H. II. IIcpejibMan3aHUMamejibHan FeoMempusirocydapcmeeuHoe l3damejibcmeo &U3Uko M ameMamuHecKOti Jlumepamypu Mocnea, 1958Traducerc de L. Catuneanu, M. Stoka, V. Suciu,1. I. Per el rn anGEOMETRIAdistractivEditura tiinific. Bucureti, 1965Supracoperta fi copert de Alphonse SattingetPREFAA REDACTORULUI LA EDIIA A IX-AGeometria distractiv a fost scris att pentru prietenii matematicii, ct i pentru acei cititori crora dintr-o cauz oarecare le-au rmas ascunse multe laturi atractive ale matematicii.Aceast carte este destinat ntr-o i mai mare msur acelor cititori care au nvat (sau nva n prezent) geometria doar la tabla din clas i din aceast cauz nc nu s-au obinuit s observe relaiile geometrice cunoscute, n lumea de obiecte i fenomene ce ne nconjoar, nu s-au deprins s foloseasc cunotinele de geometrie dobndite n practic n mprejurrile grele ale vieii, n mar sau n condiii de tabr.Trezirea interesului cititorului pentru geometrie sau folosind cuvintele autorului insuflarea plcerii i educarea gustului pentru studiul ei este sarcina direct a acestei cri.In vederea atingerii acestui scop autorul scoate geometria dintre pereii ncperii din coal i o duce n aer liber, n pdure, cmpie, la ru, pe drum, pentru ca sub cerul liber s ne consacrm unor lecii de geometrie fr constrn- gere, fr manuale sau tabele.atrage atenia cititorilor asupra paginilor din operele lui L.N. Tolstoi i A.P. Cehov, Jules Verne i Mark Twain, gsete teme pentru probleme de geometrie n operele lui N.Y. Gogol i A.S. Pukin i, n sfrit, propune cititorilor o culegere variat de probleme atrgtoare ca subiect i neateptate prin rezultatul lor.ncepind cu ediia a Vil-a Geometria distractiv apare fr participarea direct a autorului. I.I. Perelman a murit la Leningrad n anul 1942.La redactarea crii pentru, ediia a Vll-a au fost pstrate aproape toate articolele din ediia anterioar i au fost completate cu noi fapte i informaii. Au mai fost adugate, de asemenea, i mai multe articole noi (circa 30).n tot acest timp am fost condus de dorina de a ridica coeficientul de utilitate41 al crii lui I.I. Perelman, de a o face nc i mai interesant i eficient, atrgnd noi cititori n rndurile prietenilor matematicii.n vederea prezentei ediii a IX-a cartea a fost supus unei redactri suplimentare: au fost corectate erorile care n-au fost observate mai nainte, informaiile nvechite au fost nlocuite prin altele noi, unele ilustraii au fost schimbate.B. IvordemskiPartea intiGEOMETRIA N AER LIBERNatura vorbete tn limba matematicii: literele acestei limbi snt cercuri, triunghiuri i alte ii guri matematice.GALILEICapitolul I GEOMETRIA N PDURECU AJUTORUL LUNGIMII UMBREImi aduc aminte i acum cu ct uimire am privit pentru prima oar un pdurar crunt care, stnd ling un pin uria, i msura nlimea cu ajutorul unui instrument micu de buzunar. Cnd pdurarul i-a ndreptat scndurica ptrat spre vrful copacului, m ateptam s-l vd urcndu-se n el cu lanul de msurat. Dar, spre marea mea surprindere, n loc s fac aceasta, i-a pus instrumentul napoi n buzunar declarnd msurtoarea terminat. i eu care m gn- deam c nici nu ncepuse...Eram pe atunci foarte tnr i acest mod de determinare a nlimii unui copac fr a-1 tia i fr a ne urca n vrful lui mi aprea ca un fel de mic minune. Abia mai trziu, cnd m-am familiarizat cu noiunile elementare ale geometriei, am neles ct de simplu se realizeaz minunile de.acest fel. Exist o mulime de procedee prin care se pot efectua asemenea msurtori cu ajutorul unor instrumente extrem de simple i chiar fr nici un fel de dispozitive.Procedeul cel mai uor i cel mai vechi este fr ndoial acela cu ajutorul cruia neleptul grec Tales, cu ase secole naintea erei noastre, a determinat, n Egipt, nlimea unei piramide. El a folosit umbra ei. Faraonul i preoii adunai la baza celei mai nalte piramide se uitau uimii la strinul venit din nord, care ghicea cu ajutorul umbrei nlimea uriaului edificiu. Legenda spune c Tales a ales ziua i ora cnd lungimea propriei lui umbre era egal cu nlimea sa; n acest moment nlimea piramidei trebuia de asemenea s fie egal cu lungimea umbrei sale1. Iat, poate, unicul caz n care omul are un folos de pe urma propriei sale umbre.1 Desigur, lungimea umbrei trebuia socotit de la punctul de mijloc al bazei, ptrate a piramidei; limea acestei baze Tales o putea msura n mod direct.Problema neleptului grec ne apare in prezent copilresc de simpl, dar nu trebuie s uitm c noi o privim de la nlimea edificiului grandios al geometriei, ridicat dup Tales. Cu 300 de ani .e.n., matematicianul grec Euclid.a scris o carte admirabil, cu ajutorul creia s-a studiat geometria n decursul a dou milenii dup moartea sa. Adevrurile cuprinse n aceast carte, familiare azi oricrui colar, nu erau nc cunoscute n epoca lui Tales. Folosirea umbrei n vederea rezolvrii problemei privind nlimea piramidei necesita cunoaterea unor proprieti geometrice ale triunghiului, i anume urmtoarele dou (prima dintre acestea a fost descoperit chiar de Tales):1)unghiurile adiacente de la baza unui triunghi isoscel snt egale, i reciproc, laturile opuse unghiurilor egale ale triunghiului snt egale ntre ele;2)suma unghiurilor oricrui triunghi (sau cel puin a triunghiului dreptunghic) este egal cu dou unghiuri drepte. Numai narmat cu aceste cunotine, Tales putea s conchid c atunci cnd propria lui umbr este egal cu nlimea sa, razele solare ntlnesc un teren neted sub un unghi egal cu jumtatea unghiului drept i, prin urmare, vrful piramidei, centrul bazei ei i captul umbrei sale trebuie s formeze un triunghi isoscel.S-ar prea c acest mijloc simplu este foarte comod pentru a fi folosit ntr-o zi senin i nsorit n vederea determinrii nlimii unor copaci stingheri, a cror umbr nu se contopete cu umbra copacilor din vecintate. Dar n limitele latitudinii noastre nu este att de uor, ca n Egipt, s prinzi momentul prielnic pentru msurtoare; la noi Soarele'se afl mai jos, deasupra orizontului, i umbrele snt egale cu nlimea obiectelor care le las doar vara n timpul amiezii. Din aceast cauz, procedeul lui Tales nu se poate aplica totdeauna n forma artat. Totui, nu este prea greu s modificm acest procedeu n aa fel, ca ntr-o zi nsorit s putem folosi orice umbr indiferent de lungimea ei. Msurnd n afar de aceasta i propria noastr umbr sau aceea a unei prjini, putebi deduce nlimea din urmtoarea proporie (fig. 1):AB : ab BC : bc,deoarece nlimea copacului este tot de attea ori mai mare dect nlimea noastr (sau nlimea prjinii), de cte ori umbra lui este mai lung dect umbra noastr (sau umbra prjinii). Acest fapt decurge, desigur, din asemnarea geometric a triunghiurilor ABC i abc (dup dou unghiuri).

S-ar putea ca Unii cititori s ridice obiecia c un procedeu att de elementar nu are nevoie de loc de motivare geometric: oare nu este destul de clar i fr ajutorul geometriei, c umbra copacului este tot de attea ori mai lung, de cte ori i copacul este mai nalt? Lucrurile nu snt totui chiar att de simple precum par. ncercai s aplicai aceast regul umbrelor lsate de lumina felinarului de pe strad sau de lumina lmpii; ea nu se va adeveri. n figura 2 se vede c parul AB este mai nalt dect ruul ab a- proximativ de trei ori, iar umbra parului este mai mare dect umbra ruului (BC : bc) cam de opt ori. Nu se poate explica fr ajutorul geometriei motivul pentrucare nu putem aplica aceast metod n cazul respectiv i de ce o putem folosi n alte mprejurri.ProblemS privim mai atent n ce const aici deosebirea. n esen, problema se reduce la faptul c razele solare snt paralele ntre ele, pe cnd razele felinarului nu snt. Acest din urm fapt este evident; dar, de ce putem considera razele Soarelui ca fiind paralele cu toate c ele se ntretaie n punctul din care pornesc?RezolvareRazele Soarelui care cad pe Pmnt pot fi considerate ca paralele datorit faptului c unghiul dintre ele este extrem de mic, n mod practic imperceptibil. Un simplu calcul geometric ne va convinge de acest fapt. S ne imaginm dou raze care pornesc dintr-un punct oarecare de pe suprafaa Soarelui, cznd apoi pe Pmnt la o distan, s presupunem, de 1 km una de alta. Prin urmare, dac am pune un picior al compasului n acel punct de pe Soare, iar cu cellalt am descrie o circumferin de raz egal cu distana de la Soare la Pmnt (adic o raz de 150 000 000 km), atunci ntre cele dou raze ale noastre s-ar gsi un arc de cerc cu lungimea egal cu 1 km. Lungimea total a acestei circumferine uriae ar fi egal cu 2n X 150 000 000 km = = 940 000 000 km. Desigur c un grad al ei este de 360 de ori mai mic, adic aproximativ de 2 600 000 km; un minut de arc este de 60 de ori mai mic dect gradul, adic este egal cu 43 000 km, iar o secund de arc este de 60 de ori mai mic, adic este egal cu 720 km. Arcul nostru are ns o lungime egal numai cu 1 km; prin urmare, el corespunde unui unghi de 1/720 dintr-o secund. Un asemenea unghi este imperceptibil chiar pentru cele mai perfecionate instrumente astronomice; aadar, n mod practic, putem considera razele Soarelui care cad pe Pmnt ca fiind paralele1.

Dac n-am cunoate- a- ; ceste consideraii geome- I trice, nu m putea funda- [ menta procedeul de determinare a nlimii cu ajutorul umbrei, pe care l-am examinat mai sus.Totui, dac vei ncerca s folosii metoda umbrelor n practic, v vei convinge de lipsa ei de siguran. Umbrele nu snt delimitate ntr-un mod att de precis nct msurarea lungimii lor s poat fi efectuat cu exactitate. Orice umbr determinat de lumina Soarelui are o margine cenuie cu contur neprecis, care face ca limita umbrei s fie imprecis. Aceasta se ntmpl datorit faptului c Soarele nu1 Altfel se prezint situaia cu razele ndreptate de la un punct oarecare de pe Soare spre extremitile diametrului pmntesc; unghiul dintre ele este destul de mare pentru a putea fi msurat (aproximativ 17"); determinarea acestui unghi a pus n minile astronomilor unul din mijloacele de determinare a distanei de la Pmnt la Soare.este un punct ci un astru mare luminos. n figura 3 se vede de ce umbra BC a copacului are i un adaos sub form de penumbr CD, care se pierde treptat. Unghiul CAD dintre limitele extreme ale penumbrei este egal cu unghiul sub care vedem ntotdeauna discul solar, adic cu o jumtate de grad. Eroarea determinat de faptul c ambele um bre nu se msoar pe deplin exact poate atinge 5% i mai mult, chiar dac Soarele nu se afl prea jos. Aceast eroare se adaug altor erori inevitabile, provocate de terenul inegal etc. i face ca rezultatul final s fie prea puin sigur. De exemplu, ntr-o regiune muntoas acest procedeu este cu totul inaplicabil.NC DOU METODELa msurarea nlimii ne putem lipsi cu totul de ajutorul umbrelor. Astfel de metode snt multe; vom ncepe cu dou din cele mai simple.n primul rnd putem folosi proprietatea pe care o are triunghiul dreptunghic isoscel, utiliznd un instrumentextrem de simplu pe care-1 putem confeciona cu uurina dintr-o scnduric i trei ace. Pe o scnduric de orice form, chiar i pe o bucat de scoar de copac dac are o parte plan, se nseamn trei puncte, care snt extremitile triunghiului dreptunghic isoscel i n ele se nfig acele (fig.4.) S-ar putea s nu avem la ndemn un echer pentru construirea

unghiului drept, i nici compas pentru a putea desena laturi egale. ndoim atunci orice petic de hrtie o singur dat, apoi transversal pe prima ndoitur mai facenl nc una, astfel nct ambele pri ale primei ndoituri s coincid i n felul acesta vom obine un unghi drept. Aceeai hrtie o vom folosi i n loc de compas ca s msurm distane egale.Dup cum vedem, acest dispozitiv poate fi confecionat n ntregime chiar n condiii de tabr.Folosirea lui nu este mai complicat dect modul de confecionare. Deprtndu-ne de arborele pe care-1 msurm, inem dispozitivul n aa fel nct una din catetele triunghiului s fie n poziie vertical; pentru aceasta putem folosi un fir cu o greutate la capt, care s fie legat de acul din partea de sus. Apropiindu-ne sau deprtndu-ne de copac, vom gsi ntotdeauna un astfel de loc A (fig.5), din care privind acele a i c vom observa c ele acoper vrful C al copacului ; aceasta nseamn c prelungirea ipotenuzei ac trece prin punctul C. Atunci va fi evident c distana aB este egal cu CB, deoarece unghiul a = 45.Prin urmare, msurnd distana aB (sau, pe un teren neted, o distan egal cu ea AD) i adugind BD, adic distana a A la care se afl ochiul deasupra Pmntului, vOm obine nlimea cutat a copacului.Cu ajutorul altui procedeu ne putem lipsi chiar i de dispozitivul cu ace.Vom avea nevoie, n acest caz, de o prjin pe care va trebui s-o nfigem vertical n pmint, astfel nct partea ce rmine afar s fie egal cu nlimea noastr. Locul unde nfigem prjina trebuie s-1 alegem n aa fel ca atunci cnd stm culcai, dup cum se arat n figura 6, s vedem vrful

copacului pe aceeai linie dreapt cu punctul din vrful prjinii. Intruct triunghiul Abc este dreptunghic isoscel, atunci unghiul A = 45 i, prin urmare, AB este egal cu BC, adic cu nlimea cutat a copacului.DUP METODA LUI JULES VERNEMetoda urmtoare, de asemenea extrem de simpl, de msurare a obiectelor nalte este descris n mod sugestiv de Jules Verne n cunoscutul su roman Insula misterioas.Astzi trebuie s msurm nlimea platoului Grande- Yue spuse inginerul.O s avei nevoie pentru aceasta de un instrument - ntreb Herbert.Nu, nu voi avea nevoie, vom proceda ntr-alt mod, tot att de simplu i de sigur.Tnrul, mereu dornic s nvee lucruri noi, l urm pe inginer, care se deprt de poalele falezei cobornd pn la marginea apei.Inginerul lu o prjin dreapt i lung de 12 picioare croit dup propria lui nlime, pe care o cunotea foarte bine. Herbert ducea dup el o sfoar care i-a fost dat de ctre inginer i de care legase o piatr, care urma s le serveasc drept fir cu plumb.Ajungnd cam la 500 de picioare de faleza care se ridica perpendicular, inginerul a nfipt prjina n nisip la o adn- cime de dou picioare. O propti cu grij i cu ajutorul firului cu plumb izbuti s-o aeze vertical.Dup aceea, inginerul se retrase pn la distana de la care, cnd se culca pe nisip, raza lui vizual atingea att extremitatea prjinii, ct i creasta falezei (fig. 7). Punctul acesta l nsemn cu mult grij cu un ru.Apoi, se adres lui Herbert ridiendu-se de pe pmnt:Cunoti principiile elementare ale geometriei?Da.Ii aduci aminte care snt proprietile a dou triunghiuri asemenea?Laturile lor omoloage snt proporionale.Exact. n clipa de fa eu voi construi dou triunghiuri dreptunghice asemenea: cel dinti, mai mic, aredrept catete prjina perpendicular i distana care desparte ruul de piciorul prjinii, iar ipotenuza o constituie raza mea vizual; al doilea triunghi are drept laturi zidul vertical al falezei, a crui nlime vrem s-o cunoatem i distana care separ ruul de baza zidului, iar ipotenuza este format tot de raza mea vizual, aflndu-se, prin urmare, n prelungirea ipotenuzei primului triunghi.Am neles, strig tnrul. Distana de la ru la prjin se raport la distana de la ru la falez, la fel cum nlimea prjinii se raport la nlimea falezei.Da. Prin urmare, dup ce vom msura primele dou distane, cunoscnd nlimea prjinii, vom putea afla cel de-al patrulea termen al proporiei, pe care nu-1 cunoatem, adic nlimea falezei. Astfel vom evita s msurm direct aceast nlime.Msurar apoi cele dou distane orizontale: cea mai mic dintre ele era egal cu 15 picioare. A doua distan dintre ru i peretele falezei era de 500 de picioare.

Dup ce isprvir msurtorile inginerul stabili urmtoarea proporie:

Prin urmare, nlimea peretelui falezei msura 333,33 picioare'1.CUM A PROCEDAT SERGENTULUnele din metodele de msurare a nlimilor descrise mai sus snt incomode prin faptul c sntem obligai s ne culcm pe pmnt. O asemenea incomoditate poate fi, fr ndoial, nlturat.Iat ce s-a ntmplat o dat pe unul dintre fronturile

Marelui Rzboi pentru Aprarea Patriei. Detaamentului comandat de locotenentul Ivaniuk i s-a ordonat s construiasc un pod peste un ru de munte. Pe malul opus stteau la pnd fascitii. In scopul cercetrii locului unde trebuia construit podul, locotenentul a numit o grup de cercetare n frunte cu sergentul major Popov... In cel mai apropiat masiv pduros ostaii au msurat diametrul i nlimea copacilor celor mai potrivii i au socotit apoi numrul de copaci necesar pentru construirea podului.nlimea copacilor a fost determinat cu ajutorul unei prjini, aa cum se arat n figura 8.Aceast metoda const n urmtoarele: nfigem vertical n pmnt o prjin mai mare dect nlimea noastr la o distan oarecare de copacul pe care-1 msurm (fig. 8). Ne ndeprtm apoi de prjin, mergnd n prelungirea liniei Dd pn la acel loc A din care, privind sprevrful copacului, vom vedea pe o linie cu el punctul b din vrful prjinii. Apoi, fr a ne schimba poziia capului, privim n direcia dreptei orizontale aC, notnd punctele c i C n care"raza vizual ntlnete prjina i trunchiul copacului. Facem nsemnrile corespunztoare n aceste locuri i, cu acestea, observaia este terminat. Rmne numai ca din asemnarea triunghiurilor abc i aBC s calculm Bc din proporia:

de unde

Distanele bc, aC i ac se pot msura cu uurin n mod direct. La valoarea obinut BC trebuie s adugm distana CD (care de asemenea se msoar n mod direct), pentru a afla nlimea cutat a copacului.Pentru stabilirea numrului necesar de copaci sergentul major a ordonat soldailor s msoare suprafaa masivului pduros. Apoi a determinat numrul de copaci de pe o mic parcel cu dimensiunile de 50 X 50 m2, i a fcut nmulirea corespunztoare.Pe baza tuturor datelor culese de cercetai comandantul detaamentului a stabilit locul i felul podului ce urma s fie construit. Podul a fost construit n termen, misiunea de lupt a fost ndeplinit1.CU AJUTORUL AGENDEIPentru determinarea aproximativ a unei nlimi inaccesibile, putem folosi n calitate de instrument chiar i agenda de buzunar, dac aceasta este prevzut cu un creion ce se1 Episoadele din Marele Rzboi pentru Aprarea Patriei expuse n aceast carte au fost descrise de A. D e m i d o v, Cercetarea riului, n revista Yoienne znaniia", nr. 8, 1949.afl irl copert sau iste legat de ea. Agenda ne va ajuta sa construim n spaiu acele dou triunghiuri asemenea, din bare va rezulta nlimea cutat. Agenda trebuie inut ling ochi aa cum se arat n figura simplificat 9. Ea trebuie s se afle n poziie vertical, iar creionul s fie mpins

deasupra cotorului a- gendei att,nct privind din punctul a, vrful B al copacului s fie acoperit de vrful b al creionului. Atunci, n baza asemnrii triunghiuri- lor abc i aBC, nlimea BC rezult din proporia:BC : bc aC : ac.Distanele bc, ac i aC se msoar n mod direct. La valoarea obinut pentru BC trebuie s mai adugm lungimea CD, adic pe un teren egal nlimea la care se afl ochiul fa de suprafaa Pmntului.ntruct limea ac a agendei rmne neschimbat, dac ne vom situa ntotdeauna la aceeai distan de copacul pe care-1 msurm (de exemplu, la 10 m), nlimea copacului va depinde doar de poriunea b c a creionului ieit n afar. De aceea, putem s calculm dinainte ce nlime corespunde distanei ieite n afar a creionului i s nsemnm aceste cifre pe creion. Agenda de buzunar se va transforma atunci ntr-un altimetru simplificat, deoarece vom putea determina cu ajutorul ei diferite nlimi dintr-o dat i fr calcule.FR A NE APROPIA DE COPACUneori, dintr-o cauz oarecare ne este incomod s ne apropiem prea mult de trunchiul copacului pe care-1 msurm. Este oare posibil s determinm nlimea lui i n acest caz?E pe deplin posibil. In vederea acestui scop a fost inventat un dispozitiv ingenios, care, ca i cele anterioare, poate fi confecionat cu uurin. Dou ipci ab i cd (fig.10, sus) se fixeaz n unghi drept, n aa fel nct ab s fie egal cu bc, iar bd s fie egal cu jumtate din ab. Iat tot dispozitivul. Pentru a msura nlimea inem dispozitivul n mini aeznd ipca cd n poziie vertical (n vederea crui scop ea este prevzut cu un fir cu greutate la capt) i ne aezm succesiv n dou locuri: mai nti (fig. 10) n punctul A, unde dispozitivul se pune cu extremitatea c n sus, apoi n punctul A', inut cu extremitatea d n sus. Punctul A este astfel ales, nct privind din a s vedem captul c i vrful copacului pe aceeai dreapt. Punctul A' este ales n aa fel nct privind din a s vedem punctul d pe aceeai direcie cu B. ntreaga msurtoare const n aflarea acestor dou puncte A i A'1, deoarece partea necunoscut BC din nl imea copacului este egal cu distana A A'. Aceast egalitate rezult uor din relaiile aC = BC, iar a'C 2BC, deci,a'C - aC = BC.1 Punctele acestea trebuie s fie situate n mod obligatoriu pe aceeai dreapt cu trunchiul copacului.Folosind acest dispozitiv extrem de simplu, putem msura copacul, fr a ne apropia de trunchiul lui, la o distan mai mic dect nlimea sa. Se nelege de la sine c dac am reui s ne apropiem de trunchiul copacului, ar fi suficient s gsim cel puin un singur punct, A sau A', pentru a afla nlimea.In locul celor dou ipci putem folosi patru ace, nfign- du-le in scinduric n modul corespunztor; sub aceast form dispozitivul" va fi i mai simplu.ALTIMETRUL SILVICULTORULUIAcum este timpul s explicm cuin este construit alti- metrul adevrat" pe care l folosesc n practica lor lucrtorii forestieri, modificndu-1 ntructva, astfel nct dispozitivul s poat fi uor confecionat.

In figura 11 se vd elementele principale care alctuiesc dispozitivul. Un dreptunghi din lemn sau carton abcd este inut n mini in aa fel nct privind de-a lungul marginii ab, s vedem pe o linie cu ea vrful B al copacului. In punctul b este suspendat pe un fir greutatea q. Se nseamn punctuln, n care firul intersecteaz dreapta dc. Triunghiurile bBC i bnc snt asemenea; ele snt triunghiuri dreptunghice i au unghiurile ascuite bBC i bnc egale (cu laturile respectiv paralele). Prin urmare putem scrie urmtoarea proporie:de unde

Deoarece bC, nc i bc pot fi msurate n mod direct, obinem cu uurin nlimea copacului pe care o cutm, adugind la BC lungimea prii de jos, CD a trunchiului (nlimea la care se afl altimetrul deasupra terenului).Ne mai rmne s adugm cteva amnunte. Dac marginea bc va fi, de exemplu, egal cu 10 cm, iar pe margineadc vom marca diviziuni egale cu 1 cm, atunci raportul sebc va exprima ntotdeauna printr-o fracie zecimal, care arat direct a cita parte din distana bC reprezint nli-

mea BC a copacului. S presupunem c firul se oprete n dreptul diviziunii a aptea (nc = 7 cm); aceasta nseamn c nlimea copacului deasupra nivelului ochiului reprezint 0,7 din distana de la observator pn la trunchiul copacului.O alt perfecionare se refera la modul de observaie: pentru a ne fi mai comod s privim de-a lungul dreptei ab, putem ndoi la colurile superioare ale dreptunghiului de carton dou ptrele cu gurele perforate n ele: una mai mic n dreptul ochiului, alta mai mare pentru a o ndrepta spre vrful copacului (fig. 12).mbuntirea urmtoare o reprezint dispozitivul nfiat aproape n mrime natural n figura 12. Confecionarea lui se poate face uor i n foarte scurt timp ; pentru aceasta nu avem nevoie de o deosebit pricepere. El ne d posibilitatea s determinm n mod rapid n timpul excursiilor nlimea obiectelor ntlnite: copaci, stlpi, cldiri etc. fr a ocupa prea mult loc n buzunar. (Instrumentul intr n trusa elaborat de autorul acestei cri i care este numit Geometrie n aer liber".)ProblemPutem oare s msurm nlimea copacilor cu ajutorul altimetrului descris mai sus, fr a ne apropia prea mult de ei? Dac este posibil, atunci cum trebuie s procedm n astfel de cazuri?Rezolvarendreptm dispozitivul spre vrful B al copacului (fig. 13) din dou puncte A i A'. S presupunem c n punctul A am determinat BC = 0,9 AC, iar n punctul A', BC = = 0,4 A'C; atunci:

de unde

Astfel

Prin urmare, msurnd distana A'A dintre cele dou puncte de observaie i lund o anumit fraciune din aceast valoare, aflm nlimea necunoscut care ne era inaccesibil.CU AJUTORUL OGLINZII ProblemIat nc un mijloc interesant de determinare a nlimii unui copac i anume, cu ajutorul oglinzii. La o distan oarecare (fig. 14) de copacul pe care dorim s-l msurm, pe un teren neted, n punctul C, aezm o oglinjoar n poziie orizontal. Ne ndeprtm apoi de ea pn n punctul D din care observatorul vede, n oglind, vrful A al copacului. Atunci, copacul (AB) este tot de attea ori mai nalt dect nlimea observatorului (ED), de cte ori distana BC de la oglind la copac este mai mare dect distana CD de la oglind pn la observator. De ce?

RezolvareAcest procedeu se bazeaz pe legea reflexiei luminii. Vrful A (fig. 15) se reflect n punctul A' astfel c AB = A'B. Din asemnarea triunghiu- rilor BCA' i CED rezult cA'B : ED BC : CD.n aceast proporie ne r- mine doar s nlocuim A'B cu AB care este egal cu el, pentru a justifica raportul artat n problem.Aceast metod comod i uor de aplicat se poatefolosi pe orice vreme, ns nu pentru arborii din pduri dese, ci pentru cei izolai.ProblemS presupunem c trebuie s msurm nlimea unui copac cu ajutorul oglinzii i este imposibil s ne apropiem prea mult de el. Cum vom proceda?RezolvareAceasta este o problem veche, de peste 500 de ani. Ea a fost analizat n evul mediu de ctre matematicianul Anto- niu de Cremona, n lucrarea sa Despre geodezia practic (anul 1400).Problema se rezolv prin aplicarea de dou ori a metodei descrise mai sus, adic prin situarea oglinzii n dou poziii diferite. Fcnd construcia corespunztoare nu ne va fi greu s deducem din asemnarea triunghiurilor c nlimea necunoscut a copacului este egal cu nlimea la care se afl ochiul observatorului, nmulit cu raportul distanei dintre poziiile oglinzilor la diferena distanelor observatorului pn la oglind.nainte de a ncheia discuia cu privire la msurarea nlimii copacilor, propunem cititorului nc o problem silvic11.DOI PINI ProblemDoi pini cresc la o distan de 40 m unul de altul. Se presupune dat nlimea lor: unul are 31 m, iar cellalt, mai tnr, doar 6 m.Putei calcula distana dintre vrfurile lor?RezolvareDistana necunoscut dintre vrfurile pinilor (fig. 16) este, conform teoremei lui Pitagora, egal cu:f402 + 252 = 47 m.iFORMA TRUNCHIULUI DE ARBOREnarmai cu metodele de msurare expuse pn n prezent, n timpul unei plimbri prin pdure putem determina nlimea oricrui arbore. S-ar putea, de asemenea, s ne intereseze ce volum au aceti copaci, ci metri cubi de lemn snt cuprini n ei, ce greutate au i cte trunchiuri pot fi transportate de o singur cru. Aceste probleme nu snt chiar att de simple ca determinarea nlimii. Specialitii nu au gsit nc metode exacte pentru rezolvarea lor i se mulumesc numai cu o apreciere mai mult sau mai puin aproximativ. Chiar pentru un trunchi tiat caregce in faa noastr curat de ramuri, problema nu s rezolv att de uor.ntr-adevr, trunchiul de arbore orict ar fi el de neted, fr ngrori, nu reprezint nici un cilindru, nici un con, nu este, de asemenea, nici un trunchi de con sau orice alt corp geometric al crui volum s-ar putea calcula cu ajutorul formulelor. Fr ndoial, trunchiul nu este cilindru, ntruct se subiaz ctre vrf (are conicitate, cum spun silvicultorii), nu este nici con, deoarece generatoarea sa nu este o linie dreapt, ci o linie curb i nu un arc de cerc, ci o alt linie curb care are convexitatea ntoars ctre axul arborelui1.Datorit acestui fapt, putem calcula volumul trunchiului de arbore mai mult sau mai puin exact numai cu ajutorul calculului integral. Unii cititori se vor mira poate c pentru msurarea unei simple brne sntem nevoii s recurgem la serviciile matematicii superioare. Muli cred c matema- ticile superioare snt legate numai de corpuri i figuri deosebite, iar n viaa de toate zilele putem folosi doar teoremele i formulele matematicii elementare. Aceast consideraie este cu totul eronat: putem calcula destul de exact volumul unui astru sau al unei planete folosind elemente de geometrie, pe cnd un calcul exact al volumului unei brne lungi sau al unui butoi cu bere este imposibil fr geometria analitic i calculul integral. Cartea de fa nu presupune din partea cititorului o familiarizare cu matematica superioar i din aceast cauz autorul se va mulumi cu prezentarea unei metode aproximative de calculare a volumului trunchiului.n cele ce urmeaz ne vom baza pe faptul c volumul trunchiului se apropie, mai mult sau mai puin, de volumul unui trunchi de con, de volumul unui con n cazul unui arbore cu vrf sau, n sfrit, de volumul unui cilindru n cazul unei brne scurte. Volumul oricruia dintre aceste corpuri este uor de calculat. Nu s-ar putea oare, pentru uniformizarea calculului, s gsim o astfel de formul pentru volum, care poate fi aplicat concomitent celor trei1 Aceast linie curb se apropie cel mai mult de aa-numit parabol semicubic [if- ax3); corpul obinut prin rotaia acestei parabole se numete neiloid" (dup numele matematicianului antic Neil, care a gsit metoda pentru calcularea lungimii arcului unei astfel de curbe). Trunchiul arborelui crescut n pdure se apropie prin forma sa de un neiloid. Calculul volumului unui neiloid se face prin procedeele matematicii superioare.Corpuri menionate rnaj sus? In acest caz am putea calcula cu aproximaie volumul trunchiului fr s ne interesm cu ce corp ar putea fi asemnat cilindru, con sau trunchi de con.FORMULA UNIVERSALExist o asemenea formul; mai mult dect att, ea poate fi folosit nu numai pentru cilindru, con i trunchi de con, dar i pentru orice fel de prisme, piramide, trunchiuri de piramid i chiar pentru sfer. Privii aceast admirabil formul! Ea este cunoscut n matematic sub denumirea de formula lui Simpson:

ProblemS se arate c prin formula pe care am menionat-o mai sus se poate calcula volumul urmtoarelor apte corpuri geometrice: prism, piramid, trunchi de piramid, cilindru, con, trunchi de con, sfer.RezolvareNe putem convinge uor de exactitatea acestei formule prin simpla ei aplicare la corpurile enumerate mai sus. Vom obine:pentru prism i cilindru (fig. 17,a) pentru piramid i con (fig. 17, b)

1 Adic suprafaa seciunii corpului la mijlocul nlimii sale.

pentru trunchiul de con (fig. 17, c)

pentru trunchiul de piramid demonstraia se face ntr-un mod asemntor; n sfrit, pentru sfer (fig. 17, d) ProblemVom meniona nc o particularitate interesant a formulei noastre universale: ea poate fi folosit, de asemenea, i pentru calcularea suprafeei figurilor plane: paralelogram, trapez i triunghi, dach este ca i mai nainte nlimea figurii; bx lungimea bazei inferioare; b2 lungimea bazei medii; b3 lungimea bazei superioare.Cum ne putem convinge de aceasta?RezolvareAplicnd formula, vom obine: pentru paralelogram (ptrat, dreptunghi) (fig. 18, a)

pentru trapez (fig. 18, b): pentru triunghi (fig. 18, c):

Dup cum se vede, formula noastr este ntr-adevr universal.VOLUMUL l GREUTATEA ARBORELUI N PICIOAREAadar, avem la dispoziie o formul cu ajutorul creia putem calcula, n mod aproximativ, volumul trunchiului unui arbore tiat, fr a ne pune ntrebarea cu ce corp geometric poate fi el asemnat: cu un cilindru, con sau trunchi de con. n vederea acestui calcul trebuie s cunoatem patru mrimi i anume lungimea trunchiului i trei diametre: inferior, superior i diametrul corespunztor seciunii medii. Msurarea diametrelor inferior i superior este extrem de

simpl; determinarea direct a diametrului mediu este ns destul de anevoioas dac nu avem un instrument special (compas forestier11 pentru silvicultori, figurile 19 i 20)1. Aceast dificultate poate fi ns evitat, dac vom msura cu o sfoar circumferina trunchiului i vom mpri lungi- \mea ei la 3 ; am obtinut astfel diametrul2.7

Volumul unui arbore tiat poate fi obinut prin acest procedeu cu o exactitate satisfctoare n multe calcule practice. Mai pe scurt, ns mai puin exact, aceast problem se poate rezolva dac vom considera trunchiul drept un cilindru al crui diametru este egal cu diametrul seciunii transversale medii a trunchiului; n acest caz, rezultatul obinut va fi ns uneori micorat cu 12%. S mpr- im, n gnd, trunchiul n buci cu o lungime de 2 m i s determinm volumul fiecreia din aceste pri aproape cilindrice. Adunnd valorile obinute cptm volumul total al trunchiului. Rezultatul astfel obinut va fi mult mai bun: el este cu numai 23% mai mic dect volumul real al trunchiului.Metodele expuse mai sus nu se folosesc, n nici un caz, pentru msurarea unui arbore n picioare: dac n-avem de gnd s ne urcm n el, atunci ne rmne accesibil pentru1O construcie asemntoare are i ublerul (fig. 20, dreapta), instrument binecunoscut, folosit pentru msurarea diametrului obiectelor rotunde.2Raportul dintre lungimea circumferinei i diametru este egalcu 7r, adic aproximativ 3 .7

msurtori numai diametrul prii sale inferioare. In acest caz, va trebui s ne mulumim cu o determinare cu totul aproximativ a volumului i s ne consolm cu faptul c i silvicultorii profesioniti procedeaz, de obicei, ntr-unmod asemntor. Ei folosesc pentru astfel de msurri un tabel ce cuprinde aa-numiii coeficieni de form, adic coeficieni care arat ce parte formeaz volumul arborelui pe care-1 msurm din volumul unui cilindru de aceeai nlime i diametru, obinut prin msurarea diametrului trunchiului de arbore la nlimea pieptului unui om adult, adic la nivelul a 130 cm (la aceast nlime este cel mai comod s fie msurat). Figura 21 explic n mod concret cele de mai sus. Desigur, coeficienii de form snt diferii pentru arbori de specii i nlimi diferite, deoarece forma trunchiului se modific. Diferenele nu snt totui prea mari: pentru trunchiurile de pin sau brad (care au crescut n plantaie deas) coeficienii de form snt ntre 0,45 i 0,51 adic snt aproximativ egali cu 0,5.Prin urmare, fr o eroare prea mare putem considera ca volum al unui arbore n picioare jumtate din volumul unui cilindru de aceeai nlime, cu un diametru egal cu diametrul arborelui la nlimea pieptului.Fr ndoial, este vorba doar de o apreciere aproximativ, care ns nu se deprteaz prea mult de rezultatul real: cam intre o valoare mrit cu 2% i una micorat cu 10 %FNe-a mai rmas doar un singur pas pentru a aprecia i greutatea arborelui n picioare. Pentru aceasta este suficient s tim c 1 m3 de lemn de pin sau brad cntrete circa 600700 kg. S presupunem, de pild, c ne aflm ling un brad a crui nlime este de aproximativ 28 m, iar circumferina trunchiului la nlimea pieptului este de 120 cm. Atunci suprafaa cercului corespunztor va fi egal cu 1 100 cm2 sau 0,11 m2, iar volumul trunchiului X 0,11 X 28 = 1,5 m3. Admitnd c 1 m3 de lemn de 2 brad proaspt tiat cntrete n medie 650 kg, deducem c 1,5 m3 trebuie s cntreasc aproximativ 1 t (1 000 kg).1 Trebuie s menionm c coeficienii de form" se refer numai la arborii ce-au crescut n pdure, adic arbori nali i subiri (netezi, fr noduri); pentru arborii care stau stingheri i au coroana bogat nu se recomand asemenea reguli generale de calculare a volumului.GEOMETRIA FRUNZELOR Probiemn umbra de la rdcinile unui plop argintiu a crescut un lstri. Rupei o frunz i observai ct este ea de mare n comparaie cu frunzele de pe arborele care i-a dat natere, mai ales cu acelea care au crescut la lumina Soarelui. Frunzele aflate n umbr i completeaz cantitatea de lumin necesar prin dimensiunile suprafeelor lor care capteaz razele solare. Studierea acestui fenomen intr n sarcina botanistului. Dar cercettorul n probleme de geometrie poate s-i spun i el cuvntul: el poate preciza de cte ori suprafaa frunzei din lstri este mai mare dect suprafaa frunzei arborelui care i-a dat natere.Cum ai rezolva aceast problem?Rezolvaren primul rnd, putem s calculm suprafaa fiecrei frunze n mod separat i s gsim raportul dintre ele. Putem msura suprafaa frunzei dac o acoperim cu o hrtie transparent n ptrele, fiecare ptrel avnd, de exemplu, 4 mm2 (foaia de hrtie transparent mprit n ptrate, care este utilizat pentru astfel de scopuri, se numete calc milimetric). Acesta, cu toate .c este un procedeu absolut exact, este prea miglos1.Procedeul mai scurt se bazeaz pe faptul c ambele frunze, dei diferite ca mrime, au totui o form asemntoare sau chiar aceeai; cu alte cuvinte, acestea snt figuri asemenea din punct de vedere geometric. Ariile unor astfel de figuri se raporteaz ntre ele, dup cum tim, ca dimensiunile lor liniare la puterea a doua. Prin urmare, stabilind de cte ori o frunz este mai lung sau mai lat dect cealalt, vom afla raportul dintre suprafeele lor prin simpla ridicare la ptrat a acestui numr. S presupunem c o frunz de pe lstar are o lungime de 15 cm, iar una de pe o ramur a arborelui doar de 4 cm; raportul dintre dimen-1 Acest procedeu are totui i un avantaj: folosindu-1, putem compara suprafeele unor frunze care nu au aceeai form, ceea ce nu se poate face. prin procedeul descris n cele ce urmeaz.15siunile lor liniare este de Prin urmare, suprafaa uneiaOrt cva fi mai mare dect suprafaa celeilalte de - ori adic16 de 14 ori. Rotunjind valoarea obinut (ntruct nu putem obine o cifr absolut exact), sntem ndreptii s afirmm c frunza de pe lstar are suprafaa de aproximativ 15 ori mai mare dect aceea de pe arbore, nc un exempluProblemFrunza unei ppdii care a crescut la umbr are o lungime de 31 cm. La un alt exemplar, care a crescut n aria Soarelui, lungimea frunzei este numai de 3,3 cm. De cte ori suprafaa primei frunze va fi mai mare dect suprafaa celei de-a doua?RezolvareYom proceda ca i n cazul anterior. Raportul dintre suprafee este egal eu

prin urmare, o frunz este* mai mare dect cealalt, n ce privete aria, cam de 90 de ori.n pdure este uor s alegem o mulime de perechi de frunze de dimensiuni diferite, dar cu form asemntoare. Ne colecionm n acest fel un material interesant i atractiv pentru problemele de geometrie privind raportul dintre ariile unor figuri asemenea. Ochiului nedeprins i se pare totdeauna ciudat c o diferen relativ mic n lungimea i limea frunzelor d natere la o diferen apreciabil ntre suprafeele lor. Dac, de exemplu, dintre dou frunze asemenea din punct de vedere geometric, una este mai lung ' dect cealalt cu 20% atunci raportul dintre suprafeele lor va fi egal cu: adic diferena se ridic la 40%. Dac ntre cele dou frunze exist o diferen de lime de 40%, atunci o frunz va avea suprafaa mai mare dect cealalt cu:

adic de aproape dou ori.

ProblemPropunem cititorilor s calculeze raportul existent ntre suprafeele frunzelor reprezentate n figurile 22 i 23.GIGANII CU ASE PICIOARECe fiine curioase snt furnicile! Urcndu-se repede pe tulpin cu o greutate mare ntre maxilare (fig. 24), furnica ofer unui om cu spirit de observaie o problem dificil: de unde are aceast insect fora necesar pentru a urca o greutate de zece ori mai mare dect greutatea sa, fr un efort vizibil? Omul, de exemplu, n-ar putea s alerge pe o scar innd pe umeri un pian (fig. 24), dei raportul dintre greutatea poverii i greutatea corpului este acelai ca i n cazul furnicii. Din cele de mai sus s-ar putea trage concluzia c furnica este mai puternic dect omul!Aa s fie oare? Fr geometrie nu putem explica aceasta problem. S vedem, n primul rnd, ce ne poate spune un specialist (prof. A.P. Brandt) despre fora muchilor, iar apoi despre raportul dintre forele omului i ale furnicii:Un muchi viu se aseamn cu un elastic, doar c contracia lui nu se bazeaz pe elasticitate, ci pe alte proprieti i se produce n mod normal sub influena excitaiei nervoase, iar n cazul unei experiene de fiziologie, prin aplicarea curentului electric pe nervul respectiv sau chiar direct pe muchi.Experienele se pot efectua foarte uor pe muchii unei broate omorte de curnd, deoarece muchii animalelor cu snge rece i pstreaz proprietile vitale i n afara organismului, chiar i la o temperatur obinuit. Experiena este extrem de simpl. Se scoate muchiul piciorului din spate muchiul pulpei mpreun cu o poriune din femur i din tendonul terminal. Acest muchi se preteaz foarte bine pentru asemenea experiene. Dup izolarea lui, muchiul se suspend de un suport, iar prin tendon se trece un crlig de care se fixeaz o greutate. Dac atingem muchiul cu doi conductori legai la un element galvanic, el se contract imediat, se scurteaz i ridic greutatea. Prin adugarea unor greuti suplimentare, se poate determina cu uurin capacitatea maxim de ridicare a muchiului. Dac legm cap la cap 23 muchi de acelai fel i i excitm cu curent electric vom obine o for mai mare, iar greutatea se va ridica ceva mai sus n funcie de valoarea corespunztoare a sumei contraciilor muchilor luai separat. Dac vom lega ins 23 muchi ntr-un singur mnunchi, atunci ntregul sistem supus excitrii va ridica o greutate mai mare, n funcie de numrul lor. Acelai rezultat s-ar obine, evident, i n cazul cnd muchii ar fi concrescut ntre ei. Aadar, fora de ridicare a muchilor nu depinde de lungime sau de masa total, ci de grosime, adic de seciunea transversal.Dup aceast digresiune, s comparm dou animale cu aceeai constituie, deci asemenea din punct de vedere geometric, dar diferite ca mrime. S presupunem c avem n fa un animal iniial i altul de dou ori mai mare n toate dimensiunile dect primul. n cazul acesta, volumul i greutatea celui de-al doilea animal ct i ale fiecrui organ n parte vor fi de opt ori mai mari; n timp ce dimensiunile de suprafa respective, ntre care i seciunea trans-Versal a muchilor, vor fi doar de patru ori mai mari. Din cele de mai sus rezult c fora muscular se mrete de patru ori, n timp ce animalul se dubleaz ca dimensiuni, fiind de opt ori mai greu dect primul, dar, in schimb, de dou ori mai slab dect acesta. In baza acestui fapt, un animal care este de trei ori mai lung (cu

seciuni transversale de*nou ori mai mari i cuJo greutate de 27 de orimai mare) s-ar dovedi ayfi de aproximativ trei^ori mai slab, iar anima-4-,Iul care este de patru oriDmai lung va fi de patru1%)ori mai slab etc.Legea creterii neuni--Dforme a volumului i greu-fjktaii animalului ct i a forei lui musculare ex-plic de ce o insect, deJexemplu furnicile, vies-M'pile etc. poate s carev\greuti de 30 sau 40 de^||ori mai mari dect greu- tatea corpului lor, n timp ce omul nu poate s duc exceptnd sportivii i hamalii dectaproximativ 9/10, iar calul pe care l considerm ca o adevrat main vie i mai puin, i anume aproximativ 7/10 din greutatea sa"1.innd seama de aceste considerente vom privi cu ali ochi faptele de vitejie ale acelei furnici-erou, despre care I.A. Ivrlov scria cu ironie:O furnic avea o putere nemsurat Nemaiauzit nici n timpurile strvechi;Ea-putea, chiar (spune istoricul ei credincios),S ridice dou boabe mari de orz.KRLOV i. A.1 Mai amnunit cu privire la aceasta, vezi lucrarea lui I. I. Pere 1 m a n 3aHHMaTejibHaH Mexarmna (Mecanica distractiv) cap. X, O. M., MocKBa, 1959.Capitolul IIGEOMETRIA LA RUS MSURM LIMEA RULUIPutem msura limea unui ru fr s-l trecem not, ntr-un mod tot att de simplu, pentru cel ce are cunotine de geometrie, cum am stabilit nlimea unui arbore fr s ne urcm n vrful lui. Distana inaccesibil se msoar prin acelai procedeu prin care am aflat nlimea inaccesibil. n ambele cazuri, determinarea distanei necunoscute se nlocuiete cu determinarea altei distane pe care o putem uor msura direct.Din multiplele procedee de rezolvare a acestei probleme, s examinm cteva dintre cele mai simple.1. Pentru primul procedeu vom avea nevoie de dispozitivul" deja cunoscut, prevzut cu trei ace n vrfurile unui triunghi dreptunghic isoscel (fig. 25). S presupunem c trebuie s aflm limea AB a rului (fig. 26) de pe malul unde se afla punctul B, fr a trece pe malul opus. Situn- du-ne undeva n punctul U, inem dispozitivul cu ace n dreptul ochilor n aa fel, nct privind cu un singur ochi n direcia a dou ace s vedem cum acestea acoper punctele B i A. Se nelege c atunci cnd vom reui s obinem situaia descris, ne vom afla exact n prelungirea dreptei AB. In continuare, fr a mica scndurica dispozitivului, privim n direcia altor dou ace (perpendicular pe direcia anterioar) i observm un punct oarecare D, acoperit de aceste ace, care se afl pe o dreapt perpendicular la AC. Dup aceasta nfigem un jalon n punctul C; prsim locul de mai nainte i purtm instrumentul de-a lungul dreptei CD, pn vom gsi un punct E (fig. 27), de unde se poate acoperi pentru ochi cu acul b ruul din punctul C, iar cu acul a punctul A. Aadar am gsit pe malul vecin cel de-al treilea virf al triunghiului ACE drept n C. Unghiul E este egal cu unghiul ascuit din dispozitivul cu ace; prin urmare este jumtate dintr-un unghi drept. Este evident c i unghiul A este egal cu jumtate dintr-un unghi

drept. Rezult deci c AC CE. Dac vom msura distana CE cu ajutorul pailor, vom cunoate i distana AC. Scznd din AC pe BC, care este uor de msurat , obinem limea necunoscut a rului.Este destul de incomod i greu s inem n min dispozitivul cu ace fr s-l micm: din aceast cauz este mai

bine s fixm aceast scnduric n vrful unei prjini cu captul ascuit, pe care o nfigem perpendicular n pmnt.2. Procedeul pe care-1 vom descrie se aseamn cu cel dinti. Alegem punctul C n prelungirea distanei AB i trasm cu ajutorul dispozitivului cu ace dreapta CD, perpendicular pe CA. Mai departe procedm n modul urm-'itor (fig. 28): pe dreapta CD msurm distanele arbitrare egale CE i EF. nfigem apoi nite jaloane n punctele E i F. n continuare, ne situm n punctul F din care, cu cu ajutorul dispozitivului cu ace, trasm direcia FG, perpendicular pe FC. Deplasndu-ne de-a lungul lui FG alegem un astfel de punct H, din care jalonul E s acopere punctul A. Rezult prin urmare c punctele H, E i A se afl pe aceeai dreapt.Problema este rezolvat: distana FH este egal cu distana AC, din care este suficient s scdem distana BC pentru a afla limea necunoscut a rului (desigur c cititorul va nelege singur de ce FH este egal cu AC).Acest procedeu necesit mai mult loc dect cel dinti; dac terenul ne permite s aplicm ambele procedee, va fi util s verificm un rezultat cu ajutorul celuilalt.5. Procedeul descris mai sus poate fi ntructva modificat: S msurm pe dreapta CD nu distane egale, ci una mai mic de cteva ori dect cealalt. S presupunem, de exemplu (fig. 29), c FE este de patru ori mai mic dect EC. n rest se procedeaz ca i mai nainte: pe direcia FG, perpendicular la FC, cutm punctul H din care jalonul E

pare c acoper punctul A. n aceste condiii FH nu mai este egal cu AC, ci este mai mic dect acesta de patru ori: triunghiurile ACE i EFH nu mai snt.egale, ci asemenea (triunghiuri cu unghiurile egale i laturi inegale). Din asemnarea triunghiurilor rezult:AC : FH = CE : EF = 4 : 1.Prin urmare, msurnd FH i nmulind rezultatul cu 4, vom obine distana AC, din care scznd BC vom afla limea necunoscut a riului.Acest procedeu necesit, dup cum se vede, mai puin loc i de aceea este mai comod de aplicat dect cel precedent.4. Procedeul al patrulea se bazeaz pe aceeai proprietate a triunghiului dreptunghic, i anume: dac unul dintreunghiurile lui ascuite este egal cu 30, atunci cateta opus este egal cu jumtate din ipotenuz. Ne convingem foarte uor de justeea acestei reguli. Fie unghiul B al triunghiului dreptunghic ABC (fig. 30, stnga) egal cu 30; s demonstrm c n acest caz AC ==1/2 AB. S rotim triunghiul ABC n jurul lui BC n aa fel nct s se situeze simetric fa de poziia sa iniial (fig. 30, dreapta), formnd triunghiul ABD; linia ACI) este o linie dreapt, pentru c ambele unghiuri din punctul C snt unghiuri drepte. In triunghiul ABD, unghiul A = 60, iar unghiul ABD, ca unghi format din dou unghiuri de 30, este de asemenea egal cu 60. Prin urmare, AD BD ca laturi opuse unor unghiuri egale. Ins AC =1/2 AD; aadar, AC = 1/2 AB.

Dac vrem s folosim aceast proprietate a triunghiului, trebuie s aezm acele de pe scnduric n aa fel nct s reprezinte vrfurile unui triunghi dreptunghic, n care una din catete este de dou ori mai mic dect ipotenuza. Cu acest dispozitiv ne plasm n punctul C (fig. 31), n aa fel

ca direcia AC s coincid cu ipotenuza triunghiului format din ace. Privind n lungul catetei mai scurte a acestui triunghi, trasm direcia CD i alegem pe ea un astfel de punct E, n care linia EA s fie perpendicular la CD (aceasta se realizeaz cu ajutorul aceluiai dispozitiv cu ace). Este uor dp neles c CE este o cateta ce se opune unui unghi de 30 i este deci egal cu jumtate din AC. Prin urmare, dac msurm CE, nmulim aceast distan cu 2 i scdem apoi BC, obinem limea necunoscut AB a rului.Am expus patru procedee uor de aplicat, cu ajutorul crora va fi oricnd posibil s msurm limea unui ru cu o exactitate pe deplin satisfctoare, fr a trece pe cellalt mal. Nu vom examina aci procedee care necesit utilizarea unor dispozitive mai complicate (chiar dac le putem confeciona singuri).CU AJUTORUL COZOROCULUIIat. cum, folosind acest procedeu, sergentul major Ku- preanov a reuit s se descurce ntr-o mprejurare dificil de pe front1. Grupei din care fcea parte i s-a ordonat s msoare limea unui ru peste care trebuia s se organizeze trecerea trupelor...Ajungnd la tufiurile de pe malul rului grupa lui Ku- preanov s-a ntins pe pmnt, iar Kupreanov, mpreun cu soldatul Karpov, s-a apropiat mai mult de ru, de unde se vedea bine malul ocupat de fasciti. n astfel de condiii limea rului trebuia msurat din ochi.Ei, Karpov, ci snt? ntreb Kupreanov.Dup mine nu mai mult de 100110 m a rspuns Karpov. Kupreanov era de acord cu cercetaul su, dar pentru verificare a hotrt s msoare limea rului cu ajutorul cozorocului14.Procedeul const n urmtoarele: ne ndreptm cu faa spre ru i ne aezm apca n aa fel ca partea inferioar a cozorocului s coincid exact cu linia malului opus (fig. 32). Putem nlocui cozorocul cu palma minii sau cu o agend de buzunar, pe care o inem cu cotorul pe frunte. Apoi, fr s schimbm poziia capului ne ntoarcem spre dreapta sau spre stnga, sau chiar napoi (n partea n care exist un teren mai neted, accesibil pentru msurarea distanei) i ne fixm punctul cel mai ndeprtat pe care-1 vedem de sub cozoroc (palm, agend).Distana pn la acel punct va fi aproximativ egal cu limea rului.1 Vezi nota de la p. 19.

Acest procedeu l-a folosit i Kupreanov. El s-a ridicat repede ntre tufiuri, i-a aranjat cotorul agendei pe frunte, s-a ntors i i-a ntiprit n minte punctul cel mai ndeprtat. Apoi, mpreun cu Karpov s-a trt pn la acel punct, msurnd distana cu o sfoar. Rezultatul obinut a fost 105 m.Kupreanov a raportat comandantului datele obinute. ProblemS se dea o explicaie geometric procedeului cu ajutorul cozorocului''.Rezolva reRaza vizual corespunztoare prii inferioare a cozorocului (palmei, agendei) este ndreptat iniial spre linia malului opus (fig. 32). Cnd observatorul se ntoarce, raza vizual, asemenea piciorului unui compas, descrie o circumferin, i atunci AC = AB ca raze ale aceluiai cerc (fig- 33).

LUNGIMEA INSULEI Problemi acum o problem mai complicat. Stnd pe malul unui ru sau al unui lac, vedem o insul (fig. 34), a crei lungime dorim s-o msurm fr a prsi malul. Este oare posibil o astfel de msurtoare? Cu toate c n acest caz ne snt inaccesibile ambele extremiti ale liniei de msurat, problema se poate totui rezolva chiar i fr ajutorul unor instrumente complicate.RezolvareTrebuie s aflm lungimea AB (fig. 35) a unei insule, rm- nnd n tot timpul msurrii pe mal. Alegem pe mal dou puncte oarecare P i Q, n care nfigem dou jaloane. Pe

dreapta PQ cutm punctele M i N, astfel nct AM i BN s formeze mpreun cu direcia PQ dou unghiuri drepte (pentru aceasta se folosete dispozitivul cu ace). La mijlocul O al distanei MN nfigem un jalon i cutm n prelungirea lui AM un astfel de punct C, din care jalonul O pare s acopere punctul B. Tot astfel, n prelungirea lui BN se caut punctul D, de unde jalonul O pare c acoper extremitatea A a insulei. Distana CD va fi lungimea necunoscut a insulei.Se poate demonstra cu uurin acest lucru. S examinm triunghiurile dreptunghice A MO i OND; catetele MO i NO snt egale, iar n afar de aceasta, snt egale i unghiurile AOM i NOD. Rezult c triunghiurile snt egale i deci O A = OD. Putem demonstra, ntr-un mod asemntor, c BO = OC. Comparnd apoi triunghiurile ABO i COD, ne vom convinge de egalitatea lor, din care deducem egalitatea distanelor AB i CD.UN PIETON PE MALUL OPUS ProblemDe-a lungul unui ru merge un om. De pe malul opus i distingem clar paii. Am putea oare s calculm, fie chiarsi aproximativ, fr a ne mica din loc distana dintre el i noi? Presupunem c nu avem la ndemn nici un fel de instrument.Rezolv a Dei nu avem la ndemn instrumente, avem ochi i mini i acest lucru este suficient. ntindem mina nainte n direcia pietonului i privim vrful degetului numai cu ochiul drept, dac pietonul merge n direcia minii drepte, si numai cu ochiul stng, dac pietonul merge n direcia minii stingi. n momentul cnd pietonul care se ndeprteaz va fi acoperit de deget (fig. 36), nchidem ochiul cu care am privit i-l deschidem pe cellalt: ni se pare c pietonul este mpins napoi. Numrm paii pe care-i face pentru a ajunge din nou pe aceeai linie cu degetul. Obinem astfel toate datele necesare pentru determinarea aproximativ a distanei.S explicm acum cum trebuie s le folosim. Fie n figura 36, a i b ochii dv., punctul M vrful degetului minii ntinse, punctul A prima poziie a pietonului, iar punctul B poziia a doua a pietonului. Triunghiurile abM i ABM snt asemenea (trebuie s ne ntoarcem spre

pieton n aa lei ca ab s fie aproximativ paralel cu direcj ia micrii sale). Prin urmare, BM : bM AB : ab i vom avea o proporie n care numai termenul BM nu se cunoate; pe toi ceilali i putem determina direct. ntr-a- devr, bM este lungimea minii ntinse, ab este distana dintre pupilele ochilor, AB este dat de paii pietonului (pasul poate fi considerat ca fiind egal, n medie, cu 3/4 m). Rezult c distana necunoscut dintre noi i pietonul de pe malul opus poate fi dedus din urmtoarea proporie:

Dac distana dintre pupilele ochilor (ab) este, de exemplu, de 6 cm, lungimea bM de la captul minii ntinse pn a ochi de 60 cm, iar pietonul a fcut de la A pn la B 14 pai, atunci distana dintre el i noi va fi MB == 14 . = 140 de pai sau 105 m.6 Este suficient s msurm dinainte distana dintre pupile i bM, care reprezint distana de la ochi pn la captulminii ntinse, pentru ca memornd raportul dintre ele -r ,abs calculm cu rapiditate deprtarea la care se afl obiectele inaccesibile. Atunci ne va rmne numai s nmulim AB cu acest raport. n medie, la cea mai mare parte dintre oameni = 10 cu abateri nensemnate. Partea mai dificilabo reprezint stabilirea distanei AB. n cazul nostru, am folosit paii omului care se ndeprta. Se pot folosi ns i alte indicii. Dac msurm, de exemplu, distana ce ne desparte de un tren de marf ndeprtat, atunci lungimea AB poate fi apreciat n comparaie cu lungimea unui vagon, care este, de obicei, cunoscut (7,6 m ntre tampoane). Dac se determin distana pn la o cldire, atunci AB se calculeaz n comparaie cu limea unei ferestre, lungimea unei crmizi etc.Acelai procedeu poate fi folosit i pentru calcularea dimensiunii unui obiect ndeprtat, dac se cunoate distana la care acesta se afl fa de observator. n vederea acestui scop putem folosi i alte telemetre", pe care le vom descrie n cele ce urmeaz.CELE MAI SIMPLE TELEMETREn primul capitol am descris cel mai simplu instrument pentru calcularea nlimilor inaccesibile altimetrul. Vom descrie acum instrumentul cel mai simplu pentru msurarea distanelor inaccesibile, adic telemetrul11. Un astfel de telemetru l putem confeciona dintr-un chibrit obinuit.lllllTrilTITTTE!-SFig. 37. Chibritul-telemetru.Pentru aceasta este suficient s trasm pe una din feele lui diviziuni milimetrice, pe care, pentru a le distinge mai bine, le facem alternativ de culoare deschis i nchis (fig. 37).Putem folosi acest telemetru11 primitiv pentru aprecierea distanei pn la un obiect ndeprtat numai n acele cazuri, n care dimensiunile obiectului respectiv ne snt cunoscute (fig. 38); de altfel, orice alte telemetre de construcie mai perfecionat nu pot fi folosite dect respectnd aceleai condiii. S presupunem c vedem n deprtare un om i ne punem problema s stabilim distana pn la el. Aici, chi-

britul-telemetru ne poate scoate din ncurctur. inem chibritul n mna ntins i privind cu un singur ochi, ducem extremitatea lui liber n aa fel ca ea s coincid cu partea superioar a figurii ndeprtate. Apoi, micnd ncet unghia degetului mare de-a lungul chibritului, o oprim n acel punct de pe el care se proiecteaz la baza figurii omeneti. Ne rmne doar s aflm, apropiind chibritul de ochi, la ce diviziune am oprit unghia. Avem n acest fel toate datele pentru rezolvarea problemei.Ne putem convinge cu uurin de exactitatea proporiei:

Nu ne va fi greu s calculm acum distana necunoscut. Dac, de exemplu, distana pn la chibrit este de 60 cm, nlimea omului 1,7 m, iar partea msurat a chibritului de 12 mm, atunci distana pe care o cutm va fi egal cu:

Pentru a dobndi o oarecare deprindere n folosirea acestui telemetru, msurm nlimea unuia dintre prietenii notri i, rugndu-1 s se ndeprteze la o distan oarecare, ncercm s stabilim cu ci pai s-a ndeprtat de noi.

Cu ajutorul aceluiai procedeu putem calcula distana pn la un clre (nlimea medie 2,2 m), biciclist (diametrul roii 75 cm), stlp de telegraf de-a lungul cii ferate (nlimea 8 m, iar distana vertical dintre izolatorii nvecinai 90 cm), pn la un tren, o cas i alte obiecte asemntoare, ale cror dimensiuni le putem aprecia uor i destul de exact. Astfel de cazuri se ntlnesc destul de des n timpul excursiilor.Pentru persoanele cu nclinaii practice confecionarea unui instrument mai comod de acelai tip, destinat pentru aprecierea distanelor dup mrimea unei siluete omeneti ndeprtate, nu prezint o dificultate prea mare.Construcia instrumentului este prezentat clar n figurile 39 i 40. Obiectul observat se situeaz exact la distanaA, care se obine prin ridicarea prii mobile a instrumentului. Mrimea distanei este comod s-o calculm dup diviziunile de pe prile C i D ale scnduricii. Pentru a ne scuti de necesitatea de a face unele calcule, putem nsemna pe fia C, n dreptul diviziunilor, distanele ce le corespund, dac obiectul pe care-1 observm este o siluet omeneasc (instrumentul se ine la o deprtare de ochi egal cu lungimea minii ntinse). Pe fia din dreapta D, putem nsemna distanele calculate dinainte pentru acele cazuri cnd se observ silueta unui clre (2,2 m). Pentru un stlp de telegraf (nlimea 8 m), un aeroplan cu deschiderea aripilor de 15 m i alte obiecte mari, putem folosi prile superioare libere ale fiilor C i D. Cu aceste modificri dispozitivul va dobndi forma reprezentat n figura 40.

Desigur, precizia unei astfel de evaluri a distanei nu va fi prea mare. Este vorba doar de o evaluare i nicidecum de o msurare. n exemplul examinat anterior, cnd distana pn la silueta omeneasc a fost apreciat ca fiind egal cu 85 m, o eroare de 1 mm comis n timpul msurrii poriunii de pe bul chibritului ar fi condus n final la o eroare de 7 m (1/12 din 85). Dac omul s-ar fi aflat la o distan de patru ori mai mare, am fi msurat pe chibrit nu 12 mm, ci numai 3 mm i atunci o eroare chiar de 1/2 mmar fi provocat o modificare a rezultatului cu 57 rn. Dm aceast cauz exemplul nostru este sigur in cazul unei siluete omeneti, i numai pentru distane relativ mici, de circa 100 200 m. La aprecierea unor distane mai mari trebuie s alegem i obiecte de dimensiuni mai mari.ENERGIA RULUITu cunoti un inut unde toate sint din abunden,Unde riurile curg mai strlucitoare ca argintul,Unde vntul uor adie prin ngara din step i satele nu se mai vd ntre livezile de viini.A. K. TOLSTOIUn ru a crui lungime nu depete 100 km se obinuiete s se considere ca fiind mic. tii oare cte ruri de acest fel se gsesc numai n U.R.S.S.PFoartemulte, aproximativ 43 000!Dac toate aceste ruri le-am pune cap la cap, am obine o band cu o lungime de 1 300 000 km. O asemenea band poate nconjura globul pmntesc la ecuator de 30 de ori (lungimea ecuatorului este aproximativ de 40 000 km).Cursul acestor ruri, cu toate c este lin, ascunde n sine o rezerv inepuizabil de energie. Specialitii consider c dac s-ar aduna la un loc capacitile ascunse ale tuturor rurilor mici din Uniunea Sovietic, s-ar obine o cifr impresionant, de 34 000 000 kW! Aceast energie gratuit trebuie folosit pe scar larg pentru electrificarea gospodriilor din satele situate n apropiere de ruri.Poate riul curge dup plac.Dar de-i scris n planuri, un baraj Apa va opri-o pn-n veac Pieptene de piatr uria.s. SCIPACIOVDv. tii c aceasta se realizeaz cu ajutorul hidrocentralelor i putei s manifestai mult iniiativ i s dai un real ajutor n pregtirea construciei unei mici hidrocentrale.Intr-adevr, pe constructorii unei hidrocentrale i intereseaz absolut tot ce se refer la regimul rului: limea acestuia, viteza de' curgere a apei, suprafaa seciunii transversale a albiei (seciune vie) i cderea, adic nivelul apei pe care l permit malurile. Toate acestea pot fi msurate cu mijloace accesibile i ne aflm, prin urmare, n faa unei probleme de geometrie relativ simple.Vom trece acum la rezolvarea acestei probleme.Mai nti, vom cita aici sfatul practic a doi specialiti, inginerii V. Iaro i I. Feodorov, care se refer la alegerea poriunii de ru unde se va nla viitorul baraj.Ei recomand ca hidrocentralele mici, cu o capacitate de 1520 kW, s fie construite la o deprtare care s nu depeasc 5 km de sat.Barajul hidrocentralei trebuie construit nu mai aproape de 1015 km i nu mai departe de 2040 km de izvorul rului, pentru c deprtarea de izvor atrage dup sine scumpirea barajului, datorit debitului mare al apei. Dac barajul va fi amenajat la o distan mai mic de 1015 km, el nu va putea asigura energia suficient din cauza debitului sczut al apei i a insuficienei presiunii. Poriunea aleas a rului nu trebuie s abunde n adncimi mari, care de asemenea scumpesc barajul, necesitnd o fundaie solid11.VITEZA APEIIntre sat i pduricea de pe deal erpuiete un ru ca o panglic luminoas.A. FETCe cantitate de ap curge intr-un astfel de ru n timp de 24 de ore?Nu este greu s calculm aceasta dac mai nainte vom msura viteza apei din ru. Msurtoarea este efectuat de doi oameni. Unul dintre ei are un ceas, iar cellalt un plutitor care trebuie s fie uor de observat, de exemplu, o sticl nchis pe jumtate goal i prevzut cu un stegule. Se alege o poriune mai dreapt a rului i se aaz de-a lungul malului dou jaloane A i B, la o distan, s zicem, de 10 m unul de cellalt (fig. 41).Perpendicular p>e AB se pun nc dou jaloane C i D. Unul dintre participanii la msurtoare, i anume cel cu ceasul, se aaz n spatele jalonului D. Cellalt, care are plutitorul, merge puin mai sus de jalonul A, arunc pluti-

torul n ap i se aaz apoi n spatele jalonului C. Ambii observatori privesc de-a lungul liniei CA i DB suprafaa apei. In momentul n care plutitorul ntretaie prelungirea liniei CA, primul observator face un semn cu mina. La acest semnal observatorul al doilea i noteaz ora, pe care o mai noteaz nc o dat atunci cnd plutitorul depete linia DB.S presupunem c diferena de timp va fi egal cu 20 s.Atunci viteza de curgere a apei din ru va fi egal cu:

De obicei, aceast msurtoare se repet de vreo zece ori aruncnd plutitorul n diferite puncte de pe suprafaa ru- lui1. Apoi se adun cifrele obinute i se mparte rezultatul la numrul de msurtori. Rezultatul obinut va reprezenta viteza medie a apei din stratul superior al rului.1 n loc s aruncm de zece ori acelai plutitor, putem arunca din- tr-o dat zece plutitoare, care s se afle la o oarecare distan unul de cellalt.Straturile aflate la o adncime mai mare curg mai ncet, iar viteza medie a ntregului torent va fi de aproximativ 4/5 din viteza stratului de la suprafa. n cazul nostru va fi, prin urmare, de 0,4 m/s.Putem determina viteza stratului de la suprafa i prin- tr-un alt procedeu, este adevrat, mai puin sigur.Aezai-v ntr-o barc i vslii 1 km (msurat pe mal) mpotriva cursului apei, apoi n sens invers, adic n sensul cursului apei, cutnd s vslii tot timpul cu aceeai for.S presupunem c ai parcurs aceti 1 000 m mpotriva cursului apei n 18 min, iar n sensul lui doar n 6 min. nsemnnd viteza necunoscut a apei cu x, iar viteza cu care v micai, n apa stttoare, cu y, vei stabili proporiile:

de unde

Viteza apei la suprafa este egal cu 55 m/min, prin5urmare, viteza medie va fi de m/s.6CE CANTITATE DE AP CURGE PRIN RUntr-un fel sau altul, se poate calcula ntotdeauna viteza cu care curge apa unui ru. Mai dificil este partea a doua a lucrrilor pregtitoare necesare pentru calcularea cantitii de ap care se scurge, i anume determinarea ariei seciunii transversale a albiei rului. Pentru a afla aceast arie, denumit seciunea vie a rului, trebuie s desenai aceast seciune. Operaia se efectueaz n modul urmtor:Primul procedeu. n locul n care ai determinat limea rului, nfigei de o parte i de alta a malului, chiar n apropierea apei, cte un ru. Apoi, aezai-v cu un prieten n barc i vslii de la un ru la altul, avnd grij s v aflai tot timpul pe linia dreapt ce unete ruii. Un vsla neexperimentat nu va face fa unei astfel de sarcini, mai ales ntr-un ru ce curge repede. Prietenul dv. trebuie s fie un vsla iscusit; n afar de aceasta, el trebuie s fie ajutat de un al treilea participant la lucrri, care, stnd pe mal, urmrete ca barca s nu se abat de la direcia respectiv, i, cnd este cazul, semnalizeaz vslaului n ce parte trebuie s ntoarc barca. Ea prima traversare a rului trebuie s numrai doar cte lovituri de vsl au fost necesare i apoi s aflm ce numr de lovituri de vsl deplaseaz barca cu 5 sau 10 m. Efectuai apoi o a doua traversare, de data aceasta lund o prjin destul de lung care s aib diviziuni i dup fiecare 510 m (msurai dup numrul de lovituri de vsl) cufundai prjina vertical pe fundul apei, nsemnnd adncimea rului n acel loc.n felul acesta, este posibil determinarea seciunii vii a unui ru puin adnc i nu prea lat; pentru un ru lat i cu un debit mare de ap snt necesare procedee mai complicate ; lucrarea va trebui s fie efectuat de specialiti. Amatorul este nevoit s se limiteze la probleme care pot fi rezolvate cu mijloace modeste de msurat.Procedeul al doilea. n cazul unui ru ngust i nu prea adnc v putei lipsi i de barc.ntre rui ducei perpendicular pe cursul apei o sfoar prevzut cu semne sau noduri la o distan de 1 m, apoi, cufundind rigla pn la fund n dreptul fiecrui nod, msurai adncimea albiei.Dup ce toate msurtorile au fost executate, schiai nainte de toate, pe o coal de hrtie milimetric sau pe o foaie dintr-un caiet de aritmetic, desenul corespunztor profilului transversal al rului. Vei obine un desen asemntor cu cel prezentat n figura 42. Aria acestei figuri este foarte uor de calculat, deoarece ea se mparte ntr-o serie de trapeze (n care cunoatei ambele baze i nlimea) i n dou triunghiuri aflate la extremiti, la care cunoatei, de asemenea, baza i nlimea. Dac scara desenului este 1 : 100, rezultatul l obinei direct n metri ptrai.Dispunei, aadar, de toate datele necesare pentru calcularea cantitii de ap care curge. Este clar c prin seciunea vie a rului curge n fiecare secund un volum de ap egal cu volumul unei prisme a crei baz este tocmai aceast seciune, iar nlimea o reprezint viteza medie a apei pe

secund. Dac, de exemplu, viteza medie a apei din ru este egal cu 0,4 m/s, iar aria seciunii vii s presupunem c este de 3,5 m2, atunci prin aceast seciune curg n fiecare secund

s-au tot attea tone*.Intr-o or vor trece

iar n 24 de ore

deci peste 100 000 m3. i cnd ne gndim, un ru cu o seciune vie de numai 3,5 m2 este un rule: poate avea, s zicem,* 1 m3 de ap dulce cntarete 1 t (1 000 kg).3,5 m n lime i 1 m n adncime, i dei poate fi trecut prin vad, ascunde totui n sine o energie capabil s se transforme n electricitate atotputernic. Ce cantitate de ap curge pe zi ntr-un ru ca Neva, prin a crui seciune vie trec 3 300 m3 de ap pe secund! Acesta reprezint debitul mediu11 al apei din Neva n dreptul Leningradului. Debitul mediu11 al apei din Nipru n dreptul Kievului este egal cu 700 m3.Tinerii cercettori i viitorii constructori de hidrocentrale trebuie s stabileasc ce presiune a apei permite ' malurile, adic ce diferen de nivel a apei poate s creeze barajul. n vederea acestui scop se bat doi pari la o distan de 510 m de malul rului, perpendicular pe cursul apei. Apoi, micndu-se pe aceast linie, ei pun rui n locurile unde snt schimbri de pant mai caracteristice ale malului (fig. 43). Cu ajutorul unor rigle gradate se msoar nlimea cu care un ru i depete pe ceilali i distanele dintre ei. Dup rezultatele msurtorilor se deseneaz profilul malurilor n acelai mod cum s-a desenat profilul albiei rului.

Dup profilul malurilor se poate calcula ce nivel permit ele.S presupunem c nivelul apei poate fi ridicat cu ajutorul barajului la o nlime de 2,5 m. n acest caz, putem aprecia puterea probabil a viitoarei hidrocentrale.n vederea acestui scop, energeticienii recomand ca 1,4 (debitul11 pe secund al rului) s fie nmulit cu 2,5 (nlimea nivelului apei) i cu 6 (coeficient care depinde de pierderile de energie n maini). Rezultatul se obine n kilowai. Astfel,1,4 x 2,5 x 6 = 21 kW.ntruct nivelul rului, prin urmare i debitul lui, se modific n cursul anului, pentru calcul trebuie s aflm acel debit care este specific pentru ru n cea mai mare parte a anului.ROATA HIDRAULIC ProblemO roat cu palete se fixeaz aproape de fundul rului, n aa fel nct s se poat nvrti uor. n ce sens se va mica roata, dac cursul apei este ndreptat de la dreapta la stnga (fig. 44)?

Roata se va nvrti n sens invers sensului de micare a acelor de ceasornic. Viteza apei din straturile aflate la o adncime mai mare este mai mic dect viteza apei din straturile situate mai la suprafa, prin urmare, presiunea pe paletele superioare va fi mai mare dect pe cele inferioare.PELICULA N CULORILE CURCUBEULUIPrivind suprafaa unui ru n care se scurge apa de la o uzin putem observa deseori, n apropierea acestei scurgeri, jocuri frumoase de culori. Uleiul (de exemplu, cel de main) mpreun cu apa de la uzin care se scurge n ru rmn la suprafa, deoarece snt mai uoare i se ntind ntr-un strat extrem de subire. Oare am putea msura sau evalua, cel puin aproximativ, grosimea unei astfel de pelicule?Problema pare complicat, ns rezolvarea ei nu este prea dificil. Bnuii c n-c s ne apucm de o treab att de lipsit de succes ca msurarea direct a grosimii acestei pelicule. Vom afla grosimea peliculei pe cale indirect, mai pe scurt, o vom calcula.Se ia o anumit cantitate de ulei de main, de exemplu 20 g, i se toarn n ap ceva mai departe de mal (din barc). Cnd uleiul a luat o form mai mult sau mai puin circular, se msoar din ochi diametrul acestei pete. Cunoscnd diametrul, se poate afla suprafaa. Deoarece se cunoate volumul uleiului luat (poate fi calculat cu uurin dup greutate), grosimea necunoscut a peliculei va rezulta de la sine. S dm un exemplu.Problem Un gram de petrol ntinzndu-se pe suprafaa apei formeaz o pat cu un diametru de 30 cm1. Ge grosime are pelicula de petrol de pe suprafaa apei? Se tie c 1 cm3 de petrol cntrete 0,8 g.1 Cantitatea obinuit de petrol consumat pentru acoperirea bazinelor de ap n vederea distrugerii larvelor narului care produce malaria este de 400 kg/ha.Vom gsi volumul peliculei, care este, evident, egal cu volumul cantitii de petrol luate. Dac 1 cm3, de petrol cn-trete 0,8 g, atunci pentru 1 g corespunde = 1,25 cm8,0,8sau 1 250 mm3. Suprafaa unui cerc cu diametrul de 30 cm sau 300 mm este egal cu 70 000 mm2. Grosimea necunoscut a peliculei va fi egal cu volumul mprit la suprafaa bazei:

adic mai puin de 1/50 mm. Msurarea direct a unei astfel de grosimi este imposibil cu mijloace obinuite.Peliculele de ulei i de spun se ntind n straturi i mai subiri, care pot atinge 0,0001 mm i chiar mai puin. O dat povestete fizicianul englez Ch. Boyce n cartea sa Baloane de spun am efectuat ntr-un iaz urmtoarea experien. Pe suprafaa apei s-a turnat o lingur de ulei de msline. Dintr-o dat s-a format o pat mare, cu diametrul de 2030 m. Deoarece pata era de 1 000 de ori mai mare n lungime i n lime dect lingura grosimea stratului de ulei de pe suprafaa apei trebuia s fie de circa 1 : 1 000 000 din grosimea stratului de ulei din lingur sau, aproximativ, 0,000002 mm.CERCURI PE AP ProblemAi urmrit, desigur, nu o dat cercurile care se formeaz ntr-o ap linitit cnd aruncm o piatr (fig. 45). Fr ndoial c nu v-a fost greu s v explicai acest fenomen instructiv al naturii: perturbaia se rspndete din punctul iniial n toate direciile cu aceeai vitez; de aceea, n fiecare moment toate punctele perturbate trebuie s fie situate la distane egale de locul apariiei perturbaiei, adic pe cerc.S vedem, n continuare, ce se ntmpl ntr-o ap curgtoare. Oare valurile produse de o piatr aruncat n apaunui ru repede trebuie s aib, de asemenea, forma unui cerc saif forma lor va fi alungit?La prima vedere s-ar putea crede c ntr-o ap curgtoare valurile circulare trebuie s se alungeasc n partea n care le antreneaz curentul: perturbaia se transmite mai repedejvpe cursul apei dect mpotriva lui sau n direcie lateral. Din aceast cauz, prile perturbate ale suprafeei apei ar trebui, dup aparene, s se situeze pe o anumit linie curb nchis, care n orice caz nu poate fi un cerc.n realitate lucrurile nu stau aa. Aruncnd pietre n rul cel mai repede, v putei convinge c valurile obinute snt perfect circulare, absolut la fel ca i cele din apa stttoare. Din ce cauz?RezolvareS raionm n modul urmtor. Dac apa nu ar curge, valurile ar fi circulare. Ce schimbare aduce curgerea lor? Ea antreneaz fiecare punct al undei circulare n direcia indicat de sgei (fig. 46, stnga); totodat, aceste puncte se transport cu o vitez egal pe linii drepte paralele, adicp.la distane egale. Dar transportul paralel'1 nu modifica forma figurii. ntr-adevr, n urma unui astfel de transport punctul 1 (fig. 46, dreapta) va ajunge n punctul 1', iar punctul 2 n punctul 2' etc., patrulaterul 1, 2, 3, 4, va fi nlocuit de patrulaterul 1'2'3'4', egal cu el, dup cum se observ uor din paralelogramele care s-au format 1 2 2' 1',r2 3 3' 2', 3 4 4' 3' etc. Lund pe cerc mai mult de patru puncte vom obine, de asemenea, poligoane egale; n sfrit, lund o infinitate de puncte, adic cercul ntreg, vom obine prin transportul paralel un cerc egal.Iat de ce micarea de translaie a apei nu modific forma valurilor, ele rmnnd circulare i n apa curgtoare. Deosebirea const doar n aceea c la suprafaa lacului cercurile nu se deplaseaz (dac facem abstracie de faptul c ele se propag de la centrul lor fix) iar pe suprafaa rului cercurile se deplaseaz mpreun cu centrul lor cu o vitez egal cu viteza apei1.OBUZUL EXPLODAT ProblemS ne ocupm de o problem care, aparent, nu are nici o legtur cu cea anterioar, dar n realitate, dup cum vom vedea, are o strns contingen cu tema acesteia.1 Esenial n aceste raionamente este faptul c micarea de translaie a apei se produce cu aceeai vitez pentru toate punctele undei circulare aprute. Dac valurile provocate de o piatr aruncat n ru ar aprea ns n acea parte de pe suprafaa apei unde vitezele de translaie ale particulelor nu snt egale (de exemplu, n apropierea malului atunci forma circular a undelor nu se mai pstreaz. Nota rcd. ruse.imugiuai-v un proiectil care zboar sus in aer. lat, a nceput s coboare i deodat a explodat; schijele se rs- pndesc n toate prile. S presupunem c schijele au fost azvrlite cu aceeai for i zboar fr a ntmpina vreo rezisten din partea aerului. Cum se vor distribui schijele dup o secund de la explozie, dac n acest timp ele nu ajung nc la pmnt?RezolvareProblema se aseamn cu cea referitoare la cercurile de pe ap. i aici se pare c schijele trebuie s se aeze dup o anumit traiectorie, alungit n jos, n direcia cderii deoarece schijele azvrlite n sus zboar mai ncet dect cele azvrlite n jos. Totui, nu va fi greu s demonstrm c schijele proiectilului nostru imaginar trebuie s se aeze pe suprafaa unei sfere. S presupunem c nu exist gravitaie; se nelege c n acest caz toate schijele vor ajunge ntr-o secund la o distan absolut egal de locul exploziei, adic se vor situa pe suprafaa unei sfere. S introducem acum n aciune fora gravitaiei. Sub influena acesteia schijele trebuie s coboare; dar noi tim c toate corpurile cad cu aceeai vitez1 i, prin urmare, schijele trebuie s coboare ntr-o secund cu o distan egal, pe linii drepte paralele. O astfel de translaie, dup cum am vzut, nu modific forma figurii, sfera rmnnd tot sfer.Aadar, schijele fantasticului nostru proiectil trebuie s formeze o sfer care, parc umflndu-se, se las n jos cu viteza unui corp n cdere liber.VALURILE PRODUSE DE UN VASS ne ntoarcem la ru. Stnd pe un pod, observai urma pe care o las un vas ce nainteaz cu vitez. Vei vedea cum de la pror pleac, sub un unghi oarecare, dou creste de spum.De unde apar ele? i de ce unghiul dintre ele este cu att mai ascuit cu cit vasul nainteaz mai repede?1 Diferenele snt condiionate de rezistena aerului, de care am fcut abstracie n problema noastr.Pentru a ne explica cauza apariiei acestor creste, s ne ntoarcem nc o dat la cercurile divergente care apar pe suprafaa apei datorit pietricelelor aruncate n ea.Aruncnd n ap mai multe pietricele una dup alta, la acelai interval de timp, vom putea observa pe suprafaa apei cercuri de diferite mrimi; cu ct pietricica este aruncat mai trziu, cu atit mai mic este cercul rezultat. Dac vom arunca pietricelele de-a lungul unei linii drepte, atunci cercurile provocate de ele vor da natere unui val asemntor aceluia de la prora corbiei. Cu ct pietricele vor fi mai mici i le vom arunca mai des, cu att asemnarea va fi mai evident. Cufundnd n ap o prjin i trgnd-o apoi la suprafa, parc ai nlocui, cderea discontinu a pietricelelor cu o alt cdere, continu, i atunci vom vedea un val exact cu cel care apare la prora corbiei.Acestui tablou sugestiv rmne s-i mai adugm cteva amnunte pentru a-1 face pe deplin clar. Tind apa, prora corbiei d natere n fiecare moment unui val asemntor valului format datorit pietrei aruncate n ap. Cercul se lete n toate prile, ns n acest timp vasul nainteaz i d natere celui de-al doilea val circular, dup care urmeaz imediat cel de-al treilea etc. Formarea ntrerupt a cercurilor provocate de pietricele este nlocuit de apariia nentrerupt a cercurilor provocate de vas, de unde rezult i tabloul reprezentat n figura 47. ntlnindu-se ntre ele, crestele valurilor nvecinate se sparg unele de celelalte;

rmn neatinse numai cele dou sectoare nu prea ntinse ale circumferinei totale, care formeaz prile lor exterioare. Aceste sectoare exterioare contopindu-se, formeaz dou creste compacte, tangente exterioare la toate valurile circulare (fig. 47, dreapta).Astfel se explic formarea crestelor de pe ap care se vd n urma vasului i, n genere, n urma oricrui corp care nainteaz pe suprafaa apei cu o vitez suficient de mare.De aici, reiese clar c fenomenul descris este posibil numai atunci cnd corpul se mic mai repede dect valurile apei. Dac vom trage prjina ncet prin ap n-o s vedem nici un fel de creste: valurile circulare se vor situa unul n interiorul celuilalt i nu vom putea trasa o tangent comun la ele.Crestele divergente pot fi observate i n cazul cnd corpul st pe loc, iar apa curge pe ling el. Dac cursul rului este suficient de repede, atunci asemenea creste se formeaz n apa ce nconjur fundaiile podurilor. Forma valurilor obinut aici este mai precis dect cea rezultat de exemplu, de la un vas, deoarece formarea lor nu este tulburat, de micarea elicei.Dup ce am lmurit aspectul geometric al situaiei, s ncercm rezolvarea urmtoarei probleme.ProblemDe ce anume depinde unghiul de deschidere dintre cele dou laturi ale undei produse de un vapor?RezolvareDin centrul undelor circulare s ducem raze la sectoarele corespunztoare de pe creasta liniar, adic n punctele de pe tangenta comun (fig. 47, dreapta). Este uor de neles c OxB este drumul parcurs ntr-un anumit timp de prora corbiei, iar OxAx este distana pe care se propag n acelaiO Atimp perturbaia apei. Raportuleste sinusul unghiului OxBAx, dar n acelai timp i raportul dintre viteza corbiei i a perturbaiei. Prin urmare, unghiul B dintre crestele undei produse de vas este tocmai de dou ori unghiul al crui sinus este egal cu raportul dintre viteza micrii valurilor circulare i viteza navei.Viteza de propagare a valurilor circulare n ap aproape c nu depinde de micarea vasului care le-a produs; dinceasta cauz, unghiul de deschidere a laturilor conului format de und depinde n esen, de viteza corbiei: sinusul unghiului pe jumtate este invers proporional cu aceast vitez. i reciproc, dup mrimea unghiului putem aprecia de cte ori viteza vaporului este mai mare dect viteza valurilor. Dac, de exemplu, unghiul dintre laturile undei frontale este de 30, ca la majoritatea navelor maritime pentru transportul mrfurilor i pasagerilor, atunci sinusul unghiului pe jumtate (sin 15) este egal cu 0,26; aceasta nseamn c viteza vaporului este mai mare dect viteza valurilor de 1/0,26 ori, adic aproximativ de patru ori.VITEZA OBUZELOR DE TUN ProblemUnde asemntoare celor examinate mai sus iau natere n aer, n urma unui glonte sau proiectil de artilerie.

Exist diferite procedee pentru fotografierea proiectilului n zbor; n figura 48 snt reprezentate dou asemenea imagini ale unor proiectile ce zboar cu o vitez diferit. n figur se vede clar unda balistic frontal11, cum este numit n acest caz. Proveniena ei este asemntoare cu cea a valului produs de vapor. i aici se pot folosi aceleai raporturi geometrice, i anume: sinusul jumtii unghiului de deschidere a undei balistice este egal cu raportul dintre viteza de propagare n aer a perturbaiei i viteza de zbor a proiectilului. ns, perturbaiile n mediul aerian se transmit cu o vitez apropiat de viteza sunetului, adic 330 m/s. Din aceast cauz este uor s stabilim cu aproximaie vitezaunui proiectil, dac avem o fotografie care-1 reprezint zburnd. Cum vom proceda pentru a realiza aceasta, pentru cele dou imagini anexate aici?RezolvareS msurm unghiul de deschidere a laturilor undei balistice din figura 48. n primul caz, este de circa 89, iar n al doilea de aproximativ 55. Jumtatea lor va fi 40 i 27%- Sin 40 0,64, sin 271/4 == 0,46. Prin urmare, viteza de propagare a undelor n aer, adic 330 m/s reprezint n primul caz 0,64 din viteza de zbor a proiectilului, iar n cel de-al doilea 0,46. De aici deducem c viteza pri-mului proiectil este egal cu - = 520 m/s, iar vitezaceluilalt cu = 720 m/s.0,46Vedem c raionamente geometrice destul de simple, cu un oarecare sprijin din partea fizicii, ne-au ajutat s rezolvm o problem ce prea la prima vedere extrem de complicat: s stabilim cu ajutorul clieelor viteza unui proiectil n zbor n momentul fotografierii lui. (Acest calcul este aproximativ, deoarece nu se iau n consideraie unele mprejurri secundare.)ProblemPentru cei ce doresc s efectueze n mod independent un asemenea calcul cu privire la viteza ghiulelelor, se dau trei fotografii care reprezint obuze ce zboar cu viteze diferite (fig. 49).

ADNCIMEA iazuluiCercurile de pe ap ne-au abtut pentru un timp n domeniul artileriei. S ne ntoarcem din nou la ru i s analizm o problem hindus privitoare la o floare de lotus.Vechii hindui obinuiau s-i exprime n versuri problemele i regulile. Iat una din aceste probleme:ProblemDeasupra unui lac linitit,Se nal o floare de lotus, mare de o jumtate de picior Ea crete stingher. i o rafal de vnt A dus-o n alt parte...Un pescar a gsit-o ntr-o primvar timpurieLa o distan de dou picioare de locul unde cretea.Aadar, v voi pune o ntrebare:Ct este de adnc aici Apa din lac? RezolvareS notm cu x (fig. 50) adncimea necunoscut CD a keleteului. Atunci, dup teorema lui Pitagora, vom avea:

adic de unde

3Adncimea necunoscut este egal cu 3 picioare.4Pe malul unui ru sau al unui heleteu nu prea adnc, vei gsi ntotdeauna o plant acvatic care v va furniza materialul concret pentru o asemenea problem i vei putea calcula adncimea bazinului n acest loc, fr a avea nevoie de vreun instrument i chiar fr a v uda pe mini.

CERUL NSTELAT OGLINDIT N RUIjjRul i n timpul nopii ii ofer geometrului probleme. V amintii cuvintele lui Gogol referitoare la Nipru: Stelele lucesc i lumineaz lumea i toate cte snt se oglindesc n Nipru. Pe toate le ine Niprul la negru-i sn i nu se ntmpl s-i scape vreuna, afar numai dac pe cer se stinge11.Intr-adevr, cnd te afli pe malul unui ru mai lat, i se pare c n oglinda apei se reflect ntreaga bolt nstelat.Oare aa stau lucrurile n realitate? Oare toate stelele se oglindesc n ru?S facem urmtorul desen (fig. 51) Fie A ochiul observatorului ce se afl pe malul abrupt al rului, MNsuprafaa apei. Ce poriune a cerului nstelat poate s vad n oglinda rului un observator care se afl n punctul A?Pentru a rspunde la aceast ntrebare, s ducem din punctul A perpendiculara AD pe dreapta MN i s-o prelungim pn n punctul A' astfel nct s avem AD A'D. Dac ochiul observatorului s-ar afla n punctul A, el ar putea s vad numai acea poriune de cer nstelat care se afl n interiorul unghiului BA'C. Observatorul care privete dinpunctul A are exact.acelai cmp vizual. Stelele ce se afl n afara acestui unghi nu snt vizibile pentru observator; razele lor reflectate i trec pe lng ochi.Cum ne convingem de acest fapt? Cum demonstrm c steaua S, de exemplu, care se afl n afara unghiului BA'C, nu este vzut de observatorul nostru n oglinda rului?

S urmrim raza care vine de la ea i cade n apropiere de mal, n punctul M; ea se va reflect, conform legilor fizicii dup o direcie care face cu normala MP la suprafaa apei un unghi egal cu unghiul d inciden SMP i, prin urmare este mai mic dect unghiul PMA (aceasta se poate demonstra cu uurin bazndu-ne pe egalitatea triunghiurilor ADM i ADM)\ aadar, raza reflectat trebuie s treac alturi de punctul A.Cu att mai mult razele stelei S care se reflect npuncte situate mai departe dect punctul M nu vor intra n cmpul vizual al observatorului.Prin urmare, descrierea lui Gogol este exagerat: n Nipru nu se poate reflecta ntreaga bolt cereasc.DRUMUL PESTE RU Problemntre punctele A i B se afl un ru (sau canal) cu maluri aproximativ paralele (fig. 52). Trebuie s construim peste ru un pod care s formeze un unghi drept cu malurile sale. Care este locul unde trebuie plasat podul, n aa fel nct distana de la A la B s fie minim?Ducnd prin punctul A (fig. 53) o dreapt perpendicular pe direcia rului i msurnd din A un segment AC egal cu limea rului, unim punctele C i B. Trebuie s contruim podul n punctul D, pentru ca drumul de la A la B s fie cel mai scurt.

ntr-adevr, construind podul DE (fig. 54) i unind E cu A vom obine drumul AEDB, unde AE este paralel la CD {AEDC este un paralelogram, deoarece laturile lui opuse AC i ED snt egale i paralele). Din aceast cauz, drumul AEDB este egal ca lungime cu drumul ACB. Este uor de demonstrat c orice alt drum va fi mai lung dect acesta. S presupunem c un drum oarecare AMNB (fig. 55) ar fi mai scurt dect AEDB, deci, mai scurt dect ACB. Unind punctul C cu N vedem c CN = AM. Prin urmare, drumul AMNB = ACNB. ns CNB este evident mai mare dect CB; aadar, ACNB este mai mare dect ACB, de unde rezult c este mai mare i dect AEDB. n felul acesta, drumul AMNB s-a dovedit a fi nu mai scurt, ci mai lung dect drumul AEDB.Acest raionament poate fi aplicat la orice poziie a podului ce nu coincide cu ED; cu alte cuvinte, drumul AEDB este Intr-adevr drumul cel mai scurt,S CONSTRUIM DOU PODURI ProblemS-ar putea s ne aflm n faa unui caz mai complicat, i anume cnd trebuie s gsim drumul cel mai scurt dintre punctele A i B peste un ru pe care trebuie s-l traversm

de dou ori sub unghiuri drepte la malurile sale (fig. 56). In ce locuri de pe ru va trebui s construim podurile nacest caz?RezolvareDucem din punctul A (fig. 56, dreapta) un segment AC egal cu limea rului n poriunea I i perpendicular pe malurile lui. Din punctul B s ducem un segment BD, egal cu limea rului n poriunea l i care s fie perpendicular, de asemenea, pe malurile lui. Punctele C i D le unim cu o linie dreapt. n punctul E se va construi podul EF, iar n punctul G, podul GH. Drumul AFEGHB este drumul cutat; el este cel mai scurt drum de la A la B.Cititorul va nelege singur cum trebuie s demonstreze aceasta, dac va raiona n acest caz, asa dup cum am raionat n problema anterioar.Capitolul IIIGEOMETRIA N CMP LIBERDIMENSIUNILE VIZIBILE ALE LUNIICe mrime vi se pare c are pe cer Luna plin? La aceast ntrebare vom primi de la fiecare un alt rspuns.Luna e mare ct o farfurie", ct un mr, ct un cap de om i aa mai departe aprecieri extrem de neprecise, de vagi, care nu dovedesc dect c aceia care au rspuns nu pricep n ce const, n fond, ntrebarea ce li s-a pus.Un rspuns exact la o ntrebare, s-ar prea, att de obinuit poate s dea doar acela care i d limpede seama ce anume trebuie s nelegem prin mrimea aparent" a obiectului. Snt puini aceia care bnuiesc c aci este vorba de mrimea unui anumit unghi, i anume, a acelui unghi pe care-1 formeaz dou linii drepte duse la ochiul nostru de la punctele situate la extremitile obiectului examinat; acest unghi se numete unghi vizual" sau mrimea unghiular a obiectului" (fig. 57). De aceea, cnd mrimea Lunii pe cer este apreciat n comparaie cu dimensiunile unei farfurii, sau ale unui mr, asemenea rspunsuri ori nu au nici un sens, ori trebuie s nsemne c Luna se vede pe cer sub acelai unghi vizual ca o farfurie sau un mr. Dar, o asemenea indicaie, ea singur, nu este de ajuns: o farfurie sau un mr, le vedem sub diferite unghiuri, n funcie de distana care le desparte de noi: n apropiere le vedem sub unghiuri mai mari, n deprtare sub unghiuri mai mici. Pentru ca rspunsul s nu fie imprecis, trebuie s artm de la ce distan privim farfuria sau mrul.Compararea dintre dimensiunile unor obiecte ndeprtate i dimensiunile altora, despre care nu se spune la ce distan se afl, este un procedeu literar foarte obinuit, pe care l-au folosit i mari scriitori. El produce, e drept, o anumit impresie, datorit apropierii sale de psihologia obinuit a majoritii oamenilor, dar nu d natere la o imagine clar. Iat un exemplu din Regele Lear de hakespeare. E vorbade un fragment n care Edgard descrie panorama ce se deschide naintea ochilor de pe coasta nalt a rmului mrii:Te-apuc spaima cind priveti n jos;Sub noi e-un stol de ciori, ce par de-aici,Un norior de gze; colo-atrn,La jumtatea hului de stinci,Ct capul lui, un om care culege Mrar-de-mare crunt meserie!Pescarii care umbl-acum pe plaj Par nite oricei, i mai departe,Un bastiment la ancor-i mai mic Dect o barc-n cea, o prere...Iar brcile nici c se mai zresc...Aceste comparaii ne-ar da o reprezentare precis cu privire la distan, dac ar fi nsoite de unele indicaii referitoare la gradul de deprtare al obiectelor comparate (mute, capul omului, oareci, brci...). La fel, i n comparaia care se face ntre Lun i farfurie sau mr, snt necesare indicaii privitoare la distana la care trebuie s se afle aceste obiecte obinuite fa de ochiul observatorului.i distana aceasta se dovedete mult mai mare dect se crede de obicei. innd n mina ntins un mr, acoperi cu

el nu numai Luna, dar i o mare poriune din cer. Atrnai mrul de captul unu