„Norii nu sunt sfere, munţii nu sunt conuri, liniile de coastă nu sunt cercuri, iar

scoarţa copacilor nu este netedă şi nici fulgerul nu cade in linii drepte.”

Benoit Mandelbrot

CAPITOLUL 1

FRACTALI ŞI GEOMETRIA FRACTALĂ

Introducere

Geometria fractală este o matematică în care liniile drepte pur şi

simplu nu există. Şi natura este un loc în care linia dreaptă este o

excepţie. Dacă am vrea să ştim, de exemplu, care este lungimea linei de

coastă a Marii Britanii, am spune, probabil, câteva mii sau milioane de

kilometri. De fapt, această linie de coastă este infinit de lungă. Acest

lucru sună oarecum ciudat, dar suntem atât de obişnuiţi să măsurăm

distanţele în linii drepte încât uităm cât de aproximativă este această

procedură.

1

Dacă am merge de-a lungul plajei de coastă timp de câteva minute,

am constata cu surprindere că limita exactă dintre apă şi pământ poate fi

foarte greu delimitată. Orice distanţă am lua în considerare, prin studierea

doar unei fracţiuni din aceasta, am observa că noile forme obţinute

determină ca fracţiunea respectivă să devină tot mai lungă, un fenomen

care poate continua la nesfârşit, găsind de fiecare dată noi forme care

extind lungimea limitei dintre pământ şi apă. În realitate, limita dintre

pământ şi apă se poate curba uşor şi dacă privim cu atenţie pietrele şi

nisipul, devine evident faptul că sute de mici denivelări dau impresia unei

suprafaţe care pare să ţeasă această limită, după un tipar aparent aleator.

Şi, de fapt, există chiar şi mai multe denivelări dacă ne-am uita la

microscop.

Această proprietate este întâlnită peste tot în natură, variind de la

dimensiunile atomice până la dimensiunea întregului univers. Aceasta

este esenţa geometriei fractale. Cu cât observăm mai în detaliu un obiect

fractal, cu atât devine mai evident faptul că părţile sale componente au

aceleaşi proprietăţi ca şi întregul obiect. Nu există linie dreaptă în natură,

așa că o distanța este în realitate nelimitată.

Dar ce este, de fapt, un fractal şi cum a apărut ştiinţa care îl

studiază, geometria fractală? Benoit Mandelbrot (1924-2010) este

considerat tatăl geometriei fractale. El însuşi, într-o lucrare

autobiografică, se numea fractalist. Dar mulţi fractali şi descoperirea lor

2

au legătură cu matematica şi cu mari matematicieni din perioada

anterioară lui Mandelbrot, cum ar fi Georg Cantor (1854-1919) (1872),

Giuseppe Peano (1858-1932) (1890), David Hilbert (1865-1942)

(1891), Helge von Koch (1870-1924) (1904), Waclaw Sierpinski

(1882-1969) (1916), Gaston Julia (1893-1979) (1918), sau Felix

Hausdorff (1868-1942) (1919), pentru a numi doar câţiva fractalişti fără

ca ei să fie conştienți de acest lucru (în cea de-a doua paranteză este anul

în care aceştia au descoperit fractalii care le poartă numele). Aceste

descoperiri au jucat un rol-cheie în formulatea teoriei şi conceptelor lui

Mandelbrot despre noua geometrie fractală. Ȋn acelaşi timp, trebuie spus

că ei nu şi-au considerat descoperirile ca fiind o nouă percepţie sau o

nouă geometrie a naturii.

1.1Example de fractali naturali

Relativ recent, o ştire a fost publicată în mai multe jurnale

ştiinţifice: „Cercetătorii au descoperit că genomul uman are o structură

foarte bine organizată. Fragmente mici din ADN sunt cuprinse în

globule, aceste globule sunt cuprinse în globule mai mari şi aşa mai

departe. Cercetătorii consideră această “globulă de globule de globule”

ca fiind un fractal, ceea ce înseamnă că este organizat în aşa fel încât

găsim acelaşi tipar, indiferent de cât de în detaliu am intra în structura

3

genomului uman. Această formă fractală este «extrem de densă, dar nu

are noduri»” (Science News, Nov 21, 2011) (Figura 1.1).

Corpul uman are între 75 şi 300 de miliarde de celule şi fiecare

celulă are un genom ca cel reprezentat în Figura 1.1. Dacă cineva ar

putea extinde acest genom trăgând de ambele capete, lungimea obţinută

ar fi de 2 metri şi jumătate. Această lungime trebuie comparată cu

diametrul unei celule, care este de aproximativ 10-100 microni, adică 10 -6

m sau 1/1.000.000 dintr-un metru. Practic, o celulă este invizibilă pentru

ochiul liber, dar conţine în structura sa un obiect fractal de dimensiuni

impresionante, dacă le comparăm cu cele ale unei singure celule. Şi asta

se repetă pentru absolut toate celulele din corpul uman.

Figura 1.1

4

Geometria fractală explică modul în care o structură poate deveni

infinit de complexă și variată, dând impresia falsă de asimetrie, haos și

deconectare atunci când în realitate totul este intercorelat. Aceste

concepte explică dezvoltarea vieții, lasând însă loc şi pentru existența

unei scântei divine, pentru cei care caută acest lucru. De unde şi cum a

apărut genomul uman, cu proprietățile sale uluitoare? Este rezultatul

evoluției de-a lungul a miliarde de ani, sau a fost creat de o forță

inteligentă? Sunt întrebări la care nu s-a răspuns în mod clar, argumenta,

fără putință de tăgadă. În esență, în natură totul este conectat. Un fluture

care dă din aripi, generază un efect în întreaga planetă și chiar dincolo de

acesta. O astfel de afirmație nu poate fi înțeleasă decât apelând la

geometria fractală.

Pe planeta noastră abundă fractalii. Lanţurile muntoase sunt un

frumos exemplu de fractali. Se pot găsi aceleaşi tipare în Munţii Stâncoşi,

Anzi, Alpi, Carpați sau Himalaya. (Figura 1.2).

5

Figura 1.2

În Figura 1.2 este reprezentată o fotografie a NASA ce arată

vârfurile acoperite de zăpadă și crestele Munților Himalaya de Est.

Construcțiile naturii respectă aceleași legi de bază, atât la nivel macro,

cât și la nivel micro. Dacă nu am şti că sunt reprezentați lanțuri de munți,

am putea crede că avem de-a face cu crengi răspândite pe o suprafată

acoperită de zăpadă, sau cu râuri şi afluenții acestora fotografiați de la

înălțime.

Geometria fractală poate fi aplicată prognozelor meteo. O idee

veche de 80 de ani - justificată de metodele moderne de colectare şi

analiză a datelor - sugerează că vremea ar putea fi mult mai simplă decât

pare. Ce implicaţii are acest fapt pentru exactitatea previziunilor

6

meteorologice viitoare? Vom fi vreodată în stare să interpretăm şi să

prognozăm renumitul Efect de fluture? Vom vedea… (Figura 1.3)

Figura 1.3

Norul din imaginea reprezentată în Figura 1.3 este un obiect fractal

care are proprietățile oricărui astfel de obiect întâlnit în natură: munți,

ape, paduri, ramuri, vase de sânge etc.

Corpul uman nu reprezintă altceva decât un exemplu de obiect

fractal. Structura ADN-ului nostru, celulele, organele, sistemul circulator,

sistemul nervos, sistemul osos etc., toate respectă legile de bază ale

7

geometriei fractale. Un exemplu în acest sens este respectarea regulii de

aur a proporțiilor. Există multe exemple în acest sens, dar una evidentă

este cea a proporțiilor mâinii umane. Dacă ne uităm la orice deget, vom

vedea că articulațiile cresc ca dimensiuni spre palmă. Această creștere

respectă proporția fractală, mai precis raportul de 1 la 1.618. Aceeași rată

de creștere apare între degete și mâna noastră, între mâna noastră și

antebraț, între antebraț și lungimea totală a brațului etc.. Aceste proporții

se menține indiferent de zonele corpului nostru. Cu cât o persoană arată

mai sănătoasă și mai atractivă, cu atât aceste proporții sunt mai apropiate

de proporția regulă de aur. Același lucru îl întâlnim în picturi, sculpturi

sau catedrale, artiştii renascentişti cunoscând bine proprietățile

extraordinare ale proporției de aur (Figura 1.4)

8

Figura 1.4

Orice compoziție care respectă proporția fractală este în mod natural

atrăgătoare pentru ochi. Există, de asemenea în corpul uman, dovezi ale

naturii fractale de tip "auto-similitudine". Plămânul este un excelent

exemplu, cu un design clar care se repetă la diferite niveluri de analiză

(alveolele pulmonare reproduce fiecare lobul plămânului). Căile

respiratorii se divid și se subdivid la nesfârşît ca ramurile unui copac, sau

ca afluenții unui râu. Fiecare segment de plămân se împarte în bronhii,

9

apoi în bronhiole și în cele din urmă în alveole, unde are loc schimbul de

gaze între sânge şi oxigenul atmosferic.

Dacă ducem acest raținament mai departe, s-ar putea ca o boală să

fie un semn că o progresie din corpul uman nu respectă regula fractală?

În cazul în care un ficat a devenit congestionat datorită acțiunii metalelor

grele sau al depunerii de grăsimi pe suprafața sa, nu am putea să îl

readucem la starea sa perfectă prin întoarcerea la proporțiile fractale

originale? Unii medici cred că acest lucru este posibil. Atunci când un

calculator nu mai merge bine, îl reinstalăm cu versiunea originală sau cu

una îmbunătățită. Corpul uman este un uriaş bio-computer, astfel de ce

nu aplicăm același concept, folosind un limbaj pe care știm că îl înțelege

acesta - geometria fractală? La urma urmei, noi suntem făcuți din unul

dintre cei mai impresionanți fractali - ADN-ul, deci pur și simplu trebuie

să vorbim într-o limbă pe care acesta o înțelege.

Dacă am putea face chiar o ușoară ajustare a unui proces într-un

mod pozitiv, chiar și un corp bolnav ar avea potențialul de a se vindeca.

În cazul în care organul în sine nu este deteriorat dincolo de limita de

reparații, o imbunătățire cu 1% în cazul unui organ după mai multe

cicluri de regenerare celulară ne-ar putea duce în cele din urmă înapoi la

designul nostru perfect original, sau cel puțin la reducerea timpului de

recuperare naturală.

10

Un om de știință foarte intuitiv, Annie Maysmith, descrie procesul

de vindecare fractal, după cum urmează: "Corpul nostrum știe cel mai

bine. Este mult prea complex și interconectat pentru ca creierul să

înțeleagă. Ecuațiile fractale ilustrează această complexitate. Ele pun

corpul în mișcare și îi corectează eventualele blocaje. Vindecarea

fractală funcționează. Încearcă şi ai să vezi. Probabil nu putem înțelege

complexitatea la această scală. Dar putem simți atunci când corpul

nostru răspunde. Aceasta este starea de homeostazie."

Acesta este un rezumat bun al principalului conform căruia nu avem

nevoie să înțelegem pe deplin cum funcționează acest proces, avem

nevoie doar să îl lăsăm să funcționeze cu o minte deschisă și să îi simțim

răspunsul.

1.2 Fractali artificiali

Atunci când au fost descoperite mulţimea lui Cantor, curba Koch,

curba Peano, mulţimea Julia, covorul lui Sierpinski, buretele lui Menger

etc., au fost considerate ca fiind obiecte excepţionale, contra-exemple,

„monştrii ai matematicii”. Poate că acest lucru este puţin exagerat.

Descoperirea lor a fost accidentală, mulţi dintre fractalii artificiali

apărând în încercarea de a explora pe deplin conţinutul şi limitele

noțiunilor fundamentale de matematică (de exemplu, „continuu” sau

„curbă”). Mulţimea lui Cantor, covorul lui Sierpinski şi buretele lui

11

Menger ies în evidenţă, în special datorită rolului esențial jucat în

dezvoltarea geometriei fractale.

1.2.1 Mulțimea lui Cantor

Georg Cantor (1845-1918) a fost un matematician german de la

Universitatea din Halle, de unde a dat omenirii o lucrare fundamentală în

bazele matematicii, cunoscută sub numele de teoria mulţimilor.

Georg Cantor, 1845–1918

12

Mulţimea lui Cantor (obiect fractal cunoscut astăzi ca fiind primul

de acest fel descris de un matematician) a fost descoperită în 1872 şi

publicată în 1883 ca exemplu de mulţime cu proprietăți excepţionale. În

impresionanta galerie a fractalilor artificiali, mulţimea lui Cantor este una

dintre cele mai importante, chiar dacă este mai puţin atrăgătoare vizual şi

mai îndepărtată de o interpretare naturală imediată. Acum este cunoscut

faptul că mulţimea lui Cantor joacă un rol-cheie în mai multe ramuri ale

matematicii şi reprezintă modelul ascuns din spatele multor altor fractali

(de exemplu, mulţimea Julia).

Mulţimea lui Cantor este în esență o mulţime infinită de puncte în

intervalul unitate [0, 1]. Concret, acestă mulțime de numere, denumită

mulțimea lui Cantor, cuprinde elementele 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9,

8/9, 1/27, 2/27, etc.

Să explicăm construcţia clasică a mulţimii lui Cantor. Vom începe

cu intervalul [0, 1], apoi vom lua un interval (deschis), de exemplu (1/3;

2/3), vom exclude treimea din mijloc a intervalului [0, 1], dar nu şi

numerele 1/3 şi 2/3. Se obţin două intervale [0, 1/3] şi [2/3, 1] de lungime

1/3 fiecare şi astfel se completează un pas din construcţia de bază.

Procedeul se repetă, deci se consideră intervalele rămase [0, 1/3] şi [2/3,

1], se exclude treimea din mijloc a intervalelor şi se obţin patru intervale

de lungime 1/9. Şi se continuă în acest fel. Cu alte cuvinte, este vorba de

un proces iterativ care generează o secvenţă de intervale (închise) – unul

13

după primul pas, două după al doilea pas, patru după al treilea pas, opt

după al patrulea pas, etc. Figura 1.5 vizualizează procesul de construcţie

a mulţimii lui Cantor.

Figura 1.5

Mulţimea lui Cantor este o mulţime de puncte care se obţin în

urma efectuării paşilor de excludere de infinit de multe ori. Cum se

explică acest infinit de multe ori? Să încercăm. Un punct spunem că

aparţine mulţimii lui Cantor dacă putem garanta că, indiferent cât de des

vom efectua procesul de excludere, punctul nu va fi exclus.

Evident 0; 1; 1/3; 2/3; 1/9; 2/9; 7/9; 8/9; 1/27; 2/27, ... sunt

exemple de astfel de puncte, deoarece aceste sunt punctele aflate la

capetele intervalelor care sunt create la fiecare pas, şi, prin urmare, ele

14

trebuie să rămână. Toate aceste puncte au ceva în comun, şi anume sunt

puteri ale lui 3 – sau, mai degrabă, puteri ale lui 1/3. Putem fi tentaţi să

credem că orice punct din mulţimea lui Cantor este de acest tip, adică un

punct final al unuia dintre intervalele generate în proces. Această

concluzie este categoric greşită. Nu vom putea oferi argumentaţia

completă, dar vom discuta subiectul într-o oarecare măsură.

Dacă mulţimea lui Cantor ar fi fost formată doar din punctele

finale ale intervalelor generate în proces, le-am putea enumera cu

uşurinţă, așa cum este arătat în Figura 1.6.

Figura 1.6

Asta ar presupune ca mulţimea lui Cantor să fie o mulţime

numărabilă, dar este cunoscută ca fiind nenumărabilă, deoarece nu există

15

nicio modalitate de a enumera punctele din mulţimea lui Cantor. Astfel,

trebuie să existe mult mai multe puncte care nu sunt puncte finale ale

intervalelor generate în proces.

1.2.2 Triunghiul şi Covorul lui Sierpinski

Următorul fractal clasic este cu aproximativ 40 de ani mai tânăr

decât mulţimea lui Cantor. Acesta a fost introdus de către marele

matematician polonez Waclaw Sierpinski (1882-1969), în 1916.

Waclaw Sierpinski, 1882–1969

16

Sierpinski a fost profesor la Lvov şi Varşovia. A fost unul dintre

cei mai influenţi matematicieni ai timpului său din Polonia şi s-a bucurat

de o reputaţie mondială. De fapt, unul din craterele descoperit pe Lună a

fost numit după el.

Construcţia geometrică de bază a triunghiului lui Sierpinski se

realizează după cum urmează. Vom începe cu un triunghi în plan şi apoi

vom aplica o schemă repetitivă de operaţiuni (când spunem triunghi, ne

referim la un triunghi întunecat, completat). Se aleg punctele din mijlocul

celor trei laturi. Împreună cu vârfurile triunghiului iniţial, aceste puncte

din mijlocul laturilor vor definesc patru triunghiuri congruente din care

excludem triunghiul central. Astfel se completează un pas din construcţia

de bază. Cu alte cuvinte, după primul pas avem trei triunghiuri

congruente ale căror laturi au exact jumătate din dimensiunea laturilor

triunghiului iniţial şi care se ating în trei puncte care sunt vârfurile

comune a două triunghiuri adiacente. Aplicăm aceeaşi procedură pentru

cele trei triunghiuri rămase şi repetăm pasul de bază de câte ori dorim. Se

începe cu un triunghi şi apoi se obţin 3, 9, 27, 81, 243, ... triunghiuri,

fiecare dintre ele fiind o versiune înjumătăţită a triunghiurilor din pasul

anterior. Figura 1.7 prezintă câţiva pași ai acestui proces.

Triunghiul lui Sierpinski este mulţimea de puncte din plan care

rămân în cazul în care acest proces este realizat de un număr infinit de

ori. Sunt uşor de enumerat câteva puncte care cu siguranţă aparţin

17

triunghiului lui Sierpinski, şi anume, laturile fiecărui triunghi obţinut în

proces. Se poate observa caracteristica de auto-similaritate, cu toate că,

nu suntem încă pregătiţi să o discutăm în detaliu. Aceasta este realizată în

procesul de construcţie, de exemplu, fiecare din cele trei laturi de la

fiecare pas este o versiune mai redusă – cu factorul 2 – a întregii structuri

din etapa anterioară.

Figur

Figura 1.7.

Auto-similaritatea, este o proprietate a limitei procesului de

construcţie geometrică, şi care va fi studiată în capitolul 2. Vom explica

atunci cum triunghiul lui Sierpinski se obține printr-un proces iterativ de

eliminare care se aplică la fel de uşor ca şi pentru mulţimea lui Cantor.

Sierpinski a adăugat şi un alt obiect la galeria fractalilor clasici, covorul lui

Sierpinski, care la prima vedere arată ca o variaţie a unei teme cunoscute (Figura

18

1.8). Vom începe cu un pătrat în plan şi vom subdiviza în nouă pătrate mici

congruente, din care îl excludem pe cel din centru, şi aşa mai departe. Obiectul

obţinut în urma aplicării acestui proces infinit de multe ori poate fi văzut ca o

generalizare a mulţimii lui Cantor. Într-adevăr, dacă ne uităm la intersecţia dintre o

linie paralelă cu baza pătratului iniţial şi care trece exact prin centrul celorlaltor laturi,

observăm exact construirea mulţimii lui Cantor. Vom vedea în cele ce

urmează că atât complexitatea covorului, cât şi a triunghiului pot părea la

prima vedere, în esenţă la fel, dar există, de fapt, multe diferenţe între ele.

Figura 1.8

19

1.2.3 Curba lui Koch

Helge von Koch a fost un matematician suedez care, în 1904, a

introdus ceea ce este cunoscut astăzi cu numele de curba lui Koch.

Îmbinarea capetelor curbei lui Koch rotite corespunzător determină

o figură care, din motive evidente, poartă numele de curba fulg de zăpadă

sau insula lui Koch (figura 1.9). Se cunosc puţine lucruri despre Helge

von Koch, ale cărui contribuţii matematice, cu siguranţă, nu fac parte din

aceeaşi categorie ca şi cele ale cunoscuţilor matematicieni Cantor, Peano,

Hilbert, Sierpinski sau Hausdorff. Dar construcţia lui Koch îşi are locul

pur şi simplu pentru că ea conduce la multe generalizări interesante şi

care trebuie să-l fi inspirat pe Mandelbrot. Curba lui Koch este la fel de

greu de înţeles ca şi mulţimea lui Cantor sau covorul lui Sierpinski. Cu

toate acestea, problemele cu această curbă sunt de altă natură. Întâi de

toate – aşa cum numele îi spune – este o curbă, dar acest lucru nu se

observă imediat din construcţie. În al doilea rând, această curbă nu

conţine linii drepte sau segmente, cu toate că le-am putea vedea ca linii

atent îmbinate. Mai degrabă, această curbă aduce mult cu complexitatea

liniei de coastă, încreţituri în încreţituri în încreţituri, şi aşa mai departe.

În continuare vom prezenta construcţia geometrică a curbei lui

Koch. Vom începe cu o linie dreaptă. Acest obiect iniţial poartă numele

de iniţiator. Împărţim acest obiect în trei părţi egale, apoi înlocuim

20

treimea din mijloc cu un triunghi echilateral de la care excludem baza.

Astfel se completează un pas din construcţia de bază. Aceată figură

micşorată, formată din patru segmente, va fi reutilizată în următorii paşi.

Aceasta poartă numele de generator. Astfel, procedeul se repetă, luăm

fiecare segment rezultat, îl împărţim în trei părţi egale, şi aşa mai departe.

Figura 1.9 ilustrează primii paşi. Auto-similaritatea apare în procesul de

construcţie, de exemplu, fiecare din cele patru segmente de la un pas este

o reprezentare redusă – cu factorul 3 – a întregii curbe de la pasul

21

anterior.

Figura 1.9

22

De fapt, Koch a vrut să ofere un nou exemplu la o descoperire

făcută întâi de matematicianul germen Karl Weierstrass (1815-1897),

care, în 1872, a determinat o criza minoră în matematică. Acesta a descris

o curbă care nu putea fi diferenţiată, şi anume, o curbă care nu admite o

tangentă la oricare din punctele sale. Capacitatea de a diferenţia (de

exemplu, pentru a calcula panta unei curbe de la un punct la altul) este un

element central al calculului, care a fost inventat de către Newton şi

Leibniz, cu aproximativ 200 de ani înainte de Weierstrass. Ideea de pantă

este destul de intuitivă şi merge mână în mână cu noţiunea de tangentă

(Figura 1.9 b.).

Dacă o curbă are un vârf, atunci apare o problemă. Nu există nicio

modalitate de a trasa unic o tangentă. Curba lui Koch este un exemplu de

curbă care este realizată din multiple vârfuri, şi astfel nu există nicio

modalitate de a construi o tangenta la oricare dintre punctele sale.

Să ne întoarcem la curba lui Koch şi să discutăm despre lungimea

acesteia. La fiecare pas se obţine o curbă. După primul pas, rămânem cu

o curbă care este alcătuită din patru segmente de aceeaşi lungime, după al

doilea pas avem 4 × 4, şi apoi 4 × 4 × 4 segmente după al treilea pas, şi

aşa mai departe. Dacă linia iniţială are lungimea L, atunci, după primul

pas obținem un segment de lungimea L × 1/3, după al doilea pas un

segment de lungimea L × (1/3)2 şi aşa mai departe.

23

Deoarece la fiecare pas se obţine o curbă formată din segmente, nu

apar probleme în măsurarea lungimii acestor curbe. După primul pas,

lungimea este 4 × L × 1/3, şi aşa mai departe. Astfel, putem observa că de

la un pas la altul lungimea curbelor creşte cu un factor de 4/3. Apar astfel

câteva probleme. În primul rând, curba lui Koch este obiectul care se

obţine dacă se repetă paşii de construcţie infinit de multe ori. Dar ce

înseamnă acest lucru? Mai mult, chiar dacă am putea răspunde la această

întrebare, de ce rezultatul este o curbă? Sau, cum se face că aceste curbe

obţinute la fiecare pas nu se intersecteză?

În figura 1.10 se observă două curbe care se pot diferenţia cu greu.

Dar ele sunt diferite. Cea de sus prezintă rezultatul costrucţiei după 5

paşi, în timp ce cealaltă curbă prezintă rezultatul obţinut după 20 de paşi.

Deoarece lungimea segmentelor este redată de numărul de paşi, este

evident că orice schimbare în construcţie este puţin vizibilă, cu excepţia

cazului în care se lucrează la microscop. Astfel, în scopuri practice,

suntem tentaţi să ne mulţumim cu o imagine a unui pas, sau orice altceva

care poate păcăli ochiul. Dar un astfel de obiect nu este curba lui Koch.

Acesta ar avea o lungime finită şi ar arăta segmentele la dimensiune

suficient de mare. Este de importanţă crucială distincţia dintre obiectele

obţinute la fiecare pas din construcţie şi obiectul final. Vom ridica

această problemă, care, desigur, apare şi la fractalii clasici prezentaţi

anterior, în capitolele următoare.

24

Figura 1.10

Fulgul de zăpadă al lui Koch are, evident, unele asemănări cu

fulgii de zăpadă reali, unele asemănări fiind prezentate în figura 1.11.

Figura 1.11

25

1.2.4 Curbe de umplere a spaţiilor (Peano )

Vorbind despre dimensiuni, intuitiv, percepem liniile ca fiind tipice

obiectelor unidimensionale şi planele tipice obiectelor bidimensionale. În

1890 Giuseppe Peano (1858-1932) şi imediat după aceea, în 1891, David

Hilbert (1862-1943), au adus în discuţie curbele care apar în plan şi care,

în mod dramatic demonstrează că ideea naivă pe care o avem despre

curbe este foarte limitată. De asemeena, au adus în discuţie ideea de

curbe care „umplu” un plan, de exemplu, având o secţiune din plan,

există o curbă care întâlneşte fiecare punct din această secţiune. Figura

1.12 prezintă primii paşi din procesul iterativ de construcţie curbei

iniţiale a lui Peano.

26

Figura 1.12

În natură, organizarea structurilor de umplere a spaţiilor este una

din pietrele de temelie fundamentale ale fiinţelor vii. Un organ trebuie să

fie „aprovizionat” cu substanţele adiţionale necesare, cum sunt apa şi

oxigenul. În multe cazuri, aceste substanţe vor fi transportate prin

intermediul sistemului venos pentru a ajunge în fiecare punct din

interiorul organului. De exemplu, rinichii sunt locul unde se întrepătrund

sub forma unui arbore trei astfel de sisteme: sistemul arterial, sistemul

venos şi sistemul urinar (a se vedeaFigura 1.13). Fiecare dintre acestea

are acces la fiecare parte a rinichilor. Fractalii rezolvă problema modului

de organizare a unei astfel de structuri complicate într-un mod eficient.

Desigur, nu acesta a fost obiectul de interes al lui Peano şi Hilbert cu

aproape 100 de ani în urmă. Acest interes a apărut recent, în urma lucrării

lui Mandelbrot, omniprezenţa fractalilor devenind evidentă.

Curba lui Peano se obţine printr-o altă variantă a construcţiei lui

Koch. Vom începe cu un singur segment de linie, iniţiatorul, iar apoi vom

înlocui segmentul cu o curbă generatoare aşa cum se arată în figura 1.14.

Generatorul are două puncte de auto-intersecţie, mai exact, curba se

atinge în două puncte. Se observă că această curbă generatoare se

potriveşte perfect într-un pătrat, care în figură este indicat cu linii

punctate. Acesta este pătratul ale cărui puncte vor fi atinse prin curba lui

Peano.

27

Figura 1.13

Să descriem pasul următor. Luăm fiecare parte de linie dreaptă a

curbei de la primul pas şi o înlocuim cu generatorul micşorat

corespunzător. Evident, factorul de scalare este 3. Acesta este pasul doi.

Există un număr total de 32 de puncte de auto-intersecţie în curbă.

Procesul se repetă, astfel că, la fiecare pas, segmentele sunt micşorate cu

factorul 3. Datorită acestei reduceri, segmentele au lungimi care scad

foarte repede. Deoarece fiecare segment este înlocuit cu nouă segmente

care au o treime din lungimea segmentului anterior, putem calcula cu

uşurinţă lungimea curbelor la fiecare pas. Presupunând că lungimea

segmentului de linie iniţial, adică a iniţiatorului, este 1, atunci la pasul 1

28

obţinem: 9 × 1/3 = 3, şi la pasul 2: 92×1/32 = 9. La pasul k, lungimea

curbei este 3k. Ca regulă generală, la fiecare pas al construcţiei, lungimea

curbei rezultate creşte prin factorul 3.

Construcţia curbei lui Peano, ca şi construcţia curbei lui Koch,

aduce cu sine o serie de dificultăţi, care nu au apărut sau au fost ascunse

în construcţiile anterioare. De exemplu, considerăm conceptul intuitiv de

auto-similaritate. Pentru construcţia curbei lui Koch, am putea spune că

această curbă finală (de exemplu, curba pe care o vedeţi pe un terminal

grafic după mai multe etape) are similitudini cu fiecare dintre paşii

precedenţi. Dacă ne uităm la curba lui Peano, la fel de intuitiv, fiecare

pas are similitudini cu paşii anteriori, dar dacă ne uităm la curba finală

(de exemplu, curba rezultată după mulţi paşi pe un terminal grafic), vom

vedea un pătrat „completat” care nu se aseamănă deloc cu primii paşi ai

construcţiei. Cu alte cuvinte, fie curba lui Peano nu este auto-similară, fie

trebuie să fim mult mai atenţi la ceea ce înseamnă auto-similaritatea. De

fapt, curba lui Peano este perfect auto-similară. Problema este în a

„vedea” obiectul final ca o curbă, deoarece, în orice reprezentare grafică

„pare” mai mult o porţiune din plan.

29

Figura 1.14

1.2.5 Mulțimile Julia

Gaston Julia (1893-1978) avea numai 25 de ani când a publicat

capodopera sa de 199 de pagini în 1918, care l-a făcut celebru în

matematica din acele timpuri. Ca soldat francez în Primul Război

30

Mondial, G. Julia a fost grav rănit, în urma rănilor pierzâdu-şi nasul. Între

mai multe operaţii dureroase, el şi-a desfăşurat cercetările matematice în

spital. Mai târziu, a devenit academician şi profesor la École

Polytechnique din Paris.

Gaston Julia (1893 - 1978)

Deşi Julia a fost un matematician de renume mondial în anii 1920,

lucrarea lui a fost, în esenţă, uitată până când Mandelbrot a readus-o la

lumină la finele anilor şaptezeci, prin cercetările întreprinse în domeniul

31

geometriei fractale. Mandelbrot s-a familiarizat cu lucrările lui Julia prin

intermediul unchiului său, Szolem Mandelbrojt, care a fost profesor de

matematică la Paris şi succesorul la catedră al lui Jacques Salomon

Hadamard la prestigiosul Collège de France. Cu ajutorul graficii

computerizate, mai târziu Mandelbrot a arătat că munca lui Julia este

sursa unora din cei mai frumoşi fractali cunoscuţi astăzi. În acest sens,

am putea spune că lucrarea scrisă de Julia este plină de fractali clasici,

care au trebuit să aştepte să fie treziţi la viață de computere. În prima

jumătate a acestui secol, Julia s-a bucurat de o celebritate mondială.

Pentru a răspândi rezultatele sale, Hubert Cremer a organizat un seminar

la Universitatea din Berlin, în 1925, sub auspicile Erhard Schmidt şi

Ludwig Bieberbach. Lista participanţilor arăta aproape ca un fragment

din „Who’s Who” în matematică la acel moment. Printre ei se numărau

Richard D. Brauer, Heinrich Hopf şi Kurt Reidemeister. Cremer a scris

un eseu pe această temă, care conţine o primă vizualizare a mulţimii Julia

(Figura 1.15).

Mulţimile Julia se află situate în planul complex şi sunt esenţiale

pentru înţelegerea iteraţiilor polinoamelor complexe de forma z2 + c sau

z3 + c etc. Să luăm ca exemplu z2 + c. Iterarea înseamnă că păstrăm c fix

şi alegem o anumită valoare pentru z şi obţinem z2+c. Cu alte cuvinte,

pentru o valoare fixă, dar arbitrară a lui c, vom genera o secvență de

numere complexe: z → z2+c → (z2+c)2 + c → ((z2+c)2+c)2 + c →…

32

Această secvență trebuie să aibă una din cele două proprietăți: a)

Fie secvența devine nelimitată: elementele secvenței nu lasă nici un cerc

în jurul originii; b)Sau secvența rămâne mărginită: există un cerc în jurul

originii, care nu e ocupat de secvență.

Colecția de puncte, care duce la primul tip de comportament se

numește mulțimea de evacuare, în timp ce colecția de puncte care duce

la al doilea tip de comportament este numită mulțime prizonier pentru c.

De exemplu, pentru un c dat şi pentru z suficient de mare, z2+c este

chiar mai mare decât z. Pe de altă parte, dacă vom alege z astfel încât z =

z2+c, atunci iterația rămâne staționară. Pornind cu o astfel de secvență z

produsă prin iterare, va fi constantă z, z, z, ... Cu alte cuvinte, nu se poate

ca setul prizonier să fie gol. Ambele mulțimi acoperă o parte din planul

complex și se completează reciproc. Astfel, limita mulțimii prizonier este

simultan și limita mulțimii de evacuare și este mulțimea Julia pentru c

(sau, mai degrabă, pentru z2+c). Figura 1.15. prezintă câteva mulțimi

Julia, obținute prin experimente de calculator.

33

Figura 1.15

1.2.6 Arborii Pitagorieni

Pitagora, care a murit la începutul secolului al cincilea î.Hr., a

fost recunoscut de contemporanii săi, iar mai tarziu chiar de Aristotel, ca

fondator al unei confrerii religioase în sudul Italiei, având în vedere

faptul că pitagorienii au jucat un rol politic în secolul al șaselea î.Hr.

Legarea numelui său de cunoscuta teoremă a lui Pitagora este însă falsă.

34

De fapt, teorema a fost cunoscută cu mult timp înainte de perioada în

care a trăit Pitagora.

Teorema ne permite să construim pentru orice număr întreg o

spirală a rădăcinii pătrate. Ȋn Figura 1.16 se explică această idee.

Figura 1.16

Se începe cu un segment egal cu unitatea la care se ataşează un

triunghi dreptunghic cu catetele egale cu 1. Următorul triunghi

dreptunghic din spirală va avea o catetă egală cu ipotenuza triunghiului

precedent şi cealaltă catetă egală cu 1. Construcția continuă oricât de

mult obținându-se o spirală fractală.

O altă construcție interesantă care dă familia de arbori pitagorieni

este legată de construirea spiralei rădăcinii pătrate. Rezultatele obținute

35

de această construcție de-a lungul mai multor etape este prezentată în

figura 1.17.

Figura 1.17

Pasul 1: Desenați un pătrat.

Pasul 2: Atașați un triunghi dreptunghic la una dintre laturile sale de-a

lungul ipotenuzei acestuia (aici cu două laturi egale).

Pasul 3: Atașați două pătrate de-a lungul laturilor libere ale triunghiului.

Pasul 4: Atașați două triunghiuri dreptunghice.

Pasul 5: Atașați patru pătrate.

Pasul 6: Atașați patru triunghiuri dreptunghice.

Pasul 7: Atașați opt pătrate. ş.a.m.d.

36

Odată ce s-a înțeles mecanismul care stă la baza acestor

construcții de bază, le putem modifica în diverse moduri. De exemplu,

triunghiurile dreptunghice care intervin în procesul de construire a

spiralei rădăcinilor pătrate nu trebuie să fie neapărat triunghiuri isoscele.

Ele pot fi orice tipuri de triunghiuri dreptunghice. Dar odată ce vom

permite astfel de variații, vom avea de fapt un grad suplimentar de

libertate. Triunghiurile alese pot fi întotdeauna atașate în acelaşi sens, sau

am putea răsturna orientarea lor după fiecare pas. Figura 1.18 arată două

posibilități.

Figura 1.18

Figura 1.19 arată rezultatele acestor construcții, după aproximativ

50 de pași. Ceea ce este remarcabil este faptul că singurul lucru pe care l-

37

am schimbat este orientarea triunghiurilor, nu dimensiunea lor.

Rezultatele finale, însă, sunt extrem de diferite. În primul caz vom vedea

un fel de frunze în spirală, în timp ce al doilea ne amintește de o ferigă

sau o frunză de pin. Este interesant faptul că în construcția din partea de

jos din figura 1.19, vedem o tulpină principală de la care radiază ramuri

în dreapta, stânga, dreapta, stânga, deci un model.

38

Figura 1.19

39

Se pot vedea o spirală asemănătoare cu un melc şi o tulpină

majoră, care are ramuri din care se desprind alte ramificații ce creează

imaginea unei ferigi. Ambele forme derivă din același principiu

feedback. Deşi ele se deosebesc foarte mult, aparțin aceleaşi familii

fractale, deosebirea esențială fiind introdusă de o mică modificare legată

de orientarea dispunerii triunghiurilor. Aceasta este o modalitate prin

care fractalii au putut fi utilizați pentru a reprezenta diferite plante In

botanică. Biologul Aristide Lindenmayer (1925-1989) a introdus

conceptul de sisteme L care permit realizarea de imagini ale copacilor, de

exemplu.

Să continuăm să studiem construcțiile noastre introducând alte

modificări. De ce să nu utilizăm orice fel de triunghi? Pentru a păstra o

oarecare ordine în reprezentarea fractalului, ar trebui să luăm triunghiuri

similare. Aceasta deschide ușa la o mare varietate de forme fascinante,

care variază de la plante, la cine știe ce. În figura 1.20. am atașat

triunghiuri echilaterale, și observăm că construcția obținută devine

periodică.

40

Figura 1.20

Trecerea de la triunghi echilateral la triunghiuri isoscele cu

unghiuri mai mari decât 90 ° oferă altă surpriză - o formă care seamană

cu un brocoli (a se vedea figura 1.21).

Figura 1.21

41

Aceste construcții ridică o serie de întrebări interesante. Când

construcția duce la o suprapunere? Prin ce lege lungimile laturilor

triunghiurilor sau pătratelor scad în proces? Mai mult decât atât, avem

exemple frumoase de structuri care sunt auto-similare, și anume, fiecare

structură împarte construcția în două ramuri majore, iar acestea din nou

se împart în două alte ramuri principale, și așa mai departe, și fiecare

dintre aceste ramuri este o versiune mai redusă de întreaga structură.

Galeria noastră de fractali artificiali se încheie aici, deși nu am

discutat despre contribuțiile lui Henry Poincare, Karl Weierstrass, Felix

Klein, LF Richardson, sau AS Besicovitch. Toate acestea ar merita mai

mult spațiu decât le-am putea oferi aici, dar sugerăm cititorului interest

de această temă lucrările lui Mandelbrot.

1.2.7 Mulțimea lui Mandelbrot

Mulțimea descoperită de Mandelbrot este cu siguranță cel mai

popular fractal, probabil, chiar cel mai popular obiect de matematică

contemporană. Unii oameni susțin că acesta nu este doar cel mai frumos,

dar şi obiectul cel mai complex care a fost văzut, sau făcut vizibil.

Deoarece Mandelbrot a realizat experimentul său extraordinar în 1979,

acesta a fost duplicat de zeci de mii de oameni de știință amatori din

întreaga lume. Acestora le-a plăcut să se îngroape într-o varietate

42

nesfârşită de imagini care se pot dezvolta pe un ecran de computer.

Uneori, mai multe ore sunt necesare pentru producerea lor, dar acest

lucru este prețul pe care trebuie plătit pentru aventura de a găsi ceva nou

și fascinant.

Benoit Mandelbrot (1924 -2010)

Complexitatea mulțimii Mandelbrot este într-o clasă cu totul diferită

față de cea a mulțimilor Julia. Pe de o parte, mulțimea Mandelbrot are un

interior solid, fără nici o structură, iar pe de altă parte, se învecinează cu

o structură foarte complexă, cu o infinitate de forme diferite. Pentru o

primă impresie a acestei varietăți, oferim o selecție de imagini din jurul

limitei (Figura 1.22), precum și o secvență mărită (Figura 1.23).

43

Figura 1.22

44

Figura 1.23

45

Prima caracteristică remarcabilă a mulțimii Mandelbrot sunt

mugurii mici, care sunt aliniați de-a lungul regiunii centrale, mari, în

formă de inimă. Acești muguri au o semnificație pentru mulțimile Julia

asociate. Să privim corpul principal al mulțimii amplasat în centru.

Această mulțime intersectează axa reală în intervalul

(-0.75, 0.25). Amintim că mulțimea Julia pentru c = 0 este un cerc cu un

punct fix la origine. Acest punct fix se numeşte super atractor; punctul

critic fiind egal cu punctul fix. Este o realitate faptul că parametrii c pe

linia dintre (-0.75, 0.25) sunt exact acei parametrii reali pentru care unul

dintre punctele fixe de z → z2+c este un atractor. Prin urmare, nu este de

mirare că regiunea în formă de inimă este mulțimea tuturor parametrilor

(complecşi) c, pentru care unul dintre cele două puncte fixe ale z → z2+c

este atractor.

Putem determina o relație explicită pentru a descrie conturul

"inimii" lui Mandelbrot, folosind criteriul derivat după cum urmează. Pe

contur observăm că derivata unuia din punctele fixe este egală cu 1, în

valoare absolută. Presupunem că z este un punct fix astfel încât, z →z2 +

c, care rezolvă z2 – z + c = 0. Derivata lui z este 2z, pe care o scriem în

coordonate polare: 2z = r eiφ, cu r ≥ 0 și 0 ≤ φ < 2π. Combinând cele două

ecuații de mai sus obținem că:

(1)

Această ultimă ecuație se rezolvă pentru c:

46

(2)

Dat fiind faptul că un număr arbitrar apare în relație, acest rezultat

corespunde unui parametru c astfel încât derivata lui z → z2 + c într-unul

din cele două puncte fixe corespunde numărului dat.

De exemplu, pentru a obține o reprezentare a interiorului centrului

inimii mulțimii lui Mandelbrot, scriem c = x + yi, şi putem împărți

componentele reale și imaginare din ecuația de mai sus (pentru r = 1):

(3)

(4)

Aceste ecuații finale produc un punct complex pentru orice

argument φ dat. O astfel de reprezentare a unei curbe se numește

parametrizare (φ fiind parametrul curbei în acest caz). Aici sunt exemple

de puncte de pe curba cu 5 valori ale lui φ:

θ x y

0 0.25 0

2π/5 0.35676 0.32858

2π/4 0.25 0.5

2π/3 -0.125 0.64952

π -0,75 0

47

Rezultă că pentru valorile parametrului unul dintre

principalii muguri ai mulțimii Mandelbrot este atașat la forma centrală de

inimă. În plus, perioada de atractivitate a ciclurilor care aparțin acestor

muguri este dată de numărul k din φ = 2π / k. Ca o ultimă remarcă,

punctele fixe pentru z → z2 + c sunt de forma:

și derivatele în aceste puncte fixe sunt . Din această

reprezentare rezultă că, dacă o derivată este în interiorul cercului unitate,

atunci cealaltă trebuie să fie în afara lui. Astfel, în cazul în care un punct

fix este atractor, atunci celălalt trebuie să fie repelor. De asemenea, în

cazul în care un punct fix este indiferent, atunci celălalt trebuie să fie

repelor (cu excepția cazului în care punctele fixe sunt identice, adică,

pentru cazul c = ¼)

Acum ne întoarcem la mulțimea lui Mandelbrot. La capătul din

stânga al regiunii în formă de inimă (în cazul în care numărul iterației

poate fi văzut) există un mugure. Este un disc perfect cu raza 0,25

centrat. Figura 1.24 prezintă două mulțimi Julia pentru parametrii.

48

Figura 1.24

Pentru astfel de parametri, nici unul dintre cele două puncte fixe nu

poate fi atractor, pentru că c este în afara centrului formei de inimă al lui

M. Acum, ce este dinamica iterației în cadrul mulțimii prizonier stabilită

în acest caz? Să verificăm acest lucru cu un experiment. Vom alege două

puncte inițiale aproape de punctele fixe

care sunt egale aproximativ cu: z1 = +1.61803398… şi z2 = -

0.61803398…

În primul rând, iterația confirmă faptul că nici unul dintre punctele

fixe nu este atractor. Tabelul 1 următor conține primele 16 iterații ale

celor două puncte inițiale (punctele fixe, sunt rotunjite la două zecimale).

49

Orbita 1 Orbita 2x y x y

1.62 0.00 -0.62 0.00

1.6244 0.00 -0.6156 0.00

1.63868 0.00 -0.62104 0.00

1.68523 0.00 -0.61431 0.00

1.84009 0.00 -0.62262 0.00

2.38593 0.00 -0.61235 0.00

4.69268 0.00 -0.62503 0.00

21.69268 0.00 -0.60933 0.00

440.89443 0.00 -0.62871 0.00

194386.8964 0.00 -0.60472 0.00

0.00 -0.63431 0.00

0.00 -0.59765 0.00

0.00 -0.64282 0.00

0.00 -0.58679 0.00

0.00 -0.65568 0.00

0.00 -0.57008 0.00

0.00 -0.54437 0.00

Tabelul 1

În timp ce iterația primei orbite duce la infinit, iterația celei de-a doua

dezvăluie dinamica esențială în mulțimea prizonier. Tabelul 2 listează

alte 18 iterații ale acestei orbite.

Orbita 1 Orbita 2x y x y

-0.70367 0.00 -0.11015 0.00

-0.50485 0.00 -0.98787 0.00

-0.74512 0.00 -0.02412 0.00

-0.44479 0.00 -0.99942 0.00

-0.80216 0.00 -0.00116 0.00

-0.35654 0.00 -1 0.00

-0.87288 0.00 0 0.00

50

-0.23808 0.00 -1 0.00

-0.94332 0.00 0 0.00

Tabelul 2

Orbita atractoare a perioadei a doua:

0 → -1 → 0 → …

devine dominantă şi toate valorile inițiale din interiorul mulțimii

prizonier sunt atrase de această orbită și mulțimea Julia este limita acestui

bazin de atracție. De fapt, pentru toți parametrii c din interiorul

"perioadei cu două discuri" al setului Mandelbrot, se obține o orbită

atractoare de perioadă doi, iar mulțimea Julia este limita bazinului său de

atracție. Rețineți că în acest disc de parametrii, valoarea c = -1 este

specială. Aici punctul critic coincide cu unul din punctele periodice. Prin

urmare, acest punct se numește super-atractor.

Următorii muguri mari atașați la marginea centrului în formă de

inimă al mulțimii lui Mandelbrot corespund perioadei trei de

comportament; apoi sunt muguri ai căror parametrii aparțin ciclurilor

atractoare de perioadă 4, și așa mai departe. Figura 1.25 arată mulțimile

Julia care leagă bazinele de atracție pentru perioada de 3 și perioada de 4

cicluri.

51

Figura 1.25

Figura 1.26 dă o privire de ansamblu asupra comportamentului periodic

asociat mugurilor, sau atomilor, așa cum îi numește Mandelbrot în

lucrările sale.

Figura 1.26

În mod clar aceștia sunt strict organizați. Fiecare mugur poartă pe

marginea sa un alt set complet de muguri mici, cu secvențe

52

corespunzătoare de cicluri de atractori periodici. Rețineți că există o

regulă uimitoare pentru perioadele corespunzătoare mugurilor.

Doi muguri ai perioadelor p și q pe cardioidă (o cardioidă este o

curbă plană trasată de un punct de pe perimetrul unui cerc, care se rotește

în jurul unui cerc fix de aceeași rază) determină perioada celui mai mare

mugur dintre ele ca fiind p + q. Norme similare sunt adevărate și pentru

mugurii de pe muguri.

Acum, să analizăm punctele de pe cardioidă. Punctul fix, care a

fost atractor pentru parametrii din regiunea în formă de inimă, pierde

acest drept de proprietate pe cardioidă. Aici punctul fix corespunzător

este denumit indiferent. Cu alte cuvinte, iterația z → z2 + c nu este în

punctul fix nici atractor și nici repelor, ci este legat de o rotație. Mulțimea

prizonier asociată este dramatic diferită dacă rotația este dată de un

număr rațional sau irațional.

Mai mult decât atât, atunci când rotația este irațională, mai multe

cazuri pot fi distinse. În cele ce urmează nu vom încerca să discutăm

despre această clasificare. Mai degrabă, vom alege unele cazuri

particulare pentru a demonstra complexitatea care evoluează în

înțelegerea mulțimilor prizonier. Pentru punctele în care sunt atașați

mugurii acestei rotații, este dat un unghi φ = 2πα, care este un multiplu

rațional al 2π. De exemplu, avem α = ½ în punctul în care este atașată

"perioada de doi" și avem α = 1/3 în punctul în care este atașat "perioada

53

de trei" deasupra cardioidei. Figura 1.27 prezinta mulțimile Julia pentru

aceste două exemple.

Figura 1.27

Dar ce se întâmplă dacă punctul fix este indiferent și unghiul de

rotație (a derivatei) este irațional? Acest lucru este într-adevăr un caz

complicat și conduce la mulțimi Julia, care sunt doar într-o mica măsură

înțelese. Pentru o clipă, ne vom axa pe acele cazuri care sunt mai

accesibile. Știm că orice număr irațional poate fi aproximat printr-o

secvență de numere raționale. Unele secvențe se apropie de un număr

irațional mai rapid decât altele. Unele numere iraționale admit secvențe

aproximate care converg foarte repede, altele recunosc doar secvențe care

converg destul de lent. Se pare că aceste diferențe contează substanțial

pentru caracterul unui set Julia corespunzător unui unghi α.

54

Dacă există un număr irațional, astfel încât orice secvență

aproximată de numere raționale converge foarte lent (într-un sens precis),

atunci mulțimea prizonier este numit “Discul lui Siegel”. Se pare că

printre toate numerele iraționale există unul care iese în evidență ca fiind

cel care este cel mai dificil de aproximat prin numere raționale. Acest

număr este considerat “media de aur”: . Figura 1.28 prezintă

discul lui Siegel.

Figura 1.28

Rețineți că în acest caz, punctul fix indiferent se află în interiorul

mulțimii prizonier, în timp ce se știe că pentru cazul rațional indiferent

acesta este pe graniță. Astfel, în cazul în care αn, n = 1,2,… este o

secvență de numere raționale, care se apropie de media de aur, mulțimile

55

Julia asociate sunt fundamental diferite față de cel corespunzător limitei

α.

Ceea ce am studiat până acum au fost mulțimi Julia care corespund

cazului atractor și super-atractor, cazului rațional indiferent și cazului

discului Siegel. Toate aceste cazuri sunt caracterizate prin faptul că

mulțimea prizonier nu are interiorul vid. În afară de aceste mulțimi

prizonier, care sunt complet deconectate (cu valorile parametrilor care nu

sunt în M) și de cele care au un interior nevid, există, de asemenea, cazuri

limită: mulțimi prizonier cu nici un punct interior, dar care, cu toate

acestea, sunt încă conectate.

Acestea au de obicei mai multe ramuri, la toate nivelurile de detalii

și sunt numite dendrite. Cea mai populară este cu siguranță dendrita

pentru mugur, mulțimea prizonier pentru intervalul real [-2, 2] fiind în

această clasă. Ȋn figurile 1.29 și 1.30 se dau mai multe exemple în acest

sens. În timp ce aceste mulțimi Julia sunt destul de ușor de calculat și de

desenat, această clasă de dendrite Julia conțin, de asemenea, o infinitate

de monștri pentru care, probabil, este imposibil să se ofere o reprezentare

grafică explicită.

56

Figura 1.29

Figura 1.30

1.3 Similaritate și auto-similaritate în fractali

Auto-similaritatea extinde una dintre cele mai fructuoase noțiuni

de geometrie elementară: similitudinea. Două obiecte sunt similare dacă

au aceeași formă, indiferent de dimensiunile lor. Unghiurile

corespunzătoare, cu toate acestea, trebuie să rămână egale, și segmentele

corespunzătoare de linie trebuie să aibă același factor de

proporționalitate. De exemplu, atunci când o fotografie este extinsă,

acesta este mărită cu același factor în ambele direcții orizontale și

verticale. Chiar și un segment de linie oblic, non-orizontal, non-vertical,

între două puncte de pe origine va fi extins cu același factor. Numim

acest factor de extindere factorul de scalare. Transformarea obiectelor

57

prin factorul de scalare se numește transformare similară. Luați în

considerare o fotografie, care este extinsă cu un factor de 3. Rețineți că

zona imaginii extinse este de cateva ori mai mare ca originalul. Mai

general, în cazul în care avem un obiect cu o zonă de extindere și cu un

factor de scalare, obiectul rezultat va avea o suprafață care este câteva ori

mai mare decât originalul. Dar cazul scalării obiectelor tridimensionale?

Dacă luăm un cub și îl mărim cu un factor de scalare de trei, aceasta

devine de trei ori mai lung, de trei ori mai adânc, și de trei ori mai înalt ca

originalul. Observăm că zona fiecărei fețe a cubului este extinsă de

câteva ori față de cea a cubului inițial. Deoarece acest lucru este valabil

pentru toate cele șase fețe ale cubului, suprafața totală a extinderii este de

nouă ori față de original. Mai general, pentru obiecte de orice formă,

suprafața totală a unui obiect crește în urma scalării cu pătratul factorului

de scalare. Ce spuneți despre volum? Cubul extins are trei straturi, fiecare

cu 3*3 = 9 cuburi mici. În general, volumul unei creșteri scalare a unui

obiect reprezintă cubul factorului de scalare.

Aceste observații elementare au reprezentat obiectul de studio al

lui Galileo Galilei (1564-1642), în 1638 în publicația lui: "Dialogurile

referitoare la două noi științe". De fapt, Galileo a sugerat că 100 de metri

ar fi limita maxima a înălțimii unui copac. Arborii Sequoia gigantea, care

traiesc numai in vestul Statelor Unite și, prin urmare, nu erau cunoscuți

de Galileo Galilei, au totuşi o înălțime de 120 de metri. Raționamentul lui

58

Galileo a fost însă corect; cei mai înalți arbori sequoia gigantea se

adaptează prin forma lor la moduri care le permit să depăşească această

limită de înălțime.

Care a fost raționamentul lui Galilei? Greutatea unui copac este

proporțională cu volumul său. Extinderea un copac printr-un factor

“s”arată că greutatea sa va fi mărită cu un factor de scalare egal cu s3. În

același timp, secțiunea transversală a tulpinii sale va fi scalată doar cu s2.

Astfel, presiunea din interior ar putea fi scalată cu un factor egal cu s3/s2.

Asta înseamnă că, în cazul în care copacul crește dincolo de o anumită

limită, puterea lemnului nu va fi suficientă pentru a suporta presiunea

rezultată prin creşterea în înălțime. Această tensiune între volum și

suprafață explică şi de ce o zonă de munte nu depășește o înălțime

maximă de 7 - 8 km, sau de ce diferite creaturi raspund diferit atunci

când cad de la înălțime. De exemplu, un șoarece poate scăpa nevătămat

după o cădere de la o înălțime de zece ori mai mare decât greutatea lui,

iar un om poate fi rănit după o cădere de la o înălțime echivalentă cu

greutatea lui. Într-adevăr, energia care trebuie absorbită în urma

impactului cu solul este proporțională cu greutatea, și anume,

proporțională cu volumul obiectului care cade. Această energie trebuie să

fie absorbită de suprafața obiectului. Cu cât crește volumul obiectului,

suprafața necesară pentru a absorbi energia căderii de la aceeași înălțime

cu volumul crește.

59

O spirală desenată pe un plan pare să crească în mod continuu,

odată ce este rotită în jurul valorii din centrul său. De fapt, spirala

logaritmică este specială datorită faptului că creşterea pare că are loc în

toate direcțiile odată cu rotirea spiralei. Figura 1.31 ilustrează acest

fenomen remarcabil, care, ca atare, este un alt exemplu de structură auto-

similară.

Figura 1.31

Figura arată ca un amonit, care este un bun exemplu de spirală

logaritmică în natură. Cu alte cuvinte, un amonit crește în conformitate

cu o lege de similitudine. Acesta crește în așa fel încât forma sa este

păstrată (Figura 1.32).

60

Figura 1.32

Cele mai multe ființe vii, cu toate acestea, cresc printr-o lege diferită de cea de

similitudine. Un adult nu este pur și simplu un copil mărit la o anumită scală. Cu alte

cuvinte, atunci când ne întrebăm despre similitudinea dintre un copil și părinții săi nu

vorbim despre (termenul matematic) de similitudine geometrică! În creștere de la

copil la adult, părți diferite ale corpului cresc cu un factor de scalare diferit. Ȋn ceea ce

privește dimensiunea corpului, capul unui copil este mult mare decât al unui adult.

Chiar și proporțiile caracteristicilor faciale sunt diferite: la un copil, vârful nasului

este la aproximativ jumătatea faței, la un adult, nasul este aproximativ la două treimi

deasupra bărbiei. Figura 1.33 ilustrează acest lucru.

61

Figura 1.33

Dacă măsurăm lungimea brațului sau dimensiunea capului pentru oamenii de diferite

vârste și comparăm cu înălțimea corpului, observăm că oamenii nu cresc într-un mod

care respectă similitudinea geometrică. Brațul, care la naștere este o treime din

lugimea corpului, la maturitate este aproape de două cincimi. Figura 1.34 arată

modificări ale formei atunci când normalizăm înălțimea.

62

Figura 1.34

În rezumat, legea de creștere este departe de a fi o lege de

similitudine. O modalitate de a obține o perspectivă în legitățile creșterii,

de exemplu dimensiunea capului față de înălțimea corpului, este trasarea

raportului dintre aceste două cantități și vârstă.

Putem discerne două etape diferite: una care corespunde

dezvoltarii timpurii, până la vârsta de aproximativ trei ani, și o alta care

corespunde dezvoltării după această dată. În prima perioadă avem o

creștere proporțională, numită uneori creștere izometrică. După vârsta

de trei ani, raportul scade în mod semnificativ, indicând faptul că

înălțimea corpului este în creștere relativ mai rapidă decat marimea

capului. Aceasta se numește o creștere alometrică. La aproximativ 30

63

de ani procesul de creștere este oprit și raportul este constant din nou. De

fapt, fenomenul bine-cunoscut de creștere nonproporțională de mai sus

este central în geometria fractală, așa cum vom vedea mai târziu.

Ce este auto-similaritatea? Intuitiv, acest lucru pare clar; cuvântul

de auto-similar cu greu are nevoie de o definiție - este auto-explicativ. Cu

toate acestea, vorbind în termeni preciși matematici auto-similaritatea

este într-adevăr o noțiune mult mai dificilă. De exemplu, în orice obiect

fizic existent, auto-similaritatea se poate obține doar pentru câteva ordine

de mărime. Coborând pe scală, materia se descompune într-o colecție de

molecule, atomi și particule elementare. După ce a ajuns la acest stadiu,

desigur, devine ridicol să se ia în considerare reprezentările la nivel de

atomi sau molecule ale obiectului complet. De asemenea, într-o structură

ca un broccoli o parte nu poate fi niciodată exact egală cu întregul. Unele

variații trebuie să fie înregistrate. Astfel, este deja clar în acest moment

că există mai multe variante de definiții matematice pentru auto-

similaritate.

64

Figura 1.35: Broccoli Romanesco

65

În orice caz, ne place să ne gândim la fractalii matematici ca

obiecte care posedă detalii recunoscute la toate nivelurile microscopice -

spre deosebire de obiecte fizice reale. Atunci când se analizează cazurile

de fractali în care copiile de dimensiuni mici au variații, avem așa-numita

statistică de auto-similaritate. Mai mult decât atât, copiile miniaturale pot

fi distorsionate în alte moduri, de exemplu, oarecum denaturate. Pentru

acest caz, există noțiunea de auto-afinitate. Pentru a exemplifica

conceptul, vom alege curba Koch, care este deja cunoscută. Putem găsi

similitudini (transformări de similaritate) în curba Koch? Curba Koch

pare să fie alcătuită din patru părți identice. Să ne uităm la unul dintre

acestea, spre exemplu cea de la extrema stângă. Ne luăm un obiectiv cu

zoom variabil și observăm că, la exact ×3 putere de mărire, partea pare a

fi identică cu curba. Fiecare dintre părțile mici se sparg în patru bucăți

identice din nou, și fiecare dintre ele par a fi identice cu curba Koch

atunci când vom aplica o lupă de × 9, și așa mai departe la infinit.

Aceasta este proprietatea de auto-similaritate în forma matematică cea

mai pură. În cazul în care copiile întregului apar în toate etapele, sunt

exacte, nu sunt denaturate în nici un fel, diferite grade de auto-

similaritate sunt posibile.

1.4 Natura fractală a minții umane

66

Legătura dintre geometria fractală și dezvoltarea fizică a

organismului uman este larg acceptată și este rezonabil să utilizăm aceste

principii pentru a influența sănătatea noastră la nivel fizic. Una din cele

mai mari provocări este justificarea utilizării fractalilor pentru a sprijini

vindecarea emoțională și energetică. Pentru ca aceasta să funcționeze,

energia subtilă trebuie să se miște cu o simetrie care este conformă cu

aceste proporții naturale. Există vreo justificare pentru acest punct de

vedere? Credem că există. Sistemul nervos central și creierul sunt

exemple uimitoare de creștere fractală, cu o rețea de căi neuronale, care

sunt cheia pentru amintirile și emoțiile noastre.

Nu putem, însă, afirma ca aceste căi dețin amintirile sau emoțiile

noastre. Această idee este încă un subiect de dezbatere. Autori recenți

precum Rupert Sheldrake, sugerează că amintirile și emoțiile sunt ținute

în domeniul punctului zero și creierul nostru este doar unealta pe care o

folosim pentru a le extrage. Studiile cu scanere IRM au arătat că diferite

zone ale creierului se activează atunci când accesăm memoria.

Există, de asemenea, munca de o viață a pionierilor din domeniu,

cum ar fi: Bohm, Pribram și Talbot, care sugerează că creierul uman

este, de fapt, de natură holografică, un concept care explică capacitatea

incredibilă a creierului pentru stocarea de date. Indiferent de locul unde

emoțiile noastre sunt de fapt stocate, știm că creierul este calea spre ele,

și este fractal prin natura sa. Atât structura fizică a creierului, cât undelor

67

cerebrale, masurate prin EEG (electroencefalograma) au proprietăți

fractale.

Mikiten, Salvingaros și Hing-Sing Yu consideră că, complexitatea

creierului ascunde o simplă origine fractală: "Teza noastră esențială este

că, atunci când un sistem fractal generează un nou sistem, are aceleași

atribute și caracteristici ca și generatorul - mai ales legăturile ierarhice.

Astfel, asociațiile mentale, care par să solicite dimensiuni enorme de cod

(și, prin urmare, să fie numite complexe) pot fi, de fapt, manipulate de

coduri foarte scurte. Dacă aşa este situația, atunci mintea umană ar

putea folosi codificarea fractală ca modalitate standard de codificare a

lanțurilor enorme de gânduri, toate legate într-o singură entitate

fractală".

Alți cercetători, cum ar fi Alan Watts, au studiat modul în care

funcționează creierul uman sub influența drogurilor și au identificat un

răspuns fractal în construcțiile sale. Există dovezi suplimentare pentru

acest tip de gândire. Richard Taylor studiază ecuațiile fractale într-un

efort de a înțelege cum și de ce unele dintre ele ne oferă un impuls

mental, în special cele care sunt cel mai des întâlnite în natură. El

investighează dacă recunoașterea fractalilor este învățată sau instinctivă.

Dacă putem înțelege cu adevărat relația noastră cu ei, putem începe să le

utilizăm proprietățile în proiectarea obiectelor artificiale, cum ar fi clădiri

68

și orașe. Ȋn orice caz, teoria conform căreia creierul nostru lucrează într-

un mod fractal este în curs de investigare.

Va exista întotdeauna un mister cu privire la modul în care

funcționează creierul uman, dar acest lucru nu ar trebui să ne oprească

din încercarea de a ne depăși limitele. Cheia constă în utilizarea practică

a acestor concepte fractale pentru îngrijirea sănătății şi chiar pentru

vindecare. În cazul în care acceptăm structura fractală a creierului nostru,

este logic să trasgem concluzia că traumele și emoțiile noastre trebuie să

se încadreze în aceste structuri fractale. Nu spunem că emoția în sine este

un fractal, doar modul în care aceasta este utilizată în creier pentru a

determina convingerile și comportamentele.

Apare un alt aspect interesant. În cazul în care mințile noastre sunt

fractale în natură, și fractali sunt nelimitați, riscăm să ne supraîncărcăm

căile noastre neuronale și să distrugem calculatorul nostru intern. Acest

lucru este deosebit de relevant pentru cei care își fac griji în mod

constant, sau sunt sub stress, acest lucru putând duce la asociații false în

mintea unui om și la gânduri potențial obsesive sau compulsive. Supapa

de siguranță pentru acest lucru pare a fi Rapid Eye Movement (REM), fie

în timpul zilei prin visarea cu ochii deschiși, fie pe timp de noapte prin

somn. La nivel fizic, creșterea dendritei și a căilor sinaptice din creier

sunt controlate de separarea sinaptică, care păstrează totul în ordine.

69

Aceste concepte ale creierului fracta sunt similare cu incendiile

tufișurilor și ierarhia în prădurile din natură, care opresc specii de plante

și de animale de la creșterea fractală nelimitată. Mergând mai departe,

avem nevoie de a explora ceea ce se întâmplă atunci când un proces de

gândire se repetă. În cazul în care o experiență este revizuită destul de

des, repetarea continuă a aceleiași căi fractale ar putea determina crearea

unui rețele neuronale fixe, care ar fi apoi conectată în creier.

Sintetizând punctele cheie și supozițiile teoriei privind natura

fractală a creierului uman, putem afirma că:

1. Amintirile noastre sunt organizate ca puncte simple, neconectate de

referință.

2. Creierele noastre accesează continuu amintiri, cautând experiențe

care pot acționa ca un punct de referință pentru determinarea

comportamentului viitor.

3. Căile neuronale din creier, care prelucrează aceste amintiri sunt

fractale în natură.

4. În cazul în care un fractal se repetă destul de des, comportamentul

asociat lui devine greu conectat la rețeaua noastră neuronală.

5. Ca rezultat al acestui lucru, ne pierdem capacitatea de alegere cu

privire la modul în care răspundem la experiențe viitoare, mai ales atunci

când se accesează partea primitivă a creierului nostru.

6. Experiențele percepute bune pot crea dependență.

70

7. Experiențele percepute rele pot crea fobie.

8. Experiențele de viață suficient de rele pot duce la convingeri

negative.

9. Chiar și emoțiile negative izolate trebuie vindecate.

1.5 Natura Fractală a Piețelor

Principalele aplicații ale fractalilor în economie sunt reprezentate de

variația prețurilor pe piețele financiare care tranzacționează: titluri de

valoare, mărfuri, rate de schimb valutar, sau rate ale dobânzii.

Volatilitatea prețurilor de pe aceste piețe este demult cunoscută.

Punctul de plecare constă în prețurile activelor financiare, care sunt

în mare parte imprevizibile. Cel mai bun lucru care se poate face este de

a evalua șansele pentru sau împotriva unor rezultate dorite sau temute.

Aceste șanse vor fi, de asemenea, utilizate ca input-uri pentru deciziile

legate de politica economică sau schimbări instituționale. Rezolvarea

acestor probleme este primul pas, dar departe de a fi ultimul!

Considerăm că "schimbările întâmplătoare" este un sinonim pentru

"prețuri care cresc un pic sau scad un pic". Termenul tehnic pentru acest

concept este "mers aleator simplu." Concepția conform căreia nu există

nicio alternativă, este întărită de modelul Bachelier (modelul "monedei

ce se clatină"), care datează din 1900. Acesta este cel mai vechi model

utilizat pe scară largă pentru variația de preț.

71

Termenul de "întâmplare" are un sens mult mai larg, care permite

modelului de aruncare a monedei să fie înlocuit cu alternative. Vom

argumenta că alternativa "multifractală" pe care o prezentăm este foarte

potrivită. Modelul multifractal nu face parte din matematica ezoterică și

nu trebuie să i se permită să rămână parte a științei pure. Consecințele

sale practice sunt multe și foarte grave. În primul rând, spiritul

jurământului lui Hipocrate, "să nu faci rău", merită să fie generalizat în

finanțe și este cel mai bine exprimat în termeni nautici. Atunci când o

navă a fost construită pentru a naviga lacuri liniștite pe vreme bună, a o

trimite peste ocean în sezonul taifun este vătămare gravă. În mod similar,

modelul "monedei ce se clatină" al prețurilor financiare ar putea fi iubit

de matematicieni, dar ea neagă existența turbulențelor, deci este periculos

(Taleb).

Mai multe alternative ale modelului sunt disponibile, dar alternativa

multifractală diferă de celelalte într-un mod "calitativ", care are

consecințe imediate în finanțe și politică economică. Modelul „monedei

ce se clatină” exemplifică o ușoară "stare de dezordine". Dacă probele au

fost de acord cu acest model - dar nu au fost în totalitate- variabilitatea în

finanțe ar putea fi la fel de ușor de controlat ca variabilitatea din fizică.

Cu toate acestea, modelul nu trebuie criticat prea tare. Este întotdeauna

cel mai bine să începi cu cel mai simplu model posibil și să îl păstrezi

până când acesta începe să aducă mai mult rău decât valoare. În timpul

72

său, el a jucat un rol fundamental și pozitiv în conștientizarea dificultății

chiar și a celor mai simple forme de dezordine. Dar creatorii de politici

economice și profesioniștii din domeniul financiar nu se mulțumesc cu

atât, așa cum vom vedea. Pentru ei conteaza foarte mult că modelul este

foarte departe de a ține contabilitatea pentru unele fapte esențiale .

Încă o dată, istoria volatilității prețurilor este plină de "uragane

financiare", în timp ce modelul “monedei ce se clatină” susține că acestea

practic nu pot să se întâmple. Constructorii de nave și proprietarii

acestora nu pot prezice datele și amploarea uraganelor, pe care nava lor le

va întâlni pe durata de viață. Dar ei stiu că uraganele vor apărea.

Instrumentele necesare pentru dobândirea informațiilor cu privire la

intensitatea uraganelor financiare sunt deja disponibile. Ele aparțin

geometriei fractale și multifractale, o disciplină bine cunoscută pentru

descrierea formelor de coastă, a norilor și a distribuției galaxiilor.

Geometria fractală descrie, de asemenea, creșterea și prăbușirea

prețurilor financiare.

73