Geometria plană și în spațiu

GEOMETRIE

•

•

Toate corpurile din jurul nostru au o anume formă.

CU FIGURI GEOMETRICE PLANE:

pătrat

Corpurile geometrice se aseamănă

DREPTUNGHI

TRIUNGHI

• RECUNOAŞTEŢI PUNCTUL ŞI LINIA

RECUNOŞTEM PRINTRE ACESTEA:

DREAPTA ESTE NESFÂRŞITĂ, SE POATE PRELUNGI LA AMBELE CAPETE.

SEMIDREAPTA ESTE O DREAPTĂ MĂRGINITĂ LA UN CAPĂT.

SEGMENTUL DE DREAPTĂ ESTE LIMITAT, MĂRGINIT LA AMBELE CAPETE, NU POATE FI PRELUNGIT.

se denumesc simplu drepte.

DUPĂ FORMA LOR DREPTELE POT FI:

LINII FRÂNTE

deschise închise

LINII CURBE

deschise

închise

DUPĂ POZIŢIA LOR DREPTELE POT FI:

• ORIZONTALE

• VERTICALE

• OBLICE

DUPĂ POZIŢIA A DOUĂ DREPTE,

ELE POT FI:DREPTELE PERPENDICULARE

SUNT FORMATE DIN DREAPTE ORIZONTALE ŞI VERTICALE .

DREPTE PARALELE

DREPTELE CARE NU SE ÎNTÂLNESC NICIODATĂ.

DREPTELE OARECARE

SUNT DREPTELE CARE NU SUNT NICI PARALELE NICI PERPENDICULARE.

LINIA FRÂNTĂ ÎNCHISĂ SE NUMEŞTE POLIGON.

SEGMENTELE DE DREAPTĂ DIN CARE ESTE FORMAT UN POLIGON SUNT LATURILE POLIGONULUI.

TIPURI DE POLIGOANE:

• TRIUNGHIUL ESTE POLIGONUL CU 3 LATURI ,• PATRULATERUL ESTE POLIGONUL CU 4 LATURI ,• PENTAGONUL ESTE POLIGONUL CU 5 LATURI ,• HEXAGONUL ESTE POLIGONUL CU 6 LATURI ,• HEPTAGONUL ESTE POLIGONUL CU 7 LATURI ,• OCTAGONUL ESTE POLIGONUL CU 8 LATURI , ……ETC.

SUMA LATURILOR DREPTUNGHIULUI SE NUMEŞTE PERIMETRUL

DREPTUNGHIULUI, SE NOTEAZĂ CU P

P = L + L + L + L SAU

P = 2 L + 2 L SAU P = 2•L + 2•L

P = 2 X ( L + L )

Semiperimetrul este jumătate din perimetru, se notează cu Sp. (Sp=L+l)

Pătratul este figura formată din patru segmente egaleSegmentele se numesc laturi şi le notăm cu l.

Suma celor patru laturi se numeşte perimetrul

. P = l + l + l + l sau P= 4 x l

TEOREMA FUNDAMENTALA A ASEMANARII

O PARALELA DUSA LA UNA DINTRE LATURILE UNUI TRIUNGHI, FORMEAZA CU CELELALTE DOUA LATURI (SAU CU PRELUNGIRILE LOR) UN TRIUNGHI ASEMENEA CU CEL DAT.

A

B C

M

NP

NPBC

MPAC

MNAB

.Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

CRITERII DE ASEMANARE A TRIUNGHIURILOR

CRITERIUL DE ASEMANARE I (U.U.)

Doua triunghiuri cu doua perechi de unghiuri corespondente congruente sunt asemenea.

CRITERIUL DE ASEMANARE II (L.U.L.)

Doua triunghiuri cu doua perechi de laturi corespondente proportionale si unghiurile dintre ele congruente sunt asemenea.

CRITERIUL DE ASEMANARE III (L.L.L.)

Daca laturile corespondente a doua triunghiuri sunt proportionale, atunci cele doua triunghiuri sunt asemenea.


TEOREMA BISECTOAREIIntr-un triunghi, bisectoarea unui unghi, imparte latura opusa in doua segmente proportionale cu laturile unghiului.

A

BC

D

DCBD

ACAB


RAPORTUL ARIILOR TRIUNGHIURILOR ASEMENEA

B

A

B`

A`

C

C`

Daca triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul A`B`C`, atunci raportul ariilor celor doua triunghiuri este egal cu:

2

```

kAA

CBA

ABC

unde k (raportul de asemanare) este egal cu:

`````` CAAC

CBBC

BAABk

.

PROIECTII ORTOGONALE PE O DREAPTA

Proiectia ortogonala a unui punct pe o dreapta este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe dreapta data.

d

A (punctul dat)

A` (proiectia punctului)

dAA`

Proiectia ortogonala a unui segment de dreapta [AB] pe o dreapta este segmentul [A`B`], unde punctele A` si B` sunt proiectiile punctelor A si B pe dreapta data.

A

B

A` B`

d


PROPRIETATILE PROIECTIILOR ORTOGONALE PE O DREAPTA

1. Daca AB este paralela cu dreapta d, atunci proiectia ortogonala a lui [AB] pe dreapta d este un segment [MN] congruent cu [AB] .2. Daca AB nu este paralela cu dreapta d, atunci proiectia ortogonala a lui [AB] pe dreapta d este un segment [MN] mai mic decat segmentul [AB] .

A B

M N

A

B

M N

3. Daca punctul P este mijlocul segmentului [AB] atuci si proiectia acestui punct pe dreapta d, punctul Q este mijlocul segmentului [MN]

P

Q.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

TEOREMA INALTIMIIIntr-un triunghi dreptunghic, lungimea inaltimii din varful unghiului

drept este media geometrica a lungimilor proiectiilor ortogonale ale catetelor pe ipotenuza.

Sau : Intr-un triunghi dreptunghi patratul lungimii inaltimii duse din varful unghiului drept este egal cu produsul dintre lungimile proiectiilor catetelor pe ipotenuza.

A

B CD

DCBDAD DCBDAD 2

APLICATIE:Daca BD=3cm si DC=12cm

Atunci:

cm

DCBDAD

636123


TEOREMA CATETEIIntr-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometrica a lungimii ipotenuzei si a lungimii proiectiei ei ortogonale pe ipotenuza.

Intr-un triunghi dreptunghic patratul lungimii unei catete este egal cu produsul dintre lungimea ipotenuzei si lungimea proiectiei catetei pe ipotenuza.

SAU

A

BC

D

;BDBCAB BDBCAB 2

La fel se aplica teorema catetei pentru AC!

Aplicatie: Daca BD = 6cm si BC = 18cm

.36

108618

cm

BDBCAB


TEOREMA LUI PITAGORAIntr-un triunghi dreptunghic, suma patratelor lungimilor catetelor este egala cu patratul lungimii ipotenuzei.

A

B C222 ACABBC

Problema 1.

Problema 2.

In triunghiul dreptunghic ABC, AB = 4cm si AC = 8cm. Aflati lungimea ipotenuzei BC.

Rezolvare:

.5480

.80641684 22

222

cmBC

ACABBC

In triunghiul dreptunghic ABC, AB = 6cm si BC = 12cm. Aflati lungimea catetei AC.Rezolvare:

.36108

.10836144612 22222

cmAC

ABBCAC


FUNCTII TRIGONOMETRICE1. Sinusul masurii unui unghi ascutit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre lungimea catetei opuse acestui unghi si lungimea ipotenuzei.

2.Cosinusul masurii unui unghi ascutit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre lungimea catetei alaturate acestui unghi si lungimea ipotenuzei.

3. Tangenta masurii unui unghi ascutit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre lungimea catetei opuse acestui unghi si lungimea catetei alaturate acestui unghi.

4. Cotangenta masurii unui unghi ascutit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre lungimea catetei alaturate acestui unghi si lungimea catetei opuse acestui unghi.

AB

C

BCACB sin

BCABBcos

ABACtgB

ACABctgB


INTOCMIREA TABELULUI CU VALORI PENTRU: sin, cos, tg, ctg.

300

600

1

2

3450

450

1

1 2

Pentru a intocmi tabelul de valori a functiilor trigonometrice, construim doua triunghiuri dreptunghice, unul cu un unghi de 300 si celalalt de 450.

300 450 600

sin 1/2 2/2 3/2cos 3/2 2/2 1/2 tg 3/3 1 3ctg 3 1 3/3

Se aplica teorema lui Pitagora si se afla lungimile laturilor, in prealabil stabilim o cateta de lungime 1.Aplicam relatiile din lectia precedenta si aflam valorile functiilor trigonometrice pentru diferite valori (300, 450, 600)


ARIA UNUI TRIUNGHI

CA

B

D

h

b

1. Daca se cunoaste lungimea unei laturi (baza) si inaltimea , h, corespunzatoare lui b, atunci: 2

hbA

a

2. Daca se cunosc lungimile a doua laturi (a si b) si masura unghiului cuprins intre ele, atunci: 2

sin

baAc

3. Daca se cunosc lungimile celor trei laturi, a, b si c, atunci:

))()(( cpbpappA

.

Unde p este semiperimetrul triunghiului.


ARIA UNUI PARALELOGRAM

A B

CD

bE

h

1. Daca se cunoste lungimea unei laturi, b, si inaltimea, h, pe aceasta, atunci:

A = bh

a

2. Daca se cunosc lungimile a doua laturi consecutive si masura unghiului cuprins intre ele, atunci:

A = absin

d1d2

3. Daca se cunosc lungimile diagonalelor, d1 si d2, si masura unghiului cuprins intre ele, , atunci: 2

sin21

ddA.


ARIA DREPTUNGHIULUI

A B

CD

O

L

l1. Daca se cunosc dimensiunile dreptunghiului, lungimea si latimea, atunci:

A = L l

d

2. Daca se cunoste lungimea diagonalei si masura unghiului cuprins intre diagonale, atunci:

2sin2

dA


ARIA PATRATULUI

A B

CD

l

1. Daca se cunoaste lungimea laturii patratului, atunci:

A = l22. Daca se cunoste lungimea diagonalei , atunci:d

2

2dA

.


ARIA ROMBULUI

A

B

C

D

lh

d2

1. Daca se cunoaste lungimea unei laturi si lungimea inaltimii pe o latura, atunci:

A = l h

d1

2. Daca se cunosc lungimile celor doua diagonale, atunci:

221 dd

A

3. Daca se cunoaste lungimea laturii si masura unghiului cuprins intre doua laturi, atunci:

A = l2 sin.Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

ARIA TRAPEZULUI

B

b

h

1. Daca se cunoaste lungimea bazei mari, lungimea bazei mici si a inaltimii, atunci:

2)( hbBA

d1

d2

2sin21

ddA2. Daca se cunosc

lungimile diagonalelor si masura unghiului cuprins intre ele, atunci:


CERCUL. DEFINITIE. ELEMENTEDefinitie. Fie O un punct intr-un plan si r un numar pozitiv. Cercul cu centrul O si raza r, notat C(O;r), este multimea tuturor punctelor din plan care se afla la distanta r de punctul O.

Cercul reunit cu interiorul lui se numeste disc.interior

exterior

O

r

Raza cercului

Diametrul cercului

Centrul cercului

Coarda

Unghi inscris in cerc cu varful in centrul cercului

Arc de cerc


Cercurile cu razele egale sunt congruente.In acelasi cerc sau in cercuri congruente, daca doua coarde sunt congruente, atunci arcele corespunzatoare sunt congruente.In acelasi cerc sau in cercuri congruente, daca doua arce sunt congruente, atunci coardele corespunzatoare sunt congruente.

In acelasi cerc sau in cercuri congruente, orice doua coarde congruente sunt egal departate de centru.

Perpendiculara prin centrul unui cerc pe o coarda a lui imparte aceasta coarda si arcele corespunzatoare in parti congruente.

A B

C

D

O

M

N

Daca [AB] [CD] arcul AB arcul CD (reciproca este adevarata)

Daca [AB] [CD] [OM] [ON], unde OM AB si ON CD.

Daca OM AB [AM] [MB]

.


Cercul care contine cele trei varfuri ale unui triunghi se numeste cercul circumscris triunghiului.

O

A

BC

Mediatoarea unui segment de dreapta este dreapta perpendiculara pe segment in mijlocul acestuia.Centrul cercului circumscris unui triunghi se afla in intersectia mediatoarelor triunghiului.

Centrul cercului circumscris unui triunghi se afla egal departat de varfurile acestuia.

RR

AabcR4

Unde:

a,b,c sunt lungimile laturilor triunghiului;

A = aria triunghiului..

R


POZIŢIILE RELATIVE A UNEI DREPTE FAŢĂ DE UN CERC

a

b

c

d O

A

B

M

P

Q

a – este dreapta exterioara cercului;b; c – drepte tangente la cerc;

d – dreapta secanta la cerc;PROPRIETĂŢI:

1. [AM] [BM]2. OA MA

DEFINITII:

O dreapta care intersecteaza cercul in doua puncte se numeste secanta a cercului.

O dreapta care intersecteaza cercul intr-un singur punct se numeste tangenta la cerc.

.


POZIŢIILE RELATIVE A DOUĂ CERCURI

O

O

O

O

O

OO`

O`O`

O`

O`

CERCURI EXTERIOARE

OO` > r + r`

CERCURI TANGENTE EXTERIOARE

OO` = r + r`

CERCURI SECANTE

r – r` < OO` < r + r`

CERCURI TANGENTE

INTERIOARE

OO` = r – r`

CERCURI INTERIOARE

OO` < r–r`

CERCURI CONCENTRICE

Au acelasi centru

.


UNGHIURI INSCRISE IN CERCA

B

O

m(<AOB) = masura arcului AB

M

m(<AMB) = (masura arcului AB) : 2

P

C

D

m(<CPD) = (masura arcului CM – masura arcului AB) : 2

E

W

m(<CWE) = (masra arcului AB + masura arcului CE) : 2


TRIUNGHI CIRCUMSCRIS UNUI CERC

A

B C

O

D

E

Centrul cercului inscris intr-un triunghi se afla in intersectia bisectoarelor.

OD BC; OE AB.

[OE] = [OD] = raza cercului.

AABC = prUnde: p = semiperimetru triunghiului ABC;

r = raza cercului inscris. .Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

PATRULATER INSCRIS INTR-UN CERC

AB

C

D Patrulaterul cu varfurile pe un cerc se numeste patrulater inscris in cerc.

Unghiurile opuse la un patrulater inscris in cerc sunt complementare.

Intr-un patrulater inscris in cerc, diagonalele formeaza cu laturile opuse perechi de unghiuri congruente.

<DBC <CAD; <CDB <CAB si altele.


LUNGIMEA SI ARIA CERCULUI

O

A

R

LUNGIMEA CERCULUI:

L = 2RARIA DISCULUI (CERCULUI):

A = R2

B

LUNGIMEA ARCULUI DE CERC AB:

0180R

LAB

ARIA SECTORULUI DE CERC CUPRINS INTRE OA SI OB:

0

2

360RAsc


POLIGON REGULAT. ELEMENTE GEOMETRICE

OA

B

C

D

R

RaM un

Un poligon este regulat daca este convex, are toate laturile congruente si toate unghiurile congruente.

Distanta de la centrul unui poligon regulat la oricare din laturile sale se numeste apotema poligonului.

Daca l este lungimea laturii, n = numarul de laturi, atunci:

Perimetrul, P = nl

2PaAn

nnun

180)2(


TRIUNGHIUL ECHILATERALA

B CD

h3l

AD BC;23

3lh

O

R33lR

a3

63

3la

432

3lA

.

P = 3lTit Cuprian – Sarichioi - 2007

PATRATUL

A B

CD

O

R

2

2

lR

sau

dR

E

a4 24la

A4 = l2

2ld .


HEXAGONUL REGULAT

A B

C

DE

FO

l

R

R = l

M

a6

23

6la

233 2

6lA

d = 2l.


54

Cubul este un corp geometric cu:

-6 fețe -12 muchii egale-8 vârfuri-toate fețele sunt pătrate

CLĂDIRI ÎN FORMĂ DE CUB

56

• ESTE UN CORP GEOMETRIC CU:3 DIMENSIUNI - LUNGIMEA

- LĂTIMEA

- ÎNĂLȚIMEA6 FEȚE8 VÂRFURI12 MUCHIITOATE FEȚELE DREPTUNGHIURI 57

58

Este unic deoarece peretii complexului, care seamana cu un mozaic, primesc energia solara care este folosita la incalzirea apei din bazin, iar in zilele calduroase apara de temperaturile ridicate.

WORLD TRADE CENTER

59

60

Este un corp geometric care are ca elemente: -o bază (un poligon)-minim 3 fețe laterale (triunghiuri )-1 vârf

• MAREA PIRAMIDA DE LA GIZA

• PIRAMIDA LUI CHEPHREN

61

PIRAMIDELE MAYASE CHICHEN ITZA DIN MEXIC LONDRA-LUVRUL

62

63

-Are ca bază un cerc

AQUADOM BERLIN

64

• COLOSSEUM-UL, ITALIA

65

• BAZA ESTE TOT UN CERC • ARE UN VARF

66

• CASE DIN ORASUL VECHI ALBEROBELLOITALIA CU ACOPERIȘE ÎN FORMĂ DE CON.

67

SFERA DE RAZĂ R

68

Geometria plană și în spațiu

Education

Transcript of Geometria plană și în spațiu