Integrale cu parametru - math.etti.tuiasi.romath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS I_Slides_Integrale...

Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru

Integralele lui Euler

Integrale cu parametru





1 Integrale proprii cu parametru

2 Integrale improprii cu parametru

3 Integralele lui Euler




Integrale proprii cu parametru




Definitia 1.1

Daca f : [ a,b ]× E → R, E ⊆ R este o functie cu proprietateaca pentru orice y ∈ E, functia de variabila x

x 7→ f (x , y)

este integrabila pe intervalul [ a,b ], adica exista integrala

F (y) =

∫ b

af (x , y) dx (1.1)

atunci spunem ca am definit o integrala cu parametru (functiaF : E → R).




Trecerea la limita sub semnul integralei

Teorema 1.1

Fie f : [ a,b ]× E → R, E ⊆ R si fie y0 ∈ R punct de acumulareal multimii E. Daca exista

limy→y0

f (x , y) = f0(x)

uniform ın raport cu x ∈ [ a,b ] atunci functia x 7→ f0(x) esteintegrabila pe [ a,b ] si∫ b

af0(x) dx =

∫ b

alim

y→y0f (x , y) dx = lim

y→y0

∫ b

af (x , y) dx . (1.2)




Ipoteza existentei limitei uniforme ın raport cu x este esentialaın enuntul Teoremei 1.1.

Exemplul 1.1

Pentru f : [ 0,1 ]× (0,+∞)→ R,

f (x , y) =xy2 e

− x2

y2 ,

are loc limy→0

∫ 1

0f (x , y) dx 6=

∫ 1

0limy→0

f (x , y) dx .




Avem

F (y) =

∫ 1

0

xy2 e

− x2

y2 dx = −12

e− x2

y2∣∣∣x=1

x=0= −1

2

(e− 1

y2 − 1)

deci

limy→0

∫ 1

0f (x , y) dx = lim

y→0F (y) = −1

2limy→0

(e− 1

y2 − 1)

=12.

Pe de alta parte avem

limy→0

f (x , y) = limy→0

xy2 e

− x2

y2 = 0 deci∫ 1

0limy→0

f (x , y) dx = 0.




Sa observam ca limy→0

f (x , y) = 0 nu are loc ın mod uniform ın

raport cu x . Intr-adevar daca, prin reducere la absurd, ampresupune acest lucru atunci

∀ ε > 0 ∃ δε > 0 astfel ca 0 < y < δε ⇒ |f (x , y)| < ε, ∀ x ∈ [ 0,1 ].

Daca alegem ın particular x = y ∈ (0, δε) avem

f (x , y) =1y

e−1 → +∞, pentru y → 0,

contradictie.




Continuitatea integralei cu parametru

Teorema 1.2

Daca f : [ a,b ]× [ c,d ]→ R este continua atunci functiaF : [ c,d ]→ R data de (1.1) este continua pe intervalul[ c,d ].




Derivabilitatea integralei cu parametru

Teorema 1.3

Fie f : [ a,b ]× [ c,d ]→ R continua astfel ıncat :(i) pentru orice y ∈ [ c,d ] exista integrala cu parametru

F (y) =

∫ b

af (x , y) dx ,

(ii) f este derivabila partial ın raport cu y si functia∂f∂y

este

continua pe [ a,b ]× [c,d ].Atunci F este derivabila si F ′ este continua pe [ c,d ] iar

F ′(y) =

∫ b

a

∂f∂y

(x , y)dx , ∀ y ∈ [ c,d ]. (1.3)




Exemplul 1.2

Sa calculam integrala

In(y) =

∫ 1

0

dx(x2 + y2)n , n ∈ N, y 6= 0.

Derivam integrala ın raport cu y si gasim astfel relatia

In+1(y) =−12ny

I ′n(y).

Deoarece I1(y) =1y

arctg1y

, rezulta ca

I2(y) = − 12y

I′1(y) =1

2y3

(arctg

1y

+y

y2 + 1

).




Formula lui Leibniz de derivare a integralelor cuparametru

Teorema 1.4

Fie integrala cu parametru

F (y) =

∫ β(y)

α(y)f (x , y)dx , y ∈ [ c,d ] unde

(i) α, β : [ c,d ]→ [ a,b ] sunt functii derivabile,(ii) f : [ a,b ]× [ c,d ]→ R este functie continua,

(iii) f este derivabila partial ın raport cu y si∂f∂y

este continua.




Atunci F este derivabila pe [ c,d ] si are loc formula lui Leibnizde derivare

F ′(y) =

∫ β(y)

α(y)

∂f∂y

(x , y) dx +f (β(y), y)·β ′(y)−f (α(y), y)·α ′(y).

(1.4)




Integrarea unei integrale cu parametru

Teorema 1.5

Fie f : [ a,b ]× [ c,d ]→ R o functie continua. Atunci are locformula

∫ d

c

(∫ b

af (x , y) dx

)dy =

∫ b

a

(∫ d

cf (x , y) dy

)dx . (1.5)




Exemplul 1.3

Sa calculam

I =

∫ 1

0

1ln x

(xb − xa) dx , x > 0, a > 0, b > 0.

Avem1

ln x(xb − xa) =

∫ b

axy dy , x ∈ [ 0,1 ].

Deoarece functia (x , y) 7→ xy este continua pe [ 0,1 ]× [ a,b ],putem schimba ordinea de integrare,

I =

∫ 1

0

(∫ b

axy dy

)dx =

∫ b

a

(∫ 1

0xydx

)dy =

∫ b

a

(xy+1

y + 1

∣∣∣1x=0

)dy =

∫ b

a

dyy + 1

= ln(y + 1)∣∣∣ba = ln

b + 1a + 1

.




Integrale improprii cu parametru




Fie f : [ a,+∞)× [ c,d ]→ R si fie integrala cu parametru

F (y) =

∫ +∞

af (x , y) dx , y ∈ [ c,d ]. (2.1)

Integralai. converge simplu pe [ c,d ] daca

limb→+∞

∫ b

af (x , y) dx =

∫ +∞

af (x , y) dx ;

ii. converge uniform pe [ c,d ] daca limita este uniforma ınraport cu y .




Integrala∫ +∞

af (x , y) dx este uniform convergenta pe [ c,d ]

daca pentru orice sir (bn)n∈N care are limita +∞, sirul de functii

(Fn)n∈N, Fn(y) =

∫ bn

af (x , y) dx

converge uniform la F pe [ c,d ].




Criteriul lui Cauchy

Teorema 2.1

Integrala (2.1) este uniform convergenta daca si numai dacapentru orice ε > 0 exista b0(ε) > 0 astfel ca pentru oriceb′,b′′ > b0 si pentru orice y ∈ [ c,d ] are loc∫ b′′

b′f (x , y) dx < ε.




Criteriul de convergenta uniforma Weierstrass

Teorema 2.2

Fie f : [ a,+∞)× [ c,d ]→ R. Admitem ca existag : [ a,+∞)→ R astfel ıncat

(i) | f (x , y) |≤ g(x), ∀ x ∈ [ a,+∞),

(ii)∫ +∞

ag(x) dx este convergenta.

Atunci∫ +∞

af (x , y) dx este uniform si absolut convergenta pe

[ c,d ].




Continuitatea integralei improprii cu parametru

Teorema 2.3

Fie f : [ a,+∞)× [ c,d ]→ R o functie continua astfel ıncat∫ +∞

af (x , y) dx este uniform convergenta pe [ c,d ]. Atunci

functia

F (y) =

∫ +∞

af (x , y)dx

este continua pe [ c,d ].




Derivabilitatea integralei improprii cu parametru

Teorema 2.4

Fie functia f : [ a,+∞)× [ c,d ]→ R cu urmatoarele proprietati:

(i)∫ +∞

af (x , y) dx este convergenta

(ii) exista derivata partiala∂f∂y

si este continua pe

[ a,+∞)× [ c,d ]

(iii)∫ +∞

a

∂f∂y

(x , y) dx este uniform convergenta pe [ c,d ].

Atunci y 7→ F (y) =

∫ +∞

af (x , y) dx este derivabila pe [ c,d ]

F ′(y) =ddy

(∫ +∞

af (x , y) dx

)=

∫ +∞

a

∂f∂y

(x , y) dx , ∀ y ∈ [ c,d ].

(2.2)Integrale cu parametru



Integrabilitatea unei integrale improprii cuparametru

Teorema 2.5

Fie functia f : [ a,+∞)× [ c,d ]→ R continua astfel ıncat

(i) integrala∫ +∞

af (x , y) dx este uniform convergenta pe

[ c,d ],

(ii) integrala∫ +∞

a

(∫ d

cf (x , y) dy

)dx este convergenta.

Atunci are loc∫ +∞

a

(∫ d

cf (x , y)dy

)dx =

∫ d

c

(∫ +∞

af (x , y) dx

)dy . (2.3)





Functia Gamma sau integrala lui Euler de al doilea tip

Γ(p) =

∫ +∞

0xp−1e−x dx (3.1)

Functia Beta sau integrala lui Euler de primul tip

B(p,q) =

∫ 1

0xp−1(1− x)q−1 dx . (3.2)




Propozitia 3.1

Au loc proprietatileIntegrala Γ(p) este convergenta pentru orice p > 0 sidivergenta pentru orice p ≤ 0.Integrala Γ(p) este uniform convergenta pe orice intervalcompact [ a,b ] ⊂ (0,+∞).Functia Γ(p) este continua pe (0,+∞).

Functia Γ(p) este infinit derivabila pe (0,+∞) si

Γ(n)(p) =

∫ +∞

0xp−1(ln x)ne−x dx , n ∈ N. (3.3)




Propozitia 3.2

B(p,q) este convergenta pentru orice p > 0, q > 0 sidivergenta ın celelalte situatii.




Propozitia 3.3

Au loc urmatoarele relatii:formula de recurenta pentru Γ

Γ(p + 1) = p Γ(p), p ∈ (0,+∞) (3.4)

Γ(1) = 1, Γ(n + 1) = n!, n ∈ N (3.5)

formulele de recurenta pentru B

B(p,q) =q − 1

p + q − 1B(p,q − 1), p > 0,q > 1 (3.6)

B(p,q) =p − 1

p + q − 1B(p − 1,q), p > 1,q > 0 (3.7)




B(p,q) = B(q,p), p > 0,q > 0 (3.8)

B(p,q) =

∫ +∞

0

tp−1

(1 + t)p+q dt (3.9)

B(p,q) =Γ(p) · Γ(q)

Γ(p + q), p > 0,q > 0 (3.10)

B(

12,12

)=

∫ 1

0

1√x(1− x)

dx = π (3.11)

Γ

(12

)=√π,

∫ +∞

0e−x2

dx =

√π

2(integrala lui Gauss).

(3.12)




formula lui Gauss

Γ(p) = limn→∞

np · n!

p(p + 1)(p + 2) . . . (p + n)(3.13)

formula argumentelor complementare

B(p,1−p) = Γ(p) ·Γ(1−p) =p

sin(pπ), p ∈ (0,1) (3.14)


Integrale cu parametru - math.etti.tuiasi.romath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS I_Slides_Integrale...

Documents

Transcript of Integrale cu parametru - math.etti.tuiasi.romath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS I_Slides_Integrale...