Integrale de suprafata

of 27 /27
140 , , , , , CAPITOLUL 6 INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ 6.1. SUPRAFEŢE PARAMETRIZATE NETEDE Definiţia 6.1.1. Fie D un domeniu (mulţime deschisă şi conexă). Se numeşte pânză parametrizată de clasă , orice funcţie vectorială de clasă . 2 1 C 3 : rD 1 C Dacă notăm cu x, y şi z componentele scalare ale lui r, atunci ( ) , ruv = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , uv D x uv yuv zuv = , . Ecuaţiile ( ) , x xuv = , ( ) , y y uv = , , ( ) , z zuv = ( ) , uv D se numesc ecuaţiile parametrice ale pânzei r, sau o repre- zentare parametrică a pânzei, iar u şi v se numesc parametrii pânzei. Imaginea directă a domeniului D prin funcţia vectorială r, adică mulţimea ( ) ( ) ( ) ( ) { } , , , , , ; , S xuv yuv zuv uv D = se numeşte suportul (sau urma) pânzei r. În continuare vom folosi câteva notaţii specifice geometriei diferenţiale. Pentru funcţia folosim notaţia vectorială: 3 : rD ( ) ( ) , , ruv xuvi = + r r ( ) , yuv j r ( ) , zuvk + , ( ) , uv D . De asemenea, notăm cu u x x u = , v x x v = , u y y u = etc., cu ( ) , A Auv = ( ) ( ) , , Dyz Duv = = u u v v y z y z , ( ) , B Buv = ( ) ( ) , , Dzx Duv = = u u v v z x z x , ( ) , C Cuv = ( ) ( ) , , Dyz Duv = = u u v v x y x y . u u u u k r r xi yj z u = = + + r r r r r v v v v r i yj zk v = = + + r x r r r r r , 2 2 2 u u u 2 u E r x y = = + + r z , u v u v u v u v F r r xx yy zz = = + + r r şi 2 2 2 v v v G r x y z = = + + r 2 v . Observăm că: u r r × v r = r Ai Bj Ck + + r r r şi 2 2 2 u v r r A B C × = + + 2 r r . Dacă notăm cu ϕ unghiul dintre vectorii u r r şi v r r , atunci ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 cos u v u v u v EG F r r rr r r ϕ = = r r rr r r =

Embed Size (px)

Transcript of Integrale de suprafata

  • 140

    , , , , ,

    CAPITOLUL 6

    IINNTTEEGGRRAALLEE DDEE SSUUPPRRAAFFAA

    6.1. SUPRAFEE PARAMETRIZATE NETEDE Definiia 6.1.1. Fie D un domeniu (mulime deschis i conex). Se

    numete pnz parametrizat de clas , orice funcie vectorial de clas .

    2

    1C 3:r D 1C

    Dac notm cu x, y i z componentele scalare ale lui r, atunci ( ),r u v =( ) ( ) ( )( ) ( ),u v Dx u v y u v z u v= , . Ecuaiile ( ),x x u v= , ( ),y y u v= ,

    , ( ),z z u v= ( ),u v D se numesc ecuaiile parametrice ale pnzei r, sau o repre- zentare parametric a pnzei, iar u i v se numesc parametrii pnzei. Imaginea direct a domeniului D prin funcia vectorial r, adic mulimea

    ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , ; ,S x u v y u v z u v u v D= se numete suportul (sau urma) pnzei r. n continuare vom folosi cteva notaii specifice geometriei difereniale.

    Pentru funcia folosim notaia vectorial: 3:r D ( ) ( ), ,r u v x u v i= +

    rr( ),y u v j

    r( ),z u v k+ , ( ),u v D .

    De asemenea, notm cu ux

    xu

    =

    , v

    xx

    v

    =

    , uy

    yu

    =

    etc., cu

    ( ),A A u v= ( )( ),,

    D y zD u v

    = = u uv v

    y zy z

    , ( ),B B u v= ( )( ),,

    D z xD u v

    = = u uv v

    z xz x

    ,

    ( ),C C u v= ( )( ),,

    D y zD u v

    = = u uv v

    x yx y

    .

    u u u ukr

    r x i y j zu

    = = + +

    r rr rrv v v v

    ri y j z k

    v

    = = + +

    r xr rr rr

    ,

    2 2 2u u u

    2uE r x y= = + +

    rz , u v u v u v u vF r r x x y y z z= = + +

    r r i

    2 2 2v v vG r x y z= = + +r 2

    v . Observm c:

    urr

    vr =r

    Ai Bj Ck+ +rr r

    i 2 2 2u vr r A B C = + + 2r r

    .

    Dac notm cu unghiul dintre vectorii urr

    i vrr

    , atunci

    ( ) ( )2 2 2 222 21 cosu v u v u vEG F r r r r r r = = r r r r r r

    =

  • 141 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA

    ( )2 2 22 2sinu v u vr r r r A B C 2 2= = = + +r r r r . Aadar avem:

    2 2 2A B C+ + 2EG F= (1) Definiia 6.1.2. O pnz parametrizat de clas se numete neted dac 1C

    2 2 2A B C+ + > 0, ( ),u v D . Pentru o pnz parametrizat neted rezult c ur

    r vrr

    0, ( ),u v D , deci i sunt necoliniari. Fie ur

    rvrr

    ( ),u v D i fie ( ) ( ) ( ), , , , ,M x u v y u v z u v S , punctul corespunztor de pe suportul pnzei r. Planul determinat de vectorii i

    i care trece prin M se numete planul tangent n M la S i are ecuaia: urr

    vrr

    ( )( ) ( )( ) ( )( ), , ,A X x u v B Y y u v C Z z u v + + 0= (2) Normala n punctul M la S (adic perpendiculara pe planul tangent n punctul

    M al suportului S al pnzei) este paralel cu vectorul urr

    vrr

    . Rezult c parametrii directori ai normalei n M la S sunt A, B i C.

    Definiia 6.1.3. O pnz parametrizat se numete simpl, dac

    funcia r este injectiv, adic dac

    3:r D ( ) ( )1 1 2 2,r u v r u v , , oricare ar fi punctele

    ( )1 1,u v D , ( )2 2,u v D , ( ) ( )1 1 2 2, ,u v u v . Exemplul 6.1.1 Fie pnza parametrizat de clas , definit prin: 1C

    ( ) ( ), sin cos , sin sin , cosr u v R u v R u v R u= ( ), , 0, 0,2 2u v D =

    . Ecuaiile

    parametrice sunt:

    ( )

    sin cossin sin

    cos , 0, 0,2 2

    x R u vy R u v

    z R u u v D

    = =

    = =

    Observm c pentru orice ( ),u v D , punctul ( ) ( ) ( )( ), , , , ,x u v y u v z u v verific ecuaia

    2 2 2 2x y z R+ + = , , , . Rezult c suportul acestei pnze este poriunea sferei cu centrul n origine i de raz R, cuprins n primul

    octant. Mai departe avem:

    0x > 0y > 0z > Fig. 1

    cos cosux R u v= cos sinuy R u= sinuz R u, , v =

  • 142

    vsin sin , sin cos , 0v vx R u v y R u v z= = = 2 2sin cosA R u= v , 2 2sin sinB R u v= 2 sin cosu u=, C R 2E R= , , 0F = 2 2sinG R u=

    2 2 2A B C+ + 2 4 2sin 0EG F R u= = > , ( ),u v D . De asemenea, este evident c funcia r este injectiv pe D. Aadar, pnza parame- trizat din acest exemplu este o pnz parametrizat neted i simpl.

    Un caz particular de pnz parametrizat, deosebit de important n aplicaii, este cazul pnzei definit explicit. Mai precis, fie D un domeniu i fie

    o funcie de clas . Notm cu

    2

    :f D 1C fpx

    =

    i cu

    fq

    y

    =

    . Cu ajutorul

    funciei f putem defini urmtoarea pnz parametrizat de clas : 1C3:r D , ( ) ( )( ), , , ,r x y x y f x y= , ( ),x y D .

    Ecuaiile parametrice sunt:

    ( ) ( ), , ,

    x xy yz f x y x y D

    = = = .

    Observm c suportul acestei pnze este graficul funciei f (Fig. 2). Pe de alt parte, avem

    Fig. 2

    ( )( )0 1,

    ,D y z

    A pD x y p q

    = = = ,

    ( )( )

    ,, 1 0

    p qD z xB q

    D x y= = = i

    ( )( )

    1 0,1

    , 0 1D x y

    CD x y

    = = = .

    Deoarece 2 2 2 2 2A B C p q 1 0+ + = + + > , rezult c pnza (3) este neted. De aseme nea, este evident c este o pnz simpl.

    Planul tangent ntr-un punct oarecare ( )( ), , ,M x y f x y are ecuaia: ( )( ) ( )( ) ( ),X x p Y y q Z f x y + + = 0 , iar parametrii directori ai normalei n M sunt ( ), ,1p q .

    Definiia 6.1.5. Dou pnze parametrizate de clas , i

    se numesc echivalente cu aceeai orientare dac exist un difeo-

    morfism

    1C 3:r D 3

    1 1:r D

    1: D D cu proprietile: ( )det , 0J u v > , ( ),u v D i . 1r r= o

  • 143 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA

    Reamintim c este difeomorfism, dac este bijectiv, i

    ( )1C D

    ( )1 1 1C D Dac pe D, spunem c cele dou pnze sunt echivalente cu

    orientri opuse. Funcia se mai numete i schimbare de parametri. Vom nota cu faptul c pnzele r i sunt echivalente. Din Definiia 6.1.4 rezult:

    det 0J > 0 .

    Observm c pnzele din exemplele 6.1.1 i 6.1.2 sunt echivalente cu aceeai

    orientare. ntr-adevr, fie 1: 0, 0,2 2D D

    =

    , definit prin:

    ( ),u v ( )sin cos , sin sinR u v R u v= , ( ),u v D . Rezult c i ( )1C D

    ( ),J u v = 2cos cos sin sin

    sin cos 0cos sin sin cos

    R u v R u vR u u

    R u v R u v

    = > , ( ),u v D . Dac

    presupunem c ( ) ( ),u v u v = , v, atunci rezult c tg tgv = i mai departe c i v v= u u= . Aadar, este injectiv. Pentru a dovedi c este i surjectiv,

    fie , cu proprietatea . Deoarece 1 0u > 1 0v > 2 21 1u v R+ < 22 21 10 1

    u vR+

    < < , rezult

    c exist 0,2

    u

    astfel nct 2 21 1 sin

    u vu

    R+

    = , relaie echivalent cu

    21

    sinu

    R u +

    21 1

    sinv

    R u =

    . Atunci exist 0,2

    v

    astfel nct 1 cossinu

    vR u

    = i

    1 sinsinv

    vR u

    = . n definitiv, am artat c exist ( ),u v D astfel nct

    , , deci 1 sin cosu R u v= 1 sin sinv R u= v ( ) ( )1 1,u v u v= , . De asemenea, este uor de observat c

    ( )2 21 1 11

    1 11

    , arcsin , arctgu v v

    u vr u

    + =

    , ( )1 1 1,u v D , deci . ( )1 1 1C D Pe de alt parte avem:

    ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1, , sin cos , sin sin , cos ,r u v r u v R u v R u v R u r u = = = o v ,

  • 144

    ( ),u v D , deci . 1r r Observaia 6.1.2 Orice pnz parametrizat echivalent cu o pnz

    parametrizat simpl sau neted este la rndul su simpl sau neted. ntr-adevr, fie unde 1r r ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , ,r u v x u v y u v z u v= , , ( ),u v D ,

    ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , ( )1 1 1,u v Dr u v x u v y u v z u v= i fie 1: D D , ( ) ( ) ( )( ), , , ,u v u v u v = , ( ),u v D , schimbarea de parametri.

    Deoarece i este bijectiv, rezult c dac r1r r= o 1 este injectiv (deci simpl) atunci i r este injectiv (simpl). Pe de alt parte:

    ( ) ( ) ( )1, , , ,x u v x u v u v = , ( ) ( ) ( )1, , , ,y u v y u v u v = ,

    i

    ( ) ( ) ( )1, , ,z u v z u v u v = . innd seama de formulele de derivare a funciilor compuse de dou

    variabile rezult:

    ( )( )( )( )

    ( )( )

    ( )( )

    1 11

    , , ,, , ,

    D y z D y z D DA A

    D u v D u v D u v D u v,,

    = = =

    i analog

    ( )( )1,,

    DB B

    D u v

    = i ( )( )1,,

    DC C

    D u v

    = .

    Aadar, avem:

    ( ) ( )( )2

    2 2 2 2 2 21 1 1

    ,,

    DA B C A B C

    D u v

    + + = + +

    . Cum ( )( )

    2,0

    ,DD u v

    >

    , rezult c

    dac r (respectiv r1) este neted, atunci i r1 (respectiv r) este neted. Definiia 6.1.6 Se numete suprafa parametrizat de clas orice clas

    de echivalen de pnze parametrizate de clas .

    1C1C

    Aadar, este o suprafa parametrizat de clas , dac exist o pnz parametrizat de clas , r : D , astfel nct:

    S 1C1C 2 3

    { 31 :S r D= , pnz neted parametrizat; }1r r . Cum , rezult c r . Suprafaa se numete simpl (respectiv neted)

    dac pnza r care o determin este simpl (neted). Suportul suprafeei , este suportul S al pnzei r care o determin, acelai cu suportul oricrei alte pnze de clas . De regul, vom identifica suprafea su suportul su S.

    1r r S S

    S

    S S

  • 145 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA 6.2. ARIA UNEI SUPRAFEE

    Pentru nceput abordm problema ariei unei suprafee nedete explicit. Fie

    D un domeniu mrginit care are arie i fie 2 :f D o funcie de clas C 1

    pe D . Dac notm cu f

    px

    =

    i

    fq

    y

    =

    , rezult c p i q sunt continue pe D . Fie

    S (respectiv S ) graficul funciei (respectiv :f D :f D ). Aadar,

    ( )( ) ( ){ }, , , ; ,S x y f x y x y D= i ( )( ) ( ){ }, , , ; ,S x y f x y x y D= . Mulimea = S \ S se numete bordura suprafeei S. Dac S este frontiera

    domeniului D, atunci ( )( ) ( ){ }, , , ; ,x y f x y x y C = .

    Fie 1 2: , , , nD D D K o partiie a

    domeniului D i fie ( ,i i )iM x y un punct oarecare din iD . Notm cu punctul corespunztor de pe suprafaa S. Evident are coordonatele

    iP

    iP

    Fig. 1

    ( )( ), , ,i i i ix y f x y . Fie i planul tangent la S n

    punctul i fie iP inr

    versorul normalei la S n , orientat n sus. Dac notm cu

    iP

    i unghiul format de versorul cu

    axa Oz, atunci cos

    inr

    2 2i i

    1

    1i

    p q =

    + +,

    unde ( ),i if

    p xx i

    y

    =

    i ( ),i if

    q xy

    =

    iy .

    Fie poriunea decupat din planul tangent iT i de cilindrul cu generatoarele paralele cu Oz i curba directoare frontiera domeniului iC iD . Deoarece i este unghiul dintre planul i i planul xOy rezult c aria iD = aria ( )cosiT i sau

    aria ( ) 2 21i iT p iq= + + aria ( )iD (1)

    Prin definiie, aria S = aria S = A =0

    lim

    ( )1aria

    n

    ii

    T= . Sensul exact fiind

    urmtorul: Exist A astfel nct > 0, exist + > 0 astfel nct, 1: , , nD D K , partiie a lui D, cu < i () ( ),i i i iM x y D , avem:

  • 146

    ( )1aria

    n

    ii

    A T =

  • 147 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA

    ( ) ( ) ( )( ) ( ){ }, , , , , ; ,S x u v y u v z u v u v D= . Deoarece suprafaa este simpl, rezult c funcia r : D S este bijectiv.

    Mulimea = S \ S se numete bordura suprafeei S. Dac notm cu C frontiera domeniului D, atunci

    ( ) ( ) ( )( ) ( ){ }( ) , , , , , ; ,r C x u v y u v z u v u v C = = . Corespondena dintre C i , n general nu este bijectiv . Suprafaa S se

    numete nchis dac S = S. O suprafa parametrizat nchis nu are bordur. Exemplul 6.2.2 Fie suprafaa parametrizat

    ( ) ( ), sin cos , sin sin , cosr u v R u v R u v R u= , ( ) ( ) ( ), 0, 0,u v D 2 = .

    Fig. 2

    Ecuaiile parametrice sunt:

    ( )( )

    sin cossin sin 0,cos 0,2 .

    x R u vy R u v uz R u v

    = = =

    Observm c ( ) ( )0, 0,0,r v R= , [ ]0,2v . Aadar, imaginea oricrui punct de pe segmentul AE , prin funcia vectorial r, este punctul . n

    mod analog imaginea oricrui punct de pe segmentul

    ( )0,0,P RBF este punctul ( )0,0,P R .

    Pe de alt parte, imaginea oricrui punct M AB EF U va fi un punct de coordonate sinx R u= , y = 0, cosz R u= , [ ]0,u .

    Deoarece 2 2 2 2x y z R+ + = i rezult c imaginea frontierei dome-

    niului D prin funcia vectorial r este meridianul

    0x

    PQP de pe sfera cu centrul n origine i de raz R. Aadar, ( )S r D= este sfera cu centrul n origine i de raz R

    mai puin meridianul PQP .

  • 148

    ( )S r D= este sfera cu centrul n origine i de raz R. Bordura suprafeei S este = S \ S = PQP .

    Definiia 6.2.2 Fie D un domeniu mrginit care are arie i fie 2

    3:r D , ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , ,r u v x u v y u v z u v= , ( ),u v D . Presupun c ( )1r C D i este injectiv. Fie i 3:r D ( )S r D=( )S r D= . Prin definiie aria S = aria 2 2 2 2

    D DS EG F du dv A B C du dv= = + + (3)

    Observaia 6.2.1 Fie S o suprafa neted explicit: ( ),z f x y= ,

    ( ) 2,x y D , ( )1f C D . n acest caz , , 1A p B q C= = = i din Definiia

    6.2.2 rezult c: aria S 2 21D

    p q dx dy= + + .

    Aadar, n acest caz particular, regsim formula (2) de calcul a ariei unei suprafee. Rezult c Definiia 6.2.2 este generalizarea, pentru suprafee parame- trizate, a noiunii de arie a unei suprafee explicite.

    Observaia 6.2.2 Aria unei suprafee parametrizate nu depinde de parame-

    trizarea aleas. ntr-adevr, fie S o suprafa parametrizat simpl i neted i fie

    , 3:r D ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , ,r u v x u v y u v z u v= , ( ),u v D, o reprezentare parametri- zat a sa. Dac , 31 1:r D ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , ,r u v x u v y u v z u v= 1 1 1,u v D, ( ) este o alt reprezentare parametric echivalent a lui S, atunci exist un difeo- morfism 1: D D , ( ) ( ) ( )( ), , ,u v u v u v = , , , ( ),u v D i avem

    ( ) ( )( )2

    2 2 2 2 2 21 1 1

    ,,

    DA B C A B C

    D u v

    + + = + +

    .

    Dac n formula (3) facem schimbarea de variabile ( )1 ,u u v= (, )1 ,v u v= obinem

    aria ( )( )( )( )

    1

    12 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1

    , ,, ,D D

    D DS A B C du dv A B C du dv

    D u v D u v

    = + + = + + =

    2 2 2

    DA B C du dv= + + .

  • 149 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA

    Exemplul 6.2.3 S se calculeze aria suprafeei parametrizate

    , , : sin cosS x R u v= sin siny R u v= cosz R u= , ( ), 0, 02 2

    x v D , =

    .

    Aa cum s-a artat n exemplul 6.1.1, n acest caz 2 2 2 2 4 2sinA B C EG F R u+ + = = , deci

    Aria S 2 sinD

    R u du dv= =22 22

    0 0sin

    2R

    R dv u du

    = .

    Din punct de vedere geometric suprafaa S este poriunea din primul octant a sferei, cu centrul n origine i de raz R. Aria ntregii sfere va fi egal cu

    228 4

    2R

    R

    = .

    Exemplul 6.2.4 S se calculeze aria torului. Considerm n planul xOy un cerc de raz a cu centrul n punctul (b,0) unde

    0 < a < b. Torul este suprafaa T care se obine cnd rotim acest cerc, ca un corp rigid, n spaiu n jurul axei Oy. Dac este unghiul din figura 2 i este unghiul de rotire al cercului n jurul axei Oy, atunci ecuaiile parametrice ale torului sunt:

    ( )

    ( )( ) ( ) (

    cos cos: sin , 0,2 0,2

    cos sin

    x b aT y a D

    z b a

    )

    = + = = = +

    .

    Rezult:

    Fig. 2

    sin cosx a = cosy a = sin sinz a =

    ( )cos sinx b a = + 0y =

    ( )cos cosz b a = + 2 2 2 2E x y z a = + + = ;

    0F x x y y z z = + + = ;

    ( )22 2 2 cosG x y z b a = + + = + ( )22 2 cosEG F a b a = + .

    Aria T ( )cosD

    a b a d d = + = ( )2 2 20 0

    cos 4a d b a d a

    + = b .

    Aadar, aria torului este . n cazul particular cnd a = b reobinem aria sferei.

    24 ab

  • 150

    , , , , ,

    6.3. INTEGRALE DE SUPRAFA DE PRIMA SPE Fie S o suprafa parametrizat simpl i neted i fie

    r(u, v) = ( ) ( ) ( )( ) ( ),u v Dx u v y u v z u v , o reprezentare parametric a sa. Presupunem c D este un domeniu mrginit care are arie i c x, y, z ( )1C D . Fie de asemenea, F o funcie real definit pe ( )S r D= i fie 1 2: , , , nD D D K o partiie a lui D. Notm cu ( )iS r D= i i cu ( ), ,i i i iP x y z un punct oarecare din iS .

    Definiia 6.3.1 Se numete integrala de suprafa de prima spe a funciei

    F pe suprafaa S i se noteaz cu ( ), , dS

    F x y z urmtoarea limit

    ( )0 1

    lim arian

    ii

    iF P = S , dac aceast limit exist i e finit.

    (Sensul exact al existenei acestei limite fiind urmtorul: exist L astfel nct > 0, 0 > cu proprietatea c oricare ar fi partiia a lui D cu <

    i oricare ar fi punctele iP S i avem ( )1

    arian

    i ii

    L F P S =

  • 151 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA

    Fie 1 2: , , , nD D D K o partiie oarecare a domeniului D. O astfel de partiie determin o partiie a suprafeei S (mai exact a suprafeei lui S) i anume:

    unde 1 2, , , nS S SK ( )iS r D= i . Fie ( ), ,i i i iP x y z un punct oarecare din ( )i iS r D= i

    fie ( )1

    arian

    n ii

    iF P=

    = S . Dac inem seama de modul de calcul al ariei unei

    suprafee (Definiia 6.2.2), rezult c ( ) ( )21

    , , , d di

    n

    n i i ii D

    F x y z EG F u v u v=

    = .

    Pe de alt parte, din teorema de medie a integralei duble, rezult c exist ( ),i i iD astfel nct

    ( ) ( ) (2 2, d d , ariai

    i i iD

    )EG F u v u v EG F D = .

    Fie, de asemenea ( ),i i iD cu proprietatea c ( ),i i ix x = ( ),i i iy y =, i ( ),i iz z i = . Cu aceste precizri rezult c:

    ( ) ( ) ( ) ( ) (21

    , , , , , , arian

    n i i i i i i i ii

    )iF x y z EG F =

    = D .

    Dac notm cu ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2, , , , , ,G u v F x u v y u v z u v EG F u v= , , ( ),u v D , atunci suma Riemann corespunztoare partiiei , funciei G i punctelor intermediare ( ),i i iD este

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (21

    , , , , , , , , arian

    i i i i i i i i ii

    G F x y z EG F =

    = )D .

    Deoarece G este continu pe D , deci integrabil pe D , rezult c exist ( ) ( )

    0lim ; , , d d

    DG G u v = u v (2)

    Cum F este continu pe ( )S r D= i S este o mulime compact (fiind imaginea mulimii compacte D prin funcia continu r), rezult c F este mrginit pe S . Fie M > 0 astfel nct ( ), ,F x y z M< , ( ), ,x y z S .

    n continuare avem:

    ( ) ( ) ( ) ( )2 21

    ; , , , arian

    n i ii

    G M EG F EG F =

    i i iD .

    Pe de alt parte, funcia 2EG F fiind continu pe mulimea compact D , este uniform continu, deci > 0, 0 > cu proprietatea c oricare ar fi

  • 152

    )punctele ( ) i ( din ,u v ,u v D astfel nct u v < , u v < , rezult c

    ( ) ( ) ( )2 2, ,

    ariaEG F u v EG F u v

    M D

    0. Suprafaa S reprezint emisfera superioar a sferei cu centrul n origine i de raz a. O reprezentare parametric a acestei suprafee este: sin cosx a u v= ,

    , , sin siny a u v= cosz a u= ( ) (, 0, 0,2u v D )2 =

    (Vezi Exemplul 6.1.1).

    innd seama c 2 4 2sinEG F a u = , din Teorema 6.3.1 rezult: ( )d

    Sx y z + + = ( ) 2sin cos sin sin cos sin d d

    Da u v a u v a u a u u v+ + =

    ( )2 23 2 20 0d sin cos sin sin sin cos da u u v u v u u v

    = + + = 2 2 223 2 2

    0 0 0 0sin sin sin cos sin cos da u v u v v u u

    = + u =

    223 3

    0

    sin2

    2u

    a a

    = = .

    Corolarul 6.3.1 Fie ( ): ,S z f x y= , ( ),x y D o suprafa neted explicit,

    unde D este un domeniu mrginit care are arie, iar ( )1f C D . Dac :F S este continu, atunci:

    ( ), , dS

    F x y z = ( ) ( )2 2, , , 1 , d dD

    F x y f x y p q x y x y+ + (5)

    Afirmaia rezult din Teorema 6.3.1 i din observaia c o reprezentare parametric a suprafeei S este: x = x, y = y, z = ( ),f x y , ( ),x y D .

  • 153 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA

    Exemplul 6.3.2 S se calculeze ( )dS

    xy yz zx + + , unde S este poriunea

    din conul 2z x y= + 2 , decupat de cilindrul 2 2 2x y y+ = . Observm c proiecia supra-

    feei S n planul xOy este domeniul 2 2: 2D x y y 0+ . Aadar,

    2 2:S z x y= + , ( ),x y D .

    n continuare avem z

    px

    = =

    2 2

    x

    x y=

    +,

    2

    z yq

    y 2x y

    = =

    + i

    2 21 p q 2+ + = . Din corolarul 6.3.1

    rezult c: I = ( )dS

    xy yz zx + + ( ) 2 2 2 d dD

    xy y x x y x y = + + + .

    Fig. 1 Fig. 2

    Trecnd la coordonate polare: cosx = , siny = , [ ]0, , 0 2sin , obinem:

    2I = ( )2sin 2 2 20 0d sin cos sin cos d

    + + =

    ( )2sin4

    00

    2 sin cos sin cos d4

    = + + =

    ( )5 5 404 2 sin cos sin sin cos d

    = + + = 504 2 sin d

    =

    ( )22064 2

    4 2 1 cos sin d15

    = = .

    Observaia 6.3.2 Dac suprafaa S este neted pe poriuni, adic este o

    reuniune finit de suprafee simple netede, 1

    ii

    S

    ==US cu proprietile: este

    simpl i neted

    iS

    1,i = , dou cte dou nu au puncte interioare comune ( dac i j) i pentru orice i i j i jS S = I ij i jS S = I este o curb neted pe poriuni (n cazul cnd este nevid), atunci

    aria i 1aria i

    iS S

    == ( ) ( )

    1, , d , , d

    iS SF x y z F x y z

    == .

  • 154

    6.4. INTEGRALE DE SUPRAFA DE SPEA A DOUA Pentru a defini integrala de suprafa de spea a doua, trebuie mai nti s

    definim orientarea unei suprafee, problem asemntoare cu orientarea unei curbe. Fie S o suprafa parametrizat neted i fie ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , ,r u v x u v y u v z u v= ,

    )

    D o reprezentare parametric a sa. n scriere vectorial, ( ,u v( ) ( ) ( ) ( ), , , ,r u v x u v i y u v j z u v k= + +

    rr, ( ),u v D.

    Deoarece suprafaa S este neted, rezult c 0u vr r r

    , pentru orice D. n

    fiecare punct M S, de coordonate

    ( ,u v)( ) ( ) ( ), , , , ,M x u v y u v z u v exist doi versori

    normali la suprafaa S (ortogonali pe planul tangent n punctul M la suprafaa S) i

    anume unde ( )n Mr

    ( )n M =r u v

    u v

    r rr r

    .

    Definiia 6.4.1 Suprafaa S se numete orientabil (sau cu dou fee) dac

    aplicaia M 3( ) :n M S r

    este continu. Este evident c dac aplicaia 3( ) :M n M S

    r este continu, atunci i

    aplicaia este continu. Dac o suprafa este orientabil, atunci orientarea sa (sau desemnarea unei fee a acestei suprafee) revine la alege- rea uneia din cele dou aplicaii continue

    3( ) :M n M S r

    ( )M n M r

    . Aadar, avem dou orientri posibile ale suprafeei S (sau dou fee ale suprafeei S) i anume:

    ( ),S S n+ =r

    care corespunde aplicaiei continue 3( ) :M n M S r

    i ( ),S S n =r

    care corespunde aplicaiei continue 3( ) :M n M S r

    . Desigur, notaia pentru faa

    S+( ),S nr este arbitrar. Putem foarte bine s notm cu ( ),S S n+ =

    r.

    Important este faptul c, odat ales un anumit sens al normalei pentru a desemna o fa a suprafeei, cealalt fa va corespunde sensului opus al normalei. O suprafa neorientabil se mai numete i suprafa cu o singur fa.

    Observaia 6.4.1 Proprietatea aplicaiei 3( ) :M n M S

    r de a fi

    continu, n cazul unei suprafee orientabile, este o proprietate global i se refer la ntreaga suprafa S. Aceasta presupune de pild urmtoarea proprietate: fie

    0M S oarecare fixat i fie C o curb nchis pe suprafaa S care trece prin 0M i care nu ntlnete bordura suprafeei S. S presupunem c am ales un sens pe normala n 0M la S i anume sensul versorului ( )0n M

    r. Deplasnd versorul

    pe curba C, plecnd din ( )n Mr

    0M , revenim n punctul 0M cu aceeai orientare a normalei, adic

  • 155 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA ( )

    00lim ( )

    M MM C

    n M n M

    =r r .

    Exemple. 1. Orice suprafa neted explicit, ( ),z f x y= , ( ),x y D are dou fee i

    anume: faa superioar, care corespunde normalei orientat n sus (care face un unghi ascuit cu direcia pozitiv a axei Oz) i faa inferioar care corespunde normalei orientat n jos.

    Fig. 1

    2. Sfera 2 2 2 2x y z R+ + = are dou fee i anume: faa exterioar care cores-

    punde normalei orientat spre exterior i faa interioar care corespunde normalei orientat spre interior.

    ntr-adevr, pentru orice punct ( ), ,M x y z de pe sfer, versorul normalei

    exterioare n punctul M al sferei este: 1

    ( )n M OMR

    =uuuurr

    .

    Este uor de artat c aplicaia 3( ) :M n M S r

    este continu pe

    ( ){ }2 2 2 2, ,S x y z x y z R= + + = . 3. Fie S o suprafa parametrizat neted i fie ( ) ( ) ( ), , ,r u v x u v i y u v j= + +

    rr

    ( ),z u v k+ , ( D o reprezentare parametric a sa. ),u vPresupunem n plus c r : D S este homeomorfism, adic r este bijectiv

    i bicontinu (r i sunt continue). Atunci S = r(D) este o suprafa orientabil.

    ntr-adevr, aplicaia , unde

    1r

    3( ) :M n M S r

    ( )n M =r u v

    u v

    r rr r

    este continu pe

    S, pentru c este compunerea funciilor continue 1r : S D i

    ( ,u v) u vu v

    r rr r

    : D . 3

  • 156

    4. Un exemplu clasic de suprafa cu o singur fa (neorientabil) este aa-numita banda lui Mbius. Un model al acestei suprafee se obine dac rsucim o bucat de hrtie dreptunghiular ABCD astfel nct punctul A s coincid cu C, iar punctul B cu D.

    Fig. 2 Este uor de observat c dac deplasm versorul normalei la suprafa

    plecnd din E, pe curba nchis de pe suprafa corespunztoare liniei mediane EF, cnd revenim n E, orientarea versorului normalei va fi opus orientrii iniiale a acestuia. Aadar, nu este asigurat continuitatea global a aplicaiei

    3( ) :M n M S r

    , deci suprafaa nu este orientabil. Definiia 6.4.2 Fie S o suprafa parametrizat simpl, neted, orientabil

    i fie ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,r u v x u v i y u v j z u v k= + +rr

    , ( ),u v D o reprezentare parametric a sa. Presupunem c D este un domeniu mrginit care are arie i c

    ( )1, ,x y z C D . Fie de asemenea 3:v r o funcie vectorial continu definit prin ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k= + +

    rr rr, ( ), ,x y z , unde

    este un domeniu ce conine suprafaa S. Dac notm cu

    3

    ( ),S S n+ =r

    unde

    nr

    = u vu v

    r rr r

    , atunci integrala de suprafa de spea a doua a funciei pe faa S

    a suprafeei S, se definete astfel:

    vr

    +

    ( ) ( ) ( )

    d

    , , cos , , cos , , cos dS S

    S

    Pdydz Qdzdx Rdxdy v n

    P x y z Q x y z R x y z

    +

    + + = =

    = + +

    r r

    (1)

    unde , , sunt unghiurile pe care le face versorul nr

    al normalei la suprafa cu

    direciile pozitive ale axelor de coordonate. Aadar: ( ) ( ), , cos , ,n x y z x y z i= +rr

    ( ) ( )cos , , cos , ,x y z j x y z k + +rr

    , ( ), ,x y z S. Dac ( ),S S n = r

    este cealalt fa a suprafeei S, atunci: ( )d

    S S SPdydz Qdzdx Rdxdy v n Pdydz Qdzdx Rdxdy

    +

    + + = = + + r r

    .

  • 157 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA

    Observaia 6.4.2 Din punct de vedere fizic, integrala de suprafa de spea a doua reprezint fluxul cmpului de vectori v

    r prin faa S+ (respectiv ) a supra-

    feei S. Mai precis, s presupunem c S

    vr

    reprezint cmpul vitezelor particulelor unui fluid n curgere staionar, adic oricare ar fi M , v

    r(M) coincide cu viteza

    particulei de fluid care trece prin M, vitez care depinde de punctul M, dar nu depinde de timp. Atunci d

    Sv n

    +

    r r

    reprezint volumul fluidului care trece n unita-

    tea de timp prin suprafaa S n direcia versorului nr

    , ce definete faa a supra-

    feei S. Dac notm cu

    S+( )( )

    ,,

    D y zA

    D u v= , ( )( )

    ,,

    D z xB

    D u v= i ( )( )

    ,,

    D x yC

    D u v= , atunci A, B, C

    sunt parametrii directori ai normalei la suprafa i 2 2 2

    cosA

    A B C =

    + +,

    2 2 2cos

    B

    A B C =

    + +,

    2 2 2cos

    C

    A B C =

    + +. Alegerea semnului "+" sau ""

    n faa radientului se face n funcie de orientarea normalei la suprafa. innd seama de modul de calcul al integralei de suprafa de prima spe

    rezult:

    ( ) ( ) ( ) ( ){

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

    , , , , , ,

    , , , , , , , , , , , , d d

    S DPdy dz Qdz dx Rdx dy P x u v y u v z u v A u v

    Q x u v y u v z u v B u v R x u v y u v z u v C u v u v+

    + + = +

    + +

    (2)

    Exemplul 6.4.1 S se calculeze

    Sxdydz ydzdx zdxdy

    +

    + + , unde este

    faa exterioar a sferei

    S+

    2 2 2 2x y z R+ + + . Ecuaiile parametrice ale sferei sunt:

    sin cossin sincos

    x R u vy R u vz R u

    = = =

    [ ] [ ]0, , 0,2 .u v

    2 2sin cosA R u v= , 2 2sin sinB R u v= 2 2sin cosC R u u=, i 2 2 2 4 2sinA B C R u+ + =

    cos sin cosu v = , cos sin sinu v = , cos cosu = (3) Observm c pentru normala orientat spre exterior trebuie s alegem

    semnul "+" n formulele (3). ntr-adevr, dac 0,2

    u

    punctul corespunztor M

    de pe sfer se afl pe emisfera superioar i normala exterioar va face un unghi ascuit cu axa Oz ( cos cos 0u = > ).

  • 158

    Dac ,2

    u

    , punctul corespunztor

    M de pe sfer se afl pe emisfera inferioar i normala orientat spre exterior va face un unghi optuz cu axa Oz ( cos cos 0u = < ). Din formula de calcul (2) rezult:

    Sxdydz ydzdx zdxdy

    +

    + + =

    ( )2 3 3 2 3 3 2 3 20 0d sin cos sin sin sin cos dv R u v R u v R u u u

    = + + = 3 3

    02 sin 4R udu R

    = = .

    n cazul unei suprafee netede explicit ( ),z f x y= , ( ),x y D, avem A = p,

    B = q, C = 1, unde f

    px

    =

    i

    fq

    y

    =

    .

    2 2cos

    1

    p

    p q

    =

    + +,

    2 2cos

    1

    q

    p q

    =

    + +,

    2 2

    1cos

    1 p q =

    + +.

    Dac S+ este faa superioar a suprafeei, corespunztoare normalei orien- tate n sus, atunci cos > 0 i vom alege semnul "+" n faa radicalului. Pentru faa inferioar , cos < 0 i alegem semnul "" n faa radicalului. S

    Exemplul 6.4.2 S se calculeze

    ( ) ( ) ( )S

    y z dydz z x dzdx x y dxdy

    + + , unde

    S este faa inferioar a conului 2 2 2 : 0x y z z h+ = . Aadar avem:

    2 2:S z x y= + , ( ),x y D , unde

    ( ){ }2 2 2,D x y x y h= + , 2 2x

    px y

    =+

    ,

    2 2

    yq

    x y=

    +, . Deoarece cos < 0, rezult c 2 21 p q+ + = 2

    1cos

    2 =

    ,

    2 2cos

    2

    x

    x y =

    + i

    2 2cos

    2

    y

    x y =

    +.

    ( ) ( ) ( )S

    y z dydz z x dzdx x y dxdy

    + + =

  • 159 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA

    = ( ) ( ) ( )2 2 2 2

    1d

    22 2S

    x yy z z x x y

    x y x y

    + + =

    + +

    ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 222 2Dx y x

    y x y x y x dxdyx y x y

    = + + + + =

    + +

    y

    d 0

    ( ) ( )0

    2 2 sin cosh

    Dy x dxdy = = = .

    6.5. FORMULE INTEGRALE O prim formul integral a fost deja prezentat n Capitolul 5, 5.7 i

    anume formula lui Green, care stabilete legtura ntre integrala dubl pe un dome- niu i integrala curbilinie de spea a doua pe frontiera acestui domeniu. n cele ce urmeaz prezentm alte dou formule: formula Gauss-Ostrogradski, care stabilete legtura ntre integrala tripl i integrala de suprafa i formula Stokes care stabi- lete legtura ntre integrala curbilinie i integrala de suprafa.

    Teorema 6.5.1 (Gauss-Ostrogradski) Fie un domeniu simplu n raport cu cele trei axe de coordonate i

    fie P, Q, R trei funcii reale continue, mpreun cu derivatele lor

    3T

    , ,P Q Rx y z

    pe

    T . Presupunem de asemenea c \S T T= (frontiera lui T) este o suprafa neted pe poriuni. Atunci:

    ( ) ( ) ( ), , , , , ,eT S

    P Q Rdxdydz P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy

    x y z + + = + +

    ,

    unde cu am notat faa exterioar a suprafeei S. eS Demonstraie. Deoarece domeniul este simplu n raport cu axa Oz,

    rezult c exist un domeniu mrginit

    3T 3D , care are arie i dou funcii reale,

    conine pe D proprietatea c ( ) ( ), ,x y x < y , ( ),x y D astfel nct ( ) ( ) ( ) ( ){ }3, , ; , , , ,T x y z x y z x y x y D = < < .

    Notm cu graficul funciei 1S ( ),z x y= , ( ),x y D , cu graficul funciei

    2S

    ( ),z x= y , ( ),x y D i cu suprafaa cilindric lateral, cu genera- toarele paralele cu axa Oz. Observm c suprafaa

    3S

    1 2S S S S3= U U este frontiera

    domeniului T. Ipoteza c S este neted pe poriuni nseamn c ( )1, C D .

  • 160

    Faa exterioar a suprafeei S nseamn faa corespunztoare norma- lei orientate spre exterior. Aceasta nseamn pentru suprafaa , faa inferioar, iar pentru suprafaa , faa superioar. Aadar

    1S

    2S

    Fig. 1

    ( ) ( ) ( )1 2 3e eS S S S += U U . Deoarece pentru faa inferioar a

    suprafeei , unghiul 1S format de normala orientat n jos, cu axa Oz, este optuz, rezult c cos 0 < , deci

    2 2

    1cos

    1x y

    = + +

    .

    Mai departe avem:

    ( )( )

    ( )11

    2 2

    1, , , ,

    1SS

    R x y z dxdy R x y z d

    x y

    =

    + +

    =

    ( )( )2 2

    2 2

    1, , , 1

    1D

    R x y x y dxdyx y

    x y

    = + + + +

    =

    ( ), , ,D

    R x y x y dxdy= (1)

    n mod analog, pentru faa superioar a suprafeei , 2S cos 0 > , deci

    ( )( )2

    , ,S

    R x y z dxdy+

    =

    ( )2 2

    2 2

    1, , , 1

    1D

    R x y x y dxdyx y

    x y

    = + + + +

    =

    ( ), , ,D

    R x y x y dxdy= . (2)

    Pentru faa exterioar a suprafeei cilindrice laterale, cos 0 = , deoarece

    unghiul 2

    = . Rezult c:

  • 161 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA

    ( )( )

    ( )33

    , , , , cos d 0e SSR x y z dxdy R x y z = = (3)

    Aadar avem: ( ) ( )

    ( )( )

    ( )( )

    ( )1 2 3, , , , , , , ,

    e eS S S SR x y z dxdy R x y z dxdy R x y z dxdy R x y z dxdy

    +

    = + + =

    ( ), , ,D

    R x y x y dxdy= ( ), , ,D

    R x y x y dxdy (4)

    Pe de alt parte, din modul de calcul al integralei triple rezult:

    T

    Rdxdydz

    z

    = ( )

    ( ) ( )( )

    ( ),,

    ,,

    , ,x y

    x y

    x yD D x y

    Rdz dx dy R x y z dx dy

    z

    = =

    ( ) ( ), , , , , ,D D

    R x y x y dx dy R x y x y dx dy = (5)

    Din (4) i (5) deducem:

    T

    Rdxdydz

    z

    = ( ), ,

    eSR x y z dxdy (6)

    n mod analog, folosind faptul c domeniul T este simplu i n raport cu axele Oy i Ox deducem:

    T

    Qdxdydz

    y

    = ( ), ,

    eSQ x y z dzdx (7)

    T

    Pdxdydz

    x

    = ( ), ,

    eSP x y z dxdy (8)

    n sfrit, adunnd relaiile (6), (7) i (8) obinem formula Gauss-Ostrogradski:

    T

    P Q Rdxdy dz

    x y z + + =

    ( ) ( ) ( ), , , , , ,eS

    P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy+ + (9)

    Observaia 6.5.1 Printre exemplele de domenii simple n raport cu cele 3

    axe de coordonate amintim: sfera, elipsoidul, paralelipipedul dreptunghic cu muchiile paralele cu axele etc. Fr a intra n detalii, menionm c formula Gauss-Ostrogradski rmne valabil i pentru domenii care sunt reuniuni finite de domenii simple n raport cu cele 3 axe de coordonate, dou cte dou, dintre acestea avnd n comun cel mult suprafee netede pe poriuni. Scriind formula Gauss-Ostrogradski pentru fiecare din domeniile simple , care alctuiesc dome- niul T, adunnd aceste formule i folosind proprietatea de aditivitate a integralei triple i a integralei de suprafa, se obine formula Gauss-Ostrogradski pentru domeniul T. Acest lucru se explic prin faptul c integrala de suprafa, pe o suprafa de intersecie a dou domenii simple vecine, apare n suma din membrul

    iT

  • 162

    drept de dou ori, o dat pe faa superioar i o dat pe faa inferioar, deci contri- buia ei n membrul drept este nul. n felul acesta, n membrul drept rmne numai integrala pe faa exterioar a domeniului T.

    Observaia 6.5.2 innd seama de legtura dintre integrala de suprafa de

    spea a doua i de integrala de suprafa de spea nti, formula Gauss-Ostrogradski se mai scrie:

    T

    P Q Rdxdydz

    x y z + + = ( )

    cos cos cos dS

    P Q R + + (10)

    unde , , sunt unghiurile pe care le face normala exterioar la suprafaa S cu Ox, Oy i Oz.

    Dac notm cu V cmpul vectorial de componente P, Q, R, atunci r

    V Pi Qj Rk= + +rr r r

    i divP Q R

    Vx y

    = + +

    r

    z

    k

    . Fie de asemenea,

    cos cos cosn i j = + +rr rr

    versorul normalei exterioare la suprafaa S. Cu aceste precizri, formula Gauss-Ostrogradski devine:

    divT

    V dxdydz =r

    dS

    V n r r

    (11)

    Sub aceast form, formula Gauss-Ostrogradski se mai numete i formula flux-divergen.

    Exemplul 6.5.1 Folosind formula Gauss-Ostrogradski s se calculeze

    2 2 2

    eSx dydz y dzdx z dxdy+ + , unde este faa exterioar a cubului eS

    ( ){ }3, , ; 0 ,0 ,0T x y z x a y a z a= . Notnd cu ( ) 2, ,P x y z x= , ( ) 2, ,Q x y z y= i ( ) 2, ,R x y z z= , din formula Gauss-Ostrogradski deducem:

    2 2 2

    eSx dydz y dzdx z dxdy+ + = ( )2 2 2

    Tx y z dxdy dz+ + =

    = ( )0 0 0

    2a a adx dy x y z dz+ + =

    2

    0 00

    22

    aa a zdx xz yz dy

    + + =

    2

    0 02

    2a a adx ax ay dy

    = + + =

    2 2

    00

    22 2

    aa y a

    axy a y dx

    + + =

    3 3 22 2 3

    00

    2 22 2 2

    aa a a x

    a x dx a a x a

    = + + = + =

    43 .

  • 163 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA

    Teorema 6.5.2 (Stokes) Fie S o suprafa neted explicit: ( ),z f x y= , ( ),x y D , unde D este un

    domeniu mrginit a crui frontier este o curb neted. Presupunem c

    ( )2f C D i P, Q, R sunt trei funcii de clas pe un domeniu care include suprafaa

    1C 3

    S . Dac notm cu ( )( ) ( ){ }\ , , , ; ,S S x y f x y x y = = bordu- ra suprafeei S, atunci avem:

    Pdx Qdy Rdz

    + + =S

    R Q P R Q Pdydz dzdx dxdy

    y z z x x y+

    + + .

    (ntre sensul de parcurgere al curbei i faa suprafeei pe care se face integrala din membrul drept, exist urmtoarea legtur de compatibilitate*) : dac curba este parcurs n sens trigonometric (respectiv sensul acelor unui ceasornic), atunci integrala din membrul drept se face pe faa superioar (respectiv inferioar) a suprafeei S).

    Demonstraie. Fie [ ]( ), ( ), ,x t y t t a b = = o reprezentare parametric a

    curbei . Atunci ( ), ( )x t y t = = ,

    Fig. 2

    [ ]( ), ( )z f t t = , [ ],t a b este o reprezentare parametric a curbei -bordura suprafeei S.

    innd seama de modul de calcul al integralei duble de spea a doua avem:

    ( ), ,P x y z dx

    =

    ( )0

    ( ), ( ), ( ), ( ) ( )da

    p t t f t t t t = = = ( ), , ,P x y f x y dx

    . (12)

    n continuare, din formula lui Green rezult:

    ( ), , ,P x y f x y dx

    D

    P P fdxdy

    y z y = +

    (13)

    Dac notm f

    px

    =

    i cu

    fq

    y

    =

    , mai departe avem:

    *) n ipoteza c sistemul de coordonate este rectangular drept.

  • 164

    2 22 2

    11

    1

    cos d

    D D

    S S

    P Pdxdy p q dxdy

    y y p qP P

    dxdyy y

    +

    = + +

    + +

    = =

    =

    (14)

    i 2 2

    2 21

    1

    cos d

    D D

    S S

    P f P qdxdy p q dxdy

    z y y p qP P

    dzdxz z

    +

    = + +

    + +

    = =

    =

    (15)

    Din (12), (13) i (15) deducem:

    ( ), ,S S

    P PP x y z dx dzdx dxdy

    z y+ +

    =

    (16)

    n mod analog se arat c:

    ( ), ,Q x y z dy

    =S S

    Q Qdxdy dydz

    x z+ +

    (17)

    i

    ( ), ,R x y z dz

    =S S

    R Rdydz dzdx

    y x+ +

    (18)

    Adunnd relaiile (16), (17) i (18) obinem formula lui Stokes din enunul teoremei.

    Observaia 6.5.3 Formula lui Stokes rmne valabil i pentru suprafee

    care sunt reuniuni finite de suprafee explicite de tipul celei din Teorema 6.4.2, dou dintre acestea avnd n comun arce de curb care sunt poriuni din bordurile orientate ale acestor suprafee. ntr-adevr, scriind formula lui Stokes pentru fiecare

    din suprafeele i adunnd formulele obinute, rezult formula lui Stokes pentru

    suprafaa .

    iS

    1

    p

    ii

    S S=

    =U

    Fig. 3

    Explicaia const n faptul c integrala curbilinie pe o curb de intersecie a dou suprafee vecine intervine n suma din membrul stng de dou ori, cu orientri diferite, deci contribuia sa n aceast sum este nul. n felul acesta n membrul stng apare numai integrala curbilinie pe bordura

  • 165 CAP. 6 INTEGRALE DE SUPRAFA

    suprafeei S. Pe de alt parte este evident c 1 ( )

    .i

    p

    iS S==

    Observaia 6.5.4 innd seama de legtura ntre integrala de suprafa de

    spea a doua i integrala de suprafa de spea nti, formula lui Stokes se mai scrie: Pdx Q dy Rdz

    + + =

    cos cos cos dS

    R Q P R Q Py z z x x y

    = + +

    .

    Dac notm cu V cmpul vectorial de componente P, Q, R, atunci r

    V Pi Qj Rk= + +rr r r

    i rotV =r R Q P R Q P

    i jy z z x x y

    + +

    rk

    r r.

    Fie de asemenea cos cos cosn i j k = + + rr rr

    versorul normalei la suprafaa

    S orientat n sus i fie d r dxi dyj dzk= + +rr rr

    . Cu aceste precizri, formula lui Stokes devine:

    rot dS

    V d r V n

    = r rr r

    .

    Integrala din membrul stng reprezint circulaia cmpului Vr

    de-a lungul curgei , iar integrala din membrul drept reprezint fluxul cmpului prin suprafaa S n sensul normalei orientate n sus.

    rotVr

    Exemplul 6.5.2 Folosind formula lui Stokes s se calculeze

    ( ) ( ) ( )ABC

    z y dx x z dy y x dz

    + + , unde

    A, B, C sunt punctele de coordonate ( ),0,0 ,A a

    ( ) ( )0, ,0 , 0,0,B b C c , . 0, 0, 0a b c> > >Planul determinat de punctele A, B i C are

    ecuaia 1x y za b c

    + + = .

    Observm c triunghiul ABC este bordura

    suprafeei : 1x y

    S z ca b

    =

    , ( ),x y D ,

    unde D este triunghiul (plin) OAB.

    Fig. 4

    Notnd cu P = z y, Q = x z i R = y x, din formula lui Stokes rezult:

  • 166

    ( ) ( ) ( )ABC

    z y dx x z dy y x dz

    + + = ( )2 cos cos cos dS

    + + , unde , ,

    sunt unghiurile pe care le face normala la suprafaa S, orientat n sus, cu axele Ox, Oy i Oz. Cum este ascuit, rezult cos > 0. Pe

    de alt parte avem z c

    px a

    = =

    ,

    cb

    = q i

    2 2 2 2 2 22 2

    2 21a b b c c a

    p qa b

    + ++ + = . Rezult c:

    Fig. 5

    2 2 2 2 2 2cos

    ab

    a b b c c a =

    + +,

    2 2 2 2 2 2cos

    bc

    a b b c c a =

    + +,

    2 2 2 2 2 2cos

    ca

    a b b c c a =

    + +. Cu aceste precizri, rezult:

    ( ) ( ) ( )ABC

    z y dx x z dy y x dz

    + + = ( )2

    Dbc ca ab dxdy bc ca ab

    ab+ + = + + .

    INTEGRALE DE SUPRAFA6.1. Suprafee parametrizate netede6.2. Aria unei suprafee6.3. Integrale de suprafa de prima spe6.4. Integrale de suprafa de spea a doua6.5. Formule integrale