CoordonatoriDANA HEUBERGER FIORIN BOfOR

Nicolae Muguroia Dana Heuberger Gheorghe BoroicaFlorin Bojor Vasile Pop

MnTTMATICA DE EXCELENIA

pentru concursuri, olimpiade gi

centre de excelenli

Clasa a lX-aEdigia a ll-a,

revizuitd, gi addugitd

CUPRINS

TESTE INITIALE ......................... 9

Sor,uprr,r rEsrELoR INITIALE..... ....'..".'."...'.'... l0

L PRrNCrprur, TNCLUDERTT $r EXCLUDERII (GUroncHe Bonolce $l VA5ILE POn) ............,..,...,...12

2. Mur-nm DE NUMERE (GHaoncur BoRolcA) ........31

3. Dtvlztutl,nerce iN Z lcmorucaa Bonotce)... ...................,.'.'44

4. GeouprruecoMBtNAroRIcA (VnsllaPoP)..,............ .,,,'.""""'57

5. Rrlarr ereNa (Vestln Pon).....'..... ............""""72

6. Ecuell otoneNnce (GHEoRGHE BoRolcA)...... ...".............'...'.87

7. IrccnlrrAlt (FlozuN Boton) ....'.'. 100

8. Tlpuru oe nouclte (DANA HEUBEncrn)........". .................'... I l5

9. gnuru nrcuRENrE $t PRocRESn (FLoRIN BoJon)........".'..... .." 140

10. FuNclrt (DANA Heusencrn). ...... 153

I 1 . Tsongile cELEBRE DE GE6METRIE rlaNA (FlontN BoJoR $I NlcoLAE Mu$uRote)............ 183

1 2. Vecronl (DeNe Heuoe ncen 9l NICoLAE Mugunote)... '........201

13. Anllcelrr ALE rRlcoNoMrtruet iN elcpsnA (NICoLAE Mugunore) ..-.,......228

14. Anlrcelt ALE rRlcoNoMerrusl iN GE9METRIA PLANA (NIC6LAE Mugunote)'.. ..'............,243

15. Pnoousut scet an (Ntcornr MuSunole) ."....."".... ......',....261

Tusrr FrNALE........ ......276

Sot ululn rEsrELoR FINALE........ ...........'.........278

BlsLtocRArIE """""""" """"""""' 284

CAPITOLUL 1. PRINCIPIUL INCLUDERII $I EXCLUDERII

Prezentim in continuare o tehnic[ util[ in rezolvareaunor probleme de numlrare.

1.1. Teoreml (Principiul includerii qi excluderii)

Daci multimile A1, Az, ..., A, sunt finite, unde n € N, n > 2 $i l4l reprezintl

numdrulde elemente din mullimeaA*(k . t,r), atunci:

lurl = p, l-,2 14

n 4l**,Pr*14 n,e,^ 4 I -... * r-r- lno I

Demonstrafiie: Vom demonstra formula anterioari prin inductie matematici. Pentru n = 2,avem de demonstrat ce: ly'w Arl=leJ*l+l-ll, nlrl. intr-adevdr, numdrul elemen-telor mulfimii A1w A2 este egal cu suma numdrului elementelor lui A1 qi A2, din carese scade numIrul elementelor comune celor doud mullimi, elemente care au fostnumirate de dou6 ori. Presupunem ci formula de demonstrat este adeviratd pentrur e N* gi o demonstrdm pentru r + l. Fie mullimile finite 11, A2, ..., A,, A*t. Cu notaliaB = Atw A2W ...W An, avem:

lA,u 4u...\J A*,|=lnv .1,.,1=lnl+1,t,.,1-ln a4.) (r)Deoarece opera{ia de intersectie este comutativ[, asociativ[ qi distributivl fati de

reuniune, avem: ln n,q,.,l =lt4 a 4.,) v (,4, a A,u) w ...v (4., 4., I''i i V n 4.,1 -- Z lo,aA,nA,*rl+...+(-l)*, .l,lrr-r,lr^...n A,.,1. t)tiliziind rela(ia (l), ipoteza

l<i<j3n

induc{iei pentru mullimile Ar, Az, An qi relatia anterioari, vom obtine:

14 u + w ...v 4ul =Zl,tl -,A,ln, n n,l*,=,A.,14 n n, a Aol- ... + (-r)*' .1,4 n 4 a

. (, --, \a... a 4l+14., I - J lla a 4,ul- Z 14 a A, a,\ul+... + (-l),-, .lq n An... n,4., I i =

\ i=t t<i<j<n' - ""' )

n+l

=Zle,l- ,=,1=,,,1n,

a A,l+ ,=,.Z=,*,ln,n

A, n Ar.,l-...+ (-t)' .lA, a A, o...n A*,1,

ceea ce trebuia demonstrat.

1.2. Consecinftr. Dacd A, B, C sunt multimi finite, atunci sunt utile urmltoarele cazuriparticulare:

g lav al=lal+lnl-la a al;

b) l; u B w cl = l,el + lal +lcl - (la a nl +lan cl + lr n cl) +len B n cl.

Notiim cu rp(n) func{ia indicatorul lui Euler, adic[ numirul de numere naturale maimici decit n gi care sunt relative prime cu n, unde n e N', n) 2,iar e(t) = f .

12 | m.t.-atictr de excetenfi. Clasa a tX-a

1.3. Observatie. Formula din teorema anterioarl rlmdne valabili dacl se inlocuiegte

,V" cu rrA" $i rrn" cu rru". Afunci oblinem:

lA,aArn...^ A,l=flA,l- I le,u,a,l+ I le,u.t,w Aol-...+j=l l<i< j<n

*(-t)^' .lA, u,q, w ...v A,l.

1.4. Propozifie. Daci descompunerea in factori primi a numirului natural nenul n

este,?= pi,.pi,.....p';, atunci q(n):, [,-f.] [,-fl [,-fl\ P,)\ P,) \ P,)

Demonstrafie.. Vom calcula numirul n - q(n). Acest numdr reprezinti numIrulnumerelor naturale mai mici decdt n gi care sunt divizibile cu cel pufin unul din nume-

rele pi, i e G. Oace notlm cu l; mulfimea numerelor naturale mai mici decdt n gi

divizibile cv p; t atunci avem:

n - q(r) =lA, u g w ...w A,l=iln,l- Z lA,n,e, | +... + ( -r\'"'lA, a A, a... a A,l,

i=l lsi<j<n

deci q(n) =, -tt*,,n,h-...+(-r)''

l<i<j<k<n

h'Pz'...'P,

=,[,-};*,,a,*-...+(-l),#)=,[,;)(,;)[,-*),ceea ce trebuia demonstrat. La ultima egalitate s-a folosit faptul c6:

(r-r, )(*-*r).....(r- xn)=x" -(r, * xz*...+xn)'xn-t + I xi'xj'x'-2 -l3i<i3n

-...+(-l)' .xr.xz.....xn, relatie ce se poate demonstra prin inductie matematici, unde

X, X1, X2r..., Xo €lR, n e N*.

1.5. Consecinftr. Dac6p este un num6r natural prim, atunci:

a)<p(p):p-l;b) ,p(p') = pr - pr-t,& e N'. Demonstratia rezultl imediat din proprietatea anterioarl

sau din defini1ie.

PRtNcrptut LUt DtRtcHtET

Daci vei dori sd pui trei bile in doui cutii, in mod sigur vei pune cel pufin doud bilein aceeaqi cutie. De asemenea, nu se pot aranja patru cutiu{e in cele 3 sertare ale unuibirou fdrl a pune cel pufin doud cutiu{e in acelaEi sertar. Distribuind cinci iepuri'inpatru cugti, proprietarul acestora va fi nevoit sd pun6 cel pu{in doi iepuri in aceeagi

cugc[.Aceste observafii simple stau la baza unui principiu care poate fi formulat astfel:

dac[ introducemn + I obiecte in n cutii, atunci va exista o cutie care va confine celputin doul obiecte.

Matematici de excelen!tr. Clasa a lx-a I t 3

Varianta discretd a acestui principiu este cel mai simplu exemplu de rafionament,,de bun-sim{" cunoscut sub denumirea de principiul lui Dirichlet sau principiul cutiei(Principe de tiroirs - principiul sertarelor, in francezd; Pigeonhle principti - princi-piul cugtilor de porumbei, in englezd). Principiul cutiei este legat de numele mate-maticianului german Gustav Lejeune-Dirichlet (1805-1859), cu toate c6 era binecunoscut cu mult inaintea acestuia. Meritul lui Dirichlet este acela de a fi aplicat acestprincipiu in multe probleme de teoria numerelor.

Acest rafionament extrem de simplu are marea calitate de a putea fi stlp6nit deelevi de la cea mai fragedl v6rst[ qi, dacd profesorul qtie s[ le ofere probieme cuenunfuri variate, le poate dezvolta copiilor pasiunea pentru rationamente matematicecare urneazl a fi folosite in situalii mai complicate.

Vom da in continuare unele formul6ri ale principiului cutiei in algebrl sau geome-tria combinatoric6.

PnrNcrplur t-ut DtRtcHrET iN ALGEBRA

Dim in continuare doud formuldri in algebrd are principiurui cutiei.I. Daci tepattizdm n . k + I obiecte in & cutii, atunci va exista o cutie in care se

aflE cel putin r + I obiecte.II. Fie I o multime nevid6 gi A1, A2, ..., A, (ne N') o partilie a mullimii A, adicd,

Au Azu... \J A,= A qi A;a4:A pentru i,j e {1,2,...,n},i*j.Dacd avem n * I elemente din A, atunci va exista o multime A; gi care si confin6

cel pufin doui dintre cele n * I elernente considerate.Acest principiu stabileqte existenta unei cutii cu anumite proprieti{i, fiind aqadar un

principiu de existentl Ei nu unul constructiv, deoarece nu stabileqte un algoritm deaflare a cutiei cu proprietitile dorite. Diversitatea gi frumusefea proLlemelorln .ur. ,.poate utiliza principiul cutiei face ca, la numeroase concursuri iau in diverse c6r[i despecialitate, acest tip de probleme sE fie mereu prezent.

1.6. Exemplu. Arltali c5, oricum am alege 7 pdtrate perfecte distincte, exist6 celpufin doud a ciror diferenld se divide prin 10.

Solulie: Restul imp[(irii la l0 a unui numdr este egal cu ultima cifra a numirului. Unp6trat perfect poate avea ultima cifrd egalr cu 0, I , 4, 5, 6 sau 9. Cum avem 7 pltrate$i-doa1 6 posibilitnli pentru ultima cifr6, vor exista doul pdtrate care au aceeagi ultim6cifrd. Diferenla acestora se divide cu 10.

1.7. Exemplu. Aritati c6, oricare ar fi 7 puncte intr-un disc de razd l, existl dou6puncte intre care distanfa este cel mult l.

Solulie: impS4im discul in 6 sectoare congruente. intr-unul dintre cele 6 sectoare seg6sesc cel pufin doui dintre cele 7 puncte. Atunci distanta maximi dintre dou6 puncteaflate intr-un astfel de sector este l.

14 | matematici de excetenti. Clasa a tX-a

Pntuctptut t-ul DtRtcnlrr iu GEoMETRIA colaatNlrontcA

O varianti geometricl a principiului lui Dirichlet care ne apropie de geometria com-

binatoric[ ar fi dacl pe supiafala unei mese de arie .S se aqazl foi de h6rtie avdnd suma

ariilor ,f > S, atunci existi cel putin doul foi suprapuse'

O priml generalizare a principiului cutiei ar fi: daci in n cutii introducem m obiecte

$ m> p.n,p e N', atunci existl o cutie care con{ine celpufinp * I obiecte'

Se observi c[ in varianta discretd, algebricd, esential este si cunoa$tem numIrul obiec-

telor gi num6rul cutiilor, iar in varianta geometrici sI cunoagtem aria mesei qi aria obiec-

telor, adic[ o misuri a lor.Cadrul teoretic care permite studiul problemelor in care se aplici principiul.lui

Dirichlet gi generalizarile lui il constituie spatiile mtrsurabile, formate din submullimi

ale unei mullimi date (submullimi m6surabile) qi de o,,misur6" pentru fiecare dintre

aceste mullimi.Fie Xo mul(ime, P(,Y) mullimea p6(ilor sale qi m : P(X) + [0, co) o functie numiti

mlsurl pe X, cu proprietlfle:l) m(O):O;2) m(A tY B) = m(A)+ m(B)- m(A a B)'

1.8. Observafie. ln teoria mdsurii, in loc de P(X) se ia o submullime P,(n formatidin mullimi miiurabile (in sens Lebesgue sau Jordan), dar pentru aceasti lucrare

consider-lm c[ nu trebuie sI dezvoltlm teoria cea mai generalS, av6nd in vedere cItoate mullimile cu care se lucreaz[ in gcoalI sunt mullimi normale (misurabile).

Fie At, Az, ..., A, e P(X). SE notlm: It: U (An a A, n."Ai*), k =G'l<r1 <,..<r1 <n

1.9. Propozifie. Pentru oilce A6 A2, ..., A, e P(X) este verificatS egalitatea:

f*Ur>=fmQr).t=l k=l

Demonstralie: Demonstra[ia este un util exerciliu de aplicare a principiului induc(iei

matematice.

Pentru n -- 2, oblinem: m(A) + m(Az) = m(A1 w A2) + m(A1 a A) adev6rat6 din

proprietatea 2) din definitia mlsurii.irresupunem relafia adev[rati pentru n gi o demonstrdm pentru n * l.Fie I'r= U (A,,AA,,A.,Al,r). Avem: Il=Irv(A*rn1*-,) 9i oblinem

l<ti <...<il <r+l

m(I i) = m(I ) + m(A,*r A 1r-r ) - m(l r A A,*t), k = 2, n, aqadar:

m(li';= m(I,)+ m(A*,)- m(I, o A*,)m(l'r) = m(lr)+ m(1, a A*,)- m(lr^ A*,)

m(l',\ = m(l ,) + m(I ,-, n A*,) - m(I , A A*r).

Atunci oblinem: frg) =fmQ o) + m(A*,) - m(An*r a I ,),/r=l *=l

Matematici de excelen!tr. Clasa a lX-a I t 5

dar 1,^4,*r :I'n*,, deci fm(Ii)=in,r1lo)+m(4,*,) qifolosindipotezainducliei,t=l k=l

n+l n+l

avem: Z*(I)=Z*(A).l=t

1.I0. Corolar. Daci lp*r: A,atunci: l,*rrr, = O *(12Or)

(Dacd orice element din reuniune apa(ine la cel mult p submullimi, atunci sumamdsurilor lor nu deplgegte de p ori mlsura reuniunii.)

Demonstralie.. Avem, evident, 11) I2l ... f lo+r ) ...3 ln,aqadar m(I ) > m(I z) > ... >_ m(I p) Z. m(I p* ) > ... > m(t,),deci lpt : A > m(I*) = 0, Yk > p + l.Folosind relatia din propozi{ia anterioar[, oblinem:

t*rnrr=t*r,rr< p.m(I)= o *(2or)

1.11. Corolar (Principiul cutiei generalizat)

Dace fm(A)> p -(2U), existe ir, iz, ..., ip+r cul < ir < iz< it < ... I ip,r 3 n,

astfel inc6t A,, i A,, n...n A,., *A.(Dacd suma mrsurilor submultimilor At, ...,1, depigeqte de p ori masura reuniunii

lor, atunci existi puncte in reuniune care sunt acoperiie de cer pulinp * I submultimi.)

1.12. Observafie.a) Dacixeste finitI, se poate lm m(A): numdrul elementelor mul{imii l.b) DaclX e IR., pentru a < D definim m([a, b]) : b - a.

c) Dacd X e lR2, putem lua ca misu rd aria.

d) DacnX e IR3, putem lua ca mdsurl volumul.

1.13. observafie. Pentru cazurile geometrice b), c), d), putem enunfa cele dou6corolare sub forma:

b) Pe un segment de lungime I se pun n segmente de lungimi L1, L2, ..., Ln.o Dacr Lr * Lz* ... L,> z, atunci exist[ dou6 segmente il qi Llcare au cel pu{in un

punct comun.o Daci Lr * Lz * ... Ln < r, atunci existi pe segmentul de lungime z un punct care

nu se afl6 pe niciunul dintre segmentele L1, L2, ..., L,.o Daci Lr * Lzn ... Ln> p' L, atunci existd [p] * r segmente care au un punct

comun.c) Pe o suprafa{l de arie S se agaz6 n suprafele de arii ,Sr, &, ..., &.o Daci sr + sz + ... & <,s, atunci existr pe ,s un punct care nu se afl[ in nicio su_

prafafi&,i= l,i.

16 | matematici de excelenti. Clasa a tX-a

o Dac6 Sr + Sz + ... & >p .,S, atunci existi [p] + I suprafefe car€ au un punct co-

mun.

d) in interiorul unui corp de volum Z se deseneazA n corpui de volurne Yv Vv - Yn

o Dac6 V1 * V2 * ... vn> v, atunci exista dou6 corpuri vt $i Yi care au Fffi smune.

o DacE V1 * V2 * ... Vn < V, atunci existd in Z puncte care nu se afl6 in niciun corp

Y;,i:fi,oDac6\*V2*...Vn>p'Y,atunciexistdp]*lcorpuricareauunpunctcomun'

1.14. Exemplu. Oricare ar fi funcfia f : {1,2, "', mn + l} + {1,2""' z}' exist[

i t, i2, ..., i,+r astfel incdtfli 1) : fli) : ... :.fli*)'

fululie: Fie Ar: {/(k)\, k : l,mn +L Atunci,'l)t or c' {1, 2, "', m\ )lz[ij' er)< ^;

t *@S=mn+l, deci Z*U)r,[,(!=j',-)] ei din cororarur r'rl' existl

An, A,r, ..., A,,n, atA,,11A,r..,,...A,*,*A, deci /(11)= f (i)E"'E f (iru)'

1.15. Exemplu. Punctele de pe suprafata unui hexagon regulat de latur[ 1 se

coloreazd cu 6 culori. Ar6tati cd exist6 dou6 puncte de aceeaqi culoare inffe care distanfa

este cel putin L

blulie: Distan(a intre oricare douf vfirfuri ale hexagonului este ) l, deci dacl dou6

dintre v6rfuri ar fi de aceeaqi culoare am terminat. Daci cele 6 vdrfuri sunt de culori di-

ferite, atunci oricum am colora centrul cercului distan{a de la el la varful de aceeaqi

culoare este 1.

1.16. Exemplu. intr-un teren pltrat cu latura de I km se g[seqte o p[dure cu 4500

sejari de diamitrul 50 cm. Arita{i cI se poate sipa in pldure un lac de l0 m x 20 m

flrl a tdia niciun copac.

hlulie:1mp[(im pldurea in suprafe(e dreptunghiulare de dimensiuni 10,5 m x 20,5 m.

Formam astfel 48 x 95 = 4560 dreptunghiuri. Cel pu[in unul dintre dreptunghiuri nu

con{ine niciun copac. in acest dreptunghi putem sipa lacul'

1.17. Observa{ie. Bordarea dreptunghiurilor de dimensiuni 10 m x 20 m este ne-

cesarfl, c[ci, dacd centrul unui copac se afl6 in afar6, dar foarte aproape de margine,

copacul intrd in dreptunghi'

1.18. Exemplu. in interiorul unui ffiunghi se consider6 7 puncte. Ar[ta(i ci se pot

alege trei dintre ele care s[ formeze un triunghi de arie mai micl sau egal6 cu 1'

Matematici de excelenli. Clasa a tx-a I t 7

Solulie: imp54im triunghiul in dou[ triunghiuri de arie paralelogram de

I

,. Cel putin una dintre cele trei zone confine cel pu{in trei dintre punctele date. DacI

ele sunt in triunghiuri, am terminat. Dac6 avem trei puncte in paralelogram, elefotmeazd un triunghi de arie cel mult jumitate din aria paralelogramulri, deci cel mult

esald cu 1."4

PROBLEME DE ANTRENAMENT

1.A.1. Cdte numere naturale mai mici sau egale cu 2013 sunt divizibile sau cu 2, saucu 3?

Solulie:FieA= {2nln e N,2r<2013} 9iB: {3nln e N, 3n<2013}.Cum(2,3)= l,

avem cd A a B: {6n In e N, 6n s2013}. Evident, numdrul cdutat este llugl== l,nl +lrl -le ^.Bl = looz + 672 -336 = 1343.

1,4.2. Toli locuitorii dintr-un orag vorbesc fre franceza, fie germana.Dacd 64%o vor-besc franceza gi 58% gerrnana, c6(i vorbesc ambele limbi?

Solulie: Deoarece datele din ipotezl sunt exprimate procentual qi nu se cunoaqte nu-m[ru] locuitorilor oragului, este bine si luim ca numlr de locuitori ai oraqului 100 girezultatul va fi un procent. Notdm cu E mullimea locuitorilor oragului, cu F mullimeavorbitorilor de limbl francezd gi cu G mullimea vorbitorilor de limbd german6. Atuncivom avea: lfl=lfuGl=card(F)+card(G)-card(F nG), deci card(F aG)=64 I+ 58 - 100 = 22. Aqadar, 22Yo dintre locuitori vorbesc ambele limbi.

1.A.3. Cdte numere compuse din z cifre exist6, qtiind ci acestea contin doar cifrele l, 2,3, dar pe fiecare dintre acestea cel putin o dat6?

Solulie: Este necesar ca n Z. 3, n e N. Un astfel de num6r are forma ata2...an ctt

ao e{1,2,3}, k =li. D"ourece fiecare cifri dintr-un astfel de num6r se poate alegein trei moduri, cu principiul produsului, vor exista in total 3'numere de n cifre formatedoar cu cifrele l, 2 gi 3. Notdm in continuare cu A;mullimea numerelor de n cifre ca qimai sus care nu contin pe i, i € {1, 2, 3}. Avem de calculat numIrul:

l4 ^4 ^41 = t' - l.r, v A, w gl = z' - (l 4l *l +l * I ql) * I a n,El *l a n e,l +l e, n 4l -

-ll, n A, a Arl, unde ,1 reprezintd mullimea numerelor de n cifre care confinepe i. Deoarece l,l,l=lArl=llrl=Z' (pentru fiecare cifr6 din numdr sunt 2 posibilitllide alegere),

lat n,l2a4l=y -2.2, +3.

18 | Matematici de excelenftr. Clasa a tX-a

I- slun4' ane

1A.4. Fiecare dintre cele treisprezece drepte distincte impartnrprafap unui pdtrat in doui patrulatere cu raportul ariilor

eqal cu 1. eret4i cE cel putin patru dintre dreptele consi--4derate trec prin acelaqi punct.

Solulie: SI observ6m c[ dreptele date nu pot intersecta dou[Iaturi vecine ale pltratului ABCD dat, c[ci, in caz contrar,

D

P

A

a

B

pentru o astfel de dreaptl s-ar forma un triunghi qi un pen-

[agon sau doul triunghiuri. Fie atunci o dreapti care intersecteazi laturile AB 9i CD inpunctele E, respectiv F.-

Trapezel "

)gfO qi EBCF au inalfimile egale cl AD qi atunci raportul ariilor

lcestora ..1" srur, -f,teu

* on'no =

P]-=], adica acesta este egal cu raportul

Srr., L, nn + FC\. BC RQ 4'2'

iiniilor mijlocii. Atunci dreapta EF impafte segmentul PQ cate uneqte mijloacele

.arurilor AD qi BC in raportul ]. D.ou...e existd patru puncte care impart liniile,4

rnijlocii ale pIhatului in raportuf ] t.at. dou[ pe fiecare linie mijlocie) qi fiecare

dintre cele treisprezece drepte trece prin unul dintre aceste puncte, cu principiul cutiei,

5a rezulta ci existE cel pulin patru diepte dintre cele date care trec prin acela6i punct.

1.A.5. Se considera n un num[r natural nenul. Se coloreaz6 fiecare punct al planului cu

ma dintre cele n culori. Ardtafi cd existh un dreptunghi cu vdrfurile de aceeaqi culoare.

fululie:Fie in plan un sistem de axe ortogonale' Considerlm punctele de coordonate

1i,7) cu ie{1,2,...,n*l},le \r,r,...,nn*t +r}.cumpentrufiecarepunctdinplan

avem n posibilitili de colorare,punctele de pe linie se pot colora inn*r moduri. Curn uuern n'*t + Ilinii, cu principiul cutiei, deducemci exist[ liniile k qi / colorateidentic, unde &*/. Deoarece Pe o

astfel de linie avem r + I puncte 9idoar n culori, cel putin doul Punctede pe aceste linii au aceeaqi culoare

;i fie (a, &) gi (b, /) aceste Puncte.

nr*l +lI

k

2

I

1234a b n n+l- x

Aruncidreptunghiul.determinat de punctele (a, k), (b, k), (b,l), (a, I) arc vdrfurile la fel

colorate.

1.A.6. gase colegi de clasl particip[ la un concurs de tir. Arita{i ci cel pufin doi dintre ei

au lovit de acela{i numir de ori 1inta, in condiliite in care linta a fost atins[ de 14 ori.

Matematici de excelenfi. Ctasa a lX-a I t9