Cam asta e:atentie la calcule!

Subiect examen-varianta B

1. Aratati ca

dtt

txf

x

0

1ln

este dezvoltabila in serie de puteri ( determinati dezvoltarea si precizati intervalul pe care este valabila)

Rezolvare: Cum n

n

tt

t

01

1)1ln(

pentru

1

1)1ln(

11)1ln(1

0

1

0

n

t

t

t

n

ttt

n

n

nn

n

n

.

Deci

0

12

00 1

1

1

1

n

nnx

n

n

n

xn

dttn

xf1 x

, in capete avand serii convergente.

2. Rezolvati ecuatia diferentiala: yxey 21

Rezolvare: notand

zezz

yxz

yzyx 232

1

22

, ecuatie pe care n-a

rezolvat-o nimeni!!!

3232 zz e

dzCxdx

e

dz

.Notand t

dtdztez

, deci

32tt

dtCx

, fractia descompunandu-se in fractii simple: 3232

1

t

B

t

A

tt

cu A= 32

1

t  cand t=0, adica A=1/3 si B=-2/3

032tpentru

1

tB

, deci

  yxxy eCeeCt

tdt

tt222 23

32ln

3

1

32

1

3. Utilizand integrala Euler-Poisson, calculati:

1

13 8

1 dxex x

Rezolvare: notand yx 1 , avem de calculat

0

3 8

dyey y

.Pentru 4yz , integrala din enunt este

84

1

0

2

dze z

4. Fie  DCf 1 si functiile z si u implicit definite prin sistemul:

2ln

1,222 zyxxyz

uzyxf

.

Daca 02 222 zyxxyz , calculati y

z

Rezolvare: derivand sistemul in raport cu y obtinem:

022

0

222 zyxy

zzy

y

zxyxz

y

t

t

f

y

v

v

f

unde x-y=v si z+u=t.

02 si 0 222

zyx

y

zzy

y

zxyxz

y

u

y

z

t

f

v

f

222

222

2

2

zyxxyx

zyxxzy

y

z

5. Scrieti polinomul Taylor de ordinal al doilea atasat functiei  RRf

3*:

zy

z

x

yxzyxf

2

4,,

22

 in punctul său de extrem local.

Rezolvare: punctele stationare sunt solutiile sistemului

022

02

04

1

0

0

0

2

2

2

2

2

zy

zy

z

x

yx

y

z

fy

fx

f

deci

yz

zy

yx

3

22

2

1,1,

2

1

este unicul punct stationar(evident, cel de extreme cerut)

1,1,

2

1

2

11,1,

2

11,1,

2

1 2 fdfT unde

1

2

11,1,

2

1211,1,

2

111,1,

2

1

2

11,1,

2

11,1,

2

1 222

2222

yxfzfyfxffdxyzyx

+

111,1,2

121

2

11,1,

2

12

zyfzxf

yzxz cu

41,1,2

1

2 23

2

2

2

xf

z

y

x

f

si in mod similar , in punctual de extreme 6,3,1,0,2

22

zyyzxzxyfffff

, deci polinomul cerut este

11212

141613

2

145,41,1,

2

1 222

zyyxzyxT

6. Fie cbaX ,. si XbacacaT ,,,,,,, . Aratati ca TX ,  este spatiu topologic in

care exista multimi inchis-descise netriviale si determinati interiorul si inchiderea multimilor a  

si ca, .

Rezolvare: multimile inchise sunt: ,,,,,,, cbbacbXF , deci bac , si  sunt Atat multimi inchise ,cat si deschise. Interiorul multimilor cerute sun tee insele (fiind deschise),

inchiderea lor fiind ba, , respective X(conform propozitiei definitorii).

7. Aratati ca transformarea

0,0,:

yx

x

yv

xyuT

este regulata si calculati D

xdxdyI

unde

0,21,21: x

x

yxyD

Rezolvare: Cum jacobianul transformarii:

02

12

x

y

xx

yxy

J

-transformarea e regulata. Prin

aceasta,  21,21: vu , iar transformarea inversa  este                      

uvyv

ux

T :1

 cu

jacobianul v2

1

deci 625

2

11

2

1 2

1

2

1

dvvv

uI

8. Rezolvati ecuatia liniara: 1

2

x

x

e

eyy

Rezolvare: Ecuatia caracteristica asociata ecuatiei liniare omogene 0 yy , 012 r

conduce la aplicarea metodei variatiei constantelor pentru xx exCexCy

21 , adica:

1

2

0

21

21

x

xxx

xx

e

eexCexC

exCexC

, de unde

1 si

1

1 2

21

x

x

x e

exC

exC

. Notand

111ln

1Cxe

yy

dyxC

y

dydxye xx

 si xCexC x

121

deci xeCxC

22

 1ln xe

,deci 1ln1

21 xxxxxx eeexeeCeCxy