32_criterii de Convergenta Integrale Improprii

of 9 /9
2. Criterii de convergenţă pentru integrale improprii Problema convergenţei integralelor improprii va fi studiată în două situaţii: integrantul are semn constant şi apoi când integrantul are semn variabil. În afară de teorema lui Cauchy, aplicabilă fără condiţii asupra semnului integrantului, vom avea criterii de comparaţie cu inegalităţi şi cu limită, criteriul integral al lui Cauchy (pentru funcţii pozitive) şi criterii de tip Abel-Dirichlet, Leibniz (pentru funcţii de semn oarecare). Presupunem f 0, x [a, ) (cazul f(x) 0, x[a, ) nu se studiază deoarece convergenţa ( ) a f x dx este echivalentă cu convergenţa integralei ( ) a f x dx ). Condiţia f 0, x a implică faptul că F(u) = () u a f x dx , u > a este o funcţie monoton crescătoare şi, în acest caz, existenţa limitei este lim () u Fu →∞ ONLY FOR STUDENTS 1

description

Criterii

Transcript of 32_criterii de Convergenta Integrale Improprii

Observaţii:

1. Mulţimea funcţiilor f: [a, ∞) →R local integrabile, cu ( )a

f x dx∞

convergentă, notată ℑ([a ,∞)) are structură algebrică de spaţiu vactorial

real.

2. Aplicaţia : ℑ([a ,∞)) → R care asociază fiecărui f ∈ℑ([a ,∞)) numărul

real ( )1a

I f x dx∞

= ∫ (convergentă) este liniară, după egalitatea (VII.21) din

teorema VII.9.

2. Criterii de convergenţă pentru integrale improprii

Problema convergenţei integralelor improprii va fi studiată în două

situaţii: integrantul are semn constant şi apoi când integrantul are semn

variabil. În afară de teorema lui Cauchy, aplicabilă fără condiţii asupra

semnului integrantului, vom avea criterii de comparaţie cu inegalităţi şi cu

limită, criteriul integral al lui Cauchy (pentru funcţii pozitive) şi criterii de

tip Abel-Dirichlet, Leibniz (pentru funcţii de semn oarecare).

Presupunem f ≥ 0, ∀ x ∈[a, ∞) (cazul f(x) ≤ 0, ∀x∈[a, ∞) nu se

studiază deoarece convergenţa ( )a

f x dx∞

∫ este echivalentă cu convergenţa

integralei ( )a

f x dx∞

−⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ).

Condiţia f ≥ 0, ∀ x ≥ a implică faptul că F(u) = ( )u

af x dx∫ , ∀ u > a este o

funcţie monoton crescătoare şi, în acest caz, existenţa limitei este lim ( )u

F u→∞O

NLY

FOR

STUD

ENTS

1

echivalentă cu faptul că F(u) este majorată (mărginită superior) pentru

u →∞.

Teorema VII.10

Fie f : [a, ∞) →R pozitivă şi local integrabilă. Integrala improprie

( )a

f x dx∞

∫ este convergentă, dacă şi numai dacă, F(u) este majorată pe

[a, ∞) pentru u →∞.

Demonstraţie: ( )a

f x dx∞

∫ convergentă 1lim ( )def

uF u I

→∞⇔∃ = R∈ .

Totodată, existenţa l , cu F funcţie crescătoare, este echivalentă cu

faptul că F majorată pentru u → ∞.

im ( )u

F u→∞

Teorema VII.11. (Criteriul de comparaţie cu inegalităţi - I)

Fie f , g: [a, ∞) →R pozitive şi local integrabile. Dacă avem: f (x) ≤ g(x),

∀ x ≥ a, atunci au loc afirmaţiile:

1) convergentă ⇒ ( )a

g x dx∞

∫ ( )a

f x dx∞

∫ convergentă;

2) ( )a

f x dx∞

∫ divergentă ⇒ divergentă. ( )a

g x dx∞

Demonstraţie: Din ipoteza f (x) ≤ g(x), ∀ x ≥ a, rezultă că:

F(u) =u

afdx∫ ≤ G(u) =

u

agdx∫ , ∀ u > a.

1) Dacă este convergentă, atunci G(u) este majorată

pentru u →∞. Aşadar, din inegalitatea F(u) ≤ G(u), ∀ u > a rezultă că F(u)

este majorată pentru u→∞. Deci, după teorema VII.10,

( )a

g x dx∞

( )a

f x dx∞

∫ este

convergentă.

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

2

2) Dacă ( )a

f x dx∞

∫ este divergentă, atunci lim ( )u

F u→∞

= ∞ . Cum

F(u) este crescătoare şi pozitivă rezultă că F(u) este nemajorată pentru

u →∞. Deoarece F(u) ≤ G(u), ∀ u > a rezultă că G(u) nemajorată pentru

u→∞. Dar G(u) este crescătoare şi pozitivă, deci lim ( )u

G u→∞

= ∞ , ceea ce

înseamnă că este divergentă. ( )a

g x dx∞

Observaţii:

1. Criteriul de comparaţie cu inegalităţi este anevoios de aplicat, deoarece

necesită stabilirea în prealabil a inegalităţii: f (x) ≤ g(x).

2. Pentru aplicarea acestui criteriu, putem folosi afirmaţia: " ( )a

f x dx∞

convergentă ⇔ ( )0a

f x dx∞

∫ convergentă pentru orice a0 > a şi a0 suficient

de mare ales". Deci comparaţia celor două funcţii f şi g ar fi suficientă "de

la un loc încolo" potrivit de depărtat de x = a.

Teorema VII.12. (Criteriul de comparaţie cu inegalităţi - II)

Fie f , g: [a, ∞) →R pozitive şi local integrabile. Dacă există a0 > a, astfel

încât f (x) ≤ g(x), ∀ x ∈ [a0, ∞), atunci au loc afirmaţiile:

1') convergentă ⇒ ( )a

g x dx∞

∫ ( )a

f x dx∞

∫ convergentă;

2') ( )a

f x dx∞

∫ divergentă ⇒ divergentă. ( )a

g x dx∞

Demonstraţia se obţine direct din teorema VII.11 şi observaţia 2.

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

3

Teorema VII.13. (Criteriul de comparaţie cu limită).

Fie f , g: [a, ∞) →R pozitive şi local integrabile. Dacă există limita

(VII.22) [ ]( )lim şi 0,( )x

f x l lg x→∞

= ∈ ∞

atunci au loc afirmaţiile:

1°) pentru l finit (l < ∞) şi convergentă ⇒ ( )a

g x dx∞

∫ ( )a

f x dx∞

∫ este

convergentă;

2°) pentru l nenul (l >0) şi divergentă ⇒ ( )a

g x dx∞

∫ ( )a

f x dx∞

∫ este

divergentă;

3°) pentru 0 < l < +∞, integralele ( )a

f x dx∞

∫ şi au aceeaşi

natură.

( )a

g x dx∞

Demonstraţie:

1) Fie 0 ≤ l < + ∞. Atunci (VII.22) ⇔

(VII.22') ( ) ( )

0, 0 şi a. î. .

( ) ( ) ( )u u a x u

l g x f x l g xε ε ε∀ε > ∃ > > ∀ > >⎧⎪

⎨⇒ −ε < < + ε⎪⎩

a

Deci f(x) < ( l + ε) g (x), ∀ x > uε > a. Cum este convergentă,

după teorema VII.12, rezultă că

( )a

g x dx∞

( )a

f x dx∫∞

este convergentă. ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

4

2) l ≠ 0 ⇔ ( )( )

( )( )

lim 0 limx x

f x g xl

g x f x→∞ →∞l= ≠ ⇔ = < +∞ . Din (VII.22'),

rezultă că g(x) < ( l + ε) f(x), ∀ x > uε > a. Astfel, cum ( )a

f x dx∫∞

este

divergentă, după teorema VII.12, rezultă că este divergentă. ( )a

g x dx∫

3) Fie 0 < l< ∞ şi (VII.22'). Alegem ε > 0 a. î. l - ε > 0. Cum

( )a

f x dx∫∞

este convergentă şi (l - ε) g(x) < f(x), ∀ x > uε > a, după teorema

VII.11, rezultă că este convergentă. ( )a

g x dx∫

Când este convergentă, având f(x)<(l+ ε) g (x), ∀x>u( )a

g x dx∞

∫ ε>a,

după teorema VII.11, rezultă că ( )a

f x dx∫∞

este convergentă.

Când ( )a

f x dx∞

∫ este divergentă şi f(x) < ( l + ε) g (x), ∀ x > uε > a,

după teorema VII.11, rezultă că este divergentă. ( )a

g x dx∫∞

Când este divergentă şi ( l + ε) g(x) < f(x), ∀ x > u( )a

g x dx∞

∫ ε > a,

după teorema VII.11, rezultă că ( )a

f x dx∫∞

este divergentă. ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

5

Teorema VII.14. (Criteriul în α)

Fie f : [a, ∞) →R pozitivă şi local integrabilă.

(i) Dacă există α > 1 a. î. lim ( )x

x f x lα

→∞= < ∞ , atunci ( )

af x dx

∫ este

convergentă;

(ii) Dacă există α ≤ 1 a. î. lim ( ) 0x

x f x lα

→∞= > , atunci ( )

af x dx

∫ este

divergentă.

Demonstraţie: Ştiind că ( 0a

dx ax

α >∫ ) este convergentă când α > 1

şi divergentă când α ≤ 1, pentru (i) aplicăm criteriul de comparaţie cu

limită, cazul 1°), cu 1( )g xxα= (teorema VII.13 - 1°), iar pentru (ii)

aplicăm criteriul de comparaţie cu limită, cazul 2°), tot cu 1( )g xxα=

(teorema VII.13 - 2°).

Teorema VII.15. (Criteriul în λ)

Fie f : [a, c) →R, cu x = c punct singular şi f pozitivă, local integrabilă.

(i) Dacă există λ <1 a. î. ( )lim ( )x cx c

c x f x lλ

→<

− = < ∞ , atunci ( )c

af x dx

∫ este

convergentă;

(ii) Dacă există λ ≥ 1 a. î. ( )lim ( ) 0x cx c

c x f x lλ

→>

− = > , atunci ( )c

af x dx

∫ este

divergentă.

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

6

Demonstraţia este imediată, folosind criteriul de comparaţie cu

limită (teorema VII.13), cu ( )

1( )g xc x λ=−

cunoscut fiind faptul că

( )c dx−

a c x λ−∫ este convergentă pentru λ< 1 şi divergentă pentru λ ≥ 1.

Teorema VII.16 (Criteriul integral al lui Cauchy).

Fie f : [1, ∞) →R o funcţie monoton descrescătoare şi pozitivă.Următoarele

afirmaţii sunt echivalente:

(I) seria numerică 1

( )n

f n∞

=∑ este convergentă.

(II) şirul numeric { }1 1( )

n

nf x dx

≥∫ este convergent.

(III) integrala improprie 1

( )f x dx∞

∫ este convergentă.

Demonstraţie: Fie Sn = f(1) + f(2) + ...+ f(n) şirul de sume parţiale

al seriei numerice 1

( )n

f n∞

=∑ şi Vn =

1( )

nf x dx∫ termenul general al

şirului ( )1 1( )

n

nf x dx

≥∫ . Funcţia f, monoton descrescătoare, este integrabilă

pe [1, ∞). Deci f este şi local integrabilă. Cum f ≥ 0, integrala definită a lui

f are proprietatea de monotonie. Astfel, avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3

1 2

2 1 , 3 2 ,...,f f x dx f f f x dx f f n≤ ≤ ≤ ≤∫ ∫ ≤

( ) ( )1

1n

n

f x dx f n−

≤ ≤∫ . Adunând aceste inegalităţi, obţinem:

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

7

(VII.23) Sn – f(1) ≤ Vn, ∀n ≥ 1 şi Vn ≤ Sn – 1, ∀n ≥ 2.

(I) ⇒ (II) Dacă 1

( )n

f n∞

=∑ este convergentă (S

def

⇒ n) este convergent în R.

Deci (Sn) este (în mod necesar) şir mărginit. Din (VII.23) (Vn≤ Sn– 1, ∀n≥2),

rezultă că şirul ( ) 1n nV

≥ este mărginit superior şi, fiind crescător, rezultă prin

teorema Weierstrass, că (Vn) este şir convergent în R.

(II) ⇒ (I) Dacă şirul ( ) 1n nV

≥ este convergent atunci (în mod necesar) este

şir mărginit şi, din (VII.23) (Sn – f(1) ≤ Vn, ∀n ≥ 1), rezultă că (Sn) este

mărginit. Şirul (Sn) fiind monoton crescător şi mărginit este convergent. Ca

urmare, seria 1

( )n

f n∞

=∑ este convergentă.

(II) ⇒ (III) Fie F(u) = ( )1

u

f x dx∫ , ∀u ≥ 1 şi lim nnl

→∞V= . Pentru orice u ≥1,

există n∈N a. î. u < n şi deci F(u) ≤ F(n) = Vn ≤ l. Dar lim nnV

→∞l= ⇔ ∀ε>0,

∃ nε∈N a. î. ∀ n ≥ nε ⇒ | Vn - l | < ε. Fie un → ∞. Atunci, un > nε de la un

rang încolo şi deci F(un) ≤ F(nε) = ≤ l - ε. Cum F(unVε

n) ≤ l, rezultă că

l - ε <F(un) ≤ l < l + ε, adică | F(un) - l | < ε, pentru n suficient de mare.

Aşadar, lim ( )nnF u l

→∞= , în R şi astfel, ( ) ( )

1

f x dx l∞

=∫ este convergentă.

(III) ⇒ (II) rezultă din faptul că F(n) = Vn, ∀n ≥1 şi din definiţia integralei

improprii convergente.

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

8

Consecinţa VII.3.

Fie f : [1, ∞) →R o funcţie pozitivă şi descrescătoare. Atunci seria

1( )

nf n

=∑ şi integrala improprie ( )

1

f x dx∞

∫ au aceeaşi natură.

Demonstraţia este evidentă din echivalenţa (I) ⇔ (III) şi din

criteriul integral al lui Cauchy (teorema VII.16).

Consecinţa VII.4.

Fie f : [1, ∞) →R cu 1( )f xxα= , pozitivă şi descrescătoare pentru α >0.

Atunci seria armonică generalizată sau seria lui Riemann

1 1

1( )f nn

∞ ∞

α=∑ ∑ şi integrala improprie 1

dxx

α∫ au aceeaşi natură. Deci sunt

convergente pentru α > 1 şi divergente pentru α ≤1.

Demonstraţia este directă, din consecinţa VII.3 şi teorema VII.16.

Consecinţa VII.5

Fie g: [a, ∞) →R pozitivă şi local integrabilă, iar f : [1, ∞) →R local

integrabilă. Dacă există M > 0, astfel încât | f (x) | ≤ Mg(x), ∀ x ≥ a şi

integrala este convergentă, atunci ( )a

g x dx∞

∫ ( )a

f x dx∞

∫ este absolut

convergentă şi are loc inegalitatea: ( ) ( )a a

f x dx M g x dx∞ ∞

≤∫ ∫ .

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

9