GEOMETRIA FRACTALA

7/25/2019 GEOMETRIA FRACTALA

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-fractala 1/13

"Se pare ca nimeni nu este indiferent fata de fractali. De fapt, multi privesc prima lorîntâlnire cu geometria fractala ca o experienta cu totul noua, atât din punct de vedere estetic,

cât si stiintific."

Benoit Mandelbrot - "Frumusetea fractalilor", 1986



Rigla si compasul au constituit pentru matematicienii antici principaleleunelte utilizate n studiul geometriei, al carei parinte este considerat si n ziua de azi!uclid din le#andria, nca din secolul $% & 'r&

(tim cu totii ca geometria euclidiana este un ansamblude leme, corolare, teoreme si demonstratii, care foloseste doar patru notiunifundamentale) punct,dreapta, plan si spatiu, si care se bazeaza pe cele cinci a#iome,enuntate de !uclid n cartea sa "Elementele". *rice obiect al muncii omului era

scufundat si reprezentat n spatiul 1+, +, +, dar .atura, n imensa ei comple#itate,nu s-a limitat la a construi corpuri geometrice doar n acest spatiu at/t de particular, acarui masura este un numar ntreg si mai mic dec/t &

0riind n natura, obseram imagini imposibil de ndesat ntr-o iziuneeuclidiana, precum conturul coastei .ormadiei, al crestei muntilor, al norilor, c2iar sibrocolli si conopida, care nu pot fi construite si definite geometric la fel de usor&

Mandelbrot, considerat "0arintele geometriei fractale", a inentat si numele

de "fractal" , care ine din latinescul " frangere" - a sparge n fragmente neregulate&

"În ochii mintii, un fractal este un mod de a vedea infinitul."

James Glick, "aos", !#$



Teoria fractalilor si teoria haosului au format o nouă ramurăa matematicii, facând ca aceasta să devină mai interesantădin punct de vedere al aplicaţiilor. Cu o evoluţie de

aproximativ 60 ani, aceste două teorii s-au inltrat foarterepede în lumea tiinţei, cunoscând aplicaţii în aproapetoate domeniile existente, începând cu domeniileinformatice i terminând cu aplicaţii ela!orate în economie,statistică, "eo"rae, arte plastice. #ceste două noţiuni, au

început să ne ofere o nouă cale de percepere a realităţii.

$storia fractalilor are ori"inea în anul %&'(, când aparelucrarea fondatorului "eometriei fractale, )enoit*andel!rot, “O teorie a sistemelor fractale”. #ceastălucrare a dus la fondarea unei noi ramuri, i anume ageometriei fractale. Geometria fractală este recunoscută cai o nouă ramură, având la !a+ă articolul lui *andel!rot“Care este lungimea ţărmului Marii Britanii?” , ca mai apoisă devină un domeniu practic al matematicii în urmaapariţiei cărţii sale “Geometria fractală a naturii ” în %&.



eometria fractalilor oferă un lim!a/ folosit pentru a descrie, modela ianali+a forme complexe "ăsite în natură.

Câteva cate"orii pe care fractalii le pot modela sunt 1lante , 2remea,Cur"erea 3uidelor, #ctivităţile "eolo"ice, 4r!itele planetelor,Comportamentul "rupurilor de animale, Tipare socio-economice

Cu a/utorul fractalilor se pot măsura textura i complexitatea oricăruilucru, de la liniile de coastă ale oceanelor la munţi i la norii de ploaie.5ractalii oferă un mod deose!it de o!servare i modelare a unorfenomene deose!it de complexe pe care "eometria euclidiană imatematica lui ei!nit+ i 7e8ton nu o pot repre+enta util. 9easemenea, fractalii sunt exploataţi i în artă i arhitectură.



1. Autosimilitudinea:n o!iect autosimilar este acel o!iect ale cărui componente seaseamănă cu între"ul. ;eiterarea detaliilor i a modelelor apare

pe măsură ce micorăm scara i poate, în ca+ul entităţilor purei a!stracte, să continue indenit, astfel că ecare detaliu alecărei părţi, când e mărit, arată în principiu ca o anume partexată a între"ului o!iect.

2. Invarianţa la translaţii

$nvarianţa la translaţii repre+intă proprietatea unui o!iectfractal de a re"ăsi un detaliu al său prin suprapunerea acestuiapeste o altă +onă a fractalului după translatarea pe o anumitădirecţie.

3. Fragmentare la infnit5ra"mentarea la innit repre+intă proprietatea unui o!iect

fractal de a "enera "uri asemănătoare cu cea de pornire,indiferent de câte ori se fra"mentea+ă o!iectul .



:n fractal conţine următoarele elemente1. Iniţiatorul$niţiatorul este "ura "eometrică de la care se

începe "enerarea fractalului.9e re"ulă iniţiatorul este o "ură "eometrică simplă- linie, triun"hi, patrat, ...2. Legea de construcţiee"ea de construcţie oferă metoda de "enerare afractalului.<a specică ce anume se modică la trecerea de la

o iteraţie la următoarea.3. Procesul de generare1rocesul de "enerare este cel care construieteefectiv iteraţiile o!iectului fractal, plecând de laiteraţia curentă i aplicând asupra ei le"ea de

construcţie. 5iecare iteraţie denete o nouă"eneraţie a mulţimii fractale.



* Triunghiul lui Sierpinski

0olonezul 3acla (ierpins4i a pornit de la un triung2i pe care l-a diizat n patru parti egale&poi a diizat cele trei parti marginale n acelasi mod, continu/nd procesul la infinit& Figuraobtinuta este numita "5riung2iul lui (ierpins4i"&

5riung2iul lui (ierpins4i

n alt mod de constructie a aceleiasi forme porneste de la un triung2i plin, n care "decupam"gauri identice, n loc de a trasa linii& Rezultatul este acelasi desi este numit n aceastamaniera "(ita lui (ierpins4i"&

(ita lui (ierpins4i"7oorul lui (ierpins4i" este o alta forma care a nedumerit matematicienii, format la fel, prin

ambele ariate)

7oorul lui (ierpins4i 1 7oorul lui (ierpins4i



$niiatorul este un segment& n acest caz legea de transformare impune ca segmentul s: fie diizat n

trei p:ri egale, s: fie nl:turat: partea central: ;i n locul ei s: se pun: untriung2i ec2ilateral f:r: baz:&0rocesul de generare se aplic: n continuare pentru fiecare segment alfigurii obinute&

+up: un num:r mai mare de iteraii se obine)

+upă infinit de mulţi paşi se obţine ceea ce se numeşteFractalul lui Koch. Această curbă este de lungime infinită şi are o dimensiuneproprie între 1 şi 2. Este un obiect "ciudat" pentru gndirea unui omneobişnuit să lucre!e în abstract. .u este o dreapt:, dar nici o suprafa:, ntruc/t are dimensiunea fractal: caracteristic: ntre 1 ;i )

Df = Ln(4) / Ln(3) = 1.26185........



5rei copii ale curbei <oc2 puse mpreun: n

=urul laturilor unui triung2i ec2ilateralformeaz: o curb: simpl: nc2is:, careconstituie Fulgul lui <oc2 >"fulgul de z:pad:? al lui <oc2@ sau insula lui <oc2&re aceea;i dimensiune fractal: cu linia lui <oc2&

0rocedeul de generare folosit la fulgul lui <oc2 poate fi e#tins n mod natural ;i n spaiul+& Modelul obinut se nume;te suprafaa lui <oc2 ;i are dimensiune fr!"l# Df

= l$g(6)/l$g(2) = 2.584%



...Întotdeauna au existat zone mari ale stiintei în care metodele analitice simple puteau fi cu greu aplicate. Fenomenele naturale erau preacomplexe. În legatura cu ele, oamenii ridicau din umeri a zadarnicie si enuntau teorii calitative sau aproximatii grosolane, sau nu emiteau nici o

parere. Acestea sunt domeniile în care fractalii îsi gasesc o multime de aplicatii."

+&!& 52omsen, Science Nes, 198A

&'n"ele u"ilirii fr!"lil$r Fractalii prezinta anumite aanta=e datorita carora sunt larg folositi n modelarea aspectului sicomportamentului unor sistemelor naturale) Fractalii pot reprezenta cu usurinta forte similare action/nd la mai multe nieluri ale scarii, n timp cegeometria liniara nu poate& Fractalii ofera deseori o metoda mai compacta de nregistrare a imaginilor si datelor comple#e dec/t ectoriiliniari&

7u a=utorul fractalilor, se pot gasi curbe fractale care sa apro#imeze un set de date >precum temperaturi nregistrate ntr-o anumita perioada de timp, preturile unei actiuni la bursa ntr-un interal de timp, etc&@ Fractalii pot fi folositi pentru a construi modele folositoare ale unor sisteme impreizibile si 2aotice, undeecuatiile liniare dau gres&

&pli!"ii !uren"e le fr!"lil$r in *ii!!#ista patru clase fundamentale de sisteme fizice)- sisteme liniare conseratie >pendul fara frecari care oscileaza liber@- sisteme neliniare conseratie >pendul fara frecari, mpins@

- sisteme liniare disipatie >pendul care oscileaza liber ntr-o atmosfera care i opune rezistenta@- sisteme neliniare disipitae >pendul mpins ntr-o atmosfera care i opune rezistenta@&(istemele neliniare au fost mereu considerate ciudate si mai putin importante& (istemele neliniare

disipatie sunt c2iar iremediabile& +ar lumea reala este alcatuita tocmai din astfel de sisteme, iar modelareaacestora se face tocmai prin atractori fractali 2aotici&

Fizicienii au a=uns la concluzia ca o gama larga de comportari comple#e, unele de o mare regularitate,rasar acum din ceea ce nainte era doar 2aos& Multe sisteme fizice si c2imice fluctueaza printr-o serie de sc2imbarima=ore de la ordinea liniara la comple#itatea 2aotica si napoi& (pre e#emplu, a doua lege a termodinamicii are si ofateta surprinzatoare) multe sisteme se auto-organizeaza si creeaza spontan o ordine proprie acolo unde nu era nici

un fel de ordine&



5urnul !iffel, construit la 0aris nglobeaz: ideea de fractal n materialele& Fractaliaproimati#i sunt u or de obser#at în natură. Aceste obiecte afi ea!ă o structură auto$ș ș

similară la o scară mare% dar finită. Eemplele includ norii% fulgiide !ăpadă% cristalele% lan urile montane% fulgerele% re elele deț ț

ruri% conopida sau broccoli i sistemul de #ase sanguine i #ase pulmonare.ș ș

=istemele haotice dinamice sunt uneori asociate cu fractalii.4!iectele din spa?iul fa+elor dintr-un sistem dinamic pot fractali& 4!iecteledin spa?iul parametrilor al unei familii de sisteme pot de asemenea fractali. :nexemplu interesant este mul?imea lui *andel!rot. #ceastă mul?ime con?ine discuri

între"i, deci are dimensiunea @ausdorA e"ală cu dimensiunea topolo"ică Badică D dar ceea ce este surprin+ător este că "rani?a mul?imii lui *andel!rot are deasemenea dimensiunea @ausdorA Bîn timp ce dimensiunea topolo"ică este %, unre+ultat demonstrat de *itsuhiro =hishiEura în %&&%. :n fractal foarte înrudit

este mul?imea Fulia.

O mulţime Julia, un fractal înrudit cu

mul imea lui Mandelbrotț

Graniţa

mulţimii lui

Mandelbrot e

ste un

exemplu

faimos de

fractal.



Geometria fractala este fara îndoiala "una dintre marile evolutii ale

secolului al XX-lea." Ea ofera oamenilor de stiinta un model matematic care

îmbratiseaa nere!ularitatile din natura.

umarul mare al fractalilor din natura este suficient pentru a #ustifica

studiul fractalilor. $ecunoasterea unui obiect ca fractal poate a#uta întele!erii

comportamentului sau.

Multe fenomene naturale pot fi descrise prin conceptele !eometriei

fractale. %rin urmare, fractalii au devenit din ce în ce mai importanti.&eea ce a început ca un pur concept matematic are acum numeroase

aplicatii în stiinta.

"Geometria fractala va va face sa vedeti totul diferit. %iscati sa pierdeti imaginea din copilarie a norilor,

padurilor, galaxiilor, frun&elor, pietrelor, torentelor, covoarelor, carami&ilor si a multor alte lucruri." Mic'ael (arnsle), "*ractali pretutindeni", +



* &+,-&

(curt dic ionar al termenilor utiliza i)ț ț

LÉMĂ, leme, s. f. 1. &'at.( Enun preliminar a cărui demonstrare a)ută la re!ol#area uneiț

teoreme. 2. &*og.( +ropo!i ie preliminară a unei demonstra ii% care trebuie demonstratăț ț

la rndul ei. 3. &,ar( -itlu sau sumar al unei lucrări. /in fr. lemme.

COROLÁR1, corolare, s. n. &'at.( 0onclu!ie care deri#ă nemi)locit dintr$o teoremă. deecare decurge dintr$o teorie% dintr$o afirma ie etc. /in fr.ț corollaire, lat. corollarium.

,T,0 reiterez, b& $& 5ranz& >Cir&@ repeta& D0r&) re!i!E +in fr& ri"rer.

r"i/nuleDi!k li'er - "Fractali, editura 5eora, 1996

7en$i" ndelr$" - "Frumusetea fractalilor", 1986+i!ule 9isin$iu - "Statistica formelor economice. eoria catastrofelor, fractalilor si #aosului" , editura Cumina Ce#, GG1

:mes ;lei!k - "$#aos% &a'ing A Ne Science", 198A&r"i!$le

D'e Sn<der - "(enoit &andel)rot, Fractals and Astronom* ", publicat n "Reflections noiembrie, 1998&>2ttp)HHIII&umic2&eduHJloIbroIsHreflectionsH1998HdsnKder&&2tml@

urr< +. $"hrd - " $#aos #eor* ! +estro*ing &at#ematical Economics from it#in-", publicat n "#e Free &ar'et" , %olumul %$,

.umarul , Martie 1988& >2ttp)HHmises&orgHfreemar4etLdetail&asp#controlN96@>ul 7$urke - "Fractals and $omputer rap#ics" , publicat n $nterface Magazine, +ecembrie 199G>2ttp)HHoziz&Iasp&uIa&edu&auHJpbour4eHfractalsHinterfaceH@

&drese n"erne""$ntroduction to Fractal 52eorK"

2ttp)HHpages&cs&Iisc&eduHJergreenH2onorsLt2esisHfractal&2tml"+imensiunea fractala"

2ttp)HHIII&mat2&sunKsb&eduHJscottHBoo41HFractalL+imension&2tml0eter lan - "52e Mandelbrot (et"

2ttp)HHIII&informit&comHarticlesHarticle&asp#pNO98986PseQ.umN

GEOMETRIA FRACTALA

Documents

Transcript of GEOMETRIA FRACTALA