8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

1/29

Tema 4

Primitiva i integrala Riemann. Aplicaii.

Modulul 4.1 - Primitiva. Aplicaii

Noiunea de primitiv s-a degajat din aplicaiile matematicii n situaiiconcrete, care const n determinarea modelului matematic al unui proces atuncicnd se d viteza de variaie a acestuia.

Abstract, problema primitivei se formuleaz astfel: fiind dat funcia derivat' : R RF f I = se cere s se determine funciile : Rf I . Problema

primitivelor este deci inversa problemei fundamentale a calculului diferenial, caredup cum s-a artat n alt capitol, const n determinarea derivatei unei funcii date.

Derivarea este un operator care asociaz unei funcii date : Rf I derivata

sa ' : Rf I , n timp ce determinarea primitivelor (primitivizarea), adic inversaoperaiei unare de derivare, este o funcie multivoc care asociaz unei funcii date

': ( )F I F f =R, mulimea funciilorf cu proprietatea 'f F= care este infinit(dup una dintre consecinele teoremei Lagrange).

Definiia 4.1

1] Fie I R interval, f : IR. Se numete primitiv a funciei f peI, oricefuncieF:IRderivabil peIi cu proprietateaF' =f peI(F'(x) =f(x), x I).2] Operaia de determinare a unei primitive Fa lui f pe intervalul Ise numete

operaie de integrare, notat prin simbolul ( )f x dx .3] Funciaf:IRcare admite cel puin o primitiv pe Ise numete funcie cu

primitive pe Ii mulimea acestor funcii se va nota prin P(I).Teorema 4.1 (Proprieti generale ale primitivelor)

Fie IR interval i f : IR, atunci au loc afirmaiile:(p1) Dac F este o primitiv a lui f pe I atunci pentru CR, funcia

F + C este o primitiv a lui f pe I.(p2) Dou primitive oarecare F i G a lui f pe I difer printr-o constant.

(p3)Primitiva generalsau integrala nedefinit sau antiderivata unei funcii f estedat prin:

( ) ( ) { } ( )1 | : primitiv a lui ; ,R Rnot

f x dx F C F I f C F x C = + = + x I(p4) Integrala nedefinit este inversa aplicaiei de difereniere:

( ) ( ) ( )2 dF x F x C = + ( ) ( ) ( )3 d f x dx f x dx = .

94

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

2/29

Demonstraie (p1)Feste primitiv, deciFderivabil cuF' =fi avem: (F+ C)'

= F' + C' = F' = f, de unde rezult F + C derivabil cu (F + C)' = f F + Cprimitiv.(p2) FieF, G :IRprimitive ale lui fpeI, conform definiiei 1: F, G derivabilecu:F'=f, G' =f peIF' = G'(F G )' = 0 F G = C, CR.

(p4) Avem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'

2dF x F x dx f x dx F x C = = = + i( ) ( ) ( ) ( )

' ' 'd f x dx d F x C F x C dx F x C dx = + = + = + = ( ) ( ) ( )' 3F x dx f x dx= = .

Teorema 4.2 (Operaii algebrice cu primitive)Fie IR interval i f , g : IR cu f , gP(I), atunci au loc proprietile:

(p5) ( ) , ,R Rd f df f C C = = + (p6) ( ) ; Rd f g df dg f g C C = = + (p7) ( ) ( )d fg gdf fdg gdf fdg = + = +

Demonstraie n ipotezaf,gdifereniabile (derivabile) peI, avem:( ) ( ) ( ), ,d f df d f g df dg d fg gdf fdg = = = + i dup formula (2) se obin

imediat proprietile (p5), (p6), (p7).Consecina 4.1

Fie f, g C1(I) din (p7 ) se obine formula de integrare prin pri , care este ometod de calcul pentru primitive:

( )4 fdg fg gdf =

Consecina 4.2Dac f : IR, fP(I) cu F o primitiv oarecare a sa i ( ) ,x u t t J = este oschimbare de variabil cu u C1(J), atunci din formula de difereniere a funciilorcompuse, avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 ' f x dx f u t du t f u t u t dt F u t C = = = + , RC .Demonstraie Fie ( ) ( ) ( ) ( )iF u f u du G t f u t dt = = , atunci avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' 'dF u t F u t u t dt f u t u t dt G t = = =

( ) ( )F u t G t C = + i este valabilformula de integrare prin schimbare de variabil(5).

Consecina 4.3Din definiia primitivei, proprietile sale (p4) date prin (2) i (3) din Tabloulderivatelor unor funcii elementare se obine Tabloul primitivelor unor funciielementare(din bibliografie: [6], [10], [11], [14], [16] i manualul de matematic

pentru clasa a XII a).

95

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

3/29

Tabelul primitivelor uzuale

{ }1

; 11. 1

ln ; 1

Rx

x dx C

x

+

= + +

= ( )

2 2

12. ln 0

2

dx x aC a

x a a x a

= +

+( )

2 2

1 13. arctg arcctg 0

dx xC x C a

x a a a a= + = +

+( )2 2

2 24. ln 0

dxx x a C a

x a= + + +

+

( )2 25. arcsin arccos 0dx x x

C C aa aa x = + = + ( )

16. 0, 1 ;

ln x x x xa dx a C a a e dx e C

a= + > = +

7. sin cos ; cos sinxdx x C xdx x C = + = + 8. ln tg ; ln tg

sin 2 cos 4 2

dx x dx xC C

x x

= + = + +

9. tg ln cos ; ctg ln sinxdx x C xdx x C = + = + 2 2

10. ctg ; tgsin cos

dx dxx C x C

x x= + = +

( ) ( )2 211. 1 ctg ctg ; 1 tg tgx dx x C x dx x C + = + + = + ( )

22 2 2 212. arcsin 0

2 2

x a xa x dx a x C a

a = + +

( )2

2 2 2 2 2 213. ln 0

2 2

x ax a dx x a x x a C a = +

14. sh ch ; ch sh2 2

x x x xe e e exdx dx x C xdx dx x C

+= = + = = +

2 215. th ; cth

ch sh

dx dxx C x C

x x= + = +

2 2

sin cos16. sec ; cosec

cos sin

x xdx x C dx x C

x x= + = +

96

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

4/29

217. arcsec arccosec

1

dxx C x C

x x= + = +

( )18. 2;

1Nm

m m

dxx C m m

m x= +

Observaii.1. Pentru a testa dacF:IReste o primitiv a funcieif:IRpeI; se verificegalitatea:F'(x) =f(x), xI.2. Studiul primitivelor a fost efectuat i n liceu, de aceea vom face unelecompletri, n special prezentnd clasele de funcii reale de o variabil real a cror

primitive se reduc, prin substituii convenabile, la primitive de funcii raionale.3. Problema existenei primitivelor, nseamn de fapt, pentruf:I RRdeterminarea familiei de funcii P(I). Rspunsul complet la aceast

problem nu a fost dat nc. Se cunosc rspunsuri pariale.(i) Condiia necesar de existen a primitivelor lui f : IReste ca f s posede

proprietatea Darboux, deoarece n acest cazfeste o derivat peI(f=F'peI).(ii) Oricefuncie continuf:IRposed primitive peI, (condiie suficient) carese va demonstra n cadrul Integralei Riemann.(iii) Existfuncii discontinue care au primitive.

Exemplu. ( )1

sin ; 0,: ,

0 ; 0

RR R

x x f f x x

x

= =

discontinu n x0 = 0 are o

primitiv F : R R definit prin formula F = G H unde G : R R cu

( )2

cos ; 0,0 ; 0

Rx x x xG xx

= =

i H : R R care este o primitiv a funciei

continue : RRcu ( )1

2 cos ; 0,

0 ; 0

x x xx x

x

= =

R.

Avem:

( ) ( ) ( )' ' 'F x G x H x= unde ( )1 1

2 cos sin , 0,'

0 , 0

Rx x xG x x x

x

+ =

=

i ( )1

2 cos , 0,'

0 , 0

Rx x xH x x

x

= =

deci ( ) ( )' , RF x f x x= iF

este o primitiv a luif pe R.4. Metodele de calcul pentru primitive sunt:

97

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

5/29

Tabelul primitivelor imediate ale unor funcii elementare, Metoda transformriloralgebrice i trigonometrice, Metoda integrrii prin pri, Metoda integrrii prinformule de recuren dup n N i Metoda substituiei care se regsesc nconsecina 1, consecina2, consecina 3 i n bibliografie ([6], [10], [11], [14], [16]).5. Vom prezenta clase de funcii reale de o variabil real ale cror primitive sunt

exprimabile prin combinaii liniare finite de funcii elementare.Primitive de funcii raionale

Fie f : D R Rcu ( )( )

( )[ ]0 0cu ,

P xf x P Q X

Q x= R i cu grP0 grQ atunci

( )

( )( )

( )

( )[ ]0 0 0cu , ,

P x P xp x p P Q X

Q x Q x= + R i grP < gr.Q. Dup o teorem din

algebr, are loc descompunerea n fracii simple:2

0 21 20( ) ( ) ( 4 0)( ) ( )

n

n n

A Mx N

f x p x p qx x x px q

+

= + + =

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

6/29

2 2 2

12 2 2 1

1 2 0 3

( )

[( ) ] ( )

1 2 3, pentru 2

(2 1) [( ) ] 2 2

1;

n n n

n nn

d x dxI

x x px q

x nI I n

n x n

xI arctg C I x C

= = + + +

= + +

= + = +

Integrarea funciilor iraionaleIntegrarea funciilor iraionale, se va reduce, prin substituii convenabile, laintegrarea de funcii raionale. Vom folosi notarea R(u, v, w, ) pentru a desemnao funcie raional n variabilele u, v, w, care la rndul lor sunt funcii nx.

1.1

1( ,..., )Rp

p

mm

nnx x dx cu1

1

,...,

,..., *p

p

m m

n n

Z

Ni considerm n = c.m.m.m.c.{n1, n2, , np}.

Substituia x = tn i dx = ntn-1dt, notnd 111

,..., ppp

mms n s n

n n= = cu s1, , sp Z,

obinem:1

1 1 1

1( ,..., ) ( ,..., ) ( )R R R

p

p p

mm

n sn s nx x dx n t t t dt t dt = = cu R1 o funcie raional n t.

2.1

1

[ , ,..., ] unde 0; 0 cu , , , ;R

p

p

mm

n nax b ax b ax bx dx cx d a b c d

cx d cx d cx d

+ + + + + + + R*m1,

,mpZ, n1, , npN*, i considerm n = c.m.m.m.c.{n1, n2, , np}. Substituia

1

2

( 0)

( )( )

nn

nn

n

n

dt ba ct

ax b a ctt x

cx d ad bc nt dx dt a ct

+ = =

+ =

1

11

1

2 2

( )[ , ,..., ] , ,..., ( )

( )R R R

p

pp

mmn n

n n ss

n n

ax b ax b dt b n ad bc t x dx t t dt t dt

cx d cx d a ct a ct

+ + = = + + unde

R2 este o funcie raional n t.

3. ( )2,R x ax bx c dx+ + cu a, b, c, R, a 0 i = b2 4ac 0.Se vor efectuasubstituiile lui Euler:31. Dac a > 0 substituia este: 2ax bx c x a t + + = i pentru cazul

2 22

2( 2 0); 2 ;

2 ( 2 )

t c at bt c aax bx c x a t x b t a dx dt

b t a b t a

+ + + = + = =

( )2

2 2

2 2 2

2

,2

2 , ( ) cu o funcie raional n2 2 ( 2 )

3 3

R

R R R

at bt c aax bx c x ax bx c dx

b t a

t c at bt c a at bt c adt t dt t

b t a b t a b t a

+ + + = + + =

+ +

= =

99

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

7/29

32. Dac c > 0 substituia este: 2ax bx c xt c+ + = i pentru cazul2

2 2

2 2 2

2( 0); 2 ;

( )

t c b t c bt a cax bx c xt c x a t dx dt

a t a t

++ + = + = =

( )2

2 2

2

2 2

2 2 2 2

,

22 ;( )

( ) cu o funcie raional n4 4

R

R

R R

t c bt a cax bx c x ax bx c dx

a t

t c b t c bt a c t c bt a cdt

a t a t a t

t dt t

++ + = + + =

+ += =

=

33. Dac a < 0 i c < 0, iar = b2 4ac < 0 ax2 + bx + c < 0, x R i

2ax bx c+ + C . Dac = b2 4ac > 0 ax2 + bx + c =a (x -x1)(x- -x2), x1,x2Rix1 x2.

Avem: 2 21 2 11

( )( )( ) ( )

( )

x xax bx c a x x x x x x a

x x

+ + = =

i atunci:

2 21

1

( ), ,( )

( )R R

x xx ax bx c dx x x x a dx

x x

+ + = este de tip 2 i se face substituia:

222 1 2 1 2 2 1

12 2 2 2

1

2 ( ); ;

1 (1 ) 1

x x t x x t x x x xt x dx dt x x

x x t t t

+ = = = =

+ + +

( )2

2 1 2 2 1 1 2

2 2 2 2

2 ( ), ;

1 1 (1 )

( ) cu o funcie raional n5 5

R R

R R

t x x x x t x xx ax bx c dx t a dt

t t t

t dt t

+ + + = = + + +

=

4. ( )

pm n

x a bx dx+ integrale binome cu a, b R*, m, n, p Q i notm1 1 1

1 1 1 2 2 2

2 2 2

, , unde , ,i , ,m n p

m n p m n p m n pm n p

= = = Z N* .

Teorema 4.3 (P. L. Cebev)

Primitivele pentru ( )p

m nx a bx dx+ se pot exprima prin combinaii finite de funciielementare numai n urmtoarele trei cazuri:

41. p Z; 42.1m

n

+Z ; 43.

1mp

n

++ Z .

Demonstraie. 41. DacpZ, avem:

(i)p = 0 ( )1

1 ( 1)1

mpm n m xx a bx dx x dx C m

m

+ + = = +

+ .(ii)p >0

( )1

2

0 0 1

nk mp pp

m n k p k k nk m k p k k

p p

k k

xx a bx dx C a b x dx C a b C

nk m

+ + +

= =

+ = = ++ +

100

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

8/29

(iii)p < 0 ( )( )

1 1

2 2( , , )Rm nm

pm nm n

pn

xx a bx dx dx x x x dx

a bx

+ = =+

de tip 1. i notnd n =

c.m.m.m.c. {m2, n2} prin substituiaxn = t1

nx t= ;

( )( )

11

6

1 1( ) cu o funcie raional n .6R R

mp

m n n

pn

x a bx dx t dt t dt t n a bx

+

+ = =+

42.pZ i1m

n

+Z , atunci

11

m

n

+ Z i prin substituiaxn = tavem:

( ) ( )1

11 mp pm n nx a bx dx t a bt dt n

+

+ = + din care prin o nou substituie:2

2 2 2 12,p

p p pn pz aa bt z a bx z t dt z dzb b

+ = + = = = se obine rezultatul final:

( ) ( )2

1 2

111

112

7

1 1( )R

mm p np p p pm n n

p z ax a bx dx t a bt dt z dz z dz

n n b b

++

+ + = + = =

R7 o

funcie raional nz deoarece1

1m

n

+ Z ip1 +p2 1 Z.

43. Dac1

,m

pn

+Z i

1mp

n

++ Z se reprezint integrala binom sub forma:

( )p p

n np

m n m n m np

n n

a bx a bxx a bx dx x x dx x dx

x x+ + ++ = =

i prima substituie: xn = t

1

nx t= ;11 n

ndx t dt n

= conduce la:

( )1

11pm

ppm n n a btx a bx dx t dt n t

++ + + =

; a doua substituie:

( )2

2 2 2

2 2

1

2

20 ,

( )

pn p p p

p pn

ap za bt a bx az t t z b dt dz

t x z b z b

+ += = = =

( ) 1 22

11

12

8( )R

mp

npp pm n

p

ap ax a bx dx z dz z dz

n z b

++

+ + = = cu

11

mp

n

++ Z ,

p1 +p2 1 Z i R8 o funcie raional nz.Integrarea funciilor raionale n sinx i cosx

1. Calculul integralei( )sin , cosR x x dx

n cazul general cu x (- , ) se faceprintr-o schimbare de variabil: 2

22 , ,

2 1x dt

tg t x arctgt dxt

= = =+

( ) ( )2 2

2 2 2 2 2

2 1 2 1sin , cos sin ,cos 2 ,

1 1 1 1 1 1R R R

t t t t dt x x x x dx t dt

t t t t t

= = = = + + + + +

cu R1 ofuncie raional n t.

101

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

9/29

2. Dac R (sin x, cos x) este o funcie impar n cos x, avem:( ) 2 2sin ,cos (sin ,cos )cosR x x dx f x x xdx= i prin substituia: sin x= t, cosx dx = dtse

obine: ( ) 2 2sin ,cos (sin ,cos )cosR x x dx f x x xdx= =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2,1 sin ,cos ,1 2R Rf t t dt x x dx f t t dt t dt = = = cu cu R2 o funcieraional n t.3. Dac R (sin x, cos x) este o funcie impar n sin x, avem:

( ) 2 2sin ,cos (sin ,cos )sinR x x dx g x x xdx= i prin substituia: cosx= t,

-sinx dx = dtrezult: ( ) 2 2sin ,cos (sin ,cos )( sin )R x x dx g x x xdx= = ( ) ( )2 21 , 3Rg t t dt t dt = = cu cu R3 o funcie raional n t.

4. Dac R (sin x, cos x) este o funcie par n sin x i cos x, avem( ) 2 2sin ,cos (sin ,cos )R x x dx h x x dx= i prin substituia:

2, ,

1dt

tgx t x arctgt dxt

= = =+

22 2

2 2

1sin , cos

1 1t

x xt t

= =+ +

se obine rezultatul final:

( ) ( ) ( )2

2 2 2 2

2 2 2

1sin , cos sin , cos ,1 1 1 4

R Rt dt

x x dx h x x dx h t dt t t t

= = = + + + cu R4 o funcieraional n t.

Integrarea funciilor raionale n exponeniale

Primitivele de forma: ( )1 ,...,R pr ax r axe e dx cu a 0, aR i r1, , rp Q, iar,ii i i

i

mr m n

n= *Z, N i i=1, , p se va nota =c.m.m.m.c.{ n1, , np } i prin

substituia eax = t , t>0 ln

,t dt

x dx

a a t

= = se obine:

( ) ( ) ( )1 1,..., ,..., 1R R Rp pr ax r r ax r dt

e e dx t t t dt a t

= = cu R1 o funcie raional n t,deoarece r1, , rpZ.

Integrale de forma ( )( )nP x f x dxFie PnR[X] i f este una dintre funciile elementare

, , ln , log , arcsin , arccos , ,x x ae a x x x x arctg x arcctg x etc.. Integrala se calculeaz prin

metoda integrrii prin pri cu scopul de a reduce treptat cu cte o unitate gradulplinomuluiPn: grPn = n (nN). se ntlnesc urmtoarele cazuri:

1. 1( ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) x x x x xn n n n nP x e dx e P x P x e dx e P x Q x e dx= = ( )1 1' i gr 1n n nQ P Q n = = 2. 1 1( ) ln ( ) ln ( ) ( )n n n n

dxP x xdx Q x x Q x Q x dx

x+ += = % unde

( )( )1 1( ) cu gr 1n n nQ x P x dx Q n+ += = + i ( )nQ x% polinom cu gr nQ%= n.

3.1

1 12

( )( )arcsin ( )arcsin cu ( ) ( )

1n

n n n n

Q xP x xdx Q x x dx Q x P x dx

x

++ += =

102

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

10/29

polinom de gradul ( n+ 1); se elimin radicalul din ultima integral prin una dintresubstituiile lui Euler. De asemenea, n unele cazuri sunt convenabile substituiiletrigonometrice x = sin t ( x = cos t); d x = cos t dt (d x = -sin t dt);

2 21 1 sin | cos |x t t = = ;

( )2 21 1 cos | sin |x t t = = i se obine integrala unei funcii raionale n sint icost.

4. 11 12( )

( ) ( ) ( ) ( )1

Rn

n n n

Q xP x arctgxdx Q x arctgx dx Q x arctgx x dx

x+

+ += = + cu R o funcieraional nx i 1( ) ( )n nQ x P x dx+ = polinom.

5. 11 1

( ) ( ) ' ( ) ( ) ( )ln ln ln ln

x x x x x

n n n n n

a aP x a dx P x P x a dx P x Q x a dx

a a a a = =

1(gr ( ) 1)nQ x n = .6. Integrale eliptice

n cazul ( ), ( )R

nx P x dx grPn = n 3, primitivele nu se pot exprima, n general,prin combinaii finite de funcii elementare i aceast clas de integrale se numescintegrale eliptice. Integralele eliptice pot fi reprezentate sub una dintre formele:

1.2 2

12

( , ) (0 1)1 sin

1 1 sin(0, ) ; (1, ) ln

| cos | 2 1 sin 21 sin

dtI k t k

k t

dt dt t t I t t c I t C tg u

t tt

=

+ = + = = = + =

2.

2 2

2 2

1 3

( , ) 1 sin (0 1)

(0, ) ; (1, ) 1 sin | cos | sin

E k t k tdt k

E t t c E t k tdt t dt t C

=

= + = = = +

Funciile I(k, t),E(k, t) se numesc funcii eliptice; integralele de acest tip apar ncalculul lungimii unui arc de elips din plan.7. Integrale care nu se exprim prin combinaii liniare finite de funcii elementare:

sinx

dxx (sinusul integral);

cosxdx

x (cosinusul integral); lndx

x

(logaritmul integral);xe

dxx (exponenialul integral);

2xe dx (integrala lui Poisson);2 2cos i sinx dx x dx (integralele lui Fresnel) i integralele eliptice ( ), ( )R nx P x dx gr

Pn = n 3.Aplicaii.

1.2 2

2 2

( 1) 1

1 1x x

dx dx x arctgx C x x

+ = = +

+ +

2.2 2

2 2 2 2 2 2

cos2 cos sincos sin cos sin sin cos

x x x dx dxdx dx ctgx tgx c

x x x x x x

= = = +

103

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

11/29

( )2

2

2 20; -4

1 1 23.

2

2 4 2 4

1 2ln ; 0 prin substituia evident ,

222

; 022 2

; 0

a b ac

bd x

dx aba a bx xa a a a

ax b bC x t dx dt

aax b

Cax b

ax barctg C

dx

ax bx c=

+ = =

+ + +

+ > + = = + + = + = +

+ + 0 xI

2 2

22 4

dx dx

ax bx c ba x

a a

=+ + +

i apar dou cazuri a>0 i a 0

2 22

2

12

2

2

1 2

2 2

1 ln ; dac 0 (se ia semnul +)2 2 4

1 1ln ; dac 0 (se ia semnul -)

2

bd x

dx a

aax bx c bx

a a

b bx x C a a aa

bx ax bx c C

aa a

+ = =

+ + +

+ + + + > =

+ + + + + 0 i avem

104

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

12/29

32 2 2

3

1 12 2arcsin

22 2

1 2arcsin

b bd x xdx a a C

a aax bx c bx aa a

ax bCa

+ + = = + =

+ + +

+= +

2

2 22

2

2sinsin (cos ) 1 cos 1 1 26. ln lnsin sin cos 1 2 cos 1 2 2cos

2

1ln ln

2 2 2

xdx xdx d x x

C Cxx x x x

x xtg C tg C

= = = + = + =

+

= + = +

( ) 2

2 2

2

7. '1

1 (1 ) 1 ln(1 )2 1 2

xarctgxdx x arctgxdx xarctgx dx

x

d xxarctgx xarctgx x C x

= = =+

+= = + ++

2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 22 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

22 2 2 2 2 2

8. ( ) '

ln( )

ln( )

2 2

xa x dx x a x dx x a x dx

x a

x a dxx a x dx a x a x

x a x a

a x dx a x x a C

x aa x dx a x x x a C

+ = + = + =+

+= + + = +

+ +

+ + + + +

+ = + + + + +

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2 22

11 12 2 2 2 2 2

'

2 2

1 12 2 2 2

1 2 2 2

0 1 1 22 2

9.

1 1

22 2

1 2 1; 1

22

1 1;

n nn n n

n n n nn n

n nn

dx x a xdxn I dx x a I

x a x a x a

xI a I x dx a I I

nn x a n x a

x nI I n

a nn x a

dxI x C I arctg C x a a a

++ +

+ +

+

+ = = = +

+ + +

= + = + + +

= + + = + = = +

+

N,

105

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

13/29

2 2 2

22

12

2 2

1

2

0 1 1 2

10. ( 1 1)cos

( ) cu 21

1 sin; ln | cos |

cos

n n n

n n

nn

n n

n

n n

dxI tg xdx tg x tg x dx tg x I

x

tg xtg xd tgx I I n

n

tg xI I

n xI x C I tgxdx dx x C

x

= = + = =

= =

=

= + = = = +

2

2 2 2 2 2

2

2 2

2 2 2

2 2 13 1 3 4 211. ln | 2 |

( 2)( 1) 2 ( 1) 1

3 1 1 14 ln( 1) 2

2 1 1 2 2

( caz particular din 10.)( 1)

x x x xdx dx x

x x x x x

xarctgx x arctgx C

x x

dxI

x

+ + + += = + + + + +

+ + + + + +

=+

2

22

3 2 2

3 3

2

3

2

22

( 2)1 1 2 22( 1)

12.2 ( 1)2 2

1 4 6 4 1 1 3 3

4 ( 1) 4 4 ( 1)

1 ( 1) ( 1) 1 1 1 1ln | 1|

4 4 ( 1) 4 4 4 1

1 1cu substituiile :

8 ( 1)

22 2 ;

2

t tx t t t

dx dt t tx x x

t t t t t dt dt dt

t t

t t t t dt t

t t

Ct

tx x t x x

++ + ++= =

++ + ++ + + + +

= = + =+ +

+ + + += + = + +

+ +

++

+ + = =

2

2

22 2

2 2

2

2

2

2 2 ( 2); ; 1 ;

( 1) ( 1) 2( 1)

2 22 2 ; 2 2

2( 1)

1 1 1( 2 2) ln | 1 2 2 |

4 42 2

2 3 2 2 2

8( 1 2 2)

t t t t dx dt x

t t t

t tx x x t x x

t

xdx x x x x x x

x x x

x x xC

x x x

+ + += + =+ + +

+ ++ + + = + + =

++

= + + + + + + + + + + +

+ + + +

+ + + +

106

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

14/29

( )

12

1

31 13 4

2 4

34

3 3 4 3 3 24

3 43 4 2 3 3

6 3 7 4 7 44 43 3

113. 1

111 1 2 2 1

134

1 ( 1) ; 4( 1) 3

1( 1) 12 ( 1)

12 12 1212 (1 ) 3 (1 )

7 4 7

xdx x x dx

x

mp x t

n

x t x t dx t t dt

xdx t t t t dt

x

t t dt t t C x x C

+= +

++= = = + =

= = =

+ = =

= = + = + + +

Z; Z

Modulul 4.2 - Integrala Riemann. Aplicaii.

Noiunea de integral a aprut din nevoia practic de a determina arii ivolume ale unor figuri din plan i corpuri din spaiu, ct i multe consideraii dinfizic.Bazele calculului integraliaplicaiile sale n geometrie, mecanic i fizicau fost dezvoltate n secolul al XVIII lea n lucrrile lui Newton i Leibniz.Definiia riguroas a conceptului de integral a fost dat peste un secol nlucrrile lui Cauchy i Darboux pentru clasa funciilor continue pe un intervalcompact din R. Extinderea integralei pentru funcii discontinue a fost realizat deRiemann i Lebesgue, care au formulat condiii necesare i suficiente de

integrabilitate pentru funcii reale de o variabil real.Unele probleme speciale din teoria integrabilitii au fost elaborate de Stieltjes iLebesgue care au generalizat conceptul de integral pentru cazul mulimilorabstracte.

n teoria general a integralei se pun astfel problemele:Se definete o anumit schem S (un procedeuS), prin care putem asocia unoranumite funcii date un numr real, n general, bine determinat. A integra ofuncief: [a, b]R(a, bR, a < b) relativ la schema S, nseamn a determinanumrul real S(f) asociat luif, cu ajutorul schemei precizate S. n mod natural apar

urmtoarele probleme:I. Care este relaia dintre tipurile de integral considerate ?II. S se determine clase ct mai ample de funcii integrabile.III. S se indice metode, procedee pentru calculul integralelor cnd funcia de

integrat are o form ct mai general sau o form particular remarcabil(funcii raionale, funcii iraionale etc).

IV. S se precizeze metodele de calcul aproximativ al integralelor care s fiensoite de o formul de evaluare a erorilor de calcul.

107

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

15/29

Definiia integralei Riemann. Clase de funcii integrabile.

Fie a, bRcu a < b if: [a, b]R. O divizare a intervalului [a, b], notat , este o mulime finit de puncte ={a =x0

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

16/29

3. Dac existIRRcu proprietatea (2) acesta este unic.4. O funcie integrabil Riemann pe [a, b] se va numi funcie R- integrabili

vom nota prin R[a, b]={f | f : [a, b] R integrabil Riemann} mulimeafunciilorf: [a, b]R, R integrabile.

Teorema 4.4 (de caracterizare a integrabilitii pe R)

Fie f : [a, b]R (a, bR; a < b). Funcia f este integrabil Riemann, dac inumai dac, exist IRR cu proprietatea:

( ) [ ]

( )

1, un ir de diviziuni cu irul normelor 0 i ,

(4)irul sumelor integrale Riemann , est e convergent n cu limita

Dnn nn

a b

f

I

R

R

R

R

Demonstraia n bibliografie ([10], [11], [16]).Consecina 4.4.Fie f : [a, b]R o funcie R integrabil, atunci are loc

afirmaia:

[ ] ( )(5) , , 1 cu 0 i , ( )D nb

n n aa b n f f x dx I =R R

R

Teorema 4.5 (Condiie necesar pentru integrabilitate)

Dac f : [a, b]R este o funcie R integrabil, atunci f este mrginit pe [a, b].Demonstraie.

f integrabil1def

(2) adevrat i fie =1, atunci exist D([a, b]) a. .

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]{ }11

, 1, 2 ' 1 1, , | 1,n

i i i i

i

f I I f x I x x i n =

+ =R R R Fixmj{1, 2, , n} i consederm un sistem de puncte intermediare{ }0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 2 1 1 1 2 1 1, ,..., , , ,..., cu , ,..., , ,..., j j j n j j n + + fixai i

j arbitrar cu

j

[xj-1,

xj] cu j i. Din (2) pentru j[xj-1,xj] avem:

(6)( ) ( )

( )( ) ( )0 0

1 1

1 1 j j j ji j i j

j

j j j j

I f x I f x

fx x x x

+ + +

R R

f este mrginit pe [xj-1, xj] pentru j{1, 2, , n} f este mrginit pe

[ ] 11

, ,n

j j

j

a b x x=

= U .

Consecina 4.5Dac f : [a, b]R este o funcie nemrginit pe [a, b], atunci

f nu este R integrabil (condiie suficient).Demonstraia este direct din teorema 4.5.

Fief: [a, b]Ro funcie mrginit cu m = inf{ f(x)|x [a, b]}, M = sup{ f(x)|x[a, b]}. Dac D([a, b]) pe fiecare interval parial [xi-1, xi] notm: mi (f)= inf

f(x), cux [xi-1,xi], Mi (f)= supf(x), cux [xi-1,xi] i considerm sumele integraleDarboux:

109

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

17/29

( ) ( )

( ) ( )

1

1

, suma inferioar Darboux

(7)

, suma superioar Darboux

n

i i

i

n

i i

i

s f m x x

S f M x x

=

=

= =

Definiia 4.3.

Fief: [a, b]R mrginit1] Numrul ( )

[ ],

supD a b

s f I

= se numete integrala inferioar Darboux a funcieif,

notat: ( )b

aI f x dx= .

2] Numrul ( )[ ],

infD a b

S f I

= se numete integrala superioar Darboux a funcieif,

notat: ( )b

aI f x dx= .

3] Funcia mrginitfeste integrabil Darbouxpe [a, b] sauD- integrabil, dac

prin definiie avem:(8) ( ) ( )

b b

Da a

f x dx f x dx I = = R i ID se numete integrala Darboux a funcieifpe

[a, b], notat prin acelai simbol ID = ( )b

af x dx .

Consecinta 4.6.Din formula (7) i definiia 4.3 rezult n mod direct urmtoarele proprieti alesumelor integrale Darboux:

[ ]( ) { }

[ ]{ }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )

[ ]1 2 1

1 1

2

1 1

3

4 1 2 1 2 1 2

( ) 0 , 2 , 1,2,...,

( sup ( ) , )

( )

( ) max | 1,...,

( ) , , cu , ( ) ( ), ( )D

not

i i f i i

n n

i i i i i

i i

i i

d M m x x M m f i n

f f x x a b

d S f s f M f m f x M f m f

d S f s f M f m f i n b a

d a b s f s f S f S

= =

=

=

=

=

2

2 2 1 1

( )

( ) ( ) ( ) ( )

f

S f s f S f s f

(d5) Dac f este mrginit pe [a, b]

[ ]1 2 1 21 2

, , , ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )Db b

a aa b s f S f s f f x dx I I f x dx S f = = (d6)

Dac f este mrginit pe [a, b] pentru D([a, b]), avem:( )

( ) ( )

( ) , ( );

( ) inf , ; ( ) sup ,

s f f S f

s f f S f f

= =

.

Demonstraia propoziiilor (d1) (d6) se face prin calcul direct, folosinddefiniiile semnelor integrale Darboux i Riemann.

110

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

18/29

Observaii:

1. Cnd rafinm diviziunea , sumele inferioare Darboux cresc i sumeleinferioare superioare Darboux descresc.

2. Orice sum inferioar Darboux este mai mic sau egal cu orice sumsuperioar Darboux.

3. Pentru f : [a, b] R s-au definit dou integrale: integrala Riemann iintegrala Darboux i dou tipuri de integrabilitate. Vom dovedi c cele douintegrale i cele dou tipuri de integrabilitate coincid i vom folosi din acestmotiv conceptele de integral definit sau integral i funcieintegrabil pe [a, b].

Teorema 4.5 (Darboux / pentru caracterizarea integrabilitii)

Fie f : [a, b] R o funcie mrginit, atunci urmtoarele afirmaii suntechivalente:(i) f este R integrabil; (ii) f este D integrabil;(iii) [ ]0, , a.. ( ) ( ) ;D a b S f s f >

(iv) [ ]0, 0 a.. , cu ( ) ( ) .D f fa b S s > > < <

Demonstraia se face pe etape folosind definiiile, teoremele i consecineleprezentate anterior, urmnd schemaI. (i) (ii); II. (iv) (iii); III. (iii) (ii);IV. (ii) (iii); V. (iv) (i); VI. (iii) (iv)i se gsete n bibliografie ([9], [6], [10], [11], [16]).

Consecina 4.7.

O funcie mrginit f : [a, b]R este integrabil Riemann, dac i numai dac, f

este integrabil Darboux i cele dou integrale coincid:( ) ( ) ( )

notb b b

a a aI f x dx f x dx f x dx I I = = = = = R D R.

Teorema 4.6 (Condiie suficient de integrabilitate)

Dac f : [a, b]R este funcie monoton, atunci f este integrabil pe [a, b].Demonstraie. Presupunem f monoton cresctoare i neconstant. >0

fixat, considerm D([a, b]) a. .

( )( ) ( )f b f a

< =

. Pentru [xi-1, xi] c u i {1, 2, ..., n}, avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ]

11

1

1

( ) ( ) i atunci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

n

i i i i i i ii

n

i i

i

M f m f f x f x S f s f s f M f m f x

f x f x f b f a f b f af b f a

=

=

= = =

= < =

f

este integrabil dup condiia (iii) din teorema lui Darboux.Teorema 4.7. (Condiia suficient de integrabilitate)

Dac f : [a, b]R este funcie continu, atunci f este integrabil.

111

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

19/29

Demonstraiefcontinu pe [a, b] feste uniform continu pe [a, b] (TeoremaCantor) i f este mrginit i i atinge marginile pe [a, b] (Teorema lui

Weierstrass). Fie >0 fixat i funiform continu pe [a, b]def

>0, ( )

independent de x a. . x, y [a, b] cu |x - y|< | ( ) ( ) |f x f yb a

b,

avem ( ) ( )b a

a bf x dx f x dx= .

3. Reciproca afirmaiei f , g R[a, b] f + g R[a, b] n general, nu esteadevrat.Exemplu:

[ ]

( ) [ ] [ ]

1; 1;, : cu ( ) i g( ) cu , ,

1; 1;

avem f +g ( ) 0, i , pentru ,

R

R

x xf g f x x f g a b

x x

x x f g a b a b

= = /

= +

Q QR R

R - Q R - Q

R R.

4. Mulimea de funcii integrabile R[a, b] are structura algebric de spaiu liniar nraport cu operaiile uzuale de nmulire i adunare cu scalari reali pentru funciireale de o variabil real.

Teorema 4.10 (Proprietatea de aditivitate n raport cu intervalul)

Funcia f : [a, b]R este integrabil pe [a, b] dac i numai dac, c (a, b)funciile 1 2[ , ] i [ , ]f f a c f f c b= = sunt integrabile i are loc formula:

( )3b c b

a a cfdx fdx fdx= + o .

Demonstraia se obine folosind teorema de caracterizare cu iruri de diviziunicu irul normelor tinznd la zero (teorema 4.4).

Consecinta 4.9Dac IR este interval i f : [a, b]R este o funcie continu,

atunci a, b, c I, are loc relaia ( )3b c b

a a c

fdx fdx fdx= +

o .

Demonstraie. Dac a< b < c avem (3) dup teorema 2. Dac a

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

21/29

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

22/29

| | | | | |b b b b b

a a a a af dx fdx f dx fdx f dx i cum ( )f x f rezult (7).

Teorema 4.13 (Teorema I de medie )

Fie f : [a, b]R cu fR[a, b] i g(x) 0, atunci exist [m, M]

[ ]

[ ]

( ), ,

inf ( ), sup ( ) a.. 8 ( ) ( ) ( )b b

a ax a b x a b

m f x M f x f x g x dx g x dx

= = =

o .

n particular, dac g(x) = 1, x [a, b], avem:

( )8 ' ( ) ( ) ( )b

af x dx b a a b= i dup (4)

rezult: ( )( ) ( ) ( ) ( ) *b b b

a a am g x dx f x g x dx M g x dx . Dac

( ) 0 ( ) ( ) 0b b

a ag x dx f x g x dx= = i pentru [m, M] are loc (8). Dac ( ) 0

b

ag x dx >

, notm [ ],

b

a

b

a

fgdx m Mgdx

=

i dup (*) rezult (8).

Consecina 4.12

Dac f : [a, b]R este continu i gR[a, b] este nenegativ, atunci exist

[a, b] a. . ( )8 " ( )b b

a afgdx f gdx= o .

n particular, dac [ ]( ) 1, ,g x x a b se obine (6).

Demonstraia este direct. Din ipoteza fcontinu pe [a, b], pentru [m,M], exist [a, b], astfel nctf( ) = (8).

Teorema 4.14Fie IR interval i f : IR local integrabil pe I. Dac a I este un punct fixati se consider funcia

(9) F(x) = ( )b

af t dt , x I atunci F are proprietile:

(i) F este continu pe I;(ii) F este derivabil n x0I n care f este continu cu F(x0) = = f (x0).

Demonstraie. (i) Fie x0 I i r >0 fixat, atunci F(x) F(x0) = =[ ]

0

00 0, unde ,

x x x

a a xfdt fdt fdt x J I J x r x r = = + .

0 00 0| ( ) ( ) | | | | | sup | ( ) |,

x x

x x t J

F x F x fdt f dt x x f t x J

= .Considerm >0 i

0 0 0cu sup | ( ) | | ( ) ( ) | | | , F continu n It J

f t M F x F x x x x I xM

= = < < F

continu pe I.

115

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

23/29

(ii) Fie x0 I ifcontinu n x0 I; pentru >0 exist >0 a. . |f(x) f(x0)| < , xI [x0 - , x0 + ] x I cux x0 ,

( )0 0 0

00 0 0

0 0 0 0

( ) ( ) 1 1 1( ) ( ) [ ( ) ( )]

x x x

x x x

F x F xf x f t dt f x dt f t f x dt

x x x x x x x x

= =

i avem:

[ ]0 0 0 0 0 0 00 0

( ) ( ) 1( ) sup ( ) ( ) , , ;

F x F xf x f t f x x x x J I x x x x

x x x x

< = +

exist ( )0

00 0

0

( ) ( )lim ( ) '

def

x x

F x F xf x F x

x x

= = F este derivabil nx0I cu F(x0 )=f(x0).

Consecinta 4.13

Fie IR interval i f : IR.I) Dac f este o funcie continu pe I, atunci pentru aI fixat, funcia (9)

( ) ( ) ,x

aF x f t dt x I = este derivabil i avem F(x)= f (x), x I, deci fadmite primitive pe I i F este o primitiv a funciei f pe I.

II) Pentru a, bI i f continu pe I, avem:

(10) ( ) ( ) ( ) ( )b b

aaf x dx F x F b F a= = ,

unde F este o primitiv oarecare a lui f pe I.Demonstraie. I) Afirmaia este o consecin direc a teoremei 6 cazul (ii).

II) a, bI fixai i F o primitiv a luifpe I, notm: 0 ( ) ( ) ,

x

aF F x f t dt x I = = i dup afirmaia I), avem: '0F f= pe I, deci

0 0( ) 0 ,F F f f F F C C = = = + R.

Cum 0 0( ) 0 ( ) i avem : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).b

aF a C F a f x dx F b F b C F b F a= = = = = Observaii.

1. Dacfdin teorema 6este continu la stnga (la dreapta) n x0I, atunci F estederivabil la stnga (la dreapta) n x0I cu ( ) ( ) ( ) ( )( )

' '

0 0 0 00 0s dF x f x F x f x= = + .2. Consecinta 4.13-I se numete Teorema fundamental a calculului integral.3. Formula (10) este formula Leibniz Newton care este o metod de calcul aintegralei Riemann.

Metode de calcul ale integralei RiemannIntegrala Riemann poate fi calculat folosind definiia 1 i construind dup

schema (S) sumele integrale, apoi calculm limita acestora cnd norma divizriitinde la zero; acest metod este mai dificil de aplicat n cazul multor funcii reale.

Teorema 4.15 (Formula Leibniz - Newton)

Dac f : [a, b]R este o funcie integrabil i f admite primitive pe [a, b] atuncipentru orice primitiv F a lui f pe [a, b] are loc formula Leibniz-Newton:

(10) ( ) ( ) ( ) ( )b b

aaf x dx F x F b F a= = .

Demonstraie. Pentru D([a, b]), avem

116

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

24/29

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1

( ) ( ) [ ( ) ( )] 'n n n

i i i i i i i i

i i i

F b F a F x F x s f F x x f x x = = =

= = = =

( )1pentru i i ix x din teorema Lagrange aplicat lui F derivabil pe[ ]1i ix x i avem ( )( ) ( ) , F b F a f = ; cum feste integrabil, aplicnd teorema 1

(de caracterizare a funciilor integrabile): ( ) ( )

0( ) ( ) , cu 0 i ( ) ( ) lim , ( )

n n n nn

b

na

F b F a f F b F a f f x dx = = = .

Consecina 4.14Dac f : [a, b]R este o funcie derivabil cu f funcie integrabil pe [a, b],

avem: ( ) ( )b

afdx f b f a= .

Demonstraia rezult din teorema 4.4 pentru F =f pe [a, b].Teorema 4.16 (Formula de integrare prin pri)

Fie f , g : [a, b]R cu f , g C1([a, b]), atunci are locformula de integrare prinpri:(11) ' '

b bb

aa afg dx fg f gdx= .

Demonstraie. Dinf,g C1([a, b]) (fg) =fg+g feste o funcie continupe [a, b] i dup consecina 7 (i) admite primitive i este integrabil, deci se

aplic formula de calcul (10): ( ) 'b b

aafg dx fg = , dar

( ) ' ( ' ') ' ' ( ) ' 'b b b b b bb

aa a a a a afg dx f g fg dx f gdx fg dx fg f gdx fg dx= + = + = +

' 'b bb

aa afg dx fg f gdx= . Teorema 4.17 (Formula schimbrii de variabil (I))

Fie f : [a, b]R o funcie continu, atunci pentru orice : [, ][a, b] cu C1([a, b]) are locformula schimbrii de variabil (I):

(12) [ ]( ) ( ) '( )b b

a af x dx f t t dt = .

Demonstraie. Pentrufcontinu pe [a, b], fie F o primitiv a sa i cum F, sunt derivabile, atunci F : [ , ] Reste derivabil cu.

[ ] [ ]( ) '( ) ( ' )( ) '( ) ( )( ) '( ) ( ) '( ), ,F t F t t f t t f t t t = = = o o o . Funcia (f ) este integrabil i (F ) continu pe [ , ], admite primitive, deci:

( ) [ ] ( ) ( )

( ) ( )

[ ]' [ ] [ ] i din ( ) ' ( ) '

( ) ' ( ) [ ( )] '( )b

a

F dt F F F F F f

f dt F F f x dx f t t dt

= = =

= =

o o o o o

o

Teorema 4.18 (Formula schimbrii de variabil (II))

Dac f : [a, b]R este continu pentru orice : [, ][a, b] bijectiv i cu -1 C1([a, b]) are locformula schimbrii de variabil (II):

117

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

25/29

(13) [ ]( )

1

( )( ) ( ) '( ) [ ( )']( )

b

a f x dx f t t dt f x dx

= = o .

Demonstraie. Cum este bijectiv i -1 : [a, b] [ , ] este bijectiv ide clas C1([a, b]) atunci f : [a, b] R este continu i avem:

( ) ( )1 1

1 1

( ) ( )( )

1 1 1

( )( ) ( )

( )( ) ' ( ) '( ) ( )b

af t dt f dx f x dx f x dx

= = =

o o o o (13).

Observaii.

1. Formula (12) se numete prima fomul de schimbare de variabil nintegral undex = (t), t[ , ] i C1([a, b]), iara = ( ), b = ( ). Sealege convenabil funcia astfel nct integrala din membrul doi al formulei (12)s fie mai simpl sau chiar din tabelul primitivelor unor funcii elementare.2. Formula (13) se numete a doua formul de schimbare de variabil i pentru

x = (t) strict cresctoare avem: ( )= a, ( ) = b i cum[ ] [ ], , fa b R, iar este inversabil cu -1C1([a, b]), atuncif este

continu if( -1) integrabil pe [a, b].3. Denumirea de formula (I) i (II) de schimbare de variabil n integral esteconvenional; de fapt avem o singur formul de schimbare de variabil i maimulte moduri de aplicare a acestei formule n calcule.4. Din necesitatea de a folosi integralele Riemann n aplicaii concrete este uneori

suficient s se cunoasc o valoare aproximativ a integralei ( )b

af x dx cu o eroare

dat orict de mic. n acest scop, vom enuna fr demonstraie, teoremele careindic metodele de calcul aproximativ al integralelor.

Teorema 4.19 (Formula dreptunghiurilor)

Fie f : [a, b]R cu f C2([a, b]) i ( )ii

x a b an

= + cu i {0, 1, 2, ..., n},

1

1 2

ni i

n

i

x xb aS f

n

=

+ =

atunci Sn aproximeaz ( )b

af x dx cu o eroare:

(14)2 2( ) ( )

' ; ( ) '4 4

b

n n na

b a b aE f f x dx S E f

n n

= .

Teorema 4.20 (Formula trapezelor)

Fie f : [a, b]R cu f C2([a, b]) i ( )i ix a b an= + cu i {0, 1, 2, ..., n},

( ) ( )1 1( ) ( )

...2n n

b a f a f bS f x f x

n + = + + +

atunci Sn aproximeaz ( )b

a f x dx cu o

eroare:

(15)3 3

2 2

( ) ( )" ; ( ) "

12 12

b

n n na

b a b aE f f x dx S E f

n n

= .

118

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

26/29

Teorema 4.21 (Formula lui Simpson)

Fie f : [a, b]R cu f C4([a, b]) i ( )ii

x a b an

= + cu i {0, 1, 2, ..., n},

( ) ( ){ }1 1[ ( ) ( )] 2 ... 26n nb a

S f a f b f x f xn

= + + + + atunci Sn aproximeaz ( )

b

a f x dx cu o

eroare:

(16)5 5

(4) (4)

4 4

( ) ( ); ( )

2880 2880

b

n n na

b a b aE f f x dx S E f

n n

= .

Aplicaii ale calculului integral

Orice mrime geometric, fizic, economic etc. care are proprietatea deaditivitate fa de mulime (interval) se poate exprima printr-o integral definit.Astfel noiunile de arie i volum pentru figuri geometrice din plan i corpuridin spaiu se pot defini n mod riguros din punct de vedere matematic.Vom

prezenta fr demonstraie unele aplicaii ale integralei definite.I.Aria unui domeniu din plan

1.Aria mulimiidin plan D R2 mrginit de dreptele x = a, x = b, y = 0 igraficul funcieif: [a, b]Rpozitiv i continu se calculeaz prin formula: (17)

( ) ( )Ab

aD f x dx= .

2. n cazul f : [a, b] R continu i de semn oarecare, avem: (17)( ) | ( ) |A

b

aD f x dx= .

3.Aria mulimiidin plan mrginit de dreptelex = a,x = b i graficele funciilorf,

g: [a, b]Rcontinue este calculat prin formula: (18) ( ) | ( ) ( ) |A baD g x f x dx= .II.Lungimea unui arc de curb

Se numete curb plan o mulime R2 cu proprietatea c exist o funciecontinuf: [a, b]R, notaty = f(x), x [a, b] i Gf = R2 (graficul luifdin

plan este ). Dacfare derivat continu (sau numai funcie integrabil) pe [a, b],

lungime a curbei se calculeaz dup formula: (19) 2( ) 1 ' ( )b

al f x dx = + .

III. Volumul unui corp de rotaie

Fief: [a, b]Ro funcie continu, atunci corpul K din spaiu obinut prin rotirea

graficului lui f , Gf, n jurul axei Ox, are volumul calculat prin formula: (20)( ) 2 ( )V

b

aK f x dx= .

IV. Suprafaa unui corp de rotaie

Fie f : [a, b]Ro funcie derivabil pe [a, b] i cu f continu (f C1([a, b])),atunci suprafaa S a corpuui K obinut prin rotirea graficului luifn jurul axei Ox secalculeaz prin formula:

119

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

27/29

(21) ( ) 22 1 ' ( )Sb

aK f x dx= + .

Exemple.

1.

1

2 2

0 1 cu 1x dx f x = funcie continu i prin schimbarea de variabil:1 2

2 2

0 0

2 22 2

2

0 00 0

sin , cos , 0 0, 1 avem : 1 1 sin cos2

1 1 1 sin 2cos (1 cos 2 )

2 2 2 2 4

x t dx tdt x t x t x dx t tdt

ttdt t dt t

= = = = = = = =

= = + = + =

2.2 2 2

1

0 1

0 0 0

sin cu ( ) sin 0, i , sin 12 2

n n

nI xdx f x x C I dx I xdx

= = = = = = , aplicnd

metoda integrrii prin pri se obine o formul de recuren:

( )

( ) ( )

2 21 1 2 22

00 0

2 22

2 1

0 0

2

sin (sin ) cos sin 1 sin cos

1 sin 1 sin ( 1) ( 1)

2 1 2 3 3 1.... ; 2

1 2 2 2 4 2 2cu 2

2 2 2 4 2....2 1 2 1 5 3

n n n

n

n n

n n n

n n n

I x xdx x x n x xdx

n xdx n xdx I n I n I

k kn k

n k kI I n I

k knk k

= = + =

= =

=

= =

+

2

2 1

1; 2 1

2 2 4 5 6 2 2...

2 1 3 3 4 5 2 1 2 1k

k

n k

Ik k

k k I +

= +

= +

i se arat c 22 1

2 2 2 2lim 1 lim ...

2 1 3 2 1 2 1n

n nn

I n n

I n n +

= = + numitformula lui Wallis.

3.9

4

1

1dx

x+ prin substituia9 3

2

4 2

33 3

2 2

2

1

, 2 , 4 2, 9 3, avem : 2 11

1 42 1 2 2ln (1 ) 2 2ln

1 3

tdt

x t dx tdt x t x t dx tx

dt t t t

= = = = = = = =++

= = + = +

2 2 22 22

1

1 1 1

1 1 34. ln ln 2ln 2 2ln 2

2 2 2 4

x xx xdx x dx xdx

x= = =

120

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

28/29

( ) ( ) ( )1

11

1 1

1

0 1

15. ln ln ln

, 1

1; 1

e een n n

n n

n n

I x dx x x xn x dx e nI x

I e nI n

I e I

= = =

= = =

formul de recuren pentru calculul luiIn, nN.

6.

22

20

1 tg2

2 5 tg2

x

dxx

+

+

prin substituia tg2

xt= , deci: 2

22arctg ,

1

dtx t dx

t= =

+i

( )

21 22

2 220 0

11 1

222 00 0

1 tg 1 220 0, 1 se obine2 2(3 ) 12 3 tg

2

1 1 1 3arctg arctg

3 6 183 3 3 3 33

xt

x t x t dx dt x t t

dt dt t t

t t

+ +

= = = = = =+ + +

= = = = = =

+ +

7.2

03 2cos

dx

x

+prin substituia tg

2

xt= 2

22arctg , ,

1

dtx t dx

t= =

+

12 2 2

22

0 02

11

200

21 1cos , 0 0, 1 se obine

11 2 3 2cos3 2

1

2 1 12 arctg arctg

5 5 5 5 5

dtt dx tx x t x t

tt xt

dt t

t

+= = = = = = =+ + ++

= = =+

8.

4 4

0 0

sin tg

sin cos 1 tg

x xdx dx

x x x

=+ +

i prin substituia tgx = t

2arctg , , 0 0, 11 4dt

x t dx x t x t t

= = = = = =

+avem:

1 141 12

2 2 000 0 0

1

0

sin 1 1 1 1 1ln(1 ) arctg

sin cos 1 1 2 1 1 4 2

1 1ln( 1) ln 22 4 2

x t dt t dx dt t t

x x t t t t

t

+ = = = + + + + + + +

+ =

9.4 4 1 1

0 2 2

1 1

1 (1 )xdx x x dx+ = + ( m=0,1 1 1

, , 12 2

mn p

n

+= = = Z ) prin substituia:

21 , ( 1) , 1 2, 4 3x t x t x t x t + = = = = = = avem:

121

8/3/2019 Primitive Integrale Reimann

29/29

( )3 12 2

3

1 14 3 3

1 2 2

2

16 81 2( 1) 2 2 3 2

3 1 5 151 12 2

t txdx t t dt t t t dt

+ +

+ = = = = + +

10.ln2

0

1xe dx

prin substituia: 2 21 ln(1 ),xe t x t = = + 2

2,

1

tdx dt

t

=

+0 0, ln 2 1x t x t = = = = , avem:ln 2 1 12

1 1

2 2 0 0

0 0 0

11 2 2 1 2 2arctg 2

1 1 2x te dx dt dt t t

t t

= = = = + +

11.2

1

1

1

xdx

x

+ prin substituia:

21 11 0, 21 3

xt x t x t

x

= = = = =

+ i

( )

2

22 2

1 4,

1 1

t tx dx dt

t t

+= =

avem:

( ) ( )

1 11

3 3312

2 3

2 22 12 201 0 0 3

11 4 2 2 3 ln 3 ln(2 3)1 1 11 1

x t t dt dx dt x tt t

= = = + = + + +