effii^

,Nb

Alexandrina Dumitru (coord.)

Cum se rezolvi o probleme de matematiciStrategii, metode, exemple din subiectele propuse

pentru concursul ,,Fii inteligent la matematici,,

THSE{ffi{oeded tB Stet50

Editura NOMINA

Ediior Alexandru Ceang;

Pentru cornenzi prin pogter Elena lordichescu {07s7.020.442)lonul Lungu (0757.020.444)

Reprezentanl zona ZonaDobrin |ta us(0741488.918) 0tenta(Dotj corjs tvehedinjr), Bana1, Criqanas Transitvan a (Sdtaj Cuj,

/ Nlureg, Haruhla, Covasna, Alba E Hunedoara)Cep,reanu Alin (0751.207.922) oilenia (V,tcea giOt), Transtvan a (Braqov giSb u)9i[,tuntenia (Arue$,

Teleoman giGiuqiu)s,s,manTraian (0757.020.443) Irans vafia(ud. Etsirita Nasaud)gizona [4aranurc9Lungu lon (0746.200.413) tvunlenia (Buz5u), [,todova (firejud. catali) 9i BucovinaMarzicioiu Marian (0744.429.512) lvuntenia (Dambov la, pBhova Bra ta, latonrita 9i C;tiragi) $ DobogeaAntonViclor(0755.107.291) BucuregliDragne Madn (0/69.221.682)Punctde lucru Preilr..rr. Deoo/lelor n. 0 J,d kgeg

Tel./ fax: 0348.439.417e-maili comenz .nomina@gmai .comwwweditulanomina.rol,/wwlibrarianomina.rc

D$crirea CIPa Bibliotecii Nrlionrl a RonanieiDUMITRU, ALEXANDRINA

Cud se rezolvn o probleDn de datematici: sraregii! metode,exempl din subiectele propuse pentru concursulFii irtetigent t,matcmitici /Alexandrina Dumitru.

- Pneid : NomiM, 20lj

lsBN 978-606-535 558-l

5 l

Coplright O Editura Nomina, 2013

Citeva repcrc metcdicel. Cum gindim si rezclvimo proDlemi matematici?

l.l. Ce semnificafie are cuvintul problemi?Dicfionarul cuprinde explicalia care urmeazi penhu problemi, alar a fost subli_

niat, pentru dememul de fali, doar sensul specific activitifilor instructiv_educativedesfd$urate in cadrul orelor de matematici, sens pe care il ludm in consideratie Dentrususlinerea ideilor.

PPIOBLf,MA, pnbleme, s.f. L1. Chestiune care prezinta aspecte neclare, dis-cutabile, care necesitd o lemurire, o precizare, care se preteazi la disculii. 2, ChestiuneimponanD care coDlliruie o sarcina. o preocupare {majoriit $i care cere o solufionare(imediarar. 3. Chesrrune care Inra in slerd preocup;ri lor. a cercelari lof cuiva; obieclprincipal al preocuparilor cuiva; teme, materie. a (Matematici) Chestiune irl care.f i ind date anumile ipoteze. se cere rezolvorea. prin calcule sau prin ral ionamente,a unor date. II. 1, Dificultate carc trebuie rezolvati pentru a obtine un anumit rezul-taq grcutate, impas. 2. Lucru grcu de inteles, greu de rezolvat sau de exDlicati mister.enigmA.

1.2. Care sunt pagii in rezolvarea unei probleme?Se pot identifica zece,,pd!ri" in rczolvarca unei pmbleme matematice, ,,pa.!i,,pe care-i pre/enlam in conlinuare intr-o tomd simplif icala. ca indemnuri pennu eteri.

adici:1. Citette, cu atenfie, enuntul Foblemei! pentru inteiegerea fiecdrui cuvent, a

legeturilor logice dintre acestea poli rcpeta citirea enunfului problemei de mai multeori.

2. Stabile$te care sunt datele problemei matematice.3. Separe dateleproblemei in categodi; cunoscute $i necunoscute.4. Identificd legdturile logice dintre datele cunoscute qi cele necunoscute. pre_

cum si relal i i le malematice dinlre aceslea,5. Stabilette care sunt datele necesare pentru a respunde la lntrebarea problemei.6. Afld', pas cu pas, pornind de la datele cunoscute pe cele necunoscute.

7. Transpune in desene, scheme logice. reprezentfui glafice datele cunoscute,fe.pecrr\ necunoscure. dar $i relal i i le dinre acesrea.

8. Reprezintd in ope{alii matematice (adunare, sc5dere, inmullire, impa4ire) fie-care legitud logicd, fiecare reprezentare a datelor cunoscute, respectiv necunoscute.Calculeaza Si vei ob(ine valorile necunoscute.

9. Stabile$te corcctitudinea valorilor oblinute veifica-Ji,d, pas cu pas, ca'lea de laalatele cunoscute, prezentate inilial, la cele stabilite prin rezolvarea problemei matema-tice.

10, Cite$te, inci o data, enuntul problemei, rezolvarea acesteia! Este posibil ca oliteri, un semn matematic scrise grc$it, si determine o cale de rezolvare corect6, dar cuvalo incorectdeteminate.

f .3, Care este cadrul organizat pentru rezolvareaproblemelor matematice?

Pin relaliile funclionale care se stabilesc intre diversele sale elemente,lecfia dematematicii constituie o entitate de instruire; condenseaze intt-un tot unitar elemente$i variabile ale predfiiinve!fuii, continutul infomaiional, obiective operationale,strategii 9i mi.jloace didactice, particuladralile elevilor, organizarea psihosociologicd acolecti\-lrlui, personalitatea profesorului, toate acestea fiind subordonate logicii acliu-nii educafionale.

Procesul educativ este un proces complex in care trebuie sA,tinem seama de totifactorii jmplicali. Atunci cAnd un profesor se afla in fala clasei, trebuie si decide asu-pra tipului de leclie potrivit momentului, a metodelor, a formelor de activitate astfelincat scopul prccesului de predare-invafarc sA fie atins.

Principalele elemente $i vaiabile pe care le implica, deci lectia ca entitate sau

. obiectiv instructiv-educative:

. conlinutul informalional :

. alegerca ti folosircounei shategii de insfiiire;

. variabilele personalitdlii profesorului $i cele ale personaliteii elevilol;

. organizarea colecti\'ului de elevi.

1.4. Care sunt tipurile de lecfie preponderent utilizatein predarea matematicii?

Lectia mixti sau combinati ulmerege rcalizarea echilibratA a mai multor sar-cini didactice, adici comunicare de cunottinfe, sistematizare, fixare, verificare etc.

Pincipalele venimente, momente de lucru ale acestui tip de lec{ie suntl

. organizarea clasei pentru activitatea didacticd:

. captarea atentiei elevilor:

. actualizfiea elementelor studiate anterior (identificarea ideile ancore):

. pregalirea elevi lor penE-u asimilarea notlor cuno)t inte:

. comunicarea Si asimilarca noilor cuno$tinle (este secventa din lectie care acoDe_re o mare pane din limpul alec]ar procesului de predare- in \ dlare dinr-o 016 de cursJ:

. fixarea cunoqtinlelor predate.Unod este necesar a se asigura o parte $i mai mare din timp numai Dreddrii si

atunci se aplica al l l ip de lecl ie.Lctie de comunicare consti in concentrarea activitdtii didactice sDre doband!

rea de citle elev a unor cunoqtinte g, a dezvoltfuii, pe bazd acestora, a proceselor psi,hice. a capacit i l j lor in\ lrumenrale i i operal ionale. Momentul de comunicare. detransmitere a unor cuno$tinle acopere cea mai mare parte din lecfe. De_a lungll oreimomentele se referi la: anuntarea subiecfului prccum fi a obiectivelor ce urmeazd a firealizate $i, in special, la comunicarea cuno$tintelor noi.

Prin lctia de recapitulare $i sistematizare se ad.encesc informadile, se aplicdin noi conrexte inlormali i le prin sislemalizarea malerialului dupa diferire cri teri i . seabordeazi modalh5li de acl i \ i lare a ele\i lor {acri\ irat i in echipa. in grup. aplicareaunor fiSe de lucru individualirate, jocuri didactice erc.).

SA enumerAm momentele din lecfie:. Captarea atentiei.. Enun{area obiectivlor: reaminlirea planului rninimal de recapitulare a temei

propuse pentru lectia zilei, plan care a fost comunicat elevilor la finalul orci anterioarc_. Actualizarea cuno$tintelori rcamintirea cuno$tintelor teoretice (rcguli, defi-

nifii, cazuri, procedee etc.) care.stau la baza temei propuse penlru recapitulare. eventu_al cu de/\ol larea pe elape a planului. precum ti nolarea acesruia pe labla.

. Dirijarea invtrtirii: rezolvdri de exercilii $i Foblerne sub indnunarea cadrul di-dactic, dar $i prin munce independentAJucrfi p"ctice, compuneri de probleme cu datereale. inregistrale de ele\ ielc.

. Evaluarea: aprecied asupm raspunsurilor, participirii elevilor de_a lungulorei, notarea elevilor care au fost selectati pentru evaluare de cetre proDunitor sau acelor care 5-au e\idenliat in mod deorbi l . apl icarea Si inlemretarea rezl lralelor lrnuitest.

. Retentia li transferul: concluzii fomulate despre modul in care a fost Dreqa_rira tema si a l 'e[t lui cum s-a desl]furar lecl ia. connibulia clasei. consrarari. compie-tiri; Fopune penhu imbuneteiirea activitalii; comunicarea titlului temei stabilitepentru recapitulare in ora care va urma, precum $i a planutui pentru studierea ,i pregd_

1.5. Care este cofec pentru rezolvarea unei problemematematice?

Procesul de gendire se declanqeazi ori de cate ori ne aflim in fata unei situafiinoi, nerezolvate prin mijloace invitate, reflexe condifionate sau deprinderi. Prin activi-tatea de rezolvare a problemelor se oferi elevilor asemenea situalii. Aceasta ocupdlocltl de cinste d^toritd procedeelor psihice pe care le solicitA, incita, dezvolta. Fiecarefazd in stabil ea ralionamentului declan$eazi o stare inifialA de tensiune, apoi de in-certitudine penftu ca descoperirea cdii de rezolvar"e se genereze bucude, stare de con-

Exi$A un grdlrnte de descopeff in stabilirea soluliei oricarei probleme. Avemde rezolvat o problema corTsidefttiL modestd, dar aceasta poate stami curiozitatea dacAse rezolva p n mijloace proprii; se poate simli $i in acest caz incolclalea dinaitxeaunei descoperid, apoi bnc!tria triumjiNlui. Astfel de experiente la versta de mare recep-tivitate a elevilor de ciclul pdmar, pot genera, stimuia viitoarele activitili inlelectuale,pot amprenta pozitiy mintea precum $i cohportamentul elevului.

Punctul de pornire este intelegerca problemei conditionati de interesul, de dato-ria de a stabili solutia. infelegerea poate fi ajutati de reprezentarea graficd, schematicia problemei, de tar?s/ormalea, ffanspunerea in simbolud. Ea conditioneazA construc-lia planului de rezolvare cristalizat rneori cu eziiAri, relual din alt unghi alteod salrapA t ca o strdJulgercle. Mai mult. inlelegerca reala este precedate de o faza de in-cercare-eroare in care cunoltintele acumulate antedor sutt reactivate, reorganizate inscopul descoperirii planului de rezolvare. Elet'ului hebuie sa-i 1es6m impresia proprieiini{iative, sA-i sedim increderea in fo4ele proprii.

Atingerea scopului, aflarea necunoscutei nu inseamnd a pune punct activitetii;este momentul in care ele\.ri trebuie convins de veddicitatea rezultatului obtinut. tre-buie sA se evalueze schema de rezolvare oblinuti rapoftand-o la cele insuqite anterior,trebuie sd se faca conexiuni la releaua de achizi.tii dobendite.

Prcblemele cllle urmeaza, majoritatea cu rezolvfui complete, sunt grupate in ra-pofi cu dificullatea in rezolvare (de la probleme simple la cele complexe), inand contde referinlele informalionale (numere naturale, operatii cu numere nahrale, fractii -clasa a lv-a, noliuni de geometrie, unitnli de masurd) qi nu in ultimul rind in tunc1iede cuvintele-set nal (adarg.: adunare, ir scadere , de... ori mdi lult inrfi)ltrireetc.), de semantica matematica. Dacd la unele probleme rationamentul este sesizatdatorili in$irui i datelor in sensul direc,tiei rezolverii, la altele pentru a ajunge la solu-tie este necesar sA se stabilaasci o conrentie sa$ gasirea soluliei este deteminatd deconsffuirea mersului invers sensului de ingiruire a datelor. O categorie aparte este ceaa problemelor in care solufia se stabile$te in urma analizei datelor, a rclaliilor dintreacestea fhre putinld de a fl incadrate in scheme anume. Important este si sesizam infiecare caz caracteristicile pioblemei matcmadce, procesul de gandie, grduntele de

descoperfue,jusiificarea solutiei $i comentarea acesteu, verificarea rezlrltatelor obtinu_te. Este posibila o grypdle aproblemelor in funclie de calea aleasi sore;;;i;;*-

1.6. Modalitili de rezolyare a problemelor matematiceRezolvarea de problerne matematice implica deseori dificultdri privind metodo_logia; tratarea haotica, lipsa unei abordari logic., n"i_pti"ar"u putoii l" ;;;*

creativitdfii, aplicmea unor scheme rigide care conduc la stdri de inhibare, dete'rminnindepdrtarea elewlui de la intelegerea procesului.

^ lncercem sA grupem problemele dupi modalitatea (metoda) de rezolvare, expl!

cand succint etapele.

-.

Exemplele propuse reFezinta situaliile des intelnite, cu un grad de dificultatemediu.

L METODA FIGURATIVA (de reprzentare a datelor, a relafiilor dintracestea prin reprezentiri diferite)

l. Datele problemei, relatiile dintre acestea se rep.ezin6, in mod obi$nuit, prinsegmenle de dreapttr - dimensiunile, raporhrl de mirime fiind dependent ie relaliiledinhe datele problemei.

Se pot identifica ln acest caz tipuri de probleme urmdtoarc:

a. Allarea a doui numer (mirimD cind se cunosc suma fi difernla aces_tora.

Erunful problemei:Sutna a doud numere este 1 00_AJl,i numerele Stiincl cd al doilea este cu 20 mai mare decAt primul.

Rzolvare:Vom reprezenta grafic aceste infomafii astfel:

Nutndral mai marc cu 20 mai marcFoafie usor s-ar fi rezolvat prcblema dacd numere (mbrimile) ar fi fost egale.Aceastd observatie determinA doui presupueri, convenlii:a. o conrenlie pentra a egala mdfimile prin adunare:

cu 20 mai mare

Namdrul mai mare

Obsewam cd daci numlrului mai mic ar fi cu 20 mai mare, atunci cele doudsegmenle de dreapt?i obfinute ar fi egale, dar suma s-ar schimba, adic6:

100 + 20 = 120, deci de douA ori mai mare decat al doilea numdr, cel mai mare.Atunci, 120 : 2 = 60'(numdrul mai mare).Primul numarul, mai mic este cu 20 mai mic alecit celdlalt, ileci vom alla valoa-

rea acesfuia prin scAderc:60 - 20:40 (numnrul mai mic)

t00 b0 - 10.b. o com,enlie pentru a egala mdrimile prin scddere:Obsef/5m cd inliturand din nume$l mare (al doilea) 20, atunci cele doue seg-

mente de dreapre obrinure ar l l egale. Re,?ull6 sr suma 100 20 .80. acea.ra f irnd de2 ori mai mare decil prrmul numa(. cel mal mic.

Oblinem astfei:

Numdrul mai mare

Deci, 80 : 2 = 40 (numdrul mai mic, al doilea).Numirul mai mare este cu 20 mai mare decat celalalt, deci:

40 + 20 = 60 (numArul cel marc).l/eri.fcare:

60 + 40: I0o60-40=20

b. Aflarea a doul numere cand se cunosc suma ii raportul lor.Enunful problemei:Suma d doud numere este 300. AI doilea nundr este de trei o mai are decat

Care sunt cele doud numere?

Rezolvare:Se deseneazA mai intei un segment de &eapti reprezentand numArul mai mic

(primul), apoi numirul mai mare, de ffei ori mai mare decat celelalt:Primul numdr

Al rloilea numiir

Din desen se observd cA 4 segmente de dreapta de aceeasi lungime reprezinta,impreune, suma 600, deci primul tumArul este de 4 ori mai mic. Rezul6 600 : 4 = 150(lungimea reprezentata de un segment de dreapt6, adici primul numir).

Pentru a afla cel de-al doilea numir, ale 3 ori mai mare ca primul calculdm:150 x 3 = 450 (al doilea numer)

sau 600- 150 = 450.VeriJicare:

150+450=600450:150=3

c. Aflarea a doui numr cend se cunosc diferenta ,i raportul lor.

Enuntul problemei:Tatdl lui Andrci are de 1 ori mai mulli ani decAt ful, adici c1t 24 de ani mai

CAli ani are fecare?

Rezolv|re:Fiul +Tatdl

ObsewAm ci diferenla dintre cele douii segmente de dreapte este reprezentatAde 3 segmente de dreaptd, adicd 24 de ani, deci 24 : 3 = g (un segment de dreaptA,adicl varsta fiului este 8 ani).

Varsta tatilui este de patru ori mai mme decat a fiului, deci:8 x 4:32 (ani are tatAl)

sau8+24=32.

Vetificare:32 8=2432:8=4

Sunt situalii in care reprezentdrile gnfice se utilizeaze ln cazul unor problemecomplexe.

II. METODA COMPARATIEI

Metoda comparatiei este o metoda pdn carc la rezolvarea rmui anumit tip deproblemd apar douA situalii distincte in care inte in acelea$i mArimi, situalii care secompard.

Enuntulproblemei:6 fete $i 3 hdieli adund 33 kg de zneurd, iar 6 fete ti 7 bAie/i adund 53 kg de

Cdte kilograme adund o Jafi ti cAte un bAiat?Rezolvare:Se scriu datele pe doua randuri, fiecare dintre acestea corcspunzend uneia dintre

cele doue situafii:

6 fete .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 bi ief i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 kg zmeud6 fete .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 bAiel i . . . . . . . . . . . . . . . 53 kg zmeud

Privind datele problemei astfel scrise, observdm ci in ambele situalii nunirulIblelor esLe acela!i .

Diferenta care apare in ceea ce pdveste cantitatea de zmeurd culeasi provine dinnumArului difedt de beieqi care in primul caz este mai mic, iar in al doilea,.mai mare.

Concluzionam ci diferenfa dintre canririlile de zneurn: 53 kg 33 kg = 20 kgeste culeasede 7, 3 = 4 Oiieli).

Dace 4 bAie! culeg 20 kg zmeure, atunci un bdiat va culege de 4 od mai pulin:20 kg : 4 = 5 kg (zmeud culege un bAiat) .

Trebuie sA stabilim cate kilograme de zmeurA culege o fata.Pentnr aceasta alegem una dintre situaliile date, de preferinli cea cu.valorile ce-

le mai micr.AIegem:6 fete .. . .-. . . . . . . . . . . . . . . . . 3 beiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 kg zmeurnAm aflat cA un bAiat culege 5 kg de zmeurd, atunci dintre cele 33 kg culese in

total cei trei beie{i culeg:5kgx3=15k9.

Riman:33 kg 15 kg =.18 kg aneurd.pe care le culeg cele 6 fete.

O lau culege: l8 kg 6 - 3 kg meuri.

IIl. METODA FALSEI IPOTEZE (sau metoda ipotezetor)

Aqa cum indicd qi numele metodei, in aplicarea acesteia se pomeste dela o pre-supunere (eronata) pe carc o facem in mport cu una dintre mfuimile pe care ffebuie sele determindm.

incercim si rezolvhm problema linend cont de presupunerea licutd, alar vomobfine niqte valori in plus sau in minus, datorate ipotezei considemte in comparalie cucele reale,

l0

.-

Pentu exemplificare vom rezolva ptobleme la care se poate aplica aceastd me_

Enun(ul problmeiintf-un btoc sunt 30 de apartamente cu doud li trei camerc. Sunt in total 70 deCAtu apartamente cu doud camere :li cAk cu trei camere sunt in acel bloc?

Rezolvare:Vom face presupuneri in legdtud cu numrrul de camere al fiecarui apa(ament

din bloc.a, Presapunem cd toate apartamentele ar nea cdte 2 c(jmere.Ce se intempla in acest iaz?Daca toate camerel ar avea cate 2 camere, ar insemna cA in total ar fi:30 x 2 : 60 de camere (deoarece avem 30 de apartamente).$tim insA c, in total sunt 70 camere, deci cu 70 60 = 10 camere mai mult de_

cAt am oblinut in urma presupunedi frcute.De unde rezultA acea$A diferenta? Din faptul cA nu toate apartamentele au 2

camere, unele dintre ele avand cate trei. Va trebui sA dishibuim cele l0 camere unoraclmtre apartamente.

Cum? Cate camere trebuie sA adiugdm Lmui apaftament penhu al ,,transforma,,din apa(ament cu doue camere in apartament cu trer camere?

3 camerc 2 camere = I camerd,Trebui ca cele l0 camere se fie distribuite la l0 : I : 10 apartamente. Cele l0

apaflamente sunt apartamentele cu cate 3 camere, iar restul de 30 _ 10:20 aparta_mmte sunt apartamentele cu cate 2 camere,

Deci, in bloc sunt 10 apafamente cu cate 3 camere si 20 ale apartamente cu catedoue camere,

b. Presupunem cd toate apartamentele au c6te 3 camere_in acest caz oblinem un numdr de 30 x 3 : 90 camere, rezultand o diferenle de

90 - 70 = 20 camere.Diferenla existA pentru cA unele dinte apartamente nu cate 3, ci numai cate 2

DacA diferenta dinhe numArul de camere dintre cele doui tipud de apartamenteeste 3 - 2 = I came.e, atunci rezultd cA cele 20 de camere pe care trebuie si le elim!nam vor corespund unui numfu de 20 : 1 = 20 (apartamente).

Deci, in bloc srmt 20 de apartamente cu 2 camere, iar restul de 30 _ 20 = lOapartadente, carc au cate 3 camere,

1l

Enunlul problemei:intr-o cale sunt gdini ;i iep ri. $tiind ca in total sunt 11 capete si 34 de picioa-

re, sd se alk cak gAini ti cAli iepuri sunt.Rezolvare:Este notat ce in curte sunt 11 capete, deci 1l animale, unele cu doui picioare

(giinile) altele cu 4 picioarc (iepurii).Reprezentim pdn desen cele 11 animale:

00000000000Trebuie se distribuim, prin desen, ceie 34 de picioare.

a. O presupunere esre cdJtie@c aninh.rl are cet pu!in ft)t" dou.i pi.ioarc.

QAAQAAAAAAQAm dist ibuit astfel 2 x 11 = 22 picioare din totalul de 34.Au mai lImas 34 22 = 12 picioare pentru cd unele animale (iepurii) nu au nu-

mai 2, ci cate patru picioare. Nu ne mai dmane docat sd distribuim pe fiecare desencete doui.

xxxmxNaaaaaDupi ce am distribuit restul de picioare, numerem cete animale cu 2 qi cate cu 4

picidare sunt.Oblinem: 6 animale cu cate patru picioare (iepuri) Fi 5 animale cu doui picioare

G,ini) .b. Altd presupunere este cd toate animalek au cAte 4 picioare, atanci:4/ l l 44 (picioare)44 - 34 = 10 (picioare diferenld intre numarul real qi cel presupus, fals).Aceaste diferenla a aparut din presupunerea cd unele animale ar avea cate 4,

deci au un plus de cate 2 picioare la aceste animale. peftni cA 4 2 = 2.Atunci 10:2 = 5, deci sunt 5 animale (gainile) cu cate 2 picioare $i 11- 5 = 6

animale cu cate 4 picioare (iepud).

l2

IV. METODA MIRSULUI INVERS

Aga cum spune ti numele, aceastA metodd se aplicd in cazul in care rzolvareaproblemei se face pomind de la sfrDit cdtre inceput. in astfel de prob;", ;;;cunoscule apar in prima parte a enunfului, iar partea finald cuprinde datele cunoscute.Modul de aplicare a metodei implica {i urilizarea operadilor malemati";;;;r;"";(urter evloenttate prin cuvinte_

Enuntul problemeil.

TriplAm uh numdr natural, apoi scddeh din et 21. Rezubatut astfet oblinut ittripldtn, din ou, ,i scddeht 4. Oblinem astfel numdrul 3l t.

Care este numdr"ul considerat?

Rezolvaae:DupI cum s-a explicat utilizim datele de la fmalul enuntului spre inceput, dar

utilizim opemtiile invers celor date, dupii cum este notat in parantezd.311+4:315315:3 = 105105+21:126126t3=42Numerul este 42.Verifcare:

42x3:126126 -2t

-

105105x3=315315-4=311

(... scedem 4 $i oblinem 311)(... triplnm, adicn inmullit cu 3)( . . . scddem 2l)(... t iphm, adicd inmultit cu 3)

V. METODA REDUCERII LA UNITATE

Enunlul problemeil1 0 caiete de matefiaticd costd 40 lei.CAt vor costa 3 caiete de 1celati fel?

Rzolvare:Trebuie se stabilim costul unui caiet. Daci l0 costd 40 lei, atunci un caiet va

costa de I 0 ori mai pufin, adice:40lei : 10 = 4lei (costd un caiet).

Cele 3 caiete costi de 3 ori mai mult decat un caiet, adici:4 lei x 3 = 12 lei (coste 3 caiete).

l3

PROBLEME DE ANTRENAMENT

1. Maria are o pisicd Fi un calel. $tiind ca pisica are de doui ori varsta celeluluiSi cA impreuna au 15 ani, se se afle varsta fiecirui animal.

2. Doi pfierenr au 24 de creioane colorare. $rrind ce undl drnrfe er are de lrei of imai putine creioane decat celelalt, sA se determine cate creioane arc fiecare.

3. ln curtea bunicii am gesit pui de gainA qi pui de raln, in total 60 de pui. $tiindca puii.de gdind sunt cu 20 mai mutli decat cei de rafa, sa se afle cafi pui de gaina iic; i de rala am gdsil in curlea bunic; i .

4. Suma a doud numere este 700, iar diferenla dintre ele este 300.Carc sunt numerele?

5. Difercnla dintre doua nunere este 12, iar impd4ind pe cel mai mare la celmai mic se obfine 2.

Care sunt numerele?

6. Cosmin a cumparat 3 caiete de matematica li a pletit 12 lei.Cet ar fi platit dacd ar fi cunpirat 5 caiete?

7. Mama a prepant doue fivi cu pldcin6 obtinand 40 de bucni.Cate tevi de aceeaSi merime ar fi trebuit sa prepare pentru a obfine 60 de bucafi

de plicinta cu mere?

8. inh-un bloc sunt 36 de apartamente cu doua $i trei camere.$riind cn in total sunt 90 de camere, sl se afle cate apartamente de fiecare fel

sunt in acel bloc.

9, Ioana are 14 caiete, unele cu 48 de file si altele cu I00 de file.Stiind cA in total sunt 880 de file, sd se afle cate caiete de fiecare fel are loana.

10. DouA kilograme de mere si tei kilograme de prune costd 17 lei.Trei kilograme de mere 9i trei de prune costA 2i lei.Cat costi |ur kilogram de mere? Dar unul de prune?

11. M-am gandit la un numAr. Am adunat la acest numar trei. Rezultatul l-am in-multit cu 5 Si am scezut apoi 20. Noul rezulrat l-am impd4it la 2 si am oblinut, in final,20.

La ce numAr m'am gandit?

t4

!. Ce trcbuie si stim desprc evaluare?2.l. De ce este importanti evaluarea?

Evaluarca, componenti a oricArci activitdli umane, inseamni necesitatea de astabili ir ce masuri rezultatele propuse au lost efectiv oblinute. Apare c" ";;;;;r:lA5enriala a.proce\ului de in\admdnl. jn speciat. Ftuxutui Inlo#"f i""rf . . , .^i lr ."rapnn inkrmedtul mecanismului conetiunii ;r

invaldmant, in fapt evaluarea, rverse' secvenle rmportantd a procesului de

Evaluarea, punct final dintr-o succesiune de evenimente didacticecupnnde:

. ..

. stabilirea finalitililor/scopudlor pnn prrsma compoftamentelor dezirabile ale

. proiectarea, urmatA de infiptuirea scopurilor propuse;

-

. m5sumrea rezultatelor ob(inute in urma aplicerii prograrnului umend sA seadopte decizii de ameliorare a aclivititii in etape urmato:re.

Se pot distinge:. Eraluarea de sistem _ permite mesurarea $i aprecierea unor asDecte centrate

asupra raponufllor dino-e Invalamdnl Si viala socio_economice. cultur;la, corelareacalitdfii invnlamantului cu contribufia sa la dezvoltaxea socialA.

.

. Eyaluarea de proces _ umirc$te gradul de realizare a obiectivelor la nivelmldoslructuaal,

-

Rezultatele evaluarii prezinti o importanF deosebita pen1ru to{i factorii impl!cali ln procesul de formarc a tinerei generaht:

. pentru pro/esori, etaluarea este importante, deoarece fumizeazd informatii cuprivire la rezultatele activita,tii desfrqurate ;u elevii, ii ajLrti sn identifil";;;;;;sau identificand greqelile tipice din pregittea elevilor, sursele care le_au eerrerat. de_mers in urma c5ruia se iau decil i i cu privire la acl i \ i tadle vi i loare:.

. pentru elevi, este un indiciu cu privire la concordanta dintre performanlele ob_linute $i obiectivele propuse a fi indeplinite, ,,un semnal de alarmi,, privind peispect!va ulterroarA. Poate ajuta la conturarea aspiraliilor Si la mobilizarea tuturor resurselorde care dispun in vederea realizArii lor;

. ..

pentlu pdrifilil este o baze de Fedicfie, o garanlie privind reugita viitoare acopiilol un indiciu privind mrsuri speciale de sprijin a acestom penhu inldturareaunor dificult'ali sau rdmaned in urmd;

. pentm societate, evaluarea f,rmizeaza infomalii pertinente despre nivelul deFegitire a fo(ei de munci, eficientA investiliilor in inv4imant, punctele slabe ale sis-temului de pregAtire, date posibil de valoificat in scopul ideturarii distunctionalitAtilor.

otganlzate,

t5

2,2. Care sunt formele de evaluare?Teoria, precum Si practica pedagogicA evidenfiazd existenta mai multor forme,

t ipuri de e\aluare.PrezentAm in continuare clasificfuile cele mai liecvent intahite:

. Dtp:a wlum l de i formalii experienle acrrrnulate de elevi s-au stabilit douetipuri de evaluare:

a) evalrrare parliald, prrn care se verifica secvential un volum redus de cunottin-te; i achir i t i r componamentale:

b) e\a]netre globald, cand se verifice un volum mai mare de cuno$tinfe, pdce-peri, deprinde , abilitdti.

. in functie ale perspectiNa temporald din care se realizeaz6 evaluarea distin-gem:

a) e\abrarc i ilialA. ceJe se realizeazd la inceputul unui progmm de instruire;b) evaluarer/,a/.i, care se realizeazd la incheierea unei etape de instruire-

. DlJpA modul in care se integreazd evaluarea in procesul didactic, evaluatecunoa$te trei fofme:

a) e\alruarc inifiald, cate se realizeazA la incepuhrl unui proglam de instruire;b) ev^l]uare continud/ lormatild, carc se rcalizeaze pe tol parcursul procesului

instructiv-educativ;c) evaluare s maliyd, ce se realizeaze la incheierea unei etape mai lungi de in-

struire,

. In fr.mclie de factorii care realizeazd eyaluarea se contueaz A doud forme sautipud de evaluare:

a) evaluare intelnd, efeattrat' de aceea$i persoant institulie carc rcalizeazdefectiv $i activitatea de instruire (de exemplu profesorul clasei);

b) e\laluare externd, realizatd de o persoana sau institutie diferitA de cea carc aasigurat realizarea efectiva a proce$lui de inviFment.

intrucAt cea mai frecvent folositi clasificarc este cea realizad dup6 modul in ca-re se integreaza evaluarea in procesul dialactic, vom analiza, in materialele publicate,mai pe larg cele trei fome de evaluare care se conture^zd aplicendu-se acest criteriu.

l6

2.3. Care pot fi instrumentele de evaluare?Ce calitifi trebuie si indeplineasci.?

Pentru ca metodele de evaluare, tradilionale sau complementare, si ofere infor-malii peftinente cu, privire la perfomantele $colare, este necesari folosirea unor ins_h1rmmte adecvate de evaluare, elaborarea unor probe care si reflecte corectpedormanla (proba

-+ orice insrument de evaluare, proiectat, adininistlat. corectat decatre profesor),

Pentlu a realiza o evaluare relevante, eficace, instrumentele de evaluare (extem_pomle, teze, teste etc.) bebuie si intruneasci anunite ,,cali1ati telnice,, indisDensabileatingeri iscopului penlru care au fosl proieclale.

Principalele calitdfi ale unui instnrment de evaluare siul.rt raliditatea, frdelitatea,o h ie ctil, itote a 9i aplicab i I itatea.

Validitatea este datl de precizia, acuratefea cu care inslrummtul/ testd masoadce Sr-a propus si masoare. Acesta trebuie se stabileasc! ce iqi propune se evalueze, sAmasoare,apoi se skbileascd sarcinile de Iucru care se dau spre rezolvare elevilor. Vali-ditatea este asiguratd in misura in care instrumenful de evaluare acoperd elementelefundamentale ale conlinutului pe care il testeazd, mAsoari cu precizie (inteligenta,c.eativitatea, originalitatea) $i nu altceva, rezultatele obfinute se coreleaz i cu cele ob_linute cu ocazia altor misuriri ale acelora$i abilititi.

Fidelitatea reprezintd, acea calitate a unui test de a produce rezultate constante(sau foarte apropiate) in u.ma aplicarii sale repetate in condi,tii identice, aceluiagi gnrpde elevi.

Obiectivitatea rcprezi[IA gradul de concordantrA dintre aprecierile licute de eva-luatori independenliaqupra raspunsuri lorpennu f iecare dinlre i lemii le,rului.

Aplicabilitatea deserffieaza cafitatea testului de a fi administrat si intemrctat cuuiurin!a.

Elaborarea de cetre profesor a rmui instument de valuare este o activitate deo-

sebit de complexe ce presupune parcugerea mai multor etape:. precizarea obiectivelot $i a continuturilor ce umeazd a fi verificate;. analiza conlinutului ce urmeazi a fi evaluat pentru a stabili elementele esen-

tialet. preczarea comportamentelor in care se exprimi analiza continuturilor esentia_

Ie treproducere. aplicare. c.rpacilale de a etectua operari i logice elc.);. alcatuirea propriu zisi a probei, prin fomularea itemilor in concordanta cu

obiectivele $i coDtinuturile. stabilirea bfiemeior de corectare.O importanld deosebiti prezintd fomularea itemilor, prin item inlelegand intre-

bared, formafil acesleia ,i rdspu sul a$teptat, elemefie skict necesare $i aflate in$rensd interdependenld. Precizarea clari a formatului in care elaborAm itemul conditi-

l7

oneazi dspunsul; proiectarea rasp\rnsului a eptat este o condilie importanti pentrucorectarea $i notarea acestuia.

in teoria 6i practica evahirii se intAlnegte o bogatd gamd de itemi a caror cu_noaStere poate ajuta efectiv cadrul didactic in elaborarea instumentelor de evaluare.Cea mai frecventb clasificare a itemilor este cea care are drept criteriu obiectivitatea incorectare $i nolare r i rnclude urmerotuele l ipuri:

a) itemi obiectivi;b) itemi semiobiectivi;c) itemi subiectivi.

3. Existi o legituri intre matemafici$ praciici?

Rdspunsul este afirmativ! Legatura este in dublu sens practic5_matematici, pre-cum Si matematica-practici.

Activitalile practice au determinat stabilirea unor rczolvari, generaliziri mate_matlc,1ar matematica a ofedt cAi de rezolvare eficiente ale Lnor situalii practice. Sadezvoltdm ideile anterior expdmate. Legrtura cu practica se realizeazd in matematicdpe doui cii: o cale directA (t) $i una indirccti (2).

1. Calea directa constd in aceea cA se folosesc metode matematice pentru a re_zolva probleme concrete din fizice, tehnica, economie, adicd matematicianul efectuea_zA calcule impuse de lansarea unei rachete cosmice, inginerul Lrtilizeazi matematica laproiectarea unei ma$ini, a unei clddiri, economistul folosegte metode mut"_uti"" p"n_tlu a g6si cea mai bund organizare a procesului de produclei aplicdnd matematicadirect in practici etc._

2. Pentru a putea rezolva problemele generate de pmctici, matematica le uans-formd in probleme generale, abstracte, in cerceorea acestor probleme apar prcblemenoi. cu a\pecr pur teoretic. de a caror relol\are deprnde uneori

' . .r" lr; . , ; ; ; ; ; ; ;_bleme practice. Aceastd parte a matematicii nu se a;lici direct in practi"a, "i

inaii""t.Mai mult, pe mhsure ce matematica se dezvoltd, se creeazi teorii matertatice, care,initial, nu au nicio tegatlrd cu p.actica, dar iSi gasesc mai tarziu aplicajil p" "*" "."uitoni lornici nu le-au b;nuit. Exista $i cercetaripur teoretice, care nu se fac in vederea

unei aplrcal i i . dar care faspund la pfobleme idenrin.are in cr,r.ut Aelrol; i l ; ; ; ; ; ic11.

18

Sensul citirii numirului

Numerele s scriu folosind cifrele (semnele):o,1,2,3,4, s,6,7,a,9.

Scrierea gi citirea numerclor naturale respecti faptul cA sistemul de numeratiee$e:

. zcimal (zece unitali de un anumit ordin formeazi o rmitate de ordin superior);

. pozifional (valoarea numerici a rnei cifre din scrierea unui numar depinde depozir ia ei in scnerea ordinelor $i a claselor)

. zero (0) indicA faptul cA anumite ordine au valoarea zero (sunt nule).

. daca numerele au acelati num6r de ordin, comparem numerele care tepre_zinti ordinle de acelasi fel, de la stanga la dreapta.

+. Cc treluic si stie un oley?

3865>3754;

19

4. l. Numere naturale

Numele claseiNumirul ordinuluiNumele ordinului

Axa numerelor 576

Daca un numtrr natural arc cifta unitalilor:. 0, 2, 4, 6 sau 8, atunci el este numlr par (c, sof);. l, 3, 5, 7 sau 9, atunci el este numir impar (fird.rol).Doui numere naturale se compartr astfel:. daci numerele nu au acelati trumIr de cifre (numdrul ordinelor aliferii). atunci

este mai mare (rcspectiv mai mic) cel cu mai multe (respectiv mai puline) cifie.t8436>8456; 4 587 < dE 568.

Sensul citirii ordinelor

4s 639 > 29 080; 5942>5927.

4,2. Adunarea, sciderea, inmulf irea, impirf irea

ADUNARXAtemeni sumd

r ' \ .+D=

proba prin adunare: b+a=cl . -A-^

proha pnn scader". l' " "(_a=D

iNMULTIREA

proba prin inmullire: b x a = cl -

- -Lproba pnn inparlwe: l' " -

"

lc :o = a

+

SCADERXAdescAzat scdzAtur difercntd

l

Probtt prin qdw1are. c + b = cl

Probaprin sciidere: a-c= b

iMPARTIREAdeinpdrlit inpdrlitot cAt

t t lvvtt ib=c

probs prin inmull ire: cxb=o

Pnba prin impdrlire: a'. c = b

COMUTATIVITATEA

. [a Ndunare:s+b-b+t.la inmultire:

Dr iobl inC$iR

ASOCIATIVITATEA

.la adunare:(q+br+c=a+(b+c).la inmultire:

(qxb)xc:a ' (bxc)

DISTRIBUTIVITATEAiNMULTIRII FATA DE

ADUNARE $I SCADERE

ca>

4.3. Fractii

S-au marcat14

Fraclia l4

< Numirtrtorul: numarA pnrlile de aceeasi mirime.+- LiniN de frscli

Operatii matematice cu fractiiSuma a dolri sau mai m lte iirnclii cu acelafi numitor este o ftactie al cArei nu-

marator este suma numrrAtorilor fracfiilor care se aduni, iar numitorul este acelaqi.i 4 l+21 \

Eremplu: +-=.1 =:

Diferenla a doui sau mai multe funcqii cu acelagi numitor este fraclia al cereinrmAdtor este diferenla numdrAtorilor ftacliilor care se scad, iar numitorul este acela;i.

Exempru: :_?=! ?=1' 66 6 6

Allarea unei fiactii dintr-un intregPentru a afla cat rcprezinte o unitate ftacfionari dintr-un intreg se imparte intre_

gul la numitorilExemplu: Afla din 20 kg de ro5ii .

20 kg : 5 = 4 ks (1 ai. ro re -rii)

Pentru a afla cai reprezintA o ftacfie dintr-un intreg se imparte intregul la numi-tor, apoi se inmulle$te rezultatul cu numirarorul.

Exempl l l : Afla cal reprezinra I dn 20 kg de rogii .-5

20 kg : 5 - 4 (e ll a;" zo le ,osiil- '5

- )4 kg x 3 = r2 kg (l ai" uo re

-*i).)Ilxemplul 2: : reprezinte 14 I de lapte_

Cad iitri de lapte reDrezinta I ?. ,7

u r :2=1 r ( ! l\7)

1("6-42t(9)\ '1 )

6)sau: DacA : inseamna de 3 ori nai mult decat :, atunci avem:

14|x3=42t.71

4,4. Nofiuni de geometriePunct

A

Linii curbesdeschise \_2

inctrise\ O

Dreaptii semiatreapta'-----------'(--- o

M+'Nsegment de dreapfi

Linii frentedeschise 7

inchise \ \

Pozifiile r doutr drept

,zz,/paraleleconcurente pe{rendiculare

Triunghi

P= h+ l2+ 13

Paralelogram Dreptunghi

P =2(L + DPitrat

P=4l t A=lx l

Romb

P-41

Trapez

Simetri

^l__:_\

Prismi Piramidl Sfri

l - - - - ' l\7

Cub Con Cilindru

4.5. Unitifi de misuri

Unititi de mdsuri pentr :a) Iurgime;

/- .10---F

-x lb) volum (capacitat);

---'

| 072'' | 0 -zz1 : | 014: I 01a-: 1 0\Z-: l0>-

lml l lc l l ld l ) t l ldal I h l I lk l l- - -4: | 0>Z-: I 0=4-: I 0=4-: J 0=-r{ ,g{ ,g{ ,til. ,g{ ,g{.,9{^,gd^,!_1

Misurarea t impului

s h ztug

ninutul (min) 603 600 60 I

86 400 r 440 24 t

l0100 l0 I

I 000 r00 l0 I

24

Rezclviri ale unor problemeprocpusc pcntru concursul

;eFii Inteligent la rrratematicirClasa a ll.a

l. Evaluare initiali (de diagnosticare)

l. Calculeaza:58- 670 203 + 15l7- t3

2. Scrie semnele,,*" $i ,, ,,pentu a obfine rczultatul dat:

3. AflA numArul cu 22 mai mare decdt diferenla numerelor 59 qi 4.

4, Gise$te numArul cu 22 mai mic decat suma numerelor 50 qi 37.5. Fie relaliile:

$tiitrd c6,: a = c, m = s, / = i, iar d, m $i / sunt numere diferite, afld valoriletuturor literclor.

Scrie rm cuvant folosind literele din cele 4 relaii.

6. Dacd adun un numAr cu 10, apoi cu 20, apoi cu 30, oblin cel mai mare nu-mdr par de 2 cil ie lormar numai din zec

Care este numfuul initial?

.1 l +f ]L]=1761 n! : I50 +EE=7745 f ln: 12

93 80+1588-75+ I35+23-1245 + 14-36.

17[ 3 E 36:5657 f l 17t ] 2=38

le f l et ]ss=esr iat7Dt i :5r

a+a+a:3;t + t :6;

m+m=4;c+e+i=6.

7, Din livada brnigului s-au cules 4 lddi1e cu visine qi 8 lAdile cu cirege.Cate lidite s-au vandut, dace i:au remas bunicului 2 lidife nevdndute?

A.4ladi le; B.10l6di le; c.2ladi le; D.5lddi le.

Rezolviri:1. Rezultatele calculelor sunt:

58- 6:52 l1 + 6-17 93-80+15:28'70- 20:50 61 60: I 88 75+ 1=143 + 15=18 5O +27 =' l ' l 35+23 12:46l '7 - 13: 4 45 33:12 45+14-36=23

2. Semnele ,,+" !i ,,-" penh! a obline rezultatul, in fiecaxe caz, su[t:17 J-J6=50 19 9 88 985'7 * t ' , l 2:38 1',7 + t7 + t ', l = 5l

3. Numarul cu 22 mai mare decdt diferen{a numerelor 59 $i 4 este:59-4+22=55+22: '7 '7.

4. Numerul cu 22 mai mic decet suma numerelor 50 !i 37 este:50+ 37 -22 = 8 ' l -22= 65.

5. Avem:a+a+a=3 m+m-4 t+t :63xa:3 2xm=4 2xt=6a-3.3 m=4:2 t :6:2a- l m:2 t -3Dacd a : c, atunci c = It m = e, atl]J]rcl e:2, /: l, atunci i: 3.Cuvantul ceutat este ,,teme".

6. Avem: d+10+20+30-90d+60:90a=90 60a:30

12-a=2a-12-2a: l0 (ledife) ) Varianta B.

l l. Numerele naturale de la 0 la l0

a) Scrie numirul de doud cilie care are cilia unititilor 0 si ciAa zecilor ib) Scrie numdnil de doui cifre care are cifra zecilor I si cifra unititilor 6.c) Scrie toate numerele narurale de doua cilre care au cifra zecilor 2.Rezolvare:a) Atentie! a + 0; 7 numdr natural de doud cifre; a cifra zecilor. , cifra

unititilor.Numarul de doui cifre care arc cifta unitdtilor 0 si cifra zecilor I este 10.b) Atenfie! d * 0; aD numir natural de doue cifre; a: l, , = 6.Numirul de doud cifre care are ciila zecilor 1 Fi cifra unitatilor 6 este 16.c) Avem ab,a=2,b e 10,1,2,3,4,5,6,7,8,9).Numerele naturale de doud cifre care au cifra zecilor 2 sunt:

20, 2t , 22, 23, 24, 25, 26, 2',1 , 28, 29 .

Gaseqte numerele naturale care indeplinesc urmdtoarele cerinle:a) cel mai mic numAr scris cu doud cifre;b) cel mai mare numer scris cu doue cifre mai mic decat 30;c) un numdr de doua cifre cu suma cifrelor egald cu 2.

Rezolvar:a) Avem: a6 numlr natual de doui cifie; cel mai mic numix scris

doue cifre este 10.b) Cel mai mare numdr scris cu doui cifre mai mic decet 30 este 29.c) Avem', ab;a + b:2t | + 1= 2:2 + O=2. Deci numerele srmt: 11,20.

CompleteazA urmetoarele $iruri, rcspectand regula de formare:a)2;4; . . . ; l8;20;b) 3;6; . . . ; 15; 18;

c) l ;4t '7: . . . ;22;25:,d) 30;25; . . . ;5;0.

t1

Rezolvare.:,a) Nunerele din acest gir sunt numere pare, consecutive, crescator.

2,4,6,8, 10,12, t1,16, 18,20.b) Numerele din acest tfu crescator sunt numere din 3 in 3, incepend cu 3,

deci:3,6,9, 12, 15, 18.

c) Numerele din acest $ir crescetor sunt numere din 3 in 3, incepdnd cu 1.Avem:

1,4, '1, t0, 13,16,19,22, 15.d) Numerele din acest gir descrescAtor sunt nurnere din 5 in 5, incepdnd

cu 30, deci:30, 25, 20, 15, 10, 5, 0.

Intr-o grediniti, la o masi sturt mai mult de 7 copii gi cel mult 8 copii.Ca[i copii sunt la masi?

Rezolvare:Atentie! Cel mult 8 copii inseamni ma,rimum 8 copii; cel pulin 7 copii

inseamni minimum 7 copii.La masa sunt 8 copii.

Compari:a) cel mai mic numfu natural de doud cifre cu 17;b) cel mai mare numir natural de doue cifie cu cifra zecilor 2 cu numdrul

)qc) cel mai mic numer de doue cifre cu cifra mitililor 7 cu numerul 16.

Rezolvare:a) Cel mai mic numer natural de doue cifre este l0; avem l0 < 17 sau

17 > 10.b) Cel mai mare numer natural de doue cifre cu cifra zecilot 2 este 29,

deci avem 29 = 29.c) Cel mai mic numAr de doui cifre cu cilia unitiilor 7 este 17: avem

17 > 16 sau 16 < 17.

28

Compari numerul 2l cu cel mai mic numfu naturalincat una singure dintre cilie sd fie g.

de doui cifre, astfel

Rezolvare:Cel mai mic numir natural de doue cifte,

cifre si fie 8, deci:18 18.

astfel incet una singura dintre

OrdoneazA descrescetor mrmerele natuale de doui ciiie, mai mari decat10 $i mai mici decat 30, care au cifra unitililor i.

RezolvareiNumerele naturale de douA cifte, mai mari decet 10 $i mai mici decet 30,

care au cifra unitililor 7 sunt 27 $i 17.

a) Stabile$te toate numerele naturale de 2 ciAe care au suma cifrelor 3.Cate sunt? A$azAle in ordine crescitoarc.b) Determind toate numerele naturale de 2 cifre care au suma cifielor 5.Cate sunt? ScrieJe in ordine desoescetoaxe.

Rezolvare:a) Atenl ie! ab, a*0; a + b:3; | +2=3:2+ 1= 3i 3 + 0:3.Numerele naturale de dou6 cifte care au suma cifrelor 3 sunt 12, 21 qi 30.b) Atenlie! ab, a + 0; a + b : 5; 1 + 4 = 5; 4 + I

-

5: 2 + 3 : 5:

Numerele naturale de doue cilie caxe au suma cifrelor 5 sunt 50. 41. 32.23 Si 14.

@rIIn girul numerelor naturale de la I la 100, sunt numere de dou6 cifre care

au cifra zecilor cu 3 mai marc decat cifta unitatilor.Care sunt acestea?

Rezolvare:Atenlie! ab, a * 0; a : b + 3, b e 10, 1, 2, 3, 4, 5, 6\.

Numerele de doud cifre care au cifra zecilor cu 3 mai mare decAt cifraunitif lor sunt: 30, 41, 52, 63, 74, 85 ti 96.

Scrie numerele mai ma decat 70 gi mai mici decet 100 carc au difercnfadintre cifra zecilor $i cea a uritdlilor egalA cu 1.

Scrie cate zeci $i cate uniLifi axe fiecare dintre aceste numere.

Rezolvare:Atenl ie ' ! ab,a+0;a-b=l ;ae { .g,8,7\ :b {8, 7, 6} .Numercle nattuale mai mad decat 70 Si mai mici decet 100, care au dife-

renta dintre cifra Tecilor ri cea a unilAli lor egala cu I sunt 76. 3r gi 08.

a) Stabileite numerele natuale de forma aD, astfel inc6t cifra zecilor s6fie cu 2 mai micd decat cifta unitAilor.

b) Detemina numerele naturale de forma aD pentru care diferenla dintrecifra zecilor qi cifra unitifilor si fie 2.

Rezolyare:a) Atent ie! ab,a+0;b-a-2;a e {1,2,3,4,5,6, '1} ;b e \3,4,5,6,

7,8,9] .Numerele natunle care au diferenla dintre cifta uniteflor 9i cifta zecilor

2 svnti 13 , 24, 35 , 46, 57, 68 qi 79.b) Atenf ie! ab,a+0;a b:2;a e \2,3,4.5,6, '1,8,g);b e 10,1,2,

3,4.s,6, '7 j .Numerele naturale care au diferenta dinte cifra zecilor ti cifra unitqilor

2 slrnt 20, 31 , 42, 53 , 64, '1 5 , 86 tl 9'1 .

30

a) Gese$te toate numerele natwale de doud cifre care au cifra zecilor cu 3mai marc decat cifra unitdfilor.

b) Compari cel mai mare numer descope t cu numdrul g9.

Rezolyare:a) Atentie! ab, a + 0; a : b + 3; a e 13, 4, 5, 6, j,8, 9); D e {0, l, 2, 3,

4, 5, 6]. Numerele naturale de douA cifre care au cilia zecilor cu 3 mai maredecat cifra unitd,tilor sunt 30, 41, 52, 63,'t 4, 85, 96.

b) Atentie! 96 > 89 sau 89 < 96.

a) Scrie toate numercle naturale care se aib6 cifra zecilor cu 4 nai maredec6t cifra unitef ilor.

b) Compard cel mai mic nuner descoperit cu numdrul40.

Rezolyare:a) Atenl ie l ab,a+0;a:b+4ta e {4,5,6,7,8,9};6 e {0, 1,2,3,4,5}.Numerele naturale care au cifra zecilor cu 4 mai mare decat cifra unitdti-

lor sunt: 40, 51, 62, 73, 84 qi 95.b) Atenfie! 40:40.

a) Care este cel mai mic numfu natural de doud cifre caxe are cifia unit6-lilor 6? Dar cel mai marc?

b) Compari numerele descoperite cu cel mai mic $i cel mai mare num5rnatural de doue cifre cu cifra zecilor 8.

Rezolvare:a)Atenl ie: 4b.a,0.Cel mai mic numdr natural de doui cifre care are cifra unitililor 6 este

16, iar cel mai mare este 96.b) Cel mai mic qi cel mai mare numir natural de doue ciAe cu cifra zeci-

Io. 8 sunt: 80, 89.16 < 80 sau 80 > 16: 16 < 89 sau 89 > 16;96 > 80 sau 80 < 96; 96 > 89 sau 89 < 96.

31

Compare inte ele numerele nafurale:a) numtu cuprins inte 70 qi 80 scris eu cifre care se repeta;b) cel mai mare numaLr natural scris cu cifia 8. format din zeci li uniuli:c) numir mai mic decat 73, dar mai mdle decat 68, format din zeci.Rezolvare:a) Numdxul cuprins inte 70 $i 80 scris cu cifre care se repetd este 77.b) Cel mai mare numdr natural scris cu cifra 8, format din zeci gi unitali

este 88.c) Numerul natual mai mic decdt 83, dar mai mare dec6t 68, format din

zeci este 70.70

Rezolvare:Atenliel ab, a + 0; a = b + 2; a e {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ; b e lO, t, 2, 3, 4,

s,6, '7 J.Numerele naturale de doui cifie care au cifra zecilor cu 2 mai mare decat

cifia unitdlilor sunt: 2 0, 31 , 42, 53 , 64, 7 5 , 86 gi 97 .Cel mai mic numer natural de doue cifre consecutive, crescitor este 12.

Avemr 20 > 12 sdn 12 < 20:31> 12 sau l2 < 31;42 > 12 salu 12 < 42; 53 > l2 sau 12 < 53;64 > 12 sav 12 < 64. 75 > 12 sau 12 < 75;86> 12 sau 1212san12

. din condilia a) rezulfi cd ,irul numeric stabilit la l. se reduce, pentru c6suma cifrelor presupune existenfa cifrei zecilor, precum

,i a cifrei unitalilor,deci trebuie sA alegem dintre numerele naturale stabilite anterior doar fe'cetecel pulin egale cu l0 $i cel mult egale cu 99;. condilia b) poate fi ilustatd completand tabelul:

l l l. Adunarea 9i

) varianta corectd

scS.derea numerelor naturaledela0la30

Cerinte:1. Efectueazi:a) 16+9 b)

14 +7c) 18+6

12+9d) 8+ 15

9+1612+816 + 8

2. AflA rezultatele:a) 26 '7 b) 28_9

2'7-8 25_6c) 2'7 -8

279

3, Pentru efectuarea unei lucrdri s-a unit o echipi de 14 muncitori cu unade 9 muncitori.CAli muncitod are echipa obtinure?

4. Intr-o glastre sunt 7 trandafiri. in alta sunt cu 2 trandafiri mai mult.CaU tuandafiri sunt in cele douA glastre, la un loc?

.

t t-":l concurs sportiv o echipd a oblinut 7 medalii, iar alta cu 5 maimulte medalii.Cete medalii au obtinut cele dou5 echrpe, in total?

34

, 6. Dintre mrmercle: 1, 3,5,,7 $ig, alege pe acelea care, adunale cu g,dau un numaLr cuprins intre l0ti 15.

-

7._Nina qi Florin au compus impreuna 18 prcbleme, iar Nelu 9i Andreicu 9 probleme mai pulin.

Cate probleme au compus cei 4 copii, in total?

8. O clo|cd are l l puigori, iar alta are cu 3 puigori mai mulli.Caf puiqo nu sunt gdlbiori de la a doua clo$ce, ,tiind ci7 sunt gdlbi_

ori?

f. intr-un bloc cu 4 etaje locuiesc cate 3 copii la fiecare etaj.Cdli copii locuiesc in trei astfel de blocuri?

10. intr-o cutie sunt 8 qeioane colorate. C6te creioane sunt in 3 cutii deacelagi fel, dacd din fiecarc s-au scos cate 3 creioane?

ll. Peste dou6 luni Cigel ra implini 8 ani.Peste cad ani va implini sora lui 15 ani, qtiind cA ea este mai mici decat

Gigel cu un a.n?

12. Alina a cumpdrat oua. Din neatenfie a spart 3 dintre ele $i i-au remas17 ouA.

Cate ouA a cumparat Alina?

13. Dan avea o pungi cu 28 de bomboane. I-a dat prietenului siu 13bomboane, a mancat 9i el cateva gi i-au rdmas l0 bomboane.

Cate bomboane a mancat Dan?

14. La o competilie sportiva au participat 15 bAiei, adica cu 5 mai mullidecat fetele.

Caf concwenli au participat la acea competitie?

15, ,,Mic$oreaze" suma numerelor 14 qi 8 cu cel mai mic numer naturalde doui cifie parc distincte.

35

Rezolviri:

l. Rezultatele calculelor sunt:a) 25: 2l; b) 2Ot 24; c) 24; 21 , d) 23]' 25 .

2. Rezultatele calculelor sunt:a) 19; 19;b) 19; 19; q) 19; 18; d) 19; 18.

3. 14 + 9:23 (muncitori)

4. 1) Caf trandafiri sunt in a doua glastre?7+2=9(trandatui)

2) Cali tandafiri sunt in cele doud glastre, Ia un loc?7 + 9: 16 (trandafiri)

5, l) Cate medalii a oblinut a doua echipi?7+5:12(medal i i )

2) C6te medalii au obfinut cele doud echipe, in total?7 + 12: 19 (medali i)

6.Avem8+3:1118+5=13.

7, 1) Cate pfobleme au compus Nelu gi Andrei?18 9:9 (probleme)

2) Cete probleme au compus cei 4 copii, in total?l8+9:27(probleme)

8. l) C6fi puiqori are a doua cloqcd?11+3=14(Puito )

2) Celi puiqo nu sunt gelbiori?14 7:7 (pui$ori)

9. l) Cdgi copii locuiesc intr-un bloc?3x4=12(copi i )

2) C61i copii locuiesc in trei astfel de blocuri?12 + 12 + 12 : 36 (copii)

10. 1) Cdte creioane au remas in fiecare cutie?8-3=5(creioane)

2) Cate creioane au rdmas in cele 3 cutii?5+5+5=15(creioane)

11. 1) Cali ani axe sora lui Gigel?8ani l an=7ani

2) Peste cali ani va implini sora lui 15 ani?15 ani 7 ani: 8 ani

12. Cdte oui a cumpdrat Alina?17+3=20(oud)

13. Cate bomboane a mancat Dan?28 13-a:1015-a= 104=15-10a = 5 (bomboane)

14, 1) Cete fete au participat la concurs?15 5: l0 (fete)

2) C61i concurenqi au participat la acea competitie?15 + 10

-

25 (concuenli)

15. Avem: 14+8 1,0:22-10:12.

lV. Adunarea gi sciderea numerelor naturalede la 0 la l00

Calculeazd:a) (20 + 50) - 10

60 20+ 1050+40-3020+20-10

b) 10+30 2050 + (30 - 20)90 40+3080 20+40

c) 20+30 50+4090- 20- 30 + l050+10-20+30

100 - 80 l0 + 40.

Rezolvare:a) (20 + s0) l0:60

60-20+10=3050 + 40 30: 6020+20 10=30

b) 10+30-20=20s0 + (30 20) :6090 40+30=8080 20 + 40: 100

c) 20+30-50+40=4090-20 30 + l0:5050+10-20+30:70

100 80-10+40=50

Completeaze hbelele:

Alli num5rul necunoscut:a) a+20= 50

a - 20: '70a+50=1004 30: 30

Rezolvare:Atentie! Folosind formulele:

Tr+T2=STr=S-TzTz=S*Tr

30 + b:6050-r :3050 + r :8070- b = 10.

D-S=RD=S+RS=D-R

b) 30+r:606:60-30,=30

Verirtcare: 30 + 30 = 60

b)

avem:a) . t+20=50

a: 50 20a=]0

40 30 10 50 70q+20

b 30 50 60 40 l09ob

Rezolvare:40 30 10 50 '70

a+20 60 50 30 '70 90b 30 50 60 40 l0

9o-b 60 40 30 Jt, 80

Velijicarc: 30 + 20 = 50

38

a -20:704=20+70a:90

Verirtcare:90 20 ='t0

a+50=100a:100-50a=50

VeriJicare: 50 + 50: lO0

a- 30:30a=30+30a=60

Verifcare: 60 - 30 = 3O

Carc este numarul necunoscut?a)a+(20+30)=70

(50+20)+D=90

50-D=30,=50_30b=20

Vetijicate: 50 - 20 : 30

50+b:80b=80-50b-30

I/erilicare: 50 + 30 : 80

'10 b= l0b =70- 10b: 60

Verificare: 7O- 6O -

lO

b) (80-10)-a=40(90 70)-,

-

0.

b) (80 - 10) d :40'10-a=40a ='70 - 40a:30

Verificare:(80-10) 30=70 30=40

(90-70)-D= 02O-b=0b=20-0b:20

I/erificarc:(90 '70) ,20: 20 - 20

-

o

Rezolvare:Atentie! Rezolvdm mai intai parantezele, apoi aplicim formulele anterior

notate.a)a+(20+30)=70

a+50=70a=70 50a=20

l/erijicare:20+(20+30)=20+50='10

(50+20)+b=90'70+b=90b=90 '70b :20

Yerifcare:(50+20)+20=70+20=90

39

Gisegte in loculiile sa fie adevAmte:

a) 36 -26 + =+

E 5r A numere lormate numai din zeci. asl lel ca rela-

A 100: b) 18 32 E-A q0:c)a+- +25+45:100.

Rezolvare:Atentie! Exista mai multe solulii.a)36 26 + E +A :100

l0 +10 +80 =100l0 r20 +70 :100l0 +30 +60 :100t0 +40 +50 :100l0 +50 +40 = 10010 +60 +30

-

10010 +70 +20 :10010 +80 +10

-

100

b)18+32+E A:9018+32+ 50 - 10 =90

c)A.+Ef +25+45:10010 + 20 +25+45=10020 + 10 + 25 + 45: 100

Calculeazd:a) '70+ 4

3 + l050+ 250+ 6

Rezolvare:a)10+ 4=74

3+10:1350+ 2:5250+ 6:56

80+ 76+902+404+20

80 + 7:876+90=962+40=424 + 20:24

90+ 24+80

30+ 5I +90

90+ 2:924+80:84

30+ 5:35l+90=91

94:90+?83: 3+?5'1 = 50+?15 = ? +'10.

94=90+ 483: 3+805' ,1 :50+ 7'75:5+'70

b)

b) c) d)

d)

Calcul40

5ft!-

l0 + 9 0 + 7 0+l '77

8 0+4

5 0+3

T-- n--l!n

40

ftft-

20+9

!-E64-60ftft-Rezolvare:40+

545

3 0+3Etr_

54-4

tr-E

80tr-E'7 2-

2fltr-

8'7 -7tr-tr-

'70E!-

93-90

Frr-r-LJL]

40!-E

9 3-3

n-E5 8-

8tr-tr-8 0+

45 0+

37 O+

790+

7l0+

I

93-3

93-90

8 7-,]8780

3 0+3

2o+9

53 84 97 77

29 80 90

588

42-402

544

64-60

50 50'1 0

Completeazi, pe caiet, fiecare tabel:Termen 20 50 4 9Termen 8 2 60 70Sumi

Rezolvare:Termen 20 50 4 9Termen 8 2 60 '70Sumi 28 52 64 79

Termen 81 81 35Termen I 80 5 30Diferente

Termen 81 8l 35 35Telmen I 80 5 30DiferentA 80 I 30 5

Completeazi cu semnele astfel incat egalitetile se fie adev6-rate:

a)20+ 4422-2 b)36-6E20+20 c) 67_60[10+97+50n87-7 30+7!63 3 30+30n67_7.

4l

Rezolvare:EgalitSlile devin adevArate folosind semnele , astfel:q2D+ 4 e22-2 b) 36-6 E20+20 c) 67-60 E 10+924 ezo 30

7+50 887 7 30+757 E8o

7 Ere30+30 E67-7

60 E 60.

Rispans: Numdrul este 59.

E+o!e:- :Eeo

Cu cat este mai mare suma numerelor 80 qi 9 dec6t diferenta numerelor64 ii 60?

Rezolvare:Problema poate fi rezolvafi astfel:1) Suma numerelor 80 9i 9:

80+9=892) Difercnla numerelor 64 li 60:

64-60=43) Cu cet este mai mare suma decdt diferenta?

89 4=85Scrierea subJbrmd de exerciliu a rezolvdrii problemei:

r80 a) t04 o0) 85.-R.isp,r.r. Suma este mai marc cu 85.

Din ce numdr trebuie seJ scidem pe 7 pentru a obline suma numerelor50 fi 2?

Rezolvare:Scriem problema sub forma rmui exerciliu, apoi rezolvem:

x '7=50+2.r 7:52 (D:S+R)x=,1 + 52x:59

42

La o intecere sportiva parricip5 40 de fete, 7 bdieti qi 2 pfofesod.Cate persoane participd Ia concursul sportiv?

Rezolvare:Cate persoane participe la concursul sportiv?

40+7 +2-49Rd,iprr.s. 49 de persoane.

AflA diferenla dinte cel mai mare numer de doud cifre care are cifra uni-tililor cea mai micd diferitA de zero $i numarul 90.

Rezolvare:Numarul de doud cifre care are cilia unitdtilor cea mai micA diferitA de

zeio este 91.Diferenta numerelor este: 91 90 = 1.

Rdtp'r?sr Diferenla este 1

Calculeazd diferenta dintre cel mai mic numdr de doud cifre care are cifraunitAlilor cea mai marc si numAld 10.

Rezolvare:Cel mai mic numir de doud cifre care are cifra unitAlilor cea mai mare ci-

frA este 19.Diferenla numerelor este: 19 - l0 : 9-

Xdrprrsr Diferenta este 9.

b5i c.daci : a 8ib a 10;c=b 70.Afli suma numerelor a,

Rezolvare:b=a+'70,:8+70

' b: '78

c:b- '70c = 78 -'70

43

Suma numerelor a, , $i c este:a+b+c=8+78+8-

:86+8==94

AflA valori le lui a. 6. r ri ,din egali la!i le:a=50+btb:c 20: c : 4 + dt d + 6 : 26.

Rezolvare:lncepem lezolvalea oe la ultrma relatlel

d+6=26

a=50+b

d=26-6c=4+20b:24 - 20a:50+4

, lntr-o clase sunt 25 de elevi. Dace 3 fete qi 2 bAiefi au plecat in curtea$colii, in clas6 au rimas tot atatea fete cat bAief.

Cd!i baie!i au ramas in clasa?

Rezolvare:1) Cdli copii au plecat in cutea gcolii?

3+2=5(copi i )2) Ce! copii au ramas in clasd?

25 5 :20 (copii), adici l0 fete $i 10 bdieli.Scrierea subformd de exerciliLt a rezolydrii ptoblemei: ,

25 (3 + 2):25 - 5 = 20, adicd 10 baieli ti tot atatea fete.Rdspurs: 10 fete qi

Un elev are 24 de timbre, altul 5 timbre, jar al treilea cu 8 timbre mai pu-{in ca primii doi, la un loc.

C6te timbre are al treilea elev?

10 baiei.

44

Rezolvare:l) Cdte timbre au primii doi elevi, la un loc?

24+5=29(t imbre)2) Cate timbrc arc al treilea copil?

29-8-21 ( imbre).Scrierea sub formti de exerciliu a rezolvdrii problenei: (24 + 5) - g :21

Rdspuns: 2l de timbre are al treilea elev.

15+ l '7 + 48 94-

55aO 2b abJt 2A 44

3q+ 87-b4 boEi j

87 -l07' . |

3 0+54

9 4-50

48-20

7+0

Rezolvare:Dupd inlocuirea literelor cu ciftele corespu.rzitoaxe avdm urmitoare cal-

cule scrise;15+ I40 4

28 44 84

Intr-o cutie sru'rt 2 bile negre mici qi 17 bile albe, din care 3 sunt mici, iarcelelalte mari.

a) Cate bile albe mari sunt in cutie?b) Cate bile mici sunt in cutie?c) Cate bile sunt in total in cutie?Rezolvareia) Cale bile albe mari sru'rt in cutie?

17 3 : 14 (bile mari, albe)b) Cate bile mici sunt in cutie?

2+3:5(bi lemici)c) Cate bile sunt in total in cutie?

2 + 17 = 19 (bile)Rdsputls: a) 14 (bile mari, albe); b) 5 (bile mici); c) 19 (bile).

45

lnlocuie$te stelulele cu cifre potrivite:*7+ )x=4s

Rezolvare;DupA inlocuirca stelu.telor cu cifie potrivite avem:

l7+28=45i

AflA cu cat este mai mare suma numerelor de doud cifre identice maimici decat 40, fala de cel mai mic numir fonnat din zeci $i unitlli, cu cifra uni_tnflor 9.

Rezolvare:Numerele de doud cifre identice mai mici decat 40 sunt:

t t ,22,33.Cel mai mic numar lormat din zeci qi unitdli, cu cifra uitAtilor 9 este 19.Suma numerelor este:

1l+22+33:66.Cu cat este mai mare suma numerelor de doui cifre identice fafd de nu_

mArul 19?66 tq 41.

nd.rp,r,r. Suma este mai marc cu 47 decat 19.

Ce nluner obginem dacd scAdem numdrul 14 din suma ,,vecinilor" numd_rului 2l ?

RezolvareiSuma ,,vecinilor" numdrului 21 es.e:

20 + 22: 42Care este diferenla dinfte suma ,,vecinilor,, ,i numerd 14?

42 - 14 -28.

46

-Rdsprrs. Diferenla este 28.

V. Numerele naturale de la 100 la | 000

Ceritrfel1, Scrie cu cifre; trei sute; o sutd doudzeci: patru sute,aptezeci,i doi;

opt sute pqisprezece; cinci sute ;aisprezece,

2. Un numir de tlei cifie poate avea suma cifrelor 0?

3, Scrie in ordine crescAtoare mrmerele | ,1.7'/, jO7,'770,semnul

10, Completeazd fiecare $ir cu umetorii trei termeni:a)497,498,499,. . . . . . . ; b)543,542,541,. . . . . . . ;c)125,130,135,. . . . . . . ; d)840,830,820,. . . . . , . .

11. Scrie cel mai mare 9i cel nai mic numir de t ei cifre diferite.

12. Determind toate nunerele cupdnse intre 300 ti 700 care au cifra zeci-lor;i unitAflor 8.

13. Se dau cifrele: 7, 0,2, 9 i i 5.Care este cel mai mare numir carc se poate scrie cu tlei dintre aceste ci-

fre? Dar cel mai mic?

Rezolviri:1. Avem: 300, 120, 472, 814 qi 516.

2. Ayem'. abc,a + b + c = 0. Nu este posibil.

3. Ordinea crescAtoare a numerelor este: 7, '17,70'7,'7'70 qr'7'/j.Deci:

'7

8. Ar,em:a) 333 > l3t;333 > 232;333 = 333,333 < 434;333 < 535, 333 < 636,

333 < 737. 333 < 838; 333 < 939.b) 333 > 13'1;333 > 247;333 < 357;333 < 467;333 < 571;

333 < 687;31J. 7s7;c) 333 > 148; 333 > 258; 333 < 368; 333 < 478; 333 < 588; 333 < 698.

9. Avem: 600, 308, 973, 804 $i 360.

10. a) 500, 501, 502;c)740,745,',|50;

l l. Avem: 987 fi 102.

12. Avem: 388, 488, 588 pi 688.

13. Avem: 975 $i 205.

b) 540,539,538;d) 810,800,790.

CeriDle:1. Cu cat este mai mate suma numerelor impare cuprinse intre 36 fi 40decat suma numerelor pare cuprinse intre 35 gi 39?

2. M-am gandil la un numar. l-am ..micsoraf. cu dublul lui 40 ii arn ob!i_nut cel mai mic numix impar de doue cifte dife.ite.

La ce numer m-am gandit?

3, Suma a trei numere naturale este 98. Suma ultimelor doua numere este69, iar cel de-al doilea numdr este cu 5 mai mic decat primul numer.

AflA cele trei numere.

4, intr-o clasi sunt 25 de elevi. Daci ar mai veni 3 fete, numfiul bdiefilorar fi egal cu numdrul fetelor.

Celi bAief 9i cate fete sunt in clasi?

49

Rezolvtrri: ,:.,:. .1,.-Arvernl:(37-+39) 4 (36 +38):16 -'7a.:'2 .

2.Avdmr, | : r , ; : : .x-40x2=13

. ; . j . ' ! r :80=13. jLr :r=13+80x=93 I

3. Avem:a+b+c=gg. i ) ,b+c=69b=a-5

Dacd 6 + c : 69, atunci 24 + c = 69: c : 69 * 24;,c = 45.

4. Avem:F+B=25

' t . . , ,F+3.=8. .Daca F B =25,aruncil

t \ F: t

Vl. Adunarea 9i sciderea numerelor naturaledela0tat000

Se dau numerele: 542,135 91246.Calculeaz6:a) suma lor;b) diferenla dintre primul numir qi al doilea:c) diferenla dinfte suma p melor doud numere

numere.gi suma ultimelor doud

Rezolyare:a) Suma numerelor:

542 + t35 + 246 : 923 .b) Difercnla dintre primul numir qi al doilea:

542 t35 = 40i.c) Diferenla dintre suma primelor doud numere gi suma ultimelor doui

Ilulnere:(s42 + r3s) - (13s + 246) = 6,7't 381

- 296.

Un elev are o carte de citit. Dup6 ce a citit in prima zizi cu 27 de pagini mai pulin, constata cd mai are de citit incd

Cate pagini are cartea?

Rezolvare:1) Cate pagini a citit a doua zi?

1sl - 27 = 124 (pagi,ni)2) Cate pagini are caxtea?

151 + 124 + 189 = 464 (pacini)

151 de pagini, a doua189 de pagini.

Rdspuns. 464 de pagini

Ce numtu tebuie se scad din 792 pentru a ob(ine suma dintre 137 si 4g?

! l

RezolvarelA'tent'792-a: l3'1 + 48

'792 a- 185a: '792 185a: 60'7

Un ghiozdan costa cu 87 lei mai mult decat 3 penare de acela$i fel.Cali lei costd ghiozdanul daci un penar costi 27 lei?

Rezolvare:1) CA.ti lei costa 3 penare?

27leix3:8l le i2) Cali lei costa ghiozdanul?

81 lei + 87 lei: 168 lei,Rtuprrs. Costul este 168 lei.

Un elev a avut o sume de bani. Dupe ce a cumpdt o cafie 9u 145 lei li unstilou cu 99 lei, maiprimeqte de labunica lui 390lei ficonstatd cA are 900lei.

Cdli lei a avut?

RezolvareiNotim suma de bani awti de elev cu.t. Avem:

x-(145+99)+390:900"r-244+390:900x 244:900 390x - 244: 5lOx=510+244x:754

Rdspuns: 754lei..

Primul termen al unei aduiri este 217, iar al doilea este cu 103 mai mare.Care este suma celor doui numere?

52

Rezolvare:I ) Care este al doilea rermen al adunArii',

217+103=3202) Care este suma celor doud numre?

217+329=537.R.isp,rj. 537 este suma numerelor.

La diferenla numerelor 836 qi 409, adaugi numdrul 260.

Rezolvare:Avem: (836

- 409) + 260 = 687

intr-un tren erau 42g de c6l6tori. La prima stalie au coboret 67 de celetori$r au ucal 3q.

Cali celetori srmt in tren dupi prima statie?

Rezolvare:Cali ciletori sunt in tren dupi prima statie?

429-6"1 + 39 = 401.

Mihai coleclioneazd timbre. Din acestea 124 sunt cu flori, cu 27 mai mul_te sunt cu animale, iar rcstul, panA h 400, sunt cu fluturi.

Cate timbre cu fluhd a colec{ionat Mihai?Rezolvare:Notdm cu.r numArul timbrelor cu fluturi.1) Cate timbre sunt cu animale?

124 27= t5 t { t imbre)2) Cate timhe sunt cu fluturi?

124+ l5 l + x:400275 + t: 400x=400-2'75r : 125 (timbre)

Rdspu s: 125 de timbrc.53

La ce numer trebuie sd adun diferen,ta numerelor 321 fi 170 pentu a ob-tine suma 508?

Rezolvare:Notim cu r numarul cerut de problema.

r + (321 - 170): 5081+ 151 = 508:r : 508 151x:J:) /

Rispllns:357 este 1rum6rul cAutat.Atenfie!in materialele anterior alcatuite s-au prezentat la acest tip de problemi

mai multe moduri de relol\arel Afla. apoi apiica !i aici!

La trei gr5dinile sunt 705 copii.AflA caf copii sunt in fiecare gddini16, $tiind ci in primele doui grddini-

Ie sunt 469 de copii, iar in ultimele doui sunt 471 de copii.

Rezolvafe:I+ +I I I :705I+I I = 469

II+I I I :471l) Cali copii sunt in a teia gredinila?

'105 - 469 = 236 (copii)

2) Cdli copii sunt in prima gr[diniF?'105-4'7t=234(copit)

3) Cai copii sunt in a doua gridinila?469-234=235 (copii) sau: 4'7 | -236 =235 (cop\i)

Rdspuns: I = 234 (copii); II : 235 (copii); III : 236 (copii).

54

Vledul are cu 25 de CD-uri mai multe decat trei prieteni de_ai sdi, careau, fiecare, cete 50 de CD-uri.

Cate CD-uri are VlAdul?

Rezolvare:1) Cate CD-uri au prietenii lui Vlidu!?

50 + 50 + 50 = 150 (CD-ui)2) Cate CD-uri are Vhdut?

150 + 25 = 175 (CD-uri)Rdrp4r.ri I 75 (CD-uri).

in trei biblioteci sunt I 000 de ci4i. in prima bibliotece sunt cu 125 dece4i mai puline decat in a doua. Suma c6r{ilor din biblioteca a doua Si a treiaeste 625 de cA4i.

Afla cate cA4i sunt in fiecare biblioteci.

Rezolvare:Reprezentdm gra fic darele problemei:

l',,I ) Cate ca4i sunt in prima bibliotecd?

1 000 625 :375 (ca4i)2) Cete cA4i sunt in a doua bibliotecd?

375 + 125 = 500 (cixti)3) Cate caqi sunt in a tleia bibliotecd?

625 - 500 : 125 (cA4i)Rdspuns: l:3'75 (c54i); Il = 500 (ca4i); I = 125 (ca4i).

La trei.posturi TV ruleazi int-un ad 1 000 filme cu desene animate. Laprimul post ruleaze 250 de filrne, la al doilea cu 125 de filme mai mult decat hprimul.

Afli c6te filme ruleazi la al treilea post.

Rezolvare:1) Cate Iilme ruleazi la al doilea post TV?

250 125 - 175 ( f i lmeJ2) CAte filme ruleaz[ la al treilea post TV?

1 000 (250 + 375) : I 000 62s : 375 (filme)Rdsputx: 375 d,e frlme.

La doua florarii s-au adus 445 de flori. respecrir 179 de flori. Diferenladintre numarul llorilor din cele doua florarii este cu 279 de llori mai mica decelnumdrul florilor din a treia flodrie.

Cale flori sunt in a treia llorArie?

Rezolyare:1) Care este diferen{a dintre numdrul florilor din cele doua floiarii?

445 - 3 '9 - 06 (nor i )2) Care este numirul florilor din a teia flordrie?

66 2lo = 345 ,qoti,Rdspuns: 345 de flori.

Intr-o sera s-au plantat 225 de groafe,2'|s de tffiidafifi, iax panselute cu199 mai putin decat garoafe qi tandafiri la un loc.

Cete flori s-au plantat, in total, in sera?

Rezolr are:l) Cate garoafe fi trandafirie s-au plantat in sere?

225 + 275 = 500 (flori)2) Cate panselule s-au plantat in sere?

500 - 199 = 301 (pansetule)3) Cate flod s-au plantat in sera?

500 + 301 = 801 (flori)Rdsplzs. 80l de flori

5l|

Fie A, B qi C tlei puncte care nu se afla pe aceeagi dreap. Dupe ce mA_sod lungimile segmentelor AB, AC 9i BC, precizeaz| care din afirmaliile ur_mAtoarc este adevdratA:

^

Vll, Elemente intuitive de geometrie

a)AB+BC>AC;b)BC_AC=AB;c) AC AB: BC.

Rezolvare:Pentru figura datd avem:a) A: b) F; c) F.

in figura urmdtoare, perimetrele triunghiuri-lor AOB, BOC, DOC $i AOD sunt in ordine: 18cm, 16 cm, 18 cm !i 16 cm.

DacA AC = BD = 10 cm, atunci aflA peri-metrul dreptunghiului ABCD.

Rezolvare:

R

c

P= l8= 16 cnXP = 16 }L ) l

C

Din datele de mai sus prezentate deducem cE I : 8 (cm) 9i / = 6 (cm),deci:

Pa,epL""gr, i :2x8+2x6 = 16 + 12 = 28 (cm)

D

P: l8 (cm) P = 16 (cm)

Un teren in formd de petrat cu latua de 88 m febuie inconjurat cu triranduri de salm6.

Cali melri de sdrma sunr necesari?

Rezolvare:Ppa6r=4xl :4x88m=352m352 m x 3 = I 056 m (lungimea total5 a sermei)

Prive$te desenul aleturat.a) Mdsoara segmentele de dreaptd OA, OB, OC, OD,

OE, OF,Ce poli spune despre lungimea acestor segmente de.

&eapta?b) Masoad segmertele de drcaptA AB, CD, EF.Ce po{i spune despre iungimea acestor segmente de dreapta ?c) Compare lungimea segmentelor de &eapt5 de la a) cu lungimea seg-

mentelor de dreapti de la b).

Rezolvare:a) OA = OB : OC : OD = OE = OF (raze);b) AB : CD = EF (diametru):c) Fiecare segment de dreaptd de la punctul a) este mai mic decat fiecare

segment de dreapta de la b).Aten{ie! Raza unui cerc este egale cu ] din diametrul acelui cerc.

Un ring de box, in forme de petrat, are latura de 4 m.Cat mAsoar[ cele patru corzi ale ringului?

Rezolvare:P:4xl=4x4m:16m.

^m"

5A

Lungimea totale a celor patru dnduri de corzi aflate pe marginea ringului

16mx4:64m.

Peretele casei mele, in forme de pdtrat, are latua de 3 m.Cat misoare lipca ce se pune pe marginea parchetului?

Rezolvare:3 m x 4 = 12 m (are gipca prinsA pe marginea parchetului, daca perelii au

aceleagi dimensiuni).

Ioana a desenat un pdtat cu latua de 5 cm.Cali centimetri are pe metrul pehatului desenat?

Rezolvare:P:5cmx4=20cm.

Tata vrea sd faci un gard de sdrmi gridinii de legume, in fome de pitrat,cu latwa de 18 m.

Cefi metri de sarmd va cumpfua, ttiind cA poarta, de un metru, va fi dinscandule?

Rezolvare:P: l8 m x 4 = 72 m (lungimea gardului, daci n-ar exista poarta)'12 m l : '71 m (lungimea gardului din same)

Adelin a desenat un pdtrat cu latua de 3 cm. Amalia a desenat alt patrat,latura fiind mai lungA cu 2 cm.

Care este perimetrul patxatului desenat de Amalia?

59

Rezolvare:3 cm + 2 cm = 5 cm (latura petratului desenat de Amaliti)P:4 x I

-

4 x 5 n= 20 cm (perimetrul pifatului desenat de Amalia)

Caleuleazd perimeful figurii de mai jos, ttiind ce latura fiecdrui pitrateste de 5 Crh.

Rezolvare:P=22x5cm=1l0cm

Vlll. Misuri 9i unitili de mtrsuri

intr-un sac sunt 70 kg de fiind, iar in altul cu 25 kg rdai putin.Cdte kilograme de fiind sunt in cei doi saci, la rm loc?

REzolyare:1) Cete kilogame de faini sunt in al doilea sac?

70 kg - 25 kg:45 kg2) Cate kilogame de liina sunt in total in cai doi saci?

70kg+45kg: l15kg,RdrprTrJr I 15 kg sunt ln total.

O canistrA confine l0 I de benzine. Tom doua cartistre $i dout bidoane decate 5 I de benzina in rezervorul ma'inii qi se umple. Rezefvorul are o capaci_tate de 47 l.

Cafi litri de benzind erau in rezervor?

60

Rezolvare:1) Cdli litri de benzine sunt in doue canisfe?

2.t0t 20(2) Cefi litri de benzina sunt in doua bidoane?

2x5l : l0t3) Cali ftri de benzind sunt in doui canistre $i doue bidoane, in total?

lO l+20 1=30 (4) Caf Ltri de benzind erau in rezervor?

4'1 l -30 l .=1'7 |Rdspuns: 17 t.

Didi are de trei ori mai multi bani decat Alexandra. gtefan are dublu cetAlexandra. Alexandra are 10 lei.

Cali lei au imprcuni?

Rezolvare:Reprezentem grafic datele problemei, relatiile dintue acestea:

l0 ie iAlexanOra -$tefan +-i

I.1) Cd{i lei are Didi?

l0leix3=30lei2) Celi lei are $tefan?

10leix2=20lei2) CAli lei au copiii impreunA?

30 lei + 10 lei + 20 lei:60 ierII.Din rcprczentarea grafic5 deducem ca suma totald este reprezentat[ de

6 pA4i. $tiind cA o parte (suma pe care o are Alexandra) este reprezentate de10 lei, atunci 6 p54i inseamne:

6x10lei=60lei

Didi

61

CalculeazS:56m+79m;843 m + 121 m'98m 79m;900 m 374 m.

Rezolvare:56 m + 79 m:135 m;843 m + 121 m: 964 m;98m-79m=19m;900m 374m=526m.

Penhu pregltirea bucatelor, la o cantind studeflleasca, s-au folosit intr-osaptemane 135 I de ulei, cu 289 I mai mult lapte, iar ofet cu 98 I mai pulindecdt ulei.

Cdri l irr i de ulei. lapre 1i oler s-au lolosit?

Rezolvare:1) Cai litri de lapte s-au folosir?

135 t + 289 rl = 424 t,2) Cafi litri de ofet s-au folosir?

135 I-98 t=3'7 (3) Cali Ltri de ulei, lapte gi olet s-au folosit?

t35t+424(+3' , t t :596 1Rdspuns: 596 |

Dintr-o livade s-au cules ?98 kg de mere, pere gi pmne. Mefe $i pere s-aucules 522 kg, iar pere 5i prune s-au cules 474 kg.

Cate kilograme de fiucte din fiecare fel s-au cules?

Rezolvare:LI l Catekilo$am d prune s-au cules?

798ke- 522ke= 276 ks2) Care kilogame de mere s-au cules?

798 kg - 474 kg = 324 kg3) Cdte kilograme de pere s-au cules?

522k8- 324k9= l98ke474 kg- 276 kg= 198 kg

lL : 522.kg + 47 4 kg: 996 kg (mere, duble cantitate de pere 9i prune)996 kg 798 kg = 198 kg.(cantitate de pere)

..: .5?2kg- l98kg=124 kg(cantitate de mere) .,47 4 kg - 198 kg = 27 6 kg (cantitate de pnrne),.

Rdspuns : 324 kg, I 98 kg 9i 276 kg' :

.

. . : : . : : . r . . , : l '

Evaluare(teste propuse pentru pregetirea concursului)

Cerin!e:

1, Deteminela) cel mai mic numdr natural format din sute, zeci gi unitali, scds cu cifre

diferite, apoi pe cel mai mare;b) cel mai mare numAr natual format din sute, zeci fi unit5fi, cu cilia

unitatilor 6, apoi pe cel mai mic in acelea$i condifii;c) cel mai mare numar nahral format din sute, zeci $i unit6(i, folosind

ciliele 9, 0 $i 5, apoi pe cel mai mic.

2. Observd, apoi subliniMa dintre numerele scrise in paranteza pe cel careurmeaz a in tirl

a) 1 11, 211, 317, 4l '7, . . .b) 123,234, 34s, 4s6,...c) 987,8'76,'765, 654, ...d) 119, 128, 131,146, . . .

(6t'7 , ' ,7 r ',t , 5t'7)('789 , 67 8, 56',7)(678,543,456)(155,164, t ' ,73)

3. Observe aranjarca:g 12 15 18 2r . . . 99 lO2

104 101 98 95 92 . . . 14 l1

a) Carui numtu din primul rdnd ii corespunde numirul 56 din al doileardnd?

b) Verifica daci nuioirul 56 se afld in al doilea rand.

4. care este cel mai mare numdr ab care indeplineSte pe rAnd:a: at+na =n;b) ab-ba : g.

5, Sc e toate numerele naturale de trei cifre diferite cu suma cifielor 7.

64

Rezolviri:

l. a) Cel mai mic numer natural format din sute, zeci $i unftefi, scris cu cifrediferite este 102, iar cel mai mare, in aceleagi condilii, este 987.

b) Cel mai maxe numdr natural format din sute, zeci 9i uniteli, cu cifraunititilor 6 este 996, iar cel mai mic, in acelea$i conditii, este 106.

c) Cel mai mare numer natu@l fomat din sute, zeci qi unit6ti, folosindciliele 9, 0 $i 5 este 950, iar cel mai mic, in acelea$i condilii, este 509.

2, Numerele care urmeazi in fiecare gh sunt:a) 517; cifta sutelor este in ordine crescetoer.e', 1,2,3,4, 5, ..., iar cifra

zecilor gi a unit?ifilor este acea$i: I fi 7;b) 567; cifra sutelor este in ordine crescetoarc', l, 2, 3, 4, 5,..., iar cifrele

zecilor $i unitelilor sunt numere consecutive scrise in ordine fiescitoare;c) 543; cifra sutelor este in ordine descrescito[e..9,8,'7,6, 5, ..., iar

cifrele zecilor $i unitalilor sunt numerc consecutive scrise in ordine descresca-toare:

d) 155; cilia sutelor este identicr, adici l, cilia sutelor este scrisi in or-dine qescatoaxe: 1,2,3,4,5,..., iar cifta unitdti lor este scrise in ordine des-crescatoare: 9, 8,7,6,5, ... .

3. a) ObservAm ce suma numerelor din cele doue $iruri este 9 + I04 = 12 ++ 101 : 15 + 98 = l8 + 95 =21+92- . . . :157 + 5q.

b) Dacd numdrem dir? 3 ia 3 in ordine descrescatoarc pomind de la 104,ajungem la 56, iar daci pomim numirarca din 3 in.J in ordine crescitoare in-cepdnd cu 9, ajungem la 57.

4. a) ab+ba =88loa+r+l0r+d:88l la+l lD=88l l (a+r)=88a + b:87+1=86+2=85+3:8

b) ab-ba : 9IOa+b-( l0b+a)=99a-9b=99(a b): ea-b: l9 8:18-7=1'7-6=l

65

Deci, cel mai mare numdr

-

Avem: 7l + l7 : 88.

Deci, cel mai mare numdr6a este 98.Avem: 98 - 89 = 9.

1.

5. Numerele natwale de trei cifte dife te. cu suma cifrelor 7 sunt: 106. 160.124, 142,205, 250,214, 241, 304, 340, 403; 430, 412, 421, 502, 520, 601 $i610.

Numercle 86, a gi , sunt consecutive.Ce valori au a gi b?Care dinLre aceste trei numere sunt pare?

2. Stabilegte care dintre propozilii sunt adeverate (A) $i care false (F):a) Daci la un numdr par adAugam 3, atunci suma este un numar par. !b) Dace la un numar impar adiugim 6, atunci suma este un numdr

impar. !c) Suma a douA numerc este un numAr par daci tel'rnenii sunt nume-

re pare.

3. a) Calculeaz6:2+3+4+5+6+' ,1+8+9+10 I I 1-1-1-1-1-1-1.b) Scrie..\ecinii" numbrului descoperit ca reTullal.

4. Vlidu! numerd din 2 in 2 qi ajurge la numdrul 75. Biiatul a inceput sdnumere de la unul dintre numerelet 60, 36 sau 49?

5. Scrie cate u1 tir de:a) cinci numere cuprinse intre 17 fi 30;b) pafu numere consecutive pare cupdnse intre 59 qi 69;c) paau numerc consecutive impare mai mici sau egale decet 70 $i mai

mari sau egale cu 60.

!

Cerinfe:

66

Rezolviri:

l. A, Avem: 86, 87 gi 88. Numerele consecutive sunt scrise in ordine qes-cdtoare; cele pare sunt 86 gi 88.

B. Avem: 86, 85 $i 84. Numerele consecutive sunt scrise in ordinq des_crescdtoarc; cele parc sunt 86 $i 84.

2. a) F (Suma dintre rm numir par qi unul impax este un num5r impar.)b) A (Suma dintre un numlr impar 9i rmul par este un numfu impar.)c) A (Suma a doui numerc pare este un numir par.)

3. a)2- l+3 l+4- l+5-1+6 l+7 1+8-1+9-1+10 l :

: 45.b) ,,Vecinii" numirului 45 sunr 44 $i 46 (44, 45,46).

4. VlAdu! pomelte nunerAtoarea de Ia numerul 49 pentru ce numai sumadintre un numAr impar gi wul par are ca rezultat un numAr impar.

Avem: 49, 51, 53, 55, 57,59, 61,63,65,67,69,71, j3 9j '75.5, Avem:

a) 25, 26, 27 , 28, 291'b) 60, 62, 64, 66tc)63,65,6'1,69.

Cerinfe:1. Se dd suma: 15 + l '7 + 19 +25+27 +29+ l l + 13 + t5 +21+23 +25.

a) Calculeazd rapid suma prin gruparea termenilor.b) ComparA rczultatul obtinut cu predecesorul numdrului 241.

2. Dacd adunam un numar cujumetatea sa $i sfertul lui, obtinem 707 707.Care este numArul?

3. Fie exerciliile:a) 2 0ll + (936 - 2'74)lb)20rr (936 + 274);c) 2 0tt (936 2'74).

i) Calculeazi respect6nd parantezele.ii) Calculeazd desfrinland parantezele, apoi comparA rezultatele.

4. Intr-o cufie sunt 12 gdini, 8 rale, iar in alte curte sunt de 5 ori mai multegaini ti cu 20 mai multe rale decat in p ma.

Cate gAini $urt in a doua cu1te?Cate rate sunt in a doua cufte?CAte peseri sru1t, in total, in cele doue cu4i?

5. Robeft arc l0 ani, iar fratele seu catjum[tate din varsta lui. Tata are vars-ta egald cu produsul nlnnerelor ce reprezinta varstele copiilor sdi, iar mamaeste cu 3 ani mai micA decat tata.

AflA varsta fiectuli membru al acelei familii.

Rezolviri:1. a) Se gmpeMe termenii astfel:

15+17+19+25+2' ,7+29+l l + 13+ 15 +21 +23+25=(15 25 | l5 25r t l -* lJ- lq- I l t - \21 -2q+23+21)

:80+60+100:= 240.

b) Prcdecesorul numerului 241 este 240. Comparand, observAm:240 = 240.

2. Reprezent6m grafic datele problemei:,----,1------- nunerdl-

i lnnarared numarutur r

-0-'0-t- iferrulnumirulur )

7xP=1u71"p: 101 l0l (slertul numinilui)

Carc este numfi1 ?101 101 x4=404404

68

3. D a)2011+(936 274) =-2011+662=:2 6'73

c) 2 0r1 - (936 - 274) =:2 Olt - 662 ==1349

il) a)2 0ll + 936 2'74=:2947 2'74== z 6'73

c) 2 Oll - 936 + 2"t4 ==1075+274==1349

Compadnd rezultatele calculelor, observAm cd am oblinut aceleagi rezul_tate. Atenlie lnsi la desfiinla.rea parantezelor ahmci cand avem semnul minusin fala paraltezelor. Vezi exemplele b) qi c).4. 1) Cate geini sunt in a doua curte?

12x5=60(saini)2) Cate rale sunt in a doua curte?

8 + 20 _ 28 (rate)3) Cete pisdri sunt, in total, in cele dou6 cu4i?

12+60+8+28 =Ehni ml.

=72+ 36 =: 108 Onseri)

Rdsprru.. 108 peseri.

5. l) Ce varstd are ftatele lui Robelt?l0ani :2=5ani

2) Ce var$d axe tata?l0x5:50ani

3) Ce v&sti are mama?50 ani - 3 ani = 47 ani.

Rdsprr.i. Robert: 10 ani; fratele:5 ani; tata: 50 ani; mama:47 ani.

b) 2 ott - (936 + 2't 4) =-2 011- 1210-: 801

b) 2 0Ir -936 -214== | 075 -2'74=:801

69

SUBIECTUL I. La exercifiile 1,2 Si 3, incercuiette litera corespunzitoare rispun-

sului corect,1. Scrierca corecte a numixul douazeci si nou[ este:

2. Cifra unitiilor este mai mic[ decat cifra zecilor in numirul:4.2;

A. 48; c.71;

4.121' B. t8; C.2Ol

C. 92t D.29.

D. 99.

D.30.

B.9;

B.69;3, Suma numerelor nalurale pare de la 0 la l0 esle:

. La exerciliile 4 $i 5 une$te corespunritor.4. G5se$te in coloana B ,,vecinii" numerelor date in coloana A:

A"l53I9

5. Penhl fiecare numir natural dindin coloana B:

A0

6, Sc e toate numerele mai mici decat 24 qi mai ma decat 17.7. Sc e in cdsu{d numerele naturale cu 3 mai mari decat umdtoarele numerc:

8, Sc e in,,cesuF" numerele naturale cu 3 mai mici decat urmAtoarele nu-mele:

e -+f_l / +L l ro rf- l t3 +f l .

-

---'rt " 'r l l s-+f l 10-+f l rJ +L l

9. AflA numirul necunoscut din egalitatea 3 + 4 = lO a.10. Mama coase intr-o ore 5 qervefele.

Cate lelvelele coase in 2 ore?

SUBIECTUL IIINumerele de pe ,,cAsutele p $terse. Completeazii.o$tale" stult

tT.6Flrn-ll1r l . . . l . . . l

o) c) 3 46 8 9

SUBIECTUL IVScrie suma, diferenta cu rezultatul notat pe ,,acope $1,, fiecerei ,,cdsufe,,.

Rezolviri:SUBIECTUL Il. D; 2. C; 3. D.4, B

8, 10)L4,66,80,2

A'75

7l

5,

2 404.

4. A\ern.952 -259 + 102:'795.

5. a) 156 + 629 = 785; b) 500 - 345 : 155;c) 2'78 + 629 :907; d) 155; 785; 907.

6. 1) Cete kilograme de legume s-au adus?256 kg + 15 kg = l l l [g

2) CAte kilograme de fructe $i legume s-au adus?256 ke + 21 | kg: 527 ke

Rdspuns: 527 kg.7. l) Cali kilometri a parcurs bunicul in a doua etapd?

I l3 km + 103 km = 216 km2) Cali kilometri a parcun bunicul in a treia etapd?

113 km + 216 km:329 km3) Care este distanfa dintre cele doui localitali?

113 km + 216 kln + 329 km : 658 kmRrispzrr.r: 658 krn (Varianta D)

14

Cerinfel1. Calculeazd:a) 284 + 458i

362 + 2',79;405 + 87;

'7 + 438;

b) 456 -3"t8t504 + 265'600- 39;432- 6tr25 - 89.

2. La suma numerelor 234 Si 453, adaugA diferenla numerelor 123 9i 79.

3. Carc este numArul necunoscut, ln fiecarc caz?a+481 =800; 3 '12+b=612. 900-c:338; d t23=59.

4. Dac6. a + b = 999, lar a - b = 1, afld ce v aloarca arc a, Dar b2

5. CAte pagini mai are de citit Bianca dintr-o carte care are 246 de pagini,dacd a citit 179 de pagini?

6. Cate kilo$ame de zaher au rSmas la un magazin, dacd din cele 600 kgde zahdr existente s-au vandut intr-o zi 29 kg, iar in alta 87 kg?

7. La un magazin sportiv s-au adus 999 perechi de adidagi. in prima zis-au vandut 332 de perechi, in a doua zi cu 124 de perechi mai pulin decat inprima zi, iar in a treia zi cu 104 perechi mai pufin decet in primele doud zile laun loc.

NumErul perechilor de adidagi rimagi in magazin spre vanzare este:B. 16; c. 15; D. 51.

Rezolviri:l. a) 142; 641; 492; 7 18, 445t b) '/ 8;'7 69l. 561; 426; 36 .

2. Ave'Jl: (234 + 453) + (123 -'79) = 68't + 44 = i3I.

3. Numerele necunoscute sunt:a: 800 .- 481 b=612-3'72 c=900-338 d:59+123a=319 b:240 c:562 d: 182

4.Ayem: a+b=999a-b= | Adunem cele doua relalii2 a 1000a . I 000:2a:500

Dace 11 = 500, atunci avemr 500 +, = 999. r:999 500; 6:499.

5. Avem: 246 179: 67 (paeinll

6. Avem: 600 kg - 29 kg - 87 kg = 484 kg.

7. I ) Cite perechi de adidagi s-au vdndut in a doua zi?332 - 124 = 208 (perechi)

2) CAte perechi de adidati s-au vandut in primele doua zile?132' 208 -540 (perechi.)

3) CAte perechi de adidati s-au vandut in a treia zi?540 - 104

-

4Jb {perechrJ4) Care este numirul per(chilor de adidari rdtnaii in maga/inl

999-(332+208+436):999 976:23 (perechi) - Var ianta A.

l l. Numere naturald de la 0 la | 000

Andrei s-a hoterat ca din culegerea de matematici, care are 160 de pa-gini, sd rezolve exercilii numai de la paginile care au la zeci cifra 3.

Care sunt acelea?

Rezolvare:Paginile care au la zeci cifra 3 sr.urt: 30, 3I, 32,33, 34, 35, 36, 37, 38 $i

39, precum qi 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138 9i 139.

Afla toate numerele naturale formate din zeci gi unitili care au cifra zec!lor mai mare cu 2 decat cea a unitefilor.

Rezolvare:Atengel ab, a + 0; a = b + 2t a e 12, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) ; b e {0, t, 2, 3, 4,

5,6,7 | .Numercle natrrale formate din zeci $i uniteli care au cifra zecilor mai

mare cu 2 decat cea a unitiflor sunt:20, 31 , 42, 53, 64, j 5 , 26 qj 9'/ .

AvA.nd cifrele 9, 0, 3 ti 6, forrneazd loate numerele naturale posibile dinsute, zeci $i unitdli in care fiecare ciftd.ie id o singuri date.

Rezolvare:Folosind ciftele 9, 0, 3 qi 6 se pot forma urmetoarele numere:306, 309, 360, 369, 390, 396,603, 609, 630, 639, 690, 693, 903, 906,

930, 936, 960 5i 963.

Afld toate numercle nahuale parc de forma a2b .

Anca locuiegte pe strada Ranetti.a) Afl6 ce nurn[r are la casa, dace in stenga este 667, iar in dreapta 671.b) Continue tirul crescitor cu ince 5 numere impare, apoi scrie cu litere,

numercle gesite.

Rezolvare:Numerele de lorma aZb, cu a ? 0, unde a

{0, 1,2,3,4, 5,6, 7, 8, 9} sunt:120 220 320 420 520122 222 322 422 522

128 228 328 428 528

e \1,2,3,4,

620 720622 722

: :

628 ',t28

5, 6, 7, 8,9) 9i820 920822 922

828 928

77

Rezolvare:Atentie! Numerotarea caselor, dacd acestea sunt codstruite pe ambele

pe4i, se f'ace pe o parte cu numere pare consecutive, iar pe alta cu numere im-pare consecutrve.

+ 1-\ i.\a)A\em ll111l Eel ElLlb) 667 , 669, 6',7 r, Q3, 6',7 s, 6',7',7 , 6',19, 681 .Avem sqierca in litere: $ase sute Saptezeci gi trel;

fase sute gaptezeci 9i ciiici;$ase sute Fptezeci ti gapte;lase sule $aplezeci t i nouit!a)e lule optzeci i i unu.

Folosind numai cifrele 0, 4 9i 7, si se sc e toate numerele de foma aDc,lespedlv aad ,

Rezolvare:Numerele de fonra abc folosind riumai cifrele 0, 4, qi 7 sunt: 407, 470,

704 qi 740.Numerele de forma iaa folosind numai cifrele O,4, Er7 sl:mti 444 ti 77'7.

Scrie cel mai mic numtu natural ti cel mai mare numer natual format dintrei cifre care:

a) au cifta unitdtilor imparA;b) sunt formate numai din cifre pare;c) slu'lt fomate din cite consecutive:d) sunt formate din cifre distincte.Rezolvare:a) 101;999;b) 222:888;c) 123; 789 (numir fomat din cifie in ordine crescitoare);

987 (numdr format din cifre il ordine descrescatoare).b) 102;987.

78

Gise$te toate numerele naturale fomate din trei cifre, a c6xor sume sd fiemai mici sau egald cu 6.

Rezolvare:abc , a +0.Numerele fomate

cu 6 sunt, de exemplu:100, 101, 102, 103, 104,. . . ,501,510,600.

din trei cifre, a ciror sunA si fie mai mici sau egald

105, 110, l1 l , t l2, t l3, t l4, 121, t3r , t4 l , . . . ,200,

a) Afle toate numercle de foma abc, cl a, b gic, cifre parc consecutivescrise in aceasti ordine.

b) ComparA numerele descoperite!c) Scrie ,,vecinii", numere pare ale acestom.Rezolvare:a) Numerele de form a ifi, at o, b gi c, cifre pare consecutive scdse in

aceasta ordine surt: 246 fi 468.b) 246 < 468 san 468 > 246

248470

a) Cate numere natuale de tlei cilie se pot forma