Fundamente mecanice

Noiuni elementare de calcul vectorial

Noiuni elementare de calcul vectorial

CUPRINS

Obiectivepag.5.1 Centrul de mas al domeniilor materiale omogene compuse5.2 Aplicaii pentru bare omogene5.3 Aplicaii pentru plci omogene5.4 Aplicaii pentru corpuri omogeneLucrare de verificareRspunsuri i comentarii la testele de autoevaluareBibliografie selectiv

OBIECTIVE

Principalele obiective ale temei NOIUNI DE GEOMETRIA MASELOR - APLICAII sunt:~ stabilirea unui algoritm pentru determinarea centrului de mas al domeniilor materiale omogene;~ aplicaii pentru bare omogene;~ aplicaii pentru plci omogene;~ aplicaii pentru corpuri omogene.

5.1 Centrul de mas al domeniilor materiale compusen numeroase aplicaii tehnice, se cere s se determine centrul maselor pentru domenii materiale compuse dintr-un numr finit de pri ale cror centre de mas sunt cunoscute.Avnd n vedere proprietile centrelor de mas, se recomand urmtoarea metod practic sistematizat n Tab. 5.1. - pentru determinarea coordonatelor centrului de mas al unui domeniu material omogen compus.Tabelul 5.1. Determinarea coordonatelor centrului de masnr. crt.masa (lungimea, aria, volumul)coordonatele centrului de mas al subdomeniuluiproduse pariale

Nr.mixiyizimiximiyimizi

IIIIIIIVVVIVIIVIII

1m1x1y1z1m1x1m1y1m1z1

2m2x2y2z2m2x2m2y2m2z2

imixiyizimiximiyimizi

nmnxnynznmnxnmnynmnzn

Aplicaia 5.1Pentru placa plan omogen din Fig.5.1, se cere s se determine coordonatele centrului de greutate, n raport cu un sistem de axe de coordonate ales.Algoritm de rezolvarePentru rezolvarea problemei se recomand parcurgerea urmtoarelor etape:Pasul 1: se alege sistemul de axe de coordonate.Alegerea sistemului de axe de coordonate, n cazul n care el nu a fost impus n prealabil, se face n mod convenabil, exploatnd eventualele simetrii ale desenului (dac placa are centru, ax sau plan de simetrie, atunci centrul de greutate se gsete n acel punct, pe acea ax respectiv n acel plan) i astfel nct cotele din desen s fie, dac este posibil, pozitive.

Fig.5.1Pentru aplicaia propus spre rezolvare, sistemul de axe de coordonate este vizibil n Fig. 5.1.a.

Fig.5.1.aPasul 2: se descompune suprafaa plcii n forme geometrice regulate pentru care se pot preciza, cu uurin, dimensiunile i poziia centrului de greutate.Pentru aplicaia propus spre rezolvare, descompunerea este vizibil n Fig.5.1.a, dup cum urmeaz:

Placa 1 dreptunghiul ;

Placa 2 triunghiul ;

Placa 3 sfertul de cerc .Pasul 3: pentru fiecare form (plac) geometric regulat identificat, se scriu: dimensiunile; se calculeaz aria; se exprim coordonatele centrului de greutate n raport cu sistemul de axe de coordonate ales (sau impus).Pentru aplicaia propus spre rezolvare, corespunztor Fig.5.1.b, se obine:

Placa 1 dreptunghiul

Dimensiuni: ;

Aria:

Coordonatele centrului de greutate,

Coordonatele i sunt pozitive.

Fig.5.1.b

Placa 2 triunghiul (triunghi dreptunghic n )

Dimensiuni: ;

Aria:

Coordonatele centrului de greutate,

Coordonatele i sunt pozitive.

Placa 3 sfertul de cerc

Dimensiuni: raza ; unghiul la centru , deci

Aria:

Centrul de greutate, , se gsete pe bisectoarea unghiului la centru, la distana Coordonatele centrului de greutate

Coordonatele i sunt pozitive.Pasul 4: se calculeaz, n forma tabelar recomandat, coordonatele centrului de greutate al plcii iniiale.nr. crt.ariacoordonatele centrului de mas al subdomeniuluiproduse pariale

1

2

3

Observaie: ariile care se decupeaz (reprezint goluri) se trec n tabel cu semnul minus!5.2 Aplicaii pentru bare omogene5.2.1 Aplicaii pentru bare omogene coninute ntr-un singur plan de proieciePentru bara omogen din Fig.5.2, se cere s se determine coordonatele centrului de greutate, n raport cu un sistem de axe de coordonate ales.

Fig.5.2RezolvarePentru rezolvarea problemei se parcurg urmtoarelor etape:Pasul 1: se alege sistemul de axe de coordonate.

Pentru aplicaia propus spre rezolvare, sistemul de axe de coordonate este vizibil n Fig. 5.2.a. S-a ales originea sistemului de axe n centrul cercului (care a generat semicercul din figur) din motive de simetrie axa este ax de simetrie pentru semicercul .

Fig.5.2.aPasul 2: se descompune bara n linii geometrice pentru care se pot preciza, cu uurin, dimensiunile i poziia centrului de greutate.Pentru aplicaia propus spre rezolvare, descompunerea este vizibil n Fig.5.2.a, dup cum urmeaz:

Bara 1 dreapta ;

Bara 2 dreapta ;

Bara 3 semicercul .Pasul 3: pentru fiecare form (linie) geometric identificat, se scriu: dimensiunile; se exprim coordonatele centrului de greutate n raport cu sistemul de axe de coordonate ales.Pentru aplicaia propus spre rezolvare, corespunztor Fig.5.2.a, se obine:

Bara 1 dreapta

Dimensiuni: ;

Coordonatele centrului de greutate,

Semnele coordonatelor sunt: i .

Bara 2 dreapta

Dimensiuni: ;

Coordonatele centrului de greutate,

Coordonata este pozitiv.

Bara 3 semicercul

Dimensiuni: raza ; unghiul la centru , deci

Centrul de greutate, , se gsete pe bisectoarea unghiului la centru, la distana Coordonatele centrului de greutate

Coordonata este negativ.Pasul 4: se calculeaz, n forma tabelar recomandat, coordonatele centrului de greutate al barei iniiale.nr. crt.lungimeacoordonatele centrului de mas al subdomeniuluiproduse pariale

1

2

3

5.2.2 Aplicaii pentru bare omogene repartizate n mai multe planuri de proieciePentru bara omogen din Fig.5.3, se cere s se determine coordonatele centrului de greutate, n raport cu un sistem de axe de coordonate ales.RezolvarePentru rezolvarea problemei se parcurg urmtoarelor etape:Pasul 1: se alege sistemul de axe de coordonate.Pentru aplicaia propus spre rezolvare, sistemul de axe de coordonate este vizibil n Fig. 5.3.a. Pasul 2: se descompune bara n linii geometrice pentru care se pot preciza, cu uurin, dimensiunile i poziia centrului de greutate.

Fig.3.5Pentru aplicaia propus spre rezolvare, descompunerea este vizibil n Fig.5.3.a, dup cum urmeaz:

Bara 1 dreapta ;

Bara 2 dreapta ;

Bara 3 dreapta ;

Bara 4 dreapta , nclinat cu fa de vertical, n planul yOz.

Fig.5.3.aPasul 3: pentru fiecare form (linie) geometric identificat, se scriu: dimensiunile; se exprim coordonatele centrului de greutate n raport cu sistemul de axe de coordonate ales.Pentru aplicaia propus spre rezolvare, corespunztor Fig.5.3.a, se obine:

Bara 1 dreapta

Dimensiuni: ;

Coordonatele centrului de greutate,

Coordonata este pozitiv.

Bara 2 dreapta

Dimensiuni: ;

Coordonatele centrului de greutate,

Coordonata este pozitiv.

Bara 3 dreapta

Dimensiuni:

Coordonatele centrului de greutate

Coordonata este pozitiv.

Bara 4 dreapta

Dimensiuni:

Coordonatele centrului de greutate

Coordonata este pozitiv iar coordonata este negativ.Pasul 4: se calculeaz, n forma tabelar recomandat, coordonatele centrului de greutate al barei iniiale.

nr. crt.lungimeacoordonatele centrului de mas al subdomeniuluiproduse pariale

1

2

3

4

5.3 Aplicaii pentru plci omogene5.3.1 Aplicaii pentru plci omogene coninute ntr-un singur plan de proiecieVezi Aplicaia de la paragraful 5.1.5.3.2 Aplicaii pentru plci omogene repartizate n mai multe planuri de proieciePentru placa plan omogen din Fig.5.4, se cere s se determine coordonatele centrului de greutate, n raport cu un sistem de axe de coordonate ales.

Fig.5.4Algoritm de rezolvarePlaca fiind subire, se neglijeaz grosimea acesteia. Pentru rezolvarea problemei se recomand parcurgerea urmtoarelor etape:Pasul 1: se alege sistemul de axe de coordonate.Pentru aplicaia propus spre rezolvare, sistemul de axe de coordonate este vizibil n Fig. 5.4.a.Pasul 2: se descompune suprafaa plcii n forme geometrice regulate pentru care se pot preciza, cu uurin, dimensiunile i poziia centrului de greutate.Pentru aplicaia propus spre rezolvare, descompunerea este vizibil n Fig.5.4.a, dup cum urmeaz:

Placa 1 dreptunghiul ;

Placa 2 dreptunghiul ;

Placa 3 cercul .Pasul 3: pentru fiecare form (plac) geometric regulat identificat, se scriu:dimensiunile; se calculeaz aria; se exprim coordonatele centrului de greutate n raport cu sistemul de axe de coordonate ales (sau impus).Pentru aplicaia propus spre rezolvare, corespunztor Fig.5.4.a, se obine:

Fig.5.4.a

Placa 1 dreptunghiul

Dimensiuni: ;

Aria:

Coordonatele centrului de greutate,

Coordonatele i sunt pozitive.

Placa 2 dreptunghiul

Dimensiuni: ;

Aria:

Coordonatele centrului de greutate,

Coordonatele i sunt pozitive.

Placa 3 cercul

Dimensiuni: raza ; unghiul la centru , deci

Aria:

Centrul de greutate, , se gsete chiar n centrul cercului, .Coordonatele centrului de greutate

Coordonatele i sunt pozitive.Pasul 4: se calculeaz, n forma tabelar recomandat, coordonatele centrului de greutate al plcii iniiale.nr.crt.ariacoordonatele centrului de mas al subdomeniuluiproduse pariale

1

2

3

Test de autoevaluare 1.1 Scriei rspunsul n spaiul liber.

Rspunsul la test se gsete la pagina ??.

Pentru placa plan omogen din Fig.5.5, se cere s se determine coordonatele centruluide greutate, n raport cu un sistem de axe de coordonate ales.

Fig.5.5

5.4. Aplicaii pentru corpuri omogene5.4.1 Aplicaii pentru corpuri omogene coninute ntr-un singur plan de proieciePentru corpul omogen din Fig.5.6, se cere s se determine coordonatele centrului de greutate, n raport cu un sistem de axe de coordonate ales.

Fig. 5.6 Fig.5.6.aAlgoritm de rezolvarePentru rezolvarea problemei se recomand parcurgerea urmtoarelor etape:Pasul 1: se alege sistemul de axe de coordonate.Pentru aplicaia propus spre rezolvare, sistemul de axe de coordonate este vizibil n Fig. 5.6.a; la alegerea sistemului de axe de coordonate s-a avut n vedere simetria corpului.Pasul 2: se descompune corpul n forme geometrice regulate pentru care se pot preciza, cu uurin, dimensiunile i poziia centrului de greutate.Pentru aplicaia propus spre rezolvare, descompunerea este vizibil n Fig.5.6.a, dup cum urmeaz:

Corpul 1 cilindrul ;

Corpul 2 semisfera .Pasul 3: pentru fiecare form (corp) geometric regulat identificat, se scriu: dimensiunile; se calculeaz volumul; se exprim coordonatele centrului de greutate n raport cu sistemul de axe de coordonate ales (sau impus).Pentru aplicaia propus spre rezolvare, corespunztor Fig.5.6.a, se obine:

Corpul 1 cilindrul

Dimensiuni: raza ; nlimea

Volumul: Centrul de greutate se gsete pe axa de simetrie.

Coodonatele centrului de greutate

Coordonata este pozitiv.

Corpul 2 semisfera

Dimensiuni: raza ;

Volumul: Centrul de greutate se gsete pe axa de simetrie.

Coodonatele centrului de greutate

Coordonata este pozitiv.Pasul 4: se calculeaz, n forma tabelar recomandat, coordonatele centrului de greutate al corpului iniial.

nr.crt.ariacoordonatele centrului de mas al subdomeniuluiproduse pariale

1

2

5.4.2 Aplicaii pentru corpuri omogene repartizate n mai multe planuri de proieciePentru corpul omogen din Fig.5.7, se cere s se determine coordonatele centrului de greutate, n raport cu un sistem de axe de coordonate ales.

Fig.5.7Algoritm de rezolvarePentru rezolvarea problemei se recomand parcurgerea urmtoarelor etape:Pasul 1: se alege sistemul de axe de coordonate.Pentru aplicaia propus spre rezolvare, sistemul de axe de coordonate este vizibil n Fig. 5.7.a.

Fig.5.7.aPasul 2: se descompune corpul n forme geometrice regulate pentru care se pot preciza, cu uurin, dimensiunile i poziia centrului de greutate.Pentru aplicaia propus spre rezolvare, descompunerea este vizibil n Fig.5.7.a, dup cum urmeaz:

Corpul 1 prisma ;

Corpul 2 prisma ;

Corpul 3 semicilindrul .Pasul 3: pentru fiecare form (corp) geometric regulat identificat, se scriu: dimensiunile; se calculeaz volumul; se exprim coordonatele centrului de greutate n raport cu sistemul de axe de coordonate ales.Pentru aplicaia propus spre rezolvare, corespunztor Fig.7.6.a, se obine:

Corpul 1 prisma

Dimensiuni: ; ;

Volumul: Centrul de greutate se gsete la intersecia diagonalelor prismei.

Coodonatele centrului de greutate

Coordonatele , sunt pozitive.

Corpul 2 prisma

Dimensiuni: ; ;

Volumul: Centrul de greutate se gsete la intersecia diagonalelor prismei.

Coodonatele centrului de greutate

Coordonatele , sunt pozitive.

Corpul 3 semicilindrul

Dimensiuni: raza ; nlimea

Volumul:

Centrul de greutate se gsete pe axa de simetrie, situat, fa de nlimea la distana

Coodonatele centrului de greutate

Coordonatele , sunt pozitive.Pasul 4: se calculeaz, n forma tabelar recomandat, coordonatele centrului de greutate al corpului iniial.

nr. crt.ariacoordonatele centrului de mas al subdomeniuluiproduse pariale

1

2

3

Test de verificare a cunotinelor

Pentru placa plan omogen din Fig.5.8, se cere s se determine coordonatele centrului de greutate, n raport cu sistemul de axe de coordonate.

Fig.5.8

Lucrarea, ntocmit ca tem de cas, va fi predat, pentru corectare, cadrului didactic

Criterii de punctare:SubiectElementele ce vor fi punctatePunctaj

Din oficiu1 punct

Pasul 2 al algoritmului de rezolvare1 punct

Pasul 3 al algoritmului de rezolvare6 puncte

Pasul 4 al algoritmului de rezolvare2 punct

TOTAL10 PUNCTE

Rspunsurile i comentariile la testele de autoevaluare

Rspuns 5.1Pentru rezolvarea problemei se recomand parcurgerea urmtoarelor etape:Pasul 1: se alege sistemul de axe de coordonate.Pentru aplicaia propus spre rezolvare, sistemul de axe de coordonate este vizibil n Fig. 5.5.a.

Fig.5.5.aPasul 2: se descompune suprafaa plcii n forme geometrice regulate pentru care se pot preciza, cu uurin, dimensiunile i poziia centrului de greutate.Pentru aplicaia propus spre rezolvare, descompunerea este vizibil n Fig.5.5.a, dup cum urmeaz:

Placa 1 ptratul ;

Placa 2 triunghiul ;

Placa 3 sfertul de cerc .Pasul 3: pentru fiecare form (plac) geometric regulat identificat, se scriu: dimensiunile; se calculeaz aria; se exprim coordonatele centrului de greutate n raport cu sistemul de axe de coordonate ales.Pentru aplicaia propus spre rezolvare, corespunztor Fig.5.5.a, se obine:

Placa 1 dreptunghiul

Dimensiuni: ;

Aria:

Coordonatele centrului de greutate,

Coordonatele i sunt pozitive.

Placa 2 triunghiul (triunghi dreptunghic n )

Dimensiuni: ;

Aria:

Coordonatele centrului de greutate,

Coordonata este negativ iar este pozitiv.

Placa 3 sfertul de cerc

Dimensiuni: raza ; unghiul la centru , deci

Aria:

Centrul de greutate, , se gsete pe bisectoarea unghiului la centru, la distana Coordonatele centrului de greutate

Coordonatele i sunt negative.Pasul 4: se calculeaz, n forma tabelar recomandat, coordonatele centrului de greutate al plcii iniiale.

nr. crt.ariacoordonatele centrului de mas al subdomeniuluiproduse pariale

1

2

3

Observaie: ariile care se decupeaz (reprezint goluri) se trec n tabel cu semnul minus!

Bibliografie selectiv:

[1] Hangan, S., Sltineanu, I., Mecanica, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1983, pag. 37-56;[2] Rdoi, M., Deciu, E., Mecanica, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1977, pag. 71-83;[3] Voinea, R., .a., Introducere n mecanica solidului cu aplicaii n inginerie, Bucureti, Editura Academiei, 1989, pag. 35-42.

24

Mecanica23

Mecanica