Integrale euleriene

66

Transcript of Integrale euleriene

Page 1: Integrale euleriene

Capitolul �

Generaliz�ari ale not�iunii

de integral�a

�Tot ce va servi la ceva� e bun��W� Shakespeare�

P�an�a acum s�a considerat c�a

bZa

f�x�dx reprezint�a o inte�

gral�a Riemann� dac�a sunt ��ndeplinite condit�iile� a �� �� �sib �� �� f funct�ie m�arginit�a pe �a� b� �si f funct�ie real�a de osingur�a variabil�a real�a�

Dac�a una din aceste condit�ii nu este ��ndeplinit�a� atunci

expresia

Z b

a

f�x�dx constituie o extindere a not�iunii de inte�

gral�a��In acest capitol vom preciza sensul acestei not�iuni pentru

c�ateva dintre aceste extinderi�

��� Integrale improprii

�In multe situat�ii practice apar integrale care au intervalul de

���

Page 2: Integrale euleriene

integrare de lungime in nit�a �si integrale pentru care funct�iade integrat nu este m�arginit�a�

Astfel de integrale se numesc improprii sau generalizate�Dac�a lungimea intervalului este in nit�a� adic�a avem una dinsituat�iile

I �

��Za

f�x�dx � I �

bZ��

f�x�dx � I �

��Z��

f�x�dx �

ZR

f�x�dx�

atunci spunem c�a avem integrale improprii de spet�a �n�ai�Dac�a funct�ia de integrat este nem�arginit�a pe �a� b�� atuncispunem c�a avem integrale improprii de spet�a a doua�Dac�a at�at intervalul de integrare este de lungime in nit�a� c�at�si f este nem�arginit�a ��n acest interval� atunci spunem c�a avemintegrale improprii mixte�

De�nit�ia ����� Fie f � �a��� � R o funct�ie integrabil�a pe

orice interval �a� b�� b � R� b � a Dac�a exist�a limb��

bZa

f�x�dx�

atunci prin denit�ie

�Za

f�x�dx � limb��

bZa

f�x�dx�

c�and limita este nit�a spunem c�a integrala este convergent aiar ��n caz contrar� adic�a dac�a limita nu exist�a sau este in�nit�a� spunem c�a integrala improprie este divergent a

�In mod analog de nim

bZ��

f�x�dx � lima���

f�x�dx

���

Page 3: Integrale euleriene

�si�Z

��

f�x�dx � lima���b��

bZa

f�x�dx�

Imediat se observ�a c�a avem relat�iile

bZ��

f�x�dx �

�Z�b

f��t�dt

�si

��Z��

f�x�dx �

Z C

��f�x�dx �

��ZC

f�x�dx � C � R�

care ne arat�a c�a este su cient s�a studiem cazul intervalului�a����Exemplul ������ S�a consider�am integrala

�Za

dx

x�� a � �si � � R�

Pentru b � a �si � �� � avem

bZa

dx

x��

�� ��b��� � a�����

Limita

limb��

�� ��b��� � a����

este nit�a� ind egal�a cua���

�� �� pentru ��� � � adic�a � � ��

���

Page 4: Integrale euleriene

�In cazul � � � avem

�Za

dx

x� lim

b��

bZa

dx

x� lim

b���ln b� ln a� ���

integrala ind divergent�a�

�In concluzie� avem c�a

�Za

dx

x��

a���

�� �pentru � � �� adic�a

este convergent�a� iar pentru � � � integrala improprie estedivergent�a�Exemplul ������ Fie de calculat integrala improprie

��Z��

dx

x� � �

Avem��Z��

dx

x� � � lim

a���b��

bZa

dx

x� � �

� lima���b��

�arctg

b

�� arctg

a

��

������

���

��

Observat�ia ����� Putem scrie

�Za

f�x�dx �

kZa

f�x�dx�

k��Zk

f�x�dx� ����

k�nZk�n��

f�x�dx� ����

k � N� k � a

Dac�a not�am un �

k�nZk�n��

f�x�dx� n � �� �� ���� u� �

kZa

f�x�dx�

���

Page 5: Integrale euleriene

atunci�Zk

f�x�dx ��Xn �

un�

adic�a integralei

�Za

f�x�dx��i corespunde seria numeric�a�Xn �

un�

Integrala improprie �si seria asociat�a au aceea�si natur�a�Aceast�a observat�ie ne permite s�a adapt�am criteriile de

convergent��a de la seriile numerice la integralele improprii despet�a ��nt�ai�

Teorema ����� �Criteriul lui Cauchy� Integrala impro�

prie

�Za

f�x�dx� este convergent�a dac�a �si numai dac�a pentru

orice � � exist�a M��� � R� a�sa ��nc�at pentru orice �� � � R�� � � � M��� s�a avem������

Z�

f�x�dx

������ � ��

Demonstrat�ia rezult�a imediat din Criteriul lui Cauchy scris

pentru seria numeric�aXn��

un�

De�nit�ia ����� Integrala improprie

Z �

a

f�x�dx se nume�ste

absolut convergent a dac�a integrala improprie

�Za

jf�x�jdx

este convergent�a

���

Page 6: Integrale euleriene

Teorema ����� Dac�a

�Za

f�x�dx este absolut convergent�a�

atunci ea este convergent�a

Pentru demonstrat�ie se folose�ste Teorema ����� �si inegali�tatea ������

bZa

f�x�dx

������ �bZ

a

jf�x�jdx�

S�i criteriile de comparat�ie de la serii cu termeni pozitivi seextind imediat la integrale improprii�

Teorema ����� �primul criteriu de comparat�ie� Fie f� gfunct�ii denite �si integrabile pentru x � a Dac�a � f�x� �g�x� pentru x � a� atunci�

�� dac�a

�Za

g�x�dx este convergent�a� atunci �si

�Za

f�x�dx este

convergent�a�

�� dac�a

�Za

f�x�dx este divergent�a� atunci �si

�Za

g�x�dx este

divergent�a

Teorema ����� �Al doilea criteriu de comparat�ie� Fie

funct�iile f� g � �a��� � ���� dac�a limx��

f�x�

g�x�� k� k �

����� atunci integralele improprii

�Za

f�x�dx �si

�Za

g�x�dx

su aceea�si natur�a� adic�a ambele sunt convergente sau ambelesunt divergente Dac�a k � � atunci convergent�a integralei�Za

g�x�dx implic�a convergent�a integralei

�Za

f�x�dx

���

Page 7: Integrale euleriene

Corolarul ����� Fie f � �a��� � ����� a � Dac�aexist�a lim

x��x�f�x� � k� k constant�a real�a nit�a� pentru � � ��

atunci integrala

�Za

f�x�dx este convergent�a Dac�a � � � �si

k � � atunci integrala este divergent�a

Valabilitatea Corolarului rezult�a din Teorema ����� �si Ex�emplul ���

Exemplul ������ Integralele improprii

�Za

x�e�xdx� a � �

sunt convergente pentru orice � real��Intr�adev�ar� pentru x � putem scrie

ex � � �x

�!� ����

xn

n!� ��� �

xn

n!� n � N �

De aici� avem � e�x �n!

xn� adic�a � x�e�x �

n!

xn���

Aleg�and n � N a�sa ��nc�at n�� � � � � �si aplic�and primul cri�

teriu de comparat�ie pentru f�x� � x�e�x� g�x� �n!

x�� � � ��

pe baza Exemplului ��� obt�inem a rmat�ia din enunt�ul exem�plului�

Exemplul ������ Integralele improprii

�Za

Pm�x�

Qn�x�dx� Pm �si

Qn ind funct�ii polinomiale cu coe cient�i reali� cu gradele m�si respectiv n� Qn �� pentru x � a� sunt convergente pentrun�m � ��

Avem

limx��

x�Pm�x�

Qn�x�� lim

x��x�amx

m � am��xm�� � ���� a�

bnxn � bn��xn�� � ���� b��

��

Page 8: Integrale euleriene

� limx��

x��m�n am �

am��

x� ����

a�xm

bn �bn��

x� ��� �

b�xn

�ambn

dac�a � � n � m� Conform Corolarului ������ integrala dat�aeste convergent�a dac�a n�m � ��

�In mod analog se studiaz�a �si integralele improprii de spet�aa doua�

De�nit�ia ����� Fie funct�ia f � �a� b�� R� nem�arginit�a ��n b�dar m�arginit�a �si integrabil�a pe orice subinterval ��nchis �a� �� �

�a� b� dac�a exist�a lim��b��b

Za

f�x�dx� atunci prin denit�ie

bZa

f�x�dx � lim��b��b

Za

f�x�dx�

Dac�a limita este nit�a� atunci spunem c�a integrala impro�prie este convergent a iar ��n caz contrar spunem c�a integralaeste divergent a�

Dac�a f este nem�arginit�a ��n a atunci

bZa

f�x�dx � lim��a��a

bZ�

f�x�dx�

iar dac�a f este nem�arginit�a ��ntr�un punct c� a � c � b� atunci

bZa

f�x�dx �

cZa

f�x�dx�

bZc

f�x�dx�

Pe baza acestor considerente� ne putem limita numai la

cazul

bZa

f�x�dx� cu limx�bx�b

jf�x�j ���

��

Page 9: Integrale euleriene

Exemplul ������ Integrala

bZa

dx

�b� x��este convergent�a pen�

tru � � � �si divergent�a pentru � � ��Avem

Za

dx

�b� x���

�� �

�b� x����

����a

��

�� �

��

�b� ������ �

�b� a����

cu

lim��b��b

�� �

��

�b� ������ �

�b� a����

�� � �

�b� a����

pentru � � � �si �� pentru � � �� Deci � � � valoareaintegralei este � ln jb� xj ja�� c�and � � b� � � b� decieste divergent�a�

Dac�a b� a � �� atunci putem scrie

bZa

f�x�dx �

b��Za

f�x�dx �

b� ��Z

b��

f�x�dx�

b� ��Z

b� ��

f�x�dx� ����

b� �n��Z

b� �n

f�x�dx� ����

iar dac�a punem u� �

b��Za

f�x�dx �si un �

b� �n��Z

b� �n

f�x�dx� n �

���

Page 10: Integrale euleriene

�� �� ���� atunci obt�inem

bZa

f�x�dx ��Xn �

un�

care exprim�a integrala improprie de spet�a a doua printr�o serienumeric�a�

Ca �si la integralele improprii de spet�a ��nt�ai� putem trans�forma criteriile de convergent��a de la seriile de numere reale ��ncriterii de convergent��a pentru integrale improprii de spet�a adoua�

Teorema ����� �Criteriul lui Cauchy�� Integrala impro�

prie

bZa

f�x�dx� cu limx�bx�b

jf�x�j ��� este convergent�a dac�a �si

numai dac�a pentru orice � � exist�a un num�ar M��� � a�sa ��nc�at pentru orice � �si � cu b �M��� � � � � � b s�a

avem

������bZ

a

f�x�dx

������ � �

De nit�ia ����� �si Teoremele ����� �si ����� se p�astreaz�a f�ar�amodi c�ari �si pentru integralele improprii de spet�a a doua�

Teorema ���� �Al doilea criteriu de comparat�ie�� Fie

funct�iile f� g � �a� b� � ���� Dac�a limx�bx�b

f�x�

g�x�� k� k �

����� atunci integralele improprii

bZa

f�x�dx �si

bZa

g�x�dx au

aceea�si natur�a Dac�a k � � atunci convergent�a integralei

improprii

bZa

g�x�dx implic�a convergent�a integralei improprii

���

Page 11: Integrale euleriene

bZa

f�x�dx

Corolarul ����� Fie f � �a� b� � ���� cu limx�bx�b

f�x� ��

Dac�a limx�bx�b

�b� x��f�x�dx � k� k constant�a real�a nit�a� pentru

� � �� atunci integrala improprie

bZa

f�x�dx este convergent�a

Dac�a � � � �si k �� � atunci integrala este divergent�a

Exemplul ����� S�a studiem convergent�a integralei�Z

dx p�� x

Funct�ia f � �� ��� ����� f�x� ��

p�� x

divine in nit�a

c�and x� �� x � �� deci avem o integral�a improprie de spet�aa doua� Cum

f�x� ��

p�� x p� � x � x� � x� � x� � x�

� � p�� x

x � �� �� �si

Z�

p�� x

dx �

Z�

��� x���dx este convergent

�v� Exemplul ��� � � ��� � ��� deducem c�a integrala dat�aeste converget�a�Exemplul ������ S�a studiem natura integralei

bZa

dxp�x� a��b� x�

Se observ�a c�a funct�ia f � �a� b� � �����

f�x� ��p

�x� a��b� x�devine �� at�at ��n a c�at �si ��n b�

���

Page 12: Integrale euleriene

Pentru studierea naturii integralei utiliz�am Corolarul ������Avem

limx�bx�b

�b� x��f�x� � limx�bx�b

�b� x����� �p

x� a�

�pb� a

pentru � ��

�� � �si

limx�ax�a

�x� a��f�x� � limx�ax�a

�x� a����� �p

b� x�

�pb� a

pentru � ��

�� �� deci integrala dat�a este convergent�a�

Observat�ia ����� Din considerat�iile anterioare� deducem c�apropriet�at�ile principale ale integralei Riemann se p�astreaz�a �si��n cazul integralelor improprii convergente Astfel� de exem�plu� pentru o integral�a improprie de spet�a ��nt�ai are loc formulalui Leibniz � Newton

Teorema ����� Fie f � �a��� � R� integrabil�a �si e F oprimitiv�a a funct�iei f pe intervalul �a��� Atunci integrala

improprie

�Za

f�x�dx este convergent�a dac�a �si numai dac�a ex�

ist�a limx��

F �x� �si ��n plus este valabil�a formula Leibniz � Newton

�Za

f�x�dx � F ���� F �a� � F ��� � limx��

F �x��

Demonstrat�ie� Pentru orice b � a avembRa

f�x�dx � F �b��F �a� �si prin trecere la limit�a se obt�in a rmat�iile din enunt��

�In mod analog se extind schimbarea de variabil�a �si inte�grarea prin p�art�i�

���

Page 13: Integrale euleriene

Exemplul ������ S�a calcul�am

�Z�

�x� ��e�xdx�

Avem�Z�

�x� ��e�xdx � �xe�x�������

� �

Observat�ia ����� �In cazul unor integrale improprii diver�gente se ata�seaz�a o valoare printr�un procedeu datorat luiCauchy

Acesta este aplicabil integralelor improprii de spet�a ��nt�aide forma

��Z��

f�x�dx

�si integralelor improprii de spet�a a doua

bZa

f�x�dx

��n care f devine in nit�a ��ntr�un punct c� a � c � b�

De�nit�ia ����� Integrala improprie

��Z��

f�x�dx se nume�ste

convergent a �n sensul valorii principale Cauchy� dac�alimita

lima��

aZ�a

f�x�dx � v p C��Z��

f�x�dx

exist�a �si este nit�a

���

Page 14: Integrale euleriene

Exemplul ������ Pentru integrala improprie divergent�a�Z

��

dx

xavem

v p C�Z

��

dx

x� lim

���

%& �Z��

dx

x�

�Z�

dx

x

'( � ln ��

��� Integrale cu parametri

S�a trecem la extinderea not�iunii de integral�a��n cazul funct�iilorde mai multe variabile� Dac�a funct�ia de integrat este de maimulte variabile �si ea este integrat�a Riemann ��n raport cu unadin variabile� atunci spunem c�a avem o integral a cu para�mentri� Acestea au forma general�a

I���� ��� ���� �p� �

bZa

f�x� ��� ��� ���� �p�dx�

unde ��� ��� ���� �p sunt parametrii reali cu valori din anumitemult�imi de numere� Se observ�a imediat c�a o integral�a de acestfel de ni�ste o funct�ie de p variabile ��� ��� ���� �p�

�In leg�atur�a cu astfel de funct�ii se pune problema studieriipropriet�at�ilor de baz�a �trecerea la limit�a� continuitatea� deriv�abilitatea �si integrabilitatea� f�ar�a a calcula efectiv integralacare de ne�ste funct�ia�

�In continuare� ne vom limita numai la cazul p � �� adic�ala funct�iile de forma�

I��� �

bZa

f�x� ��dx � � � Y � R� �����

���

Page 15: Integrale euleriene

Teorema ����� �Teorema trecerii la limit a� Fie f ��a� b��Y � R o funct�ie de dou�a variabile� integrabil�a ��n raportcu x pe �a� b� �si �� un punct de acumulare pentru Y Dac�aexist�a lim

����f�x� ��� atunci

lim����

I��� � lim����

bZa

f�x� ��dx �

bZa

�lim����

f�x� ��

�dx�

Demonstrat�ie� Fie � � �si not�am lim����

f�x� �� � g����

atunci exist�a ���� � astfel ca pentru j� � ��j � ���� s�aavem jf�x� ��� g���j � ���b� a�� Atunci putem scrie�������

bZa

f�x� ��dx�bZ

a

g���dx

������ �

������bZ

a

�f�x� ��� g���dx�

������ �bZ

a

jf�x� ��� g���jbadx � ��

ceea ce demonstreaz�a Teorema ������

Observat�ia ����� Teorema ��� ne arat�a c�a ��ntr�o inte�gral�a cu parametru putem interventi operat�ia de integrare cuoperat�ia de trecere la limit�a

Pentru a putea aprofunda studiul propriet�at�ilor funct�ieiI��� vom considera Y � �c� d��

Teorema ����� Dac�a funct�ia f � �a� b� � �c� d� � R estecontinu�a ��n raport cu ansamblul variabilelor pe dreptunghiul�a� b� � �c� d�� atunci funct�ia I denit�a de ���� este continu�ape intervalul �c� d�

���

Page 16: Integrale euleriene

Demonstrat�ie Fie �� un punct din intervalul �c� d��Form�am diferent�a

I���� I���� �

bZa

�f�x� ��� f�c� ����dx�

Funct�ia de dou�a variabile f � ind continu�a ��n dreptunghiul�a� b� � �c� d�� este �si uniform continu�a ��n acest domeniu�Atunci� pentru orice � � � exist�a un ���� � � a�sa ��nc�ats�a avem

jf�x� ��� f�x� ���j � �

b� a

dac�a j�� ��j � �����Acum� putem scrie

jI���� I����j �bZ

a

jf�x� ��� f�x� ���jdx � �

b� a�b� a� � ��

dac�a j�� ��j � �����Deci� avem lim

����I��� � I����� ceea ce ne arat�a c�a funct�ia I

este continu�a ��n ��� Cum �� a fost ales arbitrar din intervalul�c� d�� rezult�a c�a funct�ia I este continu�a pe �c� d��

Teorema ����� �De derivare sub semnul integral a�Dac�a f � �a� b� � �c� d� � R este continu�a ��n dreptunghiul�a� b� � �c� d� �si exist�a derivata part�ial�a f �� continu�a ��n raportcu ansamblul variabilelor ��n acela�si dreptunghi� atunci funct�ia

I��� �

bZa

f�x� ��dx este derivabil�a pe �c� d� �si are loc formula

I ���� �

bZa

f ���x� ��dx�

���

Page 17: Integrale euleriene

Demonstrat�ie Fie �� un punct xat din �c� d�� Din egali�tatea

I���� I����

�� ��

bZa

f�x� ��� f�x� ���

�� ��

dx�

prin trecere la limit�a sub integral�a� avem

limx�x�

I���� I����

�� ��

bZa

f ���x� ���dx�

care ne arat�a c�a funct�ia I este derivabil�a ��n �� �si are loc for�mula din enunt�ul teoremei�Exemplul ������ S�a calcul�am derivata funct�iei I de nit�aprin

I��� �

�Z�

sin�x

xdx � � � R�

Integrala nu este improprie deoarece limx��

sin�x

x� ��

Avem

I ���� �

�Z�

x cos�xx

dx �

�Z�

cos�xdx �

�sin�x

������

�sin�

��

Observat�ia ����� �In unele situat�ii se consider�a integrale cuparametru ��n care �si limitele de integrare depind de parametru�adic�a avem

I��� �

b���Za���

f�x� ��dx � � � �c� d��

��

Page 18: Integrale euleriene

Dac�a� pe l�ang�a condit�iile din Teorema ������ mai adaug�amfaptul c�a funct�iile a �si b sunt derivabile ��n raport cu � pe �c� d��atunci are loc formula

I ���� �

b���Za���

f ���x� ��dx� b����f�b���� ��� a����f�a���� ���

Teorema ����� �de integrare� Dac�a funct�ia f � �a� b� ��c� d� � R este continu�a ��n raport cu ansamblul variabilelor��n dreptunghiul �a� b� � �c� d�� atunci oricare ar intervalul��� �� � �c� d� are loc egalitatea

Z�

I���d� �

Z�

"# bZa

f�x� ��dx

$A dx �

bZa

"# Z�

f�x� ��dx

$A dx�

Cu alte cuvinte� ��n condit�iile teoremei se poate integra subsemnul integralei� sau se poate schimba ordinea de integrare�

Demonstrat�ie Fie z � �c� d�� vom demonstra egalitateamai general�a

zZ�

"# bZa

f�x� ��dx

$A d� �

bZa

"# zZ�

f�x� ��d�

$A dx�

Facem notat�iile

��z� �

zZ�

"# bZa

f�x� ��dx

$A d�

�si

��z� �

bZa

"# zZ�

f�x� ��d�

$A dx�

��

Page 19: Integrale euleriene

Avem

���z� �

bZa

f�x� ��dx�

�si

���z� �

bZa

f�x� ��dx�

oricare ar z � �c� d�� De aici� rezult�a c�a ��z� � ��z� � C� constant�a� Cum ���� � ���� � � obt�inem C � � ceea cene arat�a c�a ��z� � ��z�� oricare ar z � �c� d�� Teorema estedemonstrat�a�Exemplul ������ S�a consider�am integrala cu parametru

I��� �

�Z�

x�dx�

Integr�am funct�ia I pe intervalul �a� b�� � a � b� �si avem

bZa

I���d� �

bZa

"# �Z�

x�dx

$A d� �

�Z�

"# bZa

x�d�

$A dx

de undebZ

a

x���

�� �

�������

d� �

�Z�

x�

lnx

����ba

dx

saubZ

a

d�

�� ��

�Z�

xb � xa

lnxdx�

ceea ce conduce la�Z

xb � xa

lnxdx � ln��� ��jba � ln

b � �

a � ��

���

Page 20: Integrale euleriene

Se observ�a c�a� utiliz�and proprietatea de intervertire a or�dinii de integrare ��ntr�o integral�a cu parametru� am reu�sit s�acalcul�am o integral�a greu de calculat pe alt�a cale�

De fapt� aceasta este una dintre aplicat�iile importante aleintegralelor cu parametrii� calculul unor integrale greu deevaluat pe alt�a cale�

Deseori� integrale f�ar�a parametru sunt transformate ��n in�tegrale cu parametru la care� apoi� se aplic�a derivarea sau inte�grarea sub semnul integralei �si se obt�ine o valoare mai general�apentru integrala dat�a� Prin particularizarea parametrului seobt�ine valoarea integralei date�Exemplul ������ S�a calcul�am integrala

I �

�Z�

arctgx

xp�� x�

dx�

Se observ�a c�a integrala nu este improprie deoarece

limx��

arctgx

xp�� x�

� �� Consider�am integrala mai general�a

I��� �

�Z�

arctg�x

xp�� x�

dx � � � �����

Deriv�am ��n raport cu parametrul � �si avem

I ���� �

�Z�

x

� � ��x� �

xp�� x�

dx �

�Z�

dx

�� � ��x��p�� x�

F�ac�and schimbarea de variabil�a x � cos t� g�asim

I ���� �

��Z

dt

� � �� cos� t�

�p� � ��

arctgtgtp� � ��

���������

���

Page 21: Integrale euleriene

� �p

� � ���

De aici� integr�and ��n raport cu �� g�asim

I��� �

�ln���

p� � ��� � C�

Cum I�� � � rezult�a C � �si

I��� �

�ln���

p� � ����

Pentru � � � avem

I��� � I �

�ln�� �

p���

Observat�ia ����� �In cazul c�and integrala ce depinde de unparametru este improprie� cele expuse ��n acest paragraf r�am�anvalabile cu condit�ia ca integralele improprii cu care se lucreaz�as�a e convergente

Exemplul ������ S�a consider�am integrala

I��� �

�Z�

e��xsin x

xdx � � � �����

Scriem

I��� �

�Z�

e��xsin x

xdx�

�Z�

e��xsinx

xdx�

Cum limx��x��

e��xsin x

x� �� rezult�a c�a prima integral�a este

convergent�a�Deoarece� pentru x � � avem����e��x sinxx

���� � e��x

���

Page 22: Integrale euleriene

�si�Z�

e��xdx � �e��x

�������

�e��

��

deducem c�a

�Z�

e��xsin x

xdx este convergent�a� Prin urmare�

I��� este bine de nit�a�Aplic�and teorema de derivare a integralelor cu parametru�

avem�

I ���� �

�Z�

e��x��x�sin xx

dx � ��Z�

e��x sinxdx�

care este o integral�a improprie convergent�a� Integr�and prinp�art�i� obt�inem

I ���� � ��� ��I �����

de unde

I ���� � � �

� � ���

din care rezult�a

I��� � �arctg� � C�

Pentru determinarea constantei C calcul�am

lim���

I��� � ��� C�

pe de o parte� �si din

jI���j ��Z�

����e��x sinxx���� dx �

�Z�

e��xdx ��

lim���

I��� � �

���

Page 23: Integrale euleriene

Avem deci C �

�� � de unde C �

�� Rezult�a c�a

I��� �

�� arctg�� din acest rezultat� prin trecere la limit�a

c�and �� � � � � g�asim

�Z�

sinx

xdx �

��

��� Integrale euleriene� Funct�ia Gamma�Funct�ia Beta

�In orice activitate exist�a anumite rezultate care trebuiesc stu�diate mai aprofundat �si chiar ret�inute� Aceast�a situat�ie se��nt�alne�ste �si ��n clasa integralelor cu parametri �si improprii�Exist�a anumite funct�ii� numite uneori �si funct�ii speciale�de nite prin integrale cu parametrii la care apel�am deseori ��ncalculele matematice�

Dou�a dintre aceste funct�ii speciale sunt funct�iile Gamma�si Beta� numite sub un generic comun integrale euleriene�

De�nit�ia ����� Funct�ia ( � ����� R denit�a prin

(�p� �

�Z�

e�xxp��dx

se nume�ste funct�ia Gamma sau funct�ia lui Euler de spet�a adoua� iar funct�ia B � ����� ����� R denit�a prin

B�p� q� �

�Z�

xp����� x�q��dx

se nume�ste funct�ia Beta sau funct�ia lui Euler de spet�a�nt�ai

���

Page 24: Integrale euleriene

Teorema ����� Funct�iile ( �si B sunt bine denite� adic�a in�tegralele improprii care le denesc sunt convergente

Demonstrat�ie S�a ar�at�am c�a funct�ia ( este bine de nit�a�Scriem ( ca sum�a de dou�a integrale� anume�

(�p� �

�Z�

e�xxp��dx �

�Z�

e�xxp��dx�

Prima integral�a I� �

�Z�

e�xxp��dx pentru p � � nu este

improprie� pentru p � �� �� avem

limx��x��

x�e�xxp�� � limx��x��

x��p��e�x � �

dac�a � � � � p � �� de unde� conform cu Corolarul ������deducem c�a integrala I� este convergent�a�

Convergent�a integralei I� �

�Z�

e�xxp��dx rezult�a din Ex�

emplul ���Din I� �si I� convergente �si faptul c�a (�p� � I� � I�� rezult�a

c�a integrala improprie ce de ne�ste funct�ia Gamma este con�vergent�a�

Utiliz�and acela�si Corolar ����� se arat�a imediat c�a �si funct�iaB este bine de nit�a�

�In continuare� vom prezenta c�ateva din propriet�at�ile maiuzuale ale funct�iilor ( �si B�

Teorema ����� Pentru funct�ia ( sunt adev�arate urm�atoarelearmat�ii�

�� (��� � ��

�� (�p� �� � p(�p��

���

Page 25: Integrale euleriene

�� (�n� �� � n! � n � N�

�� (�p� � �

�Z�

e�t� t�p��dt�

�� (�p�(��� p� �

sin p� p � �� �� �numit�a formula com�

plementelor�

� (

��

��p

Demonstrat�ie

�� (��� �

�Z�

e�xdx � �e�xj�� � �

�� Aplic�am integrarea prin p�art�i succesiv �si avem

(�p� �� �

�Z�

e�xxpdx � ��e�xxp�j�� �

�p

�Z�

e�xxp��dx � p(�p��

�� Se aplic�a ��n mod repetat formula se recurent��a de la ���

(�n� �� � n(�n� � n�n� ��(�n� �� � ��� �

� n�n� ������ � (��� � n!�

� Efectu�am schimbarea de variabil�a x � t� �si avem

(�p� � �

�Z�

e�t�

�t��p��tdt � �

�Z�

e�t�

t�p��dt�

ceea ce trebuia demonstrat�

���

Page 26: Integrale euleriene

�� Demonstrat�ia formulei complementelor este mai compli�cat�a �si de aceea renunt��am la prezentarea ei�

�� Dac�a lu�am ��n formula complementelor p ��

�� atunci

avem

(

��

� (

��

�� �

de unde (

��

��p�

Teorema ����� Pentru funct�ia B sunt adev�arateurm�atoarele relat�ii�

�� B�p� q� �

�Z�

yp��

�� � y�p�qdy�

�� B�p� q� �

�Z�

tp�� � tq��

�� � t�p�qdt�

�� B�p� q� �(�p� (�q�(�p� q�

�formula de leg�atur�a dintre

funct�iile B �si ( sau formula lui Dirichlet��

�� B�p� q� � B�q� p� �proprietatea de simetrie��

�� B�p� q� �p� �

p� q � �B�p� �� q�� p � �� q � �

B�p� q� �q � �

p� q � �B�p� q � ��� p � � q � �

Demonstrat�ie

�� Facem schimbarea de variabil�a x �y

y � ��si avem

B�p� q� �

�Z�

�y

y � �

�p����� y

y � �

�q��dy

�y � ����

���

Page 27: Integrale euleriene

�Z�

yp��

�� � y�p�qdy�

�� Utiliz�and formula de la ��� putem scrie

B�p� q� �

�Z�

yp��

�� � y�p�qdy �

�Z�

yp��

�� � y�p�qdy�

�In integrala a doua facem schimbarea de variabil�a y � ��t�si obt�inem formula de la ���

�� �In (�p� �

�Z�

e�xxp��dx facem schimbarea de variabil�a

x � ty� t parametru real pozitiv �si obt�inem

(�p� � tp�Z�

e�tyyp��dy� �����

�In acest rezultat ��nlocuim pe t prin � � t �si p prin p � q�si obt�inem

(�p� q�

�� � t�p�q�

�Z�

e����t�yyp�q��dy

Multiplic�am ambii membri ai formulei precedente cu tp��

�si egalitatea obt�inut�a o integr�am��n raport cu t de la la� �si avem�

(�p� q�

�Z�

tp��

�� � t�p�qdt �

�Z�

"#tp��

�Z�

e����t�yyp�q��dy

$A dt �

��

Page 28: Integrale euleriene

�Z�

e�yyq��

"#yp�Z�

e�yttp��dt

$A dy�

Acum� conform cu �� �si cu ������ ��n care schimb�am pe tcu y� obt�inem�

(�p� q� B�p� q� �

�Z�

e�yyq��(�p�dy �

� (�p�

�Z�

e�yyq��dy � (�p� (�q��

de unde g�asim

B�p� q� �(�p� (�q�(�p� q�

adic�a ceea ce trebuia demonstrat�

� Rezult�a imediat din ���

�� Aceste formule rezult�a din formula de leg�atur�a de la ���si utiliz�and formula de recurent��a pentru (�

Observat�ia ����� Integralele euleriene sunt utile ��n studiulmultor funct�ii neelementare De aceea� valorile lor au fosttabelateCalculul multor integrale se reduce prin diferite trans�

form�ari� la evaluarea funct�iilor B �si (

Exemplul ������ S�a ar�at�am c�a

�Z�

e�x�

dx �

p

�Q �integrala lui Poisson��

��

Page 29: Integrale euleriene

Facem schimbarea de variabil�a x� � t �si avem

�Z�

e�x�

dx ��

�Z�

e�tt���dt�

�In integrala din membrul doi se recunoa�ste expresia funct�iei

( pentru p� � � ��

�� adic�a p �

�� Atunci� putem scrie

�Z�

e�x�

dx ��

�(

��

��

p

��

Exemplul ������ S�a calcul�am

I �

�Z�

�px

�� � x��dx�

Putem scrie

I �

�Z�

x��

�� � x��dx�

care comparat�a cu exprimarea lui B dat�a de �� din Teorema

������ conduce la p� � ��

�si p � q � �� de unde p �

�si

q ��

Rezult�a c�a

I � B

��

��

��

de unde� utiliz�and formula de leg�atur�a dintre B �si (� obt�inem

I �

(

��

�(

��

�(

��

� �

(

��

�(

��

�(���

���

Page 30: Integrale euleriene

��

(

��

�(

��

��

Acum� utiliz�and formula complementelor avem

I ��

sin

�p�

�In general� integralele de forma

I �

�Z�

xm

�� � xn�pdx � np � m � �

se calculeaz�a prin funct�iile B �si (� f�ac�and schimbarea de vari�abil�a xn � t�Exemplul ������ S�a se reduc�a la funct�iile B �si ( calcululintegralelor de forma

Im�n �

bZa

�x� a�m�b� x�ndx�

m �si n numere reale a�sa alese��nc�at integrala s�a e convergent�a�Facem schimbarea de variabil�a

x � ��� t�a � bt � t � �� ��

�si avem

Im�n � �b� a�m�n��

�Z�

tm��� t�ndt �

� �b� a�m�n��B�m � �� n� �� �

� �b� a�m�n��(�m � ��(�n� ��

(�m� n � ���

���

Page 31: Integrale euleriene

Exemplul ������ S�a calcul�am I �

�Z�

lnp��

x

�dx� p � R�

p � ��Facem schimbarea de variabil�a x � e�t �si avem

I �

�Z�

tpe�tdt � (�p� ���

��� Integrale duble

La integralele cu parametrii funct�ia de integrat era de maimulte variabile� ��ns�a calculul integralei se aplic�a numai la unadin variabile� celelalte le consider�am parametrii� Ne prop�unem s�a extindem not�iunea de integral�a pentru funct�iile demai multe variabile a�sa��nc�at ��n evaluarea lor s�a utiliz�am toatevariabilele� Astfel de integrale le vom numi multiple� Dac�af � D � R

n � R z � f�x�� ���� xn�� atunci o integral�a m�multipl�a o not�am prinZ

���

ZD

f�x�� ���� xn�dx�dx����dxn�

Dac�a n � �� atunci spunem c�a avem o integral a dubl a�iar dac�a n � �� atunci spunem c�a avem o integral�a tripl�a�

Pentru comoditatea trat�arii consider�am numai cazul inte�gralelor duble�

Fie f � D � R� � R� z � f�x� y� o funct�ie de dou�a

variabile� Mai presupunem c�a D este un domeniu m�arginit�S�a consider�am o partit�ie �descompunere� arbitrar�a a dome�

niului D ��n n subdomenii D�� D�� ���� Dn cu Di �� �� i � �� n�si Di � Dj � �� i �� j� i� j � �� n� O astfel de partit�ie a luiD se nume�ste diviziune a lui D �si o not�am prin �)n�� Not�amcu ai aria sub domeniului Di� i � �� n �si cu di diametrul

���

Page 32: Integrale euleriene

lui Di �cea mai mare dintre distant�ele dintre dou�a puncte dinDi�� i � �� n� Num�arul k)nk � max

i ��ndi se nume�ste norma

diviziunii �partit�ia� )n��In ecare subdomeniu Di al diviziunii �)n� alegem un

punct arbitrar de coordonate ��i� �i�� i � �� n� numite puncteintermediare�

Cu aceste preciz�ari� introducem suma integral a

��)n� �� �� f� �nXi �

f��i� �i�ai�

Evident c�a suma ��)n� �� �� t� depinde de diviziunea )n�de punctele intermediare ��i� �i� �si de funct�ia f �

De�nit�ia ����� Spunem c�a funct�ia f este integrabil a pedomeniul D dac�a oricare ar �sirul de diviziuni �)n�n�� cu�sirul normelor �k)nk�n�� tinde la zero �si oricare ar puncteleintermediare ��i� �i� � Di� i � �� �� ���� n �sirul sumelor integrale���Dn� �� �� f��n�� are o limit�a nit�a

Not�am aceast�a limit�a prinZZD

f�x� y�dxdy sau

ZZD

f�x� y�da�

�si o numim integrala dub a a funct�iei f pe domeniul D�A�sadar� putem scrieZZ

Df�x� y�dxdy � lim

n��k�nk��

nXk �

f��k� �k�ak�

Ca �si la funct�iile de o variabil�a real�a se arat�a c�a orice funct�iecontinu�a pe domeniul D este integrabil�a�

S�i propriet�at�ile integralei duble sunt analoage cu cele aleintegralei Riemann�

���

Page 33: Integrale euleriene

Teorema ����� �de liniaritate� Dac�a f� g � D � R� � R

sunt funct�ii integrabile pe D� atunci oricare ar �� � � R

funct�ia �f � �g este integrabil�a pe D �si avemZZD

��f�x� y� � �g�x� y��dxdy �

� �

ZZD

f�x� y�dxdy � �

ZZD

g�x� y�dxdy�

Aceast�a proprietate ne spune c�a integrala dubl�a pe dome�niul D este o funct�ional�a liniar�a�

Demonstrat�ia teoremei este imediat�a�

Teorema ����� �de aditivitate fat� a de domeniu� Dac�afunct�ia f � D � R

� � R este integrabil�a pe D� iar D �D� �D�� D� �D� � �� atunci f este integrabil�a pe D� �si peD� �si avemZZD

f�x� y�dxdy �

ZZD�

f�x� y�dxdy �

ZZD�

f�x� y�dxdy�

A rmat�ia din aceast�a teorem�a se demonstreaz�a cu ajutorulde nit�iei�

Teorema ����� �de interpretare geometric a� Dac�a f �D � R

� � ���� este integrabil�a� atunci avemZZD

f�x� y�dxdy � V �f��

unde V �f� este volumul barei cilindrice m�arginit�a de dome�niul D �si suprafat��a dat�a de z � f�x� y�� av�and generatoareleparalele cu axa Oz

���

Page 34: Integrale euleriene

Pentru cazul particular f � �� avemZZD

dy � aria�D��

Teorema ����� �de semn� Dac�a f � D � R� � �����

atunci ZZD

f�x� y�dxdy � �

Proprietatea din enunt� rezult�a imediat din nenegativitateasumelor integrale�

Teorema ����� �de monotonie� Dac�a f� g � D � R� � R

sunt integrabile pe D �si f � g pe D� atunciZZD

f�x� y�dxdy �ZZD

g�x� y�dxdy�

Pentru demonstrat�ie se aplic�a funct�iei g � f � propri�etatea de semn�

Teorema ���� �modulului� Dac�a funct�ia f � D � R� � R

este integrabil�a pe D �si atunci jf j este integrabil�a pe D �si avem������ZZD

f�x� y�dxdy

������ �ZZD

jf�x� y�jdxdy�

Formula din teorem�a rezult�a imediat din inegalitatea�jf j � f � jf j�Teorema ����� �de medie� Dac�a f� g � D � R

� � R suntintegrabile pe D� m � inf

�x�y��Df�x� y�� M � sup

�x�y��Df�x� y� �si g

���

Page 35: Integrale euleriene

are semn constant pe D� atunci exist�a un num�ar real � ��m�M � a�sa ��nc�at

ZZD

f�x� y�d�x� y�dxdy � �

ZZD

g�x� y�dxdy�

numit�a formula de medie generalizat a pentru integraladubl a

Demonstrat�ie Consider�am g � pe D� Atunci din m �f�x� y� � M rezult�a mg�x� y� � f�x� y�g�x� y� � Mg�x� y��Utiliz�and proprietatea de monotonie a integralei duble� putemscrie�

m

ZZD

g�x� y�dxdy �ZZD

f�x� y�g�x� y�dxdy �

�M

ZZD

g�x� y�dxdy � �

�����

Dac�a

ZZD

g�x� y�dxdy � � atunciZZD

f�x� y�g�x� y�dxdy � �si putem alege orice � � �m�M �

ca s�a avem formula din Teorema de medie�

Dac�a

ZZD

g�x� y�dxdy �� � atunci prin ��mp�art�ire cu acest

���

Page 36: Integrale euleriene

num�ar ��n ����� avem

m �

ZZD

f�x� y�g�x� y�dxdyZZD

g�x� y�dxdy

�M�

de unde rezult�a c�a putem lua

� �

ZZD

f�x� y�g�x� y�dxdyZZD

g�x� y�dxdy

Cazuri particulare����� Dac�a f este continu�a pe D� atunci exist�a un punct

��� �� � D a�sa ��nc�at � � f��� �������� Dac�a g � � pe D� atunci formula de medie ia formaZZ

Df�x� y�dxdy � � aria�D��

numit�a formula de medie pentru integrala dubl a�Calculul integralelor duble se reduce la calculul a dou�a in�

tegrale de nite �Riemann�� succesive� pentru ��nceput s�a con�sider�am cazul unui domeniu dreptunghiular�

Teorema ����� Dac�a f � �a� b�� �c� d�� R este integrabil�a pedreptunghiul D � �a� b�� �c� d� �si dac�a pentru orice x constantdin intervalul �a� b�� funct�ia f este integrabil�a ��n raport cu y�adic�a exist�a

F �x� �

dZc

f�x� y�dy � x � �a� b��

���

Page 37: Integrale euleriene

atunci avemZZD

f�x� y�dxdy �

bZa

dx

dZc

f�x� y�dy�

Demonstrat�ie Vom considera diviziunile Dx �si Dy� re�spectiv pentru intervalele �a� b� �si �c� d�� de nite prin

Dx � a � x� � x� � ��� � xm � bDy � c � y� � y� � ��� � yn � d

�si av�and normele

kDxk � maxi i�m

�xi � xi���

respectivkDyk � max

j ��n�yj � yj����

Cele dou�a diviziuni Dx �si Dy determin�a pe D diviziunea Ddat�a de subdreptunghiurile

Di�j � f�x� y� � Dj xi�� � x � xi� yj�� � y � yjg �i � �� m� j � �� n �si av�and norma kDk dat�a de max

i���mj�a�n

di�j� de

unde dij este diametrul dreptunghiului Dij�Se observ�a imediat c�a dac�a kDxk � �si kDyk � � atunci

kDk � �si reciproc�Alegem punctele intermediare ��i� �j� � Dij� �i � �xi��� xi��

�j � �yj��� yj�� i � �� m� j � �� n�Deoarece f este integrabil�a pe D� iar funct�ia F exist�a �si

este integrabil�a pe �a� b�� avem succesivZZD

f�x� y�dxdy � limkDk��

mXi �

nXj �

f��i� �j�ariaDij �

��

Page 38: Integrale euleriene

� limkDxk��kDyk��

mXi �

nXj �

f��i� �j��xi � xi����yj � yj��� �

� limkDxk��

mXi �

�xi � xi���

�lim

kDyk��

nXj �

f��i� �j��yj � yj���

��

� limkDxk��

mXi �

�xi � xi���

dZc

f��i� y�dy �

� limkDxk��

mXi �

F ��i��xi � xi��� �

Z b

a

F �x�dx �

bZa

dx

dZc

f�x� y�dy�

ceea ce trebuia demonstrat�Deseori� integrala pe dreptunghiul D � �a� b� � �c� d� se

noteaz�a prinbZ

a

dZc

f�x� y�dxdy�

A�sadar� formula din enunt�ul Teoremei ia forma

bZa

dZc

f�x� y�dxdy �

bZa

dx

dZc

f�x� y�dy�

�In mod analog� se arat�a c�a avem �si formula

bZa

dZc

f�x� y� �

dZc

dy

bZa

f�x� y�dx�

��

Page 39: Integrale euleriene

Exemplul ������ S�a calcul�am

I �

�Z�

�Z�

dxdy

�x � y � ����

Avem

I �

�Z�

dx

�Z�

dy

�x � y � ����

�Z�

dx

�� �

x � y � �

��������

�Z�

�� �

x � ��

x� �

�dx �

� � ln�x� ��j�� � ln�x� ��j�� �

� � ln � ln � � ln �� ln � � ln�

��

S�a trecem acum la calculul integralelor duble pe un dome�niu D regulat �n raport cu una din axele de coordonate�

De�nit�ia ����� Spunem c�a un domeniu D este regulat ��n ra�port cu una din axele de coordonate dac�a orice paralel�a launa din axele de coordonate ��nt�alne�ste curba care m�argine�stedomeniul ��n cel mult dou�a puncte

S�a consider�am c�a domeniul D este regulat ��n raport cu axaOy � g ������ Un astfel de domeniu se descrie astfel�

D � f�x� y�j a � x � b� ��x� � y � ��x�g�

���

Page 40: Integrale euleriene

d

c

a

y= (x)�

y= (x)�

0 b x

y

Fig� ����

Teorema ����� Dac�a funct�ia f este denit�a �si integrabil�a pedomeniul D � f�x� y�j a � x � b� ��x� � y � ��x�g �si pentruecare x � �a� b� exist�a integrala

F �x� �

��x�Z��x�

f�x� y�dy�

atunci are loc formulaZZD

f�x� y�dxdy �

bZa

dx

��x�Z��x�

f�x� y�dy�

Demonstrat�ie Folosim Teorema ����� Consider�amdreptele paralele cu Ox� y � c �si y � d� astfel ca c � ��x� �sid � ��x�� x � �a� b� �Fig� ����� �si not�am cu ) dreptunghiul�a� b�� �c� d�� Introducem funct�ia auxiliar�a

g � )� R � g�x� y� �

�f�x� y� � dac�a �x� y� � D � dac�a �x� y� � )�D�

Funct�ia g este integrabil�a pe dreptunghiul ) ind integra�bil�a at�at pe D� c�at �si pe domeniul )�D� unde este nul�a�

���

Page 41: Integrale euleriene

Folosind proprietatea de aditivitate a integralei duble fat��ade domeniu �Teorema ������ putem scrieZZ

Dg�x� y�dxdy �ZZ

Dg�x� y�dxdy �

ZZ)�D

g�x� y�dxdy �

ZZD

f�x� y�dxdy�

����

deoarece

ZZ)�D

g�x� y�dxdy � �

Dar� integrala

ZZD

g�x� y�dxdy se poate calcula folosind

�si formula din Teorema ����� AvemZZD

g�x� y�dxdy �bRa

dRc

g�x� y�dxdy �

bZa

dx

dZc

g�x� y�dy �

bZa

dx

"# ��x�Zc

g�x� y�dy�

��x�Z��x�

g�x� y� �

dZ��x�

g�x� y�dy

$CA �

bZa

dx

��x�Z��x�

f�x� y�dy

�����

���

Page 42: Integrale euleriene

deoarece

��x�Zc

g�x� y�dy � �si

dZ��x�

g�x� y�dy � �

Din ���� �si ����� rezult�a formula din enunt�ul Teoremei�����

Dac�a domeniulD este regulat ��n raport cu axa Ox� adic�a elare forma D � f�x� y�k c � y � d� ��y� � x � ��y�g atunciavem formulaZZ

Df�x� y�dxdy �

dZc

dy

��y�Z��y�

f�x� y�dx�

Exemplul ������ S�a calcul�am integrala dubl�a

I �

ZZD

��x� y � ��dxdy

dac�a D este domeniul m�arginit de curbele y � x �si y � x��Examin�am domeniul D �Fig� ����� �si observ�am c�a el este

situat ��ntre dreapta y � x �si parabola y � x� �si puncteleO��� �� �si A��� ���

1

1 A(1, 1)

y=x

y=x

2

0 x

y

Fig� ����

���

Page 43: Integrale euleriene

D este regulat ��n raport cu axa Oy �si avem

D � f�x� y�j � x � �� x� � y � xg�

Atunci putem scrie succesiv�

I �

�Z�

dx

xZx�

��x� y � ��dy �

�Z�

��xy � y�

�� �y

�������x

x�

dx �

�Z�

��x� � x�

�� �x� �x� �

x�

�� �x�

�dx �

�Z�

�x�

�� �x� �

x�

�� �x

�dx �

��

��

Observat�ia ����� Dac�a avem de calculat o integral�a dubl�a peun domeniu arbitrar� atunci ��ncerc�am s�a g�asim o partit�ie a sa��n domenii regulate �si apoi aplic�am proprietatea de aditivitatefat��a de domeniu

Ca �si ��n cazul integralelor Riemann� calculul unor integraleduble se poate face cu o schimbare de variabile�

Se demonstreaz�a ������ ����� c�a are loc urm�atoarea teorem�ade schimbare de variabile�

Teorema ������ Fie f � D � R� � R o funct�ie integrabil�a

pe D �si e transformare x � ��u� v�� y � ��u� v� a domeniu�lui ) � R

� ��n domeniul D Dac�a funct�iile � �si � au derivate

���

Page 44: Integrale euleriene

part�iale de ordinul ��nt�ai continue pe domeniul )� iar deter�minantul funct�ional �jacobianul transform�arii�

J �D�x� y�

D�u� v��

�������� ��u� v�

u

��u� v�

v

��u� v�

u

��u� v�

v

�������� �� �

atunci are loc formula de schimbare de variabile ��n integraladubl�aZZ

Df�x� y�dxdy �

ZZ)

f���u� v�� ��u� v��jJ jdudv�

O schimbare de variabile des utilizat�a este cea polar�a�

x � r cos � � y � r sin ��

prin care se trece de la coordonatele carteziene �x� y� la celepolare �r� ���

Geometric �Fig� ������ dac�a avem punctul A�x� y� dinplanul xOy� atunci coordonatele polare ale lui A sunt datede distant�a de la origine la A� adic�a r �

px� � y�� �si de

unghiul pe care ��l face axa Ox cu direct�ia OA� adic�a tg� �y

x�

A(x, y)

0 x

y

r

Fig� ����

���

Page 45: Integrale euleriene

Jacobianul transform�arii polare este

J �D�x� y�

D�r� ���

�������� x

r

x

y

r

y

�������� ������ cos � �r sin �sin � r cos �

����� � r�

Exemplul ������ S�a calcul�am integrala dubl�a

I �

ZZD

dxdyp� � x� � y�

unde D � f�x� y� � Rj x� � y� � a�� a � � x � � y � g�Se observ�a c�aD este m�arginit de sfertul de cerc x��y� � r�

din primul cadran �si de axele Ox �si Oy �Fig� �����

0 xa�

y

r

Fig� ���

Utiliz�am coordonatele polare� prin care domeniul D estetransformat ��n dreptunghiul

) �n�r� ��j � r � a� � � �

o�

���

Page 46: Integrale euleriene

�si avem

I �

ZZ)

�p� � r�

rdrd� �

aZ�

��Z

rdrd�p� � r�

aZ�

rdrp� � r�

dr

��Z

d� �

p� � r�

�������a

��p� � a� � ���

Observat�ia ����� Prin analogie cu integralele improprii dinfunct�iile de o variabil�a real�a� se pot introduce �si integrale duble���n general� multiple � improprii

Observat�ia ����� �In domeniul economic integralele dubleapar deseori ��n studiul modelelor matematico � economice des�crise prin variabile aleatoare bidimensionale

��� Integrale triple

extinderea not�iunii de integral�a Riemann la funct�ii de dou�avariabile se poate continua pentru funct�ii care depind de unnum�ar oarecare de variabile� Dac�a avem funct�ia f � T �Rm � R� atunci putem introduce integralele de formaZZ

T

� � �

Zf�x�� ���� xm�dx�dx� � � � dxm�

numite integrale m�multiple��In acest paragraf vom schit�a cazul a trei variabile �m� ���Fie f � T � R

� � R� u � f�x� y� z� o funct�ie de treivariabile� T ind un domeniu �corp�m�arginit �si ��nchis�

���

Page 47: Integrale euleriene

Descompunem corpul T ��n n subdomenii �subcorpuri� el�ementare T�� T�� ���� Tn de diametre d�� d�� ���� dn �si de volumev�� v�� ���� vn� �In ecare domeniu elementar Ti alegem un punctarbitrar Pi��i� �i� �i� �si form�am sumele

��f� P � �nXi �

f��i� �i� �i�vi �nXi �

f�Pi�vi

numite sume integrale�Not�am cu d cel mai mare dintre diametrele d�� d�� ���� dn

De�nit�ia ����� Spunem c�a f este integrabil�a pe corpul Tdac�a exist�a lim

d����f� P �

Aceast�a limit�a se noteaz�a prinZZT

Zf�x� y� z�dxdydz sau

ZZT

Zf�P �dv

�si se nume�ste integrala tripl a pe T a funct�iei f

A�sadar� avemZZT

Zf�x� y� z�dxdydz � lim

d��

nXi �

f��i� �i� �i�vi�

Ca �si la integralele duble este valabil rezultatul�

Teorema ����� Dac�a funct�ia f este continu�a pe corpul T�atunci ea este integrabil�a pe acest corp

Observat�ia ����� Dac�a f�x� y� z� � pe corpul T� atunciRRT

Rf�x� y� z�dxdydz reprezint�a masa corpului T de densi�

tate variabil�a � � f�x� y� z� �interpretarea zic�a a integraleitriple�

��

Page 48: Integrale euleriene

Observat�ia ����� Dac�a f�x� y� z� � � pe T� atunciZZT

Zdxdydz � v�T ��

unde v�T� este volumul corpului T �interpretarea geometric�aa integralei triple�Propriet�at�ile integralei triple sunt similare cu cele ale inte�

gralelor duble

�In continuare prezent�am calculul integralelor triple�

Teorema ����� Dac�a funct�ia f � �a�� b��� �a�� b��� �a�� b�� �T � R este m�arginit�a �si integrabil�a pe paralelipipedul drep�

tunghic de denit�ie� exist�a integrala F �x� y� �b�Ra�

f�x� y� z�dz

pentru orice �x� y� � �a�� b��� �a�� b�� � D �si F este integrabil�ape D� atunci

ZZT

Zf�x� y� z�dxdydz �

ZD

Z "# b�Za�

f�x� y� z�dz

$A dxdy�

Demonstrat�ia este analoag�a cu cea de la integrale duble�v��Teorema ������

Corolarul ����� Utiliz�and calculul integralei duble pe drep�tunghiul D� obt�inem

ZZT

Zf�x� y� z�dxdydz �

b�Za�

b�Za�

b�Za�

f�x� y� z�dxdydz �

b�Za�

dx

b�Za�

dy

b�Za�

f�x� y� z�dz�

��

Page 49: Integrale euleriene

Exemplul ������ S�a calcul�am

I �

�Z�

�Z�

�Z�

dxdydz

�x� y � z � ����

Avem succesiv

I �

�Z�

dx

�Z�

dy

�Z�

dz

�x � y � z � ����

� ��

�Z�

dx

�Z�

dy �

�x � y � z � ���j���

� ��

�Z�

dx

�Z�

��

�x � y � ���� �

�x� y � ���

dy �

��

�Z�

dx

��

x � y � �� �

x � y � �

�j�� �

��

�Z�

��

x � �� �

x � � �

x � �

x� �

�dx �

��

��ln�x � ��� � ln�x � � � ln�x� ��� j�� �

��

�ln

�x � ���x� ��

�x� ��j�� �

�ln

��� ln

��

��

��

�ln

��

����

Acum� s�a consider�am cazul unui corp T regulat ��n raport cuOz� adic�a un corp ��n care orice paralel�a la Oz intersecteaz�asuprafat�a corpului ��n cel mult dou�a puncte �v� Fig��������

���

Page 50: Integrale euleriene

Fig�������

Are loc urm�atoarea formul�a de calculZZT

Zf�x� y� z�dxdydz �

ZD

Zdxdy

��x�y�Z��x�y�

f�x� y� z�dz�

Dac�a D este dat de a � x � b �si u�x� � y � v�x�� atunciobt�inem formula de calcul

ZZT

Zf�x� y� z�dxdydz �

bZa

dx

v�x�Zu�x�

dy

��x�y�Z��x�y�

f�x� y� z�dz�

Exemplul ������ S�a se calculeze

I �

ZZT

Zdxdydz

�� � x � y � z���

unde T este corpul m�arginit de planele de coordonate �si deplanul x� y � z � �� Corpul T este cel din g�������

���

Page 51: Integrale euleriene

Fig�������

Avem

I �

�Z�

dx

��xZ�

dy

��x�yZ�

dz

�� � x� y � z���

� ��

�Z�

dx

��xZ�

dy�

�� � x� y � z��j��x�y� �

� ��

�Z�

dx

��xZ�

��

�� �

�� � x � y��

dy �

� ��

�Z�

dx

��

�y �

� � x� y

j��x� �

���

Page 52: Integrale euleriene

� ��

�Z�

��� x

��

�� �

� � x

�dx �

��

�ln�x� ��� x

��

�x� ���

��

�j�� �

��

�ln

�� �

��

��

Ca �si la integrala dubl�a� schimbarea de variabile la integralatripl�a are drept scop simpli carea calcului acestei integrale�care rezult�a prin modi carea funct�iei de integrat sau a dome�niului de integrare�

Presupunem c�a avem de calculat

I �

ZZT

Zf�x� y� z�dxdydz

�si c�a efectu�am schimbarea de variabile

x � g��u� v� w�y � g��u� v� w�z � g��u� v� w�� �u� v� w� � T� � R

� �care transform�a domeniul T� � R

� ��n T � R� � Mai

presupunem c�a funct�iile g�� g�� g� sunt continue� cu derivatepart�iale de ordinul ��nt�ai continue ��n T�� iar determinantulfunct�ional

J �D�x� y� z�

D�u� v� w��

�������g�x

g�y

g�z

g�x

g�y

g�z

g�x

g�y

g�z

������� �� ��n T�

Are loc formula ZZT

Zf�x� y� z�dxdydz �

���

Page 53: Integrale euleriene

ZZT�

Zf�g��u� v� w��� g��u� v� w�� g��u� v� w�jJ jdudvdw�

numit�a formula schimb arii de variabil a ��n integrala tripl�a�v� ����������

Aplicat�ia ������ Coordonate cilindrice� Trecerea dela coordonate carteziene la cele cilindrice � g� ������� estedat�a de

x � � cos �

y � � sin �

z � z�

cu � � � R�

� � � �� � z � h

�si J � ��

Fig�������

Aplicat�ia ������ Coordonatele sferice �coordonatepolare �n spat�iu�� Trecerea de la coordonatele carteziene lacele sferice �v� g������� este dat�a de

���

Page 54: Integrale euleriene

Fig������

x � � cos � sin�y � � sin � sin�z � � cos� �

cu � � ��� � � � �� � � � �si J � �� sin� �Exemplul ������ S�a calcul�am

I �

ZZT

Zzpx� � y�dxdydz

dac�a domeniul T este m�arginit de cilindrul x� � y� � �x �siplanele y � � z � �si z � a�

Utiliz�am coordonatele cilindrice �si avem

I �

ZZT�

Zz��d�d�dz�

���

Page 55: Integrale euleriene

unde T� este dat de � � � � ��� o � � � � cos �� o � z � a�

Utiliz�am coordonatele cilindrice �si avem

I � I �

ZZT�

Zz��d�d�dz�

unde T� este dat de � � � � ��� � � � � cos �� � z � a�

�In continuare rezult�a succesiv

I �

��Z

d�

� cos �Z�

��d�

aZ�

zdz ��

�a�

��Z

d�

� cos �Z�

��d� �

�a�

��Z

cos� �d� �

�a�

��Z

��� sin� ��d�sin �� �

�a��sin � � sin� �

�j��� �

�a��

Exemplul ������ Calculat�i

I �

ZZT

Zz�dxdydz

unde T este corpul m�arginit de sfera � � y� � z� � a�� a � �Efectu�and schimbarea de variabil�a dat�a de coordonatele

sferice� obt�inem

I �

ZZT

Z�� cos� � �� sin�d�d�d� �

��Z�

d� �Z

cos� � sin �d� aZ

��d� �a�

���

���

Page 56: Integrale euleriene

�� Probleme

�� Prin calculul direct� stabilit�i natura urm�atoarelor inte�grale improprii�

a�

��Z�

sinxdx�

b�

�Z�

dx

x� � ��

c�

�Z�

arctgx

� � x�dx�

d�

�Z��

dx

� � x��

e�

�Z�

xe�x�

dx�

f�

�Z�

xne�xdx� n � N �

g�

�Z�

x�dxp� x�

h�

�Z�

dxpx��� x�

i�

�Z�

dx

�x� ����

���

Page 57: Integrale euleriene

j�

�Z�

x ln� xdx�

k�

�Z�

�x� �

x� � x � �dx�

l�

�Z�

xdx

x� � ��

�� Precizat�i natura urm�atoarelor integrale improprii�

a�

�Z�

dx

� � x� � x���

b�

�Z�

dxp� � x� �

p � x�

c�

��Z�

�p� � x�px� � �

dx�

d�

�Z�

e�ax sin bxdx� a� b � R� a � �

e�

�Z�

e�ax cos bxdx� a� b � R� a � �

f�

��Z�

x�

x� � �x� � �dx�

g�

�Z�

dx

x �px� � �

��

Page 58: Integrale euleriene

h�

�Z�

dxp�� x

i�

�Z�

x�dx�p

��� x����

j�

�Z�

dx

e�px � �

k�

�Z�

dx

tgx� x�

�� A�at�i v� p� C pentru integralele�

a�

��Z��

sinxdx�

b�

��Z��

� � x

� � x�dx�

c�

�Z��

dx

x lnx�

d�

�Z�

dx

�� x��

e�

�Z�

dx

x� � �x � ��

�� A�at�i�

��

Page 59: Integrale euleriene

a� lim���

�Z�

��x� �� cos��x�dx�

b� lim���

�Z�

�px � x� � ��dx�

�� A�at�i derivatele I ���� pentru urm�atoarele funct�ii�

a� I��� �

�Z�

dx

x� � ��� � � R �

b� I��� �

�Z��

cos�x� � ���dx� x � R �

c� I��� �

�Z�

xpx� � ��

dx� � � �

� Calculat�i integralele cu parametrii�

a� I��� �

�Z�

�� e��

xexdx� � � ���

b� I��� �

��Z

ln�cos� x � �� sin� x�dx� � � �

c� I��� �

�Z�

ln��� �x��p�� x�

dx� j�j � ��

�� Calculat�i

�Z�

e��xdx� � � � Plec�and de la rezultatul

���

Page 60: Integrale euleriene

g�asit� ar�atat�i c�a�Z�

e�xxndx � n! � n � N �

�� Plec�and de la

�Z�

dx

x� � a� a � � g�asit�i

�Z�

dx

�x� � ��n��� n � N�

�� Ar�atat�i c�a funct�ia ( este o funct�ie convex�a�

��� Utiliz�and integralele euleriene� calculat�i integralele�

a�

�Z�

px� x�dx�

b�

�Za

x�pa� � x�dx� a � �

c�

�Z�

�px

�� � x���dx�

d�

�Z�

x�dx

� � x��

e�

�Z�

�px

�� � x���dx�

f�

�Z�

x�dx

�� � x���

���

Page 61: Integrale euleriene

g�

�Z�

x�p�� x�dx�

h�

�Z�

�x� ������ x���dx�

i�

�Z�

dx

�� � x��n� n � N �

j�

��Z

sin� x cos� xdx�

k�

�Z�

x�ne�x�

dx� n � N �

��� Calculat�i integralele duble�

a�

�Z�

�Z�

dx

��x� y � ����

b�

�Z�

�Z��

��x�y � �xy � �x� �y � ��dxdy�

c�

�Z�

�Z�

ex�ydxdy�

d�

ZZD

xydxdy dac�a

D � f�x� y� � R� j x � � y � � x � y � �g�

���

Page 62: Integrale euleriene

e�

ZZD

xydxdy� unde D este interiorul triunghiului de

v�arfuri �� �� �� �� �si ��� ���

f�

ZZD

��x� y�dxdy� unde D este domeniul m�arginit

de curbele y � �� x� �si y � �x� ��

g�

ZZD

y lnxdxdy� dac�a D este domeniul m�arginit de

curbele xy � �� y �px� x � ��

h�

ZZD

px� � y�dxdy� dac�a D este domeniul m�arginit

de cercul x� � y� � a�� a � �

i�

ZZD

ln�x� � y��dxdy� dac�a D este domeniul

m�arginit de cercurile x� � y� � e� �si x� � y� � e��

j�

ZZD

�x� y���x� y��dxdy� dac�a D este domeniul

m�arginit de dreptele x� y � �� x� y � �� x� y � ��si x� y � ���

��� Calculat�i aria domeniului D limitat de curbele xy � ��xy � �� y � x �si y � �x�

��� Calculat�i aria domeniului plan D limitat la curbele x �y � y� �si x� y � ��

��� Calculat�i aria domeniului plan limitat de curbele y ��� x �si y� � x � �

���

Page 63: Integrale euleriene

��� Calculat�i volumul corpului limitat de suprafet�ele y � ��x�� z � �x� y � � �si z � �si situat ��n primul octant�

�� Calculat�i volumul corpului limitat de suprafet�ele z � �z � xy� x� � y� � �

��� Calculat�i integrala I �RRV

Rzdxdydz� unde V este dome�

niul de nit prin���� � x � �

�x � y � �x

� z �p�� x� � y�

��� S�a se calculezeRRV

Rzdxdydz� unde �V� este jum�atatea su�

perioar�a a elisoiduluix�

a��y�

b��z�

c�� ��

��� Calculat�i integrala I �RRV

Rz�dxdydz� unde corpul �V�

este m�arginit de suprafat�a conic�a R�z� � h��x� � y�� �side planul z � h�

��� S�a se calculeze integrala I �RRV

Rzpx� � y� dxdydz� unde

V este m�arginit de suprafat�a cilindric�a x� � y� � �bx�b � �si planele y � � z � � z � a �y � � a � ��

���

Page 64: Integrale euleriene

��� Test de vericare a cuno�stint�elor nr� �

�� De nit�i urm�atoarele not�iuni�

a� Integral�a improprie de prima spet��a�

b� Funct�iile Beta �si Gamma ale lui Euler�

c� Integral�a dubl�a�

�� a� Studiat�i convergent�a integralei

��Z

dx

x ln� x �

b� Studiat�i convergent�a integralei

�Z�

dx

� � x��

c� Studiat�i convergent�a integralei I �

�Z�

dx�p�� x�

d� Studiat�i convergent�a integralei

I�

�Z�

j sinxjxw

dx � w���

�� S�a se calculeze integrala I�a� �

�Z�

�� e�ax

x ex dx care de�

pinde de parametrul real a � ���� Calculat�i integrala

I�b� �

��Z

sin xln

� � b sin x

�� b sin xdx cu b � R�

���

Page 65: Integrale euleriene

�� a� Calculat�i integrala�

I�b� �

��Z

ln�cos� x� b� sin� x�dx

care depinde de parametrul real � b ���

b� Calculat�i I�y� k� �

�Z�

�� cos yx

x e�kxdx cu y � �

k � �

�� Calculat�i cu ajutorul integralelor euleriene�

a� I �

�Z�

px� x�dx�

b� I �

�Z�

x��

�� � x��dx�

c� I �

�Z�

x

� � x�dx�

d� I �

�Z�

x�

�� � x����

�� Calculat�i�

a� I �

ZZD

dxdy

�x � y��� undeD este dreptunghiul ��� ��

��� ���

b� I �

�Z�

�Z�

ydxdy

�� � x� � y����

���

Page 66: Integrale euleriene

c� I �

�Z�

�Z��

x exydxdy�

�� a� Calculat�i I �

ZZD

�x� � y�dxdy unde D este dome�

niul m�arginit de parabolele y � x� �si y� � x�

b� Calculat�i I �

ZZD

x�

y�dxdy unde D este m�arginit de

dreptele x � �� y � x �si hiperbola xy � ��

�� Calculat�i I �

ZZD

xydxdy� unde D este sfertul de cerc

x� � y� � R� situat ��n primul cadran�

�� Calculat�i I �

ZZD

x� sin�xy�

ydxdy� unde D este dome�

niul m�arginit de parabolele x� � y� x� � �y� y� �

�x�

y� � x�

���