Observaii:

1. Mulimea funciilor f: [a, ) R local integrabile, cu ( )a

f x dx

convergent, notat ([a ,)) are structur algebric de spaiu vactorial

real.

2. Aplicaia : ([a ,)) R care asociaz fiecrui f ([a ,)) numrul

real ( )1a

I f x dx

= (convergent) este liniar, dup egalitatea (VII.21) din

teorema VII.9.

2. Criterii de convergen pentru integrale improprii

Problema convergenei integralelor improprii va fi studiat n dou

situaii: integrantul are semn constant i apoi cnd integrantul are semn

variabil. n afar de teorema lui Cauchy, aplicabil fr condiii asupra

semnului integrantului, vom avea criterii de comparaie cu inegaliti i cu

limit, criteriul integral al lui Cauchy (pentru funcii pozitive) i criterii de

tip Abel-Dirichlet, Leibniz (pentru funcii de semn oarecare).

Presupunem f 0, x [a, ) (cazul f(x) 0, x[a, ) nu se

studiaz deoarece convergena ( )a

f x dx

este echivalent cu convergena

integralei ( )a

f x dx

).

Condiia f 0, x a implic faptul c F(u) = ( )u

af x dx , u > a este o

funcie monoton cresctoare i, n acest caz, existena limitei este lim ( )u

F uO

NLY

FOR

STUD

ENTS

1

echivalent cu faptul c F(u) este majorat (mrginit superior) pentru

u .

Teorema VII.10

Fie f : [a, ) R pozitiv i local integrabil. Integrala improprie

( )a

f x dx

este convergent, dac i numai dac, F(u) este majorat pe

[a, ) pentru u .

Demonstraie: ( )a

f x dx

convergent 1lim ( )def

uF u I

= R .

Totodat, existena l , cu F funcie cresctoare, este echivalent cu

faptul c F majorat pentru u .

im ( )u

F u

Teorema VII.11. (Criteriul de comparaie cu inegaliti - I)

Fie f , g: [a, ) R pozitive i local integrabile. Dac avem: f (x) g(x),

x a, atunci au loc afirmaiile:

1) convergent ( )a

g x dx

( )a f x dx

convergent;

2) ( )a

f x dx

divergent divergent. ( )a g x dx

Demonstraie: Din ipoteza f (x) g(x), x a, rezult c:

F(u) =u

afdx G(u) =

u

agdx , u > a.

1) Dac este convergent, atunci G(u) este majorat

pentru u . Aadar, din inegalitatea F(u) G(u), u > a rezult c F(u)

este majorat pentru u. Deci, dup teorema VII.10,

( )a

g x dx

( )a

f x dx

este convergent.

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

2

2) Dac ( )a

f x dx

este divergent, atunci lim ( )u F u = . Cum

F(u) este cresctoare i pozitiv rezult c F(u) este nemajorat pentru

u . Deoarece F(u) G(u), u > a rezult c G(u) nemajorat pentru

u. Dar G(u) este cresctoare i pozitiv, deci lim ( )u

G u

= , ceea ce

nseamn c este divergent. ( )a

g x dx

Observaii:

1. Criteriul de comparaie cu inegaliti este anevoios de aplicat, deoarece

necesit stabilirea n prealabil a inegalitii: f (x) g(x).

2. Pentru aplicarea acestui criteriu, putem folosi afirmaia: " ( )a

f x dx

convergent ( )0a

f x dx

convergent pentru orice a0 > a i a0 suficient

de mare ales". Deci comparaia celor dou funcii f i g ar fi suficient "de

la un loc ncolo" potrivit de deprtat de x = a.

Teorema VII.12. (Criteriul de comparaie cu inegaliti - II)

Fie f , g: [a, ) R pozitive i local integrabile. Dac exist a0 > a, astfel

nct f (x) g(x), x [a0, ), atunci au loc afirmaiile:

1') convergent ( )a

g x dx

( )a f x dx

convergent;

2') ( )a

f x dx

divergent divergent. ( )a g x dx

Demonstraia se obine direct din teorema VII.11 i observaia 2.

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

3

Teorema VII.13. (Criteriul de comparaie cu limit).

Fie f , g: [a, ) R pozitive i local integrabile. Dac exist limita

(VII.22) [ ]( )lim i 0,( )x

f x l lg x

=

atunci au loc afirmaiile:

1) pentru l finit (l < ) i convergent ( )a

g x dx

( )a f x dx

este convergent;

2) pentru l nenul (l >0) i divergent ( )a

g x dx

( )a f x dx

este divergent;

3) pentru 0 < l < +, integralele ( )a

f x dx

i au aceeai natur.

( )a

g x dx

Demonstraie:

1) Fie 0 l < + . Atunci (VII.22)

(VII.22') ( ) ( )

0, 0 i a. . .

( ) ( ) ( )u u a x u

l g x f x l g x > > > > >

< < +

a

Deci f(x) < ( l + ) g (x), x > u > a. Cum este convergent,

dup teorema VII.12, rezult c

( )a

g x dx

( )a

f x dx

este convergent. ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

4

2) l 0 ( )( )

( )( )

lim 0 limx x

f x g xl

g x f x l= = < + . Din (VII.22'),

rezult c g(x) < ( l + ) f(x), x > u > a. Astfel, cum ( )a

f x dx

este

divergent, dup teorema VII.12, rezult c este divergent. ( )a

g x dx

3) Fie 0 < l< i (VII.22'). Alegem > 0 a. . l - > 0. Cum

( )a

f x dx

este convergent i (l - ) g(x) < f(x), x > u > a, dup teorema

VII.11, rezult c este convergent. ( )a

g x dx

Cnd este convergent, avnd f(x)u( )a

g x dx

>a,

dup teorema VII.11, rezult c ( )a

f x dx

este convergent.

Cnd ( )a

f x dx

este divergent i f(x) < ( l + ) g (x), x > u > a,

dup teorema VII.11, rezult c este divergent. ( )a

g x dx

Cnd este divergent i ( l + ) g(x) < f(x), x > u( )a

g x dx

> a,

dup teorema VII.11, rezult c ( )a

f x dx

este divergent. ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

5

Teorema VII.14. (Criteriul n )

Fie f : [a, ) R pozitiv i local integrabil.

(i) Dac exist > 1 a. . lim ( )x

x f x l

= < , atunci ( )a

f x dx

este

convergent;

(ii) Dac exist 1 a. . lim ( ) 0x

x f x l

= > , atunci ( )a

f x dx

este

divergent.

Demonstraie: tiind c ( 0a

dx ax

> ) este convergent cnd > 1

i divergent cnd 1, pentru (i) aplicm criteriul de comparaie cu

limit, cazul 1), cu 1( )g xx

= (teorema VII.13 - 1), iar pentru (ii)

aplicm criteriul de comparaie cu limit, cazul 2), tot cu 1( )g xx

=

(teorema VII.13 - 2).

Teorema VII.15. (Criteriul n )

Fie f : [a, c) R, cu x = c punct singular i f pozitiv, local integrabil.

(i) Dac exist

= > , atunci ( )c

af x dx

este

divergent.

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

6

Demonstraia este imediat, folosind criteriul de comparaie cu

limit (teorema VII.13), cu ( )

1( )g xc x

=

cunoscut fiind faptul c

( )c dxa c x este convergent pentru < 1 i divergent pentru 1.

Teorema VII.16 (Criteriul integral al lui Cauchy).

Fie f : [1, ) R o funcie monoton descresctoare i pozitiv.Urmtoarele

afirmaii sunt echivalente:

(I) seria numeric 1

( )n

f n

= este convergent.

(II) irul numeric { }1 1( )n

nf x dx

este convergent.

(III) integrala improprie 1

( )f x dx

este convergent.

Demonstraie: Fie Sn = f(1) + f(2) + ...+ f(n) irul de sume pariale

al seriei numerice 1

( )n

f n

= i Vn = 1 ( )

nf x dx termenul general al

irului ( )1 1( )n

nf x dx

. Funcia f, monoton descresctoare, este integrabil

pe [1, ). Deci f este i local integrabil. Cum f 0, integrala definit a lui

f are proprietatea de monotonie. Astfel, avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3

1 2

2 1 , 3 2 ,...,f f x dx f f f x dx f f n

( ) ( )1

1n

n

f x dx f n

. Adunnd aceste inegaliti, obinem:

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

7

(VII.23) Sn f(1) Vn, n 1 i Vn Sn 1, n 2.

(I) (II) Dac 1

( )n

f n

= este convergent (S

def

n) este convergent n R.

Deci (Sn) este (n mod necesar) ir mrginit. Din (VII.23) (Vn Sn 1, n2),

rezult c irul ( ) 1n nV este mrginit superior i, fiind cresctor, rezult prin

teorema Weierstrass, c (Vn) este ir convergent n R.

(II) (I) Dac irul ( ) 1n nV este convergent atunci (n mod necesar) este

ir mrginit i, din (VII.23) (Sn f(1) Vn, n 1), rezult c (Sn) este

mrginit. irul (Sn) fiind monoton cresctor i mrginit este convergent. Ca

urmare, seria 1

( )n

f n

= este convergent.

(II) (III) Fie F(u) = ( )1

u

f x dx , u 1 i lim nnl V= . Pentru orice u 1,

exist nN a. . u < n i deci F(u) F(n) = Vn l. Dar lim nn V l= >0,

nN a. . n n | Vn - l | < . Fie un . Atunci, un > n de la un

rang ncolo i deci F(un) F(n) = l - . Cum F(unV n) l, rezult c

l -

Consecina VII.3.

Fie f : [1, ) R o funcie pozitiv i descresctoare. Atunci seria

1( )

nf n

= i integrala improprie ( )

1

f x dx

au aceeai natur.

Demonstraia este evident din echivalena (I) (III) i din

criteriul integral al lui Cauchy (teorema VII.16).

Consecina VII.4.

Fie f : [1, ) R cu 1( )f xx

= , pozitiv i descresctoare pentru >0.

Atunci seria armonic generalizat sau seria lui Riemann

1 1

1( )f nn

= i integrala improprie 1

dxx

au aceeai natur. Deci sunt

convergente pentru > 1 i divergente pentru 1.

Demonstraia este direct, din consecina VII.3 i teorema VII.16.

Consecina VII.5

Fie g: [a, ) R pozitiv i local integrabil, iar f : [1, ) R local

integrabil. Dac exist M > 0, astfel nct | f (x) | Mg(x), x a i

integrala este convergent, atunci ( )a

g x dx

( )a

f x dx

este absolut

convergent i are loc inegalitatea: ( ) ( )a a

f x dx M g x dx

.

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

9

Consecina VII.1