Facultatea de Ştiinţe Aplicate Catedra de Fizică I

Prof. univ. dr. Gabriela Cone

Culegere de probleme de electricitate şi magnetism

cu rezolvãri

2009

2

I. Câmpul electric

I.1. Câmpul electric în vid departe de conductori

I.1. Într-o sferă dielectrică cu raza a densitatea volumetrică de sarcină

variază cu raza conform relaţiei, ( ) 226 rr +=ρ C/m3.

Calculaţi valoarea medie a densităţii de sarcină electrică din sferă.

Soluţie

Conform definiţiei valorii medii, mediu1 dρ = ρ∫∫∫ V

V,

unde, în coordonate sferice, ϕθθ= dddsind 2 rrV şi 343

rπ=V . Astfel,

( )2 2mediu 3

3 6 2 sin d d d4

r r ra

ρ = + θ θ ϕ =π ∫∫∫

( ) ∫∫ ∫ππ

+=ϕθθ+π

=2

0

2

0 0

223 216ddsind26

43 arrra

a

, C/m3.

I.2. Un conductor liniar de lungime a este încărcat electric neuniform cu o

sarcină cu densitatea liniară

0 1 cosl xaπ⎛ ⎞ρ = ρ −⎜ ⎟

⎝ ⎠, pentru

2 2a ax− ≤ ≤ .

Calculaţi:

a). sarcina electrică totală de pe conductor;

b) densitatea liniară medie a sarcinii electrice.

3

Soluţie

a). Conform definiţiei, sarcina electrică este egală cu

2

0 0lungimea 2conductorului

2d 1 cos d 1a

la

q l x x aa−

π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ρ = ρ − = ρ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟π⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫∫ ∫ .

b). Conform definiţiei valorii medii,

2

mediu 0 02

1 2 1 2d 1 1a

la

q l aa a a−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ρ = = ρ = ρ − ⋅ = ρ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟π π⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ .

I.3. Densitatea de sarcină electrică superficială de pe un strat sferic de rază a

are expresia: 0 sinσ = σ θ , unde θ este coordonata unghiulară uzuală ( [ ]0,θ∈ π ), iar

0σ este o constantă.

Calculaţi sarcina electrică totală distribuită pe suprafaţa stratului sferic.

Soluţie

Conform relaţiei de definiţie a densităţii superficiale de sarcină electrică,

2

2 2 20 0

0 0

d sin sin d d d sin dq S a aπ π

= σ = σ θ θ θ ϕ = σ ϕ θ θ =∫∫ ∫∫ ∫ ∫

( )220 0

0

1. 1 cos2 d2

aπ

π= σ ⋅ϕ − θ θ =∫ 2 2 20 0

1 12 sin 2 02 2a a⎛ ⎞ πσ ⋅ π ⋅ θ − θ = σ π⎜ ⎟

⎝ ⎠.

I.4. Într-o sferă izolatoare cu raza R sarcina electrică este distribuită izotrop.

Densitatea volumetrică de sarcină variază cu distanţa r faţă de centrul sferei conform

relaţiei,

2

0 21 , pentru

0, pentru

r r RR

r R

⎧ ⎛ ⎞ρ − <⎪ ⎜ ⎟ρ = ⎨ ⎝ ⎠⎪ ≥⎩

.

Calculaţi

a). sarcina electrică totală din sferă;

4

b). valoarea medie a densităţii volumetrice de sarcină electrică din sferă.

Soluţie

a). Conform definiţiei, sarcina electrică este egală cu

2

2 30 02

volumul 0sferei

8d 1 4 d15

R rq r r RR

⎛ ⎞ π= ρ = ρ − π = ρ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫∫∫ ∫V .

b). Conform definiţiei valorii medii a densităţii de sarcină electrică,

3mediu 0 03

1 8 3 2d15 4 5

q RR

πρ = ρ = = ρ ⋅ = ρ

π∫∫∫ VV V

,

unde 3

34 rπ=V .

I.5. În atomul de hidrogen sarcina electronică are o distribuţie sferică

omogenă, cu densitatea

( )0

2exp rr Ca

⎡ ⎤⎢ ⎥ρ = −⎢ ⎥⎣ ⎦

,

unde 0 52,9a = pm este o constantă (prima rază Bohr), iar r este distanţa de la un

punct oarecare din volumul sferei la centrul acesteia.

Calculaţi constanta C astfel încât sarcina electronică să fie egală cu

q e=− .

Soluţie

Conform relaţiei de definiţie

2

0volumul 0sferei

2d exp 4 dR rq e C r r

a⎡ ⎤

= − = ρ = − π⎢ ⎥⎣ ⎦

∫∫∫ ∫V .

Integrăm prin părţi,

5

200

0 000

2 24 exp exp d2a r re C r a r r

a a

∞ ∞⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪− = π − − + − =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

∫

000

24 exp drCa r ra

∞ ⎡ ⎤= π − =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫

30 00 0

0 000

2 24 exp exp d2 2a r a rCa r r Ca

a a

∞ ∞⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪= π − − + − = π⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ ,

de unde

30

eCa

= −π

,

iar ( ) 30 0

2expe rra a

⎡ ⎤⎢ ⎥ρ =− −⎢ ⎥π ⎣ ⎦

.

I.6. Densitatea volumetrică de sarcină electrică ρ a unui strat sferic de rază

R şi grosime a are expresia

0 , pentru

2 20, în rest

a aR r R⎧ρ − < < +⎪ρ = ⎨

⎪⎩

.

a). Determinaţi expresia sarcinii electrice totale în funcţie de raportul aR

;

b). În ce condiţii distribuţia de sarcină considerată este superficială şi care

este în acest caz densitatea superficială medie de sarcină?

Soluţie

a). Conform relaţiei de definiţie a densităţii volumetrice de sarcină electrică,

3 32

20 0

volumul 2stratuluisferic

4d 4 d3 2 2

R a

R a

a aq r r R R+

−

⎡ ⎤π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ρ = ρ π = ρ + − − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫∫∫ ∫V

2

20 24 1

12aaRR

⎛ ⎞= πρ +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

6

b). Distribuţia de sarcină electrică poate fi considerată superficială dacă

1aR<< .

În acest caz,

2 204 4 Sq aR R= πρ = πρ ,

iar 0S aρ = ρ .

I.7. Calculaţi rata de variaţie în timp a densităţii de sarcină electrică într-un

punct în care densitatea de curent electric are expresia

( ) 3sin 10 zx y zJ x u yu e u−= + + (A/m2)

Soluţie

Conform legii de conservare a sarcinii electrice,

( ) 310cos 10 1 3y zx zJJ JJ x et x y z

−∂⎛ ⎞∂ρ ∂ ∂= −∇ = − + + = + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(A/m3).

I.8. Trei sarcini electrice sunt aşezate ca în figura I.8. Acestea au valorile: 6

1 6 10q −= ⋅ C, 62 1 6 10q q −= − = − ⋅ C şi 6

3 3 10q −= ⋅ C, iar 0,02a = m.

Calculaţi vectorul forţă care acţionează asupra sarcinii electrice 3q .

Fig. I.8 Fig. I.8a

7

Soluţie

Conform principiului superpoziţiei, forţa care acţionează asupra sarcinii 3q

este egală cu (fig. 8a),

1 3 2 33 13 23 13 232 2

0 13 23

14

q q q qF F F u ur r

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟πε ⎝ ⎠

,

unde

( )132cos sin

2u i j i j= θ + θ = + , iar 23u i= .

Astfel,

( )

( ) ( )1 31 3 1 33 2 2 2

0 0

1 2 2 21 .4 2 4 4 42

q qq q q qF i j i i ja aa

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥= ⋅ + + = − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥πε πε ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

Modulul forţei 3F este egal cu

1 22 2

1 33 2

0

2 21 2194 4 4

q qFa

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟πε ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

N,

iar direcţia vectorului face cu axa Ox unghiul

3

3

2arctg arctg 151,32 4

y

x

FF

ϕ = = =−

o .

I.9. Pământul are o sarcină electrică netă care produce un câmp electric în

punctele din apropierea suprafeţei acestuia egal cu Ep = 150 N/C şi are liniile de

câmp orientate spre centrul Pământului (fig. I.9).

Fig. I.9

8

a) Care este mărimea şi semnul sarcinii cu care trebuie să fie încărcat un om

având masa m = 75 kg astfel încât greutatea acestuia să fie echilibrată de forţa

electrică?

b) Care va fi forţa de respingere dintre doi oameni, fiecare încărcat cu

sarcina electrică calculată la punctul a) şi aflaţi la distanţa d = 50 m?

c). Poate fi utilizat câmpul electric al Pământului pentru zbor?

Soluţie

a) Notăm cu q sarcina electrică a omului. Condiţia de echilibru a celor două

forţe se scrie sub forma

mgEqF pel == ,

de unde rezultă pE

mgq = = 4,9 C.

Valoarea obţinută este foarte mare, astfel că sarcina nu mai poate fi

considerată punctuală.

b) 72

0

2106,8

4⋅=

πε=

rqFel N.

Am obţinut o valoare a forţei electrice mult mai mare ca greutatea,

2104,7 ⋅== mgG N, adică 5102,1 ⋅=GFel .

c). Sarcina electrică necesară pentru a echilibra greutatea unui avion astfel

încât acesta să poată zbura, trebuie să fie foarte mare. Pentru a încărca un strat

metalic conductor de formă sferică cu raza R = 20m, cu o sarcină electrică 4

0 105 ⋅=q C, trebuie aplicată o tensiune 12105,2 ⋅=U V ceea ce necesită o energie

foarte mare. În acest caz, sarcina nu mai este punctuală. Aceasta va reduce câmpul

electric pământesc necesitând o sarcină şi mai mare pe suprafaţa conductorului.

I.10. Calculaţi forţa cu care acţionează sarcinile electrice 1q şi 2q asupra

sarcinii 3q din figura I.10.

9

Se cunosc: 61 4 10q −= − ⋅ C, 6

2 3 10q −= ⋅ C, 63 2 10q −= − ⋅ C, 13 0,08r = m,

23 0,12r = m, 45α = o şi 9 2 2

0

1 9 10 Nm C4

= ⋅πε

.

Fig. I.10

Soluţie

Conform legii lui Coulomb, 1 313 2

0 13

11,254

q qFr

= =πε

N, iar

2 323 2

0 23

3,754

q qFr

= =πε

N.

Pentru calcularea rezultantei celor două forţe descompunem forţele în

componente de-a lungul celor două axe şi apoi recompunem componentele

rezultantei ca în figura I.10a

Fig. I.10a

Observăm că

13 23 13 23cos 11,7x x xR F F F F= + = θ+ = N,

13 23 13 sin 0 7,95y y yR F F F= + = θ+ = .

10

Astfel, 2 2 14,15x yR R R= + = N, iar arctg arctg 0,68=34,20y

x

RR

θ = = o .

I.11. Trei sarcini electrice punctuale se află în vârfurile unui dreptunghi

aşezat în vid, ca în figura I.11. Calculaţi forţa care acţionează asupra sarcinii 3q .

Se cunosc: 61 3 10q −= ⋅ C, 6

2 2 10q −= − ⋅ C, 63 5 10q −= ⋅ C, laturile

dreptunghiului

sunt 3a = cm, 4b = cm şi 9 2 2

0

1 9 10 Nm C4

= ⋅πε

.

Fig. I.11

Soluţie

Alegem un sistem de coordonate cu originea în 1q , în raport cu care,

3 13 23F F F= + .

Din legea lui Coulomb,

( ) ( )1 313 2 2

0

cos sin 43,2 32,44

q qF i j i ja b

= θ + θ = +πε +

,

iar 2 323 2

0

56,254

q qF i ib

= = −πε

.

Prin urmare,

( )3 13,1 32,4F i j= − + N, iar 3

3

tg 2,47y

x

Fab F

θ = = = − şi 112θ = o .

11

I.12. Considerăm o baghetă subţire, cu lungimea L , pe care este distribuită

uniform o sarcină electrică q (figura I.12). Calculaţi forţa cu care această sarcină

electrică acţionează asupra unei sarcini electrice punctiforme 0q aflată la distanţa a

de capătul din dreapta al baghetei, pe direcţia lungimii acesteia.

Fig. I.12

Soluţie

Alegem un element dx din lungimea baghetei aflat la distanţa x de sarcina

electrică 0q , pe care se află sarcina electrică d dqq xL

= . Forţa cu care această

sarcină

electrică elementară acţionează asupra sarcinii 0q este egală cu

0 0 02 2 2

0 0 0

dd d d4 4 4

q q q q q xF q xx x L L x

= = ⋅ = ⋅πε πε πε

.

Forţa totală cu care acţionează sarcina q asupra sarcinii 0q se obţine

adunând toate contribuţiile sarcinilor dq , adică prin integrare,

( )

0 0 02

0 0 0

d 14 4 4

a La L

aa

q q x q q q qFL x L x a a L

++ ⎛ ⎞= ⋅ = − =⎜ ⎟πε πε πε +⎝ ⎠∫ .

Tipul forţei, de atracţie sau de respingere, depinde de semnul celor două

sarcini electrice.

I.13. Bila din figura I.13 are masa 1m = g şi culege prin contact o sarcină

electrică egală cu 1% din sarcina aflată pe o baghetă subţire de ebonită. Sarcina

electrică este concentrată pe unul din capetele baghetei care se află la distanţa

0,1l = m de bilă.

12

Calculaţi sarcina electrică aflată pe bilă şi tensiunea mecanică din firul de

care este legată bila.

Fig. I.13

Soluţie

Bila fiind într-un echilibru mecanic, rezultanta forţelor care acţionează

asupra sa este nulă, adică

cos30T mg=o

şi sin 30T F=o .

Din cele două ecuaţii,

3tg30 5,65 10F mg −= = ⋅o N.

Dar, conform legii lui Coulomb,

204

qqFr′

=πε

,

unde 100

qq′ = . Prin urmare, 77,9 10q −= ⋅ C şi 97,9 10q −′ = ⋅ C. Rezultatul obţinut

este aproximativ deoarece legea lui Coulomb este verificată doar pentru sarcini

electrice punctiforme.

Tensiunea mecanică din fir este

311,3 10sin 30

FT −= = ⋅o

N.

13

I.14. Un inel semicircular aflat în planul 0y z este încărcat electric cu

densitatea de sarcină liniară 0 coslρ = ρ θ (C/m), unde θ este unghiul măsurat faţă

de axa 0z (figura I.14). Calculaţi intensitatea câmpului electric într-un punct de

coordonate ( ),0,0x .

Fig. I.14

Soluţie

Conform definiţiei,

( ) ( )( )3

0

1,0,0 d4

r r rE x l

r r

′ ′ρ −′=

πε ′−∫ .

Conform figurii I.7, vectorul de poziţie r′ al unui punct de pe semiinel este

egal cu

cos sinr R k R j′ = θ + θ ,

iar r xi= .

d dl R′ = θ este elementul de lungime de arc.

Prin urmare,

( ) ( )( )

03

2 2 2 2 20 0

cos sin cos1,0,0 d4 sin cos

xi R j R kE x R

x R R

π ρ θ − θ − θ= θ =

πε + θ+ θ∫

( )

203

2 20 0 0 0

cos d sin cos d cos d4

R xi Rj Rkx R

π π π⎛ ⎞ρ= ⋅ θ θ − θ θ θ− θ θ⎜ ⎟

πε ⎝ ⎠+∫ ∫ ∫ ,

14

unde

0

cos d 0xiπ

θ θ =∫ ;

0

sin cos d 0Rjπ

θ θ θ =∫

2

0

cos d2

Rk Rkπ π

θ θ =∫ .

Prin urmare,

( )( )

20

3 22 20

,0,02

RE x kx R

ρ= − ⋅

ε +.

I.15. Trei sarcini electrice egale cu 5q+ , 5q− şi 3q+ sunt aşezate pe axa y

în punctele de coordonată 4y a= + , 0y = şi respectiv 4y a= − . Alegem un punct P

aşezat pe axa x în 3x a= .

Calculaţi:

a). energia electrică înmagazinată în sistemul de sarcini electrice;

b). componentele vectorului intensitate câmp electric generat în P;

c). O a patra sarcină electrică q este adusă de la infinit în punctul P.

Calculaţi componentele forţei cu care acţionează cele trei sarcini asupra sarcinii din

P.

d). Calculaţi lucrul mecanic efectuat pentru a aduce sarcina a patra de la

infinit până în punctul P.

Soluţie

În figura I.15 sunt reprezentate sarcinile electrice din enunţ şi vectorii

intensitate câmp electric generaţi de sarcinile electrice în punctul P.

a). Energia înmagazinată în sistemul de sarcini electrice este egală cu

15

3 3

1 2 1 3 2 3

1 1 0 0 12 13 23

1 12 4 4

j kpot

j k jkk j

q q q q q q q qEr r r r= =

≠

⎛ ⎞= = + + =⎜ ⎟πε πε ⎝ ⎠∑∑

2 2 2 2

0 0

1 25 15 15 654 4 8 4 4 8

q q q qa a a a

⎛ ⎞= − + − = −⎜ ⎟πε πε ⋅⎝ ⎠

.

Fig. I.15

b). Observăm din figura 4 că 4sin5

α = , iar 3cos5

α = .

1 1 1 2 20 0

5 3 5 4cos sin4 25 5 4 25 5

q qE E i E j i ja a

= α − α = ⋅ − ⋅ =πε ⋅ πε ⋅

2 2

0 0

3 44 25 4 25

q qi ja a

= −πε ⋅ πε ⋅

,

2 20

54 9

qE ia

= −πε ⋅

,

iar 3 2 2 2 20 0 0 0

3 3 3 4 3 124 25 5 4 25 5 4 125 4 125

q q q qE i j i ja a a a

= ⋅ + ⋅ = +πε ⋅ πε ⋅ πε ⋅ πε ⋅

.

Astfel,

P 2 2 20 0 0

3 5 34 25 4 9 4 125

q q qE ia a a

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟πε ⋅ πε ⋅ πε ⋅⎝ ⎠

16

2 20 0

4 12.4 25 4 125

q q ia a

⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟πε ⋅ πε ⋅⎝ ⎠

2 20

409 84 1125 125

q i ja a

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟πε ⎝ ⎠.

c). 2

P 20

409 724 1125 1125

qF qE i ja

⎛ ⎞= = − +⎜ ⎟πε ⎝ ⎠.

d). 2

4 1 2 34 P

0 14 24 34 0 0

5 5 34 4 5 3 5 60

q q q q q q q q qL q Vr r r a a a a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + + = − + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟πε πε πε⎝ ⎠⎝ ⎠

Am notat cu 1 5q q= ; 2 5q q= − ; 3 3q q= ; 4q q= , iar 14 5r a= ; 24 3r a= ;

34 5r a= .

I.16. În vârfurile B şi C ale unui triunghi echilateral având latura l = 1 cm se

află două sarcini electrice egale cu q = 10-9 C, iar în vârful A se află sarcina

punctiformă 0q = 2.10-9 C.

Calculaţi lucrul mecanic necesar deplasării sarcinii 0q în următoarele

poziţii:

a) în punctul D situat la distanţa l de A, pe prelungirea laturii BA ;

b) în punctul E situat la distanţa l de A dar pe paralela prin A la latura BC .

Soluţie

a) Lucrul mecanic necesar deplasării sarcinii electrice 0q între punctele A şi

D este AD 0 A D( )L q V V= − , unde potenţialele electrice în punctele A şi, respectiv, D

au expresiile (fig. I.16):

l

ql

ql

qV000

A 42

44 πε=

πε+

πε=

şi ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+

πε=

220D

)2(

121

4 lllqV

Astfel, rezultă:

17

70AD

0

3 1 16,6 104 2 3qqL

l−⎛ ⎞= − = ⋅⎜ ⎟πε ⎝ ⎠

J.

Fig. I.16

b) Analog, se calculează:

E0 00

1 14 44 3 3

q q qVl ll

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟πε πεπε ⎝ ⎠

şi rezultă:

7AE

0

11 7,59 104 3qQL

l−⎛ ⎞= − = ⋅⎜ ⎟πε ⎝ ⎠

J

I.17. Sistemul de sarcini electrice 1q , 2q , 0q este dispus ca în figura I.17.

Sarcina 1 3q = mC este aşezată în punctul de coordonate ( ) ( )1 1, 2m,0x y = − , sarcina

2 3q = − mC este aşezată în punctul de coordonate ( ) ( )2 2, 2m,0x y = , iar sarcina

0 1q = mC aşezată în punctul de coordonate ( ) ( )0 0, 0,3mx y = .

Calculaţi:

a) modulele şi direcţiile forţelor exercitate de sarcinile electrice 1q şi 2q

asupra sarcinii 0q ;

b)modulul şi direcţia vectorului intensitate câmp electric produs de sarcinile

electrice 1q şi 2q în punctul în care se află sarcina 0q .

18

Fig. I.17

Soluţie

a) Forţa 1F exercitată de sarcina 1q asupra sarcinii 0q are modulul egal cu

1 01 2

04q qF

d=

πε, iar forţa 2F exercitată de sarcina 2q asupra sarcinii 0q are modulul

2 02 2

04q qF

d=

πε.

Cele două forţe au modulele egale deoarece sarcinile 1q şi 2q au acelaşi

modul. Deci, 1 2 2077F F= = N.

Din figura II.17 observăm că 3sin13

θ = , iar 2cos13

θ = .

Astfel, ( )1 2077 cos sinF i j= θ + θ şi respectiv ( )2 2077 cos sinF i j= θ − θ .

Suma vectorială a celor doi vectori va fi egală cu

0 1 2 2 2077cos 2304F F F i i= + = ⋅ θ = N.

b) Vectorul intensitate câmp electric cerut este 60

0

2,3 10FE iq

= = ⋅ N/C.

I.18. Trei corpuri punctiforme având sarcinile electrice 1 2 3 2q q q= = = μ C

se află în vârfurile unui triunghi echilateral cu latura egală cu 4 3a = cm. Calculaţi

intensitatea câmpului electric generat în centrul triunghiului.

19

Soluţie

Conform figurii I.18, 11 2 3 2

04qE E E

r= = =

πε, unde

32cos6

a ar = =π

.

Fig. I.18

Unghiurile dintre vectorii 1E şi 2E , 2E şi 3E respectiv 1E şi 3E sunt egale

cu 23π . Rezultanta vectorilor 1E şi 2E este un vector egal şi de sens opus cu

vectorul 3E , astfel că rezultanta celor trei vectori este nulă.

I.19. Un inel izolator cu raza R este încărcat electric uniform cu o sarcină q,

repartizată cu densitatea liniară λ . Inelul este aşezat în planul Ox y ca în figura I.19.

Fig. I.19 Fig. I.19a

20

a). Calculaţi intensitatea câmpului electric într-un punct P aflat pe axa Oz la

distanţa z de planul inelului.

b). Reprezentaţi grafic modulul vectorului obţinut în funcţie de raportul

z R .

Soluţie

a). Considerăm un element de lungime dl din inel pe care se află sarcina

d d dq R= λ = λ ϕl . Contribuţia acestei sarcini electrice la intensitatea câmpului

electric din punctul P este egală cu

2 20 0

d dd4 4 r

q r RE ur r r

λ ϕ= ⋅ = ⋅

πε πε.

Din considerente de simetrie, conform figurii I.19a, vectorul intensitate

câmp electric în punctul P este orientat de-a lungul axei Oz, adică

( ) ( ) ( )

2

3 2 3 2 3 22 2 2 2 2 20 0 00

2 1= d d4 4 4z z

Rz Rz qzE ER z R z R z

π λ λ π= ⋅ ϕ = ⋅ = ⋅

πε πε πε+ + +∫ ∫ .

b). Notăm cu 0 204

qER

=πε

. În figura I.19b este reprezentată curba 0

zE zfE R

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Fig. I.19b

I.20. Într-un spaţiu vidat se manifestă câmpul electric de intensitate

( ) yyx euxuxE −+= cossin .

21

Calculaţi densitatea volumetrică de sarcină electrică într-un punct din spaţiul

vidat.

Soluţie

Conform teoremei lui Gauss în vid, 0ερ

=∇E , adică

0ερ

=∂∂

+∂

∂+

∂∂

zE

yE

xE zyx ,

sau ( ) ( )0

cossinερ

=∂∂

+∂∂ −− yy ex

yex

x, de unde ( ) 011cos0 =−ε=ρ − xe y .

I.21. Într-o zonă din spaţiu există o distribuţie de sarcini electrice cu simetrie

sferică a cărei densitate volumetrică este egală cu

( ) 02 exp

4q rra r a

⎡ ⎤⎢ ⎥ρ = −⎢ ⎥π ⎣ ⎦

.

Calculaţi:

a). sarcina electrică conţinută într-o sferă centrată în originea axelor de

coordonate şi cu raza r. Ce devine această sarcină electrică dacă 0r → sau r →∞ ?

b). intensitatea câmpului electric radial generat de această distribuţie de

sarcină.

Soluţie

a). Conform definiţiei, sarcina electrică este egală cu

20 02 2

volumul 0 0sferei

1d exp 4 d exp d4

r rq r q rq r r r ra r a a a

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ρ = − π = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥π ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫∫∫ ∫ ∫V .

002

00

exp exp d 1 1 expr rq r r a rar a r q

a a a r a⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − − − − − = − + −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ .

Observăm că 0

limr

q→

= ∞ şi 0limr

q q→∞

=

22

b). Conform legii lui Gauss,

2

0

4 qr Eπ =ε

,

de unde

02

0

1 1 exp4 r

q r rE ur a a

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎪ ⎪⎟⎜ ⎢ ⎥= − + −⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎟⎜⎪ ⎪⎢ ⎥⎝ ⎠πε ⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭.

I.22. Patru sarcini electrice, fiecare având sarcina electrică q , sunt fixate în

cele patru colţuri ale unui pătrat cu latura egală cu 2a (fig. I.22).

a). Calculaţi potenţialul electric generat de cele patru sarcini electrice într-un

punct P aflat la distanţa z de planul acestora pe dreapta care trece prin centrul

pătratului.

b). Determinaţi expresia vectorului intensitate câmp electric în punctul P.

Fig. I.22

Soluţie

a). Fiecare sarcină electrică se află la distanţa ( )2 22r a z= + şi

generează în punctul P potenţialul electric 004P

qVr

=πε

, astfel că potenţialul electric

total în P este

23

2 2

0 0

44 2

Pq qV

r a z= =

πε πε +.

b). Intensitatea câmpului electric din punctul P are componentă doar după

axa z , aceasta având modulul,

( )32 2

0 2z

V qzEz z a

∂= − =

∂ πε +,

astfel că vectorul intensitate câmp electric are expresia

( )32 2

0 2z

qzE uz a

=πε +

.

I.23. Sarcina electrică pozitivă q0 este distribuită uniform de-a lungul axei

Ox pozitivă între x = 0 şi x = a. O altă sarcină electrică pozitivă q este aşezată pe axa

Ox în punctul de abscisă rax += , la distanţa r de capătul din dreapta a lui q0 (fig.

I.23).

Fig. I.24

a) Calculaţi componenta Ex a vectorului intensitate câmp electric produs de

sarcina q0 în punctele de pe axa Ox cu >x a .

b) Calculaţi vectorul forţă exercitată de distribuţia de sarcină q0 asupra lui q.

c) Arătaţi că dacă r a , modulul forţei este aproximativ egal cu 20

0

4 rqqπε

.

Justificaţi de ce se obţine acest rezultat.

Soluţie

Considerăm un element de lungime dx, aflat la distanţa <x a de origine,

24

care este încărcat cu sarcina xq dd λ= , unde λ este densitatea liniară de sarcină

electrică (fig. I.23a), adică

aq0=λ , de unde x

aqq dd 0= .

Sarcina infinitezimală dq se află la distanţa xrad −+= de sarcina q şi are

o contribuţie la intensitatea câmpului electric produs de distribuţia de sarcină q0 în

punctul de abscisă rax += , egală cu

( )20

02

0

d44

dxra

xa

qd

dqE−+

⋅πε

=πε

=

care este orientat pe direcţia axei Ox.

Fig. I.23a

Deci vectorul intensitate câmp electric produs de toată distribuţia de sarcină

q0 în punctul de abscisă rax += , va fi egal cu

( )∫ −+πε

=a

xxra

xa

quE0

20

0 d4

Pentru calculul integralei facem schimbarea de variabilă xrau −+= , adică

xu dd −= .

Limitele de integrare devin: la x = 0, rau +=1 şi la x = a, ru =2 . Deci

( )

0 0 02

0 0 0

d 14 4 4

ar

x x xa r a r

q u q qE u u ua u a u r a r+ +

⎛ ⎞= − = =⎜ ⎟πε πε πε +⎝ ⎠∫

b) Forţa exercitată de distribuţia de sarcină q0 asupra lui q va fi egală cu

( ) xx u

rar

qqurar

qqF⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +πε

=+πε

=144 2

0

0

0

0

25

c) Dacă 1<<ra , atunci 11 ≅+

ra şi

02

04 xqqF qE u

r= =

πε.

În cazul a r , sarcinile se află la distanţă mare şi se văd una pe alta ca

fiind punctuale, deci se poate utiliza expresia forţei lui Coulomb.

I.24. Într-o regiune din spaţiu se află câmpul electric 200E i= N/C, unde i

este versorul axei Ox.

Calculaţi fluxul electric printr-o suprafaţă 1S = cm2 aşezată în:

a) planul xOz; b) planul xOy; c). planul yOz.

Soluţie

Conform definiţiei, fluxul electric cose E S ESΦ = ⋅ = α , unde α este

unghiul dintre vectorul E şi normala la suprafaţă.

a) S Sk= şi ( )cos , cos 02e ES i k ES π

Φ = = = ;

b) S Sj= şi ( )cos , cos 02e ES i j ES π

Φ = = = ;

c) S Si= şi ( ) 2cos , cos0 2 10e ES i i ES ES −Φ = = = = ⋅ Vm.

I.25. Un cilindru cu lungimea l şi raza b are axa orientată de-a lungul axei

Ox. În regiunea în care se află cilindrul există un câmp electric de intensitate

200E i= N/C, unde i este versorul axei Ox. Calculaţi fluxul electric bazele

cilindrului, prin suprafaţa laterală şi fluxul total.

Soluţie

Notăm cu n versorul direcţiei normale la suprafaţa cilindrului.

26

În cazul celor două baze, n i= şi respectiv n i′ = − , astfel că

( ) 2 21 cos , 200e E S ES i i E b bΦ = ⋅ = = π = π Vm,

iar ( ) 2 22 cos , 200e E S ES i i E b bΦ = ⋅ = − = − π = − π Vm.

Pentru suprafaţa laterală, versorul n este orientat pe direcţia razei care este

perpendiculară pe axa cilindrului astfel că 2π

α = şi , 0e lateralΦ = . Prin urmare,

, ,1 ,2 , 0e total e e e lateralΦ =Φ +Φ +Φ = .

I.26. O cutie are forma unui cub şi se află într-un câmp electric uniform ca

cel din figura I.26.

Calculaţi fluxul electric prin suprafaţa cubului.

Fig. I.26

Soluţie

Observăm că n n′ = − . Fluxul electric este nenul doar pe feţele cubului

normale pe direcţia vectorului E , adică pe feţele superioară şi inferioară. Pe aceste

feţe valoarea fluxului este egală şi de semn opus. Prin urmare, fluxul total prin

suprafaţa cubului este nul.

I.27. Calculaţi vectorul intensitate a câmpului electric generat de o

distribuţie liniară de sarcină electrică lρ de-a lungul unui cilindru de rază r .

27

Soluţie

Conform desenului din figura I.27, contribuţie la fluxul electric are doar

suprafaţa laterală a cilindrului. Pe bazele cilindrului vectorul E este perpendicular

pe normala la suprafaţă deoarece acesta este radială conform simetriei cilindrice,

astfel că produsul scalar este nul. Deci,

0

2ερ

=πlrlE l , de unde

rE l

02περ

= .

Fig. I.27

I.28. Calculaţi vectorul E al câmpului electric generat de o sarcină electrică

distribuită pe un plan infinit cu densitatea Sρ .

Soluţie

Considerăm aria S din planul infinit Σ , care are două feţe (fig. I.28).

Observăm că nn ′−= şi PP EE ′′−= .

Fig. I.28

28

Scriem legea lui Gauss: 0

2ερ

=⋅=′⋅′+⋅=Φ ′SnESnESnES S

PPPe , de

unde

nE SP

02ερ

= .

I.29. Între doi cilindri lungi şi paraleli, situaţi la o distanţă l unul de celălalt,

se crează o diferenţă de potenţial U0.

Razele conductorilor fiind r1 şi respectiv, r2, să se determine intensitatea

câmpului electric într-un punct situat la jumătatea distanţei dintre conductori.

Soluţie

Intensitatea câmpului electric într-un punct situat la distanţa x de unul din

cilindri, se determină cu ajutorul teoremei superpoziţiei, ca suma dintre intensităţile

câmpului electric produse de fiecare din cei doi cilindri (fig. I.29).

Fig. I.29

Aplicând teorema lui Gauss, rezultă: 0

1 2ε

=π⋅qxLE şi

( )0

2 2ε

=−π⋅qLxlE , unde L este lungimea cilindrilor.

Atunci, ( )xlLxql

xlxLqEEEx −πε

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

πε=+=

0021 2

112

.

Diferenţa de potenţial dintre cilindri este dată de

29

( )

22 2

11 1

00 0

1d d ln2 2

l rl r l r

xrr r

ql q xU E x xL x l x L l x

−− −

= = = =πε − πε −∫ ∫

( )( )1 2

0 1 2

ln2

l r l rqL r r

− −=

πε,

de unde rezultă densitatea liniară de sarcină

( )( )21

21

00

ln

2

rrrlrl

ULq

−−πε

= ,

iar ( ) ( ) ( )( )21

21

0

0 ln2rr

rlrlxlx

lUxlx

lLqEx −−

−=

−πε= .

Pentru 2lx = , se obţine intensitatea câmpului electric într-un punct situat la

jumătatea distanţei dintre cei doi cilindri,

( )( )21

21

0

ln

4

rrrlrll

UE−−

= ,

iar pentru rrr == 21 , se obţine

rrll

UE−

=ln

2 0 .

I.30. Un corp sferic încărcat electric se află în vid. Densitatea sa volumetrică

de sarcină electrică are expresia

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ρ=ρ

ar

arar

0

,1 2

2

0 ,

unde 0ρ este constant, iar a este raza corpului.

Găsiţi expresia vectorului intensitate câmpul electric într-un punct oarecare

din spaţiu.

30

Soluţie

Scriem teorema lui Gauss pentru câmp electric printr-o suprafaţă sferică

concentrică cu corpul, de rază r < a:

∫∫∫∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ρ

ε=⋅

VSr V

aruSE d11d 2

2

00

.

Datorită simetriei sferice, ruEE = , cu E = constant, iar rrV d4d 2π= .

Deci,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−πρ

ε=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−πρ

ε=π ∫ 2

53

00

2

02

2

00

2

5341d1414

arrrr

arrE

r

, de unde rezultă

ruarrE ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ερ

= 2

2

0

0

531 .

I.31. Calculaţi fluxul de inducţie electrică ce traversează suprafaţa

reprezentată în figura I.31, unde inducţia câmpului electric este egală cu

Fig. I.31

31

( ) 210x yD yu xu −= + ⋅ C/m2.

Dimensiunile suprafeţei sunt măsurate în unităţi SI.

Soluţie

Fluxul de inducţie electrică prin suprafaţa din figura I.31 este egal cu

( )2 3 3 2 3

2 2 2 2

0 0 0 0 0

d 10 d d 10 d d 2 10 d 9 10 Cx y yDS

D S x yu xu u z x x z x x− − − −Φ = ⋅ = + ⋅ = = ⋅ = ⋅∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

I.32. Un cub cu latura de 1 mm este încărcat electric uniform cu o sarcină cu

densitatea de 610− C/m3. Cubul este introdus într-un înveliş sferic cu raza de 1 m.

Centrele cubului şi sferei coincid.

Calculaţi fluxul de inducţie electrică care traversează suprafaţa sferei.

Soluţie

În cub se găseşte o sarcină electrică egală cu produsul dintre densitatea de

sarcină şi volumul cubului, adică

3 1510q V l −= ρ = ρ = C.

Conform legii lui Gauss, fluxul electric care străbate suprafaţa sferei este

egal cu sarcina electrică inclusă în volumul acesteia, care este egală chiar cu sarcina

electrică in interiorul cubului, adică

15d 10el D S q −

Σ

Φ = ⋅ = =∫∫ C.

Observaţie. Valoarea fluxului electric prin suprafaţa sferei nu depinde de

poziţia cubului în interiorul acesteia atâta timp cât volumul cubului se află tot în

interiorul sferei.

I.33. Cilindrul din figura I.33 are înălţimea egală cu unitatea de lungime.

Acesta se află în vid, în câmpul electric de intensitate

32

( )20 1x y zE E xu yu z u⎡ ⎤= + + −⎣ ⎦ ,

unde 0E este constant.

Calculaţi fluxul inducţiei electrice prin suprafaţa cilindrului.

Fig. I.33

Soluţie

Putem calcula fluxul inducţiei electrice prin suprafaţa cilindrului direct cu

ajutorul relaţiei de definiţie a fluxului sau cu ajutorul legii lui Gauss.

Prin definiţie, fluxul inducţiei electrice este egal cu

0d delS S

D S E SΦ = ⋅ = ε ⋅∫∫ ∫∫ ,

unde S este atât suprafaţa laterală a cilindrului cât şi suprafeţele bazelor.

În coordonate cilindrice, pentru baza de sus, d dzS u S= , pentru cea de jos,

d dzS u S= − , iar pentru aria laterală, ( )d cos sin d dx yS a u u z= ϕ+ ϕ ϕ .

Astfel,

( )20 0 11 d

bază

el x y z z zS

E xu yu z u u S=⎡ ⎤Φ = ε + + − ⋅ −⎣ ⎦∫∫

( )20 0 01 d

bază

x y z z zS

E xu yu z u u S=⎡ ⎤−ε + + − ⋅ −⎣ ⎦∫∫

33

( ) ( )2 1

20 0

0 0

d 1 cos sin dx y z x yE xu yu z u a u u zπ

⎡ ⎤−ε ϕ + + − ⋅ ϕ+ ϕ =⎣ ⎦∫ ∫

2 2 20 0 0 0 0 00 2 3E a E a E a= + ε π + ε π = ε π .

Cu ajutorul legii lui Gauss se obţine acelaşi rezultat, adică

0 0. . .

. . .

d d dyx zel

Vol Vol Volcil cil cil

EE Eq V E V Vx y z

∂⎛ ⎞∂ ∂Φ = = ρ = ε ∇ = ε + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

( ) ( )2 1

20 0 0 0 0 0

. 0 0 0.

1 1 2 d d d 2 2 d 3a

Volcil

E z V E r r z z E aπ

= ε + + = ε ϕ + = ε π∫∫∫ ∫ ∫ ∫ .

I.34. Arătaţi în ce mod trebuie să varieze permitivitatea într-un mediu

neomogen neîncărcat electric astfel încât ecuaţia lui Laplace să rămână valabilă.

Soluţie

Într-un spaţiu fără sarcini electrice libere, legea lui Gauss se scrie,

0D∇ = .

Ştiind că D E= ε , rezultă că

( ) 0E∇ ε = .

Dar, E V= −∇ ,

astfel că

( ) 0V∇ ε∇ = ,

unde ε este variabil, adică

( ) ( ) 2 0V V V∇ ε∇ = ∇ ⋅∇ε + ε∇ = .

Pentru ca să fie adevărată ecuaţia lui Laplace, 2 0V∇ = , trebuie ca

( ) 0V∇ ⋅∇ε = ,

adică gradientul lui ε trebuie să fie perpendicular pe intensitatea câmpului electric.

34

I.35. Calculaţi cu ajutorul ecuaţiei lui Laplace intensitatea câmpului electric

între două suprafeţe sferice concentrice, având razele de 0,5 m şi respectiv 2 m.

Suprafaţa interioară are potenţialul electric egal cu 0 V, iar cea exterioară are

potenţialul egal cu 100 V.

Soluţie

Suprafeţele având o simetrie sferică, potenţialul electric nu depinde de

direcţie, astfel că ecuaţia lui Laplace se scrie

22

1 d d 0d d

Vrr r r

⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

,

de unde

21

d =constantdVr Cr= ,

iar 12

ddV Cr r= .

După integrare,

12

CV Cr

= − + .

Condiţiile la limită ne dau ecuaţiile,

120

0,5C C= − + , în 0,5r = m şi 0V =

şi 12100

2C C= − + , în 2r = m şi 100V = V.

Din cele două ecuaţii rezultă că

12003

C = Vm şi 24003

C = V.

Astfel,

( ) 200 4003 3

V rr

= − + .

Intensitatea câmpului electric va fi

2

d 200d 3 rVE V ur r

= −∇ = − = − .

35

I.36. Calculaţi expresia potenţialului electric în exteriorul unei sfere metalice

de rază a, încărcată electric şi având potenţial V0 integrând ecuaţia lui Laplace ţinând

cont de simetria sferică a câmpului electric din jurul sferei încărcată electric.

Soluţie

Scriem ecuaţia lui Laplace, 0=ΔV , în coordonate polare sferice, unde r

este distanţa faţă de centrul sferei:

0sin1sin

sin11

2

2

2222

2 =ϕ∂∂

θ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

θ∂∂

θθ∂∂

θ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ V

rV

rrVr

rr.

Datorită simetriei sferice, V este funcţie doar de r, astfel că ecuaţia devine,

01 22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

rVr

rr,

care înseamnă că 12 constant C

rVr ==∂∂ , sau, 21

ddr

rCV = care la rândul său, după

integrare, devine

21 C

rCV +−= .

Din condiţia ca V = 0, pentru ∞→r , rezultă că C2 = 0, iar din condiţia ca V

= V0, pentru r = a, rezultă că C1 = − aV0. Astfel, potenţialul la distanţa r de centrul

sferei este egal cu:

( ) 0VrarV = .

Dacă în expresia găsită înlocuim pe V0 cu expresia sa în funcţie de sarcina

electrică q de pe sfera metalică, a

qV0

0 4πε= , obţinem relaţia cunoscută

rq

aq

raV

000 44 πε

=πε

= .

36

I.37. Potenţialul electric produs de o distribuţie de sarcini are expresia în

coordonate carteziene, ( ) 3 2, ,V x y z Axy z Bx y= + .

Calculaţi expresia vectorului intensitate câmp electric asociat acestui

potenţial.

Soluţie

Cele trei componente ale vectorului intensitate câmp electric sunt

3 2xVE Ay z Bxyx

∂= − = − −

∂,

2 23yVE Axy z Bxy

∂= − = − −

∂

şi 3z

VE Axyz

∂= − = −

∂.

Astfel,

( ) ( )3 2 2 32 3E Ay z Bxy i Axy z Bx j Axy k= − + − + − .

I.38. Considerăm că potenţialul electric generat de un sistem de sarcini

electrice variază de-a lungul axei x ca în figura I.38. Potenţialul electric este

constant de-a lungul celorlalte direcţii.

Fig. I.38

37

Determinaţi intervalul în care intensitatea câmpului electric xE

a). are modulul maxim;

b). are valoarea cea mai mică;

c). Reprezentaţi grafic modulul lui xE în funcţie de x ;

d). Ce distribuţie de sarcini produce astfel de salturi de potenţial?

Soluţie

a). Conform relaţiei, xVEx

∂= −

∂, panta cea mai mare apare în intervalul ab

care are valoarea 25 V/m.

b). Conform aceleaşi relaţii, xE este nul în intervalul cd .

c). Graficul este reprezentat în figura I.38a

d). Astfel de salturi de potenţial sunt determinate de distribuţii de sarcini

plane (straturi subţiri plane încărcate electric) paralele cu planul yOz care

intersectează axa x în punctele b, c, d.

Fig. I.38a

38

I.39. Potenţialul electric produs de o distribuţie de sarcini are expresia în

coordonate carteziene,

( ) 2 2, ,V x y z Ax y Bxyz= + .

Calculaţi expresia vectorului intensitate câmp electric asociat acestui

potenţial.

Soluţie

Cele trei componente ale vectorului intensitate câmp electric sunt

22xVE Axy Byzx

∂= − = − −

∂,

22yVE Ax y Bxzy

∂= − = − −

∂

şi zVE Bxyz

∂= − = −

∂.

Astfel,

( ) ( )2 22 2E Axy Byz i Ax y Bxz j Bxyk= − + − + − .

I.40. Considerăm un sistem de două sarcini electrice ca cele din figura I.40.

Fig. I.40

Calculaţi potenţialul electric generat de cele două sarcini într-un punct de pe

axa x , aflat la distanţa x de originea axelor şi reprezentaţi grafic funcţia obţinută.

39

Soluţie

Potenţialul electric într-un punct este egal cu suma algebrică a potenţialelor

generate de fiecare sarcină electrică ca şi cum ar fi singură, adică

( )0 0 0

1 1 14 4 4

q q q qV xx a x a x a x a

− ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ = − =⎜ ⎟πε − πε + πε − +⎝ ⎠

( ) 02 20

12 1 1

qa qV x xx aa a

⎛ ⎞⎜ ⎟

= = −⎜ ⎟πε − ⎜ ⎟− +⎜ ⎟

⎝ ⎠

,

unde 004

qVa

=πε

.

În figura I.40a este reprezentată funcţia ( )0

V xV

în funcţie de xa

.

Observăm că funcţia ( )V x este discontinuă în 1xa= ± unde sunt localizate

cele două sarcini.

I.41. Calculaţi potenţialul electric generat de o distribuţie de sarcină

electrică cu densitatea volumetrică ρ aflată într-o sferă de rază a şi reprezentaţi

grafic funcţia ( )V r .

40

Soluţie

Folosim expresia calculată pentru vectorul E la seminarul anterior (fig.

I.41),

nrE03ε

ρ= , ar <

şi nrRE

02

3

3 ερ

= , ar > .

Fig. I.41

Astfel,

10

2

01 6

d3

d CrrrrEV +ε

ρ−=ερ

−=⋅−= ∫∫ , pentru ar <

şi 20

3

20

3

2 3d

3d C

ra

rrarEV +

ερ=

ερ

−=⋅−= ∫∫ , pentru ar > .

Pentru a determina cele două constante punem condiţia ca în 0=r , 01 =V ,

astfel că 01 =C . Cele două expresii trebuie să fie egale în ar = , adică

( ) ( )aVaV 21 = , sau 20

3

0

2

36C

aaa

+ε

ρ=ε

ρ− , de unde 0

2

2 2ερ

−=aC .

Prin urmare, ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ερ

≤ερ

−=

arr

aa

arrrV

,

,

21

3

6

0

2

2

0 .

În figura I.41a este reprezentată dependenţa ( )rV .

41

Fig. I.41a

I.42. Trei sarcini electrice q , 2q şi q− sunt aşezate în vârfurile unui

triunghi dreptunghic isoscel ca cel din figura I.42.

a). Calculaţi potenţialul electric produs de cele trei sarcini electrice în

punctul P aflat la jumătatea ipotenuzei triunghiului dreptunghic isoscel.

b). Calculaţi energia potenţială înmagazinată în sistemul de sarcini electrice.

Consideraţi că ( ) 0V ∞ = . Care este semnificaţia semnului răspunsului obţinut?

c). A patra sarcină electrică egală cu 3q+ este adusă de la infinit până în

punctul P. Calculaţi lucrul mecanic efectuat. Care este semnificaţia semnului

răspunsului obţinut?

Fig. I.42

42

Soluţie

a). P0

0 0 0

22 2 2 24 4 4

2 2 2

q q q qVaa a a

= + − =πε

πε πε πε.

b). 1 2 1 3 2 3

0 12 13 23

14

q q q q q qWr r r

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟πε ⎝ ⎠

, unde 1q q= , 2 2q q= , 3q q= − , 12r a= ,

23r a= şi 13 2r a= . Astfel,

2 2 2 2

0 0

1 2 24 2 4 2

q q q qWa aa a

⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟πε πε⎝ ⎠

.

Semnul minus are semnificaţia faptului că lucrul mecanic este efectuat

asupra celui care formează ansamblul de sarcini electrice aducându-le de la infinit

până în poziţiile ocupate de acestea.

c).2

0

332

qL qVa

= =πε

.

Semnul plus are semnificaţia faptului că lucrul mecanic este efectuat asupra

ansamblului de sarcini electrice de către cel care aduce sarcinile electrice de la

infinit până în poziţiile ocupate de acestea.

I.43. În figura I.43 este reprezentată dependenţa potenţialului electric produs

de un ansamblu de sarcini electrice de coordonata z .

Fig. I.43

43

Potenţialul electric nu depinde de coordonatele x şi y . În intervalul

1 1z− ≤ ≤ , potenţialul electric variază conform relaţiei, ( ) 215 5V z z= − . În afara

acestui interval potenţialul variază liniar cu z .

a). Stabiliţi dependenţa de z a intensităţii câmpului electric în domeniul

1 1z− ≤ ≤ .

b). Calculaţi componenta zE pentru 1z > .

c). Calculaţi componenta zE pentru 1z < − .

d). Reprezentaţi grafic rezultatele obţinute la punctele a, b şi c.

Soluţie

a). În intervalul 1 1z− ≤ ≤ , 10zVE zz

∂= − =

∂.

b). Pentru 1z > , conform figurii I.43, ( ) 20 10V z z= − , în unităţi S.I. Astfel,

10zVEz

∂= − =

∂Vm

.

c). Pentru 1z < − , conform figurii I.43, ( ) 20 10V z z= + , în unităţi S.I.

Astfel, 10zVEz

∂= − = −

∂Vm

.

d). În figura I.43a este reprezentată întreaga dependenţă a lui zE de z .

Fig. I.43a

44

I.44. a). Calculaţi potenţialul câmpului electric generat de patru sarcini

identice q dispuse pe laturile unui pătrat de latură 2a (vezi figura I.44), în punctul M

al planului xOy aflat în apropierea punctului O, astfel încât x a<< şi y a<< .

Scrieţi ecuaţia suprafeţelor echipotenţiale.

b). Calculaţi pentru acelaşi sistem de sarcini electrice intensitatea câmpului

electric în punctul M şi scrieţi ecuaţia liniilor de câmp.

Fig. I.44

Soluţie

a).Potenţialul electric,

( )0

1 1 1 1M4 AM BM CM DM

qV ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟πε ⎝ ⎠,

unde ( )2 2AM= -x a y+ , iar 2 2

22 2

2

1 1 1 1 21AM 221

x x ya a a ax x y

a a

⎛ ⎞−= ⋅ ≅ + +⎜ ⎟

+ ⎝ ⎠− +

.

Schimbând a în a− şi x în y obţinem

2 2

21 1 21

CM 2x x y

a a a⎛ ⎞−

≅ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

,

2 2

21 1 21

BM 2y y x

a a a⎛ ⎞−

≅ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

,

2 2

21 1 21

DM 2y y x

a a a⎛ ⎞−

≅ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

45

Prin urmare,

( ) ( )2 2 2 2

2 23 3 3

0 0

2 2 3M4 4

q x y y x qV x ya a a

⎛ ⎞− −= − = −⎜ ⎟πε πε⎝ ⎠

.

Suprafeţele echipotenţiale au ecuaţia

2 2x y− = constant.

Acestea sunt hiperbole cu asimptotele dreptele y x= ± .

b). Componentele vectorului intensitate câmp electric sunt,

30

64x

V qxEx a

∂= − = −

∂ πε,

30

64y

V qyEy a

∂= − =

∂ πε,

0zVEz

∂= − =

∂.

Ecuaţia liniilor de câmp se scrie

d d

x y

x yE E

= ,

sau d dx yx y

− = , adică xy = constant, care sunt hiperbole perpendiculare pe

suprafeţele echipotenţiale.

I.45. Calculaţi diferenţa de potenţial electric generată de sarcina electrică

distribuită de-a lungul unui conductor lung cu densitatea lρ între punctele P1 şi P2

din figura I.45.

Fig. I.45

46

Soluţie

Folosim expresia pentru vectorul E din cazul unei distribuţii cilindrice

(fig.I.45), rl u

rE

02περ

= .

Potenţialul electric în punctul P1 are expresia,

CrrrrEV ll +

περ

−=περ

−=⋅−= ∫∫ ln2

d2

d00

1 .

Diferenţa de potenţial între punctele P1 şi P2 este egală cu

2

1

021 ln

2d

2

1rrrEVV l

P

P περ

=⋅−=− ∫ .

I.46. Calculaţi potenţialul electric generat de sarcina electrică distribuită pe

un disc circular de rază a cu densitatea superficială Sρ

Soluţie

Desenăm mintal pe suprafaţa discului un inel de grosime sd cu raza s

(figura

I.46). Sarcina electrică de pe suprafaţa inelului este egală cu ssqS

d2d πρ= .

Fig. I.46

47

Distanţa de la un punct de pe inel şi punctul P exterior discului este egală cu

22 ysr += . Astfel, potenţialul electric în punctul P generat de sarcina electrică

de pe suprafaţa discului este egal cu

( )yaya

sysy

ssrqV SS

aS

P −+ερ

=+ερ

=+πε

πρ=

πε= ∫∫ 22

0

22

002200 202

d42d

41 .

Observăm că în 0=y , ( )02

0ε

ρ=

aV S .

I.47. Calculaţi potenţialul electric generat de sarcina electrică distribuită cu

densitatea superficială Sρ pe o pătură sferică de rază a.

Soluţie

Pe suprafaţa sferei se află sarcina electrică Saq ρπ= 24 .

Potenţialul electric generat în punctul P de această sarcină electrică este egal

cu

∫∫∫∫∫∫θθ

ερ

=πε

θθπρ=

περ

=S

S

S

S

S

SP r

ar

ar

SV dsin24

dsin24

d

0

2

0

2

0

,

unde θθπ= dsin2d 2aS , θsina fiind raza calotei sferice, iar θda înălţimea

acesteia (fig. I.47).

Fig. I.47

48

Observăm că θ−+= cos2222 aRaRr , iar θθ= dsin2d2 aRrr , de unde

aR

rrddsin =θθ .

Astfel,

Ra

aRaR

rRa

raRraV SS

S

SP

0

2

00

2

2d

2 ερ

=−+

⋅ερ

=θ

ερ

= ∫∫ .

Pe suprafaţa sferei, aR = şi 0ε

ρ=

RV SP .

I.48. O bară izolatoare de lungime l este încărcată cu o sarcină electrică de

densitate liniară λ distribuită uniform pe suprafaţa barei.

a). Calculaţi potenţialul electric în punctul P aflat pe perpendiculara pe axa

barei în centrul acesteia, la distanţa y .

b). Reprezentaţi grafic funcţia ( )V y .

c). Calculaţi expresia intensităţii câmpului electric în punctul P în limita

y>>l .

Soluţie

a). Considerăm un element dx din lungimea barei, aflat la distanţa x de

mijlocul barei şi care este încărcat cu sarcina electrică d dq x= λ , ca în figura I.48.

Coordonatele elementului dx sunt ( ,0)x , iar ale punctului P sunt (0, )y ,

astfel că distanţa de la elementul dx la punctul P este egală cu 2 2x y+ . Sarcina

dq contribuie la potenţialul electric din punctul P cu

2 2

0 0

d dd4 4

Pq xV

r x yλ

= =πε πε +

.

Potenţialul electric în punctul P generat de sarcina electrică de pe toată bara

va fi egal cu

49

( ) ( )2

2 2 222 2

0 02

d ln4 4P

xV y x x yx y

−−

λ λ= = + + =

πε πε+∫l

ll

l

.

22

20 2

2 2ln4

2 2

y

y

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟λ ⎜ ⎟⎝ ⎠= ⎜ ⎟πε ⎛ ⎞⎜ ⎟− + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

l l

l l.

Fig. I.48 Fig. I.48a

b). În figura I.48a este reprezentată funcţia ( ) 0V y V , unde 004

V λ=

πε, în

funcţie de y l .

c). Dacă y>>l , expresia potenţialului electric în punctul P devine

( )

2 22

2 20 02

21 12 2ln ln

4 4 21 12 2

P

yyV y

yy

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ λ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = ≅⎜ ⎟ ⎜ ⎟πε πε⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

l l

l

l l

l

2

0 0

ln ln4 2y y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞λ λ≅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟πε πε⎝ ⎠ ⎝ ⎠

l l ,

unde am folosit dezvoltarea 2 2 2

22 1 2 21 1 1

2y y y⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≅ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠l l l şi am considerat că

2

2

22 2y+ ≅l

, deoarece y<<

l1.

50

Din cauza simetriei, vectorul intensitate câmp electric va avea componentă

doar după direcţia y , astfel că

2

0 2

24

2

Py

VEy

y

∂ λ= − = ⋅

∂ πε ⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠

l

l.

I.49. Un inel izolator cu raza R este încărcat electric uniform cu densitatea

liniară λ .

a). Calculaţi potenţialul electric într-un punct P aflat pe perpendiculara dusă

în centrul inelului, la distanţa z de centru (figura I.49).

b). Calculaţi expresia intensităţii câmpului electric în punctul P în limita

z R>> şi comparaţi cu rezultatul obţinut în problema I.19.

Fig. I.49

Soluţie

a). Considerăm un element de lungime de arc de cerc d dR= ϕl pe care se

află

sarcina electrică d d dq R= λ = λ ϕl . Contribuţia acestei sarcini electrice la potenţialul

electric din punctul P este

2 2

0 0

d dd4 4

Pq RV

r R zλ ϕ

= =πε πε +

.

Potenţialul electric în punctul P generat de sarcina electrică de pe întregul

inel va fi egal cu

51

( )2

2 2 2 2 2 200 0 0

2d4 4 4

PR R qV yR z R z R z

πλ πλ= ϕ = =

πε + πε + πε +∫ ,

unde 2q R= πλ .

La limita z R>> , expresia potenţialului electric în punctul P devine identică

cu cea pentru o sarcină electrică punctuală,

( )04P

qV yz

≅πε

.

b). Vectorul intensitate câmp electric va avea componentă doar după direcţia

z din cauza simetriei, astfel că

( )32 204

Pz

V q zEz R z

∂= − = ⋅

∂ πε +.

I.50. Într-o regiune din spaţiu potenţialul electric are expresia

( )( )

30

0 0 3 22 2 2, , E a zV x y z V E z

x y z= − +

+ +, unde a este o constantă cu dimensiunea

fizică de lungime. Calculaţi componentele x , y şi z ale vectorului intensitate câmp

electric.

Soluţie

Cele trei componente ale vectorului intensitate câmp electric sunt

( )

30

5 22 2 2

3x

V E a xzEx x y z

∂= − =

∂ + +,

( )

30

5 22 2 2

3y

V E a yzEy x y z

∂= − =

∂ + +

şi ( )

( )

3 2 2 20

0 5 22 2 2

2z

E a x y zVE Ez x y z

+ −∂= − = −

∂ + +.

52

I.51. Într-un sistem de axe carteziene, se consideră trei puncte de

coordonate: A (1, 2, 3), B (0, -1, 2) şi C (1, 2, 4). În acest spaţiu se manifestă un

câmp electrostatic cu intensitatea exprimată prin vectorul: zyx uuuE 43 ++= .

a) Calculaţi diferenţele de potenţial electric VAB, VBC, VAC;

b) Calculaţi potenţialele electrice ale punctelor A, B şi C, considerând ca

punct de referinţă cu potenţial nul originea axelor de coordonate.

Soluţie

Prin definiţie:

∫ ⋅−=A

B

rEV dAB şi, în mod similar, se exprimă şi VBC şi VAC. Condiţia de

echilibru electrostatic a sistemului se scrie VAB + VBC + VAC = 0.

a) Astfel, prin explicitarea relaţiilor de definiţie se obţine, în situaţia

câmpului electric omogen:

(V) 104)23(1)12(3)01(

)()()(

)(d

BABABA

BA

A

BAB

−=⋅−−⋅+−⋅−−=

=−−−−−−=

=−−=−= ∫zyx EzzEyyExx

rrErEV

În mod similar se obţine:

(V) 10dBC +=⋅−= ∫B

C

rEV şi (V) 0dAC =⋅−= ∫A

C

rEV .

Rezultă că vectorul E este perpendicular pe segmentul AC , iar punctele A

şi C se află la acelaşi potenţial electrostatic.

b) Dacă potenţialul originii este zero, calculăm potenţialele punctelor A, B şi

C prin integrale de forma:

V 17dA

0A −=⋅−= ∫ rEV şi, similar, rezultă VB = - 7 V şi VC = 17 V.

53

I.52. O sarcină electrică q1 = 5 μC este localizată în originea axelor de

coordonate, iar altă sarcină electrică q2 = - 3 μC în punctul de coordonate (10,0).

Calculaţi potenţialul electric şi vectorul intensitate câmp electric în punctul

de coordonate (0,30). Coordonatele sunt exprimate în metri.

Soluţie

În fig. I.52 sunt reprezentate poziţiile celor două sarcini electrice şi punctul

P(0,30) în care vom calcula potenţialul electric creat de cele două sarcini şi vectorul

intensitate câmp electric corespunzător.

Vom calcula mai întâi potenţialul electric produs de cele două sarcini

electrice într-un punct oarecare A(x,y):

Fig. I.52

( )

=+−πε

++πε

=22

0

222

0

1A

1044 yx

qyx

qV

( )

V64610

351092222

3 =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−−

+⋅=

yxyx,

unde x = 0 şi y = 30. Conform relaţiei între potenţialul electric şi vectorul intensitate

câmp electric,

yx uyVu

xV

rVE

∂∂

−∂∂

−=∂∂

−= ,

adică: ( )( )

( )[ ] mV5,8

10

1035410

232223220

6

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

−−

+πε=

∂∂

−=−

yx

xyxx

xVEx ,

54

iar ( ) ( )[ ] mV4,24

10

35410

232223220

6

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−

+πε=

∂∂

−=−

yx

yyxy

yVEy .

Astfel,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=+=

mV4,245,8 yxyyxx uuuEuEE .

I.53. Două sarcini electrice 1 3q = μC şi 2 4q = − μC se află iniţial la distanţa

0 2r = cm. Sub acţiunea unui câmp extern sarcinile electrice ajung la distanţa

1 5r = cm. Calculaţi: a). lucrul mecanic efectuat de câmpul exterior pentru a

îndepărta cele două sarcini electrice; b). energia sistemului de sarcini electrice în

starea iniţială când se află la distanţa 0r ; c). variaţia energiei potenţiale electrice a

sistemului de sarcini electrice la îndepărtarea acestora de la distanţa 0r la distanţa 1r .

Soluţie

a). 1 2

0 1 0

1 1 3,244q qL

r r⎛ ⎞

= − =⎜ ⎟πε ⎝ ⎠J.

b). 1 20

0 0

5,44q qW

r= = −

πεJ.

c). 1 2

0 1 0

1 1 3,244pq qW

r r⎛ ⎞

Δ = − − = −⎜ ⎟πε ⎝ ⎠J.

I.2. Câmpul electric din jurul conductoarelor. Condensatori

I.54. Un condensator plan are capacitatea egală cu 112 pF, aria suprafeţei

unei armături 96,5 cm2 şi este umplut cu mică care are constanta dielectrică egală cu

5,40. Condensatorul este alimentat la o tensiune continuă egală cu 55 V.

Calculaţi:

a). intensitatea câmpului electric din condensator;

55

b). sarcina electrică de pe armăturile condensatorului;

c). polarizaţia electrică indusă în dielectricul dintre plăcile condensatorului.

Se cunoaşte 120 8,85 10−ε = ⋅ F/m.

Soluţie

a). Din UEl

= şi 0 rSCl

ε ε= , rezultă

0

13,35r

CUES

= =ε ε

kV/m.

b). 6,16q CU= = nC;

c). Din 0 0rD E E P= ε ε = ε + , rezultă ( )0 1 520rP E= ε ε − = nC/m2

I.55. Deduceţi expresia capacităţii unui cablu coaxial utilizând ecuaţia lui

Laplace în coordonate cilindrice.

Soluţie

Ecuaţia lui Laplace în coordonate cilindrice se scrie sub forma

2 2

22 2 2

1 1 0V V VV rr r r r z

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞∇ = ⋅ + ⋅ + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ϕ ∂⎝ ⎠.

Cablul coaxial având o simetrie cilindrică, potenţialul V nu depinde de

direcţii, adică depinde doar de coordonata r , astfel că ecuaţia rămâne

1 0Vrr r r

∂ ∂⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠,

sau

1 d d 0d d

Vrr r r

⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Multiplicăm cu r şi integrăm, adică

d d 0d d

Vrr r⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

şi ddVr Ar= sau, după separarea variabilelor, dd rV A

r=

După încă o integrare,

56

lnV A r B= + .

Suprafeţele echipotenţiale sunt date de ecuaţia r = constant şi sunt suprafeţe

cilindrice. Pentru condensatorul cilindric alegem o diferenţă de potenţial egală cu 0V

între cele două suprafeţe cilindrice. Astfel, 0V V= în r a= şi 0V = în r b= , unde

>b a . Astfel, condiţiile la limită se scriu

0 lnV A a B= +

şi 0 lnA b B= + ,

de unde 0

ln

VA ba

= − şi 0 ln

ln

V bB ba

= , iar

0

ln

ln

brV V ba

= .

Atunci, intensitatea câmpului electric

0dd ln

rV VE ubr r

a

= − = .

Sarcina electrică este egală cu

02 2ln

r r aVq aLD u aL ba

a

== π ⋅ = π ε .

Prin urmare, capacitatea

2

ln

q LC bVa

πε= =

I.56. Considerăm un strat sferic conductor cu raza interioară a şi raza

exterioară c . Spaţiul dintre cele două suprafeţe este umplut cu doi izolatori diferiţi

astfel încât constanta dielectrică între a şi b este 1rε , iar între b şi c este 2rε .

(figura I.56).

a). Calculaţi capacitatea sistemului.

57

b) Ce devine relaţia de la punctul a) dacă 1 2, 1r rε ε → .

Fig.I.56

Soluţie

a). Sistemul poate fi considerat ca fiind format din doi condensatori legaţi în

serie deoarece tensiunea electrică aplicată pe sistem este egală cu suma dintre

tensiunile electrice aplicate pe fiecare din cei doi condensatori. Pentru un

condensator sferic cu razele interioară 1r şi exterioară 2r , umplut cu un izolator cu

constanta dielectrică rε , capacitatea este egală cu

1 20

2 1

4 rr rC

r r⎛ ⎞

= πε ε ⎜ ⎟−⎝ ⎠,

iar capacitatea a doi condensatori 1C şi 2C , legaţi în serie este egală cu

1 2

1 2serie

C CCC C

=+

.

Astfel,

( ) ( )

0 1 0 20 1 2

2 10 1 0 2

4 44

4 4

r rr r

serier r

r r

ab bcabcb a c bC

ab bc c b a a c bb a c b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞πε ε ⋅ πε ε⎜ ⎟ ⎜ ⎟ πε ε ε− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =ε − + ε −⎛ ⎞ ⎛ ⎞πε ε + πε ε⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

b). Dacă 1 2, 1r rε ε → ,

( ) ( )

0 04 4serie

abc acCc b a a c b c a

πε πε= =

− + − −.

58

I.57. Calculaţi capacitatea echivalentă a sistemului de condensatori din

figura I.57.

Fig..I.57

Soluţie

1C şi 2C sunt legaţi în paralel astfel că 12 1 2C C C= + ,

iar 12C şi 3C sunt legaţi în serie , Prin urmare,

( )1 2 312 3123

12 3 1 2 3

C C CC CCC C C C C

+= =

+ + +.

I.58. Calculaţi capacitatea echivalentă a configuraţiei de condensatoare din

figura I.58.

Fig. I.58

Soluţie

Condensatorii de pe fiecare ramură sunt legaţi în serie astfel că valoarea

capacităţii echivalente pe fiecare din acestea este cea din figura I.58a. Ramurile sunt

legate în paralel şi capacitatea echivalentă totală este egală cu

59

echiv1 1 1112 3 6

C C C⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Fig. I.58a

I.59. O baterie cu tensiunea electromotoare de 12 V alimentează electric

patru condensatori legaţi ca în figura I.59. Se cunosc valorile: 1 1C = μ F, 2 2C = μ F,

3 3C = μ F şi 4 4C = μ F.

a). Calculaţi capacitatea echivalentă a condensatoarelor 1C şi 2C dacă

întrerupătorul S este deschis;

b). Calculaţi sarcina electrică de pe fiecare condensator dacă întrerupătorul S

este deschis;

c). Calculaţi sarcina electrică de pe fiecare condensator dacă întrerupătorul S

este închis.

Fig. I.59

Soluţie

a). Dacă S este deschis, 1C şi 2C sunt legate în serie şi capacitatea

echivalentă este

60

1 212

1 2

23

C CCC C

= = μ+

F;

b). 1 2 12 8q q EC= = = μC, iar 3 43 4 34

3 4

20,57C Cq q EC EC C

= = = = μ+

C;

c). Dacă S este închis 1C şi 3C , şi respectiv 2C şi 4C sunt legate în paralel,

Din ecuaţiile 1 2E U U= + , 1 31

1 3

q qUC C

= = şi 2 42

2 4

q qUC C

= = , iar

1 3 2 4q q q q+ = + , rezultă

1 232

U U= şi apoi 1 7,2U = V, iar 2 4,8U = V. Astfel, 1 7,2q = μC,

2 9,6q = μC, 3 21,6q = μ C şi 4 19,2q = μ C.

I.60. Un condensator plan cu armături circulare paralele, de rază R = 6 cm,

aflate la o distanţă x1 = 1 mm, dielectric fiind aerul, este conectat la tensiunea V =

3000 V.

Calculaţi:

a) forţa de atracţie dintre armăturile condensatorului;

b) variaţia energiei electrice din condensator la deplasarea armăturilor

condensatorului la distanţa x2 = 5 mm una faţă de cealaltă, menţinând constantă

tensiunea electrică aplicată.

Soluţie

Lucrul mecanic dLmec ce trebuie efectuat în câmp electrostatic pentru

deplasarea uneia dintre armături cu distanţa elementară dx (fig. I.60), la aplicarea

forţei Fmec, este o măsură a variaţiei energiei electrostatice dW a ansamblului celor

două armături ale condensatorului:

⎩⎨⎧

==

WLxFL

dddd

mec

mecmec

61

Energia electrostatică a unui condensator de capacitate C cu sarcina q pe

fiecare dintre armături, între care este aplicată diferenţa de potenţial ΔV, are

expresia:

( )1

02

2 ;21

21

21

xSC

CqVCVqW ε

==Δ=Δ⋅= , unde x1 este distanţa

iniţială dintre armături, iar 2RS π= este aria suprafeţei fiecărei armături.

Fig. I.60

La deplasarea relativă infinitezimală a armăturilor, menţinând constantă

diferenţa de potenţial dintre armături, energia electrostatică a condensatorului

variază prin modificarea infinitezimală a capacităţii electrice:

( ) CVxFmec d21d 2Δ=

a) Forţa de atracţie electrostatică Fel ce se opune deplasării mecanice relative

din exterior a armăturilor are expresia:

( ) ( ) 21

022

21

dd

21

xSV

xCVFF elmec

εΔ−=Δ=−= = 0,45 N

de unde rezultă lucrul mecanic necesar deplasării relative a armăturilor:

b) ( ) ( )2 2

1 1

2 22 20 0

22 1

d 1 1d2 2

x x

mec mecx x

V R V RxL F xx x x

Δ ε π Δ ε π ⎛ ⎞= = − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ .

Prin efectuarea acestui lucru mecanic are loc o variaţie a energiei câmpului

62

electrostatic al condensatorului, ΔWel = Lmec = 3,6×10−4 J.

I.61. Patru condensatori, cu capacitatea de 1μ F fiecare, sunt legaţi în

paralel, încărcaţi la 200 V şi descărcaţi printr-un fir de cupru cu lungimea de 5 mm.

Firul are rezistenţa de 4Ω pe metru şi masa egală cu 0,045 g pe metru. Ce se

întâmplă cu firul? Se topeşte? De ce ? Temperatura de topire a cuprului este egală cu

1356°C, căldura specifică 380c = J/kgK, iar temperatura mediului ambiant este de

25°C.

Soluţie

Capacitatea echivalentă a condensatorilor este egală cu

4pC nC= = μ F,

astfel că energia electrică înmagazinată în aceştia este egală cu

21 0,082

W CV= = J.

Rezistenţa electrică a firului este 0,02R = Ω şi masa sa 60,0225 10m −= ⋅ kg.

Căldura necesară pentru atingerea temperaturii de topire este egală cu

( ) 0,11topire mediuQ mc t t= − = J.

Deoarece >Q W rezultă că firul nu se va topi.

I.62. Calculaţi energia înmagazinată în jurul unui strat sferic metalic de rază

a încărcat cu sarcina electrică q .

Soluţie

Intensitatea câmpului electric generat de o sarcină electrică q , distribuită pe

un strat sferic metalic de rază a , este egală cu

63

20

, >4

0, <

rq u r a

rEr a

⎧⎪ πε= ⎨⎪⎩

.

Densitatea de energie înmagazinată în sistem este egală cu

2

20 2 4

0

12 32el

qw Er

= ε =π ε

,

în exteriorul sferei şi zero în interiorul sferei.

Energia înmagazinată în spaţiul din jurul stratului sferic este egală cu

2 2 2

2 22 4 2

0 0 0

d 14 d 4 d32 8 8 2el el

a a a

q q r qW w r r r r qVr r a

∞ ∞ ∞

= π = π = = =π ε πε πε∫ ∫ ∫ ,

unde 24 dr rπ este elementul de volum, iar 04

qVa

=πε

este potenţialul electric pe

suprafaţa stratului sferic. Am ţinut cont că ( ) 0V ∞ = .

De fapt, energia sistemului calculată este egală cu lucrul mecanic efectuat

pentru a încărca sistemul cu sarcina electrică q , adică

2

0 00

d d4 8

q q qW V q qa a

= = =πε πε∫ ∫ .

64

II. Curentul electric staţionar

II.1. Transportul de sarcină electrică sub forma curentului electric

staţionar

II.1. Un cablu lung de 3000 km este compus din şapte fire de cupru, fiecare

având diametrul de 0,73 mm, introduse într-o cămaşă izolatoare.

Calculaţi rezistenţa electrică a cablului. Se cunoaşte rezistivitatea cuprului 63 10−ρ = ⋅ cm.

Soluţie

În expresia rezistenţei electrice, RS

= ρl , secţiunea cablului este egală cu

2

4dS N= π , astfel că

42

4 3,1 10RN d

= ρ = ⋅ Ωπl .

II.2. Calculaţi sarcina electrică acumulată la joncţiunea a două materiale cu

conductivităţile 1σ şi respectiv 2σ (fig. II.2) prin care trece un curent electric de

intensitate I .

Fig. II.2

65

Soluţie

În cazul staţionar, vectorul densitatea de curent J este acelaşi de o parte şi

de alta a joncţiunii, astfel că, conform legii lui Ohm,

1 1 2 2E Eσ = σ ,

de unde 1 12

2

EE σ=

σ.

Calculăm sarcina electrică de pe interfaţa celor două materiale cu legea lui

Gauss,

( )2 10

d in

S

qE S E E S⋅ = − =ε∫∫ ,

sau 2 10

inqE ES

− =ε

.

Înlocuind expresia lui 2E obţinem

10 1 0 1 1

2 2 1

1 11inq SE SE⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ

= ε − = ε σ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ σ σ⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Intensitatea curentului este 1 1I JS E S= = σ , astfel încât sarcina electrică de

pe interfaţă devine

02 1

1 1inq I

⎛ ⎞= ε −⎜ ⎟σ σ⎝ ⎠

.

II.3. Considerăm un material de rezistivitate ρ şi de forma unui trunchi de

con de înălţime h şi raze a şi b ca în fig. II.3. Calculaţi rezistenţa electrică între

cele două baze ale trunchiului de con considerând că intensitatea curentului electric

este distribuită uniform în acesta.

Fig. II.3

66

Soluţie

În secţiunea de forma unui trunchi de con considerăm un disc subţire de rază

r şi grosime dx , aflat la distanţa x de capătul din stânga, ca în figura II.3a.

Fig. II.3a

Observăm că în triunghiurile formate se poate scrie că

b r b ax h− −

= , de unde ( ) xr a b bh

= − + .

Contribuţia acestui disc la rezistenţa electrică a trunchiului de con este egală

cu

( )

22

d dd x xRr xb a b

h

= ρ = ρπ ⎡ ⎤π + −⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Rezistenţa electrică totală se obţine prin sumarea contribuţiilor tuturor

discurilor de acest fel care se pot construi pe lungimea trunchiului de con, adică

( )

20

dh x hRabxb a b

h

= ρ = ρπ⎡ ⎤π + −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ,

unde am utilizat integrala

( ) ( )2

d 1uuu

=α α +βα +β∫ cu xu

h= .

II.4. Considerăm un cilindru gol de lungime l , rază interioară a şi rază

67

exterioară b , ca cel din figura II.4. Materialul din care este confecţionat cilindrul are

rezistivitatea ρ .

a). Calculaţi rezistenţa electrică măsurată pentru cilindrul gol dacă se aplică

o tensiune electrică la capetele acestuia;

b). Calculaţi rezistenţa electrică măsurată pentru cilindrul gol dacă se aplică

o tensiune electrică între suprafeţele interioară şi cea exterioară.

Fig. II.4

Soluţie

a). În acest caz aria secţiunii transversale este egală cu ( )2 2S b a= π − , astfel

că

( )2 2

l lRS b aρ ρ

= =π −

.

b). Considerăm un element de cilindru de grosime dr , rază r şi lungime l

a cărei rezistenţă electrică este egală cu

d dd2

r rRS rlρ ρ

= =π

,

unde 2 rlπ este aria normală pe direcţia de curgere a curentului electric. Rezistenţa

electrică totală este egală cu suma contribuţiilor tuturor cilindrilor elementari care

pot fi construiţi, adică

d ln2

b

a

r bRS l aρ ρ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟π ⎝ ⎠∫ .

II.5. Vrem să studiem drumul parcurs de un electron de la bateria de la

maşină până la starterul motorului după ce a fost declanşată aprinderea. Considerăm

68

că intensitatea curentului este egală cu 115 A, iar electronii traversează un fir de

cupru cu aria secţiunii transversale de 31,2 mm2 şi lungimea de 85,5 cm.

a). Calculaţi densitatea de curent electric din fir;

b). Concentraţia de electroni din cupru este de 8,49.1028 m-3. Calculaţi viteza

de drift a electronilor.

c). Cât timp îi trebuie unui electron să ajungă de la baterie de la maşină până

la starterul motorului?

Soluţie

a). 63,685 10IJS

= = ⋅ A/m2. b). 42,71 10IvneS

−= = ⋅ m/s.

c). 3155s 52,6ltv

Δ = = = min.

II.6. Un fir conductor uniform cu secţiune circulară, are diametrul secţiunii

transversale d = 1 mm, lungimea l = 1 m şi rezistenţa electrică R = 10 Ω.

Determinaţi timpul necesar unui singur electron pentru a străbate circuitul

când între capetele conductorului se aplică o tensiune electrică de 1V, de la o baterie

a cărei rezistenţă electrică internă este neglijabilă. Concentraţia electronilor de

conducţie în fir este n = 1029 m−3.

Soluţie

Densitatea de curent electric de conducţie, la trecerea unui curent I prin

conductorul de diametru d al secţiunii circulare de arie S este, conform legii Ohm:

Rd

VRSV

SIj

4

2π

===

Pe de altă parte,

dvenj = ,

unde n este concentraţia electronilor de conducţie cu sarcina e şi viteza de transport

69

vd = l/t.

Timpul t în care un singur electron parcurge lungimea l a conductorului

rezultă din egalarea celor două relaţii:

V

leRnd

t 4

2π

= ≈ 35 ore !

II.2. Legea lui Ohm

II.7. Calculaţi tensiunea electromotoare E a unei surse de înaltă tensiune

dacă tensiunea sa la borne este egală cu V300ab =U , iar rezistenţa internă a acesteia

este r = 2,2 MΩ. Rezistenţa multimetrului utilizat este R = 20 MΩ (fig. II.7).

Fig. II.7

Soluţie

Scriind legea lui Ohm, abU Ir= −E , iar IRU =ab , de unde

ab 1 333 V.rUR

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

E

II.8. În circuitul unui aparat de radio alimentat la 220 V trebuie utilizat

pentru iluminarea scalei un bec de 3 V şi 300 mA.

Calculaţi valoarea rezistenţei electrice care trebuie legată în serie în circuit

pentru a asigura funcţionarea becului în condiţii optime.

70

Soluţie

Circuitul becului cu rezistenţa adiţională este legat în paralel la aparatul de

radio.

Din . .bec rez adiţ bec bec adiţU U U U I R= + = + ,

rezultă

723,3becadiţ

bec

U URI−

= = Ω .

II.9. Calculaţi intervalul de timp în care o sarcină electrică aşezată într-un

conductor trece pe suprafaţa acestuia. Pentru un conductor, 9 110 −σ ≅ Ω m-1, iar 11

0 10−≅ε F/m.

Soluţie

Înlocuim pe J E= σ în ecuaţia de continuitate,

0Jt

∂ρ∇ + =

∂,

adică

0

J E ρ∇ = σ∇ = σ

ε,

astfel că rezultă ecuaţia diferenţială

0

d dtρ σ= −

ρ ε,

care are soluţia

0 0exp exp tt0

⎡ ⎤σ ⎡ ⎤ρ = ρ − = ρ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε τ⎣ ⎦⎣ ⎦,

unde 0ετ =σ

este timpul de relaxare în care densitatea de sarcină electrică din

volumul conductorului scade de e ori.

Numeric, 2010−τ ≅ s.

71

Sarcina electrică introdusă într-un conductor electric trece instantaneu pe

suprafaţa acestuia.

II.3. Circuite electrice

II.10. Considerăm circuitul din figura II.10. Calculaţi valoarea rezistenţei

1R în funcţie de valoarea rezistenţei 0R astfel încât rezistenţa echivalentă a

circuitului din figura II.10, între cele două borne, să fie egală cu 0R .

Fig. II.10

Soluţie

( )1 0 1ech 1 1 0

0 1

'2

R R RR R R R R

R R+

= + = + =+

,

de unde 01 3

RR = .

II.11. Considerăm cubul din figura II.11 care are rezistori R egali, pe

fiecare din laturile sale.

Calculaţi rezistenţa echivalentă între bornele a şi b.

Soluţie

Din argumente de simetrie, intensitatea curentului I , care intră prin borna a,

se împarte în trei părţi egale cu 3I .

72

În următorul nod, c, intensitatea curentului se împarte în două părţi egale cu

6I pe direcţiile ce şi cd.

Prin rezistorul db circulă curentul a cărui intensitate este egală cu suma

intensităţilor curenţilor din ramurile fd şi cd, adică 6 6 3I I I+ = .

Fig. II.11

Astfel tensiunea electrică între a şi b este egală cu

53 6 3 6ab ac cd dbI I IU U U U R R R IR= + + = + + = .

Rezistenţa echivalentă a rezistorilor de pe laturile cubului este egală cu

cub56

abUR RI

= = .

II.12. Calculaţi sarcina electrică de pe armăturile condensatorului din

circuitul alăturat.

Se cunosc: 2C = μF, 120E = V, 0r = , 1 15R = Ω , 2 35R = Ω şi 3 9,5R = Ω .

Fig. II.12

73

Soluţie

Intensitatea curentului electric prin sursă este egală cu

1 2

31 2

I R R R rR R

=+ +

+

E ,

iar tensiunea electrică de pe condensatorul legat în paralel cu rezistorul 3R este

3CqU IRC

= = ,

de unde

33

1 23

1 2

114R Cq IR C R R R rR R

= = = μ+ +

+

E C.

II.13. Calculaţi energia electrică înmagazinată în condensatorul cu

capacitatea de 2 3C = μF din figura II.13.

Se cunosc: 1 6C = μ F, 1 4=E V, 2 2=E V, 1 1,4R = Ω , 2 1R = Ω şi 3 1,5R = Ω .

Fig. II.13

Soluţie

Intensitatea curentului prin sursa 1E este egală cu

12 3

12 3

2I R RRR R

= =+

+

E A.

74

Tensiunea electrică de pe cele două condensatoare legate în serie este egală

cu

2 312 1 2

2 3

0,8R RU IR R

= − =+

E V,

iar din condiţia ca la legarea condensatoarelor în serie,

1 1 2 2q C U C U= = ,

rezultă 12 12

1 2

1,63

CU UC C

= =+

V.

Prin urmare,

2 62 2 2

1 0,42 102

W C U −= = ⋅ J.

II.14. Circuitul din figura II.14 este echivalent între bornele A şi B cu o

sursă cu tensiunea electromotoare E şi rezistenţă internă r .

Calculaţi valorile lui E , r şi intensitatea curentului electric de scurt-circuit.

Fig. II.14

Soluţie

Tensiunea electromotoare echivalentă este egală cu diferenţa de potenţial

între punctele A şi B atunci când intensitatea curentului în circuitul exterior este nul,

adică

0 1 2ABU IR IR= = − =E E ,

de unde

75

0 0

1 2

IR R−

= =E E E ,

astfel că

20

1 2

3RR R

= =+

E E V.

Rezistenţa internă a sursei este egală cu rezistenţa echivalentă a lui 1R şi

2R , adică

1 2

1 2

4,8R RrR R

= = Ω+

.

Intensitatea curentului de scurt-circuit este egală cu

0,625scIr

= =E A.

II.4. Energia disipată la trecere curentului electric printr-un rezistor.

Legea lui Joule-Lenz

II.15. Un radiator electric cu puterea de 1500 W este construit pentru a

funcţiona la tensiunea electrică de 150 V. Calculaţi:

a). intensitatea curentului prin radiator;

b). rezistenţa electrică a înfăşurării acestuia;

c). energia radiată în decurs de 1 oră.

Soluţie

a). 10PIU

= = A;

b). 2

15URP

= = Ω ;

c). 1,5W Pt= = kWh

76

II.16. Calculaţi valoarea rezistenţei exterioare dintr-un circuit alimentat de o

baterie cu tensiunea electromotoare E şi rezistenţa internă r , astfel încât puterea

eliberată de sursă în circuitul exterior să fie maximă.

Soluţie

Puterea eliberată în circuitul exterior este egală cu 2

2P I R RR r

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟+⎝ ⎠E ,

care are o valoare maximă dacă ( ) ( )( )

22 2

4

2d 0d

R r R R rPR R r

+ − ⋅ += =

+

E E, de unde

rezultă că R r= .

II.17. În figurile II.17a şi b sunt reprezentate doi rezistori 1R şi 2R legaţi în

paralel şi respectiv în serie. Bateria are tensiunea electromotoare E .

În cazul circuitului paralel calculaţi:

a). puterea electrică absorbită de fiecare rezistor;

b). suma puterilor absorbite de cele două rezistoare şi comparaţi rezultatul

cu valoarea puterii eliberate de sursă.

În cazul circuitului serie calculaţi:

c). puterea electrică absorbită de fiecare rezistor;

d). suma puterilor absorbite de cele două rezistoare şi comparaţi rezultatul

cu valoarea puterii eliberate de sursă.

e). În care caz, paralel sau serie, se utilizează mai multă energie?

a b

Fig. II.17

77

Soluţie

a). În cazul legării în paralel, 11

IR

=E şi 2

2

IR

=E , iar puterile absorbite de

fiecare rezistor sunt

2

21 1 1

1

P I RR

= =E şi

22

2 2 22

P I RR

= =E .

Observăm că puterea electrică absorbită de un rezistor este cu atât mai mare

cu cât este rezistenţa acestuia este mai mică.

b). Puterea totală absorbită de cei doi rezistori este egală cu

2

2paralel 1 2

1 2 paralel

1 1P P PR R R

⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

EE

c). În cazul legării în serie, serie 1 2R R R= + , iar intensitatea curentului în

circuit, 1 2

IR R

=+E . Puterile absorbite în cele două rezistoare sunt egale cu

( )

22

1 1 121 2

P I R RR R

= =+E

şi respectiv

( )

22

2 2 221 2

P I R RR R

= =+E .

Am obţinut că rezistorul cu rezistenţa mai mare absoarbe o parte mai mare

din puterea eliberată de sursă.

d). În acest caz, puterea totală absorbită de cele două rezistoare este egală cu

( ) ( )

2 22 1 2

serie 1 2 2 21 2 serie1 2 1 2

R RP P PR R RR R R R

⎡ ⎤= + = + = =⎢ ⎥

++ +⎢ ⎥⎣ ⎦

E EE .

e). Observăm că 2 2 2

paralel serie1 2 1 2

P PR R R R

= + > =+

E E E ,

adică la legarea în paralel rezistorii absorb mai multă putere.

78

II.18. La o sursă de curent staţionar cu tensiunea la borne 220U = V se

conectează patru becuri fiecare având tensiunea electrică nominală de 110 V, două

având puterea de 40 W şi celelalte două puterea de 60 W, legate ca în figura II.18.

Calculaţi tensiunea electrică între punctele A şi B.

Fig. II.18

Soluţie

În circuitul din figura II.18, AB CB CAU U U= − , iar din 1 2P P UI+ = rezultă că

1 2P PIU+

= , unde 21 1P I R= şi 2

2 2P I R= . Prin urmare,

( ) ( )( )

2 12 1

1 2

44AB

P P UU I R R

P P−

= − = =+

V.

II.19. În paralel cu un bec cu puterea 1 100P = W este legat un reşou cu

puterea 2 400P = W. Tensiunea electrică de la reţea este 220U = V, iar firele de

legătură au rezistenţa 21R= Ω.

Stabiliţi cum se modifică tensiunea electrică de la bornele becului prin

legarea reşoului.

Soluţie

Conform schemei electrice din figura II.19,

1 21 1

1 1

P PU U IR U RU U⎛ ⎞

= + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

,

sau ( )21 1 1 2 0U UU R P P− + + = ,

79

care are rădăcinile 1 213U = V şi 1 7U ′ = V. Prin urmare, tensiunea electrică la

bornele becului scade prin legarea reşoului.

II.5. Teoremele lui Kirchhoff în reţele electrice de curent staţionar

II.20. În circuitul din figura II.20 cele două surse sunt formate din elemente

identice cu rezistenţa internă 0,2r = Ω şi tensiunea electromotoare E prima sursă

având 1 8n = elemente, iar a doua 2 5n = .

Calculaţi valoarea lui R pentru care se anulează intensitatea curentului 2I

prin a doua sursă.

Fig. II.20

Soluţie

Din teorema a doua a lui Kirchhoff, ( )1 1 2 1 1n I I R n I r= + +E şi

( )2 1 2 2 2n I I R n I r= + +E . Eliminând pe 1I între cele două ecuaţii rezultă

( )( )

1 2 1 22

1 2 1 2

0n n r n n R

Ir n n R n n r⎡ − − ⎤⎣ ⎦= =⎡ + + ⎤⎣ ⎦

E, de unde

1 2

1 2

83

n n rRn n

= = Ω−

.

II.21. În circuitul din figura II.21 sursele cu tensiunile electromotoare 1E şi

2E sunt formate din 1 10n = şi respectiv 2n elemente cu tensiunea electromotoare e

80

şi rezistenţa internă 0 0,5r = Ω . Rezistorul 20R = Ω , iar r este un rezistor cu

rezistenţa electrică variabilă.

Calculaţi valoarea numărului 2n pentru care intensitatea curentului prin

circuitul exterior nu depinde de valoarea lui r .

Fig. II.21

Soluţie

Din teoremele lui Kirchhoff, 1 2I I I= + , 1 1 1I r IR= +E , ( )2 2 2I r r IR= + +E ,

unde 1 1n e=E , 2 2n e=E , 1 1 0r n r= şi 2 2 0r n r= , astfel că ( )( ) ( )

1 2 2 1

1 2 1 2

r r rI

r r r R r r r+ +

=+ + + +E E

.

Pentru ca I să nu depindă de r trebuie ca raportul coeficienţilor de la numărător şi

numitor ai lui r să fie egal cu raportul termenilor liberi, adică

( )1 1 2 0 2 1 0

21 0 1 2 0 0 1 2

n e n en r n en rn r R n n r Rr n n

+=

+ + +, de unde 1

21 0

8n Rnn r R

= =+

.

II.22. O baterie cu tensiunea electromotoare E şi rezistenţa electrică internă

r alimentează n rezistori identici, având fiecare rezistenţa electrică R. Câţi rezistori

trebuie grupaţi în serie şi câţi în paralel pentru ca, în ansamblul de rezistori astfel

conectaţi, căldura emisă, prin efect Joule, la trecerea curentului, să fie maximă ?

Soluţie

Dacă notăm numărul ramurilor prin nr, iar numărul rezistorilor grupaţi în

serie (figura II.22) de pe fiecare ramură – prin ns, numărul total de rezistori este egal

81

cu n = nr . ns.

Rezistenţa echivalentă a celor n rezistori este:

RnnR

r

sech = .

Curentul prin circuitul exterior este dat de:

ech

Ir R

=+

E .

Fig. II.22

Puterea debitată în cei n rezistori este:

( )

22

ech ech 2ech

P R I Rr R

= =+

E .

Din condiţia de maxim a puterii debitate prin efect Joule ech

d 0d

PR

= se

obţine:

( )ech max R r= , de unde

2

max 4

Pr

=E

şi în aceste condiţii: rRnn

Rrnn == rs ; .

82

II.23. Considerăm circuitul electric de curent staţionar din fig.II.23

Calculaţi intensităţile curenţilor prin fiecare ramură de circuit, tensiunile

electrice la bornele consumatorilor şi puterile electrice disipate.

Fig. II.23

Soluţie

Rezistenţa electrică totală a circuitului este:

Ω=+

++= 8032

3210 RR

RRRrR

În calculul curenţilor prin ramurile circuitului utilizăm legea lui Ohm şi

legile lui Kirchhoff:

1I R=

E = 1,5 A

⎩⎨⎧

=+=

3322

321

RIRIIII

→ ⎩⎨⎧

==

A 6,0A 9,0

3

2

II

Tensiunile electrice la bornele consumatorilor:

111 RIU = = 27 V; ==== 22AB32 RIUUU 90 V.

Căderea de tensiune pe rezistenţa electrică internă a sursei: == 010 rIU 3V.

Puterea electrică furnizată de sursă: == EIPs 1 180 W

Puterea disipată pe rezistenţa internă a sursei: == 010 UIP 4,5 W

Puterea electrică disipată de sursă în circuitul exterior:

=−= 0PPP s 175,5 W.

83

II.24. Se conectează n acumulatoare ca în fig. II.24, ns acumulatoare fiind

legate în serie şi s

p nnn = acumulatoare se conectează în paralel. Fiecare

acumulator are rezistenţa internă r şi tensiunea electromotoare E . La bornele

sistemului astfel format se conectează un rezistor de rezistenţă R.

Determinaţi numărul ns de acumulatoare legate în serie, pentru ca puterea

cedată de sistem rezistenţei R să fie maximă.

Calculaţi apoi valoarea acestei puteri.

Fig. II.24

Soluţie

Rezistenţa unei laturi pe care se află acumulatoare conectate în serie este nsr,

iar tensiunea electromotoare este ns E Astfel, prin fiecare latură trece curentul

electric de intensitate

InnI s=′

Teorema a doua a lui Kirchhoff, aplicată pe un ochi format din rezistenţa R

şi una din cele np laturi, conduce la:

s sRI n rI n′+ = E ,

de unde rezultă

2

s

s

nI rR nn

=+

E

Puterea cedată de cele n acumulatoare circuitului exterior va fi:

84

2

22

ss

P RI RR rnn n

= =⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

E .

Puterea debitată este maximă pentru nrn

nR

ss

= , de unde rezultă

rRnns = .

Puterea maximă cedată de sistemul de acumulatoare va fi:

2

max 4nP

r=

E .

II.6. Regimul tranzitoriu într-un circuit electric format din rezistori şi

condensatori

II.25. În circuitul din figura II.25 întrerupătorul K este închis la momentul

0t = .

Fig. II.25

Calculaţi:

a). constanta de timp a circuitului înainte de închiderea întrerupătorului şi

dependenţa de timp a sarcinii electrice înmagazinată în condensator;

b). constanta de timp a circuitului după închiderea întrerupătorului şi

dependenţa de timp a sarcinii electrice înmagazinată în condensator;

c). intensitatea curentului prin întrerupător în funcţie de timp după

închiderea acestuia.

85

Soluţie

a). Înainte de închiderea întrerupătorului, rezistorii 1R şi 2R sunt legaţi în

serie cu condensatorul, astfel că

( )ech 1 2R C R R Cτ = = + ,

iar dependenţa de timp a sarcinii electrice înmagazinată în condensator este egală cu

( ) ( )1 tq t C e τ= −E .

b). După închiderea întrerupătorului, circuitul RC este format din rezistorul

2R legat în serie cu condensatorul, astfel că

2' R Cτ = ,

iar dependenţa de timp a sarcinii electrice înmagazinată în condensator este egală cu

( ) '' tq t C e τ= E

c). Curentul electric care traversează întrerupătorul K este format din

curentul staţionar 1I ce parcurge circuitul din dreapta şi curentul variabil ce trece

prin circuitul RC din dreapta.

Expresiile intensităţilor celor doi curenţi electrici sunt

11

IR

=E ,

( ) 2'

2

d ''d '

t R Ctq CI t e et R

−− τ= = − = −τE E ,

unde semnul minus indică faptul că trecerea curentului se opune încărcării

condensatorului,

iar ( ) 21

1 2

' t R CI I I t eR R

−= + = +E E .

II.26. Un condensator cu capacitatea de 100 mF este legat în serie cu un

rezistor cu rezistenţa de 1 10R = Ω . Această combinaţie este legată în paralel cu un

alt rezistor cu rezistenţa de 2 25R = Ω . Ambele ramuri sunt legate la o baterie cu

86

tensiunea la borne de 4,5 V şi rezistenţa internă neglijabilă. În serie cu bateria mai

este legat şi un întrerupător K. La început condensatorul este complet descărcat.

a). Calculaţi constanta de timp în cele două ramuri ale circuitului când

întrerupătorul este închis.

b). Calculaţi valoarea maximă a sarcinii electrice de pe condensator când

întrerupătorul este închis.

c). Calculaţi momentul la care tensiunea electrică scade la valoarea de 1,5 V

pe rezistorul 1R , după închiderea întrerupătorului.

d). Calculaţi noua valoare a constantei de timp dacă întrerupătorul este

deschis şi stabiliţi sensul curentului în rezistorul 1R .

e). Dacă întrerupătorul se deschide când condensatorul este încărcat cu

sarcina maximă, după cât timp va rămâne pe condensator doar un singur electron?

f). Dacă întrerupătorul se deschide când condensatorul este încărcat cu

sarcina maximă, după cât timp tensiunea electrică pe rezistorul 2R va scădea la

valoarea de 1,5V?

Soluţie

a). Circuitul este reprezentat în figura II.26.

Fig. II.26

Alegem ochiul de reţea din figura II.26a, astfel că 1 1 1R Cτ = = s.

Fig. II.26a

87

b). Pentru a calcula sarcina maximă cu care se încarcă condensatorul

considerăm că t >> τ când nu mai circulă curent prin circuit şi 0,45q C= =E C.

c). Ştim că intensitatea curentului scade exponenţial, adică

( ) 11 1,max

tI t I e− τ= .

Deoarece condensatorul nu este încărcat electric la momentul iniţial,

circuitul din figura II.26a este analog cu un circuit de curent staţionar. Prin urmare,

intensitatea curentului prin rezistorul 1R are valoarea maximă în momentul

închiderii comutatorului, adică

11,max

1 1

0,45RUI

R R= = =

E A.

iar ( ) ( ) 1

1 1 1 1 1t

RU t R I t R I e− τ= = ,

de unde

11,5ln 1,14,5

t = −τ = s.

d). Conform figurii II.26b, circuitul conţine cei doi rezistori în serie şi

condensatorul astfel că

( )2 1 2 3,5R R Cτ = + = s.

e). Sarcina electrică de pe condensator depinde de timp după legea

( ) 2max

tq t q e− τ= . Din condiţia ca

2max

te q e− τ=

obţinem că

2max

ln 148,67s 2,48etq

⎛ ⎞= −τ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠min.

Fig. II.26b

88

f). În circuitul RC (fig. II.26b) tensiunea electrică pe rezistorul 2R scade în

timp conform relaţiei

( ) 2max

tU t U e− τ= ,

unde max 0 2 21 2

3,21U I R RR R

= = =+E V

şi apoi,

2max

ln 2,67UtU⎛ ⎞

= −τ =⎜ ⎟⎝ ⎠

s.

II.27. Condensatorul din circuitul din figura II.27 este format din două plăci

metalice pătrate de latură L , care se află în aer la distanţa d . Acesta este iniţial

încărcat la tensiunea electrică 0U .

a). Calculaţi capacitatea condensatorului.

Fig. II.27

b). Arătaţi că toată energia electrică înmagazinată în câmpul din condensator

se disipă prin rezistorul R după închiderea întrerupătorului K.

Soluţie

a). Capacitatea unui condensator plan este egală cu

0SCdε

= .

b). Energia înmagazinată iniţial în câmpul electric din condensator este egală

cu

20

12CW CU= .

89

După închiderea comutatorului K, la momentul 0t = , tensiunea electrică de

pe condensator scade conform relaţiei,

( ) 0 expCtU t U

RC⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

,

iar intensitatea curentului prin circuit este egală cu

( ) ( ) 0dexp

dCU t U ti t Ct R RC

⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦.

Energia disipată prin rezistenţa electrică la descărcarea condensatorului este

egală cu

( )2

2 200

0 0

2 1d exp d2R C

U tW i t R t t CU WR RC

∞ ∞ ⎡ ⎤= = − = =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ .

II.28. Un puls de tensiune de formă dreptunghiulară (figura II.28 b) este

aplicat la terminalul A al circuitului din figura II.28a. Ce semnal apare în B?

a b

Fig.II.28

Soluţie

Constanta de timp a circuitului este egală cu

310RC −τ = = s = 1 ms.

Potenţialele în punctele A şi B sunt egale cu

( ) ( )5 5 1AV u t u t= − −

şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 15 5 1 5 5 1t tt tBV e u t e u t e u t e u t− − τ − −− τ −= − − = − − ,

unde t se măsoară în ms.

În figura II.28c este reprezentată dependenţa lui BV de timp (în ms)

90

Fig.II.28c

II.29. În circuitul din figura II.29 condensatoarele sunt iniţial încărcate la

tensiunea 0V . La 0t = întrerupătorul este închis.

Deduceţi o expresie pentru potenţialul punctului A la un moment oarecare t .

Fig. II.29

Soluţie

Notăm cu 1U şi 2U tensiunile electrice de pe cele două condensatoare la

momentul t . Legile lui Kirchhoff şi ecuaţiilor condensatoarelor se scriu,

1 2 2 0i R i R U+ − = ; (1)

1 1 0i R U− = ; (2)

1 2 3 0i i i− + = ; (3)

22

ddUi Ct

= − ; (4)

şi 13

ddUi Ct

= . (5)

Din ecuaţiile (2) şi (5) rezultă că

91

13

ddii RCt

= .

Cu ajutorul ecuaţiilor (3) şi (4) putem scrie ultima ecuaţie sub forma

1 21

d d 0d di Ui RC Ct t

+ + = . (6)

Din ecuaţiile (1) şi (4) obţinem că

2 21

d 0d

U Ui CR t

= + = .

Înlocuind în (6) rezultă ecuaţia diferenţială de ordinul doi cu coeficienţi

constanţi,

2

2 2 22 2 2

d 3 d 0d dU U Ut RC t R C

+ + = ,

a cărui soluţie este

( ) ( )

2

3 5 3 5exp exp

2 2

t tU A B

RC RC

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

şi atunci

21 1 2

d 1 5 3 5 1 5 3 5exp expd 2 2 2 2UU i R U RC A t B tt RC RC

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − −= = + = − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦.

Utilizând condiţiile iniţiale ca la 0t = , ( ) ( )1 2 00 0U U U= = ± , obţinem că

2 0 05 3 5 3 5 5 3 5 3 5exp exp

10 2 2 2AU U U t U tRC RC

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + −= = ± − ± − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

00,38 2,621,17exp 0,17expt t URC RC

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ± − − −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠.

II.30. Un condensator cu capacitatea 15C = μF este încărcat la tensiunea

800U = V şi apoi descărcat pe un rezistor cu rezistenţa electrică 8 MR = Ω .

Calculaţi intervalul de timp în care sarcina electrică de pe armătura pozitivă

scade la 10% din valoarea iniţială.

92

Soluţie

Rezistorul este conectat la capetele condensatorului la momentul 0t = .

Variaţia în timp a sarcinii electrice de pe armătura pozitivă este dată de relaţia

( ) 0 exp tq t qRC

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦,

adică

( )

0 expq tq t RC

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦,

iar ( )

0ln q tq t RC

= ,

de unde

( )

0ln 276,3qt RCq t

= = s,

dacă ( )0

0,1q tq

= .

II.31. Un circuit de curent staţionar este format din două ochiuri şi trei

laturi. Prima latură conţine o baterie cu tensiunea electromotoare E şi rezistenţa

internă 1R şi un comutator deschis K. A doua ramură conţine un rezistor cu

rezistenţa 2R şi un condensator neîncărcat cu capacitatea C . A treia ramură conţine

un rezistor cu rezistenţa 3R .

a). Întrerupătorul este închis la momentul 0t = . Calculaţi dependenţa de

timp a sarcinii electrice cu care se încarcă condensatorul.

b). Repetaţi calculul dacă iniţial condensatorul era încărcat cu sarcina 0q .

Soluţie

Circuitul electric este reprezentat în figura II.31.

Conform teoremelor lui Kirchhoff,

93

1 1 3IR I R= +E

şi 1 2 2qIR I RC

= + +E .

Dar,

Fig. II.31

2ddqI Aq Bt

= = − + ,

unde

( )

1 3

1 2 2 3 3 1

R RAR R R R R R C

+=

+ +, iar 3

1 2 2 3 3 1

RBR R R R R R

=+ +

E .

Integrând ecuaţia diferenţială în q rezultă

At Bq DeA

−= + ,

constanta D fiind determinată din condiţiile iniţiale.

a). Dacă, ( )0 0q = , rezultă că BDA

= − şi

( ) ( )3 1 3

1 3 1 2 2 3 3 1

1 1 expAtB R C R Rq e tA R R R R R R R R C

−⎛ ⎞⎡ ⎤+

= − = − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

E .

b). Dacă, ( ) 00q q= , rezultă că 0BD qA

= − , iar

( )3 3 1 3

0 01 3 1 3 1 2 2 3 3 1

expAtB B R C R C R Rq q e q tA A R R R R R R R R R R C

− ⎡ ⎤⎛ ⎞ +⎛ ⎞= + − = + − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ + + + +⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

E E .

94

III. Câmpul magnetic

III.1. Forţa electromagnetică

III.1. Într-o regiune din spaţiu acţionează un câmp electric de intensitate,

yx uuE 32 −= (V/m) simultan cu un câmp magnetic de inducţie

zyx uuuB 334 ++= (T).

Calculaţi forţa care acţionează asupra unei sarcini electrice q = 1 nC aflată în

această regiune, în momentul în care viteza sarcinii este egală cu yx uuv 2+= (m/s).

Soluţie

Conform relaţiei de definiţie, forţa electromagnetică,

( )F q E v B= + × =

( ) ( )2 3 2 4 3 3x y x y x y zq u u u u u u u⎡ ⎤= − + + × + + =⎣ ⎦

( )zyx uuu 56810 9 −−= − (N).

III.2. Printr-un conductor liniar cu lungimea de 0,2 m trece un curent

electric de intensitate 7 A. Conductorul se află într-un spaţiu în care acţionează un

câmp magnetic cu inducţia egală cu 0,1 T a cărui direcţie face un unghi de 20˚ cu

direcţia de curgere a curentului electric.

a). Determinaţi direcţia forţei cu care câmpul magnetic acţionează asupra

curentului electric.

b). Calculaţi modulul forţei.

c) Cum puteţi maximiza valoarea forţei fără a modifica intensitatea

curentului şi inducţia câmpului magnetic?

95

Soluţie

a). Forţa are direcţia perpendiculară pe planul format de direcţia vectorului

inducţie

magnetică şi direcţia de curgere a curentului electric, iar sensul este dat de regula

burghiului.

b). sin 0,05F BIl= α = N.

c). Aşezând conductorul perpendicular pe direcţia vectorului inducţie

magnetică, adică maximizând pe sin sin90 1α = =o .

III.3. Printr-un fir de cupru cu diametrul d trece un curent electric cu

densitatea J . Firul se află la ecuator unde câmpul magnetic pământesc este

orizontal, orientat spre nord şi are modulul egal cu 55 10B −= ⋅ T. Firul se află într-un

plan paralel cu suprafaţa Pământului şi este orientat astfel încât curentul să curgă

spre est. Densitatea cuprului este egală cu 38,9 10mρ = ⋅ kg/m2, iar rezistivitatea

acestuia este egală cu 81,7 10−ρ = ⋅ Ω m. ( 9,8g = m/s2)

a) Calculaţi valoarea densităţii de curent astfel ca firul să rămână suspendat

în aer.

b). Calculaţi puterea electrică disipată într-un cm3 de conductor atunci când

firul pluteşte în aer.

Soluţie

a). Din condiţia de echilibru dintre masă şi forţa electromagnetică,

mg BIl= ,

adică mlSg BJSlρ = ,

rezultă

817,444 10mgJBρ

= = ⋅ A/m2

b). 2

2 951,7 10JJ E J= ⋅ = = ρ = ⋅σ

P W/m3.

96

III.4. Un circuit de forma unui semicerc de rază R , ca cel din figura III.4,

este parcurs de un curent de intensitate I . Circuitul se află într-un câmp magnetic de

inducţie B orientat perpendicular pe latura liniară a circuitului şi în planul acestuia.

Calculaţi forţa de interacţiune dintre câmpul magnetic exterior şi curentul

electric din laturile dreaptă şi respectiv curbă ale circuitului.

Fig. III.4

Soluţie

Alegând axele Ox şi Oy ca în figura III.4, vectorul B Bj= . Prin urmare

forţa de interacţiune dintre câmpul magnetic şi curentul electric din latura dreaptă, a

cărui lungime este 2l Ri= , va fi

( )1 2 2F I Ri Bj IRBk= × = ,

unde versorul k este orientat perpendicular pe planul foii şi iese din aceasta.

Pentru calculul forţei 2F de interacţiune dintre câmpul magnetic şi curentul

electric din latura curbă alegem pe semicerc un element de lungime,

( )d d d sin cosl l u R i jθ= = θ − θ + θ ,

astfel că forţa cu care câmpul magnetic acţionează asupra acestui element de curent

este

( )2d d d sin cos sin dF I l B IR i j Bj IBR k= × = θ − θ + θ × = − θ θ ,

97

iar forţa totală care acţionează asupra semicercului este

20

sin d 2F IBRk IBRkπ

= − θ θ = −∫ .

Forţa care acţionează asupra întregului circuit va fi

1 2 2 2 0F F F IBRk IBRk= + = − = .

Am obţinut că forţa electromagnetică care acţionează asupra curentului

dintr-un circuit închis este nulă.

III.5. O bară cu masa m şi raza R este montată pe două şine paralele de

lungime a separate prin distanţa l ca în figura III.5a. Prin bară trece un curent

electric de intensitate I , iar întregul sistem se află într-un câmp magnetic uniform

de inducţie B care intră în foaie. Iniţial bara se află în repaus.

Calculaţi viteza barei când aceasta părăseşte şinele.

a b

Fig. III.5

Soluţie

Utilizând sistemul de coordonate din figura III.5b, forţa cu care câmpul

magnetic acţionează asupra barei are expresia

( ) ( )=emF Il B I lk Bi IlBj= × − × − = .

Lucrul mecanic efectuat de forţa electromagnetică asupra barei este egal cu

dem emL F l F a IlBa= ⋅ = =∫ .

98

Conform legii de variaţie a energiei cinetice

212cL E mv= Δ = ,

adică

212

IlBa mv= ,

de unde viteza barei este

2IlBavm

= .

III.6. O bară conductoare cu densitatea de masă liniară λ (kg/m) este

suspendată prin două fire flexibile într-un câmp magnetic uniform de inducţie B

care iese din foaie ca în figura III.6a.

Calculaţi intensitatea curentului electric şi sensul de parcurgere al acestuia

dacă tensiunea mecanică din fire este nulă.

a b

Fig. III.6

Soluţie

Alegem sistemul de axe de coordonate din figura III.6b. Pentru ca tensiunea

mecanică din fire să fie nulă trebuie ca forţa electromagnetică emF Il B= × care

acţionează asupra conductorului să echilibreze greutatea G mgk= − .

99

Calculăm forţa electromagnetică

( ) ( )emF Il B I lj Bi IlBk= × = − × = ,

iar din condiţia ca 0emF G+ = rezultă că

mg gIBl B

λ= = .

III.2. Mişcarea unei sarcini electrice în câmp magnetic uniform

III.7. Un electron se deplasează printr-o zonă în care acţionează un câmp

magnetic de inducţie B Bk= , orientat de-a lungul axei Oz. La momentul iniţial,

electronul se află în originea axelor de coordonate cu viteza iniţială 0v conţinută în

planul xOz, unghiul dintre vectorii B şi 0v fiind egal cu 0α .

Electronul descrie o mişcare elicoidală cu diametrul d şi pasul h .

a). Scrieţi ecuaţiile parametrice ale traiectoriei electronului.

b) Calculaţi valoarea vitezei iniţiale în cazul numeric, 5B = mT, 80d = mm,

200h = mm. Se cunosc pentru electron, masa de repaus 319,1 10m −= ⋅ kg şi sarcina

electrică 191,6 10e −= ⋅ C.

Soluţie

a). Ecuaţia de mişcare a electronului în câmp magnetic are expresia

( )mv e v B= × ,

ale cărei proiecţii pe axele de coordonate sunt

mx eyB=&& & , (1)

my exB= −&& & , (2)

0mz =&& (3)

Integrăm mai întâi ecuaţia (3) şi obţinem soluţia

0 0cos const.z v= α =&

şi după încă o integrare,

0 0 1cos +C .z v t= α

100

Din condiţiile iniţiale, la 0t = , 0z = , astfel că şi 1C 0= .

Deci,

0 0cos .z v t= α (4)

Pentru integrarea ecuaţiilor (1) şi (2) înmulţim ecuaţia (2) cu 1i = − şi

adunăm cele două ecuaţii:

( )eBx iy y ixm

+ = −&& && & & ,

adică

( ) ( )d 0d

eBx iy i x iyt m

+ + + =& & & & ,

sau

( )dd

x iy eBi tx iy m+

= −+& &

& &, (5)

ecuaţie care are soluţia

2 2C exp C cos sineB eB eBx iy i t t i tm m m

⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ = − = −⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠& & .

Identificând părţile reală şi imaginară obţinem că

2C cos eBx tm

=& şi 2C sin eBy tm

=& .

Conform condiţiilor iniţiale, la 0t = , 0 0sinx v= α& , astfel că 2 0 0C sinv= α ,

iar

0 0sin cos eBx v tm

= α& ,

şi 0 0sin sin eBy v tm

= α& .

Integrăm ultimele două ecuaţii şi rezultă

00 3sin sin Cmv eBx t

eB m= α +

şi 00 4sin cos Cmv eBy t

eB m= α + .

Conform condiţiilor iniţiale, la 0t = , 0x y= = , astfel că 3C 0= şi

101

04 0C sinmv

eB= − α .

Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei electronului în câmp magnetic sunt

00sin sinmv eBx t

eB m= α , (6a)

00sin cos 1mv eBy t

eB m⎛ ⎞= α −⎜ ⎟⎝ ⎠

, (6b)

0 0cos .z v t= α (6c)

b). Punem condiţia ca 0x = pentru a determina momentele de timp la care

traiectoria intersectează planul yOz, adică

sin 0eB tm

= , sau keB t km

= π , unde 0,1,2k = K , iar

kmt k

eBπ

= .

Atunci, coordonatele acestor puncte de intersecţie sunt

( )00 0 0

0, parsin cos 1 2 sin- , impark

kmvy k mveB k

eB

⎧⎪= α π− = ⎨ α⎪⎩

şi 00cosk

mvz keB

= π α , pentru k par.

Pasul mişcării elicoidale este egal cu

00 02 cosmvz

eB= π α , (7)

iar raza cercului descris în planul xOy este egal cu

max 0 0sin2

y mvReB

α= = . (8)

În cazul numeric considerat, din relaţia (8),

0 0sin2 2 mvd ReB

α= = ,

iar pasul,

002 cosmvh

eB= π α .

102

Înlocuind în identitatea trigonometrică

2 20 0sin cos 1α + α = ,

rezultă

2

2 70 2 4,5 10

2eB hv dm

= + = ⋅π

m/s.

III.8. Într-un câmp magnetic cu inducţia 0,1B = T se deplasează un electron

pe o traiectorie circulară. Calculaţi intensitatea curentului circular echivalent

electronului în mişcare. Pentru electron: 191,6 10e −= ⋅ C şi 319,1 10m −= ⋅ kg.

Soluţie

La mişcarea pe un cerc, 2mv evB

r= , de unde raza mvr

eB= .

Intensitatea curentului electronic,

2

1144,8 102 2

e ev e BIT r m

−= = = = ⋅π π

A.

III.9. Un electron cu masa m şi sarcina electrică e se deplasează printr-o

zonă în care este aplicat un câmp magnetic de inducţie B . Alegem sistemul de

coordonate astfel încât axa Oz să fie paralelă cu vectorul B . La momentul iniţial

electronul să se afle în originea axelor de coordonate, având viteza iniţială 0v ,

conţinută în planul xOz, iar unghiul dintre vectorii B şi 0v este egal cu 0α .

Deduceţi ecuaţia traiectoriei electronului şi coordonatele punctelor de

intersecţie ale traiectoriei electronului cu planul yOz.

Soluţie

Ecuaţia de mişcare a electronului în câmp magnetic are expresia:

Bvevm ×=& ,

103

ale cărei proiecţii pe axele de coordonate (fig. III.9), sunt

Byexm &&& = ; (1)

Bxeym &&& −= ; (2)

0=zm && . (3)

Integrăm mai întâi ec. (3) şi obţinem soluţia:

.constcos 00 =α= vz&

Fig. III.9

şi integrând încă o dată:

100 cos Ctvz +α= .

Dar, din condiţiile iniţiale, la t = 0, z = 0, astfel că 01 =C , deci:

00 cosα= tvz . (4)

Pentru integrarea ec. (1) şi (2) înmulţim ec. (2) cu 1−=i şi o adunăm cu

ec. (1), adică:

( )xiymeByix &&&&&& −=+ ,

ecuaţie care mai poate fi scrisă şi sub forma:

( ) ( ) 0dd

=+++ yixmeBiyix

t&&&& ,

adică:

( )( ) t

mieB

yixyix dd

−=++&&

&&. (5)

Prin integrarea ecuaţiei (5) rezultă ecuaţia:

104

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−=+ t

meBit

meBCt

mieBCyix sincosexp 22&& .

Identificând părţile reală şi imaginară din ultima ecuaţie rezultă:

tmeBCx cos2=& ,

tmeBCy sin2−=& .

Ţinând cont de condiţia iniţială, ca la t = 0 să rezulte 00 sinα= vx& , adică

002 sinα= vC , urmează că:

tmeBvx cossin 00 α=&

şi: tmeBvy sinsin 00 α−=& .

Integrăm ultimele două ecuaţii şi obţinem soluţiile:

300 sinsin Ct

meB

eBmvx +α=

şi: 400 cossin Ct

meB

eBmvy +α= .

Aplicând condiţiile iniţiale ca la t = 0 să avem x = y = 0, rezultă că 03 =C şi

00

4 sinα−=eB

mvC .

Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei electronului în câmp magnetic vor fi:

tmeB

eBmvx sinsin 0

0 α= (6a)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −α= 1cossin 0

0 tmeB

eBmvy (6b)

00 cosα= tvz (6c)

Pentru a afla coordonatele punctelor de intersecţie ale traiectoriei

electronului cu planul yOz punem condiţia ca x = 0, care este satisfăcută pentru:

( )K2,1,0=π= kktmeB , de unde

eBmktkπ

= .

Atunci

105

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

α−

=−πα= impar,sin2par,0

1cossin 0000

keB

mvk

keB

mvyk ,

iar

parpentru,cos 00 k

eBmvkzk απ=

Pasul mişcării elicoidale este dat de expresia:

00

0 cos2 απ=eB

mvz , (7)

iar raza cercului descris în planul xOy este egală cu:

eB

mvyr 00max sin

2α

== . (8)

III.10. Un ion cu masa m şi sarcina electrică q este lăsat liber într-un punct

de coordonate ( )0, ,0b într-un câmp electromagnetic uniform definit prin vectorii

3E Ai= şi 5 AB kc

=

în unităţi SI.

Calculaţi intervalul de timp după care ionul se întoarce pe axa Oy .

Soluţie

Ecuaţia de mişcare a ionului sub acţiunea forţei Lorentz se scrie,

( )mr q E r B= + ×&& & ,

care are componentele

3 5 Amx Aq qyc

= +&& & , (1)

5 Amy qxc

= −&& & , (2)

şi 0mz =&& . (3)

106

Integrăm ecuaţia (3) cu condiţiile iniţiale, 0 0tz = = şi 0 0tz = =& şi rezultă

0z = .

Integrând ecuaţia (2) cu condiţiile iniţiale, 0 0tx = = şi 0 0ty = =& obţinem că

5Aqy xmc

= −& . (4)

Din (4) şi (1) rezultă

2 25 3 0

25Aq mcx x

mc Aq⎛ ⎞⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠&& .

Cu condiţia iniţială 0 0tx = =& obţinem că

( )23 1 cos

25mcx t

Aq= − ω ,

unde 5Aqmc

ω= .

Observăm că 0x = la 2 25

n mct nAq

π π= =

ω.

Intervalul de timp căutat se obţine pentru 1nΔ = , adică

25

mcAqπ

τ = .

III.11. Un câmp magnetic poate anula curentul electric printr-o diodă.

Considerăm un câmp magnetic uniform ( )00,0,B B care umple spaţiul dintre doi

conductori infiniţi cuprinşi în planul 0y z . Catodul se află în 0x = şi anodul în

x d= . Anodul diodei este legat la potenţialul pozitiv 0V . Electronii părăsesc catodul

cu viteza nulă şi densitatea lor de sarcină generează un câmp electric neuniform a

cărei intensitate are componentele ,0,0Ex

∂Φ⎛ ⎞−⎜ ⎟∂⎝ ⎠.

a). Ce mărimi rămân constante în timpul mişcării electronilor, în condiţii de

staţionaritate?

107

b). Calculaţi inducţia câmpului magnetic care poate întoarce electronii

înainte de a ajunge la anod.

Efectul greutăţii este neglijabil.

Soluţie

a). Neglijând efectul greutăţii, ecuaţia de mişcare a unui electron se scrie,

0dd

xy

vm e v Bt x

∂Φ⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠, (1)

0

dd

yx

vm ev B

t= , (2)

d 0d

zvmt= . (3)

a). După integrarea ecuaţiei (3) obţinem că

( ) ( )0 0z zv t v t= = =

şi ( ) ( )0 const.z t z t= = =

Am obţinut că viteza şi coordonata electronului pe direcţia 0z (în particular,

viteza este nulă) sunt constantele mişcării.

b). Lucrul mecanic efectuat de câmpul electric pentru a deplasa electronul de

la catod la anod este egal cu

00

dd

L e x eVx

∂Φ⎛ ⎞= − − − =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ,

deoarece câmpul magnetic nu efectuează lucru mecanic. Când electronul ajunge la

anod, viteza sa f fx fyv v i v j= + se poate deduce din teorema de variaţie a energiei

cinetice,

20

12 fmv eV= ,

adică 02f

eVvm

= .

Pentru ca electronii să nu atingă anodul trebuie ca

108

0fxv = şi 02fy

eVvm

= .

Scriem ecuaţia (2) sub forma,

0

d dd d

yv xm eBt t= ,

astfel că după integrare în cei doi membri ai ecuaţiei, cu condiţia iniţială ca la 0t = ,

0x = şi 0fyv = , rezultă că

00

2eVm eB dm

= ,

de unde 00

1 2mVBd e

= .

Prin urmare, inducţia magnetică trebuie să fie mai mare ca 01 2mVd e

pentru ca electronii să fie reflectaţi înainte de atingerea anodului.

III.3. Formula lui Biot şi Savart. Legea circuitului magnetic

III.12. O spiră circulară cu raza R = 100 mm este parcursă de un curent

electric cu intensitatea I = 1 A.

Determinaţi expresia inducţiei câmpului magnetic creat:

a) pe axa spirei, la distanţa b = 100 mm de centrul său;

b) în centrul spirei.

Soluţie

a) Conform legii Biot-Savart, în punctul A (fig.III.12) inducţia câmpului

magnetic produs de elementul de circuit de lungime dl, este egală cu:

30 d

4d

rrlIB ×

πμ

= , unde rlrl dd =× , întrucât rld ⊥ .

Proiecţia pe axa Oz a inducţiei magnetice elementare este:

0 02 2

d dd cos sin4 2 4z

I l I lBr r

μ π μ⎛ ⎞= −θ = θ⎜ ⎟π π⎝ ⎠.

109

Fig. III.12

Inducţia câmpului magnetic produs în punctul A de întreaga spiră va fi egală

cu:

( )T1022,2

22

4

d

4dsin

4

63

22

20

3

20

2

02

02

0

−

π

⋅=+

μ=π⋅

πμ

=

ϕ

πμ

=θ

πμ

= ∫∫

zz

zz

ubR

RIurRI

r

RrR

uIr

luIB,

şi va fi orientată de-a lungul axei Oz, celelalte componente anulându-se.

b) În centrul spirei, b = 0, deci:

T1028,62

60 −⋅=μ

= zuRIB .

III.13. Prin conductorul din figura III.13 trece un curent electric de

intensitate 40I = A ( 2r = cm, 90α = o ).

Calculaţi inducţia magnetică în centrul O al arcului de cerc.

( 74 10−μ = π⋅ H/m).

Fig. III.13

110

Soluţie

Inducţia magnetică în centrul unei spire circulare are expresia

0

2IBr

μ= .

Astfel, inducţia magnetică a câmpului generat de curentul electric dintr-un

conductor sub forma unui arc de cerc cu unghiul la centru 2π−α va fi egală cu

( ) 0 40 22 3 102 2 4

IIBr r

−π −α μπ−α μ= ⋅ = = π⋅

π πT.

III.14. Circuitul din figura III.14 este parcurs de un curent electric de

intensitate 1I = A. Acesta este format din două arce de cerc unite prin doi

conductori radiali. Razele celor două arce de cerc sunt 1 1r = cm şi respectiv

2 2r = cm.

Calculaţi inducţia câmpului magnetic generat în centrul O comun al celor

două arce de cerc. ( 74 10−μ = π⋅ H/m).

Fig. III.14

Soluţie

În punctul O se suprapun câmpurile magnetice generate de curenţii electrici

din cei doi conductori de forma unor arce de cerc, adică

50 0 0

1 2 1 2

33 1 72 2 10

2 2 2 2 8 4I I IB

r r r r−

π π⎛ ⎞μ μ μ π

= ⋅ + ⋅ = + = ⋅⎜ ⎟π π ⎝ ⎠T.

111

III.15. Două fire conductoare lungi, paralele cu axa Oy, se află în planul

xOy. Unul din fire coincide cu axa Oy, iar celălalt trece prin punctul de coordonate

20x = cm, 0y z= = . Ambele conductoare sunt parcurse de curenţi electrici de

intensitate 5I = A în sensul pozitiv al axei Oy.

Calculaţi inducţia câmpului magnetic generat în punctul de coordonate

30x = cm, 0y z= = .

Soluţie

În figura III.15 sunt reprezentaţi curenţii electrici şi vectorii inducţie

magnetică. Vectorul inducţie magnetică totală a câmpurilor generate de cei doi

curenţi electric este egal cu

60 13,3 102 0,3 0,1

I k kB k−⎛ ⎞μ − −= + = − ⋅⎜ ⎟π ⎝ ⎠

(T).

Fig. III.15

III.16. Un conductor liniar foarte lung are forma unui cilindru cu raza R .

Prin conductor trece un curent cu intensitatea constantă I , ca în figura III.16.

112

Deduceţi expresia inducţiei câmpului magnetic: a) în interiorul şi b) în

exteriorul conductorului. Reprezentaţi grafic funcţia ( )B r .

Fig. III.16

Soluţie

a). Desenăm în interiorul conductorului, într-un plan perpendicular pe axa

cilindrului, un cerc de rază <r R , concentric cu cercul de rază R .

Intensitatea curentului care traversează cercul de rază r este proporţională

cu aria cercului de rază r , adică

2 2

int 2 2r rI I IR R

⎛ ⎞π= =⎜ ⎟π⎝ ⎠

.

Conform legii lui Ampére,

2

0 2d rB l IR

⋅ = μ∫ ,

sau 2

int 0 22 rrB IR

π = μ ,

de unde

0int 22

IB rR

μ=

π.

b). Desenăm în exteriorul conductorului, într-un plan perpendicular pe axa

cilindrului, un cerc de rază >r R , concentric cu cercul de rază R . În acest caz,

întregul curent de intensitate I traversează suprafaţa cercului de rază r .

Conform legii lui Ampére,

0dB l I⋅ = μ∫ ,

113

sau ext 02 rB Iπ = μ ,

de unde

0ext 2

IBr

μ=

π.

În figura III.16 a este reprezentată grafic funcţia ( )B r .

Fig. III.16a

III.17. Deduceţi expresia inducţiei câmpului magnetic, în funcţie de I , a şi

b , în originea axelor de coordonate O, generat de bucla de curent electric din figura

III.17. Conductorii verticali se întind până la infinit, iar axa Oz iese din pagină. Ce se

întâmplă dacă 0a → ?

Fig.III.17

Soluţie

Curentul electric I ce străbate un segment de circuit generează în punctul P

din figura III.17a un câmp magnetic de inducţie

114

( )01 2cos cos

4IBr

μ= θ + θ

π,

unde 1θ şi 2θ sunt unghiurile care definesc lungimea segmentului de conductor.

Fig. III.17a

La valoarea inducţiei magnetice în punctul O contribuie câmpurile generate

de cei trei conductori:

(a). Conductorul vertical din stânga, care este definit de valorile cosinusului

unghiurilor, 1cos 1θ = şi 2 2 2cos b

a bθ = −

+. Astfel, în acest caz,

( )0 01 1 2 2 2

cos cos 14 4

I I bBa a a b

⎛ ⎞μ μ= θ + θ = −⎜ ⎟π π +⎝ ⎠

.

Direcţia lui 1B este dinspre pagină spre observator.

(b) Conductorul orizontal este definit de valorile cosinusului unghiurilor,

1 2 2cos a

a bθ =

+ şi 2 1 2 2

cos cos aa b

θ = θ =+

. Astfel,

( )0 0 02 1 2 2 2 2 2 2 2

cos cos4 4 2

I I a a IaBb b a b a b b a b

⎛ ⎞μ μ μ= θ + θ = + =⎜ ⎟π π + + π +⎝ ⎠

.

Direcţia lui 2B este de la observator spre pagină.

(c) Al doilea conductor vertical, din dreapta figurii, este definit prin aceleaşi

valori ale cosinusului unghiurilor, astfel că

3 1B B=

şi este orientat tot dinspre pagină spre observator.

Inducţia câmpului magnetic din punctul O este egală cu

115

0 01 2 3 1 3 2 2 2 2

2 2 14 2

I b IaB B B B B B k ka a b b a b

⎛ ⎞μ μ= + + = + = − − =⎜ ⎟π + π +⎝ ⎠

( )2 2 2 202 22

I b a b b a kab a bμ

= + − −π +

.

Observăm că dacă 0a → dispare segmentul de conductor orizontal şi în O

inducţia câmpului magnetic se anulează.

III.18. Un conductor de lungime foarte mare are forma unui ac de păr

(figura III.18).

Calculaţi inducţia câmpului în punctul P aflat în centrul semicercului.

Fig. III.18

Soluţie

Împărţim conductorul în trei părţi: două drepte semiinfinite şi un semicerc.

Primul conductor semiinfinit se întinde de la ( ) ( ), ,x y r= −∞ − la ( )0, r− ,

astfel că unghiurile 1θ şi 2θ au valorile cosinusurilor, 1cos 1θ = şi 2cos 0θ = , iar

( ) ( )0 0 01 1 2cos cos 1 0

4 4 4I I IBr r r

μ μ μ= θ + θ = + =

π π π.

Direcţia şi sensul vectorului 1B este perpendicular pe foaie după versorul

k+ .

Pentru segmentul semicircular utilizăm legea lui Biot şi Savart,

0

0 02 2

0 00

d4 4

rI IB lr r

πμ μ= =

π ∫ .

116

Direcţia şi sensul vectorului 2B este perpendicular pe foaie după versorul

k+ .

Pentru al treilea conductor, liniar şi semiinfinit, care se întinde de la

( ) ( ), 0,x y r= + la ( ), r−∞ + , astfel că unghiurile 1θ şi 2θ au valorile cosinusurilor,

1cos 1θ = şi 2cos 0θ = , iar

03 1 4

IB Br

μ= =

π.

Direcţia şi sensul vectorului 3B este tot perpendicular pe foaie după versorul

k+ .

Prin urmare,

( )01 2 3 2

4IB B B B kr

μ= + + = + π

π.

III.19. Un cilindru conductor din cupru este gol în interior ca cel din figura

III.19. Razele cilindrilor interior şi exterior sunt a şi respectiv b . Prin conductor

trece un curent electric de intensitate I .

Fig. III.19

Calculaţi:

a) inducţia câmpului magnetic în exteriorul cilindrului pentru r b> ;

b). inducţia câmpului magnetic în interiorul cilindrului pentru r a< ;

c). inducţia câmpului magnetic în interiorul conductorului pentru a r b< < ;

d). Reprezentaţi grafic dependenţa lui B de r pentru intervalul [ ]0,4r b∈ .

117

Soluţie

a). În exteriorul cilindrului, unde r b≥ , bucla amperiană de forma unui cerc

înconjoară complet curentul electric. Prin urmare, aplicând legea lui Ampère

obţinem că

3 3 3 0d d 2B l B l B r I⋅ = = π = μ∫ ∫ ,

de unde în exteriorul conductorului,

03 2

IBr

μ=

π.

b). În interiorul cilindrului, unde r a≤ , intensitatea curentului electric care

străbate bucla amperiană este nulă astfel că din legea lui Ampère

1 1d 2 0B l B r⋅ = π =∫ ,

de unde în interiorul cilindrului,

1 0B = .

c). În interiorul conductorului în care a r b< < , intensitatea curentului

electric care străbate bucla amperiană este proporţională cu aria acesteia, adică

( )( )

2 2 2 2

buclă 2 22 2

r a r aI I Ib ab a

π − −= =

−π −,

iar conform legii lui Ampère

2 2

2 2 2 0 2 2d d 2 r aB l B l B r Ib a−

⋅ = = π = μ−∫ ∫ ,

de unde în interiorul conductorului,

( )( )

2 20

2 2 22

I r aB

r b a

μ −=

π −.

d). Conform rezultatelor de la punctele precedente, pentru

r a≤ , 1 0B = ;

a r b< < , ( )( )

2 20

2 2 22

I r aB

r b a

μ −=

π −;

r b≥ , 03 2

IBr

μ=

π.

118

În figura III.19a este reprezentată funcţia ( )rB în intervalul [ ]0,4r b∈ .

Fig. III.19a

III.20. Considerăm porţiunea de circuit electric din figura III.20, format din

două segmente radiale şi două segmente circulare cu centrul comun în punctul P.

Razele celor două segmente circulare sunt egale cu 1a = cm şi respectiv 2b = cm,

iar 3π

θ = rad. Porţiunea de circuit din figură este străbătută de un curent electric de

intensitate 1I = A.

Calculaţi valoarea inducţiei câmpului magnetic din punctul P. Se cunoaşte 7

0 104 −⋅π=μ H/m.

Fig. III.20

119

Soluţie

În punctul P generează câmp magnetic doar curenţii electrici ce străbat

arcele de cerc. Inducţia câmpului magnetic generat de curentul electric care străbate

un conductor de forma unui arc de cerc cu raza r şi unghi la centru θ este egală cu

0 0

2 2 4I IBr r

μ θ μ θ= ⋅ =

π π,

astfel că în P inducţia magnetică este egală cu

50P

1 1 10 5,234 6

IBa b

−μ θ π⎛ ⎞= − = ⋅ = μ⎜ ⎟π ⎝ ⎠T.

III.21. Un circuit închis, parcurs de un curent electric de intensitate I,

conţine un segment rectiliniu de lungime 2a. Punctul P este situat pe perpendiculara

ce trece prin mijlocul segmentului, la distanţa b de segment.

Găsiţi expresia inducţiei câmpului magnetic generat în punctul P de curentul

electric care străbate segmentul de lungime 2a şi particularizaţi rezultatul obţinut

pentru cazul în care ∞→a .

Soluţie

Conform legii lui Biot şi Savart, inducţia câmpului magnetic generat în

punctul P de elementul de circuit dx (fig. III.21) este egală cu:

30 d

4d

rrlIBP

×π

μ= ,

unde dl = dx, 22 bxr += , rb

=θsin , iar xbxrbrxrrl dddsind ==θ=× .

Inducţia câmpului magnetic produs de segmentul de lungime 2a va fi egală

cu:

( )∫

− +πμ

=a

a bx

xbIB322

0P

d4

.

120

Pentru rezolvarea integralei facem schimbarea de variabilă: α= tgbx şi

atunci, αα

= dcos

d 2bx .

Fig. III.21

Astfel,

( )∫

α

α− +αα

απ

μ=

0

032222

0P

tgcos

b4 bb

dIbB ,

unde baarctg0 =α .

Deci:

22

00

00P 2

sin2

dcos4

0

0 ba

abI

bI

bIB

+⋅

πμ

=απμ

=ααπμ

= ∫α

α−

.

Pentru ∞→a , bI

abb

IBa

Pa π

μ=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+π

μ=

→∞→∞ 212

limlim 0

2

20 .

III.22. Prin doi conductori paraleli foarte lungi trece câte un curent electric

de intensitate I . Conductorii sunt paraleli cu axa 0x (figura III.22).

a). Reprezentaţi grafic liniile de câmp magnetic în planul 0y z ;

121

b). Calculaţi distanţa d de pe axa 0z la care inducţia câmpului magnetic

este maximă.

Fig. III.22

Soluţie

a). Liniile de câmp magnetic sunt reprezentate în figura III.22a. Menţionăm

că ambii curenţi electrici intră în foaie.

Fig. III.22a

b). Conform legii lui Ampére, inducţia magnetică a câmpului generat de

curentul din conductorul din stânga figurii III.23 în punctul de coordonate ( )0,0, z

are expresia

0 01 2 22 2

I IBr a z

μ μ= =

π π +.

Curentul fiind orientat spre x negativ, direcţia vectorului inducţie magnetică

este dat de produsul vectorial

122

( ) ( ) ( )1 cos sin sin cosi r i j k j k− × = − × θ + θ = θ − θ .

Astfel,

( )01 2 2

sin cos .2

IB j ka zμ

= θ − θπ +

Inducţia câmpului magnetic generat de curentul din conductorul din dreapta

figurii este egală cu cea generată de curentul din stânga, adică 1 2B B= . Direcţia

acestuia diferă însă, adică este dată de produsul vectorial

( ) ( ) ( )2 cos sin sin cosi r i j k j k− × = − × − θ + θ = θ + θ .

Prin urmare,

( )02 2 2

sin cos .2

IB j ka zμ

= θ + θπ +

Inducţia magnetică totală în punctul de coordonate ( )0,0, z (figura III.22b)

este egală cu

( )0 0

1 2 2 22 2

sinI IzB B B j ja za z

μ θ μ= + = =

π +π +.

Fig. III.22b

Condiţia de maxim pentru inducţia magnetică se scrie

( ) ( )

2 2 20 0

2 22 2 2 2 2 2

d 1 2 0dB I z I a zz a z a z a z

⎛ ⎞μ μ −⎜ ⎟= − = ⋅ =⎜ ⎟π + π+ +⎝ ⎠

,

de unde z d a= = .

Deci, 0max 2

IB ja

μ=

π.

123

III.23. Considerăm un conductor cilindric de rază R , foarte lung, prin care

circulă un curent electric I cu densitatea de curent neuniformă, J r= α , unde α

este o constantă pozitivă (figura III.23).

Calculaţi inducţia magnetică a câmpului generat de curentul electric în

interiorul şi în exteriorul conductorului.

Fig. III.23

Soluţie

Conform legii lui Ampére,

0dB l I⋅ = μ∫ ,

unde I este intensitatea curenţilor care străbat suprafaţa închisă de curba pe care se

calculează circulaţia lui B . Prin urmare,

( )( )d ' 2 'd 'I J S r r r= ⋅ = α π∫∫ ∫ .

(a) Pentru, <r R ,

2 3

0

22 d '3

r

I r rπ= πα = α∫ ,

iar, din legea lui Ampére,

( ) 31 0

223

B r rπ = μ πα ,

sau 201 3

B rαμ= .

Direcţia vectorului 1B este tangenţială la curba aleasă pentru integrare şi a

cărei suprafaţă închisă este traversată de curentul electric.

124

b). Pentru, >r R ,

2 3

0

22 d '3

R

I r Rπ= πα = α∫ ,

iar, din legea lui Ampére,

( ) 32 0

223

B r Rπ = μ πα ,

sau 302 3

B Rr

αμ= .

În figura III.23a sunt reprezentate cele două funcţii obţinute.

Fig. III.23a

III.24. Considerăm o bandă metalică subţire foarte lungă, cu lăţimea w

(figura III.24). Prin bandă trece un curent electric de intensitate I de-a lungul

direcţiei pozitive a axei x .

Calculaţi inducţia câmpului magnetic într-un punct P aflat în planul benzii la

distanţa s de axa acesteia.

Fig. III.24

125

Soluţie

Considerăm o fâşie îngustă de lăţime dr având lungimea egală cu cea a

benzii, aflată la distanţa r de punctul P (figura III.24a). Intensitatea curentului care

străbate această fâşie este egală cu

d dII rw

= .

Fig. III.24a

Conform legii lui Ampére, contribuţia curentului din această fâşie la inducţia

câmpului magnetic în punctul P este egală cu

00

d dd2 2

I I rBr r w

μ= μ = ⋅

π π.

După integrare se obţine că

0 0d ln2 2

s w

s

I r I s wBw r w s

+ μ μ += ⋅ =

π π∫ .

Aplicând regula mâinii drepte obţinem că direcţia şi sensul vectorului B

este dată de versorul k , adică

0 ln2

I s wB kw s

μ +=

π.

Observăm că în cazul unui conductor cu lăţimea foarte mică, adică w s ,

rezultă că ln 1 w ws s

⎛ ⎞+ ≅⎜ ⎟⎝ ⎠

. Prin urmare, în acest caz,

126

0

2IB ks

μ=

π,

care este chiar expresia obţinută pentru cazul unui curent liniar foarte lung.

III.25. Un conductor foarte lung transportă un curent electric de intensitate

I de-a lungul axei 0y până în originea axelor şi apoi de-a lungul axei 0x spre

infinit (figura III.25).

Calculaţi expresia vectorului inducţie magnetică într-un punct de coordonate

( ),x y din cadranul în care acestea sunt pozitive.

Fig. III.25

Soluţie

Punctul ( ),P x y se află la distanţa 1r de un punct de pe ax 0y de

coordonate ( )0, 'y şi la distanţa 2r de un punct de pe ax 0x de coordonate ( )0, 'x .

Conform formulei lui Biot şi Savart, inducţia câmpului magnetic în punctul

P are expresia

1 21 20 0 02 2 2

1 2semiaxa semiaxa0 0

d dd4 4 4

r rr

y x

l u l uI l u I IBr r r

× ×μ × μ μ= = +

π π π∫ ∫ ∫ .

Vom analiza pe rând cele două integrale.

(a) Considerăm de-a lungul axei 0y un element de lungime 1d d 'l y j= − la

distanţa ( )1 'r xi y y j= + − de P. Prin urmare,

127

( ) ( )1 1d d ' ' d 'l r y j xi y y j x y k⎡ ⎤× = − × + − =⎣ ⎦ .

(b) Asemănător, de-a lungul axei 0x , alegem un element de lungime,

2d d 'l x i= la distanţa ( )2 'r x x i yj= − + de P. Prin urmare,

( ) ( )2 2d d ' ' d 'l r x i x x i yj y x k⎡ ⎤× = × − + =⎣ ⎦ .

Am obţinut că în P vectorul inducţie magnetică este orientat de-a lungul axei

0z .

Deoarece, ( )221 'r x y y= + − şi ( )2 2

2 'r x x y= − + ,

avem că

( ) ( )

03 2 3 22 22 20 0

d ' d '4 ' '

I x y y xB kx y y x x y

∞ ∞⎛ ⎞

μ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟π ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − +⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠∫ ∫ .

Integralele pot fi calculate cu ştiind că

( )

3 2 2 2220

d 1b s ab b a bb a s

∞

= ++⎡ ⎤+ −⎣ ⎦

∫ .

Astfel,

02 2 2 2

1 14

I y xB kx yx x y y x y

⎛ ⎞μ ⎜ ⎟= + + +⎜ ⎟π + +⎝ ⎠

III. 26. Un solenoid cu 100 de spire bobinate echidistante are raza de 2 cm

şi lungimea de 10 cm.

Calculaţi inductanţa solenoidului. Se cunoaşte permeabilitatea magnetică 74 10−μ = π⋅ H/m.

Soluţie

Inductanţa solenoidului este egală, prin definiţie, cu

2

2 2 50 0 3,95 10m NBS NI N IL N r r

I I l l−Φ

= = = μ π = μ π = ⋅ H

128

III.4. Legea inducţiei electromagnetice a lui Faraday

III.27. O bară ab se deplasează fără frecare pe două şine conductoare, ca în

figura III.27. Bara se găseşte într-un câmp magnetic de inducţie B = 0,5 T, a cărei

direcţie este perpendiculară pe planul figurii. O persoană împinge bara spre dreapta

în figură cu o viteză medie de 4 m/s.

a). Deduceţi expresia intensităţii curentului indus în circuit.

b). Calculaţi valoarea rezistenţei R a circuitului astfel ca persoana să

consume o putere medie de 200W.

Fig. III.27

Soluţie

a). Dacă persoana împinge bara spre dreapta cu viteza v pe distanţa d, fluxul

magnetic indus în planul figurii este dB S BldΦ = ⋅ =∫∫ , unde l este lungimea barei.

Tensiunea electromotoare indusă are expresia BvlldtdB

te −=−=

Φ−=

ddd ,

iar curentul indus are intensitatea ind

e BvliR R

= = .

b). Câmpul magnetic exterior va acţiona asupra curentului indus cu o forţă

egală cu (fig. 27a)

( )xindindind ulBiBliF −=×= .

Modulul forţei este egal cu

RBvllBiF ind

22==

129

Fig. 27a

Persoana va trebui să aplice o forţă orientată către dreapta (fig. 27b) pentru

ca bara să se deplaseze cu o viteză constantă, adică

Fig. 27b

RBvlFF indp

22

== .

Puterea exercitată de persoană va fi

R

BlvvFP p

222

=⋅= ,

astfel că rezistenţa R a circuitului va fi egală cu

2 2 2

0,18B l vRP

= = Ω .

III.28. Un circuit electric este format din două şine rectilinii, paralele,

orizontale, cu rezistenţa electrică neglijabilă, aşezate la distanţa l, o rezistenţă R şi o

bară perfect conductoare de masă m, care poate aluneca fără frecare pe cele două

şine. Întregul circuit se găseşte într-un câmp magnetic vertical de inducţie B (figura

III.28).

130

Fig. III.28

La momentul iniţial t = 0, bara aşezată în x = 0 este lansată în sensul

îndepărtării de rezistorul R cu viteza iniţială 00 vx =& în sensul axei Ox, care este

paralelă cu şinele.

a) Scrieţi ecuaţia de mişcare a barei.

b). Deduceţi dependenţa vitezei de timp.

Soluţie

a) La o deplasare a barei cu distanţa elementară dx fluxul magnetic variază

cu

xBlm dd =Φ

şi, conform legii inducţiei magnetice a lui Faraday, tensiunea electromotoare indusă

este egală cu:

t

e md

dΦ−= , adică

txBlRI

dd

−= , sau xRBlI &−= .

Forţa electromagnetică care acţionează asupra barei este xRlBBIlF &

22−==

şi este dirijată de-a lungul axei Ox.

Ecuaţia de mişcare pentru bara de masă m se scrie:

xRlBxm &&&

22−= .

b). Introducem notaţia xv &= şi ecuaţia de mişcare se scrie:

vmR

lBtv 22

dd

−= , sau tmR

lBvv dd 22

−= ,

131

care, după integrare, devine:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

τ−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

tvtmR

lBvv expexp 0

22

0 ,

unde am notat prin 22lBmR

=τ . Observăm că pentru 0, →∞→ vt .

c) Ne aşteptăm ca energia cinetică iniţială să se transforme în căldură prin

efect Joule. Vom verifica acest lucru.

Intensitatea curentului electric are expresia

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

τ−−=

tR

BlvI exp0

astfel că energia eliberată prin efect Joule va fi egală cu:

2 2 2

2 0

0 0

2d exp dJB l v tW RI t t

R

∞ ∞ ⎡ ⎤= = − =⎢ ⎥τ⎣ ⎦∫ ∫

2 2 2 2 2 2

0 02exp02 2

B l v t B l vR R

∞τ τ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − = ⋅ =⎢ ⎥τ⎣ ⎦

2022

20

22

21

2mv

lBmR

RvlB

=⋅= .

III.29. O bară conductoare de lungime l se deplasează cu viteza constantă

v pe direcţia perpendiculară pe un conductor de lungime infinită paralel cu bara

prin care trece un curent de intensitate I (figura III.29).

Calculaţi tensiunea electromotoare indusă în bară.

Fig. III.29

132

Soluţie

Conform legii inducţiei electromagnetice a lui Faraday,

e Blv= ,

unde

0

2IBr

μ=

π,

astfel că

0

2Ie lvr

μ=

π.

III.30. O bară conductoare de lungime l se mişcă liber pe două şine

conductoare paralele ca în figura III.30.

Fig. III.30

Cu ajutorul a doi rezistori 1R şi 2R legaţi la capetele celor două şine se

formează un circuit electric închis. Bara se mişcă sub acţiunea unei forţe exterioare

cu viteza v spre stânga.

Calculaţi:

a). intensităţile curenţilor electrici induşi în cei doi rezistori;

b). puterea totală eliberată prin trecerea curentului prin cei doi rezistori;

c). forţa exterioară care asigură deplasarea cu viteză constantă a barei. â

Soluţie

a). Tensiunea electromotoare indusă în bara în mişcare este egală cu

Blve −= ,

133

iar intensităţile curenţilor în cei doi rezistori vor fi:

11

1 RBlv

Re

I == şi respectiv 22

2 RBlv

Re

I == .

Cei doi rezistori sunt legaţi în paralel la capetele barei care reprezintă sursa

de tensiune electrică.

b). Puterea totală disipată în cei doi rezistori este egală cu

21

21222

21

221

11RRRRvlB

RReeIeIP +

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+= .

c). Forţa electromagnetică care echilibrează forţa exterioară este egală cu

( )vP

RRRRvlBBlIIFem =

+=+=

21

212221 .

III.31. O spiră circulară cu raza r confecţionată dintr-un fir conductor se

află într-un câmp magnetic de inducţie B cu liniile de câmp perpendiculare pe

planul spirei şi care intră în foaie, ca în figura III.31. Circuitul electric conţine un

rezistor R şi un condensator cu capacitatea C . Inducţia câmpului magnetic variază

în timp cu viteza ddBt= −α cu α > 0.

Fig. III.31

Calculaţi valoarea sarcinii electrice de pe condensator.

Soluţie

Tensiunea electromotoare indusă în spiră este egală cu

134

2ddBe S rt

= − = −απ ,

iar sarcina electrică cu care se încarcă condensatorul este

2q C e r C= = απ .

III.32. O spiră dreptunghiulară mică cu lungimea 10l = cm, lăţimea

8w = cm şi rezistenţa electrică 2R = Ω este trasă cu viteza constantă 2v = cm/s

printr-o regiune cu câmp magnetic uniform de inducţie 2B = T, care intră în foaie,

ca în figura III.32.

La momentul 0t = latura frontală a spirei dreptunghiulare intră în regiunea

cu câmp magnetic.

Calculaţi:

a). fluxul magnetic prin spira dreptunghiulară şi reprezentaţi grafic

dependenţa fluxului magnetic de timp începând cu momentul 0t = ;

b). tensiunea electromotoare indusă în spira dreptunghiulară şi reprezentaţi-o

grafic în funcţie de timp.

Fig. III.32

Soluţie

a). La momentul 4wtv

≤ = s, fluxul prin porţiunea din aria spirei aflată în

câmpul magnetic este egal cu

34 10m Bxl Blvt t−Φ = = = ⋅ (Wb).

135

Pentru [ ]4,20t∈ s, interval în care toată aria spirei este străbătută de liniile

de câmp magnetic, fluxul magnetic prin spiră este egal cu

316 10m Blw −Φ = = ⋅ (Wb).

În ultimul interval de timp în care spira iese din zona cu câmp magnetic,

fluxul magnetic este egal cu

( ) ( ) 316 4 10m Bl w vt t −Φ = − = − ⋅ (Wb).

În figura III.32a este reprezentată dependenţa de timp a fluxului magnetic

prin spiră.

Fig. III.32a

b). Conform legii lui Faraday tensiunea electromotoare indusă este egală cu

dd

metΦ

= − ,

astfel că în intervalul [ ]0,4t∈ s,

34 10e Blv −= − = − ⋅ V,

în intervalul [ ]4,20t∈ s,

0e = ,

iar în intervalul [ ]20,24t∈ s,

34 10e Blv −= = ⋅ V.

În figura III.32b este reprezentată dependenţa de timp a tensiunii

electromotoare indusă în spiră.

136

Fig. III.32b

III.33. O spiră circulară cu raza 4r = cm este aşezată într-un spaţiu în care

acţionează un câmp magnetic perpendicular pe suprafaţa spirei, a cărui inducţie

variază în timp după legea 210 0,2B t t= + (mT). Conductorul din care este

confecţionată spira are rezistenţa electrică 100R = Ω .

Calculaţi intensitatea curentului prin spiră la momentul 10t = s.

Soluţie

Conform legii lui Faraday,

( )2 4 2d d 10 6 10d d

m Be S S tt t

− −Φ= − = − = − + ⋅ ,

iar din legea lui Ohm, la 10t = s,

60,7 10e

IR

−= = ⋅ A.

III.34. Un conductor perfect cu masa 35 10m −= ⋅ kg şi lungimea 0,5l = m

poate aluneca fără frecare de-a lungul a două bare verticale AB şi CD perfect

conductoare, legate prin rezistorul 10R = Ω (fig. III.34). Sistemul se află într-un

câmp magnetic omogen de inducţie 1B = T, perpendiculară pe planul barelor.

Arătaţi ce fel de mişcare va avea conductorul.

137

Fig. III.34

Soluţie

Iniţial, mişcarea conductorului este uniform accelerată sub acţiunea

greutăţii. În momentul în care viteza de cădere a conductorului are valoarea v în

aceasta se induce tensiunea electromotoare

e Blv= −

care produce un curent electric în circuit egal cu

BlvIR

= .

Între curentul electric indus şi câmpul magnetic apare forţa electromagnetică

2 2

emB l vF BIl

R= = .

Conform legii de mişcare,

2 2B l vma mgR

= − ,

de unde observăm că acceleraţia scade odată cu creşterea vitezei şi se anulează la

viteza

2 2 1mgRvB l

= = m/s.

Deci, iniţial conductorul se deplasează accelerat şi apoi uniform cu viteza de

1 m/s.

III.35. O spiră circulară de rază a , confecţionată dintr-un fir conductor cu

rezistenţa electrică R , este aşezată într-un câmp magnetic cu vectorul inducţie

138

perpendicular pe planul spirei. Modulul vectorului inducţie magnetică variază în

timp conform relaţiei, 20B B bt ct= + + ,unde 0B şi b sunt constante pozitive.

Calculaţi:

a). dependenţa de timp tensiunii electromotoare indusă în spiră;

b). puterea electrică disipată prin rezistenţa electrică a spirei la momentul

2t = s.

Soluţie

a). Conform legii lui Faraday,

( )2d d 2d d

m Be S a b ctt tΦ

= − = − = π + .

b). ( )22 2 42s

2s4t

t

e a b cP

R R=

=

π += = .

III.36. Un solenoid cu lungimea de 30 cm şi raza de 1cm are 500 spire.

Solenoidul este parcurs de un curent electric de 2 A.

Calculaţi:

a) inducţia câmpului magnetic pe axa solenoidului;

b). fluxul magnetic prin spirele solenoidului;

c). inductanţa solenoidului;

d). tensiunea electromotoare indusă în solenoid dacă intensitatea curentului

din circuit variază în timp cu cantitatea d 100dIt= A/s.

Se cunoaşte 70 104 −⋅π=μ H/m.

Soluţie

a). 0 4,2NIBl

μ= = mT.

b). 2 0,66m NBS NB rΦ = = π = mWb.

139

c). 0,33mLIΦ

= = mH.

d). d 33dIe Lt

= = mV.

III.37. O spiră cu raza 2r= cm este aşezată într-un spaţiu în care

acţionează un câmp magnetic perpendicular pe suprafaţa spirei a cărui inducţie

variază în timp după legea 20,02B t t= − (mT). Conductorul din care este

confecţionată spira are rezistenţa electrică 50R Ω= .

Calculaţi intensitatea curentului prin spiră la momentele 1 25t = s şi

2 30t = s.

Soluţie

Conform legii lui Faraday, tensiunea electromotoare indusă este

( )2d d 1 0,04d d

m Be S r tt tΦ

= − = − = −π −

şi intensitatea curentului,

25s25s 0t

t

eI

R=

= = = ,

30s30s 5t

t

eI

R=

= = = μA.

III.38. Capetele unei spire conductoare sunt legate la armăturile unui

condensator cu capacitatea egală cu 1 nF. Suprafaţa spirei este străbătută de liniile

unui câmp magnetic cu vectorul inducţie magnetică perpendicular pe aceasta. Viteza

de variaţie în timp a modulului vectorului inducţie magnetică este 2d 5 10dBt

−= ⋅ T/s,

iar aria spirei este egală cu 200 cm2.

Calculaţi sarcina electrică cu care se încarcă armăturile condensatorului.

140

Soluţie

Conform legii lui Faraday, tensiunea electromotoare indusă este

d dd d

m Be St tΦ

= − = − ,

iar sarcina electrică de pe condensator este

9d 10dBq C e CSt

−= = = C.

III.39. Un electron se deplasează pe o traiectorie circulară cu viteza egală cu 610v = m/s. Considerând electronul în mişcarea sa un curent electric, calculaţi fluxul

câmpului magnetic generat de acest curent prin suprafaţa traiectoriei circulare.

Se cunosc: 191,6 10e −= ⋅ C, 70 104 −⋅π=μ H/m.

Soluţie

2

e evIT r

= =π

, iar 0 022 4

I evBr r

μ μ= =

π

şi

2 190 5 104mevBS B r −μ

Φ = = π = = ⋅ Wb.

III.40. Într-o zonă din spaţiu intensitatea câmpului electric variază după

legea:

( ) yuxtEE β−ω= cos0 ,

unde 20 105 −⋅=E V/m, ω = 2π.10

8 rad/s.

a) Calculaţi valoarea medie a densităţii curentului de deplasare în timp de o

perioadă;

b) Calculaţi tensiunea electromotoare indusă de acest câmp într-un cadru

metalic de forma unui pătrat cu latura a = 50 cm, orientat ca în figura III.40.

141

Se cunosc: 120 10856,8 −⋅=ε F/m, 7

0 104 −⋅π=μ H/m, iar 00μεω=β .

Fig. III.40

Soluţie

a) Densitatea curentului de deplasare este, prin definiţie,

( ) yd uxtEt

Et

Dj β−ωωε−=∂∂

ε=∂∂

= sin000 .

Valoarea medie a curentului de deplasare într-o perioadă este nulă, deoarece:

( ) ( ) ( )

( ) ( )0

1 1sin sin cos0

cos 2 cos 0.2

T Tt x t x dt t x

T T

x x

ω −β = ω −β = − ω −β =

ω ⎡ ⎤= − π−β − −β =⎣ ⎦π

∫

b) Tensiunea electromotoare indusă este, prin definiţie, exprimată astfel:

( )

( )[ ] ( )V3

102cos211025coscos

coscos

830

00

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+⋅π⋅⋅=β−ω−ω=

=⋅β−ω−⋅ω=⋅−=

−

∫

tattaE

aatEatEldEecontur .

III.41. Calculaţi inductanţa mutuală a circuitelor formate dintr-un conductor

electric liniar străbătut de curentul I şi o spiră conductoare pătrată, de latură b, aflată

la distanţa a de conductorul liniar şi aşezată cu două din laturi paralele cu

conductorul, ca din figura III.41.

142

Fig. III.41

Soluţie

Pornim de la expresia fluxului 12 12M IΦ = , al câmpului magnetic generat de

curentul de intensitate I prin suprafaţa spirei, unde ∫∫ ⋅=Φ1

d1212S

SB , cu 12 2IBr

μ=

π

şi rbS dd = , adică

12 d ln2 2

a b

a

I bI a bb rr a

+ μ μ +Φ = =

π π∫ ,

de unde

12 ln2

b a bMa

μ +=

π.

Am ţinut cont în produsul scalar că versorul vectorului inducţie a câmpului

magnetic generat de curentul din conductorul liniar coincide cu versorul direcţiei

normale la suprafaţa pătratului.

III.42. Un solenoid cu lungimea l şi aria secţiunii S este format din 1N

spire. O altă înfăşurare izolată electric, cu 2N spire, este aşezată pe solenoidul

iniţial ca în figura III.42.

a). Calculaţi inductanţa mutuală M a sistemului format din solenoid şi

înfăşurarea exterioară, presupunând că fluxul magnetic generat în solenoid

traversează înfăşurarea exterioară.

143

b). Găsiţi relaţia între inductanţa mutuală M şi inductanţele proprii 1L şi

2L ale solenoidului şi înfăşurării exterioare.

Fig. III.42

Soluţie

a). Fluxul magnetic printr-o spiră a înfăşurării exterioare a inducţiei

câmpului magnetic din solenoid este

Sl

INBS 11021

μ==Φ ,

astfel că inductanţa mutuală va fi

l

SNNI

NM 210

1

212 μ=

Φ= .

b). Inductanţele celor două înfăşurări sunt

l

SNL2

101

μ= şi respectiv

lSNL

220

2μ

= ,

iar 21LLM = .

III.43. Pe un cilindru comun de lungime 0,1 m şi arie a secţiunii 0,05 m2

sunt înfăşurate două bobine având 1 100N = spire şi respectiv 2 300N = spire. Prin

prima bobină circulă un curent cu intensitatea 1I care variază de la 0 la 10 A în 0,1

s. Se cunoaşte 70 104 −⋅π=μ H/m.

Calculaţi:

a). inductanţa mutuală a celor două bobine;

144

b). tensiunea electromotoare indusă în a doua bobină

Soluţie

a). 0 1 2 0,0188N N SMl

μ= = H.

b). 12

d 1,88dIe Mt

= − = − V

III.44. Un solenoid are lungimea de 0,5 m, aria secţiunii 1 cm2 şi 1000 de

spire.

a). Calculaţi inductanţa solenoidului neglijând efectele de margine.

b). O altă înfăşurare concentrică cu prima are 100 de spire. Calculaţi

inductanţa mutuală în acest caz.

c). Prin a doua înfăşurare circulă un curent electric de intensitate 1 A, iar

solenoidul este legat la un rezistor cu rezistenţa de 1 kΩ. Curentul este întrerupt

brusc. Calculaţi sarcina electrică care trece prin rezistor.

Soluţie

a). Notăm cu I intensitatea curentului prin solenoid. Inductanţa solenoidului

este egală, prin definiţie, cu

2

40 2,513 10m NBS N SL

I I l−Φ

= = = μ = ⋅ H.

b). Fluxul magnetic produs în a doua înfăşurare de curentul din solenoid este

egal cu

1 1m NΦ = ϕ ,

unde ϕ este fluxul printr-o spiră din oricare înfăşurare, acestea având aceeaşi arie,

iar inductanţa mutuală a celor două înfăşurări este

51 10 2,513 10m NN SM

I l−Φ

= = μ = ⋅ H.

c). La întreruperea bruscă curentului în a doua înfăşurare se induce o

tensiune electromotoare. Legea lui Kirchhoff pentru circuitul electric format se scrie

145

1d dd d

m IRI Lt t

Φ− = + ,

sau 1d d d d dm RI t L I R q L I− Φ = + = + ,

care după integrare după t de la 0 la ∞ conduce la

1m Rq−ΔΦ = .

Prin urmare,

71 2,76 10m MIqR R

−ΔΦ= − = = ⋅ C.

III.45. În circuitul din figura III.45, G este un galvanometru balistic, a cărui

deviaţie θ este proporţională cu sarcina electrică q care trece prin el. Solenoidul L

se află iniţial într-un câmp magnetic 0 0B = . La un moment dat, întrerupătorul K

este închis, iar un curent cu intensitatea 1I = A se stabileşte prin circuit, acul lui G

deviază cu 1 0,5θ = rad şi apoi se întoarce la poziţia iniţială. În continuare,

solenoidul este deplasat într-un câmp magnetic 2B şi se observă o deviaţie 2 1θ = rad

a acului lui G.

Calculaţi inducţia magnetică 2B .

Fig. III.45

Soluţie

Notăm cu 1L inductanţa solenoidului L, astfel că teorema lui Kirchhoff în

ochiul de reţea din dreapta se scrie,

2 11 1

d dd di iM Lt t

= +E ,

146

sau 1 2 1 11

1 1 1

d d dd d dq M i L iit R R t R t= = = +

E ,

cu condiţiile ( )2 0 0i = , ( )2 1i ∞ = A, ( ) ( )1 10 0i i= ∞ = .

Integrând ecuaţia obţinută rezultă

( )11 2 1 2

1 1 10 0

d dM L Mq i i iR R R

∞ ∞

= + = ∞∫ ∫ .

Când solenoidul este deplasat în câmpul magnetic 2B , se induce tensiunea

electromotoare

2d

dm

tΦ

= −E ,

cu ( )1 2m NB SΦ ∞ = − şi ( )1 0 0mΦ = .

Astfel,

2 2 12

1 1

d 1 dd d

mq it R R t

Φ= = = −

E ,

de unde

2

22

NB aqRπ

= .

Dar q ∝ θ , astfel că

( )21 12

2 2 2

Miqq NB a

∞θ= =

θ π,

iar ( )2 22 2

1

63,4Mi

BN a

θ ∞= =

θ πT.

III.46. Un solenoid este proiectat pentru a genera un câmp magnetic într-un

volum mare. Dimensiunile sale sunt: lungimea 2m, raza 0,1m şi numărul de spire

1000. Efectele de margine sunt neglijabile.

a). Calculaţi inductanţa solenoidului.

b). Calculaţi inducţia câmpului magnetic generat pe axa solenoidului de un

curent electric cu intensitatea de 2 kA.

147

c). Calculaţi energia magnetică înmagazinată în solenoid la valoarea

intensităţii curentului de la punctul b).

d). Rezistenţa totală a solenoidului este egală cu 0,1Ω. Deduceţi ecuaţia care

descrie curentul tranzitoriu în funcţie de timp imediat după legarea solenoidului la o

tensiune electrică egală cu 20V. Calculaţi constanta de timp a circuitului.

Soluţie

a). Inductanţa solenoidului este

2 2

20 1,97 10m N rL

I l−Φ π

= = μ = ⋅ H.

b). 0 1,26NIBl

= μ = T.

c). 2 41 3,94 102mW LI= = ⋅ J.

d). Teorema lui Kirchhoff se scrie

dd

iiR Lt

= +E sau d di tiR L

=E -

,

care este o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi cu soluţia

( )ln ln CRiR tL

− = − +E ,

sau Cexp RiR tL

⎡ ⎤− = −⎢ ⎥⎣ ⎦E .

Din condiţia ca ( )0 0i t = = rezultă că C = E ,

adică

( ) 1-exp Ri t tR L⎛ ⎞⎡ ⎤= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

E ,

unde 0,197s 0,2LR

τ = = ≅ s este constanta de timp.

Înlocuind valorile numerice obţinem relaţia

( ) [ ]( )200 1-exp 5i t t= − A.

148

III.5. Energia magnetică

III.47. Un solenoid toroidal cu N spire are secţiunea pătrată cu raza

interioară a , raza exterioară b şi înălţimea h (fig. III.47).

Calculaţi energia magnetică înmagazinată în solenoidul toroidal.

Fig. III.47

Soluţie

Inductanţa solenoidului toroidal este (s-a calculat la curs)

abhNL ln

2

20

πμ

= .

Prin urmare, energia magnetică înmagazinată în solenoidul toroidal este

abhINLIWmag ln

421 22

02

πμ

== .

Aceeaşi expresie se poate obţine şi scriind expresia densităţii de energie

magnetică înmagazinată în solenoidul toroidal, 0

2

2μ=

Bwm , unde pentru tor,

rNIBπ

μ=

20 , cu bra ≤≤ , astfel că 22

220

8 rINwm π

μ= , iar energia totală

abhINrrh

rINwW

b

amm ln

4d2

8d

220

22

220∫∫ π

μ=π

πμ

== V .

149

III.48. Un fir dintr-un material nemagnetic cu raza R şi lungimea l

transportă un curent electric de intensitate I care este distribuit uniform prin

secţiunea conductorului.

Calculaţi energia magnetică înmagazinată în fir.

Soluţie

Aplicăm legea lui Ampère la distanţa Rr ≤ , adică

220

202 r

RIrJrB π

πμ=πμ=π ,

de unde

20

2 RIrB

πμ

= .

Densitatea de energie magnetică fiind

0

2

2μ=

Bwm

rezultă că energia magnetică înmagazinată în fir este

π

μ=⋅

πμ

=πμ

== ∫∫ 1644d

4d

20

4

04

203

4

20 lIR

RlIrr

RlIwW

R

mm V ,

unde rrld2d π=V .

III.49. Într-o regiune din spaţiu inducţia câmpului magnetic are valoarea de 21 10−⋅ T, iar intensitatea câmpului electric are valoarea de 62 10⋅ V/m.

Calculaţi densitatea de energie a câmpului electromagnetic.

Soluţie

2

20

0

1 582 2el m

Bw w w E= + = ε + =μ

J/m3.

150

III.6. Circuitul RL

III.50. O bobină are rezistenţa electrică 5R = Ω şi inductanţa 100L = mH.

La un moment dat, după conectarea bateriei la capetele bobinei, intensitatea

curentului prin aceasta este egală cu 2i = A şi aceasta creşte cu rata d 20d

it= A/s.

Calculaţi:

a). tensiunea electrică la bornele bateriei;

b). constanta de timp a circuitului;

c). valoarea finală a intensităţii curentului electric.

Soluţie

a). Aplicând legea lui Ohm întregului circuit,

d 12d

iU iR Lt

= + = V.

b). 0,02LR

τ = = s.

c). Valoarea staţionară a intensităţii curentului se obţine pentru d 0d

it= ,

adică

2,4UIR

= = A.

III.51. Un filtru trece-sus (un circuit electric care filtrează curenţii

alternativi cu frecvenţă joasă) este reprezentat de circuitul din figura III.51, unde R

este rezistenţa bobinei.

Fig. III.51

151

Calculaţi:

a). raportul 20

10

VV

dintre tensiunea electrică maximă la ieşire şi tensiunea

electrică maximă de la intrare;

b). frecvenţa la care 20

10

12

VV

= , dacă 15r = Ω , 10R = Ω şi 250L = mH.

Soluţie

a). Impedanţa circuitului de intrare este egală cu

( )2 21 LZ R r X= + + ,

unde LX L= ω , iar impedanţa circuitului exterior este

2 22 LZ R X= + .

Valoarea maximă a intensităţii curentului este egală cu

( )

10 100 2 21 L

V VIZ R r X

= =+ +

.

Asemănător, tensiunea maximă la ieşire este legată de impedanţa de ieşire,

2 220 0 2 0 LV I Z I R X= = + .

Din cele două, ( )

2 220

2 210

L

L

R XVV R r X

+=

+ +.

b) Dacă 20

10

12

VV

= , se obţine că

( )

2 2

2 2

14

L

L

R XR r X

+=

+ +,

de unde ( )2 243L

R r RX

+ −= .

Deoarece impedanţa inductivă, 2LX L L= ω = πν , rezultă pentru frecvenţă

5,512

LXL

ν = =π

Hz.

152

III.52. În figura III.52 este reprezentat un filtru RL .

La intrare, 20sininV t= ω (V), unde 200ω= rad/s, iar 400L = mH.

Calculaţi:

a). valoarea lui R astfel încât tensiunea la ieşire să fie defazată în urmă faţă

de cea de la intrare cu 030 ;

b). raportul dintre amplitudinile tensiunilor de la ieşire şi respectiv de la

intrare. Ce tip de filtru este acest circuit, trece-sus sau trece-jos?

c). ce fel de filtru se obţine dacă poziţiile rezistorului şi inductanţei sunt

schimbate între ele?

Fig. III.52

Soluţie

a). Relaţia de fază între LV şi RV este dată de

tg L

R

V LV R

ωϕ = = .

Astfel,

139tg

LR ω= = Ω

ϕ.

b). raportul este egal cu

2 2

3cos2

ieş R

in in L

V V RV V R X

= = = ϕ =+

.

153

Circuitul este un filtru trece-jos deoarece raportul ieş

in

VV

scade cu creşterea lui

ω .

c) În acest caz, diagrama circuitului este cea din figura III.52a. Raportul ieş

in

VV

va fi egal cu

2 2 2

1

1

ieş L L

in in L

V V XV V R X R

L

= = =+ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟ω⎝ ⎠

,

care tinde la 1 pentru valori mari ale lui ω . Circuitul a devenit un filtru trece - sus.

Fig.III.52a

III.53. În circuitul reprezentat în figura III.53 rezistenţa electrică a bobinei L

este neglijabilă şi, la momentul iniţial, întrerupătorul este deschis, iar intensitatea

curentului este nulă.

Fig. III.53

a). Calculaţi căldura disipată în rezistenţa 2R după ce se închide

întrerupătorul.

154

b). Calculaţi căldura disipată în rezistenţa 2R după ce se deschide din nou

întrerupătorul.

Soluţie

Dacă un circuit conţine o rezistenţă R legată în serie cu o inductanţă L şi o

sursă de tensiune E , legea lui Ohm se scrie,

d-dIL IRt=E ,

sau

d dR I R tIR L

= −− E

.

După integrare rezultă

( )ln ln CRE I t R tL

⎡ ⎤− = − +⎣ ⎦ ,

unde LR

τ = este constanta de timp a circuitului şi C o constantă.

Din condiţiile ca la 0t = . 0I I= şi la t = ∞ . I I∞= rezultă că

[ ]0C ln I R= −E şi IR∞ =E .

Soluţia ecuaţiei diferenţiale devine

( ) ( )0

t

I t I I I e−τ

∞ ∞= + − .

În continuare ne vom referi la circuitul din figura III.

a). Când se închide întrerupătorul,

2

1 2

0,91RVI

R R= =

+A.

Dacă se menţine închis întrerupătorul oricât timp, intensitatea curentului

devine

( )2

0RI ∞ = ,

deoarece în stare staţionară tot curentul electric trece prin L care are o rezistenţă

electrică neglijabilă.

155

Deoarece constanta de timp a circuitului este egală cu

( )1 2

1 2

1,1L R R

R R+

τ = = s,

dependenţa intensităţii curentului de timp devine

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

0,910 0,91t

tR R R RI t I I I e e

− −τ⎡ ⎤= ∞ + − ∞ =⎣ ⎦ (A),

iar ( )2 2

2 2 1,82

0

d 0,91 100d 45,5tR RW I t R t e t

∞−= = ⋅ =∫ J.

b). Când se deschide întrerupătorul,

( )1

0 10LVIR

= = A.

Energia magnetică înmagazinată în bobina L la acest moment se va disipa în

totalitate prin rezistenţa electrică 2R . Astfel căldura disipată în 2R este egală cu

( )2 2

2 2 1,82

0

d 0,91 100d 45,5tR RW I t R t e t

∞−= = ⋅ =∫ J.

III.54. O spiră circulară din sârmă este aşezată între polii unui electromagnet

cu planul spirei paralel cu feţele polilor. Spira are raza a , rezistenţa electrică R şi

inductanţa L .

Electromagnetul este cuplat la sursa de tensiune generând un câmp magnetic

perpendicular pe planul spirei.

Calculaţi sarcina electrică q care traversează secţiunea transversală a sârmei

din care este confecţionată spira.

Soluţie

Prin variaţia fluxului magnetic prin planul spirei se induce în spiră o

tensiune electromagnetică e , care produce curentul i .

Legea lui Kirchhoff prin circuitul spirei se scrie

d 0d

ie iR Lt

+ + = ,

156

unde dd

metΦ

= − , ddqit

= , ( ) 0i ∞ = , ( )0 0i = .

Ecuaţia circuitului se poate scrie sub forma

d d d 0m R q L i− Φ + + = .

Integrând după t între 0 şi ∞ obţinem că

0m RqΔΦ + = ,

deoarece 0iΔ = . Atunci

2

m B aqR R

ΔΦ π= = .

Observăm că sarcina electrică q nu depinde de inductanţa L . Aceasta doar

încetineşte scăderea intensităţii curentului.

III.7. Circuitul RLC

III.55. Considerăm că generatorul de curent alternativ cu tensiunea

( ) 150sin100V t t= (V) este legat într-un circuit RLC serie cu 40R = Ω , 80L = mH

şi 50C = μF, ca cel din figura III.55.

Fig.III.55

a). Calculaţi valorile maxime 0RV , 0LV şi 0CV ale tensiunii electrice de pe

fiecare element de circuit.

b). Calculaţi tensiunea între punctele b şi d ale circuitului.

157

Soluţie

a). Reactanţa capacitivă, reactanţa inductivă şi impedanţa circuitului sunt

egale cu

1 200CXC

= = Ωω

; 8LX L= ω = Ω şi ( )22 196L CZ R X X= + − = Ω .

Astfel, amplitudinea intensităţii curentului este egală cu

00 0,765VI

Z= = A.

Tensiunea maximă pe rezistor va fi

0 0 30,6RV I R= = V,

cea de pe inductanţă

0 0 6,12L LV I X= = V,

iar de pe condensator,

0 0 153C CV I X= = V.

Între aceste mărimi există relaţia

( )220 0 0 0R L CV V V V= + − .

b). Tensiunea între punctele b şi d ale circuitului este egală cu

0 0 0 0 147bd L C L CV V V V V= + = − =r r

V.

III.56. Considerăm circuitul electric din figura III.56. Tensiunea electrică

aplicată variază în timp conform relaţiei, ( ) 0 sinV t V t= ω . Iniţial ambele

comutatoare S1 şi S2 sunt închise. Ignorând regimul de tranziţie şi considerând

cunoscute mărimile R , L , 0V şi ω , calculaţi:

a). intensitatea curentului în funcţie de timp, ( )I t ,

b) puterea medie furnizată circuitului,

c). intensitatea curentului în funcţie de timp, după un timp suficient de mare

de la deschiderea întrerupătorului S1,

158

d). valoarea capacităţii condensatorului dacă după deschiderea ambelor

întrerupătoare intensitatea curentului şi tensiunea sunt în fază,

e). impedanţa circuitului când ambele întrerupătoare sunt deschise,

f). energia maximă înmagazinată în condensator,

g). energia maximă înmagazinată în inductanţă,

h). defazajul între curent şi tensiune dacă se dublează valoarea frecvenţei

sursei.

i). frecvenţa la care reactanţa 2

CL

XX = .

Fig. III.56

Soluţie

a). Când ambele comutatoare, S1 şi S2 sunt închise, curentul electrice

parcurge doar sursa şi rezistorul, astfel cu intensitatea curentului este egală cu

( ) 0 sinRVI t tR

= ω .

b). Puterea medie furnizată circuitului este egală cu

( ) ( ) ( )2 2

20 0sin2R

V Vt I t V t tR R

= = ω =P ,

deoarece,

2 2

0

1 1sin sin d2

T

t t tT

ω = ω =∫ .

c). Dacă întrerupătorul S1 este închis, curentul va trece prin sursă, rezistor şi

inductanţă, astfel că impedanţa circuitului este egală cu

2 2 2Z R L= +ω

159

şi defazajul dintre curent şi tensiune este

arctg LRω

ϕ = .

Astfel,

( ) ( ) 00 2 2 2sin sin arctgV LI t I t t

RR Lω⎛ ⎞= ω −ϕ = ω −⎜ ⎟

⎝ ⎠+ω.

d). Dacă ambele întrerupătoare sunt deschise, curentul traversează toate

elementele circuitului legate în serie şi defazajul devine

1

arctg 0L

CR

ω −ωϕ = = ,

de unde valoarea capacităţii este

20

1CL

=ω

.

e). În cazul de la punctul d), impedanţa circuitului este egală cu

2

2 1Z R L RC

⎛ ⎞= + ω − =⎜ ⎟ω⎝ ⎠.

f). Energia înmagazinată în condensator este

( )221 12 2el C CW CV C IX= = ,

a cărui valoare maximă este

2 2

2 2 0 0,max 0 2 2 2

0

1 1 12 2 2el C

V V LW CI X CR C R

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ω⎝ ⎠,

unde am utilizat relaţia 20

1LC

ω = .

g). Energia maximă înmagazinată în inductanţă este

2

2 0,max 0 2

12 2mag

LVW LIR

= = .

h). Dacă se dublează valoarea frecvenţei sursei, adică devine

022LC

ω= ω = ,

defazajul dintre curent şi tensiune devine

160

2132arctg arctg =arctg

2

LCLL LCLCCR R R C

⎛ ⎞⎛ ⎞ −⎜ ⎟ω −⎜ ⎟ ⎛ ⎞ω ⎜ ⎟ϕ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

i). Dacă 2

CL

XX = , adică 12

LC

ω =ω

,

rezultă că

012 2LC

ωω= = .

III.57. O tensiune electrică sinusoidală ( ) 200sinV t t= ω (V) este aplicată

unui circuit RLC serie cu 10L = mH, 100C = nF şi 20R = Ω .

Calculaţi:

a). frecvenţa de rezonanţă a circuitului,

b). amplitudinea intensităţii curentului la rezonanţă,

c). factorul de calitate al circuitului,

d). amplitudinea tensiunii electrice de la capetele inductanţei la rezonanţă.

Soluţie

a). 01 5033

2 LCν = =

πHz,

b). La rezonanţă,

00 10VI

R= = A,

c). 0 15,8LQRω

= = .

d). la rezonanţă,

30 0 0 0 3,16 10L LV I X I L= = ω = ⋅ V.

161

III.58. Considerăm circuitul din figura III.58.

a). Calculaţi impedanţa circuitului dacă acesta este alimentat la o tensiune

sinusoidală cu amplitudinea 0V şi pulsaţia ω .

b). Calculaţi valoarea maximă a intensităţii curentului electric care străbate

circuitul dacă 0V rămâne constant şi ω variază.

Fig. III.58

Soluţie

a). Impedanţa circuitului este egală cu

( )1

112

1 11

1

11 1

1 1

j Lj Lj CZ j L R R j L

j C j C L Cj Lj C

⋅ ωωωω = ω + + + = + ω + + =

ω ω −ω+ ωω

12

1 1

11

LR j LC L C

⎛ ⎞ω= + ω − +⎜ ⎟ω −ω⎝ ⎠

.

b). Intensitatea curentului este egală cu

1

21 1

11

V VIZ LR j L

C L C

= =⎛ ⎞ω

+ ω − +⎜ ⎟ω −ω⎝ ⎠

,

cu amplitudinea

( ) 00 2

2 12

1 1

11

VILR L

C L C

ω =⎛ ⎞ω

+ ω − +⎜ ⎟ω −ω⎝ ⎠

.

Din studiul funcţiei ( )0I ω observăm că

( ) 00 max

VIR

= şi ( )0 min0I =

162

când

12

1 1

11

LLC L C

ωω − + →∞

ω −ω,

ceea ce se întâmplă dacă 0ω= , sau ω→∞ , sau 1 1

1L C

ω= .

Primele două soluţii nu sunt realizabile practic şi rămâne doar 1 1

1L C

ω= .

163

IV. Ecuaţiile lui Maxwell

IV.1. Armăturile unui condensator plan au forma a două discuri de rază 0r ,

iar distanţa d dintre ele este mult mai mică decât 0r (d << 0r ). Armăturile sunt

încărcate electric cu sarcinile q0 şi −q0 (fig. IV.1). La momentul iniţial t = 0, centrele

discurilor sunt unite printr-un conductor subţire de rezistenţă R. Câmpul electric

dintre armături este omogen, iar inductanţa circuitului este neglijabilă.

a) Scrieţi relaţia de dependenţă de timp a sarcinii electrice de pe armături;

b) Găsiţi dependenţa de timp i(t) a intensităţii curentului electric ce trece

printr-o secţiune circulară de rază r (r < r0) a unei armături (secţiunea este

concentrică cu armătura);

c) Găsiţi dependenţa ( )trB , a inducţiei câmpului magnetic în spaţiul dintre

armături.

Fig. IV.1

Soluţie

a) Scriind că diferenţa de potenţial de la capetele rezistenţei este egală cu

diferenţa de potenţial dintre armăturile condensatorului rezultă că

0d=+

Cq

dtqR ,

164

sau RC

tqq dd

−= ,

de unde, după integrare, rezultă funcţia,

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=

RCtqq exp0 ,

unde 00 == tqq .

b) Sarcina electrică q fiind distribuită uniform pe suprafaţa armăturii, în

cercul de rază r se va găsi o sarcină electrică proporţională cu aria cercului de rază

r , adică

2

202 2

0 0

exprq r tq r qr r RC

⎡ ⎤= = −⎢ ⎥⎣ ⎦.

Intensitatea curentului electric prin secţiunea circulară de rază r este egală

cu:

2

02

0

d expd

rr

q q r tIt RC r RC

⎡ ⎤= − = ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦.

c) Din legea lui Ampère,

θΓ

⋅π=⋅=μ ∫ uBrlBIr 2d0 ,

deoarece θθ= url dd .

Astfel,

θ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

πμ

= uRCt

RCrqB exp

200 .

IV.2. Într-un loc din spaţiu aflat în vid, există un câmp electric variabil de

ecuaţie

cos zE A t jc

⎛ ⎞= ω −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Determinaţi expresia intensităţii câmpului magnetic variabil generat în

acelaşi loc din spaţiu.

165

Soluţie

Utilizăm legea lui Faraday,

0B HEt t

∂ ∂∇× = − = −μ

∂ ∂,

sau după dezvoltarea rotorului,

0y yz x z xE EE E E E Hi j k

y z z x x y t∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞− + − + − = −μ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

În cazul din enunţ, 0x zE E= = , astfel că rămâne

0yE Hi

z t∂ ∂

− = −μ∂ ∂

,

unde sinyE zA tz c c

∂ ω ⎛ ⎞= ω −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠. Deci

10 0

sin d cosxA z A zH t t t C

c c c cω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ω − = − ω − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟μ μ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

Constanta 1C poate fi considerată nulă deoarece câmpurile constante nu

influenţează câmpurile variabile. Deci,

0

cosA zH t ic c

⎛ ⎞= − ω −⎜ ⎟μ ⎝ ⎠.

IV.3. Într-un loc din spaţiu există un câmp magnetic a cărui inducţie variază

în timp conform relaţiei,

0btB B e k= ,

unde 0B şi b sunt constante.

Determinaţi expresia intensităţii câmpului electric generat de câmpul

magnetic variabil, în acelaşi loc din spaţiu.

Soluţie

Alegem în planul 0z = un contur circular de rază r de-a lungul căruia Eϕ

este constant datorită simetriei. Atunci, conform legii lui Faraday,

166

d dS

BE l St

∂⋅ = − ⋅

∂∫ ∫∫ ,

sau 202 btrE bB e rϕπ = − π .,

de unde

012

btE bB e ruϕ= − .

IV.4. În vid, unde nu există sarcini electrice libere şi nici curenţi electrici,

există un câmp magnetic a cărui inducţie are expresia,

( ) ( )sin cosB a t nx i any t nx j= ω − + ω − ,

unde a , n şi ω sunt constante.

Determinaţi expresia intensităţii câmpului electric generat de acest câmpul

magnetic variabil.

Soluţie

Folosim legea lui Ampere,

0 0EBt

∂∇× = ε μ

∂,

sau

0 0y yz x z xB BB B B B Ei j k

y z z x x y t∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞− + − + − = ε μ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

unde 0zB = , iar ( )yB f z≠ şi ( )xB f z≠ .

Rămâne că

( )20 0sin zEan y t nx

t∂

ω − = ε μ∂

,

de unde

( ) ( )2 2

0 0 0 00

sin d costan anE yk t nx t yk t nx= ω − ω = − ω −

ε μ ω ε μ ω∫ .

167

IV.5. În figura IV.5, mediul 2 este un conductor.

Calculaţi valoarea unghiului 1α .

Fig. IV.5

Soluţie

Mediul al doilea fiind un conductor, în cazul static, 2 0D = şi 2 0E = .

Conform condiţiei la limită pentru vectorul inducţie electrică,

1n SD = ρ

sau 11

SnE ρ=ε

şi conform condiţiei la limită pentru vectorul intensitate câmp electric, 1 2 0t tE E= = .

Astfel,

11

1

arctg arctg0 0t

n

EE

α = = =

IV.6. Liniile unui câmp electric dintr-un mediu cu permitivitatea dielectrică

relativă 1 7rε = trec într-un mediu în care permitivitatea dielectrică relativă este

2 2rε = (figura IV.6).

168

Calculaţi unghiul făcut de liniile de câmp electric cu normala la interfaţă în

mediul al doilea dacă unghiul făcut de liniile de câmp electric cu normala la interfaţă

în primul mediu este egal cu 60o .

Fig. IV.6

Soluţie

11

1

tg 3t

n

EE

α = =

şi 22

2

tg t

n

EE

α = .

Din condiţiile la limită pentru vectorii de câmp electric,

2 1t tE E=

şi 1 2n nD D= ,

unde 1 1 1n nD E= ε şi 2 2 2n nD E= ε .

Astfel, 12 1 1

2

3,5n n nE E Eε= =

ε,

iar 1 2 3t tE E= , iar 2 12 2 2tg 3,5 tgt n nE E E= θ = θ .

Din 2 1t tE E= , rezultă că

23tg 0,495

3,5θ = = , iar 2 26,4θ = o .

169

IV.7. O peliculă de material dielectric cu permitivitatea dielectrică egală cu

010ε = ε este aşezată într-un câmp electric de intensitate 0 142E = V/m (fig. IV.7)

Calculaţi componentele paralelă şi perpendiculară pe peliculă ale vectorului

E în interiorul peliculei şi direcţia vectorului E .

Fig. IV.7

Soluţie

Condiţiile la limită pentru vectorii de câmp electric în aer şi în peliculă sunt,

1 2 0 cos30 123t tE E E= = =o V/m.

şi 1 2n nD D= , sau 0 1 0 210n nE Eε = ε ,

de unde, 1 02

sin30 7,110 10

nn

E EE = = =o

V/m.

Astfel, 2 22 2 123,2t nE E E= + = V/m, iar 2

2

arctg 3,3n

t

EE

ϕ = = o .

În figura IV.7a este reprezentat vectorul E şi cele două componente ale

sale.

Fig. IV.7a

170

IV.8. Spaţiul dintre doi cilindri conductori coaxiali de lungime 25l = cm

este plin pe jumătate cu un dielectric care are constanta dielectrică 8rε = . Cilindrii

au razele egale cu 0,5 cm şi respectiv 2 cm şi sunt conectaţi la o baterie de 100 V

(fig. IV.8).

Calculaţi:

a). vectorii de câmp electric E şi D în aer şi în dielectric;

b). sarcina electrică indusă pe suprafaţa conductorului interior în puntele

adiacente cu aerul şi în punctele adiacente cu dielectricul;

c). capacitatea electrică a sistemului.

Fig. IV.8

Soluţie

a). Conform condiţiilor la limită pentru vectorii de câmp electric,

1 2t tE E=

şi 1 2n nD D= ,

unde am notat cu 1 aerul şi cu 2 dielectricul.

Într-un conductor componentele normale la interfaţă ale vectorilor de câmp

electric sunt nule, astfel că

1 2 0n nD D= = .

Componentele tangenţiale la interfaţă ale vectorilor intensitate câmp electric

din aer şi din dielectric sunt egale. Scriem că

171

( ) ( ) ( )0,02

0,005

d 0,02 0,005 100E r r V V− = − = −∫ ,

unde ( )2kE r

r=

π.

Astfel,

0,02

0,005

d 1002k r

r=

π∫ ,

sau 0,020,005ln 100

2k r =π

,

iar 200ln 4

k π= .

Prin urmare,

( ) 100 1ln 4

E rr

= ⋅ .

În aer,

( ) 0100 1ln 4aerD r

rε

= ⋅ ,

iar în dielectric,

( ) 0 0100 1 800 1ln 4 ln 4

rdielD r

r rε ε ε

= ⋅ = ⋅ .

b). Sarcina electrică indusă pe suprafaţa conductorului interior este

S D nρ = ⋅ .

Pe interfaţa cu aerul,

4

, 0 0100 1 10ln 4 0,005 ln 2S aerρ = ε ⋅ = ε ,

iar pe interfaţa cu dielectricul,

4

, 0 0100 1 8 108ln 4 0,005 ln 2S diel

⋅ρ = ε ⋅ = ε .

c). Sarcina electrică totală indusă pe conductorul interior este egală cu suma

dintre sarcinile electrice induse pe cele două interfeţe, cu aerul şi cu dielectricul,

astfel că

172

( ), , 0510S aer S dielq rl= ρ +ρ π = ε .

Capacitatea sistemului este egală cu

05,1qCU

= = ε F.

IV.9. Un condensator plan este compus din două armături circulare de rază

10R = cm. Condensatorul este încărcat electric cu o rată constantă astfel încât

intensitatea câmpului electric creşte cu o rată constantă egală cu

13d 10dEt= V/ms.

a). Calculaţi valoarea intensităţii curentului de deplasare prin condensator.

b). Deduceţi expresia inducţiei câmpului magnetic indus între armăturile

condensatorului în funcţie de distanţa r de la centrul armăturilor spre marginea

acestora.

c). Care este valoarea inducţiei magnetice pentru r R= .

Soluţie

a). 2 20 2,8d

D EI R Rt t

∂ ∂= π = ε π =

∂ ∂A.

b). Din legea lui Ampere,

0 0d dEB l St

∂⋅ = ε μ ⋅

∂∫ ∫ ,

pentru r R≤ rezultă că

20 0

d2dErB rt

π = ε μ π

sau int 0 01 d2 d

EB rt

= ε μ .

Pentru r R≥ ,

20 0

d2dErB Rt

π = ε μ π ,

173

sau 2

ext 0 0d

2 dR EB

r t= ε μ ⋅ .

În figura IV.9 este reprezentată dependenţa ( )B r .

c). În r R= ,

( ) 60 0

1 d 5,6 102 d

EB R Rt

−= ε μ = ⋅ T.

Fig. IV.9

IV.10. În figura IV.10 este ilustrată o bară conductoare cu o secţiunea

circulară cu raza de 2,1 cm. Intensitatea curentului I variază sinusoidal în timp cu

frecvenţa de 1590 Hz, iar sensul său pozitiv este specificat de săgeata din figură.

Fig. IV.10

În interiorul conductorului densitatea de curent de conducţie (drift) zJ k

variază cu distanţa r faţă de axa conductorului datorită efectului pelicular.

Densitatea de curent are expresia

( )0,001 sinrzJ e t rπ= ω + π A/cm2,

unde 42 10ω= πν rad/s, iar r este măsurat în cm.

a). Determinaţi dependenţa lui I de timp.

174

b). Bara este confecţionată din alamă cu conductivitatea electrică 7 1 11,57 10 m− −σ = ⋅ Ω şi cu 1rε = .

Determinaţi dependenţa curentului de deplasare de timp.

Soluţie

a). Alegem o ca arie diferenţială cea cuprinsă între două cercuri cu razele r

şi dr r+ , care este egală cu 2 dr rπ . Vectorial, d 2 dS r rk= π . Prin urmare,

d d 2 dzI J S J r r= ⋅ = π

şi ( )2,1 2,1

4

0 0

2 d 0,002 sin 10 drzI J r r re t r rπ= π = π + π∫ ∫ .

Facem schimbarea de variabilă x r= π şi integrala devine

( )2,1

4

0

0,002 sin 10 dxI xe t x xπ

= +π ∫ ,

care se integrează prin părţi, adică

( )2,1

4

0

sin 10 dxxe t x xπ

+ =∫

( ) ( )4 41 cos sin sin sin10 sin cos cos cos102

xe x x x x x t x x x x x t⎡ ⎤= + − + − +⎣ ⎦ ,

iar ( )4 4 41,87sin10 0,769cos10 2,024sin 10 22,3I t t t= − = − o A.

b). Prin definiţie, densitatea de curent de deplasare,

195,64 10d zD E JJ J kt t t

−∂ ∂ ε ∂= = ε = ⋅ = ⋅ =∂ ∂ σ ∂

18 45,64 10 sin 102

re t r− π π⎛ ⎞= ⋅ + π +⎜ ⎟⎝ ⎠

A/cm2.

Efectuând acelaşi tip de integrare ca la punctul a) obţinem pentru

intensitatea curentului de deplasare,

( )14 41,14 10 sin 10 67,7dI t−= ⋅ + o A.

Observăm că intensitatea curentului de deplasare este neglijabilă în

comparaţie cu intensitatea curentului de conducţie (drift).

175

IV.11. Într-un miez de fier ( )01000μ = μ există un câmp magnetic uniform

având inducţia egală cu 1,2 T, ca în figura IV.11. Se taie în miezul de fier o fantă cu

orientarea din figură, care este plină cu aer.

Determinaţi mărimea şi orientarea inducţiei magnetice în spaţiul cu aer.

Fig. IV.11

Soluţie

Notăm cu 1 mediul miezului de fier şi cu 2 mediul fantei cu aer şi scriem

condiţiile la limită pentru vectorii câmpului magnetic:

1 2n nB B= (componenta normală a inducţiei magnetice este continuă),

1 2t tH H= (componenta tangenţială a intensităţii câmpului magnetic este

continuă deoarece nu avem curenţi electrici de suprafaţă),

de unde

2 1 cos30 1n nB B B= = =o T,

iar din 1 2t tH H= rezultă că

1 2

0

t tB B=

μ μ, adică 51

2sin 30 6 10

1000 1000t

tB BB −= = = ⋅

o

T.

2 2 1n tB B B= + T.

176

IV.12. Un cablu coaxial este compus dintr-un fir subţire central prin care

trece un curent electric de intensitate 0I şi un conductor subţire concentric exterior

prin care trece un curent de intensitate 0I în sens opus. Jumătate din spaţiul dintre

cei doi conductori este umplut cu un material magnetic cu permeabilitatea μ şi

cealaltă jumătate cu aer (fig. IV.12).

Calculaţi vectorii intensitate câmp magnetic H , inducţie magnetică B şi

magnetizaţie M .

Fig. IV.12

Soluţie

Conform condiţiei la limită pentru componenta tangenţială a intensităţii

câmpului magnetic,

1 2 0t tH H= = ,

vectorul intensitate câmp magnetic are doar componentă radială, care este normală

pe suprafaţa dintre materialul magnetic şi aer, astfel încât

1 2n nB B= .

Utilizând legea lui Ampére,

dH I⋅ =∫ l ,

unde I este curentul total care traversează suprafaţa închisă de curbă.

Pentru <r a ,

177

0dH I⋅ =∫ l ,

adică ( ). . 0daer mat magnH H I+ ⋅ =∫ l

sau 00

dB B I⎛ ⎞

+ ⋅ =⎜ ⎟μ μ⎝ ⎠∫ l ,

unde d dr= θl este elementul de lungime de arc.

Astfel,

2

000

d dB Br r Iπ π

π

θ + θ =μ μ∫ ∫ ,

de unde

( )

0 0

0

IBrμ μ

=π μ +μ

.

Pentru >r a , curentul total care traversează suprafaţa curbei (un cerc cu

raza mai mare ca a ) este nul. Deci 0B = .

Pentru <r a , în aer

( )

0

0 0a

B IHrμ

= =μ π μ +μ

,

iar în materialul magnetic

( )

0 0

0m

B IHrμ

= =μ π μ +μ

.

În aer, 0

0a a aBM H H H= − = − =μ

, iar în materialul magnetic

0m

BM H= −μ

, adică

( ) ( )

( )( )

0 00 0 0

0 0 0

II IMr r r

μ −μμ μ= − =π μ +μ π μ +μ π μ +μ

.

IV.13. La un moment dat vectorii intensitate câmp electric şi câmp magnetic

au în punctul 1 din figura IV.13 expresiile,

178

( )1 0 3 x zE E u u= +

respectiv

1 0 2 yH H u= ,

unde 0E şi 0H sunt constante.

Fig. IV.13

Calculaţi expresiile aceloraşi vectori în punctul 2, aflat pe partea cealaltă a

interfeţei dintre mediile 1 şi 2.

Soluţie

Din condiţia la limită pentru vectorul inducţie electrică,

( )1 2 0nD D u− ⋅ =

rezultă că

2 1 0 03x xD D E= = ε ,

de unde

22 0

03x

xDE E= =ε

.

Din condiţia la limită pentru vectorul intensitate câmp electric,

( )1 2 0nu E E× − ⋅ = ,

rezultă că

2 1 0y yE E= =

şi 2 1 0z zE E E= = .

Din condiţia la limită pentru vectorul inducţie magnetică,

( )1 2 0nB B u− ⋅ = ,

179

rezultă că

2 1 0x xB B= = ,

de unde

22

0

02

xx

BH = =μ

.

Din condiţia la limită pentru vectorul intensitate câmp magnetic,

( )1 2 0nu H H× − ⋅ = ,

rezultă că

2 1 02y yH H H= =

şi 2 1 0z zH H= = .

Prin urmare, expresiile cerute ale vectorilor din mediul al doilea sunt,

( )2 0E E i k= +

şi 2 02H H j= .

IV.14. Considerăm spira circulară de rază r din figura IV.14. Spira este

astfel încălzită încât raza sa creşte liniar în timp conform relaţiei,

r vt= ,

Fig. IV.14

unde v este viteza constantă radială a unui punct de pe spiră. Spira se află într-un

câmp magnetic a cărui inducţie creşte liniar în timp conform relaţiei,

180

( )0 1B B kt= + ,

unde 0B şi k au valori constante. Direcţia vectorului B este normală pe planul

spirei şi este îndreptată spre observator.

Calculaţi tensiunea electromotoare indusă în spiră.

Soluţie

Calculăm fluxul de inducţie magnetică prin suprafaţa spirei,

2

.

dmSuprspirei

B S r BΦ = ⋅ = π∫∫ ,

unde vectorii B şi dS sunt paraleli, fiind ambii normali pe suprafaţa spirei.

Conform legii lui Faraday, tensiunea electromotoare indusă este egală cu

( ) ( )2 20

d d d2 2d d d

m r Be B r r vB r B k rt t tΦ ⎛ ⎞= − = −π − π = − π − π⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Am obţinut că tensiunea electromotoare indusă conţine doi termeni. Primul

termen depinde de viteza cu care se deplasează elementele de spiră prin câmpul

magnetic şi se numeşte tensiune electromotoare de mişcare, iar celălalt depinde de

viteza de variaţie a fluxului de inducţie magnetică şi se numeşte tensiune

electromotoare de transformare, fiind utilizată în transformatoarele de curent.

IV.15. Un câmp magnetic are inducţia variabilă în timp conform relaţiei,

0 cosB B t j= ω ,

unde 0B şi ω sunt constante.

Calculaţi tensiunea electromotoare indusă în spira dreptunghiulară din

planul Ox z reprezentată în figura IV.15 şi reprezentaşi grafic dependenţa de timp a

fluxului magnetic şi a tensiunii electromotoare induse.

181

Fig. IV.15

Soluţie

Fluxul de inducţie magnetică prin suprafaţa spirei dreptunghiulare este egal

cu 0 0 00 0 0 0

d d cos d cos d d cosb a b a

mS

B S z B tj j x B t z x abB tΦ = ⋅ = ω ⋅ = ω = ω∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Tensiunea electromotoare indusă este egală cu

( )0 0d d cos sin

d dme abB t abB t

t tΦ

= − = − ω = ω ω

În figurile IV.15a şi b sunt reprezentate dependenţele de timp ale fluxului de

inducţie magnetică şi respectiv tensiunii electromotoare induse. Observăm că cele

două mărimi sunt defazate cu 2π .

a b

Fig. IV.15

IV.16. Într-o regiune cilindrică infinit de lungă este generat un câmp

magnetic de inducţie B , care are, în coordonate cilindrice, expresia

182

( )0 cos , pentru0, pentru

B t aB

a⎧ ω +α ρ ≤

= ⎨ρ ≥⎩

,

unde 0B , ω şi ϕ sunt constante.

Calculaţi intensitatea câmpului electric indus de acest câmp magnetic

variabil şi reprezentaţi grafic rezultatul în funcţie de distanţa ρ faţă de axa

cilindrului.

Soluţie

Conform legii lui Faraday scrisă în formă diferenţială,

( )0 sinBE B t kt

∂∇× = − = ω ω +α

∂,

dacă am ales axa cilindrului de-a lungul axei Oz.

Din simetria cilindrică a problemei rezultă că vectorul E se află în planul

0x y şi este tangent la cercul de rază ρ , adică are expresia

( )E E uϕ ϕ= ρ .

Alegem un cerc de rază ρ drept curbă de integrare şi calculăm circulaţia lui

E , adică

( ) ( )0d d 2 d sin dC C S S

E l E u u E E S B t Sϕ ϕ ϕ ϕ⋅ = ⋅ρ ϕ = πρ = ∇× ⋅ = ω ω +α =∫ ∫ ∫∫ ∫∫

( )( )

20

20

sin , pentrusin , pentru

B t aB a t a

⎧ω πρ ω +α ρ ≤⎪= ⎨ω π ω +α ρ ≥⎪⎩,

de unde,

( )

( )

0

2

0

1 sin , pentru2

1 sin , pentru2

B t aE

aB t aϕ

⎧ ω ρ ω +α ρ ≤⎪⎪= ⎨ ⎛ ⎞⎪ ω ω +α ρ ≥⎜ ⎟⎪ ρ⎝ ⎠⎩

.

În figura IV.16 este reprezentată grafic dependenţa lui Eϕ de ρ .

183

Fig. IV.16

184

Tabele cu constante fizice

Tabelul 1. Permitivitatea dielectrică relativă

Substanţa rε Substanţa rε

Acetonă 27 Hârtie impregnată 3,5 Alcool etilic 25 Lemn uscat 4 Alcool metilic 35 Marmură 8 Amoniac 22 Mică 6 Ardezie 7 Parafină 2,2 Apă 80 Petrol 2,1 Asfalt 2,5 Polistiren 2,6 Azbest 2,5 Porţelan 5 Bachelita 4,5 Quartz topit 5 Benzen 2,3 Sticlă flint 10 Cauciuc pur 2,5 Sticlă crown 7 Chihlimbar 2,9 Sticlă Lead 6,6 Ebonită 2,6 Sticlă Pyrex 4,5 Eter 5,5 Sulf 4 Glicerină 40 Şerlac 3 Guttapercă 4 Terebentină 2,2 Hârtie uscată 2

Tabelul 2. Permeabilitatea magnetică relativă

Substanţa rμ

Aliaj platină-Cobalt (77% Pt, 23% Co) 1 Alnico (12% Al, 20% Ni, 5% Cr) 4 Ferită de bariu 1 Fier pur (tratat cu hidrogen) 25000 Ferită de mangan şi zinc 2000 Oţel (cu 1% C) 40 Oţel crom, oţel wolfram 30 Permalloy (78,5% Ni şi 21,5% Fe) 10000 Supermalloy (79% Ni, 15% Fe, 5% Mo, 5% Mn) 100000 Tablă silicoasă (4% Si) 500

185

Cuprins

Pag.

I. Câmpul electric 2

II. Curentul electric staţionar 63

III. Câmpul magnetic 93

IV. Ecuaţiile lui Maxwell 162

Tabele cu constante fizice 183