Definiţie: Se numeşte înălţime în triunghi distanţa de la un vârf al triunghiului de la latura opusă.

Obs: Orice triunghi are 3 înălţimi.

Teoremă: Înălţimile unui triunghi sunt concurente într-un punct H numit ortocentru triunghiului.

...că ortocentrul unui triunghi dreptunghic este vârful unghiului drept.

Fie ∆ ABC dreptunghic în A.

d(A,BC) = ADAD┴BC

AD-înălţimea corespunzătoare ipotenuzei;

d(C,AB) = AC, d(B,AC) = AB AD, AB şi AC- înălţimi în ∆ABC

AD∩AB∩AC={A} A ortocentrul ∆ABC

A

B CD

M N

Stabilim o relaţie între lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic şi lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei. Plecăm de la aria unui triunghi dreptunghic.

Se ştie că

În ∆ABC dreptunghic în A avem:

2

hbA

ip

cchhipcc

hipccADBCACAB

2121

21

2222

A

B CD

M N

Determinaţi aria şi lungimea ipotenuzei unui triunghi Determinaţi aria şi lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic ştiind că lungimile catetelor sunt 6 cm şi 8 cm, dreptunghic ştiind că lungimile catetelor sunt 6 cm şi 8 cm, iar mediana corespunzatoare ipotenuzei are lungimea 5 cm. iar mediana corespunzatoare ipotenuzei are lungimea 5 cm.Dem:

AD mediana corespunzătoare ipotenuzei BC = 2AD, adică BC =10cm.

cmACAB

AABC 242

86

2

A

BC D

8 64

Determinaţi lungimea ipotenuzei unui triunghiDeterminaţi lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic ştiind că lungimile catetelor sunt 12cmdreptunghic ştiind că lungimile catetelor sunt 12cm şi 9 cm iar înălţimea corespunzătoare ipotenuzei areşi 9 cm iar înălţimea corespunzătoare ipotenuzei are lungimea de 7,2cm.lungimea de 7,2cm. Dem: Am demonstrat că produsul lungimilor catetelor este egal cu

produsul dintre lungimile ipotenuzei şi înălţimii

corespunzătoare acesteia

cmh

ccip 15

2,7

91221

A

A`B

B`

C

C` H

Fie H ortocentrul unui triunghi ABC.Demonstrati că:Fie H ortocentrul unui triunghi ABC.Demonstrati că:a) dacă a) dacă ABCeste echilateral, atunci (HA)=(HB)=(HC)ABCeste echilateral, atunci (HA)=(HB)=(HC)b)dacă (HA)=(HB)=(HC), atunci b)dacă (HA)=(HB)=(HC), atunci ABC este echilateral ABC este echilateral

Dem:Fie AA`, BB` şi CC` înălţimile ABC. a) ABC echilateral H = G centru de greutateşi (AA`) ≡( BB`) ≡ (CC`)AH=2/3AA`; BH=2/3BB`<; CH=2/3CC` (HA) ≡ (HB) ≡ (HC).b) (HA)=(HB)=(HC)H este centrul cercului circumscris ABC.Din ipoteză H este ortocentrul ABC ABC echilateral.

Fie Fie ΔΔ ABC dreptunghic cu m(A)=90ABC dreptunghic cu m(A)=9000 , (AD) înălţime, , (AD) înălţime, DDЄЄ(BC), iar M şi N mijloacele catet(BC), iar M şi N mijloacele cateteelor (AB) şi respectiv (AC).lor (AB) şi respectiv (AC). DemonstraDemonstraţţi căi că ::

a) a) ΔΔMAD isoscel; b) MAD isoscel; b) ΔΔNAD isoscel; c) DNNAD isoscel; c) DN┴┴ AB AB

Dem:Dem: a) a) ΔΔBAD dreptunghic, (MD) mediana corespunzătoare ipotenuzei MD = ½AB = AM ΔMAD isoscel.b) se demonstrează analog cu punctul a).c) ΔMAD isoscel <MAD ≡ <MDA (1) ΔNAD isoscel <NAD ≡ <NDA (2) Din (1) şi (2) m(<MAN)≡ m(<MDN)=900 DN┴ AB.

A

B CD

M N