58

CAPITOLUL 4 INTEGRALE CURBILINII4.1. DRUMURI PARAMETRIZATEDefiniia 4.1.1 Prin drum parametrizat n vectorial continu definit pe un interval I din3

( ) se nelege orice funcie cu valori n ( ) . Dac2 3 2

notm cu x, y i z componentele scalare ale lui r, atunci r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ) ) , t I. Ecuaiile x = x(t ) , y = y (t ) , z = z (t ) , t I se numesc ecuaiile parametrice ale drumului r, sau o reprezentare a drumului, iar t se numete parametru. Imaginea direct r(I) a intervalului I prin funcia vectorial r, adic mulimea {( x(t ), y(t ), z (t ) ) ; t I } se numete suportul (urma, hodograful, traiectoria) drumului r. Dac I este un interval compact [a, b], atunci suportul su este o mulime compact i conex din 3 2 . n acest caz, punctele r(a) i r(b) se

( )

numesc capetele (extremitile) drumului. Dac r(a) = r(b) drumul se numete nchis. Exemplul 4.1.1 Fie drumul r : [0, 2] 2 definit prin: r (t ) = ( R cos t , R sin t ) , t [0, 2]. Ecuaiile parametrice sunt:

x = R cos t y = R sin t , t [ 0, 2 ]. y

Observm c pentru orice t [ 0,2 ] , punctul ( x(t ), y(t ) ) verific ecuaia

M ( x, y )

t O

( R, 0 )

x

Fig. 1

x 2 + y 2 = R 2 . Rezult c suportul acestui drum este cercul cu centrul n origine i de raz R. Parametrul t are n acest caz o interpretare geometric evident i anume, este unghiul dintre raza corespunztoare punctului M(x, y) i direcia pozitiv a axei Ox. deoarece r (0) = r (2 ) = ( R,0) , drumul este nchis.

59

Cap. 4 INTEGRALE CURBILINII

z

y

Exemplul 4.1.2 Fie drumul r : [0, 2] 3 definit astfel: r (t ) = ( R cos t , R sin t , ht ) , t [0, 2]. Ecuaiile parametrice sunt: x = R cos t y = R sin t z = ht , t 0, 2 . [ ] Suportul acestui drum este elicea circular de pas h.

Definiia 4.1.2 Dac funcia vectorial r este injectiv, spunem c drumul este simplu (fr puncte Fig. 2 multiple). n cazul unui drum nchis, acesta este simplu dac egalitatea r ( t1 ) = r ( t2 ) implic sau t1 = t2 sau cel puinx

unul din numerele t1 i t2 este egal cu a i cellalt cu b, unde cu a i b am notat capetele intervalului I. Drumurile prezentate n Exemplul 4.1.1. i 4.1.2 sunt simple. Un exemplu de drum care are puncte multiple este faliul lui Descartes:Exemplul 4.1.3 Considerm ecuaiile parametrice: 3at x = 2 1+ t 2 y = 3at , t . 1+ t2 Suportul acestui drum este reprezentat n Fig. 3. Se observ c originea O este punct multiplu. O Definiia 4.1.33

y

x

Un

drum

r = ( x, y , z ) : I se numete neted dac x, y, z, sunt de clas C 1 pe I i x2 (t ) + y 2 (t ) + z 2 (t ) > 0 , t I . Fig. 3 Un astfel de drum are proprietatea c n orice punct al suportului su admite tangent. Un drum care nu este neted, se spune c are puncte singulare. Un punct t0 I se numete singular dac x ( t0 ) = y ( t0 ) = z ( t0 ) = 0 . Dac t0 I este un

60

punct singular, atunci n punctul M 0 x ( t0 ) , y ( t0 ) , z ( t0 ) de pe suport, tangenta nu este definit. Un drum se consider orientat n sensul creterii parametrului.Definiia 4.1.4 Dou drumuri r1 : I 1 3

i r2 : I 2

3

se numesc

echivalente i se noteaz acest lucru cu r11

r2 , dac exist o funcie : I 1 I 2

bijectiv, strict monoton, de clas C cu ( t1 ) 0 , t1 I1 , astfel nct

r1 ( t1 ) = r2 ( t1 ) , t1 I1 . O astfel de funcie se numete i schimbare de parametru. Din definiie rezult c dac este o schimbare de parametru, atunci ( t1 ) > 0 , t1 I sau

( t1 ) < 0 , t1 I . Dac > 0 pe I, deci este strict cresctoare, atunci spunem c drumuriler1 i r2 sunt echivalente cu aceeai orientare. n caz contrar, spunem c r1 i r2

sunt echivalente cu orientare schimbat. Este evident c dou drumuri echivalente au acelai suport.Exemplul 4.1.4 Fie drumurile ri : I i 2

, i = 1,2, definite astfel:

r1 ( t1 ) = ( R sin t1 , R cos t1 ) , t1 I1 = 0, , respectiv 22 r2 ( t2 ) = t2 , R 2 t2 , t2 I 2 = ( 0, R ) .

(

)

definit prin ( t1 ) = R sin t 1 , t1 I1 este bijectiv, de clas C 1 i ( t1 ) = R cos t 1 >0 , t1 0, . 2 Mai mult, observm c

Aceste drumuri au acelai suport i anume arcul AB al cercului cu centrul n origine i de raz R. (Fig. 4). Observm c funcia : I1 I 2 yA ( 0, R )

r2 ( ( t1 ) ) = ( t1 ) , R 2 2 ( t1 ) == R sin t 1 , R cos t 1 = r1 ( t 1) , t1 I1 . Rezult c este o schimbare de parametru i deci c cele dou drumuri sunt echivalente cu aceeai orientare.

(

(

)

)

x OFig. 4B ( R, 0 )

61

Cap. 4 INTEGRALE CURBILINII

Considerm acum drumul r3 : I 3

2

, r3 ( t3 ) = ( R cos t3 , R sin t3 ) ,

t3 I 3 = 0, . 2 Observm, ca mai sus, c funcia : I 3 I 2 definit prin ( t3 ) = R cos t3 , t3 0, este o schimbare de parametru. Cum ( t3 ) = R sin t3 < 0 , 2 t3 I 3 , rezult c este strict descresctoare. Drumurile r3 i r 2 (respectiv r3 i r1 ) sunt echivalente cu orientri diferite. Orientarea drumurilor r1 i r2 , orientare dat de sensul creterii parametrului, este de la A ctre B, n timp ce orientarea drumului r3 este de la B ctre A.yA

yA

x OB

x OB

Fig. 5

Definiia 4.1.5 Se numete curb parametrizat orice clas de drumuri parametrizate echivalente. Aadar, este curb parametrizat dac exist un drum parametrizatr:I 3

( ) astfel nct: = { : J ( ) drum parametrizat r} .23 2

Cum r ~ r rezult c r . O curb parametrizat este simpl (nchis, neted) dac drumul care o determin este simplu (nchis sau neted). O curb simpl se consider c este orientat pozitiv, dac drumul care o definete este orientat n sensul creterii parametrului i negativ n caz contrar. Fie o curb parametrizat simpl i neted, i fie r : I 3 2 drumul

( )

parametrizat care o definete, orientat n sensul creterii parametrului. Vom nota cu + mulimea tuturor drumurilor parametrizate echivalente cu r i care au aceeai

62

orientare cu r. Evident, r + . Vom nota cu mulimea tuturor drumurilor parametrizate echivalente cu r care au orientare opus lui r. Suportul unei curbe parametrizate este suportul drumului care o definete i evident, acesta coincide cu suportul oricrui reprezentant al curbei . Fie curba parametrizat definit de drumul r1 . Suportul su este arcul AB din Fig. 4. Suportul curbei + este arcul AB (orientat de la A ctre B), n timp ce suportul curbei este arcul BA . Evident r2 + i r3 . n continuare, vom nota cu {} suportul curbei . De asemenea, ori de cte ori nu sunt prilejuri de confuzie, vom identifica o curb cu unul din reprezentanii si.Definiia 4.1.6 Fie r1 :[a, b] 3

i r 2 :[b, c]

3

dou drumuri

parametrizate cu proprietatea c r1 (b) = r2 (b) . Se numete justapunerea drumurilor r1 i r 2 i se noteaz cu r1 U r 2 urmtorul drum: ( r1 (t ) daca t [a, b] r1 U r 2 (t ) = ( r 2 (t ) daca t [b, c].

(

)

Dac i este curba definit de ri , i = 1,2, atunci 1 U 2 este curba definit de drumul r1 U r 2 . O curb se numete neted pe poriuni dac este justapunerea unui numr finit de curbe netede.

4.2. CURBE RECTIFICABILENoiunea de curb (drum) introdus n 4.1 este destul de general i de aceea, n anumite cazuri (n special n cazul curbelor care admit puncte multiple), suportul unei curbe poate s difere esenial fa de imaginea intuitiv pe care o avem despre o curb. Giuseppe Peano a artat c se pot defini dou funcii continue x = x(t), y = y(t) pe intervalul [0, 1], deci un drum, astfel nct, atunci cnd parametrul t parcurge intervalul [0, 1], punctul corespunztor (x(t), y(t)) pornete din punctul (0, 0) care corespunde valorii t = 0, trece prin toate punctele ptratului [0, 1] [0, 1] i ajunge n vrful (1, 1) care corespunde valorii t = 1. Cu alte cuvinte, suportul acestui drum umple un ptrat. Este clar c noiunea de lungime pentru un asemenea drum nu are sens. n cele ce urmeaz vom introduce noiunea de drum rectificabil (care are lungime) i vom arta cum se calculeaz lungimea unui drum rectificabil cu ajutorul integralei definite. Fie r : [a, b] 3 un drum i fie x = x(t), y = y(t), z = z(t), t [a, b] ecuaiile sale parametrice. Considerm o diviziune oarecare a intervalului [a, b],

63

Cap. 4 INTEGRALE CURBILINII

: a = t0 < t 1 < K < ti 1 < ti < K < tn = b i notm cu M i punctul de coordonate

( x ( ti ) , y ( ti ) , z ( ti ) ) ,

i = 0, n . Fie L (r ) = M i 1M ii =1

n

lungimea liniei poligonale

Mi 1

M1

Mi

obinut prin unirea suucesiv, prin segmente de dreapt, a punctelor M i . Este evident c dac p , atunci L ( r ) L ( r ) .

MulimeaM0

{L (r )} ,

cnd

Fig. 6

parcurge toate diviziunile posibile ale intervalului [a, b] este o mulime de numere pozitive, care poate fi mrginit superior sau nu.

urmtorul numr: L (r ) = sup { L ( r )} < .

Definiia 4.2.1 Spunem c drumul r este rectificabil dac mulimea {L (r )} este majorat. Pentru un drum rectificabil se numete lungimea sa

Lema 4.2.1 Pentru orice 4 numere reale a1 , a2 , b1 , b2 , are loc inegalitatea:2 2 2 2 a1 + a2 b1 + b2 a1 b1 + a2 b2

(1)

Demonstraie. Amplificnd cu conjugata i innd seama de inegalitatea triunghiului obinem2 a1 2 + a2

b12

2 + b2

=

2 2 2 a1 + a2 b12 b2 2 2 2 a1 + a2 + b12 + b2

a1 b1 a1 + b1 + a2 b2 a2 + b22 2 2 a1 + a2 + b12 + b2

(2)

2 2 2 Pe de alt parte avem: a1 + b1 a1 + b1 a1 + a2 + b12 + b2 i analog 2 2 2 a2 + b2 a2 + b2 a1 + a2 + b12 + b2 . innd seama de aceste inegaliti n (2) rezult2 2 2 2 a1 + a2 + b1 + b2 a1 b1 + a2 b2 .

64

Observaia 4.2.1 Inegalitatea (1) rmne valabil pentru orice 2n numere reale ai , bi , i = 1, n . De exemplu pentru n = 3 avem2 2 2 2 2 a1 + a2 + a3 b12 + b2 + b3 a1 b1 + a2 b2 + a3 b3

(3)

Demonstraia este practic aceeai cu demonstraia lemei.Teorema 4.2.1 Fie r :[a, b] 3

un drum parametrizat definit astfel:

r (t ) = ( x(t ), y(t ), z (t ) ) , t [a, b]. Dac r este neted, atunci r este rectificabil ilungimea sa este L(r ) = b a

x2 (t ) + y 2 (t ) + z 2 (t ) d t .

Demonstraie. Fie : a = t0 < t 1 < K < ti 1 < ti < K < tn = b o diviziune oarecare a intervalului [a, b], i fie L ( r ) lungimea liniei poligonale nscrise n suportul drumului r. Avem:L ( r ) = i =1 n

( x ( ti ) x ( ti 1 ) ) + ( y ( ti ) y ( ti 1 ) ) + ( z ( ti ) z ( ti 1 ) )2 2

2

.

( ti 1, ti ) , astfel nct

Din teorema Lagrange rezult c exist i , i , i n intervalul deschisL ( r ) = x2 ( i ) + y 2 ( i ) + z 2 ( i ) ( ti ti 1 )i =1 n

(4)

definit prin: g (t ) = x2 (t ) + y 2 (t ) + z 2 (t ) , t [a, b], este o funcie continu, deoarece funciile x, y , z sunt continue prin ipotez. Considerm suma Riemann Funcia g : [a, b]

( g , ) = x2 ( i ) + y 2 ( i ) + z 2 ( i ) ( ti ti 1 )i =1

n

(5)

cu < i oricare ar fi punctele intermediare = ( i ) avem

Deoarece g este integrabil pe [a, b], rezult c > 0, > 0 astfel nct

( g , ) g (t ) d t < a

b

(6)

Pe de alt parte, din inegalitatea (3) i inegalitatea generalizat a triunghiului, rezult:L (r ) ( g , ) y ( i ) y ( i ) + z ( i ) z ( i )i =1 n

(

) ( ti ti1 )

(7)

65

Cap. 4 INTEGRALE CURBILINII

Cum y' i z' sunt uniform continue pe [a, b], rezult c exist > 0 cu proprietatea c t', t" n [a, b] cu distana t t < avem

(8) ba ba Dac alegem acum diviziunea astfel nct < , atunci i i

y ( t ) y ( t )