140

, , , , ,

CAPITOLUL 6

IINNTTEEGGRRAALLEE DDEE SSUUPPRRAAFFAA

6.1. SUPRAFEE PARAMETRIZATE NETEDE Definiia 6.1.1. Fie D un domeniu (mulime deschis i conex). Se

numete pnz parametrizat de clas , orice funcie vectorial de clas .

2

1C 3:r D 1C

Dac notm cu x, y i z componentele scalare ale lui r, atunci ( ),r u v =( ) ( ) ( )( ) ( ),u v Dx u v y u v z u v= , . Ecuaiile ( ),x x u v= , ( ),y y u v= ,

, ( ),z z u v= ( ),u v D se numesc ecuaiile parametrice ale pnzei r, sau o repre- zentare parametric a pnzei, iar u i v se numesc parametrii pnzei. Imaginea direct a domeniului D prin funcia vectorial r, adic mulimea

( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , ; ,S x u v y u v z u v u v D= se numete suportul (sau urma) pnzei r. n continuare vom folosi cteva notaii specifice geometriei difereniale.

Pentru funcia folosim notaia vectorial: 3:r D ( ) ( ), ,r u v x u v i= +

rr( ),y u v j

r( ),z u v k+ , ( ),u v D .

De asemenea, notm cu ux

xu

=

, v

xx

v

=

, uy

yu

=

etc., cu

( ),A A u v= ( )( ),,

D y zD u v

= = u uv v

y zy z

, ( ),B B u v= ( )( ),,

D z xD u v

= = u uv v

z xz x

,

( ),C C u v= ( )( ),,

D y zD u v

= = u uv v

x yx y

.

u u u ukr

r x i y j zu

= = + +

r rr rrv v v v

ri y j z k

v

= = + +

r xr rr rr

,

2 2 2u u u

2uE r x y= = + +

rz , u v u v u v u vF r r x x y y z z= = + +

r r i

2 2 2v v vG r x y z= = + +r 2

v . Observm c:

urr

vr =r

Ai Bj Ck+ +rr r

i 2 2 2u vr r A B C = + + 2r r

.

Dac notm cu unghiul dintre vectorii urr

i vrr

, atunci

( ) ( )2 2 2 222 21 cosu v u v u vEG F r r r r r r = = r r r r r r

=

141 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA

( )2 2 22 2sinu v u vr r r r A B C 2 2= = = + +r r r r . Aadar avem:

2 2 2A B C+ + 2EG F= (1) Definiia 6.1.2. O pnz parametrizat de clas se numete neted dac 1C

2 2 2A B C+ + > 0, ( ),u v D . Pentru o pnz parametrizat neted rezult c ur

r vrr

0, ( ),u v D , deci i sunt necoliniari. Fie ur

rvrr

( ),u v D i fie ( ) ( ) ( ), , , , ,M x u v y u v z u v S , punctul corespunztor de pe suportul pnzei r. Planul determinat de vectorii i

i care trece prin M se numete planul tangent n M la S i are ecuaia: urr

vrr

( )( ) ( )( ) ( )( ), , ,A X x u v B Y y u v C Z z u v + + 0= (2) Normala n punctul M la S (adic perpendiculara pe planul tangent n punctul

M al suportului S al pnzei) este paralel cu vectorul urr

vrr

. Rezult c parametrii directori ai normalei n M la S sunt A, B i C.

Definiia 6.1.3. O pnz parametrizat se numete simpl, dac

funcia r este injectiv, adic dac

3:r D ( ) ( )1 1 2 2,r u v r u v , , oricare ar fi punctele

( )1 1,u v D , ( )2 2,u v D , ( ) ( )1 1 2 2, ,u v u v . Exemplul 6.1.1 Fie pnza parametrizat de clas , definit prin: 1C

( ) ( ), sin cos , sin sin , cosr u v R u v R u v R u= ( ), , 0, 0,2 2u v D =

. Ecuaiile

parametrice sunt:

( )

sin cossin sin

cos , 0, 0,2 2

x R u vy R u v

z R u u v D

= =

= =

Observm c pentru orice ( ),u v D , punctul ( ) ( ) ( )( ), , , , ,x u v y u v z u v verific ecuaia

2 2 2 2x y z R+ + = , , , . Rezult c suportul acestei pnze este poriunea sferei cu centrul n origine i de raz R, cuprins n primul

octant. Mai departe avem:

0x > 0y > 0z > Fig. 1

cos cosux R u v= cos sinuy R u= sinuz R u, , v =

142

vsin sin , sin cos , 0v vx R u v y R u v z= = = 2 2sin cosA R u= v , 2 2sin sinB R u v= 2 sin cosu u=, C R 2E R= , , 0F = 2 2sinG R u=

2 2 2A B C+ + 2 4 2sin 0EG F R u= = > , ( ),u v D . De asemenea, este evident c funcia r este injectiv pe D. Aadar, pnza parame- trizat din acest exemplu este o pnz parametrizat neted i simpl.

Un caz particular de pnz parametrizat, deosebit de important n aplicaii, este cazul pnzei definit explicit. Mai precis, fie D un domeniu i fie

o funcie de clas . Notm cu

2

:f D 1C fpx

=

i cu

fq

y

=

. Cu ajutorul

funciei f putem defini urmtoarea pnz parametrizat de clas : 1C3:r D , ( ) ( )( ), , , ,r x y x y f x y= , ( ),x y D .

Ecuaiile parametrice sunt:

( ) ( ), , ,

x xy yz f x y x y D

= = = .

Observm c suportul acestei pnze este graficul funciei f (Fig. 2). Pe de alt parte, avem

Fig. 2

( )( )0 1,

,D y z

A pD x y p q

= = = ,

( )( )

,, 1 0

p qD z xB q

D x y= = = i

( )( )

1 0,1

, 0 1D x y

CD x y

= = = .

Deoarece 2 2 2 2 2A B C p q 1 0+ + = + + > , rezult c pnza (3) este neted. De aseme nea, este evident c este o pnz simpl.

Planul tangent ntr-un punct oarecare ( )( ), , ,M x y f x y are ecuaia: ( )( ) ( )( ) ( ),X x p Y y q Z f x y + + = 0 , iar parametrii directori ai normalei n M sunt ( ), ,1p q .

Definiia 6.1.5. Dou pnze parametrizate de clas , i

se numesc echivalente cu aceeai orientare dac exist un difeo-

morfism

1C 3:r D 3

1 1:r D

1: D D cu proprietile: ( )det , 0J u v > , ( ),u v D i . 1r r= o

143 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA

Reamintim c este difeomorfism, dac este bijectiv, i

( )1C D

( )1 1 1C D Dac pe D, spunem c cele dou pnze sunt echivalente cu

orientri opuse. Funcia se mai numete i schimbare de parametri. Vom nota cu faptul c pnzele r i sunt echivalente. Din Definiia 6.1.4 rezult:

det 0J > 0 .

Observm c pnzele din exemplele 6.1.1 i 6.1.2 sunt echivalente cu aceeai

orientare. ntr-adevr, fie 1: 0, 0,2 2D D

=

, definit prin:

( ),u v ( )sin cos , sin sinR u v R u v= , ( ),u v D . Rezult c i ( )1C D

( ),J u v = 2cos cos sin sin

sin cos 0cos sin sin cos

R u v R u vR u u

R u v R u v

= > , ( ),u v D . Dac

presupunem c ( ) ( ),u v u v = , v, atunci rezult c tg tgv = i mai departe c i v v= u u= . Aadar, este injectiv. Pentru a dovedi c este i surjectiv,

fie , cu proprietatea . Deoarece 1 0u > 1 0v > 2 21 1u v R+ < 22 21 10 1

u vR+

< < , rezult

c exist 0,2

u

astfel nct 2 21 1 sin

u vu

R+

= , relaie echivalent cu

21

sinu

R u +

21 1

sinv

R u =

. Atunci exist 0,2

v

astfel nct 1 cossinu

vR u

= i

1 sinsinv

vR u

= . n definitiv, am artat c exist ( ),u v D astfel nct

, , deci 1 sin cosu R u v= 1 sin sinv R u= v ( ) ( )1 1,u v u v= , . De asemenea, este uor de observat c

( )2 21 1 11

1 11

, arcsin , arctgu v v

u vr u

+ =

, ( )1 1 1,u v D , deci . ( )1 1 1C D Pe de alt parte avem:

( )( ) ( ) ( ) ( )1 1, , sin cos , sin sin , cos ,r u v r u v R u v R u v R u r u = = = o v ,

144

( ),u v D , deci . 1r r Observaia 6.1.2 Orice pnz parametrizat echivalent cu o pnz

parametrizat simpl sau neted este la rndul su simpl sau neted. ntr-adevr, fie unde 1r r ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , ,r u v x u v y u v z u v= , , ( ),u v D ,

( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , ( )1 1 1,u v Dr u v x u v y u v z u v= i fie 1: D D , ( ) ( ) ( )( ), , , ,u v u v u v = , ( ),u v D , schimbarea de parametri.

Deoarece i este bijectiv, rezult c dac r1r r= o 1 este injectiv (deci simpl) atunci i r este injectiv (simpl). Pe de alt parte:

( ) ( ) ( )1, , , ,x u v x u v u v = , ( ) ( ) ( )1, , , ,y u v y u v u v = ,

i

( ) ( ) ( )1, , ,z u v z u v u v = . innd seama de formulele de derivare a funciilor compuse de dou

variabile rezult:

( )( )( )( )

( )( )

( )( )

1 11

, , ,, , ,

D y z D y z D DA A

D u v D u v D u v D u v,,

= = =

i analog

( )( )1,,

DB B

D u v

= i ( )( )1,,

DC C

D u v

= .

Aadar, avem:

( ) ( )( )2

2 2 2 2 2 21 1 1

,,

DA B C A B C

D u v

+ + = + +

. Cum ( )( )

2,0

,DD u v

>

, rezult c

dac r (respectiv r1) este neted, atunci i r1 (respectiv r) este neted. Definiia 6.1.6 Se numete suprafa parametrizat de clas orice clas

de echivalen de pnze parametrizate de clas .

1C1C

Aadar, este o suprafa parametrizat de clas , dac exist o pnz parametrizat de clas , r : D , astfel nct:

S 1C1C 2 3

{ 31 :S r D= , pnz neted parametrizat; }1r r . Cum , rezult c r . Suprafaa se numete simpl (respectiv neted)

dac pnza r care o determin este simpl (neted). Suportul suprafeei , este suportul S al pnzei r care o determin, acelai cu suportul oricrei alte pnze de clas . De regul, vom identifica suprafea su suportul su S.

1r r S S

S

S S

145 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA 6.2. ARIA UNEI SUPRAFEE

Pentru nceput abordm problema ariei unei suprafee nedete explicit. Fie

D un domeniu mrginit care are arie i fie 2 :f D o funcie de clas C 1

pe D . Dac notm cu f

px

=

i

fq

y

=

, rezult c p i q sunt continue pe D . Fie

S (respectiv S ) graficul funciei (respectiv :f D :f D ). Aadar,

( )( ) ( ){ }, , , ; ,S x y f x y x y D= i ( )( ) ( ){ }, , , ; ,S x y f x y x y D= . Mulimea = S \ S se numete bordura suprafeei S. Dac S este frontiera

domeniului D, atunci ( )( ) ( ){ }, , , ; ,x y f x y x y C = .

Fie 1 2: , , , nD D D K o partiie a

domeniului D i fie ( ,i i )iM x y un punct oarecare din iD . Notm cu punctul corespunztor de pe suprafaa S. Evident are coordonatele

iP

iP

Fig. 1

( )( ), , ,i i i ix y f x y . Fie i planul tangent la S n

punctul i fie iP inr

versorul normalei la S n , orientat n sus. Dac notm cu

iP

i unghiul format de versorul cu

axa Oz, atunci cos

inr

2 2i i

1

1i

p q =

+ +,

unde ( ),i if

p xx i

y

=

i ( ),i if

q xy

=

iy .

Fie poriunea decupat din planul tangent iT i de cilindrul cu generatoarele paralele cu Oz i curba directoare frontiera domeniului iC iD . Deoarece i este unghiul dintre planul i i planul xOy rezult c aria iD = aria ( )cosiT i sau

aria ( ) 2 21i iT p iq= + + aria ( )iD (1)

Prin definiie, aria S = aria S = A =0

lim

( )1aria

n

ii

T= . Sensul exact fiind

urmtorul: Exist A astfel nct > 0, exist + > 0 astfel nct, 1: , , nD D K , partiie a lui D, cu < i () ( ),i i i iM x y D , avem:

146

( )1aria

n

ii

A T =

147 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA

( ) ( ) ( )( ) ( ){ }, , , , , ; ,S x u v y u v z u v u v D= . Deoarece suprafaa este simpl, rezult c funcia r : D S este bijectiv.

Mulimea = S \ S se numete bordura suprafeei S. Dac notm cu C frontiera domeniului D, atunci

( ) ( ) ( )( ) ( ){ }( ) , , , , , ; ,r C x u v y u v z u v u v C = = . Corespondena dintre C i , n general nu este bijectiv . Suprafaa S se

numete nchis dac S = S. O suprafa parametrizat nchis nu are bordur. Exemplul 6.2.2 Fie suprafaa parametrizat

( ) ( ), sin cos , sin sin , cosr u v R u v R u v R u= , ( ) ( ) ( ), 0, 0,u v D 2 = .

Fig. 2

Ecuaiile parametrice sunt:

( )( )

sin cossin sin 0,cos 0,2 .

x R u vy R u v uz R u v

= = =

Observm c ( ) ( )0, 0,0,r v R= , [ ]0,2v . Aadar, imaginea oricrui punct de pe segmentul AE , prin funcia vectorial r, este punctul . n

mod analog imaginea oricrui punct de pe segmentul

( )0,0,P RBF este punctul ( )0,0,P R .

Pe de alt parte, imaginea oricrui punct M AB EF U va fi un punct de coordonate sinx R u= , y = 0, cosz R u= , [ ]0,u .

Deoarece 2 2 2 2x y z R+ + = i rezult c imaginea frontierei dome-

niului D prin funcia vectorial r este meridianul

0x

PQP de pe sfera cu centrul n origine i de raz R. Aadar, ( )S r D= este sfera cu centrul n origine i de raz R

mai puin meridianul PQP .

148

( )S r D= este sfera cu centrul n origine i de raz R. Bordura suprafeei S este = S \ S = PQP .

Definiia 6.2.2 Fie D un domeniu mrginit care are arie i fie 2

3:r D , ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , ,r u v x u v y u v z u v= , ( ),u v D . Presupun c ( )1r C D i este injectiv. Fie i 3:r D ( )S r D=( )S r D= . Prin definiie aria S = aria 2 2 2 2

D DS EG F du dv A B C du dv= = + + (3)

Observaia 6.2.1 Fie S o suprafa neted explicit: ( ),z f x y= ,

( ) 2,x y D , ( )1f C D . n acest caz , , 1A p B q C= = = i din Definiia

6.2.2 rezult c: aria S 2 21D

p q dx dy= + + .

Aadar, n acest caz particular, regsim formula (2) de calcul a ariei unei suprafee. Rezult c Definiia 6.2.2 este generalizarea, pentru suprafee parame- trizate, a noiunii de arie a unei suprafee explicite.

Observaia 6.2.2 Aria unei suprafee parametrizate nu depinde de parame-

trizarea aleas. ntr-adevr, fie S o suprafa parametrizat simpl i neted i fie

, 3:r D ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , ,r u v x u v y u v z u v= , ( ),u v D, o reprezentare parametri- zat a sa. Dac , 31 1:r D ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , ,r u v x u v y u v z u v= 1 1 1,u v D, ( ) este o alt reprezentare parametric echivalent a lui S, atunci exist un difeo- morfism 1: D D , ( ) ( ) ( )( ), , ,u v u v u v = , , , ( ),u v D i avem

( ) ( )( )2

2 2 2 2 2 21 1 1

,,

DA B C A B C

D u v

+ + = + +

.

Dac n formula (3) facem schimbarea de variabile ( )1 ,u u v= (, )1 ,v u v= obinem

aria ( )( )( )( )

1

12 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1

, ,, ,D D

D DS A B C du dv A B C du dv

D u v D u v

= + + = + + =

2 2 2

DA B C du dv= + + .

149 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA

Exemplul 6.2.3 S se calculeze aria suprafeei parametrizate

, , : sin cosS x R u v= sin siny R u v= cosz R u= , ( ), 0, 02 2

x v D , =

.

Aa cum s-a artat n exemplul 6.1.1, n acest caz 2 2 2 2 4 2sinA B C EG F R u+ + = = , deci

Aria S 2 sinD

R u du dv= =22 22

0 0sin

2R

R dv u du

= .

Din punct de vedere geometric suprafaa S este poriunea din primul octant a sferei, cu centrul n origine i de raz R. Aria ntregii sfere va fi egal cu

228 4

2R

R

= .

Exemplul 6.2.4 S se calculeze aria torului. Considerm n planul xOy un cerc de raz a cu centrul n punctul (b,0) unde

0 < a < b. Torul este suprafaa T care se obine cnd rotim acest cerc, ca un corp rigid, n spaiu n jurul axei Oy. Dac este unghiul din figura 2 i este unghiul de rotire al cercului n jurul axei Oy, atunci ecuaiile parametrice ale torului sunt:

( )

( )( ) ( ) (

cos cos: sin , 0,2 0,2

cos sin

x b aT y a D

z b a

)

= + = = = +

.

Rezult:

Fig. 2

sin cosx a = cosy a = sin sinz a =

( )cos sinx b a = + 0y =

( )cos cosz b a = + 2 2 2 2E x y z a = + + = ;

0F x x y y z z = + + = ;

( )22 2 2 cosG x y z b a = + + = + ( )22 2 cosEG F a b a = + .

Aria T ( )cosD

a b a d d = + = ( )2 2 20 0

cos 4a d b a d a

+ = b .

Aadar, aria torului este . n cazul particular cnd a = b reobinem aria sferei.

24 ab

150

, , , , ,

6.3. INTEGRALE DE SUPRAFA DE PRIMA SPE Fie S o suprafa parametrizat simpl i neted i fie

r(u, v) = ( ) ( ) ( )( ) ( ),u v Dx u v y u v z u v , o reprezentare parametric a sa. Presupunem c D este un domeniu mrginit care are arie i c x, y, z ( )1C D . Fie de asemenea, F o funcie real definit pe ( )S r D= i fie 1 2: , , , nD D D K o partiie a lui D. Notm cu ( )iS r D= i i cu ( ), ,i i i iP x y z un punct oarecare din iS .

Definiia 6.3.1 Se numete integrala de suprafa de prima spe a funciei

F pe suprafaa S i se noteaz cu ( ), , dS

F x y z urmtoarea limit

( )0 1

lim arian

ii

iF P = S , dac aceast limit exist i e finit.

(Sensul exact al existenei acestei limite fiind urmtorul: exist L astfel nct > 0, 0 > cu proprietatea c oricare ar fi partiia a lui D cu <

i oricare ar fi punctele iP S i avem ( )1

arian

i ii

L F P S =

151 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA

Fie 1 2: , , , nD D D K o partiie oarecare a domeniului D. O astfel de partiie determin o partiie a suprafeei S (mai exact a suprafeei lui S) i anume:

unde 1 2, , , nS S SK ( )iS r D= i . Fie ( ), ,i i i iP x y z un punct oarecare din ( )i iS r D= i

fie ( )1

arian

n ii

iF P=

= S . Dac inem seama de modul de calcul al ariei unei

suprafee (Definiia 6.2.2), rezult c ( ) ( )21

, , , d di

n

n i i ii D

F x y z EG F u v u v=

= .

Pe de alt parte, din teorema de medie a integralei duble, rezult c exist ( ),i i iD astfel nct

( ) ( ) (2 2, d d , ariai

i i iD

)EG F u v u v EG F D = .

Fie, de asemenea ( ),i i iD cu proprietatea c ( ),i i ix x = ( ),i i iy y =, i ( ),i iz z i = . Cu aceste precizri rezult c:

( ) ( ) ( ) ( ) (21

, , , , , , arian

n i i i i i i i ii

)iF x y z EG F =

= D .

Dac notm cu ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2, , , , , ,G u v F x u v y u v z u v EG F u v= , , ( ),u v D , atunci suma Riemann corespunztoare partiiei , funciei G i punctelor intermediare ( ),i i iD este

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (21

, , , , , , , , arian

i i i i i i i i ii

G F x y z EG F =

= )D .

Deoarece G este continu pe D , deci integrabil pe D , rezult c exist ( ) ( )

0lim ; , , d d

DG G u v = u v (2)

Cum F este continu pe ( )S r D= i S este o mulime compact (fiind imaginea mulimii compacte D prin funcia continu r), rezult c F este mrginit pe S . Fie M > 0 astfel nct ( ), ,F x y z M< , ( ), ,x y z S .

n continuare avem:

( ) ( ) ( ) ( )2 21

; , , , arian

n i ii

G M EG F EG F =

i i iD .

Pe de alt parte, funcia 2EG F fiind continu pe mulimea compact D , este uniform continu, deci > 0, 0 > cu proprietatea c oricare ar fi

152

)punctele ( ) i ( din ,u v ,u v D astfel nct u v < , u v < , rezult c

( ) ( ) ( )2 2, ,

ariaEG F u v EG F u v

M D

0. Suprafaa S reprezint emisfera superioar a sferei cu centrul n origine i de raz a. O reprezentare parametric a acestei suprafee este: sin cosx a u v= ,

, , sin siny a u v= cosz a u= ( ) (, 0, 0,2u v D )2 =

(Vezi Exemplul 6.1.1).

innd seama c 2 4 2sinEG F a u = , din Teorema 6.3.1 rezult: ( )d

Sx y z + + = ( ) 2sin cos sin sin cos sin d d

Da u v a u v a u a u u v+ + =

( )2 23 2 20 0d sin cos sin sin sin cos da u u v u v u u v

= + + = 2 2 223 2 2

0 0 0 0sin sin sin cos sin cos da u v u v v u u

= + u =

223 3

0

sin2

2u

a a

= = .

Corolarul 6.3.1 Fie ( ): ,S z f x y= , ( ),x y D o suprafa neted explicit,

unde D este un domeniu mrginit care are arie, iar ( )1f C D . Dac :F S este continu, atunci:

( ), , dS

F x y z = ( ) ( )2 2, , , 1 , d dD

F x y f x y p q x y x y+ + (5)

Afirmaia rezult din Teorema 6.3.1 i din observaia c o reprezentare parametric a suprafeei S este: x = x, y = y, z = ( ),f x y , ( ),x y D .

153 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA

Exemplul 6.3.2 S se calculeze ( )dS

xy yz zx + + , unde S este poriunea

din conul 2z x y= + 2 , decupat de cilindrul 2 2 2x y y+ = . Observm c proiecia supra-

feei S n planul xOy este domeniul 2 2: 2D x y y 0+ . Aadar,

2 2:S z x y= + , ( ),x y D .

n continuare avem z

px

= =

2 2

x

x y=

+,

2

z yq

y 2x y

= =

+ i

2 21 p q 2+ + = . Din corolarul 6.3.1

rezult c: I = ( )dS

xy yz zx + + ( ) 2 2 2 d dD

xy y x x y x y = + + + .

Fig. 1 Fig. 2

Trecnd la coordonate polare: cosx = , siny = , [ ]0, , 0 2sin , obinem:

2I = ( )2sin 2 2 20 0d sin cos sin cos d

+ + =

( )2sin4

00

2 sin cos sin cos d4

= + + =

( )5 5 404 2 sin cos sin sin cos d

= + + = 504 2 sin d

=

( )22064 2

4 2 1 cos sin d15

= = .

Observaia 6.3.2 Dac suprafaa S este neted pe poriuni, adic este o

reuniune finit de suprafee simple netede, 1

ii

S

==US cu proprietile: este

simpl i neted

iS

1,i = , dou cte dou nu au puncte interioare comune ( dac i j) i pentru orice i i j i jS S = I ij i jS S = I este o curb neted pe poriuni (n cazul cnd este nevid), atunci

aria i 1aria i

iS S

== ( ) ( )

1, , d , , d

iS SF x y z F x y z

== .

154

6.4. INTEGRALE DE SUPRAFA DE SPEA A DOUA Pentru a defini integrala de suprafa de spea a doua, trebuie mai nti s

definim orientarea unei suprafee, problem asemntoare cu orientarea unei curbe. Fie S o suprafa parametrizat neted i fie ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , ,r u v x u v y u v z u v= ,

)

D o reprezentare parametric a sa. n scriere vectorial, ( ,u v( ) ( ) ( ) ( ), , , ,r u v x u v i y u v j z u v k= + +

rr, ( ),u v D.

Deoarece suprafaa S este neted, rezult c 0u vr r r

, pentru orice D. n

fiecare punct M S, de coordonate

( ,u v)( ) ( ) ( ), , , , ,M x u v y u v z u v exist doi versori

normali la suprafaa S (ortogonali pe planul tangent n punctul M la suprafaa S) i

anume unde ( )n Mr

( )n M =r u v

u v

r rr r

.

Definiia 6.4.1 Suprafaa S se numete orientabil (sau cu dou fee) dac

aplicaia M 3( ) :n M S r

este continu. Este evident c dac aplicaia 3( ) :M n M S

r este continu, atunci i

aplicaia este continu. Dac o suprafa este orientabil, atunci orientarea sa (sau desemnarea unei fee a acestei suprafee) revine la alege- rea uneia din cele dou aplicaii continue

3( ) :M n M S r

( )M n M r

. Aadar, avem dou orientri posibile ale suprafeei S (sau dou fee ale suprafeei S) i anume:

( ),S S n+ =r

care corespunde aplicaiei continue 3( ) :M n M S r

i ( ),S S n =r

care corespunde aplicaiei continue 3( ) :M n M S r

. Desigur, notaia pentru faa

S+( ),S nr este arbitrar. Putem foarte bine s notm cu ( ),S S n+ =

r.

Important este faptul c, odat ales un anumit sens al normalei pentru a desemna o fa a suprafeei, cealalt fa va corespunde sensului opus al normalei. O suprafa neorientabil se mai numete i suprafa cu o singur fa.

Observaia 6.4.1 Proprietatea aplicaiei 3( ) :M n M S

r de a fi

continu, n cazul unei suprafee orientabile, este o proprietate global i se refer la ntreaga suprafa S. Aceasta presupune de pild urmtoarea proprietate: fie

0M S oarecare fixat i fie C o curb nchis pe suprafaa S care trece prin 0M i care nu ntlnete bordura suprafeei S. S presupunem c am ales un sens pe normala n 0M la S i anume sensul versorului ( )0n M

r. Deplasnd versorul

pe curba C, plecnd din ( )n Mr

0M , revenim n punctul 0M cu aceeai orientare a normalei, adic

155 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA ( )

00lim ( )

M MM C

n M n M

=r r .

Exemple. 1. Orice suprafa neted explicit, ( ),z f x y= , ( ),x y D are dou fee i

anume: faa superioar, care corespunde normalei orientat n sus (care face un unghi ascuit cu direcia pozitiv a axei Oz) i faa inferioar care corespunde normalei orientat n jos.

Fig. 1

2. Sfera 2 2 2 2x y z R+ + = are dou fee i anume: faa exterioar care cores-

punde normalei orientat spre exterior i faa interioar care corespunde normalei orientat spre interior.

ntr-adevr, pentru orice punct ( ), ,M x y z de pe sfer, versorul normalei

exterioare n punctul M al sferei este: 1

( )n M OMR

=uuuurr

.

Este uor de artat c aplicaia 3( ) :M n M S r

este continu pe

( ){ }2 2 2 2, ,S x y z x y z R= + + = . 3. Fie S o suprafa parametrizat neted i fie ( ) ( ) ( ), , ,r u v x u v i y u v j= + +

rr

( ),z u v k+ , ( D o reprezentare parametric a sa. ),u vPresupunem n plus c r : D S este homeomorfism, adic r este bijectiv

i bicontinu (r i sunt continue). Atunci S = r(D) este o suprafa orientabil.

ntr-adevr, aplicaia , unde

1r

3( ) :M n M S r

( )n M =r u v

u v

r rr r

este continu pe

S, pentru c este compunerea funciilor continue 1r : S D i

( ,u v) u vu v

r rr r

: D . 3

156

4. Un exemplu clasic de suprafa cu o singur fa (neorientabil) este aa-numita banda lui Mbius. Un model al acestei suprafee se obine dac rsucim o bucat de hrtie dreptunghiular ABCD astfel nct punctul A s coincid cu C, iar punctul B cu D.

Fig. 2 Este uor de observat c dac deplasm versorul normalei la suprafa

plecnd din E, pe curba nchis de pe suprafa corespunztoare liniei mediane EF, cnd revenim n E, orientarea versorului normalei va fi opus orientrii iniiale a acestuia. Aadar, nu este asigurat continuitatea global a aplicaiei

3( ) :M n M S r

, deci suprafaa nu este orientabil. Definiia 6.4.2 Fie S o suprafa parametrizat simpl, neted, orientabil

i fie ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,r u v x u v i y u v j z u v k= + +rr

, ( ),u v D o reprezentare parametric a sa. Presupunem c D este un domeniu mrginit care are arie i c

( )1, ,x y z C D . Fie de asemenea 3:v r o funcie vectorial continu definit prin ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k= + +

rr rr, ( ), ,x y z , unde

este un domeniu ce conine suprafaa S. Dac notm cu

3

( ),S S n+ =r

unde

nr

= u vu v

r rr r

, atunci integrala de suprafa de spea a doua a funciei pe faa S

a suprafeei S, se definete astfel:

vr

+

( ) ( ) ( )

d

, , cos , , cos , , cos dS S

S

Pdydz Qdzdx Rdxdy v n

P x y z Q x y z R x y z

+

+ + = =

= + +

r r

(1)

unde , , sunt unghiurile pe care le face versorul nr

al normalei la suprafa cu

direciile pozitive ale axelor de coordonate. Aadar: ( ) ( ), , cos , ,n x y z x y z i= +rr

( ) ( )cos , , cos , ,x y z j x y z k + +rr

, ( ), ,x y z S. Dac ( ),S S n = r

este cealalt fa a suprafeei S, atunci: ( )d

S S SPdydz Qdzdx Rdxdy v n Pdydz Qdzdx Rdxdy

+

+ + = = + + r r

.

157 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA

Observaia 6.4.2 Din punct de vedere fizic, integrala de suprafa de spea a doua reprezint fluxul cmpului de vectori v

r prin faa S+ (respectiv ) a supra-

feei S. Mai precis, s presupunem c S

vr

reprezint cmpul vitezelor particulelor unui fluid n curgere staionar, adic oricare ar fi M , v

r(M) coincide cu viteza

particulei de fluid care trece prin M, vitez care depinde de punctul M, dar nu depinde de timp. Atunci d

Sv n

+

r r

reprezint volumul fluidului care trece n unita-

tea de timp prin suprafaa S n direcia versorului nr

, ce definete faa a supra-

feei S. Dac notm cu

S+( )( )

,,

D y zA

D u v= , ( )( )

,,

D z xB

D u v= i ( )( )

,,

D x yC

D u v= , atunci A, B, C

sunt parametrii directori ai normalei la suprafa i 2 2 2

cosA

A B C =

+ +,

2 2 2cos

B

A B C =

+ +,

2 2 2cos

C

A B C =

+ +. Alegerea semnului "+" sau ""

n faa radientului se face n funcie de orientarea normalei la suprafa. innd seama de modul de calcul al integralei de suprafa de prima spe

rezult:

( ) ( ) ( ) ( ){

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

, , , , , ,

, , , , , , , , , , , , d d

S DPdy dz Qdz dx Rdx dy P x u v y u v z u v A u v

Q x u v y u v z u v B u v R x u v y u v z u v C u v u v+

+ + = +

+ +

(2)

Exemplul 6.4.1 S se calculeze

Sxdydz ydzdx zdxdy

+

+ + , unde este

faa exterioar a sferei

S+

2 2 2 2x y z R+ + + . Ecuaiile parametrice ale sferei sunt:

sin cossin sincos

x R u vy R u vz R u

= = =

[ ] [ ]0, , 0,2 .u v

2 2sin cosA R u v= , 2 2sin sinB R u v= 2 2sin cosC R u u=, i 2 2 2 4 2sinA B C R u+ + =

cos sin cosu v = , cos sin sinu v = , cos cosu = (3) Observm c pentru normala orientat spre exterior trebuie s alegem

semnul "+" n formulele (3). ntr-adevr, dac 0,2

u

punctul corespunztor M

de pe sfer se afl pe emisfera superioar i normala exterioar va face un unghi ascuit cu axa Oz ( cos cos 0u = > ).

158

Dac ,2

u

, punctul corespunztor

M de pe sfer se afl pe emisfera inferioar i normala orientat spre exterior va face un unghi optuz cu axa Oz ( cos cos 0u = < ). Din formula de calcul (2) rezult:

Sxdydz ydzdx zdxdy

+

+ + =

( )2 3 3 2 3 3 2 3 20 0d sin cos sin sin sin cos dv R u v R u v R u u u

= + + = 3 3

02 sin 4R udu R

= = .

n cazul unei suprafee netede explicit ( ),z f x y= , ( ),x y D, avem A = p,

B = q, C = 1, unde f

px

=

i

fq

y

=

.

2 2cos

1

p

p q

=

+ +,

2 2cos

1

q

p q

=

+ +,

2 2

1cos

1 p q =

+ +.

Dac S+ este faa superioar a suprafeei, corespunztoare normalei orien- tate n sus, atunci cos > 0 i vom alege semnul "+" n faa radicalului. Pentru faa inferioar , cos < 0 i alegem semnul "" n faa radicalului. S

Exemplul 6.4.2 S se calculeze

( ) ( ) ( )S

y z dydz z x dzdx x y dxdy

+ + , unde

S este faa inferioar a conului 2 2 2 : 0x y z z h+ = . Aadar avem:

2 2:S z x y= + , ( ),x y D , unde

( ){ }2 2 2,D x y x y h= + , 2 2x

px y

=+

,

2 2

yq

x y=

+, . Deoarece cos < 0, rezult c 2 21 p q+ + = 2

1cos

2 =

,

2 2cos

2

x

x y =

+ i

2 2cos

2

y

x y =

+.

( ) ( ) ( )S

y z dydz z x dzdx x y dxdy

+ + =

159 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA

= ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1d

22 2S

x yy z z x x y

x y x y

+ + =

+ +

( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 222 2Dx y x

y x y x y x dxdyx y x y

= + + + + =

+ +

y

d 0

( ) ( )0

2 2 sin cosh

Dy x dxdy = = = .

6.5. FORMULE INTEGRALE O prim formul integral a fost deja prezentat n Capitolul 5, 5.7 i

anume formula lui Green, care stabilete legtura ntre integrala dubl pe un dome- niu i integrala curbilinie de spea a doua pe frontiera acestui domeniu. n cele ce urmeaz prezentm alte dou formule: formula Gauss-Ostrogradski, care stabilete legtura ntre integrala tripl i integrala de suprafa i formula Stokes care stabi- lete legtura ntre integrala curbilinie i integrala de suprafa.

Teorema 6.5.1 (Gauss-Ostrogradski) Fie un domeniu simplu n raport cu cele trei axe de coordonate i

fie P, Q, R trei funcii reale continue, mpreun cu derivatele lor

3T

, ,P Q Rx y z

pe

T . Presupunem de asemenea c \S T T= (frontiera lui T) este o suprafa neted pe poriuni. Atunci:

( ) ( ) ( ), , , , , ,eT S

P Q Rdxdydz P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy

x y z + + = + +

,

unde cu am notat faa exterioar a suprafeei S. eS Demonstraie. Deoarece domeniul este simplu n raport cu axa Oz,

rezult c exist un domeniu mrginit

3T 3D , care are arie i dou funcii reale,

conine pe D proprietatea c ( ) ( ), ,x y x < y , ( ),x y D astfel nct ( ) ( ) ( ) ( ){ }3, , ; , , , ,T x y z x y z x y x y D = < < .

Notm cu graficul funciei 1S ( ),z x y= , ( ),x y D , cu graficul funciei

2S

( ),z x= y , ( ),x y D i cu suprafaa cilindric lateral, cu genera- toarele paralele cu axa Oz. Observm c suprafaa

3S

1 2S S S S3= U U este frontiera

domeniului T. Ipoteza c S este neted pe poriuni nseamn c ( )1, C D .

160

Faa exterioar a suprafeei S nseamn faa corespunztoare norma- lei orientate spre exterior. Aceasta nseamn pentru suprafaa , faa inferioar, iar pentru suprafaa , faa superioar. Aadar

1S

2S

Fig. 1

( ) ( ) ( )1 2 3e eS S S S += U U . Deoarece pentru faa inferioar a

suprafeei , unghiul 1S format de normala orientat n jos, cu axa Oz, este optuz, rezult c cos 0 < , deci

2 2

1cos

1x y

= + +

.

Mai departe avem:

( )( )

( )11

2 2

1, , , ,

1SS

R x y z dxdy R x y z d

x y

=

+ +

=

( )( )2 2

2 2

1, , , 1

1D

R x y x y dxdyx y

x y

= + + + +

=

( ), , ,D

R x y x y dxdy= (1)

n mod analog, pentru faa superioar a suprafeei , 2S cos 0 > , deci

( )( )2

, ,S

R x y z dxdy+

=

( )2 2

2 2

1, , , 1

1D

R x y x y dxdyx y

x y

= + + + +

=

( ), , ,D

R x y x y dxdy= . (2)

Pentru faa exterioar a suprafeei cilindrice laterale, cos 0 = , deoarece

unghiul 2

= . Rezult c:

161 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA

( )( )

( )33

, , , , cos d 0e SSR x y z dxdy R x y z = = (3)

Aadar avem: ( ) ( )

( )( )

( )( )

( )1 2 3, , , , , , , ,

e eS S S SR x y z dxdy R x y z dxdy R x y z dxdy R x y z dxdy

+

= + + =

( ), , ,D

R x y x y dxdy= ( ), , ,D

R x y x y dxdy (4)

Pe de alt parte, din modul de calcul al integralei triple rezult:

T

Rdxdydz

z

= ( )

( ) ( )( )

( ),,

,,

, ,x y

x y

x yD D x y

Rdz dx dy R x y z dx dy

z

= =

( ) ( ), , , , , ,D D

R x y x y dx dy R x y x y dx dy = (5)

Din (4) i (5) deducem:

T

Rdxdydz

z

= ( ), ,

eSR x y z dxdy (6)

n mod analog, folosind faptul c domeniul T este simplu i n raport cu axele Oy i Ox deducem:

T

Qdxdydz

y

= ( ), ,

eSQ x y z dzdx (7)

T

Pdxdydz

x

= ( ), ,

eSP x y z dxdy (8)

n sfrit, adunnd relaiile (6), (7) i (8) obinem formula Gauss-Ostrogradski:

T

P Q Rdxdy dz

x y z + + =

( ) ( ) ( ), , , , , ,eS

P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy+ + (9)

Observaia 6.5.1 Printre exemplele de domenii simple n raport cu cele 3

axe de coordonate amintim: sfera, elipsoidul, paralelipipedul dreptunghic cu muchiile paralele cu axele etc. Fr a intra n detalii, menionm c formula Gauss-Ostrogradski rmne valabil i pentru domenii care sunt reuniuni finite de domenii simple n raport cu cele 3 axe de coordonate, dou cte dou, dintre acestea avnd n comun cel mult suprafee netede pe poriuni. Scriind formula Gauss-Ostrogradski pentru fiecare din domeniile simple , care alctuiesc dome- niul T, adunnd aceste formule i folosind proprietatea de aditivitate a integralei triple i a integralei de suprafa, se obine formula Gauss-Ostrogradski pentru domeniul T. Acest lucru se explic prin faptul c integrala de suprafa, pe o suprafa de intersecie a dou domenii simple vecine, apare n suma din membrul

iT

162

drept de dou ori, o dat pe faa superioar i o dat pe faa inferioar, deci contri- buia ei n membrul drept este nul. n felul acesta, n membrul drept rmne numai integrala pe faa exterioar a domeniului T.

Observaia 6.5.2 innd seama de legtura dintre integrala de suprafa de

spea a doua i de integrala de suprafa de spea nti, formula Gauss-Ostrogradski se mai scrie:

T

P Q Rdxdydz

x y z + + = ( )

cos cos cos dS

P Q R + + (10)

unde , , sunt unghiurile pe care le face normala exterioar la suprafaa S cu Ox, Oy i Oz.

Dac notm cu V cmpul vectorial de componente P, Q, R, atunci r

V Pi Qj Rk= + +rr r r

i divP Q R

Vx y

= + +

r

z

k

. Fie de asemenea,

cos cos cosn i j = + +rr rr

versorul normalei exterioare la suprafaa S. Cu aceste precizri, formula Gauss-Ostrogradski devine:

divT

V dxdydz =r

dS

V n r r

(11)

Sub aceast form, formula Gauss-Ostrogradski se mai numete i formula flux-divergen.

Exemplul 6.5.1 Folosind formula Gauss-Ostrogradski s se calculeze

2 2 2

eSx dydz y dzdx z dxdy+ + , unde este faa exterioar a cubului eS

( ){ }3, , ; 0 ,0 ,0T x y z x a y a z a= . Notnd cu ( ) 2, ,P x y z x= , ( ) 2, ,Q x y z y= i ( ) 2, ,R x y z z= , din formula Gauss-Ostrogradski deducem:

2 2 2

eSx dydz y dzdx z dxdy+ + = ( )2 2 2

Tx y z dxdy dz+ + =

= ( )0 0 0

2a a adx dy x y z dz+ + =

2

0 00

22

aa a zdx xz yz dy

+ + =

2

0 02

2a a adx ax ay dy

= + + =

2 2

00

22 2

aa y a

axy a y dx

+ + =

3 3 22 2 3

00

2 22 2 2

aa a a x

a x dx a a x a

= + + = + =

43 .

163 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA

Teorema 6.5.2 (Stokes) Fie S o suprafa neted explicit: ( ),z f x y= , ( ),x y D , unde D este un

domeniu mrginit a crui frontier este o curb neted. Presupunem c

( )2f C D i P, Q, R sunt trei funcii de clas pe un domeniu care include suprafaa

1C 3

S . Dac notm cu ( )( ) ( ){ }\ , , , ; ,S S x y f x y x y = = bordu- ra suprafeei S, atunci avem:

Pdx Qdy Rdz

+ + =S

R Q P R Q Pdydz dzdx dxdy

y z z x x y+

+ + .

(ntre sensul de parcurgere al curbei i faa suprafeei pe care se face integrala din membrul drept, exist urmtoarea legtur de compatibilitate*) : dac curba este parcurs n sens trigonometric (respectiv sensul acelor unui ceasornic), atunci integrala din membrul drept se face pe faa superioar (respectiv inferioar) a suprafeei S).

Demonstraie. Fie [ ]( ), ( ), ,x t y t t a b = = o reprezentare parametric a

curbei . Atunci ( ), ( )x t y t = = ,

Fig. 2

[ ]( ), ( )z f t t = , [ ],t a b este o reprezentare parametric a curbei -bordura suprafeei S.

innd seama de modul de calcul al integralei duble de spea a doua avem:

( ), ,P x y z dx

=

( )0

( ), ( ), ( ), ( ) ( )da

p t t f t t t t = = = ( ), , ,P x y f x y dx

. (12)

n continuare, din formula lui Green rezult:

( ), , ,P x y f x y dx

D

P P fdxdy

y z y = +

(13)

Dac notm f

px

=

i cu

fq

y

=

, mai departe avem:

*) n ipoteza c sistemul de coordonate este rectangular drept.

164

2 22 2

11

1

cos d

D D

S S

P Pdxdy p q dxdy

y y p qP P

dxdyy y

+

= + +

+ +

= =

=

(14)

i 2 2

2 21

1

cos d

D D

S S

P f P qdxdy p q dxdy

z y y p qP P

dzdxz z

+

= + +

+ +

= =

=

(15)

Din (12), (13) i (15) deducem:

( ), ,S S

P PP x y z dx dzdx dxdy

z y+ +

=

(16)

n mod analog se arat c:

( ), ,Q x y z dy

=S S

Q Qdxdy dydz

x z+ +

(17)

i

( ), ,R x y z dz

=S S

R Rdydz dzdx

y x+ +

(18)

Adunnd relaiile (16), (17) i (18) obinem formula lui Stokes din enunul teoremei.

Observaia 6.5.3 Formula lui Stokes rmne valabil i pentru suprafee

care sunt reuniuni finite de suprafee explicite de tipul celei din Teorema 6.4.2, dou dintre acestea avnd n comun arce de curb care sunt poriuni din bordurile orientate ale acestor suprafee. ntr-adevr, scriind formula lui Stokes pentru fiecare

din suprafeele i adunnd formulele obinute, rezult formula lui Stokes pentru

suprafaa .

iS

1

p

ii

S S=

=U

Fig. 3

Explicaia const n faptul c integrala curbilinie pe o curb de intersecie a dou suprafee vecine intervine n suma din membrul stng de dou ori, cu orientri diferite, deci contribuia sa n aceast sum este nul. n felul acesta n membrul stng apare numai integrala curbilinie pe bordura

165 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA

suprafeei S. Pe de alt parte este evident c 1 ( )

.i

p

iS S==

Observaia 6.5.4 innd seama de legtura ntre integrala de suprafa de

spea a doua i integrala de suprafa de spea nti, formula lui Stokes se mai scrie: Pdx Q dy Rdz

+ + =

cos cos cos dS

R Q P R Q Py z z x x y

= + +

.

Dac notm cu V cmpul vectorial de componente P, Q, R, atunci r

V Pi Qj Rk= + +rr r r

i rotV =r R Q P R Q P

i jy z z x x y

+ +

rk

r r.

Fie de asemenea cos cos cosn i j k = + + rr rr

versorul normalei la suprafaa

S orientat n sus i fie d r dxi dyj dzk= + +rr rr

. Cu aceste precizri, formula lui Stokes devine:

rot dS

V d r V n

= r rr r

.

Integrala din membrul stng reprezint circulaia cmpului Vr

de-a lungul curgei , iar integrala din membrul drept reprezint fluxul cmpului prin suprafaa S n sensul normalei orientate n sus.

rotVr

Exemplul 6.5.2 Folosind formula lui Stokes s se calculeze

( ) ( ) ( )ABC

z y dx x z dy y x dz

+ + , unde

A, B, C sunt punctele de coordonate ( ),0,0 ,A a

( ) ( )0, ,0 , 0,0,B b C c , . 0, 0, 0a b c> > >Planul determinat de punctele A, B i C are

ecuaia 1x y za b c

+ + = .

Observm c triunghiul ABC este bordura

suprafeei : 1x y

S z ca b

=

, ( ),x y D ,

unde D este triunghiul (plin) OAB.

Fig. 4

Notnd cu P = z y, Q = x z i R = y x, din formula lui Stokes rezult:

166

( ) ( ) ( )ABC

z y dx x z dy y x dz

+ + = ( )2 cos cos cos dS

+ + , unde , ,

sunt unghiurile pe care le face normala la suprafaa S, orientat n sus, cu axele Ox, Oy i Oz. Cum este ascuit, rezult cos > 0. Pe

de alt parte avem z c

px a

= =

,

cb

= q i

2 2 2 2 2 22 2

2 21a b b c c a

p qa b

+ ++ + = . Rezult c:

Fig. 5

2 2 2 2 2 2cos

ab

a b b c c a =

+ +,

2 2 2 2 2 2cos

bc

a b b c c a =

+ +,

2 2 2 2 2 2cos

ca

a b b c c a =

+ +. Cu aceste precizri, rezult:

( ) ( ) ( )ABC

z y dx x z dy y x dz

+ + = ( )2

Dbc ca ab dxdy bc ca ab

ab+ + = + + .

INTEGRALE DE SUPRAFA6.1. Suprafee parametrizate netede6.2. Aria unei suprafee6.3. Integrale de suprafa de prima spe6.4. Integrale de suprafa de spea a doua6.5. Formule integrale