157388610 Carti Caiet Sa Scriem Corect Clasele 1 2 Ed Paralela 45 TEKKEN
Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
-
Upload
sorina-matei -
Category
Documents
-
view
259 -
download
2
Transcript of Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 1/64
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 2/64
Artur
Biliuci
C()NCURSURINTENJUDETEN
I
tsf50
B0TO$aNENE
CI-ASELE
V
-
VIII
DIMITMEPOMPEIU
RIIATENAU
A$
- EOTOqANI
MICilTATflUATIEIEM
Editura
TAIDA
-
rA$I
*
eds
bp
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 3/64
@ Editua
TAIDA
Societatea
e
Stiinle
Matematice-
Filiala
Botosani
EDITARA
TAIDA
l.,ti
Sjr:.yasil Lapu,nr. 70-74, Lp3,sc.3,et. 3, dp.12,Idri_ 700309
TeVlax.
0232.270250;
sm.
0744.320323
www.editurataida.ro;
nw.eduzone.ro
criefea
CIP a
BibUotecii
rriotrale
a Romeniei
Con.rrsuri
nt€rjudelen€
oto nrene
Ia$i,
AIDA.2006
p.64;
:1x
20cnr
(Didadica)
tsBN:
973-7980-74,3
1.
Artur Bttnucn
371.218:373
5
www.editurataida.ro
www.eduzone,ro
Bdlducd
Artut,
Sr'. Aleea
Noud,
nr, 2,
se.
D, ap,12,
Cod.
710080,
oto$ani
T
evfax.
023
1.5
8272 ;
CSM.:
0745.
S1
2S3S
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 4/64
PREFATA
Am apucal vremecendse nscAunase
inspreRaserit
o
vorba
de fal-a:
Noi muncim,nu gAndim
Md tem
ce o sa
apuc
alte vorbe falnice
dinspre
Apus: try'oi
cAgfigdtu,
nu
gArrdirh
Sd, ie
pe
la
casele or
gAndurile
astea
Unii aveau
putere4
atii
au banul
(ceea
ce e cam
acelagi ucru),
noi ne mai
apdfim
(ceteodatl)
sdrdcia
Si
nevoile
Si
neamul.
Avem copii sinitosi, cumitrli $i de$tepli.Mai bdntuiepe
la
unii
gandul
cAor trececa
gdsca
prin
apd
i
or ajunge
a ceidi
cu
colaci n coad6.
Chiar
dacdor fi acuma
nulqi
de aceqtia,nu
ei
sunt mportanli
ti
nu de den$ii
atemedevenirea
oastE.
Cei buni,cu aplecare
predreapta
tiirlfd
matematicii,
s-au
depdns sAse
tot inteheasca
n concursuri:
Noi nu
tocim,
ci
gAndiw
Binuind cAd.eptatea stedepa.rteaor, colegii au strel1s
sclipiri de prin
conclrsuri
Boto$dnene
e s-au
invrednicit
de
Irumele
matematicianului
imitrie Pompeiu.
Poatenu vor
fi
prea
multe
pagini
se cade
greupeste
picioare,
dar este
aici
pilde
tijudecald
care
sa
priiasc6
min ilor
scodiroare.
MA
bucw cd am
a\,'ut bund
ocazie se
fiu
si
eu
pe
la
in ru.nrarile cesrea. asfoindacumacartea mj revin in fala
ochiloreroii
or: copii
nddrjiti
si.spargA nigme,
A e a$ezen
cugetare
impede,
i
binemerite
iplome
Si
p.emii,
s, inchege
drepteprietenii.
Poate,
exemplul or va
lndreptiti
shedanii.
Cu respect
alade
caice
gdndesc,
Proj,
univ. dn
Dan Bfinzei
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 5/64
ARGUMENT
in luna
lui CireEar, pe
meleagudle
Lucea{brului poeziei
romenesti,
elevii
claselor
V
,
VItr
qi-au
verificat
cuDo$tintele,
talentul,
pasiutrea
muncii
dar
Si
creativitatea
Si
odginalitatca
a editia
a V-a
a Crmursului
inteiude @[
de
matematici,,
Dimitrie
porrlpeia,,,
numede refeintb pentru
Scoala
ornatreascd
e
matemadce.
Concur$rl
este
ezultatul tilativei
Filialei Societdlii
de
gtiinte
Matematice
diD Boto|ad,
iar
numnnl
participanlilor
a clescut
de la
aD a an. La
edifa a VI-a
din 12
-
14 mai 2006,
au
participat
260
de
elevi ditr: Aryeg, Baciu, BistriFNAsaud, Br5ila, Buziu, Bucure5ti.
CoNtanta,
a$i, Neam',
Suceava,
aslui,
Vrancea,
Mffamure$.
Conqn$i
,pimitde
Ponpeiir''gi
Concurslrl
,I4icii
matematicieni.,
iniliat
de
$coala
Nr. 7 Boto$anipe
ru
elevii dir
clasaa IV-a,
aflat la
a lv-a
edilie, au
menireadescoperirii
de olimpici prin
valorificarea
capacitetilor
deatoarc
ale
viitorilor
perfome
. Ele reprczinii
un
omagiu
adus
$colii
boto :inene
de matematice
are s-a
afimat an de
an prin rczultatede excepiie a concusurilemfonale
ti
intematonale
de matematicd.
Reugita
$i
valoarea
concursului
au
fost
gaEntate
de
prezenla
rctrumitului profesor
uiv. dr-
Dan BrAraei
de la
Universitatea
,,A1.
. Cuza"
din Ia$i, pretedhtele
co[cursului-
La aceasta
e
adausi
FezenF
autodtetibr
municipiuluj
$i
judehnui
Botopru.
rcprezentan.ti
i
hspectomtelor
$colare din
judetete
participadte $i ai Comisiei
Centralea
Olimpiadei
Nationale
de Matemadce.
Orice conctr$ presupune
efort, incitare
a
spiritului,
emotie
Si
nelini$te,bucwia
reutitei
9i,
uneori
necazul
neimplinirii,
lndiferent
de
rezultat,
,,valorile'',
fie elevi
sau colegi
au intrat
in dialog,
oamenii
s-aucunoscut,
-au
apreciat
$i
s-au niripat prietenii
durabile.
4
A ur Bilducd
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 6/64
OAMENI
CARE
AUFOST
DIMITRIE
PoMPEIU
Cerc€mnd
oq ]Fntele de a$iv[
ale Liceului
de
Datemarica-fizic5
din
Do$hoi, am
constatat ,n,
rintre
absolventii
imDaziului
orohoian
din anul
1889
se numell
$i
Dimihie
Pompeiu;
prin
fala ochilor
mi-a
hecut
clddirca
modeste, hsa
h carea lNdlat
copilul
pompeiu:
,,M a
ap6$t i
falA u copil vioi, potrivit
de
stah{e,
smead,
u
ochii
negri, foarte
inieligent,
lnzestrat
cu o
vie
imaginalie,
care s-a
renralcatde la inceputca cel mai brur elev al gomotiei sale. L-am
rcvezrt, apoi
adolescent,
u o voi4[
darz5, cercetAnd
ceea ce
li
satisfdcea
spiritul
$i-i
incita sufl€nrl,,.,,
a5a
oum il
catuc,teilzea?d
profesorul
urfveNitar
M. Botez
$i
el fost
elev
al
girmaziului
din
Dorohoi.
Dimitrie
Pompeiu
s-a ntrscut a 22
sept€mbrie
1873
n comuoa
Broscluti,
la 4 km
de Dorohoi.A unnat
$coala
primad
Ia Dirnlcheni,
iar girmaziul la Dorchoi,undes-a remarcata matefiEticad€venindn
clasa
a &eia ezolvito
de
probleme
a revista
,Recreaiii
Stiinfifice,,
din
Ia5i. Problema
ou nr. 279
a fost
prima
rezolvattr
de el
fi
lncepend
u
aceastanumele
s6u va
fi lntelnit foarte
des ln
paginile
revistei,
ca
rezolvitor
de
Fobleme,
a c6ror dificultate
d€p5$ea regetifta
unui clev
de
giffiuziu.
Ii plicea
deopokivd
fizjca dpllaalA,
desenul,
$tiintele
naturii,
muzica
gi
arteleplastico,
itea nult,
descoperinduterea
tirii
interioarea lecturilor,
Dupe
absolvirea
Soolii
normale din
Bucure$ti,
utrqioneaze
ca
institutor
a Calafi,
Ploie$ti,und€ a
desfdsurt
o vje activitate
didacticA.
A lucrat
mult cu copiii
de clasa , aFopiindu-se
de ei
cu cdldur[
,i
duio$ie,
Prin cdtua,
amabilitatea
i
Feocuparca
ettru
lumea
celor
mici,
c4tiga
repede
stirna
i
rcspectulcolegilor
sei. Se
hotir4te
in acelasi
dmp sastudiezematematicilen loataplenitudineaor.
De altfel,
lntre timp devine membru
activ
al
Societ4ii
,,Amicii
Siiirtei
matematice".
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 7/64
In anul
189^8
leacA
h
Paris furpreunl
cu solia
sa,
pentnr
a-t
coniinuastudiile.
d
ciuda
greutAlibr
materiaie
datorig
darzeni€i
saie,
datodti
afecFunii
sotiei
sal€,Pompeiu
rece
examenul e
bacalaureat
i
urm€aza cuisurile
clasei
speciale
de natematici
ii
filozofie,
c€
corespundeaechiinoaste$colimedii,cu ultimileclaseale ic€ului real.
Devine
stude la
Sorbom n
anul 1900,
cand obtine
concediu
pentru
studii. iar
Sp u Haret
care
era ministrul
invaEln,inrului
si care-l
cuno$lea
ncade a
Frimele
alccomwricam
ecurea,.societatea
micii
$tii4olor
mai,ernatice",
i acorde
o bursA.
Arc ca
DrofesoriDe cei mai
ilustrimaterradcieniai
emii
ca:Poincad.
oeniga.
rcard.
6ours
...
In 1903
a licents,
ar la
3l martie 1905
doctoratuln
mat€maiici
cu lucrarea
Asupm
continuiti,tii
fimqiilor dc variabiEcomplexa'.,n
care
demoDsheazi
ontrariul
opiniei g€ncmle,
e existd imcii
analitice
miformq
continuepe
mullim€a singularitallor
1or.
Ac€st rezultat
a
surprins
umea Etematice
de ahmci
i
noutatearind
in contrazic€re
u
vechile idei
ldmane
uD timp
nerecunoscut;.
i
io tarb,
rezultatele
cercetirilor
lui Pompeiu,
sunt privite
cu
oarccare ezer\i.
Da tem
poarti girul
lui Poincarc cel
mai mare
datematicianl fimpului)
$i
este
gleu
se fie c,ombetut;.
Abia
in 1909.
marelesevant
rancezAnnand
Denjoy,Ia carese alAhrldPainlev€,aI?tA mportanF,corcctitudinea
i
eleganta u care
tenAnrl
matanatician
onan
rczolmse
prcbleme.
De
ajci
descoperirea
ase
mpuneniregji
umi.Acea,l6
emarcabilaucrare
a matematicianului
ornen
ructiicat5
de matematicienii
imoului.
a adus
glorie.
alal lui-
cdr
$i
poporului
osrru
care lcea asrlelp;imj pati
in
cucerirea
iintifi
cd ntemaf
onali.
Into$ in
lard
dupl
suslnerea ezei
d€ doctoEt
a fost numit
conferenFara Faqrltaleade gtiinledin la;i, undew predaun cws de
mecamc?i
enhlr
studenlii
de la
fizicorchimie
$i
un cws de calcul
diferenFal
i
integr4 pentru
shrdenliide a matematicA.
lo
1906,ocupi pdn
concurscatedra
de m€canica e
h secgia e
matematicA
Universitdli
din
Ia$i, undea finctionat
panA
n l9l
l. in
aceasu erioada
sre
Si
prolesor
upliniror
a LiceulNalional
lm laqi,
lmde n 1907
publcn
din insircinarea
Ministerului rstructiunii
publice
- monografiaiceului.
Dm 1911
l
gesim
a Bucureqti,
nde
ocupi catedra e mecaaica,
panl
h 1930,apoi a
catedra
e teoria lmctiilor;
ntxe imp a firnctionat
Ia catedra
e
g€ometri€
naliticd
de a
$coala
politehnicd
din Bucuregi.
6
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 8/64
In tifipul
primului rSdoi mondial a.e
pade
din
gtupul
celorl2o
de
profesod
mmani, riiEi$i
a Par4
pentru
a discuta reforlrt tladonale
a ov5falrl,antului.
Dupi Unirea
Transilvaniei cu Patria se ridice p'.oblerna
organizirii
nvdfernem.duiniversitar
Si
u ac€astA na a
Frii.
fnpreunb
cu rm glup de tineri rnatematicieniondeazi lrvdlimintul Inaten]atic l
Unive$itiJii
din Cluj.
REnEneceti, a ani la ClEj,
penn
cand
fcoala
matenaticA
e aici s-a fcut
cutroscotiin tarn
9i
peste
hotare.Conthue
apoi 15 ani se
pred€a
unar, cel
pulin
cete o lecFe a CIuj, av6nd
activitatcade baza la Udversitatea
dir Buct|Ieqti.Tot la
Clluj
pune
bazeleunei
publica$iperiodice
Matematica"
de circulaFemondiali la
carecolaboreazsa €n[r
din finnte
Fn
ale umii.
Anul 19 2 anunFo alte descoperiremportanda lui D. Pollpeiq
carc a trezit curiozitatea
umii
$tiinFfice $i
a
dat loc
la
numeroase
cerc€tari
dedv?rta reolad
-
(o
opera.tie
oui
cu caracter inEional).
De data aceash,
$coala
matematic5 omireascd a fost aceeacare a
adancit,a dezvoltat,
pus
n \Eloareno$uneanhodusade D. Pompeiq
lncepend u anul 1928
prin
M. Niculescq G.
Cnhgireanu,Gr.
Moisil,
E.
Ghermanescu
tc. tllteior
mul$ datemaricieni
stiini au extitrs
cercetirileui D. Ponqleiu.
Stipanea
arta de a
gdsi
r
problene
elementarc e aritmetici
ti
geometde
zvorul rmorcercetfticu carEcternall
Din dorinlade
a sadi tr sufl€fut ineretului
$coiar
diagostea
€trhu
rnaternaticb,
mpreune cu a$i maternaticieni,editeaza n
perioada
1929
1935utr numir de 8 rnaouale
olarc
de algebrS" riheticd
ti
geometdg
n mai multeedidi.
D. Pompeiu, n afam celor 129 de Demorii
ti
note Datematice
publicate,a a\,ut ,14de lucrbri cu caracterdidactic, de istoriografie
matematici
.a.
Lucrfile lui unanimcunosqrie
n
Fre
$i
peste
hotare, l impun
sawnt de rc[ume
mondial,
ti
ir1 1934, a 6l de ani, dupe apmape3
decenii de activitate
giioJfic5,
devirc mernbru
activ al Academiei
Ronrene,
in 1948
patri
la dec€s, a 7 octombrie1954a fo6t membru
titular
al Academiei Republicii PopulareRomane.Buc{randu-sede
prestigiupestehotare, tr 1934a fost numit ,,Doctorhonoriscausa"al
Universithtiidh
Va$ovia
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 9/64
,,^"^.4.p:dql,
al
doilea
Congres
ntenlalional
l
maEmaricrmilor
{rr.'6,
gr
ar
re,tea
congres
l
rnaternaticienilor
o(l.ed
1946)
ambele
linute
a
Bucuresti.
La
8 ianuarie
946.
and
-a nfiiEFt
nsdturul
e malemadca
l
Acaderruei
onxine,
ompeiu
a fostDumitdirector l acestuinstitut.
A^lost
sarbitorit
la 60
qi
Ia
80
de ani
cu care prilej
a fost
decorat
cu
,,Odinul
Muncii
clasa
..
qi
cu
,,Steaua
eoubliciii..
$coala
matenaticd
romaneasctr
i
datoreaz;,
io
mare patte
exrstenF
li
continuihtea.
eoarece
la
$iut
saarag6-
sasuslina
moralul
multor
lnen
maEmaticieni,
n
epoci
grele.
nlluenla
exeTcitalii
e
acesl
mar€
clesctlzdlor
de
drumuri
asupra
tinerilor
matemaricieoi
fost
:"""t$]ly"..
H
a atras
h
jurui
sau
pe
cei mai domjci s6 cercereze,ltrcuraJalou-t
tr
sustroandu-i
rin
caldura
imtirii
saie.
..
f
seminagl,
ne.
are
-a condus
imp
de
25 de
ani, a
Bucureqti,
reuflt
sa_
neasci
rBjoritatea
tinerilor
materuticieri
din
Bucuregti.
In
dmpul
conversaditor
qi
dezviluiapreocuptuile
e
moment,
ar
oosenan
e
salensemrjau
ezvoltari
eoretice
enE
ascullatorii
ai.
.
Ca
prof€sor,
D.
pompeiu
reldrsa
cu
un farmec
deosebit
$i
cu o
eleganF
uceritoare.
umina
adl de
origina,A.
ideilor
sals,asupn uturornolru lm
ii
metodelor.pe
care Ie
inf,liga
-mcdt
cursurile
sale
emu
lolcleauna
mtrrile
a
doua
$i
a Feia
oamde
rnarernaticieni
eja
onnai.
-
F-armecul
ecliilor
sale
se datoreazi qi
elegangei
expunerii,
qr^Ie+uIIil
i'arei
Si9lgrnalitadi
jcriunii.
ar
majates.
ogalei
de dei,
aoaDclml
lnletegeru
bpte]or
matemalice,
ncadr5rii
lor in
largi
idei
generale.
Fo4a
lui
de
pehundere,
abilitat€4
inspilalia,
originalitatea
deconcepFe prez€ntaree mbinaucu o
caldAdmgoste
ali de od,
cei ce
\,eneau
pre
l
sa-iceara
n
sfat.
A
Stiut,
animeni
altul,
sA reeze
ntre
toll
maiernarrcienii
in rara
Doastrd-
cel
spirit
de tovjr.tie.
inlelegere
adancA.a
peranlelor
triinlifice.
espectul
atd
demunca tiingifica
tc.
Lui Dimitrie
pompeiu
hebuie
sd-i aducem
un
omigiu
unaninr,
penbu
rcputalia
sa,
de
mult
consacmti
n lumea
qtiinlifrci
inversali qi
p€n&u
pozitia
pe
carc
o ocupl prinhe
cei
care
au adus
qtiinlei
noaste
bogbtii eale.
Prolesor
MIH4I
WERILT
Dorohoi
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 10/64
CONCURSUL
INTERJUDETEAN
,,DIMITRIE
POMPEIU"
EDIIIAI-2iunie2001
CLASA a V-a
l. La o
impdrtire
de numere
naturale,
suma
dintre
impirfitor,
cat
$i
rest
este egal6
cu
deimpdrfitul.
SI
se arate
ca mpexFtorul
este
egal
cu c6tu1.
2.
Sd se determine
un
numir impar
de numere
naturale
consecutive
clror
sumeeste
2001
3. Fie numerele aturale gi6 astfel ncdta < b. Sd
se
arute d.
a'*' + b"
3 a' +
b*t
,
oicate
ar fi.
n e N'
.
CLASA
a VI-a
4.
Fie triunghiul
AABC
crt
mEsurile
unehiurilor
ilirect propo4ionale
Cu numerele
2, 4
si
6
(m(<A)>m(<A\>m(<C)). ace
M
estesimetricul
v6rfului
I
fati de
dreapta
8C, iar
bisectoarea
unghiului.
*Bil.4C intersecteazi
dreapta
B
in N,
s6
se demonstreze
d
(AM)=(AN) qi
sd se calculeze
misutile
unghiurilor
triunghiului
i0r'C.
5. a) Rezolvali in mulqimea umerelor
ntregi
ecualia:
3xy+2x-5yt
L
b)
Sd se
aratece
pentru
orice numar
natural
nenul
n
are oc
negal i tatea,
*
1
*. . . *
1t5.
-
n+l
n+2
3n
6
6. kAtali cd nu existd trei numere naturale prime
astfel nc6.t
dun-4ndu-le
ou.i
catedoua
sa
se blind
sume
eau2.3 gi,
espectiv,5
ivizori
aturali.
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 11/64
CLASAaVII-a
7, Se se determine
e Z,
y,z
e Z' ce
verificd ela{ia:
t l
x+-:+:=2001.
yz
&SisearatecE:
#
b)3*:*
*
,lz*Ji ,la*,la
'
5
>:.
-6 '
2n,neN.
n\n+l)+ n\n+1)
(Niculai
Solomonj
9. Fie
ABCD un patrulater
onvex,
M e(AB)
e(CD)
astfel ncdr
4=*=0.
Constnrim
,fl ilAc,
AB CD
ir'eBC eiMQIIBD, eAD.
a) Demonstrati
i ,l4r'Pq
este
paralelogran.
b) Aflali valoarea
raporhrlui
ariilor
patrulaterefor
MNPQ
qi
ABCDin
tunclie
de t.
c) Afla1i t astfel
ncdt
raportul
ariilor
patrulaterelor
sI
aibi
valoarea
maximd.
CLASAaVII I -a
10. Si se ezolve
n lR:
1
a).r+
r l=
2.r ' i
|
+:
' "
2
b):r+[-r]>x[;rl, unde
i"]
reprezinti partea
inireagd numirului
real r.
l0
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 12/64
11.
Fie uncl ia l Ia,b)-+R;a
b,
. f
(x)
=
- ' ,
*
" '
m,n
eR,m 0.
a) ArAtaU e valoaxea
aximi a functieilfeste:
maxUb\flb)).
b)Dac'x,
y,
z,
a
b,c
e
[0,1],
demonshali
negalitatea:
ax
-l
by
*
cz - abxy-
acn
-
bcyz 130
.
l2.Fie
4
B, C, D
patrupuncte
necoplanare
stfel
ncdt
AC BD,ADJ-BC. Dac1t C
=
3
clr.,CD=3'fi
cm,
BD = 6 cm 9i distanla de la punctul I la planul
,^,6i
,
lu zr
(6rL
I
este de - cm.
7
Se
cere:
a) ArAtali ci
proiec{ia
ui I
pe
planul (BCD)
este
ortocentrulriunghiuluiMCD .
b)Determinali mdsura unghiului
diedru dintre
planele ,4
CD)
9i
(BCD.;.
c)
Sdsedetermine istanla e a B
la
planul
,4DQ.
EDIIIA a II-a, 18
mai 2002
CLASA a V-a
13.Dac|z'+l= pq,n2l,
ardtali
ip-1
9i
q-l
sedivid
cu aceeagi
utere
ui 2.
14. Pentni
vopsireaunui cub cu latura
de
6 dm se
folosrisc 80
g
vopsea.
a) Dacd
nainte de vopsire s-ar
inldtura
c6te un
cubulel cu latura de I dm, din fiecarecolt al
cubului,
cdti vopseaar fi necesard entru
vopsirea
corpului
[mas.
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 13/64
b) Daci
s-ar
6ia
cubul
vopsit in
cubulete
cu latura
de 2
dm, cdtd
vopsea
ar
mai fi
necesara entru
vopsirea
upmfelelor
oi apdrute.
15.
Si se
giseasci
toate
ripletele
de numereprime
4
b, c, care
satisfac
negalitatea:
bc
<
ab
+
bc
.l
ca,
unde a
esteun
numir prim gi
par.
CLASA
a
VI-a
l6.Fie
x,y,z
e
N', astfel
nc6t
numerele
;-3y,
3z,z +1, si fie directpropo4ionale u numerele
2,2x+3y,19.
a)
SAsedetermine
umerele;r,
z.
b) Sd
se arate
c6,
o+
yT
+
z-
-2
estedivizibil
cu
4
oicare
ar
fip,t,m
e N", umde
,
y,
z au fost
determinateapunctula).
17.a)
Calculal i
uma
+ 20+2'
+Z'+. . .2,0o' .
b)Fie
s=(-r)'
(1+
)+(-1)'
(1+z+t)+...+(-r)*.
. ( t+2+z'
+. . .+2,* , ) .
Sdse ezolve
n Z
ecua{ia:(2,
l)
.
^t
=
x,
-
4 .
18.Fie
riunghiul
4aC
scufhmshic
u[lB]
=leCl+lACl
Pe
latnrile
AB
9i
AC
se consideripunctele
]1
$i,
respectiv,
N
astfel
ncat
IBM)=ICNI.
picioarele
perpendicularelor
in
punctul
I
pe
dreptele
CM
gi
Bly'senoteazduD gi, espectiv,. Adtali c6:
a)
AI I DE,unde
E
a CO
=
{t\;
b) Triunghiul
Eleste
soscel,
ulde
l\
=AnetCA:
12
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 14/64
c) Punctele
, 1,
/ suntcoliniare.
d\DEIIBC
CLASA a \rII-a
19.
Sdse ezolve cualia:
2x'
*(2y
+l)x.+
y
=
2003, ,y
eZ .
20.
Se
se
arate A riunghiul,
vand
a aturi
diagonala,
inillimea
gi
linia mijlocie
a unui
trapez
soscel,
estedreptunghic.
21. n triLnrghiulsoscel BC, r:ulABl=llc], mnsidemm
D€(AB), E€(AC)
astfel
ncr i t
[er l=fno]
si
OU.;. Fie
F mijlocul
egmenrului
E. Not6m
Paaac={H}
eiAF.Bc={G}
Arrtati e:
^)
AFl=lFGl
b) HB
.
GC
=
HG
.
BG. (Sorin
Petigrad,
pite$ti)
CLASAa
\fIII-a
22. Sedd fraclia
7n3
8nz
3n+
4
neN
7n'+6n'
-5n-4'
" ' -"
a) Sd se
arate ce
daci n>-2
atttnci
fracfa
se
simplificf,
printr-un
numir
natural
mai
mare sau
egalut22.
b) Si se demonstrezeci existi o infinitate de
numere
aturale n
pentru
care
fractia
se simplificd
orin2002.
l3
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 15/64
23.
a) SI
sedetermine
elR astfelncdt
-L<x+a,
+x+l
pentru
orice
numdr,r
e R .
b) Aratati
cApentru
orice rl € N' avem:
.
8
27
n'
.n(3n+l)
+ - +
-
+....
+
__;______-:
J
I
n' -n+l
6
24.
1. 36 se
arate
cd daci
un tetraedru xe
oate elele
de
aceeaSi
rie,
atunci
aremuchiile
opuse ongruente_
2.
Se di
tehaedrul
ABCD
cu muchiile
opuse
congruente doud cate doua gi M
e(AB).
Considerim
Pe(AD)
astlel
rrcatsl'nna
MP
+
pC
sd fie
minimd
qi
Q
e BD
astfelca s;'rma
MQ
+
eC
s6 ie
minim6.
Secere:
a) Aretad E
W
+MQ =t.
PC
QC
bl Dacd
Re
AC astfel
ca,,l.1R nD
sA ie
minime
iar S € BC
astfel
ca M,S+,SD
i fie minimd
sd
se
arate
cd
punctele
@
g
R, P
sunt coplanare.
c) Determinafi pozilia
Ms
a
punctului
M
pe (AB)
astfel ncat patrulaterulQ,SRP i fre paralelogram
$i
demonstra|
e
(M.CD)
-L(Sep).
Editia
a III-a, 17 mai
2003
CLASA
a VI-a
25. Seconsideri umerele:
^123n
a+bt a+2b,
a+34
a+nb,
l4
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 16/64
a+bt
a+zbz a +3bj
a+ nb"
unde a,
b1 b2, bj,
pozitiven N'.
Dacd_:
=:
.
iar
n
B a'
cdB€N"
...,
,, sunt
numere
ationale
este numar par,
demonstrali
(Ioan
Ticalo,
Bota$an\)
26.
Gdsili elmai
micnum6x
ahralnenul
care
atisface
conditia:
aci
r? se divide
cu
p-l qi
p
estenurnIrnahual rim,
ahrnci se
divide up,
oricaxef
fip.
27.Fiehirmghiul
BC
si
EFllBC,
e(n),
r e(,tc)
.
Sdse
demonsheze
6,AB
=
BC
,
daci
gi
numaidac6
BE+
EF
=BC,
(gtefqn
nmandache,Buo\esti\
CLASAa VII-a
28, a) Determinali erechile
de
numerentregi (x, y)
astfel
ncAt
x' +3.
yn
=2n63'
b)
futtati
ce exista rei
numere
naturale
patrate
perfecte
ciror sume ste 003;
c) Determinali
umlrul real
x astfel ncdt:
rcJ +
u + sJas
-
x +
:
=
2003.
(C
o
ns ant n Gurtfi
Boto
a\i\
29. Pe aturile
rmui
tiunghi echllatet.al
BC,
AB=l cm,
sedeplaseazdoui puncteM qiN astfelncdtdrumul
lntre M
qi
N, misurat pe
triunghi,
si aibi lungimea
constantE
,5 cm.
S[ searaiecb
mijlocul segmentului
l5
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 17/64
[Aaf]
se
gds€$te
ntotdeauna
pe
laturile
unui
hexagon
i
sdse
calculeze erimetrul
acestuia.
1E"r;"
pdiil
,
n;,curegtrl
30. Se di triunghiul echllatffu,lABC delzt]Jlfia.
L) Dasd
M e(BC),
Ba
=
ac
qi
,Ve
(,aC),
calculafi
minimulperimetrului
riunghiului
B,4.dV.
b)Dacd
e
(Bq.
:-+
,
p
e
UD.
e
e (AC),
MC 7'
calculaliminimulperimetruluiriunghiuluinfp.
(C4nst
n k
Gu i
d,
Boto4
)
CLASA
a YIII-a
31.
Seconsideri
uncliile/
g
: R
,--
R
/
(x):
ax
+
S,
g (x):
cx
+
d,
a, b, c,
d e Z.
Secere:
a) Sd se determineo condilienecesard i suficienti
astfel incdt
intersecSa
graficului
funcliei
/
cu axa
O,Y
este
putrctul
P
de abscisd
xo. k
<
xo
<
<k+l,keZ
(tecdnd
de a puncte
ituate
sub
axa
OXla
puncte
situate
deasupra
xei O,l,).
b) Sbsedetermine b, c, d e Z, astfelncatGf Gs,
Grn Gs:
ft),
unde (1,0)
9i
snse
raseze
ele
doui
grafice
n
acelaqi
sistem
de axe,
XOZ
c)
gtimd
cd OM
L Gr
qi
OQ L
G* afla[i
d.aye.
,
(Mihai
Tatcd,
Vaha Dornei)
32. a) Calculagi
-.-------
cu
| 80 de
zecimale
xacre.
1.00.. .01
setait
t6
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 18/64
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 19/64
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 20/64
Clasa
a
VII-a
40.
a) Ar6tali ce, oricaie ar fi .r e
R, numdrul
a
:
"r2
+
+
x
+.1
este
pihatl
unui numdr real.
b) &6ta i c5,
daci -r $i I sunt numere reale astfel ilrtcet c< y,
atunci .f
<
/'.
c) Determinati
cel mai
mare num6r
natural 2
9i
multime1A=
la;
a2;...;
4,1
c
R
itiind
ca :
{ai ;d, ; . . . ;Q}.
(lufi
cea F anu,
Bu(i.]IeStt)
41. 1.
Un dreptunghiare dimensiunile
=
m
.
n
gi
b - m * n- unde z gin sun(numere afurale enule.
In interiorul dreptunghiului
fixim
la intimplare
N
puncte (N
€ lN*).
Ardtali
c6: a) Daci
N
=
m
.
n(m
+
n)
+
l, atunci
cel
pufn
doui dintre
cele N
puncte
se afli in interiorul
unui cerc cu raza
egali cu 1; 42t b, D^cA
N
:
nr
+
/,
+
l, atuncicel
putin
doui dintreceleN
puncie
e alld la
o
distantii
mai mici sauegal6crt
J
-'
+ n'
,
t:rrr.:i
ati de celdlall
2. Rezolvalin N
x
[,,] cualia:
-b=
Jt'
-u.
(Mircea
F ianu,
Cristian
Mangra, Burl.tlre$ti)
42. ln niunghiul lAC, bisectoarele
nnghiulitor
<BAC, <ABC
9i
<BCA interswtazd
aturile
[BQ,
pQ
qi,
espectiv,
Bl ]in
D|fi]K,(ele
', B', C'. uetaS *
a)Dacd (<BAC\
=
l2f. anrnci
(+B' A'C)=9V;
b) Dacdm(<B'A'C')
:
9tr, t' € BC
ii
Fe BCastfel
incet
AE
ll
A'C'
qi
AF
ll
A'B',
*'Jtrlci:) A'E:
A'n
ii)n(<BAC)=12U.
19
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 21/64
Clasa
VIII-a
43.1.
uatali
ce,
oricare
ar fi numerele
aturale
r
qi
z,numereleM = 28m+
2
9i
N
=
28n
+
3
nu
sunt
p6trate
perfecte.
.
Ardtali
cA existep e
[r,l*
astfel
incit
numdrul
P
:28p2
+
1
sd ie
pdtrat
perfect.
(Mircea
Fianu,
Cristian
Mangra,
Btaregti)
44.
Un
paralelipiped
reptunghic
BCDA'B,C'D,
are
AD = a, AB = 2a
,i
AA'=
34.
punctele
M
si
ly'
apa4in
segmenrelor
IBB']
gi,
respectiv.
[DD']
astfel
incat
perimetrele
riun ghit:ilor
A'MC
gi
A
NC sd
ie
minime.
a)
CalculaJi
ungimea
egment.:/rttt
M;
b) Ar5tali
cA
punct
ele
A'
,
M,
C
gi
N sunt
coplanare;
c) DacAP estemijloculsegmentuluitBl, demonstrali
ci
planele
PCC
)
qi
(l
,MQ
sunt
peryendiculare.
(Mirc
ea Fi
anu, Bncwesti)
45.
Numerele gi
y
sunt
ralionale
gi
pozitive,
ar
I
este
ralional.
ie
X
=
l*t ; ;... SiY
=
| yt ; ; ...\.
$tiind
cA
X
fl Y)
fl
Q
+O
aratali
cd:
a) Multimea
X fl Y are
o infinitate
de
elemente;
b) Existd
d €
llrl*
{1}
astfel nc
aIxd
+
yd
e
e;
c) DacE
xistip €
N,
num6r
prir4
astfel
?ncdt./ e
e,
atunci o€
lR
Q, oricare r
i neN,n<p.
(Mircea F anu,B\ax egti)
20
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 22/64
diagonale i
fie egale.
47. a) Comparali racliile:
Editia
a
V-a,
12-14mai 2005
CLASA
a
V-a
46, Scrieli n cdsulele oaledinpitrahrl
alAturat ete
un numir naturalmai
mic sau egal cu 24
(in pttrdlele
diferite
se
vor
scrie numerediferite)
astfel incit suma numerelor de
pe
fiecare linie
gi
fiecare coloand si
fie aceeagi, ar
produsele
numerelorscrise n pitriJelele de pe cele doud
(Artur
Bdlduco
5aso
-"
2750
b) Scrieli
n ordinecrescatoareracliile:
s 6 7 2005
_ . .- . .
-
ustrtrcalrdspunsul.
6 8-10 4006
48,a) Aratal i a:
-
+i r- i+. . .+: l<6.
2', 3', 4' 64'
(Alewnd'u
Negrescu)
b)
Se
pot
alege inci numere aturale stfel ncat oate
numerele ormate din sumaa cate doui s[ fie zece
numerenaturaleconsecutive? ustificali
rispunsul.
CLASA
a VI-a
49. Fie
unghiulxOy
cu m6surade l5o. Se consideri
punctele
istincte, C, E
pe (O*
9i
R D
F
pe (Oy
astfelincet OA= AB
-
BC : CD: DE : EF.
a) Demonstrali A riunghiul
ABCDeste&eptunghic.
b) DemonstraJi n
[BD]
=
[CF].
a b
2a
e d:
6
f
t2
2l
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 23/64
c) Demonstraf
ct
punctul
B este
mijlocul
segmentului
IOF\ (Cohstantin
Gurild)
50. Fie
, B,
C
trei puncte
distincte
n
plan.
Lungimile
BC
:
a, CA
=
b, AB
=
c sunt
numere
naturale
distincte doud c6te dou6. $tim ci oricare dintre
numerele
q,
b, c
divide
suma
celorlalte
doui.
56 se
arate
cd punctele
, B,
C sunt
coliniare.
| |
'(Alexandru
Neqrex
u)
51.
a) fu51r1;
c6 ecualia
'
F
'
+
:
_
^';
are
soluria
n
)(yzJ-
mul,timea
numerel
ot
nafirale,
x
+
y
+
z.
b)
uaraF
+.
=
--|.(v)n
eN'.
k(k+r)
/r
k+1" '
c)fuEtat icdecual ia
*
l -*
I
* . . .* '
=,1,,
ur"
xt xz x, xr"*
solulie
in
mullimea
numerelor
nat.nale,
xi +
xi,
(V) i j
e{r ,2,3,
. . . ,2000}
u
<j.
(enunl
modificat,
c.M.
9/1999)
CLASA
a
VII-a
52. in
dreptunghiul
ABCD,
M este
mijlocul
lui
(lD).
Fie DX
I MC,
X
e
(MQ
gi
I
mijlocul
segmentului
[XQ.
Arntali
ci:
a)
LDXA
-
LCyD;b)
AX r
Dy.
53.Sd
e ne
oate
^rt"nt"
o"
",# 7{i 3 f{7,91
areverificd,simultan,urmetoareleelatii:
t \xz-2j
3y+6,8i4> : i
/>y+
tizly+
t
=0.
(gtefan
Smarandache)
22
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 24/64
54.
Trinnghiurile
-BC
Si
BCD
al
(AC)
n
(fD)
:
{0}.
DacdABC
=
BCD
=
AOD
Si
AB
+
BC
:
CD,
si se
' -
.cD J i+t
arate a:a) '* ' =u' :hr-=-.AB
CD BC'
BC 2
($tefan
Smaran&rche\
CLASA
a
VIII-a
55.
Si searate
6:
aI b* c+ ab(l -a)+ac(l
,c)+bc(l
-b)<3,
undea,
,c e IR' ,
ia.b.c:1.
56.Fie
A:
{ l ;2;3; . . . ;2005}
i
B
=
{2006;2007;...;4010}.
6 se arate
d
existi
a e
A, b e B,
astfel ncat
orice
imc1ie
:
A---+ B,
flx)
=
nx
+
n,
meR-,n e
R,si
indeplineasc
fle: b.
(Crislian
Lazdr\
57. Felele
cnbuluiABCDA'B CD'
sunt
numerotate
(ca
a
zar): ala
ABB'A'
cu l,
fatp, CC'B'
w 2, fala
A'B'C'D'cu
3
9i
suma
umerelor
e
pe
doua ege
opuse
este7. In
fiecare
col al
cubului
se
taie
un
triunghi. Se scrie in interiorul fiecarui triunshi o
cifrd astfel
ncat oricum
am privi
zarul
vazdid
un
triunghi gi
trei fele
ale cubului,
adiacente
ui,
suma
cifrelor
vdzute
sE ie constartd.
a)
Sd se axate
cd existi
o numerota.re
triunshiurilor
cu cifre.
b) Sb se aratecepenmtoriceastfelde numerotareuma
ci&elorde pe
hiunghiLfi
diagonal
puse ste
onstatrtil
c)
Sd se
spuni dacese poate
ace
numerotared
u cifie
nenule.
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 25/64
EDIIIA
a VI-a,
l2-t4
mfi 2006
CLASA
a
V-a
58. a) Numdrul
natural
r
d6 restul
5 la impirfirea prin
7
9i
restul
4la
imp64ireaprin
1i.
Ce rest
de
numirul
n la mp64irea
dn
77?
(c.M.
2
2000)
b) Fie
S
suma
cifrelor
unui
numir natural
A
gi
p
produsul
cifrelor
numirului
A. Si
se determine
numdrul gtiind IA +
g
+p:196. (***)
59.Fie
numerele:
a: 2
4
+
4.
6
+6.
8
+
.. .
+
2004.
006
i
b=| 'z-22
+3'
+. . .+
0022.
Afla,ti
cdftrl
$i
restul
lmp64irii
numirului
a la
numirul
b.
(Ioan
iealo)
60. ArAtaUci oricarear fi numirul nahlal nenul ,r,
printre
elementele
ullimii
{n,
n
+
1.
n
+
2, ..-,2n\
existi
cel
pulin
o putere
lui 2.
.
CLASA a
VI-a
61. Intr-o gospoddrie
G sunt un
num[r natural
de
gdini,curci,cdiniqi vi1ei.Cheltuielile ilnicepentru
hrana
nimalelor
untdate n
tabelul:
gama
cutca
catne
vitel
I
2
4
8
Dac6
nu
se
di mdncare
a
gdini,
chelhriala
ilnicd
este
de 22 lei,
iar
daci
nu se di mAncare
a vileichelnriala
ilnica
estede
24 lei.
Careeste umArul
total
al
picioarelor
ietuitoarelor
in G?(Dan
rdkze,
24
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 26/64
62. Fie dreptunghirlABCD cu
AB
:
18
9i
BC
=
8.
Pentruun
punct
-g
pe
latura
[cl]
(cu
DE <
CE),
BE
9i
D
prelungite
e aie n 1L
Fie F e
[BE],
astfel
incdt lBFl = [Etl]. Paralelaprin F la BC taie AB in
G, iar
paralelaprin
H la AB tale
FG in K.
a)
SA e
a.rateAIG
AH= AB.AD.
b) Se
poate
alegeE
pe
[CD],
astfel nc6t
lAGl=lAril?
(Dan
Bninzei)
l l l l
63,FieA(r?)- :+:+-+. . .+- . oentru>2.
tzJn
a) Ar6tali ci existdnumerele
aturale enule
a, 6
9i
c,
cu a impar,
astfel ncdt A(S1
=
-
j-.
2b.c '
b) Ar[tali cAA(2006) nu este
numarnatural.
(Cristian
LazAr)
CLASA a VII-a
64.
a) Ardtati
ce 3x3 llx
-
4
:
(x
-
2)Q;
+
6x
+
2),
Vx e lR.
( i
t3\ . t
b)Demonstral ia3 ;+i >:*:+4.V a,b>0.
\b-
a ' )
b a
65.Fien
=2.4.6. . . . .50
1.3.5. . . . .49.
a) Determinali
ultima cifrd a
num6ruluir.
b) Determinali
penultima
cifrl a numdrului
n.
c) Determinali
antepenultima ifri
a numdruluin.
(Cristian Lazdr)
66.Fie triunghiulAIBC
cu m(<l):150",
-(*A)::O'.
e considerd DE mediatoarea
segmentului
[BQ,
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 27/64
D
e BC,
E
e AB,
fCF
bisectonrea
nghiului
<BCd
F
e AB,
iat
{I}
:
CF r-,
DE,
{G}
=
CE
n Ar.
SAse
arate
cd triunghiul
ADFG
este
echilateral.
(GabrielMdrqanu)
CLASA
a \{III-a
67.a)
Fie ntervalul
:
(a;b).
Dacd
n Z
:
{2001;
2002},
sdse
calculeze:
la zooolt- zoullb
"1.
(Daniel
Stretcu,
G.
M. 5_6/2002)
b) Demonshali
d:
4xa
x2
3x
+
120,
Vx
e lR.
(Ioan
Safta,
G.
M. 9_10/2a01)
68.a) Rezolvali n Z x Z ecua\ia: 3 - 5y= ) .
b)
Deteminali
numerele
naturale
fi,
in
baza
qapte,
tiind
cd:
o'
=
6'
=
{.
uoo"
, .
lN.
c
a h'
6e. ie uburirelCDAB{a1,,u,;:;ff,3ytfl,
A2B2C2D2A3B3C3D3
uprapuse,
nde
lB
=
a
$i
p\nctele
M, N,
P astfel
nc6t:
M e
(Be,
N
e
(DD),
P e (Afi)
9i
MB
=
ND
= pA:
x.
Aflali:
a)
mdsura
unghiului
format
de
dreptel
ABt gi
CD,;
b) distanta
dintre
dreptele
Bp2 qi
AC;
c) mdsuraunghiului
format
de planele
(,4.4r'p)
qi
(ACC)'
(Artur
Balduca)
26
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 28/64
BILATDRALA IA$I
_
BOTO$ANI
CLASA
a \{II-a, BOTOSANI, 07. 02.
2004
70, Fie x e lR qi mullimea 4: 1x +./1, x +{2,
,
+Ji , . . . ,+J6,
x
+Joo,
- ,11,-J i ,
. . . ,
'
-Js9.
"
-
i loo .
a) Daci .r
:
2", cdte numere negative sunt in
mullimea M? Disculie dupl n € [..l.
b) Daci.r :J01 calculali : (l-2.3...99), ndep
este
rodusul
lementelor
ullimii
M-
c) Daci x
:J44rJ,
calculali suma
pdtratelor
elementelor ullimii M.
71.
TriunghiulAIBC
(BC:
a, AC: b,AB:
c)
9i
hiungfuiul
LMNP NP:25, MN:24, MP - 4 z e [rl*) srmt
asemenea(BC
-
LM
trP).
a) P€ntru
ate
urnereatralen trirmghiul ilAP exis6?
b)DaYin:7,c6ne
gnde
are
mghiul
l ?
c) Pentru atenumere ahrale triunghiulLMNP
de
obtuzunghic
d)
Dacd
rr, 6,
c e lN*
pi perimetrul
triunghiului
LABC este165,determinali
.
72. Fie E e
(AD),
lahxn a rombului ABCD
gi
F
intersecJia dreptelor BE
gi
CD. Bisectoarele
unghiurilor aABE
gi
aCBE intersecteaz1
e
AC in
Mgi, respectiv, . DacdME fi NF: {P}, arbtzli L:
patrulaterul
BMPN nu este dreptunghi, nu
este
romb, dar este
paralelogram.
27
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 29/64
73,
Ln
lercul
9(O;
?)
se
&rc
diametrele
erp€ndiculare
tA.el
i
BBl.
Cercuri le
r(B:
t) gie,rg,;3,1
"
lntersecteazd
n punctele
C
si
D.
Adtali
ci punctete
A,B,C,D
sunt
cottniarc.
(Subiecteelectatee prof.
Corneliu
Saw,Focqani)
IASI,28.02.2004
74.Fiex
Z.E&t=
2
'
" A ' , .
a) S6.se alculezeE' - ), t (0), A t).
b)
Sd
se
arate
ci pentru
oiice
x
din
Z
are
loc
E(x)+E(1-x)=1.
c)
Si
se
calculeze
uma
__s^:
r
(-
2003)+
E (_
2002)+
...+
E (2004).
75.
Se
qtie
cd
are
oc2' +
Zb
=2c
+
2d.
a) Cate dintre numerelenaturale
a,
b,
c,
d
pot
fr
distincte
-.'
_b)
Cevalori oate
ua
numirul
ntreg
=a+
b_c*d.
76. Fie
,I
centrul
cercului
nscris
n
iriunghiul
lBC,
iar
M
N,-P_-r.ttritoacete
aturitor
Wq,
fbel,
Vnl.ii
qtie
6 M.
BC
+
rN
.
CA+ 1p A-B 1S,
",ij.
S
este
aria
hiunghiului
lBC.
Sd
se
arate
c6 triunghiul
IBC
este
echilateral.
77
Folosim
temenul
de
placd
triunghiutard
penhu
un
mrngtu
consideratp/ir.
eci
mprer.rnd
u
nterioml
siu.
a,
ba
se
arate
cA
orice
placd
triunghiulard
obtuzungh.icaepoatempd4i n placiriunlhiulare
ascugtunghlce.
28
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 30/64
b)
Si se arate c6
num6rul
minim de
triunghiuri
asculitunghice
e la a) este7.
c)
Si se examinezecererile a)
qi
b) cAnd?nlocuim
terme
asculitunghic at cel d.eneobtuzunghic.
(Subiecteelectateeprof.Gabtiel opa,laSl)
CONCURSULNTERJUDETEAN
"MICII
MATEMATICIENI"
CLASAa IV-a
Editia I, 7 iunie
2003
1. a) CalculaJi
=
3
+
5
+
7
+
9
+
...
+
2003 2,
4
-
- 6- 8 - . . . -2000 2002.
b)Unvasplin cu apecanGxeite3 kg.Vasulumplutcu
api
doar
pe
umdtatea
a,cantire$te
8kg.
Cat centiregteapadin vas
?
c)
Determinali
oate
perechile
de numere
naturale
de
forma
ab)
care erificdelaliile:
<3+2q+3b<10.
(Ldcrdmioara
D oina Nechifur,
aSi')
2.a)Af la{ i d inegal i tatea[( ,x:3):2) :4] :5=25.
b)
Mihai, Ardrei
qi
Ioana
au impreund
360
de
timbre.Dac6Mihai i-ar da lui
Andrei
15 timbre
9i
loanei 35 de timbre, atunci Mihai
ar avea
de 3 ori
mai
puline
timbre decdt Ioana gi
de doud ori mai
putine
decatAndrei. Cdte imbre
a ar.'ut iecare
?
29
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 31/64
3.
a)
Enumerali toate
triunghiurile
care
pot
fi
identificate n
fisura al6turate:
b)
Scriitorul on
Creangia
publicat
povesieaCapra
cu
trei ezf in
1875.Se
spmecd
pe
atrmci apra
r fi atut o
vdrsti
egald cu dublul
sumei v6rstelor ezigorilor
ei,
varsieleacestoraiind exprimate rin numerenairale
consecutive.
este
m ar c6nds-aabAtut
ecazul suFa
caprei,upul avea
6nta
egal6 u dublulsumei
drstelor
de atmci
ale ezilor, ar
lupul,capra
qi
cei rei iezi
aveau
imprem6
40 de ani.
Ce v6rsti avea fiecare
n anul
publiciriiacesteipovegti?
(Rectealii
latenatice,2(n2)
E
dilia, a ll-a,,
24.04.2004
Etapa
udefeanl
4.
Completeaze
paliile
punctate
u rdspunsuri orecte:
a) Dupdefectuareaalculelor: 0+ 20 : 20 . 20 . 0 se
obline
...
b) Numdrul
ce trebuie
scdzutdin 56
pentru
a obline
triplul
ui 9 esteegal
cu ...
.
c) Numerele
naturale
de 3 cifre care au
suma
ciffelor
egal6 u
3 sunt .. .
(ir,.
Vasile
vindrei)
5. a) Determinalivaloarea ui a din egalitatea:
{s
-2: l (6+a):3
-2l} .7
+3:24.
30
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 32/64
b)
Sumaa
trei
nurnere
naturaleeste 560.
Al doilea
numdr
estede
2 ori mai
rnaredecdtal
treilea
gi
cu 60
mai
mic decdt
rirnul-
Care
suntcele
rei numere?
c) Cdhrla.doui
numere
naturaleeste
4, iar reshrl
0.
$tiind
cd suma intre
deimparrL
mpe4ibr
$i
cat
est€
49. si se
afle celedoui
numere.
(inv.
Yasile firvdrei)
6. a)
Determinaii
numArul
uturor numerelor
naturale
care
se scriu
numai cu
cifre imparedistincte:
t)
de doud ifrel
2) de rei
cifre.
b) Aflati suma uturor numerelorde trei cifre care
au
cifte impare
gi
distincte
cu cifra sutelor
1.
(Wof.
Anur Bdlducd)
7. Reconstituili
adunarea:
PARALELE
ARALELE
RALELE
ALELE
LELE
ELE
LE
tl
l *5 5* *2 6
(Wf -Artur Bdlducd)
dh
TH{EhI
e{oad€d
usfefSo
3t
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 33/64
ETAPA
INTERJUDETEANA
22 mai
2004
8. a)
Se dn
num5rul
8016784395.
lirninali
cinci
cifre.
astfelncit cu cifiele Emase,dstrdnduJerdinean care
se
glsesc,
i
se ormeze
el
maimic
numir
oosibil.
b)
Scrieli
numerele
pare
de 3
cifre care
au
propn€tatea
E
sumacifrelor
lor
este
esald
cu
g.
c)
Exact
patru
numere
din
girul
43;
62; 1+;
f; Ze
respecta
regula
de alcituire
a
Sirului.
Caxe este
,,intrusul"?
9.
a) in
pntratul
alAturat
suma
numerelor
de
pe
fiecare
inie,
de
pe
fiecare
oloand
gi
de
pe
fiecare
dintre
cele
dou6
diagonale
este
aceea$i.
Determinafi
numercIe
a, b,
c, d
gi
e.
b) Pe o tabl6 sunt desenateriunghiuri qi
{replu1glriu1
are
nu
seating.
Daca
n totil
sunt
2'i
o€
varrun,
ate
reptunghiuri
unt e
abla?
c)
Daci
lmptrr;im e
m la
n
se bbfne
c6tul
2
si
restul
6, iar
dace
adunam e
50
la
dublul
ui
n
oblinem
riplul
ui
z.
Si seafle
numerele
si
n.
10,a)Tatdlare48deani. arceidoifii aisli au20
de
ani
gi,
respectiv,
8 ani.
Peste
dfi
ani
virsta
tatilui
va fi
c6tsuma
drstelor
opiilor
s6i?
b) Intr-o
camerd
ntunecoase
unt
30
de
minei
de
aceeEi
form.d,
dar colorate
diferit:
g
gaibene,
8.rogii,.3
albe,
ar
din celelalte
6, unele
suntlerzi 9ialtclealbastre.Caf,eestenumarul
minim
de minei
oe
care rebuie
A e
scoatem entru
a fi
siguri
ca
pi'ntre
celescoase
vem
cel
pulin
4
de
aceeaOi
uloari?
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 34/64
c)
Daca
se
a$azA
ete
o cioari pe
cate
un
sralp
dman
doue
ciori,
iar
daci
se
a$aza
ate
doua
ciori pe
un
stdlp,
bmdne
un
stilp
fbr6
nici
o
cioare.
Cefl
st;lpi
Si
cate
ciori
sunt?
(Subiecteleufost elaboratedeprof. Artur
Bdlducd,
ihv.
Ilasile
Avit
vdrei
;i
elewl
Alexandru
Negrescu)
EDIIIA
a
III-a,
27
mai
2005
11.
a)
Calculali e
x
din:
3
+
{30
+
2
.[(2
+
6
+
x) : 3l - t7l
=
24.
b)
Vdrsta
mamei
esre
de
l0
ori
mai
mare
decdt
a
fiului.
Peste
6 ani
v6rsta
mamei
devine
de
4 ori
mai
mare
decdt
a fiului.
Ce va.rste
re
flecaxe
n
Drezent?
12.
l)
Realizari
egalitdtile
de
mai
jos,
pundnd
paranteze
i
semnele
operatiilor
aritmetici
intre
clfele date:
a)
6
6
6
6:1
b) 6
6
6
6:2
c)
6
6
6 6=3
d) 6
6
6
6=4
2)
Completali
tabelul
ahturat
astfel
incat
suma
numerelor in oricare ei cisu aldhratesA ie 18.
lJ. a)
lntr-o
cutie
sunt
16 bile
albe,
13 verzi qi
15
ro$ii.
Careeste
numdrul
minim
de
bile
extrase
br6
a
ne
uita la
ele,
pentru
a fi siguri
cd
prinhe
ele
avem:
1)
cel
puJin
o
bil6 albd;
2) celpuJino bil6rogie;
3)
cel
pulin
cdte
o bili
de iecare
uloare.
33
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 35/64
b) Pe un lac apar intr-o zi 8 nuferi, in ziua
urm6loare par 16 nuferi, apoi 32 de
nuferi
9i
tot
aga
mai departe; nuferii igi dubleazd numdrul in
fiecarezi, fa 6 de ziua
precedentA.acA
supmfala
lacului se umple cu nuferi in 8 zile, arAtali n cate
zile va fi acoperitdcu nuferi o optime din suprafala
lacului?Darun sfertdin ea?
Subiectele u
ost
elaborale
de
prof.
Artur Bdlduc.i
i
inv.
l/osile
Avil vdrci
EDIIIA a IV-a, 2 iunie 2006
14. a) Afla1i
numerele
ahrale
care imp6rlite la 6, dau
acela$i at
$i
acela$iest.
b) Cate
triunghiud
$mt in
desenul lSh[at?
(inv.
VasileAvdndre)
15.a) Sdseaflenumerele
enule , ,, c
$tiind
cA:
a' l l l+2
(5 'b+3
c) l :77;
(Ptof.
Artur Bdlducd)
b) Caresunturmetoarele
numeredin
girul:
l; 4;
13;40; I21; ... . (Prof. rturBdlducd)
c) Cu cat este mai mare
800 dec6tcel mai
mic
numer natural
scris cu trei cifre
diferite care
are
suma ifreloregald
u I 1?
(:
* *)
16. Un
gup
de bdieli
s-audus a r6u si se scalde.
0
dintre ei au trecut not
pe
ceblalt mal
al dului, apoi
au mai trecut umitate din cei rimaqi gi atunci pe
malul celdlalt au fost
de doui ori mai multi bdieii
decdt ei imaqi.
Cati beief
s-audussi sescalde?
l **+)
34
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 36/64
t .
SOLUTII,
INDICATII,
RASPUNSURI
CONCURSUL
NTERJUDETEAN
.DIMITRIE
POMPEIU"
Fie I, C, R, D impi4itorul, catul, restul
$i,
rsspectiv,
deimpn4itul.
in relatiile
D
=
1. C
+
R, R
<
1
si
1
+
C
+
i
=
=
D
rezulta-
C
-
/.C.
deunde (C-t)
=
C,adica
C-l/
C
sau
C-ll
(C-l) +
1,C-ll l
+ C
=
2
si
=
2.
Fie
+1,
,
+2,
...,
n
+
(2f +
l)
numerele
onsecutive.
Avem:
, +
1)
+
(z+2)+.. .+(h+2k+l)=2OOl>
+,
+h
-...+ nrt'-
z-...12k+rp12* rtF\2k
-l)(2tr 2)
-
2k+1tu z
=
(2k+
l) (n+
k+ l )
=
2001
=3.23.29+
=2k
+
le{1,323,29,69,87,66t,20011.
e
oblirc
solulie
enku
2k
+le
{3,23,29J.
umerele
untr
66,
6j,668
siu.76,
77,. . , ,98
au 5,56,
. . ,83.
3. a'"t + b' s a'
-
b^-te d (a-I)s bi (D-l)la = 0 si6 = t:+
=
a,+b,tt.Dac6
= O
i
D
>
l+
D,(r_t) 0
i
d(a-L)
=
I etc.
Daci a
=
I atunci,
> 2
9i
b,
(6-t)>
0, iar
al(a-l)
=
0
etc.Dacea >
l, cum
d
>
a
rczllt|
b,
>
an
$i
b.I >
a-l etc.
4. m(+A)
=
900,
n(+r)
=
600,
m(<e
=
300. n triunghiul
AAW, m(aAl'llt\= n(4ANM = 15..Triunghiultr'c este
drcptunghic
soscel,m(*tr'Mc)
=
45., tn(+nAr'C)
30.,
n(+MCl,)
=
150o.
5. a)
3
ry
-
2x
=
5y
+
|
o-r(3y-
2)
=
5),+1
e 3x
3y
-
2)
=
=
5
.3t
+
3 <>3x
3y+2)=
5
(3y+
Z)
7.Dacj3y+2
j ,
deunde
/
+
2 e
1- '1;- l ; l . ,7 l ,eta.
b) l- | . . . . - ' r1.-1
'* l*
* l ) -
nt l n-2
3n
6
\
n+l
n+2
2n)
(
t r
r ) s
\2n+l
2n+2
3n
-
e'
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 37/64
- l
,
l - - . . . - l ra=I . i
I
-
I
- . . . .
l .
n-1 n-2
2n- 2n
2'2n,| 2n.2 3n-
21=
1
"1".n3
6. Presupunemi existi numerele4 b, c (a < b) cupropietatea
din enunt.DacA
+
b are2 dj:vizoi,atutrci
+,
este
prim
gi
a
=
2, ar
, estempar.
l.
Dacd,
+
c are
3 divizori
gi
6+c are 5 divizori,
atunci
a
+
c=
q",4 prim qi
b
+
c=f,p
p
m, de unde czultd
c
=
2,
contradictie
entru
Ac
>
2.
II.
DacA ,+ c are
5 divizoi
gi
b
^+
c are3 divizori,atunci
a
r
c
=
m'" n
prim gi
D
+
c
=
n', n
prim,
de undec
:
2,
contadicliepe[tru
cdc > 2.
7.
"
*1*1= 2661o
* =zoot-r .z;
yz
y.z
z*,+,zl>rsi l t t
' l
-*
<
r i*
< -
)z) lvl
=_2<1
r
|
.
,
r i
r_
. ,
v--
_L.q_2.._1,g1,2y.
Y
z
Y
z
Y
z-t- '
' " " - t '
10.
,
11--2-r--- i
e z*
-->
=
z
-
- t
, i
x
-
2oo3
t l
,o
-+:-
=-1=>
=;11.2*.+
y
=
"
=
-2
9i
=2002.
30.
I
+
1
=
0 *
/=
- z
eZ* >
y
=
17,7
-a,x
=20oI,x
eZ*.
yz
4o.
-
1
-12,
=
-L eZ*
:>
z eZ*
:>
y
=
z
=2,x =
2000.
y
z
'
z-I
50. +l
=2+
y=:"
:eZ*:>y=l,z=1,x=1999.y z 2z- l
36
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 38/64
nlh+l)+
8.
Observlm
i:
n+I
n+l
n+l
h+1
-
-i_;
=
------:
=
1. Pentru
Duncful
h+-+-
- '
22
a)darn
ui' valorile
$iz
"U.,i."",
--
*A rl-]
=j.
\12+'12
6+'16
z
3
b
9. a) Folosind teorema
ui
Thales
in
AlgC gi
reciproca
in
MCD
se
oline
,VrllBD
9i
deci
MellNp.
Analog
se
demonstreaza
d
MN
llpe,
etc.
b) Din
teorema
undamentale
aseminirii
aplicatFtln
MBD
;i
LABC
se oblit\e
Me
=
k.BD qi,
respectiv,
ifl
=
(l_k).
AC.
a4p,1ps=
ro'{Me . sina(Ac;BD)),<**=). rc
.
ao .
'
sin(*(,4Q
BD))
9i
deci
aportul
riilor
este
.
k.
(l
-
k).
c) lc
(l
-
e) <
lll1-x ]
=1,
decivatoarea
aximd
\2)4
acestul
aport
ste ,5
$i
seobline entru
-
0,5.
10.a)x- [r] = 2x.1x1+l<+r-z [x]) zr- l)- 0<+"2
l
<tr
=
:
pentu
ci l-2btl
+
0.
b)
Dac6r<
0,arunci
[r]
<
O,
qi.t+
1.x1
O, ar.x.[x]
0.
r
=
0 nu este
solutie,
e
[
2,
+
a),
implicn
x]
> 2
qi
Llinecuatiaevine
.r]
< l
-
11 a
2 . Decj
e
(0.
2).
J
rr. a)
m> O>f (x)<f (b),
n <0
=f
(x)
<f(a).
b) Considerdm
tunc,tial
0,
l]-,
lR,/(r)
=
tc
a
- aby acz)
+
by
+
cz- bq,z
-1.
n+l
n+l
.E\ , -
-
42
37
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 39/64
Din
a)
rezultAlk)
< max
f (0),
(1)).
r),/(0)
=
by
+
cz
-
bc1.z = by( l -cz|- \1-cz)
l -cz)(by-
)s0.(2)
;{l)
-
y (b
ab
-
bcz) acz
+
cz
+
a
-
|
=
g (y).
Aplic6nda) se
obfmeg(v)< max {g(0), g()).
(3),
d0)
=
cz
(l-a)
-
(l-a)
=
=
(1-a) cz 1)<0. (4)
Ejl)
=
h(z) z(c
_
ac
-
bc)
+
a
+
b
_
ab
_
t. Aptcend a) se
obline&(z)< nax
(h(0),
(1).
(s),
,(0)
=
a(I-b) -
(I-b)
:
=
(a
lXl -
b)<0.
O,
h(r) :a(r-c-b)+b+c-bc-r=sr(a) .
Din a\ reaiti
g1Q)
< mta
G(0),
g(l)).
Din
g(t)
=
b
+
L- bc l:
=6(1
-c)-(1
-c)=(b-
1)( t
-c)(0or icarearf i
a e[0,1] .
(7).
Din
(1), (2), (3), (4), (s),
(6)
$i
(7)
rezultdlr)
< 0, dacn
x,
y,
z, a, b, c e
10,
l.
12.
a) Fle AH L
(BCD),
H e
(BCr).
Se .tratdBDL
(ACI4
9i
BCL
@Dn,
de undeBD
-L
CH
9i
BC L HD etc.b) 45'.
" t ;
'14
13.
p pi
4
sunt mpare.
:
2'
.
d
+
l,
4
=
2b
P
+t,
unde
ct'
$i
p
sunt mpare
i
4
D e lN.2"
=
2*b a
P+2".o+2b.F.
Dacd,
<
b atttnci n-
=
2b
tF
+
o
+
2b'"
g,
imposibil.
Dace
a
>
b, aralog. Deci
a
=
b.
14.a)
Seconsumiaceeafi
antitate evopsea.
b) Se
obtin27 de cubulete
areau n total
162de
e1e. 4 de
fele
suntvopsite,
eci rirndn de vopsit
108 ele
$i
mai sunt
necesare60g devopsea.
15.
=
2.
2 bc
<
2b
+
2c
+
bc<+ bc
<
2b
+
2c<>
+ > .
bc 2
Dace> bzs ,"^t ,a
<l
r i
l<1. "uo4"
*-132.1.
D)C)b.t2
imposibil.Dace
=
3, atuncic e
{3,
5}. Deci
(a,
b, c) e
e \(2, 2,n), (2,3, 3), (2,3, 5)l , n\dec e lN*,c prim.
rc.a'14-1 =
-
32-
=1 -.>12'-ty)(rt+3y)=64=
y
2
2x+3y 19
'
38
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 40/64
este
par
::>y
=
2t
(*
e ll't;
=
(i(
-
3&Xr
+
3k)
=
16
-.>
:>
r-3k=2 gir+3&=8.
Seobt ine.)r=
,f2,2=37.
D
x
+f+ +
t
-2=
g
+.22+
3't^
2,|mdep,
k, m e N*.
4/5e
l
qi
4/31^
I, etc.
1
/J
-r
t ra7J,
-rrcru.
11.
a12'402.
. )S.
(- t ) (2 ' : -
l )+(- t )?.
2r -
l )
+. . . .
( -
l )2002
. i . )2@1 r,
_
r, i . l ;2 / 1\2 rJ , \2002
^2odl
,
+
[(-l) '
+
(-
/.2@3
2
*.-
D
=
JGr)'
2'
. ( - l ) '+
(-
I
+. . .+
-
I
12002 t2001 \
_. :
l -
z
1t
.2'z+
1-
t'|'1.2t
+.
.+
(-
l)2002 2206r
.+
(-
1)2002. t- l \
=
t-22+ 23- 4+ )5-
-
2'
\-
1)' .2'
. .-
(-
lYW'z 24u{
I
F
-(-
l ) toot
.
( -
D
-
(22 +
24- 4 2 ' - . - . .
=
22
+
2o ))oo2 rt2
-
tr.s
=
I)
-
(-2'+
2'- 2"+2'
...
-
,..
2'oot (2'
- l)s
=
+
=
2^:.
-26+-.-.-.. '
?,ooo
)
(22 +
2a+...'rrzooz',
_
a2cn4 12 a2M4 .2 J .2
^
J_.2@4 .
-_
.162 ,
22co4
27.22M4-2' i -22
-+
i=27w
-
x 2t@2 i
91
, _ .1002
r8. a)
LMBC
=
ANCB
L.u.L)
+
[Mq
=
[NB] $i
4MCB
=
4NBC,
c,;,lit
4ABC
=
4ACB.>
4ABE
=
4ACD.
MBE
=
AACD
(tU.) =+
lADl
=
tAEl
->
AADr
=
AAEI
(C.r.)
=
-
(,1/
bisectoareaDAE--->AI
-DL
b) se arati
c6a BDC
=
A
CtB
(L.L.L),
deunde
4DBC= +ECB, etc.
c)
Mediatoarea
egmentului
BO
conSne unctele,.l,
$i 1
d)
l este isectoarea
DAE
9i
a 4BAC
etc.
19. 2x2 (2y
+
1) )'+,'
=
2003
<?
(.r
-
y)(2x
-
I)
-
2003
.1
=
=
1.2003 (-
l)C 2003)
G
2003)
C
1),
etc.
20.
Se aratd ca proieclia
D.
diagonalei
rapezuluipe
baza
mare
axe ungimea
egalA cu
linia
mijlocie
a tapezului,
etc.
fig.
1)
2r.
a)FieDMllBC,
M
€ (lO
i
.4---l;;---t-".8
ENIBC.
N e
{,{B).
Seararlca puncrul
apa4ineioiei
mijlocii a hapezulu:L
soscel DMEN
gi
liniei
mijlocii a
triunghiului BC, de unde czulta cApunctulF estemijlocul
segrnentului lG). (lig.
2)
39
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 41/64
b) Din .)
rezultb
ci
patrulaterut
AEGD
este
paralelogam,
de unde
JlB
BD.^
jtu
|vE st
-=-
tt.La.t st cum
HG GE
Gn=GD)=: :a=: :1. I \ -
HG AD
RD RG
DGIIAC
+
^==
=:-
(Thales).2)
AU UL
Din
(1)
$i
(2)
ezultdiA
.
GC
=
HG. BG.
22.a\ 7n3 8n2
3n
+
4
=
7n3 i nz *
+
n
-
4n
+
4
=
:
(n
-
l)(7n2
-
n-4\.
nl - ei -sn = -ir? - n2- -4n-4=(n+l)erl/.-4).
7n2n-4= n(' ln
-l)-
4,n^>2
=n(7n-l)-4>2:,eitc.
b) 7rl
-
n-4
=
2002
Tnz -n
-2006
=
g,6=2372
9ir,=17.
DacAn=2002k+
7,&e N,atunci
22-n-4=Mzooz.
23. a) Deoarcce +r+
I
>
0, V
"t
e
lR ezultl ci:
-t:---11-.
< x + a,v x elR<+a + 1).r? (l+a)x+a ) 0,
v
x elR<+a+t)
x':
*..-3-12
o,vx erR<+
'
'L
a+I)
. l ( rY r- - r I
€(a+l) .
I
r ' :
a; i
l>
0,V etR.
L\
z/ 4(d +
r j
a
<
-l
truconvine;
eex€mplu,enfu
=
0 seobline +l >0,
o.
[-t,1].
ou
"onuine;
urem
onsidera
=-1.
\
J./
2
Tr \
Pentru
a e
|
-.+co
]
inegaliratea
ste
verifi
cata.
LJ )
b)Pentrua=+
i '
e
\-l
,
-2,
. .
-nI
ircgalitatoa
e a
puctul
a) este tricl.a enhu
ce
x +
-l
- l r
I
. Avem
----:.-1*-.
' - l+1 3 '
40
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 42/64
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 43/64
a) FieP
e MCr,
C
€
MC?.DesfxlurarcaIig.
4b)
W AM
AM
IA
BM BM
V*@_.ltvtoW _,
rc ' -a-
ntr=
@= AB-E-
N-- iE-='
- ,
AP AM
AM^
-
")
pD-
A
-. Desla$urarealig.4c)
AR
AM
AM AP
AR
E-
a=;t ;=-:-+PRllcD'
^_^,^-
Bg
BM
BS
^natoe. ;-;
=:::=+
sQllcD.PRltSQ.>
= O,E R,P coplanare.
c) PnlllB
deci
@sRp
aralelogram
ppllRs
€,
pellA.B.
4 _BQ
^
Ap
1(
--- , - - -Ap
BQ
,\
AM^
r
..
n=
OD-
pD=rloeo
.e-+-=t
)-d=to,o
mUlocul
segmentului
l,B).
DacnN este
mijlocul
segmeltului
(cD)=>
WL.D.
MN)-RP;MNUB
-
MN
pedD.(fuki)
25.
o.6=-L*
2o
*
3o
.
-
'o
a+b.
a+2bt
a
+3b,
a+nb, ,
o.6+9=a-b,,
*2o+4b,
*3a+9b,
* . . .*
na+
n2 ,
a+b,
a+2b,
a+3b,
a+nb,
aA+B
l+2+3+.. .+
n
=
n\" l )
.
" r " .
26.
| / n
:)
Q-l)
I n, 2 pim
:>
2 |
n .
(t)
2 / n
-
(3-I)
/
n,
3
pnm
+3
/n.Q)Din (t)
$i
2)
=6 /r. (3)
6 /
n=
(7-t)
n,
7
pim =+7
/ n.
(4)
Dit
(3)
ti
(4)
+ 42
/ n.
(S)
42 /
n
.+
=(43
-l)
I n,4 pnm-+43
z.
(Q
Din
(5)
9i
(Q
+ 42
.
43 / n+
-+
1806
h. 1806
=
1807 I
qi
cum, 1807
nu
este
prirn,
avem
=
1806,
27.
,,c="
Fie M e (EF,
astfel
incet Fe
(EM
9i
(Ft
O
=
(BE).
BCW
pa'alelograjm.+
MC)
=
(BE)
$1,
c.um
FM
=
@E
)
=>
(FM
=
(Mq
= n(4MFC)
:
tu(4MCF)
=
a. ABIIMC=
42
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 44/64
>
rn(4BAC).
m(4Aclt't
=
c
;i
cum
n(4AFD
=
:
rn(4 MFC)
=
a
-
n(a BAC)
-
m(aAFE)
=
d.
EM
llBC::>
n
(4
B CA)
=
m
(4
CFtv|
=
d etc.
28.atl - 3ya 2003 /' .l?903 - 66i=vo =62s )
L3l
?.y4€
{0,
, 16,
81,256, 25}.
Seoblin
soluti i umai
aci
1f
=
625, adl:cd
e
{-5,
5}9i
"r'
=
64, de uode
€
{-8:
8}.
Deci . (x,y) .e
(-^8,5),
-8,5):
8r
5):
8:5)} .
b) 3'
+
25'
+
37'
=
2003.
c) Din
inegalitatea
ediiloravem:
26 r+ 64)<128+r$i
2s'z,(62s-x)<
?
<1.(ezs.z-
l+rsJx u
*t
sJdl i i
- l
<
zoo:.
22
Egalitatevem
aci.x
64=64
Si
625
x=
625, dicd
=
0.
29.Cazul
L Mgi N
sunt ituate
e
aceea$iaturb
triunghiului
ABC.
Fie M,
N
e
(AC).
Locul
geometric
l mijlocului
segmentului.] ?]este egmentulPQl,unde C= 0,25cm
fi
AQ
=
0,25
ami,P,
Q
e
ftQ,
iar locul
geometric
l
mijlocului
segmentului
Ir'^,]
cdndM
$i
,|f
sunt situate
pe
segmentele
,4.B] i
kq
este
RS],
ndeRl
=
BS
=
0,25 m;
R,S €
kBj
ii.
respectiv,
?'1.1.
nde 8
=
yC
=0,25
cm.
Cazul I. Fie
Mc
tABl,
N
e
Vq
$i
Re
n MN
=
{trr.
Din
Menelaosblinem-af
=
U,lddecimijlocul ui [,1.1 estesituar
pe
[R0].
Analogmijlocul
ui
[,1.4]
se afl6
pe
[Sfl,
respectiv
[PIl.
Conchidern
i mijlocul
egmennrlui
,1 1
este ituar
e
un
t ls
hexagon
u
perimetrul
galcut 3':3=I=2,25cm.
424
30. Daci
B' este simetricul punctului
,B fale
de &eapta AC,
apUcend
roblema
biliardului
se obline ci BN
+
NM >
lt4B,
o.icarear fl punctulN pe latiu'a(AC).Din teorcmamediarei
43
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 45/64
- t ;
in MCB' se
oblineW
=
f
ri
nerimerrul
inim al
.
"(^ll
+r)
triungiul
AB,'l-tVsre galcu
-.
b) Fie M
li
M' simetricelepunctului
M fa{e de &eptele
lB,
respectivC
qi
M M'n AB
=
{P\;
MM'1AC
=
{0}.
Se
arati ci
perimetrul
minim al A MPQ esteega,l
u lungimea
segmentului
MM'
=
2.
''4
unde
{r}
=
M'M'1AB
Fi
oJ:g
{FJ
=
MM'IAC.
Seobtirre 'M'=
31.a)/(@ 0
ei/(/c+
)
>
0;
/(t)./(*+
1)
<
0
9i
/ (&+l)- f ( t )>0+a>0.
b\
Glncs=
{l
(1,
0)}<} a
+
D
=
0
$i
c
+d=
0.
G1
G"=+
ac
=
-l
,
deci
d
=
-l
eta.
t l
c)
Aurn=7,A*". l,rvo
=:
unitlti dearie
32.a)Fiea=0.00.. .01
I
=1.99,. .900.. .01-
-6F
a-r
'ifrifr
t+o
I
=
0.99,. .900.. .0. . .
codh tnefte
b)FieB*A
l0m3de nde
B]=
33.J
9i,4=.33r.1,33,..1.
4an6dlrt
za0].i.tre
za,tcil
33. n(4BMC)
=
n({AMD)
=
90a. (M,
BC)
=
d(M,
AD)
=
'-8
s."^=o' -o 'w
eMD=2a AD=aJi . AB=4o' l i .
2
*
2
' -
--
5
A'BI (B'MC))
A'BLB'E,]]xlde
EI
=
prE
M .
4AEQ=4BRE,
unde
Q
estemijlocul
ui
IAA'1.
QAE
LEBB'
=)
.
^ , -o, l to
- .
^- .
2al to ta 'z(eJi' to)
: :>AA=- i rAB =
5
A
44
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 46/64
34'.1.a1+
2+
a3+ao+as=M (2p\at+a2+a3
+
aa
=
It
(lp);
Finalizare (lp);
2. Oricare
doui uumere
sunt
multiDt dt
6
sauoricare
dout
DumerE au r€s'hll
3 la bpa4irea
cu 6.
(lp);
multipli
de
6 sunt 16
nuEere
(lp);
muttipli
de
6
plus
3 sunt
17numere.1p)
35. 1.
Sumacelorlalte
trei
cite este25 (lp);
una din
celelalte
trei cifre
este
9
(lp);
celelalte
doutrcifre
srrnt
7
ti
9 sau
g
$i
g
(1p)
-
finalizare
24 de numere 1p);
2. N
=
l00la
+
+
I l0D
+
llOc+
l00ld (lp);N
=
27(37a 4b+
4c
+
3jd
+
+
2(a
-
b
+
c
+
d)
(lp);
filalizare. lp)
36. a) Fiecirui
numAr0"aDc-i corespundeumIrul
q{9-4Xe-rX9-c)
l
p);o,abc
c\(9
a)(e
6)(r-c)
=r;
1
101
(r
r(,r)-)
(r
qlil)]r
-rxr
--4
=
z
r
=
1rp;
Finalizare
.
499
+
0,5
-
499,5.
lp)
b)
Conditia
eEdstenta
perechi
e forma0,aDc
i
q(9-4)(9-r)(9-c)
(tp);
Cazulelmainefavonbil01;0@;0,03;..; 0,49;0,500.tp)
Finalizarc
principiul
utiei).
lp)
37. a)
Solulia
este
4;
5)
(2p);
b) Orice
soluli€
esteds
forma
(23k
4,29k
-
3)
(1p);
verificarea
olufiei
lp);
c) Solulia
(-4;
-
3)
(2p);
unicitatea
olutiei.
lp)
38.
a) Suma
maximtr numerelor
nscrise
e
bilole
din
umaA
- I -a?\
esre1 -2+.. .+r)+n=' \"- ' ' t . ( lp) ;Dac6, ' 60, tuDci
z
n(n+3\
-..-<
1830
2004.
lp);
b)' '
=
62
0ustif icare)
3p);
c) Suma numerclor
de
pe
bilele transferate
este 102 (lp);
numarul
maxim
de bile traNferate
este 13. (lp)
39. s) Fie
AE n
DC:
{O}.
CO fiind
bisectoarei itriltime n
AACE
implic,
AACE este soscel,
de unde
Ol
=
Ot
si
cum
'
Probelemeie
4
-
35 contin baremele e
corectar€-
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 47/64
DO este naryme
t AD/E rcznh' AD
=
DE.
(2 p);
l) in
triunghiul IDC,
m(+DAq
-
rcO',m(aACD)
=
20',
deunde
m(+,4Dq
=
60". n tiunghiul soscel CD4 m(4DCn
=
2O',
de unde n({FDO
=
80".Decim(4EDn
=
Iri/{FDC)
-
- n(aEDq = 20",m(aDFD = 80"
si
m(+DtF) = 180"
m(aEDF) m(aDFq
=
80".m(+rtF)
:
t\(aDFD
implceADEFestesoscel.2p)
c) m(+FBD) m(qFDB)
=
4(},
deunde.BF FD. Dat
FD
=
DE
=
AD irnpl:LcAF
:
.4D.
Q
:
BC=CF+BF=CD+DA.(rp)
/ t \2 1
40.a)a *
.
i L +
>
0. V
y
€ lR 1lp)r inat izare- l ,
t 2/ 4
reR.(p)b).f
|=1x-y11f
+ry
+
1?1(1p);
inalizare
1p);
c)a;= a/
(1p);
cuagax=l
are oluli i le:1;0;1(1p);Decin
:3
9i
A:
{-
1;
0; 1}.
41. a) Acoperim
dreptunghiul
u a ,
pitrefelele
cu latu? I
(1p);
existi iconformprinctpiului
ui Dirichlet
doua
puncle
n
interiorulsaupe aturileurui piftAtelcu diagonahnA (tp);
z dreptunghiuri
Fig. 5
b) Acoperim
dreptunghiul
u dreptunghiuri e
au dimensiunile
z
gi
r dispuse a
in fig. 5 ahturatd
1p)
Existe
Dirichlet)
doud
puqcte
situate
in interiorul unui dreptunghi sau
pe
lahui. cu diagonala
e lungirne
,Fl
*fi
1tp1,
c) Ecuaia esre
echivalenticu
a
,
(a
-
2b
+
2)
=
0
(lp);
Ecualia are solulia
(0,0) (lp); finalizareta,b) e l(o,o),Qhk+1),1> ).0p)
42.u144'
4-r*A
= 1
15au
hales u
reoremalsectoarei)
b+c 2 b+c
46
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 48/64
BA'
c
".
,
^, ,
ac
, , -
ab
A,C=r.
oe
unoeEA
=
b+crtA
C
=r_.
(1p)
Deci
AA' AB'
.
AA'
AC'
A,C' -
B,Ci t A:B- C,B.
de unde
tezul la
cd
\A
B'.
respectiv l'C' sunt bisectoarele nghiurilor IAA'C Si
4AA
B. adicdmt4}/
C
)=90' .
61qi1
' r= 9= ,
deunde,4
=
- "
,
c4."=cn
=".6.un6" a =77.;
b'c
A'F B'A
c h+r
prin
umare, A'E
:
A'F.
(2
p)
ii)
n(aFAE)
-
9go
gi,4A'
medlandin EAF rczuhA A' = A'F 9tAA' = A'8. AA' = A,F
impllci 4A'.4F
=
+A'FA
Si
otm
AF
ll
A'B' rc
jJtl.
4FA,4'
=
=
48 A A
ti
48 A C
=
<4FA.
& wv:le
8 A
A
=
48 A C
Si
-:_
=: =:a
-
adicaAA'
A'C B'C A
2bc A
$1
urn,{ l
:
r*" .or t
+c
,e^lta
"o.{
=
].
Oecin(aBAC:=
t20".
22
43.
1. M estede forma
4f
+
2, k e
lN,
deci M ru
e
pitrat
pefect. (2p)
N estede fofma
4[
+
3,
*
€
lN,
deci N nu e
pntrat erfect.
Q
2.
p2
=
t.
('7
+
t),r €
lN+
(1p)
r,
7/
+
l)
=
l
implici
=
s'?
i
7r
+
I
=
/2,mde s, / €
hl*.
(1p).
De exemplu:
t=9implic6,p=24.(lp)
44. a) PerimetrulAA'MC estemiDjm implic:aA'M + MC este
mioim. (1 p)
Prin
desfigurare ez,r.ltiL
M
=
a.
(tp)
b)
prin
analogie
cu a) rezultd D
1y'
=
a.
(lp)
A'MCN paxalelogrurl
impliciL ',
M
C, a/ oplanare1p)
c)
A'M n AB
=
\El.
(tp);
EC I
PC.
(lp);
'C
r
CC' implicd
EC
I
(PCC),
adiczt
tA
MC)L\PCC).
tlp)
45.d n
n
I
Q r O implicd:
l. / c
lN+
ll,
astfelncet
yr = y' e
o.
(2p)
a) lo
=
y'u,
V
d
e
lN*. Deoarece
x
e
{0,
l} rc
tltd, AX n
y
are
o inlinitate
de elemente.lp)
47
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 49/64
b1 t te.e:ya
e
e
9i
k1=d>
I impticarde
;yde e. de
lrJ],de
-f
e
O.
flp)
c)
presupunem
e,r,€
O,pprim
gi
z €
N*
ctr h
<
p,
de unde
(r, p)
=
1
(lp).
(r, p)
=
I implicn
u,veZ
astfelncet u
+
vp
=
1.
(lp)
(sauaplicareauccesivl teoremeimpi4irii curest). lp)
Deci
=
x,,.
up
0f),
.
(/), €
e,
contradiclie.lp)
46.C]JJm6+f+
2=
b
+
4+f
rczrltd.ab
=
14.Din
3a
+
14
=
=
e+d*4
=
18
+/
=
q+
e+6=2a
+d+
12obfinem:
f=
3a-
4,d
=
a
+
2,e= 2 d
+
8,Deo4recea*4
e N atunci
a
>
2,
+ d aturLci
* 3, e
=
24 at\x\ci2a
+
8
S
24
qi
a
S
8,
f*bann\eia*6. Se bline e {5,8}.
47.a)27
53 mpliod\zt{o
5500,eunde
#r#
,,5
1 5 6
| 6
7 | 7 2005 I
2005
o,
-=-.- :
-=-.- :
-=-. - . . . . . -=- .
-
6 2 3
8 2 4'10
2 5"4006 2 2003'
5
,26
27
.2
2005 2
-
=' -J;4
='+a;,
=' - ; . ; . . , ; rb6J
f
- .
^222
2
L'ar
>->->., .>-
etc.
345
2003
I I ' ' ' 41 47
4E.a)
i<:,
3r
; , , . . ,#. ; ;a
r i
'npl ice
r 2
63 I
r1 r) r l l \
v*v*
*eF'1*l.] ' ; ,J
' l t . - tJ.
(1
r t \ r r
. . .+
-,
- : - : - , . .+
j -
l<
-2,--4. :+. . .+:Z.I
=
Sf
.0.
\J4 35
64)
2 2 4
32 2
'
b)
Presupunem
A exist5 o alegere
ca in enunf
gi
fie n cel
mai mic
dintrccele
zecenumere. tunci'?
+
(r?
+
l)
+... +
+
(,
+
9)
=
5(2,
+
9). Cum fiecare numir
considemt
ace
parte
din
patru
perechi
de
numere iar suma
hrturor
numerelorse divide cu4 rezulti 4 / 5(22+ 9), absurd.
48
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 50/64
49.
/ Fig.6
a) n(<ABO)
=
15",
n(<BAC)
=
m(<BCA)
=
30' de unde
m(<ABq
=120"
^t
n(<CBD)
=
n(<CDB)
=
180'-
120'-
-
15'
=
4s'.
(fig.
6)
b) ACDE fiind
echilateral,avern
m(<CED)
=
60'
9r
CE
=
CD
n(<DEF)
:
30"
de unde m(<Ct4
=
90'.
Cum MCD
=
=
ACEF
ezult,concluzia.
c) MoB = ACEB L.U.L.)>
[OB]
=
[rr]
:+ n(4.BEF)
'15"
=
=
n(<BFE).
Tiunghiul
AOEF fiind
dreptunghic ezulti
cA
BO
_
BF.
50. Considerdm,
iri a restrange
eneralitatea
roblemei,
i
a
<
b
<
c. Ipoteza este:a/b
+
c, bla
+
c,
c/a
+
6, de unde
b
+
c
-
ax,a
+
c
=
by,a
+
b
=
cz, ,y,
z e N' iara+
b
+c-
- a(x + 1) = b(j + l) = c(z + l). Oblinem ecuafia:
l t t
-+-
, l --- : ;=1.,>y>z
Dinul l ima
ondi l ie
lem
x+r
y+t
z+\
-1111113
x+l
y+l
z+l r+l
y+l
z+l z+l '
vrdez
<2,darz
e
N', rezultdndiz= I adicd,
+
b= c.
51.a).x
9 10,t=
10. l1,z= 11.
L,
I
(*+1)- t
I I
k lk +t)
k(k+l)
k k+l
c) Luam
r
-
,(r+1),
12
=
(n+l)(n+2),
.., xleee
(n +
1998)(r
+
+
1999),
xzooo n
+
1999.Ecualiadevine,conform
,):
11111111
n n-l
n
11
n-2 n 11998
n -1999 r-1999 J'*'
oeunoer=J etc.
49
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 51/64
52.^) Clttt
ADMC
*
LXDC rezlltx
DM
DC
DA
2DM
xD
=
xc
'*
DC-= DC
'
. ,^
XC..
DA
DX
IL =- obFrem
E=
yC .q@4Dn -
/
=
90' - m(<Dnd)
=
m(<DCM
->
LDAX
LCYD.
rig,7)
b) Din asemanarearccedentt
vem
({XAD)
-
rn(<CDl).
n(<AHD)
=
l80o
-
lm(<IIDI)
+
m(<IllD)l
=
90., de
undeAX I DY.
53.
Numerotem
elaliile
n ordinean
care unt cdse.
in
(1)
$i
Q) rcmltd 8x"- 4 J y iar cu relaJia 2) glsimy = 3l - 4.
Folosind
patra
elalie41-
l)'?s
0 or.
{-1.1}
|
2
2)
Obl inem
=-2
t i
z2
>
2.Du
|
-""
) I
- 2 deunde
AA
, ,=1iu.
I_s.."sJ"".
| 2 2)
54.
a) Deoarece
MBC
-
ABCD
^
rez;JtlBC=AB
CD,dat
C
=
=
(CD
AB)2de,rnde
SC
=
Cd
+,48
= SAC
=
UB
+
CD\z
sauBCr6=
AB
+
CD
9i
cum
BC
=
AB
CD reztlta
AB
CD
Ji
=
BC(AB
CD)
9r
cottcluzia
stemediat6.Iig.
8)
u l - l=_L,a.
L+
I
- \6 6"un4"1=
AB CD BC'
AB
CD RC
"--
CD
- , .
cD
2
.,6_l
lar
pnn
mllonallzare.
BC
.ls
_t
2
55. Cu substituli i le
=L,6=Z,s=1,
r,
J.,,
>
0, se obline
yzx
:+1-+1-1-L_2:_t_
"1_1
<3
sau, echivalent,
yzxzzy)czxyxy
50
Fig.7
{ )
- l
:
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 52/64
03xt + y3
+23+3ry2-*z-fy-yrz-zrx-zry
care
se
reduce
a
cunoscuta
negalitate:
(x +
y
- z)(x
-
y
+
zr(-x
+
y
+
z)
S.lrz
{'),
in a
cirei
d€monstalie
seutilizeaze
negalitat€a
mediilor.
Observalie Inegalitat€a (*) reprezint?iproblema 266g din
Matematika
v
Skole,
prry]us'
de Selibenov.
56.
Daci
m
>
0 atunci
ftncfia
f
este
sAict
crescatoare:
flr)
=
2006,
^2)
=
2007,
-.,^20os)
4o1o,J{,
'
+
2005,
In
condi$a
rt
<
0, frrnclia.;f
este
strict
descrescitoare
cu
nD-
4010,^2)
40f8.,...,fi2005)
2Cfl6,flx)=
;c
+
40l t_
n
ambele
azuri/(1003)
3008.
Alegem
a:
1003,
=
3008.57.a) Triunghiurile
din
vtufitrrle
A, B,
C, D,
A',
8,,
C', D'
pot
fi numerotate
u: 5;
8; 3; 0; 6;
9; 4
Si
rcspectiv,
.
b)
Suma
este
9.
c) Nu.
Numerotarea
steuDiceqi
contine
cifra
0.
58. a)
Conform
eoremei
mpir.tirii
cu rcst
avem:
a
=
7c
+
5, n
=
llq
+4,
c,
qeN
$i
c= ltd+r,
unde
re
Nl,
r< l l. Seobline = 7.(l ld + r'1+ :71417r + 5. deurde
77d
+
7r
+
5
:
I lq
+
4.
Ultima
relatie
arc
loc
daci r
=
3
si
restul
ciutat
este
26.
b) Cazul
.
A:abc
conduce
a relalB
tola +
llb
+
2c
+
+
arc
=
I
06, care
ru di solulie.
Cazul
tr. A
=;;,
conduce
a
ee]u4ia
la
+
2b
+
ab
=
106<+
<ta(r+ 1l) +2(b+ ll)= 128<t (a + 2)(b+ 1l) = 128.
Cum,
+
1l
> l l, avem
D=5
9i
a=
6,deunde
=
65.
Cazul^Ifl.
=
a,
a cifr,
trudi solufii.
59.a=2' ( l
.2+2.3+3.4+.. .+
1002.
003)
-
=2' .11 . (1
+
t-)+2-(2
+
l)+ 3.(3
+
l)+. . .
+
1002
'
(1002
l) l - -2 ' .11'+2'+3"+. . .
+
1002,)
( l
r
2+3
F
+
...
+
lD02)
=
4b
+
4. 501
1003.
cum b > I + 2 + 3 + ...+ 1002 ezultii catuleste
egal cu
4
ri
lestuleste
010012.
60.
Presupunem
i
existi f
€ N astfel
ocet:
5l
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 53/64
2k< n < n
I
I
<
n
+
2 <
. . .
<2n
< 2k*
.
( l )
Dl I-2n
<2t*
|
reztt1t6, <
2k
qi
oum2' <
r, contradicLrer
61.
Notam cu a, ,, c,
d numerul
geinilor,
curcilor,cainilor
$i
vileilor din
gospoderie.
vem
relatiile: ,
+
4c
+
8d
=
22
(l)
tr a + 2b + 4c - 24. (2) Scdzandelaliile 1) Si(2)partecu
parte
se obline
a 8d
=
2.
Din
(2)
rezulted < 2.
d
=
|
conducelab
2c=1>ia
|0 iar
b
=
I
c
=
3 sau 3;c 2
sau
:
5;
c
=
I. Dacd
d
=
2, at|tncl : c: I
$i
a
=
18etc.
62.
^)
AHDE
=
LFGB
Si
LHKF
=
=AECB
I.
U.), de unde
DH
=
FG
Si <F=CB.Dreptunghitj/jleAHKG
lr
ADCB
a1)aceeagi
rie, deci
AG
.
AH
=
AB
AD
(fre,g)
b) DacF,
G
=
AII attxtci
AH'
:
144
=
:
122,de.r\de
AH
=
12. Afitati
cADE=6.
63. )etst=1+f- . . -
=
2281
-
22 1.6"
*6" o
=
22g3.
| 2 8 840 2 ' .105
b
=
3
li
c
-
105.
Altd abordare onsti
n a arAta d ultima
flaclie din A(8)
este
ingura areseamplificecu un num[r
par.
2ffi61
2ffi61 zUXt.
20061 20061
-+-+-+. ' '++
b)A=
3 2ffi5 2QM
,
unde
2ffi6
nl :1 2 3' . . . .n .
Numfudtorul
racfiei nu
se divide cu 2003, iar numitoml se
divide cu 2003,
deci A
esteo fraclie
periodici pentru
cA2003
este
dm.
AIe
abordaxeonste
n ideea e a
punctul
a).
4(2006)
gj]t g
e
rN,
par
64.b) Daca
ordm
- -" . r"urur i "1
ot bt
b a
l -+--r=x
-Jx
l l
.jr> 2, apoi
seaplica
a).
52
Fig.9
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 54/64
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 55/64
este inie mijlocie
h AIBC
9i
(GF)
linie mijlocie n MBF.
GF
ll
BI implicA
(<:AFG): l5', decim(.<GFD)
60'.
^^
BI CI AC
._
vl l :
_=_=_=
DF etc
222
67. a) | a
Z
=
{2001
2002}
mplicd:a
>
2000,, < 2003.
Dar
a <
D conducea
la
- 20001
lb
-z0o3l -
lb
- o1
=
=
(a
.
2000)
+ (2003
b)
-
(b
-
a)
=
2a
-
2b
+
3.
b) 4xa
+
?
-
3.r
+
I ) 0 e l6ra
+
4;
-
tbc
+
4 > 0 €>
<)gi
D2
3ex-t
f
> 0.Dar
41-
t)'> 0;
zr
t)'z> etc.
Egalitateare oc cetrd-r l.-2
68. a) 13
5y
=
2 <> S
=
5,
+
2-
(t)
DacA
esturile mpa{irii lui
r la 5 sunt 0, l, 2
sau
4
atunci rcsturile mper,tirii
ui
"/
la 5
sunf 0, 1,3 sau
4 Daci x- 5k+3
(k
e
4,
aimci
l
=
I,Ij
+
2.
(2)
Relatiile
(1)
9i
(2)
implicl
(x,
l)
e
16k
+
3,
25t?
+
+
458
+2'7k
+
5)j,nnde e Z-
b) Dacda
=
D sau,
:
c saua
-
c, atuncia
=
D
=
c,
pentru
cd.
, b, c e [.,1. i"
4:4=+
rezrltd,
n't
=
b".c.(l);
cab
b"+t cn
.
".Q);
{*t
=
{
-
b.
Q).
Relal i i le
a
<
D
<
c
ai
a <
c
<
D contazic relafia
(1)-
Rela,tiile, <
d
<
c
Si
b < c <
a
contrazic
relafia
(2).
Relalille c < a <
b
;i
c
<
b < a conttzic
relat ia
3).
Deci
a=b=c
Si
arc €
{ l1l ;222;333444;
555;666).
69. ,)
Frc D'2
qi
Di simetricele
punctelor
D2
$i,
rcspectiv,D3
fale
de dreapta CC3. Din
paralelogr^n'ale
ADCtBj
9i
DCD'|Cy
rcztltA A\
,
CD'. deci
<(A&,
CDz)
=
<DzCD'y
AD3D2D',1
ADCD|
(C-C.)
= m(<CDrDi)
=
90"
fi
D2C: D2D'3, ewtd.e
D2CDidreptunghicsoscel
$i
m(<DzCD'r)
=
45"
(fig.
lta)
b) PieAC o BD
=
{O}
cu reciproca
eoremeiui Pitagora
n
LOB
Pz
se
2Jat1,
6,OBt L BtDz-
(l)
54
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 56/64
Flg. I I
IInlcl
(tDrr)
ti
oh
c
(BDB)
carhe.c rohQ)
Din
(l>ii
(2)
rezultl
d(lc, BDz)
=
OBt.
Din AOBB: e
^-t7
blioeOrr = ::: .
z
c) Fie
Or, M', N', P'astfel
ncat:
Olj
=
A1Q
n Bp;
MM I(ACC);
NItlL(ACC):PP' @CC)
(M,N',P'
(,4CC))
$i lNt\
-
P'^,t
^
OOr
tig,
11b).
Se
allttrci: .41
€ OC;N' e
(OO)
Si
P' e
(OtA).
O1P' O1A1- lP '= " l ' -^ l '=5 t"- '1 ,
222
t: t; r:
oM
=
oC
-
14'6
z
- 1o-
1
= 4.
222
LN,otp'
^N
ov
lr.t.u.s
-
9 -
-
o:
.
'/--{
6..urdq
OV' ulr
99. -n oV
'.ceuiNl
u ' )rMe(, ' r lPl .
oN, \'
55
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 57/64
Proiec9a
,44lPpe
planul lCC)
esteun
segmentnclus
tr
drcapta
P', deunde
MND
L
(ACC).
70, a) Numerele
+.,/7
sunt
pozitive,
Pentru
=
20,
-
.lL
-
0,
celelalte
9 fiind
negative.
entru.x
2', se
oblin
96 de
numere
egativer
-1f,..., r
-
Jii6'1.
pentru,r
22.
e
oblin84 de
nurnere
egative
r
-Jj7,...,
r-Jio0).
p"nt-
r
=
23,
eobtin
36denumere
egative
.r
- J63
,.
.,r
- Jf
OO
.
DacA
> 4, oate
umerele
inM
sunr
oarrve.
b)
x+JF
Xx
-v[
)
=
I0r
-
e =p
=
I00.99.. . . . .
.1.
poi
p: (1.2.3. . . . .98.99)100,
c)
' +Jtl +
r
-J;
)2=
*
+
D
= s
=
zoo
+2
0
+2+
+
3
+...+99
100)
89900
10100=
00000.
71.a)lW-
Iq<
MP<
MN+NPel<n<4gsunt
47denumere;
b1252 242
72
+ tn(+t,t1'=
00
+ m@))'=
900.
c) Deoarece
52 242
+ nz
un singur
(r
= j)
fiimu:eazl-
triunghi reptunghic.
en'trJ
<h<'1,n2
241
ZS2.yorr
5,
valo
perltJu
riunghiul
obruzunghic,
enru
z ) 8,
n'
+
24'
>
25'
5i
n'
+
25"
>
24'.
pentru
a obline
riunshi
obtu^zunghic.l
rrebuie
t sarisfaca
negalitatea
2
>
24t.
+
25'o h>
^ll20l
=34,6...
+35 z < 48.
Se $in
rc514 alori.
a)* = : = ; : = ' "i; . Deoarece49i25sunr rimentre
l ) h
24 n+49
ele valoarea
omun[
a rapoartelor
este nunirul
nafural
gi
,?
+
49
este n
divizor l lui
165
=
3.5.11.
Av6nd
9i
50
<
k
+
49
<
98,
se
obl ine,?
49
=
55,apoi
?=6.
72.Da@ WN:90u, anrlilciABC= '
=
1800,
eea eeste
bsurd.
Iig
12)
DacdBMPN
ar
fi romb,
atunci
56
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 58/64
BPIAC;
cee^d
e at
contmzice
unicitatea
peryendicularei
i[
B
p
AC.
in
triunghiul
4rt
bisectoarele
in
,4
9i
B
suni
concuente
iII
M.
(EM
ta
fi
cea
de
a
teia
tisectoarg;
4WB -
;
4AEB.AE Il BC =.> 4AEB = 4CBE :+
?. 1YB
=
+EBN
>
w
llrlv
Analoe,
pllBM.
Deci,
,,141y'
este
un
paralelogram
73.
AC
=
3, A'B
=
2Ji qi
BC
=
|
-,q,C
=,4,8
+
aC
=>
=+
+A'BC
=
90'.
Analog
4A'BD
=
9f .
ABM:B,
CBJA,B
i
DH-4'B
d'AB=
drBC
=
.&BD=rA.B.Cfl Dcoliniare.fu r3j
A
Fig.
13
74.
)E
(- t )
=-8;
0r
] :
r t r r
=.1
b)
611-x1=Jl
.1".
9
3
J
2t4.-" '
c) Sumaare 4008rermeni.Din b) rezuhaca sumaa doi
__
ermeni
galdepanalr
ecapete
ste
DeciS
2004.
/J.
a)
Numarut
steldacaa=b.c.d. \umarul
poale
i
2
pentru4=c;
b=
dsa:oa=
d;b
=
c.
Numirul
nu poate
i
3
sau 4,
deoarece
up6
o eventuald
simplificare
am
obline
ca
_ ,
un
numit par
ar
fi egal
cu un
numir
impar.
76._Fie
D,
E, F proiecliile
punctului
1 pe
laturile
triunghiului.
Rearltecn,D. BC - IE. CA /F. lj : 25.Urilizdnd
;sah;;
intreperpendiculare
tioblice
$irelafia
in
poteza
vem:
D
=
M
E
=
N, F
:
P
<> I
=
O
<.>A
ABC
echjtatei.l.
57
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 59/64
77. b) Ditr virful
unghiului obtuz trebuie se
plece
o lihie
$i
aceastanu
poate
ajunge
a latua opuse
pentru
ce ar da un
nou biunghi
obtuzunghic de imp64iL
Se
va
opri
intr-un
punct
nterior
phcii.
Din
acest
punct
trebuiesi mai
plece
rninim 4 linii pentru a nu avea unghi obtuz. Acesteapot
aJunge
cate una
pe
fiecare lature,
dar
pe
una doui.
Patrulaterele
e
vor
taia Ininimal n triunghiuridupe
diagonale,
eci 7 linii. c) Este
suficiento
iniltime petrtru
impariir
doue
laci
reprungbice.
CONCURSUL NTERJUDETEAN"Micii matematicieni"
l . a)n=
12'1+I)+(2
2+ l )+(2.3+ 1)+(2.4+ l )
+. . .+
+
(2
1000
1)
+ (2
.
1001 1) 2
-
4
-
6
-
8
-...-
2000 2002
-(2+4+6+8+.. .+2002)+
I
+ l .+. . .+l
-2-4
6-8-
-.
.
-
2002
=
1001. ) Jumdtateir apdcantereqte5kg etc.
c) 0,0); 1,0) ; 1,
1) ;
0,
1) ;
0,2) ; 2,
o) .
2. r
=
3000.b) Mihai a a\ait 110 irnbre;Andrei 105 imbre
$i
Ioana145de imbre.
3.^) ABH,
ABE, ABF,
ACD, ADE, AFG,
AGH, ACE, ABC,
BFC.BGD.BHE.
ABG.ABD.AFH
-
l5 triunghiufl.
b) Iezii aveau
1 an, 2 ani,
qi
,
respectiv,3 a.11i.
Lapra vea l ant$t upul / anl.
4,^)
20.b) 29.c) i20,
111, 02,2r0,201,300.II.a).b)
primul
nurnir este260,
al ll-lea ste200
pi
al III-lea esle
1
00. c) 36
$i
9.
5.a)1) 20 de numere; )
60 denumere. )
1992.
6.8. f
%.
deunde
=
2sau
"
1.E=7imp1tca1L-5=i.
de
unde
=
I
9i
4
.
I areultimacifd 5, mposibil.E
:
2 implcn
7 1,+1:E,deunde
L-3.4 A+L=5s t4 ,4+1=5sau
4' A + | = 25sa]d. A+ I = 35,deundel : I sau,4 6.
A= 6 impllcd2A
>
10, mposibil
pentm
ci P
>
0.
T.DeclA: I$i3 R
=
5 sau
.
R
=
4
,
de
unde
R
=
5
Si
P
=
1.
58
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 60/64
Avem:
11513232
t513232
513232
t3232
3232
232
32
2
13556426
BAREM DE CoRECTARE
8. a) 14395.
3p);
b) 108, 26, 144,
162, 80,216,234, s2,
270,306,324,342,60, t4, 432,450,
504, 22,540,612,
630,102,720,
810.
3p);
c) Produsul
ifrelornumerelor 3,
62, 34
tr
26 este12.
ip);
Produsulifielor
ui 15 este .(1p);
Ttrrru.ul{e 15.
lp):
I punct
inoficiu
9.a)a+ l0+ 5: a+ c
+
8,deunde
=
7.
(0,50p)
Suma umerelor ediagonalieste 1. (0,50p)
a+'7
+
d:2l ,d,eDnde
6.
(0,50p)
10
+
7
+
d= 21,
deunde = 4.
0,50p)
5+z+9:)r . lc , ,n/F ,
=
R rOsonr
Finalizare
0,50p)
b) 3 dreptunghiuri
i
5 triunghiuri
1,50p)
6 dreptunghiud
i
un hiunghi
(1,50p)
c)
6
lt
l----],
so
2r+50l--#
6,
+
I 8 r-r-----r----r----+--+--{--Tl-r
1r= (50 18) 4, z: 8;
m:8.2+6.
1 punct
din oficiu.
(0,50p)
(1p)
(
1p)
(tp)
59
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 61/64
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 62/64
a+ b= 12$i +
b
+
c
-
l8 conduce
a c
-
6. . , . . . . . . . . . . . . . . . .0,50)
6+9+d=18
,+6+3=18
6+a+9=18
3+9+e=18
9+6+/-18
6+3+g=18
conduce
a d= 3 ...................0,50)
conduceab = 9................-..0,50)
conduceaa=
3...................
0,50)
conduce
a e:6 ...................0,50)
conduceajr=
3 ....................0,50)
conduceag
=
9 ...................0,50)
din
supmfatd................p
dinsuprafald
................p.
Tabelul omDlet
ste
sae:
6 3 9
6
3 9
o 3
9
(0,50 )
I
punct
inoficiu
13. ) 1. 13
+
15
+
l=29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
.
2. 16
+
13
+
1- 30.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
.
3. 16
+
l5
+
1= 32.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
.
b) in ziuaa7-aeste coperite din supralaF........... p.^2
- in ziuaa
6-aeste coperittr
-
in ziua
a 5-aeste coperita
14.a)0 6+0:. . . . (1p)
1.6+l=7.. . . ( tp)
2.6+2=14.. . (o,sp)
3.6+3=21
..
o,sp)
4.6+4:28.. . (0,5p)
5'6+5-35.. . (0,5P)
h) ABC,
ABD,
ABO, ABE, ACD, AOD,
BCO, BEO,
BCD,
BHD, BCH,BCE, BGI, COD, CEH,(15 triunghiuri) ... (5p)
Din
oficiu 1p.
l
4
I
8
I
punct
di
oficiu
6l
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 63/64
15.a) l l
+2-(5.b+
3c)>
11
conducea a
<7,
deci
a= t . (1p)
2'(5b
+
3c)= 66 cottducea 5,
+
3c
=
33.
(1p)
b=3,c=6 b-6,c- l . ( tp)
b)3. I + I =4;3.4+ I : 13;3 13+ =40;
3
.40
+
1= 121.
3' l2 l+ l=364.
3 364+l=1093.
( lp)
(1p)
(1p)
3.1093+1=3280. (1p)
c) Cel mai mic num& naturalscriscu trei cifre
diferite
care
(
1p)
(1p)
Din oficiu
p.
16.
Numdf,ul aielilor 5mati dupi ce au trecut eul cei 20 de
bnieti.........................-......
-r-+.....................(2p)
NunAruliietilordin
nrp.-.+
-'''0".......,..
ZO)
Numirul blielilor rimaf dupi a
II-a
traversare
. p)
r
- -?9
+-t....reprezinti.. .
t*--t...............(2p)
t..-....r
reprezinti 20 de btrie1i.
(1p)
Lascaldatu
plecat:
0
+
20
2
=
60
oiieti)
o,noar"r.l1oJ,
sh
aresuma ifrelor 1 este128.
Numirul cdutat ste 72.
62
TE{E{
tploaded
ustefso
8/11/2019 Carti Concursuri.interjudetene.de.Matematica.botosanene Clasele.4 8 Ed.taida
http://slidepdf.com/reader/full/carti-concursuriinterjudetenedematematicabotosanene-clasele4-8-edtaida 64/64