Geometria Plan

UNGHIURI

definiie : figura geometric obinut prin reunirea a dou semidrepte care au aceeai origine se numete unghi.

msura :mprind cercul n 360 de pri egale,

fiecare parte este un arc de cerc cu msura de 1 (un grad sexagesimal) ; submultiplii gradului sunt minutul si secunda

1 = 60' i 1' = 60''msura unghiului , cu vrful centrul cercului , este aceeai cu msura arcului de cerc corespunztor.

unghiuri congruente : sunt unghiurile care au

aceeai msura.

clasificare : a) un unghi ( dup msura ) poate fi :1. unghi nul msura = 02. unghi ascuit msura < 903. unghi drept msura = 90

4. unghi obtuz msura > 905. unghi alungit msura = 1806. unghi n jurul unui punct msura = 360

b) dou unghiuri ( dup msura ) pot fi : 1. complementare - suma msurilor lor este de 902. suplementare - suma msurilor lor este de 180

c) doua unghiuri dup aezare pot fi :1. adiacente - au vrf comun , o latura

comuna , iar celelalte laturi sunt deoparte i de alta laturii comune.

2. opuse la vrf - prelungirea fiecrei laturi a unui unghi este latura a celuilalt unghi.

precizare : unghi propriu este acel unghi care nu-i nul i nici alungit.

Teorem : unghiurile opuse la vrf sunt congruente.

definiie : semidreapta , cu originea n vrful unui unghi i care-l njumtete pe acesta , se numete bisectoarea acelui unghi.

Teorem : bisectoarele , a dou unghiuri adiacente suplementare

( complementare ) sunt perpendiculare - formeaz un unghi drept - ( un unghi de 45 ).

DREPTE PARALELE

definiie : dou drepte a cror intersecie este mulimea vid se numesc drepte paralele.

T1 - dou drepte intersectate de o secant formeaz unghiuri alterne interne ( sau alt. int. , sau corespodente ) congruente , atunci acele drepte sunt paralele.

RT1- dou drepte paralele intersectate de o secanta formeaz unghiuri congruente.

T2 - dou perpendiculare pe aceeai dreapt sunt paralele.

T3 - dou unghiuri cu laturile respectiv paralele sunt congruente ( cnd sunt de acelai fel ) , sau suplementare.

T4 - dou unghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt congruente ( cnd sunt de acelai fel ) , sau suplementare.

coliniaritate - trei puncte care aparin aceleai drepte.

PARALELOGRAM

definiie : patrulaterul la care laturile sunt paralele se numete paralelogram.

definiie : paralelogramul cu un unghi drept se numete dreptunghi.

definiie : paralelogramul cu laturile congruente se numete romb.

definiie : - dreptunghiul cu laturile congruente se numete ptrat.

- rombul cu un unghi drept se numete ptrat.

T1 - unghiurile ale unui paralelogram sunt congruente , iar cele alturate unei laturi sunt suplementare.

T2 - laturile paralele ale paralelogramului sunt congruente.

1RT2 - patrulaterul , care are laturile opuse congruente ( dou perechi) , este paralelogram.

2RT2 - patrulaterul , care are dou laturi paralele i congruente , este paralelogram.

T3 - diagonalele paralelogramului se njumtesc.

RT3 - patrulaterul la care diagonalele se njumtesc este paralelogram.

T4 - diagonalele dreptunghiului sunt congruente.

RT4 - paralelogramul cu diagonalele congruente este dreptunghi.

T5 - diagonalele rombului sunt perpendiculare i bisectoare ale unghiurilor rombului.

RT5 - paralelogramul cu diagonalele perpendiculare este romb.

TRAPEZ

definiie : patrulaterul convex cu ( numai ) dou laturi paralele se numete trapez.

definiie : trapezul care are laturile neparalele congruente se numete trapez isoscel.

definiie : trapezul care are un unghi drept se numete trapez dreptunghic.

T1 - n trapez , unghiurile alturate bazelor sunt suplementare.

T2 - n trapezul isocel , unghiurile alturate bazelor sunt congruente.

RT2 - trapezul , la care unghiurile alturate bazelor sunt congruente , este trapez isoscel.

T3 - diagonalele trapezului isoscel sunt congruente.

RT3 - trapezul , cu diagonalele congruente , este trapez isoscel.

definiie : segmentul determinat de mijloacele laturilor neparalele ( ale trapezului )se numete linia mijlocie a trapezului.

T4 - linia mijlocie a trapezului este paralel cu bazele i lungimea ei este media aritmetic a lungimilor bazelor.

aria trapezului : A ABCD = = MN h( B + b ) h

2

TRIUNGHI

definiie : figura geometric obinuta din reunirea segmentelor determinate de trei puncte necoliniare , se numete triunghi.

clasificare : a) dup felul unghiurilor :1. - triunghi ascuitunghic - are toate

unghiurile ascuite

2. - triunghi dreptunghic - are un unghi drept

3. - triunghi obtuzunghic - are un unghi obtuz

b) dup felul laturilor : 1. triunghi SCALEN - are toate

laturile necongruente

2. triunghi ISOCEL - are dou laturi congruente

3. triunghi ECHILATERAL - are toate laturile congruente

Observaie : triunghi OARECARE este acel triunghi ascuitunghic i scalen.

linii importante n triunghi : - NLIMEA - perpendiculara

din vrf pe latura opus

- MEDIANA - segmentul determinat de vrf i de mijlocul laturii opuse

- MEDIATOAREA - perpendiculara pe latur n mijlocul ei

- BISECTOAREA - bisectoarea unghiului triunghiului

- LINIA MIJLOCIE - segmentul determinat de mijloacele a dou laturi

concurena liniilor importante :H ortocentrul - punctul de

concuren al nlimilor

G centrul de greutate - punctul de concuren al medianelor

O centrul cercului circumscris - punctul de concuren al mediatoarelor

I centrul cercului n scris - punctul de concuren al bisectoarelor

CONGRUENA :definiie : dou triunghiuri se numesc

congruente , dac au laturile respectiv congruente i unghiurile corespunztoare lor respectiv congruente.

cazurile de congruen :

a) dou triunghiuri oarecare sunt congruente dac auL.U.L. dou laturi i unghiul format de ele , sauU.L.U. dou unghiuri i latura lor comun , sauL.L.L. cele trei laturi respectiv congruente

b) dou triunghiuri dreptunghice sunt congruente dac au :C.C. catetele , sauC.U. o cateta i unghiul ascuit alturat , sau

I.U. ipotenuza i un unghi ascuit , sauI.C. ipotenuza i o catet respectiv

congruente

TEOREME :

T1 - ntr-un triunghi isoscel , la laturi congruente corespund unghiuri congruente.

RT1 - dac un triunghi are dou unghiuri congruente , atunci laturile corespunztoare lor sunt congruente.

T2 - ntr-un triunghi isoscel , bisectoarea unghiului format de laturile congruente este median , nlime , mediatoare.

1RT2 - dac ntr-un triunghi , o bisectoare este i median ( sau nlime , sau mediatoare ) , atunci triunghiul este isoscel.

2RT2 - dac ntr-un triunghi , o nlime este i median (sau bisectoare , sau mediatoare ) , atunci triunghiul este isoscel.

T3 - ntr-un triunghi isoscel , nlimile corespunztoare laturilor congruente , sunt congruente.

T4 - ntr-un triunghi isoscel , medianele corespunztoare laturilor congruente , sunt congruente.

T5 - suma msurilor unghiurilor unui triunghi este de 180.

C1T5 - unghiurile ascuite ale triunghiului dreptunghic sunt complementare.

C2T5 - unghiurile ascuite ale triunghiului dreptunghic isoscel au masuri de 45.

C3T5 - fiecare unghi al triunghiului echilateral are msura de 60.

C4T5 - triunghiul isoscel care are un unghi ( oricare ) cu msura de 60 este triunghi echilateral.

T6 - ntr-un triunghi dreptunghic , cateta opus unghiului de 30 este jumtate din ipotenuz.

T7 - unghiul exterior al triunghiului este egal cu suma unghiurilor neadiacente cu el.

T8 - linia mijlocie a triunghiului este paralel cu latura a treia si egal cu jumtate din ea.

T9 - mediana corespunztoare ipotenuzei , unui triunghi dreptunghic , este jumtate din ipotenuz.

T10 - o paralel cu latura unui triunghi determin pe celelalte laturi segmente proporionale ( Teorema lui Thales ).

RT10 - dac dou puncte mpart dou laturi ale unui triunghi n segmente proporionale , atunci dreapta determinat de cele dou puncte este paralel cu latura a treia.

T11 - o paralel cu o latur a unui triunghi , determin un nou triunghi asemenea cu primul.

T12 - dac dou triunghiuri au unghiuri respectiv congruente , atunci acele triunghiuri sunt asemenea ( cazul 1 ).

T13 - dac dou triunghiuri au un unghi respectiv congruent i laturile care-l formeaz proporionale , atunci acele triunghiuri sunt asemenea ( cazul 2 de asemnare ).

T14 - dac dou triunghiuri au cele trei laturi proporionale , atunci acele triunghiuri sunt asemenea ( cazul 3 ).

T15 - dac dou triunghiuri dreptunghice au un unghi ascuit congruent , atunci acele triunghiuri sunt asemenea.

T16 - dac dou triunghiuri dreptunghice au catetele proporionale , atunci acele triunghiuri sunt asemenea.

T17 - dac dou triunghiuri isoscele au un unghi ( la fel aezat ) respectiv congruent , atunci acele triunghiuri sunt asemenea.

T18 - bisectoarea unghiului unui triunghi mparte latura opus n segmente proporionale cu laturile care formeaz unghiul.

T19 - centrul de greutate al triunghiului se gsete pe median la 2/3 de vrful triunghiului i la 1/3 de latura opus.

T20 - cateta este medie proporional ntre ipotenuz si proecia ei n ipotenuz ( Teorema catetei ).

T21 - ntr-un triunghi dreptunghic , inalimea corespunztoare ipotenuzei este medie proporional ntre segmentele determinate de ea pe ipotenuz ( Teorema 1 a nlimii ).

T22 - nlimea corespunztoare ipotenuzei este egal cu raportul dintre produsul catetelor i ipotenuz ( Teorema 2 a nlimii ).

T23 - suma ptratelor catetelor este egal cu ptratul ipotenuzei ( Teorema lui Pitagora ).

T24 - n triunghi , ptratul unei laturi esteegal cu suma ptratelor celorlalte dou laturi minus ( sau plus ) de dou ori

2a

22 2 ( c + b ) - a

4 2b+c

2 2

produsul lor cu cosinusul unghiului dintre cele dou laturi ( Teorema lui Pitagora generalizat ).

T25 - n triunghi , produsul dintre oricare latur i nlimea corespunztoare ei este aceeai.

T26 _ teorema lui Steward.

T27 _ teorema lui Menelaus.

T28 _ teorema lui Ceva.

ALTE RELATIIn triunghi oarecare :lungimea nlimii

AD = ha = p ( p-a ) ( p-b ) ( p-c)

lungimea medianei AM = ma =

2

a ha 2

a b c 4R

L 3 4L 3 4

2

lungimea bisectoarei AA' = ba = . bcp ( p-a )

aria AABC = AABC = p ( p-a ) ( p-b) ( p-c) formula lui Heron

AABC =

AABC =

unde R = raza cercului circumscris

n triunghi echilateral :

nlimea h =

aria A =

a c sinB 2

CERC

definiie : locul geometric al punctelor planului egal deprtate de un punct al planului ( centru ) se numete cerc.

raza : distana de la centrul cercului la un punct al cercului.

coarda : segmentul determinat de dou puncte ale cercului.

diametru : coarda care conine centrul cercului.

T1 - msura unghiului nscris n cerc este jumtate din msura arcului de cerc corespunztor.

- msura unghiului cu vrful n exteriorul cercului este jumtate din diferena msurilor arcelor corespunztoare.

- msura unghiului cu vrful n interiorul cercului este jumtate din suma msurilor arcelor corespunztoare.

definiie : dreapta care are un singur punct de intersecie cu cercul se numete tangenta la cerc.

T2 - diametrul perpendicular pe o coard njumtete coarda i pe arcul corespunztor ei.

RT2 - dac un diametru njumtete o coard, atunci el este perpendicular pe acea coard.

T3 - coardele egal deprtate de centru sunt congruente ( n acelai cerc , sau n cercuri congruente ).

RT3 - coardele congruente sunt egal deprtate de centru.

T4 - la coardele congruente corespund arce congruente ( n acelai cerc , sau n cercuri congruente ).

RT4 - la arce congruente corespund coarde congruente ( n acelai cerc , sau n cercuri congruente ).

T5 - ntre coarde paralele sunt arce congruente.

definiie : patrulaterul ale crui vrfuri sunt puncte conciclice ( aparin aceluiai cerc ) se numete patrulater nchis in cerc .Patrulater inscriptibil este acel patrulater care poate fi nscris ntr-un cerc.

T6 - unghiurile opuse ale patrulaterului nscris n cerc sunt suplementare.

RT6 - dac dou unghiuri opuse ale unui patrulater sunt suplementare , atunci patrulaterul este inscriptibil.

2 R

T7 - ntr-un patrulater nscris n cerc , unghiul format de o latur i o diagonal este congruent cu unghiul format de latura opus i cealalt diagonala.

RT7 - dac ntr-un patrulater , unghiul format de o latur i o diagonal este congruent cu unghiul opus format de latura opus i cealalt diagonal , atunci patrulaterul este inscriptibil.

T8 - tangentele la cerc , dintr-un punct exterior , sunt congruente , iar dreapta determinat de punctul exterior i de centrul cercului este bisectoare a unghiului format de cele dou tangente.

T9 - triunghiul dreptunghic se nscrie ntr-un semicerc al crui centru este mijlocul ipotenuzei.

lungimea cercului L = aria discului A = 2 R

2 R n 360

180 n

180 n

R2

R 2 2

R 3 2

R n l R 360 2

lungimea arcului de cerc l =

aria sectorului de cerc As = sau

latura i apotema poligonului regulat nscris n cerc n funcie de raza cercului

ln = 2 R sin an = R cos

3 4 6

l R 3 R 2 R

a

AC AB AD + CB CDBD BA BC + DA DC

- inegalitatea lui Ptolomeu - ntr-un patrulater convex , produsul diagonalelor este mai mic cel mult egal cu suma produselor dintre laturile opuse.

- T1 Ptolomeu - ntr-un patrulater inscriptibil , produsul diagonalelor este egal cu suma produselor dintre laturile opuse.

- T2 Ptolomeu - ntr-un patrulater inscriptibil exist relaia :

=

- T Pascal - ntr-un hexagon nscris in cerc , interseciile laturilor opuse sunt trei puncte coliniare.

ABCDEF - inscriptibilAC CD = { M }AB DE = { P } => M , N , P coliniareBC EF = { N }

- cercul lui Euler ( cercul celor 9 puncte ) - ntr-un triunghi , mijloacele laturilor ,

picioarele nlimilor i mijloacele segmentelor determinate de ortocentru i vrfurile triunghiului sunt puncte conciclice.

O' - centrul cercului lui Euler este mijlocul segmentului determinat de H - ortocentrul triunghiului - i de O - centrul cercului circumscris ;

r - raza cercului lui Euler este jumtate din raza cercului circumscris al triunghiului.