Integrale cu parametru - cismasemanuel.files.wordpress.com · Integrale cu parametru Am invatat sa...

14
Matematici speciale Integrale cu parametru Februarie 2018

Transcript of Integrale cu parametru - cismasemanuel.files.wordpress.com · Integrale cu parametru Am invatat sa...

Page 1: Integrale cu parametru - cismasemanuel.files.wordpress.com · Integrale cu parametru Am invatat sa rezolv integrale si sa aplic diverse metode de integrare dintr-o carte pe care profesorul

Matematici speciale

Integrale cu parametru

Februarie 2018

Page 2: Integrale cu parametru - cismasemanuel.files.wordpress.com · Integrale cu parametru Am invatat sa rezolv integrale si sa aplic diverse metode de integrare dintr-o carte pe care profesorul

ii

Page 3: Integrale cu parametru - cismasemanuel.files.wordpress.com · Integrale cu parametru Am invatat sa rezolv integrale si sa aplic diverse metode de integrare dintr-o carte pe care profesorul

“De ordine au nevoie doar prostii, geniul stapaneste haosul.”

Albert Einstein

2Integrale cu parametru

Am invatat sa rezolv integrale sisa aplic diverse metode de integraredintr-o carte pe care profesorul meude fizica din liceu, domnul Bader,mi-a dat-o. Intr-o zi mi-a spus caar trebui a raman dupa ora sa vor-beasca cu mine. ”Feynmann”, aspus el, ” vorbesti prea mult si faciprea multa galagie. Stiu de ce. Teplictisesti. Iti voi da o carte. Cand

vom avea ore vei sta in coltul clasei si vei studia aceasta carte iar candvei sti tot ce e in cartea aceasta poti incepe sa vorbesti din nou.” Si astfelam ajuns sa nu mai fiu atent la orele de fizica, indiferent daca se discutadespre legea lui Pascal sau orice altceva. Stateam in spate citind aceastacarte: Analiza superioara de Woods.

Aceasta carte mi-a adus la cunostinta cum se deriveaza un parametruaflat in interiorul semnului integral. Se pare ca la universitate nu se punemare pret pe acest fapt. Dar eu am inteles cum trebuie folosita aceastametoda si foloseam acest intrument intr-una. Deoarece am parcurs carteasingur, autodidact fiind, aveam metode ciudate de a rezolva integralele.

Rezultatul a fost urmatorul: cand oamenii de la MIT sau Princetonaveau dificultati in a rezolva o anumita integrala definita, care nu puteafi abordata cu metodele standard invatate in scoala, atunci veneam eu siincercam sa diferentiez sub semnul integral si functiona des. In acest felam ajuns renumit, ca pot rezolva integrale, si asta doar pentru ca aveamalte tehnici decat ceilalti iar acestia imi aduceau la cunostinta problemadupa ce probasera toate metodele cunoscute de ei.

Richard Feynman, fizician

Va tineti de glume, domnule Feynman!

1

Page 4: Integrale cu parametru - cismasemanuel.files.wordpress.com · Integrale cu parametru Am invatat sa rezolv integrale si sa aplic diverse metode de integrare dintr-o carte pe care profesorul

In cele ce urmeaza vom prezenta asa-zisa ”metoda Feynman” de calcul alintegralelor Riemann sau generalizate.

Definitie: Integrala cu parametruFie 𝑓 : [𝑎, 𝑏]× [𝑐, 𝑑] → R, astfel ca 𝑓 pentru 𝜉 ∈ [𝑐, 𝑑] fixat, ca functie in 𝑥, sa fieRiemann integrabila pe [𝑎, 𝑏]. Numim functia:

𝐹 (𝜉) =

∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑥, 𝜉)𝑑𝑥

integrala Riemann cu parametru.

Definitie: Integrala generalizata cu parametruFie 𝑓 : [𝑎, 𝑏) × [𝑐, 𝑑) → R, 𝑏, 𝑑 ∈ R, astfel ca 𝑓 pentru 𝜉 ∈ [𝑐, 𝑑) fixat, ca functiein 𝑥, sa fie integrabila generalizat pe [𝑎, 𝑏). Numim functia:

𝐹 (𝜉) =

∫ 𝑏−

𝑎

𝑓(𝑥, 𝜉)𝑑𝑥

integrala generalizata cu parametru.

Integrala:

𝐹 (𝜉) =

∫ ∞

0

sin𝑥

𝑥𝑒−𝜉𝑥𝑑𝑥

este un exemplu de integrala generalizata cu parametru, unde evident

𝑓(𝑥, 𝜉) =sin𝑥

𝑥𝑒−𝜉𝑥 si 𝑓 : (0,∞) × (0,∞) → R.

Integrala converge, deoarece

sin𝑥

𝑥𝑒−𝜉𝑥

≤ 𝑒−𝜉𝑥 si:

|𝐹 (𝜉)| ≤∫ ∞

0

𝑒−𝜉𝑥𝑑𝑥 =1

𝜉< ∞

Asadar functia 𝑓 , pentru un 𝜉 ∈ (0,∞) fixat, ca functie in 𝑥 este integrabilageneralizat pe (0,∞).

Ilustrare:

Continuitatea integralelor Riemann cu parametru:Daca 𝑓(𝑥, 𝜉) este continua pe [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑], atunci exista:

𝐹 (𝜉) :=

∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑥, 𝜉)𝑑𝑥

pentru orice 𝜉 ∈ [𝑐, 𝑑] si 𝐹 (𝜉) este continua pe [𝑐, 𝑑].

2

Page 5: Integrale cu parametru - cismasemanuel.files.wordpress.com · Integrale cu parametru Am invatat sa rezolv integrale si sa aplic diverse metode de integrare dintr-o carte pe care profesorul

Daca integrala cu parametru satisface conditiile teoremei de continuitateprincipalul castig este faptul ca limita va comuta cu semnul integral:

lim𝜉→𝜉0

∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑥, 𝜉)𝑑𝑥 =

∫ 𝑏

𝑎

lim𝜉→𝜉0

𝑓(𝑥, 𝜉)𝑑𝑥 =

∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑥, 𝜉0)𝑑𝑥

Utilitatea practica:

Continuitatea integralelor generalizate cu parametru:Fie 𝑓 : [𝑎,∞) × [𝑐, 𝑑] → R continua, unde 𝑎 > 0. Presupunem ca exista ofunctie integrabila generalizat 𝑔 : [𝑎,∞) → R si:

|𝑓(𝑥, 𝜉)| ≤ 𝑔(𝑥), 𝑥 ≥ 𝑎.

Atunci functia:

𝐹 (𝜉) =

∫ ∞

0

𝑓(𝑥, 𝜉)𝑑𝑥

este continua pe [𝑐, 𝑑].

∙ Acelasi rezultat e valabil si in cazurile [𝑎, 𝑏) sau (𝑎, 𝑏], 𝑎, 𝑏 ∈ R.∙ De remarcat aparitia conditiei de majorare cu o functie integrabila ge-neralizat:

|𝑓(𝑥, 𝜉)| ≤ 𝑔(𝑥), ∀𝜉, si

∫ ∞

𝑎

𝑔(𝑥)𝑑𝑥 < ∞

precum si faptul ca majorarea este uniforma in 𝜉.

Remarca:

Schimbarea ordinii de derivare:Fie 𝑓 : [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] → IR continua, atunci are loc relatia:∫ 𝑑

𝑐

𝐹 (𝜉)𝑑𝜉 =

∫ 𝑑

𝑐

∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑥, 𝜉)𝑑𝑥𝑑𝜉 =

∫ 𝑏

𝑎

∫ 𝑑

𝑐

𝑓(𝑥, 𝜉)𝑑𝜉𝑑𝑥.

Schimbarea ordinii de integrare in integralele generalizateFie 𝑓 : [𝑎,∞) × [𝑐, 𝑑] → R continua, unde 𝑎 > 0. Presupunem ca exista ofunctie integrabila generalizat 𝑔 : [𝑎,∞) → R si:

|𝑓(𝑥, 𝜉)| ≤ 𝑔(𝑥), 𝑥 ≥ 𝑎.

Atunci are loc identitatea:∫ 𝑑

𝑐

𝐹 (𝜉)𝑑𝜉 =

∫ 𝑑

𝑐

∫ ∞

𝑎

𝑓(𝑥, 𝜉)𝑑𝑥𝑑𝜉 =

∫ ∞

𝑎

∫ 𝑑

𝑐

𝑓(𝑥, 𝜉)𝑑𝜉𝑑𝑥.

3

Page 6: Integrale cu parametru - cismasemanuel.files.wordpress.com · Integrale cu parametru Am invatat sa rezolv integrale si sa aplic diverse metode de integrare dintr-o carte pe care profesorul

Demonstratie: Vezi [Bartle] Propozitia 33.8.

Derivarea integralelor Riemann cu parametru:Daca 𝑓(𝑥, 𝜉) este continua pe [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] si 𝜕𝑓

𝜕𝜉 exista si e continua, atunci si

functia 𝐹 (𝜉) este derivabila cu derivata continua pe intervalul [𝑐, 𝑑] si are loc:

𝐹 ′(𝜉) =

∫ 𝑏

𝑎

𝜕𝑓

𝜕𝜉(𝑥, 𝜉)𝑑𝜉

Derivarea integralelor generalizate cu parametru:Fie 𝑓 : [𝑎,∞)× [𝑐, 𝑑] → R continua. Presupunem ca derivata partiala 𝜕𝑓

𝜕𝜉 exista

si e continua. Functiile 𝑓 si 𝜕𝑓𝜕𝜉 sunt majorate de catre doua functii integrabile

generalizat pe [𝑎,∞) :

|𝑓(𝑥, 𝜉)| ≤ 𝑔1(𝑥),

𝜕𝑓

𝜕𝜉(𝑥, 𝜉)

≤ 𝑔2(𝑥), 𝑥 ∈ [𝑎,∞).

unde

∫ ∞

𝑎

𝑔1(𝑥)𝑑𝑥 < ∞ si

∫ ∞

𝑎

𝑔2(𝑥)𝑑𝑥 < ∞.

Atunci 𝐹 (𝜉) este derivabila si:

𝐹 ′(𝜉) =

∫ ∞

𝑎

𝜕𝑓

𝜕𝜉(𝑥, 𝜉)𝑑𝑥

este continua pe [𝑐, 𝑑].

Sa consideram integrala cu parametru:

𝐹 (𝜉) =

∫ ∞

−∞𝑒−𝑥2

cos(𝜉𝑥)𝑑𝑥

Deoarece𝑒−𝑥2

cos(𝜉𝑥)≤ 𝑒−𝑥2

functia 𝐹 va fi continua pe R. Mai departe

rezulta: 𝜕𝑓

𝜕𝜉

=𝑒−𝑥2

(−𝑥) sin(𝑥𝜉)≤ 𝑒−𝑥2

|𝑥|

si

∫ ∞

−∞𝑒−𝑥2

|𝑥|𝑑𝑥 < ∞. In concluzie, functia 𝐹 este derivabila si derivata

sa se calculeaza respectand regula din teorema anterioara.

Spre exemplu:

4

Page 7: Integrale cu parametru - cismasemanuel.files.wordpress.com · Integrale cu parametru Am invatat sa rezolv integrale si sa aplic diverse metode de integrare dintr-o carte pe care profesorul

Regula Leibniz pentru limite de integrare variabile:Fie 𝑎, 𝑏 : (𝑐, 𝑑) → [𝛼, 𝛽] functii derivabile si 𝑓 : [𝛼, 𝛽] × (𝑐, 𝑑) → R continuaastfel ca derivata partiala 𝜕𝑓

𝜕𝜉 exista si este continua pe [𝛼, 𝛽]× (𝑐, 𝑑) . Avem deasemenea majorantii:

|𝑓(𝑥, 𝜉)| ≤ 𝑔1(𝑥) si

𝜕𝑓

𝜕𝜉(𝑥, 𝜉)

≤ 𝑔2(𝑥),

astfel ca

∫ 𝛽

𝛼

𝑔1(𝑥)𝑑𝑥 si

∫ 𝛽

𝛼

𝑔2(𝑥)𝑑𝑥 exista.

Atunci are loc regula Leibniz:

𝑑

𝑑𝜉

∫ 𝑏(𝜉)

𝑎(𝜉)

𝑓(𝑥, 𝜉)𝑑𝑥 =

∫ 𝑏(𝜉)

𝑎(𝜉)

𝜕𝑓

𝜕𝜉(𝑥, 𝜉)𝑑𝑥 + 𝑓(𝑏(𝜉), 𝜉)𝑏′(𝜉) − 𝑓(𝑎(𝜉), 𝜉)𝑎′(𝜉)

Demonstratie: vezi [Konrad] Corolarul 11.4

Pentru integrala Riemann

∫ 𝑏(𝜉)

𝑎(𝜉)

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 regula Leibniz devine:

𝑑

𝑑𝜉

∫ 𝑏(𝜉)

𝑎(𝜉)

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑏(𝜉))𝑏′(𝜉) − 𝑓(𝑎(𝜉))𝑎′(𝜉)

Corolar:

5

Page 8: Integrale cu parametru - cismasemanuel.files.wordpress.com · Integrale cu parametru Am invatat sa rezolv integrale si sa aplic diverse metode de integrare dintr-o carte pe care profesorul

Probleme rezolvate

Problema 1. Demonstrati identitatea:∫ ∞

0

𝑥𝑛𝑒−𝑥𝑑𝑥 = 𝑛!

Solutie: Construim integrala cu parametru:

𝐹 (𝑡) =

∫ ∞

0

𝑒−𝑡𝑥𝑑𝑥

unde 𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝑒−𝑡𝑥. Se observa usor ca:

𝐹 (𝑡) =1

𝑡, 𝑡 > 0.

Deoarece, pentru 𝑚 fixat, lim𝑥→∞

𝑥𝑚

𝑒𝑡𝑥= 0, va exista un 𝑐 > 0, astfel ca:

|𝑥𝑚𝑒−𝑡𝑥| ≤ 𝑐

𝑥2, 𝑡 ≥ 1

2.

Acum vom aplica teorema de derivabilitate a integralelor generalizate cu parametru,deoarece se poate constata ca toate conditiile teoremei sunt indeplinite. Asadar:

𝐹 ′(𝑡) = − 1

𝑡2=

∫ ∞

0

−𝑥𝑒−𝑡𝑥𝑑𝑥.

Un pas mai departe:

𝐹 ′′(𝑡) =2

𝑡3=

∫ ∞

0

𝑥2𝑒−𝑡𝑥𝑑𝑥,

iar dupa 𝑛 pasi:

𝐹 (𝑛)(𝑡) = (−1)𝑛𝑛!

𝑡𝑛+1=

∫ ∞

0

(−1)𝑛𝑥𝑛𝑒−𝑡𝑥𝑑𝑥

Alegand 𝑡 = 1 se obtine: ∫ ∞

0

𝑥𝑛𝑒−𝑥𝑑𝑥 = 𝑛!

Problema 2. Integrala Gauss 𝐼 este convergenta si are loc:

𝐼 :=

∫ ∞

−∞𝑒−𝑥2

𝑑𝑥 =√𝜋

Solutie: Se observa usor ca:

𝐼 =

∫ ∞

−∞𝑒−𝑥2

𝑑𝑥 = 2

∫ ∞

0

𝑒−𝑥2

𝑑𝑥 (functie para).

6

Page 9: Integrale cu parametru - cismasemanuel.files.wordpress.com · Integrale cu parametru Am invatat sa rezolv integrale si sa aplic diverse metode de integrare dintr-o carte pe care profesorul

Notam:

𝐽 =

∫ ∞

0

𝑒−𝑥2

𝑑𝑥.

si consideram integrala cu parametru:

𝐹 (𝜉) =

∫ ∞

0

𝑒−𝜉2(1+𝑥2)

1 + 𝑥2𝑑𝑥

Atunci 𝐹 (0) =

∫ ∞

0

1

1 + 𝑥2𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)

∞0

=𝜋

2si lim

𝜉→∞𝐹 (𝜉) = 0. Va exista

𝑔(𝑥) := 11+𝑥2 astfel ca:

|𝑓(𝑥, 𝜉)| =

𝑒−𝜉2(1+𝑥2)

1 + 𝑥2

≤ 1

1 + 𝑥2= 𝑔(𝑥)

si

∫ ∞

0

𝑔(𝑥)𝑑𝑥 =𝜋

2< ∞.

Toate conditiile teoremei de derivabilitate sunt indeplinite. Deci:

𝐹 ′(𝜉) =

∫ ∞

0

𝜕

𝜕𝜉

(𝑒−𝜉2(1+𝑥2)

1 + 𝑥2

)𝑑𝑥 =

∫ ∞

0

−2𝜉𝑒−𝜉2(1+𝑥2)𝑑𝑥 = −2𝜉𝑒−𝜉2∫ ∞

0

𝑒−(𝜉𝑥)2𝑑𝑥

Facand substitutia 𝑦 = 𝜉𝑥 se obtine:

𝐹 ′(𝜉) = −2𝜉𝑒−𝜉2∫ ∞

0

𝑒−(𝑦)2𝑑𝑦 = −2𝜉𝑒−𝜉2𝐽

In incheiere:∫ 𝛽

0

𝐹 ′(𝜉)𝑑𝜉 =

∫ 𝛽

0

−2𝜉𝑒−𝜉2𝐽𝑑𝜉 = −2𝐽

∫ 𝛽

0

𝑒−𝜉2𝑑𝜉

apoi:

lim𝛽→∞

(𝐹 (𝛽) − 𝐹 (0)) = −2𝐽 lim𝛽→∞

∫ 𝛽

0

𝜉𝑒−𝜉2𝑑𝜉 = −2𝐽2

lim𝜉→∞

𝐹 (𝜉) − 𝐹 (0) = 0 − 𝜋

2= −2𝐽2

𝐽 =

√𝜋

2

si:

𝐼 :=

∫ ∞

−∞𝑒−𝑥2

𝑑𝑥 =√𝜋

Problema 3. Calculati integrala:∫1

(𝑥2 + 𝑎2)2𝑑𝑥

pentru un 𝑎 = 0 fixat.

7

Page 10: Integrale cu parametru - cismasemanuel.files.wordpress.com · Integrale cu parametru Am invatat sa rezolv integrale si sa aplic diverse metode de integrare dintr-o carte pe care profesorul

Solutie: Consideram functia:

𝑓(𝑡, 𝑎) =

∫ 𝑡

0

1

𝑥2 + 𝑎2𝑑𝑥

care folosind teorema de derivare a integralelor Riemann cu parametru conducela:

𝜕𝑓

𝜕𝑎= −2𝑎

∫ 𝑡

0

𝑑𝑥

(𝑥2 + 𝑎2).

Pe de alta parte se constata usor ca:

𝑓(𝑡, 𝑎) =1

𝑎arctg

𝑥

𝑎

𝑡0

=1

𝑎arctg

𝑡

𝑎

deci:𝜕𝑓

𝜕𝑎=

𝜕

𝜕𝑎

(1

𝑎arctg

𝑡

𝑎

)= − 1

𝑎2arctg

𝑡

𝑎+

1

𝑎

1

1 + 𝑡2

𝑎2

(− 𝑡

𝑎2

)= − 1

𝑎2arctg

𝑡

𝑎− 𝑡

𝑎

1

𝑡2 + 𝑎2

Prin urmare:

∫ 𝑡

0

1

(𝑥2 + 𝑎2)2𝑑𝑥 = − 1

2𝑎

(− 1

𝑎2arctg

𝑡

𝑎− 𝑡

𝑎

1

𝑡2 + 𝑎2

)=

1

2𝑎3arctg

𝑡

𝑎+

𝑡

2𝑎21

𝑡2 + 𝑎2

In concluzie:∫1

(𝑥2 + 𝑎2)2𝑑𝑥 =

1

2𝑎3arctg

𝑡

𝑎+

𝑡

2𝑎21

𝑡2 + 𝑎2+ 𝒞

8

Page 11: Integrale cu parametru - cismasemanuel.files.wordpress.com · Integrale cu parametru Am invatat sa rezolv integrale si sa aplic diverse metode de integrare dintr-o carte pe care profesorul

Probleme propuse

Problema 1. Calculati: ∫ 1

0

𝑥2 − 1

ln𝑥𝑑𝑥

Hint: 𝐼(𝑡) =

∫ 1

0

𝑥𝑡 − 1

ln𝑥𝑑𝑥.

Problema 2. Calculati integrala:∫𝑑𝑥

(1 + 3𝑥)2.

Hint: Considera 𝐹 (𝑡) =

∫ 1

0

1

1 + 𝑡𝑥𝑑𝑥

Problema 3. Studiati continuitatea functiei:

𝐹 (𝑡) =

∫ ∞

0

sin(𝑡𝑥)

1 + 𝑥2𝑑𝑥, 𝑡 ∈ R.

Problema 4. Pentru a calcula integrala

∫ ∞

0

sin𝑥

𝑥𝑑𝑥 folositi integrala cu parametru:

𝐹 (𝜉) =

∫ ∞

0

𝑒−𝜉𝑥 sin𝑥

𝑥𝑑𝑥, 𝜉 > 0.

Problema 5. Aflati valoarea integralei:

𝐼 =

∫ 1

0

ln(1 + 𝑥)

1 + 𝑥2𝑑𝑥.

Hint: 𝐼(𝜉) =

∫ 1

0

ln(1 + 𝜉 · 𝑥)

1 + 𝑥2𝑑𝑥

9

Page 12: Integrale cu parametru - cismasemanuel.files.wordpress.com · Integrale cu parametru Am invatat sa rezolv integrale si sa aplic diverse metode de integrare dintr-o carte pe care profesorul

10

Page 13: Integrale cu parametru - cismasemanuel.files.wordpress.com · Integrale cu parametru Am invatat sa rezolv integrale si sa aplic diverse metode de integrare dintr-o carte pe care profesorul

Bibliografie

[1] M. Eisermann. Hohere Mathematik 3, 2016.

[2] R. Bartle. The Elements of Real Analysis, John Wiley & Sons, 1976.

[3] K. Konrad. Differentiating under the integral sign

11

Page 14: Integrale cu parametru - cismasemanuel.files.wordpress.com · Integrale cu parametru Am invatat sa rezolv integrale si sa aplic diverse metode de integrare dintr-o carte pe care profesorul

12