Integrale de suprafata de primul tip

Fie M R2 o multime masurabila si fie S : M R3 opanza de suprafata parametrizata injectiva de clasa C1 avandreprezentarea parametrica

S :

x = x(u, v)

y = y(u, v)

z = z(u, v)

, (u, v) M.

Asociem suprafetei S campul vectorial r : M E3,

r (u, v) = x(u, v) + y(u, v) + z(u, v).

Presupunem, n plus, ca suprafata S este nesingulara, adicaru rv 6= 0 pe M .

2010, Nova8 p. 1/30

Fie D M un dreptunghi,

D = {(u, v) | u0 u u0+u, v0 v v0+v}.

Sa calculam, pentru nceput, aria paralelogramului construitpe vectorii r (u0 + u, v0) r (u0, v0),

r (u0, v0 + v) r (u0, v0).Avem: arie(S(D))

(r (u0+u, v0)r (u0, v0))(r (u0, v0+v)r (u0, v0))T.medie ru(u0, v0)u rv(u0, v0)v,

deci

arie(S(D)) ru rvuv.2010, Nova8 p. 2/30

Este justificata astfel definitia:DEFINITIE Se numeste arie a panzei de suprafata S(M)numarul real

arie(S(M)) :=

M

ru rv dudv.DEFINITIE Expresia diferentialad := ru rv dudv se numeste element de arie.Scriind

ru rv =

xu yu z

u

xv yv z

v

= A + B + C, unde

A =

yu z

u

yv zv

, B = z

u x

u

zv xv

, C = x

u y

u

xv yv

,2010, Nova8 p. 3/30

obtinem d =

A2 + B2 + C2 dudv.

Pornind de la:

ru rv2 = ru2 rv2 sin2(ru, rv)= ru

2rv

2 ru2rv2 cos2(ru, rv)= ru

2rv

2 (rurv)2,si notand:

E = ru2 = xu

2 + yu2 + zu

2

F = rurv = x

ux

v + y

uy

v + z

uz

v

G = rv2 = xv

2 + yv2 + zv

2,obtinem

d =

EG F 2 dudv.

In cazul n care S admite o reprezentare explicitaz = z(x, y), notand z

x= p, z

y= q, obtinem

d =

1 + p2 + q2 dxdy.

2010, Nova8 p. 4/30

EXEMPLU Sa se deduca expresia elementului de arie pentru sfera

S :

x = R sin cos

y = R sin sin

z = R cos

, [0, 2), [0, ].

Folosind formulele:

E = x2 + y

2 + z2,

G = x2 + y

2 + z2,

F = xx + y

y

+ z

z

,

obtinem:E = R2(sin2 sin2 + sin2 cos2 ) = R2 sin2 ,

G = R2(cos2 cos2 + cos2 sin2 + sin2 ) = R2,

F = R2( sin sin cos cos + sin sin cos cos ) = 0,si deci

d =

EG F 2 d d = R2 sin d d.2010, Nova8 p. 5/30

Fie f o functie reala continua pe un domeniu care contine peS(M).

DEFINITIE Se numeste integrala de suprafata n raport cuaria, pe S, numarul real

Sf(x, y, z) d :=

Mf(x(u, v), y(u, v)z(u, v)) rurv dudv.

REMARCA Integrala de suprafata n raport cu aria se numestesi integrala de suprafata de primul tip.Observam ca:

arie(S) =

S

d.

2010, Nova8 p. 6/30

De asemenea, n cazul unei panze omogene asimilatasuprafetei S(M), daca r = x + y + z este vectorulde pozitie al unui punct curent pe suprafata, atunci vectorulde pozitie rG al centrului de greutate al panzei este dat de

rG =

S

r dS

d.

2010, Nova8 p. 7/30

EXEMPLU Sa determinam centrul de greutate al unei panzeomogene de forma semisferei

S : x2 + y2 + z2 = R2, z 0.Avem reprezentarea parametrica

S :

x = R sin cos

y = R sin sin

z = R cos

, [0, 2), [0, 2].

Din considerente de simetrie rezulta: xG = 0, yG = 0.

Avem: zG =

S

z dS

d,

III 2010, Nova8 p. 8/30

S

z d = R3 2

0d

/20

sin cos d = R3,

S

d = R2 2

0d

/20

sin d = 2R2,

zG =R3

2R2=

R

2. NH

2010, Nova8 p. 9/30

Integrala de suprafata de al doilea tip

Fie n = n (A) =ru rv

ru rvversorul normalei la

suprafata S n punctul A S(M).

n

S

DEFINITIE Daca oricare ar fi o curba nchisa pe S(M),aplicatia care asociaza unui punct A de pe aceasta curbaversorul n (A) este continua, atunci spunem ca suprafata Seste orientabila, sau are doua fete .

III2010, Nova8 p. 10/30

Banda lui MobiusExista suprafete neorientabile.Un astfel de exemplu este banda lui Mobius.

III2010, Nova8 p. 11/30

Sticla lui Klein

Sticla lui Klein esteun alt exemplude suprafata cu osingura fata.

III2010, Nova8 p. 12/30

Sensul de parcurgere al unei curbe simple, nchise, de pesuprafata S(M), este dat de sensul de parcurgere alcontraimaginii traiectoriei lui n planul parametrilor u si v.REMARCA Intuitiv, daca un observator se deplaseaza pefrontiera unei suprafete n sens direct, sensul piciorcap fiindsensul normalei n , atunci el are spre mana stanga fata pozitiva asuprafetei.Fie S : M R3 o panza de suprafata presupusa orientabila.Fixam o orientare pe S alegand normala

n =ru rv

ru rv.

Consideram campul vectorial continuu v = P + Q + Rdefinit pe un domeniu care contine pe S(M).III

2010, Nova8 p. 13/30

DEFINITIE Se numeste flux al campului v prin suprafataS, si se noteaza cu S(v ), integrala de suprafata

S(v ) :=

S

v n d.

Se foloseste si notatia d := n d. Observam ca:

S(v ) =

M

vru rv

ru rvru rv dudv

=

M

v (ru rv) dudv =

M

P Q Rxu y

u z

u

xv yv z

v

dudv,deci

S(v ) :=

S

v n d =

M

P Q Rxu y

u z

u

xv yv z

v

dudv.III

2010, Nova8 p. 14/30

Notand cu , , respectiv unghiurile facute de normala n cuversorii , , , avem

v n = P cos + Q cos + R cos ,

de unde, notand cu dydz, dzdx, dxdy respectiv proiectiileelementului de arie d pe planele de coordonateyOz, zOx, xOy obtinem

S

v n d =

S

P dydz + Q dzdx + R dxdy,

adica o noua notatie pentru integrala

S

v n d, numita si

integrala de suprafata de speta a doua sau integrala desuprafata n raport cu coordonatele.III 2010, Nova8 p. 15/30

EXEMPLU Sa calculam fluxul campului v = k prin fataexterioara a sferei

S :

x = R sin cos

y = R sin sin

z = R cos

, [0, 2), [0, ].

Avem: n = sin cos + sin sin + cos ,

v n = cos ,

d = R2 sin dd,

S(v ) =

S

v n d

= R2 2

0d

0

sin cos d = 0.

III 2010, Nova8 p. 16/30

Formula lui Stokes

TEOREMA (G.G. STOKES) Circulatia unui camp v de clasaC2 pe fr S este egala cu fluxul rotorului lui v prin S, adica

fr S

v dr =

S

(rot v )n d.

REMARCA Formula lui Stokes se poate scrie sub formafr S

P dx + Q dy+R dz

=

S

(Q

x P

y

)dxdy+

(R

y Q

z

)dydz+

(P

z R

x

)dzdx.

Daca (S) este un domeniu din planul xOy avem:

dz = dydz = dzdx = 0,

si se obtine formula lui Green.III

2010, Nova8 p. 17/30

Integrala tripla

Fie R3 marginita si masurabila si fie

= {i | 1 i n}

o partitie a ei formata din multimi masurabile:

=n

i=1

i, i j fr i fr j, i 6= j.

Notam cu maximul diametrelor multimilor din partitia si cu v(i) masura (volumul) multimii i.III

2010, Nova8 p. 18/30

i

Ni

2010, Nova8 p. 19/30

Fie f : R.DEFINITIE Daca pentru orice partitie a multimii sipentru orice alegere a punctelor Ni = (i, i, i) i, limitalim0

ni=1

f(i, i, i)v(i), exista si nu depinde de alegerea

facuta, atunci ea se noteaza cuf(x, y, z) dxdydz sau

f(x, y, z) d

si se numeste integrala tripla sau integrala de volum a functieif pe domeniul .III

2010, Nova8 p. 20/30

Pentru f = 1, se obtine volumul multimii ,

v() =

dxdydz.

Daca : R este densitatea unui corp asimilat cudomeniul , atunci masa acestui corp va fi

masa() =

(x, y, z) dxdydz

iar vectorul de pozitie rG al centrului de greutate este

rG =

r (x, y, z)(x, y, z) dxdydz

(x, y, z) dxdydz

.

III2010, Nova8 p. 21/30

Calculul integralei tripleConsideram multimea = {(x, y, z) | (x, y) D, g1(x, y) z g2(x, y)},unde g1, g2 : D R sunt functii continue.TEOREMA Daca functia f : R este continua, atunci

f(x, y, z) dxdydz =

D

( g2(x,y)g1(x,y)

f(x, y, z) dz

)dxdy.

REMARCA Se mai utilizeaza notatia

D

( g2(x,y )g1(x,y )

f(x, y, z)dz

)dxdy =

D

dxdy

g2(x,y )g1(x,y )

f(x, y, z) dz.

III2010, Nova8 p. 22/30

Schimbarea de variabila n integrala tripla

Fie R3 masurabila, T : un difeomorfism sifie f : R continua. In aceste conditii avem

f(x, y, z) dxdydz

=

f(T (u, v, w))

D(x, y, z)D(u, v, w) dudvdw.

2010, Nova8 p. 23/30

EXEMPLU Calculul volumului bilei de raza R, = {(x, y, z) R3 | x2 + y2 + z2 R2}.

Consideram transformareaT : ,

T :

x = sin cos

y = sin sin

z = cos ,

= {(, , ) | 0 R,0 < 2, 0 }.

Jacobianul transformarii T este

D(x, y, z)

D(, , )= 2 sin .

III2010, Nova8 p. 24/30

Avem:

v() =

dxdydz =

D(x, y, z)D(, , ) ddd

=

2 sin ddd

=

R0

2 d

20

d

0

sin d =4R3

3.

2010, Nova8 p. 25/30

Formula lui Gauss-Ostrogradski

Fie v = P + Q + R : E3 un camp de clasaC1 si fie

div v :=P

x+

Q

y+

R

z

divergenta campului v .

2010, Nova8 p. 26/30

TEOREMA (Gauss-Ostrogradski)Fluxul campului v prin suprafata fr , dupa normalaexterioara n este egal cu integrala divergentei campului vpe , adica

fr v n d =

div v dxdydz.

REMARCA Daca elementul de volum dxdydz se noteaza cud, atunci formula lui Gauss-Ostrogradski devine

fr v n d =

div v d.

REMARCA Formula lui GaussOstrogradski se scrie si subforma

fr P dydz + Q dzdx + R dxdy

=

(Px

+Q

y+

R

z

)dxdydz.

III

2010, Nova8 p. 27/30

EXEMPLU Calculul fluxului campului v = x + y + zprin suprafata exterioara a sferei

S = fr = {(x, y, z) R3 | x2 + y2 + z2 = R2}.Conform formulei lui Gauss-Ostrogradski avem:

fr (x + y + z )n d

=

(xx

+y

y+

z

z

)dxdydz

= 3

dxdydz = 3 v() = 4R3.

2010, Nova8 p. 28/30

Exemplu calcul volum

Sa se calculeze volumul domeniului

:

x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2 1,

x2

a2+ y

2

b2 z2

c2, z 0.

Trecem la coord. sferice generalizatex = a sin cos ,

y = b sin sin ,

z = c cos ,

0 , 0 < 2.Jacobianul D (x,y,z )

D ( ,, )= a b c 2 sin .

Noul domeniu :

0 1,0 /4,0 < 2.

vol() = abc 2 0

d 10

2 d / 40

sin d = abc (2

2)

3.

2010, Nova8 p. 29/30

EXEMPLU Calculul volumului corpului lui Viviani V .

2010, Nova8 p. 30/30

Avem

V :

(x R2

)2+ y2 (R2 )2

x2 + y2 + z2 R2, i.e.,

V :

x2 + y2 R x

x2 + y2 + z2 R2.Facem transformarea

T :

x = cos y = sin care transforma pe D : x2 + y2 R xn : R cos , 2 2 . 2010, Nova8 p. 31/30

Avem:vol(V ) = 2

D

z(x, y) dx dy

= 2

D

R2 x2 y2 dx dy

= 2

R2 2 d d

= 2

/2/2

( R cos 0

R2 2 d

)d

=4

3

/20

(R2 2)3/20

R cos d

=4R3

3

/20

(1 sin3 ) d

=4R3

3

/20

(1 sin3 ) d = 2R3

9(3 4).

2010, Nova8 p. 32/30

Integrale de suprafac tu a de primul tip