfert de stru%tură 0ntru%1t stru%tura are douăa6e de si2etrie

Răspuns/ ;%a, K 7793 N δ K "'7#9 22

ARTP10 Pentru ,odul din ;i7( se %unos% EK('"# Pa a K 2;K(" N &i σa K#" Pa Să se di2ensione+e 5arele ,odului &tiind %ă 5arele de latal,a inferioară ,odului au aria de $ ori 2ai 2are de%1t 5arele %are for2ea+ă tal,asu,erioară' st1l,ii din dre,tul rea+e2elor au se%4iunea de ori 2ai 2are de%1t 5arele

7

tăl,ii su,erioare' iar restul st1l,ilor au aria =u2ătate din %ea a st1,ilor din dre,tulrea+e2elor' toate diaonalele au aria du5lă tăl,ii su,erioare

Să se studie+e distri5u4ia de tensiuni &i să se ,re%i+e+e da%ă se ,oate neli=areutatea ,ro,rie )ρ K 7!"" F23' K " 2s(. Care este săeata ,odului su50n%ăr%area dată A

Fig%%81/ Pro5le2a <RTP"

Indi%a4ie: Se lu%rea+ă ,e =u2ătate &i se alee ini4ial un ,ara2etru < K 22 ( )ariatăl,ii su,erioare.

Fig%%88/ /istri5u4ia de tensiuni - <RTP"

Răspuns/ <K"" 22( Lreutatea unei 5are de se%4iune $< din tal,a inferioarăeste: $'99!"7!""("""$ja(<$L =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= − N Co2,arati* %u for4a; )de 0n%ăr%are 0ntr-un nod.' for4a re+ultată din reutatea ,ro,rie re,re+intă "'!3`

7(

Pentru esti2area %ore%tă ar tre5ui deter2inată reutatea 0ntreului ,od ra,ortată lafor4a totală de 0n%ăr%are' sau deter2inarea tensiunii &i defor2a4iilor %u %onsiderareareută4ii ,ro,rii' ori%u2 reutatea ,ro,rie se ,oate neli=a /istri5u4ia de tensiunieste ,re+entată 0n ;i7((

ARTP11 St1l,ul din ;i7(3 su,ortă 0n *1rf o for4a ori+ontală ;K(" NStiind %ă 5arele %on4inute 0ntre %otele )"' (aO au aria 3"" 22(' %ele 0ntre )(a' #aO auaria ("" 22(' iar %ele două 5are de *1rf au aria #" 22( EK("# Pa &i aK"'# 2'să se afle tensiunea 2a6i2ă 0n 5are &i de,lasarea ,un%tului din *1rful st1l,ului

Fig%%89/ Pro5le2a <RTP Fig%%8+/ Pro5le2a <RTP(

Indi%a4ie: odelul ,ro5le2ei ,oate fi de+*oltat ,e =u2ătate din stru%tură' datorităsi2etriei eo2etri%e &i antisi2etriei de 0n%ăr%are

Răspuns/ σ2a6 K ("'! Pa' u K #'(# 22 * K "

ARTP18% Să se deter2ine tensiunea 2a6i2ă ,entru stru%tura din fiura7($ Se %unos% EK("# Pa a K "'3 2 <K("" 22( ;K" N Ce se inta2,lăda%ă dis,are rea+e2ul si2,lu A

Răspuns/ σ2a6 K " Pa /a%ă dis,are rea+e2ul si2,lu ,ro5le2a nu se ,oatere+ol*a 0ntru%1t de*ine neliniară )*e+i ,ro5le2a <RTP#.

ARTP19% Stru%tura %u 5are &i ar%uri din ;i7(# este for2ată din 5are dese%4iune <K(# 22( 2odulul lui oun E K ("# Pa &i ,atru ar%uri identi%e %u%ara%teristi%ile: RK 22 dK( 22 i K # s,ire LK!'"$ Pa

Cunos%1nd aK(" 22 si ;K" N să se %al%ule+e de,lasarea relati*ă 0ntre ,un%tele &i ( ,re%u2 &i tensiunea din ar%uri

73

Indi%a4ie: <r%urile se 2odelea+ă %a 5are )*e+i ,ro5le2a <RTP$. Stru%tura fiindre,etiti*ă 2odelul se ,oate de+*olta ,e o ,or4iune de 5ară &i o =u2ătate de ar% )din stru%tura. %a 0n ;i7( >uni2ea 5arei %are 2odelea+ă ar%ul este %unos%ută 3a'

,entru 2odulul de elasi%itate lonitudinal se ,oate alee *aloarea EK("# Pa &ire+ultă din rela4ia )7#. <K'!7#"-( 22(

Fig%%8:/ Pro5le2a <RTP3 Fig%%8@/ odel - <RTP3

Răspuns/ δ-( K $'$ 22 τar% K #7'3 Pa

ARTP1+ ? stru%tură ti, 2a%ara %a 0n;i7(7' for2ată din 5are de o4el )EK("#

Pa. de se%4iuni eale <K$""" 22(' tre5uiesă re+iste la soli%itarea unei for4e 0n%linate ;

Stiind %ă a K 2 &i σa K #" Pa' să se aflefor4a %a,a5ilă de 0n%ăr%are fără a de de,ă&itensiunea ad2isi5ilă &i să se %al%ule+ede,lasarea totală a ,un%tului unde estea,li%ată for4a

Răspuns/ ;%a, K N

=−+= (( .7!'#9)#('3 7"'"# 22

ARTP1:% Siste2ul de două 5are

arti%ulate ,re+entat 0n ;i7(!' 0n%ăr%at %ufor4a ; ,er,endi%ulară ,e 5are nu ,oate fire+ol*at %u a%est ,rora2 Să se e6,li%e de %eA/a%ă unhiul dintre %ele două 5are este foarte2i% )a,ro6i2ati* un rad. ,ro5le2a se ,oatere+ol*a @ Inter,reta4i re+ultatul Fig%%8./ Pro5le2a <RTP#

Răspuns/ Cal%ulul fiind liniar e%hili5rul nodului %entral tre5uie să ,oată fi s%ris 0n ,o+i4ia ini4ială )nedefor2ată. %eea %e este i2,osi5il Pro5le2a este neliniară /e&i

Fig%%8/ Pro5le2a <RTP$

7$

,entru unhiuri 2i%i ,rora2ul ,oate fi rulat' re+ultatele sunt false )de,lasaree6aerată ,entru for4ă ; 2i%ă.

%,% (istee 9) 3e 6are arti#u!ate

Pro5le2ele s,a4iale ale 5arelor arti%ulate diferă ,u4in fa4ă de %ele ,lane In%ontinuare se fa%e o s%urtă introdu%ere ,entru re+ol*area stru%turilor 0n treidi2ensiuni for2ate din 5are arti%ulate la %a,ete /in ,un%t de *edere fi+i%arti%ula4iile sunt sferi%e )%ele ale 5arelor arti%ulate 0n ,lan sunt %ilindri%e.;a4ă de %ele enu2erate la 5arele ,lane 2odifi%ări a,ar la:

-L>N K 3 )G' ' .

-2atri%ea de riiditate 0n %oordonate lo5ale este:

−

−=

""

""e

>

E<OF M ' )77.

unde:

=(

(

(

"

nn2nl

2n22l

lnl2l

l' 2' n -%osinusurile dire%toare ale a6ei 5arei

-fi&ierul %u date de intrare se %o2,letea+ă %u B' &i ;-,rora2ul de lu%ru este <RTSPEGE

Ap!i#aţii

ART(1 Patru 5are identi%e' din o4el%u EK("# Pa' &i aria se%4iunii <K""22( sunt fi6ate %a 0n ;i7(9 Stiind %ă aK("" 22 si ;K#" N' să se afle tensiuniledin 5are &i de,lasarea ,un%tului de a,li%areal for4ei

Re+ol*are

<le1nd siste2ul de a6e %a %el din fiura'da%ă 2odelul ,ro5le2ei in%lude toatăstru%tura' fi&ierul %u date de intrare artseste:

# $ ("""""" ("""""" """"" ( -("""""" ("""""" """""

Fig%%8B% Pro6!ea ART(1

7#

3 -("""""" -("""""" """"" $ ("""""" -("""""" """"" # " " " """"" """"" 3""""""

# """""""" (""""""""" ( ( # """""""" (""""""""" 3 3 # """""""" (""""""""" $ $ # """""""" (""""""""" # """ """ -#""""""

/is%reti+area se ,oate ur2ări 0n ;i73"' iar defor2ata 0n ;i73

/eoare%e re,re+entarea 0n s,a4iu este2ai difi%ilă' s-a ado,tat ,entru re,re+entarea 5lo%a=elor &i for4elor %oduri nu2eri%e'astfel %odul (3 ,entru 5lo%a=e se2nifi%ă 5lo%a= la toate radele de li5ertate )*e+i%a, . for4ele de 0n%ăr%are se liste+ă ,e desen %a *alori rotun=ite Cele două desenede 2ai sus )dis%reti+area &i defor2ata. sunt ,ri*ite 0n s,a4iu din ,un%te diferite

Rul1nd ,rora2ul se o54ine lista datelor de intrare &i re+ultatul rulării:

N?/ BG B B G

("""""" ("""""" """"" ( -("""""" ("""""" """"" 3 -("""""" -("""""" """"" $ ("""""" -("""""" """"" # " " " """"" """"" 3""""""

E>E I Q < E

Fig%%91% )eforata ART(1Fig%%90% )is#reti7are ART(1

7

# """""" (""""""""" ( ( # """""" (""""""""" 3 3 # """""" (""""""""" $ $ # """""" ("""""""""

N?/ ;G ; ;

""""" """"" """"" ( """"" """"" """"" 3 """"" """"" """""

$ """"" """"" """"" # """"" """"" -#""""""""

N<R> EC<TII>?R NEC K 3SEI><TIE< /E B<N/< >B K 3

/EP><S<RI N?/<>E

N?/ G """"""""" """"""""" """"""""" ( """"""""" """"""""" """""""""

3 """"""""" """"""""" """"""""" $ """"""""" """"""""" """"""""" # """"""""" """"""""" -"$!7###3


E>E N SIL<

-779"773"" -779"773 ( -779"773"" -779"773 3 -779"773"" -779"773

$ -779"773"" -779"773/e%i tensiunile 0n 5are sunt eale )de %o2,resiune.' iar de,lasarea for4ei datorităsi2etriei este doar de-a lunul a6ei )-"'$!7 22.

TE<: Să se trate+e ,ro5le2a ,e sfert folosind si2etria

77

ART(8 Siste2ul de &ase 5are identi%e din;i73( este soli%itat %u o for4a ; a %ărei%o2,onente ,e %ele trei a6e sunt: ;GK$ N;K!N ;K( N Stiind %ă aria se%4iunii

5arelor este <K3"" 22( 2odulul de elasti%itatelonitudinal EK("# Pa luni2ea 5arelor > K#"" 22 să se afle tensiunile din 5are &i de,lasarea

,un%tului de a,li%a4ie al for4ei Cu2 se ,oatefolosi si2etria eo2etri%ă ,entru redu%erea2odelului ARăspuns/ odelul ,oate fi redus da%ă folosi2

su,ra,unerea de efe%te &i %onsideră2 %a %ele trei%o2,onente ale for4ei ; a%tionea+ă ,e r1nd/e,lasările &i tensiunile sunt ),entru nu2erotarea din fiură.:

N?/ G

7 ""7 ""3333333 ""#""""""

E>E N SIL<

-(""""""""""" -7

( -$""""""""""" -333333333 3 (""""""""""" 7 $ $""""""""""" 333333333 # """"""""""" (""""""""" -""""""""""" -("""""""""

ART(9 Se %onsideră o rindă %u +ă5rele )din 4e*i de o4el EK(k" Pa.si2,lu re+e2ată );i733a.' de des%hidere totală $>K3 2' %are sus4ine o sar%ină*erti%ală %entrală ;K" N >ă4i2ea 2a6i2ă a rin+ii este BK"'3 2' iar 0năl4i2ilesunt H K"'# 2' (H K"'(# 2' H K"'3# 2 Pe fie%are fa4ă ,atrulateră a rin+ii' seintrodu%e %1te o diaonală' ,entru riidi+area stru%turii /a%ă nodurile de025inare fi+i%ă se %onsideră arti%ula4ii sferi%e' stru%tura re+ultă interior stati%deter2inată /eoare%e re+e2area );i7335. 0n ,lanul G? este 0n %ele ,atru

,un%te de %ol4' re+ultă %ă stru%tura este e6terior odată stati% nedeter2inată Restulde 5lo%a=e au fost introduse ,entru ,reluarea 2i&%ării de %or, riid odul 0n %arese introdu% diaonalele ,e fie%are fa4ă' enerea+ă un nu2ăr foarte 2are de%onfiura4ii eo2etri%e Se au 0n *edere ,atru %onfiura4ii ,arti%ulare

Pro5le2ă ,reluată &i ada,tată din ra,ortul de %er%etare al %onta%tului CNCSIS $!7(""3 %ondusde ,rof drin <driana Sandu' Catedra de Re+isten4a 2aterialelor' PB

Fig%%98/ Pro5le2a <RTS(

7!

re,re+entati*e );i73$. Cele ( diaonale se dis,un %a 0n ta5elul 7( 0n %are s-afolosit nu2erotarea nodurilor fi+i%e din ;i73$' 0n %are s-au re,re+entat %ele

,atru %onfiura4iiSe %ere să se ,re%i+e+e %are dintre *ariantele de 2ontare a diaonalelor din

;i73$ este 2ai efi%ientă din ,un%tul de *edere al tensiunilor 2a6i2e 0n 5are &ial săe4ii 2a6i2e a rin+ii Se ,re%i+ea+ă %ă e6istă %in%i %ateorii )seturi. de 4e*ide dia2etrul / &i rosi2ea ,ere4ilor t )*e+i ;i7335. ,re+entate 0n Ta5elul 7

Fig%%99%a/ Para2etrii eo2etri%i de a5arit )re,re+entare fără diaonale. ,entru ,ro5le2a <RTS3

Fig%%99%6/ Seturile de ,ro,rietă4i ale se%4iunilor' re+e2area &i 0n%ăr%area stru%turii)re,re+entare fără diaonale. /iaonalele se %onsideră din setul #

Ta6e!u! %1/ Cara%teristi%ile se%4iunilor ,entru ,ro5le2a <RTS3Setul ( 3 $ #

/ M22O (" 3" 3( 3# (#t M22O ( ( ( ( ('#

79



a Confiura4ia )diaonale ,aralele. 5 Confiura4ia ( )diaonale î n +i-+a.

% Confiura4ia 3 )diaonale dis,usesi2etri% 0n m fa4ă de %entrul rin+ii.

d Confiura4ia $ )diaonale dis,usesi2etri% 0n U fa4ă de %entrul rin+ii .

Fig%%9+/ /is,unerea diaonalelor 0n 2ai 2ulte *ariante

Ta6e!u! %8/ Confiura4iile de aran=are a diaonalelor din ;i73$/iaonala Conf iura4ia Confiura4ia ( Confiura4ia 3 Confiura4ia $

Nod I NodQ Nod I NodQ Nod I NodQ Nod I NodQ ( 3 ( 3 ( 3 ( 3( $ # 3 3 3 3 7 7 7 7$ ! 9 7 " 7 " 7 "# ( ( ( 3 3 3 ( # 3 3 # (7 # $ # $ 7 3 # $! 7 # $ 9 9 $ 7 #9 $ $ ( ( $

" ( 3 $ 3 $ ( ! 3 ! 3 ! 3 $( " $ # ! " $ ! #

!"

Cap% .% (istee 3e 6are 2i grin7i su3ate.%A% Ca3re p!ane

A% Cara%teristi%i ,rin%i,ale ale ele2entului rindă ,lană (/ );i !.: este enerat de două noduri I &i Q( are trei rade de li5ertate ,e nod )L>N K 3.' de,lasări ,e dire%4ia G &i

)G' . &i rotire 0n =urul a6ei )R.3 re,re+intă o 5ară drea,tă' %u ,ro,rietă4i unifor2e de la un %a,ăt la %elalalt'

0n%ăr%ată %u for4e a6iale' tăietoare &i 2o2ente 0n%o*oietoare la %a,ete Ele2entul nu2odelea+ă %ore%t 5arele %u ,ere4i su54iri iar se%4iunea este si2etri%ă fa4ă de a6a J

)sau a6ele J &i + sunt a6e ,rin%i,ale.

β σ

Fig% .%1/ Ele2entul rindă ,lană )BE< (/.

$ ele2entul ,oate fi folosit ,entru 2odelarea rin+ilor ,lane' a 5arelorarti%ulate ,lane' ar%uri la2elare et%

# 2atri%ea de riiditate 0n %oordonate lo5ale este:OTOM MOTMOF M eTe = ' )!.

0n %are:

−−−

−=

((

+

(

+

(

(

+

(

3

+e

>$>">(>"

(">("

I

<>""

I

<>

>$>"

SI:("

I

<>

>

EI

O M

!

=

O M"

"O MOTM

−=""

"l2"2l

O M

&i l K %osβ 2 K %os) b(

− . K sinβ

u+ual ele2entul este denu2it BE< (/

,% /ate leate de ele2ent aria trans*ersală a se%4iunii 5arei - <( 2o2entul de iner4ie al se%4iunii fa4ă de a6a + a siste2ului de a6e lo%al - I+

)3. 0năl4i2ea - H )sau H &i H(. ,entru %al%ulul tensiunilor)$. %oefi%ientul ;i+ al efe%tului for4ei tăietoare asu,ra de,lasării' da%ă a%estanu se neli=ea+ă

C% /ate des,re 2aterialul ele2entului 2odulul de elasti%itate lonitudinal - E)(. %oefi%ientul de dilatare ter2i%ă - α)3. densitatea 2aterialului - ρ)$. a%%elera4ia ra*ita4ională sau reutatea s,e%ifi%ă - γ K ρ

)% /ate des,re 0n%ăr%ări 5lo%a=e la transla4ie 0n dire%4ia G - BG' - B &i la rotire - B( for4e la noduri 0n dire%4ia G - ;G' - ; &i 2o2ent ,e dire%4ia - )3. de,lasări &i rotiri i2,use ,e ori%e dire%4ie)$. te2,eraturi 0n noduri sau ,e ele2ente' se ,ot de%lara te2,eraturi diferite

,e fe4ele J K -H( &i J K \H)#. for4e de iner4ie enerate de %12,ul ra*ita4ional ),entru %are sunt


). ,resiuni ,e ele2ent )de%larate %a for4e distri5uite liniar ,e ,or4iuni din

luni2ea 5arei. <%este for4e de ,e ele2ent se redu% la nodurile ele2entului ,rinfor4e &i 2o2ente 8e%hi*alente /ouă %a+uri 2ai des 0nt1lnite de redu%ere se ,re+intă 0n ;i !( Se o5ser*ă %ă for4a distri5uită se redu%e la noduri %a for4ă%on%entrată dar &i %a 2o2ent %on%entrat datorită e%hi*alării 0n %on%ordan4ă %u

,rin%i,iile E;

E% Re+ultatele anali+ei de,lasările nodale /G' / &i rotirea R

!(

( eforturile din 5are: N' T' ' %are sunt ,o+iti*e da%ă se2nul lor 0n nodul Q)fa4a ,o+iti*ă. este ,lus sau 2inus 0n nodul I )fa4a neati*ă.

Fig% .%8/ E%hi*alarea nodală a for4elor disti5uite ,e ele2entul BE< (/

)3. tensiunile 0n 5are' %al%ulate la noduri %u rela4iile:

=

−=+=

<

T

i N2in

i N2a6

)!(.

unde:<

N N = &i (

i H'H2a6I

: =

)$. rea%4iunile din leăturile %u e6teriorul

F% Stru%tura fi&ierului %u date de intrare /ate enerale des,re dis%reti+are NN NE( /ate des,re 2ateriale

N<T<TI E3 /ate des,re ,ro,rietă4ile se%4iunilor

NSECTSECTI < I+

$ /ate des,re noduri NI BG B B G # /ate des,re ele2enteEI I Q <T SECT /ate des,re 0n%ăr%ări %u for4e &i 2o2ente

N;

!3

NI; ;G ;

G% Prora2ul de lu%ruCEGE

<%est ,rora2 a fost %on%e,ut astfel 0n%ăt lu%rea+ă %u no4iunile )datele. de la ,un%tele ,'E %are nu sunt in%luse 0ntre ,arante+e Prora2ul este de fa,ti2,le2entarea 2etodei de,lasărilor )2etoda de %al%ul e6a%tă. ,entru siste2e de%adre ,lane ale %ăror 5are sunt 025inate riid )sudate. 0ntre ele

J% S%he2a loi%ă a ,rora2ului %oin%ide %u %ea ,re+entată 0n ;i 7( i%i2odifi%ări a,ar la %al%ulul 2atri%ei de riiditate %onfor2 rela4iei )!.

Ap!i#aţii

CA)P1% n st1l, din o4el )EK("# Pa. de se%4iune inelară %u dia2etrule6terior / K"" 22 &i %el interior d K !" 22' este an%orat ,rin inter2ediul unei

5ră4ări %u o s1r2ă de %u,ru )EK'("# Pa. de dia2etru φ"' %u2 se ,oate ur2ări0n ;i !3 Să se deter2ine tensiunile σ 2a6i2e' 0n st1l, &i s1r2ă' da%ă ;K( N' &isă se ,re%i+e+e %u %1t se de,lasea+ă *1rful st1l,ului

Fig% .%9/ Pro5le2a C</P Fig% .%+/ /is%reti+are - C</P

Re+ol*are

Pro5le2a se ,oate 2odela 0n ,lan %u 5are leate riid 0ntre ele %hiar da%ăs1r2a de %u,ru se fi6ea+ă de st1l, ,rintr-un o%hi &i lu%rea+ă nu2ai la 0ntindere )se

,oate %onsidera riiditatea la 0n%o*oiere a s1r2ei nulă. /eoare%e st1l,ul &i s1r2a ause%4iuni diferite &i sunt din 2ateriale diferite se i2,une de%lararea a două ti,uri de2ateriale &i două ti,uri de se%4iuni Rela4iile de %al%ul ale ,ro,rietă4ilor eo2etri%eale se%4iunilor se dau 0n ta5elul !3 /is%reti+area 2ini2 ne%esară este ,re+entată 0n;i !$ ;i&ierul %u date de intrare cadp# este:

!$

$ 3 ( (""""""E\"# ("""""""E\"# ( 7!#39!""E\" """"""""E\"" (!(7$3""E\"3 (!9!9(E\" """"""E\"" """"""E\"" ( ("""""E\"3 """"""E\"" 3 " " " ("""""E\"3 3"""""E\"3 $ " " " ("""""E\"3 $#""""E\"3

3 ( ( 3 ( ( 3 3 $ ( ( $ ("""""E\"3 """"""E\"" """"""E\""

Blo%area la rotire a nodului este ne%esară deoare%e ne%onsiderarea ,ro,rietă4ilor de ,reluare a 0n%o*oierii )I+ K " ,entru ele2entul . ar ,rodu%e2atri%ea de riiditate redusă sinulară

Yn ur2a rulării ,rora2ului se o54ine listinul:

/<TE /ESPRE <TERI<>E<T E (""""""E\"# ( ("""""""E\"#/<TE /ESPRE SECTINISECT < I+ 7!#39!""E\" """"""""E\"" ( (!(7$3""E\"3 (!9!9(E\"

N?/ BG B B G """"" """""

( (""""""" """""

3 " " " (""""""" 3""""""" $ " " " (""""""" $#""""""E>E I Q <T SECT 3 ( ( 3 ( ( 3 3 $ ( (

N?/ ;G ;

!#

"""""E\"" """""E\"" """""E\"" ( """""E\"" """""E\"" """""E\"" 3 """""E\"" """""E\"" """""E\"" $ (""""E\"3 """""E\"" """""E\""

N<R> EC<TII>?R NEC K SEIB<N/< <TRICII /E RILI/IT<TE >B K /EP><S<RI N?/<>E

N?/ /G / R """""E\"" """""E\"" """""E\"" ( """""E\"" """""E\"" """""E\"" 3 $"$!E\"" -(#79E-"( -#9$(E-"3

$ !!E\" -(#79E-"( -979E-"3E;?RTRI IN B<RE E>EENT> N?/ N?/ 3

N -#!37779E\"3 #!37779E\"3T """"""""E\"" """"""""E\"" """"""""E\"" """"""""E\"" E>EENT> ( N?/ ( N?/ 3

N $!#73($"E\"3 -$!#73($"E\"3T -(3!("E\"3 (3!("E\"3

-7$$793E\"# -3"""""""E\" E>EENT> 3 N?/ 3 N?/ $

N -$9"E-"! $9"E-"!T ("""""""E\"3 -("""""""E\"3 3"""""""E\" -#(#!7!9E-"#

Se o5ser*ă %ă de,lasarea *1rfului st1l,ului %ores,unde de,lasării nodului $ &ieste u K '! 22 * K -('#7"-( 22 &i ϕ K -9'79"-3 rad

Tras1nd diara2ele de eforturi )*e+i ;i!#.' dar &i din listinul de 2ai susse o5ser*ă %a 2o2entul 2a6i2 a5solut 0n st1l, este 3" N22 0n nodul 3 ,e st1l,

0n %are e6istă &i for4a a6iala N( K -$!#7'3 N' de%i tensiunea 2a6i2ă &i 2ini2ă 0nst1l, %onfor2 rela4iilor )!(. este:

=−

+−

= #"('(!9!9

"-3

$'(!(7

3'$!#7

2a6 #"'"$ Pa

=−

−−

= #"('(!9!9

"-3

$'(!(7

3'$!#7

2in -#3'$! Pa

!

Tensiunea din s1r2ă de %u,ru este:

==#$'7!

!'#!37Cu 7$'33 Pa

>i,sa an%orei ar ,rodu%e 0n st1l, tensiunea ('##2a6 = Pa' ,re+en4aan%orei redu%e tensiunnea de ('9 ori

Fig% .%:/ /iara2e de eforturi - C</P

TE]: Să se re+ol*e ,ro5le2a %onsider1nd s1r2a de %u,ru fi6ată riid de st1l,Co2,ara4i re+ultatele

CA)P8% Intr-o rindă for2ată din două ,rofiluri ( este fi6at un s%ri,ete ,rin inter2ediul %ăruia se ridi%ă sar%ina ;K3" N %onfor2 ;i ! Se %unos% aK"'!2 5K"'$ 2 EK("# Pa &i dia2etrul de fi6are al a s%ri,etelui dK" 22 Să se afletensiunea 2a6i2ă 0n se%4iunea ,eri%uloasă a rin+ii &i de,lasarea a6ului s%ri,etelui

Fig% .%@/ Pro5le2a C</P( Fig% .%/ /efor2ata - C</P(

Re+ol*arePro5le2a este foarte si2,lă &i ,oate fi re+ol*ată %u usurin4ă folosind

%uno&tin4e de 5a+ă ale re+isten4ei 2aterialelor S%o,ul re+o*ării 0nsa' 0l %onstituie2odelarea %u ele2ente finite Yntru%1t nu interesea+ă starea de tensiuni din s%ri,ete'2odelul se a6ea+ă ,e studiul rin+ii' %a ur2are for4ele din s%ri,ete se trans2it larindă ,rin inter2ediul a6ului Pentru 2odelarea %u ele2ente finite a rin+ii se

!7

neli=ea+ă aura de fi6are a s%ri,etelui 0n %al%ulul de riiditate' dar se re*ine ,entrudeter2inarea tensiunii 2a6i2e

Pentru ,rofile ST<S %ara%teristi%ile eo2etri%e ale se%4iunilor se ,re%i+ea+ă0n di*erse ta5ele din %ăr4i de s,e%ialitate M7O' M7O Pentru ,rofilul ( dintr-un astfelde ta5el s-a e6tras: < K 7 %2( I+ K 3$ %2$' ,re%u2 &i di2ensiunile din ;i !/eoare%e sunt două ,rofile aria &i 2o2entul de iner4ie al ele2entelor finite sedu5lea+ă

;i&ierul datelor de intrare cadp, este:3 ( ("""""""E\"#

3$""""""E\"3 7(!"""""E\" " """"""E\"" """"""E\"" ( " " " !"""""E\"( """"""E\"" 3 " " (""""E\"3 """"""E\"" ( ( ( 3 ( 3"""""E\"$ -3"""""E\"$ """"""E\""

Rul1nd fi&ierul de 2ai sus se o54ine:

/EP><S<RI N?/<>E N?/ /G / R """""E\"" """""E\"" -$#(E -"3 ( 3#(9$E -"( -#!"!E -" 73("E -"$ 3 3#(9$E -"( """""E\"" !3#E -"3E;?RTRI IN B<RE E>EENT> N?/ N?/ (

N -3"""""""E\"$ 3"""""""E\"$T """""""E\"$ -"""""""E\"$ 7(939$#E -" !"""""""E\"

E>EENT> ( N?/ ( N?/ 3

N """"""""E\"" """"""""E\""T -("""""""E\"$ ("""""""E\"$ -!"""""""E\" -3"#7#7!E -"#

!!

/e,lasarea nodului (' adi%ă%ores,un+ătoare a6ului s%ri,etelui este"'#! 22 ,e *erti%ală 0n =os &i "'"3#22 ,e ori+ontală s,re drea,taRe+ultatele o54inute sunt 0n 220ntru%1t toate datele de intrare au fostdate 0n unită4i de 2ăsură enerate deMNO &i M22O /a%ă se fiurea+ădefor2ata )*e+i ;i!7. se o5ser*ă one%on%ordan4ă %u realitatea 0ntru%1tdefor2ata este trasată tin1nd %ont doar

de de,lasările nodale )nu &i de rotiri./iara2ele de eforturi se ,re+intă 0n;i!!' de unde se trae %on%lu+ia %ăse%4iunea ,eri%uloasă este %ea dinst1na nodului ( unde NK3" N &i2a6K! N2 Fig% .%./ /iara2ele de eforturi - C</P(

/eoare%e se%4iunea din dre,tul nodului ( este slă5ită de aura s%ri,etelui 0n%al%ulul tensiunilor inter*ine aria <′ &i 2o2entul de iner4ie I′ :

(#"."77"")(< =⋅−=′ 22(

3

$ "-"(!'7("7"-3$(I = ⋅−=′ 2$

Tensiunea 2a6i2ă %onfor2 rela4iei )!(. este:

!"""-"(!'7

"-!

(#"

"-3"

3

2a6 =+= Pa

Yn %on%lu+ie ,ro5le2a de 2ai sus de2onstre+ă %ă ,entru o54inerea unorre+ultate %ore%te' utili+atorul tre5uie să inter*ină ,e l1nă ,rora2ul de %al%ulProra2e de fir2ă li*rea+ă %a date de ie&ire &i tensiunile 0n ele2ente' da%ă 0nsă nu s-ar 4ine %ont de %ore%4iile de 2ai sus' si2,la %itire a re+ultatelor ,oate %ondu%e lainter,retarea re&ită a solu4iei ,ro5le2ei

CA)P9% ? rindă de luni2e >K' 2este 0n%ăr%ată %u o sar%ină unifor2 distri5uită ,K " N22 E%hi*al1nd for4a distri5uită %afor4e &i 2o2ente %on%entrate la noduri'%onfor2 ;i !(a' să se %al%ule+e săeata &i2o2entul 2a6i2 ,entru:

a. rinda 0n %onsolă );i!9a.Fig% .%B/ Pro5le2a C</P3

!9



5. rinda du5lu 0n%astrată );i!95.'folosind dis%reti+ări %u ' (' $ &i ! ele2ente de luni2i eale Se dau EK("# Pa &ise%4iunea dre,tunhiulară ""× " M22O' ,re%u2 &i *alorile e6a%te ale săe4ilor &i2o2entelor 2a6i2e:

a.+

$

2a6EI!

,l* = 0n %a,ătul li5er

(

,l:

(

2a6 = 0n 0n%astrare

5.+

$

2a6EI3!$

,l* = la 2i=lo%

(

,l:

(

2a6 = 0n 0n%astrare

Re+ol*are;i&ierul datelor ,entru rindă 0n %onsola )cadp-a#. dis%reti+ată %u un

ele2ent este:( ("E\"# "E\"3 !E\" """E\"" """E\"" ( " " " "E\"3 """E\"" ( ( ""E\"" -!"E\"3 (3333E\"

/iara2ele de eforturi se ,re+intă 0n ;i !" iar defor2ata se ,re+intă 0n;i !

;i&ierul %u date de intrare ,entru rinda 0n %onsolă dis%reti+ată %u ! ele2ente)cadp-a.. este:

9 ! ("""""""E\"# """""""E\"3 !""""""E\" """E\"" """E\"" ( " " " (""E\"( """E\"" 3 " " " $""E\"( """E\"" $ " " " ""E\"( """E\"" # " " " !""E\"( """E\"" " " " ""E\"3 """E\"" 7 " " " ("E\"3 """E\"" ! " " " $"E\"3 """E\"" 9 " " " "E\"3 """E\""

9"

Fig% .%10/ /iara2e de eforturi C</P3adis%reti+ată %u ele2ent

Fig% .%18/ /iara2e de eforturi C</P3dis%reti+ată %u ! ele2ente

Fig% .%11/ /efor2ata C</P3a dis%reti+ata%u ele2ent

Fig% .%19/ /efor2ata C</P3a dis%reti+ată%u ! ele2ente

( ( ( 3

3 3 $ $ $ # # # 7 7 7 ! ! ! 9 ! ( """"""E\"" -("""""E\"3 """"""E\"" 3 """"""E\"" -("""""E\"3 """"""E\"" $ """"""E\"" -("""""E\"3 """"""E\"" # """"""E\"" -("""""E\"3 """"""E\""

""""""E\"" -("""""E\"3 """"""E\"" 7 """"""E\"" -("""""E\"3 """"""E\"" ! """"""E\"" -("""""E\"3 """"""E\"" 9 """"""E\"" -"""""E\"3 333333E\"$

/iara2a de eforturi ,entru a%eastă dis%reti+are se ,oate ur2ări 0n ;i !(iar defor2ata 0n ;i !3

Re+ultatele %o2,lete ,entru ,ro5le2ă se ,re+intă 0n ta5elul !

9

Ta6e!u! .%1/ Re+ultatele a,li%a4iei C</P3

Nr ele2Lrinda 0n %onsolă Lrinda du5lu 0n%astrată

2a6* M22O 2a6: MN2O 2a6* M22O 2a6: MN2O (('7# "'7 - -( (('7# ('(7 "'$7$"7 '""$ (('7# ('7 "'$7$"7 ('"""! (('7# ('77 "'$7$"7 ('""

E6a%t (('7# ('!"" "'$7$"7 ('3$

Yn %on%lu+ie' ,entru 5arele %u 0n%ăr%are unifor2 distri5uită' re+ultatelede,lasărilor nodale sunt %ore%te 0n ur2a e%hi*alării nodale a 0n%ăr%ărilor dar

eforturile sunt 2ai a,roa,e de %ele reale ,entru dis%reti+ări %u 2ai 2ulte ele2ente/a%ă 0ntr-o stru%tură e6istă rin+i %u for4e distri5uite &i nu interesea+ă 2ări2ile de

,e a%estea' dis%reti+area a%estora 0n 2ai 2ulte ele2ente nu se =ustifi%ă

TE]: /is%reti+a4i rida 0n ele2ente de luni2i diferite Ce se %onstată A

CA)P+% ? rindă re+e2ată ,e un nu2ăr foarte 2are de rea+e2e )teoreti%infinit. %a 0n ;i !$ este 0n%ăr%ată %u o for4ă ;' se &tie %ă 0ntre 2o2entele dindre,tul rea+e2elor e6istă rela4ia:

---

:

:

:

:

:

:

C

/

B

C

<

B ===

Să se *erifi%e a%eastă rela4ie ,entru &ase rea+e2e' da%ă a K "" 22 E K (" # Pa;K(!! N se%4iune ,ătrată ( × ( M22O &i să se ,re%i+e+e *aloarea săe4ii 2a6i2e

Fig% .%1+/ Pro5le2a C</P$ Fig% .%1:/ Pro5le2a C</P#

Răspuns/ ($!'"('"(77'"(79'" ≈≈≈ =2a6* "'#!3 22

CA)P:% Să se %al%ule+e săeata &i tensiunea 2a6i2ă 0ntr-un ar% ,ara5oli%de se%4iune dre,tunhiulară ""6(" M22O' )*e+i ;i !#. 0n situa4iile: . %a,etele <&i B arti%ulate fi6 (. <-arti%ula4ie fi6ă' B-rea+e2 si2,lu' %are ,er2ite de,lasarea ,e6 Se %unos% EK("# Pa > K ( 2 h K #" 22 ; K N Să se %o2,are re+ultatulo54inut ,entru ,un%tul . %u *alorile teoreti%e ,entru ar%ul ,ara5oli% %u >h < < :

;h

>

(!

(# N2a6 = ;>

(!

7:2a6 =

9(

Indi%a4ie /in 2oti*e de si2etrie 2odelul %u ele2ente finite se ,oate de+*olta ,e

=u2ătate din stru%tură Se des%o2,une ar%ul ,ara5oli% de e%ua4ie .6>6)>

h$J (

( −=

0n ele2ente dre,te ,rin %onsiderarea unui nu2ăr de %ir%a " ÷ $" noduri ,e =u2ătatedin stru%tură

Răspuns/ Pentru dis%reti+area %u " ele2ente ,e =u2ătate se o54ine:. *2a6 K 3'#$9 22 =2a6 (9'3 Pa (. *2a6 K 7#'"3! 22 =2a6 $#"' Pa

Re+ultatele teoreti%e dau ,entru tensiuni: . =2a6 ('!7 Pa (. =2a6 $#" Pa

CA)P@% n lan4 %u "" +ale identi%e ,reia o sar%ină ;K(#" N Stiind %ă o +a

are for2a &i di2ensiunile din ;i ! să se %al%ule+e %1t se 0ntinde lan4ul &i %areeste tensiunea 2a6i2ă 0n lan4 Se dau: d K # 22 R K (# 22 EK("# Pa

Indi%a4ii Se neli=ea+ă defor2a4iile de %onta%t &i efe%tul de %ur5ură asu,ratensiunilor &i a defor2a4iilor Por4iunea %ir%ulară se 2odelea+ă %u %el ,u4in !ele2ente ,e °9" Pro5le2a se tratea+ă ,e sfert datorită du5lei si2etrii

Răspuns/ =lg '(! 22 2a6 K("7 Pa

θ

Fig% .%1@/ Pro5le2a C</P Fig% .%1/ Pro5le2a C</P7

CA)P n ar% s,iral %u n K ( s,ire );i !7. este 0n%ăr%at %u un 2o2ent": K("" N22 0n arti%ula4ia din < Să se afle rotirea se%4iunii din < &i tensiunea

2a6i2ă din ar% Se dau 5 K (" 22 h K '( 22 R K 3" 22 E K (" # Pa

Indi%a4ii E%ua4ia s,iralei 0n %oordonate ,olare este n(

R r = Pentru ar%urile %u

s,ire str1nse solu4ia teoreti%ă a ,ro5le2ei este:

93

+

"EI

s:

$

# = ' unde nR s = (

"2a6

5h:( =

Răspuns: $#$'"< = rad K °"('( =2a6 $#'! Pa?5ser*a4ie: Ualorile rotirilor )&i ale de,lasărilor. fiind 2ari ,entru o tratare %ore%tăse i2,une folosirea unui ,rora2 de %al%ul neliniar

CA)P. >ă4i2ea %urentă a se%4iunii 5arei %ur5e din ;i !! este fun%4ie deunhiul α >ă4i2ea 5arei 0n 0n%astrare este B Ştiind %ă 5ara este soli%itată %u for4a*erti%ală ;' să se deter2ine de,lasarea ,un%tului de a,li%a4ie al for4ei Se %unos%: EK ("# Pa B K (" 22 R K #" 22 h K ('$ 22 ; K "" N

Indi%a4ii odelul %onstă 0ntr-o su%%esiune de %el ,u4in ! ele2ente de se%4iunidiferite' re+ultate din 2edierea lă4i2ii 0ntre nodurile ele2entelor >ă4i2ea *aria+ă

fun%4ie de α du,ă rela4ia

B( 5 = /e,lasarea ,e *erti%ală a ,un%tului de a,li%a4ie

al for4ei se ,oate deter2ina teoreti% %u rela4ia2a6

3

EI

;R $'"* ≅ ' unde

(

BhI

3

2a6 =

Răspuns/ u K 3'! 22 s,re drea,ta * K ('"79$ 22 0n =os

α

ω

Fig% .%1./ Pro5le2a C</P! Fig% .%1B/ Pro5le2a C</P9

CA)PB ? 5ielă' %onsiderată 5ară de se%4iune %onstantă este soli%itatădatorită for4elor de iner4ie %a 0n ;i!9 /a%ă > K $"" 22 R K 3" 22 a K# 22

E K ("# Pa n K $37#2in

rot 32

7!#"j = să se deter2ine săeata 2a6i2ă &i

tensiunea 2a6i2ă din 5ielă 0n ,o+i4ia %ea 2ai defa*ora5ilă

9$

Indi%a4ii Yn%ăr%area 2a6i2ă datorată for4ei de iner4ie a 5ielei este 0n ,o+i4ia 0n %areea fa%e unhi dre,t %u 2ani*ela ;or4a distri5uită 2a6i2ă se deter2ină din rela4ia

(

2a6 p<R j , = Pro5le2a se redu%e de%i la %al%ulul unei rin+i si2,lu re+e2ate0n%ăr%ată %u fortă distri5uită liniar Pentru o54inerea unei solu4ii a%%e,ta5ile 5iela se02,arte 0n %el ,u4in " ele2ente E%hi*alarea for4elor distri5uite la noduri se fa%e

%onfor2 ;i !( Teoreti%' 2o2entul 2a6i2 este39

> ,:

(

2a62a6 = &i se atine la

>#77'"6 ≅ iar săeata 2a6i2ă este+

$

2a62a6

EI

l ,""#'"* = la >#('"6 ≅

E%hi*alarea sar%inii distri5uite nu asiură %ontinuitatea ni%i a for4ei tăietoare ni%i a

2o2entului 0n%o*oietor de%1t 0n anu2ite %a+uri ,arti%ulare /iara2a de for4etăietoare T are *aria4ie ,ara5oli%ă iar %ea de 2o2ent are *aria4ie %u5i%ăEle2entul de rindă ,lană folosit 0n ,rora2ul de lu%ru este de+*oltat ,entru for4atăietoare %onstantă &i 2o2entul 0n%o*oietor liniar ,e ele2ent' de%i ,entru are,rodu%e %1t 2ai 5ine diara2ele se i2,une o dis%reti+are %1t 2ai fină <nu2ite

,rora2e de E; ,ot %ore%ta a%est nea=uns ,rin %onsiderarea sar%inilor distri5uite ,e ele2ent &i nu a sar%inilor e%hi*alate la noduri

Răspuns/ *2a6 K '($ 22 2a6 K3"7' Pa

CA)P10 ? rindă ti, ,rofil I )*e+i ;i !(". este 0ntărită %u # 5are dese%4iune %ir%ulară φ#" Stiind %ă EK("# Pa a K 2 , K "'$ Pa t K $" 22' săse deter2ine săeata 2a6i2ă &i tensiunile 2a6i2e 0n rindă &i 0ntărituri Co2,ara4ire+ultatele %u %ele o54inute ,entru rinda fără 0ntărituri

Fig% .%80/ Pro5le2a C</P"

Răspuns/ 39('"*2a6 = 22 2a6 K(" Pa 0n rindă 2a6 K73 Pa 0n 5ară

Pentru rinda fără 0ntărituri 2a6* K 33'(! 22 &i 2a6 K(!'# Pa

CA)P11% Stru%tura de re+isten4ă a unui ,od %onstă 0n ,atru rin+i ,rofil I'două ar%e de ra+ă RK# 2' ,rofil %hesonat &i nouă tiran4i de se%4iune %ir%ulară φ""'toate din otel' %onfor2 ;i !( Se %unos% a K " 2 , K3"" N2 E K ("# PaSă se deter2ine săeata 2a6i2ă a ,odului &i să se ,re%i+e+e %are este se2nifi%a4ia ei

9#

&tiind %ă sar%ina distri5uită , ,ro*ine de la reutatea 5etonului' asfaltului &i a0n%ăr%ării ,odului %u sar%ina utilă 2a6i2ă )*ehi%ule. Cal%ula4i tensiunile 2a6i2e 0ntal,a ,odului ),rofilul I.' 0n ar%ul ,odului )tal,a su,erioară. &i 0n tiran4i

Fig% .%81/ Pro5le2a C</P

Indi%a4ii: Se ,oate lu%ra %u unită4i de 2ăsură SI &i ,e =u2ătate din stru%tură

Răspuns: *2a6 K 3 22 2a6 K Pa in ,rofilele I 2a6 K'# Pa 0n ar%e

2a6 K3"3'$ Pa 0n tiran4i

CA)P18 Pentru %adrul din ;i !((se %unos% EK('"# Pa a K"'# 2 &i ;K( N

Se %ere:a. de,lasarea ,un%tului 5. să se trase+e diara2ele N' T' %. să se deter2ine tensiunea 2a6i2ă

Răspuns/a. u K 3'##!$ 22 * K "%. 2a6 K 7'3 Pa 0n 0n%astrare

Fig% .%88/ Pro5le2a C</P(

9

.%,% Ca3re "n spaţiu

A% Cara%teristi%i ,rin%i,ale ale ele2entului rindă 0n s,a4iu );i !(3.: este enerat de trei noduri I' Q &i F sau de două noduri I &i Q &i un unhi

%are ,re%i+ea+ă dire%4iile a6elor ,rin%i,ale J &i + ale se%4iunii )*e+i ;i !(3a.( are &ase rade de li5ertate ,e nod )*e+i ;i !(35.' L>N K ' de,lasări ,e

dire%4iile a6elor G' &i )G' ' . &i rotiri fa4ă de a%elea&i a6e G' ' )RG'R' R.

3 este 5ară drea,tă' %u ,ro,rietă4i unifor2e de la un %a,ăt la %elălalt' su,ortă0n%ăr%ări %u for4e &i 2o2ente ,e toate dire%4iile )*e+i ;i !(3%. Ele2entul nu2odelea+ă %ore%t 5arele %u ,ere4i su54iri

Fig% .%89/ Ele2entul rindă 0n s,a4iu )BE< 3/.

$ ele2entul ,oate fi folosit ,entru 2odelarea rin+ilor 0n s,a4iu &i 0n ,lan' a 5arelor arti%ulate' a ar%urilor )%a riidită4i su,li2entare 0n stru%turi.

# 2atri%ea de riiditate 0n %oordonate lo5ale este:OTOM MOTMOF M eTe = )!.0n %are:

=

O M"""

"O M""

""O M"

"""O M

OTM '

=

+++

JJJ

666

n2l

n2l

n2l

O M '

97

Φ+

Φ+

Φ+−

Φ+

Φ−

Φ+

Φ+

Φ+

Φ+Φ+

Φ−

Φ+−

−

Φ+Φ+Φ+−

Φ+Φ+−

Φ+−

−

Φ+

Φ+

Φ+

Φ+

Φ+

Φ+−

Φ+

Φ+

=

.)>

EI.$)"""

.)>

EIB"

.)>

EI.()"""

.)>

EIB"

.)>

EI.$)"

.)>

EIB"""

.)>

EI.()"

.)>

EIB""

>

LI"""""

>

LI"""

.)>

EI(

""".)>

EIB

".)>

EI(

""

.)>

EI("

.)>

EIB"""

.)>

EI("

>

E<"""""

>

E<

.)>

EI.$)"""

.)>

EIB"

.)>

EI.$)"

.)>

EIB""

SI:>

LI"""

.)>

EI(""

.)>

EI("

>

E<

O M

J

+J

J

(

+

J

+J

J

(

+

+

J+

+

(

J

+

J+

+

(

J

tt

+

3

J

+

(

J

+

3

J

J

3

+

J

(

+

J

3

+

J

+J

J

(

+

+

J+

+

(

J

t

+

3

J

J

3

+

e

9!

unde: l6' 26' n6 -%osinusurile dire%toare ale a6ei 5arei 6 0n ra,ort %u siste2ul dereferin4ă lo5al G s a 2 d

u+ual ele2entul este denu2it BE< 3/

Ω

τ

τ

δ τ

Fig% .%8+/ /i*erse ti,uri de se%4iuni &i distri5u4iile de tensiuni tanen4iale enerate derăsu%irea li5eră

,% /ate leate de ele2ent ),ro,rietă4i ale se%4iunilor. aria trans*ersală a se%4iunii 5arei - <( 2o2entul de iner4ie al se%4iunii fa4ă de a6a J 0n siste2ul lo%al de a6e - IJ3 2o2entul de iner4ie al se%4iunii fa4ă de a6a + a siste2ului de a6e lo%al - I+$ 2o2entul de iner4ie %on*en4ional la răsu%ire al se%4iunii - It' a%est 2o2ent

de,inde de for2a se%4iunii astfel:i. ,entru se%4iuni %ir%ulare &i inelare %oin%ide %u 2o2entul de iner4ie ,olar alse%4iunii (. ,entru se%4iuni ti, %heson )*e+i ;i !($a. se %al%ulea+ă %u rela4ia:

∫ =

ds

q$I

(

t )!$.

0n %are: Ω este aria 2arinită de fi5ra 2edie a %hesonuluiii. ,entru se%4iuni des%hise for2ate din dre,tunhiuri alunite )*e+i ;i !($5. sefolose&te rela4ia:

∑= i

3

iit t 53

I )!#iii. ,entru se%4iuni dre,tunhiulare *e+i );i !($%.se folose&te rela4ia:

3

t 5hbI ⋅⋅= )!

0n %are %oefi%ientul β se ,oate %al%ula %u rela4ia:

−−=

$

$

h(

5

h

5('"

3

b ' )!7.

&i este ,re+entat 0n ta5elul !( ,entru %1te*a *alori u+uale

99



Ta6e!u! .%8/ Coefi%ien4i ,entru se%4iunea dre,tunhiularăh5 '( '# '7# ( ('# $ " ∞

α "'("! "'(9 "'(3 "'(39 "'($ "'(#! "'(!( "'33 "'333β "'$ "' "'9 "'($ "'((9 "'($9 "'(! "'33 "'333γ '""" "'93" "'!#9 "'!(" "'79# "'7 "'7$# "'7$( "'7$(

# %oefi%ien4ii ;iJ &i ;i+ ) J ' + . de influen4ă a for4ei tăietoare asu,rade,lasării' ,entru %1te*a se%4iuni si2,le se dau 0n ta5elul !3

). di2ensiunile se%4iunii ,e dire%4ia J &i + da%ă se dore&te deter2inareatensiunilor

Pentru %1te*a se%4iuni u+ual folosite 0n ,ra%ti%ă' ta5elul !3 ,re+intă%ara%teristi%ile eo2etri%e de 5a+ă

C% /ate des,re 2aterialul ele2entului 2odulul de elasti%itate lonitudinal - E( 2odulul de elasti%itate trans*ersal - L' sau %oefi%ientul %ontra%4iei

trans*ersale niu ) ν.' %onstantele E' L' ν sunt de,endente )*e+i rela4ia 3.)3. %oefi%ientul de dilatare ter2i%ă α)$. densitatea 2aterialului ρ)#. a%%elera4ia ra*ita4ională sau reutatea s,e%ifi%ă γ Kρ

)% /ate des,re 0n%ăr%ări 5lo%a=e la transla4ie BG' B &i B ,re%u2 &i la rotire BGG' B &i B( for4e la noduri ;G' ; &i ; &i 2o2ente la noduri G' &i )*e+i

;i !(3%.)3. de,lasări &i rotiri i2,use ,e ori%e dire%4ie)$. te2,eraturi 0n noduri sau ,e ele2ente)#. for4e de iner4ie enerate de %12,ul ra*ita4ional ),entru %are sunt


). ,resiuni ,e ele2ent )de%larate %a for4e distri5uite liniar ,e ,or4iuni dinluni2ea 5arei.' se ,ot de%lara ,resiuni ,e dire%4ia a6ei J &i +' relati* la siste2ul dea6e leat de ele2ent

""

Ta6e!u! .%9/ Cara%teristi%i eo2etri%e ale unor se%4iuni

Se%tiunea < IJ I+ It +J '

π d(

$

π d $

B$

π d$

$

π d$

3(

"

9

π ) ./ d( (

$

− π ) ./ d$ $

$

− π ) ./ d$ $

$

− π ) ./ d$ $

3(

− ( (' ÷

5h 5 h3

( (

5h3 3h5b B

#

.ht 5t)( ( +

5.ht3 5t) (

( + ) .ht 5t h( 3

+

(

(

((

ht 5t

tth 5(

+ ≅

(

#

/in ta5ele de ,rofil I3

5t(ht 3

3

( + -

/in ta5ele de ,rofil 3

ht 5t( 3

3

( + -

?5ser*a4ii: Pentru se%4iunea inelară

(

(+J

/

d

/

d

"3'33''

+

+=

( Pentru ulti2ele trei se%4iuni se ,resu,une h' 5t't ( < <

"

E% Re+ultatele anali+ei de,lasările nodale /G' /' / &i rotirile RG' R R( eforturile din 5are: N' TJ' T+' t' J' + )*e+i ;i !(3d. Se

2en4ionea+ă %ă a%estea sunt ,o+iti*e da%ă se2nul lor 0n nodul Q )fa4a ,o+iti*ă ;P.este ,lus sau 2inus 0n nodul I )fa4a neati*ă ;N.

)3. tensiunile 0n 5are' %al%ulate de o5i%ei la noduri' %u rela4iile:

JI

:+

I

:

<

N

+

+

J

J±= )!!.

<

T

J

6J = <

T +6+ = )!9.

%I:

t

tr = )!".

unde: % este o %onstantă de%larată la di2ensiunile se%4iunii /e o5i%ei tensiunile σ se%al%ulea+ă 0n %ol4urile dre,tunhiului 0n %are se 0ns%rie se%4iunea

Tre5uie 2en4ionat %ă de fa,t distri5u4ia tensiunilor tanen4iale ,roduse defor4ele tăietoare se o54ine 0n re+isten4a %u rela4ia lui Qura*si:

++

+J

6JI 5

ST =

JJ

J+

6+I 5

ST = )!.

iar tensiunile τ de răsu%ire se %al%ulea+ă fun%4ie de for2a se%4iunii' asfel se ,une*identă:

i. ,entru se%4iuni %ir%ulare &i inelare:

r I

:

t

t= (

/

I

:

t

t2a6 = )!(.

0n %are: r este ra+a %urentă' &i d K / ,entru se%4iunea %ir%ularăii. ,entru se%4iuni %hesonate )*e+i ;i !($a.

q(

: t=

2in

t2a6

q(

: = )!3.

iii. ,entru se%4iuni des%hise )*e+i ;i !($5.

t

I

:

t

t= 2a6

t

t2a6 t

I

: = )!$.

i*. ,entru se%4iuni dre,tunhiulare )*e+i ;i !($% &i Ta5elul !(.

(

t<2a6

h5

: == <B c = )!#.


F% Stru%tura fi&ierului %u date de intrare

"(

/ate enerale des,re dis%reti+are NN NE( /ate des,re 2ateriale

N<T<TI E L niu3 /ate des,re ,ro,rietă4ile se%4iunilor

NSECTSECTI < IJ I+ It ;iJ ;i+$ /ate des,re noduri

NI BG B B BGG B B G # /ate des,re ele2enteEI I Q F <T SECT /ate des,re 0n%ăr%ări %u for4e &i 2o2ente

N; NI; ;G ; ; G

G% Prora2ul de lu%ru

C</SPEGE<%est ,rora2 a fost %on%e,ut astfel 0n%1t lu%rea+ă %u no4iunile )datele. de la ,un%tele ,'E %are nu sunt in%luse 0ntre ,arante+e Pora2ul este de fa,ti2,le2entarea 2etodei de,lasărilor )2etoda de %al%ul e6a%tă. ,entru siste2e de%adre s,a4iale' 025inate riid )sudate. &i ,oate su,lini ,rora2ul CEGE ,rin

5lo%area %ores,un+ătoare a radelor de li5ertate nefolosite

J% S%he2a loi%ă a ,rora2ului %oin%ide %u %ea ,re+entată 0n ;i 7(

Ap!i#aţii

CA)(1 ? ,iesă din o4el este %onfe%4ionată dintr-o ti=ă de se%4iunedre,tunhiulară #"× (# ,rin 0ndoire 0n două ,lane la 9"° %a 0n ;i !(# Piesa estesoli%itată %u două for4e ; &i (; 0n %ol4urile din %a,ătul li5er Pentru EK('" # Pa'

3'" = &i ;K$"" N se %ere: a. de,lasarea %a,ătului li5er al ,iesei 5. să se trase+ediara2ele de eforturi %. să se deter2ine tensiunile 2a6i2e

"3

Fig%.%8:/ Pro5le2a C</S Fig% .%8@/ odel ,entru ,ro5le2a C</S

Re+ol*are

/eoare%e ,iesa se %o2,une din trei ,ăr4i %are ,ot fi %onsiderate 5are' se *are%ure la re+ol*area ,ro5le2ei ,rin 2odelare %u BE< ;ie%are tronson se2odelea+ă ,rin a6a 5arei &i se%4iunea %ores,un+ătoare /eoare%e ,iesa s-a o54inut

dintr-o 5ară este %lar %ă se%4iunea 5arelor este a%eeasi dar ,o+i4ia ei se s%hi25ă ,efie%are tronson' din a%est 2oti* tre5uie sta5ilită %u ri=ă ,o+i4ionarea a6elor 5arelor0n siste2ul lo5al de a6e ? solu4ie de aleere a a6elor 5arelor ar ,utea fi %ea

,re+entată 0n ;i !( ;or4ele a%tionea+ă ,e %ol4urile %a,ătului li5er &i tre5uietransferate )%onfor2 reulilor de redu%ere a torsorilor. la a6a 5arei )*e+i ;i !(./a%ă se studia+ă %u aten4ie orientarea 5arelor' se %onstată %ă ,entru a defini %ore%t

5ara 3 se i2,une de%lararea unui nod su,li2entar # 0n ,lanul + K $('# <%est nodsu,li2entar se ,oate e*ita ,rin introdu%erea a două ,ro,rietă4i de se%4iuni' adi%ă seintrodu%e o a doua se%4iune %u a6ele J &i + s%hi25ate 0ntre ele

;i&ierul %u date de intrare cads# este:

# 3 (""""""E\"# !"79(3E\"$ 3"""""""E-" (#""\"3 ("$7E\"# #"$(E\"$ 7!9"E\"# ("\"" ("E\"" " " " " " " #7#"""""E\"( """"""""E\"" """"""""E\"" ( " " " " " " #7#"""""E\"( 3!7#""""E\"( """"""""E\"" 3 " " " " " " #7#"""""E\"( 3!7#""""E\"( $(#""""E\"(

"$

$ """"""""E\"" 3!7#""""E\"( $(#""""E\"( # """"""""E\"" """"""""E\"" $(#""""E\"( ( 3 ( ( 3 3 3 $ # """"E\"" -!"""E\"( -$"""E\"( -"""E\"$ -"""E\"$ -("""E\"$

Nodul # este total 5lo%at 0ntu%1t' din li,sa de *erifi%ări )el nu a,ar4ineele2entelor de%1t ,entru de%lararea orientării.' ar ,rodu%e 2atri%ea de riiditateredusă sinulară

Yn ur2a rulării ,rora2ului se o54ine listinul:/<TE /ESPRE <TERI<>E<T E L niu

(""""""E\"# !"79(3E\"$ "3"""/<TE /ESPRE SECTINISECT < IJ I+ It ;iJ ;i+ (#"E\"3 ("$(E\"# #"$E\"$ 7!9E\"# (E\"" (E\""

N?/ BG B B BGG B B G " " " " " " #7#"E\"( """"E\"" """"E\""

( " " " " " " #7#"E\"( 3!7#E\"( """"E\""

3 " " " " " " #7#"E\"( 3!7#E\"( $(#E\"( $ """"E\"" 3!7#E\"( $(#E\"( # """"E\"" """"E\"" $(#E\"(E>E I Q F <T SECT ( 3 ( ( 3 3 3 $ #

N?/ ;G ; ; G """"E\"" -!"""E\"( -$"""E\"( -"""E\"$ -"""E\"$ -("""E\"$

( """"E\"" """"E\"" """"E\"" """"E\"" """"E\"" """"E\"" 3 """"E\"" """"E\"" """"E\"" """"E\"" """"E\"" """"E\""

$ """"E\"" """"E\"" """"E\"" """"E\"" """"E\"" """"E\"" # """"E\"" """"E\"" """"E\"" """"E\"" """"E\"" """"E\""

N<R> EC<TII>?R NEC K !SEIB<N/< <TRICII /E RILI/IT<TE >B K (

/EP><S<RI N?/<>E N?/ /G / / RG R R

"#

-$!$"!E\"" -!!97E\"" 3"$(E\"" -!393(E-"3 7#(E-"$ -(9E-"( ( -$9"$E -" -!!9#9E\"" -$37E -" -"3"E-"( "9$E-"3 -#$E-"( 3 #"7E -$ -39##3E\"" -$3"E-" -!9#3(E-"3 "$"E-"3 -"#$E-"( $ """"" """"" """"" """"" """"" """"" # """"" """"" """"" """"" """"" """""E;?RTRI IN B<RE E>EENT> N?/ N?/ (

N -!"""""""E\"( !"""""""E\"(TJ -$"""""""E\"( $"""""""E\"(T+ """"""""E\"" """"""""E\""

t -"""""""E\"$ """""""E\"$J -("""""""E\"$ ("""""""E\"$+ -"""""""E\"$ -$#"""""E\"# E>EENT> ( N?/ ( N?/ 3

N -$"""""""E\"( $"""""""E\"(TJ !"""""""E\"( -!"""""""E\"(T+ ((3#("""E-"! -((3#("""E-"!t -("""""""E\"$ ("""""""E\"$J """""""E\"$ -"""""""E\"$+ $#"""""E\"# ((#"""""E\"#

E>EENT> 3 N?/ 3 N?/ $ N -(##9"""E-"! (##9"""E-"!TJ !"""""""E\"( -!"""""""E\"(T+ -$"""""""E\"( $"""""""E\"(t ((#"""""E\"# -((#"""""E\"#J """""""E\"$ ((""""""E\"#+ -("""""""E\"$ $!""""""E\"#

/e,lasarea nodului re,re+intă de,lasarea %a,ătului li5er )%entrul se%4iunii

de %a,ăt. de%i: #7#!'"."$('3).!97'!).!$"!'$) (((

=+−+−= 22

/iara2ele de eforturi re,roduse de ,e 2onitor sunt ,re+entate 0n ;i !(7Pentru deter2inarea tensiunilor 2a6i2e se o5ser*ă %ă se%4iunea ,eri%uloasă este 0n0n%astrare /istri5u4ia tensiunilor 0n se%4iune se ,re+intă 0n ;i !(!

Tensiunea (!'3('('9(2a6 =+= Pa se atine 0n %ol4ul # )%onfor2rela4iilor !!.' a%eea&i tensiune de %o2,resiune 0nsă' se atine &i 0n %ol4ul

"

Fig% .%8/ /iara2ele de eforturi ,ro5le2a C</S

"7

Soli%itarea fiind %o2,usă' interesea+ă*aloarea tensiunii e%hi*alente 2a6i2e %are se

,oate sta5ili %onfor2 teoriei a III-a de re+isten4ă%u rela4ia:

((

e%h $ += )!.

Yn ,un%tele ( &i se o54ine:

!'"9(7'(9$'9( ((

2a6'e%h =⋅+=Pa

6+:

t

:

J

6+T+

:

+

6J

TJ

Fig% . %8./ /istri5u4ia tensiunilor0n 0n%astrare ,entru C</S

CA)(8 Yn ;i !(9 se ,re+intă un ,rofil 0n%astrat la un %a,ăt Să sedeter2ine de,lasările &i rotirile %a,ătului li5er su5 a%4iunea reută4ii ,ro,rii Se daut K $ 22 > K ( 2 ρ K 7!"" F23 K " 2s(' E K #"( ⋅ Pa' 3'" =

Fig% .%8B/ Pro5le2a C</S(

Re+ol*are

Se %unoa&te fa,tul %ă da%ă re+ultanta for4elor nu tre%e ,rin %entrul de0n%o*oiere-răsu%ire )CIR. al unei se%4iuni )%u2 este %a+ul ,ro5le2ei de 2ai sus. ,el1nă de,lasări de 0n%o*oiere a,ar &i rotiri ale se%4iunii 0n =urul CIR /a%ă 5ara se2odelea+ă %u ele2ente BE< %are re,rodu% a6a 5arei )tre% ,rin %entrul de reutateal se%4iunilor L. 0n%ăr%area 2odelului *a %onsta 0ntr-o for4ă unifor2 distri5uităenerată de reutatea ,ro,rie , K ρ< Cu a%est 2odel ,lan )*e+i ,ro5le2aC</P3a. rotirile 0n =urul CIR nu ,ot fi 8,rinse

"!

? altă solu4ie ar fi 2odelarea 5arei %u ele2ente BE< %are tre% ,rin CIR Yna%eastă situa4ie efe%tul for4ei distru5uite , se redu%e la a6a 5arei ,rintr-o for4ădistri5uită , &i un 2o2ent de răsu%ire distri5uit de-a lunul 5arei 2 t K ,5 /a%ă2odelă2 5ara %u " ele2ente atun%i fi&ierul %u date de intrare cads, este:

( " ("""""""E\"# 79(3"77E\"$ 3"""""""E-" (#"E\"( 93"33E\"3 3!3E\"$ 3#33E\"3 """E\"" """E\""

" " " " " " ("""""""E\"3 """"""""E\"" """"""""E\""

( " " " " " " !""""""E\"3 """"""""E\"" """"""""E\"" 3 " " " " " " """"""E\"3 """"""""E\"" """"""""E\"" $ " " " " " " $""""""E\"3 """"""""E\"" """"""""E\"" # " " " " " " (""""""E\"3 """"""""E\"" """"""""E\"" " " " " " " """""""E\"3 """"""""E\"" """"""""E\"" 7 " " " " " " !"""""""E\"( """"""""E\"" """"""""E\"" ! " " " " " " """""""E\"( """"""""E\"" """"""""E\"" 9 " " " " " " $"""""""E\"( """"""""E\"" """"""""E\"" " " " " " " " ("""""""E\"( """"""""E\"" """"""""E\"" """"""""E\"" """"""""E\"" """"""""E\"" ( """"""""E\"" """""""E\"( """"""""E\""

( ( ( ( 3 ( 3 3 $ ( $ $ # ( # # ( 7 ( 7 7 ! ( ! ! 9 ( 9 9 " ( " " ( "

"""E\"" -99!"E\"" """E\"" ($($9E\" """E\"" """E\"" ( """E\"" -3993"E\"" """E\"" $!$9!(E\" """E\"" """E\"" 3 """E\"" -3993"E\"" """E\"" $!$9!(E\" """E\"" """E\"" $ """E\"" -3993"E\"" """E\"" $!$9!(E\" """E\"" """E\"" # """E\"" -3993"E\"" """E\"" $!$9!(E\" """E\"" """E\"" """E\"" -3993"E\"" """E\"" $!$9!(E\" """E\"" """E\"" 7 """E\"" -3993"E\"" """E\"" $!$9!(E\" """E\"" """E\"" ! """E\"" -3993"E\"" """E\"" $!$9!(E\" """E\"" """E\""

"9

9 """E\"" -3993"E\"" """E\"" $!$9!(E\" """E\"" """E\"" " """E\"" -3993"E\"" """E\"" $!$9!(E\" """E\"" """E\""

Re+ultatele 0n de,lasări sunt:

/EP><S<RI N?/<>E N?/ /G / / RG R R """""E\"" -##373E\"" """""E\"" $7!E-"3 """""E\"" -397E-"3 ( """""E\"" -$79!E\"" """""E\"" $#7E-"3 """""E\"" -39(E-"3 3 """""E\"" -$"9E\"" """""E\"" $$33"E-"3 """""E\"" -3$#E-"3 $ """""E\"" -333#(E\"" """""E\"" $("((E-"3 """""E\"" -3#9(!E-"3

# """""E\"" -((9(E\"" """""E\"" 3!7!9E-"3 """""E\"" -3$#$!E-"3 """""E\"" -9#9(E\"" """""E\"" 3$33E-"3 """""E\"" -3((!#E-"3 7 """""E\"" -3$#E\"" """""E\"" (9##$E-"3 """""E\"" -(!99E-"3 ! """""E\"" -!(7E -" """""E\"" (3##E-"3 """""E\"" -($((!E-"3 9 """""E\"" -3!3(E -" """""E\"" ($E-"3 """""E\"" -799(E-"3" """""E\"" -"339E -" """""E\"" !7737E-"$ """""E\"" -99!9(E-"$ """""E\"" """""E\"" """""E\"" """"E\"" """""E\"" """""E\""

?5ser*a4ie<%eastă ulti2ă 2odelare' 2ai %ore%tă de%1t ,re%edenta enun4ată' nu este

a%%e,ta5ilă deoare%e ele2entul BE< nu ,oate ,rinde efe%tele enerate de 5arele

%u ,ere4i su54iri )5i2o2ente' 2o2ente de răsu%ire 02,iedi%ată' et%. Yn %on%lu+ie ,entru a 2odela 5are %u ,ere4i su54iri 0n%ăr%ate %u for4e %e nu tre% ,rin CIR se *aalee un ele2ent finit %ores,un+ător' totu&i ,entru situa4ii 2ai ,u4in ,reten4ioase se

,oate folosi ele2entul BE< ,o+i4ionat 0n dre,tul ,un%telor CIR

CA)(9% ? stru%tură ,lană for2ată din 5are %ir%ulareφ!" din o4el este 0n%ăr%ată %ufor4e ,er,endi%ulare ,e ea %a 0n;i !3" Ştiind %ă E K ('"#

Pa L K!"$ Pa dK!" 22

a K "'# 2 &i ; K( N se %ere:a. de,lasarea ,un%tului

5. să se fiure+e diara2ele deeforturi%. să se deter2ine tensiuneae%hi*alentă 2a6i2ă Fig% .%90/ Pro5le2a C</S3

Re+ol*are

"

/atorită du5lei si2etrii ,ro5le2a se ,oate trata ,e un sfert /in ta5elul !3 se ,ot alee rela4iile de %al%ul ,entru ,ro,rietă4ile se%4iunii' iar din ta5elul $ se ale%ondi4iile la li2ită %ores,un+ătoare si2etriilor Bara' %a &i for4a din a6a de si2etrietăiate ,e luni2e' datorită si2etriei 02,arte 2ări2ile ,ro,rietă4ilor de se%4iune ladoi Cu a%este 2en4iuni fi&ierul datelor de intrare cads- este:

# # (""""""E\"# !"""""""E\"$ 3(#""""E-" ( #"(#$E\"3 (""(E\" (""(E\" $"(($E\" """E\"" """E\""

( (#3(7E\"3 ""#3E\" ""#3E\" (""(E\" """E\"" """E\"" " " " """"""""E\"" """"""""E\"" """""""E\"3 ( " " " " " " #"""""""E\"( """"""""E\"" """""""E\"3 3 " " " " " #"""""""E\"( """"""""E\"" #"""""""E\"( $ " " " #"""""""E\"( """"""""E\"" """"""""E\"" # " " " """"""""E\"" """"""""E\"" #"""""""E\"( ( 3 ( ( 3 3 3 $ $ $ # ( # # ( (

( ( """"E\"" -("""E\"3 """"E\"" """"E\"" """"E\"" """"E\"" $ """"E\"" -("""E\"3 """"E\"" """"E\"" """"E\"" """"E\""

Fig% .%91/ /is%reti+area &i %ondi4iile la li2ită ,entru ,ro5le2a C</S3

Se%4iunea fiind %ir%ulară ,o+i4ia nodului F )de ,re%i+are a orientării 5arei.este ar5itrară 0n afara a6ei 5arei /is%reti+area se ,oate ur2ări 0n ;i !3 Seo5ser*ă %a 5lo%a=ele se fiurea+ă 0n 8%od nu2eri% Re,re+entarea 0n%ăr%ărilor 0n

2od rafi% se fa%e 0n nodurile 0n %are e6istă %el ,u4in o *aloare nenulă' ,rin0n&iruirea nodului &i a %elor 0n%ăr%ări %u *alorile rotun=ite la 0ntrei

Rul1nd fi&ierul se o54in re+utatele:

/EP><S<RI N?/<>E N?/ /G / / RG R R """""E\"" -337(7E-" """""E\"" 3(9E-"$ """""E\"" """""E\"" ( """""E\"" -3$(37E-" """""E\"" !33E-"$ """""E\"" -!#3(E-" 3 """""E\"" """""E\"" """""E\"" 37"!9E-"$ """""E\"" (7$$E-"# $ """""E\"" $"$"7E-"( """""E\"" """""E\"" """""E\"" (!"E-"# # """""E\"" -7$"(E-"( """""E\"" 33"E-"$ """""E\"" """""E\""

E;?RTRI IN B<RE E>EENT> N?/ N?/ (

N """"""""E\"" """"""""E\""TJ """"""""E\"" """"""""E\""T+ ("#("""E\"( -("#("""E\"(t -9$"9"""E\"$ 9$"9"""E\"$J -373(""""E\"$ -((9$("""E\"$+ """"""""E\"" """"""""E\"" E>EENT> (

N?/ ( N?/ 3 N """"""""E\"" """"""""E\""TJ """"""""E\"" """"""""E\""T+ -!79#"""E\"3 !79#"""E\"3t ((9$("""E\"$ -((9$("""E\"$J 9$"9"""E\"$ !$333"""E\"#+ """"""""E\"" """"""""E\"" E>EENT> 3 N?/ 3 N?/ $

N """"""""E\"" """"""""E\""TJ """"""""E\"" """"""""E\""

T+ (("#"""E\"3 -(("#"""E\"3t ((9$("""E\"$ -((9$("""E\"$J -!$333"""E\"# -(93"""E\"#+ """"""""E\"" """"""""E\"" E>EENT> $ N?/ $ N?/ #

N """"""""E\"" """"""""E\""TJ """"""""E\"" """"""""E\""

(

T+ ("#("""E\"( -("#("""E\"(t 377"""E\"# -377"""E\"#J -9("""E\"# !$39$"""E\"$+ """"""""E\"" """"""""E\"" E>EENT> # N?/ # N?/

N """"""""E\"" """"""""E\""TJ """"""""E\"" """"""""E\""T+ ("#("""E\"( -("#("""E\"(t """"""""E\"" """"""""E\""J -#7"""E\"# 9$"9"""E\"$

+ """"""""E\"" """"""""E\""

/e%i de,lasarea nodului ' 0n a%est 2odel nodul ( este = "'3$(37 22)fără %onsiderarea efe%tului for4ei tăietoare.

/iara2ele de eforturi re,roduse de ,e 2onitor se ,re+intă 0n ;i !3(

Fig% .%98/ /iara2e de eforturi C<S/3

Pentru se%4iuni %ir%ulare &i inelare tensiunea e%hi*alentă se ,oate deter2ina%u rela4ia:

(

/

I

:

J

e%he%h = ' )!7.

unde: (

+

(

J

(

te%h :::: ++= ' iar efe%tul for4elor a6iale &i tăietoare se neli=ea+ă

0n %al%ulul tensiuniloro2entul e%hi*alent 2a6i2 se atine 0n nodul 3' de%i:

=+

=3

((

2a6'e%h!"

!$3$$"((7973( '7!# Pa

TE]: Trata4i ,ro5le2a fără a folosi si2etria

3

?5ser*a4ii: Stru%turile ,lane 0n%ăr%ate %u for4e ,er,endi%ulare )sau 2o2enteenerate de a%este 0n%ăr%ări.' denu2ite 8LRI><QE ,ot fi reduse la 3 L>N )T' RG&i R ,entru siste2ul de a6e lo5al ales %u a6ele G &i 0n ,lanul %adrelor. 0ntru%1trestul de,lasărilor &i rotirilor sunt nule

TE]: Relua4i ,ro5le2a 5lo%1nd TG' T &i R ,entru toate nodurile

CA)(+% Cadrul ,lan din ;i !33 de se%4iune inelară este 0n%ăr%at %u for4a ; ,er,endi%ulară ,e ,lanul %adrului Stiind %ă / K (( 22 d K 93 22 a K"'$ 2E K ("$ Pa L K !'"$ Pa ; K ( N se %ere:a. Să se deter2ine de,lasarea ,un%tului de a,li%a4ie al for4ei

5. Să se deter2ine tensiunea e%hi*alentă 2a6i2ă

Răspuns/ δ K "'3# 22 =2a6'e%h !" Pa

Fig% .%99/ Pro5le2a C</S$ Fig% .%9+/ Pro5le2a C</S#

CA)(:% Siste2ul de sus4inere din ;i !3$ este for2at dintr-o 5ară %otită'de se%4iune %ir%ulară din o4el Cunos%1nd d K #" 22 EK("# Pa νK"'3 a K "'$2 5 K "'# 2 si σa K#" Pa să se deter2ine for4a %a,a5ilă ,e %are o ,oate sus4inesiste2ul fără să de,ăseas%ă tensiunea ad2isi5ilă

Răspuns/ ;%a, K 7(79 N

CA)(@ Bara %otită de se%4iune %ir%ulară din ;i !3# are a K "'# 2E K ("# Pa d K 7" 22 ν K "'3 ; K " N Să se deter2ine saeata 2a6i2ă a

5arei &i să se %al%ule+e tensiunea e%hi*alentă 2a6i2a Se ,re%i+ea+ă %ă toate rotirile0n laăre sunt ,er2ise

$

Indi%a4ie: Pro5le2a se ,oate trata ,e =u2ătate' ur2ări4i %a,itolul $ &i ,re%i+a4i 0n %e%ateorie de si2etrie se 0n%adrea+ă ,ro5le2a

Răspuns/ δ2a6 K ("'73$ 22 σe%h'2a6 K Pa

Fig% .%9:/ Pro5le2a C</S Fig% .%9@/ Pro5le2a C</S7

CA)(% Bara %otită din ;i !3 de se%4iune %ir%ulară %onstantă este0n%ăr%ată %u for4ele ; &i ;( >aărul din < nu ,er2ite de,lasări ,e ni%i o dire%4ie'%el din B ,er2ite de,lasarea 0n lunul 5arei <B iar rea+e2ul din C nu ,er2itede,lasări ,e *erti%ală Să se afle de,lasarea ,un%tului de a,li%a4ie al for4elor &itensiunea 2a6i2ă din 5ară Se dau: d K !" 22 E K ("# Pa ν K "'3 a K "'! 2; K N ;( K! N

Răspuns/ u K '7#( 22 * K ('#7 22 [ K 7'#39 22 σ2a6 K "'9 Pa

CA)(. ? 5ară de se%4iune dre,tunhiulară este 0ndoită 0n for2ă de se2i-inel %a 0n ;i !37 Stiind %ă E K ("# Pa ν K "'3 RK#" 22 ;K(# N 5 K # 22h K ! 22' să se afle săeata 2a6i2ă a 5arei &i tensiunea e%hi*alentă 2a6i2ă

Răspuns/ δ K '"" 22 σe%h'2a6 K "'$ Pa

CA)(B% Se dă %adrul de se%4iune %ir%ulară din ;i !3!' 0n%ăr%at la %a,etele

< &i B %u for4ele ; Stiind %ă a K "'# 2 d K "" 22 E K ('" # Pa =L

E(' ; K

3#'$$# N Să se %al%ule+e de,lasarea relati*ă 0ntre < &i B &i tensiunea 2a6i2ă 0n 5ară

#

Fig% .%9/ Pro5le2a C</S! Fig% .%9./ Pro5le2a C</S9

Indi%a4ii: Ue+i ,ro5le2a <RTP3 nul din ,un%tele < sau B se ,oate 0n%astra

Răspuns/ δ<B K ('( 22 σe%h'2a6 K #" Pa

CA)(10 Pentru rila=ul din ;i !39 se dau: a K #"" 22 E K ('" # PaL K !"$ Pa ; K N d K 7" 22 Se %ere: a. de,lasarea ,un%tului 5. să setrase+e diara2ele de 2o2ente %. tensiunea e%hi*alentă 2a6i2ă

Răspuns/ δ K "'$97 22 σe%h'2a6 K '3 Pa

Fig% .%9B/ Pro5le2a C</S" Fig% .%+0/ Pro5le2a C</S

CA)(11 n ar% eli%oidal for2at din două s,ire este 0n%ăr%at %u o for4ă ; %a

0n ;i !$" Ştiind %ă ; K N L K !'"$

Pa ν K "'3 d K " 22 R K $" 22&i h K #" 22' se %er: a. să se deter2ine săeata 2a6i2ă a ar%ului 5. tensiunea2a6i2ă din ar% %. să se %o2,are re+ultatul o54inut ,rin E; %u %el teoreti% ,entruar%uri %u s,ire str1nse:

$

3

ar%Ld

i;R B$f = 32a6

d

;R =

Indi%a4ie: Se des%o2,une eli%ea ar%ului 0n ele2ente BE<' )%1te ,e s,iră.Răspuns/ f K "'(3# 22 σe%h'2a6 K $"9 Pa

CA)(18 /ouă %er%uri identi%e de se%4iune dre,tunhiulară sunt sudate %a0n ;i !$ Ştiind %ă E K ("# Pa L K !"$ Pa' R K "" 22 ;K""" NK"""" N22 se %ere să se %al%ule+e de,lasarea relati*ă 0ntre ,un%tele de a,li%a4ieale 0n%ăr%ărilor 0n %ele două situa4ii de 0n%ăr%are: a. 0ntindere 5. răsu%ire

Fig% .%+1/ Pro5le2a C</S(

Răspuns/ δ K "'!#97 22 ϕ K "'9$$"-3 rad

7

Cap% B% Mo3e!area p!ană a unor pro6!ee 3e ana!i7ă stati#ăstru#tura!ă

B%A% E!eentu! triung;iu!ar #u trei no3uri DC(T

A% Cara%teristi%i ,rin%i,ale ale ele2entului CST );i 9.: este enerat de trei noduri I' Q' F %are tre5uie de%larate 0n sensul dat de

rotirea a6ei G ,este ,e dru2ul %el 2ai s%urt ( are două rade de li5ertate ,e nod )L>N K (.' de,lasări G &i )G' .3 are rosi2e %onstantă &i ,oate fi 0n%ăr%at %u for4e la noduri

Fig% B%1/ Ele2entul CST

$ ele2entul se ,oate folosi ,entru 2odelarea stării ,lane de tensiune )SPT.&i stării ,lane de defor2a4ie )SP/.# 2atri%ea de riiditate 0n %oordonate lo5ale este:

[ ] [ ] [ ][ ]<tB/BF Te = ' )9.

0n %are:

[ ]

=

= =ii

=i

=i

5% 5% 5%

%"%"%"

" 5" 5" 5

<(

B )9(.

.F ).F )G

.Q).Q)G

.I).I)G

(< = )93.

.I)G.Q)G%.Q).I) 5

.F )G.I)G%.I).F ) 5

.Q)G.F )G%.F ).Q) 5

= =

ii

−=−=−=−=−=−=

)9$.

!

[ ]

−−=

(

""

"

"

E/

( ,entru SPT )9#.

[ ]

−−

−

−+=

(

(""

"

"

. (.) )

E/ ,entru SP/ )9.

u+ual ele2entul este denu2it CST )Constant (train Trianle.

,% /ate leate de ele2ent rosi2ea ele2entului - t( ti,ul anali+ei sau ti,ul ele2entului )SPT sau SP/.

C% /ate des,re 2aterialul ele2entului 2odulul de elasti%itate lonitudinal - E( %oefi%ientul lui Poisson - niu)3. %oefi%ientul de dilatare ter2i%ă - α)$. densitatea 2aterialului - ρ)#. a%%elera4ia ra*ita4ională sau reutatea s,e%ifi%ă - γ K ρ

)% /ate des,re 0n%ăr%ări 5lo%a=e la transla4ie 0n dire%4ia G - BG &i 0n dire%4ia - B( for4e la noduri 0n dire%4ia G - ;G &i - ;)3. de,lasări i2,use ,e ori%e dire%4ie)$. te2,eraturi 0n noduri sau 0n ele2ente)#. for4e de iner4ie' enerate de %12,ul ra*ita4ional ),entru %are sunt

ne%esare %a date de intrare ρ' dire%4ia &i sensul ra*ita4iei.' sau enerate de2i&%area de rota4ie unifor2ă ),entru %are tre5uie ,re%i+ate a6a de rota4ie &i *ite+aunhiularăω.

). ,resiuni' distri5uite liniar sau %onstante ,e laturile ele2entului <%este ,resiuni )sau for4e disti5uite liniar. se e%hi*alea+ă la nodurile ele2entului ,rin for4e%on%entrate )*e+i ;i !( 0n %are se neli=ea+ă 2o2entele.

E% Re+ultatele re+ol*ării de,lasările nodale /G' /( tensiunile 0n siste2ul lo5al de a6e SG' S' SG' ,re%u2 &i tensiunile

,rin%i,ale S' S( &i unhiul <>;< ,e %are 0l fa%e dire%4ia tensiunii ,rin%i,ale S %ua6a G )*e+i ;i 9. Se 2en4ionea+ă %ă tensiunile sunt %onstante ,e ele2ent' dar

9

*alorile o54inute din %al%ul se %onsideră %ore%te 0n %entrul de reutate al triunhiuluiTensiunile din ele2ent se deter2ină %u rela4ia:

[ ] [ ] eB/

SG

S

SG

=

)97.

Pentru %ore%tarea distri5u4iei tensiunilor' de o5i%ei' se re%ure la medierea

lor 0n noduri du,ă di*erse 2etode' %ea 2ai si2,lă 2ediere' fără a 4ine sea2a deariile ele2entelor *e%ine' este in%lusă 0n ,rora2ul de %al%ul Confor2 a%esteireuli' da%ă 0ntr-un nod I sunt 8n ele2ente *e%ine )*e+i ;i 9(.' atun%i tensiunea2edie 0n nod se deter2ină %u rela4ia:

n

S

S

n

i

i

2'I

∑== )9!a.

Se ,oate folosi &i rela4ia %are 4ine %ont de ariade ,arti%i,are la nod:

∑

∑

=

==n

i

i

i

n

i

i

2'I

<

<S

S ' )9!5.Fig% B%8/ Ele2ente *e%ine unui nod I

0n %are:

SI'2 -*aloarea 2edie a tensiunii 0n nodul ISi -*aloarea tensiunii 0n ele2entul i )iKn.;<

0n nod sau se ,ot 2edia toate tensiunileYn ,ra%ti%ă' ,entru ,re%i+area radului de soli%itare' este utilă deter2inarea

unei tensiuni e%hi*alente de soli%itare %onfor2 unei teorii de re+isten4ă' de o5i%ei sefolose&te teoria a U-a )a eneriei de 2odifi%are a for2ei.' denu2ită &i *on ises%onfor2 %ăreia tensiunea e%hi*alentă Se%h se deter2ină %u rela4ia:

(SS(SSSe%h (( ⋅−+= )99.

)3. defor2a4iile s,e%ifi%e din ele2ent' %al%ulate %u rela4ia: [ ] eB = )9".



/ate enerale NN NE TIPE

("

( /ate des,re noduri NI BG B G 3 /ate des,re ele2enteEI I Q F E niu t$ /ate des,re 0n%ăr%ări %u for4e

N; NI; ;G ;

G% Prora2ul de lu%ruCSTP>EGE<%est ,rora2 a fost %on%e,ut astfel 0n%1t lu%rea+ă %u no4iunile )datele. de la

,un%tele ,'E nein%luse 0ntre ,arante+e

J% S%he2a loi%ă a ,rora2ului %oin%ide %u %ea ,re+entată 0n ;i 7( Siste2ul dee%ua4ii %are se re+ol*ă este sto%at 0n 2e2oria R< a %al%ulatorului su5 for2ă de2atri%e 5andă /i2ensiunea 2a6i2ă a ,ro5le2elor %e ,ot fi re+ol*ate re+ultă dinnu2ărul ne%unos%utelor &i lă4i2ea de 5andă Pentru a re+ol*a ,ro5le2e dedi2ensiuni 2ari se i2,une re%onsiderarea estionării resurselor hard )2e2oriae6tinsă. ? ,arte a re+ultatelor )0n s,e%ial tensiuni. sunt sto%ate 0n fi&iere )te6t . %are

se ,ot ur2ări du,ă fie%are rulare' astfel de e6e2,lu tensel este un fi&ier %u re+ultatetensiuni 0n ele2ente

Ap!i#aţii

C(T1% ? 5areta %a %ea din;i 93 este su,usă unei 0n%ăr%ări %ufor4a %on%entrată ,rin inter2ediulunei ,iese as%u4ite Cunos%1nd%ara%teristi%ile de 2aterial ale 5areteiE K ("# Pa si ν K "'3 ,re%u2 &i

rosi2ea ei t K # 22 > K "" 22h K (" 22' se %ere să se studie+edistri5u4ia defor2a4iilor &i tensiunilordin 5areta ,entru ;K" N

Fig%B%9/ Pro5le2a CST

Re+ol*are

(



Yntru%1t 5areta ,re+intă a6a de si2etrie &i si2etrie 0n 0n%ăr%are' 2odelul %uele2ente finite se ,oate de+*olta ,e =u2ătate din stru%tură /is%reti+area 5aretei%onstă 0n 02,ăr4irea )a%o,erirea do2eniului de anali+ăK82eshin. unei =u2ătă4i %uele2ente triunhiulare' se neli=ea+ă ,entru 0n%e,ut as,e%tul dis%reti+ării

Fig% B%+/ /is%reti+are ,entru ,ro5le2a CST

Se ado,tă o dis%reti+area din ;i 9$ ,entru %are fi&ierul %u date de intrarecst# este:

(( (" """"E\"" """"E\"" ( """"E\"" """E\" 3 " """E\" """"E\"" $ " " """E\" """E\" # " ("""E\" """"E\"" " " ("""E\" """E\" 7 " 3"""E\" """"E\""

! " " 3"""E\" """E\" 9 " $"""E\" """"E\"" " " " $"""E\" """E\" " #"""E\" """"E\"" ( " " #"""E\" """E\" 3 " """E\" """"E\"" $ " " """E\" """E\" # " 7"""E\" """"E\"" " " 7"""E\" """E\" 7 " !"""E\" """"E\"" ! " " !"""E\" """E\"

9 " 9"""E\" """"E\"" (" " " 9"""E\" """E\" ( " """E\"( """"E\"" (( " " """E\"( """E\" 3 $ ("""""E\"# "3"" #""E\"" ( 3 # ("""""E\"# "3"" #""E\"" 3 # 7 ! ("""""E\"# "3"" #""E\"" $ 7 9 " ("""""E\"# "3"" #""E\""

((

# 9 ( ("""""E\"# "3"" #""E\"" 3 $ ("""""E\"# "3"" #""E\"" 7 3 # ("""""E\"# "3"" #""E\"" ! # 7 ! ("""""E\"# "3"" #""E\"" 9 7 9 (" ("""""E\"# "3"" #""E\"" " 9 ( (( ("""""E\"# "3"" #""E\"" $ ( ("""""E\"# "3"" #""E\"" ( 3 $ ("""""E\"# "3"" #""E\"" 3 # ! ("""""E\"# "3"" #""E\"" $ 7 " ! ("""""E\"# "3"" #""E\"" # 9 ( " ("""""E\"# "3"" #""E\""

$ ( ("""""E\"# "3"" #""E\"" 7 3 $ ("""""E\"# "3"" #""E\"" ! # ! ("""""E\"# "3"" #""E\"" 9 7 (" ! ("""""E\"# "3"" #""E\"" (" 9 (( (" ("""""E\"# "3"" #""E\"" ( -#"""E\"3 """"E\""

Rul1nd ,ro5le2a se o54ine listinul:

<N<>I<N< PENTR ?/E> ST<RE P><N< /E TENSINE

N?/ BG B G """"" """"" ( """"" """"" 3 " """"" """"" $ " " """"" """"" # " (""""" """"" " " (""""" """"" 7 " 3""""" """"" ! " " 3""""" """"" 9 " $""""" """"" " " " $""""" """""

" #""""" """"" ( " " #""""" """"" 3 " """"" """"" $ " " """"" """"" # " 7""""" """"" " " 7""""" """"" 7 " !""""" """"" ! " " !""""" """""

(3

9 " 9""""" """"" (" " " 9""""" """"" ( " """""" """"" (( " " """""" """"" E>E I Q F E niu t 3 $ ("""""E\"# "3"" #"""" ( 3 # ("""""E\"# "3"" #"""" 3 # 7 ! ("""""E\"# "3"" #"""" $ 7 9 " ("""""E\"# "3"" #"""" # 9 ( ("""""E\"# "3"" #"""" 3 $ ("""""E\"# "3"" #""""

7 3 # ("""""E\"# "3"" #"""" ! # 7 ! ("""""E\"# "3"" #"""" 9 7 9 (" ("""""E\"# "3"" #"""" " 9 ( (( ("""""E\"# "3"" #"""" $ ( ("""""E\"# "3"" #"""" ( 3 $ ("""""E\"# "3"" #"""" 3 # ! ("""""E\"# "3"" #"""" $ 7 " ! ("""""E\"# "3"" #"""" # 9 ( " ("""""E\"# "3"" #"""" $ ( ("""""E\"# "3"" #"""" 7 3 $ ("""""E\"# "3"" #""""

! # ! ("""""E\"# "3"" #"""" 9 7 (" ! ("""""E\"# "3"" #"""" (" 9 (( (" ("""""E\"# "3"" #""""

N?/ ;G ;( -#"""" """""<TRICE< /E RILI/IT<TE <S<T< <RE NEC K 3" EC<TIISEI><TIE< <TRICII <S<TE ESTE >B K /EP><S<RI N?/<>E

N?/ /G / """"""""""E\"" """"""""""E\"" ( """"""""""E\"" """"""""""E\""

3 -$777###$("E-"3 """"""""""E\"" $ -$7"7("#"E-"3 (!(#3#"7(E -"3 # -979"$3E-"3 """"""""""E\"" -9!!3!$E-"3 $#9"7$"E -"3 7 -$7"($7393E-"( """"""""""E\"" ! -$!9#"!E-"( $9""##(9$E -"3 9 -999"!(E-"( """"""""""E\"" " -9!!#779E-"( $97(7($$3E -"3

($

-($7"#9$"7!E-"( """"""""""E\"" ( -($!(!(33E-"( $99#3#!"E -"3 3 -(973"$!!(#E-"( """"""""""E\"" $ -(9#!973"E-"( #"""$!77E -"3 # -3$!"!3(!(7E-"( """"""""""E\"" -3$#!"$!($E-"( #"37$3$E -"3 7 -$""$997$7!E-"( """"""""""E\"" ! -393$3"7"#!E-"( #"3779"(E -"3 9 -$#7973$7#E-"( """"""""""E\"" (" -$3"997$#(E-"( #!#"77$E -"3 ( -#3""3#"#7E-"( """"""""""E\""

(( -$3!(!!#E-"( $3"9("3E -"3TENSINI IN E>EENTEE>E SG S SG S S( <>;< Se%h -9#$$9$3E\" -33(7!$E\"" #$#3"E-" -9#$!"!$E\" -33"9$"$E\"" -33(##($"E-" 9$93#$E\" ( -9!9!#($!E\" -#$"9(37E-" (3!((7(E-" -9!9!#!($E\" -#3#"$E-" -3!($!E-" 9!73""!E\" 3 -997"""("E\" -"!9""3E-" 99737((E-"( -997""("E\" -"!!""(#E-" -#7379$9E-"( 99$#7$E\" $ -999##""E\" -$"#$$3E-"( !$!9!7"7E-"(

-999##"!(E\" -$"9!(""3E-"( -$!!#(("E-"( 9993$#97E\" # -""$(((E\"( -#93###9E-"( !9!"3E-" -""$(#!E\"( -##7"99E-"( -"!#!"(9E-" ""!E\"( -""#3(!!E\"( -397(E-" #"!$!E-" -""#3"7E\"( -3#7$3#E-" -3(3"#!E-" ""$7!#E\"( 7 -"!"E\"( -$3"997!E-" 7#(9#E\"" -"7$3E\"( -$""!#3E-" -993(3E-" "#9E\"( ! -"#($($9E\"( -3#!!"E\"" #$377($E\"" -"##(3E\"( -"!3("E\"" -(9!!$"!E\"" "$9!9!!E\"( 9 -!"$3E\"( -$$!$"9(7E\"" 7!(77E\" -!$7"E\"( -("973E\"" -!3(9$!(E\"" 7#(E\"(

" -$9"7"#E\"( -"73(E\" #"9(9$9"E\" -33(#E\"( #!$(3$E\"" -!7(73"3E\" 9!$7E\"( -"3$##"E\"( -3"3#7E\" 9!##$$E\"" -"$77#"E\"( -(97#7E\" -7("$!!7E\"" 93#(7($E\" ( -""$7#E\"( -$#37($(E\"" !99$!!E\"" -""#(7E\"( -$3"9"E\"" -(!$""E\"" 9!!($9"E\" 3 -""(999!E\"( -9"!#97E-" $7#$$$9E-" -""3"((E\"( -9"((77E-" -(7$7"37E-" 99!#((3#E\"

(#

$ -"""$$99E\"( -((39"E-" ##(#3(#E-" -"""$#(3E\"( -(($97E-" -!9"($3$E-"( 999393(#E\" # -99!#777E\" -!!39E-"( "(3##E-" -99!#7!!E\" -779("E-"( -#!7(#9E-"( 99!#99(E\" -99$7(E\" #"#9#37E-" (""97$9#E-" -99$7#(E\" #"""!3E-" -##9$3E-" 99#$33E\" 7 -9!339""E\" #(#9(7$E-" #!73E-" -9!373!!E\" #(9$#"$E-" -3$"339E-" 9!#!3(E\" ! -9$7#7#3E\" $7#7!7E\"" !"3777E\"" -9$79($9E\" !3$"E\"" -"7$93E\"" 9#$(99"E\" 9 -!3!9#73E\" #"!(E\"" ##""(#9E\""

-!$#!$!E\" #$""7E\"" -3#(7!"E\"" !9!$!E\" (" -#"9(9$9"E\" #"9!!E\" "73(E\" -#$$9(!E\" !!3(7E\" -3""$973E\" "9$$77E\"

/efor2ata 2odelului )desenată ,un%tat. su,ra,usă ,este stru%turanedefor2ată se ,re+intă 0n ;i 9#

Fig% B%:/ /efor2ata CST

/a%ă se ur2ăre&te distri5u4ia de tensiune 2ediată la noduri Se%h 0n 2odel)*e+i ;i9. se ,un 0n e*iden4ă trei +one:

-+ona de a,li%are a for4ei %are %onstituie un %on%entrator de eforturi datorităa%4iunii ,un%tuale-+ona de 2i=lo% ,entru %are tensiunea este a,ro6i2ati* %onstantă )se ,oate

*erifi%a teoria de %o2,resiune a 5arelor 0n i,ote+a Bernoulli.-+ona 0n%astrării 0n %are a,ar ,ertur5a4ii 0n tensiuni datorită fi6ării riide a

5aretei )efe%t lo%al datorat 02,iedi%ării %ontra%4ieidilatării trans*ersale./eoare%e la %a,etele 5aretei e6istă %on%entratori de tensiune' dis%reti+area

2odelului tre5uie fă%ută %u densitate 2ai 2are de noduri 0n +ona for4ei %on%entrate&i 0n 0n%astrare

TE]: <da,ta4i dis%reti+area' fun%4ie de radientul tensiunii &i anali+a4i ,ro5le2a

Co2,ara4i de,lasarea %a,ătului li5er al 5aretei %u de,lasarea dată de rela4iade,lasării unei 5are soli%itată a6ial:

E<

;>>g = /istri5ui4i for4a ; ,e toată fa4a din

drea,ta &i refa%e4i %al%ulul

(



Fig% B%@/ /istri5u4ia tensiunii e%hi*alente CST

/a%ă se dis%reti+ea+ă 0ntreaa 5aretă %a 0n ;i 97 a &i 5' &i se deter2inădistri5u4ia %ores,un+ătoare a de,lasărilor );i 97 % &i d. se ,oate ,une 0n e*iden4ă8fa*ori+area de dire%4ie8 0n ,o+i4ionarea ele2entelor CST /e,lasările%ores,un+ătoare dis%reti+ării a nu sunt si2etri%e fa4ă de a6a de si2etrie Pentrudis%reti+ări %u ele2ente CST se re%o2andă ,o+i4ionarea ele2entelor %a 0n ;i 975'

adi%ă se 0n%ear%ă re,rodu%erea ,e ,or4iuni a 8steaului enle+es%

a 5

% dFig% B%/ /ouă ti,uri de dis%reti+ări &i de,lasările %ores,un+ătoare - CST

C(T8% ? ,lat5andă de rosi2e %onstantă %u un orifi%iu %ir%ular )*e+i;i9!. %onstituie o ,ro5le2ă ti,i%ă a unui %on%entrator de tensiune ;olosind

(7

,entru dis%reti+are ele2entul CST să se studie+e distri5u4ia de tensiuni 0n +ona%on%entratorului &i să se deter2ine *aloarea %oefi%ientului de %on%entrare al tensiunii

,entru EK('"# Pa νK"'3 ,K# Pa tK( 22 dK(" 22 BK$" 22 >K" 22

Fig% B%./ Pro5le2a CST(

Re+ol*areodelul ,ro5le2ei ,oate fi de+*oltat ,e un sfert de ,lat5andă datorită

si2etriilor <le1nd sfertul din drea,ta sus %u siste2ul de a6e 0n %entrul orifi%iului%ir%ular ,entru dis%reti+area ado,tată 0n ;i 99 fi&ierul datelor de intrare cst, este:

Fig% B%B/ /is%reti+are CST(

3 $" " """"" """"" ( " #"""" """"" 3 " (""""" """"" $ " (#"""" """"" # " 3""""" """"" " " 9(3!" 3!(" 7 " " #"""" $"""" ! " " (""""" $""""

(!



9 " " (#"""" #""""" " " 3""""" #"""" " " 7"7" 7"7"( " " #"""" !""""3 " " (""""" 9""""$ " " (#"""" """""# " " 3""""" """"" " " 3!(" 9(3!"7 " """"" """""! " """"" #""""9 " " $"""" #""""

(" " " !"""" #""""( " " #"""" #""""(( " " (""""" #""""(3 " " (#"""" #""""($ " " 3""""" #""""(# " """"" ("""""( " " $"""" ("""""(7 " " !"""" ("""""(! " " #"""" ("""""(9 " " (""""" ("""""3" " " (#"""" ("""""

3 " " 3""""" (""""" ( 7 ("""""" "3"" (""""( 7 ("""""" "3"" (""""3 ( 3 ! ("""""" "3"" (""""$ ( ! 7 ("""""" "3"" (""""# 3 $ 9 ("""""" "3"" ("""" 3 9 ! ("""""" "3"" (""""7 $ # " ("""""" "3"" (""""! $ " 9 ("""""" "3"" (""""9 7 ( ("""""" "3"" (""""

" ( ("""""" "3"" (""""

7 ! 3 ("""""" "3"" (""""( 7 3 ( ("""""" "3"" (""""3 ! 9 $ ("""""" "3"" (""""$ ! $ 3 ("""""" "3"" (""""# 9 " # ("""""" "3"" ("""" 9 # $ ("""""" "3"" (""""7 7 ! ("""""" "3"" (""""! 9 ! ("""""" "3"" (""""

(9



9 (" ("""""" "3"" (""""(" (" 9 ("""""" "3"" (""""( ( (" ("""""" "3"" (""""(( ( ( (" ("""""" "3"" (""""(3 ( 3 ( ("""""" "3"" (""""($ 3 (( ( ("""""" "3"" (""""(# 3 $ (( ("""""" "3"" (""""( $ (3 (( ("""""" "3"" (""""(7 $ # (3 ("""""" "3"" (""""(! # ($ (3 ("""""" "3"" (""""(9 ! 9 (# ("""""" "3"" (""""

3" 9 ( (# ("""""" "3"" (""""3 9 (" ( ("""""" "3"" (""""3( (" (7 ( ("""""" "3"" (""""33 (" ( (7 ("""""" "3"" (""""3$ ( (! (7 ("""""" "3"" (""""3# ( (( (! ("""""" "3"" (""""3 (( (9 (! ("""""" "3"" (""""37 (( (3 (9 ("""""" "3"" (""""3! (3 3" (9 ("""""" "3"" (""""39 (3 ($ 3" ("""""" "3"" (""""$" ($ 3 3" ("""""" "3"" (""""

# # (#"""""" """"""" " #""""""" """"""" # #""""""" """"""" ($ #""""""" """"""" 3 (#"""""" """""""

Se o5ser*ă %ă 0n a6ele de si2etrie s-au introdus %ondi4ii la li2ită 0n 5lo%a=e%are nu ,er2it 2odelului de,lasări de solid riid Presiunea unifor2 distri5uită a fostredusă la noduri' adi%ă fie%are ele2ent 0n%ăr%at %u ,resiune unifor2ă ,e o latură'02,arte for4a e%hi*alentă 0n două ,ar4i eale' la %ele două noduri de ,e latura

res,e%ti*ă Nodul %o2un " la ele2entul 7 &i # s,re e6e2,lu' ,reia for4a:

=

−

+−

=(

.").#)

(

.#).") ,t;" #" N

? ,arte din re+ultatele rulării ,re+entate 0n 2od rafi% se ,ot ur2ări 0n ;i9" - 9 ;i 9" &i ;i 9 ,re+intă defor2a4iile la s%ară 2ărită &i 0nre,re+entare hasurata ,e inter*ale de *alori ;i 9( &i ;i 93 s%ot 0n e*iden4ă%ara%terul %onstant al tensiunilor ,e ele2ente &i 2odifi%ările introduse ,rindeter2inarea tensiunilor nodale ,rin 2ediere ;i 9$ ,re+intă linii de

3"



e%hisoli%itare' iar ;i 9# ,re+intă orientarea tensiunilor ,rin%i,ale 0n re,re+entarela s%ară Lrafi%ul din ;i 9 arată *aria4ia tensiunii SG 0n +ona sla5ită )G K ".

Fig% B%10/ /efor2ata CST(

Fig% B%11/ Re,re+entarea de,lasării ,e dire%4ia G-CST(

3



Fig% B%18/ Re,re+entarea tensiunilor SG ,e ele2ente - CST(

Fig% B%19/ Re,re+entarea tensiunilor SG 2ediate la noduri - CST(

Fig% B%1+/ >inii de eală soli%itare - CST(

3(

Fig% B%1:/ Tensiunile ,rin%i,ale CST(

Fig% B%1@/ Uaria4ia tensiunii SG 0n +ona %on%entratorului - CST(

?5ser*a4ie: /orind să se ur2areas%ă radientul de tensiune 0n dis%reti+are' adi%ă

introdu%erea a 2ai 2ultor noduri )&i ele2ente. 0n +ona %on%entratorului' %ei0n%e,ători fa% deseori re&eli de dis%reti+are %a 0n ;i 97a' adi%ă nu se asiură%ontinuitatea 2ări2ilor )se 8leaă8 noduri de laturi %ontrar 2etodei ele2entelorfinite. <%este 2odelari re&ite e%hi*alea+ă %u introdu%erea de fisuri 0n 2odel

? 2odelare %are ur2are&te radientul tensiunii se ,re+intă 0n ;i 975'datorită influen4ei ăurii luni2ea > s-a 2ărit la >′ K"" 22

33

a 5Fig% B%1/ Uariante de dis%reti+ări - CST(

Pentru %al%ulul %oefi%ientului de %on%entrare al tensiunilor' se re4ine din

re+ultate σ6'2a6 K '!# Pa 0n +ona nodului 7 &i se %al%ulea+ă tensiunea 2edie ,ea6a )la G K ".:

( ) =

−=

tdB

,Bt2 " Pa'

&i re+ultă

==="

!#'

2

2a6'6

'!#

<%eastă *aloare este 2ai 2i%ă de%1t *aloarea e6a%tă o54inută analiti%:≅e6a%t' ('! ? dis%reti+are 2ai fină 0n +ona %on%entratorului ,oate 025unătă4i

*aloarea %al%ulată a lui σ' astfel ,entru dis%reti+area din ;i 975 s-a o54inut σK('"37

C(T9 Să se studie+e starea de tensiune &i defor2a4ia unei ,lă%i ,ătrate delatura a K #" 22 &i rosi2e t K 22 su,usă la forfe%are %a 0n ;i 9! Se dauEK("# Pa νK"'3 &i τK"" Pa

τ

Fig% B%1./ Pro5le2a CST3 Fig% B%1B/ Posi5ila dis%reti+are CST3

3$



Re+ol*are

Pro5le2a se ,oate re+ol*a ado,t1nd o dis%reti+are ,e 0ntreaa stru%tură'i2,unănd 5lo%a=ele 2ini2 ne%esare ,entru 0nlaturarea 2iă%ării de %or, riid &ie%hi*al1nd tensiunea τ la noduri ,rin for4e e%hi*alente %a 0n ;i 99

Fig% B%80/ /is%reti+are CST3 Fig% B%81/ Tensiunile ,rin%i,ale

/a%ă 4ine2 %ont de si2etria eo2etri%ă a ,ro5le2ei &i de antisi2etria de0n%ăr%are' 2odelul ,ro5le2ei se ,oate de+*olta ,e un sfert din stru%tura %a 0n ;i9(" ,entru %are fi&ierul datelor de intrare cst-a este:

9 ! """"" """"" ( " (#""" """"" 3 " (#"""" """"" $ " """"" (#""" # " " (#""" (#""" " " (#"""" (#""" 7 " """"" (#"""" ! " " (#""" (#"""" 9 " " (#"""" (#"""" ( # ("""""E\"# "3"" """""E\"" ( # $ ("""""E\"# "3"" """""E\"" 3 ( 3 # ("""""E\"# "3"" """""E\"" $ 3 # ("""""E\"# "3"" """""E\"" # $ # 7 ("""""E\"# "3"" """""E\"" 7 # ! ("""""E\"# "3"" """""E\"" 7 # 9 ("""""E\"# "3"" """""E\"" ! # 9 ! ("""""E\"# "3"" """""E\"" #

3#



3 """"""" (#"""""" """"""" (#""""""" 9 (#"""""" (#"""""" ! (#""""""" """"""" 7 (#"""""" """""""

Se o5ser*ă )*e+i ;i 9(. %ă starea ,lană de forfe%are ,ură este e%hi*alentă%u 0ntindere &i %o2,resiune la $#° de tensiuni σ K τ si σ( K -τ Ele2entul ,atrulaterse defor2ea+ă du,ă un ro25 Se ,oate *erifi%a rela4ia:

cL = odulul de elasti%itate trans*ersal L se deter2ină din rela4ia E' L' ν )*e+i

rel 3. iar defor2a4ia s,e%ifi%ă unhiulară γ se deter2ină ,entru dis%reti+area dată%u rela4ia:

( ).7)G.3)a

(c +=

Fig% B%88/ Pro5le2a CST$ Fig% B%89/ /is%reti+are - CST$

C(T+% Lrinda 0naltă din ;i 9(( este for2ată din două ,lat5ande din o4elde rosi2i t &i t( sudate 0ntre ele Ştiind %ă E K ("# Pa ν K "'3 ; K #" N> K ( 2 h K "'# 2 t K $" 22 t( K (" 22 se %ere:

-să se afle de,lasarea ,un%tului &i tensiunea 2a6i2a din rindă )se *aneli=a efe%tul for4ei %on%entrate.

-să se ,re%i+e+e da%ă 2edierea tensiunilor la noduri este %ore%tă a*1nd 0n*edere rosi2ile diferite ale unor ele2ente finite

-să se %o2,are re+ultatele o54inute ,rin E; %u %ele o54inute analiti% ,rin

asi2ilarea rin+ii %u o 5arăRăspuns/ Pentru dis%reti+area din ;i 9(3' se o54ine:

σ 6'2a6 = 7('99 Pa σ 6'2in = -99'9$ Pa

= u -"'$$9 22 = * -('7 22' iar %al%ulul analiti% %ondu%e la:

σ 6'2a6 = 7('7( Pa σ 6'2in = -"'!( Pa * K -('3(7 22

3

?5ser*a4ie: Lrin+ile 0nalte se %al%ulea+ă %u rela4ii diferite fa4ă de %ele 5a+ate ,ei,ote+a Bernoulli Yn ;i 9($ se ,oate o5ser*a %ă distri5u4ia tensiunilor σ6 nu esteliniară 0n 0n%astrare Tre5uie 2en4ionat %ă ,e l1nă efe%tul rin+ii 0nalte' 0n 0n%astraree6istă &i un %on%entrator de tensiune su,li2entar' enerat de 02,iedi%area %ontra%4ieitrans*ersale deoare%e " ≠

Fig% B%8+/ /istri5u4ia SG 0n 0n%astrare - CST$

C(T:% Piesa din ;i 9(# are rosi2ea t K $ 22 &i a K " 22 %unos%1ndEK('"# Pa νK"'3 &i , K #" Pa se %ere: a. de,lasarea relati*ă <-C

5. tensiunea SG 2a6i2ă )de 0ntindere. &i +ona 0n %are se atine

Fig% B%8:/ Pro5le2a CST# Fig% B%8@/ /is%reti+are - CST#

Indi%a4ie: odelul %u ele2ente finite se enerea+ă ,entru un sfert din ,iesăRăspuns/ Pentru dis%reti+area %u $" ele2ente identi%e %a 2ări2e );i 9(. seo54in re+ultatele: δ<C K "'"$9 22 σ6'2a6 K 9!'73 Pa 0n ,un%tele B' /

37



C(T@ Saltul de lă4i2e ,entru ,iesa de rosi2e t K 3 22 din ;i 9(7 sereali+ea+ă ,rintr-o ra%ordare de ra+a r K" 22 Ştiind %ă E K ("# Pa ν K "'3> K !" 22 t K$" 22 t( K 7" 22 să se afle %oefi%ientul %on%entratorului detensiune &i de,lasarea %a,ătului li5er al ,lă%ii ,entru , K "" Pa

Fig% B%8/ Pro5le2a CST Fig% B%8./ /is%reti+are - CST

Răspuns/ Pentru dis%reti+area din ;i 9(! se o54ine: σ K '$$ &i u K "'"$ 22en4ionă2 %ă du,ă unele nor2e er2ane σ K '9(

C(T Să se afle %oefi%ientul de %on%entrare al tensiunilor ,entru %restăturilese2i%ir%ulare din ,iesa de rosi2e %onstantă ,re+entată 0n ;i 9(9 ,entru %ele douăti,uri de soli%itări: a. 0ntindere 5. 0n%o*oiereSe *a lua EK("# Pa ν K "'3 rosi2ea ,lă%ii t K 22 >K"" 22 BK" 22dK(" 22 ,K"" Pa K"$ N22

Fig% B%8B/ Pro5le2a CST7

Indi%a4ie: Se *a trata ,ro5le2a ,e sfert o2entul se e%hi*alea+ă ,rin ( for4e%on%entrate eale &i de se2n %ontrarRăspuns/ Pentru dis%reti+area din ;i 93" se o54ine:

a. ==n

2a6

'7( 5. ==

i

2a6

'(3

Teoreti% du,ă nor2e er2ane: a. ==n

2a6

('"(7 5. ==

i

2a6

'7$"

3!



a 5Fig% B%90/ /is%reti+are - CST7

C(T.% Să se afle tensiunea 2a6i2ă ,e dire%4ia 0n%ăr%ării' la *1rful fisurii ,entru ,la%a din ;i 93 Se dau E K '"# Pa ν K "'3# , K " Pa > K (""22 B K (" 22 t K " 22 s K 22

Fig% B%91/ Pro5le2a CST! Fig% B%98/ /is%reti+are CST!

Răspuns/ Pentru dis%reti+area unei =u2ătă4i a ,lă%ii ,re+entată 0n ;i 93( se o54ineσ6'2a6 K #'$! Pa

C(TB% n stă*ilar din 5eton de luni2e foarte 2are de se%4iune tra,e+oidală);i 933. este soli%itat de ,resiunea a,ei &i reutatea ,ro,rie Să se %al%ule+etensiunea 2a6i2ă 0n 5eton &i să se ,re%i+e+e da%ă e6istă ,eri%olul 5as%ulăriistă*ilarului Se dau E 5eton K('#"" Pa ν 5eton K "'! ρ 5eton K (("" F23σr'5eton K ' Pa ρa,a K """ F23 B K " 2 5 K 3 2 h K # 2 K" 2s(

Indi%a4ie: >uni2ea 2are a stă*ilarului 02,iedi%ă defor2a4ia de-a lunulstă*ilarului &i de%i ,ro5le2a de re+ol*at este o ,ro5le2ă de SP/ ,entru %are se aleeo rosi2e oare%are de o5i%ei eală %u unitatea Pentru a nu re&i la transfor2areaunită4ilor de 2ăsură se ,referă lu%rul 0n SI Presiunea a,ei la 5a+a stă*ilarului este ,K ρa,ah Yn li,sa unei ,ro%eduri de e%hi*alare a for4elor de *olu2' reutatea

5etonului se redu%e la noduri ,rin for4e %ores,un+ătoare *olu2ului de 5eton aferentla un nod )*e+i ;i 93$. %onfor2 rela4iei: Uj; nn =

39



?5ser*a4ie: Soli%itări de 0ntindere 0n 5eton ,ot ,rodu%e fisuri %are du% la distruerea ,re2atură a %onstru%4iei

Fig% B%99/ Pro5le2a CST9 Fig% B%9+/ /is%reti+are CST9

Răspuns/ Pentru dis%reti+area din ;i93$ se o54in tensiuni de %o2,resiune' de%i nue6istă ,eri%ol de 5as%ulare

=2a6' -'#7!"$ Pa =2in'( -!'7"("# Pa

C(T10% n dis% %a %el din ;i 93# este %o2,ri2at %u o for4a ; K #"" NŞtiind %ă ra+a dis%ului este R K #" 22' rosi2ea t K #22 E K !"3 Pa ν K "'3!'să se deter2ine de,lasarea relati*ă 0ntre ,un%tele de a,li%are a for4elor &i tensiunile0n %entrul dis%ului Co2,ara4i re+ultatele o54inute %u re+ultatele analiti%e aletensiunilor 0n %entrul dis%ului:

Rt

; =

Rt

;3( −=

Răspuns/ Pentru dis%reti+area ,e sfert din ;i 93 se o54ine δ K "'"$9 22 iar2edia tensiunilor ,e ele2entele %entrale %ondu%e la tensiunile ,rin%i,ale:σ K "'3# Pa &i σ( K -'9"$ PaRe+ultatul analiti% este: σ K "'3 Pa σ( K -'9"9! Pa

$"

Fig% B%9:/ Pro5le2a CST" Fig% B%9@/ /is%reti+are CST"

C(T11 Lrinda din ;i 937 ,oate fi %al%ulată %a o 5ară' dar ,oate fi2odelată &i %u ele2ente CST /a%ă se alee > K' 2 5 K "" 22 h K " 22E K ("# Pa ν K "'3 , K "' Pa ,ro5le2a %oin%ide %u C</P35 Să se%o2,are saeata &i tensiunea 2a6i2ă deter2inată ,rin 2odelare %u ele2ente CST%u *alorile e6a%te: *2a6 K "'$7$ 22 σ2a6 K 3#'## Pa

Fig% B%9/ Pro5le2a CST Fig% B%9./ /is%reti+are - CST

Răspuns/ *2a6 K "'(3$ 22 σ6'2a6 K $'$ Pa

$

B%,% E!eentu! patru!ater #u patru no3uri D*UA)+

A% Cara%teristi%i ,rin%i,ale ale ele2entului ,atrulater );i 939.: este ele2ent i+o,ara2etri%' definit de ,atru noduri I' Q' F' > %are tre5uie

de%larate 0n sensul dat de rotirea a6ei G ,este ,e dru2ul %el 2ai s%urt ( are două rade de li5ertate ,e nod )L>N K (.' de,lasări G &i )G' .3 are rosi2e %onstantă &i ,oate fi 0n%ăr%at %u for4e la noduri

a

5Fig% B%9B/ Ele2entul D</$

$ ele2entul se ,oate folosi ,entru 2odelarea stării ,lane de tensiune )SPT.&i stării ,lane de defor2a4ie )SP/. %onfor2 ;i 939a dar &i a stării a6ial si2etri%e)S<S. %a 0n ;i 9395

# 2atri%ea de riiditate in %oordonate lo5ale este:[ ] [ ] [ ] [ ]∫ =

U

Te dUB/BF ' )9.

0n %are:[ ] [ ]

=

$3(

$3(

N" N" N" N"

" N" N" N" NB )9(.

este 2atri%ea deri*atelor fun%4iilor de for2ă' iar e6,resia 2atri%elor de deri*are este:

$(

[ ]

=

6

J

J

"

"6

,entru SPT &i SP/ )93a.

[ ]

=

"6

6

J

J

"

"6

,entru S<S )935.

;un%4iile de for2ă 0n %oordonate naturale sunt:

( ) ( )sr $

N −−=

( ) ( )sr $

N( −+=

( ) ( )sr $

N3 ++= )9$.

( ) ( )sr $

N$ +−=

2atri%ele de riiditate M/O sunt a%elea&i %a ,entru ele2entul CST' )*e+i rel )9#.')9.. iar ,entru S<S este:

[ ] ( )( ) ( )

( )

−−

−−

−−

−−

−+

−=

"

" (

(

""

"

"

(

E/ )9#.

u+ual ele2entul este denu2it D</$)*ua3rilateral.

,% /ate leate de ele2ent rosi2ea ele2entului' ,entru anali+e de ti, SPT sau SP/( ti,ul studiului )SPT' SP/ sau S<S.

$3

3 ordinul de interare al 2atri%ei de riiditate al ele2entului' INT ),entru ,rora2e de fir2ă se alee auto2at (' 3 sau $.

C% /ate des,re 2aterialul ele2entului 2odulul de elasti%itate lonitudinal - E( %oefi%ientul lui Poisson - niu)3. %oefi%ientul de dilatare ter2i%ă - α)$. densitatea 2aterialului -/ENS)#. a%%elera4ia ra*itatională - sau reutatea s,e%ifi%ă - γ K ρ

)% /ate des,re 0n%ăr%ări

5lo%a=e la transla4ie 0n dire%4ia G - BG &i 0n dire%4ia - B( for4e la noduri 0n dire%4ia G - ;G &i - ;)3. de,lasări i2,use ,e ori%e dire%4ie)$. te2,eraturi 0n noduri sau 0n ele2ente)#. for4e de iner4ie enerate de %12,ul ra*ita4ional ),entru %are sunt


). ,resiuni distri5uite liniar sau %onstante ,e laturile ele2entului <%este ,resiuni )sau for4e distri5uite liniar. se e%hi*alea+ă la nodurile ele2entului %u for4e%on%entrate )*e+i ;i !( ,entru %are se neli=ea+ă 2o2entele.

O6ser=atie/ Pentru anali+e a6ial si2etri%e 0n%ăr%ările se de%lară ,e 0ntreaastru%tură )3"°.' ,entru unel ,rora2e 0n%ăr%area se de%lară ,e un radian

E% Re+ultatele anali+ei de,lasările nodale - G' ( tensiunile 0n siste2ul lo5al de a6e - SG' S' SG' S la nodurile

ele2entului' ,re%u2 &i 0n %entrul lui' tensiunile ,rin%i,ale S' S( &i unhiul <>;< ,e %are 0l fa%e dire%4ia tensiunii ,rin%i,ale S %u a6a G 0n %entrul ele2entului )*e+i;i 939a. ,entru SPT &i SP/

Tensiunile 0ntr-un nod diferă ,entru ele2entele %are au nodul res,e%ti*%o2un Pentru %ore%tarea re+ultatelor de o5i%ei se re%ure la 2edierea tensiunilor lanoduri folosind di*erse 2etode' %ea 2ai si2,lă 2ediere fără a 4ine sea2a de ariile &irosi2ile ele2entelor *e%ine este in%lusă 0n ,rora2ul de %al%ul' %onfor2 a%esteireuli da%ă 0ntr-un nod I sunt n ele2ente *e%ine )*e+i ;i 9$". atun%i tensiunea2edie 0n nod se deter2ină %u rela4ia:

$$

S

S

nI 2

I ii

n

'

'

= =∑)9a.

Se 2ai ,ot folosi relatii de %al%ul %e tin %ont deariile ele2entelor *e%ine' %u2 ar fi:

Fig% B%+0/ Nod %o2un la n ele2ente

S

S <

<I 2

I ii

n

i

ii

n'

'

= =

=

∑

∑

)95.

0n %are:SI'2 -*aloarea 2edie a unei tensiuni 0n nodul ISI'i -*aloarea tensiunii 0n nodul I ,entru ele2entul i )I K ''n.<

)97.

vS^ inter*ine ,entru ,ro5le2e a6ial si2etri%e iar ,entru starea ,lană de defor2a4iese ,ot %al%ula dire%t din tensiunile SG &i S Se 2en4ionea+ă %ă ,entru %al%ulultensiunilor 0n eneral se folose&te altă tehni%ă: tensiunile se deter2ină 0n ,un%teleLauss (( × )unde se de2onstrea+ă %ă erorile de %al%ul a tensiunilor sunt 2ini2e. &ia,oi se e6,andea+ă la noduri folosind fun%4iile de for2ă 9$ Pentru ele2ente

,atrulatere ,u4in distorsionate' adi%ă a,ro,iate de un ,ătrat' ,ra%ti% tensiuniledeter2inate dire%t 0n noduri %oin%id %u %ele e6,andate din ,un%tele Lauss

Se ,ot 2edia tensiunile SG' S' SG' S &i a,oi se ,ot %al%ula tensiunile ,rin%i,ale S ^ S( ^ S3 0n noduri' sau se ,ot 2edia toate tensiunile de la 0n%e,ut

Tensiunea e%hi*alenta' *on ises - Se%h se deter2ina %u relatia:

( ) ( ) ( )[ ](((S3S3S(S(SS

(

Se%h −+−+−= )9!.

)3. defor2a4iile s,e%ifi%e din ele2ent' 0ntr-un ,un%t P se %al%ulea+a %urela4ia:

[ ] e

P B = )99.)$. rea%tiunile din leaturile %u e6teriorul

F% Stru%tura fi&ierului %u date de intrare este

$#

/ate enerale NN NE TIPE( /ate des,re noduri

NI BG B G 3 /ate des,re ele2enteEI I Q F > E niu t INT$ /ate des,re 0n%ăr%ări %u for4e 0n noduri

N; NI; ;G ;


D</$P>EGE<%est ,rora2 a fost %on%e,ut să lu%re+e %u no4iunile )datele. de la ,un%tele ,'Enein%luse 0ntre ,arante+e

J% S%he2a loi%ă a ,rora2ului %oin%ide %u %ea ,re+entată 0n ;i 7( Siste2ul dee%ua4ii %are se re+ol*a este sto%at 0n 2e2oria R< a %al%ulatorului 0n 2atri%e

5andă /i2ensiunea 2a6i2ă a ,ro5le2elor %are ,ot fi re+ol*ate re+ultă din nu2ărulne%unos%utelor &i la4i2ea de 5andă Pentru a re+ol*a ,ro5le2e de di2ensiuni 2ari se

i2,une re%onsiderarea estionării resurselor hard )2e2oria e6tinsă. ? ,arte are+ultatelor )0n s,e%ial tensiuni. sunt sto%ate 0n fisiere te6t %are se ,ot e6a2ina du,ăfie%are rulare' astfel se ,ot ur2ari fi&ierele: tensel# tensel,r tens6nod tenstotnod

Ap!i#aţii

*UA)1% Pentru ,la%a dre,tunhiulară ,re+entată 0n ;i 9$ se %ere sa sedeter2ine de,lasarea ,un%tului &i tensiunea 2a6i2ă Se dau E K ("# Pa νK "'3 t K 22 > K !" 22 h K $" 22 ;K N

Fig% B%+1/ Pro5le2a D</ Fig% B%+9/ /is%reti+are D</

Re+ol*are

$

/atorită si2etriei eo2etri%e' ,ro5le2a se ,oate 8des%o2,une 0n două0n%ăr%ări' a&a %u2 se ,oate ur2ări 0n ;i 9$( /eoare%e interesea+ă doar de,lasarea

,un%tului &i tensiunea 2a6i2a %are se ,resu,une a fi 0n 0n%astrare )da%ă seneli=ea+ă efe%tul lo%al al for4ei %on%entrate.' 0n%ăr%area si2etri%ă )*e+i ;i 9$(a.nu ,rodu%e de,lasarea ,un%tului ' iar tensiunile la distan4ă 2are de for4ele ; suntneli=a5ile Pro5le2a se ,oate re+ol*a doar %u 0n%ar%area 5. ,e un 2odel de =u2ătatede ,la%ă

Fig% B%+8/ /es%o2,unerea 0n%ăr%ării ,entru ,ro5le2a D</

? *ariantă a dis%reti+ării se ,re+intă 0n ;i 9$3 ,entru %are fi&ierul datelorde intrare /uad# este:

" $ "" ""( "" (""3 " ("" ""$ " " ("" (""# " $"" "" " " $"" (""7 " "" ""! " " "" (""9 " !"" """ " " !"" ("" 3 $ ( ("""""" "3 " 3( 3 # $ ("""""" "3 " 33 # 7 ! ("""""" "3 " 3$ 7 9 " ! ("""""" "3 " 3

" """"""" -"""""""""

Yn ur2a anali+ei se o54ine listinul:

<N<>I<N< PENTR ?/E> ST<RE P><N< /E TENSINE

N?/ BG B G """"" """"" ( """"" ("""""

$7

3 " (""""" """"" $ " " (""""" (""""" # " $""""" """"" " " $""""" (""""" 7 " """"" """"" ! " " """"" (""""" 9 " !""""" """""" " " !""""" ("""""E>E I Q F > E niu t INT 3 $ ( (""""""" "3"" """" 3 ( 3 # $ (""""""" "3"" """" 3

3 # 7 ! (""""""" "3"" """" 3 $ 7 9 " ! (""""""" "3"" """" 3 N?/ ;G ;

""""" """"" ( """"" """"" 3 """"" """"" $ """"" """"" # """"" """"" """"" """"" 7 """"" """"" ! """"" """""

9 """"" """""" """"" -""""""<TRICE< /E RILI/IT<TE <S<T< <RE NEC K ( EC<TIISEI><TIE< <TRICII <S<TE ESTE >B K /EP><S<RI N?/<>E

N?/ G """""""""""E\"" """""""""""E\"" ( """""""""""E\"" """""""""""E\"" 3 """""""""""E\"" -#33($#!E -"3 $ 7#7!(3$"79E -"3 -#7#$"$9#39E -"3 # """""""""""E\"" -!79($(393E -"(

3("(##9$E -"( -!!$$$939#E -"( 7 """""""""""E\"" -3#$7$9"(73E -"( ! #"(""!E -"( -3##!3#(!!E -"( 9 """""""""""E\"" -#$(("3"($E -"(" 7!3$!$"9"E -"( -###"($!(9E -"(

Tensiunile 0n ele2ente se ,ot ur2ări 0n fi&ierul tensel# re,rodus 2ai =osTensiunile ,e fie%are ele2ent se dau 0n %ele ,atru noduri I' Q' F' > &i 0n %entrulele2entului ,e %1te o linie' 0n ordinea SG S SG S

$!

;isierul tensel+01

"""""""""E\"" """""""""E\"" -("#(37"!E\" ""-$"!#$$!(E\"" -3!"$9$E\" !(33#(39E\"" "" 799!!(!E\" 3#399E\" 3!#7"3#"E\"" "" !3(77(97E\" ($9!3!93E\" -(#(9""9E\" "" 39#9#9$$E\" #!(#993E\"" -!33333333E\"" ""

-$"!#$$!(E\"" -3!"$9$E\" -("($9$"7E\" ""-(99#!3#(E\"" -7339$#"!E\"" 3!("39E\"" "" #9"(#E\" ("977!7E\" 3#!(7$"$7E\"" ""

#77("33(E\" $9(37$39E\"" -!"$9(7"E\" "" (77"373!E\" -("$3#3$E\"" -!33333333E\"" ""

-(99#!3#(E\"" -7339$#"!E\"" -#7$!!(E\" ""-3(!$($E-" -("7(!"7E\"" -3"$!797E\"" "" 3#!!73"!E\" 97#77!E\"" -97!##$$E-" "" 3$"$99#E\" 3#$(9"3$(E\"" -3"#7!7E\" "" !$3!3E\" 7!3#E\"" -!33333333E\"" ""

-3(!$($E-" -("7(!"7E\"" -!$7((3(E\"" ""-$(("$99(E\"" -$"!33"7E\" -3#!"7(!#E\"" ""

"$3$((#"E\" -9793$#E\"" -!"9$$"3#E\"" "" $(9(#$""E\" 3!93##E\"" -3$!#93!E\" "" #"3"("39E\"" -#$39#97"!E\"" -!33333333E\"" ""

Fig% B%++/ /istri5u4ia tensiunii SG ,e ele2ente - D</

$9

;i 9$#: /istri5u4ia tensiunii SG 2ediată la noduri - D</

/e,lasarea nodului ' adi%ă a nodului 9' este * K-#'$(( 22 iar tensiunea

SG 2a6i2ă se ,oate ur2ări 0n ;i 9$$ ne2ediată la noduri &i 0n ;i 9$# 2ediatăla noduri

TE]: Re+ol*a4i ,ro5le2a dis%reti+1nd 0ntreaa stru%tură &i %o2,ara4i re+ultateleCre&te4i nu2ărul de ele2ente ,entru o nouă dis%reti+are &i e6a2ina4i tensiunilee%hi*alente 0n +ona de a,li%are a sar%inii

*UA)8% /is%reti+a4i 0ntreaa ,la%ădin ;i 9$ 0n (" de ele2entedre,tunhiulare D</$ eale' %u diferitera,oarte ale laturilor &i %o2,ara4i de,lasarea

,un%tului B' tensiunea SG 0n ,un%tul / &iSe%h 0n ,un%tul C Se dau E K ("# Pa ν K "'3 t K 22 > K "" 22 h K $" 22; K (#" N Care sunt re+ultatele da%ă sedis%reti+ea+ă %u ele2ent A /ar da%ă sedis%reti+ea+ă %u $" ele2ente ,atrate eale A

Fig% B%+@/ Pro5le2a D</(

a 5 % d

e f h

Fig% B%+/ /iferite dis%reti+ări ,entru ,ro5le2a D</(

Re+ol*are

#"

Se ado,tă dis%reti+ările din ;i 9 $7 ,entru %are se o54in re+ultatele ,re+entate 0n Ta5elul 9

Con%lu+ii Re+ultatele %ele 2ai a,ro,iate de *alorile e6a%te se o54in ,rintr-odis%reti+are %u %1t 2ai 2ulte ele2ente a,ro,iate de for2a ,ătrată Tre5uie 2en4ionat%ă ,entru 025unătă4irea solu4iei 0n %a+ul eneral se ,oate re%ure la %re&tereanu2ărului de ele2ente' sau la aleerea unui ele2ent finit 2ai ,erfor2ant )%u noduri2ai 2ulte sau %u rade de li5ertate 2ai 2ulte Z %are %on4ine &i rade de li5eraterotiri' 0n %a+ul de fa4ă R.

Ta6e!u! B%1/ Re+ultatele a,li%a4iei D</(/is%reti+area G)B.M22O

)B.M22O

SG)/.MPaO

Se%h)C.MPaO

a ""× ( -'#!"-3 -('##""-( #'99 ($'7#3 5 #× $" -'#9"-( -('3"-( 9"'9"9 37'9!7% #"× $ -'$(!"-( -#'(!3"-( $7'(3( (('!$d "× (" -('##"-( -!"$("-( 9"'("" $!'!(3e (#× ! -'9!7"-( -7'37"-( 77'7$ 33'(f ("× " -('"7"-( -7'7("-( !3'!7 3!'" "× " K $" el -('(3"-( -!'(!("-( 9'#(( #(!3h ""× $" K el -'$("-( -('$$9"-( #'3"" 3'($

E&ACT -('((9"-( -!'3"-( ≈$$ ∞

*UA)9 n tu5 %u ,ere4iro&i de luni2e foarte 2are );i9$!. are ra+a interioară R i K #" 22&i %ea e6terioară R e K "" 22Ştiind %a E K('"# Pa &i ν K "'3să se %al%ule+e distri5u4ia detensiuni 0n tu5 ,entru o ,resiune

interioară ,i K "" Pa

Fig% B%+./ Pro5le2a D</3

Co2,arati re+ultatele anali+ei %u re+ultatul analiti% al tensiunilor 0ntr-un ,un%t dera+a r:

−

−=

(

(

e

(

i

(

e

(

iir

r

R

R R

R ,

+

−=

(

(

e

(

i

(

e

(

iit

r

R

R R

R ,

Re+ol*are

#

/eoare%e luni2ea tu5ului este foarte 2are' defor2a4iile 0n lunul tu5ului se ,resu,un a fi i2,iedi%ate &i de%i da%ă se re4ine o felie din tu5 se ,oate fa%e un %al%ulde SP/ /in 2oti*e de si2etrie se ,oate fa%e anali+a ,e un sfert din stru%tură' astfel2odelul de %al%ul se ,oate ur2ări 0n ;i 9$9

Presiunea de ,e laturile ele2entelor se redu%e la noduri ,rin for4ee%hi*alente Confor2 ;i 9#"' ,resiunea de ,e latura IQ se redu%e la nodurile I &i Q

,rin forte de *alori:

%os(

,tl.Q);G.I);G == sin

(

,tl.Q);.I); ==

;i&ierul datelor de intrare /uad-a este:

$# 3( ( " #" "( " ( "3 " 7# "$ " !7# "# " "" " " " $9"39( 97#$#7 " " (99"! (93$! " " 73##!9" $3779 " " !#!!7( 7"7"$"" " " 9!"7!#3 9#"9"3

" " $939! 93$7( " " #77$($! (39773 " " 9(9"97 (!7"($ " " !"!39$7 33$!$!"# " " 9(3!79# 3!(!3$ " " $#73$! (777!#7 " " #9! 3$7(3$

Fig% B%+B/ /is%reti+are D</3

! " " (3"(3 $7779 " " 7(7#3" $!($"(" " " !3$97 ####7"(( " " 3#3##3$ 3#3##3$(( " " $$9$! $$9$!(3 " " #3"33"( #3"33"($ " " !7!# !7!#(# " " 7"7"9 7"7"!( " " (777!#( $#73$!

#(



(7 " " 3$7(3# #9!#(! " " $77! (3"(((9 " " $!($ 7(7#3"3" " " ####7"3 !3$973 " " 93$! $939!3( " " (39773 #77$($!33 " " (!7"(7 9(9"973$ " " 33$!$! !"!39$73# " " 3!(!3 9(3!793 " " 97#$#(3 $9"39(737 " " (93 (99"9

3! " " $379 73##!939 " " 7"7"$( !#!!73

α

Fig% B%:0/ Redu%erea ,resiunii unifor2distri5uite ,entru ele2entele ,lane

$" " " 9#"9"# 9!"7!#$$ " """""" #""""""$( " """""" (#""""$3 " """""" 7#"""""$$ " """""" !7#""""$# " """""" """""" ( 7 ("""" "3 (# (( ( 3 ! 7 ("""" "3 (# (3 3 $ 9 ! ("""" "3 (# (

$ $ # " 9 ("""" "3 (# (# 7 ( ("""" "3 (# ( 7 ! 3 ( ("""" "3 (# (7 ! 9 $ 3 ("""" "3 (# (! 9 " # $ ("""" "3 (# (9 ( 7 ("""" "3 (# (" ( 3 ! 7 ("""" "3 (# ( 3 $ 9 ! ("""" "3 (# (( $ # (" 9 ("""" "3 (# (3 7 (( ( ("""" "3 (# ($ 7 ! (3 (( ("""" "3 (# (

# ! 9 ($ (3 ("""" "3 (# ( 9 (" (# ($ ("""" "3 (# (7 ( (( (7 ( ("""" "3 (# (! (( (3 (! (7 ("""" "3 (# (9 (3 ($ (9 (! ("""" "3 (# ((" ($ (# 3" (9 ("""" "3 (# (( ( (7 3( 3 ("""" "3 (# (

#3

(( (7 (! 33 3( ("""" "3 (# ((3 (! (9 3$ 33 ("""" "3 (# (($ (9 3" 3# 3$ ("""" "3 (# ((# 3 3( 37 3 ("""" "3 (# (( 3( 33 3! 37 ("""" "3 (# ((7 33 3$ 39 3! ("""" "3 (# ((! 3$ 3# $" 39 ("""" "3 (# ((9 3 37 $( $ ("""" "3 (# (3" 37 3! $3 $( ("""" "3 (# (3 3! 39 $$ $3 ("""" "3 (# (3( 39 $" $# $$ ("""" "3 (# (

9 3"$!(! """ #979$( !93! #3($9 (333"# #"9 33!7"7( $3"9( $3"9(( 33!7"7 #"93 (333"# #3($93 !93! #979$3$ """ 3"$!(!

Fig% B%:1/ /efor2ata D</3

Re+ultatele rulării se ,ot ur2ări 0n for2ă rafi%ă' 0n ;i 9#-defor2ata' 0n;i 9#(-distri5u4ia tensiunilor ,rin%i,ale 2a6i2e S' iar 0n ;i 9#3-distri5u4iatensiunilor ,rin%i,ale 2ini2e S3

Fig% B%:8/ /istri5utia tensiunii S ,entru ,ro5le2a D</3

Fig% B%:9/ /istri5utia tensiunii S3 ,entru ,ro5le2a D</3

#$

Nu s-au re,re+entat tensiunile SG' S &i SG deoare%e sunt 2ai ,u4inse2nifi%ati*e ,entru a%eastă ,ro5le2ă

Tensiunile S %ores,und tensiunilor tanentiale σt iar tensiunile S3%ores,und tensiunilor radiale σr

/eoare%e lă4i2ea 5en+ilor de ha&uri diferite este 2ai 2i%ă la interiorultu5ului' se ,oate trae %on%lu+ia %ă radientul tensiunilor S este 2ai ,ronun4at lainterior

;a4ă de a6a tu5ului e6istă si2etrie a6ială' de%i se ,oate de+*olta un 2odelS<S /eoare%e de,lasările 0n lunul tu5ului sunt nule se re4ine o felie din tu5 ,entru%are 2odelul se ,oate ur2ări 0n ;i 9#$

α

Fig% B%:+/ odel a6ial si2etri% dis%reti+atD</3

Fig% B%::/ E%hi*alarea nodala ,entruel2entul a6ial si2etri%

Yn%ar%arile nodale re+ultă din ,resiunea ,e ele2ent ,e toata %ir%u2ferin4a'

adi%ă da%ă se ur2ăre&te ;i 9## rela4ia de deter2inare a for4elor e%hi*alente este:( ) %os.Q)G.I)G ,l.Q);G.I);G +== ( ) sin.Q)G.I)G ,l.Q);.I); +==

;i&ierul datelor de intrare /uad-b este:" $ " " #""E\" """E\""( " #""E\" ""E\"3 " (#E\" """E\""$ " (#E\" ""E\"# " 7#"E\" """E\""

" 7#"E\" ""E\"7 " !7#E\" """E\""! " !7#E\" ""E\"9 " ""E\"( """E\""" " ""E\"( ""E\" 3 $ ( (E\"# "3 " 3( 3 # $ (E\"# "3 " 3

Fig% B%:@/ /efor2ata D</3

3 # 7 ! (E\"# "3 " 3$ 7 9 " ! (E\"# "3 " 3

##

( #7"793E\"# """"E\""( #7"793E\"# """"E\""

Re+ultatele rulării se ,ot ur2ări 0n ;i 9#-defor2ata ;i 9#7-tensiunileS %are sunt identi%e %u tensiunile SG ;i 9#!- tensiunile S3

Fig% B%:/ /istri5u4ia tensiunii S ,entru D</3

Fig% B%:./ /istri5u4ia tensiunii S3 ,entru D</3

Tensiunile 2a6i2e tanen4iale &i radiale %al%ulate %u rela4iile analiti%e

%ondu% la: =2a6't ' Pa =2in'r -"" Pa/in anali+a ,ro5le2ei ,rin %ele două 2odele diferite se o5ser*ă %ă

re+ultatele sunt ,ra%ti% a%elea&i' )tre5uie a%ordată aten4ie asu,ra inter,retăriire+ultatelor %are de,ind de siste2ul de referin4ă. odelul a6ial si2etri% de&i estefor2at din $ ele2ente %ondu%e la re+ultate foarte a,ro,iate de %ele e6a%te %eea %ei2,une a%est 2odel 0n re+ol*area ,ro5le2elor de ti,ul %elei de 2ai sus /a%ă

#

2odelul a6ial si2etri% %on4ine " ele2ente eale 0n ,lan ,e un sinur strat tensiunilede*in: == 2a6'2a6'+ 7#'#$ Pa == 2in'32in'6 -7!'$! Pa

<%eastă ,ro5le2ă %a &i altele ,re+entate anterior arată %ă re+ol*area unei ,ro5le2e %u a=utorul E; nu ,resu,une un 2odel uni% <%eastă ,ro5le2ă ar ,uteafi 2odelată s,a4ial %u a=utorul unor ele2ente de *olu2 sau s-ar ,utea 0n%er%a &i o2odelare %u ele2ente de ,la%ă roasă

Re+ultatele o54inute ,e di*erse 2odele nu sunt 0ntotdeauna a,ro,iate desolu4ia e6a%tă &i atun%i se i2,une un studiu 2ai lar' 0n %are un rol esen4ial estede4inut de e6,erien4a utili+atorului 0n tehni%a de 2odelare

*UA)+ Să se studie+e distri5u4ia de tensiuni 0n *e%inătatea 025inărilor

sudate ,re+entate 0n ;i 9#9 Se %onsideră %ă ta5lele sunt de la4i2e foarte 2are)SP/.' %ordonul de sudură este %ontinuu' iar 2aterialul sudurii este foarte a,ro,iatde 2aterialul ta5lelor Se neli=ea+ă +ona influen4ată ter2i% Se dau E K ("# Pa ν K "'3 , K "" Pa t K(" 22

Fig% B%:B/ Pro5le2a D</$

Răspuns/ Soli%itările 2a6i2e a,ar 0n*e%inătatea sudurii &i nu 0n %ordonul de sudurăPentru dis%reti+area din ;i 9" se o54ine:

a. =e%h $'(" Pa

5. =e%h 373'$ Pa

%. =e%h $'# Pa/a%ă 0n%o*oierea ta5lelor este

,ronun4ată' 0n +ona sudurilor tensiunile %res%

foarte 2ult )*e+i re+ultatul 025inării a.TE]: Studia4i starea de tensiuni da%ă se ru,eun %ordon de sudură?5ser*a4ie: Uarianta %. re+ultă din *arianta a.

,rin 2odifi%area 5lo%a=elor

a

5

%Fig% B%@0/ /is%reti+are D</$

#7

*UA): Yntr-o ,la%ă soli%itată la 0ntindere %a 0n ;i 9 e6istă o fisură deluni2e d K #" 22 Ştiind %ă > K ("" 22 B K "" 22 E K (" # Pa ν K "'3t K ! 22 , K " Pa să se afle &i să se lo%ali+e+e tensiunea 2a6i2ă din ,la%ă

Fig% B%@1/ Pro5le2a D</# Fig% B%@8/ /is%reti+are D</#

Răspuns/ Pentru dis%reti+area ,e sfert %a 0n ;i 9( se o54ine σ6'2a6 K ('$7 Pa

*UA)@ Pla%a %u fisură din ;i 93 este 0n%ăr%ată %u o,t for4e %are ,rodu%forfe%area fisurii' să se lo%ali+e+e &i să se deter2ine tensiunea e%hi*alentă 2a6i2ădin +ona fisurii )se neli=ea+ă efe%tul for4elor %on%entrate.

Se dau: > K ("" 22 d K #" 22 E K ("# Pa ν K "'3 ; K #"" N

Fig% B%@9/ Pro5le2a D</ Fig% B%@+/ /is%reti+are D</

Răspuns/ Pentru dis%reti+area ,e sfert %a 0n ;i 9$' tensiunile 2a6i2e se o54in 0n+ona de a,li%are a for4elor &i ,entru a o5tine tensiunile din +ona fisurii se ur2ăres%fi&ierele de re+ultate %u tensiuni' se o54ine σe%h'2a6 K #'!! Pa

Fig% B%@:/ /is%reti+are ,entru ,ro5le2a CST( %u ele2ente D</$

#!

*UA) /eter2inati %on%entratorul de tensiune ,entru ,ro5le2a CST(folosind ele2entul D</$ &i o dis%reti+are %are ,ăstrea+a nu2ărul &i ,o+i4ionareanodurilor din ;i 975

Răspuns/ Pentru dis%reti+area ,re+entată 0n ;i 9# se o5tine σ ≈ ('(

*UA). Să se %o2,are tensiunile o54inute 0ntr-o 5ară %ur5ă de se%4iunedre,tunhiulară su,usă la 0n%o*oiere ,ură' );i 9. %u re+ultatul analiti% &tiind %ăE K ("# Pa ν K "'3 t K (" 22 a K " 22 K #'33333"# N22 /istri5u4iatensiunilor 0n 5ara %ur5ă este dată de rela4ia )*e+i ;i 9 7 ,entru nota4ii.:

Fig% B%@@/ Pro5le2a D</! Fig% B%@/ Nota4ii ,entru 5ara %ur5ă

Fig% B%@./ /is%reti+are ,ro5le2a D</!

Jr

J

<e

:

−= unde

(

R

R ln

hR e −=

Tensiunile e6tre2e au *alorile:

2a6

R

d

<e

: =

(

(2in

R

d

<e

: −=

Indi%a4ie: odelul ,ro5le2ei se ,oate fa%e ,e =u2ătate din stru%tură' o a6a de%oordonate tre5uie să %oin%idă %u a6a de si2etrie' 0n%linată la $#°

Raspuns/ Teoreti% σ2a6 K37'" Pa σ2in K -77'77 Pa Pentru dis%reti+area0ntreii stru%turi %a 0n ;i 9! &i a,li%area 2o2entului ,rin for4e e%hi*alente aledisti5u4iei liniare de tensiuni ,e ,ortiunea 5arei dre,te se o5tine:σ2a6 K σ K $3'!( Pa σ2in K σ3 K -7$'#" Pa

*UA)B n 0n*eli& sferi% de ra+a interioară R i K"" 22 &i ra+ă e6terioarăR e K"$ 22 este 0n%ăr%at %u o ,resiune interioară , i K Pa );i 99. Ştiind %ăsfera este din o4el %u E K ("$ Pa &i ν K "'3 să se deter2ine tensiunea 2a6i2ădin sferă

#9

αi α

αe

Fig% B%@B/ Pro5le2aD</9

Fig% B%0/ E%hi*alarea ,resiunii ,e 2odelul a6ial si2etri%

Fig%B%1/ /is%reti+areD</9

Indi%a4ie: odelul ,ro5le2ei este a6ial si2etri% &i se ,oate de+*olta %a 0n ;i 97Presiunea se redu%e la noduri ,rin for4e e%hi*alente' s,re e6e2,lu 0n nodul i )*e+i;i 97". %are ,reia ,resiunea %u,rinsa 0ntre unhiurile αi &i αe ,entru dis%reti+ări %unoduri e%hidistante for4ele e%hi*alente la nod sunt:

( )

+

−=(

%ossinsin ,R (; ei

ie

(

i6i ( )

+

−=(

sinsinsin ,R (; ei

ie

(

iJi

/in ,un%t de *edere teoreti% 0n*eli&ul ,oate fi %onsiderat su54ire ==$

"(

h

R

(#'# &i de%i σ K σ( Kh(

,R K('7# Pa

Răspuns/ Pentru dis%reti+area din ;i 97 se o54ine: σ K σ3 K('93 Pa lae6teriorul sferei

*UA)10 /is%ul de ra+ă R K "" 22 &i rosi2e h K (" 22 din ;i 97( serote&te 0n =urul a6ei %u *ite+a unhiulara ω K """ rads Ştiind %ă densitatea2aterialului este ρ K 7!#" F23 EK ("# Pa ν K "'3 să se deter2ine tensiunile2a6i2e din dis%

ω ω

Fig% B%8/ Pro5le2a D</" Fig% B%9/ /is%reti+are D</"

"

Indi%a4ie: odelul este a6ial si2etri%' for4ele de iner4ie se redu% la noduri ,entru odis%reti+are %a %ea din ;i 973 %onfor2 rela4iei: ( )(i

(

e

(

i r r r phj; −= Solu4iaanaliti%ă %ondu%e la tensiune 2a6i2ă 0n %entrul dis%ului:

( )

!

R jp 3

((

2a6't2a6'r

+== K 3('3! Pa

Răspuns/ Pentru dis%reti+area din ;i 973 se o54ine == 62a6'r 3('(!Pa

== +2a6't 3('(! Pa

TE]: Considera4i un orifi%iu %ir%ular φ( 0n %entrul dis%ului &i reanali+a4i ,ro5le2aCu2 se 2odifi%ă tensiunile A

*UA)11% ? ,la%ă este for2ată ,rin li,irea a două 2ateriale diferite %a 0n;i 97$ Ştiind %ă =u2atatea inferioară are E K ("# Pa ν K "'3 iar %easu,erioară E( K #"$ Pa ν( K "'3 &i di2ensiunile ,lă%ii sunt > K "" 22 B K $"22 t K 22' să se ăseas%ă distri5u4ia de tensiuni ,entru o ,resiune , K "" PaCare este soli%itarea 2a6i2ă &i unde se atine A Este %ore%tă 2edierea tensiunilor lanoduri ,entru ele2ente *e%ine de ti,uri diferite A

Fig% B%+/ Pro5le2a D</ Fig% B%:/ /is%reti+are D</

Răspuns/ /efor2ata stru%turii sea2ană %u %ea o54inută la o soli%itare de 0n%o*oiereedierea la noduri nu este %ore%tă 0ntru%1t E = iar %ontinuitatea este nu2ai 0ndefor2a4ii )ε. Tensiunea 2a6i2ă se atine 0n +ona 025inării din 2aterialul 2airiid )din ,artea inferioară. &i este =2a6'6 ((#' Pa ,entru dis%reti+area

,re+entată 0n ;i 97#

*UA)18 Pla%a din o4el ,re+entată 0n ;i 97 are E K ("# Pa ν K "'3rosi2ea t K " 22 &i a K (" 22 Să se %al%ule+e tensiunea 2a6i2ă ,entru o0n%ăr%are %u , K " Pa

Indi%a4ie: /in %onsiderente de si2etrie 2odelul ,ro5le2ei se ,oate de+*olta ,entruun sfert din stru%turăRăspuns/ Pentru dis%reti+area din ;i 977 se o54ine =2a6'e%h !('$3 Pa

Fig% B%@/ Pro5le2a D</( Fig% B%/ /is%reti+are D</(

*UA)19 Pro5le2a Q Boussines ,lană );i 97!.: ? for4ă distri5uită liniar; MN22O a%4ionea+ă ,e o su,rafa4ă foarte 2are a unui 5lo% din o4el Să se %o2,arere+ultatele tensiunilor 0ntr-un ,un%t P )*e+i ;i 979. %u re+ultatele o54inute ,rinE; dis%reti+1nd o felie din se2is,a4iul infinit

θ

Fig% B%./ Pro5le2a D</3 Fig% B%B/ Tensiunile 0ntr-un ,un%t

Rela4iile analiti%e de %al%ul sunt:

%osr

;( 3

J −= %ossinr

;( (

6 ⋅−= %ossinr

;( (

6J ⋅=

Indi%a4ii: /is%reti+area tre5uie să res,e%te radientul tensiunii' de%i 0n +ona for4ei se*or introdu%e 2ai 2ulte noduri &i ele2enteRăspuns/ Pentru o dis%reti+are %a %ea din ;i 9!" &i ,entru ; K """ N22 seo54ine:

Ele2sau nod

R M22O θ

6 MPaO J MPaO 6J MPaOE; <naliti% E; <naliti% E; <naliti%

ele2 ( # $#° -9'! -# -('! -# "'( #nod #" "° -"'$$ " -3'7 -$'# '7$ "nod 33 #" 9"° ('"$ " "'! " "'" "

(

Fig% B%.0/ /is%reti+are D</3

*UA)1+ Yn %o2,onen4a unui anrena= %u ro4i din4ate )%u dantură drea,tă.intră un ar5ore ,inion de lă4i2e t K " 22' %u 7 din4i' ,entru %are dia2etrul dedi*i+are este /d K# 22' dia2etrul %er%ului de ,i%ior al dintelui /i K $3'# 22 &idia2etrul %er%ului de %a, /e K #7 22 /a%ă la intrarea 0n anrenare a unui dinteforta ,e dinte este ; K """ N &i a%tionea+ă in%linat %a 0n ;i 9! se %ere să sedeter2ine tensiunea 2a6i2ă de 0n%o*oiere la 5a+a dintelui ;lan%ul dintelui seenerea+ă ,rin %oordonatele date 0n ta5elul de 2ai =os' relati* la un siste2 de

referin4ă leat de %entrul ro4iiG M22O 3'99 3'## 3'#$ ('!7 ('33 ('##$ M22O ('379 ('$#3 ('739 (('"7$ ((' (3'"#(G M22O ('## ('#$# ('3#$ '!#$ '"" - M22O (3'!3 ($'3! (#'3!# ('!3 (!'$!( -

Fig% B%.1/ Pro5le2a D</$ Fig% B%.8: /is%reti+are D</$

3

Indi%a4ie: /eoare%e dis%reti+area 0ntreii ro4i este destul de la5orioasă &i nu nea,ăratne%esară' ,entru un %al%ul de re+isten4ă' ,ro5le2a se ,oate re+ol*a ,rin dis%reti+areaunui dinte &i a +onei 0n*e%inate %are se %onsideră riidă la e6teriorRăspuns/ Pentru dis%reti+area din ;i 9!( se o5tine:

=2a6' $!'3 Pa =2in'3 -!3'! Pa

*UA)1: Ele2entul elasti% al unui %antar tenso2etri% este ,re+entat in ;i9!3 Stiind %a 2aterialul este un duralu2iniu %u EK('"$ Pa &i ν K "'3#' forta2a6i2a de in%ar%are este ; K "" N iar rosi2ea ele2entului elasti% este t K $" 22sa se deter2ine de,lasarea din dre,tul fortei &i tensiunile din +onele sla5ite )din

dre,ul 2ar%ilor tenso2etri%e.

Fig% B%.9/ Pro5le2a D</# Fig% B%.+/ /is%reti+are D</#

Indi%a4ie: odelul se ,oate dis%reti+a ,e =u2ătate

Raspuns/ Pentru dis%reti+area din ;i 9!$ se o54ine *; K -"'$73! 22 =2a6'639'($ Pa <%este *alori sunt de,arte de solu4ia e6a%tă deoare%e ele2entul D</$este ,u4in ,erfor2ant atun%i %1nd este su,us forfe%ării Pentru 025unătă4irea solu4ieise ,oate %re&te nu2ărul de straturi ,entru dis%reti+area +onei slă5ite sau se ,oatefolosi un ele2ent 2ai ,erfor2ant %u2 ar fi ele2entul ,atrulater %u nod %entral )%ufun%4ii de for2ă su,li2entare. Rularea %u ,rora2ul DEGE ,e a%eea&idis%reti+are %ondu%e la: *; K -'!7 22 =2a6'6 !('3 Pa Ualorile 8e6a%te ale

,ro5le2ei )o54inute ,entru o dis%reti+are foarte fină. sunt: *; K -'!(" 22 =2a6'6

($ Pa

*UA)1@% C1rliul de tra%4iune al unor *aonete de %ale ferată aua,ro6i2ati* for2a din ;i 9!# Ştiind %ă 0n%ăr%area %1rliului este ; K $" N &irosi2ea lui se a,ro6i2ea+a la t K (# 22 ,e toată su,rafa4a' să se deter2ine stareade tensiune &i tensiunea 2a6i2ă din %1rli aterialul este o4el %u E K ("# Pa &i ν K "'3

Răspuns/ Pentru dis%reti+area din ;i 9! se o54ine =2a6'e%h (#$'( Pa Pentrudistri5u4ia de tensiune *e+i ;i 9!7

$

Fig% B%.:/ Pro5le2a D</ Fig% B%.@/ /is%reti+are - D</

Fig% B%./ Starea de soli%itare 0n %1rli

*UA)1% ? ,la%ă %ir%ulară 0n%astrată ,e %ontur este 0n%ăr%ată %u ,resiuneunifor2 distri5uită , K Pa Ştiind %ă h K " 22 R K "" 22 E K (" # Pa &i ν K "'3 să se afle săeata &i tensiunea 2a6i2ă &i să se %o2,are %u re+ultateleo54inute din solu4ia analiti%ă:

[ ]((

(r r . 3)R . )

h

,

!

3 +−+= [ ]((

(t r . 3)R . )

h

,

!

3 +−+=

/$

,R *

$

2a6 = .)(

Eh/

(

3

ν−=

Indi%a4ie: odelul ,ro5le2ei este a6ial si2etri%

#

Răspuns/ Pentru dis%reti+area ,re+entată0n ;i 9!9 se o54ine:

*2a6 K "'"79$ 22=2a6'6 -7'3 ÷7'"$ Pa

=2a6'+ -#'" ÷##'! Pa<naliti% se o54ine:

*2a6 K "'"!#3 22== tr $!'! Pa 0n %entrul

,lă%ii ,e fa4a inferioară=r -7# Pa =t -(('# Pa 0n

0n%astrare Fig% B%../ Pro5le2a D</7

Fig% B%.B/ /is%reti+are D</7



Cap% 10% Mo3e!area 6i3iensiona!ă a unor fenoene teri#eIntro3u#ere

Te2,eratura este o 2asură a eneriei interne a unui %or, Trans2iterea%ăldurii este ,ro%esul natural de transfer a eneriei interne de la un %or, %ute2,eratura 2ai 2are la %ele %u te2,eratura 2ai 2i%ă' sau 0n interiorul %or,uluide la ,ărti %u te2,eratura 2ai ridi%ată la %ele %u te2,eratura 2ai s%a+ută

Yn tehni%ă se %onsideră %a eneria ter2i%ă se trans2ite ,rin:-C?N/CwIE' de la ,arti%ulă la ,arti%ulă 0n interiorul unui %or,-C?NUECwIE' adi%ă ,rin inter2ediul unui aent ter2i% fluid )li%hid sau

a+. 0n eneral de la %or,ul solid s,re e6terior sau in*ers-Radia4ie' adi%ă ,rin unde ele%tro2aneti%e' a%est s%hi25 de %ăldură estei2,ortant ,entru %or,urile %u te2,eratura foarte 2are' de o5i%ei ,entru%o2,onentele u+uale ale 2a&inilor se neli=ea+ă

;eno2enele ter2i%e se ,ot des%rie ,rin inter2ediul e%ua4iei 2atri%eale aele2entelor finite:

;TOF M

t

TOCM =+ ' )".

0n %are:MCO - 2atri%ea %a,a%ită4ilor %alori%eMFO - 2atri%ea riiditatilor ter2i%e )2atri%ea %ara%teristi%ă.VTW - *e%torul te2,eraturilor nodaleV;W - *e%torul 0n%ăr%ărilor ter2i%e )*e%torul ter2enilor li5eri. t - *aria5ila ti2,

10%A% E!eentu! teri# triung;iu!ar #u trei no3uri "n ana!i7a stationară

Prin rei2 sta4ionar' se 0n4elee a%ea situa4ie de e%hili5ru ter2i%' 0n %aredistri5u4ia te2,eraturii nu de,inde de ti2,' %u alte %u*inte' eneria internă a%or,ului se %onser*ă dar e6istă s%hi25 de %ăldură 0ntre di*erse ,ărti ale a%estuia

Yn rei2 sta4ionar e%ua4ia )". de*ine:

[ ] ;TF = ' )"(.e%ua4ie si2ilară %u e%ua4ia de e%hili5ru din %al%ulul stati% al stru%turilor

A% Cara%teristi%i ,rin%i,ale ale ele2entului ter2i% triunhiular );i ". este enerat de trei noduri I' Q &i F %are se de%lară 0n sensul rotirii a6ei G

,este ,e dru2ul %el 2ai s%urt >aturile ele2entului se notea+a ' (' 3( are un rad de li5ertate ,e nod )L>N K .' te2,eratura -T3 ele2entul su,ortă di*erse 0n%ăr%ări ter2i%e:

7

-flu6 ter2i% enerat%onsu2at 0n interiorul ele2entului - ' de*aloare %onstantă' ,o+iti* da%ă este enerat M23O

-flu6 ter2i% i2,us ,e laturile ele2entului - ' de *aloare %onstantă' ,o+iti* da%ă intră 0n ele2ent M2(O

-flu6 ter2i% %on*e%ti* ,e laturile ele2entului de ,ara2etrii αM2(FO &i T<MFO

Fig% 10%1/ Ele2entul triunhiular ter2i%

Ue%torul 0n%ăr%ărilor ter2i%e ,e ele2ent se %al%ulea+ă %u rela4ia: :

e f f f ; ++= )"3.

0n %are:

=

3h:<f : e%hi*alarea flu6ului ter2i% interior ele2entului

h K ,entru ele2entul ,lan &i h K ( ).F )G.Q)G.I)G3

(++ ,entru ele2entul a6ial

si2etri%

=

"

>(

hf IQ e%hi*alarea flu6ului i2,us ,e latura

="

>(

Thf IQ

< e%hi*alarea flu6ului de %on*e%4ie ,e latura

h K ,entru ele2entul ,lan &i h K ( ).Q)G.I)G + ,entru ele2entul a6ial si2etri%

( ) ( ) ((

IQ .Q).I).Q)G.I)G> −+−= luni2ea laturii IQ

!

=

"

>(

hf QF e%hi*alarea flu6ului i2,us ,e latura (

=

"

>(

Thf QF

< e%hi*alarea flu6ului de %on*e%4ie ,e latura (

h K ,entru ele2entul ,lan &i h K ( ).F )G.Q)G + ,entru ele2entul a6ial si2etri%

( ) ( ) ((

QF .F ).Q).F )G.Q)G> −+−= luni2ea laturii QF

=

"

>(

hf FI e%hi*alarea flu6ului i2,us ,e latura 3

=

"

>(

Thf FI

< e%hi*alarea flu6ului de %on*e%4ie ,e latura 3

h K ,entru ele2entul ,lan &i h K ( ).I)G.F )G + ,entru ele2entul a6ial si2etri%

( ) ( ) ((

FI .I).F ).I)G.F )G> −+−= luni2ea laturii FI

α - %ofi%ientul de %on*e%4ie al s%hi25ului de %aldură 0ntre ele2ent &i e6teriorT< - te2,eratura 2ediului e6terior

$ ele2entul ,oate fi folosit ,entru 2odelarea ,lană sau a6ial si2etri%a as%hi25urilor de %ăldura ,rin %ondu%4ie &i %on*e%4ie

# 2atri%ea de riiditate 0n %oordonate lo5ale este:[ ] [ ] [ ](

e F F F += )"$.0n %are:

[ ]

+++++++++

=(

J

(

6 = J = 6i Ji 6

=J =6

(

=J

(

=6i =Ji =6

iJ i6 =iJ =i6

(

iJ

(

i6

% 5 %% 5 5 %% 5 5

%% 5 5 % 5 %% 5 5

%% 5 5 %% 5 5 % 5

<$

hF

< - aria ele2entului )*e+i rela4ia 93.λ6' λJ - %oefi%ien4ii de %ondu%ti*itate ai 2aterialului ,e %ele două dire%4ii ,rin%i,aleG &i M2FO%oefi%ien4ii 5i''%i se deter2ină %u rela4ia )9$.

h K ,entru ele2entul ,lan &i h K ( ).F )G.Q)G.I)G3

(++ ,entru ele2entul a6ial

si2etri%

9

[ ]

="""

"("(

>

hF IQ( ,entru flu6 de %on*e%4ie ,e latura

hK ,entru ele2entul ,lan &i hK ( ).Q)G.I)G + ,entru ele2entul a6ial si2etri%>IQ - luni2ea laturii IQ

[ ]

=

("

("

"""

>

hF QF ( ,entru flu6 de %on*e%tie ,e latura (

hK ,entru ele2entul ,lan &i hK ( ).F )G.Q)G + ,entru ele2entul a6ial si2etri%

>QF - luni2ea laturii QF

[ ]

=

("

"""

"(

>

hF FI( ,entru flu6 de %on*e%4ie ,e latura 3

hK ,entru ele2entul ,lan &i hK ( ).I)G.F )G + ,entru ele2entul a6ial si2etri%>FI - luni2ea laturii FI

,% /ate leate de ele2ent ti,ul ele2entului SP - stare ,lană sau S<S - stare a6ial si2etri%ă

C% /ate des,re 2aterialul ele2entului %oefi%ien4ii de %ondu%ti*itate ter2i%ă ,entru 2aterial ortotro, λ6 &i λJ

,entru %ele două dire%4ii ,rin%i,ale G &i ' ,entru 2aterialul i+otro, se %onsideră J6 ==

)% /ate des,re 0n%ăr%ări te2,eraturi i2,use 0n noduri - Ti /a%ă 0n e%ua4ia de e%hili5ru a

ele2entului:eee ;TF = '

e6istă te2,eratură i2,usă 0n nodul I e%ua4ia se 2odifi%ă astfel:

−−=

.I)T.'3)F .3);

.I)T.'()F .();

.I)T

.F )T

.Q)T

.I)T

.3'3)F .('3)F "

.3'()F .('()F "

""

i

ee

i

ee

i

ee

ee'

da%ă 2ai e6istă te2,eraturi i2,use 0n nodurile Q &isau F rela4ia de 2ai sus se2odifi%ă 0n %ontinuare %onfor2 unor rela4ii si2ilare

( flu6 ter2i% enerat%onsu2at 0n ele2ent -

7"

)3. flu6 ter2i% enerat%onsu2at 0n nodurile dis%reti+ării $ flu6 ter2i% i2,us ,e una sau două din laturile ele2entului - # flu6 ter2i% %on*e%ti* ,e una sau două laturi ale ele2entului' se de%lară

,rin %oefi%ientul de %on*e%4ie - <>;< &i te2,eratura e6terioară ele2entului - T<

)te2,eratura 2ediului a25iant.

E% Re+ultatele re+ol*ării te2,eraturile nodale - TEP

F% Stru%tura fi&ierului %u date de intrare /ate enerale des,re dis%reti+are

NN NE TIPE( /ate des,re noduri NI IC?N G vTi^3 /ate des,re 2ateriale

N<T<TI >a25daG >a25da$ /ate des,re ele2ente &i 0n%ăr%ări 0n ele2enteEI I Q F <T

# /ate des,re 0n%ăr%ări %u flu6 i2,us ,e laturile ele2entelor )%onturule6terior 2odelului. N;>GEI; ><T N N( /ate des,re 0n%ăr%ări %u flu6 %on*e%ti* ,e laturile ele2entelor )%onturul

e6terior 2odelului. NC?NUEIC ><T N N( <>;< T<

?5ser*a4ie: Contururile nede%larate ni%i la ,un%tul # ni%i la ,un%tul se %onsideră

i+olate adia5ati%

G% Prora2ul de lu%ruTERSTEGE

<%est ,rora2 a fost %on%e,ut să lu%re+e %u no4iunile )datele. de la ,un%tele ,'E%are nu sunt in%luse 0ntre ,arante+e

J% S%he2a loi%ă a ,rora2ului se ,re+intă 0n ;i "(

7

Yn Ta5elul " se ,re+intă' %u a,ro6i2a4ie' ,entru te2,eratura de ("° C%onstantele de 2aterial %are inter*in 0n %al%ule de anali+ă ter2i%ă ,entru %1te*a2ateriale 2ai des 0nt1lnite 0n ,ra%ti%ă

Ta6e!u! 10%1/ Constante de 2aterial ,entru anali+e ter2i%e

aterialul

⋅ F 2

⋅ F F

s%

32

Fj

<er "'"(# 9' '(93<,ă "' $!#'# """

Beton "'3 - '" 7!" (("" - (#""Cără2idă "'9 !3" ≈(#""

>e2n "'7 7" 7"" - 9""Sti%lă "'3$ - '" 7!" ($"" - (!""

Por4elan "'7 !37 ≈(#""?4el $# - #" $" - 7" 7!#"

<lu2iniu (3! 9"" (7""Cu,ru 39$ 3!# !7""<rint $"! (3# "#""

Yn ,ra%ti%ă sunt utile &i rela4iile de transfor2are:

Cs%2%al"39'(

2F 3

°⋅⋅⋅= −

F

Q!##'$

C

%al =

°

Ap!i#aţii

TERM(1% n %or, ,araleli,i,edi%' de luni2e foarte 2are a %ărei se%4iunese ,re+intă 0n ;i "3 ,ri2e&te %ăldură ,rin două fe4e adia%ente 0n %are ,ătrundeflu6ul ter2i% 6 K (3(# 2( &i J K 93" 2( Pe %elelalte laturi se %edea+ă

%ăldură ,rin %on*e%4ie %u ,ara2etrii == J6 (3 2(

F' T< K "° C Cor,ul esteortotro, %u =6 2F &i =J ( 2F' iar di2ensiunile 0n se%4iune sunt aK #"" 22 &i 5 K $"" 22' să se ăseas%ă distri5u4ia de te2,eratură 0n %or, ,entrurei2ul stationar

7(

Fig% 10%8/ S%he2a loi%ă a ,rora2ului TERSTEGE

α ' T<

Fig% 10%9/ Pro5le2a TERS Fig% 10%+/ /is%reti+area ,ro5le2eiTERS

73



Re+ol*are

/eoare%e luni2ea %or,ului este foarte 2are se ,oate neli=a s%hi25ul de%ăldura ,e la %a,etele %or,ului &i se ,oate ,resu,une %ă nu e6istă s%hi25 de %ăldură

,e luni2ea %or,ului' %eea %e ,er2ite re+ol*area unei ,ro5le2e ,lane ,entrus%hi25ul de %ăldură

Se ado,tă dis%reti+area din ;i "$ ,entru %are fi&ierul datelor de intraretemps# este:

( ( " """"E\"" """"E\""

( " """"E\"" ("""E -" 3 " """"E\"" $"""E -" $ " 7""E -" """"E\"" # " 7""E -" ("""E -" " 7""E -" $"""E -" 7 " 33""E -" """"E\"" ! " 33""E -" ("""E -" 9 " 33""E -" $"""E -" " " #"""E -" """"E\"" " #"""E -" ("""E -" ( " #"""E -" $"""E -"

"" ("" $ # """""""""""E\"" ( # ( """""""""""E\"" 3 ( # """""""""""E\"" $ ( 3 """""""""""E\"" # $ 7 ! """""""""""E\"" $ ! # """""""""""E\"" 7 # ! 9 """""""""""E\"" ! # 9 """""""""""E\"" 9 7 " """""""""""E\""

" 7 ! """""""""""E\"" ! ( """""""""""E\""( ! ( 9 """""""""""E\""# ( 3 ( (3(#"""""""E\"3 $ 3 3 ( (3(#"""""""E\"3 $ ( 3 93"""""""""E\"( ! ( 9 93"""""""""E\"(

7$

( ( ( 9 93"""""""""E\"(# $ (3"""""""""E\" """"""""""E\" # $ 7 (3"""""""""E\" """"""""""E\" 9 7 " (3"""""""""E\" """"""""""E\" 9 ( " (3"""""""""E\" """"""""""E\" ( ( (3"""""""""E\" """"""""""E\"

Rul1nd ,rora2ul ,entru a%est 2odel se o54ine listinul:

?/E> P><N BI/IENSI?N<>

<T >a25daG >a25da """""""E\"" (""""""E\"

N?/ IC?N G Ti " """"""E\"" """"""E\"" ( " """"""E\"" ("""""E-" 3 " """"""E\"" $"""""E-" $ " 7""""E-" """"""E\"" # " 7""""E-" ("""""E-" " 7""""E-" $"""""E-"

7 " 33""""E-" """"""E\"" ! " 33""""E-" ("""""E-" 9 " 33""""E-" $"""""E-" " " #"""""E-" """"""E\"" " #"""""E-" ("""""E-" ( " #"""""E-" $"""""E-"

E>E I Q F <T $ # """ ( # ( """ 3 ( # """

$ ( 3 """ # $ 7 ! """ $ ! # """ 7 # ! 9 """ ! # 9 """ 9 7 " """ " 7 ! """ ! ( """

7#

( ! ( 9 """

E>E ><T N N( ( 3 ( (3(#"" $ 3 3 ( (3(#"" $ ( 3 93""" ! ( 9 93""" ( ( ( 9 93"""

E>E ><T N N( <>;< T< $ (3"""" """""

# $ 7 (3"""" """"" 9 7 " (3"""" """"" 9 ( " (3"""" """"" ( ( (3"""" """""

<TRICE< C<R<CTERISTIC< <S<T< <RE NEC K ( EC<TIISEI><TIE< <TRICII <S<TE ESTE >B K #

TEPER<TRI N?/<>E N?/ TEP #99$7#

( !!($$"3 3 (""$37"#$ $ "($"#7##" # 33"((!(! #3(7!9# 7 7(3$99$$# ! 9$73(7""7 9 (37!7(9 " $$!"73"7 "9$#((33 ( 7$9$9(7(7

/istri5u4ia te2,eraturilor se ,oate ur2ări 0n ;i "# iar %ur5ele dei+ote2,eraturi 0n ;i "

Pentru a o54ine o solu4ie 2ai 5ună &i a nete+i %ur5ele de i+ote2,eratură sei2,une o dis%reti+are 2ai fină a 2odelului de %al%ul Se ,oate lu%ra &i 0n radeFel*in' 0ntru%1t

TMFOK(73'#\TM°CO

7

Fig% 10%:/ /istri5u4ia te2,eraturilor TERS

Fig% 10%@/ Re,re+entarea liniilor de te2,eratură %onstantă TERS

TERM(8 ? 5ară de luni2e foarte 2are este 0n %onta%t ,e o fa4ă %u un %or,a %arui te2,eratură se 2en4ine %onstantă eală %u T i K ""° C );i "7. Ştiind %ă ,rin interiorul 5arei %ir%ulă a,ă %are ,rodu%e un s%hi25 %on*e%ti* de %ăldură de ,ara2etrii =i 3# 2(F &i =<iT $"° C' iar 0n e6terior e6istă s%hi25 %on*e%ti* de

%ăldură de ,ara2etrii =e (" 2(F &i T<e = ("° C' să se deter2ine distri5u4ia de

te2,eratură 0n se%4iunea 5arei Se %unos%: 2aterialul 5arei este i+otro, %u λ K 3"2F iar di2ensiunile 5arei se %ara%teri+ea+ă ,rin a K "'( 2

77

α i

T<i

α e'T<e

Fig% 10%/ Pro5le2a TERS( Fig% 10%./ /is%reti+are - TERS(

Re+ol*are

Se ado,tă dis%reti+area 8rosieră din ;i "! ,entru %are fi&ierul datelor deintrare terms, este:

""""E\"" """"E\"" ""E\"(

( """"E\"" """E-" ""E\"( 3 """"E\"" 3"""E-" ""E\"( $ """"E\"" $"""E-" ""E\"(

# " ("""E-" """"E\"" " ("""E-" """E-" 7 " ("""E-" 3"""E-" ! " ("""E-" $"""E-" 9 " $"""E-" """"E\"" " " $"""E-" """E-" " $"""E-" 3"""E-" ( " $"""E-" $"""E-" 3 " """E-" """"E\"" $ " """E-" """E-" # " """E-" 3"""E-"

" """E-" $"""E-" 3""" 3"""

7!



# """ ( ( """ 3 ( 7 """ $ ( 7 3 """ # 3 7 ! """ 3 ! $ """ 7 # 9 " """ ! # " """ 9 7 ( """" 7 ( ! """ 9 3 $ """

( 9 $ " """3 " $ # """$ " # """# # """ ( """

Fig% 10%B/ /istri5u4ia te2,eraturilor-TERS(

"3 # (""""""""""E\" (""""""""""E\" 3 ( 7 3#"""""""""E\" $""""""""""E\" ( ! $ (""""""""""E\" (""""""""""E\" 7 # 9 (""""""""""E\" (""""""""""E\"

! ( " 3#"""""""""E\" $""""""""""E\" 9 7 3#"""""""""E\" $""""""""""E\"" ( ( ! (""""""""""E\" (""""""""""E\" 9 3 (""""""""""E\" (""""""""""E\" ( 3 $ (""""""""""E\" (""""""""""E\"3 ( $ # (""""""""""E\" (""""""""""E\"$ 3 " 3#"""""""""E\" $""""""""""E\"# ( # (""""""""""E\" (""""""""""E\" ( ( (""""""""""E\" (""""""""""E\"

/istri5u4ia de te2,eratură se ,re+intă 0n ;i "9 Se o5ser*ă %ă distri5u4iate2,eraturilor este si2etri%ă fa4ă de a6a de si2etrie' iar te2,eratura 2ini2ă 0n 5arăeste su,erioară te2,eraturii 2ediului e6terior at1t 0n aer %1t &i 0n %onta%tul %u a,a

Te2,eratura 5arei ră21ne %onstantă ,e una din laturi' a%est fa,t este ,osi5ilda%ă a%astă latură ,ri2e&te %ăldură de la %or,ul %u %are *ine 0n %onta%t ;lu6ul ter2i%transferat %ătre %or,ul studiat nu inter*ine 0n %al%ul' ,re+intă interes fa,tul %ă a%estflu6 2en4ine %onstantă te2,eratura 0ntr-o anu2ită +onă %unos%ută

TE]: Să se anali+e+e ,ro5le2a ,e =u2ătate din se%4iune' %onsider1nd si2etria

79

TERM(9 ? 5ară de se%4iune ,ătrată' foarte lună este i+olată adia5ati% ,edouă laturi adia%ente %a 0n ;i ""' &i se %unoaste te2,eratura ,e %elelalte douălaturi T< K #"° C Ştiind %a a K "' 2 λ K 3"" 2F &i %ă 0n interiorul 5arei iana&tere un flu6 ter2i% K "7 23' să se deter2ine distri5u4ia de te2,eratură 0nse%4iunea 5arei

Fig% 10%10/ Pro5le2aTERS3

Fig% 10%11/ /istri5utia te2,eraturilor TERS3

Raspuns/ /atorită si2etriei 2odelul ,lan se ,oate alee ,e =u2atate din se%4iune %a

0n ;i " %are ,re+intă &i distri5u4ia te2,eraturilor

TERM(+ ? 5ară de se%4iunetra,e+oidală din o4el trans2ite %ăldură de la

5a+a 2are %ătre 5a+a 2i%ă' *e+i ;i"(Pe fe4ele laterale se ,ierde %ăldură ,rin%on*e%4ie Pentru λ K $! 2F a K (22 K """ 2( ( K #"" 2( α K# 2(F T< K (" °C' se %ere

a. să se studie+e distri5u4ia dete2,eratură 0n rei2 sta4ionar

5. %e se 0nt12,lă da%ă K #""2( &i ( K """ 2( A

%. dar da%a K "" 2( &i ( K""" 2(

Fig% 10%18/ Pro5le2a TERS$

Răspuns/ Pentru %a+ul a. distri5u4ia de te2,eratură se ,re+intă 0n ;i "3 ,e un2odel de+*oltat ,e =u2ătate din se%4iunea 5arei datorită si2etriei Yn %a+ul 5. nu 2aie6istă s%hi25 de %ăldură %u e6teriorul 0ntru%1t %ăldură %are ,ătrunde 0n 5ară este

!"

eală %u %ea %are iese din 5ară Ca+ul %. ,resu,une a5sor54ia unei %ălduri din 2ediul0n%on=urător &i ,entru a%easta te2,eratura de e%hili5ru a 5arei tre5uie să fie su5te2,eratura 2ediului

Fig% 10%19/ /istri5u4ia te2,eraturii TERS$

TERM(: Intr-o 5ara din alu2iniu de se%tiune ,atrata %a in ;i"$ ianastere un flu6 ter2i% *olu2i% K "# 23 Stiind %a 5ara se afla in aer &ie6ista un s%hi25 de %ăldură %on*e%ti* de ,ara2etrii α K 3" 2(F &i T< K "°Csa se afle distri5utia de te2,eratura in se%tiunea 5arei ,entru a K "'( 2

α

'T<

Fig% 10%1+/ Pro5le2a TERS# Fig% 10%1:/ /istri5u4ia te2,eraturii TERS#

Răspuns/ <*1nd 0n *edere %ele ,atru a6e de si2etrie 2odelul ,ro5le2ei se ,oatede+*olta ,e o o,ti2e din se%4iune ,entru %are distri5u4ia te2,eraturilor se ,re+intă0n ;i "#

!

TERM(@% Yn 2ie+ul %oloanei %ir%ularedin ;i" ,e o +onă de ra+ă %unos%uta r K" 22 ia na&tere un flu6 ter2i% *olu2i%interior de *aloare %onstantă K #" 23Ştiind %ă ra+a e6terioară a %oloanei este R K "22' 2aterialul este un alia= ,entru %are λ K 7"2F iar s%hi25ul de %ăldură %u e6terioruleste de ,ara2etrii α K #" 2(F &i T< K (" °C să se ăseas%ă distri5u4ia de te2,eratură 0nse%4iunea %oloanei

α 'T<

Fig% 10%1@/ Pro5le2a TERS

Indi%a4ie: /in 2oti*e de si2etrie' 2odelul de %al%ul se ,oate de+*olta ,e un sfertdin se%4iune sau %hiar ,entru un se%tor de unhi oare%are sau se ,oate fa%e o2odelare %u ele2ente a6ial si2etri%e ,e o felie de rosi2e eală %u unitateaRăspuns/ Pentru dis%reti+area ,e un se%tor %ir%ular %u ele2ente ,lane se o54inedistri5u4ia de te2,eratură din ;i "7a' iar ,entru dis%reti+area %u ele2entea6ial si2etri%e ,e o felie de luni2e oare%are distri5u4ia de te2,eratură se ,oateur2ări 0n ;i "75

Fig% 10%1/ /istri5u4ia te2,eraturilor TERS

!(

TERM(% Yn ;i "! se ,re+intă se%4iunea unei ,iese ,araleli,i,edi%efor2ată din două 2ateriale diferite %u λ K $# 2F &i λ( K ( 2F Ştiind %ă0n 2aterialul ( ia na&tere un flu6 ter2i% %onstant de *aloare K " # 23' iar2aterialul s%hi25ă %ăldură %u aerul din =ur 0n %ondi4iile α K $# 2(F &i T< K(" °C' să se %al%ule+e distri5u4ia de te2,eratură ,entru a K "' 2

α 'T<

Fig% 10%1./ Pro5le2a TERS7 Fig% 10%1B/ /istri5u4ia te2,eraturii TERS7

Raspuns/ Pentru dis%reti+area ,e sfert a se%4iunii se o54ine distri5u4ia dete2,eratură din ;i "9

TERM(.% ;i "(" ,re+intă o se%4iune ,rintr-un ,erete Ştiind %ă lainterior te2,eratura ,eretelui se 2en4ine %onstantă eală %u Ti K 3" °C iar 0ne6terior e6istă s%hi25 de %ăldură ,rin %on*e%4ie de ,ara2etrii α K " 2(F &iT< K -$" °C să se ăseas%ă distri5u4ia de te2,eratură ,entru a K "' 2

α 'T<

Fig% 10%80/ Pro5le2a TERS! Fig% 10%81/ /istri5u4ia te2,eraturii TERS!

Răspuns/ /istri5u4ia te2,eraturii 0n se%4iune se ,re+inta 0n ;i "(

TERM(B% Cilindrul unui %o2,resor ,re+inta ner*uri ,entru ra%ire %a in;i "(( Stiind %a te2,eratura la interiorul %ilindrului se 2entine %onstanta'eala %u Ti K 7" °C iar la e6terior ner*urile sunt ra%ite ,rin inter2ediul unui

!3

*entilator %e asiura un s%hi25 %on*e%ti* de %ăldură de ,ara2etrii %unos%uti α K!" 2(F &i T< K " °C' sa se %al%ule+e distri5utia de te2,eratura in %ilindrul%o2,resorului %are este din otel %u λ K $# 2F

Fig% 10%88/ Pro5le2aTERS9

Fig% 10%89/ /istri5u4ia te2,eraturii TERS9

Răspuns/ odelul ,ro5le2ei este a6ial si2etri% &i se ,oate re+ol*a ,e =u2ătatedin se%4iunea ner*urii /istri5u4ia de te2,eratură se ,oate ur2ări 0n ;i "(3

TERM(10% Roata unui *ehi%ul de %ale ferată are a,ro6i2ati* di2ensiunile din;i "($ Yn rei2 de fr1nare ,relunită 0n roată se introdu%e un flu6 ter2i% de lasa5o4ii de fr1nă K (""" 2( Ştiind %ă roata este dintr-un o4el %are are λ K #"

2F' iar ,rin *entila4ie naturală se asiură un s%hi25 %on*e%ti* de %ăldură %u ,ara2etrii α K #" 2(F &i T< K (# °C ,e toată su,rafa4a li5eră 2ai ,u4in ,eosie unde te2,eratura se 2en4ine %onstantă' eală %u te2,eratura 2ediuluia25iant' să se ăseas%ă distri5u4ia de te2,eratură 0n roată

Răspuns/ Pe 2odelul a6ial si2etri% dis%reti+at %u #" ele2ente se ,re+intă 0n ;i"(# distri5u4ia de te2,eratură' iar 0n ;i "( %1te*a i+oter2e

!$



Fig%10%8+/ Pro5le2a TERS"

Fig% 10%8:/ /istri5u4ia te2,eraturilor TERS"

Fig% 10%8@/ Cur5e de eală te2,eratură TERS"

!#

10%,% E!eentu! teri# triung;iu!ar #u trei no3uri "n ana!i7a tran7itorie

Prin rei2 tran+itoriu se 0n4elee 0n eneral fa+a de tre%ere a unui fenoen%ătre un rei2 no2inal )sta4ionar. de fun%4ionare Este %lar %ă *aria5ila ti2, nu

,oate fi e6%lusă din anali+a unui rei2 tran+itoriu Studiul se fa%e ,entru o ,erioadă ,re%i+ată %u %ondi4ia de a %unoa&te o serie de ,ara2etri la 0n%e,utulinter*alului de ti2, )t K ". Pentru anali+a ter2i%ă ,re+entată 0n %ontinuare se%onsideră *aria5ilă te2,eratura 0n nodurile dis%reti+ării

Toate no4iunile &i nota4iile ,re+entate la anali+a ter2i%ă stationară ) x"<.ră21n *ala5ile

E%uatia )". se ,oate transfor2a utili+and 2etoda re+iduurilor

)Lalerin. 0n:[ ] tit f TF = ' )"#.0n %are:

[ ] [ ] [ ] iit F 3

tg(CF += )".

[ ] [ ] iiiit ;tgTF 3

tgCf +

−= − )"7.

ii tttg −−= ' ,rin indi%ele i se in4elee 2ări2ea la ti2,ul i

/e%i' da%ă se %unos% te2,eraturile ini4iale' se ,ot afla ,as %u ,as

ur2ătoarele te2,eraturi Yn eneral ,ro,rietă4ile de 2aterial de,ind dete2,eratură &i atun%i 2atri%ele [ ] iC ' [ ] iF &i *e%torul i; tre5uie a%tuali+ate

,entru fie%are ,as' %hiar da%ă ,asul este %onstant Prora2ul %on%e,ut lu%rea+ă0nsă %u ,ro,rietă4i de 2aterial %onstante' %eea %e si2,lifi%ă ,u4in 2odul deintrodu%ere al datelor &i %al%ulul

E%ua4ia )". se ,oate transfor2a 0n for2a )"#. &i ,rin 2etodadiferen4elor finite' dar e6,resiile [ ] tF &i tf se 2odifi%ă:

[ ] [ ] [ ] iit F Ctg

(F += ' )"!.

[ ] [ ] iiiit ;(TF Ctg

(

f +

−= − )"9.

E6,resia 2atri%ei %a,a%ită4ilor %alori%e este:

[ ]

=

(

(

(

(

<j%Ce

,entru ele2entul ,lan

!

[ ]

=

333(3

(3(((

3(e

CCC

CCCCCC

"

<j%C ,entru ele2entul a6ial si2etri%

0n %are:

( ) ( ) ( )F G(QG(IGC ++= ( ) ( ) ( )F GQG(IG(C( ++= ( ) ( ) ( )F G(QGIG(C3 ++=

(( CC =

( ) ( ) ( )F G(QGIG(C(( ++= ( ) ( ) ( )F G(QG(IGC(3 ++=

33 CC =

(33( CC = ( ) ( ) ( )F GQG(IG(C33 ++=

% - %ăldura s,e%ifi%ă 2asi%ă a 2aterialuluiρ - densitatea 2aterialului

odifi%ări ,entru %al%ulul tran+itoriu inter*in la:

C% /ate des,re 2aterialul ele2entului %oefi%ien4ii de %ondu%ti*itate ter2i%ă ,entru 2aterialul ortotro, λ6 &i λJ

,entru %ele două dire%4ii ,rin%i,ale G &i ' ,entru 2aterialul i+otro, se %onsideră J6 ==

( %ăldura s,e%ifi%ă 2asi%ă a 2aterialului - %3 densitatea 2aterialului - ρ

E% Re+ultatele re+ol*ariite2,eraturile nodale la fie%are ,as de %al%ul TEP)(. %antitatea de %aldura s%hi25ată 0ntre 2odel &i 2ediul e6terior sau 0ntre

diferite ,ăr4i ale 2odelului)3. flu6urile ter2i%e ,e laturile ele2entelor

F% Stru%tura fi&ierului %u date de intrare este: /ate enerale des,re dis%reti+are &i ti2,ul de %al%ul

NN NE TIPP NP ti2,( /ate des,re noduri

NI IC?N G Ti )/a%ă IC?N K " atun%i Ti - te2,eratura ini4ială.

!7

)/a%ă IC?N K atun%i Ti - te2,eratura i2,usă.3 /ate des,re 2ateriale

N<T<TI >a25daG >a25da % /ENS$ /ate des,re ele2ente &i in%ar%ari 0n ele2enteEI I Q F <T # /ate des,re 0n%ăr%ări %u flu6 i2,us ,e laturile ele2entelor )de reulă

%ontururile 2odelului. N;>G

EI; ><T N N( /ate des,re 0n%ăr%ări %u flu6 %on*e%ti* ,e laturile ele2entelor )de reulă

,e %onturul e6terior 2odelului. NC?NUEIC ><T N N( <>;< T<

?5ser*a4ie Contururile nede%larate ni%i la ,un%tul # ni%i la ,un%tul se %onsiderăi2,li%it i+olate adia5ati%


TERTREGE<%est ,rora2 a fost %on%e,ut să lu%re+e %u no4iunile )datele. de la ,rora2ul TERSTEGE %o2,letate %u ele2entele ne%esare unui %al%ul 0n rei2tran+itoriu

?ri%e fi&ier ,reătit ,entru ,rora2ul ter2ste6e ,oate fi %o2,letat ,entrurulare 0n rei2 tran+itoriu %u ,rora2ul ter2tre6e

?ri%e fi&ier ,reătit ,entru ,rora2ul ter2tre6e ,oate fi rulat 0n rei2sta4ionar %u ,rora2ul ter2ste6e ,entru a deter2ina distri5u4ia de te2,eratură du,ăun ti2, foarte 2are de la 0n%e,erea s%hi25ului de %aldură

Prora2ul ,oate fi 2odifi%at ,entru a se lu%ra %u ,ara2etri &i %onstante de2aterial *aria5ile de te2,eratura

J% S%he2a loi%ă a ,rora2ului se ,re+intă 0n ;i "(7Prora2ul este i2,le2entat at1t %u 2etoda de interare dedusă din 2etoda

Lalerin %1t &i %u interarea ,rin diferen4e finite etoda Lalerin este 2ai sta5ilă &ise ,referă %elei %u diferen4e finite

!!



Fig% 10%8/ S%he2a loi%ă a ,rora2ului TERTREGE

!9

Ap!i#aţii

TERMT1% Yntr-un %or, ,araleli,i,edi% i+olat' din %u,ru %u se%4iunea ,re+entată 0n ;i "(! ia na&tere un flu6 ter2i% interior K " 23 Ştiind %ăte2,eratura initială a %or,ului este " °C să se %al%ule+e te2,eratura %or,ului du,ă tK "" s Co2,ara4i re+ultatul o54inut %u E; %u re+ultatul analiti%

Fig% 10%8./ Pro5le2a TERT Fig% 10%8B/ /is%reti+are TERT

Re+ol*are

ări2ea %or,ului nu inter*ine 0n %al%ul dar se alee s,re e6e2,lu a K "'"$2 ;lu6ul ter2i% *olu2i% fiind %onstant' dis%reti+area do2eniului se ,oate fa%e 0n

ori%1t de 2ulte ele2ente finite sau %hiar %u un ele2ent Pentru dis%reti+area %u (ele2ente finite din ;i "(9 fi&ierul datelor de intrare termtr# este:

$ ( 3 """""""E\"( " ""E\"" ""E\"" ""E\""

( " $"E-"( ""E\"" ""E\"" 3 " $"E-"( $"E-"( ""E\"" $ " ""E\"" $"E-"( ""E\""

39$E\"( 39$E\"( 3!#E\"( !7E\"3 ( 3 """E\"

( 3 $ """E\" " "Constantele de 2aterial s-au ,reluat din Ta5elul " Re+ultatul rulării este:

?/E> P><NTIP> /E ST/I t K """""""E\"(P<SI /E C<>C> NP K 3

9"

<T >a25daG >a25da % /ENS 39$""E\"( 39$""E\"( 3!#"E\"( !7""E\"3

N?/ IC?N G Ti " """"" """"" """"" ( " ""$"" """"" """"" 3 " ""$"" ""$"" """"" $ " """"" ""$"" """""E> I Q F <T

( 3 """""""E\" ( 3 $ """""""E\"

E> ><T N N(

E> ><T N N( <>;< T<

<TRICE< C<R<CTERISTIC< <S<T< <RE NEC K $ EC<TIISEI><TIE< <TRICII <S<TE ESTE >B K $

P<S> /E TIP

N?/ TEP

99#73$"9 ( 99#73$"9 3 99#73$"9 $ 99#73$"9

P<S> ( /E TIP N?/ TEP

99"3$!!

( 99"3$!! 3 99"3$!! $ 99"3$!!

P<S> 3 /E TIP N?/ TEP

Fig% 10%90/ Uaria4ia te2,eraturii 0n ti2, ,entruTERT

(9!##("((7 ( (9!##("((7

9

3 (9!##("((7 $ (9!##("((7

/in ,un%t de *edere analiti% folosind e%hi*alarea eneriei ,roduse Ut %u%ea ,reluată de 2etal ρ%U)Tf - Ti. re+ultă:

C!##'(93!#!7""

"""

%j

:tT

f °=⋅

⋅==

/e%i' se o54ine o %on%ordan4ă ,erfe%tă a re+ultatului teoreti% %u %el analiti%Uaria4ia te2,eraturii 0n ti2, se ,re+intă rafi% 0n ;i "3"

TERMT8% Pla%a de alu2iniu din ;i"3 ini4ial la te2,eratura a25ianta T< K ("°Ceste i+olată ter2i% 2ai ,u4in ,e două laturi)su,rafe4e. Pe su,rafa4a din st1na se introdu%eun flu6 ter2i% %onstant K """ 2(' iar ,esu,rafa4a din drea,ta e6istă s%hi25 %on*e%ti* de%ăldură %u ,ara2etrul α K (# 2(F Ştiind %ăa K # 22 să se ăseas%ă distri5u4ia dete2,eratură du,ă t K 3 ore Cu2 *aria+ăte2,eratura 0n a%est inter*al ,e %ele două fe4enei+olate A /u,ă %1t ti2, 0n%e,e transferul de

%ăldura ,rin fata din drea,ta A

α 'T<

Fig% 10%91/ Pro5le2a TERT(

Re+ol*are

Se dis%reti+ea+ă ,la%a 0n ele2ente triunhiulare' se alee un nu2ăr deinter*ale de %al%ul' ,entru %are se re,rodu%e 2ai =os ,ar4ial fi&ierul %u date de intraretermt,:

(! 3" (" "!""""E\"$ " """"""""E\"" """"""""E\"" ("""""""E\"

( " #""""""E-"( """"""""E\"" ("""""""E\"

3 " 3"""""""E-"( """"""""E\"" ("""""""E\"

(3!"E\"( (3!"E\"( 9""E\"( (7""E\"3 ( # """"""""E\"" ( ( 3 # """"""""E\"" 3 # $ """"""""E\""

9(

( N<R> ><TRI>?R C ;>G IPS ( ""E\"3 ( ( 3 ""E\"3( N<R> ><TRI>?R C ;>G C?NUECTIU (7 ( (7 (#""E\" (""E\" 3" (7 (! (#""E\" (""E\"

;i "3(: /istri5u4ia de te2,eratură du,ă 3 ore TERT(

Fig% 10%99/ Uaria4ia te2,eraturii ,e fa4a din drea,ta TERT(

/istri5u4ia te2,eraturii du,ă 3 ore de la 0n%e,erea transferului ter2i% se ,re+intă 0n ;i"3(

/a%ă se ur2ăre&te *aria4ia te2,eraturilor ,e fe4ele li5ere se o5ser*ă %ăte2,eraturile %res% %ontinuu' dar datorită iner4iei ter2i%e transferul %on*e%ti* de

93

%aldură 0n%e,e du,ă %ir%a se%unde )*e+i ;i "33.' ti2, 0n %are %aldura se ,ro,aă din ,artea stană 0n ,artea drea,tă

TERMT9% n 2otor ele%tri% %u rotorul 0n %oli*ie );i "3$. ini4ial late2,eratura 2ediului a25iant T< K ("°C' a5soar5e la ,ornire un %urent I K 73"" <ti2, de " se%unde Să se ăseas%ă distri5u4ia de te2,eratură 0n rotor du,ă " s'&tiind %ă s%hi25ul de %ăldura %u e6teriorul de fa%e %on*e%ti* la e6teriorul rotorului%u α K 2(F Leo2etria rotorului 0n se%4iune este definită de: /e K ("" 22 /2

K " 22 R K (# 22 h K ( 22 d K (" 22 s K 22 e K 3 22

Fig% 10%9+/ Pro5le2a TERT3 Fig% 10%9:/ /is%reti+are TERT3

Re+ol*are

Neli=1nd ,ierderile de %ăldură ,e la %a,etele 2otorului' ,ro5le2a ,oate fi%onsiderată ,lană /atorită si2etriei %i%li%e ,ro5le2a se ,oate re+ol*a ,e un 2odeleo2etri% %are re,re+intă din se%4iune' a&a %u2 se ,oate o5ser*a 0ndis%reti+area din ;i "3#

Se dis%reti+ea+ă do2eniul 0n %are se află o4elul' %u,rul dar &i aerul Este %lar%ă datorită efe%tului Qoule la tre%erea %urentului ele%tri% ,rin 5ara de %u,ru' ia na&tereun flu6 ter2i% *olu2i% Pentru deter2inarea a%estui flu6 enerat' se folose&te rela4iade e%hi*alen4ă:

(

(

(

(

S

Ij

S

ISj

U

RI: ′=′==

0n %are:R - re+isten4a ele%tri%ă a %ondu%torului MΩOj′ - re+isti*itatea ele%tri%ă la te2,eratura ("°CS - aria se%4iunii %ondu%torului/a%ă re+isti*itatea %ondu%torului este j′ ≈"'"(7"- Ω2' aria se%4iunii se

,oate deter2ina a,ro6i2ati* %u relatia:

9$



he(d

(/

(/

$dS 2e

(

−−−+= '

&i re+ultă ≈ ('9$" 23Rul1nd ,rora2ul ,entru %ondi4iile ,re%i+ate 2ai sus se o54ine distri5u4ia de

te2,eratură ,re+entată 0n ;i "3 Se o5ser*ă %ă stratul de aer este un i+olatorfoarte 5un %are 02,iedi%ă transferul ter2i% s,re 2asa de o4el a rotorului

Fig% 10%9@/ /istri5u4ia te2,eraturii du,ă " s TERT3

TERMT+% ? 5ară din o4el' de se%4iune ,ătrată' 0n%ăl+ită la T i K ""°C estelăsată să se ră%eas%a li5er 0n at2osferă Ştiind %ă a K "'( 2 λ K #" 2F % K 7""sFF α K 3" 2(F &i %ă te2,eratura at2osferei este ("°C' să se deter2inedistri5u4ia de te2,eratură du,a # ore

/u,a %1t ti2, te2,eratura 5arei s%ade su5 (°C A/a%ă a K "'"( 2 0n %at ti2, se ră%este ,iesa su5 (°C A

Indi%atie: /in 2oti*e de si2etrie se ,oate a5orda un 2odel ,e ! din se%4iunea 5arei

9#

α 'T<

Fig% 10%9/ Pro5le2aTERT$

Fig% 10%9./ /istri5u4ia te2,eraturii du,ă # ore de ră%ireTERT$

Răspuns/ /istri5u4ia te2,eraturii se ,re+intă 0n ;i "3! Te2,eratura s%ade su5(°C du,ă a,ro6i2ati* ( ore )%al%ul %u (" de ,a&i' *e+i ;i "39. Pentru 5ara %ua K "'"( 2 te2,eratura s%ade su5 (°C du,ă ' ore

TE]: odifi%a4i nu2ărul ,a&ilor de %al%ul &i anali+a4i 2odelul 0n *ariantele deinterare Lalerin &i diferen4e finite Uerifi%a4i sta5ilitatea 2ai 5ună a 2etodeiLalerin

TERMT: Yntr-o farfurie din ,or4elan se ,une su,ă fier5inte la ""°C 0ntr-un ti2, foarte s%urt' *e+i ;i "$" să se deter2ine ti2,ul 0n %are farfuria ,oate fitrans,ortată 0n 21ini fără să friă )te2,eratura %are se ,oate su,orta #"°C.

Fig% 10%+0/ Pro5le2a TERT# Fig% 10%+1/ /is%reti+are TERT#

Se %unoa&te: te2,eratura %a2erei T< K ("°C h K (# 22 h K # 22 h( K " 22 s

K # 22 s( K 22 R f K #! 22 R e K 9! 22 Coefi%ien4ii de %on*e%4ie sunt: 0ntresu,ă &i aer α K $ 2(F 0ntre fundul farfuriei &i aer α( K (" 2(F' iar ,elateral α3 K ! 2(F Se ,resu,une ,entru su,ă λ K "' 2F % K 3"""sFF &i ρ K 9"" F23 /u,ă %1t ti2, su,a a=une la $"°C A

9

Răspuns/ /a%ă farfuria se 4ine de 2arinea de sus' dar se neli=ea+ă efe%tul 21iniiasu,ra transferului ter2i%' te2,eratura nu de,aseste $"°C' dar lateral 0n nodul $")*e+i dis%reti+area S<S din ;i "$. te2,eratura are o *aria4ie %a 0n ;i "$('adi%ă du,ă %ir%a 3 s te2,eratura de,ă&e&te #"°C

/eoare%e a5ordarea teoreti%ă din a%est %a,itol a fost reali+ată ,entru 2odelesolide' nu se 4ine %ont de 2i&%area li%hidului &i se o5ser*ă %ă su,a nu se ră%e&teunifor2 %eea %e %ontra+i%e realitatea

Fig% 10%+8/ Uaria4ia te2,eraturii la 2arinea farfuriei ) 0n nodul $". TERT#

97



Cap% 11% Mo3e!area i2#arii f!ui3e!or i3ea!e "n regi staţionarIntro3u#ere

Yn a%est %a,itol' ,rin fluid ideal se 0n4elee un 2ediu %ontinuu' u&ordefor2a5il su5 a%4iunea for4elor e6terioare' in%o2,resi5il &i fără fre%are internăsau %u 2ediul solid %are 0l 2ărineste Yn a%eastă %ateorie se ,ot 0n%adra o seriede li%hide

Yn ori%e ,un%t dintr-un fluid se ,ot defini 2ări2i 2edii uni%e %a: densitate' ,resiune' *ite+ă' et% Pentru fluidul ideal unele dintre a%este 2ări2i nu au sensfi+i% odelul de fluid tre5uie să se su,ună leilor naturii de:

-%onser*are a 2asei-%onser*are a i2,ulsului-%onser*area eneriei'

lei %are enerea+ă e%ua4iile enerale de 2i&%are Studiul fluidelor s-a de+*oltatdu,ă siste2ul >arane %are ur2ăre&te 0n 2i&%are anali+a unei ,arti%ule de fluid&i du,ă 2odelul lui Euler %are studia+ă distri5u4ia 2ări2ilor %are %ara%teri+ea+ă2i&%area fluidului ,e un do2eniu fi6' 5ine deli2itat 0n s,a4iu

Tratarea enerală a ,ro5le2elor de %urere este foarte %o2,li%ată Yn %ele%e ur2ea+ă se dis%ută doar des,re %urerea ,oten4ială )irota4ională. ,lană' ,entru%are a treia di2ensiune este infinită E6e2,le ti,i%e ar fi %urerea 0n =urul unoro5sta%ole' 0n %anale sau ,rofile ,lane )*e+i ;i .

∂ϕ

∂n= "

∂ϕ

∂nU=

∂ϕ

∂n= "

Fig% 11%1/ Curerea ,oten4ială 0n =urul unui o5sta%ol

/in e%ua4ia de %ontinuitate )%onser*area 2asei. re+ultă o rela4ie 0ntre*ite+ele de %urere:

9!



"

U

G

UG =+ ).

/a%ă se ,resu,une %ă *ite+ele UG &i U se ,ot o54ine %a deri*ate ale unui ,otential ϕ:

G

yUG −=

yU −= ' )(.

atun%i e%ua4ia ). se trans%rie:

"

y

G

y(

(

(

(

=+ )3.

Pentru un do2eniu de anali+ă se ,ot s%rie %ondi4ii la li2ită' de ti, /iri%hlet

,e %onturul C:ϕ)G'.K)G'.' )$a.adi%ă se %unoa&te sau se i2,une ,oten4ialul' &i %ondi4ii de ti, Ne[2an ,e %onturulC(:

zUn

y= )$5.

Condi4ii de ti,ul )$a. nu se ,ot ,une 0n eneral ,entru %ă nu se %unoa&te ,oten4ialul ϕ' dar %ondi4ii 0n *ite+e ,e %ontur )$5. se ,ot ,re%i+a %u u&urin4ă ,entru di*erse ,ro5le2e 0nt1lnite 0n ,ra%ti%ă

Ple%1nd de la e%ua4ia )3.' ,entru un ele2ent finit se ,oate a=une lae%ua4ia 2atri%eală:

eee DyF = ' )#.0n %are:

MF eO - 2atri%ea %ara%teristi%ă a ele2entului finitVϕeW - *e%torul ne%unos%utelor nodale ),oten4ial.VDeW - *e%torul de5itelor nodale e%hi*alente

E!eentu! triung;iu!ar #u trei no3uri "n ana!i7a #urgerii potenţia!e af!ui3e!or i3ea!e

A% Cara%teristi%i ,rin%i,ale ale ele2entului de %urere triunhiular );i (.:

este enerat de trei noduri I' Q &i F %are se de%lară 0n sensul rotirii a6ei G ,este ,e dru2ul %el 2ai s%urt >aturile ele2entului se notea+ă ' (' 3( are un rad de li5ertate ,e nod )L>N K .' ,oten4ialul ;i3 ele2entul su,ortă ur2ătoarele 0n%ăr%ări: *ite+ă i2,usă %onstantă U" ,e

una din laturi' sau ,oten4ial i2,us 0n noduri Se %onsideră *ite+a ,o+iti*ă da%ă intră0n ele2ent &i neati*ă da%ă iese din ele2ent ;un%4ie de latura ,e %are %ir%ulă fluidul0n ele2ent' e6,resia *e%torului li5er VDeW este:

99

;i (: Ele2entul triunhiular de %urere ,oten4ială

=="

(

>UDD IQ"

IQ

e )a.

==

"

(

>UDD QF "

QF

e )5.

==

"

(

>UDD FI"

FI

e )%.

unde >IQ' >QF ' >FI sunt luni2ile laturilor ' ( &i 3$ ele2entul ,oate fi folosit ,entru 2odelarea %urerii ,oten4iale a fluidelor

ideale ,entru do2enii 0n %are a treia di2ensiune )rosi2ea ele2entului. este foarte2are )teoreti% infinită.

# 2atri%ea %ara%teristi%ă 0n %oordonate lo5ale este:

[ ]

+++++++++

=(

(

= = i i

= =

(

=

(

=i =i =

i i =i =i

(

i

(

i

e

% 5%% 5 5%% 5 5

%% 5 5% 5%% 5 5

%% 5 5%% 5 5% 5

<$

F ' )7.

0n %are: < - aria ele2entului )*e+i rela4ia 93.%oefi%ien4ii 5i''%i' se deter2ină %u rela4ia )9$.

,% /ate leate de ele2ent - nu e6istă

C% /ate leate de ti,ul fluidului - ,entru a%est ele2ent fluidul este ideal

)% /ate des,re 0n%ăr%ări

(""

,oten4ial i2,us 0n noduri ;i K %onst' deoare%e 2atri%ea %ara%teristi%a ado2eniului de anali+ă MFO' este sinulară' se i2,une ,re%i+area ,oten4ialului 0n %el

,u4in un nod al dis%reti+ării' de o5i%ei se i2,une ,oten4ialul +ero 0ntr-un nod de ,e%ontur unde nu se %unoa&te *ite+a

( *ite+e %onstante ,e una din laturile ele2entelor de ,e %ontur

E% Re+ultatele anali+ei ,oten4ialul 0n nodurile dis%reti+ării( *ite+ele 0n siste2ul lo5al de a6e UG &i U %onstante 0n ele2ente <%este

*ite+e se %al%ulea+a %u rela4iile:

( )F Q =IiG y 5y 5y 5

<(

U ++−= )!a.

( )F Q =Ii y%y%y%<(

U ++−= )!5.

0n %are: ϕI' ϕQ' ϕF re,re+intă ,oten4ialul 0n nodurile ele2entului Se ,oate %al%ula &i*ite+a totală 0n ele2ent' folosind rela4ia:

(

(

G UUU += )9.

Uite+ele se ,ot 2edia la noduri %u rela4ii si2ilare rela4iilor )9!a. &i )9!5. ,entru are,re+enta rafi% %12,ul *ite+elor 0n do2eniul dis%reti+at


/ate enerale des,re dis%reti+are NN NE( /ate des,re noduri

NI ;IC?N G v;i^3 /ate des,re ele2enteEI I Q F $ /ate des,re 0n%ăr%ări %u *ite+ă i2,usă ,e laturile ele2entelor )%onturul

e6terior 2odelului. NUITEIU ><T N N( U"

?5ser*a4ii: Contururile nede%larate %u *ite+ă i2,usă &i ni%i %u *alorile nodale;i %unos%ute se %onsideră %ă au *ite+ele nor2ale ,e laturile res,e%ti*e nule

( v;i^ se ,re%i+ea+ă doar ,entru nodurile 0n %are ;IC?N K


("

CRLP>EGE<%est ,rora2' de u+ dida%ti%' a fost i2,le2entat folosind teoria ,re+entată

2ai sus &i %a ur2are nu ,oate fi folosit de%1t la 2odelarea unor feno2ene si2,le de%urere' %are 0n realitate nu se 0nt1lnes% ,rea des

n ,rora2 ,erfor2ant de anali+ă a %urerii tre5uie să in%ludă 0n ,ri2ulr1nd influen4ele date de ,resiune &i te2,eratură

Teoriile de+*oltate 0n E; ,entru %ureri %onsideră ele2ente finite 2i6te %urade de li5ertate *ite+e' ,resiuni &i te2,eratură nele noduri ,ot a*ea rade deli5ertate *ite+e iar alte noduri ,ot a*ea rade de li5ertate ,resiuni' de o5i%ei se%onsideră ele2ente %u noduri ,e laturi' &i %u noduri interioare

J% S%he2a loi%ă a ,rora2ului se ,re+intă 0n ;i 3 <%eastă s%he2ă 5lo%%oin%ide %a eta,e ,rin%i,ale %u s%he2a ,re+entata 0n ;i7( Se 2odifi%ă 0nsădenu2irea 2ări2ilor %u %are se lu%rea+ă

Ap!i#aţii

CURG1% Să se ăseas%ă distri5u4ia de *ite+e ,entru %urerea ,oten4ială aunui fluid ideal ,rintr-un %anal %a %el din ;i $ Se %unos%: a K (" 22 &i U"

K " 22s

Fig% 11%+/ Pro5le2a CRL Fig%11%:/ /is%reti+are CRL

("(

ST<RT

Citeste date de intrare-din fisier sau-de la tastatura )intera%ti*.

<fisea+a datele de intrare

-rafi% )dis%reti+are %u %onditii la li2ita.

%u 2etoda Lauss

Refa%e si afisea+a *e%torul initial

Post,ro%esare rafi%a a re+ultatelor

ST?P

-for2at listin si

/eter2ina di2ensiunea 2atri%ei%ara%teristi%e reduse

Cal%ulea+a 2atr %ara%teristi%e si *e%t

e%uatiile de e%hili5ru ale ele2entelor si a,oi le asa25lea+a

r r r

de5itelor nodale ,entru ele2ente

/a%a e6ista ,otential i2,us nenul se 2odifi%a

al ,otentialului nodal

/eter2ina si afisea+a *ite+elein ele2ente

/eter2ina *ite+ele nodale

Re+ol*a ,ro5le2a MF OV;i WKVD W

;i 3: S%he2a loi%ă a ,rora2ului CRLP>EGE

Re+ol*are

Pentru dis%reti+area ado,tată 0n ;i # fi&ierul datelor de intrare curg#

este:

" ""E\"" ""E\""

("3



( " ""E\"" ("E\"3 " ""E\"" $"E\"$ " (#E\" ""E\""# " (#E\" ("E\" " (#E\" $"E\"7 " #"E\" ""E\""! " #"E\" ("E\"9 " #"E\" $"E\"

" " 7"E\" ""E\"" " 7"E\" ("E\"( " 7"E\" $"E\"

3 " #"E\" ##E\"$ " 7"E\" ##E\"# #"E\" 7"E\" """ 7"E\" 7"E\" """ $ # ( # ( 3 ( # 3 $ 3 # # $ 7 ! $ ! # 7 # !

! ! 9 9 7 " !" ! " ! (( ! ( 93 9 ( 3$ 3 ( $# 3 $ # $ #

;i ": /istri5u4ia *ite+elor totale ,entru ,ro5le2a CRL

(( 3 ( """"""""""E\"

3 3 3 ( """"""""""E\"

/eoare%e nu se %unoa&te *ite+a la ie&ire 0n nodurile # &i se i2,une ,oten4ial +ero

Yn ur2a rulării ,ro5le2ei se o54ine listinul: N?/ ;IC?N G ;i " """"" """"" ( " """"" ("""""

("$

3 " """"" $""""" $ " (#"""" """"" # " (#"""" (""""" " (#"""" $""""" 7 " #""""" """"" ! " #""""" (""""" 9 " #""""" $""""" " " 7""""" """"" " 7""""" (""""" ( " 7""""" $""""" 3 " #""""" ##""""

$ " 7""""" ##"""" # #""""" 7""""" """ 7""""" 7""""" """

E>E I Q F $ # ( # ( 3 ( # 3 $ 3 # # $ 7 ! $ ! #

7 # ! ! ! 9 9 7 " ! " ! " ! ( ( ! ( 9 3 9 ( 3 $ 3 ( $ # 3 $ # $ #

E>E ><T N N( U" ( 3 ( """"" 3 3 3 ( """""

<TRICE< C<R<CTERISTIC< <S<T< <RE NEC K $ EC<TIISEI><TIE< <TRICII <S<TE ESTE >B K #P?TENTI<>E>E N?/<>E

("#



N?/ ;i (79(7!!9!E\"3 ( (7(!"$"7E\"3 3 (39!(9E\"3 $ "393777$E\"3 # "(#(!"(9(E\"3 99!"!!9($E\"( 7 !$3#3799(9E\"( ! 79!!$#9!E\"( 9 $!$"77"E\"( " 7!!9#$#(9E\"(

73$(!#"97!9E\"( ( ##!#9!((33E\"( 3 33(7"""E\"( $ (!!7(!993E\"( # """""""""""E\"" """""""""""E\""

;i "7: Re,re+entarea *ite+elor %u săe4i CRL

UITEE>E PE E>EENTE

E>E UG U 9#9#793$E\"" 7"$!793#9E-"

( 99""9#$7(!E\"" 3(33!$#((E-" 3 99""9#$7(!E\"" $!!#!!!9$E-" $ ""(3(3(E\" 3#!#999E\"" # 7!33#!!9$97E\"" ((77$"3##E\"" 9"!3!3((33E\"" 7"$!793#9E-" 7 9"!3!3((33E\"" 3#!#999E\"" ! 399!7$!"(E\" 7#"((79E\"" 9 (733((399E\"" ((77$"3##E\"" " 39$97"7"$(E\"" (733((399E\"" 39$97"7"$(E\"" 9((377!3E\"" ( $!$"773#E\"" 7#"((79E\""

3 $!$"773#E\"" (($#$("#33E\" $ 3(7""("E\"" 7#$#79$!$E\" # 3(7""("E\"" ("7##$""$"E\" """""""""""E\"" 9($$!#99#7E\"

/istri5u4ia *ite+elor totale U se ,re+intă 0n ;i "/a%ă dis%reti+area se fa%e %u ! de ele2ente de di2ensiuni eale' *ite+a se

2odifi%ă 0ntre li2itele ('( - (('( iar re,re+entarea *ite+elor de %urere %u săe4i 0n%entrul ele2entelor finite se dă 0n ;i "7

("



CURG8% Să se ăseas%ădistri5u4ia de *ite+e la %urerea

,oten4ială a unui fluid ideal ,rintr-un %anal 0n %are e6istă un o5sta%ol%ilindri%' a&a %u2 se ,re+intă 0n;i !

Fig% 11%./ Pro5le2a CRL(

Re+ol*are

/eoare%e *ite+ele sunt %onstante ,e ele2ente' ,entru a o54ine distri5u4ia*ite+elor %1t 2ai ,re%is se i2,une o dis%reti+are %1t 2ai fină a 2odelului de %al%ulPentru a redu%e efortul de dis%reti+are &i de %al%ul se ,oate folosi si2etria ,ro5le2ei&i anali+a ,e o ,or4iune de%u,ată %a 0n ;i ! )+ona ha&urată. ,entru %are se ,ot

,une %ondi4iile la li2ită 0n *ite+e' adi%ă se ,oate ,resu,une %ă la o distan4a 3a de%entrul o5sta%olului *ite+a este ne,ertur5ată

Pentru 2odelare se alee o *aloare oare%are ,entru a )de e6e2,lu a K $"./a%ă se i2,une *ite+a la intrare &i la iesire U K "' &i se atri5uie unui nod ar5itrar un

,oten4ial oare%are )+ero' de e6e2,lu.' distri5u4ia de *ite+e ,e dire%4ia G )ori+ontală.se ,re+intă 0n ;i 9' iar a *ite+elor ,e dire%tia )*erti%ală. 0n ;i "

Fig% 11%B/ /istri5u4ia *ite+ei UG ,entru ,ro5le2a CRL(

("7



Fig% 11%10/ /istri5u4ia *ite+ei U ,entru ,ro5le2a CRL(

/atorită si2etriei feno2enului' ,ro5le2a se ,oate redu%e &i la anali+a unuisfert din +ona %ilindrului' dar %ondi4iile la li2ită se ,un 0n *ite+e a%olo unde se%unos% &i 0n ,oten4ial 0n +ona 0n %are nu se %unoa&te distri5u4ia *ite+ei /istri5u4ia*ite+ei de %urere ,e dire%tia G' ,entru a5ordarea ,e sfert se ,re+intă 0n ;i 'iar re,re+entarea *ite+elor %u săe4i 0n ;i( Se 2en4ionea+ă %ă 0n ,artea dinst1na s-a i2,us *ite+a iar la ie&irea din 2odel )0n drea,ta. s-a i2,us ,oten4ialul 0ntoate nodurile a6ei de si2etrie Poten4ialul i2,us ,oate fi nul sau de ori%e *aloare%onstantă' eal 0n nodurile ,re%i+ate 2ai sus

Fig% 11%11/ /istri5u4ia *ite+ei UG CRL( Fig% 11%18/ Uite+ele CRL(

CURG9% Pentru %analul ra2ifi%at din ;i 3 se %ere să se studie+edistri5u4ia *ite+elor la %urerea la2inară a unui fluid ideal Cu2 se ,oate ,une%ondi4ia la li2ită la ie&irea din %ele două 5ra4e A

Indi%a4ie Pro5le2a ,oate fi re+ol*ată ,e =u2atate din 2oti*e de si2etrie

("!



Fig% 11%19/ Pro5le2a CRL3 Fig% 11%1+/ /istri5u4ia *ite+elor CRL3

Răspuns/ Pentru re+ol*area ,e 0ntre do2eniul' distri5u4ia *ite+elor totale se ,re+intă 0n ;i $ /a%ă ,e laturile %elor două 5ra4e la ie&ire se i2,une un ,oten4ial diferit sus fa4a de =os distri5u4ia de *ite+e se 2odifi%ă

CURG+% Studia4i distri5u4ia de *ite+e 0n 5ifur%a4ia din %analul ,re+entat 0n;i # Uerifi%a4i da%ă *ite+ele la ie&ire 0n %ele două ra2uri sunt diferite Este%ore%t A /e %e A

Fig% 11%1:/ Pro5le2a CRL$ Fig% 11%1@/ Uite+ele CRL$

Răspuns/ /istri5u4ia de *ite+e se ,re+intă 0n ;i

CURG:% Lăsi4i distri5u4ia *ite+elor de %urere ,oten4ială a unui flui ideal 0ndo2eniul de anali+ă ,re+entat 0n ;i 7 Crede4i %ă e6istă 0n realitate o astfel de%urere A Yn %e %ondi4ii A Cu2 %rede4i %ă se ,oate 025unătă4ii rei2ul de %urere

,entru o de*iere la unhi dre,t A

Răspuns/ Re,re+entarea %u săe4i a distri5u4iei de *ite+e se ,re+intă 0n ;i !Se o5ser*ă %ă 0n ,artea din dre,ta *ite+ele de %urere sunt foarte 2i%i' %eea %e%ondu%e la ideea de a renun4a la ,or4iunea a%easta %are de altfel ,entru %ureri la

("9



*ite+e 2ari este o sursă de enerare a %urerii tur5ionare Rei2ul de %urere se ,oate 025unătă4i ,rin introdu%erea unor ra+e de ra%ordare 0n +ona %otului

Fig% 11%1/ Pro5le2a CRL# Fig% 11%1./ /istri5u4ia *ite+elor CRL#

CURG@% Studia4i distri5u4ia*ite+elor de %urere a fluidului %aretre%e ,rin ra%ordul ,lan ,re+entat 0n;i 9 Trasa4i rafi%ul *aria4iei*ite+ei 0n lunul a6ei de si2etrie a

ra%ordului

Indi%a4ie: Se ,oate trata ,ro5le2a ,e =u2ătate

Fig% 11%1B/ Pro5le2a CRL

Răspuns/ /istri5u4ia *ite+elor de %urere ,entru dis%reti+area ,e =u2atate se ,re+intă 0n ;i (" Uaria4ia *ite+ei 0n lunul a6ei de si2etrie se dă 0n ;i (

Fig% 11%80/ /istri5u4ia *ite+elor totale CRL

("



Fig% 11%81/ Uaria4ia *ite+ei UG 0n lunul a6ei de si2etrie ,entru a,li%a4ia CRL

(



Cap% 18% Mo3e!area 9) a unor pro6!ee 3e ana!i7ă stati#ăstru#tura!ă

E!eentu! ;e?ae3ra! #u opt no3uri D,RIC-.

A% Cara%teristi%i ,rin%i,ale ale ele2entului BRICF! );i (.: este ele2ent i+o,ara2etri%' definit de o,t noduri I' Q' F' >' ' N' ?' P %are

tre5uie de%larate 0n sensul ,re%i+at 0n ;i (a( are trei rade de li5ertate ,e nod )L>N K 3.' de,lasări ,e dire%4iile G' &i

)G' ' .3 are for2a unui he6aedru oare%are &i ,oate fi 0n%ăr%at %u for4e la noduri

a 5Fig% 18%1/ Ele2entul BRICF!

$ ele2entul se ,oate folosi ,entru 2odelarea stării 3/ de tensiune ,entru2ateriale i+otro,e &i ori%e do2eniu de anali+ă' adi%ă a%est ele2ent ,oate fi%onsiderat unul dintre %ele 2ai enerale ti,uri de ele2ente finite Cu a=utorul a%estuiele2ent finit se ,ot anali+a toate %o2,onentele unei stru%turi' fie ele 5are' ,lă%i sau

5lo%uri Totu&i' din %onsiderente ale di2ensiunilor foarte 2ari ale 2odelelor %uele2ente finite' a%est ele2ent finit se folose&te %u ,re%ădere ,entru 2odelareastu%turilor %onsiderate 5lo%uri )adi%ă ,re+intă %ele trei di2ensiuni eo2etri%e%o2,ara5ile.

# 2atri%ea de riiditate 0n %oordonate lo5ale este:

[ ] [ ] [ ][ ]∫ =U

Te dUB/BF ' )(.

0n %are:[ ] [ ][ ] NB = )((.

este 2atri%ea deri*atelor fun%4iilor de for2ă' iar e6,resia 2atri%elor de deri*are este:

((



[ ] ⋅

∂∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂

6"

+

J+"

"6J

+""

"J

"

""6

)(3.

;un%4iile de for2ă 0n %oordonate naturale sunt:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )tsr ! N

tsr !

N

tsr !

N

tsr !

N

$

3

(

−+−=

−++=

−−+=

−−−= ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )tsr ! N

tsr !

N

tsr !

N

tsr !

N

!

7

#

++−=

+++=

+−+=

+−−=

)($a.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )tt N

ss N

r r N

"

9

+−=+−=

+−=

)($5.

2atri%ea de riiditate )elasti%itate. a 2aterialului M/O este

[ ] ( ) ( )

−

−

−

−−

−

−+=

(

" (

tri%2eSi

"" (

"""

"""

"""

( E/ )(#.

u+ual ele2entul este denu2it BRICF!

(3

,% /ate leate de ele2ent ti,ul ele2entului finit' adi%ă ,entru o54inerea 2atri%ei de riiditate se ,ot

folosi fun%4iile de for2ă )($a.' sau' ,entru %re&terea ,re%i+iei' se ,ot folosi &ifun%4iile de for2ă )($5.' %a+ 0n %are 0nainte de asa25lare 2atri%ea de riiditate aele2entului se 8%ondensea+ă la radele de li5ertate %ores,un+ătoare %elor o,tnoduri

( ordinul de interare al 2atri%ei de riiditate al ele2entului' INT ),entru ,rora2e de fir2ă se alee auto2at (' 3 sau $.

C% /ate des,re 2aterialul ele2entului 2odulul de elasti%itate lonitudinal - E

( %oefi%ientul lui Poisson - niu)3. %oefi%ientul de dilatare ter2i%ă - α)$. densitatea 2aterialului -/ENS)#. a%%elera4ia ra*itatională - sau reutatea s,e%ifi%ă - γ K ρ

)% /ate des,re 0n%ăr%ări 5lo%a=e la transla4ie 0n dire%4ia G Z BG' &i 0n dire%4ia Z B &i 0n dire%4ia

- B( for4e la noduri 0n dire%4ia G Z ;G' - ; &i - ;)3. de,lasări i2,use ,e ori%e dire%4ie)$. te2,eraturi 0n noduri sau 0n ele2ente

)#. for4e de iner4ie enerate de %12,ul ra*ita4ional ),entru %are suntne%esare %a date de intrare ρ' dire%4ia &i sensul ra*ita4iei.' sau enerate de2i&%area de rota4ie unifor2ă ),entru %are tre5uie ,re%i+ate a6a de rota4ie &i *ite+aunhiularăω.

). ,resiuni distri5uite liniar sau %onstante ,e fe4ele ele2entului' %are seidentifi%ă ,rin nu2ere de la la )*e+i ;i (a. <%este ,resiuni )sau for4edistri5uite liniar. se e%hi*alea+ă la nodurile ele2entului %u for4e %on%entrate )*e+i;i !( ,entru %are se neli=ea+ă 2o2entele.

E% Re+ultatele anali+ei de,lasările nodale - G' &i )notate &i /G' / &i /.( tensiunile 0n siste2ul lo5al de a6e - SG' S' S' SG S' SG' adi%ă

tensorul %o2,let al tensiunilor la nodurile ele2entului' ,re%u2 &i 0n %entrul lui'tensiunile ,rin%i,ale S' S(' S3 &i unhiurile %ores,un+ătoare de orientare )*e+i ;i(5' 0n %are s-au fiurat doar tensiunile nor2ale.

Tensiunile 0ntr-un nod %o2un 2ai 2ultor ele2ente nu re+ultă eale Pentru%ore%tarea re+ultatelor' de o5i%ei' se re%ure la 2edierea tensiunilor 0n nodurifolosind di*erse 2etode' %ea 2ai si2,lă 2ediere fără a 4ine sea2a de *olu2eleele2entelor *e%ine este in%lusă 0n ,rora2ul de %al%ul )*e+i rela4ia 9a.

($

Tensiunile dintr-un ,un%t P al ele2entului se deter2ină %u rela4ia:

[ ] [ ] eP B/

SG

S

SG

S

S

SG

=

)(.

Se 2en4ionea+ă %ă ,entru %al%ulul tensiunilor 0n eneral se folose&te altătehni%ă: tensiunile se deter2ină 0n ,un%tele Lauss ((( ×× )unde se de2onstrea+ă%ă erorile de %al%ul a tensiunilor sunt 2ini2e. &i a,oi a%estea se e6,andea+ă lanoduri folosind fun%4iile de for2ă ($a Pentru ele2ente he6aedri%e ,u4indistorsionate' adi%ă a,ro,iate de un %u5' ,ra%ti% tensiunile deter2inate dire%t 0nnoduri %oin%id %u %ele e6,andate din ,un%tele Lauss /iferen4e 2ai 2ari a,ar ,entruele2entele finite %are foloses% fun%4ii de for2ă su,li2entare )($5. Prora2uldis,une de aleerea 2odului 0n %are se %al%ulea+ă tensiunile ,e ele2ente

Tensiunile ,rin%i,ale 0n noduri se ,ot %al%ula odată %u %al%ulul tensiunilor 0nele2ente sau tensiunile %o2,onente ale tensorului tensiune se ,ot 2edia la noduri &ia,oi se ,ot %al%ula tensiunile ,rin%i,ale S ^ S( ^ S3 0n noduri Prora2ul 2edia+ătensiunile %o2,onente &i a,oi %al%ulea+ă tensiunile ,rin%i,ale

Tensiunea e%hi*alenta' *on ises - Se%h se deter2ina %u relatia )9!.

)3. defor2a4iile s,e%ifi%e din ele2ent' 0ntr-un ,un%t P se %al%ulea+a %urela4ia: [ ] eP B = )(7.

)$. rea%tiunile din leaturile %u e6teriorul

/ate enerale des,re dis%reti+are NN NE( /ate des,re 2ateriale

N<T<TI E niu

3 /ate des,re ,ro,rietă4ile ele2entelor NPR?PPR?PI TIPE INT$ /ate des,re noduri

NI BG B B G # /ate des,re ele2ente

(#

EI I Q F > N ? P <T PR?P /ate des,re 0n%ăr%ări %u for4e 0n noduri

N; NI; ;G ; ;

G% Prora2ul de lu%ruBRICF!EGE

<%est ,rora2 a fost %on%e,ut să lu%re+e %u no4iunile )datele. de la ,un%tele ,'Enein%luse 0ntre ,arante+e

J% S%he2a loi%ă a ,rora2ului %oin%ide %u %ea ,re+entată 0n ;i 7( Siste2ul dee%ua4ii %are se re+ol*a este sto%at 0n 2e2oria R< a %al%ulatorului 0n for2at2atri%e 5andă /i2ensiunea 2a6i2ă a ,ro5le2elor %are ,ot fi re+ol*ate re+ultă dinnu2ărul ne%unos%utelor &i la4i2ea de 5andă Pentru a re+ol*a ,ro5le2e dedi2ensiuni 2ai 2ari ,entru nu2erotări de noduri neade%*ate unei lă4i2i de 5andă2ini2e ,rora2ul dis,une de o ,ro%edura de renu2erotare a nodurilor ada,tată dinMO ? ,arte a re+ultatelor )0n s,e%ial tensiuni. sunt sto%ate 0n fisiere te6t %are se ,ote6a2ina du,ă fie%are rulare' astfel se ,ot ur2ări fi&ierele: tens+elm ,entrue6a2inarea tensiunilor 0n ele2ente &i fi&ierul tens+nod 0n %are sunt sto%ate tensiunile2ediate 0n toate nodurile dis%reti+ării

Ap!i#aţii

(OLI)1% n %or, de for2ă ,araleli,i,edi%ă' din o4el )EK ( #"⋅ Pa&i = "'3.' 0n%astrat la un %a,ăt );i((. este soli%itat 0n %a,ătul li5erCunos%1nd 5 K # 22 h K 3" 22 > K"" 22 &i ; K """ N' să se dis%reti+e+estru%tura %u $ ele2ente finite &i să seanali+e+e %12,ul de de,lasări &i tensiuni

0n 2odelul de %al%ul

Re7o!=areCor,ul se dis%reti+ea+ă %u ,atru

ele2ente finite %a 0n ;i (3

Fig% 18%8/ Pro5le2a S?>I/

(



Yn ;i ($ se ,re+intă re,re+entarea 8e6,andată a ele2entelor' utilă 0n*erifi%ările rafi%e ale datelor de intrare' de ase2enea 0n ;i (# se ,re+intă%ondi4iile la li2ită

Fig% 18%9/ /is%reti+are S?>I/ Fig% 18%+/ Re,re+entarea 8SHRINF aele2entelor

a: Blo%a=e 5: ;or4eFig% 18%:/ Condi4iile la li2ită ,entru a,li%a4ia S?>I/

;i&ierul %u date de intrare solid#+txt ' o54inut intera%ti* din rularea ,rora2ului 5ri%!e6e este:

(" $ (""""""""" "3""" ( ( " " " """""" """"" """"" ( " " " """""" """"" 3""""" 3 " " " """""" #"""" 3"""""

(7

$ " " " """""" #"""" """"" # " " " 7#"""" """"" """"" " " " 7#"""" """"" 3""""" 7 " " " 7#"""" #"""" 3""""" ! " " " 7#"""" #"""" """"" 9 " " " #""""" """"" """"" " " " " #""""" """"" 3""""" " " " #""""" #"""" 3""""" ( " " " #""""" #"""" """"" 3 " " " (#"""" """"" """"" $ " " " (#"""" """"" 3"""""

# " " " (#"""" #"""" 3""""" " " " (#"""" #"""" """"" 7 """"" """"" """"" ! """"" """"" 3""""" 9 """"" #"""" 3""""" (" """"" #"""" """"" ( 3 $ # 7 ! ( # 7 ! 9 " ( 3 9 " ( 3 $ # $ 3 $ # 7 ! 9 (" (

( $""""""""" """"""" -(""""""""" $ """"""" -""""""""" """""""

Prora2ul liste+ă ur2ătoarele date:PR?PRIET<TI /E <TERI<> <T E niu (""""""""" "3"""

<TRIBTE>E E>EENTE>?R PR?P TIPE INT ( (

N?/ BG B B G " " " """""" """"" """"" ( " " " """""" """"" 3""""" 3 " " " """""" #"""" 3""""" $ " " " """""" #"""" """"" # " " " 7#"""" """"" """"" " " " 7#"""" """"" 3"""""

(!

7 " " " 7#"""" #"""" 3""""" ! " " " 7#"""" #"""" """"" 9 " " " #""""" """"" """"" " " " " #""""" """"" 3""""" " " " #""""" #"""" 3""""" ( " " " #""""" #"""" """"" 3 " " " (#"""" """"" """"" $ " " " (#"""" """"" 3""""" # " " " (#"""" #"""" 3""""" " " " (#"""" #"""" """"" 7 """"" """"" """""

! """"" """"" 3""""" 9 """"" #"""" 3""""" (" """"" #"""" """""

E>E I Q F > N ? P <T PR?P ( 3 $ # 7 ! ( # 7 ! 9 " ( 3 9 " ( 3 $ # $ 3 $ # 7 ! 9 ("

N?/ ;G ; ;

( $""""""" """"" -(""""""" $ """"" -""""""" """""

<TRICE< /E RILI/IT<TE <S<T< <RE K $! EC<TIISEI><TIE< <TRICII <S<TE ESTE ($

/EP><S<RI N?/<>E N?/ G -$"#""#E-"( -"#""79E-" -$#9!$E-" ( 33$#"33"E-"( -""7#$9E-" -$($3!$E-" 3 $#"$$##E-"( -"(!3"9E-" -$$##$(E-"

$ -(""$#3E-"( -"(99(E-" -$#7!"37E-" # -377(7#E-"( -7(7$#99E-"( -!!!!#$E-"( (3(##!E-"( -73"9"E-"( -!!#773E-"( 7 $39"!#E-"( -7($9!#E-"( -!!7!#E-"( ! -#7#9#3E-"( -7($"#"!E-"( -!!9!$7E-"( 9 -3"3"##!#E-"( -3!($#$#3E-"( -$3"7((E-"( " #339E-"( -37($!!9E-"( -$(!#3!E-"( 3$9"(E-"( -3!$3##E-"( -$337(!E-"(

(9



( -3($$!E-"( -39"""(E-"( -$(#($3E-"( 3 -7#$"$9E-"( -9""!(7E-"( -($!3(E-"( $ 7$9!79E-"3 -9379(("E-"3 -($!$!E-"( # 9#3#(E-"( -($7(!9E-"( -(973"9!E-"( -#$7((#$(E-"3 -9$((3E-"3 -"7!$(!7E-"( 7 """"""""E\"" """"""""E\"" """"""""E\"" ! """"""""E\"" """"""""E\"" """"""""E\"" 9 """"""""E\"" """"""""E\"" """"""""E\"" (" """"""""E\"" """"""""E\"" """"""""E\""

;i&ierele %u tensiunile nodale 0n ele2ente &i la noduri )%al%ulate 0n ,un%tele Lauss &i a,oi e6,andate la noduri. sunt:

tens+elm1Elem Nod SX SY SZ SXY SYZ SXZ

-$3!7(E\"" -(#(#$33E\"" -39#9"73E\"" 397$!E\"" -((("#37E-"" ("3("9E\"" ( !(#!"#E\"" "#(!9E\"" -$33#!7E\"" -7$9(E\"" 33#!$3E\"" 3!!3797E\""" 3 773(7E\"" $79##E\""" 9"(!"E\""" -#(33!9E\"" #3#(E\"" -(77(9E\"" $ -99(($E\"" $#!""E\""" #7$9E\"" "7!9$$E\"" 7!$$E\""" -("9("97E\"" # -(77!E\"" 7!79E\""" 7!!7!E\""" -!7$$9(E\""" $!!##E\""" 3$"(E\""" !7$#$3E\"" 9$77$7"E\""" #""3$"E\"" 373""$7E\""" -!9$3(E\""" -!"(!7E\""" 7 #7!((7E-"" -99$(E\"" -(3(3E\"" 3!"!E\""" -"7""(E\"" -("!7"(E\""" ! -($"!#(E\"" "!373(E\"" 9"((7(7E\""" -"#!(#3E\"" (!79$"E\""" -"(3$99E\"" " !!!!!!9E\""" -!$997#E-"" -3$""!"E\""" -(((((((E\""" (33("#E\""" -$$$$$$$E\"""

( # -3"333$E\"" -#!("!93E\""" -$73("E\""" -("#$"E-"" -"9"7E\""" -(("E\""" ( 3$(7E\"" (!#"73E\""" -393(!#E-"" -$(379"3E\""" -9#!(#(E-"" -$$(##E\""" ( 7 77(!(#E\"" #3!!"E\""" !"$77E\""" -3"#$7(E\""" (!(""E-"" -$$((3$E\"""

( ! -$(99E\"" -(#79"!E-"" (3$9E\""" -37!97(E\""" -#9"$E\""" -7(779E\""" ( 9 -#"#("!E\"" $3!$(!E\""" $!37733E\""" -!!7$33E\""" 37!"9E\""" -("##E\""" ( " $#$7E\"" -3!3#3E-"" 3$9$#7E\""" -(##7"E\""" -!(((3E\""" -#3"7"E\""" ( 7"(9999E\"" -#933""E\""" -7("(9#E\""" -3!$#!"E\""" -(#9($9E\""" -3#!(!!E\""" ( ( -$3(39"E\"" (""$9E\""" -(7$3E\""" -3"#9!#E\""" (7$"99(E\""" -!((333E\""" ( " !!!!!!9E\""" 3($9!77E-"" ""#$""E\""" -(((((((E\""" -!9"($E\""" -$$$$$$$E\"""

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

tens+nod ),re+entate 0n for2at +e%i2al.:

(("

Nod SG S S SG S SG S S( S3 SEDU

-$3!! -(#(# -39#9 3(" -"(( ("3 -93 -3$3" -#7$9 3#(#( !(#! "#3 -$3$ -7$ 33 3!! !7 3$" -(3" 9#$!3 77 $! 9 -#(3 #37 -(77 37 -(7" -3!# $"#$ -99( $7 #7 "79 7! -("9( (#3! 7$ -3(7" #37# -$#3# -("( -$9 -$9 -"" "" -"9$ -( -$#7# $$(( 7#"9 73$ -"(# -$7" -#3 7### (3 ! 9#7 3!9( -7(! -$" #$ -#( -3(# 39(# -"## -$ $"(! -33" #(9 7!( -#9! -( -!9# 97" ! -3#!7 $39(9 -! -7 -77 -$! "33 -(7# -(! -("$ -!7! !"(

" $ (7 " -(9 -""$ -#77 $!( ("9 "# 3#3 9!7 3# "$ -"! "73 -3( 9!(7 7 -"" 97$$( -$# -$ -3( -3#9 " -$ "!" -($( -$( $#$!3 -$99 ! !3 -33( ## -#" #7 33 -#(! ($!7$ #7!" -! -!" -3 -9 -3!! #!"# -( -!9# #7# 339 -(9 -!37 -3$! -#! -#" 33$$ -$#7 -7"" $$3

-$"$$ #97 $9 -"97 "3 -379 77 $$$ -$"77 $$(7 -#99 -3$ -(39 -" -7#9 -7"$ -9 -39$ -"39 39#! !9 377" -379 # -79 !!( 37# -3!7 39 773 $$9 3"7# -"! 7#9 -7" 7797 $7" (7(( $!7(" -#"7 -3"" $7 3 -# -!# # -(993 -#"9$ ##"9

Re+ultatele se ,ot e6a2ina 2ult 2ai u&or 0n ,re+entare rafi%ă' %a 0nfiurile ( Z ((( <%este re,re+entări se ,ot fa%e fie %olor' 0n nuan4e de ri sau%u ha&uri diferite /in 2oti*e de ,re+entare 0n %arte )al5-neru. s-au introdus ,o+e%u ha&uri sau nuan4e de ri Tensiunile re,re+entate s-au %al%ulat 0n ,un%teleLauss &i a,oi au fost e6,andate la noduri

Fig% 18%@/ /efor2ata ,entru a,li%a4ia S?>I/

)( *ederi' %u &i fără %onturul stru%turii nedefor2ate.

((



Fig% 18%/ C12,ul de,lasărilor G Fig% 18%./ C12,ul de,lasărilor

Fig% 18%B/ C12,ul de,lasărilor Fig% 18%10/ C12,ul de,lasărilor totale

Fig% 18%11/ C12,ul tensiunilor SG Fig% 18%18/ C12,ul tensiunilor S

(((



Fig% 18%19/ C12,ul tensiunilor S Fig% 18%1+/ C12,ul tensiunilor SG

Fig% 18%1:/ C12,ul tensiunilor S Fig% 18%1@/ C12,ul tensiunilor SG

Fig% 18%1/ C12,ul tensiunilor S Fig% 18%1./ C12,ul tensiunilor S(

((3



Fig% 18%1B/ C12,ul tensiunilor S3 Fig% 18%80/ C12,ul tensiunilor e%hi*alente

Fig% 18%81/ C12,ul tensiunilor SG )altă*edere ,entru *i+uali+are %o2,letă. Fig% 18%88/ C12,ul tensiunilor e%hi*alente)*edere 8shrin fe4e e6terioare.

Tre5uie 2en4ionat %ă da%ă tensiunile se %al%ulea+ă dire%t 0n noduri' sau*alorile din ,un%tele Lauss se %o,ia+ă la noduri ,re%u2 &i da%ă se folose&tefor2ularea ele2entului %u nu2ai ! fun%4ii de for2ă re+ultatele de 2ai sus se2odifi%ă

(OLI)8% Bara 0n %onsolă din;i ((3 este soli%itată la 0n%o*oieresi2,lă Să se deter2ine săeata 2a6i2ă

&i distri5u4ia de tensiuni 0n 5ară Să se%o2,are re+ultatele o54inute din anali+a%u ele2ente finite %u re+ultateleanaliti%e Se %unos%: E K ( #"⋅ Pa

= "'3 5 K (" 22 h K " 22 > K !"22 &i ; K 9"" N Sar%ina ; se %onsiderădistri5uită 0n toate nodurile se%4iunii 0n%are lu%rea+ă Fig% 18%89/ Pro5le2a S?>I/(

(($



Răspuns/ Pentru dis%reti+area ,re+entată 0n fiura (($' &i folosirea ele2entuluifinit %u fun%4ii de for2ă se o54in re+ultatele ,re+entate rafi% 0n ;i ((#-(Re+ultatele se ,ot %ore%ta da%ă se foloses% dis%reti+ări 2ai fine %a %ea ,re+entată0n fiura ((7

a: Nu2erotarea nodurilor 5: Nu2erotarea ele2entelor

Fig% 18%8+/ /is%reti+are ,entru a,li%a4ia S?>I/(

Fig% 18%8:/ /efor2ata S?>I/( )două *ederi.

Fig% 18%8@/ /istri5u4ia SG &i Se%h- S?>I/(

((#



Fig% 18%8/ /is%reti+are unifor2ă %u (""" ele2ente finite &i distri5u4ia Se%h - S?>I/(

/a%ă se %o2,ară o serie de re+ultate ,entru %ele două dis%reti+ări se ,ots%oate 0n e*iden4ă li2itările &i a*anta=ele folosirii %elor două for2ulări aleele2entului finit %unos%1nd &i solu4ia analiti%ă ,re+entată de re+isten4a2aterialelor /e e6e2,lu ,entru de,lasarea totală 2a6i2ă &i tensiuneae%hi*alentă 2a6i2ă se o54ine:

/is%reti+are Ti, ele2ent /e,lasarea totală2a6i2ă

M22O

Tensiunea e%hi*alentă2a6i2ăMPaO

ele2ente

! fun%4ii de

for2ă

"'7 7'$

fun%4ii defor2ă

"'$37 7'7

("""ele2ente

! fun%4ii defor2ă

"'$#" 9!'(

fun%4ii defor2ă

"'$" (('9

n e6er%i4iu foarte util este refa%erea ta5elului de 2ai sus ,entru toate%o2,onentele tensiunilor &i a,oi %onsiderarea 2aterialului %u K"' ,re%u2 &i2odifi%area 5lo%a=elo 0n 0n%astrare astfel 0n%1t %ontra%4ia trans*ersală a 5arei să nufie 02,iedi%ată Se 2en4ionea+ă %ă ,rin folosirea teoriei de 5ară la a%eastăa,li%a4ie nu e6istă de%1t tensiuni SG %u *aria4ie liniară 0n se%4iune &i liniară ,eluni2e )2a6i2ă 0n 0n%astrare ( Pa. &i tensiuni SG %u *aria4ie ,ara5oli%ă ,e0năl4i2ea se%4iunii &i %onstantă 0n lunul 5arei )2a6i2ă 0n linia de %entru ase%4iunii '7# Pa. Săeata 2a6i2ă a rin+ii 0n %onsolă ),entru a6a 5arei. seo54ine analiti% "'$"! 22

((

(OLI)9% Să se anali+e+e a,li%a4ia din ;i ((! )%are %oin%ide %uC</S din ;i !(#' de unde se ,reiau datele ,ro5le2ei.' folosind dis%reti+areadin ;i ((9 Z (3" %u ele2ente finite de ti, BRICF Să se %o2,are re+ultateleo54inute 0n %ele două a5ordări diferite Pentru dis%reti+area %u ele2ente finite 3/să se %al%ule+e de,lasările &i tensiunile ,entru utili+area a ! &i fun%4ii de for2ă

Răspuns/ Re+ultatele se ,re+intă rafi% 0n ;i (3 Z (3# ,entru %a+ulutili+ării ele2entului finit %u fun%4ii de for2ă &i 0n ;i (37 distri5u4ia Se%h

,entru utili+area a ! fun%4ii de for2ă Se o5ser*ă o 5ună %on%ordan4ă ,entru%al%ulul de,lasărilor' tensiunile 0nsă sunt ,rea 2ari sau ,rea 2i%i' deoare%e e6istăun sinur ele2ent finit 0ntr-o se%4iune oare%are a 5arei &i 0n ,lus e6istă un efe%t de

%on%entrare al tensiunilor 0n +ona 0n%astrării Re+ultate 2ai 5une se ,ot o54ineda%ă se utili+ea+ă o dis%reti+are 2ai fină ? dis%reti+are foarte fină ,une 0ne*iden4ă %on%entratorii de tensiune at1t 0n +ona a,li%ării for4elor %on%entrate %1t &i0n +ona ra%ordărilor )025inărilor dintre tronsoane. Se 2en4ionea+ă %ă tensiunilenor2ale din fie%are tronson de 5ară se reăses% ,e una din distri5u4iile de tensiuniSG' S sau S' de ase2enea tre5uie 2en4ionat %ă esti2area tensiunilor ,rine6tra,olarea tensiunilor din ,un%tele Lauss %ondu%e la re+ultate 2ai %ore%te'de%1t %ele o54inute ,rin %al%ulul dire%t 0n noduri

Fig% 18%8./ <,li%a4ia S?>I/3 Fig% 18%8B/ Nu2erotarea nodurilor S?>I/3

((7



Fig% 18%90/ Condi4ii la li2ită S?>I/3 Fig% 18%91/ /efor2ata S?>I/3

Fig% 18%98/ /e,lasări totale ,entru a,li%a4iaS?>I/3

Fig% 18%99/ /istri5u4ia tensiunilor SG ,entru a,li%a4ia S?>I/3

((!



Fig% 18%9+/ /istri5u4ia tensiunilor S ,entru a,li%a4ia S?>I/3

Fig% 18%9:/ /istri5u4ia tensiunilor S ,entru a,li%a4ia S?>I/3

Fig% 18%9@/ Tensiunile Se%h ,entrua,li%a4ia S?>I/3 ) fun%4ii de for2ă. 18%9/ Tensiunile Se%h ,entru a,li%a4iaS?>I/3 )! fun%4ii de for2ă.

((9

(OLI)+% ? rindă din o4el);i (37.' ,entru %are E K ( #"⋅ Pa = "'3' &i > K $"" 22' estesi2,lu re+e2ată la %a,ete &i estesoli%itată %entral %u o for4ă ; K (" NSă se deter2ine săeata 2a6i2ă &idistri5u4ia de tensiuni 0n rindă ,entrudis%reti+area unei =u2ătă4i de stru%tură'a&a %u2 se ,re+intă 0n ;i (3! &i(39

18%9/ <,li%a4ia S?>I/$

18%9./ /is%reti+are S?>I/$ 18%9B/ Nu2erotarea ele2entelor S?>I/$

Răspuns/ /e,lasarea totală 2a6i2ă este de "'7337 22 ,entru utili+area a fun%4ii de for2ă ,entru o54inerea 2atri%elor de riiditate a ele2entelor &i de"'$#9# 22 ,entru utili+area a ! fun%4ii de for2ă ;or2a defor2atei se ,re+intă 0n;i ($' iar distri5u4ia tensiunilor SG &i Se%h 0n ;i ($( &i ($3 ,entruutili+area a fun%4ii de for2ă

Fig% 18%+0/ /iferite *ederi ,entruele2entele S?>I/$ )utile la *erifi%are.

Fig% 18%+1/ /efor2ata S?>I/$

(3"



Fig% 18%+8/ Tensiunile SG - S?>I/$ Fig% 18%+9/ Tensiunile Se%h - S?>I/$

(OLI):% ? 5ară de se%4iuneinelară este soli%itată la 0n%o*oiere Săse %o2,are re+ultatele analiti%e %u%ele o54inute %u ,rora2ul 5ri%!e6eSe %onsideră: d K (" 22 / K $" 22> K (" 22 E K ( #"⋅ Pa = "'3&i ; K (""" N

Răspuns/ Pentru dis%reti+area ,re+entată 0n ;i ($#' %u %ondi4iile

la li2ită din ;i ($' se o54inedistri5u4ia %12,ului de de,lasăritotale din ;i ($7

Fig% 18%++/ Pro5le2a S?>I/#

Se o5ser*ă efe%tul a,li%ării for4ei %on%entrate 0ntr-un sinur ,un%t?5ser*a4ie: Se ,oate a5orda &i un sfert din 5ară' ,entru %are %ondi4iile la

li2ită se ,re+intă 0n ;i ($!

Fig% 18%+:/ /is%reti+are S?>I/#)2odel ( din 5ară.

Fig% 18%+@/ Condi4ii la li2ită S?>I/#)2odel ( din 5ară.

(3

Fig% 18%+/ /istri5u4ia de,lasărilor totaleS?>I/#

Fig% 18%+./ Condi4ii la li2ită S?>I/#)2odel $ din 5ară.

(OLI)@% Să se de+*olte un 2odel %u ele2ente finite 5ri% ,entru a,li%a4iaD</3 );i 9$!.' adi%ă un tu5 %u ,ere4i ro&i soli%itat la ,resiune interioară Se2en4ionea+ă %ă e%hi*alarea sar%inilor nodale se fa%e si2ilar 2odelului ,lan )*e+i;i 9#". Să se %o2,are re+ultatele &i să se e*iden4ie+e a*anta=ul 2odelării ,lanea stru%turilor a6ial si2etri%e

a: Nu2erotare noduri 5: Nu2erotare ele2ente

Fig% 18%+B/ odel ,e un sfert de felie de tu5 Z S?>I/

Răspuns/ odelul dis%reti+at se ,re+intă 0n ;i ($9' iar %ondi4iile la li2ită 0n;i (#" /efor2ata );i (#. arată %ores,un+ător %ondi4iilor la li2ită' iardistri5u4iile de,lasărilor );i (#( &i (#3. &i tensiunilor );i (#$. %oin%id

,ra%ti% %u %ele o54inute 0n 2odelul ,lan

(3(



Fig% 18%:0/ Condi4ii la li2ită S?>I/ Fig% 18%:1/ /efor2ata S?>I/

Fig% 18%:8/ C12,ul de,lasărilor G Fig% 18%:9/ C12,ul de,lasărilor totale

(33

Fig% 18%:+/ /istri5u4ia tensiunilor e%hi*alente S?>I/

(OLI)% Bara %ur5ă de se%4iune dre,tunhiulară 56h K #6! 22( &i ra+ă2edie R K #" 22 );i (##'a. este 0n%astrată la un %a,ăt &i soli%itată 0n %a,ătulli5er %u o for4ă ; K (# N Să se deter2ine de,lasarea elasti%ă totală 2a6i2ă &itensiunea e%hi*alentă 2a6i2ă folosind 2odelarea %u ele2ente BRICF &tiind %ă2aterialul 5arei este o4el ,entru %are E K ( #"⋅ Pa &i = "'3 Yn fiura (##'5 se

,re+intă o ,osi5ilă dis%reti+are' ,entru %are se ,re+intă răs,unsulSă se %o2,are re+ultatele o54inute %u %ele o54inute ,entru a%eea&i a,li%a4ie

2odelată %u ele2ente finite de ti, BE< 3/ )*e+i a,li%a4ia C</S!. ;olosi4iele2entul finit %u ! &i %u fun%4ii de for2ă &i %o2,ara4i re+ultatele o54inute

a odelul %on%e,tual 5 /is%reti+are ,osi5ilă

Fig% 18%::/ <,li%a4ia S?>I/7

Răspuns/

(3$

Ti, ele2ent /e,lasarea totală 2a6i2ăM22O

Tensiunea e%hi*alentă 2a6i2ăMPaO

! fun%4ii de for2ă '"(9 !#'7( fun%4ii de for2ă '"37 !#'77$

(OLI).% Bara %ur5ă de se%4iune dre,tunhiulară *aria5ilă );i (#'a.este 0n%astrată la %a,ătul de se%4iune 2ai 2are &i soli%itată 0n %a,ătul li5er %u ofor4ă *erti%ală ; K "" N Să se deter2ine de,lasarea elasti%ă totală 2a6i2ă &itensiunea e%hi*alentă 2a6i2ă folosind 2odelarea %u ele2ente BRICF &tiind %ă2aterialul 5arei este o4el ,entru %are E K ( #"⋅ Pa &i = "'3 Yn fiura (#'5 se

,re+intă o ,osi5ilă dis%reti+are' ,entru %are se ,re+intă răs,unsul

Să se %o2,are re+ultatele o54inute %u %ele o54inute ,entru a%eea&i a,li%a4ie2odelată %u ele2ente finite de ti, BE< (/ )*e+i a,li%a4ia C</P!. ;olosi4iele2entul finit %u ! &i %u fun%4ii de for2ă &i %o2,ara4i re+ultatele o54inute


Fig% 18%:@/ <,li%a4ia S?>I/!

Răspuns/Ti, ele2ent /e,lasarea totală 2a6i2ă

M22O

Tensiunea e%hi*alentă 2a6i2ă

MPaO! fun%4ii de for2ă '77# (('3 fun%4ii de for2ă ('3 (!'

(OLI)B% Bara %otită de se%4iune %ir%ulară φ "" );i (#7'a. are a6ele 5arelor de-a lunul unui %u5 &i este soli%itată 8la 0ntindere ,e dire%4ia diaonalei%u o for4ă ; K 3#'$$# N Să se deter2ine de,lasarea elasti%ă totală 2a6i2ă &itensiunea e%hi*alentă 2a6i2ă folosind 2odelarea %u ele2ente BRICF &tiind %ă

(3#

2aterialul 5arei este o4el ,entru %are E K (' #

"⋅ Pa &i = "'3 Yn fiura (#7'5

se ,re+intă o ,osi5ilă dis%reti+are' ,entru %are se ,re+intă răs,unsulSă se %o2,are re+ultatele o54inute %u %ele o54inute ,entru a%eea&i a,li%a4ie

2odelată %u ele2ente finite de ti, BE< 3/ )*e+i a,li%a4ia C</S9. ;olosi4iele2entul finit %u ! &i %u fun%4ii de for2ă &i %o2,ara4i re+ultatele o54inute


Fig% 18%:/ <,li%a4ia S?>I/9


M22OTensiunea e%hi*alentă 2a6i2ă

MPaO! fun%4ii de for2ă ('"39 (7'#

fun%4ii de for2ă ('73# (!3'"

(OLI)10% Cadrul ,lan din fiura (#!'a este for2at din 5are de se%4iune

,ătrată &i dre,tunhiulară 56h Cotele sunt ,re%i+ate relati* la a6ele 5arelorCadrul este 0n%astrat la 5a+ă &i este soli%itat %u două for4e ;6 K ( N &i două2o2ente + K "'# N2' %onsiderate %on%entrate Yn 2odel se %onsideră %ă for4ele%on%entrate se distri5uie ,e nodurile se%4iunii 0n %are lu%rea+ă iar 2o2entul%on%entrat se a,li%ă %a ,ere%hi de for4e )%u,luri. %are lu%rea+ă 0n +ona %ol4urilor Săse deter2ine de,lasarea elasti%ă totală 2a6i2ă &i tensiunea e%hi*alentă 2a6i2ăfolosind 2odelarea %u ele2ente BRICF &tiind %ă 2aterialul 5arei este o4el ,entru%are E K (' #"⋅ Pa &i = "'3

(3

Yn fiura (#!'5 se ,re+intă o ,osi5ilă dis%reti+are ,entru 0ntre 2odelul' ,entru %are se ,re+intă răs,unsul /in %onsiderente de si2etrieantisi2etrie 2odelul%u ele2ente finite se ,oate de+*olta doar ,e un sfert din stru%tură

Să se %o2,are re+ultatele o54inute %u %ele o54inute ,entru a%eea&i a,li%a4ie2odelată %u ele2ente finite de ti, BE< (/ )*e+i a,li%a4ia C</P(. ;olosi4iele2entul finit %u ! &i %u fun%4ii de for2ă &i %o2,ara4i re+ultatele o54inute


Fig% 18%:./ <,li%a4ia S?>I/"



MPaO! fun%4ii de for2ă ('7" #$'

fun%4ii de for2ă 3'## 7$'!

(OLI)11% Stru%turile din fiura (#9 sunt reali+ate din două' res,e%ti*

trei %er%uri' toate de ra+ă 2edie R K "" 22 &i se%4iune dre,tunhiulară ,entru%are 56h K ($6 22( Cer%urile sunt sudate ,er,endi%ulare 0ntre ele &i suntsoli%itate 8la 0ntindere ,e dire%4ia unui dia2etru %u o for4ă ; K N Să sedeter2ine de,lasarea elasti%ă 2a6i2ă 0ntre ,un%tele de a,li%a4ie ale for4elor &itensiunea e%hi*alentă 2a6i2ă folosind 2odelarea %u ele2ente BRICF &tiind %ă2aterialul 5arei este o4el ,entru %are E K ( #"⋅ Pa &i = "'(# Yn fiura (" se

,re+intă ,osi5ile dis%reti+ări ,e 2odelul %o2,let )de&i din %onsiderente de si2etrie

(37

se ,ot folosi 2odele de+*oltate %hiar ,e ! din stru%tură.' ,entru %are se ,re+intărăs,unsul

Să se %o2,are re+ultatele o54inute ,entru *arianta a. %u %ele o54inute ,entru a%eea&i a,li%a4ie 2odelată %u ele2ente finite de ti, BE< 3/ )*e+ia,li%a4ia C</S(. ;olosi4i ele2entul finit %u ! &i %u fun%4ii de for2ă &i%o2,ara4i re+ultatele o54inute

a Uarianta a. 5 Uarianta 5.

Fig% 18%:B/ <,li%a4ia S?>I/

a Uarianta a. 5 Uarianta 5.

Fig% 18%@0/ /is%reti+ări ,osi5ile ,entru a,li%a4ia S?>I/

Răspuns/Uarianta Ti, ele2ent /e,lasarea relati*ă Tensiunea e%hi*alentă

(3!

M22O 2a6i2ă MPaOa. ! fun%4ii de for2ă "'$7 !'

fun%4ii de for2ă "'73(" "$'! 5. ! fun%4ii de for2ă "'"#9( ("'3

fun%4ii de for2ă "'$9$" $#'"

?5ser*a4ii: /a%ă se foloses% dis%reti+ări %u un sinur ele2ent ,e rosi2ea 5arelorse o54in diferen4e foarte 2ari 0ntre re+ultatele o54inute %u %ele două for2ulări aleele2entelor finite Re+ultatele din %ele două for2ulări se a,ro,ie da%ădis%reti+ările sunt foarte fine

(OLI)18% Pla%a %ir%ulară din fiura ('a este 0n%astrată ,e un inelriid &i este soli%itată ,e fa4a su,erioară %u o ,resiune unifor2 distri5uită de*aloare , K Pa Yn 2odel se e%hi*alea+ă for4a de ,resiune ,rin distri5uirea for4eitotale la noduri Să se deter2ine de,lasarea elasti%ă totală 2a6i2ă &i tensiuneae%hi*alentă 2a6i2ă folosind 2odelarea %u ele2ente BRICF &tiind %ă 2aterialul

5arei este o4el ,entru %are E K ( #"⋅ Pa &i = "'3/in %onsiderente de si2etrie 2odelul %u ele2ente finite se ,oate de+*olta

doar ,e un sfert din stru%tură Yn fiura ('5 se ,re+intă o ,osi5ilă dis%reti+are ,entru %are se ,re+intă răs,unsul

Să se %o2,are re+ultatele o54inute %u %ele o54inute ,entru a%eea&i a,li%a4ie2odelată %u ele2ente finite de ti, D</$ )*e+i a,li%a4ia C</P(. ;olosi4i

ele2entul finit %u ! &i %u fun%4ii de for2ă &i %o2,ara4i re+ultatele o54inute

a odelul %on%e,tual 5 /is%reti+are ,osi5ilă ,e din ,la%ă

Fig% 18%@1/ <,li%a4ia S?>I/(



MPaO

(39

a. 5. %. d.Fig% 18%@9/ <,li%area for4elor ,entru %a+urile de 0n%ăr%are ale a,li%a4iei S?>I/3

Răspuns/

Uarianta Ti, ele2ent /e,lasarea relati*ăM22O Tensiunea e%hi*alentă2a6i2ă MPaOa. ! fun%4ii de for2ă "'"#9$ !'

fun%4ii de for2ă "'"#"( ("' 5. ! fun%4ii de for2ă "'"(" ""'9

fun%4ii de for2ă "'"#( 7'(%. ! fun%4ii de for2ă "'"99 3"'#

fun%4ii de for2ă "'"9(7 3"'#d. ! fun%4ii de for2ă "'"3"! '!

fun%4ii de for2ă "'"3"$ !'!

(OLI)1+% Să se deter2ine tensiunea e%hi*alentă 2a6i2ă ,entru025inarea %elor două 4e*i din fiura ($'a &tiind %ă (; K $# N E K ( #"⋅ Pa &i = "'3 /eoare%e 4e*ile sunt roase se neli=ea+ă ,osi5ilele ra%ordări dintre%ilindri Cele două se%4iuni de %a,ăt ale 4e*ii φ 3"6# se %onsideră 0n%astrate' iar for4a(; se distri5uie unifor2 la nodurile se%4iunii li5ere a 4e*ii φ 6$

Yn fiura ($'5 se ,re+intă o ,osi5ilă dis%reti+are ,entru $ din 2odel ,entru %are se ,re+intă răs,unsul

;olosi4i ele2entul finit %u ! &i %u fun%4ii de for2ă &i %o2,ara4ire+ultatele o54inute

Răspuns/Ti, ele2ent /e,lasarea totală 2a6i2ăM22O


! fun%4ii de for2ă "'"3$9# $#'( fun%4ii de for2ă "'"3#9( ('!

($

a odelul %on%e,tual 5 /is%reti+are ,osi5ilăFig% 18%@+/ <,li%a4ia S?>I/$

(OLI)1:% Piesa din fiura (#'a se o54ine ,rin ăurirea %entrală a%alu,ului din o4el )E K ( #"⋅ Pa &i = "'3. Ştiind %ă dia2etrul %elor două ăurieste φ (" să se deter2ine tensiunea e%hi*alentă 2a6i2ă o54inută ,rin%o2,ri2area %alu,ului ,e %ele două fe4e "6$" %u o ,resiune , K "" Pa Ynfiura (#'5 se ,re+intă o ,osi5ilă dis%reti+are ,entru ( din 2odel ,entru %are se

,re+intă răs,unsul ;or4a totală re+ultată din ,resiunea a,li%ată se distri5uie lanodurile de ,e fa4a "6$" /in %onsiderente de si2etrie 2odelul %u ele2ente finitese ,oate de+*olta &i ,entru ! din stru%tură


a odelul %on%e,tual 5 /is%reti+are ,osi5ilăFig% 18%@:/ <,li%a4ia S?>I/#

($(

MPaO! fun%4ii de for2ă "'"$"#$ 7!'"

fun%4ii de for2ă "'"$!$ !"'"

(OLI)1@% /ia2antul din fiura ('a este for2at din fe4e ,ătrate &i( fe4e he6aonale &i este soli%itat la %o2,resiune unifor2ă ,e toate fe4ele ,ătrate%u o ,resiune , K "" Pa Pentru a redu%e nu2ărul 0n%ăr%ărilor se %onsiderăi,oteti% 0n%ăr%area %u ,resiune nu2ai ,e trei fe4e &i re+e2are si2,lă ,e fe4eleo,use Ştiind %ă E K " #"⋅ Pa &i = "'"7 să se deter2ine tensiunea e%hi*alentă

2a6i2ă din dia2ant Pentru *erifi%area eo2etriei se ,re%i+ea+ă %ă laturile 2i%iale fe4elor he6aonale au luni2ea '$" 22 Yn fiura ('5 se ,re+intă o ,osi5ilă dis%reti+are ,entru tot 2odelul ;or4a totală re+ultantă din ,resiunea a,li%ată ,e fie%are fa4ă se distri5uie la nodurile fe4ei /in %onsiderente de si2etrie 2odelul %uele2ente finite se ,oate de+*olta &i ,entru ! din stru%tură



Fig% 18%@@/ <,li%a4ia S?>I/

Răspuns/

Ti, ele2ent /e,lasarea totală 2a6i2ăM|2O


! fun%4ii de for2ă "'(!$# (3(' fun%4ii de for2ă "'3"#( 3'3

?5ser*a4ii: /in anali+a defor2atei re+ultă %ă fe4ele 0n%ăr%ate %u ,resiune nu ră21n

,lane' %eea %e arată %ă re+e2area i2,usă ,e fe4ele o,use nu este %ore%tă odelul

($3



tre5uie 0n%ăr%at %u for4e ,e toate fe4ele ,ătrate &i ,entru ,reluarea 2i&%ării de %or,riid tre5uie 5lo%ate rade de li5ertate

( Se o5ser*ă %ă ,entru a%eastă a,li%a4ie tensiunea e%hi*alentă o54inută %u fun%4ii de for2ă este 2ai 2i%ă de%1t %ea o54inută %u ! fun%4ii de for2ă

($$

,i6!iografie

1% A!ăoreanu> E%> 2etoda elementelor finite 3i elementelor de frontieră' PB'99#

8% ,at;e> -%%> i!son> E% L%> 4umerical 2et5ods in Finite 'lement *nal6sis'Prenti%e-Hall' Ne[ QerseJ' 97

9% ,!uenfe!3> M%> Introducere în metoda elementelor finite' Editura Tehni%ă'Bu%ure&ti' 99#

+% ,!uenfe!3> M%> Ioniţa> A%> Mare2> C' 2etoda elementelor finite 7 aplica8ii 3i programe introductive - PB' 99(

:% ,rătianu> C%> 2etode cu elemente finite în dinamica fluidelor ' Editura<%ade2iei RSR' Bu%ure&ti' 9!3

@% ,uga> M%> I!ies#u> N%> Atanasiu> C%> Tu3ose> I%> Ra3u> G;%> 9robleme alese

din rezistenţa materialelor ' PB' 99#

% ,u73ugan> G;%> &ezistenţa materialelor ' Editura <%ade2iei RSR' Bu%ure&ti'9!

.% Constantines#u> I% N%> Munteanu> M% G;%> Go!u6o=i#i> )% C%> %alcule de

rezistenţa a structurilor de ma3ini 3i utilae' Editura Tehni%ă' Bu%ure&ti' 9!$

B% Ciofoaia> %> ,oti2 M%> )ogaru> F%> Curtu> I%> 2etoda 'lementelor Finite'Editura IN;?<RFET' Bra&o*' (""

10% )euts#;> I%> &ezistenţa materialelor ' Editura /ida%ti%ă &i Pedaoi%ă'Bu%ure&ti' 97

11% Faur> N%> 'lemente finite fundamente' Editura Politehni%a'Ti2i&oara' (""(

18% Gr6ea> )%> *naliză cu elemente finite 7 aplicaţii pe microcalculatoare'Editura Tehni%ă' Bu%ure&ti' 99"

19% G;eor;iu> J%> Constantines#u I%> Ja3ăr> A%> Petre> C%> 2:t5odes

num:ri/ues pour le calcul des structures de r:sistance' Editura Bren' Bu%ure&ti'999

1+% Marin> C%> Ja3ăr> A%> Popa> I%F%> A!6u> L%> 2odelarea cu 'lemente Finite a

Structurilor 2ecanice' Editura <%ade2iei Ro21ne' Editura <ir' Bu%ure&ti' (""(

1:% Marines#u> G%> I=an> C%> 2etoda 'lementului Finit; *naliză 4umerică 3i

*plicaţii în (ermo'lasticitate' Editura CI<' Bu%ure&ti' 99

($#



1@% Mo#anu> )% R%> *naliza experimentală a tensiunilor ' Editura Tehni%ă'Bu%ure&ti' 977

1% Mo#anu> )% R%> &ezistenţa materialelor ' Editura Tehni%ă' Bu%ure&ti' 9!"

1. O!ariu ,rătianu C 2odelare numerică cu elemente finite Editura

Culegere MEF

Documents

Transcript of Culegere MEF