TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE - universitatea · PDF fileTEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 61 TEMA...
Transcript of TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE - universitatea · PDF fileTEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 61 TEMA...
TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 61
TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE
Obiective:
Definirea principalelor proprietăţi matematice ale integralelor nedefinite
Analiza principalelor proprietăţi matematice ale ecuaţiilor diferenţiale
Aplicaţii economice ale integralelor nedefinite
Aplicaţii economice ale ecuaţiilor diferenţiale
Conținut:
7.1 Proprietăţile integralelor nedefinite 62
7.2 Ecuaţii diferenţiale 65
7.3 Aplicaţii economice ale integralelor nedefinite 66 7.3.1 Costul total şi profitul total 66 7.3.2 Consumul şi venitul naţional 66 7.3.3 Aplicaţii ale ecuaţiilor diferenţiale 67
7.4 Concepte cheie 67
62 MODULUL 4: MODELE DE CALCUL INTEGRAL
7.1 Proprietățile integralelor nedefinite
În multe situaţii practice, dispunem de informaţii asupra ratei de schimbare a unei funcţii – pe care a denumit-o funcţia marginală – şi ne interesează să determinăm funcţia iniţială. Acest tip de probleme aplicative ne conduce din punct de vedere matematic la determinarea unei funcţii atunci când se cunoaşte derivata acelei funcţii.
Definiţia 7.1: Funcţia ( )xF se numeşte primitiva (funcţia primitivă sau antiderivata) funcţiei ( )xf pe intervalul ( )ba, dacă în orice punct ( )bax ,∈ funcţia ( )xF este derivabilă şi
( ) ( )xfxF =′ .
Dacă ( )xF este primitiva funcţiei ( )xf pe intervalul ( )ba, , atunci, în mod evident, funcţia ( ) KxF + (unde K este o constantă) este, de asemenea, o primitivă a funcţiei ( )xf pe intervalul ( )ba , . În general, două primitive ale aceleiaşi funcţii diferă între ele printr-o constantă.
Definiţia 7.2: Mulţimea tuturor primitivelor unei funcţii ( )xf pe intervalul ( )ba , se numeşte integrala nedefinită a funcţiei ( )xf şi se notează:
dxxf∫ )( . (7.1)
În această notaţie, semnul ∫ se numeşte semnul de integrală, iar expresia ( )dxxf se numeşte elementul de integrare. Dacă ( )xF este una din primitivele funcţiei ( )xf pe intervalul ( )ba , , atunci
( ) ( ) KxFdxxf +=∫ . (7.2)
unde K este o constantă arbitrară, respectiv o nedeterminată ce poate să parcurgă toate numerele reale. Operaţia de determinare a primitivei sau a integralei nedefinite a funcţiei ( )xf se numeşte integrarea funcţiei ( )xf . Vom discuta în continuare proprietăţile de bază ale integralei nedefinite. Aceste proprietăţi ale operaţiilor cu integrale sunt:
(1) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) Kdxxgdxxfdxxgxf +±=± ∫∫∫ ; (7.3)
(2) ( )[ ] ( ) Kdxxfdxxf +⋅=⋅ ∫∫ αα , =α constant. (7.4)
Vom enumera în cele ce urmează primitivele principalelor funcţii ce apar în modelele economice, care formează tabloul integralelor nedefinite de bază:
Kdx =⋅∫ 0 ; (7.5)
Kxdx +=⋅∫1 ; (7.6)
Kxdxx ++
=+
∫ 1
1
α
αα , ( 1−≠α ); (7.7)
TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 63
Kxdxx
+=∫ ln1 , ( 0≠x ); (7.8)
Ka
adxax
x +=∫ ln, ( 10 ≠< a ); (7.9)
Kedxe xx +=∫ ; (7.10)
Kax
aaxdx
+=+∫ arctan1
22 , 0≠a ; (7.11)
Kaxax
aaxdx
++−
=−∫ ln
21
22 , 0≠a , ax ≠ ; (7.12)
Kax
axdx
+=−∫ arcsin
22, 0≠a , ( )aax ,−∈ ; (7.13)
( ) Kaxxax
dx+++=
+∫ 22
22ln . (7.14)
Să analizăm şi două proprietăţi care sunt consecinţe imediate ale definiţiei date pentru integrala nedefinită, care implică faptul că simbolurile d (de diferenţiere) şi ∫ (de integrare) se anulează reciproc. Au loc proprietăţile:
(a) ( ) ( )dxxfdxxfd =∫ ;
(b) ( ) ( )∫ += KxFxdF .
Să investigăm acum principalele metode de integrare. Prima metodă este metoda directă, care constă în aplicarea directă, acolo unde este posibil, a proprietăţilor operaţiilor cu integrale (7.3) şi (7.4), precum şi formulele de integrare (7.5) ÷ (7.14). Una din cele mai uzuale metode de integrare este integrarea prin schimbare de variabilă (sau prin substituţie). Metoda se bazează pe proprietatea că dacă ( )xt ϕ= , iar ( )tf are primitiva ( )tF , adică:
( ) ( )∫ += KtFdttf , (7.15)
atunci există primitiva funcţiei ( )[ ] ( )xxf ϕϕ ′⋅ , adică:
( )[ ] ( ) ( )[ ] KxFdxxxf +=′⋅∫ ϕϕϕ . (7.16)
Integrarea prin părţi este una din cele mai eficace metode de integrare şi se bazează pe proprietatea următoare. Să presupunem că funcţiile ( )xu şi ( )xv sunt derivabile. Atunci are loc relaţia:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxuxvxvxudxxvxu ′⋅−⋅=′⋅ ∫∫ . (7.17)
Ţinând cont de proprietăţile diferenţialei, relaţia (7.17) se mai poate scrie:
duvvudvu ⋅−⋅=⋅ ∫∫ . (7.18)
64 MODULUL 4: MODELE DE CALCUL INTEGRAL
Să detaliem acum metodele de integrare a funcţiilor raţionale, de forma: ( )( )∫ xQxP , unde
( )xP şi ( )xQ sunt polinoame. Să analizăm mai întâi integralele de tipul:
∫ +++ dx
cbxaxnmx
2 .
Metoda generală de rezolvare a acestui tip de integrală constă în aducerea trinomului de gradul al doilea la forma unei sume sau diferenţe de pătrate:
( ) qpxacbxax ++⋅=++ 22 ,
unde p şi q sunt constante. În plus, dacă 0=m , metoda conduce la una din formulele de integrare (7.11) sau (7.12). Dacă 0≠m , dăm factor comun la numărător derivata bax +2 a trinomului de gradul al doilea şi avem:
( )∫∫ =
++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++⋅
=++
+= dx
cbxaxa
mbnbaxa
m
dxcbxax
nmxI 222
22
( )∫∫ ++⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
+++
⋅= dxcbxaxa
mbndxcbxax
baxa
m22
12
22
.
În prima integrală facem schimbarea de variabilă tcbxax =++2 , de unde ( ) dtdxbax =+2 , iar a doua integrală este de tipul discutat mai sus. Obţinem:
∫ ++⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+++⋅= dx
cbxaxambncbxax
amI 2
2 12
ln2
.
În general, pentru rezolvarea integralelor raţionale se aduce expresia la forma
ireductibilă ( )( )xQxP , unde ( ) ( )xgradQxgradP < . Mai întâi descompunem polinomul ( )xQ sub
forma:
( ) ( ) ( )λα lxaxxQ −⋅⋅−= K ,
unde la ,,K sunt rădăcinile reale diferite ale polinomului ( )xQ , cu ordinele de multiplicitate respectiv λα ,,K . Metoda constă în descompunerea în „fracţii simple”, scriind:
( )( ) ( ) ( )
KK +−
++−
+−
= αα
axA
axA
axA
xQxP
221
( ) ( )λλ
axL
lxL
lxL
−++
−+
−K2
21 .
Pentru determinarea coeficienţilor λα LLLAAA ,,,,,,,, 2121 KKK procedăm fie prin identificarea cu ( )xP , fie prin atribuirea de valori convenabile.
Pentru integrarea expresiilor iraţionale de forma: ∫++
+ dxcbxax
nmx2
, procedăm la
descompunerea în sumă sau diferenţă de pătrate a trinomului de la numitor şi apoi aplicăm o metodă analogă metodei analizate pentru expresiile raţionale, aplicând formulele de calcul (7.13) sau (7.14)
TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 65
Pentru integralele iraţionale de tipul: ( )∫ +++ cbxaxnmx
dx2
, facem schimbarea de
variabilă tnmx=
+1 şi explicitându-l pe x în funcţie de t şi diferenţiind se obţine o integrală
de tipul celei de mai sus.
7.2 Ecuații diferențiale
Să ne reamintim că am introdus noţiunea de derivată ca fiind rata de schimbare instantanee a unei funcţii ( )tfy = şi am notat această rată de schimbare în timp cu dtdy . În foarte multe procese de creştere, din domeniul economic, dar şi alte domenii cum sunt fizica, biologia sau ştiinţele sociale, rata de schimbare în timp a cantităţii unui element este proporţională cu cantitatea actuală a acelui element. Această proprietate se poate scrie sub forma:
kydtdy
= , ( constant=k ). (7.19)
O ecuaţie de tipul de mai sus se numeşte o ecuaţie diferenţială, deoarece ea conţine diferenţiale sau derivate. Alte exemple de ecuaţii diferenţiale sunt:
(a) ( )1
1+
=′x
xf , (b) tdtdy 2= , (c) ( )dxyxdy 1+= .
Soluţia unei ecuaţii diferenţiale este o funcţie ce satisface ecuaţia diferenţială iniţială. De exemplu, o funcţie care satisface ecuaţia (a) este o primitivă a lui ( )xf ′ . De asemenea, se
observă că o soluţie a ecuaţiei (b) este funcţia 2ty = , pentru care avem tdtdy 2= . Dar şi
funcţiile de forma 12 += ty sau 22 −= ty sunt şi ele soluţii ale lui (b). Atunci soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (b) se obţine integrând în ambii membri:
Ktydttdtdtdy
+=⇒= ∫∫ 22 .
Astfel, Kty += 2 este o soluţie generală a ecuaţiei diferenţiale (b). Dacă determinăm o anumită valoare specifică a lui K, atunci soluţia rezultată se numeşte soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale. O ecuaţie diferenţială ce conţine diferenţiale sau derivate de ordinul întâi se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul întâi. Dar nu toate ecuaţiile diferenţiale se rezolvă direct, prin integrare în ambii membri. De exemplu, ecuaţia (7.19) de mai sus nu poate fi rezolvată direct prin integrarea ambilor membri ai ecuaţiei în raport cu variabila t. Totuşi, putem să rescriem ecuaţia, astfel încât termenii care îl conţin pe y să fie într-un membru, iar termenii care îl conţin pe t să fie în celălalt membru. În cazul nostru rezultă:
dtky
dy⋅= . (7.20)
66 MODULUL 4: MODELE DE CALCUL INTEGRAL
În general, atunci când o ecuaţie diferenţială poate fi rescrisă sub forma:
( ) ( )dttBdyyA = sau ( ) ( )dxxfdyyg = ,
spunem că ecuaţia este separabilă. Soluţia unei ecuaţii diferenţiale separabile se obţine integrând ambii membri ai ecuaţiei în raport cu variabilele care au fost separate. Astfel, pentru a rezolva ecuaţia (7.19), care a fost scrisă după separarea variabilelor y şi t sub forma (7.20), integrăm în ambii membri şi obţinem:
21ln KktKydtky
dy+=+⇒⋅= ∫∫ .
Notând 123 KKK −= , rezultă 3ln Kkty += . Presupunând 0>y şi scriind ecuaţia sub formă exponenţială, obţinem succesiv:
Keeeey ktKktKkt ⋅=⋅== + 33 ,
unde 3KeK = . Soluţia Key kt ⋅= este soluţia generală a ecuaţiei (7.19).
7.3 Aplicații economice ale integralelor nedefinite
7.3.1 Costul total şi profitul total
Revenim cu analiza noastră asupra modelelor economice de şi aplicaţiilor care implică funcţiile de cost, de venit şi de consum. După cum s-a observat, am reluat aceste concepte în contexte şi cu abordări diferite, deoarece ale sunt fundamentale în studiul modelelor economice. Vom utiliza în continuare metodele de integrare pentru a obţine funcţiile de cost total şi profit total, pe baza funcţiilor marginale corespunzătoare. Unul din motivele utilizării funcţiilor marginale este acela că în practică pot fi observate schimbările marginale din activitatea curentă, pe baza cărora pot fi dezvoltate metodele privind costul total. Să remarcăm că, în mod natural, în aplicaţiile în care am utilizat derivatele, abordarea a fost de la costul total către costul marginal. Prin metodele de integrare, parcurgem calea inversă, care este uneori mai aproape de situaţiile practice. Să presupunem că funcţia de cost marginal pentru un anumit produs este
( ) ( )xCxCM ′= , unde ( )xC este funcţia de cost total. Ştiind expresia funcţiei de cost marginal, atunci vom determina prin integrare funcţia de cost total, adică:
( ) ( )∫= dxxCMxC . (7.21)
7.3.2 Consumul şi venitul național
Am analizat anterior funcţia de consum naţional ( ) ( )xfxCN = , unde x este venitul naţional disponibil. Tendinţa marginală naţională de consum este derivata funcţiei de consum, respectiv:
( )xfdx
dCN ′= . (7.22)
TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 67
Invers, dacă cunoaştem tendinţa de consum, prin integrare obţinem funcţia de consum naţional:
( ) ( ) KxfdxxfCN +=′= ∫ . (7.23)
De o manieră similară, dacă ( )xVN reprezintă funcţia venitului net naţional, atunci
NN VCx += sau NN CxV −= . Atunci tendinţa marginală a venitului net naţional este:
dx
dCdx
dV NN −=1 . (7.24)
Procedând invers, dacă cunoaştem tendinţa de consum marginală ( )xfdx
dCN ′= , prin
integrare obţinem funcţia de venit naţional net:
( ) ( )xfxdxxfxVN −=′−= ∫ . (7.25)
7.3.3 Aplicații ale ecuațiilor diferențiale
Dacă p este preţul unui anumit produs la momentul t, putem să considerăm preţul ca o funcţie de timp. Similar, numărul de unităţi de produs cerut de consumatori Cq şi numărul de unităţi oferite de producători Oq , în orice moment de timp, pot fi considerate, de asemenea, funcţii de timp. Atât cantitatea cerută, cât şi cantitatea oferită depind însă nu numai de preţul la un moment dat, dar şi de direcţia şi de rata de schimbare cu care consumatorii şi producătorii estimează că va evolua preţul. De exemplu, cu toate că preţul este ridicat, dacă consumatorii estimează că preţul va creşte, cererea ar putea să crească. Analog, dacă preţurile sunt scăzute, dar producătorii estimează că preţurile vor mai scădea, atunci oferta ar putea să crească. Dacă presupunem că preţurile sunt stabilite pe o piaţă cu competiţie de cerere şi ofertă, atunci vom căuta să determinăm echilibrul de piaţă. Egalând oferta cu cererea, obţinem o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi.
7.4 Concepte cheie
Funcţie primitivă
Integrală nedefinită
Integrare directă
Integrare prin schimbare de variabilă
Integrare prin părţi
Ecuaţie diferenţială
Ecuaţie diferenţială de ordinul întâi
Ecuaţie diferenţială separabilă
Tendinţă marginală de consum
Tendinţă marginală a venitului net
68 MODULUL 4: MODELE DE CALCUL INTEGRAL