1.Algebra

1.Numere Rationale1

Multimea Numerelor Naturale

! A amplifica o fractie cu un numar natural nenul inseamna a inmulti si numitorul si numaratorul cu acest numar.

! A simplifica o fractie inseamna a imparti si numaratorul si numitorul cu un divizor comun al lor.

! Daca numaratorul si numitorul unei fractii sunt numere prime

între ele, fractia este ireductibila.

! O fractie ordinara se transforma in fractie zecimala, impartind numaratorul la numitor.

! Simbolul “+” sau “-“ care precede numarul se numeste semnul numarului rational.

Adunarea si Scaderea Numerelor Rationale

! Prin adunarea a doua numere rationale a si b se obtine un numar rational, notat cu a+b si numit suma numerelor a,b. numerele a si b sunt termenii sumei.

2

! daca a si b au acelasi semn, se aduna modulele lor si se scrie in faţa rezultatului semnul comun.

! daca a si b au semne diferite , se scade modulul mai mic din modulul mai mare si se scrie in fata rezultatului semnul numarului cu modul mai mare.

Adunarea este asociativa: ( a + b ) + c = a + (b +c ) 0 este element neutru fata de adunare: a + 0 = 0 + a = a Pentru orice a exista -a, opusul lui a, astfel incat: a + ( -a ) = (-a) + a = 0 Adunarea este comutativa: a +b = b + a

! Prin scaderea a doua numere rationale a si b se obtine un numar rational c, notat a – b, pentru care a = b + c ; c se numeste diferenta numerelor a si b, iar a este descazutul si b este scazatorul.

! O succesiune de adunari si scaderi de numere rationale se numeste suma algebrica.

! Fie a si b doua numere rationale. Spunem ca a este mai mic decat b (sau ca b este mai mare decat a) si notam a <b (sau b > a), daca exista un numar rationale pozitiv c, astfel incat a + c = b.

! Daca a<b sau a = b, spunem ca a este mai mic sau egal cu b ( sau ca b este mai mare sau egal cu a) si scriem a < b sau a = b , viceversa.

Imultirea si Impartirea Nr. Rationale

3

! Prin inmultire a doua numere rationale a si b se obtine un numar rational notat a • b si numit produsul numerelor a,b. Numerele a si b sunt factorii. produsului.

Daca a si b au acelasi semn, atunci a • b = |a| • |b| Daca a si b au semne diferite, atunci a • b = - ( |a| • |b| ) Daca a = 0 sau b = 0.atunci a • b =0

! Produsul dintre un numar rational si -1 este egal cu opusul numarului: x • (-1) = -x

Inmultirea numerelor naturale are urmatoarele proprietati:

Comutativa : Ex: a•c = c • a Asociativa : Ex: a • ( c•e ) = c • (a • e) Distributiva : Ex: a • (c + e) = a • c + a • e 1 element neutru : 1 • a = a • 1 = a

! Daca a,b € Z* , inversul numarului rational a : b este numarul rational b : a.

Daca p si q sunt numere rationale shi q nu este egal cu 0,catul dintre p si q, notat p:q, este acel numar rational c,pentru care p = q • c. Spunem ca, c se obtine prin impartirea lui p la q. Se scrie p : q = c.

! Daca a € Q si n € n \ {0,1} atunci an = a • a • … • a ; a este baza si n este exponentul puterii.

Prin conventie: a0 = 1, a € Q , a1 =a , a € Q.

Reguli de calcul cu puteri:

Puterea Unui Numar Rational Cu Exponent Numar Natural

4

1)am • an = am+n ( a € Q* ,m € n, n € n )2)(am)n = a m•n ( a € Q , m € n )3)(a • b) = an • bn (a,b € Q* , n € N )4)am : an = am-n (a € Q, m € n )

! Numerele a1,a2,….an, nenule,sunt (direct)proportionale cu numerele b1,b2,…,bn ,nenule,daca rapoartele lor formeaza sir de rapoarte egale.Valoarea acestor rapoarte se numeste coeficient de proportionalitate.

Pornind de la o proportie data se pot obtine proportii cu alti termeni ,numite proportii derivate,astfel:

se inmultesc sau se impart termenii unui raport cu acelasi numar nenul;

se inmultesc sau se impart numitorii cu acelasi numar nenul

se inumtesc sau se impart umaratorii cu acelasi numar nenul

se aduna sa se scad la numaratori numitorii se aduna sau se scad la numitori numaratorii se egaleaza un raport cu raportul obtinut prin adunare

sau scaderea numaratorilor si respective a numitorilor

Media Aritmetica Si Media Aritmetica Ponderata

Proportii Derivate Sir De Rapoarte Egale Proportionalitatea Directia Si Inversa

5

Definitie: Media aritmetica a doua sau a mai multor numere rationale este numarul rational obtinut prin impartirea sumei numerelor respective la numarul lor.

Definitie: Numarul rational a • b + b • q se numeste medie p+qponderata a numerelor a si b cu ponderile ,respective,p si q.

3.Calcul Algebric

! Produsul dintre un numar real si o suma algebrica se efectueaza inmultind acest numar cu fiecare termen al sumei aduna,respectand regula semnelor de la inmultire,dupa care se aduna noii termenii astfel obtinuti.

! Produsul dintre doua sume algebrice se efectueaza inmultind fiecare termen al unei sume cu fiecare termen al celei de-a doua si insumand noii termeni astfel obtinuti.

Calcul Cu Numere Reale Reprezentate Prin Litere

6

! Termeni de forma “cf” , numit coeficientul termenului, reprezinta un numar, iar “l”, partea literala a termenului, este formata din numere reprezentate prin litere,eventual,cu diversi exponenti, ii numim termeni asemenea daca partile lor literale sunt identice, iar adunarea lor se numeste reducerea termenilor asemenea.

Formule De Calcul Prescurtat

Daca a,b € R, atunci: (a+b)2

=a2+2ab+b2

(patratul unui binom)

Daca a,b,c € R, atunci: (a+b+c)2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

(patratul unui trinom)

Daca a,b € R, atunci:

(a-b)(a+b)=a2–b2

(produsul sumei cu diferenta)

Descompuneri In Factori Utilizand Regulile De Calcul In R

! Un numar,un numar exprimat printr-o litera sau un produs de numere exprimate prin litere,care se gaseste ca factor in toti termeni unei sume, este factor comun in suma respective.

! Folosind distributivitatea inmultiri fata de adunare si simteria egalitati avem a•b+a•c=a•(b+c). Spunem ca am scos factor comun pe a.

7

4.Ecuatii Si Sisteme De Ecuatii

Egalitate In R

! Propozitiile cu o variabila de forma ax+b=0 se numesc ecuatii cu o necunoscuta.

! Duoa ecuatii se numesc echivalente daca au acelasi domeniu de variatie se aceeasi multime de solutii.In caz contrar se numesc echivalente.Exemplele de mai sus arata ca notiunea “ecuatii echivalente” are sens numai in raport cu un domeniu de variatie dat.

Ecuatii Reductibile Pornind de la o ecuatie data,folosind proprietatile egalitatilor s-a ajuns la o ecuatie data, folosind proprietatile egalitatilor s-a ajuns in final la o ecuatie de forma ax+b=0, echivalenta cu ecuatia initiala si alte ecuatii se rezolva analog.

Perechile ordonate de numere reale (x,y) pentru care propozitia ax +by =c este adevarata formeaza multimea solutiilor ecuatiei in R x R.Deci in functie de multimea in care x si y iau valori , o ecuatie de forma ax + by =c poate vaea o infinitate de solutii,un numar finit care se adfla dandui lui x o valoare si aflandu-l pe y.

Metoda Reduceri Pentru Rezolvarea Sistemelord De Ecuatii

Doua sisteme de ecuatii sunt echivalente daca au aceeleasi multimi de solutii.

Ecuatii de Forma ax+by=c

8

Doua sisteme de ecuatii sunt echivalente daca au ceeasi multie de solutii.

Daca inlocuim una din ecuatiile sistemului cu ecuatia obtinuta prin adunarea parte cu parte a celor doua ecuatii,obtinem un system echivalent cu cel dat.

Metoda Substitutiei

! Metoda substitutiei pentru rezolvarea unui system de doua ecuatii cu doua necunoscute consta in exprimarea unei necunoscute dintr`una din ecuatii in functie de cealalta necunoscuta si inlocuirea ei in cealalta ecuatie ,obtinand astfel o ecuatie cu o necunoscuta pe care o rezolvam.

! Se stabileste care necunoscuta o exprimam in functie de cealalta necunoscuta si din care ecuatia.Se exprima necunoscuta stabilita in functie de cealalta necunoscuta.

Probleme Care Se Rezolva Cu Ajutorul Ecuatiilor Si Al Sistemelor

Stabilirea datelor cunoscute si a celor necunoscute din problema.

Alegerea necunoscutei si exprima celorlalte date necunoscute in functie de aceasta

Alcatuirea unei ecuatii cu necunoscuta aleasa,folosind datele problemei.

Rezolvarea ecuatiei Verificarea solutiei Formularea concluziei problemei.

2.Geometrie

9

1.Recapitulare Si Completari

Reciproca Unei Teoreme Unghiuri Opuse La Varf

! Doua unghiuri proprii se numesc opuse la varf daca laturile lor formeaza doua perechi de semidrepte opuse.

! Doua drepte din acelasi plan care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele.

! Doua drepte concurente sunt perpendiculare daca unul din unghiurile care se formeaza in jurul punctului lor comun este un unghi drept.Fie doua drepte intersectate de o secanta.Daca dreptele formeaza cu secanta:

unghiurile alterne interne congruente sau, unghiuri corespondente congruente sau, unghiuri alterne externe congruente sau,

unghiuri interne sau externe de

aceeasi parte a secantei.

Congruenta Triunghiurilor

Criteriile de congruenta pentru triunghiurile oarecare

1) Criteriul L.U.L Doua triunghiuri sunt congruente daca au cate doua laturi si unghiul determinat de ele,respective congruente.

Paralelism Si Perpendicularitate

10

2) Criteriul U.L.U Doua triunghiuri sunt congruente daca au cate o latura si unghiurile alaturate ei,respectiv congruente.

3) Criteriul L.L.L Doua triunghiuri sunt congruente daca au toate laturile, respectiv congruente.

Criteriile de congruenta pentru triunghiurile dreptunghice

1) Criteriul C.C Doua triunghiuri deptunghice sunt congruente daca au catetele, respectiv congruente.

2) Criteriul C.U Doua triunghiuri dreptunghice sunt congruente daca au cate o cateta si un unghi ascutit, respective congruente.

3) Criteriul L.C. Doua triunghiuri derptunghice sunt congruente daca au ipotenuzele si cat o cateta, respectiv congruente.

4) Criteriul L.U Doua triunghiuri dreptunghice sunt congruente daca au ipotenuzele si cate un unghi ascutit,respective congruente.

Linii Importante In Triunghi

! Intr-un triunghi centrul de greutate se afla pe fiecare mediana la o treime de baza si doua treimi de varful triunghiului.

! Inaltime a unui triunghi este segmental determinat de un varf al triunghiului si piciorul perpendicularei din varf pe laura opusa.

! Bisectoarea a unui triunghi este segmental inclus in bisectoarea unui unghi al triunghiului,determinat de varful acelui unghi si intersectia bisectoarei cu latura opusa varfului.

! Mediatoarea a unui triunghi este mediatoarea uneia din laturile sale.

11

! Mediana a unui triunghi este segmental determinat de un varf al sau si mijlocul laturii opuse acestuia.

! Paralelogramu este patrulaterul cu laturile opuse paralele.

! Un patrulater este paralelogram daca si numai daca indeplineste una din conditiile urmatoare :

are laturile opuse congruente are doua laturi opuse paralele si congruente are unghiurile opuse congruente oricare doua unghiuri alaturate sunt suplementare diagonalele sale se taie in segmente congruente

Paralelograme Particulare

! Un dreptunghi este un paralelogram cu un unghi drept.

! Daca un paralelogram este dreptunghi,atunci are

diagonalele congruente si reciproc,daca un paralelogram are diagonalele congruente,atunci este dreptunghi.

! Daca un paralelogram este romb, atunci are diagonalele perpendiculare si reciproc,daca un paralelogram are diagonalele perpendiculare, atunci este romb.

Deci, un paralelogram este romb,daca si numai daca are diagonalele perepndiculare.

! Un patrat este un dreptunghi cu doua laturi consecutive congruente.

Paralelogramu

12

! un patrulater este patrat daca este romb si are un unghi drept

Trapezul Linia Mijlocie In Trapez

! Trapezul este patrulaterul convex in care doua laturi opuse si numai ele,sunt paralele.

Bazele trapezului sunt paralele.

! Trapezul dreptunghic este trapezul cu una din laturile neparalele perpendiculare.

! Trapezul isoscel este trapezul cu laturile neparalele necongruente.

! Segmentul de dreapta determinat de mijloacele laturilor

neparalele ale unui trapez se numeste linia mijlocie a trapezului.

Proprietati De Simetrie Ale Patrulaterelor

! Un punct este simetricul altui punct,fata de o dreapta, daca dreapta este mediatoarea segmentului determinata de cele doua puncte.Daca punctul este pe dreapta simetricul lui este punctual insusi.

! Fie F o figura geometrica si d o dreapta.Daca F contine simetricele fata de d ale tuturor punctelor lui F, atunci F se

13

numeste simetrica fata de d.Dreapta d se numeste axa de simetrie a lui F.

! Simetricul unui punct M fata de un punct O este un punct M’ astfel incat O sa fie mijlocul lui [MM’].Mai spunem ca punctele M si M’ sunt simetrice fata de O.

! Fie F o figura geometrica si d o dreapta.Daca F contine simetricele fata de d ale tuturor punctelor lui F.

! O suprafata triunghiulara este reuniunea unui triunghi cu interiorul sau.O suprafata poligonala este reuniunea unui poligon cu interiorul sau.

! Daca doua suprafete poligonale nu au puncte interioare commune,atunci aria reuniunii lor este suma ariilor lor.

Aria unui patrat este egala cu patratul laturii sale.

AABCD=l2

Aria unui dreptunghi este egala cu produsul bazei cu inaltimea.

AMNPQ=b•h

Aria unui triunghi este egala cu jumatate din produsul unei laturi cu inaltimea corespunzatoare ei.

AEPG= l • h 2

Aria unui paralelogram este egala cu produsul unei laturi cu inaltimea corespunzatoare.

Arii

14

AMNPQ=b•h

Aria unui trapez este egala cu jumatate din produsul inaltimi sale cu suma bazelor sale.

ALMNP=(B + b) •h 2

Ariile Laterale Si Totale Ale Unor Poliedre

Aria laterala ,A l, a unui paralipiped este suma ariilor fetelor laterale.Aria totala,Al,a unui paralipiped este suma ariilor tuturor fetelor saleDaca lungimea muchiilor paralelipipedului sunt L,l si h atunci: Al=2•(L+l) • h Al=Al+2•L•l

Aria laterala a unei prisme este suma ariilor fetelor laterale.Aria totala a unei prisme este suma ariilor tutror a fetelor sale.

Aria laterala a unei piramide este suma ariilor fetelor laterale.Aria totala a unei piramide este suma ariilor tuturor fetelor sale.

2.Asemanarea Triunghiurilor

Segmente Proportionale

!Raportul a doua segmente este raportul lungimilor lor,exprimate cu aceeasi unitate de masura.

15

!Segmentele [AB], [BC], [CD] sunt proportionale cu segmental [A’B’], [B’C’], si [C’D’] daca lungimile lor sunt exprimate cu aceeasi unitate de masura sunt proportionale.

Daca mai multe drepte paralele determina pe o secanta segmente congruente,atunci ele determina pe orice alta secanta segmente congruente.

Teorema Lui Thales

Teorema lui Thales:

Fie ABC un triunghi,B’ un punct pe dreapta AB si C’ un punct pe dreapata AC.Daca dreptele B’C’ si BC sunt paralele,atunci: A’B=AC’

AB AC

Reciproca Teoremei Lui Thales

Reciproca Lui Thales:

Daca in triunghiul ABC puncetele M si N ocupa pozitii relative analoage pe dreptele AB si AC.

Teorema Fundamentala A Asemanari

Doua triunghiuri sunt asemenea in coresponden.sunt triunghiuri asemenea daca au unghiurile corespondente congruente si laturile corespondente proportionale.

Teorema Paralelelor Echidistante:

16

Teorema Fundamentala A Asemanari:

O paralela dusa la una din laturile unui triunghi formeaza cu dreptele care include celelalte drepte doua laturi cu un triunghi asemenea cu cel dat.

Criterii De Asemanare A Triunghiurilor

Criteriul 1 de asemanare (U.U) Doua triunghiuri cu doua perechi de unghiuri corespondente congruente sunt asemenea.

Criteriul 2 de asemanare (L.U.L) Doua triunghiuri cu doua perechi de laturi corespondente proportionale si unghiurile dintre ele congruente sunt asemenea.

Criteriul 3 de asemanare (L.L.L) Daca laturile corespondente a doua triunghiuri sunt proportionale,atunci cele doua triunghiuri sunt asemenea.

3.Relatii Metrice In Triunghiul Drept.

Proiectii Ortogonale Pe O Dreapta

! Proiectia ortogonala a unui punct pe o dreapta este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe dreapta.

! Daca AB || d, atunci proiectia ortogonala a lui [AB] pe dreapta d este un segment congruent cu [AB].

17

! Daca [M’N’] este proiectia ortogonala a lui [M’N’] este proiectia ortogonala a mijlocului lui [MN] pe d.

Teorema Inaltimi, Teorema Catetei

Teorema Inaltimi:Intr-un triunghi dreptunghic,lungimea inaltimi din varful unghiului drept este media geometrica a lungimilor proiectiilor ortogonale ale catetelor pe ipotenuza.

Teorema Catetei

Intr-un triunghi dreptunghic,lungimea unei catete este media geometrica a lungimilor ipotenuzei si a lungimilor proiectiei ei ortogonale pe ipotenuza.

Teorema Lui Pitagora Si Reciproca Ei

Teorema lui Pitagora

Intr-un triunghi dreptunghic, suma patratelor lungimilor catetelor este egala cu patratul lungimii ipotenuzei.

Reciproca teoremei lui Pitagora

Daca intr-un triunghi suma patratelor lungimilor a doua laturi este egala cu patratul lungimii laturi a treia,atunci triunghiul este dreptunghic.

Rapoarte Constante In Triunghiul Dreptunghiul: sin. cos. tg. ctg

Sinusul masurii unui unghi ascutit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre lungimea catetei opuse acestui unghi si lungimea ipotenuzei.

Cosinusul masurii unui unghi ascutit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre lungimea catetei opuse si

18

lungimea catetei alaturate acestui unghi si lungimea ipotenuzei.

Tangenta masurii unui unghi ascutit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre lungimea catetei opuse si lungimea catetei alaturate acestui unghi.

Cotangeta masurii unui unghi ascutit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre lungimea catetei alaturate si lungimea catetei opuse acestui unghi.

4.Cercul

! Fie O u punct intr-un plan si r un numar pozitiv .Cercul cu centru O de raza r, noatat C(O;r) este multimea tuturor punctelor din plan care se afla la distanta r de punctual O.

!Segmentul cu capetele pe cerc se numeste coarda.Coarda care contine centrul cercului se numeste diametru.

Teorema.In acelasi cerc sau in cercuri congruente,daca doua coarde sunt congruente,atunci arcele corespunzatoare sunt congruente.

Cercul Unghi La Centru

Coarde Si Arce In Cerc

19

Teorema.In acelasi cerc sau in cercuri congruente, daca doua arce sunt congruente,atunci coardele corespunzatoare sunt congruente.

Teorema.Perpendiculara prin centrul unui cerc pe o coarda a lui imparte aceasta coarda si arcele corespunzatoare in parti congruente.

Teorema.In acelasi cerc sau in cercuri congruente,coardele egal departate fata de centru sunt congruente.

Teorema.In acelasi cerc sau in cercuri congruente,orice doua coarde congruente sunt egal departate de centru.

Pozitiile Relative Ale Unei Drepte Fata De Cerc.

! O dreapta care intersecteaza cercul in doua puncte se numeste secanta cercului.

! Dreapta care intersecteaza cercul intr-un singur punct se numeste tangenta la cerc.Acest punct se numeste punct de tangenta.

Teorema. Dreapta perpendicular pe un diametru intr-un capat al acestuia este tangenta cercului reciproc.

! Un unghi este inscris intr-un arc de cerc daca laturile contin capetele arcului si varful unghiului este un punct al arcului,diferit de capetele cercului.

Teorema. Masura unui unghi inscris in cerc este jumatate din masura arcului cuprins intre laturi.

20

Pozitiile Relative Ale Doua Cercuri Cercuri secante Cercuri interioare-au doua puncte comune -nu au puncte comune

Cercuri exterioare Cercuri tangente interioare-nu au puncte in comun -au un punct comun

Cercuri concetrice Cercuri tangente exterioare -au acelasi centru -au un punct comun

Triunghi Si Patrulater Inscrise In Cerc

! Cercul care contine cele trei varfuri ale unui triunghi se numeste cercul circumscris triunghiului.

! Centrul cercului circumscris unui triunghi este punctual de intersectie a mediatoarei triunghiului.

! Patrulater cu varfurile pe un cerc se numeste patrulater inscris in cerc.

Teorema. Unghiurile opuse ale unui patrulater inscris in cerc sunt suplementare.

Teorema. Intr-un patrulater inscris in cerc,diagonalele formeaza cu laturile opuse perechi de unghiuri congruente.

21

Teorema. Daca diagonalele unui patrulater convex formeaza cu doua laturi opuse o pereche de unghiuri congruente,atunci este patrulater inscriptibil.

Poligon Regulat

! Un poligon este regulat daca este convex, are toate laturile congruente si toate unghiurile congruente.

! Distanta a de la centrul unui poligon regulat la oricare dintre laturile sale se numeste apotema poligonului.

! Aria discului de raza R este data de formula : A= Л R2

! Aria unui sector de raza R cu masura arcului sau uo este data de formula: A= ЛR2u 360

Aria Discului ,Aria Sectorului

22