Cam asta e:atentie la calcule!
Subiect examen-varianta B
1. Aratati ca
dtt
txf
x
0
1ln
este dezvoltabila in serie de puteri ( determinati dezvoltarea si precizati intervalul pe care este valabila)
Rezolvare: Cum n
n
tt
t
01
1)1ln(
pentru
1
1)1ln(
11)1ln(1
0
1
0
n
t
t
t
n
ttt
n
n
nn
n
n
.
Deci
0
12
00 1
1
1
1
n
nnx
n
n
n
xn
dttn
xf1 x
, in capete avand serii convergente.
2. Rezolvati ecuatia diferentiala: yxey 21
Rezolvare: notand
zezz
yxz
yzyx 232
1
22
, ecuatie pe care n-a
rezolvat-o nimeni!!!
3232 zz e
dzCxdx
e
dz
.Notand t
dtdztez
, deci
32tt
dtCx
, fractia descompunandu-se in fractii simple: 3232
1
t
B
t
A
tt
cu A= 32
1
t cand t=0, adica A=1/3 si B=-2/3
032tpentru
1
tB
, deci
yxxy eCeeCt
tdt
tt222 23
32ln
3
1
32
1
3. Utilizand integrala Euler-Poisson, calculati:
1
13 8
1 dxex x
Rezolvare: notand yx 1 , avem de calculat
0
3 8
dyey y
.Pentru 4yz , integrala din enunt este
84
1
0
2
dze z
4. Fie DCf 1 si functiile z si u implicit definite prin sistemul:
2ln
1,222 zyxxyz
uzyxf
.
Daca 02 222 zyxxyz , calculati y
z
Rezolvare: derivand sistemul in raport cu y obtinem:
022
0
222 zyxy
zzy
y
zxyxz
y
t
t
f
y
v
v
f
unde x-y=v si z+u=t.
02 si 0 222
zyx
y
zzy
y
zxyxz
y
u
y
z
t
f
v
f
222
222
2
2
zyxxyx
zyxxzy
y
z
5. Scrieti polinomul Taylor de ordinal al doilea atasat functiei RRf
3*:
zy
z
x
yxzyxf
2
4,,
22
in punctul său de extrem local.
Rezolvare: punctele stationare sunt solutiile sistemului
022
02
04
1
0
0
0
2
2
2
2
2
zy
zy
z
x
yx
y
z
fy
fx
f
deci
yz
zy
yx
3
22
2
1,1,
2
1
este unicul punct stationar(evident, cel de extreme cerut)
1,1,
2
1
2
11,1,
2
11,1,
2
1 2 fdfT unde
1
2
11,1,
2
1211,1,
2
111,1,
2
1
2
11,1,
2
11,1,
2
1 222
2222
yxfzfyfxffdxyzyx
+
111,1,2
121
2
11,1,
2
12
zyfzxf
yzxz cu
41,1,2
1
2 23
2
2
2
xf
z
y
x
f
si in mod similar , in punctual de extreme 6,3,1,0,2
22
zyyzxzxyfffff
, deci polinomul cerut este
11212
141613
2
145,41,1,
2
1 222
zyyxzyxT
6. Fie cbaX ,. si XbacacaT ,,,,,,, . Aratati ca TX , este spatiu topologic in
care exista multimi inchis-descise netriviale si determinati interiorul si inchiderea multimilor a
si ca, .
Rezolvare: multimile inchise sunt: ,,,,,,, cbbacbXF , deci bac , si sunt Atat multimi inchise ,cat si deschise. Interiorul multimilor cerute sun tee insele (fiind deschise),
inchiderea lor fiind ba, , respective X(conform propozitiei definitorii).
7. Aratati ca transformarea
0,0,:
yx
x
yv
xyuT
este regulata si calculati D
xdxdyI
unde
0,21,21: x
x
yxyD
Rezolvare: Cum jacobianul transformarii:
02
12
x
y
xx
yxy
J
-transformarea e regulata. Prin
aceasta, 21,21: vu , iar transformarea inversa este
uvyv
ux
T :1
cu
jacobianul v2
1
deci 625
2
11
2
1 2
1
2
1
dvvv
uI
8. Rezolvati ecuatia liniara: 1
2
x
x
e
eyy
Rezolvare: Ecuatia caracteristica asociata ecuatiei liniare omogene 0 yy , 012 r
conduce la aplicarea metodei variatiei constantelor pentru xx exCexCy
21 , adica:
1
2
0
21
21
x
xxx
xx
e
eexCexC
exCexC
, de unde
1 si
1
1 2
21
x
x
x e
exC
exC
. Notand
111ln
1Cxe
yy
dyxC
y
dydxye xx
si xCexC x
121
deci xeCxC
22
1ln xe
,deci 1ln1
21 xxxxxx eeexeeCeCxy