271

9. Integrale din functii definite n 9.2. Integrale definite (Integrala Riemann)

Succinte preliminarii teoretice (+ exemple)

Diviziuni ale intervalelor mrginite din . Fie un interval mrginit din mulimea numerelor reale. Prin diviziunea intervalului I se nelege o mulime (n general finit) de puncte situate n acest interval.Dac includem n diviziune i extremitile intervalului, o asemenea diviziune de puncte va determina, pe intervalul subintervale :

(9.328)

(9.329)

Punctele din (9.228-229) determin cele subintervale anterior menionate :

(9.330)

Subintervalele din (9.230) ale diviziunii sunt aproape disjuncte, n sensul c douintervale vecine nu au n comun dect un punct : Lungimea unui interval

este

(9.331)

Putem nota cu mulimea tuturor diviziunilor intervalului.

O diviziune poate fi arbitrar n sensul c nu se impune nici o condiie asuprapunctelor sau subintervalelor sale, sau poate fi una particular. De exemplu, diviziuneaechidistant a intervalului are punctele situate la distane egale unele de altele;distana dintre dou puncte succesive ale unei astfel de diviziuni este exact a n-a parte dinlungima intervalului, adic

(9.332)

Prin norma unei diviziuni de forma (9.228-229) se nelege lungimea celui mai mareinterval ; notaia specific i definiia formal sunt

(9.333)

272

Pentru cazul particular al divizziunii echidistante din (9.342), norma acesteia coincide culungimea comun a tuturor intervalelor. S mai observm c , tot pentru aceast diviziuneparticular, poate fi precizat expresia unui punct curent al diviziunii :

(9.334)

Funcii integrabile n sens Riemann

Definiia 9.2.1. Fie o funcie real mrginit pe un interval i o diviziune arbitrar a intervalului, cu intervalele din (9.340). Dac se noteaz

(9.335)

atunci sumele Darboux, inferioar respectiv superioar, asociate funciei i diviziunii sunt

(9.336)

Comentarii. Este evident c aceste dou sume Darboux exist pentru orice funciemrginit pe intervalul i pentru orice diviziune a intervalului ntruct marginilefunciei exist i sunt finite pe orice subinterval precum cele din (9.340). Mai multdect att, dac marginile globale (pe ntregul interval) ale funciei sunt

(9.337)

atunci, pentru orice diviziune

(9.338)

Aceast dubl (sau tripl) inegalitate a sumelor Darboux este o consecin imediat adefiniiei celor dou margini ale unei mulimi de numere reale, aplicat la valorile funcieipe ntreg intervalul I, respectiv pe oricare subinterval

(9.337) | ;

(9.339)

273

Inegalitile din (9.339) se pot scrie mpreun, inluznd i mulimea valorilor funciei pesubintervalul de rang k :

(9.340)

Inegalitile (9,340) fr pot fi nmulite cu lungimea intervalului i apoinsumate pe

(9.340) |

| (9.341)Inegalitatea (9.341) este una important ntruct ea exprim nu numai o relaie de ordinentre cele dou sume Darboux ci i dou bariere inferioar i superioar pentru acestea.Se va vedea mai jos, dup definirea noiunii de integral, c acestea sunt i bariere pentruvaloarea integralei din pe intervalul

Definiia 9.2.2. Fie o funcie real mrginit pe un interval Funcia este integrabil n sens Riemann-Darboux pe acst interval dac

(9.342)

| (9.343)Comentarii. Aceast definiie mai este cunoscut i drept criteriul de integrabilitate al luiDarboux. Se va vedea c aceste condiii (9.342) - (9.343) sunt echivalente cu definiiaintegrabilitii n sens Riemann propriu-zis, n care ns intervine i un numr real care estechiar valoarea integralei.

Se mai poate constata c cele dou sume Darboux din (9.336) pot fi considerate drepttermenii a dou iruri reale. Pe de alt parte, implicaia din aceast definiie sugereaznoiunea de limit de la iruri reale. Inegalitatea (9.343) afirm, n fapt, c cele dou iruriale sumelor Darboux au o limit comun, atunci cnd norma diviziunii tinde la zero. Dars mai observm c

(9.344)

274

ntr-adevr, dac diviziunea ar pstra un numr finit de puncte, respectiv de subintervale,norma sa n-ar putea tinde la zero fiind egal cu lungimea celui mai mare interval.Implicaia invers celei din (9.344) nu este n general valabil : ar fi (teoretic) posibil canumrul punctelor unei diviziuni s creasc la infinit dar ea s pastreze un numr deintervale de o lungime care s nu tind la zero. Pe baza implic aiei din (9.344) i acomentariilor ce au precedat-o, putem interpreta definiia (9.342) - (9.343) sub forma

|

| (9.345)

Valoarea comun a celor dou limite din (9.345) este nsi valoarea integralei din peintervalul care se noteaz

(9.346)

Exemplul 9.2.1. Fie funcia de gradul II i intervalul O diviziuneoarecare a intervalului va fi de forma Avnd nvedere monotonia cresctoare a funciei pe ntregul interval, implicit pe subintervale (saupe intervalele pariale, cum sunt ele numite n [Gh. Sirechi 1985, vol. 1, pp. 308-309]),marginile funciei pe fiecare subinterval

vor coincide cu valorile lui n extremitile acestuia :

(9.347)

Cu marginile pariale (care sunt, de fapt, extreme locale) din (9.347), cele dou sumeDarboux pentru funcia i intervalul considerat sunt

(9.348)

Diferena (n valoare) absolut a sumelor din (9.348) este

275

Conform cu definiia (9.333) a normei diviziunii, lungimea fiecrui interval va fi majoratde aceast norm i vom putea scrie c

(9.349)

Suma care apare ca factor la fiecare termen din (9.349) poate fi i ea majorat cu 4 avndn vedere intervalul n care sunt situate punctele. Aadar,

(9.349) | (9.350)Se poate presupune c

(9.351)

Dac aceast ipotez (9.351) n-ar fi verificat ar exista un astfel nct

inegalitate imposibil pentru orice numr natural, cu att mai mult cu ct se presupune cnorma diviziunii poate fi orict de mic. Aadar limita din (9.351) se verific i inndcont de inegalitatea (9.350) rezult c diferena dintre sumele Darboux tinde la zero, decifuncia considerat este integrabil (n sens Riemann-Darboux).

Pee baza acestei concluzii, orice sum Darboux va avea ca limit (n sensul limitelordin (9.345)) valoarea integralei. Putem deci alege (abia acum) o diviziune particular, ceamai comod fiind cea echidistant, iar limita oricreia dintre cele dou sume Darbouxpentru aceast diviziune va fi egal cu valoarea integralei.

(9.352) (9.352) & |

| (9.353) (9.353) |

| (9.354)Valoarea din (9.354) va aputea fi regsit pe baza formulei lui Newton-Leibniz (careimplic primitiva), dup ce aceasta va fi prezentat. S mai observm c n limitele din

276

(9.354) nu s-a mai precizat c i norma diviziunii echidistante tinde la 0 pentru aceasta fiind o proprietate evident pentru orice diviziune echidistant.

~Sume Riemann i definiia Riemann pentru integrala definit

Pentru o funcie mrginit pe un interval i pentru o diviziune arbitrar aintervalului se poate considera un vector de puncte intermediare, cte un punct n fiecaresubinterval al diviziunii :

(9.355)

Definiia 9.2.3. Fie o funcie real mrginit pe un interval i o diviziune arbitrar a intervalului, cu intervalele din (9.355). Pentru orice alegere apunctelor intermediare de forma (9.355). Suma Riemann corespunztoare este

(9.356)

Comentarii. Att sumele Darboux din (9.336) ct i sumele Riemann de forma (9.356) senumesc sume integrale. Ele sunt asociate unei funcii mrginite pe un interval, uneidivizziuni acestui interval i n cazul unei sume Riemann unei alegeri apunctelor intermediare. n unele manuale / tratate de Analiz matematic, sumeleRiemann se mai noteaz i

dar n notaia din (9.356) este pus n eviden i vectorul punctelor interemediare.

Pentru sumele Darboux am formulat i am justificat tripla inegalitate (9.338). Aceastapoate fi extins prin introducerea unei sume Riemann care, din punctul de vedere al ordiniipe , se situeaz ntre cele dou sume Darboux. Din inegalitatea (9.340) rezult c (9.357)

Prrocednd ca la stabilirea inegalitilor (9.338), adic nmulind cei 5 membri aiinegalitii quadruple din (9.357) cu lungimea intervalului i sumnd dup k se ajunge la

(9.358)

Inegalitatea multipl (9.358) are o interpretare geometric interesant (i important).

277

Membrii extremi, stng i respectiv drept, reprezint ariile a dou dreptunghiuri avnd cabaz segmentul de pe axa iar ca nlimi marginile inferioar i superioarale funciei pe acest interval. Graficul funciei, pe care-l putem nota este situat ndrept-unghiul Sumele Darboux inferioar / superioar reprezint sumeleariilor dreptunghiurilor situate pe subintervalele diviziunii,

(9.359)

Evident, extremitile intervalelor de pe vor trebui inversate n cazul marginilorrespective, dar ariile respective vor intra cu semnul minus n suma Darboux respectiv.Suma Riemann este i ea o sum de arii ale unor dreptunghiuri elementare cu aceeai bazdar cu nlimea dat de valoarea funciei n punctul intermediar

Preoblema semnului cu care contribuie un unumit subinterval la suma integralrespectiv va putea fi clarificat mai riguros dup ce se va formula proprietatea integraleidefinite de aditivitate n rapport cu intervalul, mpreun cu descompunere funciei n parteasa pozitiv minus partea sa negativ.

~Definiia 9.2.4 (Integrabilitatea n sens Riemann). Fie o funcie realmrginit pe un interval Funcia este integrabil n sens Riemann pe acest intervaldac exist un numr real astfel nct

| (9.360)n condiiile implicaiei (9.360), numrul real este chiar valoarea integralei pe intervalul

i se scrie

(9.361)

Observaii. Spre deosebire de integrabilitatea definit cu ajutorul sumelor integraleDarboux, definiia integrabilitii n sens Riemann implic numrul real care este chiarvaloarea integralei. Aadar, aplicarea Definiiei 9.2.4, respectiv a implicaiei (9.360) ar5face necesar cunoaterea prealabil (sau a priori) a valorii integralei, sau mcar ipotezac valoarea integralei este acest numr . Prin urmare, aplicarea practic a definiiei luiRiemann este posibil mai curnd pentru calculul valorii unei integrale dect pentrustabiliraea integrabilitii unei funcii. Integrabilitatea poate s rezulte din alte proprieti,

278

de exemplu cele care se refer la clase de funcii integrabile (cumm sunt funciile continue,de exemplu), iar valoarea efectiv a integralei se poate deduce sub forma unei limitesimilare cu cea din (9.345). De altfel, egalitatea (9.361) se poate scrie, avnd n vedereimplicaia (9.360), sub forma

(9.362)

S mai observm c, n (9.362), alegerea punctelor intermediare dar chiar i adiviziunii trebuie s rmn arbitrar, n sensul c acestea sunt oarecare. Dar npractic nu pot fi considerate toate diviziunile posibile, cu att mai puin toi vectorii depuncte intermediare. Formula (9.362) poate fi folosit fie spre a calcula valoarea uneianumite integrale evitnd n mod deliberat celebra formul a lui Newton-Leibniz, fie ncazul cnd primitiva funciei este (foarte) greu de obinut sau nici nu este exprimabil prinfunc i elementare ; acesta este cazul, de exemplu, pentru funcii de genului lui Dardac se tie c funciei este integrabil, valoarea integralei poate fi determinat ca o limit deforma (9.362) chiar utiliznd o diviziune particular, de exemplu diviziunea echidistant careeste i cea mai comod. n aceast manier am procedat n exemplul Exemplul 9.2.1 cufuncia , valoarea integralei pe intervalul fiind determinat ca limitasumei Darboux superioare pentru diviziunea echidistant.

Ca probleme de notaii, care sunt ns minore, n (9.259) i n Definiia 9.2.4 amschimbat notaia pentru interval (i subintervalele diviziunii) de la la sprea evita o posibil confuzie cu notaia oarecum consacrat pentru valoarea integralei. Dealtfel, Prof. Gh. Sirechi folosete (n tratatul citat, din 1985) notaia pentru aceastvaloare, probabil tocmai spre a evita o asemenea confuzie dar i cu referire la interpretareageometric a integralei definite care este, efectiv, o arie : aria regiunii plane delimitate deaxa de graficul funciei i de cele dou drepte verticale

Exemplul 9.2.2. Fie funcia i intervalul Funcia estecresctoare pe intervalul Sumele Darboux, pentru o diviziune oarecare sunt

(9.363)

(9.363) |

(9.364)

279

n suma din (9.364) toi factorii fiecrui termen sunt pozitivi, avnd n vedere iapartenena punctelor de diviziune la intervalul Putem deci considera cdiferena dintre cele dou sume Darboux este una absolut i putem aplica inegalitateatringhiular generalizat pentru valoarea absolut :

(9.365)

(9.366)

n (9.366) modulul cosinusului a fost majorat prin iar n (9.367) s-a aplicat o cunoscutinegalitate : Lungimile la ptrat ale intervalelor din ultimulmembru al lui (9.366) se majoreaz cu ptratul normei diviziunii, exact ca n (9.350) :

(9.366) | Cu aceeai argumentaie ca pentru limita din (9.351), i ultimul membru de mai sus, adicmajorantul diferenei dintre sumele Darboux, tinde la zero i deci esteintegrabil pe intervalul Valoarea integralei se poate calcula ca fiind limitauneia din cele dou sume integrale Darboux sau a unei sume Riemann, pentru oricediviziune particular (i orice alegere, de asemenea particular, a punctelor intermediare).Putem opta pentru diviziunea echidistant a lui

(9.367)

(9.367) | (9.368)

Petru suma din (9.368) se poate folosi o identitate trigonometric, anume

280

(9.369)

Lund n (9.369) se ajunge la expresia pentru suma din (9.368), sumpe care o vom nota mai simplu

(9.370)

Trecnd la limit pentru n expresia (9.370), se gsete

valoare care se va regsi i cu Formula Newton-Leibniz (care urmeaz) :

~Proprieti ale funciilor integrabile

O serie de proprieti ale funciilor integrabile n sens Riemann se pot demonstra pe bazadefiniiilor anterior prezentate, mai ales folosindu-se sumele Riemann. Un exemplu din celemai simple este

Dar acelea i proprieti rezult i din proprieti ale integralei nedefinite (sau aleprimitivelor), pe baza Teoremei Newton-Leibniz, care urmeaz. Demonstrarea lor cuajutorul sumelor integrale poate constitui un exerciiu interesant, relevant pentru aceste

281

sume dar i consumator de timp.

Teorema 9.2.1 (Teorema Newton-Leibniz). Dac funcia admite primitive pe intervalul iar este una dintre aceste primitive atunci

(9.371)

Exist variante uor diferite ale enunului acestei Teoreme fundamentale a calcululuiintegral, n ce privete ipoteza. n cele mai multe tratate se presupune c funcia estecontinu. Se va vedea c funciile R-integrabile constituie o clas mai larg dect cea afunciilor continue. De exemplu, funciile monotone sunt Riemann-integrabile fr a fineaprat continue. Dar n asemenea cazuri este posibil ca variaia primitivei din (9.371) snu mai fie corect (ca oferind valoarea integralei), valorile primitivei n cele douextremiti ale intervalului fiind nlocuite de limitele laterale ale acesteia, spre interior.

O serie de proprieti ale integralei definite decurg din proprieti similare aleintegralei nedefinite, nefiind deci specifice. Altele sunt specifice integralei definite, precumcele relative la descompunerea integralei dup intervalul de integrare (descompus careuniune de subintervale) sau cele de minorare / majorare a integralei, ca n (9.358). Deasemenea, proprieti de medie sunt specifice integralei definite. Le prezentm n cadrulcelor dou propoziii care urmeaz, grupate n aceast manier. n toate proprietile careurmeaz, funciile ce apar sub operatorul integral sunt presupuse a fi integrabile, evident.

Proprieti ale integralei definite (Riemann) - I P. 9.2.1

proprietatea de liniaritate.

formula integrrii prin pri.

282

Proprieti ale integralei definite (Riemann) - II P. 9.2.2

prin convenie.

descompunerea integralei n raport cu intervalul.

Proprieti de medie i de simetrie

Dac gi este integrabilatunci

n condiiile proprietii exist astfel nct

Prima formul ( proprietate) de medie.

Dac este continu pe atunci exist astfel nct

A doua formul ( proprietate) de medie.

Proprietile de simetrie sau de paritate / imparitate pot fi prezentate ntr-o variantparticular (cea consacrat) dar i n una mai general.

Dac funcia este par, adic atunci

283

Dac funcia este impar, adic atunci

Dac funcia are graficul simetric fa de adic atunci

Dac funcia are graficul simetric fa de punctul adicatunci

Integrarea prin schimbare de variabil

Prima formul de schimbare de variabil :

Dac 1) funcia are derivat continu pe intervalul iar i2) este continu pe intervalul atunci

(9.372)

A doua formul de schimbare de variabil :

Fie funciile i

Dac 1) funcia este strict monoton pe intervalul 2) funcia invers arederivat continu pe iar 3) este continu pe intervalul atunci

(9.373)

ncheiem lista acestor proprieti cu una foarte important pe care se bazeazdemonstraia Teoremei Newton-Leibniz formula (9.371) primitivele ca funcii de limitasuperioar a unei integrale definite : pentru orice a real i orice funcie integrabil

284

(9.374)

este o primitiv a funciei .

Comentarii. Nu oferim demonstraii la aceste proprieti dar majoritatea sunt cunoscutedin ANALIZA MATEMATIC studiat n liceu, altele sunt evidente sau este clar cum se obindin proprieti anterioare. De exemplu, & | . La proprietile & numerele reale pot fi (eventual) marginile funciei dar pot fi i dou bariere(inferioar & superioar) pentru valorile funciei. La formula (9.372) se ajunge ]nlocuindefectiv funcia cu variabila care se comport ca variabil independent n integraladin membrul drept, n care variaia provine din difereniala funciei La formula(9.373) se nlocuiete efectiv variabila de integrare cu i cu

Exemplele care urmeaz vor ilustra cteva din proprietile i metodele de integrareprezentate.

Exemple 9.2.3.

S se calculeze limita

Suma de sub limit este similar cu suma parial a unei serii, seria armonic simpl careeste divergent. Dar de fapt este o poriune a acestei serii (care se poate nota ) i seva vedea c ea converge. Se poate scoate n factor forat de la numitorul fiecrei fraciii se obine

(9.375)

Sub forma (9.375), suma se dovedete a fi a sum integral (Darboux sau Riemann) pentrufuncia intervalul i diviziunea echidistant a acestuia. Funciaeste evident integrabil fiind continu pe intervalul ; aadar, limita din enun estelimita unei sume integrale i va fi egal cu integrala definit

285

S se calculeze, cu ajutorul unei sume integrale,

(9.376)

Se poate considera diviziunea

(9.377)

Suma Riemann corespunztoare funciei din (9.376) cu diviziunea i punctele din (9.377)este

(9.378)

Trecnd la limit n (9.378) i innd seama de limite unor iruri cunoscute se ajunge la

(9.377)

Cititorii interesai vor putea verifica valoarea din (9.377) cu formula Newton-Leibniz.

S se evalueze (prin bariere) integralele

a) b)

a) ntruct

Rezult, cu inegalitatea din proprietatea , c

286

b) Funcia-integrand este descresctoare pe intervalul de integrare, avnd derivatnegativ ; a se verifica de ctre cititor. Rezult c

a) S se arate, prin schimbarea de variabil c

(9.378)

b) S se calculeze, prin schimbare de variabil, integrala

a) Cu substituia recomandat avem

(9.379)

(9.379) | (9.380)

(9.379) & (9.380) |

(9.378)

287

S mai observm c nici una dintre integralele din cei doi membri ai egalitii (9.378) nuse poate calccula direct cu formula Newton-Leibniz ntruct primitivele respective nnu suntexprimabile prin funcii elementare.

b) Integrala este de tip Euler. Se poate utiliza substituia (din cazul sau (9.156),p.239)

(9.381)

(9.381) | |

(9.382)

(9.381) & (9.382) | (9.383)

(9.382) (9.384)

(9.381), (9.383), (9.384) & (9.382) |

| (9.385)

Comentarii. Substituia din enunul exerciiului a) era una de tipul (9.373) din proprietatea Cea din cazul b) este una mixt (conform cu (9.381)) i nu este important

ncadrarea ei ntr-un anumit tip.

S se calculeze integrala (9.386)

Se poate ncerca o substituie care s elimine imediat radicalul :

(9.387)

288

(9.387) | (9.388)

(9.387) & (9.388) |

Integrarea prin pri. S se calculeze, cu metoda IPP, integralele

a) b) (9.389)

a) Vom determina mai nti primitiva funciei-integrand ntruct este necesar stabilireaprealabil a unei relaii de recuren. Se poate nota

(9.390)

(9.390) |

| (9.391)

Aceast relaie poate fi folosit pentru

Pentru prima integral din enun, adic (9.389) - a), valoarea a rangului nu arfi relevant pentru c funcia-integrand este constanta i nu o putere a funciei sinus, darea trebuie totui luat n considerare ntruct va oferi primul factor pentru relaia derecuren ntre integralele definite (care urmeaz) i deci primul factor pentru valorileintegralelor de rang par :

289

(9.392)

Se pot calcula direct (adic fr a folosi relaia de recuren (9.391)) valorile integralelorpentru valori mici ale rangurilor,

(9.393)

(9.393)

(9.391) | (9.394)

Se constat cu uurin c variaia primului termen din (9.394) este pentru ntimp ce

regsindu-se astfel valoarea din (9.392). Valoarea integralelor de rang par, respectiv impar,se determin din relaia de recuren (9.394) i din valorile integralelor Pentrurangurile pare,

(9.395)

Pentru rangurile impare,

(9.396)

Cititorul este invitat s calculeze, procednd analog, integralele din (9.389).

290

Proprieti de medie i de simetrie, descompunerea integralelor dup intervale.

S se verifice inegalitile de mai jos i s se scrie valorile medii ale funciilor-integrand respectiv) pe intervalele de integrare.

a) b)

a)

(9.397)

Dubla inegalitate din (9.397) s-a obinut din cele dou margini care sunt, de fapt,extremele funciei pe intervalul de integrare compact, nmulite cu lungimea intervalului

Valoarea medie a unei funcii care este mrginit i integrabil pe un interval se definete ca valoarea integralei mprit prin lungimea intervalului de integrare : ea estetocmai numrul real din Prima formul de medie, proprietatea , pag.282 :

(9.398)

Integrala din enun, dintr-o funcie raional simpl, se poate calcula foarte uor :

b) Funcia este evident cresctoare pe semiaxa real pozitiv iar membriiedxtremi ai dublei inegaliti din enun sunt tocmai valorile funciei n capetele intervaluluide integrare. ntruct lungimea acestuia este deci inegalitatea se verific conform cuprroprietatea , pag. 282. Dar, spre deosebire de integrala precedent, aceasta nu sepoate calcula cu formula Newton-Leibniz ntruct funcia exponenial de nu admiteprimitive exprimabile prin funcii elementare. Valoarea integralei se poate aproxima cumetode numerice specifice.

291

S se calculeze integralele

Pentru calculul ambelor integrale este necesar explicitarea funciilor-integrand funciilor-integrand respectiv) pe subintervale.

(9.399)

(9.399) | (9.400)Pentru ca primitiva din (3.400) s fie continu, constanta poate lua valoarea

ntruct funcia i la fel primitiva sa au expresii diferite pe cele dou subintervale,formula Newton-Leibniz se va aplica separat pentru fiecare primitiv iar integrala pentregul interval va fi suma celor dou :

(9.401)

S observm ca la prima primitiv din (3.400) am adugat o constant de integrare, deiaceasta nu era necesar : constantele de integrare nu sunt relevante cnd se calculeaz ointegral definit cu formula Newton-Leibniz ntruct fiecare astfel de constant seanuleaz cnd se calculeaz variaia, precum n (9.401). Teoretic, ar fi trebuit adugat oconstant de integrare i la a doua expresie din (9.400), dar am adugat aceast constantdoar spre a pune n eviden o primitiv continu, care se obine pentru

Funcia de sub integral trebuie explicitat ntruct trinomul de gradul II i schimbsemnul n interiorul intervalului de integrare :

(9.402)

nainte de a continua, se poate scrie primitiva trinomului :

(9.403)

292

(9.402) |

S se calculeze integralele

Aceasta este o integral pe interval simetric (fa de origine) dintr-o funcie impar,deci conform cu proprietatea de la pag.283.

Funcia de sub integral este, de aceast dat, una par pe acelai interval simetric.Conform cu proprietatea de la pag.282, valorea integralei este de dou ori valoareaintegralei pe unul din cele dou subintervale simetrice. De exemplu,

Aplicaii-exerciii la calculul integralelor definite 9.2 - A.1

S se calculeze cu ajutorul unei sume integrale.

293

S se calculeze limita irului de mai jos, scriind termenul general ca osum integral corespunztoate unei integrale definite :

S se calculeze (prin schimbare de variabil) integralele

Fr a calcula integralele, s se verifice inegalitile

a) b)

S se calculeze integralele de mai jos (explicitnd funciile pe subintervale) :

a)

b) c)

d)

S se calculeze (cu metoda IPP) integralele

a) b)

c) d)

Rspunsuri i recomandri de rezolvare

294

Funcia de sub integral este continu pe intervalul de integrare (de fapt, chiar petoata axa ), deci se poate considera orice diviziune a intervalului i orice alegere apunctelor intermediare (dac se opteaz pentru o sum Riemann). Cu diviziunea echi-distant i cu suma superioar Darboux ca sum Riemann se obine

(9.404)

Cititorii interesai vor putea detalia calculele i vor putea verifica valoarea din (9.404) cuformula Newton-Leibniz.

Pentru cea de a doua integral, existena acesteia este de asemenea evident avnd nfaptul c funcia-integrand este continu pe toata axa (deci i pe intervalul de integrare).Avnd n vedere expresia analitic a funciei, diviziunea echidistant nu va mai fi aplicabildar se poate ncerca o diviziune geometric avnd termenii iniial i final

(respectiv) iar punctele intermediare de forma

cu (9.405)

Se poate utiliza suma superioara Darboux corespunztoare punctelor din (9.405), dar esten prealabil necesar calcului lungimii intervalului dintre dou puncte consecutive, aceastanemaifiind independent de indicele de sumare

(9.406)

(9.405) & (9.406) | | (9.407)

Cititorii interesai vor putea detalia calculele i vor putea verifica lungimea intervalului din(9.406), apoi vor utiliza expresia sumei termenilor unei progresii geometrice spre a calculaultima sum din (9.407) i vor trece la limit pentru gsind limita (i deci valoareaintegralei) Apoi vor verifica aceast valoare cu formula Newton-Leibniz. Serecomand si regsirea extremitilor intervalului de integrare pentru indicii minim imaxim din (9.405). ~

Termenul general al irului din enun se poate interpreta ca valorea medie a uneifuncii dac se scoate ca factor forat n faa sumei fracia

295

(9.408)

(9.408) | (9.409)aceast sum fiind valoarea medie a funciei n punctele diviziuniiechidistante a intervalului ; aceasta este interpretarea care se poate gsi n culegerea[D. Flondor & N. Donciu, 1979, Vol. II, pag. 201]. De fapt, suma din (9.409) este chiar osum Riemann sau Darboux superioar pentru diviziunea menionat a intervalului i punctele extremiti din dreapta ale subintervalelor lui Aadar,

Valoarea acestei integrale urmeaz a fi gasit de cititorii interesai.

Pentru prima din cele dou integrale se poate folosi substituia ntructfuncia de sub integral este impar n

Cititorii interesai vor detalia calculele care conduc la integrala n t, respectiv la valoareafinal de mai sus.

Pentru a doua integral, este fireasc substituia

(9.410)

(9.410) | (9.411)

(9.410) & (9.411) | (9.412)

Integrala (9.412) este una raional i se determin dup descompunerea funciei-integrandn fracii simple. Se va ajunge la valoarea integralei

296

(9.413)

Cititorii urmeaz se detaliize calculele.

Se vor determina marginile sau extremele funciilor de sub integrale pe intervalelede integrare. Procedura este cea din exemplul , pag. 289-290. Variaia funciei dela a) se deduce imediat (din semnul derivatei ntia), n timp ce prima derivat a funcieig de la b) este

(9.414)

Rdcinile numrtorului derivate din (9.414) ar fi mai greu de gsit dar semnului ntregiiderivate, pe intervalul este uor de stabilit : numitorul este strict pozitiv,primul termen al numrtorului este negativ din cauza logaritmului, iar din acesta sescaade un termen pozitiv deci derivata este negativ pe intervalul menionat, iarextremele funciei se ating n capetele acestui interval : iar valoarea nextremitatea stng urmeaz a fi gsit de cititor. Aceste valori extreme se nmulesc culungimeas intervaslului de integrare, conform cu formula din proprietatea , pag. 282.

a) Funcia care intervine ca factor sub integral a mai fost ntlnit n

Exemplul cu expresia din (9.399) la pag, 291. Se va explicita ntreaga funcie-

integrand i se va descompune integrala ca sum de dou integrale pe cele dousubintervale de lungime 1 ; se va gsi

b) Funcia de sub valoarea absolut schimb semnul n centru intervalului, nmod necesar, integrala se va descompune dup cele dou jumti de interval. Primitivelesunt imediate i se ajunge la valoarea A se detalia calculele.

c) Integrala se descompune n sum de trei integrale, pe cele trei subintervale ce vorinterveni n explicitarea valorii absolute. Se ajunge la valoarea A se detaliacalculele. Se poate aplica i proprietatea de la pag. 282, pentru funciile pareintegrate pe interval simetric, n care caz integrala pe unul din cele dou subintervale sedescomupne ca suma de doar dou integrale.

d) Integrala este similar cu precedenta, punctele interioare n care cele dou valoriabsolute i schimb expresia fiind tot Poate fi util reprezentarea grafic a celordou funcii de sub operatorul min n scopul explicitrii mai rapide (sau mai sigure) afunciei de integrat. Integrala se descompune ca sum de 4 integrale pe subintervale delungime 1 iar valoarea ei este Se vor detalia calculele.

297

Sugestie. Dac se reprezint grafic cele dou funcii n valoare absolut i apoi funcia deintegrat, se poate gsi o interpretare geometric interesant a acestei integrale i a valoriisale (ca suma ariilor a patru triunghiuri).

S se calculeze (cu metoda IPP) integralele

a) Se aplic metoda IPP de dou ori, ncepnd cu integrala amai fost ntlnit la setul de exerciii dar pe un alt interval de integrare. Valoarea eieste A se detalia calculele.

b) Se aplic i pentru aceast integral metoda IPP de dou ori, ncepnd cu se va gsi valoarea A se detalia calculele.

c) Se poate nota se va gsi valoarea

A se detalia calculele.

d) Se poate nota Se va gsi primitiva

(9.415)

A doua integral din (9.415) se poate rescrie sub forma

(9.416)

Din (9.415) & (9.416) se obine o ecuaie n care conduce imediat la expresia analitica primitivei, iar cu formula Newton-Leibniz se va ajunge la valoarea

Cititorului i rmne s detalieze calculele i eventual s rezolve acest exerciiu cu altmetod, de exemplu folosind substituia sau

298

Aplicaii ale integralei definite n GEOMETRIE si MECANIC

Integrala definit are numeroase aplicaii n alte domenii ale matematicii (dect ANALIZAMATEMATIC), cel mai important fiind GEOMETRIA. nsi definiia integralei Riemann,ca limit a unei sume integrale, definete valoarea integralei pe intervalul din funcia integrabil drept aria regiunii plane delimitate de trapezul curbiliniu nchis de axa

de dreptele verticale i de graficul funciei Dar exist icazuri mai puin imediate n care integrala Riemann permite calculul ariilor unor regiunidin plan.

Calculul ariilor unor regiuni mrginite din planul

Am menionat mai sus definiia (valorii) integralei Riemann pe intervalul din funciaintegrabil care are ca semnificaie geometric aria regiunii plane delimitate de trapezulcurbiliniu de graficul funciei i cele trei segmente de dreapt precizate. Dar chiar iaceast interpretare este valabil ntr-un caz particular, acela n care graficul estesituat fie n semiplanul fie n Deci aceaast interpretare este valabilnumai dac funcia pstreaz semn constant pe intervalul

Un caz mai general este acela n care frontiera regiunii plane este format din maimulte segmente de dreapt sau arce de curb. n mod specific, ariile unor asemeneadomenii se vor calcula cu ajutorul noiunii de INTEGRAL DUBL, care urmeaz a fiprezentat ntr-n alt capitol. Totui, n destul de multe situaii este posibil calculul arieicutate folosind doar Integrale Riemann i operaii cu astfel de integrale, dup cum seva vedea i n exemplele ce urmeaz.

Dac D este un domeniu plan mrginit, inclus n banda vertical idelimitat inferior de o curb sau dintr-un lan de curbe i delimitat superior de o altcurb sau lan de curbe atunci aria domeniului va putea fi calculat dreptdiferena dintre aria regiunii avnd ca frontier superioar pe i aria celeidelimitate superior de Evident, aceast procedur va fi posibil doar dac cele doucurbe sau lanuri de curbe sunt constituite din graficele unor funcii integrabile, nparticular continue. Pentru o descriere ceva mai exact (sau formalizat) a acesteiprobleme s notm aria domeniului D cu F

F (9.417)

Cele dou funcii pot s fie funcii multiforme, n sensul c pot aveaavea expresii analitice diverse pe diverse subintervale ale lui n acest caz integraladin (9.417) se va descompune ca sum de tot attea integrale cte subintervale determin

299

punctele n care cel puin una din cele dou funcii i schimb expresia analitic. S maiprecizm c intervalul de integrare este exact dac i numai dac frontiera dome-niului D atinge dreptele verticale n cel puin cte un punct. n unelecazuri, cele dou abscise trebuie determinate prin intersectarea graficelor funciilor

Aceast descriere care poate s par oarecum vag sau confuz va fi ilustrat prinexemplele de mai jos.

S se determine aria domeniului plan delimitat de graficele funciilor

(9.418)

Pentru a intersecta graficele celor dou funcii scriem

(9.419)

Din (9.419) rezult c Din punct de vedere geometric, domeniul Dmrginit de graficele ceelor dou funcii din (9.418) este un sector de cerc, mai exact unsfert din discul centrat n origine i de raz delimitat de razele situate pe primai a doua bisectoare (respectiv). Cititorul este invitat s deseneze domeniul.

Conform formulei din (9.417) i innd seama de faptul c funcia

i schimb expresie n origine, aria lui se va obine ca sum a dou integrale. Dar, ntructambele funcii din (9.418) sunt pare, la fel i diferena lor, se poate calcula aria cerut dreptdublul ariei jumtii de ddomeniu inclus n primul cadra al reperului cartesian

F (9.420)

Evident, ultima aintegral din (9.420) se descompune ca diferena n sepoate aplica substituia

300

este o integral imediat, cu valoarea Aadar, aria cutat este

F

Aria limitat de sinusoid i cosinusoid pe intervalul

Rolul celor dou se schimb n punctele

pentru

pentru

pentru

n consecin, aria cutat va fi

F

Calculul unor lungimi de curbe Dac o curb plan este reprezentabil analitic printr-o ecuaie de forma

(9.419)

unde este o funcie derivabil pe acest interval, atunci lungimea arcului de curb

(9.420)

este dat de integrala

301

(9.421)

n seciunea dedicat integralelor curbilinii, formula (9.421) se va obine drept un cazparticular al unei formule mai generale (pentru lungimea arcelor de curbe parametrizate)care se aplic i la curbe spaiale (din spaiul 3D - tridimensional). Formula (9.421) rezultprin trecerea la limit ntr-o sum de tip Riemann, care msoar lungimea unei liniipoligonale ce aproximeaz arcul de curb. Urmeaz un exemplu de aplicare a formulei(9.421).

Lungimea arcului de curb (9.422)

(9.422) |

(9.423)

Integrala din (9.423) se poate calcula cu ajutorul substituiei

(9.424)

Valoarea gsit mai sus s-ar mai putea puin dezvolta (sau detalia) prin evaluarea celor doi

302

logaritmi :

(9.425)

Cu aceast valoare din (9.425), valoarea de mai sus a lungimii arcului de curb se poaterescrie

Calculul ariilor i volumelor unor corpuri de rotaie

Integrala definit permite calcularea volumelor unor corpuri de rotaie, precumi a ariei unor suprafee obinute prin rotaia unei curbe n jurul unei drepte, mai exact n jurul uneiaxe de coordonate.

Dac un arc de curb este reprezentat analitic prin ecuaia (9.420), pe care o relum,

(9.420)

atunci volumul corpului K generat prin rotaia curbei n jurul axei este dat de

(9.426)

Observaii. Prin rotaia arcului de curb din (9.420) n jurul axei nu se obine O.1 efectiv un corp ci doar o suprafa de rotaie, care constituie frontiera corpului de rotaie,mpreun cu cele dou discuri, de centru i raz respectiv de centru

i raz Se poate nelege i intuitiv c acest corp de rotaie este efectiv generatde trapezul curbiliniu a crui arie este exact integrala definit din funcia f pe intervalul

Dintr-un alt punct de vedere, corpul de rotaie K poate fi considerat ca fiind generat O.2 de discurile avnd centrele pe intervalul cu cercurile de contur sprijinindu-se pe arcul de curb i deplasndu-se odat cu centrul, de la Plecndu-se de la

303

aceast interpretare se obine formula (9.426), volumul corpului fiind limita unei sume (detip Riemann / Darboux) a volumelor unor cilindri elementari avnd ca nlimi sub-intervalele unei diviziuni a intervalului

Formula (9.426) poate fi uor adaptat i la cazul n care rotaia curbei se face n O.3 jurul axei n care caz ecuaia curbei va fi de forma n formula(9.426) se vor face modificrile necesare.

Suprafaa de rotaie este generat de arcul din (9.420), iar aria sa va fi dat deintegrala

(9.427)

i aceast formul (9.427) se obine printr-un proces de trecere la limit ntr-o sumintegral de tip Riemann / Darboux. Aria suprafeei de rotaie este aproximat de sumaariilor cilindrilor elementari meni0nai anterior la . O.2

n exemplele ce urmeaz prezentm corpuri i suprafee de rotaie pentru care secalculeaz att volumul ct i aria.

S se calculeze volumul i aria corpurilor de rotaie generate de curbele

Formula (9.426) aplicat cosinusoidei conduce la

(9.428)

(9.429)

304

(9.430)

Corpul de rotaie este unul cu aspect fusiform. La prima rescriere a integralei care acondus la valoarea din (9.428) am aplicat proprietatea de la pag. 282, pentruintegrale pe interval simetric din funcii pare ; a urmat o integral trigonometric simpl.n trecerea de la (9.429) la (9.430) am aplicat substituia i o primitv care sepoate gsi uor integrnd prin pri.

Curba generatoare este elipsa de semiaxe raportat la axele de simetrie. Prinurmare, corpul sau suprafaa de rotaie rezultat este elipsoidul de rotaie. Ecuaia de tipimplicit a elipsei trebuie explicitat n raport cu

(9.431)

Att prima ct i a doua ecuaie din (9.431) reprezint doar arcul sau semielipsa superioar,altfel nu ar mai fi o funcie ntruct ar putea lua dou valori opuse, de altfel, pentru generarea corpului i a suprafeei este suficient rotaia cu sau

doar a semidiscului eliptic superior, respectiv a semielipsei superioare, coninuten semiplanul

(9.426) & (9.431) |

| (9.432)

Derivata necesar pentru aplicarea formulei (9.427) este

(9,433)

(9.427) & (9.433) | |

305

(9.434)

n aceast integral (9.434) se poate aplica substituia

(9.435)

Dac, n (9.434) & (9.435), se folosete cunoscuta notaie

(9.436)

atunci expresia (9,434) a ariei cutate devine

| (9.437)

Comentarii. Am oferit rezolvarea n detaliu a calculului ariei acestei suprafee de rotaientruct ea comporta unele mici dificulti. Problema a fost abordat i n tratatul deANALIZ MATEMATIC [Gh. Sirechi, 1985, Vol. 1, pag. 377-378], dar am ajuns la rezultatuldin (9.437) independent, utiliznd i o alt substituie n (9.435) dect cea folosit nvolumul citat i aplicnd, pe de alt parte, proprietatea de integrare a unei funcii pare peun interval simetric. Rezultatul din (9.437) este valabil n cazul n care deci cnd este semiaxa mare a elipsei. Profesorul Sirechi abordeaz i cazul complementar.

Determinarea unor momente i centre de greutate Integrala definit permite i rezolvarea unor probleme de MECANIC (static) cum suntdeterminarea momentelor statice i a centrului de greutate al unui arc de curb material,respectiv a centrului de greutate al unei plci, acestea avnd masa repartizat uniform.

306

Determinarea momentelor i centrului de greutate al unei curbe plane

Fie o curb material plan oarecare. Curba este presupus a fi omogen,cu densitatea liniar constant, eventual Un element de arc are aceastlungime elementar care coincide cu masa lui. Pentru un punct material situat la distanta de axa momentul su static n raport cu axa este dat de

iar (9.438)

esteb momentul n raport cu axa S este lungimea curbei, care coincide i cuntreaga mas a arcului de curb conform ipotezei anterioare privind densitatea. Poziiacentrului de greutate se determin cu ajutorul celor dou momente statice din(9.438). Din ecuaiile

& (9.439)

rezult

(9.440)

Dac a doua ecuaie din (9.439) se nmulete cu se obine egalitatea

(9.441)

n care membrul drept se interpreteaz drept aria a suprafeei generate prin rotireacurbei n jurul axei n timp ce, n membrul stng, este lungimeacercului desrcis de centrul de greutate prin aceast rotaie. De aici rezult

Teorema lui Guldin. Aria suprafeei generate prin rotirea unei curbe n jurul unei axe pecare nu o intersecteaz este egal cu lungimea arcului acelei curbe nmulit cu lungimeacercului descris prin rotaia centrului de greutate G n jurul axei respective :

(9.442)

Formula (9.442) permite determinarea ordonatei lui dac se cunoate aria asuprafeei de rotaie (sau de revoluie) descris de curb. Urmeaz un exemplu.

Se cere determinarea momentului static al conturului unei elipse cu densitateomogen (de semiaxe i reprezentat prin ecuaia sa canonic), n raport cu axa

307

apoi momentul pentru semielipsa superioar. Apoi s se determine poziiacentrului de greutate al acestui arc superior, pe baza Teoremei lui Guldin.

Formula (9.441) pe ntru momentul static se particularizeaz prin

(9.443)

iar elementul de arc apare sub integrala (9.434) i se poate continua cu integrarea can determinarea suprafeei elipsoidului.

Aria elipsoidului de rotaie a fost determinat anterior, dar ea se poate rescrie folosindexcentricitatea elipsei,

(9.444)

Centrul de greutate al ntregii elipse va coincide cu centrul de simetrie al acesteia care estechiar originea din motive evidente de simetrie. Problema centrului de greutatedevine interesant dac ne limitm doar la semielipsa superioar. n acest caz, unghiul derotaie este de numai radiani iar formula (9.442) devine

(9.445)

este jumtate din aria elipsoidului de rotaie, deci, conform cu (9.444) ace(a)sta este

(9.446)

Coordonatele centrului de greutate vor fi Dar att n formula (9.443) ct in (9.446) intervine lungimea a arcului de elips, deci a semielipsei (superioare).Determinarea acesteia nu este o chestiune simpl ntruct nu se mai produce simplificareacare a condus la integrala din (9.434). Conform formulei (9.421),

dar aceast integral iraional este dificil chiar i n ce privete determinarea primitivei.O alternativ o ofer reprezentarea parametric a elipsei,

308

(9.447)

Lungimea semielipsei va fi integrala pe intervalul din elementul de arc (9.447).Dar nici aceasta nu este o integral simpl. Ea se poate reduce la a doua dintre funciile luiLegendre,

(9.448)

Nu are sens prezentarea n detaliu a teeoriei acestor integrale. Se poate consulta tratatul[G.M. Fihtenholc, 1964, Vol. II, pp. 111 & 166], unde se justific n detaliu valoarea cutata lungimii care este

Determinarea centrului de greutate al unei plci plane omogene

Dac este o funcie continu pe intervalul coordonatele centrului degreutate al zonei plane mrginite de axa dreptele i graficulfunciei sunt date de

(9.449)

Exemplu. S se determine centrul de greutate al regiunii (plcii) plane mrginitede axa axa dreptele i curba de ecuaie

(9.450)

n integrala care va da numitorul din (9.449) se poate aplica substituia

(9.451)

309

(9.450) & (9.451) |

(9.452)

Aceeai substituie este utilizabil i n a doua integral din (9.449) :

(9.453)

(9.454)

n fine, (9.452), (9.453), (9.454) i formulele (9.449) conduc la coordonatele cerute ale luiG :

(9.455)

Not. Acest exemplu a fost preluat din culegerea [S. Chiri , 1989, pag. 219], mpreuncu rezulatele numerice finale din ultimele 4 egaliti. Cititorul este invitat s detaliezecalculele care au condus la primitivele i valoarile din (9.452-455 ).

Exerciii cu aplicaii ale integralei n Geometrie i Mecanic9.2 - A.2

S se calculeze aria domeniului plan mrginit de graficul funciei axa i dreptele

S se calculeze aria domeniului plan limitat de curbele

S se calculeze aria domeniului plan limitat de curbele

310

S se calculeze lungimile arcelor de curbe

S se determine coordonatele centrului de greutate al domeniului plan limitat decurba i axa

S se calculeze volumul corpului obinut prin rotirea curbei n jurul axei

S se calculeze volumul corpului obinut prin rotirea curbei curbei

n jurul axei

S se calculeze aria suprafeei de rotaie generat prin rotirea curbei

n jurul axei