revista matematica

33
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Filiala Caraş-Severin REVISTA DE MATEMATICĂ A ELEVILOR ŞI PROFESORILOR DIN JUDEŢUL CARAŞ-SEVERIN Nr. 22, An VIII-2007 Editura „Neutrino” Reşiţa, 2007 2 © 2006, Editura „Neutrino” Titlul: Revista de matematică a elevilor şi profesorilor din judeţul Caraş-Severin I. S. S. N. 1584-9767 Colectivul de redacţie Bădescu Ovidiu Golopenţa Marius Chiş Vasile Iatan Rodica Dragomir Adriana Moatăr Lavinia Dragomir Lucian Pistrilă Ion Dumitru Drăghici Mariana Stăniloiu Nicolae Didraga Iacob Şandru Marius Gâdea Vasilica Şuşoi Paul Redacţia Redactor-Şef: Dragomir Lucian Redactor-Şef Adjunct: Bădescu Ovidiu Redactori principali: Dragomir Adriana Neagoe Petrişor Stăniloiu Nicolae Responsabil de număr : Dragomir Adriana © 2007, Editura „Neutrino” Toate drepturile rezervate Mobil: 0724224400 www. neutrino. ro E-mail: editura@neutrino. ro

description

revista matematica

Transcript of revista matematica

Page 1: revista matematica

Societatea de Ştiinţe Matematice din România Filiala Caraş-Severin

REVISTA DE MATEMATICĂ

A ELEVILOR ŞI PROFESORILOR

DIN JUDEŢUL CARAŞ-SEVERIN

Nr. 22, An VIII-2007

Editura „Neutrino”

Reşiţa, 2007 2

© 2006, Editura „Neutrino” Titlul: Revista de matematică a elevilor şi profesorilor din judeţul Caraş-Severin I. S. S. N. 1584-9767

Colectivul de redacţie

Bădescu Ovidiu Golopenţa Marius Chiş Vasile Iatan Rodica Dragomir Adriana Moatăr Lavinia Dragomir Lucian Pistrilă Ion Dumitru Drăghici Mariana Stăniloiu Nicolae Didraga Iacob Şandru Marius Gâdea Vasilica Şuşoi Paul

Redacţia

Redactor-Şef: Dragomir Lucian Redactor-Şef Adjunct: Bădescu Ovidiu Redactori principali: Dragomir Adriana Neagoe Petrişor Stăniloiu Nicolae Responsabil de număr : Dragomir Adriana

© 2007, Editura „Neutrino” Toate drepturile rezervate Mobil: 0724224400 www. neutrino. ro E-mail: editura@neutrino. ro

Page 2: revista matematica

3

CUPRINS

● Câteva zâmbete ……………………………………... Pag. 4 ● Chestiuni metodice, note matematice ■ Sume şi produse prietene (Cristinel Mortici)....

Pag. 5

■ Pătrate perfecte(Lucian Dragomir) …………….. Pag. 6 ■ Extreme cu permutări (Nicolae Stăniloiu)………. ■ Drepte de tip Simson (Petrişor Neagoe) ………..

Pag. 12 Pag. 15

● Probleme rezolvate ………………………………….. Pag. 20 ● Probleme propuse ……………………………………. Pag. 41 ● Rubrica rezolvitorilor ………………………………… Pag. 51 ● Tabel nominal cu membrii Filialei Caraş-Severin ai Societăţii de Ştiinţe Matematice din România

Pag. 59

4

Câteva zâmbete ● La sfârşitul semestrului, profesorul ascultă câţiva elevi pe care nu i-a prea întâlnit. Obosit, ajunge şi la ultimul şi îi pune o întrebare simplă. Răspuns: nimic. O nouă întrebare: Totuşi, despre ce s-a discutat la lecţii? Din nou, tăcere. Profesorul ar vrea să scape mai repede, ajutând elevul, şi astfel mai întreabă: Măcar partea de algebră, cu cine au învăţat-o colegii Dumneavoastră? Linişte. În sfârşit, o întrebare ajutătoare: Cu mine sau cu tine? ● După o lucrare de control, un elev este foarte revoltat: Dom’Profesor, nu cred că meritam nota 2! Ştiu, dar eu nu dau note mai mici! ●Un matematician stă la birou şi munceşte din greu. De el se apropie băiatul său de 6 ani şi-l întreabă: - Tata, cum se scrie cifra opt? - Foarte simplu. Ia infinitul şi roteşte-l cu pi pe doi. ● După un examen, trei studenţi obosiţi, stau la o terasă şi savurează câte un lichid, privind la persoanele care intră şi ies dintr-un magazin. La un moment dat în magazin intră două persoane şi peste un minut ies trei. Studentul la metrologie observă: Măsurările iniţiale au fost eronate. Studentul la biologie: Oamenii au proprietatea de a se înmulţi. În sfârşit, studentul la matematică subliniază: Dacă în magazin va intra o persoană, atunci va rezulta că în magazin nu e nimeni. ● Examen la electrotehnică. Răspunsul studentului este excelent. Profesorul emoţionat îi pune nota 10, după care îl întreabă: - În realitate, dumneavoastră aţi înteles tot materialul atât de bine? - Nu prea, - răspunde studentul, - Am o întrebare nelămurită. Curentul alternativ este astfel – traseaza cu degetul o sinusoidă în aer – bun, dar cum curge acest curent prin conductoare drepte? ● – Alo, Sergiu? - Da! - Mai ştii ce ne-a dat ieri la mate? - Da, câte-un 3!

Page 3: revista matematica

5

Sume şi produse prietene

În unele probleme apar sume sau produse care se pot calcula considerând alte sume sau produse similare şi care permit o manevrare mai facilă. Vom exemplifica cele remarcate cu câteva subiecte propuse la unele concursuri. Problema 1. Calculaţi

2 2 21 2 2 3 ... 99 100A = ⋅ + ⋅ + + ⋅ şi 2 2 21 0 2 1 ... 99 98B = ⋅ + ⋅ + + ⋅ . Rezolvare:

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2

23 3 3

1 2 0 2 3 1 ... 99 100 98

99 1002 1 2 ... 99 2 490050002

A B+ = ⋅ + + ⋅ + + + ⋅ + =

⋅⎛ ⎞= ⋅ + + + = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Pe de altă parte avem şi ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2

2 2 2

1 2 0 2 3 1 ... 99 100 98

99 100 1992 1 2 ... 99 2 6567006

A B− = ⋅ − + ⋅ − + + ⋅ − =

⋅ ⋅⎛ ⎞= ⋅ + + + = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Deducem acum 2 ( ) ( ) 49005000 656700A A B A B= + + − = + , de unde 24830850A = şi 2 ( ) ( ) 49005000 656700B A B A B= + − − = − şi astfel 24174150B = . ●

Problema 2. Se consideră numerele

2 2 21 1 1...

1 2 2 3 10 11A = + + +

⋅ ⋅ ⋅ şi 2 2 2

1 1 1...1 2 2 3 10 11

B = + + +⋅ ⋅ ⋅

.

Arătaţi că 12

A < şi 60121

B > .

Rezolvare:

2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1...

1 2 1 2 2 3 2 3 10 11 10 111 1 1 1 1 1 1 11 ...

1 2 2 2 3 2 3 10 11 10 111 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 ...2 2 2 3 2 3 10 11 10 11

A B ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ = + + + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + + ⋅ + + + ⋅ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛= − ⋅ + + − ⋅ + + + − ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞ =⎟⎠

2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 11 ... 12 2 3 10 11 11

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − + − + + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6

Deoarece A B< , deducem 12 1 2

A A B A< + < ⇒ < şi totodată

21 60 2 1

12111B A B A B B> ⇒ > + = − ⇒ > . ●

Problema 3. Arătaţi că 1 3 5 23 1...2 4 6 24 5

C = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ < .

Rezolvare: Considerăm numărul 2 4 6 24...3 5 7 25

D = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ şi obţinem

125

C D⋅ = . Deoarece 1 2 3 4 23 24, ,...,2 3 4 5 24 25< < < deducem C D< şi astfel

2 1 125 5

C C D C< ⋅ = ⇒ < . ●

Conf. Univ. Dr. Cristinel Mortici Universitatea Valahia, Târgovişte

Pătrate perfecte Pentru început vom aminti câteva rezultate cunoscute şi des folosite în acest cadru : 1) Ultima cifră a unui pătrat perfect este doar una dintre cifrele

0, 1, 4, 5, 6, 9. 2) Orice pătrat perfect are una dintre formele 4p sau 8 1q + . (Într-adevăr, dacă 2n k= , atunci 2 24 4n k p= = , iar dacă 2 1n k= + , avem 2 4 ( 1) 1 8 1n k k q= + + = + ) 3) Orice pătrat perfect este de forma 3p sau 3 1q + . (Ca şi mai înainte, considerăm 3 sau 3 1 sau 3 2n k n k n k= = + = + şi ridicăm la pătrat) 4) Dacă un pătrat perfect conţine un factor prim în descompunere, atunci acest factor este de fapt la o putere pară în descompunerea numărului iniţial. 5) Restul împărţirii oricărui pătrat perfect la 4 este 0 sau 1. Vă prezentăm acum câteva exerciţii care au constituit subiecte de concurs, în speranţa că vă veţi familiariza şi cu acest teren: (1) Arătaţi că numărul 1549 15492 3 7B = + + nu este pătrat perfect.

(Sorin Budişan, OL Bistriţa-Năsăud, 2006)

Page 4: revista matematica

7

Soluţie: Ultima cifră a numărului dat este 4 387 1 4 387 1( ) (2 3 7)u B u ⋅ + ⋅ += + + . Deoarece 4 1(2 ) 2ku + = , 4 1(3 ) 3ku + = , deducem imediat că ( ) 2u B = , deci B nu poate fi pătrat perfect (conform 1) ). (2) Considerăm numerele naturale de forma 2 384,n

nx n ∗= + ∈ . a) Arătaţi că pentru orice 8n ≥ , numărul nx nu este pătrat perfect. b) Determinaţi n ∗∈ pentru care nx este pătrat perfect.

(OJ Botoşani 2006, clasa a V-a) Soluţie: a) Dacă 8n ≥ avem că există k∈ astfel încât 8n k= + şi astfel ( )8 7 12 384 2 2 3 .k k

nx + += + = ⋅ + Deoarece numărul 12 3k+ + este

impar, deducem că nx conţine factorul prim 2 la puterea impară 7, aşadar

nx nu este pătrat perfect ; b) Căutăm acum 1 7n≤ ≤ şi calcule imediate conduc la unica soluţie

4n = . (3) Scrieţi numărul 20055 ca sumă de trei pătrate perfecte nenule.

(Concurs RMCS 2006) Soluţie:

2005 2002 2002 2002 20025 125 5 100 5 16 5 9 5= ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

( ) ( ) ( )2 2 21001 1001 100110 5 4 5 3 5 .= ⋅ + ⋅ + ⋅

(4) Determinaţi numerele naturale impare n cu proprietatea că numărul 2 4 115n n na = + + este pătrat perfect.

(Ioana şi Gheorghe Crăciun, Concurs 2006) Soluţie: Pentru 1n = obţinem 211a = , adică un pătrat perfect. Să

observăm acum că dacă n este număr par ultimele două cifre ale lui 115n sunt 25, iar dacă n este impar ultimele două cifre ale aceluiaşi număr sunt 75. Ajungem astfel la: 3n ≥ , n impar 2 4 4n n k⇒ + = şi

( )115 116 1 4 1nn p= − = − , de unde 4 4 1a k p= + − = 4 3q= + , care nu este pătrat perfect (conform 2)) (5) Să se determine toate numerele naturale n de două cifre pentru care numărul 4n n+ + este pătrat perfect.

(OL Vaslui, 2006, clasa a VII-a) Soluţie: Evident, 4n + trebuie să fie deasemenea pătrat perfect; cum n

are două cifre, deducem { }12,21,32,45,60,77,96 .n∈ Imediat se ajunge

8

acum la { }4 16,26,38,52,68,86,106n n+ + ∈ ; cum 4n n+ + trebuie să fie pătrat perfect, ajungem doar la 12n = . (6) Să se arate că pentru orice număr natural 2n ≥ , numărul

11...144...4A = , unde 1 apare de n ori, iar 4 apare de 2n ori, nu este pătrat perfect.

(Cecilia Deaconescu, OJ 2006, clasa a VII-a ) Soluţie: Notăm cu a numărul de n cifre 11...1 avem

2 210 4 10 4 (10 2) .n n nA a a a a= ⋅ + ⋅ + = + Deoarece 11...1a = dă prin împărţire la 4 restul 3, avem că a nu este pătrat perfect(conform 2)). Aşadar numărul dat A nu este pătrat perfect. (7) Există n∈ astfel încât numărul 2 1214n + să fie pătrat perfect?

(Damian Marinescu, GM 1-2007) Soluţie: Dacă n este număr par, atunci restul împărţirii lui 2 1214n + la 4 este 2, iar dacă n este impar, restul împărţirii la 4 este 3. Folosind rezultatul 5) din introducere, deducem că nu există numere care satisfac proprietatea din enunţ. (8) Determinaţi numărul aab în baza 10, ştiind că atât el cât şi baa sunt pătrate perfecte. Soluţie: Evident, 0, 0.a b≠ ≠ Deoarece a şi b sunt ultimele cifre ale unor pătrate perfecte, deducem că { }, 1,4,5,6,9a b∈ . Dintre pătratele perfecte de trei cifre care încep cu una dintre aceste cifre şi care au cifra unităţilor egală cu cea a zecilor putem alege doar pe 441. Cum şi 144 este pătrat perfect, deducem că numărul cerut este chiar 441. (9) Arătaţi că pentru orice n∈ există x şi y pătrate perfecte astfel încât

10nx y+ = . (GM 2-1986)

Soluţie: Pentru 0n = avem 0, 1x y= = .

Pentru 2 ,n k k ∗= ∈ scriem

( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 210 10 10 36 64 10 36 10 64 10k k k k k− − − −= ⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ şi astfel

avem ( ) ( )2 21 16 10 , 8 10k kx y− −= ⋅ = ⋅ .

Pentru 2 1,n k k= + ∈ , un calcul asemănător conduce la

( ) ( )2 210 , 3 10k kx y= = ⋅ .

Page 5: revista matematica

9

(10) Arătaţi că, oricare ar fi ,m n ∗∈ , numerele 2 4A m n= + şi 2 4B n m= + nu pot fi simultan pătrate perfecte.

Soluţie: Prin reducere la absurd, presupunem că există ,m n ∗∈ pentru care A şi B sunt pătrate perfecte. Datorită simetriei expresiilor care definesc aceste numere, putem considera, fără a restrânge generalitatea problemei, că m n≤ . În aceste ipoteze, vom avea ( )22 2 24 4 4 4 2n m n n n n n+ ≤ + < + + = + , de unde 2 2( 2)n B n< < +

Avem acum că B este pătrat perfect dacă şi numai dacă 2( 1)B n= + , de

unde 2 24 2 1 4 2 1n m n n m n+ = + + ⇒ = + , absurd. (11) Arătaţi că resturile posibile ale împărţirii unui pătrat perfect la 9 sunt 0, 1, 4 şi 7. Soluţie: Orice număr natural n se poate scrie sub forma

{ }9 , unde , 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4n k r k r= + ∈ ∈ − − − − . Avem în continuare

( )2 2 2 2 281 18 9 9 2n k kr r k kr r= + + = ⋅ + + , cu { }2 0,1,4,9,16r ∈ , aşadar

{ }21 19 , , 0,1,4,7n p r unde p r= + ∈ ∈ .

(12) Arătaţi că 25 5 7 , .n n n+ + ∉ ∀ ∈ (O.L. Bucureşti, 2004)

Soluţie: Pentru orice n∈ , produsul ( )1n n + este număr par, deci

( )5 1n n + este multiplu de 10 şi astfel numărul de sub radical are, pentru orice n∈ , ultima cifră 7, deci nu poate fi pătrat perfect. (13) Arătaţi că suma dintre numărul 1 şi produsul primelor n numere prime nu este pătrat perfect, oricare ar fi n ∗∈ . Soluţie: Considerăm primele n numere prime : 1 2 32, 3, 5,..., np p p p= = = şi presupunem, prin reducere la absurd, că

există ,n k∈ astfel încât 21 21 ... np p p k+ ⋅ ⋅ ⋅ = , de unde

( ) ( )21 2 ... 1 1 1np p p k k k⋅ ⋅ ⋅ = − = − ⋅ + . Cum 1 2p = , avem că produsul

din stânga este număr par, aşadar produsul din dreapta trebuie să fie tot număr par; dacă însă unul dintre cei doi factori e multiplu de 2, atunci şi celălalt are aceeaşi proprietate, deci produsul din dreapta este multiplu de 4. Produsul din stânga nu poate fi însă multiplu de 4, deci presupunerea făcută e falsă.

10

(14) Dacă a este un număr natural cu 2004 cifre pentru care 2003 cifre aparţin mulţimii { }0,3,6,9 , iar o cifră aparţine mulţimii { }2,5,8 , arătaţi

că a ∉ . (Romeo Zamfir, ShortList ONM 2004) Soluţie: Conform ipotezei avem că suma cifrelor numărului a este un număr de forma 3 2k + , aşadar numărul a este de fapt de această formă. (Orice număr natural dă la împărţirea cu 3 acelaşi rest ca şi suma cifrelor scrierii sale în baza 10). Acum, folosim rezultatul 3) din introducere, adică a nu poate fi pătrat perfect. (15) Arătaţi că dacă P este un pătrat perfect având nouă cifre, dintre care nici una nu este 3, atunci P are cel puţin două cifre identice.

(Ioana şi Gheorghe Crăciun) Soluţie: Presupunând, prin absurd, că toate cifrele numărului sunt distincte, suma acestora este 42, deci numărul P se divide cu 3, dar nu se divide cu 9, aşadar P nu este pătrat perfect, contradicţie. (16) Găsiţi numerele naturale n, 1n ≥ , pentru care 2 3nn + este pătratul unui număr întreg. (OBMJ, Macedonia, 2000) Soluţie: Considerând 2 23 ,nn m m+ = ∈ avem 3 ( )( )n m n m n= − + ,

aşadar există k∈ astfel încât 3km n− = şi 3n km n −+ = . Deoarece m n m n− < + , deducem

3 3 2 0 2 1k n k n k n k−< ⇒ − > ⇒ − ≥ . Acum, dacă 2 1n k− = , ajungem la

( )23 3 2 3 3 1 3 2n k k k n k kn− −− = = ⋅ − = ⋅ , adică 3 2 1kn k= = + şi astfel

0 sau 1k k= = . (În rest, pentru 2k ≥ , se arată prin inducţie matematică: 3 2 1k k> + ). Aşadar deocamdată avem 1 sau 3.n n= = În cazul în care

2 1n k− > , deducem 2 2 sau 2n k k n k− ≥ ≤ − − , de unde 23 3k n k− −≤ şi astfel [ ]2 22 3 3 3 3 3 8 8 1 2( 2n k k n k n k n kn n k− − − − − −= − ≥ − = ⋅ ≥ ⋅ + − − =

16 16 24, de unde imediat : 8 12 7n k k n= − − + ≥ Pe de altă parte însă, 2 2 conduce la 7 14 14n k n k≥ + ≥ + ,

contradicţie cu rezultatul găsit anterior. Aşadar, 1 sau 3.n n= = (17) Determinaţi numărul pătratelor perfecte de 5 cifre care au ultimele două cifre egale. (Baraj OBMJ, 1999) Soluţie: Dacă 100 11 4 3 , ,n abcdd abc d k d k= = ⋅ + = + ∈ este un număr cu proprietatea din enunţ, folosind rezultatul 2) din introducere şi faptul că { }0,1,4,5,6,9d ∈ , deducem { }0,4 .d ∈

Page 6: revista matematica

11

I) Dacă 0d = , atunci 100n abc= ⋅ fiind pătrat perfect, ajungem la

{ }2 2 210 ,11 ,...,31abc∈ , adică avem 22 de numere convenabile;

II) Dacă 24 avem 100 44d abc n m= ⋅ + = = , de unde 2 11225

pm p abc −= ⇒ = . Avem acum următoarele subcazuri:

(i) 5 ,p j j abc= ∈ ⇒ ∉

(ii) ( )2

2 2 125 10 105 1,25 5

jj jp j j abc j−+ −

= + ∈ ⇒ = = + , de

unde { }11,16,21,26,31j∈ , adică obţinem încă 5 numere.

(iii) dacă 2 20 75 225jp j abc j −

= + ⇒ = + ∉

(iv) dacă 2 30 25 325jp j abc j −

= + ⇒ = + ∉

(v) dacă 2 8 15 4 5 35jp j abc j j q+

= + ⇒ = + ⇒ = + , de unde

{ }13,18,23,28j∈ , adică încă patru numere. Avem astfel un total de 31 de numere care satisfac cerinţa din enunţ. Vă propunem acum să vă încercaţi puterile cu următoarele:

(1) Dacă n este o sumă de două pătrate perfecte, arătaţi că şi 2n este o sumă de două pătrate perfecte. (2) Arătaţi că dacă n∈ şi 2 1,3 1n n+ + sunt pătrate perfecte, atunci n este multiplu de 40. (3) Arătaţi că dacă n se poate scrie ca suma a trei pătrate a unor numere naturale, atunci şi 2n are aceeaşi proprietate.

Bibliografie: (1) Traian Cohal – Vă place matematica?, Editura Moldova, 1991 (2) Gh. Eckstein şi colectiv – Olimpiadele şi concursurile de matematică, Ed. Bîrchi, 2004, 2005, 2006 (3) Gazeta Matematică, colecţia 1999-2007 (4) Revista de Matematică a elevilor din Timişoara, colecţia 1999-

2007

Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu

12

Extreme cu permutări

Pentru început vom enunţa câteva probleme cu permutări şi apoi

vom încerca să descriem o tratare unitară a acestor tipuri de probleme. În

manualul de algebră pentru clasa a XI-a al domnului profesor Mircea

Ganga există următoarele probleme:

1) Dacă 1 20 ... , na a a n< < < ∈ , să se determine permutările

nS∈σ , pentru care suma: ( )

∑=

n

i i

i

aa

1 σ

are valoare minimă, respectiv

maximă.

2) Aceeaşi problemă o putem pune şi pentru suma: ( )∑=

n

iiiaa

Ca o generalizare a acestor probleme putem propune următoarele probleme:

1) Dacă 1 2 1 20 ... , şi 0 ... , n na a a b b b n< < < < < < ∈ , să se

determine permutările nS∈σ pentru care ( )

∑=

n

i i

i

ba

1 σ

, are valoare minimă,

respectiv maximă.

2) Aceeaşi problemă şi pentru suma: ( )∑=

n

iiiba

Aceste ultime două probleme se pot generaliza însă la rândul lor în felul următor:

1) Dacă ( ), : 0, f g → ∞ sunt două funcţii strict crescătoare şi 1 2 1 20 ... , şi 0 ... , n na a a b b b n< < < < < < ∈ , să se determine

permutările nS∈σ pentru care: ( ) ( )( )∑=

n

iii bgaf

1σ are valoare minimă,

respectiv maximă. 2) Dacă ( ), : 0, f g → ∞ sunt două funcţii, f strict crescătoare

şi g strict descrescătoare şi 1 2 1 20 ... , şi 0 ... , n na a a b b b n< < < < < < ∈ ,

să se determine permutările nS∈σ pentru care: ( ) ( )( )∑=

n

iii bgaf

1σ are

Page 7: revista matematica

13

valoare minimă, respectiv maximă. Este evident că ultimele două enunţuri generalizează toate

celelalte probleme şi în consecinţă ne vom ocupa doar de acestea. De fapt putem observa că este suficient să tratăm doar prima problemă cealaltă având o demonstraţie similară.

Pentru determinarea permutării σ pentru care suma

( ) ( )( )∑=

n

iii bgaf

1σ are valoare minimă se scrie inegalitatea dintre medii.

Se obţine:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )nn

ii

n

ii

nn

ii

n

ii

n

iii bgafnbgafnbgaf

1

11

1

111⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛≥ ∏∏∏∏∑

=====σσ .

Cum partea dreaptă a inegalităţii anterioare nu depinde de permutarea σ, înseamnă că ea reprezintă un minim pentru expresia din stânga. Ne interesează acea permutare care va realiza egalitatea. Deducem deci: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )jjii bgafbgaf σσ = , ceea ce ne spune că dacă

şi :atunci ji aaji << ( ) ( )ji afaf < şi atunci: ( )( ) ( )( )ji bgbg σσ > ,

adică ( ) ( )ji bb σσ > şi deci ( ) ( )ji σσ > . Cu alte cuvinte orice pereche de

numere ( ),i j defineşte o inversiune a permutării şi deci

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=1..1

..21nn

nσ .

Pentru determinarea permutării care realizează maximul sumelor din stânga se foloseşte inegalitatea C. B. S. Se obţine:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 12 2

2 2 2 2

1 1 1 1 1

n n n n n

i i i ii ii i i i i

f a g b f a g b f a g bσ σ= = = = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞≤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Cum partea dreaptă a inegalităţii anterioare nu depinde de permutarea σ, înseamnă că ea reprezintă un maxim pentru expresia din stânga. Ne interesează acea permutare care va realiza egalitatea. Pentru

ji < vom avea ji aa < şi ( ) ( )ji afaf < . Vom avea:

( )( )( )

( )( )( )j

j

i

i

bgaf

bgaf

σσ

= , de unde rezultă că şi ( )( ) ( )( )ji bgbg σσ < , adică

14

( ) ( )ji bb σσ < şi deci ( ) ( )ji σσ < , ceea ce ne spune că permutarea σ nu are nici o inversiune deci coincide cu permutarea identică.

Pentru problema de la punctul 2) este evident că permutarea

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=1..1

..21nn

nσ va realiza maximul iar permutarea identică va

realiza minimul sumelor respective. În încheiere propunem cititorului următoarele probleme:

1) Dacă ,...0 21 naaa <<< şi 2

...0 21πααα <<<< n , să se

determine permutarea σ pentru care ( )∑=

n

iiia

1

cos σα este minimă,

respectiv maximă.

2) Dacă 2

...0 21πααα <<<< n , să se determine permutarea σ

pentru care ( )∑=

⋅n

iii

1

cossin σαα este minimă, respectiv maximă.

3) Dacă 1 2 1 20 ... , şi 0 ... , .n na a a b b b n< < < < < < ∈ , să se

determine permutarea σ pentru care ( )

( )∑= +

n

i i

i

b

a1

21

ln

σ

este minimă,

respectiv maximă. Nicolae Stăniloiu, profesor, Bocşa

Page 8: revista matematica

15

Drepte de tip Simson

Teorema 1(Simson) Proiecţiile ortogonale ale unui punct P de pe cercul circumscris triunghiului ABC pe laturile acestuia sunt coliniare Demonstraţie: Fie ' BCA pr P= , ' CAB pr P= şi ' ABC pr P= . Patrulaterele ' 'AB PC , ' 'CPB A şi ABCP sunt inscriptibile.

( ' ') ( ') 90m AB C m APC= = ° − ( ') 90 ( ')m PAC m PCA− = ° − = ( ') ( ' ')m CPA m CB A= =

' ' ' 'AB C CB A⇒ ≡ ⇒ punctele ', ', 'A B C sunt coliniare. Dreapta pe care se află punctele ', ', 'A B C se numeşte dreapta lui Simson a punctului P în raport cu triunghiul ABC şi o notăm ( )s P Teorema 2 ( Reciproca teoremei lui Simson ) Fie P un punct în exteriorul triunghiului ABC şi ' BCA pr P= ,

' CAB pr P= , ' ABC pr P= . Dacă punctele ', ', 'A B C sunt coliniare atunci punctul P se află pe cercul circumscris triunghiului ABC . Teorema 3 ( Teorema lui Simson generalizată ) Fie P un punct pe cercul circumscris triunghiului ABC şi fie 'A BC∈ , 'B CA∈ , 'C AB∈ . Dacă ' ' 'PC A PB C PA C≡ ≡ (unghiurile au aceeaşi orientare) atunci punctele ', ', 'A B C sunt coliniare. Teorema 4 Fie P şi Q două puncte pe cercul circumscris triunghiului ABC . Măsura unghiului dintre dreptele lui Simson ( )s P şi ( )s Q în raport cu triunghiul ABC este jumătate din măsura arcului PQ Demonstraţie: Fie ', ', 'A B C proiecţiile ortogonale ale punctului P pe dreptele , ,BC CA AB şi

", ", "A B C proiecţiile ortogonale ale punctului Q pe dreptele , ,BC CA AB . Fie { } ( ) ( )D s P s Q= ∩ şi construim DE BC⊥ ,

AC’

B’

A’

P

CB

B

D

Q P

C E A’

B’

C’

A”

B”

C”

16

E BC∈ .

' ' '' ' ' ' '

DE PA EDA PA DPB A C inscriptibil PA B PCB

⇒ ≡ ⎫⇒⎬− ⇒ ≡ ⎭

( )( ') ( )2

( )log ( ") ( )2

m PAm EDA m PCA

m QAAna m EDA m QBA

⎫⇒ = = ⎪⎪⇒⎬

⎪⇒ = = ⎪⎭

( ) ( )( ' ") ( ') ( ")2 2

m PA m QAm A DA m EDA m EDA⇒ = + = + ⇒

( )( ' ")2

m PQm A DA⇒ =

Observaţie: Dacă punctele P şi Q sunt diametral opuse pe cercul circumscris triunghiului ABC atunci ( ) ( )s P s Q⊥ . Propoziţia 1 Dacă P este un punct pe cercul circumscris triunghiului ABC şi H este ortocentrul atunci mijlocul segmentului [ ]HP se află pe cercul celor nouă puncte. Demonstraţie: Fie X mijlocul lui [ ]HP ,

( ; )C O R cercul circumscris ABC ,

( ; )C N r cercul celor nouă puncte şi 1{ } ( ; )A AO C O R= ∩ .

1

BH CAA C CA

⊥ ⎫⇒⎬⊥ ⎭

1

1Analog BH A C

CH A B⇒ ⎫

⇒⎬⇒ ⎭

11

paralelogrammijlocul lui [ ]

Fie mijlocul lui [ ]BHCA

M A HM BC

⇒ − ⎫⇒⎬

Dacă L este mijlocul lui [ ]HA atunci în 1AA H avem [ ]LM linie

A

LH

B C

A1

O

X P

N

M

Page 9: revista matematica

17

mijlocie, deci 1LM AA şi 12 2

AA RLM r= ⇒ = (deoarece [ ]LM

este diametru în cercul celor nouă puncte) În HOA , L este mijlocul lui [ ]HA şi LN AO ⇒

[ ] [ ][ ] [ ]

HN NOHX XP

⇒ ≡ ⎫⇒⎬≡ ⎭

NX este linie mijlocie în HOP ⇒

( ; )2 2

OP RNX r X C N r⇒ = = = ⇒ ∈ .

Propoziţia 2. Dacă P este un punct pe cercul circumscris triunghiului ABC şi H este ortocentrul atunci mijlocul segmentului [ ]HP se află pe dreapta ( )s P . Demonstraţie: Fie { } ( )X s P HP= ∩ , ', ', 'A B C proiecţiile ortogonale ale lui P pe dreptele , ,BC CA AB şi ', 'H P simetricele punctelor ,H P în raport cu BC . Fie "A intersecţia lui 'PP cu cercul circumscris al ABC . Patrulaterele "APCA şi

' 'A B PC sunt inscriptibile " ' 'AA P ACP B A P⇒ ≡ ≡

" ( )AA s P⇒ (1) 'H este simetricul lui H în

raport cu 'BC BHH⇒ este isoscel '

' 'HBC H BC

H BC H ACHBC HAC

⇒ ≡ ⎫⇒ ≡ ⇒⎬≡ ⎭

'H BAC⇒ este inscriptibil ' ( ; )H C O R⇒ ∈ Patrulaterul ' 'HH P P este trapez isoscel ⇒

' ' ' " ' " " 'H HP HH P AA P H AA AA HP⇒ ≡ ≡ ≡ ⇒ (2) Din (1) si (2) ' ( )

'A' este mijlocul lui [ ']

HP s PXA

PP⇒ ⎫

⇒⎬⎭

- este linie mijlocie în 'PHP

X⇒ este mijlocul lui [ ]HP

A

H

B C

A”

X

P

P’

C’

B’

A’

H’

18

Teorema 5: Dacă punctele P , Q sunt diametral opuse pe cercul circumscris triunghiului ABC şi { } ( ) ( )M s P s Q= ∩ atunci punctul M se află pe cercul celor nouă puncte. Demonstraţie: Din propoziţiille 1 şi 2 rezultă că dreapta ( )s P intersectează cercul celor nouă puncte în mijlocul segmentului [ ]HP . Fie X acest punct. Analog dreapta

( )s Q intersectează cercul celor nouă puncte în mijlocul segmentului [ ]HQ . Fie Y acest punct. În HPQ , [ ]XY este linie mijlocie

XY PQ⇒ (*). Fie N este centrul cercului celor nouă puncte. În propoziţia 1 s-a demonstrat că N este mijlocul lui [ ]OH . În HPO , [ ]XN este linie mijlocie XN PO⇒ (**) Din (*) şi (**) , ,X N Y⇒ - puncte coliniare ⇒

[ ] este diametru al cercului celor noua puncteDin observatia de la teorema 4 avem ca ( ) ( )

XYs P s Q

⇒ ⎫⇒⎬⊥ ⎭

⇒ punctul M se află pe cercul celor nouă puncte. Teorema 6 ( Salmon )Dacă , , ,A B C P sunt patru puncte conciclice atunci cercurile de diametre [ ],[ ],[ ]PA PB PC se intersectează două câte două în trei puncte coliniare. Demonstraţie: Fie aP al doilea punct de intersecţie al cercurilor de diametre [ ]PB şi [ ]PC ( ) ( ) 90a a am PP B m PP C PP BC⇒ = = °⇒ ⊥ Dacă bP , respectiv cP sunt al doilea punct de intersecţie al cercurilor de diametre [ ]PC şi [ ]PA , respectiv [ ]PA şi [ ]PB atunci analog rezultă că bPP CA⊥ şi cPP AB⊥ . Deci punctele , ,a b cP P P sunt proiecţiile punctului P pe laturile triunghiului ABC . Din teorema lui Simson rezultă că punctele

, ,a b cP P P sunt coliniare.

A

H

B C

X

P s(P)

M

Q

Y

N O

s(Q)

Page 10: revista matematica

19

Teorema 7(Lalescu)Fie ABC şi ' ' 'A B C două triunghiuri înscrise în cercul ( ; )C O R . Dacă ( ') ' 's A B C⊥ atunci: a) ( ') ' 's B C A⊥ şi ( ') ' 's C A B⊥ b) dreptele Simson ale vârfurilor triunghiului ABC în raport cu laturile triunghiului ' ' 'A B C sunt perpendiculare pe laturile triunghiului ABC Demonstraţie: a) Fie "A intersecţia perpendicularei din 'A pe BC cu ( ; )C O R . Din propoziţia 2, relaţia (1)

AA" s(A') " ' '

Dar s(A') B'C'AA B C

⇒ ⎫⇒ ⊥⎬⊥ ⎭

Fie arcele ', ', 'AA BB CC în sens invers mişcării acelor de ceasornic " 'AA A este egal cu unghiul format de dreptele BC şi ' 'B C ⇒

( ') ( ') ( ') 360 ( ') ( ')m AA m BAB m CC m BB m CC⇒ = − = ° − − ⇒

( ') ( ') ( ') 360m AA m BB m CC⇒ + + = ° (*) Datorită simetriei relaţiei (*) în ', ', 'A B C ⇒ ( ') ' 's B C A⊥ şi

( ') ' 's C A B⊥ .

b) Din (*) ( ' ) ( ' ) ( ' ) 360m A A m B B m C C⇒ + + = ° Datorită simetriei rezultă că dreptele Simson ale vârfurilor triunghiului ABC în raport cu laturile triunghiului ' ' 'A B C sunt perpendiculare pe laturile triunghiului ABC Bibliografie: 1. Mihăileanu, N. N. - Complemente de geometrie sintetică 2. Nicolescu L., Boskoff V. - Probleme practice de geometrie

Petrişor Neagoe, profesor, Grup Şcolar “Mathias Hammer”, Anina

A A”

B’

CB

A’

s(A’)

C’

20

Probleme rezolvate din RMCS nr. 21 Ciclul primar

IV. 079 La litere diferite corespund cifre diferite, iar la litere identice corespund cifre identice. Găsiţi numărul ARC ştiind că:

RACRACACT

+

Prof. Adriana Dragomir, Oţelu – Roşu Răspuns: Problema are mai multe soluţii. ARC poate fi 214, 734, 215, 735 sau 429. □ IV. 080 9 cărţi şi 5 stilouri costă 195 lei, iar 3 cărţi şi 7 stilouri costă 129 lei. Cât costă 2 cărţi şi 3 stilouri?

Apostol Beg, elev, Oţelu – Roşu Soluţie: În loc de ‘’costă’’ vom folosi, pentru uşurarea scrierii, semnul '' "∼ şi astfel avem: ( )9 5 195 leic s+ ∼

( ) ( )3 7 129 lei c s+ ∗∼ ..............................

( )( )( ) ( )

12 12 324 lei

1 1 324 :12 27 lei

3 3 3 27 81 lei

c s

c s

c s

+

+ =

+ × = ∗∗

Din relaţiile ( ) ( ),∗ ∗∗ ajungem acum la:

4 129 81 48 lei1 12 lei1 15 lei

ssc

− =∼∼∼

Aşadar, preţul căutat este 66 lei. □ IV. 081 Alin şi Dragoş au împreună 24 de culegeri de exerciţii şi probleme de matematică. Dacă Dragoş i-ar oferi cadou două dintre culegerile sale de matematică, Alin ar avea de trei ori mai puţine cărţi decât Dragoş. Câte cărţi mai trebuie să – şi cumpere Dragoş pentru a avea de şapte ori mai multe decât are Alin?

Iulia Kurucz, elevă, Oţelu – Roşu Răspuns: Dragoş ar trebui să-şi mai cumpere 8 cărţi. □ IV. 082 În timpul vacanţei de vară, Lorena, Andrei şi Ovidiu au cheltuit împreună la mare 952 lei. Dacă Andrei a cheltuit de două ori mai

Page 11: revista matematica

21

mult decât Lorena şi jumătate din suma cheltuită de Ovidiu, aflaţi câţi lei a cheltuit fiecare copil.

Inst. Mariana Mitrică, Reşiţa Soluţie: Observaţie: Enunţul naşte mici confuzii din cauza cuvântului „şi”. Ar fi trebuit să ni se spună că suma cheltuită de Andrei este de două ori mai mare decât cea cheltuită de Lorena şi aceeaşi sumă(Andrei) este jumătate din suma cheltuită de Ovidiu (altfel se înţelege că

122

A L O= × + × , situaţie în care nu putem afla ce dorim); în aceste condiţii

avem: Soluţie: Lorena Andrei 952 lei Ovidiu 1 + 2 + 4 = 7 (segmente egale) 952 : 7 = 136 ( lei a cheltuit Lorena ) 136 x 2 = 272 ( lei a cheltuit Andrei ) 272 x 2 = 544 ( lei a cheltuit Ovidiu ) Verificare:136 lei + 272lei + 544 lei = 952 lei Răspuns: 136 lei; 272 lei; 544 lei. IV. 083. La ora de matematică de la clasa a V-a, dacă aşezăm câte 2 elevi într-o bancă, rămân 7 elevi în picioare, iar dacă aşezăm câte 3 elevi într-o bancă, rămân 5 locuri libere în bănci (enunţ corectat). Câte bănci sunt în cabinetul de matematică şi câţi elevi sunt în clasa a V-a?

Inst. Mariana Mitrică, Reşiţa Soluţie: Pentru enunţul publicat (ne cerem scuze), problema putea fi rezolvată (aşa cum au şi făcut mulţi dintre elevi şi au primit astfel punctaj maxim), dar se obţine rezultatul greu credibil de 2 bănci şi 11 elevi !. □ IV. 084 La litere diferite corespund cifre diferite, iar la litere identice corespund cifre identice. Găsiţi numărul SUR ştiind că

22

AAA

RUS

+

Prof. Adriana Dragomir, Oţelu – Roşu Soluţie: Pentru a putea obţine un număr de 3 cifre, A trebuie să fie cât mai mare. Vom ajunge la 9 99 108+ = , deci 801SUR = . □ IV. 085 Câte numere (naturale nenule) au proprietatea că adunând jumătatea sa şi cu dublul său obţinem un număr cel mult egal cu 10?

* * * Răspuns: Toţi elevii de clasa a IV-a sau a V-a care au dat următoarea soluţie( necunoscând, cum e şi normal de fapt, alte numere decât pe cele naturale şi operaţii simple cu acestea, au primit punctaj maxim) : Dacă 2p este unul dintre numerele căutate, atunci jumătatea sa este p, iar dublul său este 4p, aşadar ajungem la 4 5 10p p p+ = ≤ , deci p poate fi 1 sau 2. Dacă 1p = , numărul 2 satisface enunţul, iar dacă 2p = , numărul 4 satisface enunţul. Aşadar avem doar două numere convenabile. Pentru elevii mai mari, evident că răspunsul corect este : 4 numere, anume: 1, 2, 3, 4. Aşadar, care este răspunsul corect matematic? Ultimul !□ IV. 086 Bogdan îşi aduce aminte că la un concurs de matematică au participat 83 de elevi. Ştefan ştie sigur că numărul fetelor participante a fost cu 18 mai mare decât cel al băieţilor participanţi.

a) Să se stabilească dacă Bogdan a reţinut numărul participanţilor la concurs.

b) Să se stabilească dacă următoarea afirmaţie a lui Bogdan este adevărată : Numărul elevilor participanţi este de fapt mai mare decât 80 şi mai mic decât 85.

* * * Răspuns: a) Dacă f şi b reprezintă numărul fetelor, respectiv al băieţilor participanţi, ajungem la 2 18 83b + = , imposibil, deoarece 83 este un număr impar; b) 2 18b + ar putea fi 82 sau 84, deci afirmaţia este adevărată. □ IV. 087 Lucia îşi alege un număr, îl înmulţeşte cu 4, la rezultatul obţinut adună 14, numărul nou obţinut îl înmulţeşte cu 2 şi obţine 100. Adina îşi alege alt număr, îl înmulţeşte cu 3, la rezultatul obţinut adună 15, numărul nou obţinut îl înmulţeşte cu 3 şi obţine 99. Cine şi-a ales la început un număr mai mare: Lucia sau Adina?

Roxana Popa, elevă, Oţelu-Roşu Răspuns: Lucia a ales numărul 9 (pe când Adina a ales 6). □

Page 12: revista matematica

23

IV. 088 La un concurs de matematică au participat 200 de elevi din clasele IV – VIII. La fiecare clasă s-a acordat acelaşi număr de diplome (premii şi menţiuni), astfel încât din clasa a IV-a exact 24 de elevi nu au primit diplome, din a V-a exact 26 de elevi nu au primit diplome, iar din clasele a VI-a, a VII-a, a VIIII-a, câte 25 de elevi nu au primit diplome. Puteţi afla câţi elevi au participat la concurs din fiecare clasă?

R. M. T. 2004 Răspuns: Nu au primit diplome elevi, aşadar 200 125 75− = elevi au primit diplome, deci au fost oferite diplome pe clasă. Concluzie imediată : din clasa a IV-a au participat 39 de elevi, din a V-a 41 de elevi, iar din clasele VI-VIII câte 40 de elevi. IV. 089 Suma a trei numere (naturale) diferite este 14. Dacă dublăm două dintre numere, suma celor trei noi numere va fi 21. Puteţi găsi cele trei numere, dacă produsul lor este un număr care are prima cifră exact unul dintre numere?

Lavinia Corlan, elevă, Oţelu – Roşu Răspuns: 2, 5 şi 7. □ IV. 090 Bunicul lui Dragoş are o livadă cu pomi fructiferi. Dragoş şi Alin au strâns prune. Sergiu îi întreabă câte au reuşit să strângă. Dragoş spune: Dacă Alin strângea de două ori mai multe prune decât mine, am fi avut împreună 600 de fructe. Alin spune: Dacă Dragoş strângea de patru ori mai puţine prune decât mine, am fi avut împreună 250 de prune. Poate calcula Sergiu cine a strâns mai multe prune: Dragoş sau Alin?

Sorin Dascălu, elev, Oţelu –Roşu Răspuns: Cei doi au strâns câte 200 de prune fiecare. □ IV. 091 În fiecare zi din luna octombrie, Laurenţiu rezolvă câte o problemă de aritmetică. Pentru o problemă rezolvată corect primeşte de la părinţi câte 2 lei, dar pentru o problemă rezolvată greşit i se ia un leu.

a) Ar putea Laurenţiu, la sfârşitul lunii octombrie, să îşi cumpere un atlas zoologic care costă 60 de lei?.

b) Poate avea Laurenţiu la sfârşitul lunii octombrie exact 17 lei? Dar exact 14 lei?

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu Soluţie: a) Luna octombrie are 31 zile, aşadar dacă rezolvă corect toate problemele, Laurenţiu poate strânge chiar 62 de lei, suficient pentru a cumpăra atlasul; b) Poate avea 17 lei, dacă a rezolvat corect 16 probleme. Poate avea şi exact 14 lei (dacă rezolvă corect 15 probleme). □

24

IV. 092. Puteţi pune în locul semnelor ⊗ şi ○ numere astfel încât să avem: 123⊗+ =○ şi 456+⊗+ =○ ○ ?

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu Răspuns: Da, anume: 70 în loc de ⊗ , respectiv 193 în loc de ○ . □

Clasa a V-a

V. 086 Să se compare numerele 1013a = şi 1492b = . Cristi Munteanu, elev, Oţelu – Roşu

Soluţie: ( ) ( )50 50101 100 2 3 1493 3 3 2 2 .a b= > = > > = □

V. 087 Pentru o mulţime finită M se notează cu ( )s M suma elementelor sale. Să se determine mulţimile A şi B de numere naturale nenule care satisfac simultan următoarele proprietăţi: a) Dacă x A∈ , atunci ( )2 1 ;x B+ ∈ b) A şi B au câte trei elemente; c) ;A B∩ ≠∅ d) 7 ( ) 3 ( ).s A s B⋅ = ⋅

Prof. Adriana Dragomir, Oţelu – Roşu Soluţie: Din a) şi b) deducem { } { }, , , 2 1,2 1,2 1A a b c B a b c= = + + + şi acum, din d) ajungem la 9a b c+ + = . Se analizează cu atenţie cazurile posibile, se ţine cont de c) şi obţinem doar { } { }1,3,5 , 3,7,11 .A B= = □ V. 088 Pe o insulă trăiesc oameni cinstiţi care spun întotdeauna adevărul şi mincinoşi care întotdeauna mint. Un explorator a întâlnit doi băştinaşi A şi B. Băştinaşul A a spus: Cel puţin unul dintre noi doi (A şi B) este mincinos. Băştinaşul B a spus: Nici unul dintre noi doi nu spune acum adevărul. Poate stabili exploratorul cum sunt cei doi (cinstiţi sau mincinoşi)? Olimpiadă Rusia Soluţie: Dacă A ar fi mincinos, afirmaţia sa nu ar fi adevărată, deci ambii ar trebui să fie cinstiţi, contradicţie cu ipoteza. Aşadar A este cinstit şi B este mincinos. Aceasta nu este în contradicţie cu ce spune băştinaşul B, deci într-adevăr A este cinstit şi B este mincinos. V. 090 La un meci de fotbal al naţionalei ţării noastre, trei prieteni au îmbrăcat tricouri de culoare roşie, galbenă, albastră şi şi-au scris pe spate câte un număr (al jucătorului favorit) – fiecare altă culoare şi alt număr. Se ştie că:

Page 13: revista matematica

25

1) Sergiu nu are tricoul galben şi nu are numărul 5. 2) Cine are tricoul galben, are numărul 7. 3) Cine are numărul 10 nu are tricoul albastru. 4) Costel nu are numărul 10. 5) Sorin nu are numărul 7. Puteţi găsi ce tricou şi ce număr are fiecare dintre cei trei prieteni?

Lucia Dragomir, elevă, Oţelu – Roşu Soluţie: Sergiu are numărul 7 sau 10; doarece nu are tricou galben, Sergiu are numărul 10. Folosind condiţia 3), deducem că Sergiu are tricoul roşu. Folosind acum şi 5), ajungem la concluzia că Sorin are numărul 5, deci Costel are numărul 7, apoi Costel are tricoul galben, iar Sorin tricoul albastru. □ V. 091 Fiecare fată dintr-un grup de patru prietene are câte un gen de muzică preferată şi câte o materie preferată, diferite de ale celorlalte. Se ştie că: 1) Alina preferă muzica simfonică şi nu îi place istoria. 2) Roxana preferă matematica şi nu îi place muzica populară. 3) Fetei căreia îi place muzica populară, îi place şi geografia. 4) Fetei căreia îi place muzica rock nu îi place fizica. 5) Bianca nu suportă muzica rock. 6) Fetei căreia îi place istoria nu îi place muzica dance. Puteţi găsi ce gen de muzică preferă Lucia şi cui îi place fizica?

Alin Drăgan, elev, Oţelu – Roşu Răspuns: Alina – muzica simfonică, fizică; Roxana- dance, matematică ; Bianca- muzică populară, geografie; Lucia-rock, istorie. □ V. 092 Se poate scrie numărul 2007 folosind doar operaţiile de adunare, scădere, înmulţire şi împărţire şi zece de 3?

* * * Soluţie: Da, de exemplu : 3 333 3 333 3 3 2007⋅ + ⋅ + ⋅ = sau

( )333 3 3 3:3 3 3 3 2007⋅ ⋅ − + + + = , etc. □

V. 089 Un arab bolnav şi-a chemat soţia însărcinată şi a rugat-o să-i respecte ultima dorinţă după ce el nu va mai fi, privind împărţirea celor 63 de cămile pe care le avea. - Dacă naşti băiat, dă-i de 3 ori cât opreşti pentru tine, iar dacă naşti fată, dă-i jumătate din cât opreşti pentru tine ! Cum va împărţi văduva arabului cămilele dacă a născut gemeni : un băiat şi o fată?

Prof. Valer Pop, RMT

26

Soluţie: Dacă mama, fiul şi fata iau 2x , 6x , respectiv x cămile, atunci 2 6 63 9 63 7x x x x x+ + = ⇒ = ⇒ = , deci fiica ia 7 cămile, mama 14 cămile şi fiul 42 de cămile.

Clasa a VI-a

VI. 086 Să se determine numărul numerelor ab scrise în baza 10 pentru care numărul N ab ba a b= + + + este pătrat perfect.

* * * Soluţie: 23 2 ( )A a b= ⋅ ⋅ + este pătrat perfect dacă 3a b+ = sau

23 2a b+ = ⋅ ( să nu uităm că 18a b+ ≤ ). Se ajunge imediat la { }12,21,39,93,48,84,57,75,66ab∈ , aşadar răspunsul căutat este 9.

VI. 087 Pe o şosea circulă autoturisme: spre apus un Logan şi un Cielo, cu aceeaşi viteză, iar spre răsărit un Audi şi un BMW, cu aceeaşi viteză, dar nu neapărat egală cu a primelor două. Loganul s-a întâlnit cu BMW-ul la ora 12, Cielo cu BMW-ul la ora 15, iar Loganul cu Audi la ora 14. La ce oră s-au întâlnit Cielo cu Audi?

* * * Soluţie: Distanţa dintre BMW şi Audi şi vitezele lor nu se schimbă, iar vitezele Loganului şi a lui Cielo sunt egale. Loganul întâlneşte Audi la două ore după BMW, deci şi Cielo întâlneşte Audi tot la două ore după BMW, adică la ora 17. VI. 088 Există o mulţime de numere naturale consecutive astfel încât diferenţa dintre cel mai mare element şi cel mai mic element al său să fie 2007, iar suma celor mai mici trei elemente ale mulţimii să fie tot 2007? (justificaţi răspunsul).

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu Soluţie: Dacă { }1, 2,...,A a a a n= + + + , deducem

( 1) 2007 2008a n a n+ − + = ⇒ = ∈ şi 3 6 2007 667a a+ = ⇒ = ∈ . Răspunsul este aşadar afirmativ, { }668,669,...,2675 .A =

Page 14: revista matematica

27

VI. 089 Pe podeaua unei camere placate cu gresie în formă de pătrat cu latura de 4 m sunt 600 de furnici. Să se arate că în orice moment găsim cel puţin 3 furnici care sunt pe una din plăcile de gresie, care sunt tot în formă de pătrat, dar cu latura de 25 cm.

Dragoş Unguraş, elev, Oţelu – Roşu Soluţie: Camera e placată cu 256 plăci de gresie; dacă pe fiecare placă sunt cel mult două furnici, avem 2 256 512⋅ = şi astfel fiecare dintre cele 600 512 88− = furnici trebuie să se găsească pe aceleaşi plăci, deci vom obţine cel puţin 3 furnici pe o aceeaşi placă. □ VI. 090 Să se arate că nu există două numere naturale nenule(enunţ corectat) astfel încât suma lor să fie egală cu 39 iar produsul lor să se dividă la 39.

* * * Soluţie: Să presupunem că găsim două numere x, y cu proprietăţile din enunţ. Avem astfel 39 3 13x y+ = = ⋅ şi 39 ,xy k k= ∈ . Deducem că unul dintre numere, de exemplu x, se divide prin 3, dar atunci şi

39y x= − se divide prin 3. Analog ajungem la concluzia că cele două numere se divid şi prin 13, deci fiecare dintre ele nu este mai mic de 3 13⋅ şi astfel suma lor depăşeşete pe 39. Observaţie: Evident, pentru enunţul din revistă, afirmaţia era falsă, deoarece există 0, 39x y= = care satisfac enunţul necorectat. Toţi elevii care au rezolvat astfel problema au primit punctaj maxim, nu fost ei de vină. Ne cerem scuze faţă de cei pe care i-am indus în eroare, dar trebuie să înţelegem că eroarea e omenească, în general nu e intenţionată şi, de cele mai multe ori, conduce la progres. Fiţi toleranţi, adică fiţi oameni. ● VI. 091 Să se găsească numerele naturale m şi n pentru care 13 2 80.m n+ − =

Alina Buzuriu, elevă, Oţelu – Roşu Soluţie: Pentru 0n ≠ avem că 2n este număr par şă astfel 13 2m n+ − este impar, deci egalitatea propusă e imposibilă. Aşadar 0n = şi deci

13 81 1 4 3.m m m+ = ⇒ + = ⇒ =

VI. 092 Ce termeni ai sumei 1 1 1 1 1 12 4 6 8 10 12+ + + + + trebuie şterşi astfel

încât suma termenilor rămaşi să fie egală cu 1? Olimpiadă SUA

28

Soluţie: Cum 1 1 1 1 1 1 60 30 20 15 12 10 1272 4 6 8 10 12 120 120 120 120 120 120 120+ + + + + = + + + + + =

şi 60 30 20 10 120+ + + = , dacă ştergem numerele 15 1120 8

= şi 12 1120 10

=

(singurele cu suma 27120

), suma numerelor rămase va fi 1.

Clasa a VII-a

VII. 086 Mulţimea numerelor naturale nenule se împarte în grupe astfel: (1,2),(3,4,5),(6,7,8,9),... astfel încât în prima grupă sunt 2 numere, în a doua grupă sunt 3 numere, ... , în a zecea grupă sunt 11 numere şi păstrăm această regulă de a grupa numerele naturale consecutive.

a) Cu ce număr începe grupa 2007? b) În a câta grupă se găseşte numărul 2007?

Andrei Popa, elev, Caransebeş Soluţie: Notăm cu nx primul element din grupa n şi astfel avem

1 2 1 3 2 11, 2, 3,..., n nx x x x x x x n−= = + = + = + . Adunăm aceste egalităţi şi

ajungem la ( 1)2n

n nx += . Aşadar 2007 2007 1004x = ⋅ şi

( )1 ( 2)( 1) 2007 12 2

n nn n + ++≤ ≤ − conduce la 62.n = □

VII. 087 Se spune că un triplet ( )0 , ,t a b c= se transformă după un pas în tripletul ( )1 1 1 1, , ( , 1, 1)t a b c a b b c= = + + − , iar după încă un pas în tripletul ( )2 2 2 2 1 1 1 1, , ( , 1, 1)t a b c a b b c= = + + − , procedeul de transformare repetându-se pas cu pas; după n astfel de paşi obţinem tripletul

( ), , .n n n nt a b c= a) Să se găsească tripletul în care se transformă după trei paşi tripletul

( )0 1,1,2 ;t = b) Să se determine numărul minim de paşi după care obţinem din ( )0 1,1,2t = un triplet ( ), ,n n n nt a b c= cu 2007;na ≥ (enunţ corectat) c) Să se arate că din tripletul ( )0 1,1,2t = nu se poate obţine un triplet nt cu

2007.n n na b c+ + = Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu

Page 15: revista matematica

29

Soluţie: b) Găsim 1 1n n n na a b a n+ = + = + + . Urmăm acum procededeul

folosit la ex. anterior şi ajungem la ( 1)12n

n na += + .

Din ( 1)2007 deducem 2006 632n

n na n+≥ ≥ ⇒ ≥ ;

c) Se obţine ( 1) ( 1)1 1 2 2007 20032 2

n n n nn n+ ++ = + + − = ⇒ = , ecuaţie

care nu are soluţii naturale. □ VII. 088 Să se determine numerele întregi a şi b pentru care

2 .1 1

a bb a a b

+ =+ + +

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu - Roşu Răspuns: 1, 1a b= = sau { }\ 1,0 , 1a b a∈ − = − − . □ VII. 089 Mediatoarele segmentelor (AB) şi (AC) se intersectează în punctul M. Să se arate că ( ) 090m BAC = dacă şi numai dacă punctele B, M, C sunt coliniare.

Gazeta Matematică Soluţie: 1) Dacă ( ) 090m BAC = , notăm cu D şi E mijloacele laturilor (AB) şi (AC) şi astfel ADME este dreptunghi, aşadar

// , //DM AC ME AB . Ajungem astfel la

,BMD BCA EMC ABC≡ ≡ şi apoi 090ABC ACB+ = , deci 090BMD CME+ = . În final, avem

0180BMD DME EMC+ + = , adică punctele B, M, C sunt coliniare. (Puteam spune şi că, din ,MA MB MA MC= = , avem că M este centrul cercului circumscris triunghiului ABC, deci este mijlocul ipotenuzei (BC)). 2) Reciproc, M fiind intersecţia mediatoarelor triunghiului ABC, avem imediat că AM este mediană şi egală cu jumătate din latura corespunzătoare, etc. VII. 090 Se consideră un trapez ABCD cu //BC AD şi BC AD< . Să se afle măsurile unghiurilor trapezului ştiind că

2CD AB= şi ( ) ( ) 0120 .m BAD m CDA+ = Olimpiadă Belarus

30

Soluţie: Ducem // ,CE AB E AD∈ . Rezultă imediat că unghiul ECD are măsura 060 ; cum 2CD CE= deducem că triunghiul CDE este

dreptunghic în E, de aici A, D, B, C au măsurile 0 0 0 090 ,30 ,90 , respectiv 150 .

VII. 091 Să se determine numerele întregi x şi y pentru care 2 3 4.x y xy+ + =

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu

Soluţie: 2 4 33 1

yx xy−

= − ∈ ⇒ ∈+

şi se ajunge imediat la

1423 1y

− + ∈+

, aşadar { }143 1 1, 2, 7, 14y D+ ∈ = ± ± ± ± (condiţie doar

necesară). Se studiază toate cazurile şi se ajunge la ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 1, 5 , 3, 1 , 4,0 , 0,2 .x y ∈ − − − − VII. 092 Numerele 1, 2, 3, ... , 100 sunt scrise pe 100 de bileţele (câte un număr pe fiecare bileţel). Se aleg la întâmplare două bileţele şi în locul lor se pune un bileţel pe care este scris modulul diferenţei numerelor de pe cele două bileţele(cele două bileţele se aruncă). Procedăm la fel cu cele 99 de bileţele care se obţin, ş. a. m. d. până când rămâne un singur bileţel. Ce paritate are numărul scris pe acest bileţel?

RMT Soluţie: Observăm că la o astfel de operaţie, numerele a şi b ( )a b> se înlocuiesc cu a b− . Deoarece a b+ şi a b− au aceeaşi paritate, deducem că orice operaţie lasă neschimbată paritatea sumei elementelor (astfel, dacă în mulţimea M suma elementelor este m, iar în urma unei operaţii ca şi cea din enunţ se obţine mulţimea N având suma elementelor n, avem că m şi n au aceeaşi paritate). Deoarece mulţimea iniţială are suma elementelor egală cu 101 50⋅ , numărul care se obţine în final este par. Remarcă : Problema se încadrează în aşa numita categorie a aplicaţiilor teoriei invarianţilor. Invităm cititorii (profesori şi elevi deopotrivă să încerce să redacteze un material mai cuprinzător pe această temă şi să-l trimită redacţiei). ●

Clasa a VIII-a VIII. 086 Să se arate că : 4 8 9 0, .x x x+ + ≥ ∀ ∈

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu

Page 16: revista matematica

31

Soluţie: De exemplu, adunăm(şi scădem) 24x şi astfel inegalitatea e

echivalentă cu ( ) ( )2 22 2 4 1 1 0.x x− + ⋅ + + ≥

VIII. 087 Dacă I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC şi K, M, N sunt punctele de tangenţă ale acestui cerc cu laturile AC, AB, respectiv BC, iar mediana 1BB intersectează MN în D, să se arate că punctele I, D, K sunt coliniare.

Olimpiadă Rusia Soluţie: Problema nu este foarte uşoară. Notăm { }MN KI L∩ = şi E, F intersecţiile cu AB, respectiv BC ale paralelei prin L la AC. Patrulaterul ILME are două unghiuri opuse drepte ( ,ILE IME ), deci este inscriptibil, înscris în cercul de diametru IE. Deducem astfel că

IEL IML≡ . Analog ajungem la .IFL INL≡ Deoarece triunghiul IMN este isoscel ( IM IN r= = ), deducem IEF IFE≡ , adică şi EIF este triunghi isoscel, de unde înălţimea IL este şi mediană. Aşadar

1EL LF L BB= ⇒ ∈ şi astfel L coincide cu D. VIII. 088 Fie , 1.n n∈ ≥ Să se determine numerele reale strict pozitive

1 2, ,..., nx x x şi numărul real α ştiind că 1 2 ... nx x x n α+ + + = − şi

1 2

1 1 1...n

nx x x

α+ + + = + .

Prof. Maria Miheţ, Timişoara Soluţie: Folosim inegalitatea dintre media aritmetică şi cea armonică

ajungem la 2 2 21

1

1

n

kk

n

kk

xn n n n n

n n nx

α αα

=

=

−≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≥

∑, de unde

0α = , apoi 1 2 ... 1.nx x x= = = = Soluţia autoarei: Egalităţile din enunţ conduc la

1 1

1 12 sau 2 0n n

k kk kk k

x n xx x= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ . Folosim acum

1 2, 0t tt

+ ≥ ∀ > , cu egalitate dacă şi numai dacă 1t = .

32

VIII. 089 Determinaţi numerele naturale n pentru care există x∈

astfel încât 1 1 1... 11 1 2 1x x x x x n x n+ + + =

+ + + + + + + + +.

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu Roşu Soluţie: Amplificăm fiecare fracţie cu expresia conjugată a numitorului ei şi, după reducerea termenilor asemenea, vom ajunge la

1 1x n x+ + − = . Din 1 1x n x+ + = + se ajunge, prin ridicare la pătrat, la 2n x= . Concluzionând, avem că pentru 2 ,n k k= ∈ ,

există 2x k= ∈ pentru care egalitatea din enunţ este satisfăcută. VIII. 090 Să se arate că dacă ( ), 2,4x y∈ , atunci şi ( ) ( )3 3 12 2,4 .xy x y− − + ∈

* * * Soluţie: ( ), 2,4 3 1. 3 1x y x y∈ ⇒ − < − < şi apoi . Calcule imediate conduc la rezultatul dorit. □ VIII. 091 a) Să se arate că dacă a şi b sunt numere raţionale pozitive

astfel încât a bb a+ ∈ , atunci ;a b= b) să se determine numerele

raţionale pozitive a şi b pentru care a b+ ∈ şi 1 1a b+ ∈ .

Concurs Drăgăşani

Soluţie: a) Notăm 21 1 0a x x k x kxb x= ⇒ + = ∈ ⇒ − + = , ecuaţie care

are discriminatul (de ce?), de unde ( )( ) 4k p k p− + = . De aici nu mai este decât un pas până la .a b= Trebuie să remarcăm aici şi soluţiile unor elevi care au folosit considerente de divizibilitate ; pentru ei, şi nu numai, am prezentat şi această soluţie alternativă, chiar dacă pare mai dificilă sau cel puţin mai neobişnuită ;

b) ( ) 1 1 12 2a b x a b aa b x

⎛ ⎞+ + = + + ∈ ⇒ = ⇒ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

, de unde destul de

rapid se ajunge la 1 ,1,2, .2

a b ⎧ ⎫= ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

Page 17: revista matematica

33

VIII. 092 a) Să se arate că dacă a, b, c sunt numere reale, atunci 2 2 2a b c ab bc ca+ + ≥ + + ;

b) Dacă x, y, z sunt numere reale strict pozitive astfel încât 2 2 2 2x y z+ + = , determinaţi cea mai mică valoare a expresiei

xy yz zxEz x y

= + + .

Concurs Arhimede Soluţie: a) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 20a b b c c a a b c ab bc ca− + − + − ≥ ⇒ + + ≥ + +

b) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 22 2 2 2 2 22 4x y y z z x x y y z z xE x y z

z x y z x y= + + + + + = + + + ≥

2 2 2 4 6x y z≥ + + + = . Cea mai mică valoare este 6 (se obţine dacă xy yz zxz x y= = şi 2 2 2 2x y z+ + = , deci 6

3x y z= = = ). □

Clasa a IX-a (vă invităm să încercaţi şi problemele propuse în notele şi articolele publicate în revistă) IX. 073 Notăm cu a, b lungimile catetelor şi cu c lungimea ipotenuzei

unui triunghi dreptunghic dat. Să se arate că : 3 .2

a b b a c c+ <

R.M.T Soluţie: Folosim inegalitatea C. B. S., inegalitatea 2a b c+ ≤ ⋅ (triunghi

dreptunghic !) şi 92 .4

<

IX. 074 Să se determine funcţiile :f → cu proprietatea că [ ] { }( ) ( ) ( ) 2 , .f x f x f x x x+ + = ∀ ∈

Prof. Dorel Miheţ, Timişoara Soluţie: Pentru 0x = obţinem imediat (0) 0f = , iar pentru

( ) , .x k f k k k= ∈ ⇒ = ∀ ∈ Considerând acum [ )0,1x∈ ajungem la

[ )( ) , 0,1f x x x= ∀ ∈ . Pentru orice x∈ avem astfel

[ ] { } [ ] { }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )f x f x f x f x x x f x x x f x x+ + = + + = + = ⇒ = , funcţie care verifică egalitatea din enunţ.

34

IX. 075 Să se arate că dacă ,n p ∗∈ şi

1 1 1 1 1 11 ... 1 ...2 3 2 3n p

⎧ ⎫⎧ ⎫+ + + + = + + + +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

, atunci n p= .

Prof. Ion Savu, Bucureşti

Soluţie: Presupunem că n p> şi 1 1 1 1 1 11 ... 1 ...2 3 2 3n p

⎧ ⎫⎧ ⎫+ + + + = + + + +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

.

Obţinem : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ... 1 ... 1 ... 1 ...2 3 2 3 2 3 2 3n n p p

⎡ ⎤⎡ ⎤+ + + + − + + + + = + + + + − + + + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

şi apoi 1 1 1...1 2

kp p n

+ + + = ∈+ +

. Se arată acum (poate chiar se ştie)

că această egalitate este absurdă. Considerăm j maxim pentru care 2 j apare în descompunerea unui numitor din mulţimea { }1, 2,...,p p n+ + . Să mai remarcăm că acest j este unic ;într-adevăr,

dacă am avea ( )2 2 1jp k m+ = + şi ( )2 2 1jp t l+ = + , am avea şi

numitorul ( )2 2 2j m + care se divide cu 12 j+ , fals. Avem deci că c. m. m.

m. c al numitorului conţine pe 2 j şi la amplificare, o singură fracţie(cea care are numitorul divizibil cu 2 j ) se amplifică cu un număr impar. După ce aducem la numitor comun fracţiile din stânga, obţinem impar k

par= , fals, aşadar .n p= □

IX. 076 Rezolvaţi în ecuaţia { } { }2x x x− = , unde { }a reprezintă partea fracţionară a numărului real a.

Olimpiadă Bucureşti 2004 Soluţie: Se obţine ( )1,1x∈ − şi se consideră cele patru cazuri distincte :

1 1 1 11, , .0 , 0, , ,12 2 2 2

x x x x⎛ ⎞ ⎡ ⎞ ⎡ ⎞ ⎡ ⎞∈ − ∈ − ∈ ∈⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎢ ⎢ ⎢⎝ ⎠ ⎣ ⎠ ⎣ ⎠ ⎣ ⎠. calcule imediate conduc la

mulţimea soluţiilor 10, .2

S ⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

Page 18: revista matematica

35

IX. 077 a) Să se arate că nu există funcţii :f → cu proprietatea că ( 2) (4 ) 6 , ;f x f x x x− + − = ∀ ∈ b) Să se arate că există cel puţin două funcţii :f → cu proprietatea că ( 2) (4 ) 6 , .f x f x x− + − = ∀ ∈

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu Soluţie: a) Să facem 2x = , apoi 4x = ; b) să încercăm cu funcţii de forma ( )f x ax b= + . IX. 078 Se spune că o mulţime M de numere reale pozitive se numeşte artistică dacă orice element al său este media geometrică a două elemente distincte din M.

a) Să se arate că există o infinitate de mulţimi artistice; b) Să se determine mulţimile artistice care au 2007 elemente.

Prof. Gabriel Popa, Iaşi Soluţie: a) Orice mulţime ( ) { }/nM x x n= ∈ este artistică pentru

0, 1x x> ≠ ; într-adevăr, avem 21 , 1n n n nx x x x−= ⋅ = ⋅ ; b)Nu există mulţimi artistice finite. Dacă M este finită, considerăm a cel mai mare element al acesteia, deci există ,b c M∈ astfel încât

2 ,a bc b c b a c= ≠ ⇒ < < , aşadar a nu este cel mai mare element, contradicţie. □

Clasa a X-a X. 073 Să se arate că într-un triunghi ABC în care 2 2 22b c bc a+ − ⋅ ≥ ,

avem : 3 .4

B C π+ ≥

Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu Soluţie: Cu teorema cosinusului şi folosind monotonia funcţiei cos,

deducem imediat : .4

A π≤ Presupunând, prin absurd, că 3

4B C π+ < ,

deducem A B C π+ + < , fals. X. 074 Să se stabilească natura triunghiului ABC în care sin sin cos cos .A B A B+ = +

* * * Răspuns: Triunghi dreptunghic în C.

Page 19: revista matematica

36

X. 075 Se consideră mulţimile { }2/ 0A x x x a= ∈ + + = şi

{ }2/ 2 3 0B x x ax= ∈ + + = . Să se determine a∈ dacă .A B∩ ≠∅

Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu Soluţie: Conform ipotezei, avem că există t∈ astfel încât

2 20, 2 3 0t t a t at+ + = + + = , de unde 2 3t a at+ = + şi 32 1ata−

=−

. Cum

t∈ avem şi 2 6 52 12 1 2 1ata a−

= = − ∈− −

( * ), de unde

{ } { }2 1 5, 1,1,5 2,0,1,3a a− ∈ − − ⇒ ∈ − . Condiţia ( * ) fiind doar necesară, verificăm (... ) cât de convenabile sunt valorile obţinute pentru a şi ajungem doar la 2.a = − □□ X. 076 Rezolvaţi ecuaţia : [ ]2 4 cos( ) 4 0 , , 0, .x x xy x y π+ ⋅ + = ∈ ∈

RMT Soluţie: Ecuaţia 2 4 cos( ) 4 0 t t xy+ ⋅ + = are ( )216sin 0xyΔ = − ≤ , deci are rădăcini reale dacă şi numai dacă 0Δ = , de unde { }cos( ) 1,1xy ∈ − .

Se ajunge dstul de repede acum la ( ) ( ) ( ), 2,0 , 2, , 2, .2

x y ππ⎧ ⎫⎛ ⎞∈ − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

X. 077 Să se determine funcţiile surjective * *:f → astfel încât:

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1.... , , 2.2 1 3 2 1

n n nf f nf n f n

−+ + + = ∀ ∈ ≥

Prof. Nicolae Stăniloiu, Bocşa Soluţie: Notăm (1)f a ∗= ∈ şi, pentru 2, 3, 4n n n= = = egalitatea din enunţ conduce la (2) 2 , (3) 3 , (4) 4f a f a f a= = = . Demonstrăm prin

inducţie că ( ) ,f n an n ∗= ∀ ∈ . Deasemenea, f este surjectivă, deci

, cu ( )m n f n na m∗ ∗∀ ∈ ∃ ∈ = = conduce la , mm na

∗ ∗∀ ∈ = ∈ , de

unde 1 ( ) ,a f n n n ∗= ⇒ = ∀ ∈ . Mai trebuie verificat că această funcţie satisface condiţia din enunţ. X. 078 Să se arate că nu există funcţii strict monotone :f → astfel încât { } [ ]( ( )) , 0,1 .f f x x x= ∀ ∈

Olimpiadă Bucureşti 2004

37

Soluţie: Folosim faptul că dacă f este strict monotonă, atunci f f este strict crescătoare, pe când [ ] { }: 0,1 , ( )g g x x→ = nu este la fel (justificare !).

Clasa a XI-a XI. 073 Studiaţi dacă există matrice ( )2, ,A B C M∈ , distincte două câte două, care satisfac egalităţile : 2AB AC A+ = şi 2BC BA B+ = .

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu - Roşu Soluţie: Pentru uşurarea calculelor ne putem permite să încercăm cu

2C O= şi ,0 0 0 0a b c d

A B⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

; răspunsul este astfel afirmativ, de

exemplu pentru 0 1 0 20 0 0 0

A B⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ≠ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, ambele nenule.

Comentariu : Din prima egalitate, dacă A este inversabilă, deducem B C A+ = şi, la fel, din a doua ecuaţie, pentru B inversabilă, avem C A B+ = . Se ajunge imediat la A B= , contradicţie cu ipoteza. Aşadar, dacă dorim matrice care satisfac enunţul, trebuie să căutăm printre cele neinversabile. XI. 074 Studiaţi convergenţa şirului ( ) 1n n

x≥

definit prin 1 1x = ,

13 2 , 1.

2n

nn

xx nx+

+= ∀ ≥

+Puteţi determina limita şirului dat?

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu - Roşu Soluţie: Se arată imediat că ( )0,2 ,nx n ∗∈ ∀ ∈ (inducţie matematică ) şi apoi se obţine că şirul este strict crescător, aşadar este convergent, având limita finită l. Prin trecere la limită în relaţia de recurenţă ajungem la

{ }1,2 2.l l∈ − ⇒ = În momentul în care intuim limita, dacă şirul ar fi convergent, putem încerca şi aşa :

( )( ) ( )( ) ( )1 1

11 1 1

2 2 2 12 ... 0.2 2 2 2 2 ... 2 2

n nn n

n n n n n

x x xx

x x x x x x−

+− −

− − −− = = = = < →

+ + + + + ⋅ ⋅ +

Aşadar ajungem frumos la limita 2. XI. 075 Determinaţi funcţiile bijective :f → pentru care

1( ) ( ) , , , .f x f y x y x y x y−+ = + ∀ ∈ ≠ Prof. Manuela Prajea, Drobeta Tr. Severin

Page 20: revista matematica

38

Soluţie: Pentru 0x y≠ = şi notând ( )1 0a f −= , deducem ( ) , 0.f x x a x= − ∀ ≠ Deoarece f este bijectivă, ajungem la (0)f a= − ,

aşadar ( ) , .f x x a x= − ∀ ∈ . Verificăm acum că orice funcţie de această formă satisface condiţia din enunţ. Ce spuneţi de aceasta (Doru Popovici, elev Reşiţa)? ( )1, cu ( )y z f z y f y z−∀ ∈ ∃ ∈ = ⇒ = şi avem acum

( ) ( ) ( ) ( ) .f x z f z x f x x f z z const+ = + ⇒ − = − = , aşadar ( )f x x k= + . XI. 076 Se consideră şirul ( )n n

a ∗∈definit prin

21 11 , 2 3 2, .n n na a a a n ∗

+= = + − ∀ ∈ Să se arate că şirul este strict monoton şi că , .na n∈ ∀ ∈

Titu Andreescu, SUA Soluţie: Inductiv se obţine imediat că 0,na n ∗> ∀ ∈ şi astfel

21 3 2 0,n n n na a a a n ∗+ − = + − > ∀ ∈ , adică şirul este strict crescător.

Relaţia din enunţ se poate scrie ( )2 21 2 3 2,n n na a a n ∗+ − = − ∀ ∈ , de

unde 2 21 14 2n n n na a a a+ ++ − ⋅ = − şi 2 2

2 1 2 14 2,n n n na a a a n ∗+ + + ++ − ⋅ = − ∀ ∈ .

Deducem acum 2 22 1 24 ( ) 0,n n n n na a a a a n ∗

+ + +− − ⋅ − = ∀ ∈ sau

2 2 1( )( 4 ) 0,n n n n na a a a a n ∗+ + +− + − = ∀ ∈ . Deoarece şirul este strict

crescător, ajungem la 2 14 ,n n na a a n ∗+ += − ∀ ∈ . Cum 1 21, 3a a= = ,

deducem în final că , .na n∈ ∀ ∈ XI. 077 a) Să se dea un exemplu de două matrice ( )2A M∈ pentru care

223 ;A I= ⋅ b) Să se arate că există o infinitate de matrice ( )2A M∈ pentru care 2

23 .A I= ⋅ Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu

Soluţie: b) 2, cu 2, 1, 4 , , .a b

A a k b c k k d a kc d⎛ ⎞

= = + = = − − = − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

(de exemplu).

39

XI. 078 Să se determine numerele naturale m, n, p, q pentru care ! ! ! !m n p q+ + =

* * * Soluţie: Având în vedere simetria ecuaţiei, putem presupune fără probleme că m n p≤ ≤ . Deducem astfel imediat

( )1 ! 1 ! ( 1) ! 3 ! ! ! !q p q p q p p p p m n p q> ⇒ ≥ + ⇒ ≥ + = + ⋅ > ≥ + + = în cazul în care 1 3p + > . Aşadar, dacă 3p ≥ , ecuaţia nu are soluţii. Considerând 2p ≤ , ajumgem imediat la unica soluţie

2, 3.m n p q= = = =

Clasa a XII-a

XII. 073 Să se arate că : a ) sin cos 2 , ;x x x+ ≤ ∀ ∈

b) 3 3sin cos 1 , .x x x+ ≤ ∀ ∈

* * * Soluţie: a) Rezultat clasic. Putem folosi inegalitatea CBS sau

sin cos sin sin 2sin cos2 4 4

x x x x xπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,... ;

b) 3 3 3 3 2 2 2 2sin cos sin cos sin cos sin cos 1x x x x x x x x+ ≤ + ≤ + = + =

XII. 075 Să se determine primitiva F a funcţiei :f → ,

( ) sin cos (sin cos )f x x x x x= ⋅ ⋅ − , pentru care 1(0) .3

F =

* * *

Soluţie: ( )3 31( ) sin cos .3

f x x x= +

XII. 076 Să se determine mulţimea primitivelor funcţiei ( ): 0,f ∞ → ,

definită prin 6

1( ) .f xx x

=+

* * *

Soluţie: Se scrie ( ) ( )/54/

5 5

11 1( ) ln1 5 1

xxf x xx x x

+= − = − ⋅

+ +.

Page 21: revista matematica

40

XII. 077 Se consideră un poligon regulat convex cu n laturi, având lungimea laturii a şi un punct P în interiorul poligonului. Dacă

1 2, ,..., nd d d sunt distanţele de la P la laturile poligonului, să se arate că :

1

1 2 .n

k kd aπ

=

>∑ Admitere Universitate 1988

Soluţie: Se găseşte că aria poligonului este 2

4

n lStg

⋅=

⋅ şi, pe de altă

parte, 1 2

nk

k

l dS

=

⋅= ∑ . Se folosesc acum inegalitatea dintre media armonică

şi cea aritmetică, precum şi , 0,2

tgx x x π⎛ ⎞> ∀ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

.

XII. 078 Fie , :f g → două funcţii derivabile, cu derivatele continue, astfel încât ecuaţia ( ) ( )xgxf = are soluţia 00 ≠x . Să se demonstreze că ecuaţia: ( ) ( ) ( ) ( )/ /f x xf x g x xg x+ = + are cel puţin o soluţie reală.

Prof. Nicolae Stăniloiu, Bocşa Soluţie: Considerăm funcţia : , ( ) ( ) ( )h h x x f x x g x→ = ⋅ − ⋅ care este

derivabilă, cu ( ) ( ) ( )/ / /( ) ( ) , .h x f x x f x g x x g x x= + ⋅ − − ⋅ ∀ ∈ Dacă

ecuaţia ( ) ( ) ( ) ( )/ /f x xf x g x xg x+ = + nu are soluţii reale, avem că /h are semn constant pe , de exemplu ( )/ 0,h x x> ∀ ∈ , aşadar h este

strict monotonă, deci injectivă. Din 0( ) 0 (0)h x h= = deducem acum

0 0x = , contradicţie cu ipoteza. Observaţie: Se poate renunţa la ipoteza derivatelor continue şi atunci aplicăm teorema lui Rolle funcţiei h pe intervalul [ ]00, x . ●

41

Probleme propuse (soluţiile se primesc până în data de 15 februarie 2008, chiar nu se

mai admit întârzieri) Clasa a IV-a

IV. 093 Într-un coş cu fructe sunt mere şi prune. Dacă mai punem 4 prune, în coş vor fi de două ori mai multe prune decât mere, iar dacă luăm 7 mere, în coş vor fi de patru ori mai multe prune. Puteţi afla câte fructe sunt în coş?

Prof. Adriana Dragomir, Oţelu-Roşu IV. 094 Un turist urcă pe munte, plecând din satul S. Până la cabana A, turistul face o oră, apoi mai urcă până la cabana B. Aici se odihneşte o oră şi mai urcă până în vârful muntelui încă un sfert din timpul de care a avut nevoie pentru a ajunge din sat până la cabana B. Dacă pentru a ajunge din sat până în vârf a avut nevoie de 6 ore, câte ore a urcat turistul din sat până la cabana B?

Prof. Adriana Dragomir, Oţelu-Roşu IV. 095 Trei fraţi au împreună 20 de ani, fratele mai mare nu a împlinit încă 10 ani, iar gemenii au părul castaniu. Câţi ani are fratele cel mare?

Prof. Heidi Feil, Oţelu-Roşu IV. 096 La un concurs de matematică s-au înscris, din clasa lor, trei prietene: Alina, Iulia şi Lucia. În concurs au primit spre rezolvare 3 probleme. Pentru o problemă rezolvată corect se primesc 10 puncte, pentru o problemă rezolvată parţial corect se primesc 7 puncte sau 4 puncte (depinde cât de multe greşeli au fost făcute), iar pentru o problemă rezolvată greşit nu se primesc puncte. Se ştie că:

1) Alina şi Iulia au obţinut împreună 42 de puncte; 2) Triplul punctajului Luciei este de patru ori mai mare decât

punctajul obţinut de Iulia. Să se arate că:

a) Lucia a rezolvat corect cel mult două probleme; b) Dacă Lucia a rezolvat corect cel puţin o problemă, atunci nici Alina, nici Iulia nu au rezolvat greşit vreuna dintre probleme.

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu IV. 097 O firmă de transport deschide o linie de autobuz între Reşiţa şi Cluj. Autobuzele pleacă din oră în oră, non-stop, din fiecare din cele două oraşe, către celălalt oraş, distanţa fiind parcursă în 6 ore. Dacă plecăm din Reşiţa cu autobuzul de ora 7, câte autobuze ale aceleeaşi firme, venind de la Cluj, vom întâlni până ajungem la Cluj? * * *

Page 22: revista matematica

42

IV. 098 Echipa de volei a şcolii a participat la un meci cu 6 jucători titulari şi 3 rezerve. Dacă meciul a durat o oră şi fiecare dintre cei 9 jucători a jucat în mod egal(ca şi durată de timp), puteţi calcula câte minute a jucat fiecare sportiv?

Inst. Mariana Mitrică, Reşiţa IV. 099 Dacă se aşează într-un cuib câte 3 vrăbiuţe, rămân 6 vrăbiuţe

fără loc, iar dacă se aşează câte 5 vrăbiuţe într-un cuib, rămân 4 locuri libere. Câte vrăbiuţe şi câte cuiburi sunt?

Inst. Mariana Mitrică, Reşiţa IV. 100 Cinci kilograme de banane costă exact cât patru kilograme de portocale. Pentru serbarea de Crăciun s-au cumpărat 20 kg de banane şi 30 kg de portocale, pentru care s-au plătit în total 230 de lei. Dacă avem 20 de lei, câte kilograme de banane şi de portocale putem cumpăra, astfel încât să avem fructe din fiecare fel?

Inst. Mariana Mitrică, Reşiţa Clasa a V-a

V. 093 a) Să se arate că există opt numere naturale care au suma mai mare decât 200 şi pentru care suma resturilor obţinute prin împărţirea fiecăruia la 9 este 35; b) Să se arate că dacă opt numere naturale dau prin împărţire la 9 resturi a căror sumă este 35, atunci produsul celor opt numere este multiplu de 9.

Prof. Ovidiu Bădescu, Reşiţa V. 094 Peste 2 ani, Dani va avea vârsta de 10 ori mai mică decât mama sa, iar peste 4 ani va avea vârsta de 8 ori mai mică decât cea a tatălui său. Dacă mama şi tata au acum împreună 70 de ani, puteţi calcula peste câţi ani Dani va avea exact jumătate din vârsta tatălui său?

Prof. Ovidiu Bădescu, Reşiţa V. 095 a) Să se determine câte numere de 4 cifre au suma primelor două cifre egală cu 4; b) Să se determine câte numere de 4 cifre au suma primelor două cifre şi diferenţa ultimelor două cifre egale cu 4.

Prof. Ovidiu Bădescu, Reşiţa V. 096 Se consideră numărul 2 31 2 2 2 ... 2nA = + + + + + . Să se determine numărul natural n astfel încât numărul A să ocupe locul 256 în şirul numerelor naturale.

Prof. Marian Bădoi, Oraviţa

43

V. 097 Să se găsească cel mai mic număr natural n care satisface următoarele proprietăţi : a) Restul împărţirii lui n la 7 este mai mare cu 1 decât restul împărţirii lui n la 5; b) Câtul împărţirii lui n la 5 este cu 1 mai mare decât cel obţinut prin împărţirea lui n la 7.

Prof. Iulia Cecon, Oţelu-Roşu V. 098 Să se studieze dacă există numere naturale n pentru care numărul

2 15 7n nA += + este pătrat perfect. Prof. Adriana Dragomir, Oţelu-Roşu

V. 099 Să se determine mulţimile A şi B de numere naturale care satisfac următoarele proprietăţi: a) { }0,1,2A∩ ≠∅ ; b) A B∩ are exact un element ; c) pentru orice a A∈ , există b B∈ astfel încât 10a b+ = ; d) pentru orice b B∈ , există a A∈ astfel încât 2.b a− =

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu V. 100 Senzorii unei nave spaţiale terestre descoperă la bordul unei nave de provenienţă necunoscută 26 de extratereştri, fiecare cu câte 3 sau 5 picioare. Dacă în nava observată sunt 100 de picioare, câţi extratreştri au 3 picioare?

Prof. Adriana Dragomir, Oţelu-Roşu Clasa a VI-a

VI. 093 Să se determine cel mai mare dintre numerele 4 4 4 4...

1 5 5 9 9 13 2005 2009a= + + + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ şi 5 5 5 5...

1 6 6 11 11 16 2006 2011b= + + + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅.

Lorena Muscai, elevă, Reşiţa VI. 094 Să se arate că nu există numere naturale m, n astfel încât 25 6 7nm m+ = − .

Prof. Heidi Feil, Oţelu-Roşu VI. 095 Se consideră un număr prim p şi un număr natural nenul k, k p< . Să se determine toate perechile ( ),a b de numere prime pentru care ( )ka p b p k a− = − − .

Gazeta Matematică VI. 096 Pe ipotenuza (BC) a unui triunghi dreptunghic ABC se consideră un punct oarecare M şi se notează cu N şi P simetricele acestuia faţă de catetele (AB), respectiv (AC). Să se arate că:

Page 23: revista matematica

44

a) Punctele P, A, N sunt coliniare; b) Suma NB PC+ nu depinde de poziţia punctului M.

Prof. Dragoş Constantinescu, Rm. Vâlcea VI. 097 Se consideră un triunghi ABC pentru care există k ∗∈ astfel încât ( ) ( )m B k m A= ⋅ , iar mediatoarea laturii (BC) intersectează (AC) în E astfel încât AB BE= . Să se determine numerele k ∗∈ pentru care ( ) 0 , .m A n n= ∈

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu VI. 098 Să se determine tripletele ( ), ,a b c de numere naturale care satisfac simultan relaţiile: 2 1 , 1 , 2 1 , 10.a c b c b a a b c− ≥ − ≤ − ≥ + + ≤

Prelucrare Gazeta Matematică VI. 099 Mulţimea A este formată din 5 numere întregi. Adunând în toate modurile posibile câte două elemente din mulţime, se obţin următoarele 10 sume: 0, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 17. Aflaţi cele cinci elemente ale mulţimii A.

Concurs Iugoslavia VI. 100 Să se determine numerele naturale nenule a şi b ştiind că printre

fracţiile 1 2 3 4 51 1 6 7, , , ,

3 4 5a b a bf f f f f

a b+ + +

= = = = = sunt exact două

numere neântregi, unul subunitar şi unul supraunitar. Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu

Clasa a VII-a

VII. 093 Să se arate că dacă p este un număr natural prim şi 1p + este

pătrat perfect, atunci numărul 20062007 1a = − este divizibil cu 1p − şi cu 1.p +

Prof. Nistor Budescu, Dalboşeţ

VII. 094 Se consideră numerele 1 1 1 1...1 2 3 4 5 6 999 1000

A = + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅

şi

1 1 1...501 502 1000

B = + + + .

Să se arate că : 1) a b= ;

2) 1 1.2

a< <

Prof. Sorin Peligrad, Piteşti

45

VII. 095 Se consideră un trapez dreptunghic ABCD în care // ,AB CD ,AD AB AD AB CD⊥ = + şi [ ]M AD∈ astfel încât .AM MB= Să se

arate că: a)Triunghiul BMC este dreptunghic ; b)Dacă N este mijlocul segmentului ( )BC , { }MC DN P∩ = şi

{ }AN MB Q∩ = , atunci MPNQ este dreptunghi. * * * VII. 096 Se consideră o mulţime M de numere reale care satisface următoarele proprietăţi: a) 3 ;M∈

b) ( )2 ;x M x x M∈ ⇒ − ∈

c) ( )2 2 .x x M x M− ∈ ⇒ ∈

Să se arate că: 1) 30 ;M∈ 2) 1 ;M− ∈ 3) ( )\M ∩ are cel puţin trei elemente.

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu VII. 097 În exteriorul unui patrulater convex ABCD de semiperimetru p se construiesc triunghiurile echilaterale ABM, BCN, CDP, DAQ. Să se demonstreze că:

a) O condiţie necesară şi suficientă ca ABCD să fie dreptunghi este

( )1 3MP NQ p+ = ⋅ +

b) O condiţie necesară şi suficientă ca ABCD să fie pătrat este

( )( )2 2 3

4

pMNPQ

⋅ +=A .

Conf. Univ. Dr. Cristinel Mortici, Târgovişte VII. 098 Pe laturile AB şi AC ale triunghiului ABC se construiesc în exterior triunghiurile echilaterale ABX şi ACY. Se notează cu P, Q, R mijloacele segmentelor (AX), (AY) şi respectiv (BC). Să se arate că triunghiul PQR este echilateral.

Concurs India

Page 24: revista matematica

46

VII. 099 În triunghiul ABC o mediană este perpendiculară pe o bisectoare, iar lungimile laturilor sunt trei numere naturale consecutive. Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC.

Prof. Vasile Şerdean, Gherla VII. 100 Fie x, y, z numere reale nenegative, mai mici sau egale cu 1. Să se demonstreze că : a) 1 0xz x z+ − − ≥ ;

b) 11 1 1

x y zy xz z xy x xz

+ + ≤+ + + + + +

.

Prof. Mircea Lascu, Zalău

Clasa a VIII-a VIII. 093 Să se arate că dacă ( ), , 0,a b c∈ ∞ , atunci este adevărată

inegalitatea: ( ) ( )

1 1 2 1 1 .a b c b a c a b a c b c

⎛ ⎞+ ≥ ⋅ +⎜ ⎟⋅ + ⋅ + + + +⎝ ⎠

Prof. Dumitru Bătineţu-Giurgiu, Bucureşti

VIII. 094 Să se rezolve ecuaţia 1 3 8 624... 326.1 2 3 25

x x x x+ + + ++ + + + =

Prof. Nistor Budescu, Dalboşeţ VIII. 095 Fie , 0a a∈ > astfel încât ( )2a a+ ∈ şi 2a ∈ .

a)Să se arate că ( )a a a+ ∈ şi a∈ ;

b)Să se găsească un număr a∈ pentru care ( )2a a+ ∈ şi 2a ∉ .

Prof. Mircea Constantinescu, Tg. Jiu VIII. 096 Să se determine ,x y∈ pentru care 22 3 1 0x xy y+ + + = .

Prof. Gh. Molea, Curtea de Argeş VIII. 097 a) Să se arate că 2 2 2 , , ,x y z xy yz zx x y z+ + ≥ + + ∀ ∈ . b) Să se găsească numerele , ,x y z∈ care verifică simultan

egalităţile 1x y z+ + = şi 2 2 2 2 2 2x y y z z x xyz+ + = . Prof. Sorin Peligrad, Piteşti

47

VIII. 098 Pentru n ∗∈ se consideră o mulţime nA cu proprietăţile: a) card nA n= ;

b) , ,n n nx A y A z A∀ ∈ ∃ ∈ ∃ ∈ astfel încât 1 yxz

= + .

(i) Determinaţi mulţimea 1;A (ii) Găsiţi o mulţime 2;A

(iii) Arătaţi că pentru orice n ∗∈ există o mulţime nA cu proprietăţile din enunţ.

Prof. Mircea Fianu, Bucureşti VIII. 099 Să se arate că nu există numere naturale n pentru care

3 2006n n− + este pătrat perfect. Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu

VIII. 100 Să se arate că nu putem asocia vârfurilor unei prisme numere reale astfel încât :

a) Suma numerelor asociate bazei de jos este strict mai mare decât suma numerelor asociate bazei de sus ;

b) Oricum am schimba între ele cele două numere asociate capetelor oricărei muchii laterale, inegalitatea de la a) nu mai rămâne adevărată.

Dan Schwarz, matematician, Bucureşti

Clasa a IX-a IX. 093 Să se arate că dacă ( ), , , , , 0,a b c x y z∈ ∞ , atunci este adevărată

inegalitatea: ( ) ( )

1 1 1 9 .ax by cz ay bz cx az bx cy a b c x y z

+ + ≥+ + + + + + + + ⋅ + +

Prof. Dumitru Bătineţu-Giurgiu, Bucureşti IX. 094 Să se arate că există o infinitate de perechi ( ),a b de numere

întregi nenule pentru care ecuaţia 2 ( ) 0ax a b x b− + + = are ambele rădăcini întregi.

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu IX. 095 Să se determine numerele naturale x, y, z pentru care 2 0y x z− − = şi 3 3 3 495x y z+ + = .

Prof. Alfred Eckstein, Prof. Viorel Tudoran, Arad

Page 25: revista matematica

48

IX. 096 În triunghiul ABC, H şi O sunt ortocentrul, respectiv centrul cercului circumscris. Să se arate că distanţele de la H la laturile triunghiului sunt invers proporţionale cu distanţele de la O la aceleaşi laturi.

Concurs Focşani, 2007 IX. 097 Se consideră o mulţime M de numere reale cu proprietăţile: a) 1 ;M∈ b) Dacă x M∈ şi ( )2x y M+ ∈ , atunci y M∈ .

Să se arate că 1 , .2n M n∈ ∀ ∈

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu IX. 098 Să se determine m∈ pentru care ecuaţiile 2 4 0x x m− + = şi

2 12 0x mx+ − = au o rădăcină comună întreagă. Prof. Nistor Budescu, Dalboşeţ

IX. 099 În patrulaterul convex ABCD se notează { }AC BD O∩ = . Să se arate că centrele de greutate ale triunghiurilor AOB, BOC, COD, DOA determină un paralelogram.

Prof. Traian Duţă, Făgăraş IX. 100 Se consideră mulţimile

{ }2/ pentru care 2(2 1) 3 ( 1) 0A a x x a x a a= ∈ ∃ ∈ − + + + = şi

{ }2/ astfel ca 2 (8 3) 6 6 0B b x bx b x b= ∈ ∃ ∈ + − + − = .

Să se determine numărul triunghiurilor care au toate vârfurile în punctele mulţimii .A B×

Concurs Dolj, 2003 Clasa a X-a

X. 093 Să se arate că dacă ( ), , 0,1x y z∈ şi 1x y z+ + = , atunci:

3 1 1 1 2.2 1 1 1

x y zx y z

− − −≤ + + ≤

+ + +

Prof. Dumitru Bătineţu-Giurgiu, Bucureşti

X. 094 Dacă z este un număr complex cu 2 2 , z a a b− = −

unde 0a b> > , să se calculeze b zb z−+

. Interpretare geometrică.

* * *

49

X. 095 Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia:

5 3 .1

x xx x

=− −

Prof. Alfred Eckstein, Prof. Viorel Tudoran, Arad X. 096 Determinaţi x ∗∈ astfel încât pentru orice n ∗∈ să fie

adevărată egalitatea 3 3 3 31 2 3 ( 1)(2 1)...

1 2 ( 1) 6n n n n

x x x x n+ +

+ + + + =+ + + −

.

Prof. Nicolae Dragomir, Tudor Deaconu-Reşiţa X. 097 Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2log 3

23 log 2 .x x x− ⋅ = − Prof. Aurel Bârsan, Braşov

X. 098 Se consideră expresia 34 33 1 2 1( )m n

E x x x x x− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

unde x este un număr oarecare strict pozitiv. Să se determine toate perechile ( ),m n de numere naturale pentru care 2( ) .E x x=

Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu X. 099 Dacă un triunghi are pătratele lungimilor laturilor în progresie aritmetică, să se arate că simetricul centrului de greutate al triunghiului faţă de latura de lungime mijlocie este situat pe centrul cercului circumscris triunghiului.

Prof. Gabriel Popa, Iaşi, concurs Suceava X. 100 În triunghiul isoscel ABC, cu AB AC= , avem AP BP⊥ , unde BP este bisectoarea unghiului .ABC Dacă CP este paralelă cu înălţimea din A a triunghiului ABC, să se calculeze măsura unghiului .ABC

Prof. Romanţa şi Ioan Ghiţă, Blaj

Clasa a XI-a

XI. 093 Se notează cu a, b, c lungimile laturilor unui triunghi, iar cu

, ,a b ch h h sunt lungimile înălţimilor şi fie matricea 111

a b

b c

c a

a h hA b h h

c h h

⋅⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

.

Să se arate că det 0.A ≥ În ce condiţii avem det 0A = ?. Prof. Lucian Dragomir, Oţelu-Roşu

Page 26: revista matematica

50

XI. 094 Dacă ( )nA M∈ satisface egalitatea 2nA I A+ = . Calculaţi 12.A

Prof. Alfred Eckstein, Prof. Viorel Tudoran, Arad XI. 095 Fie ( ) 1n na ≥ un şir de numere reale strict pozitive care satisface

egalitatea ( )21 , .n n na a a n ∗+ − = ∀ ∈ Să se calculeze lim n

nL a

→∞= , ştiind

că această limită există. Valentin Vornicu, Bucureşti

XI. 096 Fie ( )3,A B∈M astfel încât 3tA A I⋅ = şi 3

tB B I⋅ = . Să se arate că cel puţin una dintre matricele A B+ şi A B− este singulară.

* * * XI. 097 Şirul ( ) 1n nx ≥ satisface : 1 21, 3x x= = şi

( ) ( )2 14 2 2 1 1 , .n n nn x n x n x n ∗+ +⋅ = + − + ∀ ∈

Să se calculeze 1

lim nn n

xx→∞ +

şi lim .nn

x→∞

Prof. Silviu Boga, Suceava

XI. 098 Să se calculeze 1

2lim cosn

n kn

n kπ

→∞ =

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠∑

* * *

XI. 099 Dacă 20

1 cos cos2 ... coslim ,nx

x x nxa nx

− ⋅ ⋅ ⋅= ∈ , să se calculeze

lim nna

→∞.

* * * XI. 100 Se consideră un dreptunghi ABCD cu dimensiunile a şi b, iar pentru 0r > se defineşte mulţimea ( )M r a punctelor din planul dreptunghiului situate la o distanţă mai mică sau egală ca r faţă de figura ABCD. Notând cu ( )rA aria mulţimii plane ( )M r , să se calculeze

( )2lim

n

r

r→∞

A.

Prof. Costel Chiteş, Bucureşti

51

Clasa a XII-a

XII. 093 Să se calculeze 1

3 5lim .3

kn

n k

L k→∞

=

⎛ ⎞−= ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

Prof. Alfred Eckstein, Prof. Viorel Tudoran, Arad

XII. 094 Să se determine sin 3, , .sin cos 4 4

x dx xx x

π π⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∫

* * *

XII. 095 Să se calculeze 2

2sin sin 2 1

sin 1xx x dx

e x+ +

+ +∫

* * * XII. 096 Să se determine funcţiile :f ∗ → astfel încât mulţimea

( )/

0 1x f x

G x ∗⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

să aibă, în raport cu înmulţirea matricelor, o

structură de grup abelian. Conf. Univ. Dr. Cristinel Mortici, Târgovişte

XII. 097 Pentru orice n∈ se notează 1

20 1

n

nxI dxx x

=+ +∫ .

a) Să se calculeze 0 1, ;I I b) Să se găsească o relaţie de recurenţă între 1 2, ,n n nI I I+ + ; c) Să se studieze convergenţa şirului ( ) 0n nI ≥ .

d) Putem determina limita şirului ( ) 0n nI ≥ ? * * *

XII. 098 Fie G un grup finit, H un subgrup al său iar 2≥∈ m,m N .

Dacă mai mult de m1

din elementele lui G aparţin lui H atunci cel puţin

11−m

din elementele lui G aparţin lui H.

Prof. Amelia şi Nicolae Pavelescu, Rm. Vâlcea

Page 27: revista matematica

52

XII. 099 Fie ( ),G ⋅ un grup finit cu n elemente, , 2n n∈ ≥ . Dacă

funcţiile ( ) { }: , , 1,2,..., 1kk kf G G f x x k n→ = ∈ − sunt automorfisme ale

grupului G, să se arate că n este număr prim. Prof. Mihai Piticari, Câmpulung Moldovenesc

XII. 100 Fie [ ]: ,f a b → o funcţie monotonă astfel încât funcţia

( ): ,F a b → , ( ) ( )x

a

F x f t dt= ∫ este derivabilă. Să se demonstreze că f

este continuă pe ( ), .a b Conf. Univ. Dr. Cristinel Mortici, Târgovişte

Rubrica rezolvitorilor Punctaje obţinute pentru rezolvarea probemelor din

RMCS nr. 21 (punctaje realizate pentru ediţia a III-a a Concursului RMCS)

Clasa a IV-a

Şcoala nr. 1 Anina (Prof. Livia Lath) Albu Olivia-Teofana 30(30) Liceul Hercules Băile Herculane (Înv. Felicia Adriana Laitin, Înv. Mirela Bolbotină) Urdeş Florin (103), Sgîncă Iustin Ştefan 126(208), Moagă Alecsandru 88(326), Marcu Laura (124), Urzică Ionuţ Sorin (173), Căpăţână Alexandra Maria (95), Ştefan Răzvan Bogdan (75), Velcan Anca (50), Cîrdei Alex-Cosmin (73), Stanciu Ana-Maria 136(215), Stanciu Ana 136(214), Popa Andrei 67(67). Şcoala Generală 2 Reşiţa (Înv. Florica Boulescu)Neaţu Monica 108(275), Imbri Alexandru (90), Damian Dario (20), Vasilovici Camil Robert 30(90), Dăescu Vanesa (30), Ursul Larisa Iasmina (90), Popescu Vlad Şerban ( 80 ), Ciobanu Anca 80(230), Azap Denisa 20(20). Şcoala Romul Ladea Oraviţa (Inst. Mariana Ţeicu, Liliana Crăciun) Balmez Andrada-Ioana 123(203), Chirciu Cătălina 28(28). Şcoala Generală nr. 3 Oţelu-Roşu (înv. Irina Cîrstea) Jurma Mirel 126(126), Cornean Claudiu 116(116), Creţan Andrei Aurel 136(136), Jicu Petronela 136(136), Stanca Petronela 136(136), Barbu Lidia 136(136), Palcu Victoria 126(126), Drăgan Alexandra-Diana 136(136), Preda Sebastian Mihai 136(136). Şcoala Teregova (Înv. Maria Lăzărescu) Berzescu Ilie Adrian (40)

53

Clasa a V-a Liceul Hercules Băile Herculane(Înv. Doina Zah, Floarea Kuszay, prof. Constantin Bolbotină) Domilescu Manuel Ilie 132(339), Dobreanu Răzvan 141(238), Şandru Ilie Daniel(198), Gherghina Liviu (227), Dancău Anca Ionela 147(345), Susana Ionuţ Emanoil (123), Dimcea Alexandra AnaMaria (203), Coman PetreDaniel 85(296), Török Bogdan 87(288), Ciopec Oana 67(264), Mihart Georgiana 76(295), Ausmann Adelina(207), Cosma Iulia (218 ), Ferescu Liana (240), Şuşară Bianca 78(163), Bălaj Denisa Maria(118), Rabota Alexandru (123), Lozovanu Dumitru (123), Vlaicu Dana 165(273), Şandru Adrian 263(263) Şcoala Berzasca (Înv. Nicoleta Jugănaru, Prof. Dana Emilia Schiha) Vulpescu Iulia 42(92), Velicicu Alina 53(53). Şcoala Broşteni (Inst. Ionela Popa) Pelian Popa Dragoş (160) Şcoala Bozovici (Prof. Maria Bololoi) Mitocaru Patricia 184(184), Iancu Mara-Timea 71(71), Ruva Mihaela 117(117), Pervu Georgiana 66(66), Nicola Ion Cristian 78(78). Şcoala Generală Dalboşeţ (înv. Purea Emilia) Curiţa Ileana (40), Negru Nicolae (80) Liceul Traian Doda Caransebeş (Înv. Marinela Galescu, Mariana Andraş, Prof. Janet Miuţă, Prof. Ioan Adrian Dragomir): Dragomir Ioana Ştefania 78(240), Ionescu Cristian Ionuţ (40), Petrea Emilia Georgeta 65(65), Chirică Giorgiana Adelina 26(26), Motoi-Bona Andrada Diana 40(40), Gache Andreea Ioana 50(50), Fauru Rosan 38(38). Şcoala Generală 2 Reşiţa (Înv. Eufemia Jurca, Înv. Aurica Niţoiu) Rada Simina (97), Manciu Emilian (65), Lăvan Iasmina (35), Mihai Radu Bogdan (85), Codilă Silvana (45), Frenţiu Adrian Ramon (45), Borozan Antonio (35), Feraru Carla (70), Iordănescu Andreea (115), Vîlceanu Vlad (90), Şandru Bogdan (70), Blaga Isabel (50), Perian Cezara (30), Stanca Andreea (60) Şcoala Generală nr. 7 Reşiţa (Prof. Lia Roşu) Preda Cristian Mihai 60(60), Smarandache Andreas Mihai 60(60). Şcoala Generală nr. 9 Reşiţa (Înv. Margareta Filip, Prof. Ion Belci) Peptan Andrei Valentin 185(390). Şcoala Generală nr. 1 Oraviţa (Înv. Merima Velcotă, Prof. Marian Bădoi)Gheorghişan Călin 164(369), Pîrvu Ancuţa Iulia 60(310). Şcoala Generală 3 Oţelu-Roşu (Instit. Simona Petrila, Prof. Daniela Suciu, Prof. Felicia Boldea) Kocsis Laura Celine 68(193), Ilin Ana-Maria 68(193), Băilă Cristina 136(263), Românu Nicoleta 78(205),

Page 28: revista matematica

54

Barbu Daniel 146(146), Lungu Dalisa 117(117), Ilioni Miriam 63(63), Manea Florina 102(102), Vigh Laura 102(102), Haba Beatrice 106(106) Şcoala Generală 1 Oţelu-Roşu (Prof. Heidi Feil, Prof. Anişoara Iacobescu) Guţan Iuliana 196(196), Buţă Laurian-Paul 130(130), Ştefănescu Andrei 268(268), Mutaşcu Alexandru Mihaela 40(40), Bunei Silvana 88(88), Manu Cristian 64(64). Grup Şcolar Oţelu-Roşu (Prof. Iulia Cecon) Olaru Ionuţ 92(92), Călău Maria 64(64). Liceul Pedagogic Caransebeş (Înv. Ion Ritta, Prof. Dorina Humiţa, Prof. Antoanela Buzescu) Bivolaru Iulia Mălina 73(278), Lala Timotei 40(40), Băzăvan Răzvan Alexandru 107(107), Băzăvan Oana Cătălina 107(107), Dinulică Augustin 203(203), Dinulică Septimiu 196(196). Şcoala Rusca Teregova (Prof. Sorin Ciucă) Banda Giorgiana 19(19), Blaj Ioan 74(74), Oprişan Paula Cristina 56(56), Moacă Nicolae 47(47). Şcoala Vârciorova (Prof. Ioan Liuba) Turnea Ioan 50(50).

Clasa a VI-a Şcoala Generală 1 Anina (Prof. Marin Constantin Cleşiu) Tiron Romina(30), Bardaş Alexandra (30), Ionescu Andreea-Victoria 45(45). Şcoala Bănia (Prof. Iancu Cleşnescu) Odobaşa Daniel 117(620). Şcoala Berzasca (Prof. Dana Emilia Schiha) Vucec Ioana Adela 54(54) Şcoala Bozovici (Prof. Iosif Găină, Maria Bololoi) Vrancea Andreea 78(194), Borchescu Eugen 85(298), Ştefan Ana 125(220), Munteanu Mădălina 68(102), Mergia Denis 59(59), Chera Patricia 59(59), Hotac Adina 122(122), Hoşbotă Viorica 120(120)-fără menţiune de clasă ! Şcoala Generală 2 Caransebeş (Prof. Carina Corîci) Caraiman Lia (70) Liceul Pedagogic C. D. Loga Caransebeş (Prof. Dorina Tuvenie, Dorina Humiţa) Ştefănigă Claudiu (125), Huian Cristina ( 193 ), Ştirbei Daiana (125), Pop Silvia (185), Ban Ioana 70(285), Mucenica Lorena 65(160), Barcan Alexandra (75), Stancu Georgiana Maria 97(97), Bălteanu Ana Maria 88(88). Liceul Traian Doda Caransebeş (Prof. Adrian Dragomir, Gheorghe Hogea) Szabo Ildiko 80(178) Şcoala Ciclova Română (Prof. Geta Mâşcoi) Măran Budo Cristian Samuel (218), Chisăliţă Cătălin (185) Şcoala Generală Dalboşeţ (Prof. Pavel Rîncu) Băcilă Alexandru (58), Careba Denisa 40(213). Şcoala Lăpuşnicu Mare(Prof. Iosif Găină, Prof. Pungilă Petru) Chera Patricia (70), Ungureanu Daniel (70), Goşa Violeta 82(185), Vodă Andreea 79(202).

55

Şcoala Generală nr. 1 Moldova Nouă (Prof. Marioara Radosavlevici) Gîrjan Andra Alina (113), Albu Giulia Cristiana (123). Şcoala Generală nr. 3 Moldova Nouă(Prof. Sânefta Vladu) Lupulovici Silvana (40) Grup Şcolar Moldova Nouă(Prof. Vasilica Gîdea) Oprea Adelina 106(341), Tarsoly Carla 88(320), Beloia Marinela 68(281), Păunovici Rebeca Veronica 68(275), Onescu Mădălina Ana-Maria (97). Şcoala Generală 2 Reşiţa (Prof. Mariana Drăghici) Ţeudan Adina 60(305), Popa Andreea 98(98), Borchescu Daiana Maria 67(67), Onofrei Iulia 67(67), Drăghici Livia Liliana 118(496), Aghescu Monica Elena 113(285), Bolfă Larisa-Mădălina 25(25). Şcoala Generală nr. 9 Reşiţa (Prof. Irina Avramescu, Prof. Vasile Chiş, Prof. Ion Belci ) Peptan Alexandru 117(341), Colgea Alexandru 82(272), Hrincescu Teodor (126), Popescu Ovidiu (40), Lazăr Silviu Ioan 138(433), Muscai Lorena 60(328), Zeman Andrei Miodrag (47), Zima Marius 38(125), Carpăn Adrian – Florin (41). Şcoala Generală nr. 1 Oraviţa (Prof. Camelia Pîrvu, Prof. Marian Bădoi, Prof. Maria Cenda, Prof. Mihai Lazarov) Săcrieru Andreea-Marta 48(143), Brădeanu Simona Ştefania (50), Adam Bogdan (55), Serafin Dennis George 107(429), Vucu Paul (178), Marocico Flavius 60(219), Corcan Denisa Cristina (27). Şcoala Generală 1 Oţelu-Roşu (Prof. Heidi Feil)Pop Cristian Ionuţ 150(508), Radu Ionela 135(482), Tuştean Patricia 65(172), Stan Corina Larisa (50), Butoi Armin (50), Muntean Lavinia Mihaela (94), Bidilici Răzvan Marian 87(333), Blagoescu Adrian 68(158), Damian Cristian 57(57), Ilic Denis 84(84). Şcoala Generală 3 Oţelu-Roşu (prof. Felicia Boldea)Cărăuşu Robert 114(452), Băilă Diana 76(381), Tănasă Raul 96(454), Preda Gabriela Dagmar 119(470), Jurma Cristina 71(71). Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu (Prof. Iulia Cecon) Lazăr Raluca (79), Vărgatu Alina 26(171), Gherăescu Alina (68), Oprea Filip Emanuela (68), Popescu Ana Maria 26(26). Şcoala Rusca Teregova (Prof. Sorin Ciucă) Humiţa Ileana 55(55), Ursulescu Ionela 22(22), Stepanescu Ana 28(28), Humiţa Cosmin Vasile 21(21). Şcoala Şopotu Vechi (prof. Nicolae Găină) Mirea Ovidiu Mirel 38(38).

Page 29: revista matematica

56

Clasa a VII-a Şcoala Generală 1 Anina (Prof. Livia Lath) Sârghie Bianca Flavia 10(114), Rotaru Ana-Maria 9(30), Drăgilă Patricia Elena 10(136), Vrînceanu Cezar Aurelian 10(94). Liceul Hercules Băile Herculane(Prof. Marius Golopenţa) Talpoş Bogdan Mihai (88), Tabugan Dana (133) Şcoala Bozovici (Prof. Iosif Găină)Barbeş Cezara (190), Păunescu Alexandra (190), Nicola Alexandra (188), Băcilă Cristiana 100(100). Liceul Traian Doda Caransebeş (Prof. Adrian Dragomir)Puşchiţă Daniel (60), Beudean Andra (40), Dorca Adrian (30), Antonescu Nicoleta 37(122), Bălăşoiu Bogdan (60), Rada Cristiana 38(98), Keleti Edith (60) Stepanescu Mihai (30), Stoicănescu Gelu 75(225), Popa Andreea 40(181), Răcăşdianu Sorana 46(46). Liceul Pedagogic C. D. Loga Caransebeş (Prof. Mariţa Mirulescu, Prof. Monica Bocicariu) Benec Sînziana (41), Vladu Iris Cristiana (46), Timofte Tina78(78). Şcoala Generală 2 Caransebeş (Prof. Carina Corîci ) Bărbuceanu Florin (80), Agape Oana Gabriela (184), Dumitraşcu Andreea (156). Şcoala Generală Dalboşeţ (Prof. Pavel Rîncu)Jarcu Lorena Maria 67(157), Marin Lidia Mădălina (90), Drăgilă Cătălin Sebastian 67(67). Şcoala Generală nr. 1 Moldova Nouă (Prof. Marioara Radosavlevici) Gîrjan Laura (80), Craiovan Andreia – Dana (179). Şcoala Generală 2 Reşiţa (Prof. Mariana Drăghici) Cernea Serena (80), Ciorogar Irina (95), Pascu Andra Diana (80). Şcoala Rusca Teregova (Prof. Sorin Ciucă) Codoşpan Florinela 73(180), Blaj Marinela Alisa 41(88), Humiţa Maria 51(154), Curmei Roxana 31(50), Banda Petrică 14(14), Dumitrică Eva Daniela 48(48), Banda Traian 7(7), Berzescu Nicolae 24(24). Şcoala Generală nr. 1 Oraviţa (Prof. Camelia Pîrvu) Pelian Popa Ioana 86(281). Şcoala Generală 1 Oţelu-Roşu (Prof. Heidi Feil) Pîrjol Claudia (70), Buţă Cristina (70), Krokoş Lorena 109(267), Cîmpureanu Gilbert (106), Buţă Anamaria Diana (162), Kuhn Anne Marie 123(285). Şcoala Generală 3 Oţelu-Roşu(prof. Felicia Boldea) Hinoveanu Octavian (135), Iuhasz Patricia (103), Grafenberger Andreas 50(165), Buzuriu George 56(188), Găină Petronel 55(187). Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu(Prof. Adriana Dragomir) Dumitresc Cecilia 75(284), Nasta Laura 75(275). Şcoala Şopotu Vechi (Prof. Nicolae Găină) Ciortuz Păunică (125).

57

Clasa a VIII-a Şcoala Bozovici (Prof. Maria Bololoi )Ungureanu Daniel Emanuel 21(21), Borozan Florina Elisaveta 35(134), Borchescu Anamaria 40(180). Şcoala Bănia (Prof. Iancu Cleşnescu) Derlean Pavel 59(107). Şcoala Generală 2 Caransebeş (Prof. Carina Corîci) Muntean Cosmin (70) Liceul Traian Doda Caransebeş (Prof. Delia Dragomir) Szabo Cristian 76(169), Mocanu Ioana 70(179) Colegiul Naţional Carol I Craiova Stanciu Ioan (88). Liceul Mehadia (Prof. Mihaela Vasile) Costescu Alexandra 123(123). Şcoala Generală nr. 9 Reşiţa (Prof. Irina Avramescu) Filip Larisa (30), Kormos Nicholas (70). Liceul de Artă Reşiţa (Prof. Adriana Mara) Goicovici Denisa 64(64). Şcoala Rusca Teregova (Prof. Sorin Ciucă) Banda Vasile 27(45), Paşan Petru 116(159), Banda Ionela Mitra 16(16), Vernicuţa Petronela 14(14), Humiţa Ana 8(8), Berzescu Maria 9(9), Stepanescu Elisabeta 24(24). Liceul Pedagogic C. D. Loga Caransebeş (Prof. Dorina Humiţa, Prof. Mariţa Mirulescu) Semenescu Anca 93(349), Mihai Cristian (50), Matei Sergiu 53(93), Vladu Ctistian 50(50). Şcoala Generală 1 Oţelu-Roşu (Prof. Heidi Feil)Duma Andrei Florin 84(84). Şcoala Vîrciorova (Prof. Ioan Liuba) Măran Marius 48(156) (comunicaţi exact clasa!).

Clasa a IX-a Liceul Traian Doda C. D. Loga Caransebeş (Prof. Delia Dragomir) Bona Petru 32(32), Budurean Cristina 81(81), Galescu Dan 69(69), Zanfir Cristian 46(46), Ciucă Cristian Sorin 67(110). Liceul Pedagogic C. D. Loga Caransebeş (Prof. Antoanela Buzescu) Prunar Victor 168(424), Marta Sebastian 36(36). Liceul Traian Lalescu Reşiţa (Prof. Ovidiu Bădescu) Brează Lorena (40), Fleşer Cristian (40), Simion Larisa (30), Popovici Georgian 58(118), Meşter Sergiu 68(128), Zlimbea Diana (40). Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu (Prof. Lucian Dragomir) Atinge Carina 28(84), Cococeanu Oana 29(102).

Clasa a X-a Colegiul Naţional Moise Nicoară Arad (Prof. Ioan Ioja) Vlad Adina 94(368).

Page 30: revista matematica

58

Liceul Tata Oancea Bocşa (Prof. Ioan Todor) Stăniloiu Ovidiu 100(318). Liceul Pedagogic C. D. Loga Caransebeş (Prof. Lavinia Moatăr) Daia Daniela (48), Moatăr Alexandra 57(153), Jdioreanţu Doriana 46(86), Miculescu David (48), Vornic Iosif 48(96), Colţan Călin 47(95), Blidariu Florentina (91), Lazăr Ion 46(124), Timofte Andrei 78(214), David Bogdan 46(94), Ţurcan Lucian Vlad 46(146), Megan Ligia 36(132), Milcu Roxana 108(278), Enăşel Ion 46(169), Dumitrescu Otilia 47(133), Ciobanu Claudiu 46(82), Humiţa Gheorghe 46(46), Stefan Emanuel 46(46), Miculescu Matei Adrian 46(46), Stoica Georgian 25(25), Carabin Claudia 46(46). Liceul Pedagogic C. D. Loga Caransebeş (Prof. Antoanela Buzescu) Mureşan Ana-Maria 75(185), Mureşan Alexandru Ioan 75(183). Liceul Traian Doda Caransebeş (Prof. Lavinia Moatăr, Prof. Iacob Didraga)Blidaru Mihaela 23(71), Ţiu Mihai 25(73), Cornean Luiza Doriana 25(72), Bălulescu Bianca Veronica 25(85), Galamba Ionel Marinel 31(79), Aghescu Alina Mihaela 25(73), Plavă Mihaela 58(165), Cristescu-Loga Cerasela 106(106), Ploştinaru Anca-Diana 77(77), Blidaru Florentina 46(46), Ionaşcu Simona-Suzzana 39(39), Florea Maria Adelina 18(18), Firan Maria-Mirabela 25(25), Dan Cristian Răzvan 25(25), Turnea Ana-Maria 16(16), Săbăilă Marius 39(39). Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu (Prof. Lucian Dragomir) Bugariu Dan 59(157), Lupu Vlad 63(123), Moisescu Mihaela (18).

Clasa a XI-a Liceul Pedagogic C. D. Loga Caransebeş (Prof. Lavinia Moatăr) Gurgu Caius 50(80), Kremer Emanuela 36(36), Iliescu Marcel 36(36), Ciortan Marius 28(28). Liceul General Dragalina Oraviţa (Prof. Mihai Lazarov)Răşinariu Lucian 50(98), Nezbeda Harald 32(32). Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu (Prof. Lucian Dragomir )Unguraş Dragoş 47(167), Buzuriu Alina 28(98), Dragomir Lucia 28(98), Beg Apostol 37(107), Muntean Cristian 28(98), Popa Roxana 28(98), Kurucz Iulia 28(98).

Clasa a XII-a Liceul Traian Doda Caransebeş (Prof. Lavinia Moatăr, Prof. Delia Dragomir) Popovici Daniel 56(130), Drăgoi Georgiana 70(168), Moisă Marius 36(56), Cojocariu Carolina 46(99), Aghescu Loredana 56(162), Roiban Florin 36(62), Roşca Alexandru 36(62), Dochin Luminiţa 67(122), Cărăbaş Florentina 66(92), Stănescu Alexandru Alvin 46(91),

59

Micluţ Mihai (20), Curescu Cristian ( 26), Piele Cristian 35(96), Humiţa Sorin 36(81), Mutuleanu Alexandra 67(182), Burghelea Dragoş Bogdan 30(68), Cuţitoi Simina 56(153), Ştefănuţ Paula Loredana 55(120), Işfănuţ Elena 45(110), Voinea Alexandra 55(154), Goga Anca 36(120), Guţulescu Oana Lavinia 56(155), Petruş Laura 46(120), Beldie Anca 62(105), Zoican Andrei 45(45), Stefan Iacob Bogdan 38(38), Usatenco Andreea 45(45), Lulariu Mihaela Elena 45(45). Liceul Pedagogic C. D. Loga Caransebeş (Prof. Mariţa Mirulescu) Labo Laurenţiu 42(112). Liceul Traian Lalescu Reşiţa (Prof. Ovidiu Bădescu) Popovici Doru 107(107) Grup Şcolar Industrial Oţelu-Roşu (Prof. Lucian Dragomir) Popa Adriana Roxana 56(56).

Tabel nominal cu membrii Filialei Caraş-Severin a SSMR

cu cotizaţia plătită pe anul 2007 Nr. crt.

Nume, prenume Şcoala Localitatea Zona

1. Cleşiu Marian Şc. cu clasele I-VIII Anina Anina 2. Demetrovici Ion

Romeo Grup Şcolar Mathias Hammer

Anina Anina

3. Neagoe Petrişor Grup Şcolar M. Hammer

Anina Anina

4. Pruteanu Silvia Grup Şcolar M. Hammer

Anina Anina

5. Almăjan Cătălin Şcoala cu clasele I-VIII Ramna Bocşa 6. Boriuc Manuela Şcoala cu clasele I-VIII Ocna de Fier Bocşa 7. Cioloş Aurelia Grup Şcolar Industrial Bocşa Bocşa 8. Costa Veronica Şcoala cu clasele I-VIII Bocşa Bocşa 9. Cerbu Enache Şcoala cu clasele I-VIII Tirol Bocşa 10. Cosinschi

Carmen Şcoala Specială Bocşa Bocşa

11. Lupulescu Daniela

Şcoala cu clasele I-VIII Gherteniş Bocşa

12. Lungu Aurel Şcoala cu clasele I-VIII Bocşa Bocşa

Page 31: revista matematica

60

13. Lungu Emilia Şcoala cu clasele I-VIII Biniş Bocşa 14. Miholcea Dan Şcoala cu clasele I-VIII Berzovia Bocşa 15. Mustaţă Maria Lic. Teoretic Tata

Oancea Bocşa Bocşa

16. Peter Eva Maria Şcoala cu clasele I-VIII Bocşa Bocşa 17. Laţcu Maria Şcoala cu clasele I-VIII Vermeş Bocşa 18. Musteţi Liliana Lic. Teoretic Tata

Oancea Bocşa Bocşa

19. Medoia Gheorghe

Grup Şcolar Industrial Bocşa Bocşa

20. Iatan Rodica Lic. Teoretic Tata Oancea

Bocşa Bocşa

21. Rudneanu Iosif Şcoala Specială Bocşa Bocşa 22. Stăniloiu Nicolae Grup Şcolar Industrial Bocşa Bocşa 23. Stăniloiu

Manuela Şcoala cu clasele I-VIII Bocşa Bocşa

24. Todor Veronica Lic. Teoretic Tata Oancea

Bocşa Bocşa

25. Todor Ioan Lic. Teoretic Tata Oancea

Bocşa Bocşa

26. Zibriczki Ecaterina

Grup Şcolar Industrial Bocşa Bocşa

27. Surulescu Ion Şcoala cu clasele I-VIII Lăpuşnicel Băile Herculane

28. Horescu Ioan Şcoala cu clasele I-VIII Topleţ Băile Herculane

29. Roman Simion Şcoala cu clasele I-VIII Topleţ Băile Herculane

30. Vela Anişoara Şcoala cu clasele I-VIII Domaşnea Băile Herculane

31. Sadovan Nistor Şcoala cu clasele I-VIII Cornea Băile Herculane

32. Haracicu Maria Şcoala cu clasele I-VIII Băile Herculane

Băile Herculane

33. Opranescu Angela

Şcoala cu clasele I-VIII Băile Herculane

Băile Herculane

34. Tătucu Anton Şcoala cu clasele I-VIII Iablaniţa Băile Herculane

35. Rostescu Constantin

Şcoala cu clasele I-VIII Globu-Craiovei

Băile Herculane

36. Pătraşcu Zaharia Şcoala cu clasele I-VIII Cuptoare Băile Herculane

61

37. Iliescu Sabin Şcoala cu clasele I-VIII Mehadica Băile Herculane

38. Popescu Adrian Liceul Tehnologic Mehadia Băile Herculane

39. Lalescu Tiberiu Liceul Tehnologic Mehadia Băile Herculane

40. Ienea Maria Liceul Tehnologic Mehadia Băile Herculane

41. Vasile Mihaela Liceul Tehnologic Mehadia Băile Herculane

42. Golopenţa Marius

Liceul Hercules Băile Herculane

Băile Herculane

43. Bolbotină Constantin

Liceul Hercules Băile Herculane

Băile Herculane

44. Mirulescu Mariţa Liceul Pedagogic Caransebeş Caransebeş 45. Ivaşcu Nicoleta Liceul Pedagogic Caransebeş Caransebeş 46. Humiţa Dorina Liceul Pedagogic Caransebeş Caransebeş 47. Hurduzeu Diana Liceul Pedagogic Caransebeş Caransebeş 48. Mandreşi Ana Liceul Pedagogic Caransebeş Caransebeş 49. Buzescu Antoanela Liceul Pedagogic Caransebeş Caransebeş 50. Moatăr Lavinia Liceul Pedagogic Caransebeş Caransebeş 51. Dragomir Delia Liceul Traian Doda Caransebeş Caransebeş 52. Dragomir Adrian Liceul Traian Doda Caransebeş Caransebeş 53. Didraga Iacob Liceul Traian Doda Caransebeş Caransebeş 54. Bistrian Ana Grup Şcolar Mecanic Caransebeş Caransebeş 55. Didraga Elena Grup Şcolar Auto Caransebeş Caransebeş 56. Stăvăroiu Eugen Şcoala Gen. 2 Caransebeş Caransebeş 57. Corîci Carina Şcoala Gen. 2 Caransebeş Caransebeş 58. Corîci Sebastian Şcoala Gen. 2 Caransebeş Caransebeş 59. Miuţă Bocicariu

Janet Şcoala Gen. 8 Caransebeş Caransebeş

60. Dragomir Gorici Şcoala cu clasele I-VIII Armeniş Caransebeş 61. Ciucă Sorin Şcoala cu clasele I-VIII Rusca

Teregova Caransebeş

62. Liuba Ioan Şcoala cu clasele I-VIII Vârciorova Caransebeş 63. Gherga Petru Şcoala cu clasele I-VIII Vălişoara Caransebeş 64. Albeanu Vasile Grup Şcolar Ind. Moldova-

Nouă Moldova-Nouă

65. Dărac Cornelia Şcoala cu clasele I-VIII Pojejena Moldova-Nouă

66. Gîdea Vasilica Grup Şcolar Ind. Moldova-Nouă

Moldova-Nouă

Page 32: revista matematica

62

67. Hergane Adam Şcoala cu clasele I-VIII Sicheviţa Moldova-Nouă

68. Huza Vasile Şcoala cu clasele I-VIII Coronini Moldova-Nouă

69. Iancovici Camelia

Şcoala cu clasele I-VIII Socol Moldova-Nouă

70. Iovanovici Cristina

Grup Şcolar Ind. Moldova-Nouă

Moldova-Nouă

71. Mateescu Milena Şcoala cu clasele I-VIII Liubcova Moldova-Nouă

72. Ocanovici Zoran Grup Şcolar Ind. Moldova-Nouă

Moldova-Nouă

73. Panici Nadiţa Şcoala cu clasele I-VIII Belobreşca Moldova-Nouă

74. Radosavlevici Maria

Şcoala cu clasele I-VIII Moldova-Nouă

Moldova-Nouă

75. Răşinariu Lucica Şcoala cu clasele I-VIII Sf. Elena Moldova-Nouă

76. Rujici Iasna Floriana

Şcoala cu clasele I-VIII Câmpia Moldova-Nouă

77. Schiha Emilia Dana

Şcoala cu clasele I-VIII Berzasca Moldova-Nouă

78. Scorţan Gheorghe

Grup Şcolar Ind. Moldova-Nouă

Moldova-Nouă

79. Vladu Dumitru Grup Şcolar Ind. Moldova-Nouă

Moldova-Nouă

80. Vladu Sânefta Şcoala cu clasele I-VIII nr. 3

Moldova-Nouă

Moldova-Nouă

81. Voilovici Aurelia Grup Şcolar Ind. Moldova-Nouă

Moldova-Nouă

82. Ziman Lăcrimioara

Grup Şcolar Ind. Moldova-Nouă

Moldova-Nouă

83. Unţanu Giurcevca

Şcoala Gen. 6 Reşiţa Reşiţa

84. Simulescu Susana

Şcoala Gen. 6 Reşiţa Reşiţa

85. Tocaci Marinela Şcoala Gen. 6 Reşiţa Reşiţa 86. Dicu Lenuţa Şcoala Gen. 12 Reşiţa Reşiţa 87. Socol Maria Şcoala Gen. 12 Reşiţa Reşiţa 88. Goşa Anca Şcoala Gen. 12 Reşiţa Reşiţa 89. Coandă Camelia Şcoala Gen. 8 Reşiţa Reşiţa

63

90. Curescu Simona Şcoala Gen. 8 Reşiţa Reşiţa 91. Rădoi Mirela Şcoala Gen. 8 Reşiţa Reşiţa 92. Şandru Marius Şcoala Gen. 2 Reşiţa Reşiţa 93. Drăghici Mariana Şcoala Gen. 2 Reşiţa Reşiţa 94. Ciulu Loreta Şcoala Gen. 2 Reşiţa Reşiţa 95. Mara Adriana Lic. Artă Reşiţa Reşiţa 96. Moţco Monica-

Ana Lic. Artă Reşiţa Reşiţa

97. Avrămescu Irina Şcoala Gen. 9 Reşiţa Reşiţa 98. Belci Ion Şcoala Gen. 9 Reşiţa Reşiţa 99. Chiş Vasile Şcoala Gen. 9 Reşiţa Reşiţa 100 Buzilă Claudia Şcoala Gen. 7 Reşiţa Reşiţa 101 Roşu Lia Şcoala Gen. 7 Reşiţa Reşiţa 102 Răduca Rodica Şcoala Gen. 7 Reşiţa Reşiţa 103 Băcescu Mirela Lic. Bilingv Caraşova Reşiţa 104 Pegulescu Delia Lic. Bilingv Caraşova Reşiţa 105 Sorca Gheorghe Lic. Bilingv Caraşova Reşiţa 106 Iucu Mircea pensionar Reşiţa Reşiţa 107 Bădescu Ovidiu Lic. TraianLalescu Reşiţa Reşiţa 108 Pistrilă Ion

Dumitru Lic. Gen. Dragalina Oraviţa Oraviţa

109 Lazarov Mihai Lic. Gen. Dragalina Oraviţa Oraviţa 110 Milotin Mirela Lic. Gen. Dragalina Oraviţa Oraviţa 111 Ţicu Maria Grup Şcolar Agricol Oraviţa Oraviţa 112 Lazarov Aurica Grup Şcolar Agricol Oraviţa Oraviţa 113 Chiriţă Mircea Grup Şcolar Agricol Oraviţa Oraviţa 114 Vornicu Norica Grup Şcolar Agricol Oraviţa Oraviţa 115 Mîşcoi Geta Şcoala cu clase I-VIII Ciclova-

Română Oraviţa

116 Drăghicescu Tomiţă

Şcoala cu clase I-VIII Forotic Oraviţa

117 Bobic Florin Şcoala cu clase I-VIII Naidăş Oraviţa 118 Paul Sorin-

Daniel Şcoala cu clase I-VIII Berlişte Oraviţa

119 Iancu Maria Şcoala Romul Ladea Oraviţa Oraviţa 120 Bădoi Marian Şcoala Romul Ladea Oraviţa Oraviţa 121 Curea Nicolae Şcoala Romul Ladea Oraviţa Oraviţa 122 Pîrvu Camelia Şcoala Romul Ladea Oraviţa Oraviţa 123 Simion Gheorghe Şcoala Romul Ladea Oraviţa Oraviţa 124 Spaiuc Veronica Şcoala cu clase I-VIII Cărbunari Oraviţa 125 Stancu Iovan-Miu Şcoala cu clase I-VIII Grădinari Oraviţa 126 Miloş Laura Şcoala cu clase I-VIII Ciudanoviţa Oraviţa

Page 33: revista matematica

64

127 Pop Alexandru Şcoala cu clase I-VIII Vărădia Oraviţa 128 Pricoiu Carmen Şcoala cu clase I-VIII Greoni Oraviţa 129 Iacob Ionel Şcoala cu clase I-VIII Răcăşdia Oraviţa 130 Rîncu Pavel Şcoala Dalboşeţ Bozovici Bozovici 131 Pascariu George Liceul Teoretic Bozovici Bozovici 132 Găină Nicolae Şcoala cu clase I-VIII Şopotu

Vechi Bozovici

133 Fuicu Călin Şcoala cu clase I-VIII Şopotu Nou Bozovici 134 Iclău Simona SAM Prigor Bozovici 135 Borchescu

Marius Şcoala cu clase I-VIII Eftimie

Murgu Bozovici

136 Pungilă Petru Şcoala cu clase I-VIII Lăpuşnicu Mare

Bozovici

137 Găină Iosif Şcoala cu clase I-VIII Bozovici Bozovici 138 Cleşnescu Iancu Şcoala cu clase I-VIII Bănia Bozovici 139 Bololoi Maria Şcoala cu clase I-VIII Bozovici Bozovici 140 Ferdean Arjentia Grup Şcolar Oţelu-Roşu Oţelu-Roşu 141 Sârbu Eftimie Grup Şcolar Oţelu-Roşu OţeluRoşu 142 Boldea Felicia Şcoala Gen. 3 OţeluRoşu 143 Suciu Daniela Şcoala Gen. 3 OţeluRoşu 144 Iacobescu

Anişoara Şcoala Gen. 1 OţeluRoşu

145 Drăghici Liliana Şcoala Gen. 1 OţeluRoşu 146 Feil Heidi Şcoala Gen. 1 OţeluRoşu 147 Cecon Iulia Grup Şcolar Oţelu-Roşu OţeluRoşu 148 Florea Viorel Şcoala cu clase I-VIII Rusca

Montană OţeluRoşu

149 Ardelean Ion Şcoala cu clase I-VIII Rusca Montană

OţeluRoşu

150 Dragomir Adriana Grup Şcolar Oţelu-Roşu OţeluRoşu 151 Dragomir Lucian Grup Şcolar Oţelu-Roşu OţeluRoşu 152 Macovei Dana Lic. Baptist Reşiţa Reşiţa 153 Szucs Alecxandru Lic. Baptist Reşiţa Reşiţa