Capitolul 8

Generalizari ale notiunii de integrala"Tot ce va servi la ceva, e bun" (W. Shakespeare)

P^na acum s-a considerat ca a

Zba

f (x)dx reprezinta o inte-

grala Riemann, daca sunt ^ndeplinite conditiile: a 6= ;1 si b 6= 1 f functie marginita pe a b] si f functie reala de o singura variabila reala. Daca Z din aceste conditii nu este ^ndeplinita, atunci una b expresia f (x)dx constituie o extindere a notiunii de intea grala. ^n acest capitol vom preciza sensul acestei notiuni pentru I c^teva dintre aceste extinderi. a

8.1 Integrale improprii^n multe situatii practice apar integrale care au intervalul de I413

integrare de lungime in nita si integrale pentru care functia de integrat nu este marginita. Astfel de integrale se numesc improprii sau generalizate. Daca lungimea intervalului este in nita, adica avem una din situatiile

I = f (x)dx I = f (x)dx I = f (x)dx =a

+ Z1

Zb

+ Z1

ZR

atunci spunem ca avem integrale improprii de speta ^n^i. a Daca functia de integrat este nemarginita pe a b], atunci spunem ca avem integrale improprii de speta a doua. Daca at^t intervalul de integrare este de lungime in nita, c^t a a si f este nemarginita ^n acest interval, atunci spunem ca avem integrale improprii mixte.

;1

;1

f (x)dx

De nitia 8.1.1 Fie f : a 1) ! R o functie integrabila peorice interval a b], b 2 R , b > a. Daca exista blim f (x)dx, !1 atunci prin de nitiea

Zb

Z1a

f (x)dx = blim f (x)dx !1a

Zb

c^nd limita este nita spunem ca integrala este convergenta a iar ^n caz contrar, adica daca limita nu exista sau este innita, spunem ca integrala improprie este divergenta. ^n mod analog de nim I

Zb

;1

f (x)dx = a!;1 f (x)dx lim414

si

Z1;1

f (x)dx = alimb

Zba

!;1 !1

f (x)dx:

Imediat se observa ca avem relatiile

Zb

;1

f (x)dx =

Z1

;b

f (;t)dt

si

+ Z1

;1

f (x)dx =

ZC;1

f (x)dx +

+ Z1

f (x)dx

C

C2R

care ne arata ca este su cient sa studiem cazul intervalului a 1]. Exemplul 8.1.1. Sa consideram integrala

Z1 dxa

x

a > 0 si

2 R:

Pentru b > a si 6= 1 avem

Zb dxa

1 = 1 ; (b1; ; a1; ): x

Limita

1; este nita, ind egala cu a ; 1 , pentru 1 ; < 0, adica > 1.

1 lim 1 ; (b1; ; a1; ) b!1

415

^n cazul = 1 avem I

Z1 dxa

!1 x = blim

Zb dxa

!1 x = blim (ln b ; ln a) = 1

integrala ind divergenta. 1 Z 1; ^n concluzie, avem ca dx = a pentru > 1, adica I x ;1 a este convergenta, iar pentru 1 integrala improprie este divergenta. Exemplul 8.1.2. Fie de calculat integrala improprie;1+ Z 1 dx x2 + 4 :

Avem

+ Z 1 dx

Observatia 8.1.1 Putem scrie

= alim 1 arctg b ; arctg a = 1 ; ; 2 2 2 2 2 2 b!;1 !1

;1

x2 + 4 = ablim

Zb dxa

!;1 !1

x2 + 4 == : 2

Z1a

f (x)dx =

Zka

f (x)dx +k Z+n

k Z+1 k

f (x)dx + ::: +

k Z+n

k 2 N , k > a.

k+n;1

f (x)dx + :::

Daca notam un =

k+n;1

f (x)dx, n = 1 2 :::, u0 =416

Zka

f (x)dx,

atunci

Z1 Z1a k

f (x)dx =

1 Xn=0

un1 Xn=0

adica integralei

f (x)dx ^i corespunde seria numerica

un.

Integrala improprie si seria asociata au aceeasi natura. Aceasta observatie ne permite sa adaptam criteriile de convergenta de la seriile numerice la integralele improprii de speta ^nt^i. aprie

Teorema 8.1.1 (Criteriul lui Cauchy) Integrala impro1

Za

f (x)dx, este convergenta daca si numai daca pentru2 R,

orice " > 0 exista M (") 2 R + asa ^nc^t pentru orice a > > M (") sa avem

Z

f (x)dx < ":

Demonstratia rezulta imediat din Criteriul lui Cauchy scris X pentru seria numerica un.n0

De nitia 8.1.2 Integrala improprieeste convergenta.417

Z1a

f (x)dx se numeste

absolut convergenta daca integrala improprie

Z1a

jf (x)jdx

Teorema 8.1.2 Daca

Z1a

f (x)dx este absolut convergenta,

atunci ea este convergenta. Pentru demonstratie se foloseste Teorema 8.1.2 si inegalitatea b b

Za

f (x)dx

Za

jf (x)jdx:

Si criteriile de comparatie de la serii cu termeni pozitivi se extind imediat la integrale improprii. Teorema 8.1.3 (primul criteriu de comparatie) Fie f g functii de nite si integrabile pentru x a. Daca 0 f (x) g(x) pentru x a, atunci:1) daca 2) daca

Z1a

g(x)dx este convergenta, atunci si f (x)dx este divergenta, atunci si

Z1a

f (x)dx este g(x)dx este

convergenta

Z1a

Z1a

Teorema 8.1.4 (Al doilea criteriu de comparatie) Fief (x) = k, k 2 functiile f g : a 1) ! (0 1). daca xlim !1 g (x)(0 1), atunci integralele improprii

divergenta.

Z1a

f (x)dx si

Z1a

g(x)dx

su aceeasi natura, adica ambele sunt convergente sau ambele sunt divergente. Daca k = 0, atunci convergenta integralei 1 1

Za

g(x)dx implica convergenta integralei418

Za

f (x)dx.

Corolarul 8.1.1 Fie f : a 1) ! (0 1), a > 0. Dacaatunci integrala

exista xlim x f (x) = k, k constanta reala nita, pentru > 1, !1

Z1a

f (x)dx este convergenta. Daca

1 si

k > 0, atunci integrala este divergenta.Valabilitatea Corolarului rezulta din Teorema 8.1.3 si Exemplul ??. 1

Exemplul 8.1.3. Integralele improprii x e;xdx, a > 0,sunt convergente pentru orice real. ^ntr-adevar, pentru x > 0 putem scrie In n x ex = 1 + 1! + ::: + x ! + ::: > x ! n n a

Z

n 2 N:

n! n! De aici, avem 0 < e;x < xn , adica 0 < x e;x < xn; . Aleg^nd n 2 N asa ^nc^t n ; = > 1 si aplic^nd primul cria a a teriu de comparatie pentru f (x) = x e;x, g(x) = n! , > 1, x pe baza Exemplului ??, obtinem a rmatia din enuntul exemplului. Z1 Pm(x) Exemplul 8.1.4. Integralele improprii Q (x) dx, Pm si n a Qn ind functii polinomiale cu coe cienti reali, cu gradele m si respectiv n, Qn 6= 0 pentru x a, sunt convergente pentru n ; m 2. Avem m m;1 lim x Pm (x) = xlim x am x n + am;1 xn;1 + ::: + a0 = x!1 Qn (x) !1 bn x + bn;1 x + ::: + b0419

a0 am + am;1 + ::: + xm am x = xlim x +m;n bn;1 + ::: + b0 = bn !1 bn + x xn daca = n ; m. Conform Corolarului 8.1.1, integrala data este convergenta daca n ; m 2. ^n mod analog se studiaza si integralele improprii de speta I a doua. De nitia 8.1.3 Fie functia f : a b) ! R , nemarginita ^n b, dar marginita si integrabila pe orice subinterval ^nchis a ] a b). daca exista lim f (x)dx, atunci prin de nitie b!

Z

Zba

0 asa ^nc^t pentru orice si cu b ; M (") < < < b sa a avemZbaf (x)dx < ".De nitia 8.1.2 si Teoremele 8.1.2 si 8.1.3 se pastreaza fara modi cari si pentru integralele improprii de speta a doua. Teorema 8.1.6 (Al doilea criteriu de comparatie). Fie f (x) = k, k 2 functiile f g : a b) ! (0 1). Daca lim x b g (x) (0 1), atunci integralele impropriiimpropriiZbax 0, asa ^nc^t a sa avem " jf (x ) ; f (x 0 )j < b;a daca j ; 0 j < ("). Acum, putem scriejI ( ) ; I ( 0 )jZbajf (x ) ; f (x0" )jdx < b ; a (b ; a) = "daca j ; 0 j < ("). Deci, avem lim I ( ) = I ( 0), ceea ce ne arata ca functia I !0 este continua ^n 0 . Cum 0 a fost ales arbitrar din intervalul c d], rezulta ca functia I este continua pe c d].Daca f : a b] c d] ! R este continua ^n dreptunghiul a b] c d] si exista derivata partiala f 0 continua ^n raport cu ansamblul variabilelor ^n acelasi dreptunghi, atunci functiaTeorema 8.2.3 (De derivare sub semnul integrala)I( ) =Zbaf (x )dx este derivabila pe c d] si are loc formula I 0()=Zbaf 0 (x )dx:428tateaI ( ) ; I ( 0) = Z f (x ) ; f (x 0) dx ; 0 ; 0 a prin trecere la limita sub integrala, avembDemonstratie Fie0un punct xat din c d]. Din egali-I ( ) ; I ( 0) = Z f 0 (x )dx lim 0 x!x0 ; 0b acare ne arata ca functia I este derivabila ^n 0 si are loc formula din enuntul teoremei. Exemplul 8.2.1. Sa calculam derivata functiei I de nita prin Z1 sin x 2 R: I( ) = x dx 0 Integrala nu este improprie deoarece x!0 sinx x = . lim AvemI 0()=Z10cos x dx = Z cos xdx = x x1 0 01 = sin x = sin :parametru ^n care si limitele de integrare depind de parametru, adica avem^ Observatia 8.2.2 In unele situatii se considera integrale cub Z( ))I( ) =f (x )dx4292 c d]:a(Daca, pe l^nga conditiile din Teorema 8.2.3, mai adaugam a faptul ca functiile a si b sunt derivabile ^n raport cu pe c d], atunci are loc formulaI 0( ) =b Z( ))f 0 (x )dx + b0 ( )f (b( ) ) ; a0 ( )f (a( ) ):a(^n dreptunghiul a b] c d], atunci oricare ar ] c d] are loc egalitateaTeorema 8.2.4 (de integrare) Daca functia f : a b] c d] ! R este continua ^n raport cu ansamblul variabilelorintervalulZ1 Z b 0Z 1 Z 0Zb I ( )d = @ f (x )dxA dx = @ f (x )dxA dx:a aCu alte cuvinte, ^n conditiile teoremei se poate integra sub semnul integralei, sau se poate schimba ordinea de integrare. Demonstratie Fie z 2 c d] vom demonstra egalitatea mai generala1 Zz 0Zb @ f (x )dxA da1 Zb 0Zz = @ f (x )d A dx:aFacem notatiile1 Zz 0Zb '(z) = @ f (x )dxA dasi1 Zb 0Zz (z) = @ f (x )d A dx:a430Avem'0(z) =si0 (z ) =Zbaf (x )dx f (x )dxZbaoricare ar z 2 c d]. De aici, rezulta ca '(z) ; (z) = C - constanta. Cum '( ) ; ( ) = 0, obtinem C = 0, ceea ce ne arata ca '(z) = (z), oricare ar z 2 c d]. Teorema este demonstrata. Exemplul 8.2.2. Sa consideram integrala cu parametruI( ) =Z10x dx:Integram functia I pe intervalul a b], 0 < a < b, si avemZbaZb 0Z1 1 I ( )d = @ x dxA da0Z1 0Zb 1 = @ x d A dx0de unde sauaZb x +1 1 +1 daZb da0Z1 x b = ln x dx Z1 xb ; xa0 0a+1 =ln x dxceea ce conduce la Z1 xb ; xa b dx = ln( + 1)jb = ln a + 1 : a ln x +10431Se observa ca, utiliz^nd proprietatea de intervertire a ora dinii de integrare ^ntr-o integrala cu parametru, am reusit sa calculam o integrala greu de calculat pe alta cale. De fapt, aceasta este una dintre aplicatiile importante ale integralelor cu parametrii: calculul unor integrale greu de evaluat pe alta cale. Deseori, integrale fara parametru sunt transformate ^n integrale cu parametru la care, apoi, se aplica derivarea sau integrarea sub semnul integralei si se obtine o valoare mai generala pentru integrala data. Prin particularizarea parametrului se obtine valoarea integralei date. Exemplul 8.2.3. Sa calculam integralaI=Z10arctg p x 2 dx: x 1;xSe observa ca integrala nu este improprie deoarece arctg lim p x = 1. Consideram integrala mai generala x!0 x 1 ; x2I( ) =Z10arctg x dx p x 1 ; x212 0 1):Derivam ^n raport cu parametrul si avemI 0()=Z10dxp 1 dx = Z p : 1 + 2x2 x 1 ; x2 (1 + 2 x2) 1 ; x2 0 xFac^nd schimbarea de variabila x = cos t, gasim aI 0( ) =Z02dt = p 1 2 arctg p tgt 2 cos2 t 1+ 1+ 1+43222 0=parametru este improprie, cele expuse ^n acest paragraf ram^n a valabile cu conditia ca integralele improprii cu care se lucreaza sa e convergente. Exemplul 8.2.4. Sa consideram integrala^ Observatia 8.2.3 In cazul c^nd integrala ce depinde de un a= 2 p 1 2: 1+ De aici, integr^nd ^n raport cu , gasim a p I ( ) = 2 ln( + 1 + 2) + C: Cum I (0) = 0, rezulta C = 0 si p I ( ) = 2 ln( + 1 + 2): Pentru = 1 avem p I (1) = I = 2 ln(1 + 2):I( ) =ScriemZ10e; x sin x dx x2 (0 1):I( ) =!Z10e; x sin x dx + xZ11e; x sin x dx: xCum lim e; x sin x = 1, rezulta ca prima integrala este x 0 x x>0 convergenta. Deoarece, pentru x 1 avem e; x sin x e; x x433siZ1 Z11; e; xdx = ; ex11=e;deducem cae; x sin x dx este convergenta. Prin urmare, x 1 I ( ) este bine de nita. Aplic^nd teorema de derivare a integralelor cu parametru, a avem: I 0()=Z10e; x(;x) sin x dx = ; xZ10e; x sin xdxcare este o integrala improprie convergenta. Integr^nd prin a parti, obtinem I 0( ) = ;1 ; 2I 0( ) de unde 1 I 0( ) = ; 1 + 2 din care rezulta I ( ) = ;arctg + C: Pentru determinarea constantei C calculam lim I ( ) = ; 2 + C !1 pe de o parte, si dinjI ( )j0Z1e; x sin x dx xZ10e; xdx = 1lim I ( ) = 0. !1434Avem deci C ; 2 = 0, de unde C = 2 . Rezulta ca I ( ) = 2 ; arctg . din acest rezultat, prin trecere la limita c^nd ! 0, > 0, gasim aZ1 sin x0x dx = 2 :^n orice activitate exista anumite rezultate care trebuiesc stuI diate mai aprofundat si chiar retinute. Aceasta situatie se ^nt^lneste si ^n clasa integralelor cu parametri si improprii. a Exista anumite functii, numite uneori si functii speciale, de nite prin integrale cu parametrii la care apelam deseori ^n calculele matematice. Doua dintre aceste functii speciale sunt functiile Gamma si Beta, numite sub un generic comun integrale euleriene. De nitia 8.3.1 Functia ; : (0 1) ! R de nita prin ;(p) =8.3 Integrale euleriene. Functia Gamma. Functia BetaZ10e;xxp;1dxse numeste functia Gamma sau functia lui Euler de speta a doua, iar functia B : (0 1) (0 1) ! R de nita prinB (p q) =Z10xp;1 (1 ; x)q;1 dx^nt^i. ase numeste functia Beta sau functia lui Euler de speta435Teorema 8.3.1 Functiile ; si B sunt bine de nite, adica in-tegralele improprii care le de nesc sunt convergente. Demonstratie Sa aratam ca functia ; este bine de nita. Scriem ; ca suma de doua integrale, anume:;(p) =Z10e;xxp;1dx +Z11e;xxp;1dx:1 nu estePrima integrala I1 =Z10e;xxp;1dx pentru pimproprie. pentru p 2 (0 1) avem lim x e;xxp;1 = lim x +p;1 e;x = 1 x 0 x 0x>0!x>0!daca = 1 ; p < 1, de unde, conform cu Corolarul 8.1.2, deducem ca integrala I1 este convergenta. 1 Convergenta integralei I2 =Z1e;xxp;1dx rezulta din Ex-emplul ??. Din I1 si I2 convergente si faptul ca ;(p) = I1 + I2, rezulta ca integrala improprie ce de neste functia Gamma este convergenta. Utiliz^nd acelasi Corolar 8.1.2 se arata imediat ca si functia a B este bine de nita. ^n continuare, vom prezenta c^teva din proprietatile mai I a uzuale ale functiilor ; si B . Teorema 8.3.2 Pentru functia ; sunt adevarate urmatoarele a rmatii: 1) ;(1) = 1 2) ;(p + 1) = p;(p)4363) ;(n + 1) = n! , n 2 N 4) ;(p) = 2 e;t2 t2p;1 dt0Z15) ;(p);(1 ; p) = sin p , p 2 (0 1) (numita formula complementelor). 1 =p . 6) ; 2Demonstratie1) ;(1) =Z10e;xdx = ;e;xj1 = 1 02) Aplicam integrarea prin parti succesiv si avem ;(p + 1) =Z10e;xxpdx = ;(e;xxp)j1+ 0+p e;xxp;1dx = p;(p):0Z13) Se aplica ^n mod repetat formula se recurenta de la 2): ;(n + 1) = n;(n) = n(n ; 1);(n ; 1) = ::: = = n(n ; 1):::2 1 ;(1) = n!: 4) Efectuam schimbarea de variabila x = t2 si avem ;(p) = 2Z10e;t2 (t2 )p;1tdt = 2Z10e;t2 t2p;1 dtceea ce trebuia demonstrat.4375) Demonstratia formulei complementelor este mai complicata si de aceea renuntam la prezentarea ei. 6) Daca luam ^n formula complementelor p = 1 , atunci 2 avem 1 ; 2 ; 1 = 2 p de unde ; 1 = . 2 Teorema 8.3.3 Pentru functia B sunt adevarate urmatoarele relatii: Z1 yp;1 1) B (p q ) = (1 + y)p+q dy2) B (p q) =Z1 tp;1 + tq;100(1 + t)p+q dt;(p) ;(q) (formula de legatura dintre 3) B (p q) = ;(p + q) functiile B si ; sau formula lui Dirichlet) 4) B (p q ) = B (q p) (proprietatea de simetrie) p ; 1 B (p ; 1 q) p > 1, q > 0 5) B (p q ) = p+q;1 q 1 B (p q) = p + ; ; 1 B (p q ; 1), p > 0, q > 1. q 1) Facem schimbarea de variabila x = y si avem y+1DemonstratieB (p q) =Z10y y+1p;1y 1; y+1q ;1dy = (y + 1)2438Z1 yp;1 = dy: (1 + y)p+q2) Utiliz^nd formula de la 1), putem scrie a0 1 0Z1 yp;1 Z1 yp;1 B (p q) = (1 + y)p+q dy + (1 + y)p+q dy: Z10^n integrala a doua facem schimbarea de variabila y = 1=t I si obtinem formula de la 2). 3) ^n ;(p) = Ie;xxp;1 dx facem schimbarea de variabila;(p) = tpx = ty, t parametru real pozitiv si obtinemZ10e;ty yp;1dy:(8.2)^n acest rezultat ^nlocuim pe t prin 1 + t si p prin p + q I si obtinem 1 ;(p + q) = Z e;(1+t)y yp+q;1dy (1 + t)p+q Multiplicam ambii membri ai formulei precedente cu tp;1 si egalitatea obtinuta o integram ^n raport cu t de la 0 la 1 si avem: Z1 tp;1 ;(p + q) dt = (1 + t)p+q0Z1 00@tp;1Z101 e;(1+t)y yp+q;1dyA dt =0439=Z100 Z1 1 e;y yq;1 @yp e;yt tp;1dtA dy:0Acum, conform cu 1) si cu (8.2), ^n care schimbam pe t cu y, obtinem: ;(p + q) B (p q) =Z10e;y yq;1;(p)dy == ;(p) e;y yq;1dy = ;(p) ;(q) de unde gasim0Z1) ;( B (p q) = ;(pp + qq) ;( ) adica ceea ce trebuia demonstrat. 4) Rezulta imediat din 3). 5) Aceste formule rezulta din formula de legatura de la 3) si utiliz^nd formula de recurenta pentru ;. aObservatia 8.3.1 Integralele euleriene sunt utile ^n studiulmultor functii neelementare. De aceea, valorile lor au fost tabelate. Calculul multor integrale se reduce prin diferite transformari, la evaluarea functiilor B si ;.Exemplul 8.3.1. Sa aratam caZ10e;x2 dx =p2 Q (integrala lui Poisson):440Facem schimbarea de variabila x2 = t si avemZ10Z ;x dx = 1 e;t t; 1 dt: 2 e 2210^n integrala din membrul doi se recunoaste expresia functiei I ; pentru p ; 1 = ; 1 , adica p = 1 . Atunci, putem scrie 2 2 1 Z 2 1 1 p e;x dx = 2 ; 2 = 2 :Exemplul 8.3.2. Sa calculamI=Putem scrie0Z10x dx: (1 + x)2(1 + x)2 dx1 4p 4Z1 x I=0care comparata cu exprimarea lui B data de 1) din Teorema 8.3.3, conduce la p ; 1 = 1 si p + q = 2, de unde p = 5 si 4 4 3. q=4 Rezulta ca 5 I=B 4 3 4 de unde, utiliz^nd formula de legatura dintre B si ;, obtinem a 1; 1 ; 3 3 ; 5 ; 4 4 = I = 45 3 = 4 4 ;(2) ; 4+44411 1 = 4; 4 ; 3 : 4 Acum, utiliz^nd formula complementelor avem a p 1 = 2: I=4 4 sin 4 ^n general, integralele de forma IZ1 xm I = (1 + xn)p dx np > m + 10se calculeaza prin functiile B si ;, fac^nd schimbarea de varia n = t. abila x Exemplul 8.3.3. Sa se reduca la functiile B si ; calculul integralelor de formaIm n = (x ; a)m (b ; x)n dxaZbm si n numere reale asa alese^nc^t integrala sa e convergenta. a Facem schimbarea de variabila x = (1 ; t)a + bt t 2 0 1] si avem Im n= (b ; a)m+n+1Z10tm (1 ; t)n dt == (b ; a)m+n+1B (m + 1 n + 1) = = (b ; a)m+n+1 ;(m + 1);(n + 1) : ;(m + n + 2)4421 Exemplul 8.3.4. Sa calculam I = lnp x dx, p 2 R , 0Z1p > ;1 Facem schimbarea de variabila x = e;t si avem I=Z10tpe;tdt = ;(p + 1):8.4 Integrale dubleLa integralele cu parametrii functia de integrat era de mai multe variabile, ^nsa calculul integralei se aplica numai la una din variabile, celelalte le consideram parametrii. Ne propunem sa extindem notiunea de integrala pentru functiile de mai multe variabile asa ^nc^t ^n evaluarea lor sa utilizam toate a variabilele. Astfel de integrale le vom numi multiple. Daca f : D R n ! R z = f (x1 ::: xn), atunci o integrala mmultipla o notam prin::: f (x ::: x )dx dx :::dx : 1 n 1 2 n D Daca n = 2, atunci spunem ca avem o integrala dubla, iar daca n = 3, atunci spunem ca avem o integrala tripla. Pentru comoditatea tratarii consideram numai cazul integralelor duble. Fie f : D R 2 ! R , z = f (x y) o functie de doua variabile. Mai presupunem ca D este un domeniu marginit. Sa consideram o partitie (descompunere) arbitrara a domeniului D ^n n subdomenii D1 D2 ::: Dn cu Di 6= ?, i = 1 n si Di \ Dj = ?, i 6= j , i j = 1 n. O astfel de partitie a lui D se numeste diviziune a lui D si o notam prin ( n). Notam cu ai aria sub domeniului Di, i = 1 n si cu di diametrul443Z Zlui Di (cea mai mare dintre distantele dintre doua puncte din Di ), i = 1 n. Numarul k nk = max di se numeste norma i=1 n diviziunii (partitia) n . ^n ecare subdomeniu Di al diviziunii ( n) alegem un I punct arbitrar de coordonate ( i i), i = 1 n, numite puncte intermediare. Cu aceste precizari, introducem suma integrala (nf) =n X i=1f(i i )ai :Evident ca suma ( n t) depinde de diviziunea n , de punctele intermediare ( i i) si de functia f . De nitia 8.4.1 Spunem ca functia f este integrabila pe domeniul D daca oricare ar sirul de diviziuni ( n)n 1 cu sirul normelor (k n k)n 2 tinde la zero si oricare ar punctele intermediare ( i i) 2 Di , i = 1 2 ::: n sirul sumelor integrale ( (Dn f ))n 1 are o limita nita. Notam aceasta limita prinZZDf (x y)dxdy sauZZDf (x y)da:si o numim integrala duba a functiei f pe domeniul D. Asadar, putem scrief (x y)dxdy = nlim f ( k k )ak : n 0 k=1 D Ca si la functiile de o variabila reala se arata ca orice functie continua pe domeniul D este integrabila. Si proprietatile integralei duble sunt analoage cu cele ale integralei Riemann.!1 k k!ZZn X444functia f + g este integrabila pe D si avemTeorema 8.4.1 (de liniaritate) Daca f g : D R 2 ! R sunt functii integrabile pe D, atunci oricare ar 2RZZD( f (x y) + g(x y))dxdy =ZZ=D D Aceasta proprietate ne spune ca integrala dubla pe domeniul D este o functionala liniara. Demonstratia teoremei este imediata.f (x y)dxdy +ZZg(x y)dxdy:Teorema 8.4.2 (de aditivitate fata de domeniu) Daca functia f : D R 2 ! R este integrabila pe D, iar D = D1 D2 , D1 \ D2 = ?, atunci f este integrabila pe D1 si peD2 si avem f (x y)dxdy = f (x y)dxdy + f (x y)dxdy: D D1 D2 A rmatia din aceasta teorema se demonstreaza cu ajutorul de nitiei. Teorema 8.4.3 (de interpretare geometrica) Daca f : D R 2 ! (0 1) este integrabila, atunci avemZZZZZZZZDf (x y)dxdy = V (f )unde V (f ) este volumul barei cilindrice marginita de domeniul D si suprafata data de z = f (x y), av^nd generatoarele a paralele cu axa Oz.445Pentru cazul particular fZZD1, avemdy = aria(D):atunciTeorema 8.4.4 (de semn) Daca f : Df (x y)dxdy 0: D Proprietatea din enunt rezulta imediat din nenegativitatea sumelor integrale. Teorema 8.4.5 (de monotonie) Daca f g : D R 2 ! R sunt integrabile pe D si f g pe D, atunci f (x y)dxdy g(x y)dxdy: D D Pentru demonstratie se aplica functiei g ; f 0 proprietatea de semn. Teorema 8.4.6 (modulului) Daca functia f : D R2 ! R este integrabila pe D si atunci jf j este integrabila pe D si avemZZR 2 ! (0 1),ZZZZZZDf (x y)dxdyZZDjf (x y )jdxdy:Formula din teorema rezulta imediat din inegalitatea ;jf j f jf j.integrabile pe D, m = inf f (x y), M = sup f (x y ) si g(x y)2D ( x y ) 2DTeorema 8.4.7 (de medie) Daca f g : D R 2 ! R sunt446are semn constant pe D, atunci exista un numar real m M ] asa ^nc^t a2ZZDf (x y)d(x y)dxdy =ZZDg(x y)dxdynumita formula de medie generalizata pentru integrala dubla.f (x y) M rezulta mg(x y) f (x y)g(x y) Mg(x y). Utiliz^nd proprietatea de monotonie a integralei duble, putem a scrie: mDemonstratie Consideram g 0 pe D. Atunci din mZZDg(x y)dxdy M DZZDZZf (x y)g(x y)dxdyg(x y)dxdy = 0:(8.3)ZZ ZZDacaDg(x y)dxdy = 0,atunciD ca sa avem formula din Teorema de medie. ZZDacaf (x y)g(x y)dxdy = 0 si putem alege orice 2 m M ] g(x y)dxdy 6= 0, atunci prin ^mpartire cu acest447Dnumar ^n (8.3) avemZZDg(x y)dxdy D de unde rezulta ca putem luamZZf (x y)g(x y)dxdyMZZD=ZZDf (x y)g(x y)dxdy g(x y)dxdy:Cazuri particulare 8.4.1 Daca f este continua pe D, atunci exista un punct ( ) 2 D asa ^nc^t = f ( ). a 8.4.2 Daca g 1 pe D, atunci formula de medie ia forma ZZnumita formula de medie pentru integrala dubla. Calculul integralelor duble se reduce la calculul a doua integrale de nite (Riemann), succesive. pentru ^nceput sa consideram cazul unui domeniu dreptunghiular. Teorema 8.4.8 Daca f : a b] c d] ! R este integrabila pe dreptunghiul D = a b] c d] si daca pentru orice x constant din intervalul a b], functia f este integrabila ^n raport cu y, adica existaDf (x y)dxdy =aria(D)F (x) =Zdcf (x y)dy448x 2 a b]atunci avemZZDf (x y)dxdy =Zb Zda cdx f (x y)dy:spectiv pentru intervalele a b] si c d], de nite prin Dx : a = x0 < x1 < ::: < xm = b Dy : c = y0 < y1 < ::: < yn = d si av^nd normele a kDx k = max(xi ; xi;1 )i=i mDemonstratie Vom considera diviziunile Dx si Dy , re-respectivkDy k = max(yj ; yj ;1):j =1 nCele doua diviziuni Dx si Dy determina pe D diviziunea D data de subdreptunghiurile Di j = f(x y) 2 Dj xi;1 x xi yj;1 y yj g i = 1 m, j = 1 n si av^nd norma kDk data de max di j , de a i=1 m j =a n unde dij este diametrul dreptunghiului Dij . Se observa imediat ca daca kDxk ! 0 si kDy k ! 0, atunci kDk ! 0 si reciproc. Alegem punctele intermediare ( i j ) 2 Dij , i 2 xi;1 xi], j 2 yj ;1 yj ], i = 1 m, j = 1 n. Deoarece f este integrabila pe D, iar functia F exista si este integrabila pe a b], avem succesivZZDf (x y)dxdy = kDk!0 limm n XX i=1 j =1f(i j )ariaDij=449= Dx 0 limk km n XX i=1 j =1Dyk!f(i j )(xi ; xi;1 )(yj ; yj ;1 ) = n X i j )(yj ; yj ;1 )k!0= kDlim 0 k!xm X i=1(xi ; xi;1 ) kDlim 0 f ( y k! j =1m X i=1!== kDlim 0 k!x(xi ; xi;1 ) f ( i y)dy =cZd= kDlim 0 k!xm X i=1F ( i)(xi ; xi;1 ) =ZbaF (x)dx ==Zb Zda cdx f (x y)dy c d] seceea ce trebuia demonstrat. Deseori, integrala pe dreptunghiul D = a b] noteaza prinZb Zda cf (x y)dxdy:Asadar, formula din enuntul Teoremei ia formaZb Zda cf (x y)dxdy =Zb Zda cdx f (x y)dy:^n mod analog, se arata ca avem si formula IZb Zda cf (x y) =Zd Zbc ady f (x y)dx:450Exemplul 8.4.1. Sa calculamI=AvemZ1 Z20 1dxdy : (x + y + 1)2I=Z1 Z2dx0 1dy = (x + y + 1)2Z10dx ; x + 1 + 1 y2=1=Z10;1 + 1 dx = x+3 x+2= ; ln(x + 3)j1 + ln(x + 2)j1 = 0 0 = ; ln 4 + ln 3 + ln 3 ; ln 2 = ln 9 : 8 Sa trecem acum la calculul integralelor duble pe un domeniu D regulat ^n raport cu una din axele de coordonate .port cu una din axele de coordonate daca orice paralela la una din axele de coordonate ^nt^lneste curba care margineste a domeniul ^n cel mult doua puncte.De nitia 8.4.2 Spunem ca un domeniu D este regulat ^n ra-Sa consideram ca domeniul D este regulat ^n raport cu axa Oy ( g 8.4.1). Un astfel de domeniu se descrie astfel:D = f(x y)j a x b '(x) y451(x)g:y dy=R(x)c 0 ay=n(x) b xFig. 8.4.1Teorema 8.4.9 Daca functia f este de nita si integrabila pedomeniul D = f(x y )j a x b '(x) y ecare x 2 a b] exista integrala(x)g si pentruF (x) =atunci are loc formulaZ(x)f (x y)dy'(x)ZZDf (x y)dxdy =Zb Z(x)adxf (x y)dy:'(x)Consideram dreptele paralele cu Ox, y = c si y = d, astfel ca c '(x) si d (x), x 2 a b] (Fig. 8.4.1) si notam cu dreptunghiul a b] c d]. Introducem functia auxiliaraDemonstratie Folosim Teorema 8.4.8.f (x y) daca (x y) 2 D 0 daca (x y) 2 ; D: Functia g este integrabila pe dreptunghiul ind integrabila at^t pe D, c^t si pe domeniul ; D, unde este nula. a a g: !R g(x y) =452Folosind proprietatea de aditivitate a integralei duble fata de domeniu (Teorema 8.4.2), putem scrieZZDZZDg(x y)dxdy =g(x y)dxdy +ZZZZD;Dg(x y)dxdy =(8.4)=f (x y)dxdyZZdeoarece;Dg(x y)dxdy = 0.g(x y)dxdy se poate calcula folosind D si formula din Teorema 8.4.8. AvemDar, integralaZZRb Rd g(x y)dxdy = a c D ' Zb Zd Zb 0 Z(x) = dx g(x y)dy = dx @ g(x y)dy+ a c a c 1 Z(x) Zd + g(x y) + g(x y)dyC = Ag(x y)dxdy ='(x)ZZ(8.5)=ZbadxZ(x)(x)f (x y)dy'(x)453deoarece' Z(x) cg(x y)dy = 0 siZd(x)g(x y)dy = 0:Din (8.4) si (8.5) rezulta formula din enuntul Teoremei 8.4.9. Daca domeniul D este regulat ^n raport cu axa Ox, adica el are forma D = f(x y)k c y d '(y) x (y)g atunci avem formulaZZDf (x y)dxdy =Zd Z(y)cdyf (x y)dx:'(y)Exemplul 8.4.2. Sa calculam integrala dublaD daca D este domeniul marginit de curbele y = x si y = x2 . Examinam domeniul D (Fig. 8.4.2) si observam ca el este situat ^ntre dreapta y = x si parabola y = x2 si punctele O( ) si A(1 1).y 1 A(1, 1)I=ZZ(3x ; y + 2)dxdyy=y= x2x0Fig. 8.4.24541xD este regulat ^n raport cu axa Oy si avem D = f(x y)j 0 x 1 x2 y xg:Atunci putem scrie succesiv:I== =Z1 Zx0dx (3x ; y + 2)dy =x2 xZ102 3xy ; y + 2y 2dx =x24Z103x2 ; x + 2x ; 3x3 + x ; 2x2 dx = 2 22Z1 x4 x2 31 = ; 3x3 + + 2x dx = : 2 2 600Observatia 8.4.1 Daca avem de calculat o integrala dubla pe un domeniu arbitrar, atunci ^ncercam sa gasim o partitie a sa ^n domenii regulate si apoi aplicam proprietatea de aditivitate fata de domeniu.Ca si ^n cazul integralelor Riemann, calculul unor integrale duble se poate face cu o schimbare de variabile. Se demonstreaza ( 16], 22]) ca are loc urmatoarea teorema de schimbare de variabile:Teorema 8.4.10 Fie f : D R 2 ! R o functie integrabila pe D si e transformare x = '(u v), y = (u v) a domeniului R 2 ^n domeniul D. Daca functiile ' si au derivate455partiale de ordinul ^nt^i continue pe domeniul , iar detera minantul functional (jacobianul transformarii)atunci are loc formula de schimbare de variabile ^n integrala dubla@'(u v) @'(u v) D(x ) @u @v J = D(u y) = 6= 0 v @ (u v) @ (u v) @u @vZZD O schimbare de variabile des utilizata este cea polara: x = r cos y = r sin prin care se trece de la coordonatele carteziene (x y) la cele polare (r ). Geometric (Fig. 8.4.3), daca avem punctul A(x y) din planul xOy, atunci coordonatele polare ale p A sunt date lui de distanta de la origine la A, adica r = x2 + y2, si de unghiul pe care ^l face axa Ox cu directia OA, adica tg = y . xyf (x y)dxdy =ZZf ('(u v) (u v))jJ jdudv:A(x, y) r 2 0 xFig. 8.4.3456Jacobianul transformarii polare este@x D(x y) = @r J = D(r ) @y @r@x @ = cos @y sin @ dxdy p1 + x2 + y2;r sin r cos= r:Exemplul 8.4.3. Sa calculam integrala dublaI=ZZDunde D = f(x y) 2 R j x2 + y2 a2 a > 0 x 0 y 0g. Se observa ca D este marginit de sfertul de cerc x2 +y2 = r2 din primul cadran si de axele Ox si Oy (Fig. 8.4.4).yr 2 0 a xFig. 8.4.4Utilizam coordonatele polare, prin care domeniul D este transformat ^n dreptunghiul = (r )j 0 r a 0457n2osi avemI =ZZa0 p = 2 ( 1 + a2 ; 1): Observatia 8.4.2 Prin analogie cu integralele improprii din functiile de o variabila reala, se pot introduce si integrale duble (^n general, multiple ) improprii. Observatia 8.4.3 ^n domeniul economic integralele duble I apar deseori ^n studiul modelelor matematico - economice descrise prin variabile aleatoare bidimensionale.Z rdr Z = p dr d 1 + r221 rdrd = Z p 1 + r2 00aZ rdrd p201 + r2a=0= 2 1 + r2 =p8.5 Integrale tripleextinderea notiunii de integrala Riemann la functii de doua variabile se poate continua pentru functii care depind de un numar oarecare de variabile. Daca avem functia f : T R m ! R , atunci putem introduce integralele de formaZZT: : : f (x1 ::: xm )dx1 dx2 : : : dxmZnumite integrale m-multiple. ^n acest paragraf vom schita cazul a trei variabile (m= 3). I Fie f : T R 3 ! R u = f (x y z) o functie de trei variabile, T ind un domeniu (corp)marginit si ^nchis.458Descompunem corpul T ^n n subdomenii (subcorpuri) elementare T1 T2 ::: Tn de diametre d1 d2 ::: dn si de volume v1 v2 ::: vn. ^n ecare domeniu elementar Ti alegem un punct I arbitrar Pi( i i 'i) si formam sumele (f P ) =n X i=1f(i i' i )v i =n X i=1f (Pi)vinumite sume integrale. Notam cu d cel mai mare dintre diametrele d1 d2 ::: dnDe nitia 8.5.1 Spunem ca f este integrabila pe corpul T daca exista d!0 (f P ). lim Aceasta limita se noteaza prinZZZTf (x y z)dxdydz sauZZZTf (P )dvsi se numeste integrala tripla pe T a functiei f.Asadar, avemZZZTf (x y z)dxdydz = d!0 limn X i=1f(i i'i)vi:Ca si la integralele duble este valabil rezultatul: Teorema 8.5.1 Daca functia f este continua pe corpul T, atunci ea este integrabila pe acest corpObservatia 8.5.1 Daca f (x y z) > 0 pe corpul T, atunci RRRTf (x y z)dxdydz reprezinta masa corpului T de densitate variabila = f (x y z) (interpretarea zica a integraleitriple).459Observatia 8.5.2 Daca f (x y z) = 1 pe T, atunciZZZTdxdydz = v(T )unde v(T) este volumul corpului T (interpretarea geometrica a integralei triple) Proprietatile integralei triple sunt similare cu cele ale integralelor duble. ^n continuare prezentam calculul integralelor triple. I Teorema 8.5.2 Daca functia f : a1 b1 ] a2 b2 ] a3 b3] = T ) R este marginita si integrabila pe paralelipipedul drepb R3 tunghic de de nitie, exista integrala F (x y) = f (x y z)dz a3 pentru orice (x y) 2 a1 b1 ] a2 b2 ] = D si F este integrabila pe D, atunciZZZT1 ZZ 0Zb f (x y z)dxdydz = @ f (x y z)dzA dxdy:3Da3Demonstratia este analoaga cu cea de la integrale duble (v. Teorema 8.4.8]) Corolarul 8.5.1 Utiliz^nd calculul integralei duble pe drepa tunghiul D, obtinemZZZTf (x y z)dxdydz ==1 2Zb Zb Zb1 2 33Zb Zb Zba1 a2 a3a1 a2 a3f (x y z)dxdydz =dx dy f (x y z)dz:460Exemplul 8.5.1. Sa calculamI=Avem succesivZ1Z2Z20 1 1dxdydz : (x + y + z + 1)3dz I = dx dy (x + y + z + 1)3 =0 1 1Z1 Z2 Z21 = ;21Z1 Z20 1 21 dx dy (x + y + z + 1)2 j2= 11 Z dx Z 1 1 =; ; dy = 2 2 (x + y + 3) (x + y + 2)2 1 Z dx 1 1 = ; j2 = 2 x+y+3 x+y+2 11 0 11Z =20011 ; 1 ; 1 + 1 dx = x+5 x+4 x+4 x+3= 1 (ln(x + 5) ; 2 ln(x + 4) + ln(x + 3)) j1 = 0 2 = 1 ln (x + 5)(x + 3) j1 = 1 ln 24 ; ln 15 = 1 ln 384 : 2 (x + 4)2 0 2 25 16 2 375 Acum, sa consideram cazul unui corp T regulat ^n raport cu Oz, adica un corp ^n care orice paralela la Oz intersecteaza suprafata corpului ^n cel mult doua puncte (v. Fig.8.5.1.)461Fig:8:5:1: Are loc urmatoarea formula de calculZZZTf (x y z)dxdydz =ZZdxdy f (x y z)dz:'(x y)( Zx y)DDaca D este dat de a x obtinem formula de calculb si u(x)yv(x), atunciZZZTf (x y z)dxdydz =v ( Zb Z(x) Zx y) a u(x) '(x y)dx dy f (x y z)dz:Exemplul 8.5.2. Sa se calculezeI=ZZZTdxdydz (2 + x + y + z)3unde T este corpul marginit de planele de coordonate si de planul x + y + z = 1. Corpul T este cel din g.8.5.2.462AvemFig:8:5:2: I=1 Z1 Z;x 1;x;y Z 0 0 0dz dx dy (1 + x + y + z)3 =1;xZ 1 Z dx dy 1 j1;x;y = = ;2 2 0 (2 + x + y + z)11 Z dx Z 1 ; 1 =; dy = 2 9 (2 + x + y)21 1;x 0001 = ; 1 dx 1 y + 2 + x + y j1;x = 0 2 90Z104631Z = ;2011 ; x + 1 ; 1 dx = 9 3 2+x2 = 1 ln(x + 2) ; x + (x ; 1) j1 = 0 2 3 18 7 = 1 ln 3 ; 18 : 2 2 Ca si la integrala dubla, schimbarea de variabile la integrala tripla are drept scop simpli carea calcului acestei integrale, care rezulta prin modi carea functiei de integrat sau a domeniului de integrare. Presupunem ca avem de calculatI=ZZZTf (x y z)dxdydzsi ca efectuam schimbarea de variabilex = g1 (u v w) y = g2(u v w) z = g3(u v w) (u v w) 2 T1 R 3 , care transforma domeniul T1 < R 3 ^n T R 3 . Mai presupunem ca functiile g1 g2 g3 sunt continue, cu derivate partiale de ordinul ^nt^i continue ^n T1 , iar determinantul a functional Dxyz J = D((u v w)) =Are loc formula@g1 @x @g2 @x @g3 @x @g1 @y @g2 @y @g3 @y @g1 @z @g2 @z @g3 @z6= 0 ^n T1ZZZTf (x y z)dxdydz =464=ZZZT1f (g1(u v w)) g2(u v w) g3(u v w)jJ jdudvdwnumita formula schimbarii de variabila ^n integrala tripla (v. 17], 22]) Aplicatia 8.5.1. Coordonate cilindrice. Trecerea de la coordonate carteziene la cele cilindrice ( g. 8.5.3.) este data de x = cos y = sin z = z, cu 0 R, 0 0: Efectu^nd schimbarea de variabila data de coordonatele a sferice, obtinemI==ZZZ Z02cos2 '2sin 'd d d' =Z20Tdcos ' sin 'd'2Za04a5 d = 415 :4678.6 Probleme1. Prin calculul direct, stabiliti natura urmatoarelor integrale improprii a)+ Z1 0sin xdxZ1 dx b)0c) d) e) f)Z1 arctgx0x2 + 9Z0 dx1 + x2 dx 9 + x2;1 Z1xe;x2 dx xne;xdx n 2 N4 ; x2Z100Z2 x5dx g) ph)Z100Z2 dx i)0dx px(1 ; x)(x ; 1)2468j)Z10x ln2 xdxZ1 2x + 1 k) x2 + x + 1 dx 0 Z1 xdxl)2. Precizati natura urmatoarelor integrale improprii:a) b)0x4 + 1 .Z1 Z11dx 1 + x2 + x10dxp p 2 + x2 3 4 + x3 1 + Z 1 p3 + x2 3 c) p 2 dx x ;2d) e) f)Z1 Z1 Z0 02e;ax sin bxdx a b 2 R a > 0 e;ax cos bxdx a b 2 R a > 0 x2 x4 + 2x2 + 3 dx0 +1Z1 dx p g)1x 3 x2 + 1469Z1 dx h) pi)Z1001 ; x63Z1 dx p j) Z1 dx k)0 + Z1 0x dx p(1 ; x2)53e3x ;1tgx ; x .3. A ati v. p. C pentru integralele:a) b);1 + Z1 ;1sin xdx 1 + x dx 1 + x2Z2 dx c)1 2x ln x1 ; x2Z1 dx d)e)Z100dx . x ; 3x + 224. A ati:470a) lim (3x + 1) cos( x)dx !0 b) lim !0Z21Z1 p5x6 + x2 + 2dx.5. A ati derivatele I 0( ) pentru urmatoarele functii:0b) I ( ) = c) I ( ) =Z1 dx a) I ( ) = x2 + 0 Z Z10222Rcos(x2 + 2)dx x 2 Rp 2x x +2dx> 0.6. Calculati integralele cu parametrii:a) I ( ) = b) I ( ) =Z1 1 ; e2 Z0 02xex dx2> ;1sin2 x)dxj j < 1.ln(cos2 x +>0Z1 ln(1 ; x2) p dx c) I ( ) = 1 ; x27. CalculatiZ100e; xdx,> 0. Plec^nd de la rezultatul a471gasit, aratati ca0Z1e;xxn dx = n!n 2 N:Z1 dx 8. Plec^nd de la x2 + a , a > 0, gasiti a0Z10dx (x + 1)n+12n 2 N:9. Aratati ca functia ; este o functie convexa. 10. Utiliz^nd integralele euleriene, calculati integralele: aa) b) c) d)Z1 p Z0 Z10 0x ; x2 dxpax2 a2 ; x2 dx, a > 0 x dx (1 + x2 )2p 41 + x4 0 Z1 px 3 e) dx (1 + x2 )2Z1 x2dxZ1 x2dx f)0 0(1 + x6 )2472g) h)Z1 Z21 0x 3 1 ; x3 dx(x ; 1)8(2 ; x)10 dx (1 + x2 )n ,n2NpZ1 dx i)j) k)Z002sin4 x cos2 xdxZ10x2n e;x2 dx, n 2 N .11. Calculati integralele duble:a) b) c) d)Z1 Z2 Z Z12 0 1dx (3x + y + 1)2(2x2 y ; 3xy + 2x ; 3y + 1)dxdyZ Z21 0 1 ZZ1;1ex+y dxdy xydxdy dacaDD = f(x y) 2 R 2 j x 0 y 0 x + y 1g473e) f) g) h) i) j)xydxdy, unde D este interiorul triunghiului de D v^rfuri (0 0), (0 1) si (1 1) a(2x ; y)dxdy, unde D este domeniul marginit D de curbele y = 2 ; x2 si y = 2x ; 1ZZ ZZy ln xdxdy, daca D este domeniul marginit de D p curbele xy = 1, y = x, x = 2ZZZZpD de cercul x2 + y2 = a2 , a > 0x2 + y2dxdy, daca D este domeniul marginitZZD marginit de cercurile x2 + y2 = e2 si x2 + y2 = e4ln(x2 + y2)dxdy, daca D este domeniulZZD marginit de dreptele x + y = 1, x ; y = 1, x + y = 3 si x ; y = ;1.(x + y)3(x ; y)2dxdy, daca D este domeniul12. Calculati aria domeniului D limitat de curbele xy = 1,xy = 2, y = x si y = 3x. 13. Calculati aria domeniului plan D limitat la curbele x = 4y ; y2 si x + y = 6. 14. Calculati aria domeniului plan limitat de curbele y = 2 ; x si y2 = 4x + 4.47415. Calculati volumul corpului limitat de suprafetele y = 1+x2, z = 3x, y = 5 si z = 0 si situat ^n primul octant. 16. Calculati volumul corpului limitat de suprafetele z = 0, z = xy, x2 + y2 = 4. RRR 17. Calculati integrala I = zdxdydz, unde V este domeV niul de nit prin: 8 1 0 x 2 < y x : 0 z x p1 ;2x2 ; y218. Sa se calculezeRRR zdxdydz, unde (V) este jumatatea suV19. Calculati integrala I =2 2 2 perioara a elisoidului x2 + y2 + z2 a b cRRR z2dxdydz, unde corpul (V)V1.este marginit de suprafata conica R2 z2 = h2(x2 + y2) si de planul z = h. RRR p 20. Sa se calculeze integrala I = z x2 + y2 dxdydz, unde V V este marginit de suprafata cilindrica x2 + y2 = 2bx b > 0 si planele y = 0 z = 0 z = a (y > 0 a > 0).4758.7 Test de veri care a cunostintelor nr. 81. De niti urmatoarele notiuni: a) Integrala improprie de prima speta b) Functiile Beta si Gamma ale lui Euler c) Integrala dubla. 2. a) Studiati convergenta integraleiZ01 2Z1 dx b) Studiati convergenta integralei1dx , x ln2 x1 + x4 ,3Z1 dx c) Studiati convergenta integralei I = pd) Studiati convergenta integralei01 ; x4,I=Z1 j sin xj1xw dxw> 1:3. Sa se calculeze integrala I (a) =Z1 1 ; e;ax0pinde de parametrul real a > ;1. 4. Calculati integralax ex dx care de-I ( b) =Z021 ln 1 + b sin x dx cu b 2 R : sin x 1 ; b sin x4765. a) Calculati integrala:I ( b) =Z02ln(cos2 x + b2 sin2 x)dxcare depinde de parametrul real 0 < b < 1. Z1 1 ; cos yx b) Calculati I (y k) = e;kxdx cu y x 0 k > 0. 6. Calculati cu ajutorul integralelor euleriene: a) I =0,Z1 p0x ; x2 dx1 4Z1 x b) I =0d) I =Z1 x c) I = 1 + x3 dx 0 Z1 x20(1 + x)2 dx(1 + x4 )2.7. Calculati: a) I = 1 2] b) I =ZZdxdy , unde D este dreptunghiul 3 4] D (x + y)2 ydxdy 3 (1 + x2 + y2) 2477Z1 Z10 0c) I =Z1 Z00;1x exy dxdy.8. a) Calculati I =ZZD niul marginit de parabolele y = x2 si y2 = x. ZZ x2 dxdy unde D este marginit de b) Calculati I = D y2 dreptele x = 2, y = x si hiperbola xy = 1. xydxdy, unde D este sfertul de cerc D R2 situat ^n primul cadran.(x2 + y)dxdy unde D este dome-9. Calculati I =ZZx2 + y210. Calculati I =x2 sin(xy) dxdy, unde D este domey D niul marginit de parabolele x2 = y, x2 = 2y, y2 = 2 x, y 2 = x.ZZ478