Axioma supliment matematic nr.37

31

Probleme propuse pentru clasa a IX-a 4) 1. Să se determine funcţia f :N->N cu proprietatea că f(f(n))+f(n)=2n+6, nN.

Petre Năchilă,Cătălin Năchilă ,Ploieşti 2. Fie ABC , astfel încât 2B A

şi 'B piciorul 'B AC bisectoarei interioare a

unghiului B . Dacă I este centrul cercului tangent cercurilor ABB’, BB’C şi laturii AB, să se arate că BI AC .

Miron Oprea

3. Să se determine funcţiile f :RR cu proprietatea că f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy, x,yR. Petre Năchilă,Cătălin Năchilă ,Ploieşti

4. Fie numerele strict pozitive 1 2, ,....., , , 2na a a n n astfel încât naaa n ....21 .

Demonstraţi că 1 21 2 .......

1 3 2 1n

naa aa a a nn

.

Petre Bătrâneţu, Galţi 5. Să se determine mulţimea: ; 4 2005 502A x y x x y .

Mihai Totolici, Galaţi 6. Rezolvaţi în NN ecuaţia:

.1513 2yx Gabriel Tica, Bailesti

7. Dacă a , b , c > 0 si a + b + c = 1 , să se demonstreze că : 64∙(a+bc)(b+ca)(c+ab) ≤ 8∙ (1– a2)(1– b2)(1– c2) ≤ (1+a)2(1+b)2(1+c)2

dr. Dorin Mărghidanu, Corabia 8. Se considera triunghiul ABC cu laturile de lungimi a,b,c, cu R raza cercului circumscris

si cu r raza cercului inscris.Notam cu O centrul cercului circumscris, cu G centrul de greutate si cu I centrul cercului inscris in triunghiul ABC. a)Sa se arate ca 9 )(9 22222 cbaROG . b)Sa se arate ca RrROI 222

(***)

9. Să se rezolve în numere reale ecuaţia 22x x x .

Cătălin Năchilă, Ploieşti 10 Să se rezolve în *R inecuaţia:

3 31 1x x x x . Petre Năchilă, Ploieşti

4) Se primesc soluţii până la 25 ianuarie 2011

Axioma supliment matematic nr.37

32

Probleme propuse pentru clasa a X-a 1. Dacă a este număr întreg , arătaţi că ecuaţia:

5 4 3 23 2 2 1 2 3 3 2 5 0,x ax a x a x x a nu admite rădăcini întregi.

Cezar Ozunu, Daneţi, Dolj 2. Fie n numar natural par si naaa ,...,, 21 numere intregi in progresie aritmetica ,

nji

aa jiA1

)1( ,

nji

aa jiB1

)1( . Demonstrati ca 22 BA sau

BA 2 Claudiu Militaru, Ploiesti

3. Demonstrati ca ecuatia 1273812 xx are solutie unica si determinati aceasta solutie.

Claudiu Militaru, Ploiesti 4. Fie a,b,cC astfel încât |a|=|b|=|c|=1 si |a+b+c|=|a+b|=|b+c|=|c+a|. Să se

determine |z|, unde

cbacbaz 111

(***) 5. Mulţimea A este formată din n numere reale, pozitive, cu proprietatea că pentru orice

,a b A , avem a b A sau a b A , unde , 4n n . Să se arate că numerele din A sunt în progresie aritmetică.

6. Să se rezolve sistemul:

2 2 22 3 5log 15 log 10 log 6 2

.5

x y z xy yz zxx y z

Marius Damian, Brăila

7. Să se calculeze suma rădăcinilor ecuaţiei: x+1=2 )22006(log2)32(log 42xx .

Florin Smeureanu, Rm. Vâlcea 8. Fie a,b,c lungimile laturilor unui triunghi. Arătaţi că:

a7+b7+7abc(a2+ab+b2)>c7. Lucian Tuţescu, Craiova

9. Să se determine parametrul real m astfel încât ecuaţia cos2x-mcosx=msinx să admită

rădăcină unică pe [0, ] Florin Smeureanu, Rm. Vâlcea

10. Fie o radacina a ecuatie 012 xx si multimea Q( Qbaba ,/) . Sa se

arate ca functia N :Q( ) Q , N(a+b Qbababa ,,) 22 are proprietatea N(z )(,),()() 212121 QzzzNzNz .

(***)

Axioma supliment matematic nr.37

33

Probleme propuse pentru clasa a XI-a 1. Determinaţi m R astefel încât ecuaţia :

4 3 2 23 2 3 4 2 0x x m x mx m , sa nu admita radacini reale. Felicia Ozunu, Vulcan, Hunedoara

2. Fie sirul 1)( nna , 3)313(log 21 na

na , 1n , Ra 1 . Demonstrati ca

sirul este convergent daca si numai daca 51 a . Claudiu Militaru, Ploiesti

3. Sa se determine numerele x0 din intervalul (a,b) astfel incat sirul

1 ( )( )2n n n

a bx x a b x

sa fie convergent unde 0<a<b.

O. Purcaru, Ploiesti

4. Fie 1,

20

nkCx

n

k

kn

n . Să se calculeze nn

n

nx2

lim

.

(***) 5.

Fie şirul 1nna cu 1,,1,0 2

2

12111 n

naaaaaa n

nn . Fie şirul

2,1

11

n

nab

nn . Să se studieze convergenţa celor două şiruri.

(***) 6.

Fie şirul 0nnx cu NnexxRx nxnn

,, 10 . Să se calculeze n

xnn lnlim

.

(***) 7. Se consideră şirul de numere reale 1n n

x

care pentru orice numere naturale m şi n

verifică relaţia: 2 2 2 2( ) 8 6 4m n n m n mx x x x x x . Să se calculeze:

2 2001 2001lim sin 1nnx n

.

Romeo Zamfir,Galaţi 8.

Fie matricea )(605

000504

3 CMA

.Calculati nA , n *N .

(***) 9.

Fie a 1; . Să se rezolve în numere reale sistemul:

1

1

yx

xy

a x a

a y a

Petre Năchilă, Ploieşti

Axioma supliment matematic nr.37

34

Probleme propuse pentru clasa a XII-a 1. a.Sa se rezolve în 7Z sistemul:

5 3 52 3 44 3 1

x yy zz x

b. Determinati k 7Z astefel încât 4k k kx y z . Mihai Ozunu, Daneţi, Dolj

2. Să se calculeze limita L=

n

nn x

xn2

2006

1001

1

2005lim dx.

Lucian Tuţescu, Craiova

3. Pe Z se defineşte legea xoy=axy+bx+by+c, unde a,b,cZ. Ştiind că legea admite element neutru şi că 0 este elementul simetrizabil, să se determine numărul elementelor simetrizabile.

(***) 4.

Să se determine nnx

lim , unde avem 2,,ln)122(ln

1

nNnnnkx nn

kn

.

(***) 5. Fie M=(0,1) şi a,b,cR. Ştiind că (M,o) este grup, unde

12

cybxxyaxyxoy , să se

determine a,b,c. (***)

6. Pe Z se defineşte legea asociativă Zbabyxaxyxoy ,,)(2 . Fie }""|{ olegeacuraportinZluiastabilapartesifinitamultimeHZHA . Să se

determine numărul elementelor mulţimii A. Petre Năchilă, Cătălin Năchilă, Ploieşti

7. Se consideră funcţia :f care admite o primitivă F astfel încât

cos sinf x F x cos ,x x şi 0 1F . Să se arate că funcţia :g ,

cos sing x F x F x este constantă şi să se determine funcţia f pe intervalul

0;1 . Romeo Zamfir,Galaţi

8. Fie I interval, , :f g I două funcţii cu proprietăţile:

1) f admite primitive şi 0,f x x I .

2) g este continuă pe I . Arătaţi funcţia f g admite primitive.