Integrale de suprafata
-
Author
truongduong -
Category
Documents
-
view
300 -
download
7
Embed Size (px)
Transcript of Integrale de suprafata
-
140
, , , , ,
CAPITOLUL 6
IINNTTEEGGRRAALLEE DDEE SSUUPPRRAAFFAA
6.1. SUPRAFEE PARAMETRIZATE NETEDE Definiia 6.1.1. Fie D un domeniu (mulime deschis i conex). Se
numete pnz parametrizat de clas , orice funcie vectorial de clas .
2
1C 3:r D 1C
Dac notm cu x, y i z componentele scalare ale lui r, atunci ( ),r u v =( ) ( ) ( )( ) ( ),u v Dx u v y u v z u v= , . Ecuaiile ( ),x x u v= , ( ),y y u v= ,
, ( ),z z u v= ( ),u v D se numesc ecuaiile parametrice ale pnzei r, sau o repre- zentare parametric a pnzei, iar u i v se numesc parametrii pnzei. Imaginea direct a domeniului D prin funcia vectorial r, adic mulimea
( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , ; ,S x u v y u v z u v u v D= se numete suportul (sau urma) pnzei r. n continuare vom folosi cteva notaii specifice geometriei difereniale.
Pentru funcia folosim notaia vectorial: 3:r D ( ) ( ), ,r u v x u v i= +
rr( ),y u v j
r( ),z u v k+ , ( ),u v D .
De asemenea, notm cu ux
xu
=
, v
xx
v
=
, uy
yu
=
etc., cu
( ),A A u v= ( )( ),,
D y zD u v
= = u uv v
y zy z
, ( ),B B u v= ( )( ),,
D z xD u v
= = u uv v
z xz x
,
( ),C C u v= ( )( ),,
D y zD u v
= = u uv v
x yx y
.
u u u ukr
r x i y j zu
= = + +
r rr rrv v v v
ri y j z k
v
= = + +
r xr rr rr
,
2 2 2u u u
2uE r x y= = + +
rz , u v u v u v u vF r r x x y y z z= = + +
r r i
2 2 2v v vG r x y z= = + +r 2
v . Observm c:
urr
vr =r
Ai Bj Ck+ +rr r
i 2 2 2u vr r A B C = + + 2r r
.
Dac notm cu unghiul dintre vectorii urr
i vrr
, atunci
( ) ( )2 2 2 222 21 cosu v u v u vEG F r r r r r r = = r r r r r r
=
-
141 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA
( )2 2 22 2sinu v u vr r r r A B C 2 2= = = + +r r r r . Aadar avem:
2 2 2A B C+ + 2EG F= (1) Definiia 6.1.2. O pnz parametrizat de clas se numete neted dac 1C
2 2 2A B C+ + > 0, ( ),u v D . Pentru o pnz parametrizat neted rezult c ur
r vrr
0, ( ),u v D , deci i sunt necoliniari. Fie ur
rvrr
( ),u v D i fie ( ) ( ) ( ), , , , ,M x u v y u v z u v S , punctul corespunztor de pe suportul pnzei r. Planul determinat de vectorii i
i care trece prin M se numete planul tangent n M la S i are ecuaia: urr
vrr
( )( ) ( )( ) ( )( ), , ,A X x u v B Y y u v C Z z u v + + 0= (2) Normala n punctul M la S (adic perpendiculara pe planul tangent n punctul
M al suportului S al pnzei) este paralel cu vectorul urr
vrr
. Rezult c parametrii directori ai normalei n M la S sunt A, B i C.
Definiia 6.1.3. O pnz parametrizat se numete simpl, dac
funcia r este injectiv, adic dac
3:r D ( ) ( )1 1 2 2,r u v r u v , , oricare ar fi punctele
( )1 1,u v D , ( )2 2,u v D , ( ) ( )1 1 2 2, ,u v u v . Exemplul 6.1.1 Fie pnza parametrizat de clas , definit prin: 1C
( ) ( ), sin cos , sin sin , cosr u v R u v R u v R u= ( ), , 0, 0,2 2u v D =
. Ecuaiile
parametrice sunt:
( )
sin cossin sin
cos , 0, 0,2 2
x R u vy R u v
z R u u v D
= =
= =
Observm c pentru orice ( ),u v D , punctul ( ) ( ) ( )( ), , , , ,x u v y u v z u v verific ecuaia
2 2 2 2x y z R+ + = , , , . Rezult c suportul acestei pnze este poriunea sferei cu centrul n origine i de raz R, cuprins n primul
octant. Mai departe avem:
0x > 0y > 0z > Fig. 1
cos cosux R u v= cos sinuy R u= sinuz R u, , v =
-
142
vsin sin , sin cos , 0v vx R u v y R u v z= = = 2 2sin cosA R u= v , 2 2sin sinB R u v= 2 sin cosu u=, C R 2E R= , , 0F = 2 2sinG R u=
2 2 2A B C+ + 2 4 2sin 0EG F R u= = > , ( ),u v D . De asemenea, este evident c funcia r este injectiv pe D. Aadar, pnza parame- trizat din acest exemplu este o pnz parametrizat neted i simpl.
Un caz particular de pnz parametrizat, deosebit de important n aplicaii, este cazul pnzei definit explicit. Mai precis, fie D un domeniu i fie
o funcie de clas . Notm cu
2
:f D 1C fpx
=
i cu
fq
y
=
. Cu ajutorul
funciei f putem defini urmtoarea pnz parametrizat de clas : 1C3:r D , ( ) ( )( ), , , ,r x y x y f x y= , ( ),x y D .
Ecuaiile parametrice sunt:
( ) ( ), , ,
x xy yz f x y x y D
= = = .
Observm c suportul acestei pnze este graficul funciei f (Fig. 2). Pe de alt parte, avem
Fig. 2
( )( )0 1,
,D y z
A pD x y p q
= = = ,
( )( )
,, 1 0
p qD z xB q
D x y= = = i
( )( )
1 0,1
, 0 1D x y
CD x y
= = = .
Deoarece 2 2 2 2 2A B C p q 1 0+ + = + + > , rezult c pnza (3) este neted. De aseme nea, este evident c este o pnz simpl.
Planul tangent ntr-un punct oarecare ( )( ), , ,M x y f x y are ecuaia: ( )( ) ( )( ) ( ),X x p Y y q Z f x y + + = 0 , iar parametrii directori ai normalei n M sunt ( ), ,1p q .
Definiia 6.1.5. Dou pnze parametrizate de clas , i
se numesc echivalente cu aceeai orientare dac exist un difeo-
morfism
1C 3:r D 3
1 1:r D
1: D D cu proprietile: ( )det , 0J u v > , ( ),u v D i . 1r r= o
-
143 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA
Reamintim c este difeomorfism, dac este bijectiv, i
( )1C D
( )1 1 1C D Dac pe D, spunem c cele dou pnze sunt echivalente cu
orientri opuse. Funcia se mai numete i schimbare de parametri. Vom nota cu faptul c pnzele r i sunt echivalente. Din Definiia 6.1.4 rezult:
det 0J > 0 .
Observm c pnzele din exemplele 6.1.1 i 6.1.2 sunt echivalente cu aceeai
orientare. ntr-adevr, fie 1: 0, 0,2 2D D
=
, definit prin:
( ),u v ( )sin cos , sin sinR u v R u v= , ( ),u v D . Rezult c i ( )1C D
( ),J u v = 2cos cos sin sin
sin cos 0cos sin sin cos
R u v R u vR u u
R u v R u v
= > , ( ),u v D . Dac
presupunem c ( ) ( ),u v u v = , v, atunci rezult c tg tgv = i mai departe c i v v= u u= . Aadar, este injectiv. Pentru a dovedi c este i surjectiv,
fie , cu proprietatea . Deoarece 1 0u > 1 0v > 2 21 1u v R+ < 22 21 10 1
u vR+
< < , rezult
c exist 0,2
u
astfel nct 2 21 1 sin
u vu
R+
= , relaie echivalent cu
21
sinu
R u +
21 1
sinv
R u =
. Atunci exist 0,2
v
astfel nct 1 cossinu
vR u
= i
1 sinsinv
vR u
= . n definitiv, am artat c exist ( ),u v D astfel nct
, , deci 1 sin cosu R u v= 1 sin sinv R u= v ( ) ( )1 1,u v u v= , . De asemenea, este uor de observat c
( )2 21 1 11
1 11
, arcsin , arctgu v v
u vr u
+ =
, ( )1 1 1,u v D , deci . ( )1 1 1C D Pe de alt parte avem:
( )( ) ( ) ( ) ( )1 1, , sin cos , sin sin , cos ,r u v r u v R u v R u v R u r u = = = o v ,
-
144
( ),u v D , deci . 1r r Observaia 6.1.2 Orice pnz parametrizat echivalent cu o pnz
parametrizat simpl sau neted este la rndul su simpl sau neted. ntr-adevr, fie unde 1r r ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , ,r u v x u v y u v z u v= , , ( ),u v D ,
( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , ( )1 1 1,u v Dr u v x u v y u v z u v= i fie 1: D D , ( ) ( ) ( )( ), , , ,u v u v u v = , ( ),u v D , schimbarea de parametri.
Deoarece i este bijectiv, rezult c dac r1r r= o 1 este injectiv (deci simpl) atunci i r este injectiv (simpl). Pe de alt parte:
( ) ( ) ( )1, , , ,x u v x u v u v = , ( ) ( ) ( )1, , , ,y u v y u v u v = ,
i
( ) ( ) ( )1, , ,z u v z u v u v = . innd seama de formulele de derivare a funciilor compuse de dou
variabile rezult:
( )( )( )( )
( )( )
( )( )
1 11
, , ,, , ,
D y z D y z D DA A
D u v D u v D u v D u v,,
= = =
i analog
( )( )1,,
DB B
D u v
= i ( )( )1,,
DC C
D u v
= .
Aadar, avem:
( ) ( )( )2
2 2 2 2 2 21 1 1
,,
DA B C A B C
D u v
+ + = + +
. Cum ( )( )
2,0
,DD u v
>
, rezult c
dac r (respectiv r1) este neted, atunci i r1 (respectiv r) este neted. Definiia 6.1.6 Se numete suprafa parametrizat de clas orice clas
de echivalen de pnze parametrizate de clas .
1C1C
Aadar, este o suprafa parametrizat de clas , dac exist o pnz parametrizat de clas , r : D , astfel nct:
S 1C1C 2 3
{ 31 :S r D= , pnz neted parametrizat; }1r r . Cum , rezult c r . Suprafaa se numete simpl (respectiv neted)
dac pnza r care o determin este simpl (neted). Suportul suprafeei , este suportul S al pnzei r care o determin, acelai cu suportul oricrei alte pnze de clas . De regul, vom identifica suprafea su suportul su S.
1r r S S
S
S S
-
145 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA 6.2. ARIA UNEI SUPRAFEE
Pentru nceput abordm problema ariei unei suprafee nedete explicit. Fie
D un domeniu mrginit care are arie i fie 2 :f D o funcie de clas C 1
pe D . Dac notm cu f
px
=
i
fq
y
=
, rezult c p i q sunt continue pe D . Fie
S (respectiv S ) graficul funciei (respectiv :f D :f D ). Aadar,
( )( ) ( ){ }, , , ; ,S x y f x y x y D= i ( )( ) ( ){ }, , , ; ,S x y f x y x y D= . Mulimea = S \ S se numete bordura suprafeei S. Dac S este frontiera
domeniului D, atunci ( )( ) ( ){ }, , , ; ,x y f x y x y C = .
Fie 1 2: , , , nD D D K o partiie a
domeniului D i fie ( ,i i )iM x y un punct oarecare din iD . Notm cu punctul corespunztor de pe suprafaa S. Evident are coordonatele
iP
iP
Fig. 1
( )( ), , ,i i i ix y f x y . Fie i planul tangent la S n
punctul i fie iP inr
versorul normalei la S n , orientat n sus. Dac notm cu
iP
i unghiul format de versorul cu
axa Oz, atunci cos
inr
2 2i i
1
1i
p q =
+ +,
unde ( ),i if
p xx i
y
=
i ( ),i if
q xy
=
iy .
Fie poriunea decupat din planul tangent iT i de cilindrul cu generatoarele paralele cu Oz i curba directoare frontiera domeniului iC iD . Deoarece i este unghiul dintre planul i i planul xOy rezult c aria iD = aria ( )cosiT i sau
aria ( ) 2 21i iT p iq= + + aria ( )iD (1)
Prin definiie, aria S = aria S = A =0
lim
( )1aria
n
ii
T= . Sensul exact fiind
urmtorul: Exist A astfel nct > 0, exist + > 0 astfel nct, 1: , , nD D K , partiie a lui D, cu < i () ( ),i i i iM x y D , avem:
-
146
( )1aria
n
ii
A T =
-
147 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA
( ) ( ) ( )( ) ( ){ }, , , , , ; ,S x u v y u v z u v u v D= . Deoarece suprafaa este simpl, rezult c funcia r : D S este bijectiv.
Mulimea = S \ S se numete bordura suprafeei S. Dac notm cu C frontiera domeniului D, atunci
( ) ( ) ( )( ) ( ){ }( ) , , , , , ; ,r C x u v y u v z u v u v C = = . Corespondena dintre C i , n general nu este bijectiv . Suprafaa S se
numete nchis dac S = S. O suprafa parametrizat nchis nu are bordur. Exemplul 6.2.2 Fie suprafaa parametrizat
( ) ( ), sin cos , sin sin , cosr u v R u v R u v R u= , ( ) ( ) ( ), 0, 0,u v D 2 = .
Fig. 2
Ecuaiile parametrice sunt:
( )( )
sin cossin sin 0,cos 0,2 .
x R u vy R u v uz R u v
= = =
Observm c ( ) ( )0, 0,0,r v R= , [ ]0,2v . Aadar, imaginea oricrui punct de pe segmentul AE , prin funcia vectorial r, este punctul . n
mod analog imaginea oricrui punct de pe segmentul
( )0,0,P RBF este punctul ( )0,0,P R .
Pe de alt parte, imaginea oricrui punct M AB EF U va fi un punct de coordonate sinx R u= , y = 0, cosz R u= , [ ]0,u .
Deoarece 2 2 2 2x y z R+ + = i rezult c imaginea frontierei dome-
niului D prin funcia vectorial r este meridianul
0x
PQP de pe sfera cu centrul n origine i de raz R. Aadar, ( )S r D= este sfera cu centrul n origine i de raz R
mai puin meridianul PQP .
-
148
( )S r D= este sfera cu centrul n origine i de raz R. Bordura suprafeei S este = S \ S = PQP .
Definiia 6.2.2 Fie D un domeniu mrginit care are arie i fie 2
3:r D , ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , ,r u v x u v y u v z u v= , ( ),u v D . Presupun c ( )1r C D i este injectiv. Fie i 3:r D ( )S r D=( )S r D= . Prin definiie aria S = aria 2 2 2 2
D DS EG F du dv A B C du dv= = + + (3)
Observaia 6.2.1 Fie S o suprafa neted explicit: ( ),z f x y= ,
( ) 2,x y D , ( )1f C D . n acest caz , , 1A p B q C= = = i din Definiia
6.2.2 rezult c: aria S 2 21D
p q dx dy= + + .
Aadar, n acest caz particular, regsim formula (2) de calcul a ariei unei suprafee. Rezult c Definiia 6.2.2 este generalizarea, pentru suprafee parame- trizate, a noiunii de arie a unei suprafee explicite.
Observaia 6.2.2 Aria unei suprafee parametrizate nu depinde de parame-
trizarea aleas. ntr-adevr, fie S o suprafa parametrizat simpl i neted i fie
, 3:r D ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , ,r u v x u v y u v z u v= , ( ),u v D, o reprezentare parametri- zat a sa. Dac , 31 1:r D ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , ,r u v x u v y u v z u v= 1 1 1,u v D, ( ) este o alt reprezentare parametric echivalent a lui S, atunci exist un difeo- morfism 1: D D , ( ) ( ) ( )( ), , ,u v u v u v = , , , ( ),u v D i avem
( ) ( )( )2
2 2 2 2 2 21 1 1
,,
DA B C A B C
D u v
+ + = + +
.
Dac n formula (3) facem schimbarea de variabile ( )1 ,u u v= (, )1 ,v u v= obinem
aria ( )( )( )( )
1
12 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1
, ,, ,D D
D DS A B C du dv A B C du dv
D u v D u v
= + + = + + =
2 2 2
DA B C du dv= + + .
-
149 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA
Exemplul 6.2.3 S se calculeze aria suprafeei parametrizate
, , : sin cosS x R u v= sin siny R u v= cosz R u= , ( ), 0, 02 2
x v D , =
.
Aa cum s-a artat n exemplul 6.1.1, n acest caz 2 2 2 2 4 2sinA B C EG F R u+ + = = , deci
Aria S 2 sinD
R u du dv= =22 22
0 0sin
2R
R dv u du
= .
Din punct de vedere geometric suprafaa S este poriunea din primul octant a sferei, cu centrul n origine i de raz R. Aria ntregii sfere va fi egal cu
228 4
2R
R
= .
Exemplul 6.2.4 S se calculeze aria torului. Considerm n planul xOy un cerc de raz a cu centrul n punctul (b,0) unde
0 < a < b. Torul este suprafaa T care se obine cnd rotim acest cerc, ca un corp rigid, n spaiu n jurul axei Oy. Dac este unghiul din figura 2 i este unghiul de rotire al cercului n jurul axei Oy, atunci ecuaiile parametrice ale torului sunt:
( )
( )( ) ( ) (
cos cos: sin , 0,2 0,2
cos sin
x b aT y a D
z b a
)
= + = = = +
.
Rezult:
Fig. 2
sin cosx a = cosy a = sin sinz a =
( )cos sinx b a = + 0y =
( )cos cosz b a = + 2 2 2 2E x y z a = + + = ;
0F x x y y z z = + + = ;
( )22 2 2 cosG x y z b a = + + = + ( )22 2 cosEG F a b a = + .
Aria T ( )cosD
a b a d d = + = ( )2 2 20 0
cos 4a d b a d a
+ = b .
Aadar, aria torului este . n cazul particular cnd a = b reobinem aria sferei.
24 ab
-
150
, , , , ,
6.3. INTEGRALE DE SUPRAFA DE PRIMA SPE Fie S o suprafa parametrizat simpl i neted i fie
r(u, v) = ( ) ( ) ( )( ) ( ),u v Dx u v y u v z u v , o reprezentare parametric a sa. Presupunem c D este un domeniu mrginit care are arie i c x, y, z ( )1C D . Fie de asemenea, F o funcie real definit pe ( )S r D= i fie 1 2: , , , nD D D K o partiie a lui D. Notm cu ( )iS r D= i i cu ( ), ,i i i iP x y z un punct oarecare din iS .
Definiia 6.3.1 Se numete integrala de suprafa de prima spe a funciei
F pe suprafaa S i se noteaz cu ( ), , dS
F x y z urmtoarea limit
( )0 1
lim arian
ii
iF P = S , dac aceast limit exist i e finit.
(Sensul exact al existenei acestei limite fiind urmtorul: exist L astfel nct > 0, 0 > cu proprietatea c oricare ar fi partiia a lui D cu <
i oricare ar fi punctele iP S i avem ( )1
arian
i ii
L F P S =
-
151 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA
Fie 1 2: , , , nD D D K o partiie oarecare a domeniului D. O astfel de partiie determin o partiie a suprafeei S (mai exact a suprafeei lui S) i anume:
unde 1 2, , , nS S SK ( )iS r D= i . Fie ( ), ,i i i iP x y z un punct oarecare din ( )i iS r D= i
fie ( )1
arian
n ii
iF P=
= S . Dac inem seama de modul de calcul al ariei unei
suprafee (Definiia 6.2.2), rezult c ( ) ( )21
, , , d di
n
n i i ii D
F x y z EG F u v u v=
= .
Pe de alt parte, din teorema de medie a integralei duble, rezult c exist ( ),i i iD astfel nct
( ) ( ) (2 2, d d , ariai
i i iD
)EG F u v u v EG F D = .
Fie, de asemenea ( ),i i iD cu proprietatea c ( ),i i ix x = ( ),i i iy y =, i ( ),i iz z i = . Cu aceste precizri rezult c:
( ) ( ) ( ) ( ) (21
, , , , , , arian
n i i i i i i i ii
)iF x y z EG F =
= D .
Dac notm cu ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2, , , , , ,G u v F x u v y u v z u v EG F u v= , , ( ),u v D , atunci suma Riemann corespunztoare partiiei , funciei G i punctelor intermediare ( ),i i iD este
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (21
, , , , , , , , arian
i i i i i i i i ii
G F x y z EG F =
= )D .
Deoarece G este continu pe D , deci integrabil pe D , rezult c exist ( ) ( )
0lim ; , , d d
DG G u v = u v (2)
Cum F este continu pe ( )S r D= i S este o mulime compact (fiind imaginea mulimii compacte D prin funcia continu r), rezult c F este mrginit pe S . Fie M > 0 astfel nct ( ), ,F x y z M< , ( ), ,x y z S .
n continuare avem:
( ) ( ) ( ) ( )2 21
; , , , arian
n i ii
G M EG F EG F =
i i iD .
Pe de alt parte, funcia 2EG F fiind continu pe mulimea compact D , este uniform continu, deci > 0, 0 > cu proprietatea c oricare ar fi
-
152
)punctele ( ) i ( din ,u v ,u v D astfel nct u v < , u v < , rezult c
( ) ( ) ( )2 2, ,
ariaEG F u v EG F u v
M D
0. Suprafaa S reprezint emisfera superioar a sferei cu centrul n origine i de raz a. O reprezentare parametric a acestei suprafee este: sin cosx a u v= ,
, , sin siny a u v= cosz a u= ( ) (, 0, 0,2u v D )2 =
(Vezi Exemplul 6.1.1).
innd seama c 2 4 2sinEG F a u = , din Teorema 6.3.1 rezult: ( )d
Sx y z + + = ( ) 2sin cos sin sin cos sin d d
Da u v a u v a u a u u v+ + =
( )2 23 2 20 0d sin cos sin sin sin cos da u u v u v u u v
= + + = 2 2 223 2 2
0 0 0 0sin sin sin cos sin cos da u v u v v u u
= + u =
223 3
0
sin2
2u
a a
= = .
Corolarul 6.3.1 Fie ( ): ,S z f x y= , ( ),x y D o suprafa neted explicit,
unde D este un domeniu mrginit care are arie, iar ( )1f C D . Dac :F S este continu, atunci:
( ), , dS
F x y z = ( ) ( )2 2, , , 1 , d dD
F x y f x y p q x y x y+ + (5)
Afirmaia rezult din Teorema 6.3.1 i din observaia c o reprezentare parametric a suprafeei S este: x = x, y = y, z = ( ),f x y , ( ),x y D .
-
153 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA
Exemplul 6.3.2 S se calculeze ( )dS
xy yz zx + + , unde S este poriunea
din conul 2z x y= + 2 , decupat de cilindrul 2 2 2x y y+ = . Observm c proiecia supra-
feei S n planul xOy este domeniul 2 2: 2D x y y 0+ . Aadar,
2 2:S z x y= + , ( ),x y D .
n continuare avem z
px
= =
2 2
x
x y=
+,
2
z yq
y 2x y
= =
+ i
2 21 p q 2+ + = . Din corolarul 6.3.1
rezult c: I = ( )dS
xy yz zx + + ( ) 2 2 2 d dD
xy y x x y x y = + + + .
Fig. 1 Fig. 2
Trecnd la coordonate polare: cosx = , siny = , [ ]0, , 0 2sin , obinem:
2I = ( )2sin 2 2 20 0d sin cos sin cos d
+ + =
( )2sin4
00
2 sin cos sin cos d4
= + + =
( )5 5 404 2 sin cos sin sin cos d
= + + = 504 2 sin d
=
( )22064 2
4 2 1 cos sin d15
= = .
Observaia 6.3.2 Dac suprafaa S este neted pe poriuni, adic este o
reuniune finit de suprafee simple netede, 1
ii
S
==US cu proprietile: este
simpl i neted
iS
1,i = , dou cte dou nu au puncte interioare comune ( dac i j) i pentru orice i i j i jS S = I ij i jS S = I este o curb neted pe poriuni (n cazul cnd este nevid), atunci
aria i 1aria i
iS S
== ( ) ( )
1, , d , , d
iS SF x y z F x y z
== .
-
154
6.4. INTEGRALE DE SUPRAFA DE SPEA A DOUA Pentru a defini integrala de suprafa de spea a doua, trebuie mai nti s
definim orientarea unei suprafee, problem asemntoare cu orientarea unei curbe. Fie S o suprafa parametrizat neted i fie ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , ,r u v x u v y u v z u v= ,
)
D o reprezentare parametric a sa. n scriere vectorial, ( ,u v( ) ( ) ( ) ( ), , , ,r u v x u v i y u v j z u v k= + +
rr, ( ),u v D.
Deoarece suprafaa S este neted, rezult c 0u vr r r
, pentru orice D. n
fiecare punct M S, de coordonate
( ,u v)( ) ( ) ( ), , , , ,M x u v y u v z u v exist doi versori
normali la suprafaa S (ortogonali pe planul tangent n punctul M la suprafaa S) i
anume unde ( )n Mr
( )n M =r u v
u v
r rr r
.
Definiia 6.4.1 Suprafaa S se numete orientabil (sau cu dou fee) dac
aplicaia M 3( ) :n M S r
este continu. Este evident c dac aplicaia 3( ) :M n M S
r este continu, atunci i
aplicaia este continu. Dac o suprafa este orientabil, atunci orientarea sa (sau desemnarea unei fee a acestei suprafee) revine la alege- rea uneia din cele dou aplicaii continue
3( ) :M n M S r
( )M n M r
. Aadar, avem dou orientri posibile ale suprafeei S (sau dou fee ale suprafeei S) i anume:
( ),S S n+ =r
care corespunde aplicaiei continue 3( ) :M n M S r
i ( ),S S n =r
care corespunde aplicaiei continue 3( ) :M n M S r
. Desigur, notaia pentru faa
S+( ),S nr este arbitrar. Putem foarte bine s notm cu ( ),S S n+ =
r.
Important este faptul c, odat ales un anumit sens al normalei pentru a desemna o fa a suprafeei, cealalt fa va corespunde sensului opus al normalei. O suprafa neorientabil se mai numete i suprafa cu o singur fa.
Observaia 6.4.1 Proprietatea aplicaiei 3( ) :M n M S
r de a fi
continu, n cazul unei suprafee orientabile, este o proprietate global i se refer la ntreaga suprafa S. Aceasta presupune de pild urmtoarea proprietate: fie
0M S oarecare fixat i fie C o curb nchis pe suprafaa S care trece prin 0M i care nu ntlnete bordura suprafeei S. S presupunem c am ales un sens pe normala n 0M la S i anume sensul versorului ( )0n M
r. Deplasnd versorul
pe curba C, plecnd din ( )n Mr
0M , revenim n punctul 0M cu aceeai orientare a normalei, adic
-
155 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA ( )
00lim ( )
M MM C
n M n M
=r r .
Exemple. 1. Orice suprafa neted explicit, ( ),z f x y= , ( ),x y D are dou fee i
anume: faa superioar, care corespunde normalei orientat n sus (care face un unghi ascuit cu direcia pozitiv a axei Oz) i faa inferioar care corespunde normalei orientat n jos.
Fig. 1
2. Sfera 2 2 2 2x y z R+ + = are dou fee i anume: faa exterioar care cores-
punde normalei orientat spre exterior i faa interioar care corespunde normalei orientat spre interior.
ntr-adevr, pentru orice punct ( ), ,M x y z de pe sfer, versorul normalei
exterioare n punctul M al sferei este: 1
( )n M OMR
=uuuurr
.
Este uor de artat c aplicaia 3( ) :M n M S r
este continu pe
( ){ }2 2 2 2, ,S x y z x y z R= + + = . 3. Fie S o suprafa parametrizat neted i fie ( ) ( ) ( ), , ,r u v x u v i y u v j= + +
rr
( ),z u v k+ , ( D o reprezentare parametric a sa. ),u vPresupunem n plus c r : D S este homeomorfism, adic r este bijectiv
i bicontinu (r i sunt continue). Atunci S = r(D) este o suprafa orientabil.
ntr-adevr, aplicaia , unde
1r
3( ) :M n M S r
( )n M =r u v
u v
r rr r
este continu pe
S, pentru c este compunerea funciilor continue 1r : S D i
( ,u v) u vu v
r rr r
: D . 3
-
156
4. Un exemplu clasic de suprafa cu o singur fa (neorientabil) este aa-numita banda lui Mbius. Un model al acestei suprafee se obine dac rsucim o bucat de hrtie dreptunghiular ABCD astfel nct punctul A s coincid cu C, iar punctul B cu D.
Fig. 2 Este uor de observat c dac deplasm versorul normalei la suprafa
plecnd din E, pe curba nchis de pe suprafa corespunztoare liniei mediane EF, cnd revenim n E, orientarea versorului normalei va fi opus orientrii iniiale a acestuia. Aadar, nu este asigurat continuitatea global a aplicaiei
3( ) :M n M S r
, deci suprafaa nu este orientabil. Definiia 6.4.2 Fie S o suprafa parametrizat simpl, neted, orientabil
i fie ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,r u v x u v i y u v j z u v k= + +rr
, ( ),u v D o reprezentare parametric a sa. Presupunem c D este un domeniu mrginit care are arie i c
( )1, ,x y z C D . Fie de asemenea 3:v r o funcie vectorial continu definit prin ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k= + +
rr rr, ( ), ,x y z , unde
este un domeniu ce conine suprafaa S. Dac notm cu
3
( ),S S n+ =r
unde
nr
= u vu v
r rr r
, atunci integrala de suprafa de spea a doua a funciei pe faa S
a suprafeei S, se definete astfel:
vr
+
( ) ( ) ( )
d
, , cos , , cos , , cos dS S
S
Pdydz Qdzdx Rdxdy v n
P x y z Q x y z R x y z
+
+ + = =
= + +
r r
(1)
unde , , sunt unghiurile pe care le face versorul nr
al normalei la suprafa cu
direciile pozitive ale axelor de coordonate. Aadar: ( ) ( ), , cos , ,n x y z x y z i= +rr
( ) ( )cos , , cos , ,x y z j x y z k + +rr
, ( ), ,x y z S. Dac ( ),S S n = r
este cealalt fa a suprafeei S, atunci: ( )d
S S SPdydz Qdzdx Rdxdy v n Pdydz Qdzdx Rdxdy
+
+ + = = + + r r
.
-
157 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA
Observaia 6.4.2 Din punct de vedere fizic, integrala de suprafa de spea a doua reprezint fluxul cmpului de vectori v
r prin faa S+ (respectiv ) a supra-
feei S. Mai precis, s presupunem c S
vr
reprezint cmpul vitezelor particulelor unui fluid n curgere staionar, adic oricare ar fi M , v
r(M) coincide cu viteza
particulei de fluid care trece prin M, vitez care depinde de punctul M, dar nu depinde de timp. Atunci d
Sv n
+
r r
reprezint volumul fluidului care trece n unita-
tea de timp prin suprafaa S n direcia versorului nr
, ce definete faa a supra-
feei S. Dac notm cu
S+( )( )
,,
D y zA
D u v= , ( )( )
,,
D z xB
D u v= i ( )( )
,,
D x yC
D u v= , atunci A, B, C
sunt parametrii directori ai normalei la suprafa i 2 2 2
cosA
A B C =
+ +,
2 2 2cos
B
A B C =
+ +,
2 2 2cos
C
A B C =
+ +. Alegerea semnului "+" sau ""
n faa radientului se face n funcie de orientarea normalei la suprafa. innd seama de modul de calcul al integralei de suprafa de prima spe
rezult:
( ) ( ) ( ) ( ){
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
, , , , , ,
, , , , , , , , , , , , d d
S DPdy dz Qdz dx Rdx dy P x u v y u v z u v A u v
Q x u v y u v z u v B u v R x u v y u v z u v C u v u v+
+ + = +
+ +
(2)
Exemplul 6.4.1 S se calculeze
Sxdydz ydzdx zdxdy
+
+ + , unde este
faa exterioar a sferei
S+
2 2 2 2x y z R+ + + . Ecuaiile parametrice ale sferei sunt:
sin cossin sincos
x R u vy R u vz R u
= = =
[ ] [ ]0, , 0,2 .u v
2 2sin cosA R u v= , 2 2sin sinB R u v= 2 2sin cosC R u u=, i 2 2 2 4 2sinA B C R u+ + =
cos sin cosu v = , cos sin sinu v = , cos cosu = (3) Observm c pentru normala orientat spre exterior trebuie s alegem
semnul "+" n formulele (3). ntr-adevr, dac 0,2
u
punctul corespunztor M
de pe sfer se afl pe emisfera superioar i normala exterioar va face un unghi ascuit cu axa Oz ( cos cos 0u = > ).
-
158
Dac ,2
u
, punctul corespunztor
M de pe sfer se afl pe emisfera inferioar i normala orientat spre exterior va face un unghi optuz cu axa Oz ( cos cos 0u = < ). Din formula de calcul (2) rezult:
Sxdydz ydzdx zdxdy
+
+ + =
( )2 3 3 2 3 3 2 3 20 0d sin cos sin sin sin cos dv R u v R u v R u u u
= + + = 3 3
02 sin 4R udu R
= = .
n cazul unei suprafee netede explicit ( ),z f x y= , ( ),x y D, avem A = p,
B = q, C = 1, unde f
px
=
i
fq
y
=
.
2 2cos
1
p
p q
=
+ +,
2 2cos
1
q
p q
=
+ +,
2 2
1cos
1 p q =
+ +.
Dac S+ este faa superioar a suprafeei, corespunztoare normalei orien- tate n sus, atunci cos > 0 i vom alege semnul "+" n faa radicalului. Pentru faa inferioar , cos < 0 i alegem semnul "" n faa radicalului. S
Exemplul 6.4.2 S se calculeze
( ) ( ) ( )S
y z dydz z x dzdx x y dxdy
+ + , unde
S este faa inferioar a conului 2 2 2 : 0x y z z h+ = . Aadar avem:
2 2:S z x y= + , ( ),x y D , unde
( ){ }2 2 2,D x y x y h= + , 2 2x
px y
=+
,
2 2
yq
x y=
+, . Deoarece cos < 0, rezult c 2 21 p q+ + = 2
1cos
2 =
,
2 2cos
2
x
x y =
+ i
2 2cos
2
y
x y =
+.
( ) ( ) ( )S
y z dydz z x dzdx x y dxdy
+ + =
-
159 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA
= ( ) ( ) ( )2 2 2 2
1d
22 2S
x yy z z x x y
x y x y
+ + =
+ +
( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 222 2Dx y x
y x y x y x dxdyx y x y
= + + + + =
+ +
y
d 0
( ) ( )0
2 2 sin cosh
Dy x dxdy = = = .
6.5. FORMULE INTEGRALE O prim formul integral a fost deja prezentat n Capitolul 5, 5.7 i
anume formula lui Green, care stabilete legtura ntre integrala dubl pe un dome- niu i integrala curbilinie de spea a doua pe frontiera acestui domeniu. n cele ce urmeaz prezentm alte dou formule: formula Gauss-Ostrogradski, care stabilete legtura ntre integrala tripl i integrala de suprafa i formula Stokes care stabi- lete legtura ntre integrala curbilinie i integrala de suprafa.
Teorema 6.5.1 (Gauss-Ostrogradski) Fie un domeniu simplu n raport cu cele trei axe de coordonate i
fie P, Q, R trei funcii reale continue, mpreun cu derivatele lor
3T
, ,P Q Rx y z
pe
T . Presupunem de asemenea c \S T T= (frontiera lui T) este o suprafa neted pe poriuni. Atunci:
( ) ( ) ( ), , , , , ,eT S
P Q Rdxdydz P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy
x y z + + = + +
,
unde cu am notat faa exterioar a suprafeei S. eS Demonstraie. Deoarece domeniul este simplu n raport cu axa Oz,
rezult c exist un domeniu mrginit
3T 3D , care are arie i dou funcii reale,
conine pe D proprietatea c ( ) ( ), ,x y x < y , ( ),x y D astfel nct ( ) ( ) ( ) ( ){ }3, , ; , , , ,T x y z x y z x y x y D = < < .
Notm cu graficul funciei 1S ( ),z x y= , ( ),x y D , cu graficul funciei
2S
( ),z x= y , ( ),x y D i cu suprafaa cilindric lateral, cu genera- toarele paralele cu axa Oz. Observm c suprafaa
3S
1 2S S S S3= U U este frontiera
domeniului T. Ipoteza c S este neted pe poriuni nseamn c ( )1, C D .
-
160
Faa exterioar a suprafeei S nseamn faa corespunztoare norma- lei orientate spre exterior. Aceasta nseamn pentru suprafaa , faa inferioar, iar pentru suprafaa , faa superioar. Aadar
1S
2S
Fig. 1
( ) ( ) ( )1 2 3e eS S S S += U U . Deoarece pentru faa inferioar a
suprafeei , unghiul 1S format de normala orientat n jos, cu axa Oz, este optuz, rezult c cos 0 < , deci
2 2
1cos
1x y
= + +
.
Mai departe avem:
( )( )
( )11
2 2
1, , , ,
1SS
R x y z dxdy R x y z d
x y
=
+ +
=
( )( )2 2
2 2
1, , , 1
1D
R x y x y dxdyx y
x y
= + + + +
=
( ), , ,D
R x y x y dxdy= (1)
n mod analog, pentru faa superioar a suprafeei , 2S cos 0 > , deci
( )( )2
, ,S
R x y z dxdy+
=
( )2 2
2 2
1, , , 1
1D
R x y x y dxdyx y
x y
= + + + +
=
( ), , ,D
R x y x y dxdy= . (2)
Pentru faa exterioar a suprafeei cilindrice laterale, cos 0 = , deoarece
unghiul 2
= . Rezult c:
-
161 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA
( )( )
( )33
, , , , cos d 0e SSR x y z dxdy R x y z = = (3)
Aadar avem: ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )1 2 3, , , , , , , ,
e eS S S SR x y z dxdy R x y z dxdy R x y z dxdy R x y z dxdy
+
= + + =
( ), , ,D
R x y x y dxdy= ( ), , ,D
R x y x y dxdy (4)
Pe de alt parte, din modul de calcul al integralei triple rezult:
T
Rdxdydz
z
= ( )
( ) ( )( )
( ),,
,,
, ,x y
x y
x yD D x y
Rdz dx dy R x y z dx dy
z
= =
( ) ( ), , , , , ,D D
R x y x y dx dy R x y x y dx dy = (5)
Din (4) i (5) deducem:
T
Rdxdydz
z
= ( ), ,
eSR x y z dxdy (6)
n mod analog, folosind faptul c domeniul T este simplu i n raport cu axele Oy i Ox deducem:
T
Qdxdydz
y
= ( ), ,
eSQ x y z dzdx (7)
T
Pdxdydz
x
= ( ), ,
eSP x y z dxdy (8)
n sfrit, adunnd relaiile (6), (7) i (8) obinem formula Gauss-Ostrogradski:
T
P Q Rdxdy dz
x y z + + =
( ) ( ) ( ), , , , , ,eS
P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy+ + (9)
Observaia 6.5.1 Printre exemplele de domenii simple n raport cu cele 3
axe de coordonate amintim: sfera, elipsoidul, paralelipipedul dreptunghic cu muchiile paralele cu axele etc. Fr a intra n detalii, menionm c formula Gauss-Ostrogradski rmne valabil i pentru domenii care sunt reuniuni finite de domenii simple n raport cu cele 3 axe de coordonate, dou cte dou, dintre acestea avnd n comun cel mult suprafee netede pe poriuni. Scriind formula Gauss-Ostrogradski pentru fiecare din domeniile simple , care alctuiesc dome- niul T, adunnd aceste formule i folosind proprietatea de aditivitate a integralei triple i a integralei de suprafa, se obine formula Gauss-Ostrogradski pentru domeniul T. Acest lucru se explic prin faptul c integrala de suprafa, pe o suprafa de intersecie a dou domenii simple vecine, apare n suma din membrul
iT
-
162
drept de dou ori, o dat pe faa superioar i o dat pe faa inferioar, deci contri- buia ei n membrul drept este nul. n felul acesta, n membrul drept rmne numai integrala pe faa exterioar a domeniului T.
Observaia 6.5.2 innd seama de legtura dintre integrala de suprafa de
spea a doua i de integrala de suprafa de spea nti, formula Gauss-Ostrogradski se mai scrie:
T
P Q Rdxdydz
x y z + + = ( )
cos cos cos dS
P Q R + + (10)
unde , , sunt unghiurile pe care le face normala exterioar la suprafaa S cu Ox, Oy i Oz.
Dac notm cu V cmpul vectorial de componente P, Q, R, atunci r
V Pi Qj Rk= + +rr r r
i divP Q R
Vx y
= + +
r
z
k
. Fie de asemenea,
cos cos cosn i j = + +rr rr
versorul normalei exterioare la suprafaa S. Cu aceste precizri, formula Gauss-Ostrogradski devine:
divT
V dxdydz =r
dS
V n r r
(11)
Sub aceast form, formula Gauss-Ostrogradski se mai numete i formula flux-divergen.
Exemplul 6.5.1 Folosind formula Gauss-Ostrogradski s se calculeze
2 2 2
eSx dydz y dzdx z dxdy+ + , unde este faa exterioar a cubului eS
( ){ }3, , ; 0 ,0 ,0T x y z x a y a z a= . Notnd cu ( ) 2, ,P x y z x= , ( ) 2, ,Q x y z y= i ( ) 2, ,R x y z z= , din formula Gauss-Ostrogradski deducem:
2 2 2
eSx dydz y dzdx z dxdy+ + = ( )2 2 2
Tx y z dxdy dz+ + =
= ( )0 0 0
2a a adx dy x y z dz+ + =
2
0 00
22
aa a zdx xz yz dy
+ + =
2
0 02
2a a adx ax ay dy
= + + =
2 2
00
22 2
aa y a
axy a y dx
+ + =
3 3 22 2 3
00
2 22 2 2
aa a a x
a x dx a a x a
= + + = + =
43 .
-
163 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA
Teorema 6.5.2 (Stokes) Fie S o suprafa neted explicit: ( ),z f x y= , ( ),x y D , unde D este un
domeniu mrginit a crui frontier este o curb neted. Presupunem c
( )2f C D i P, Q, R sunt trei funcii de clas pe un domeniu care include suprafaa
1C 3
S . Dac notm cu ( )( ) ( ){ }\ , , , ; ,S S x y f x y x y = = bordu- ra suprafeei S, atunci avem:
Pdx Qdy Rdz
+ + =S
R Q P R Q Pdydz dzdx dxdy
y z z x x y+
+ + .
(ntre sensul de parcurgere al curbei i faa suprafeei pe care se face integrala din membrul drept, exist urmtoarea legtur de compatibilitate*) : dac curba este parcurs n sens trigonometric (respectiv sensul acelor unui ceasornic), atunci integrala din membrul drept se face pe faa superioar (respectiv inferioar) a suprafeei S).
Demonstraie. Fie [ ]( ), ( ), ,x t y t t a b = = o reprezentare parametric a
curbei . Atunci ( ), ( )x t y t = = ,
Fig. 2
[ ]( ), ( )z f t t = , [ ],t a b este o reprezentare parametric a curbei -bordura suprafeei S.
innd seama de modul de calcul al integralei duble de spea a doua avem:
( ), ,P x y z dx
=
( )0
( ), ( ), ( ), ( ) ( )da
p t t f t t t t = = = ( ), , ,P x y f x y dx
. (12)
n continuare, din formula lui Green rezult:
( ), , ,P x y f x y dx
D
P P fdxdy
y z y = +
(13)
Dac notm f
px
=
i cu
fq
y
=
, mai departe avem:
*) n ipoteza c sistemul de coordonate este rectangular drept.
-
164
2 22 2
11
1
cos d
D D
S S
P Pdxdy p q dxdy
y y p qP P
dxdyy y
+
= + +
+ +
= =
=
(14)
i 2 2
2 21
1
cos d
D D
S S
P f P qdxdy p q dxdy
z y y p qP P
dzdxz z
+
= + +
+ +
= =
=
(15)
Din (12), (13) i (15) deducem:
( ), ,S S
P PP x y z dx dzdx dxdy
z y+ +
=
(16)
n mod analog se arat c:
( ), ,Q x y z dy
=S S
Q Qdxdy dydz
x z+ +
(17)
i
( ), ,R x y z dz
=S S
R Rdydz dzdx
y x+ +
(18)
Adunnd relaiile (16), (17) i (18) obinem formula lui Stokes din enunul teoremei.
Observaia 6.5.3 Formula lui Stokes rmne valabil i pentru suprafee
care sunt reuniuni finite de suprafee explicite de tipul celei din Teorema 6.4.2, dou dintre acestea avnd n comun arce de curb care sunt poriuni din bordurile orientate ale acestor suprafee. ntr-adevr, scriind formula lui Stokes pentru fiecare
din suprafeele i adunnd formulele obinute, rezult formula lui Stokes pentru
suprafaa .
iS
1
p
ii
S S=
=U
Fig. 3
Explicaia const n faptul c integrala curbilinie pe o curb de intersecie a dou suprafee vecine intervine n suma din membrul stng de dou ori, cu orientri diferite, deci contribuia sa n aceast sum este nul. n felul acesta n membrul stng apare numai integrala curbilinie pe bordura
-
165 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA
suprafeei S. Pe de alt parte este evident c 1 ( )
.i
p
iS S==
Observaia 6.5.4 innd seama de legtura ntre integrala de suprafa de
spea a doua i integrala de suprafa de spea nti, formula lui Stokes se mai scrie: Pdx Q dy Rdz
+ + =
cos cos cos dS
R Q P R Q Py z z x x y
= + +
.
Dac notm cu V cmpul vectorial de componente P, Q, R, atunci r
V Pi Qj Rk= + +rr r r
i rotV =r R Q P R Q P
i jy z z x x y
+ +
rk
r r.
Fie de asemenea cos cos cosn i j k = + + rr rr
versorul normalei la suprafaa
S orientat n sus i fie d r dxi dyj dzk= + +rr rr
. Cu aceste precizri, formula lui Stokes devine:
rot dS
V d r V n
= r rr r
.
Integrala din membrul stng reprezint circulaia cmpului Vr
de-a lungul curgei , iar integrala din membrul drept reprezint fluxul cmpului prin suprafaa S n sensul normalei orientate n sus.
rotVr
Exemplul 6.5.2 Folosind formula lui Stokes s se calculeze
( ) ( ) ( )ABC
z y dx x z dy y x dz
+ + , unde
A, B, C sunt punctele de coordonate ( ),0,0 ,A a
( ) ( )0, ,0 , 0,0,B b C c , . 0, 0, 0a b c> > >Planul determinat de punctele A, B i C are
ecuaia 1x y za b c
+ + = .
Observm c triunghiul ABC este bordura
suprafeei : 1x y
S z ca b
=
, ( ),x y D ,
unde D este triunghiul (plin) OAB.
Fig. 4
Notnd cu P = z y, Q = x z i R = y x, din formula lui Stokes rezult:
-
166
( ) ( ) ( )ABC
z y dx x z dy y x dz
+ + = ( )2 cos cos cos dS
+ + , unde , ,
sunt unghiurile pe care le face normala la suprafaa S, orientat n sus, cu axele Ox, Oy i Oz. Cum este ascuit, rezult cos > 0. Pe
de alt parte avem z c
px a
= =
,
cb
= q i
2 2 2 2 2 22 2
2 21a b b c c a
p qa b
+ ++ + = . Rezult c:
Fig. 5
2 2 2 2 2 2cos
ab
a b b c c a =
+ +,
2 2 2 2 2 2cos
bc
a b b c c a =
+ +,
2 2 2 2 2 2cos
ca
a b b c c a =
+ +. Cu aceste precizri, rezult:
( ) ( ) ( )ABC
z y dx x z dy y x dz
+ + = ( )2
Dbc ca ab dxdy bc ca ab
ab+ + = + + .
INTEGRALE DE SUPRAFA6.1. Suprafee parametrizate netede6.2. Aria unei suprafee6.3. Integrale de suprafa de prima spe6.4. Integrale de suprafa de spea a doua6.5. Formule integrale