Lecţii de Mecanică Teoretică

CAPITOLUL 23. DINAMICA SOLIDULUI

Mişcarea generală a unui solid este perfect determinată dacă, în fiecare moment, se cunosc

vectorii caracteristici ai mişcării: viteza a unui punct oarecare O al solidului şi viteza unghiularã

în timpul rotaţei instantanee în jurul lui O. Variaţia în timp a acestor vectori şi a celor şase

parametri de poziţie ai rigidului se obţine cu ajutorul teoremelor generale ale dinamicii.

23.1. DINAMICA SOLIDULUI ÎN MIŞCARE DE TRANSLAŢIE

Se considerã un solid rigid de masã M acţionat de un sistem oarecare de forţe

Poziţia şi mişcarea rigdului faţă de sistemul de referinţã fix corespund

poziţiei şi mişcării unui triedru mobil , care are originea chiar în centrul de masă C şi axele

paralele cu cele fixe (fig. 23.1).

Deoarece în această mişcare,

la un moment dat, toate punctele

rigidului au aceeaşi viteză şi

aceeaşi acceleraţie, rezultă că

studiul dinamic se reduce la

determinarea mişcării unui punct

oarecare ce poate fi centrul de

masă C.

Se aplică teorema mişcãrii

centrului de masă

Fig.23.1

. (23.1)

Proiectând aceastã relaţie vectorialã pe axele , se obţine urmãtorul sistem

de ecuaţii diferenţiale:

(23.2)

unde sunt coordonatele centrului C în raport cu reperul fix .

Prin integrarea acestui sistem, rezultã ecuaţiile mişcãrii centrului de masă

.

Teorema momentului cinetic, aplicatã în raport cu centrul de masă

242

Lecţii de Mecanică Teoretică

, (23.3)

conduce la , deoarece .

Relaţia de echilibru a momentelor forţelor exterioare în raport cu C constituie tocmai

condiţia ca rigidul sã efectueze translaţie.

Observaţie. Teorema energiei cinetice, aplicatã mişcãrii de translaţie, este echivalentã cu

teorema mişcãrii centrului de masă. Într-adevãr, pornind de la relaţia (22.104), putem scrie ecuaţia

, (23.4)

care poate fi pusă sub forma

. (23.5)

Cum sunt independente, relaţia (23.5) admite soluţiile

,

adicã tocmai ecuaţiile diferenţiale (23.2), date de teorema mişcãrii centrului de masă.

23.2. DINAMICA SOLIDULUI ÎN MIŞCARE DE ROTAŢIE

23.2.1. Ecuaţiile generale de mişcare

Douã puncte şi ale unui rigid rămân fixe în spaţiu prin douã articulaţii, atunci rigidul

are o mişcare de rotaţie în jurul unei axe care trece prin acele puncte . Să studiem mişcarea rigidului

sub acţiunea forţelor exterioare şi să calculăm reacţiunile dinamice din articulaţii.

Vom raporta rigidul la reperul fix cu originea în şi cu axa orientată de-a

lungul axei de rotaţie. Pentru a cunoaşte distribuţia masei rigidului, este necesar un reper

solidar cu rigidul, a cãrui axã Oz şi origine O coincid cu , respectiv cu (fig. 27.2 ). De

asemenea, vom presupune că centrul de masă C al rigidului este situat în planul mobil xOz ce

formează cu planul fix unghiul de rotaţie .

Cum solidul are un singur grad de libertate, mişcarea va fi determinatã de funcţia scalarã

. (23.6)

În aceste condiţii, vectorul de poziţie al centrului C şi viteza unghiularã se exprimã în sistemul

mobil Oxyz prin relaţiile

. (23.7)

Pentru a determina legea mişcării (23.6) şi reacţiunile din articulaţii

, , (23.8)

243

Lecţii de Mecanică Teoretică

se vor aplica teoremele generale ale dinamicii sistenelor.

Teorema impulsului cinetic

se scrie

, (23.9)

unde impulsul cinetic este

determinat de proiecţiile sale

pe axele mobile:

(23.10)

Aplicând regula de derivare

pentru vectorul impuls cinetic

Fig.23.2

(23.11)

şi proiectând relaţia (23.9) pe axele reperului mobil, se obţin ecuaţiile

.

(23.12)

Teorema momentului cinetic, aplicatã în raport cu punctul fix , se exprimă sub forma

vectorială

, (23.13)

unde se introduce vectorul de poziţie şi momentul cinetic

. (23.14)

Ţinând seama de derivata absolută a momentului cinetic

, (23.15)

proiecţiile ecuaţiei vectoriale (23.13) pe cele trei axe mobile sunt:

,

(23.16)

unde este distanţa dintre centrele celor două articulaţii ale rigidului .

244

Lecţii de Mecanică Teoretică

Ultima ecuaţie a sistemului (23.16) este independentã de valorile reacţiunilor şi permite de-

terminarea legii de mişcare a rigidului cu o axã fixã. Într-adevãr, dacã forţele exterioare aplicate

solidului sunt cunoscute prin funcţii vectoriale de forma , iar condiţiile iniţiale ale

mişcãrii sunt , atunci prin integrarea ecuaţiei diferenţiale rezultã legea de

mişcare (23.6).

Din celelalte cinci ecuaţii ale sistemelor (23.12), (23.16) se determină proiecţiile reacţiunilor

dinamice:

(23.17)

.

Deoarece cele două componente şi nu pot fi determinate decât dacã se renunţã la

ipoteza rigiditãţii, problema este nedeterminatã. Dacã, însă, legătura devine articulaţie cilindricã,

atunci componenta se anuleazã şi rezultã imediat .

Observaţii.

1º. Teorema energiei cinetice, aplicatã în cazul rotaţiei rigidului, este echivalentã cu teorema

momentului cinetic în raport cu axa de rotaţie Oz. Într-adevãr, pornind de la relaţia (22.104), vom

scrie ecuaţia :

, (23.18)

care devine mai întâi , iar apoi

, (23.19)

adicã chiar ultima ecuaţie diferenţialã a sistemului (23.16) .

2º. Pentru ca reacţiunile şi din articulaţii sã nu depindã direct de viteza unghiularã şi

de acceleraţia unghiulară sunt necesare condiţiile

, (23.20)

care aratã cã axa de rotaţie Oz este o axã centralã principalã de inerţie.

245

Lecţii de Mecanică Teoretică

3º. Forţele cu care acţionează un rotor asupra lagărelor de fixare a axei de rotaţie depind, în

general, de viteza unghiulară şi de acceleraţia unghiulară . Aceste forţe capătă valori importante

în timpul mişcării, având ca urmări apariţia unor vibraţii dăunătoare sau a unor deformaţii ce

depăşesc limitele admisibile, cu consecinţe asupra uzurii rapide a lagărelor.

Cele mai mici valori ale reacţiunilor se obţin când rigidul este în repaus. Reacţiunile statice

se obţin uşor din ecuaţiile (23.12), (23.16), dacă vom face ; rezultă sistemul

(23.21)

Punând condiţia ca reacţiunile dinamice din ecuaţiile (23.17) să fie egale cu cele statice,

pentru aceeaşi solicitare exterioară, se obţine

(23.22)

Cum , din primele două relaţii rezultă . Rotorul este centrat dacă axa de

rotaţie trece prin centrul de masă C .

Ultimele ecuaţii (23.22) admit soluţii diferite de zero dacă determinantul sistemului liniar şi

omogen este în permanenţă nul, adică

,

(23.23)

de unde rezultă condiţia , echivalentă cu . Rotorul este acum centrat şi

echilibrat dinamic dacă axa de rotaţie este axă centrală principală de inerţie.

În cazul în care simetria materială de revoluţie în jurul axei de rotaţie nu este realizată,

centrajul şi echilibrajul dinamic pot fi realizate cu ajutorul a două maselote situate în plane diferite,

normale la axa de rotaţie.

23.2.2. Pendulul fizic

Un pendul fizic este un solid rigid care se roteşte în jurul unei axe orizontale sub acţiunea

greutãţii proprii.

Fie un rigid de masã M cu axa fixã situatã într-un plan orizontal. Se alege un sistem

fix având planul normal la axa de rotaţie . Axa Ox a sistemului mobil Oxy trece

246

Lecţii de Mecanică Teoretică

prin centrul de masă C al solidului şi se mişcă în plan vertical (fig.23.3). Poziţia solidului este

determinată de unghiul format de axele şi Ox.

Mişcarea şi componentele

şi ale reacţiunii din

articulaţia cilindricã O se pot

determina cu ajutorul celor

două teoreme generale.

Teorema momentului cinetic,

aplicatã faţã de punctul fix O,

va da ecuaţia diferenţială a

mişcãrii

, (23.24)

unde este momentul axial de

Fig.23.3 inerţie al rigidului faţă de Oz,

iar reprezintă distanţa de la centrul C la Oz. Scrisã sub forma

, (23.25)

ecuaţia este asemãnãtoare cu ecuaţia diferenţialã a mişcãrii pendulului matematic. De aceea, analiza

mişcãrii pendulului fizic poate fi redusă la studiul mişcãrii unui pendul matematic de lungime

, datã de relaţia

. (23.26)

Într-adevãr, pentru aceleaşi condiţii iniţiale ale mişcãrii , , , cele douã pendule vor

executa mici oscilaţii cu aceeaşi perioadã

. (23.27)

Pendulul matematic de lungime l este sincron cu pendulul fizic. Aplicând teorema Huygens- Steiner

,

între axa de suspensie Oz şi axa de oscilaţie care trece prin centrul de masă C, se poate obţine

lungimea l a pendulului matematic , unde s-a notat

. (23.28)

Scriind relaţia (23.28) sub forma conjugată

, (23.29)

247

Lecţii de Mecanică Teoretică

deducem cã lungimile şi îşi pot schimba rolurile. Într-adevăr, suspendând rigidul în , pendulul

matematic sincron cu cel fizic va avea aceeşi lungime l şi deci aceeaşi perioadã de oscilaţie (23.27).

Aceastã proprietate caracterizezã reversibilitatea axelor de suspensie şi de oscilaţie ale pendulului

fizic .

Pentru a calcula reacţiunea axei pendulului fizic, vom folosi teorema mişcării centrului de

masă. Se va presupune că Oxy este plan de simetrie al rigidului şi că Oz este axã principalã de

inerţie, încât ; se obţine sistemul

, (23.30)

de unde rezultă imediat componentele H şi V ale reacţiunii dinamice din lagăr.

Integrând ecuaţia (22.25), se determinã funcţia , iar apoi din (23.30) se deduc

reacţiunile dinamice

, .

23.3. DINAMICA SOLIDULUI ÎN MIŞCARE PLAN-PARALELĂ

Dacã trei puncte necoliniare , , ale unui solid rãmân în permanenţă într-un plan fix

numit plan director, atunci acel solid efectuează o mişcare plan-paralelã. Constrângerile mişcării

sunt îndeplinite dacã rigidul este rezemat în trei puncte.

În cele ce urmeazã se va studia mişcarea rigidului de masã M, sub acţiunea forţelor

şi se vor determina reacţiunile din cele trei reazeme .

Vom raporta mişcarea rigidului la un reper fix cu axele şi situate în

planul director al mişcãrii şi la un triedru mobil Cxyz, solidar cu rigidul, având originea în centrul

de masă C şi axele Cx, Cy conţinute într-un plan paralel cu . Punctul C este, în acelaşi

timp, originea unui alt sistem mobil ale cãrui axe rãmân paralele cu axele triedrului fix

(fig.22.5) .

Deoarece mişcarea rigidului este aceeaşi cu cea a triedrului mobil Cxyz, poziţia sa va fi datã

de coordonatele ale centrului C şi de unghiul dintre axele şi Cx .

De aceea legile de mişcare vor fi cunoscute prin funcţiile scalare

, , . (23.31)

Variaţia în timp a celor trei

parametri şi reacţiunile

normale , introduse

de legături în , se

248

Lecţii de Mecanică Teoretică

pot obţine cu ajutorul

teoremelor generale ale

dinamicii.

Teorema mişcãrii centrului

de masă

Fig.23.5

se proiectează pe axele fixe , , , furnizând ecuaţiile scalare

, , . (23.32)

Teorema momentului cinetic în raport cu centrul de masă C se scrie sub forma

, (23.33)

unde

(23.34)

este momentul cinetic în raport cu C , calculat în mişcarea relativã al rigidului în jurul acestui

centru.

Ţinând seama de expresiile analitice

, , (j=1, 2, 3)

se proieteazã relaţia vectorialã (23.33) pe axele Ox, Oy, Oz şi se obţin următoarele ecuaţii

. (23.35)

Primele douã ecuaţii ale sistemului (23.32) împreunã cu ultima ecuaţie din (23,35) constituie

ecuaţiile diferenţiale ale mişcãrii plan-paralele a solidului. Într-adevãr, dacã forţele exterioare sunt

reprezentate prin funcţiile vectoriale , atunci integralele ecuaţiilor

următoare

, , , (23.36)

împreunã cu condiţiile iniţiale ale mişcãrii

249

Lecţii de Mecanică Teoretică

, , , , , ,

vor determina legile de mişcare (23.31).

Forţele de legãturã rezultã din celelalte ecuaţii ale sistemelor (23.32), (23.35).

Observaţii.

1º. Teorema energiei cinetice, aplicatã în cazul mişcãrii plan-paralele, reprezintã o relaţie

diferenţialã ce conţine trei funcţii necunoscute independente: . Expresia matematicã a

acestei teoreme este o consecinţã a ecuaţiilor diferenţiale (23.36). Într-adevăr, pornind de la relaţia

,

se deduce relaţia diferenţială

,

care devine

. (23.37)

Deoarece , sunt independente, relaţia (23.37) admite soluţiile

, , ,

adicã ecuaţiile diferenţiale ale mişcãrii rigidului (23.36).

2º. Dacã axa normalã Cz este axã principalã de inerţie, expresiile reacţiunilor normale nu

mai depind direct de şi deoarece , .

3º. Mişcarea plan-paralelã a unei plăci ce coincide cu planul Cxy se studiază cu ajutorul

ecuaţiilor (23.36).

23.4. DINAMICA SOLIDULUI ÎN MIŞCARE SFERICĂ

23.4.1. Ecuaţiile generale de mişcare

Un solid poate executa o mişcare sferică atunci când trei puncte necoliniare ale lui rămân în

permanenţă pe suprafaţa unei sfere, numită sferă directoare. Rigidul are o mişcare în jurul unui

punct fix O, care coincide cu centrul sferei. Legătura rigidului pote fi reprezentată printr-o

articulaţie sfericã cu centrul în O.

Se raportează mişcarea rigidului la un reper fix şi la un referenţial mobil Oxyz

solidar cu rigidul, ale cãror origini coincid cu punctul fix (fig.23.6). Vom presupune, fãrã a reduce

generalitatea, cã axele Ox, Oy, Oz coincid cu axele pricipale de inerţie în raport cu O.

250

Lecţii de Mecanică Teoretică

Fig. 23.6

Luând în considerare acţiunea forţelor exterioare asupra solidului de masã

M, se vor determina legile de mişcare şi reacţiunea din .

Vom observa cã solidul are trei grade de libertate şi cã mişcarea sa este aceeaşi cu cea a

triedrului mobil Oxyz. De aceea , legile de mişcare ale rigidului cu punct fix vor fi determinate dacã

se va cunoaşte variaţia în timp a trei funcţii scalare

, , , (23.38)

unde sunt unghiurile lui Euler. Aceste trei funcţii împreunã cu reacţiunea din articulaţie

se vor determina cu teorema impulsului cinetic şi teorema momentului cinetic:

, . (23.39)

În aceste relaţii, vectorii şi sunt daţi de relaţiile următoare

,

unde cu s-au notat coordonatele centrului de masă C în sistemul de referinţă mobil Oxyz, cu

componentele vitezei unghiulare , iar cu momentele principale de inerţie.

Calculând derivatele absolute ale vectorilor cinetici şi şi proiectãnd relaţiile (23.39) pe

axele Ox, Oy, Oz , rezultã urmãtorul sistem de ecuaţii

251

Lecţii de Mecanică Teoretică

.

(23.40)

Fiind independente de reacţiunea , ultimele trei relaţii ale sistemului (23.40) vor constitui

ecuaţiile diferenţiale ale mişcãrii sferice a rigidului, adică ecuaţiile dinamice ale lui Euler.

Observãnd cã între componentele vitezei unghiulare şi unghiurile lui Euler existã relaţiile

cinematice:

,

(23.41)

ecuaţiile lui Euler vor forma un sistem de ecuaţii diferenţiale, având ca necunoscute funcţiile scalare

(23.38).

Dacã presupunem cã forţele exterioare sunt exprimate prin funcţii vectoriale de forma

,

atunci integralele ecuaţiilor lui Euler în cadrul condiţiilor iniţiale , , , ,

, , vor reprezenta tocmai legile de mişcare (23.38).

Cunoscând funcţiile , se calculeazã vitezele unghiulare şi derivatele lor în

raport cu timpul. Rezultatele obţinute se introduc în primele trei ecuaţii ale sistemului (23.40)

pentru a determina proiecţiile reacţiunii dinamice .

Observaţii.

1º. Teorema energiei cinetice , aplicatã în cazul rigidului cu un punct fix, reprezintã o relaţie

diferenţialã cu necunoscutele . Această teoremă este o consecinţã a ecuaţiilor

diferenţiale ale lui Euler. Într-adevăr, pornind de la relaţia diferenţială

252