Inductia matematica
-
Upload
curt-marius -
Category
Education
-
view
86 -
download
3
Transcript of Inductia matematica
Inducția matematică
ALGEBRĂ
Inducția matematică O metodă de raționament , în care concluzia
rezultă pe baza cercetării tuturor cazurilor se numește inducție completă .
Inducția completă are un domeniu restrâns de aplicabilitate în matematică
De regulă , propozițiile matematice se referă la o mulțime infinită de elemente și nu este posibil de considerat , pe rând toate aceste elemente !
Inducția matematicăExistă însă o metodă de a
raționa , care înlocuiește analiza unei mulțimi infinite de cazuri cu demonstrarea faptului că , dacă o propoziție este adevărată într-un caz , atunci ea se dovedește adevărată și în cazul care succede acestuia .
O astfel de metodă de raționament se numește inducție matematică .
Inducția matematică Pentru înțelegere considerăm propoziția : Pentru orice număr natural are loc
egalitatea :
Notăm cu această egalitate , fiind o propoziție care depinde de numărul natural
1n
21 3 5 ... (2 1)n n
( )P n
1n
Inducția matematicăPentru convingere verificăm dacă această
propoziție este adevărată pentru câteva valori date lui n
De exemplu , pentru obținem propoziția adică
Efectuând calculele obținem atunci :
4n ( )4P
21 3 5 ... ( 4 42 1)
21 3 5 .. 4. 7
Inducția matematică Observăm că în această sumă termenii sunt
din 2 în 2 ! Din acest motiv între 5 și 7 nu mai există și
alți termeni , deci spațiile punctate dispar !
Efectuând calculele obținem că 16=16 deci este o propoziție adevărată .
241 3 5 7
(4)P
Inducția matematicăDeci când calculăm o sumă cu spații punctate
vom înlocui valoarea lui n în ultimul termen al sumei pentru a determina termenul la care suma se termină .
Deoarece ultimul termen este 1 și primul termen este tot 1 termenii dintre ei dispar și suma nu are decât un termen
.
2( ) :1 3 5 ... (21 1)1 1P 2( ) :1 3 5 ...1 1 1P
Inducția matematică2( ) :1 1 1P Obținem astfel ceea ce este
adevărat .Faptul că propoziția este adevărată pentru
câteva valori date lui n nu demonstrează însă că ea este adevărată pentru orice număr natural n
O demonstrație pentru acest lucru este dată de metoda inducției matematice .
Inducția matematică Aplicarea metodei inducției matematice
pentru a demonstra o propoziție constă în parcurgerea a două etape :
I. Verificarea : Pentru sau cea mai mică valoare pe care i-o putem da , verificăm dacă propoziția este adevărată .
II. Demonstrația : . Presupunem
și demonstrăm că Concluzia :
( ) , P n n
0n (0)P
( ) ( 1)P k P k
( ) ( )P k A ( 1) ( )P k A
( ) ( ) ( )P n A n
Inducția matematică Să demonstrăm atunci :
I. Verificarea : ⇔ ⇔ (A)II. Demonstrația :Presupunem că propoziția este (A)
21 3 5 ... (2 1) , ( ) 1n n n
2( ) :1 3 5 ... (21 1)1 1P
( ) :1 3 5 ...1P 21 1 2( ) :1 1 1P
( ) ( 1)P k P k
2( ) :1 3 5 ... (2 1) P k k k
Inducția matematică Demonstrăm că propoziția
este (A)Dacă ultimul termen din propoziția l-
am obținut pentru atunci penultimul îl obținem pentru deci :
⇔
2( ) :1 3 5 ... (2( )1 1 11) ( ) k k kP
( 1)P k 1n k
n k
2
( 1) :1 3 5 ... (2 1)
(2 2 1) ( 1)
P k k
k k
2
( 1) :1 3 5 ... (2 1)
(2 1) ( 1)
P k k
k k
Inducția matematică
Se observă că în propoziția suma subliniată cu roșu este de fapt suma din propoziția care a fost presupusă adevărată și atunci poate fi
înlocuită cu ⇨ Această propoziție este adevărată deoarece
2( 1) :1 3 5 ... (2 1) (2 1) ( 1) P k k k k
( )P k( 1)P k
( )P k
2k2 2( 1) : 2 1 ( 1) P k k k k
2 2 22 ( )a ab b a b
Inducția matematică Concluzia este atunci că :
∎Metoda inducției matematice are o largă
utilizare în matematică . Ea poate fi folosită la calcularea de sume și produse , la demonstrarea unor egalități și inegalități , în probleme de divizibilitate a numerelor .
( ) , ( ) ( ) 1P n A n
Inducția matematică Iată câteva exemple în care puteți folosi
această metodă :
1)
2)
3)
( 1)1 2 3 ... , ( ) 1
2n n
n n
2 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3 ... , ( ) 1
6n n n
n n
2
3 3 3 3 ( 1)1 2 3 ... , ( ) 1
2n n
n n
Inducția matematică 4) Calculați suma
și demonstrați rezultatul obținut prin inducție matematică pentru
5) Fie suma
a) Să se arate că , b) Să se calculeze suma folosind a)c) Demonstrați prin metoda inducției matematice rezultatul de la b)
1 2 2 3 3 4 ... ( 1)nS n n
( ) 1n 1 1 1 1
...1 2 2 3 3 4 ( 1)nS n n
1 1 1( 1) 1k k k k
k
nS
Inducția matematică Aici lecția noastră se termină ! Spor la lucru ! Lecție realizată de prof. CURT MARIUSLiceul Tehnologic De Industrie Alimentara
fetesti