Manual matematica

1

UNIVERSITATEA �BABES-BOLYAI�CLUJ-NAPOCAFACULTATEA DE STIINTE ECONOMICE SI GESTIUNEAAFACERILORTRUNCHI COMUN ANUL I zi si IDANUL UNIVERSITAR 2008/2009SEMESTRUL II. Informatii generaleDate de identi�care a cursului

Date de contact ale titularilor de curs:1. Muresan Anton S., Birou: Cabinetul 229, Etajul II, E-mail:[email protected], Consultatii: Marti si Joi orele 12,30-13,302. Filip Diana Andrada, Birou: Cabinetul 230, Etajul II, E-mail:diana.�[email protected], Consultatii: Joi orele 11,30-12,303. Curt Paula, Birou: Cabinetul 229, Etajul II, E-mail:[email protected], Consultatii: Luni si Marti 14,00-15,004. Mihoc Maria, Birou: Cabinetul 229, Etajul II, E-mail:[email protected], Consultatii: Luni 12,30-13,30, Miercuri 19,30-

20,305. Rap Ilie, Birou: Cabinetul 231, Etajul II, E-mail:[email protected], Consultatii: Luni 13,00-14,00, Miercuri 16,00-17,006. Radu Voichita, Birou: Cabinetul 230, Etajul II, E-mail:[email protected], Consultatii: Marti 12,30-13,30 si 17,30-19,00Telefon: 0264-418653Fax: 0264-412570Date de identi�care curs si contact tutori:Numele cursului: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIECodul cursului: EBS0003Anul I, Semestrul ITipul cursului: ObligatoriuPagina web a cursului:Tutori:1. Muresan Anton S.: [email protected]. Filip Diana Andrada, diana.�[email protected]. Curt Paula, [email protected]. Mihoc Maria, [email protected]. Rap Ilie, [email protected]. Radu Voichita, [email protected]. Rosca Alin, [email protected]. Mihalca Gabriela, [email protected]. Pop Vasile, [email protected] Tiberiu, [email protected]. Filip Darius, �[email protected]. Popa Ioan, [email protected] de desf¼asurare a cursului: Cl¼adirea Campus, s¼ali etajul IIProgramarea în orar a activit¼atilor (la înv¼at¼amâtul de zi): S¼apt¼amânal 2 ore

de curs + 2 ore de seminar, conform orarului a�sat la sediul facult¼atii(la înv¼at¼amâtul ID) :8 ore activitati

tutorialeConditionari si cunostinte prerechizite: -

2

Descrierea cursului :Se vor avea in vedere urmatoarele obiective:� Introducerea catorva notiuni de analiza functiilor reale de mai multe

variabile reale care sa constituie pentru studenti instrumente pentru tratareaunor probleme de extrem, pentru a permite interpolarea si ajustarea datelorexperimentale, etc.� Crearea bazelor de analiza matematica necesare pentru studiul teoriei

probabilitatilor si pentru statistica matematica.� De�nirea si studiul principalelor proprietati ale conceptelor de baza din

teoria probabilitatilor. Crearea la studenti a unor deprinderi de utilizare a tehni-cilor probabilistice si de folosire a acestora in scop aplicativ. Fundamentareaprobabilistica a statisticii matematice.Organizarea temelor (partilor) in cadrul cursului:Cursul va avea urmatoarele doua parti:1. Elemente de analiza matematica2. Elemente de teoria probabilitatilorOrganizarea temelor s-a facut avand in vederea ordinea �reasca si gradul de

di�cultate sa urmeze o ordine crescatoare. Informatia relevanta referitoare la�ecare tema (parte) se gaseste in lista bibliogra�ca ce va � prezentata ulterior,iar accesul va � realizat direct.Formatul si tipul activitatilor implicate de curs:Formatul va � unul clasic, permitand studentului de a-si gestiona singur,

fara constrangeri, parcurgerea cursului. De sigur o participare la activitatileplani�cate va usura intelegerea tematicii cursului. Tipurile de activitati ce vor� abordate in cadrul cursului vor � atat cele clasice cat si proiecte de grup.Materiale bibliogra�ce obligatorii:Principalele materiale bibliogra�ce pe care le vom utiliza, si care se vor gasi

la biblioteca facultatii, iar unele vor putea � accesate prin internet, sunt:1. Colectiv, Elemente de teoria probabilitatilor si statistica matemetica pen-

tru economisti, Ed. Todesco, Cluj-Napoca, 2004.2. Colectiv, Analiza matematica, Teoria Probabilitatilor si Algebra liniara

aplicate in economie, Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 2008.Materiale si instrumente necesare pentru curs :Vom folosi: suport electronic de curs, materiale multiplicate, calculator,

videoproiector.Calendarul cursului: este prezentat in calendarul disciplineiPolitica de evaluare si notare:Evaluarea si notarea �nala se va face prin rezolvarea de probleme, intocmirea

unor teme de casa. Toate acestea se vor realiza pe parcursul semestrului. In-trarea in examenul �nal este conditionata de realizarea sarcinilor ce rezulta dintemele de control de la sfarsitul �ecarui modul al suportului de curs. Studentiivor primi feed-back la rezultatele realizate in examenul �nal prin comunicaredirecta cu cei care solicita. In cazul cand studentul doreste sa revina la un ex-amen de marire a notei, acest nou examen se va desfasura in aceleasi conditii,cu aceleasi cerinte, ca si examenul initial.Elemente de deontologie academica:Pentru a evita situatiile care pun in discutie onestitatea studentilor facem de

la inceput precizarea ca se interzice categoric frauda, iar tentativele de fraudase vor trata conform reglementarilor in vigoare elaborate la nivelul facultatiisi universitatii. Este normal ca atunci cand se utilizeaza anumite date, texte,

3

formulari, etc. luate din alte surse, sa se faca citarea, si astfel sa se asumemeritele doar pentru munca si contributia proprie. Se va cere studentului saaiba un comportament academic fata de profesori si fata de colegi.Studentii cu dizabilitati:Nu vor avea nici o problema in a se incadra in cerintele cursului si a celorlalte

activitati, sansele in pregatire si obligatiile lor �ind de aceeasi factura ca sipentru studentii fara dizabilitati.Strategii de studiu recomandate:Recomandam studentilor sa se pregateasca mai intai din aspectele teoretice,

asa incat, mai intai, din curs, sa �e studiate modulele cu teoria si exempleleilustrative formulate, apoi sa se abordeze problemele rezolvate, iar apoi si prob-lemele formulate spre rezolvare. Pentru tot cursul, apreciem ca fondul de timpnecesar insusirii complete este de 56 de ore, din care 40 pentru suportul de curs,8 pentru activitatile directe cu tutorii, iar 12 pentru sarcinile individuale destudiu al bibliogra�ei si realizarea temelor de control.

II. Suportul de curs propriu-zisCursul va �structurat pe module, iar dorinta este de a se obtine o prezentare

gradata a notiunilor si rezultatelor.

MODULUL I. Elemente de analiza matematica

Obiectivele modulului

� Introducerea catorva notiuni de analiza functiilor reale de mai multe vari-abile reale care sa constituie pentru studenti instrumente pentru tratareaunor probleme de extrem, pentru a permite interpolarea si ajustarea datelorexperimentale, etc.

� Crearea bazelor de analiza matematica necesare pentru studiul teorieiprobabilitatilor si pentru statistica matematica.

Concepte de baza

� Aplicatii ale notiunilor de analiza matematica in probleme de natura eco-nomica;

� Spatii normate, spatii metrice, topologia de spatiu metric;

� Limite de functii de la Rn la R, continuitatea functiilor de la Rn la R;

� Derivate partiale, diferentiabilitate si diferentiala pentru functiile de la Rnla R, derivate partiale si diferentiale de ordin superior;

� Extremele functiilor reale de mai multe variabile reale (libere sau cu lega-turi);

� Optimizarea unor procese de stocare deterministe;

� Ajustarea datelor experimentale;

� Integrale Euler.

4

Rezultate asteptateInsusirea conceptelor de baza mentionate si crearea deprinderilor de utilizare

a acestora. Studentul trebuie sa �e capabil sa aplice in practica notiunile studi-ate pentru analizarea unor situatii concrete din economie, cum ar � de exempluprobleme de gestiunea optima a stocurilor.

Sinteza

UNITATEA 1. Functii reale de mai multe variabilereale

1.0. Aplicatii in economie1.0.1. Aplicatii ale derivatei în economie

Fie f : D �! R; D � R - interval,x 7�! y = f (x)(f functie cu semni�catie economicã)1) Valoarea medie localã în x

� f (x)

�x=f (x+�x)� f (x)

�x

2) Valoarea marginalã în x; viteza de variatie, (limita valorii medii localein x cand �x! 0):

f 0 (x) =df (x)

dx= lim

�x!0

�f(x)

�x

3) Valoarea medie în intervalul [0; x]

f (x)� f(0)x

4) Variatia relativã a functiei f în x (rata de variatie)(este raportul dintre cresterea functiei si valoarea functiei)

� f (x)

f (x)=f (x+�x)� f (x)

f (x)

5) Ritmul mediu de variatie în x (raportul dintre variatia relativa afunctiei - rata de variatie - si cresterea variabilei)

Rm =

� f(x)f(x)

�x=� f (x)

�x

1

f (x)

6) Ritmul local de variatie în x(viteza relativã de variatie)

Rf;x = lim� x�!0

Rm =f 0 (x)

f (x)= (ln f (x))

0

7) Elasticitatea medie în x(=raportul ratelor de variatie=raportul variatiilor relative ale celor douã

variabile)

5

Em =

� f(x)f(x)

� xx

=x

f (x)

� f (x)

�x=

� f(x)� xf(x)x

8) Elasticitatea localã a lui y în raport cu x

Exy = lim� x�!0

Em =x

f (x)f 0 (x) =

(ln f (x))0

(lnx)0

Observatie:

Eyx =f (x)

x

1

f 0 (x)=

(lnx)0

(ln f (x))0 =

�Exy��1

=1

Exy

Elasticitatea este independentã de unitãtile de mãsurã pentru cele douã vari-abile. Cu ea se evidentiazã variatia unui parametru care are o crestere relativãmult mai semni�cativã decât variatia absolutã.

1.0.2. Functii de productie

Fie f : D �! R+; D � Rn+ x = (x1; x2; :::; xn) 7�! y = f (x1; x2; :::; xn)unde f este o functie de mai multe variabile, cu semni�catie economica.1) Cobb - Douglas

y = Ax�1 x�2

y = f(x1; x2); D = R2+A;�; � - constante,A - factor rezidual (progresul tehnic, stocul de cercetare, învãtãmânt,etc)x1 - capitalulx2 - forta de muncãy - productia (venitul national, produsul national brut)�; � - mãsoarã elasticitãtile lui y fatã de x1; x2Observatie:

i) Folosind diferentiala de ordinul intai se obtine relatia

dy

y= �

dx1x1

+ �dx2x2

ii) Suma �+� mãsoarã �randamentul �zic�care poate �constanta,crescãtoare sau descrescãtoare dupa cum �+ � este = 1, sau > 1 sau < 1:2) Costul productiei, D = R2+ :

C (y) = C (x1; x2) = C1x1 + C2x2

3) Incasãrile din vânzare, D = R2+

R (y) = ry = r Ax�1 x�2

4) Bene�ciul (pro�tul), D = R2+

B (y) = R (y)� C (y)

6

5) Generalizare, D = R3+

y = f (x1; x2; x3) = Ax�1 x�2 x

3

x3 - factorul progres tehnic6) Functia Solow - Minhas - Arrow - Cherney (CES - Constant

Elasticity of Substitution), D = R�2+

y = f (x1; x2) = A��x��1 + � x��2

��1=�7) Functia Rowe - Sato, D = R2+ n

�a x31 + b x

32 = 0

y = f (x1; x2) =

x21 x22

a x31 + b x32

8) Functia Borts - Mishan, D = R�2+

y = f (x1; x2) =5x21x2

� x313x22

9) Functia Allen, D = R2+ n�2hx1x2 � ax21 � bx22 < 0

y = f (x1; x2) =

q2hx1x2 � ax21 � bx22

10) Functia Visner, D = R�4+

y = f (x1; x2; x3; x4) = Ax�1x�2x

3x

�4

x3 - cheltuieli pentru învãtãmânt si ridicarea cali�cãriix4 - cheltuieli pentru cercetare stiinti�cã si experimentare11) Functia Bradford de Long - Summers, D = R�3+

y = f (x1; x2; x3) = (x1 + x2)�x1��3

1.0.3. Functia cerere -venit

Functia cerere Functia de elasticitateCresterea

absolutã a functiei1 Q = a+ bV EVQ =

bVa+bV ' (V ) = b

2 Q = a+ bV + cV 2 EVQ =bV+2cV 2

a+bV+cV 2 ' (V ) = b+ 2cV

3 Q = aV b EVQ = b ' (V ) = abV b�1

4 Q = aeV EVQ = V ' (V ) = aeV

5 Q = aVb+V EVQ =

b1+b ' (V ) = ab

(b+V )2

6 Q = a c+Vb+V EVQ =b�c

b+c+V� cbV

' (V ) = ab�ac(b+V )2

7 Q = aV c+Vb+V EVQ =

(2�a)V 2+2bV+abc

(b+V )2b+VaV+ac ' (V ) = (2�a)V 2+2bV+abc

(b+V )2

8 Q = K1+be�cV EVQ =

cV1b e

cV +1' (V ) = Kcbe�cV

(1+be�cV )2

1) Functie liniarã.2) Functie parabolicã.3) Functie putere.4) Functie exponentialã.

7

5) Functia logaritmicã.6) Functia Törnquist (problemã de prima necesitate).7) Functia Törnquist (problemã de necesitate medie).8) Functia Törnquist (produse de lux ).9) Functia logisticã.

1.0.4. Functii cerere - pret

Q = a� bp =) EpQ =dQ

dp

p

Q=

�bpa� bp

Varianta Cournot(Q = f (p)) Varianta Marshall (p = f (Q) )1 Q = a�p

b p = a� bQ2 Q = a

p+c � b p = aQ+b � c

3 Q = a�p2b p =

pa� bQ

4 Q =a�ppb p = (a� bQ)2

5 Q =q

a�pb p = a� bQ2

6 Q = bp�a + c p =�

bQ�c

�1=a7 Q = ae�bp p = 1

n lnaQ

1) Functie liniara2) Functie rationala3) Functie polinomiala, de gradul 24) si 5) Functii irationale6) Functie putere7) Functie exponentiala8) Functie logaritmica

1.1. Elemente de topologie a spatiului Rn

1.1.1. Spatii normate

De�nitia 1.1.2. Fie V un spatiu vectorial peste R. Se numeste norm¼a peV orice aplicatie k � k : V ! R, x 7! kxk, astfel încâtN1) kxk � 0; 8 x 2 V si kxk = 0() x = �.N2) k�xk = j�jkxk; 8 x 2 V; 8 � 2 R (pozitiv omogenitate).N3) kx+ yk � kxk+ kyk; 8 x; y 2 V (subaditivitate).Se numeste spatiu vectorial normat (real) cuplul (V; k � k) unde V este

un spatiu vectorial peste R iar k � k este o norm¼a pe V .

1.1.2. Spatii metrice

De�nitia 1.1.3. Se numeste metric¼a sau distant¼a pe multimea nevid¼a Xorice aplicatie d : X �X ! R, (x; y) 7! d(x; y), astfel încâtD1) d(x; y) � 0; 8 x; y 2 X si d(x; y) = 0() x = yD2) d(x; y) = d(y; x); 8 x; y 2 XD3) d(x; y) � d(x; z) + d(z; y); 8 x; y; z 2 X (inegalitatea triunghiului).

8

Cuplul (X; d) unde X este o multime nevid¼a iar d este o distant¼a (metric¼a)pe X se numeste spatiu metric.Observatie. În D1) s-ar putea renunta la conditia d(x; y) � 0. Într-adev¼ar,

pentru x; y 2 X avem succesiv0 = d(x; x) � d(x; y) + d(y; x) = 2d(x; y) de unde d(x; y) � 0.

Propozitia 1.1.4. Fie (V; k � k) un spatiu normat (real). Aplicatiad : V � V ! R, (x; y) 7! d(x; y)

def= kx � yk este o distant¼a pe V (distanta

indus¼a de norm¼a).Observatii. 1) Orice spatiu normat este si spatiu metric cu distanta in-

dus¼a de norm¼a. Cele trei norme clasice pe Rn induc pe acest spatiu distantele�1; �2; �1 : Rn � Rn ! R

�1(x; y) = kx� yk1 =Pn

i=1 jxi � yij�2(x; y) = kx� yk2 =

pPni=1(xi � yi)2

�1(x; y) = kx� yk1 = maxfjxi � yij j i = 1; ngdac¼a x = (x1; x2; : : : ; xn), y = (y1; y2; : : : ; yn).�1 se numeste distanta Minkowski a spatiului Rn, �2 se numeste distanta

euclidian¼a a lui Rn, iar �1 se numeste distanta Cebâsev a lui Rn.De�nitia 1.1.5. Fie (X; �) un spatiu metric, a 2 X si r > 0. Se numeste

bil¼a deschis¼a cu centrul în a si raza r multimea B(a; r) = fx 2 Xj �(x; a) <rg:De�nitia 1.1.6. Fie (X; �) un spatiu metric. Se spune c¼a multimea G � X

este deschis¼a dac¼a oricare ar � a 2 G exist¼a r > 0 astfel încât B (a; r) � G(o dat¼a cu orice element a 2 G; G include o bil¼a deschis¼a cu centrul în a).Se spune c¼a multimea D � X este închis¼a dac¼a ea este complementara uneimultimi deschise. X si � se consider¼a atât deschise cât si închise. Familia � amultimilor deschise ale lui X se numeste topologie de spatiu metric (indus¼ade metric¼a).De�nitia 1.1.7. Fie (X; �) un spatiu metric si a 2 X pentru care exist¼a

G 2 � astfel încât a2 G � V . Vom nota cu V (a) multimea tuturor vecin¼at¼atilorlui a.De�nitia 1.1.8. Fie (X; �) un spatiu metric si A � X o multime nevid¼a.

Se spune c¼a a 2 X este punct interior al multimii A dac¼a exist¼a r > 0 astfelîncât B (a; r) � A. Multimea tuturor punctelor interioare ale lui A se numeste

interiorul multimii si se noteaz¼a int A sauo

A. Se spune c¼a a 2 X este punctexterior multimii A dac¼a el este punct interior al complementarei lui A rela-tive la X. Multimea tuturor punctelor exterioare lui a se numeste exteriorulmultimii A si se noteaz¼a extA. Se spune c¼a a 2 X este punct frontier¼a almultimii a dac¼a el nu este nici interior si nici exterior lui A. Multimea tuturorpunctelor frontier¼a ale lui A se numeste frontiera multimii A si se noteaz¼a cuFrA.Se spune c¼a a 2 X este punct aderent al multimii A dac¼a 8V 2 V (a) avem

V \ A 6= ; (orice vecin¼atate a lui a contine puncte din A). Multimea tuturorpunctelor aderente ale lui A se numeste aderenta sau închiderea lui A si senoteaz¼a cu A. Se spune c¼a a 2 X este punct de acumulare al lui A dac¼a8V 2 V (a) avem V \An fag 6= ; (orice vecin¼atate a lui a contine puncte din Adiferite de a). Multimea tututor punctelor de acumulare ale lui A se numestemultime derivat¼a a lui A si se noteaz¼a A0. Se spune c¼a a 2 A este punct izolatal lui A dac¼a exist¼a V 2 V (a) astfel încât V \A = fag.

9

De�nitia 1.1.11. Fie (X; �1) ; (Y; �2) dou¼a spatii metrice si A � X omultime nevid¼a iar f : A! Y . Se spune c¼a l 2 Y este limita functiei f cândx tinde c¼atre a 2 A0 si se noteaz¼a f (x) !

x!al sau l = lim

x!af (x) dac¼a oricare

ar �V 2 V (l) exist¼a U = UV 2 V (a) astfel încât f (x) = V; 8 x 2 A\U n fag.Se spune c¼a f este continu¼a în punctul adac¼a pentru orice V 2 V (f (a))exist¼a U = UV 2 V (a) astfel încât f (x) 2 V; 8x 2 A\U . Se spune c¼a f estecontinu¼a pe multimea E � A dac¼a f este continu¼a în orice punct din E.

În fapt, in tot acest curs, toate rationamentele r¼amân valabile dac¼a simpli-�c¼am de�nitia conceptului de vecin¼atate a unui punct a 2 X, numind vecin¼a-tate a lui a orice bil¼a deschis¼a cu centrul în a. Vom lucra deci cu V (a) =fB (a; �) j � > 0g ,a 2 X. Se obtin astfel �de�nitia cu ��si respectiv �de�nitiilecu � si ��ale conceptelor mentionate. Avem astfel:a) Fie (X; �1); (Y; �2) dou¼a spatii metrice, A � X, a 2 A0 si l 2 Y iar

f : A! Y .Atunci l = lim

x!af(x) () 8 " > 0; 9 � = �" > 0 astfel încât �2(f(x); l) <

"; 8 x 2 A n fag, �1(x; a) < �.b) Fie (X; �1); (Y; �2) dou¼a spatii metrice, A � X si a 2 A iar f : A ! Y .

Atunci f este continu¼a în punctul a () 8 " > 0; 9 � = �" > 0 astfel încât�2(f(x); f(a)) < "; 8 x 2 A, �1(x; a) < �.Dac¼a distantele provin din norme avem:a�) Fie (X; k � k1); (Y; k � k2) dou¼a spatii normate, A � X, f : A! Y , a 2 A0

si l 2 Y . Atunci l = limx!a

f(x) () 8 " > 0; 9 � = �" > 0 astfel încât

kf(x)� lk2 < "; 8 x 2 A n fag, kx� ak1 < �.b�) Fie (X; k�k1); (Y; k�k2) dou¼a spatii normate, A � X, f : A! Y si a 2 A.

Atunci f este continu¼a în punctul a () 8 " > 0; 9 � = �" > 0 astfel încâtkf(x)� f(a)k2 < "; 8 x 2 A, kx� ak1 < �.

1.2. Limite de functii de la Rm la R.Continuitatea functiilor dela Rm la R

1.2.1. Functii de la Rm la Rn

De�nitia 1.2.2. Fie m;n 2 N�, E � Rm si F � Rn dou¼a multimi nevide si�e

f : E ! F , x = (x1; x2; :::; xn) 7�! f (x) = (y1; y2; :::; yn) o functie.Se spune c¼a f este:1) functie real¼a de variabil¼a real¼a dac¼a m = n = 12) functie real¼a de variabil¼a vectorial¼a (sau de m variabile rale) dac¼a

m � 2; n = 13) functie vectorial¼a de variabil¼a real¼a dac¼a m = 1; n � 24) functie vectorial¼a de variabil¼a vectorial¼a (sau de m variabile reale)

dac¼a m;n � 2.

1.2.2. Limite de functii de la Rm la R. Continuitatea functiilorde la Rm la R

De�nitia 1.2.5. Fie E � Rm (m 2 N�) o multime nevid¼a, f : E ! R, ofunctie a 2 E0 si l 2 R. Se spune c¼a f are limita l când x tinde c¼atre a si

10

se scrie l = limx!a

f(x) sau f(x) �!x!a

l dac¼a 8 " > 0; 9 � = �" > 0 astfel încât

kf(x)� lk < " pentru orice x 2 E n fag, kx� ak < �.De�nitia 1.2.6. Fie E � Rm, A � E dou¼a multimi nevide, a 2 A0 \ E0,

h 2 Rm, h 6= � si f : E ! R. Se numeste limit¼a a functiei f relativ¼a lamultimea A sau limit¼a partial¼a a lui f relativ¼a la A, limita restrictiei f jAcând x tinde c¼atre a (dac¼a exist¼a) adic¼a

lA = limx!a(f jA)(x)not= limx!ax2A f(x):

Dac¼a A = Ah = fx 2 Ej x = a+ th; t 2 Rg (A este format¼a din segmentuldin E al dreptei care trece prin punctul a si de directie h) atunci limita lAh

=lh = lim

x!ax2Ahf(x) = lim

t!0f(a+ th) (dac¼a exist¼a) se numeste limit¼a a functiei

f în punctul a dup¼a directia h.Propozitia 1.2.5. Dac¼a f are limit¼a când x tinde c¼atre a atunci limita

este unic¼a.Propozitia 1.2.6. Dac¼a f(x) !

x!a� atunci exist¼a V 2 V (a)) astfel încât f

este m¼arginit¼a pe V \ E.Propozitia 1.2.7. Dac¼a f(x) !

x!a� si g(x) !

x!a� atunci f(x)+ g (x) !

x!a

�+ �; :f (x) g (x) !x!a

�� iar dac¼a � 6= 0 si f(x)g(x) are sens pe o vecin¼atate a lui

a atunci avem si f(x)g(x) !x!a

�� .

Propozitia 1.2.8. (criteriul major¼arii) Fie ' : E ! R. Dac¼a exist¼a V 2V(a) astfel încâta) '(x) � 0; 8 x 2 V \ Eb) kf(x)� lk � '(x); 8 x 2 V \ Ec) lim

x!a'(x) = 0

atunci exist¼a limx!a

f(x) = l.

În continuare mention¼am câteva propriet¼ati relative la continuitatea functi-ilor de la Rm la Rn.De�nitia 1.2.7. Fie m 2 N�, E � Rm o multime nevid¼a, a 2 E si f : E !

R. Se spune c¼a f este continu¼a în punctul a dac¼a 8 " > 0; 9 � = �" > 0 astfelîncât jf (x)� f (a)j < " pentru orice x 2 E; kx� ak < �. Se spune c¼a f estecontinu¼a pe multimea nevid¼a A � E dac¼a f este continu¼a în orice puncta 2 A.Propozitia 1.2.8. Fie m 2 N�, E � Rm; E 6= ;; a 2 E si f : E ! R.

Dac¼a f este continu¼a în punctul a atunci exist¼a V 2 V (a) astfel încât f estem¼arginit¼a V \ E:Propozitia 1.2.9. Fie m 2 N�, E � Rm; E 6= ;; a 2 E si f; g : E ! R.

Dac¼a f si g sunt continue în punctul a atunci f + g, fg si fg (dac¼a f (a) 6= 0)sunt de asemenea continue în a.De�nitia 1.2.11. Fie E � Rm, E 6= ;, h 2 Rm n f�g, f : E ! R si a 2 E.

Se spune c¼a f este continu¼a dup¼a directia h în punctul a dac¼a, notândEh = fx 2 Ej x = a+ th; t 2 Rg, restrictia lui f la Eh este continu¼a în a.

1.3. Derivate partiale, diferentiabilitate si diferential¼a pt functiilede la Rm la R

De�nitia 1.3.1. Se spune c¼a multimea D � Rm (m 2 N�) este un domeniudac¼a este deschis¼a si conex¼a (format¼a dintr-o singur¼a �bucat¼a�).

11

De�nitia 1.3.2. Fiem 2 N�,m � 2,D � Rm un domeniu, a = (a1; a2; :::; am)2 D; f : D ! R si �e i 2 f1; 2; ::;mg. Se spune c¼a f este derivabil¼a partialîn raport cu variabila xi în punctul a dac¼a aplicatia partial¼a 'i asociat¼a lui fîn a este derivabil¼a în punctul xi = ai. În acest caz, derivata '0i (ai) se numestederivat¼a partial¼a a lui f în raport cu variabila xi în punctul a si se noteaz¼a@ f(a)@xi

sau f 0xi (a).Observatii. 1) A se revedea de�nitia 2.2.10 pentru aplicatiile partiale aso-

ciate lui f în a. Acestea sunt functii reale de o variabil¼a real¼a si deci se poatevorbi de derivabilitatea lor în sensul studiat în liceu.2) Dac¼a f este derivabil¼a partial în raport cu variabila xi (i = 1;m) în

punctul a atunci @ f(a)@xi= '0i (ai)

= limxi!ai

'i(xi)�'(ai)xi�ai = lim

xi!ai

f(a1;:::;ai�1;xi;ai+1;:::;am)�f(a1;a2;:::;am)xi�ai

3) Dac¼a f este derivabil¼a partial în raport cu variabila xi în punctul a atuncif este continu¼a partial în raport cu variabila xi în punctul a (i = 1; n). Într-adev¼ar, 'i derivabil¼a în ai implic¼a 'i continu¼a în ai; i = 1;m. Dac¼a îns¼a f estederivabil¼a partial în raport cu toate variabilele în punctul a nu rezult¼a c¼a f estecontinu¼a (global) în a asa cum rezult¼a din exemplul urm¼ator.De�nitia 1.3.3. Fie D � Rm un domeniu si f : D ! R. Se spune c¼a f

este derivabil¼a partial în raport cu xi pe D dac¼a f este derivabil¼a partialîn raport cu xi în orice punct x 2 D, i = 1;m.Observatie. Dac¼a f este derivabil¼a partial în raport cu xi pe D atunci se

poate vorbi de functia derivat¼a partial¼a a lui f în raport cu variabila xi, notat¼a@ f@ xi

, anume@ f@ xi

: D ! R; x 7! @ f(x)@ xi

; i = 1;m:

Functiile @ f@ xi, i = 1;m ar putea la rândul lor s¼a �e derivabile partial în

raport cu variabila xj , j = 1;m în puncte a 2 D si se deschide astfel caleapentru considerarea derivatelor partiale de ordin superior care vor � tratate maitârziu. Dac¼a derivatele partiale @ f

@ xi, i = 1;m exist¼a ca functii ele se calculeaz¼a

conform acelorasi reguli de derivare ca cele de la functiile reale de o variabil¼areal¼a, considerând variabil doar argumentul în raport cu care se face derivareasi constante toate celelalte argumente.Propozitia 1.3.1. Fie D � Rm un domeniu, a 2 D si f : D ! R. Dac¼a

exist¼a V 2 V(a) astfel încât f s¼a admit¼a derivate partiale în raport cu toatevariabilele pe V \D atunci 8 x 2 V \D n fag exist¼a � 2 Rm, �i cuprins întreai si xi, i = 1;m astfel încât

(1) f(x)� f(a) =mPi=1

@(a1;:::;ai�1;:::;xi+1;:::;xm)@xi

(xi � ai)

Propozitia 1.3.2. Fie D � Rm un domeniu, a 2 D si f : D ! R. Dac¼a ex-ist¼a V 2 V(a) astfel încât f s¼a �e derivabil¼a partial în raport cu toate variabilelepe V \D si @ f

@ xisunt m¼arginite pe V \D, i = 1;m atunci f este continu¼a în a.

Consecint¼a. Dac¼a f admite derivate partiale m¼arginite pe D, f este con-tinu¼a pe D.De�nitia 1.3.4. Fie D � Rm un domeniu, a 2 D si f : D ! R. Se

spune c¼a f este diferentiabil¼a în punctul a dac¼a exist¼a �1; �2; : : : ; �m 2 Rsi ! : D ! R, ! continu¼a si nul¼a în a (deci lim

x!a!(x) = !(a) = 0) astfel încât

8 x 2 D avem

(2.3.1) f(x)� f(a) =mPi=1

�i(xi � ai) + !(x)kx� ak:

12

Se spune c¼a f este diferentiabil¼a pe A � D dac¼a este diferentiabil¼a în oricepunct din A.Observatie. Norma folosit¼a în acest paragraf va � norma euclidian¼a a lui

Rm: Reamintim c¼a dac¼a a = (a1; a2; : : : ; am), x = (x1; x2; : : : ; xm) 2 Rm atuncipentru orice i = 1;m avemjxi � aij =

p(xi � ai)2 �

p(x1 � a1)2 + (x2 � a2)2 + � � �+ (xm � am)2 =

kx� aksi deci jxi�aijkx�ak � 1 pentru orice x 2 R

n, x 6= a si pentru orice i = 1;m.Propozitia 1.3.3. Fie D � Rm un domeniu, a 2 D si f : D ! R. Atunci,

f este diferentiabil¼a în a() exist¼a �1; �2; : : : ; �m 2 R si m functii !i : D ! R,!i continue si nule în a, i = R astfel încât oricare ar � x 2 D s¼a avem

(2.3.2) f(x)� f(a) =mPi=1

�i(xi � ai) +mPi=1

!i(x)(xi � ai)

Propozitia 1.3.4. Fie D � Rm un domeniu, a 2 D si f : D ! R.Dac¼a f este diferentiabil¼a în a atunci f admite derivate partiale în a si

@f(a)@xi

= �i; 8 i = 1;m:Propozitia 1.3.5. Fie D � Rm un domeniu, a 2 D si f : D ! R. Dac¼a f

este diferentiabil¼a în a atunci f este continu¼a în a.Propozitia 1.3.6. Fie D � Rm un domeniu, a 2 D si f : D ! R. Dac¼a f

are derivate partiale pe V \D unde V este o vecin¼atate a punctului a si dac¼aacestea sunt continue în a atunci f este diferentiabil¼a în a.Consecint¼a. Dac¼a f admite derivate partiale continue pe D atunci f este

diferentiabil¼a pe D.De�nitia 1.3.5. Fie D � Rm un domeniu, a 2 D si f : D ! R o functie

diferentiabil¼a în a. Se numeste diferential¼a a functiei f în punctul a,

notat¼a df(a), aplicatia liniar¼a df(a) : Rm ! R, df(a)(h) =mPi=1

@ f (a)@ xi

hi.

Observatii. 1) Se veri�c¼a usor c¼a df(a) este aditiv¼a si omogen¼a adic¼a df(a) 2L(Rm;R), unde L(Rm;R) este spatiul aplicatiilor liniare (functionalelor) de laRm la R. Matricea aplicatiei (functionalei) liniare df(a) în perechea de baze datede baza canonic¼a B a lui Rm si baza B0 = (1) a lui R este�

@ f (a)@ x1

; @ f (a)@ x2; : : : ; @ f (a)@ xm

�2 R1;m:

2) Fie D � Rm un domeniu, a 2 D si f : D ! R o functie diferentiabil¼a îna. Atunci exist¼a ! : D ! R, ! continu¼a si nul¼a în a astfel încât 8 x 2 D avem

f(x)�f(a) =Pm

i=1@ f (a)@ xi

(xi�ai)+!(x)kx�ak:xi�ai se numeste cresterea celui de-al i-lea argument al lui f (i = 1;m)x� a se numeste sistem de cresteri ale argumentelor lui ff(x) � f(a) se numeste cresterea functiei corespunz¼atoare sistemului de

cresteri x� a ale argumentelor.Pentru x su�cient de apropiat de a (adic¼a pentru kx� ak su�cient de mic¼a)

avem evidentf(x)� f(a) � df(a)(x� a)

sauf(a+ h)� f(a) � df(a)(h)

adic¼a df(a) aproximeaz¼a cresterea (în fapt variatia deoarece este o valoare alge-bric¼a putând � si negativ¼a) functiei în a corespunz¼atoare unui sistem, h = x�ade cresteri ale argumentelor (deci când se trece de la a la punctul x sau de la ala a+ h).

13

Se mai spune c¼a f(a + h) � f(a) este cresterea total¼a a functiei f core-spunz¼atoare sistemului de cresteri h ale argumentelor în punctul a. Produsul@ f (a)@ xi

hi se mai numeste cresterea partial¼a a lui f în a corespunz¼atoarecresterii hi a argumentului xi si este o m¼asur¼a a contributiei variatiei lui xi învariatia total¼a a functiei.3) Fie 'i : Rm ! R, 'i(x) = xi dac¼a x = (x1; x2; : : : ; xm), i = 1;m

proiectiile canonice ale spatiului Rm. Pentru orice i = 1;m, 'i este derivabil¼apartial în raport cu toate variabilele, în orice punct x 2 Rm si

@'i(x)@xi

=

�1; j = i0; j 6= i

(i; j = 1;m)

Cum functiile 'i (i = 1;m) sunt derivabile pe Rm cu derivate partiale con-tinue pe Rm rezult¼a c¼a 'i (i = 1;m) sunt diferentiabile în orice punct a 2 Rmsi

d('i)(a)(h) =Pm

j=1@'i(a)@xj

hj = hi; h 2Rm; i = 1;m:Cum 'i(x) = xi, i = 1;m se foloseste notatia dxi în loc de d('i)(a) (se are

în vedere c¼a d('i)(a) este aceeasi pentru orice a 2 Rm) si deci dxi(h) = hi,i = 1;m, h 2 Rm în orice punct a 2 Rm. Avem deci

df(a) =Pm

i=1@f(a)@xi

dxisi

df(a)(h) =Pm

i=1@f(a)@xi

dxi(h) =Pm

i=1@f(a)@xi

hiAdesea dx1; dx2; : : : ; dxm se identi�c¼a cu cresterile argumentelor si deci avem

df(a)(dx1; dx2; : : : ; dxm) =Pm

i=1@f(a)@xi

dxidar, de obicei, al doilea grup de argumente al lui df(a)(dx1; dx2; : : : ; dxm) nu semai scrie asa încât se noteaz¼a

df(a) =Pm

i=1@f(a)@xi

dxiunde (dx1; dx2; : : : ; dxm) se interpreteaz¼a direct ca sistem de cresteri ale argu-mentelor lui f . Aceast¼a din urm¼a interpretare rezult¼a din context si deci estenecesar¼a o atentie m¼arit¼a pentru întelegerea semni�catiei notatiei df(a) spre a nuconfunda functionala df(a) cu imaginea sistemului de cresteri (dx1; dx2; : : : ; dxm)prin df(a).Observatie. Interpretând produsul simbolic @

@ xif(a) ca �ind derivata

partial¼a a lui f în raport cu xi în punctul a (i = 1;m) se obtine

df(a) =�

@@x1

dx1 +@@x2

dx2 + � � �+ @@xm

dxm

�f(a); a 2 D:

Se evidentiaz¼a astfel operatorul de diferentiered = @

@x1dx1 +

@@x2

dx2 + � � �+ @@xm

dxm:

1.4. Derivate partiale si diferentiale de ordin superior1.4.1 Derivate partiale de ordin superior

În paragraful precedent a fost introdus¼a functia derivat¼a partial¼a a lui f înraport cu variabila xi, notat¼a

@f@xi, anume @f

@xi: D ! R, D � Rm, i = 1;m,

x 7! @ f(x)@xi

.

În cele ce urmeaz¼a ne situ¼am în cazul c¼a aceste m functii, @ f@xi, i = 1;m,

sunt la rândul lor derivabile partial în raport cu variabila xj , j = 1;m.

Atunci s¼a not¼am cu@2f(x0)@ xi @ xj

valoarea derivatei partiale, în raport cu xj ,

a functiei derivat¼a partial¼a a functiei f , în raport cu xi, în punctul x0, adic¼a

14

@2f(x0)@ xi @ xj

= @@xj

�@ f@xi

�(x0):

Aceasta va � numit¼a derivata partial¼a de ordinul doi a functiei f în raportcu xi si în raport cu xj , în punctul x0.Este evident c¼a o functie de m variabile f : D ! R, D � Rm, poate produce

m functii derivate partiale de ordinul întâi, @ f@xi, i = 1;m, respectiv m2 functii

derivate partiale de ordinul doi @2 f@xi @xj

, i; j = 1;m.

Observatie. Când i = j pentru derivata partial¼a de ordinul doi @ 2f@ xi @ yi

se va utiliza scrierea @ 2f@ x2i

. Când i 6= j vom numi @ 2f@xi @yj

derivata de ordinuldoi mixt¼a în raport cu variabilele xi si xj .Procedând în mod analog se vor obtine derivatele partiale de ordinul trei

în raport cu variabilele xi; xj ; xk, notate@ 3f

@xi @xj @xk, i; j; k = 1;m. Vor putea

exista m3 functii derivate partiale de ordinul trei @ 3f@xi @xj @xk

, i; j; k = 1;m.Dac¼a cel putin doi indici dintre i; j; k sunt diferiti derivata se va numi mixt¼a.În caz contrar, adic¼a i = j = k, se obtine derivata de ordinul trei în raport cuaceeasi variabil¼a xi si aceasta se noteaz¼a astfel

@ 3f@ x3i

, i = 1;m.

La fel se poate continua rationamentul si în cazul derivatelor partiale deordin mai mare decât 3. Num¼arul derivatelor partiale de ordin superior crestemult mai repede decât num¼arul variabilelor pe m¼asur¼a ce ordinul de derivarecreste. Astfel când m = 3 avem 3 derivate partiale de ordinul întâi, 32 =9 derivate partiale de ordinul doi, 33 = 27 derivate partiale de ordinul trei,etc., deci cresterile de la 3 la 9, respectiv de la 9 la 27, sunt substantiale. Înaplicatii avem nevoie de derivate partiale de ordin su�cient de mare (trei, patru,etc.) iar volumul de calcul pentru acestea se poate dovedi foarte mare. Pebun¼a dreptate se pune întrebarea: nu exist¼a vreo leg¼atur¼a (chiar de egalitate,cum se vede din exemplul de mai sus) între diferitele derivate partiale de ordinsuperior? R¼aspunsul a�rmativ, în anumite conditii su�ciente, se va referi laderivatele partiale mixte. Formul¼am si demonstr¼am acest rezultat doar pentruderivatele partiale de ordinul doi mixte, în cazul altor ordine de derivare maimari rezumându-ne la a le evidentia prin scriere, sub forma unei "scheme".Teorema 1.4.1. (Schwarz) Dac¼a functia f : D ! R, D � Rm, are derivate

partiale de ordinul doi mixte @ 2f@xi @xj

si @ 2f@xj @xi

, i; j = 1;m, i 6= j, într-

o vecin¼atate V a punctului x0 2 D si dac¼a aceste functii derivate partiale deordinul doi mixte @ 2f

@xi @xjsi @ 2f

@xj @xisunt continue în x0 atunci este adev¼arat¼a

egalitatea@ 2f(x0)@xi @xj

=@ 2f(x0)@xj @xi

; i; j = 1;m; i 6= j:

Teorema 1.4.2. Dac¼a functia f : D ! R, D � R2, (x; y) 7! f(x; y), arederivate partiale de ordinul doi mixte @ 2f

@x @y si@ 2f@y @x într-o vecin¼atate V a

punctului (a; b) 2 D si dac¼a aceste functii @ 2f@x @y si

@ 2f@y @x sunt continue în

(a; b) atunci @ 2f(a;b)@x @y =

@ 2f(a;b)@y @x :

Corolarul 1.4.1. Dac¼a derivatele partiale mixte @2f@x @y si

@2f@y @x exist¼a si

sunt functii continue pe D atunci ele (privite ca functii) sunt egale pe D adic¼a@2f(x;y)@x @y = @2f(x;y)

@y @x ; (x; y) 2 D:Propozitia 1.4.1. Dac¼a functia f are derivatele partiale de ordinul întâi

@ f@ xi

si @ f@ xj

, i 6= j, într-o vecin¼atate V a lui x0 si dac¼a @ f@ xi

si @ f@ xj

sunt

15

diferentiabile în x0 atunci derivatele partiale mixte de ordinul doi exist¼a în x0

si sunt egale, adic¼a@2f(x0)@xi@xj

=@2f(x0)@xj@xi

:

Corolarul 1.4.2. Dac¼a @ f@ xi

, i = 1;m exist¼a si sunt diferentiabile pe Datunci toate derivatele partiale de ordinul doi exist¼a pe D, iar derivatele partialemixte sunt egale pe D, adic¼a

@2f@xi@xj

= @2f@xj@xi

:

Corolarul 1.4.3. Dac¼a toate derivatele partiale de ordinul doi ale functieif exist¼a într-o vecin¼atate V a lui x0 si dac¼a sunt continue în x0 atunci

@2f(x0)@xi@xj

=@2f(x0)@xj@xi

; i 6= j:

1.4.2. Diferentiale de ordin superior

Prin De�nitia 1.3.6 a fost introdus¼a notiunea de diferential¼a a unei functiif în punctul a, notat¼a df(a). Aceasta este o aplicatie (functional¼a) liniar¼a dat¼aprin

df(a)(dx) =Pm

i=1@f(a)@xi

dxi;unde dx = (dx1; dx2; : : : ; dxm)reprezint¼a cresterile argumentelor.În plus a fost evidentiat operatorul de diferentiere

d = @@x1

dx1 +@@x2

dx2 + � � �+ @@xm

dxmcu ajutorul c¼aruia putem scrie

df(a) =�

@@x1

dx1 +@@x2

dx2 + � � �+ @@xm

dxm

�f(a) = d(f(a)):

De�nitia 1.4.1. Spunem c¼a functia f este diferentiabil¼a de k ori înpunctul a, sau c¼a are diferential¼a de ordinul k în a dac¼a toate derivatele partialede ordinul k� 1 ale lui f exist¼a într-o vecin¼atate V a lui a si sunt diferentiabileîn a. Spunem c¼a f este diferentiabil¼a de k ori pe domeniul D dac¼a estediferentiabil¼a de k ori în �ecare punct din D.Folosind criteriul lui Young rezult¼a c¼a: Dac¼a f este diferentiabil¼a de k ori în

a atunci toate derivatele partiale de ordinul k exist¼a în a, iar ordinea de derivareîn a pân¼a la ordinul k inclusiv nu are important¼a.Teorema 1.4.3. Dac¼a functia f : D ! R, D � Rm are într-o vecin¼atate V

a lui a 2 D toate derivatele partiale de ordinul k si dac¼a aceste functii derivatepartiale sunt continue în a, atunci f este diferentiabil¼a de k ori în a.Diferentiala de ordinul k în punctul a = (a1; a2; : : : ; am) se de�neste prin

egalitatea

dkf(a)(dx) =h@@x1

dx1 +@@x2

dx2 + � � �+ @@xm

dxm

i(k)f(a)

unde dx = (dx1; dx2; : : : ; dxm) constituie cresterile argumentelor, iar (k)reprezint¼a puterea simbolic¼a - formal¼a, dup¼a care se dezvolt¼a suma din parantez¼asi apoi se înmulteste - formal cu f(a) (vezi si Observatia 1 de dup¼a De�nitia2.3.7.).Observatie. Prin relatia de mai sus s-a pus în evident¼a operatorul de

diferentiere de ordinul k,

dk =�

@@x1

dx1 +@@x2

dx2 + � � �+ @@xm

dxm

�(k);el este - formal - puterea

de ordinul k a operatorului de diferentiere de ordinul întâi.Avem de asemenea, renuntând la al doilea grup de argumente, dkf(a) =

d(dk�1f(a)):Astfel utilizând ridicarea la puterea simbolic¼a se obtine expresia detaliat¼a

16

dkf(a)(dx) =P

k1+k2+��+km=kk!

k1!k2!:::km!@kf(a)

@xk11 @x

k22 :::@xkmm

dxk11 dxk22 : : : dxkmm :

1.4.3. Formula lui Taylor pentru functiile de mai multevariabile

Asa ca în cazul functiilor de o singur¼a variabil¼a si pentru functiile de maimulte variabile se consider¼a formula lui Taylor.Fie f : D ! R, D � Rm, o functie de m variabile diferentiabil¼a de k ori

în punctul interior a = (a1; a2; : : : ; am), k 2 N� �xat. Rezult¼a c¼a functia fare toate derivatele partiale de ordinul k în punctul a, iar în derivatele partialemixte pân¼a la ordinul k inclusiv nu are nici o important¼a ordinea variabilelor înraport cu care se deriveaz¼a.Pentru �ecare x = (x1; x2; : : : ; xm) 2 D s¼a consider¼am polinomul de m

variabile, de gradul k,Tk(x1; x2; : : : xm) = f(a1; a2; : : : ; am)

+ 11!

h@f(a)@x1

(x1 � a1) + @f(a)@x2

(x2 � a2) + � � �+ @f(a)@xm

(xm � am)i+

+ 12!

h@f(a)@x1

(x1 � a1) + @f(a)@x2

(x2 � a2) + � � �+ @f(a)@xm

(xm � am)i(2)

+� � �+

+ 1k!

h@f(a)@x1

(x1 � a1) + @f(a)@x2

(x2 � a2) + � � �+ @f(a)@xm

(xm � am)i(k)

;

unde puterile sunt simbolice în sensul precizat mai înainte.De�nitia 1.4.2. Polinomul Tk de�nit pe D se numeste polinomul lui

Taylor de gradul k atasat functiei f în punctul a.S¼a not¼amRk(x1; x2; : : : ; xm) = f(x1; x2; : : : ; xm)�Tk(x1; x2; : : : ; xm). Atunci

f(x1; x2; : : : ; xm) = Tk(x1; x2; : : : ; xm) +Rk(x1; x2; : : : ; xm)reprezint¼a formula lui Taylor de ordinul k, ce corespunde functiei f în

punctul a, iar functia Rk constituie restul de ordinul k al formulei lui Taylor.Observatie. Polinomul lui Taylor poate � scris si în forma

Tk(x) = f(a)+ 11!df(a)(x�a)+

12!d

2f(a)(x�a)+� � �+ 1k!d

kf(a)(x�a):În consecint¼a formula lui Taylor se mai scrie în forma

f(x) = f(a) + 11!df(a)(x� a) +

12!d

2f(a)(x� a) + � � �+ 1k!d

kf(a)(x�a) +Rk(x):Observatie. Dac¼a în formula lui Taylor se ia x = a obtinem

Tk(a) = f(a) si astfel Rk(a) = 0. De fapt se poate scrielimx1!a1;:::;xm!am Rk(x1; : : : ; am) = Rk(a1; : : : ; am) = 0; asa încât

pentru valori xj su�cient de apropiate de aj , pentru �ecare j = 1;m, expresiarestului Rk(x), adic¼a diferenta f(x)�Tk(x), poate � cât dorim de mic¼a. În con-secint¼a pentru astfel de valori ale lui xj valorile functiei f în x pot �aproximatecu valorile polinomului Tk. Se va ar¼ata c¼a, în anumite conditii, avem nu numailimx!a

Rk(x) = 0 ci chiar si limx!a

Rk(x)�k(x)

= 0, unde

�(x) = kx� ak =qPm

j=1(xj � aj)2:Teorema 1.4.4. Dac¼a functia f : D ! R, D � Rm are derivate partiale de

ordinul k continue într-o vecin¼atate V a lui a = (a1; a2; : : : ; am) atunci restulRk(x1; : : : ; xm) se poate scrie în forma

Rk(x1; : : : ; xm) =1k!!(x1; : : : ; xm)�

k(x1; : : : ; xm);unde functia ! : D ! R este continu¼a si nul¼a în (a1; : : : ; am), adic¼a

limx!a !(x) = !(a) = 0:Demonstratia o vom face din nou doar în cazul special m = 2.

17

1.5. Extreme pentru functii de mai multe variabile.

1.5.1. Notiunea de punct de extrem

Asa cum pentru functiile de o singur¼a variabil¼a si pentru functiile de maimulte variabile se pune problema, atât teoretic cât si prin prisma aplicatiilor,determin¼arii punctelor de extrem. Derivatele partiale vor juca un rol importantîn aceast¼a determinare, cu ajutorul lor vor � stabilite conditiile necesare si celesu�ciente ca un punct din domeniul de de�nitie al functiei s¼a �e punct de extrem.Fie functia de m variabile f : D ! R, D � Rm.De�nitia 1.5.1. Spunem c¼a punctul a = (a1; a2; : : : ; am) 2 D este punct

de maxim local pentru functia f dac¼a exist¼a o vecin¼atate V (a) a lui a astfelîncât f(x) � f(a) pentru orice x = (x1; x2; : : : ; xm) 2 D \ V (a). Spunem c¼apunctul a 2 D este punct de minim local dac¼a exist¼a o vecin¼atate V (a) a luia astfel încât f(x) � f(a) pentru orice x 2 D \ V (a).Punctele de maxim local respectiv de minim local le numim puncte de ex-

trem local.Observatie. Când inegalit¼atile din De�nitia 2.5.1 sunt îndeplinite pentru

orice x 2 D vom avea puncte de extrem global.De�nitia 1.5.2. Spunem c¼a punctul interior a = (a1; a2; : : : ; am) 2 D este

punct stationar al functiei f : D ! R, D � Rm, dac¼a exist¼a derivatele partiale@ f(a)@xk

, k = 1;m, si @ fk(a)@xk

= 0, pentru k = 1;m.

1.5.2. Conditii necesare pentru existenta extremelor locale

Din de�nitia punctului de extrem local se constat¼a c¼a diferenta f(x)� f(a)trebuie s¼a-si p¼astreze semnul pe o întreag¼a vecin¼atate a punctului a asa încâtacesta s¼a �e punct de extrem. A stabili acest semn se dovedeste adesea a � oproblem¼a di�cil¼a. Dar în cazul functiilor care admit derivate partiale se obtinniste conditii necesare de extrem exprimabile foarte simplu. Are locTeorema 1.5.1. Fie f : D ! R, D � Rm, o functie de m variabile care are

punctul interior a = (a1; a2; : : : ; am) 2 D punct de extrem local. Dac¼a exist¼aderivatele partiale @f(a)

@ xk, k = 1;m, atunci (2.5.1.) @f (a)

@ xk=0, k=1;m.

Observatie. Relatiile (1.5.1) constituie conditiile necesare ca un punct in-terior a 2 D s¼a �e punct de extrem pentru functia f care are derivate partialede ordinul întâi. În fond se constat¼a c¼a punctele de extrem local (interioare) sea�¼a printre punctele stationare.

1.5.3. Conditii su�ciente pentru existenta extremelor locale

Consider¼am functia de m variabile f : D ! R, D � Rm, care are derivatelepartiale pân¼a la ordinul doi continue într-o vecin¼atate V (a) a punctului stationara = (a1; a2; : : : ; am). Atunci formula lui Taylor, pentru k = 2 si x 2 D \ V (a),este f(x) = f(x1; x2; : : : ; xm) = f(a) + df(a)(dx) + d

2f(a)(dx) +R2:Dar, cum a este punct stationar, rezult¼a c¼a df(a)(dx) = 0, si în consecint¼a

putem scrie (2.5.2.)f(x)� f(a) = d2f(a)(dx) +R2:

Are loc urm¼atorul rezultat care evidentiaz¼a conditiile su�ciente pentru existenta extremelor locale

18

Teorema 1.5.2. Fie f : D ! R, D � Rm o functie de m variabile careare derivatele partiale pân¼a la ordinul doi continue într-o vecin¼atate V (a) apunctului stationar a = (a1; a2; : : : ; am) 2 D. Dac¼a:

d2f(a)(dx) > 0 atunci a este un punct de minim local;d2f(a)(dx) < 0 atunci a este un punct de maxim local.Observatii. 1. Inegalit¼atile d2f(a)(dx) < 0 respectiv d2f(a)(dx) > 0 arat¼a

c¼a forma p¼atratic¼a d2f(a)(dx) este negativ de�nit¼a respectiv pozitiv de�nit¼a siconstituie conditiile su�ciente de extrem. Când forma p¼atratic¼a d2f(a)(dx) estenede�nit¼a punctul stationar a nu este punct de extrem.2. Dac¼a forma p¼atratic¼a d2f(a)(dx) este semipozitiv de�nit¼a sau semine-

gativ de�nit¼a problema privind natura punctului stationar r¼amâne deschis¼a.Adic¼a sunt cazuri când a este punct de extrem f¼ar¼a ca d2f(a)(dx) s¼a �e de�nit¼a,respectiv sunt cazuri când a nu este punct de extrem f¼ar¼a ca d2f(a)(dx) s¼a �enede�nit¼a.3. Sintetizând toate cele spuse pân¼a acum putem preciza etapele ce trebuie

parcurse pentru a g¼asi punctele de extrem locale interioare.1� Se determin¼a punctele stationare ale functiei f prin rezolvarea sistemului

de ecuatii (2.5.1.).2� Se calculeaz¼a derivatele partiale de ordinul doi în �ecare punct stationar a

si se determin¼a natura formei p¼atratice d2f(a) (dx). În raport cu natura acesteiase precizeaz¼a tipul punctului stationar a.3� Dac¼a a este punct de extrem local se calculeaz¼a valoarea extrem¼a pentru

functia f .

1.6. Optimizarea unor procese de stocare deterministe

Una din principalele aplicatii ale determin¼arii punctelor de extrem este dindomeniul stocurilor deterministe.Orice unitate economic¼a, pentru a-si putea desf¼asura procesul de productie

are nevoie de stocuri de materii prime, de piese de schimb etc. Ne �x¼am atentiaasupra stocului unui singur tip de produ. Nivelul stocului N (t) variaz¼a îb timpdatorit¼a consumului (iesirilor) când se diminueaz¼a sau datorit¼a aprovizion¼arilor(intr¼arilor) când nivelul creste.Pentru simplitate se presupune c¼a nivelul stocului se diminueaz¼a în mod

uniform (treptat) pân¼a în momentul când are loc o nou¼a aprovizionare.Studiul unui proces de stocare de obicei se face pe o perioad¼a de studiu,

durata c¼areia se noteaz¼a cu � (în zile). Intervalul de timp dintre intr¼ari succesiveîn stoc, va � numit perioad¼a de aprovizionare, durata ei notându-se cu T (înzile). Num¼arul perioadelor de aprovizionare din perioada de studiu, se noteaz¼acu n.Cantitatea care intr¼a în stoc (deci cu care se face aporovizionarea) se va nota

cu v (buc¼ati, unit¼ati), iar cererea (consumul) dintr-o perioad¼a de aprovizionarese noteaz¼a cu u (în buc¼ati, unit¼ati).Pentru crearea stocului se fac anumite cheltuieli (de lansare ale comenzii, de

achizitie etc.) pe care le vom numi cheltuieli de lansare si pe care le vomconsidera �xe pe �ecare perioad¼a de aprovizionare, notându-le cu Cl (în unit¼atimonetare (u.m.)).P¼asatrarea în bune conditii, paza, etc. pentru produsele ce se stocheaz¼a

genereaz¼a asa zisele cheltuieli de stocare, ele exprimîndu-se cu ajutorul cos-tului unitar de stocare, notat cs (în u.m./buc./zi).

19

La unele modele de gestiune se evidentiaz¼a si cheltuielile de penalizare(pierderile) datorate lipsei produselor din stoc, ele exprimându-se cu ajutorulcostuloui unitar de penalizare, notat cp(în u.m./buc./zi)În cele ce urmeaz¼a vom prezenta dou¼a modele de gestiune alke stocurilor

(cele mai simple) în care, dându-se anumite elemente (considerate cunoiscute,date), se cer a � determinate celelalte (considerate necunoscute).

1.6.1. Modelul cu perioad¼a �x¼a, cerere constant ¼a, f¼ar¼a ruptur¼a(Modelul Wilson-Within)

La acest model perioada de aprovizionare T se consider¼a �x¼a, consumul(cererea) u pe aceast¼a perioad¼a se va lua constant¼a, iar f¼ar¼a ruptur¼a înseamn¼ac¼a u = v; adic¼a se aduce atât cât se consum¼a.Având în vedere aceste preciz¼ari se va organiza aprovizionarea de �ecare

dat¼a asa încât cantitatea v cu care se face aprovizionarea s¼a soseasc¼a în stocexact în momentul în care nivelul stocului a ajuns la zero, deci nu se va produce�ruptura�stocului.Problema care se formuleaz¼a este: Fiind date (cunoscute) elementele: � ; V;

Cl;cs, se cer a � determinate elementele (necunoscute): v = u; n; T astfel încâtcheltuielile totale legate de gestiune, C� , s¼a �e minime.Prima dat¼a evalu¼am chelutielile, CT , ce se fac pe o perioad¼a de aprovizionare.

La acest model se evidentiaz¼a numai cheltuielile de lansare ale comenzii care suntCl, si cheltuielile de stocare care sunt cs � v2 �T , unde

v2 reprezint¼a nivelul mediu

al stocului pe perioada T . În consecint¼a putem scrie

CT = Cl + cs �v

2� T .

Având în vedere ipotezele în care lucr¼am sunt adev¼arate si relatiile(1.6.1.) n = �

T =Vv .

Astfel, cum C� = nCT , prin înlocuirew obtinem expresia �nal¼a

C� = Cl �V

v+ cs �

v

2� �

Aici se constat¼a c¼a exist¼a o singur¼a necunoscut¼a, v. De aceea problemareformulat¼a este: s¼a se a�e cantitatea v cu care se face aprovizionarfea astfelîncât functia f : (0;1)! R, dat¼a prin

f (v) = Cl �V

v+ cs �

v

2� �

s¼a aib¼a valoarea minim¼a.Aceast¼a functie f este de o singur¼a variabil¼a, este derivabil¼a, si în consecint¼a

minimul (extremul) s¼au se determin¼a în mod obisnuit. Întrucât ecuatia

f 0 (v) = �Cl �V

v2+ cs �

�

2= 0

are unica solutie v = v0 =q

2ClV�cs

si f 00 (v) = 2ClVv3 > 0 rezult¼a c¼a v0 realizeaz¼a

un nminim pentru functia f . În consecint¼a v0 este valoarea optim¼a cu care

20

se face aprovizionarea (deci si cererea optim¼a pe perioada T la acest model).Celelalte necunoscute se exprim¼a usor având în vedere relatiile (2.5.1). Obtinem

n0 =Vv0, pentru num¼arul optim de aprovizion¼ari, si

T0 =�n0, pentru durata optim¼a a perioadei de aprovizionare.

Cheltuiala total¼a minim¼a pentru aceast¼a gestiune optim¼a este dat¼a prin re-latiile:

C� min = fmin = fv0 =p2ClV �cs = csv0� .

1.6.2.Modelul cu perioad¼a �x¼a, cerere constant¼a, cu ruptur¼a

Se p¼astreaz¼a toate consideratiile de la modelul precedent cu exceptia faptuluic¼a acum se poate produse ruptura stocului, adic¼a u > v. De fapt constat¼amc¼a se face o aprovizionare cu o cantitate v mai mic¼a decât cererea u si asa sepoate produce ruptura. În consecint¼a perioada de aprovizionare T se împarteîn dou¼a subperioade T1 si T2. Pe subperioada T1 nivelul stocului este pozitiv iarpe subperioada T2 nivelul stocului este zero (acum se produce ruptura stocului).Formul¼am problema:Fiind date (cunoscute) elementele: � ; V; Cl; cs si cp, se cer a � determinate

elementele (necunoscute): u; v; n; T; T1; T2 astfel încât cheltuielile totale legatede gestiune, C� , s¼a �e minime.Mai întâi exprim¼am cheltuielile CT ce fac pe o perioad¼a de aprovizionare.

La acest model se evidentiaz¼a pe o perioad¼a de aprovizionare trei categorii decheltuieli:- de lansare ale comenzi, care sunt ClT;- de stocare pe subperioada T1, care sunt cs � v2 � T1 side penalizare (pierderile) pe subperioada T2, care sunt cp u�v2 T2, unde u�v

2este lipsa medie.În consecint¼a putem scrie

CT = Cl + cs �v

2� T1 + cp

u� v2

T2.

Acum în locul relatiilor (1.6.1) avem(1.6.2.) n = �

T =Vu

În plus, ipotezele în care lucr¼am ne permit s¼a scriem si relatiile(1.6.3.) T1 =

vu � T; T2 =

u�vu T

Astfel, cum C� = nC� , prin toate înlocuirile necesare, obtinem expresia�nal¼a

C� = Cl �V

u+ cs �

v2

2u� + cp

(u� v)2

2u� .

În naceast¼a exprimare a cheltuielilor totale legate de gestiune pe perioadade studiu � sunt numai dou¼a necunoscute u; v.Putem astfel reformula problema de mai sus astfel: s¼a se a�e necunos-

cutele u (cererea pe perioada de aprovizioanre) si v (cantitatea cu care se faceaprovizionarea) astfel încât functia de dou¼a variabile f : (0;1) � (0;1) ! Rdat¼a prin

f (u; v) = Cl �V

u+ cs

v2

2u� + cp

(u� v)2

2u�

21

s¼a aib¼a valoarea minim¼a.Am obtinut astfel o problem¼a de extrem (minim) pentru functia de dou¼a

variabile f , care �ind derivabil¼a partial ne permite s¼a g¼asim minimul (extremul)în mod obisnuit. Ecuatiile:

@f

@u= �Cl

V

u2� cs

v2

2u2� + cp

2 (u� v)u� (u� v)2

2u2� = 0

@f

@v= cs

v

u� � cp

u� vu

� = 0

conduc la unica solutie (u0; v0) dat¼a prin

u = u0 =

s2ClV

�cs�; v = v0 = �u0,

unde � = cpcs+cp

poart¼a numele de �indicele de lips¼a�.Folosind conditiile su�cinete de extrem se constat¼a c¼a solutie (u0; v0) con-

stituie un punct de minim. Astfel v0 este cantitatea optim¼a cu care se va faceaprovizionarea, iar u0 reprezint¼a cererea optim¼a pe o perioad¼a de aprovizionare.Celelalte necunoscute se exprim¼a acum usor având în vedere relatiie (2.5.2)

si (2.5.3).Astfeln0 =

Vu0, pentru num¼arul optim de aprovizion¼ari,

T0 =�n0, pentru durata optim¼a a unei perioade de aproviuzionare,

T1o =v0n0T0 = �T0, pentru durata optim¼a a subperioadei pe care nivelul

stocului este pozitiv.T2o =

u0�v0u0

T0 = (1� �)T0, pentru durata optim¼a a subperioadei pe carenivelul stocului este zero (subperioada de ruptur¼a a stocului).Cheltuiala total¼a minim¼a pentru aceast¼a gestiune optim¼a este dat¼a prin re-

latiile

C� min = fmin = f (u0; v0) =p2ClV �cs� =s v0� .

Observatii. 1. Întrucât � = cpc0+cp

< 1 rezult¼a c¼a v = �u < u, deci vomavea ruptura stocului.2. Comparând valorile minime ale celor dou¼a cheltuieli totale de la cele dou¼a

modele se constat¼a c¼a la modelul doi se obtine o chletuial¼a total¼a mai mic¼a decâtcea de la modelul întâi.

1.7. Ajustarea datelor experimentale

S¼a presupunem c¼a legile teoretice care guverneaz¼a procesul în care apar celedou¼a m¼arimi m¼asurabile ne asigur¼a c¼a dependenta dintre aceste dou¼a m¼arimieste descris¼a de relatia y = f(x), unde f 2 F , unde F este o clas¼a precizat¼a defunctii reale de o variabil¼a real¼a. Se pune atunci problema determin¼arii aceleifunctii f din clasa F care d¼a cât mai bine dependenta lui y de x în procesulconcret respectiv.S¼a admitem c¼a n observatii experimentale asupra procesului respectiv dau

pentru x si y valorile din tabelul urm¼ator:

22

x x1 x2 � � � xny y1 y2 � � � yn

Problema pus¼a revine la determinarea functiei f din clasa F ale c¼arei valoriîn punctele x1; x2; : : : ; xn s¼a "se apropie cât mai mult" de datele determinateexperimental.O m¼asur¼a a �apropierii�functiei f de datele experimentale este

Pni=1(f(xi)�

yi)2:

Determinarea functiei f din clasa F pentru carenPi=1

(f(xi) � yi)2 are cea

mai mic¼a valoare posibil¼a va � numit¼a ajustarea datelor experimentale dintabelul

x x1 x2 � � � xny y1 y2 � � � yn

cumetoda celor mai

mici p¼atrate.În cele ce urmeaz¼a vom considera cazul când F este clasa functiilor polino-

miale de grad cel mult m în nedeterminata x, adic¼aF =

�Pm(x) =

Pmk=0 akx

kj ak 2 R; k = 0;m:

A determina functia f revine atunci la a determina coe�cientii a0; a1; : : : ; am.S¼a not¼am F (a0; a1; : : : ; am) =

Pni=1(Pm(xi)� yi)2:

Problema pus¼a se reduce atunci la problema determin¼arii punctului de minimal functiei F .Punctele stationare ale functiei F sunt solutiile sistemuluiF 0aj (a0; a1; : : : ; am) = 0; j = 0;mcare conduce la sistemul normal8>><>>:

s0a0 + s1a1 + � � �+ smam = t0s1a0 + s2a1 + � � �+ sm+1am = t1: : :sma0 + sm+1a1 + � � �+ s2mam = tm:

unde avem sumele sl =nPi=1

xli si tl =nP

i=1

xliyi:

Aceste sume pot � determinate completând tabelul urm¼atorx0i x1i x2i � � � x2mi x0i yi x1i yi � � � xmi yi1 x1 x21 x2m1 y1 x1y1 xm1 y11 x2 x22 x2m2 y2 x2y2 xm2 y2...

......

......

......

1 xn x2n x2mn yn xnyn xmn yiPs0 s1 s2 � � � s2m t0 t1 � � � tm

în care coloanele x1i si x0i yi sunt date de tabelul de date experimentale.

Fie (a0; a1; : : : ; am) solutia unic¼a a sistemului normal. Atunci punctul(a0; a1; : : : ; am) este punctul stationar unic al functiei F .Având în vedere c¼a F (a0; a1; : : : ; am) =

Pni=1(Pm(xi)� yi)2;

deci c¼a F este o sum¼a de p¼atrate, se poate ar¼ata c¼a dac¼a F are un punct deextrem �nit atunci el este punct de minim si c¼a punctul stationar (a0; a1; : : : ; am)este întotdeauna punctul de minim al functiei F .În acest fel, etapa a doua a procedeului de determinare a extremelor functiei

F nu mai trebuie parcurs¼a si deci polinomul (de grad cel mult m) care ajusteaz¼a- în sensul metodei celor mai mici p¼atrate - datele experimentale considerate estePm(x) = a0 + a1x+ a2x

2 + � � �+ amxm:Mention¼am c¼a, dac¼a m = 1, în locul expresiei "s¼a se determine polinomul

de ajustare de grad cel mult unu", se mai utilizeaz¼a expresia "s¼a se ajusteze cu

23

o dreapt¼a", iar dac¼a m = 2, în locul expresiei "s¼a se determine polinomul deajustare de grad cel mult doi", se mai utilizeaz¼a expresia "s¼a se ajusteze cu oparabol¼a". Aceste exprim¼ari se bazeaz¼a pe faptul c¼a imaginea geometric¼a a unuipolinom de gradul întâi este o dreapt¼a, iar imaginea geometric¼a a unui polinomde gradul doi este o parabol¼a.

1.8. Exercitii si probleme rezolvate

1.8.1.S¼a se studieze existenta limitei functiilor de mai jos în punctele spec-i�cate iar atunci când este cazul s¼a se calculeze aceste limite.a) f(x; y) = x2+y2

jxj+jyj ; (0; 0); b) f(x; y) = xypxy+1�1 ; (0; 0); c) f(x; y) =

x2�y2x2+y2 ; (0; 0).Rezolvare. a) Domeniul de de�nitie al functiei este D = R2 n f(0; 0)g . (0; 0)

nu apartine domeniului D dar este punct de acumulare al s¼au. Avem:

jf(x; y)j = x2+y2

jxj+jyj �jx2j+jy2j+2jxjjyj

jxj+jyj = (jxj+jyj)2jxj+jyj = jxj+ jyj

si cum lim(x;y)!(0;0)

(jxj+ jyj) = 0, din criteriul major¼arii, rezult¼a c¼a

l = lim(x;y)!(0;0)

f(x; y) = 0:

b) f este de�nit¼a pentru�xy + 1 � 0pxy + 1� 1 6= 0 adic¼a pe D = f(x; y) 2

R2j xy � �1; xy 6= 0gl = lim

(x;y)!(0;0)f(x; y) = lim

(x;y)!(0;0)

xypxy+1�1 =

= lim(x;y)!(0;0)

xy(pxy+1+1)xy = lim

(x;y)!(0;0)

�pxy + 1 + 1

�= 2:

c) Domeniul de de�nitie al functiei este D = R2 n f(0; 0)g.lim

(x;y)!(0;0)f(x; y) = limx!0y=mx

f(x; y) = limx!0

x2�m2x2

x2+m2x2 = limx!0x2(1�m2)x2(1+m2) =

1�m2

1+m2 ;depinde de m si deci f nu are limit¼a în (0; 0).1.8.2. S¼a se cerceteze continuitatea functiei

f (x; y) =

(1�cos(x3+y3)

x2+y2 , dac¼a (x; y) 6= (0; 0)0, dac¼a (x; y) = (0; 0)

Rezolvare. f este continu¼a pe R2 n f(0; 0)g�ind o functie compusa de functiielementare. Mai r¼amâne de studiat continuitatea în punctul (0; 0). Avem:

l = lim(x;y)!(0;0)

1�cos(x3+y3)x2+y2 = lim

(x;y)!(0;0)

2 sin2�x3+y3

2

�x2+y2 =

= lim(x;y)!(0;0)

2 �sin2

�x3+y3

2

��x3+y3

2

�2 ��x3+y3

2

�2x2+y2 = 1

2 lim(x;y)!(0;0)

(x3+y3)2

x2+y2 :

Pentru a calcula limita l, aplic¼am inegalitatea Cauchy-Schwarz-Buniakowsky:(x3 + y3)2 = (x � x2 + y � y2)2 � (x2 + y2)(x4 + y4) � (x2 + y2)3Avem

0 � l � 12 lim(x;y)!(0;0)

(x2+y2)3

x2+y2 = 12 � 0 = 0 = f(0; 0)

adic¼a f este continu¼a si în origine si deci continu¼a pe tot spatiul R2.1.8.3. Folosind de�nitia s¼a se calculeze @f

@x ;@f@y în punctele precizate, pentru

functia de mai jos:

24

f(x; y) = x2 + y2 + xy, (2; 1)

Rezolvare. @f@x (2; 1) = lim

x!2

f(x;1)�f(2;1)x�2 = lim

x!2

(x2+1+x)�(4+1+2)x�2 =

limx!2

x2+x�6x�2 = lim

x!2(x+ 3) = 5

@f@y (2; 1) = lim

y!1

f(2;y)�f(2;1)y�1 = lim

y!1

(4+y2+2y)�(4+1+2)y�1 =

limy!1

y2+2y�3y�1 = lim

y!1(y + 3) = 4

1.8.4. S¼a se calculeze derivatele partiale de ordinul întâi pentru urm¼atoarelefunctii:a) f : D ! R, f(x; y) = x2 + y2 � 3axyb) f : D ! R, f(x; y) = y

x

c) f : D ! R, f(x; y) = ln�x+

px2 + y2

�(D este domeniul maxim de de�nitie.)Rezolvare. a) @f@x (x; y) = (x

2 + y2 � 3axy)0x = 2x� 3ay@f@y (x; y) = (x

2 + y2 � 3axy)0y = 2y � 3axb) @f@x (x; y) =

�yx

�0x= � y

x2 si @f@y (x; y) =

�yx

�0y= 1

x

c) @f@x (x; y) =�ln�x+

px2 + y2

��0x= 1

x+px2+y2

�x+

px2 + y2

�0x= 1p

x2+y2

@f@y (x; y) =

1

x+px2+y2

�x+

px2 + y2

�0y= y�

x+px2+y2

�px2+y2

1.8.5. S¼a se scrie diferentialele de ordinele unu, doi si trei pentru functiaf(x; y) = ln(xy) cu xy > 0Rezolvare. Derivatele partiale sunt:@f(x;y)@x = 1

x ;@f(x;y)@y = 1

y@2f(x;y)@x2 = � 1

x2 ;@2f(x;y)@x@y = 0; @2f(x;y)

@y2 = � 1y2

@3f(x;y)@x3 = 2

x3 ;@3f(x;y)@x2@y = 0; @3f(x;y)

@x@y2 = 0; @3f(x;y)@y3 = 2

y3

Diferentiala de ordinul intai este: df(x;y)(dx; dy) =@f(x;y)@x dx+@f(x;y)

@y dy =1xdx+

1ydy

Diferentiala de ordinul doi este:d2f(x;y)(dx; dy) =

@2f(x;y)@x2 dx2+2@

2f(x;y)@x@y dxdy+ @2f(x;y)

@y2 dy2 = � 1x2 dx

2�1y2 dy

2

Diferentiala de ordinul trei va �:

d3f(x;y)(dx; dy) =�@@xdx+

@@ydy

�(3)f(x; y) = @3f(x;y)

@x3 dx3+3@3f(x;y)@x2@y dx2dy+

3@3f(x;y)@x@y2 dxdy2+

+@3f(x;y)@x3 dy3 = 2

x3 dx3 + 2

y3 dy3

1.8.6. S¼a se scrie formula lui Taylor pentru functia f(x; y) = ex sin y înpunctul a = (a1; a2) = (0; 0) considerând k = 3.Rezolvare. Avem de scris:

f(x; y) = f(0; 0) + 11!

h@@xx+

@@yyi(1)

f(0; 0) + + 12!

h@@xx+

@@yyi(2)

f(0; 0)+

+ 13!

h@@xx+

@@yyi(3)

f(0; 0) + + 14!

h@@xx+

@@yyi(4)

f(�1; �2)

unde �1 2 (0; x) iar �2 2 (0; y), sau cu diferentiale f(x; y) =P3

i=0dif(0;0)

i! +14!d

4f(�1; �2)unde �1 si �2 se pot scrie astfel: �1 = �x si �2 = �y unde � 2 (0; 1).

25

Vom folosi prima formul¼a pe care o scriem astfel:

f(x; y) = f(0; 0)+hf(0;0)@x x+ f(0;0)

@y yi+ 12

h@2f(0;0)@x2 x2 + 2@

2f(0;0)@x@y xy + @2f(0;0)

@y2 y2i+

+ 16

h@3f(0;0)@x3 x3 + 3@

3f(0;0)@x2@y x

2y + 3@3f(0;0)@x@y2 xy

2 + @3f(0;0)@y3 y3

i+

+ 124

h@4f(�1;�2)

@x4 x4 + 4@4f(�1;�2)@x3@y x3y + 4@

4f(�1;�2)@x@y3 xy3 + 6@

4f(�1;�2)@x2@y2 x2y2 + @4f(�1;�2)

@y4 y4i

Calcul¼am în continuare derivatele partiale de ordinele unu, doi, trei si patru:@f(x;y)@x = ex sin y; @f(x;y)

@x = ex cos y; @2f(x;y)@x2 = ex sin y; @2f(x;y)

@x@y =

ex cos y; @2f(x;y)@y2 = �ex sin y

@3f(x;y)@x3 = ex sin y; @3f(x;y)

@x2@y = ex cos y; @3f(x;y)@x@y2 = �ex sin y; @3f(x;y)

@y3 =�ex cos y@4f(x;y)@x4 = ex sin y; @4f(x;y)

@x3@y = ex cos y; @4f(x;y)@x2@y2 = �ex sin y; @

4f(x;y)@x@y3 =

�ex cos y; @4f(x;y)@y4 = ex sin y

Dac¼a se fac înlocuirile în formula lui Taylor se obtine:f(x; y) = y+ xy+ 1

6 (3x2y� y3)+ 1

24 (x4 sin�x+4x3y cos�y� 4xy3 cos�y�

6x2y2 sin�y + y4 sin�y)e�x:c¼a deoarece x < 0 avem f(x; y) � 0. Dar f(a; 0) = 0, prin urmare punctul

(a; 0) este punct de maxim.1.8.7. O fabric¼a produce dou¼a tipuri de bunuri. Costul producerii acestor

bunuri este dat prin functia f(x; y), unde x si y reprezint¼a cantit¼atile produsedin �ecare tip de produs. S¼a se minimizeze costul când

f(x; y) = x3 + y3 � 9xy + 100:Rezolvare. Pentru început determin¼am punctele stationare.(

@f(x;y)@x = 3x2 � 9y = 0

@f(x;y)@y = 3y2 � 9x = 0

Solutiile sistemului, adic¼a (0; 0) si (3; 3), vor �punctele stationare ale functieif . Derivatele partiale de ordinul doi vor �

@2f(x;y)@x2 = 6x; @2f(x;y)

@x@y = �9; @2f(x;y)@y2 = 6y

si deci diferentialele de ordinul doi calculate în punctele stationare vor �d2f(0;0)(dx; dy) = �18dxdy

si d2f(3;3)(dx; dy) = 18dx2 � 18dxdy + 18dy2

Matricea asociat¼a primei diferentiale este A =

�0 �9�9 0

�Folosind aceast¼a matrice putem a�rma c¼a punctul stationar (0; 0) nu este

punct de extrem local.Matricea asociat¼a celei de-a doua diferentiale este

A =

�18 �9�9 18

�v

12L1+L2!L2

�18 �90 27

2

�v

12C1+C2!C2

�18 00 27

2

�= D:

Din forma matricei D rezult¼a c¼a forma p¼atratic¼a asociat¼a celei de-a douadiferentiale este pozitiv de�nit¼a. Deci punctul stationar (3; 3) este un punct deminim local. Valoarea minim¼a a costului este fmin = f(3; 3) = 73.1.8.8. La un depozit en-gros sunt solicitate într-un semestru 10.000 unit¼ati

dintr-un anumit produs. Cunoscând costul unitar de stocare de 5 u.m./unitate/zi

26

si cheltuielile de lansare ale comenzii de 11.250 u.m. s¼a se determine elementelece caracterizeaz¼a aceast¼a problem¼a de gestiune, exprimând în prealabil functiaf ce reprezint¼a cheltuielile totale legate de gestiune pe acel semestru.Rezolvare. Este vorba de o problem¼a de stoc cu perioad¼a �x¼a. cerere con-

stant¼a si f¼ar¼a ruptur¼a. Pe perioada de aprovizionare T se fac urm¼atoarele chel-tuieli:- cheltuieli de stocare cs � v2 � T =

5vT2 .

- cheltuieli de lansare Cl = 11:250 u.m.Deci cheltuielile totale pe perioada T vor �: CT = 11250 + 5vT

2 :

Întrucât n = Vv =

�T , iar pe semestrul � avem cheltuielile totale C� = nCT ,

obtinemC� = 11250u+ sau C� = 11250

Vv +

5v�2

Dar � = 1 semestru =180 zile si V = 10000, asa încât pentru C� = f(v)obtinem expresia

f(v) = 1125�105v + 450v

Atunci din f 0(v) = 0 g¼asim � 1125�105v2 + 450 = 0 adic¼a v =

q1125�105450 = 500,

deci vopt = 500 unit¼ati. Apoi nopt = Vvopt

= 20 ori, Topt = �nopt

= 9 zile iar

fmin = f(500) = 1125�105500 + 450 � 500 = 450:000u:m:

Exact aceleasi rezultate se obtin dac¼a se folosesc formulele pentru calcularea

acestor elemente. Într-adev¼ar, avem vopt =q

2clV�cs

=q

2�11250�10000180�5 = 500

unit¼atifmin = csvopt� = 5 � 500 � 180 = 450:000u:m:Analog nopt = 20 ori, Topt = 9 zile.1.8.9. Într-un an, dintr-un anumit produs sunt cerute 100.000 buc¼ati.

Cunoscând costul unitar de stocare de 0.9 u.m./bucat¼a/zi si cheltuielile delansare ale comenzii, �xe, de 40.500 u.m. precum si costul unitar de penalizarede 1,6 u.m./bucat¼a/zi, s¼a se determine elementele ce caracterizeaz¼a aceast¼aproblem¼a de stoc, utilizând functia cheltuielilor totale f(u; v).Rezolvare. Problema se încadreaz¼a în modelul de gestiune cu perioad¼a �x¼a,

cerere constant¼a, dar cu ruptur¼a. Cheltuielile care se fac într-o perioad¼a deaprovizionare T sunt:- de lansare, Cl = 40:500 u.m.- de stocare cs � v2 � T1 = cs � v

2

2uT = 0:9 �v2

2uT u.m.

- de penalizare cp � u�v2 T2 = 1; 6 � (u�v)2

2u T u.m.

Astfel cheltuielile pe perioada T , CT sunt: CT = 40:500 + 0:45 � v2u T +0; 8 (u�v)

2

u T

Cum n = Vu =

�T , iar cheltuielile pe perioada � = 1 an = 360 zile, C� , sunt

date prin C� = nCT obtinem: C� = 40:500 � Vu + 0; 45 �v2

u � + 0; 8(u�v)2u �

sau dac¼a not¼am C� = f(u; v) avem: f(u; v) = 405�107u + 162v

2

u + 288(u�v)2u

Din sistemul de ecuatii @f(u;v)@u = 0 si @f(u;v)@v = 0, adic¼a(

�405�107u2 � 162 v2u2 + 288 �

2(u�v)u�(u�v)2u2 = 0

2 � 162 � vu � 2 � 288 �u�vu = 0

se obtine uopt = 6250 buc¼ati, vopt = 4000 buc¼ati.Atunci nopt = V

uopt= 100:000

6250 = 16 ori,

27

Topt =�

uopt= 360

16 = 22; 5 zilefmin = f(6250; 4000) = 1:296:000u:m:

Rezultate similare se obtin dac¼a se folosesc formulele de calcul ale elementelorce caracterizeaz¼a gestiunea. Astfel, cum � =

c�cs+cp

= 1;62;5 = 0; 64 vom scrie doar:

uopt =q

2clV�cs�

=q

2�40�500�100:000360�0;9�0;64 = 6250 buc¼ati

vopt = �uopt = 4000buc¼atisi fmin = csvopt� = 0; 9 � 4000 � 360 = 1:296:000u:m:1.8.10. Fie datele numerice

x �1 0 1 2y 2 1 2 11

S¼a se ajusteze aceste date numerice:a) printr-un polinom de gradul întâi (o dreapt¼a)b) printr-un polinom de gradul doi (o parabol¼a)Rezolvare. a) Avem gradul polinomului m = 1, deci pentru scrierea sistemu-

lui normal trebuie calculate sumele s0; s1; s2 si sumele t0 si t1.

x0i x1i x2i x0i yi x1i yi1 �1 1 2 �21 0 0 1 01 1 1 2 21 2 4 11 22P4 2 6 16 22

Deci s0 = 4, s1 = 2, s2 = 6, t0 = 16 si t1 = 22. Sistemul normal este:�4a0 + 2a1 = 162a0 + 6a1 = 22

Solutia unic¼a a acestui sistem este: a0 = 135 ; a1 =

145

Atunci polinomul de ajustare de grad cel mult unu este P1(x) = 135 +

145 x;iar

dreapta de ajustare este dreapta de ecuatie y = 135 +

145 x.

b) Având m = 2, pentru scrierea sistemului normal vom calcula sumeles0 = 4, s1 = 2, s2 = 6, s3 = 8, s4 = 18, t0 = 16, t1 = 22, t2 = 48.

Sistemul normal va �:

8<: 4a0 + 2a1 + 6a2 = 162a0 + 6a1 + 8a2 = 226a0 + 8a1 + 18a2 = 48

ce admite solutia unic¼a a0 = 110 ; a1 =

310 ; a2 =

2510 :Polinomul de ajustare

de grad cel mult 2 este P2(x) = 110 +

310x +

2510x

2 iar parabola de ajustare esteparabola de ecuatie: y = 0; 1 + 0; 3x+ 2; 5x2

Teme de control1.9. Exercitii si probleme propuse

1.9.1. S¼a se studieze existenta limitelor functiilor de mai jos în punctelespeci�cate iar atunci când este cazul s¼a se calculeze aceste limite:

a) f(x; y) =sin(x3+y3)x2+y2 ; (0; 0); b) f(x; y) = y2+x

y2�x ; (0; 0); c) f(x; y) =p1� x2 � y2;

�12 ;

12

�.

28

R¼aspuns. a) D = R2 n f(0; 0)g, l = 0, b) D = f(x; y) 2 R2j x 6= 0; y 6=0; x 6= y2g, nu exist¼a limita lui f ,c) D = f(x; y) 2 R2j x2 + y2 � 1g este discul cu centrul în originea axelor

de coordonate si de raz¼a 1, l =p22 .

1.9.2. S¼a se cerceteze continuitatea urm¼atoarelor functii:

f (x; y) =

(3xy2

2x2+9y4 ; dac¼a (x; y) 6= (0; 0)0; dac¼a (x; y) = (0; 0)

R¼aspuns. f continu¼a pe R2 n f(0; 0)g1.9.3. S¼a se calculeze derivatele partiale de ordinul întâi pentru urm¼atoarele

functii:a) z = f(x; y) = x�y

x+y , b) z = f(x; y) = xpx2+y2

, c) z = arctg yx

R¼aspuns. a) @z@x =

2y(x+y)2

, @z@x = � 2x

(x+y)2, b) @z

@x =y2

3p(x2+y2)2

, @z@y =

� y2

3p(x2+y2)2

;c) @z@x = �

yx2+y2 ,

@z@y =

xx2+y2 ,

1.9.4. S¼a se calculeze derivatele partiale de ordinul doi si trei pentru functiaf(x; y; z) = x2yz3

R¼aspuns. a) @2f(x;y;z)@x2 = 2yz2; @2f(x;y;z)

@y2 = 0,@2f(x;y;z)@z2 = 6x2yz; @2f(x;y;z)

@x@y =

2xz3; @2f(x;y;z)@x@z = 6xyz2; @2f(x;y;z)

@y@z = 3x2z2

@3f(x;y;z)@x3 = 0; @3f(x;y;z)

@x2@y = 2z2; @3f(x;y;z)@x2@z = 4yz; @

3f(x;y;z)@y3 = 0; @3f(x;y;z)

@y2@z =

0; @3f(x;y;z)@z3 = 6x2y

@3f(x;y;z)@x@y2 = 0; @3f(x;y;z)

@x@y@z = 4xz; @3f(x;y;z)@x@z2 = 12xyz; @

3f(x;y;z)@y@z2 = 6x2z

1.9.5. S¼a se scrie diferentialele de ordinele doi si trei pentru functia f(x; y) =x2 � xy + 2y3 + 3x� 5y + 10R¼aspuns. d2f(x;y)(dx; dy) = 2dx2�2dxdy+12ydy2; d3f(x;y)(dx; dy) = 12dy31.9.6. S¼a se scrie formula lui Taylor când k = 2 pentru functia f(x; y) =p

x+ y, în punctul (1; 0).

R¼aspuns.px+ y = 1 + x+y�1

2 � (x+y�1)28 + (x+y�1)3

16[1+�(x+y�1)]3 , � 2 (0; 1).1.9.6. S¼a se determine punctele de extrem local pentru functia f(x; y) =

�2x2 + 2xy � 5y2 + 6x+ 6y, (x; y) 2 R2,R¼aspuns. fmax = f(2; 1) = 9

1.9.7. Dintr-un anumit sortiment de produse sunt cerute într-un trimestru5000 unit¼ati. Având costul unitar de stocare de 2 u.m./unitate/zi, costul unitarde penalizare de 8000 u.m./unitate/zi si cheltuielile de lansare ale comenzilorde 4500 u.m. si scriind mai întâi expresia functiei f , ce reprezint¼a cheltuieliletotale s¼a se optimizeze gestiunea acestui stoc cu ruptur¼a.

R¼aspuns. f(u; v) = 225�105u + 90v2

u + 36�104(u�v)2u , � = 0; 99975, uopt = 500; 06

unit¼ati, vopt = 499; 94 unit¼ati, nopt = 9; 99 ori, Topt = 9; 001 zile, fmin =89989; 2 u.m.1.9.8. La o întreprindere de reparatii se consum¼a într-un trimestru 5000

buc¼ati dintr-un tip de piese de schimb. Cunoscând costul unitar de stocare de 2u.m./bucat¼a/zi precum si cheltuielile de lansare în fabricatie ale acestui tip deprodus de 4500 u.m. se cere:a) s¼a se deduc¼a expresia functiei f , a cheltuielilor totale;b) s¼a se determine elementele ce caracterizeaz¼a aceast¼a problem¼a de stoc

f¼ar¼a ruptur¼a.

29

R¼aspuns. a) f(v) = 225�105v +90v;b) vopt = 500 buc¼ati, nopt = 10 ori, Topt = 9

zile, fmin = 201:240 u.m.1.9.9. Se consider¼a datele numerice:

x �2 0 1 2y 48 32 9 8

S¼a se ajusteze aceste date numerice printr-o dreapt¼a si g¼asiti apoi valoarealui y în punctul x = 3.R¼aspuns. y = �10; 89x+ 26; 97; y(3) = �5; 69

Rezumat modul

In acest capitol s-au prezentat de�nitii si concepte de baza legate de functiilereale de mai multe variabile reale cum sunt: elemente de topologie ale spatiu-lui Rn, produs scalar, spatii normate, spatii metrice, siruri de puncte din Rn,limite de functii si continuitatea lor de la Rn la R; derivate partiale si difer-entiala. Au fost prezentate notiunile de derivate partiale si derivate de ordinsuperior, formula lui Taylor pentru functiile de mai multe variabile, extremelefunctiilor de mai multe variabile (conditii necesare si su�ciente pentru existentaextremelor locale), precum si optimizarea unor procese de stocare deterministe.De asemenea s-au prezentat si notiuni legate de ajustarea prin metoda celor maimici patrate a datelor experimentale, precum si polinomul de interpolare al luiLagrange.

Bibliogra�e modul

1. Colectiv, Elemente de Algebra liniara si Analiza matematica pentrueconomisti, Ed. Todesco, Cluj-Napoca, 2003.2. Mihoc M., Mihoc I., Matematici aplicate in economie. Analiza matema-tica, Ed. Presa Universitara Clujeana, Cluj-Napoca, 2000,3. Muresan A.S., Blaga P., Matematici aplicate in economie, vol. I, Ed.

Transilvania Press, Cluj-Napoca, 1996

UNITATEA 2. Integrale Euler2.1. Integrala lui Euler de speta întâi. Functia beta

De�nitia 2.1. Se numeste integrala lui Euler de speta întâi integralaZ 1

0

xp�1(1� x)q�1dx;

care pentru p < 1 este o integral¼a improprie având ca punct critic pe 0 si pentruq < 1 este o integral¼a improprie având ca punct critic pe 1.Se arata ca integrala lui Euler de speta intai este convergenta pentru p > 0

si q > 0: Astfel putem de�ni o functie reala de dou¼a variabile reale B : (0;1)�(0;1)! R prin relatia

B(p; q) =

Z 1

0

xp�1(1� x)q�1dx:

30

Aceast¼a functie se numeste functia lui Euler de speta întâi sau functiabeta.În continuare vom da câteva propriet¼ati ale functiei beta.

(B1) B (p; 1) =1

pÎntr-adev¼ar,

B(p; 1) =

Z 1

0

xp�1(1� x)1�1dx =Z 1

0

xp�1dx =x�

p

��10

=1

p:

În particular, pentru p = 1 se obtine

B(1; 1) = 1:

(B2)

B

�1

2;1

2

�= �:

Într-adev¼ar, avem

B

�1

2;1

2

�=

Z 1

0

x12�1(1� x) 12�1dx =

Z 1

0

1px (1� x)

dx;

integral¼a pe care o putem calcula utilizând substitutia lui Eulerpx(1� x) = tx;

de unde se g¼aseste

x = '(t) =1

1 + t2

si deci '0(t) =�2t

(1 + t2)2 .

Pentru ca x = 0 trebuie ca t =1 si pentru ca x = 1 trebuie ca t = 0.Deci

Z 1

0

1px (1� x)

dx =

Z 0

1

1

t : 11+t2

�2t(1 + t2)

2 dt = �2Z 0

1

1

1 + t2dt = 2

Z 1

0

1

1 + t2dt

= 2 arctg j10 = 2(arctg1� arctg 0) = 2��2� 0�= �:

(B3)

B(p; q) = B(q; p):

Într-adev¼ar, avem

B(p; q) =

Z 1

0

xp�1(1� x)q�1dx

din care, f¼acând substitutia x = (t) = 1� t se obtine

31

B(p; q) =

Z 1

0

(1� t)p�1(1� (1� t))q�1(1� t)0dt = �Z 1

0

(1� t)p�1tq�1dt =

=

Z 1

0

tq�1(1� t)p�1dt =Z 1

0

xq�1(1� x)p�1dx = B(q; p):

(B4) Dac¼a p > 1 atunci

B(p; q) =p� 1

p+ q � 1B(p� 1; q):

Într-adev¼ar, dac¼a integr¼am prin p¼arti punând

f(x) = xp�1 si g0(x) = (1� x)q�1

obtinem

B(p; q) =

Z 1

0

xp�1(1�x)q�1dx = xp�1q� (1� x)q

q

��10

�Z 1

0

(p�1)xp�2 : � (1� x)q

qdx =

=p� 1q

Z 1

0

xp�2(1� x)qdx = p� 1q

Z 1

0

xp�2(1� x)(1� x)q�1dx =

=p� 1q

Z 1

0

(xp�2�xp�1)(1�x)q�1dx = p� 1q

Z 1

0

[xp�2(1�x)q�1�xp�1(1�x)q�1]dx =

=p� 1q

�Z 1

0

xp�2(1� x)q�1dx�Z 1

0

xp�1(1� x)q�1dx�=p� 1q

[B (p� 1; q)�B (p; q)] .

Deci am obtinut egalitatea

B(p; q) =p� 1q

[B (p� 1; q)�B (p; q)] ,

din care se obtine imediat

B(p; q) =p� 1

p+ q � 1B (p� 1; q) :

Mention¼am c¼a ipoteza p > 1 este necesar¼a pentru ca p � 1 > 0 si deciB(p� 1; q) s¼a existe.Proprietatea (B4) demonstrat¼a aici permite micsorarea cu o unitate a primu-

lui argument al functiei B. Ea poate � utilizat¼a succesiv atâta timp cât primulargument r¼amâne pozitiv.(B5) Dac¼a q > 1 atunci

B(p; q) =q � 1

p+ q � 1B(p; q � 1):

32

Aceast¼a proprietate rezult¼a usor din propriet¼atile (B4) si (B3). Într-adev¼ar,avem succesiv

B(p; q) = B(q; p) =q � 1

p+ q � 1B(q � 1; p) =q � 1

p+ q � 1B(p; q � 1):

Proprietatea (B5) permite micsorarea cu o unitate a celui de al doilea argu-ment al functiei B. Ea poate � de asemenea utilizat¼a succesiv atâta timp cât aldoilea argument r¼amâne pozitiv.Observ¼am astfel c¼a prin utilizarea convenabil¼a a propriet¼atilor (B4) si (B5)

se poate calcula B(p; q) pentru p > 1 si q > 1 dac¼a se cunoaste B(fpg; fqg),unde fxg noteaz¼a partea fractionar¼a a lui x.Exist¼a tabele cu valori ale lui B(p; q) pentru 0 < p � 1 si 0 < q � 1.Exemplu de utilizare a propriet¼atilor (B4) si (B5).Avem

B

�3

2;5

2

�=

32 � 1

32 +

52 � 1

B

�3

2� 1; 5

2

�=1

6B

�1

2;5

2

�=

=1

6

52 � 1

12 +

52 � 1

B

�1

2;5

2� 1�=1

6� 34B

�1

2;3

2

�=

=1

6� 34�

32 � 1

12 +

32 � 1

B

�1

2;3

2� 1�=1

6� 34� 12B

�1

2;1

2

�=

=1

6� 34� 12� � = 1

16�:

(B6) Dac¼a m 2 N� si n 2 N� atunci

B(m;n) =(m� 1)! (n� 1)!(m+ n� 1)! :

Aceast¼a relatie rezult¼a din utiliz¼ari succesive ale propriet¼atilor (B4) si (B5)astfel

B(m;n) =m� 1

m+ n� 1B(m� 1; n) =m� 1

m+ n� 1m� 2

m+ n� 2B(m� 2; n) =

= � � � = m� 1m+ n� 1

m� 2m+ n� 2 � � � � �

1

n+ 1B(1; n) =

=m� 1

m+ n� 1m� 2

m+ n� 2 � � � � �1

n+ 1

n� 11 + n� 1B(1; n� 1) =

=m� 1

m+ n� 1m� 2

m+ n� 2 � � � � �1

n+ 1

n� 1n

n� 21 + n� 1� 1B(1; n� 2) = : : :

=m� 1

m+ n� 1m� 2

m+ n� 2 � � � � �1

n+ 1

n� 1n

n� 2n� 1 � � � � �

1

1B(1; 1) =

33

=1 � 2 � ::: (m� 2) (m� 1) � 1 � 2::: (n� 2) (n� 1)

1 � 2 � ::: (m+ n� 2) (m+ n� 1) � 1 =

=(m� 1)! (n� 1)!(m+ n� 1)!

Astfel, de exemplu

B(5; 4) =4! � 3!8!

=1

280:

(B7) Dac¼a 0 < p < 1 atunci

B(p; 1� p) = �

sin p�:

Omitem aici demonstrarea acestei propriet¼ati. Din (B7) se obtine imediat

(B2) luând p =1

2

B

�1

2; 1� 1

2

�=

�

sin �2= �:

2.2. Integrala lui Euler de speta a doua. Functia gama

De�nitia 2.2. Se numeste integrala lui Euler de speta a doua integralaZ 1

0

xa�1e�xdx;

care este o integral¼a improprie (având limita superioar¼a de integrare 1) si înplus dac¼a a < 1 are punct critic si pe 0.Se arata c¼a integrala improprie

R 10xp�1e�xdx este convergent¼a dac¼a p > 0.

Acest rezultat ne permite s¼a de�nim functia real¼a de o variabil¼a real¼a � :(0;1)! R prin relatia

�(p) =

Z 1

0

xp�1e�xdx:

Aceast¼a functie se numeste functia lui Euler de speta a doua sau functiagama.În continuare vom da câteva propriet¼ati ale functiei gama.(�1) �(1) = 1.Într-adev¼ar, avem

�(1) =

Z 1

0

x1�1e�xdx =

Z 1

0

e�xdx = �e�x��10= 0� (�1) = 1:

(�2) Dac¼a p > 1, atunci

�(p) = (p� 1)�(p� 1):

Într-adev¼ar, dac¼a integr¼am prin p¼arti punând f(x) = xp�1 si g0(x) = e�x,avem succesiv

34

�(p) =

Z 1

0

xp�1e�xdx = xp�1 (�e�x)��10�

�Z 1

0

(p� 1)xp�2(�e�x)dx = � xp�1

ex

��10

+

+(p� 1)Z 1

0

xp�2e�xdx = (p� 1)�(p� 1):

Mention¼am c¼a ipoteza p > 1 este necesar¼a pentru a exista �(p� 1).Proprietatea �2) permite micsorarea cu o unitate a argumentului functiei

gama. Prin utiliz¼ari succesive ale acestei propriet¼ati, calculul lui �(p) pentrup > 1 poate � redus la calculul lui �(fpg).Exist¼a tabele cu valori ale functiei gama pentru 0 < p � 1.(�3) Dac¼a m 2 N�, atunci

�(m) = (m� 1)!

Într-adev¼ar, utilizând succesiv proprietatea �2), obtinem

�(m) = (m� 1)�(m� 1) = (m� 1)(m� 2)�(m� 2) =

= � � � = (m� 1)(m� 2) : : : 1�(1) = (m� 1)!�(1) = (m� 1)!

Proprietatea �3) sugereaz¼a faptul c¼a functia gama este o generalizare a fac-torialului.S¼a observ¼am în continuare c¼a dac¼a în proprietatea B6) a functiei beta,

B(m;n) =(m� 1)! (n� 1)!(m+ n� 1)! ;

utiliz¼am în locul factorialului valori ale functiei gama date de proprietatea �3)obtinem

B(m;n) =� (m) � (n)

� (m+ n); 8 m;n 2 N�:

Aceast¼a relatie dintre functiile beta si gama r¼amâne adev¼arat¼a si pentruargumente reale, adic¼a are loc proprietatea

(�4) B(p; q) =� (p) � (q)

� (p+ q); 8 p > 0 si 8 q > 0;

cunoscut¼a sub denumirea de relatia lui Euler.

(�5) �

�1

2

�=p�:

Într-adev¼ar, dac¼a în relatia lui Euler lu¼am a = b =1

2, obtinem

B

�1

2;1

2

�=��12

��12

��12 +

12

� :Dar B

�1

2;1

2

�= �, iar �(1) = 1, deci

35

� =

��

�1

2

��2;

din care rezult¼a ��1

2

�=p�.

2.3. Integrala Euler-Poisson

De�nitia 2.3. Integrala improprieZ 1

0

e�x2

dx

se numeste integrala Euler-Poisson.Deoarece functia dat¼a prin relatia f(x) = e�x

2

este m¼arginit¼a pe (0;1),rezult¼a c¼a integrala Euler-Poisson este o integral¼a improprie pe interval nem¼arginit.Avem

limx!1

x�je�x2

j = limx!1

x�

ex2= 0 <1

pentru orice valoare a lui �, deci si pentru � > 1.Atunci, utilizând criteriul de convergent¼a-divergent¼a pentru integrale impro-

prii pe interval nem¼arginit, rezult¼a c¼a integrala Euler-Poisson este convergent¼a.Calculul ei poate � deci f¼acut ca si calculul unei integrale proprii.

Dac¼a utiliz¼am substitutia x = '(t) = t12 ; deci '0(t) =

1

2t�

12 , obtinemZ 1

0

e�x2

dx =

Z 1

0

e�t1

2t�

12 dt =

=1

2

Z 1

0

t12�1e�tdt =

1

2�

�1

2

�:

Dar ��1

2

�=p�, deci Z 1

0

e�x2

dx =1

2

p�:

Observatie. Prin calcule elementare se g¼asesc urm¼atoarele rezultateZ 1

�1e�x

2

dx =p� si

Z 1

�1e�

x2

2 dx =p2�:


2.4.1. S¼a se calculeze valorile functiilor lui Euler:a) � (6), b) �

�52

�, c) B (3; 5), d) B

�32 ;

12

�, e) B

�14 ;

54

�Solutie:a) � (6) = 5! = 120b) �

�52

�=�52 � 1

��52 � 1

�= 3

2��32

�= 3

2

�32 � 1

��32 � 1

�=

3212��12

�= 3

p�4

36

c) B (3; 5) = (3�1)!(5�1)!(3+5�1)! = 2! 4!

7! =485040 =

1105

d) B�32 ;

12

�=

�( 32 )�(12 )

�( 32+12 )

=12

p�p�

1! = �2

e) B�14 ;

74

�=

74�1

14+

74�1

B�14 ;

34

�=

34

1 B�14 ;

34

�= 3

4�

sin �4= 3

4�p22

= 3�2p2

2.4.2. Folosind integralele euleriene s¼a se calculeze integralele:a)R ba

dxp(x�a)(b�x)

, b)R12x e2�xdx, c)

R10

3px

1+x2 dx.

Solutie:a) Facem schimbarea de variabil¼a x�a

b�a = t; dx = (b� a) dt

Limitele de integrare:�x = a;) t = 0x = b;) t = 1

�

Deci,R ba

dxp(x�a)(b�x)

=R 10

(b�a)dtp(b�a)t(b�a)(1�t)

=R 10

dtpt(1�t)

=R 10t�

12 (1� t)�

12 dt = B

�12 ;

12

�= �

b) Facem schimbarea de variabil¼ax� 2 = t ) dx = dt Obtinem astfel:R12xe2�xdx =

R10(t+ 2) e�tdt =

R10te�tdt+2

R10e�tdt = � (2)+� (1) =

1! + 2 1 = 3c) Facem schimbarea de variabil¼a

x2 = t1�t ; dx =

12

�t1�t

�� 12 1(1�t)2 dtR1

0

3px

1+x2 dx =R 10

( t1�t )

16

1+ t1�t

12

�t1�t

�� 12 1(1�t)2 dt =

12

R 10t16�

12 (1� t)�

16+1+

12�2 dt

= 12

R 10t�

13 (1� t)�

23 dt = 1

2B�23 ;

13

�= 1

2B�13 ;

23

�= 1

2�

sin �3= 1

2�p32

= �p3.

Teme de control

2.5. Exercitii si probleme propuse:

2.5.1. S¼a se calculeze valorile functiilor lui Euler:a) � (8), b) �

�92

�, c)B (2; 2), d) B

�32 ;

32

�,

R¼aspuns:a) 5040, b) 105

p�

16 , c) 16 , d) �82.5.2. Folosind integralele euleriene s¼a se calculeze:a)R 10

px5 � x6dx, b)

R �2

0sin4 x cos2 x dx, c)

R10

x3dx(1+x3)2

, d)R10x2e�

x5 dx,

e)R10

3px

(1+x)4dx

R¼aspuns:a) 5�27 , b) �8 , c) 2�

p3

27 , d) 250, e) 10�p3

35

Rezumat

In aceasta unitate au fost introduse si studiate notiunile privind integraleleEuler de speta intai (functia beta), de speta a doua (functia gama), proprietatileacestora, precum si integrala Euler-Poisson.

Bibliogra�e

37

1. Colectiv, Elemente de Algebra liniara si Analiza matematica pentrueconomisti, Ed. Todesco, Cluj-Napoca, 2003.2. Colectiv, Elemente de teoria probabilitatilor si statistica matemetica pen-

tru economisti, Ed. Todesco, Cluj-Napoca, 2004.3. Mihoc M., Mihoc I., Matematici aplicate in economie. Analiza matema-

tica, Ed. Presa Universitara Clujeana, Cluj-Napoca, 2000,4. Muresan A.S., Blaga P., Matematici aplicate in economie, vol. I, Ed.

Transilvania Press, Cluj-Napoca, 19965. Colectiv, Analiza matematica, Teoria Probabilitatilor si Algebra liniara

aplicate in economie, Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 2008.

MODULUL II. Elemente de teoria probabilitatilor

Obiective

� De�nirea si studiul principalelor proprietati ale conceptelor de baza dinteoria probabilitatilor.

Crearea la studenti a unor deprinderi de utilizare a tehnicilor probabilisticesi de folosire a acestora in scop aplicativ.

Fundamentarea probabilistica a statisticii matematice.

Concepte de baza

� Eveniment aleator, probabilitate, probabilitate conditionata, scheme cla-sice de probabilitate.

� Variabila aleatoare, functie de probabilitate a unei variabile aleatoare dis-crete, functie de repartitie a unei variabile aleatoare, densitate de proba-bilitate, functia de repartitie a unei variabile aleatoare de tip continuu.

� Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare (media, dispersia, mo-mente, corelatia)

� Repartitii clasice.

Rezultate asteptateSe urmareste buna intelegere de catre studenti a tehnicilor de abordare prob-

abilistica a fenomenelor aleatoare, utilizarea adecvata a schemelor probabilis-tice care modeleaza astfel de fenomene, intelegerea conceptului de variabilaaleatoare, precum si formarea deprinderilor de calcul ale caracteristicelor nu-merice pentru variabilelor aleatoare. Se doreste ca studentii sa inteleaga foartebine semni�catia caracteristicilor pe care le calculeaza si, de asemenea sa inte-leaga motivele aplicarii teoriei probabilitatilor in statistica matematica.

Sinteza

UNITATEA 1. Camp de evenimente. Camp de pro-babilitate. Scheme clasice de probabilitate.

38

1.1. Corp ( �-corp) de p¼arti ale unei multimi

De�nitia 1.1.1.:Se numeste corp de p¼arti ale multimii nevide orice familie nevid¼aK � P ()

unde P () este multimea p¼artilor lui , astfel încâta) 8 A 2 K =) CA 2 K unde CA = �Ab) 8 A;B 2 K =) A [B 2 KPropozitia 1.1.1.:Fie K un corp de p¼arti ale multimii nevide . Atunci:1) �; 2 K2) 8 A;B 2 K =) A \B 2 K3) 8 A;B 2 K =) A�B 2 KObservatii:1. Prin de�nitie, un corp de p¼arti K este închis fat¼a de trecerea la comple-

mentar¼a si fat¼a de reuniune. De�nitia corpului de p¼arti garanteaz¼a si închidereasa fat¼a de reuniunea sau diferenta de mentiuni.De asemenea, un corp de p¼arti contine în mod necesar submultimile improprii

� si :Prin inductie matematic¼a rezult¼a c¼a un corp de p¼arti este închis si fat¼a de re-

uniunea sau intersectia �nit¼a oarecare de multimi adic¼a pentru oriceA1; A2; :::; An2 K (n � 3) avem si

n[i=1Ai 2 K respectiv

n\i=1Ai 2 K

Exemple:1) Dac¼a 6= � atunci K = P () este un exemplu (banal) de corp de p¼arti

ale lui :2) Fie = f1; 2; 3; 4; 5; 6gK = f�;; f1; 6g ; f2; 3g ; f4; 5g ; f1; 2; 3; 6g ; f1; 4; 5; 6g ; f2; 3; 4; 5gg este un corp

de p¼arti ale lui :De�nitia 1.1.2.:Se numeste �-corp de p¼arti ale multimii nevide orice familie nevid¼a

K � P () astfel încâta�) 8 A 2 K =) CA 2 Kb�) 8 (An)n2N� � K

1[n=1

An 2 K

1.2. Câmp (�-câmp) de evenimente

Vom întelege prin experiment aleator orice experiment al c¼arui rezultate,considerate din punct de vedere al unui anumit criteriu, nu sunt cunoscuteînainte de efectuarea experimentului (repetând un astfel de eveniment, în conditiiidentice, se pot obtine rezultate diferite, nu se poate preciza rezultatul ci sepoate face doar o list¼a cu rezultatele posibile). Orice rezultat posibil în urmaunui experiment aleator se numeste eveniment aleator. Evenimentele care nuse pot realiza drept consecint¼a a reraliz¼arii altora se numesc evenimente ele-mentare.Consider¼am, de exemplu, experimentul arunc¼arii unui zar (obisnuit,nem¼asluit) si evalu¼am rezultatul din punc de vedere al aparitiei (non-aparitiei)vreunora dintre fetele de la 1 la 6. Folosim notatii de tipul ce urmeaz¼a:

A = f1g- aparitia fetei 1.B = f1; 4g- aparitia vreuneia dintre fetele 1 sau 4.C = f2; 5; 6g- aparitia vreuneia dintre fetele 2,5 sau 6,etc.

39

A este evenimentul elementar (analog f2g ; f3g ; f5g ; f6g) dar B nu esteelementar (B se poate realiza ca si consecint¼a a realiz¼arii lui A). Vom reveniulterior, cu mai mult¼a rigoare, asupra conceptului de experiment elementar.Not¼am cu multimea tuturor evenimentelor elementare generate de un ex-

periment aleator. In continuare ne este comod s¼a trat¼am aceast¼a multime ca omultime de puncte pentru care submultimile reduse la un punct corespund eveni-mentelor elementare. se mai numeste si multime fundamental¼a (de referint¼a)sau spatiu de selectie. Orice alt eveniment poate � asimilat cu o submultime aspatiului (în exemplul de mai sus avem = f1; 2; 3; 4; 5; 6g si A;B;C � ).In particular, corespunde evenimentului constând în realizarea a cel puin unuldintre evenimentele elementare posibile ceea ce se întâmpl¼a la orice efectuare aevenimentului si de aceea acest eveniment se numeste eveniment cert sau sigur.Un alt eveniment particular este cel care corespunde multimii vide � si carerevine la nerealizarea a cel putin unui eveniment elementar posibil, ceea ce esteimposibil la orice efectuare a experimentului si din acest motiv acest evenimentse numeste eveniment imposibil. Vom p¼astra pentru evenimentul sigur si eveni-mentul imposibil aceleasi notatii si respectiv � ca si pentru submultimile lui c¼arora le corespund.Fie � multimea tuturor evenimentelor aleatoare generate de un experiment

aleator.De�nitia 1.2.1:Fie A;B 2 �.Se numeste intersectie a evenimentelor A si B, notat¼a A \ B, evenimentul

care se realizeaz¼a dac¼a si numai dac¼a se realizeaz¼a atât A cât si B.Se numeste reuniune a evenimentelor A si B, notat¼a A[B, evenimentul care

se realizeaz¼a dac¼a si numai dac¼a se realizeaz¼a cel putin unul dintre evenimenteleA si B.Se numeste diferent¼a a evenimentelor A si B, notat¼a A � B, evenimentul

care se realizeaz¼a atunci când se realizeaz¼a A dar nu si B (adic¼a A�B = A\CB).Se numeste eveniment contrar evenimentului A, notat CA, evenimentul

care se realizeaz¼a dac¼a si numai dac¼a nu se realizeaz¼a A (evenimentul comple-mentar lui A se mai numeste si eveniment contrar lui A si se mai noteaz¼a A saunonA).Propozitia 1.2.1.:Pentru orice A;B;C 2 � au loc propriet¼atile:a) (A [B)[C = A[(B [ C) ; (A \B)\C = A\(B \ C) (asociativitate)b) A [B = B [A; A \B = B \A (comutativitate)c) A [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C) ; A \ (B [ C) = (A \B) [ (A \ C)

(distributivitate)d) A [A = A; A \A = A (...)e) A\CA = �; A[CA = ; A\ = A; A[ = ; A\� = �; A[� = A

De�nitia 1.2.2.:Fie A;B 2 �: Se spune c¼a evenimentul A implic¼a evenimentul B (sau c¼a B

este implicat de A) si se scrie A � B (respectiv B � A) dac¼a realizarea lui Aantreneaz¼a neap¼arat si realizarea lui B.Observatii:1. Relatia de implicatie se poate de�ni si cu ajutorul �[� sau �\�. Mai

precis, pentru A;B 2 � avemA � B () A \B = A() A [B = B

40

Cum A \ � = � si A \ = A rezult¼a c¼a � � A si A � adic¼a avem� � A � ; 8 A 2 �:2. Relatia de implicatie este o relatie de ordine partial¼ape � (adic¼a este

re�exiv¼a, antisimetric¼a si tranzitiv¼a). Intr-adev¼ar avem:a) 8 A 2 � =) A � A (re�exivitate)b) A;B 2 �; A � B si B � A =) A = B (antisimetrie)c) A;B 2 �; A � B si B � C =) A � C3. Se poate ar¼ata c¼a dac¼a A;B 2 �; A[B = ; si A\B = � atunci A = CB

sau, echivalent, B = CA (în particular cum A \ CA = � si A [ CA = avemC (CA) = A si de asemenea din � [ = ; � \ = �rezult¼a c¼a � = C si = C�).Utilizând aceast¼a observatie se poate demonstra propozitia de mai jos (pe

care o admitem f¼ar¼a demonstratie).Propozitia 1.2.2.: (relatiile lui De Morgan)Pentru orice A;B 2 � avem:CA[B = CA \ CB si CA\B = CA [ CB :De�nitia 1.2.3:Se spune c¼a evenimentele A;B 2 � sunt incompatibile dac¼a ele nu se pot

realiza simultan, adic¼a A \B = �De�nitia 1.2.4:Se spune c¼a evenimentul A 2 � este eveniment elementar dac¼a 8 B 2

�; B � A rezult¼a c¼a B = � sau B = A(A nu poate � implicat decât de c¼atre evenimentul imposibil sau de c¼atre el

însusi).De�nitia 1.2.5:Se numeste câmp de evenimente orice corp de p¼arti (;K) al unei multimi

nevide : Se numeste �-câmp de evenimente orice �-corp de p¼arti (;K) alunei multimi nevide :Observatie:Intr-un �-câmp de evenimente, relatiile lui De Morgan se pot generaliza

pentru siruri de evenimente adic¼a avem:

C1[n=1

An =1\n=1

CAnsi C

1\n=1

An =1[n=1

CAn

1.3. Câmp (�-câmp) de probabilitate

De�nitia 1.3.1. (de�nitia axiomatic¼a a probabilit¼atii)Fie (;K) un câmp de evenimente. Se numeste probabilitate pe K orice

aplicatie P : K �! R astfel încât:P 1) P (A) � 0; 8A 2 KP 2) P (A [B) = P (A) + P (B) ; 8A;B 2 K, A \B = �P 3) P () = 1Se numeste câmp de probabilitate orice triplet (;K; P ) unde (;K) este un

câmp de evenimente iar peste o probabilitate pe K.Propozitia 1.3.1:Fie (;K; P ) un câmp de evenimente. Atunci:a) P (�) = 0b) P (CA) = 1� P (A) ; 8A 2 Kc) P (B �A) = P (B)� P (A) ; 8A;B 2 K, A � Bd) P (B �A) = P (B)� P (A \B) ; 8A;B 2 K,

41

e) P (A [B) = P (A) + P (B)� P (A \B) ; 8A;B 2 KConsecinte:1. A;B 2 K, A � B =) P (A) � P (B) (monotonie).

Intr-adev¼ar, P (B �A) � 0 c)=) P (B)� P (A) � 0 =) P (B) � P (A) :

2. A 2 K =) 0 � P (A) � 1Cum 8A 2 K, avem � � A � , folosind consecinta precedent¼a, obtinem

P (�) � P (A) � P ()sau 0 � P (A) � 1:Prin inductie matematic¼a, pornind de la P 2), rezult¼a c¼a dac¼a A1; A2; :::; An

2 K, Ai \Aj = �; i = 1; n

i 6= j atunci P�n[i=1Ai

�=

nPi=1

= P (Ai) (probabilitatea unei reuniuni �nite

de evenimente incompatibile dou¼a câte dou¼a este suma probabilit¼atilor eveni-mentelor reuniunii). Comportamentul probabilit¼atii fat¼a de o reuniune �nit¼a deevenimente oarecare (nu mai sunt incopatibile dou¼a câte dou¼a) din K este datde propozitia care urmeaz¼a, obtinut tot prin inductie matematic¼a pornind de lasubpunctul e) din propozitia 1.4.1.Propozitia 1.4.2. (formula de adunare a probabilit¼atilor sau formula lui

Poincaré).Fie (;K; P ) un câmp de probabilitate si A1; A2; :::; An 2 K. AtunciP�n[i=1Ai

�=

nPi=1

P (Ai)�nP

i;j=1i<j

P (Ai \Aj) +nP

i;j;k=1i<j<k

P (Ai \Aj \Ak)� :::+

(�1)n�1 P�n[i=1Ai

�:

Observatie:Dac¼a A;B;C;D 2 K avem evident:a) P (A [B [ C) = P (A) + P (B) + P (C) � P (A \B) � P (A \ C) �

P (B \ C) + P (A \B \ C)b) P (A [B [ C [D) = P (A) + P (B) + P (C) + P (D) � P (A \B) �

P (A \ C)� P (A \D)� P (B \ C)� P (B \D)��P (C \D) + P (A \B \ C) + P (A \B \D) + P (A \ C \D)+P (B \ C \D)� P (A \B \ C \D) :De�nitia 1.3.2:Fie (;K; P ) un �-câmp de evenimente. Se numeste probabilitate �-aditiv¼a

pe K orice aplicatie P : K �! R astfel încât:P 1�) P (A) � 0; 8A 2 KP 2�) P

� 1[n=1

An

�=

1Pn=1

P (An) 8 (An)n2N� � K, Ai \ Aj = � 8 i; j 2N�; i 6= j:P 3�) P () = 1Se numeste �-câmp de probabilitate orice triplet (;K; P ) unde (;K) este

un �-câmp de evenimente iar P este o probabilitate �-aditiv¼a pe K.Observatie:Orice �-câmp de probabilitate este si câmp de probabilitate si deci toate

propriet¼atile probabilit¼atii sunt adev¼arate si pentru �- probabilit¼ati. Urm¼arimîn continuare câteva propriet¼ati ale �- probabilit¼atilor.Propozitia 1.3.3:Fie (;K; P ) un �-câmp de probabilitate si (An)n2N� un sir de evenimente

din K. Atunci:

42

P� 1[n=1

An

��

1Pn=1

P (An)

Propozitia 1.3.4. (inegalitatea lui Boole):Fie (;K; P ) un �-câmp de probabilitate si (An)n2N� un sir de evenimente

din K. Atunci:P� 1\n=1

An

�� 1�

1Pn=1

(1� P (An)) :

Observatie:Inegalitatea lui Boole este adev¼arat¼a si pentru un câmp de probabilitate.

Dac¼a: A1; A2; :::; An 2 K atunciP�n\i=1Ai

�� 1�

nPi=1

(1� P (Ai)) =nPi=1

P (Ai)� (n� 1) : Avem deci:

P�n\i=1Ai

��

nPi=1

P (Ai)� (n� 1)

Propozitia 1.3.5:Fie (;K; P ) un �-câmp de probabilitate.a) Dac¼a (An)n2N� este un sir descendent de evenimente atunci limn!1

P (An) =

P� 1\n=1

An

�:

b) Dac¼a (An)n2N� este un sir ascendent de evenimente atunci limn!1P (An) =

P� 1[n=1

An

�:

Observatie:Fie = fw1; w2; :::; wng si K = P (): Pe câmpul de evenimente (;K)

se consider¼a probabilitatea P cu proprietatea P (fw1g) = P (fw2g) = ::: =P (fwng)

�= 1

n

�Dac¼a A = fwi1 ; wi2 ; :::; wikg 2 K atunci P (A) = P

�k[j=1

�wij�

=

kPj=1

P��wij�=

kPj=1

1n =

kn :

Se obtine astfel o alt¼a de�nitie a probabilit¼atii, adev¼arat¼a într-un cadru multmai restrictiv decât cel din de�nitia 1.3.1. dar extrem de utilizat¼a în numeroasecazuri practice si constituind din punct de vedere istoric, prima de�niie dat¼aconceptului de probabilitate.De�nitia 1.3.3. (de�nitia clasic¼a a probabilit¼atii):Probabilitatea unui eveniment A, generat de un experiment aleator care

genereaz¼a un câmp �nit de probabilitate cu evenimente elementare egal proba-bile, este egalã cu raportul dintre numãrul evenimentelor elementare favorabilerealizãrii lui A si numãrul total de evenimente elementare posibile.

1.4. Probabilitãti conditionate. Independenta evenimentelor.

In paragraful precedent, printre alte proprietãti, s-au si proprietãti care arã-tau comportamentul probabilitãtii fatã de reuniunea evenimentelor. In acestparagraf vom urmãrii comportamentul probabilitãtii fatã de intersectia eveni-mentelor, proprietãti grupate într-un paragraf separat tocmai datoritã importan-tei deosebite pe care o au în aplicatiile practice.De�nitia 1.4.1:Fie (;K; P ) un câmp de probabilitate si A 2 K cu P (A) 6= 0:

43

Se numeste probabilitatea evenimentului X 2 K conditionatã de evenimentulA, notatã P (X jA ) ; raportul

P (X jA ) =P (X \A)P (A)

Observatie:Avem P (X \A) = P (A) P (X jA ) :Dacã A;B 2 K, P (A) 6= 0; P (B) 6= 0;

atunciP (A \B) = P (A) P (B jA ) = P (A) P (A jB ). Am obtinut un prim rezul-

tat care indicã comportamentul probabilitãtii fatã de intersectie.Propozitia 1.4.1.Fie (;K; P ) un câmp de probabilitate si A 2 K cu P (A) 6= 0:Atunci, aplicatia PA : K �! R, PA (X) = P (X jA ) este de asemenea o

probabilitate pe K adicã (;K; PA) este tot un câmp de probabilitate.Observatie:Analog pornind de la �-câmpul de probabilitate (;K; P ) si A 2 K cu

P (A) 6= 0 se obtine �-câmpul de probabilitate (;K; PA) unde PA : K �! R,PA (X) = P (X jA )Propozitia 1.4.2. (formula de înmultire a probabilitãtilor)Fie (;K; P ) un câmp de probabilitate si A1; A2; :::; An 2 K astfel încât

P

�n�1\i=1

Ai

�6= 0:Atunci:

P

�n�1\i=1

Ai

�= P (A1) P (A2 jA1 ) P (A3 jA1\A2 ) :::P

An

��n�1\i=1

Ai

!:

De�nitia 1.4.2.Fie (;K; P ) un câmp de probabilitate. Se spune cã evenimenteleA1; A2; :::; An

2 K formeazã un sistem complet de evenimente dacã:a) P (Ai) 6= 0; 8i = 1; nb) Ai \Aj 6= 0; 8i; j = 1; n i 6= j

c)n[i=1Ai = :

Observatie:A1; A2; :::; An 2 K formeazã un sistem complet de evenimente dacã si numai

dacã la orice efectuare a experimentului se realizeazã unul si numai unul dintreevenimentele sistemului. Un exemplu banal de sistem complet de evenimenteeste sistemul fA;CAg unde A 2 K, P (A) 6= 0:Renuntând la conditia a) (cerutãaici pentru comoditate) multimea tuturor evenimentelor elementare (poate � oin�nitate mãsurabilã) ale unui câmp de evenimente oferã un alt exemplu desistem complet de evenimente.Propozitia 1.4.3.(formula probabilitãtii totale)Fie (;K; P ) un câmp de probabilitate si A1; A2; :::; An 2 K un sistem com-

plet de evenimente si X 2 K. Atunci:

P (X) =nXi=1

P (Ai) P (X jAi)

Propozitia 1.4.4. (formula lui Bayes)Fie (;K; P ) un câmp de probabilitate si A1; A2; :::; An 2 K un sistem com-

plet de evenimente si X 2 Kastfel încât P (X) 6= 0. Atunci, pentru orice j 2 f1; 2; :::; ng �xat, avem

44

P (Aj jX ) =P (Aj) P

�X��Aj

�nPi=1

P (Ai) P (X jAi)

De�nitia 1.4.3.Fie (;K; P ) un câmp de probabilitate si A;B 2 K. Se spune cã A si B sunt

independente dacã

P (A \B) = P (A) P (B)

Observatie:De�nitia independentei a douã evenimente, la care s-a dat formula mai

sus, este echivalentã cu a�rmatia cã A si B sunt independente dacã nu seconditioneazã reciproc. Fie A;B 2 K astfel încât P (A) 6= 0; P (B) 6= 0 siA;B independente în sensul de�nitiei 1.5.3. Atunci:

P (A jB ) = P (A\B)P (B) = P (A)P (B)

P (B) = P (A) si P (B jA ) = P (B\A)P (A) = P (B)P (A)

P (A) =

P (B)adicã faptul cã B nu conditioneazã pe A este respins în relatia P (A jB ) =

P (A) si analog faptul cãAnu conditioneazã peB rezultã din egalitatea P (B jA ) =P (B) :Propozitia 1.4.5.Fie (;K; P ) un câmp de probabilitate si A;B 2 K. Dacã A si B sunt

independente, atunci CA si B; CB si A;CA si CB sunt de asemenea independente.De�nitia 1.4.4.Fie Fie (;K; P ) un câmp de probabilitate si n 2 N; n � 2: Se spune cã

evenimentele A1; A2; :::; An 2 K sunt independente (în totalitate) dacã oricarear � i1; i2; :::ir 2 N; 1 � i < i2 < ::: < ir � navem P (Ai1 \Ai2 \ ::: \Air ) = P (Ai1)P (Ai2) :::P (Air ) unde r 2 N�; r �

n:Se spune cã evenimentele A1; A2; :::; An 2 K sunt independente k câte k

(k 2 N; 2 � k � n � 1) dacã oricare k evenimente dintre A1; A2; :::; An suntindependente în (totalitate). Se spune cã familia (Ai)i2I de evenimente din Keste formatã din evenimente independente(în totalitate) dacã orice subfamilie�nitã a sa este formatã din evenimente independente (în totalitate).Se spune cã familia (Ai)i2I de evenimente din K este formatã din evenimente

independente k câte k (k 2 N; k � 2) dacã orice subfamilie �nitã cu cel putink elemente este formatã din evenimente independente k câte k:Incheiem acest paragraf cu trei exemple care sã ilustreze modul de utilizare al

formulelor tratate (formula de adunare si respectiv înmultire a probabilitãtilor,formula probabilitãtii totale si respectiv formula lui Bayes).Exemplul 1Dintre cei 20 de studenti ai unei grupe, 6 cunosc limba englezã, 5 cunosc

limba francezã, 2 cunosc limba germanã. Care este probabilitatea ca un student,luat la întâmplare din aceastã grupã, sã cunoascã o limbã strãinã (dintre celetrei mentionate)?Solutie:Considerãm evenimentele:E - studentul considerat cunoaste limba englezã,F - studentul considerat cunoaste limba francezã

45

G - studentul considerat cunoaste limba germanãX - studentul considerat vorbeste o limbã strãinã (dintre cele trei)Din de�nitia clasicã a probabilitãtii avem P (E) = 6

20 ; P (F ) =520 ; P (G) =

220 :Cum X = E [ F [ G si evenimentele E;F;G; nu sunt incompatibile douãcâte douã rezultã (formula lui Poincaré) cã:

P (X) = P (E [ F [G) = P (E)+P (F )+P (G)�P (E \ F )�P (E \G)�P (F \G) + P (E \ F \G)Evenimentele E;F;G; sunt independente în totalitate si deci:P (X) = P (E) + P (F ) + P (G)� P (E)P (F )� P (E)P (G)� P (F )P (G) +

P (E)P (F )P (G) == 6+5+2

20 � 6 5+6 2+5 220 20 + 6 5 2

20 20 20 =1320 �

52400 +

3400 =

211400 :

Exemplul 2Ournã contine a bile albe si b bile negre. Se xtrag succesiv, fãrã repunere

trei bile. Care este probabilitatea ca toate cele trei bile extrase sã �e albe(presupunem a � 3)?Solutie:Considerãm evenimentele:Ai - a i-a bilã extrasã a fost albã, i = 1; 3X - toate cele trei bile extrase au fost albeAvem X = A1 \A2 \A3: Din formula de înmultire a probabilitãtilor avem:P (X) = P (A1) P (A2 jA1

) P (A3 jA1\A2). Utilizând de�nitia clasicã a prob-

abilitãtii obtinem:P (A1) =

aa+b ; P (A2 jA1

) = a�1a+b�1 ; P (A3 jA1\A2

) = a�2a+b�2 : Si deci:

P (X) = aa+b

a�1a+b�1

a�2a+b�2 :

Exemplul 3Trei urne contin bile albe si bile negre în compozitiile: U1 (a; b) ; U2 (c; d) ;U3 (e; f) : Se extrage o bilã din U3 si dacã ea este albã se pune în U1si se

extrage o a doua bilã din U1 iar dacã este neagrã se pune în U2 si a doua bilãextrage din U2: Sã se a�e probabilitãtile ca:a) a doua bilã extrasã sã �e albã,b) prima bilã extrasã sã �fost albã dacã a doua bilã extrasã sã �fost neagrã.Solutie:Considerãm evenimentele:Ai - a i-a bilã extrasã a fost albã, (i = 1; 2)Ni - a i-a bilã extrasã a fost neagrã, (i = 1; 2)a) Se cere P (A2). Rezolvarea este un exemplu de utilizare a formulei

probabilitãtii totale cu sistemul complet de evenimente A1; N1:Avem:A2 = A2 \ = A2 \ (A1 [N1) = (A2 \A1) [ (A2 \N1)Cum A2 \A1 si A2 \N1 sunt incompatibile rezultã:P (A2) = P (A2 \A1)+P (A2 \N1) = P (A1)P (A2 jA1

)+P (N1)P (A2 jN1) =

ee+f

a+1a+b+1 +

fe+f

cc+d+1

Analog:P (N2) = P (A1)P (N2 jA1

) + P (N1)P (N2 jN1) = e

e+fb

a+b+1 +fe+f

d+1c+d+1

(sau P (N2) = 1� P (A2))b) Se cere P (A1 jN2 ) : Rezolvarea oferã un exemplu de utilizare a formulei lui

Bayes care permite interschimbarea raportului de conditionare apriori-aposteori.Probabilitatea P (A1 jN2

) ne este mai putin la îndemânã decât P (N2 jA1) iar

formula lui Bayes ne permite calculul lui P (A1 jN2) cu ajutorul lui P (N2 jA1

) :Avem:

46

P (A1 jN2 ) =P (A1)P (N2 jA1

)

P (N2)=

ee+f

ba+b+1

ee+f

ba+b+1 +

fe+f

d+1c+d+1

1.5. Scheme clasice de probabilitate

Sub acest titlu vor � descrise anumite experimente aleatoare si vor � cal-culate probabilit¼atile unor evenimente ale acestora. Din multiple motive acesteexperimente aleatoare apar foarte des în aplicatii. Traditional descrierea exper-imentelor respective se face cu ajutorul unor urne din care se extrag bile.În cele ce urmeaz¼a vom întelege prin urn¼a o incint¼a în care se a�¼a bile (sfere

identice ca m¼arime si greutate, dar putând avea culori diferite). Din exterior nuse pot vedea culorile bilelor din urn¼a, îns¼a se consider¼a c¼a exist¼a un mecanismcu ajutorul c¼aruia bilele pot � extrase din urn¼a, bilele existente în urn¼a avândtoate aceeasi sans¼a de a � extrase.

1.5.1. Schema urnei cu bila nerevenit¼a

Urna U contine a bile albe si b bile negre. Din U se fac n extrageri succesivede câte o bil¼a f¼ar¼a întoarcere, adic¼a f¼ar¼a a reintroduce în urn¼a bilele extrase.(S¼a remarc¼am c¼a modul acesta de a extrage n bile din urna U este echivalent cuextragerea celor n bile deodat¼a.) Se pune problema determin¼arii probabilit¼atiievenimentului Xk;l

a;b c¼a din cele n bile astfel extrase k sunt albe si l = n� k suntnegre. (Evident c¼a a; b; n; k si l sunt numere naturale si n � a+b, k � minfn; ag,l � minfn; bg.)S¼a ne imagin¼am c¼a cele a+b bile existente în urna U ar �numerotate de la 1

la a+ b. Experimentul aleator al extragerii celor n = k+ l bile din aceast¼a urn¼aare Ck+la+b rezultate posibile egal probabile. Dintre acestea, favorabile realiz¼arii

evenimentului Xk;la;b sunt C

kaC

lb c¼aci k bile dintre cele a bile albe existente în urn¼a

pot � alese în Cka moduri diferite, �ec¼arei asemenea alegeri corespunzându-i Clb

moduri diferite de alegere a l bile dintre cele b bile negre existente în urna U .S¼a not¼am

Pa;b(k; l) = P (Xk;la;b):

Dup¼a de�nitia clasic¼a a probabilit¼atii se obtine

(1.5.2) Pa;b(k; l) =CkaC

lb

Ck+la+b

:

Observatie. Din cauza asem¼an¼arii membrului drept al relatiei (1.5.1) cutermenul general al seriei hipergeometrice, schema urnei cu bila nerevenit¼a semai numeste schema hipergeometric¼a.Exemplu. Urna U contine 3 bile albe si 2 bile negre. Din U se extrag

deodat¼a 3 bile (sau - echivalent - se fac 3 extrageri succesive de câte o bil¼a f¼ar¼aîntoarcere). S¼a se calculeze probabilitatea evenimentului A c¼a cel mult dou¼a dinbilele astfel extrase sunt albe.Este clar c¼a evenimentul A se realizeaz¼a dac¼a din cele trei bile extrase din U

exact dou¼a sunt albe, sau exact una este alb¼a, sau nici una nu este alb¼a, adic¼a

A = X2;13;2 [X

1;23;2 [X

0;33;2 :

47

Evenimentele reunirii care d¼a evenimentul A sunt evident dou¼a câte dou¼aincompatibile, deci

P (A) = P (X2;13;2 ) + P (X

1;23;2 ) + P (X

0;33;2 ) =

= P3;2(2; 1) + P3;2(1; 2) + P3;2(0; 3):

Dar X0;33;2 = ; deoarece este imposibil ca din urna U s¼a �e extrase (f¼ar¼a

întoarcere) 3 bile negre, ea continând doar 2 asemenea bile. Atunci P3;2(0; 3) =P (X0;3

3;2 ) = P (;) = 0 si deci

P (A) = P3;2(2; 1) + P3;2(1; 2) =C23 � C12C35

+C13 � C22C35

=

=3 � 210

+3 � 110

=9

10= 0; 9:

1.5.2. Schema urnei cu bila nerevenit¼a cu mai multe st¼ari

O generalizare natural¼a a schemei precedente se obtine considerând c¼a înurn¼a se g¼asesc bile de mai mult decât dou¼a culori (st¼ari), s¼a zicem de s culori.Urna U contine ai bile de culoarea ci, i = 1; s. Din U se fac n extrageri suc-

cesive de câte o bil¼a f¼ar¼a întoarecere (ceea ce este echivalent cu extragerea celorn bile deodat¼a). Se cere probabilitatea evenimentuluiXk1;k2;:::;ks

a1;a2;:::;as c¼a dintre cele nbile extrase ki sunt de culoarea ci, i = 1; s. (Evident c¼a a1; a2; : : : ; as; k1; k2; : : : ; ks

si n sunt numere naturale si c¼asPi=1

ki = n si ki � minfai; ng, i = 1; s.)

În acest caz num¼arul total de evenimente elementare ale experimentuluialeator este Ck1+k2+��+ksa1+a2+��+as , iar num¼arul evenimentelor elementare favorabile eveni-mentului Xk1;k2;:::;ks

a1;a2;:::;as este Ck1a1C

k2a2 : : : C

ksas .

S¼a not¼am

P (Xk1;k2;:::;ksa1;a2;:::;as ) = Pa1;a2;:::;as(k1; k2; : : : ; ks):

De�nitia clasic¼a a probabilit¼atii d¼a

(1.5.2�) Pa1;a2;:::;as(k1; k2; : : : ; ks) =Ck1a1C

k2a2 : : : C

ksas

Ck1+k2+��+ksa1+a2+��+asExemplu. Dintre cele 10 bilete ale unei loterii unul este câstig¼ator cu

10000 u.m., dou¼a sunt câstig¼atoare cu câte 5000 u.m., trei sunt câstig¼atoarecu câte 1000 u.m. si patru sunt nec¼astig¼atoare. Un juc¼ator cump¼ar¼a patrubilete din aceast¼a loterie. S¼a se calculeze probabilitatea p ca dintre cele patrubilete cump¼arate unul s¼a �e câstig¼ator cu 5000 u.m., dou¼a s¼a �e câstig¼atoare cucâte 1000 u.m. si unul s¼a �e necâstig¼ator.Probabilitatea c¼autat¼a poate � calculat¼a utilizând relatia (1.5.2) si se obtine

p = P1;2;3;4(0; 1; 2; 1) =C01C

12C

23C

14

C410=1 � 2 � 3 � 4210

=24

210=4

35� 0; 114:

1.5.3. Schema urnei cu bila revenit¼a

48

Urna U contine bile de dou¼a culori (albe si negre). Compozitia urnei estecunoscut¼a în sensul c¼a se cunoaste probabilitatea ca o bil¼a extras¼a din U s¼a �ealb¼a (�e aceast¼a probabilitate p) si probabilitatea ca o bil¼a extras¼a din U s¼a �eneagr¼a (o not¼am cu q, q = 1 � p). Din U se efectueaz¼a n extrageri succesivede câte o bil¼a cu întoarcere (adic¼a dup¼a extragerea oric¼arei bile si observareaculorii ei, bila extras¼a este reintrodus¼a în urn¼a înaintea extragerii urm¼atoare).Se cere probabilitatea evenimentului Xk

n c¼a dintre cele n bile astfel extrase ksunt albe (atunci restul de n � k bile sunt negre). Evident k si n sunt numerenaturale si k � n.Fie Ai evenimentul c¼a la cea de a i-a extragere se obtine bil¼a alb¼a, i = 1; n.

Deoarece dup¼a �ecare extragere bila este reintrodus¼a în urn¼a, rezult¼a c¼a la oriceextragere (deci si la a i-a) probabilitatea de a se obtine bil¼a alb¼a este P (Ai) = psi probabilitatea de a se obtine bil¼a neagr¼a este P (Ai) = q.Dac¼a, de exemplu la primele k extrageri se obtin bile albe iar la ultimele n�k

extrageri se obtin bile negre, atunci este evident c¼a se realizeaz¼a evenimentulXkn. Evenimentul c¼a la primele k extrageri se obtin bile albe si la ultimele n�k

extrageri se obtin bile negre este

X1;2;:::;k = A1 \A2 \ � � � \Ak \Ak+1 \Ak+2 \ � � � \An:

Din cauza reintroducerii în urn¼a a bilelor extrase dup¼a �ecare extragere,evenimentele A1; A2; : : : ; Ak; Ak+1; Ak+2; : : : ; An sunt total independente si deci

P (X1;2;:::;k) = P (A1)P (A2) : : : P (Ak)P (Ak+1)P (Ak+2) : : : P (An) =

= p : p : : : : : p| {z }k factori

q : q : : : : : q| {z }n�k factori

= pkqn�k:

Dar evenimentul Xkn se realizeaz¼a dac¼a cele k bile albe se obtin în oricare k

dintre cele n extrageri. Fie fi1; i2; : : : ; ikg o submultime de k elemente a multimiif1; 2; : : : ; ng si fik+1; ik+2; : : : ; ing = f1; 2; : : : ; ng n fi1; i2; : : : ; ikg. Atunci(1.5.3) Xk

n = [�Ai1 \Ai2 \ ::: \Aik \Aik+1 \Aik+2 \ � � � \Ain

�reunirea f¼acându-se dup¼a toate submultimile distincte fi1; i2; : : : ; ikg ale

multimii f1; 2; : : : ; ng. Num¼arul acestor submultimi este (dup¼a cum se stie)Ckn.Este evident c¼a termenii reunirii din membrul drept al relatiei (1.5.3) sunt

evenimente dou¼a câte dou¼a incompatibile, deci

P (Xkn) = P ([(Ai1 \Ai2 \ � � � \Aik \Aik+1 \Aik+2 \ � � � \Ain)) =

=X

P (Ai1 \Ai2 \ � � � \Aik \Aik+1 \Aik+2 \ � � � \Ain) =

=X

P (Ai1)P (Ai2) : : : P (Aik)P (Aik+1)P (Aik+2) : : : P (Ain) =

=X

p : p : : : p| {z }k factori

: q : q : : : q| {z }n�k factori

=X

pkqn�k:

49

Cum sumele precedente au, ca si reunirea din (1.5.3), Ckn termeni se obtine

P (Xkn) = Cknp

kqn�k:

Convenim a nota

P (Xkn) = Pn(k)

si atunci(1.5.4) Pn(k) = Cknp

kqn�k:Observatie. Cum membrul drept al relatiei (1.5.4) este coe�cientul lui tk

din dezvoltarea cu formula binomului lui Newton a lui (pt+ q)n, schema urneicu bila revenit¼a se mai numeste schema binomial¼a. Aceast¼a schem¼a este nu-mit¼a si schema lui Bernoulli. Esential în schema urnei cu bila revenit¼a estefaptul c¼a, din cauza reintroducerii bilei în urn¼a dup¼a �ecare extragere, rezul-tatele extragerilor sunt evenimente total independente si din acest motiv ea esteuneori numit¼a schema extragerilor (probelor) repetate si independente,iar schema urnei cu bila nerevenit¼a este numit¼a atunci schema extragerilor (pro-belor) repetate si dependente.Exemplu. Urna U contine 2 bile albe si 3 bile negre. Din U se fac 6 extrageri

succesive de câte o bil¼a cu întoarcerea bilei în urn¼a dup¼a �ecare extragere. S¼ase calculeze probabilitatea ca 4 dintre cele 6 bile extrase s¼a �e albe, iar 2 s¼a �enegre.Cum la �ecare extragere putem obtine oricare dintre cele 2 + 3 = 5 bile ex-

istente în urn¼a, �ecare extragere este un experiment aleator care genereaz¼a câteun câmp de evenimente cu 5 rezultate posibile echiprobabile. Atunci, folosindde�nitia clasic¼a a probabilit¼atii, g¼asim c¼a probabilitatea ca la oricare din cele 6

extrageri s¼a se obtin¼a o bil¼a alb¼a este p =2

5, iar probabilitatea ca la oricare din

cele 6 extrageri s¼a se obtin¼a o bil¼a neagr¼a este q =3

5.

Probabilitatea ca 4 din cele 6 bile extrase s¼a �e albe si 2 s¼a �e negre estedeci

P6(4) = C46

�2

5

�4�3

5

�2= 15� 16

625� 925=432

3125= 0; 13824:

Observatie. Din schema urnei cu bila revenit¼a se obtine urm¼atoarea schem¼anumit¼a schema lui Pascal.S¼a presupunem c¼a urna U contine bile albe si negre. Fie p probabilitatea

ca o bil¼a extras¼a din U s¼a �e alb¼a si q = 1 � p probabilitatea ca o bil¼a extras¼adin U s¼a �e neagr¼a. Se cere probabilitatea evenimentului Y kn ca la efectuareaa n extrageri succesive de câte o bil¼a cu întoarcere din urna U s¼a se obtin¼ak bile albe si n � k bile negre, iar a n-a bil¼a extras¼a din U s¼a �e alb¼a (adic¼aprobabilitatea ca cea de a k-a bil¼a alb¼a s¼a se obtin¼a dup¼a ce au fost extrasen� k bile negre).F¼ar¼a di�cultate se obtine c¼a probabilitatea acestui eveniment este

P (Y kn ) = P (Xk�1n�1 \An):

Deoarece rezultatul unei extrageri nu este in�uentat de rezultatele extragerilor precedente (bila �ind reintrodus¼a în urn¼a dup¼a �ecare extragere) avem

50

P (Y kn ) = P (Xk�1n�1)P (An) = Pn�1(k � 1)p =

= Ck�1n�1pk�1q(n�1)�(k�1)p = Ck�1n�1p

kqn�k:

Observatie. Din schema lui Pascal se obtine ca un caz particular schemageometric¼a luând k = 1. Probabilitatea ca efectuând n extrageri succesive decâte o bil¼a cu întoarcere din urna U (cunoscut¼a în sensul c¼a se stie c¼a proba-bilitatea ca o bil¼a extras¼a din U s¼a �e alb¼a este p, iar probabilitatea ca o bil¼aextras¼a din U s¼a �e neagr¼a este q = 1� p) s¼a se obtin¼a pentru prima dat¼a bil¼aalb¼a în cea de a n-a extragere este

P (Y 1n ) = P (X0n�1 \An) = P (X0

n�1)P (An) =

= Pn�1(0)p = C0n�1p0qn�1�0p = pqn�1:

Denumirea de schema geometric¼a provine de la faptul c¼a probabilitateapqn�1 este al n-lea termen al progresiei geometrice cu primul termen p si ratiaq.

1.5.4. Schema urnei cu bila revenit¼a cu mai multe st¼ari

Aceast¼a schem¼a este o generalizare natural¼a a schemei urnei cu bila revenit¼a,ea referindu-se la extrageri cu întoarcere dintr-o urn¼a în care exist¼a bile de maimult decât dou¼a culori.Urna U contine bile de s culori: c1; c2; : : : ; cs, s 2 N, s > 2. Compozitia

urnei U este cunoscut¼a în sensul c¼a se cunoaste probabilitatea ca o bil¼a extras¼adin U s¼a aib¼a culoarea ci, i = 1; s. Fie aceast¼a probabilitate pi. Evident pi > 0,

i = 1; s sisPi=1

pi = 1.

Din U se fac n extrageri succesive de câte o bil¼a cu întoarcere (adic¼a, dup¼aextragerea oric¼arei bile si observarea culorii ei, bila extras¼a este reintrodus¼a înurn¼a înaintea extragerii urm¼atoare).Se cere probabilitatea evenimentului Xk1;k2;:::;ks

n c¼a dintre cele n bile astfelextrase ki s¼a �e de culoarea ci, i = 1; s. Evident 0 � ki � n, i = 1; s sisPi=1

ki = n.

Dac¼a Aij este evenimentul c¼a la a j-a extragere se obtine bil¼a de culoarea ci,atunci evident P (Aij) = pi, i = 1; s, j = 1; n.Evenimentul c¼a în extragerile i1; i2; : : : ; ik1 se obtin bile de culoarea c1, în

extragerile ik1+1; ik1+2; : : : ; ik1+k2 se obtin bile de culoarea c2; : : : , în extrage-rile ik1+k2+��+ks�1+1, ik1+k2+��+ks�1+2; : : : , ik1+k2+��+ks�1+ks se obtin bile deculoarea cs este

A1i1 \A1i2 \ � � � \A

1ik1\A2ik1+1 \A

2ik1+2

\ � � � \A2ik1+k2 \ � � � \

\Asik1+k2+��+ks�1+1 \Asik1+k2+��+ks�1+2

\ � � � \Asin :

Atunci

51

(1.5.5)Xk1;k2;:::;ksn = [(A1i1 \ � � � \A

1ik1\A2ik1+1 \ � � � \A

2ik1+k2

\

\ � � � \Asik1+��+ks�1+1 \ � � � \Asin);

reunirea f¼acându-se dup¼a toate grup¼arile posibile ale numerelor naturale1; 2; : : : ; n în s grupe formate respectiv din k1; k2; : : : ; ks numere.Pentru determinarea num¼arului acestor grup¼ari se poate proceda în modul

urm¼ator:- Exist¼a n locuri dispuse în s grupe, locuri care trebuiesc ocupate cu numerele

naturale 1; 2; : : : ; n astfel ca în prima grup¼a s¼a existe k1 numere, în a doua grup¼as¼a existe k2 numere, . . . , în a s-a grup¼a s¼a existe ks numere.- Din cele n numere naturale 1; 2; : : : ; n pot � formate Ck1n grup¼ari distincte

pentru a ocupa cele k1 locuri din prima grup¼a.- Apoi din cele n� k1 numere r¼amase pot � formate Ck2n�k1 grup¼ari distincte

pentru a ocupa cele k2 locuri din grupa a doua si asa mai departe.- Atunci num¼arul total al acestor grup¼ari este

Ck1n Ck2n�k1 : : : C

ksn�k1�k2��ks�1 =

=n!

k1! (n� k1)!� (n� k1)!k2! (n� k2)!

� � � (n� k1 � k2 � :::� ks�1)!ks! (n� k1 � k2 � :::� ks�1 � ks)!

=

=n!

k1!k2!:::ks!

deoarece (n� k1 � k2 � : : : ks�1 � ks)! = (n� n)! = 0! = 1.Deci num¼arul termenilor reunirii din membrul drept al relatiei (1.5.5) esten!

k1!k2!:::ks!.

Este evident c¼a termenii reunirii din membrul drept al relatiei (1.5.5) suntevenimente dou¼a câte dou¼a incompatibile, deci

(1.5.6)P (Xk1;k2;:::;ks

n ) ==PP (A1i1 \ � � � \A

1ik1\A2ik1+1

\ � � � \A2ik1+k2 \ � � � \Asik1+��+ks�1+1

\ � � � \Asin)însumarea f¼acându-se dup¼a aceeasi regul¼a cu reunirea din (1.5.5).Dar evenimentele intersectiei

A1i1 \ � � � \A1ik1\A2ik1+1 \ � � � \A

2ik1+k2

\ � � � \Asik1+��+ks�1+1 \ � � � \Asin

sunt total independente din cauza faptului c¼a bila extras¼a din urn¼a este reintro-dus¼a în urn¼a înaintea extragerii urm¼atoare, deci

P (A1i1 \ � � � \A1ik1\A2ik1+1 \ � � � \A

2ik1+k2

\ � � � \Asik1+��+ks�1+1 \ � � � \Asin) =

=P (A1i1) : : : P (A1ik1)P (A2ik1+1

) : : : P (A2ik1+k2) : : : P (Asik1+��+ks�1+1

) : : : P (Asin)=

52

= p1 : : : p1| {z }k1 factori

� p2 : : : p2| {z }k2 factori

: : : ps : : : ps| {z }ks factori

= pk11 pk22 : : : pkss :

Vom utiliza notatia

P (Xk1;k2;:::;ksn ) = Pn(k1; k2; : : : ; ks):

Atunci din relatia (1.5.6) se obtine

(1.5.7) Pn(k1; k2; : : : ; ks) =n!

k1!k2!:::ks!pk11 p

k22 : : : pkss :

Remarc¼am c¼a dac¼a în (1.5.7) lu¼am s = 2 si not¼am p1 = p, p2 = 1 � p = q,k1 = k si k2 = n � k se obtine membrul drept al relatiei (1.5.4) ceea ce estenatural.Observatie. Deoarece membrul drept al relatiei (1.5.7) este coe�cientul lui

tk11 tk22 : : : tkss din dezvoltarea lui (p1t1+ p2t2+ � � �+ psts)n, schema urnei cu bila

revenit¼a cu mai multe st¼ari se mai numeste schema polinomial¼a sau schemamultinomial¼a.Exemplu. Urna U contine 2 bile rosii, 4 bile albe si 3 bile albastre. Din U

se fac 6 extrageri succesive de câte o bil¼a cu întoarcere. Se cere probabilitatea cadintre cele 6 bile extrase una s¼a �e rosie, dou¼a s¼a �e albe si trei s¼a �e albastre.

Avem evident p1 =2

9, p2 =

4

9, p3 =

3

9, n = 6, k1 = 1, k2 = 2 si k3 = 3, deci

probabilitatea cerut¼a este

P6(1; 2; 3) =6!

1!2!3!

�2

9

�1�4

9

�2�3

9

�3� 0; 0325:

1.5.5. Schema urnelor lui Poisson

Schema urnelor lui Poisson este o alt¼a generalizare a schemei urnei cu bilarevenit¼a.Experimentul de la schema urnei cu bila revenit¼a studiat¼a la 1.5.3 poate

� imaginat si în modul urm¼ator: exist¼a n urne U1; U2; : : : ; Un cu compozitiiidentice, din �ecare urn¼a se extrage câte o bil¼a si se caut¼a probabilitatea eveni-mentului c¼a dintre cele n bile astfel extrase k sunt albe.O generalizare a acestui experiment se obtine considerând c¼a cele n urne au

compozitii diferite.S¼a presupunem date urnele U1; U2; : : : ; Un si c¼a aceste urne contin bile albe si

negre, compozitiile urnelor sunt cunoscute în sensul c¼a se stie c¼a probabilitateaca o bil¼a extras¼a din Ui s¼a �e alb¼a este pi, i = 1; n (atunci probabilitatea ca obil¼a extras¼a din Ui s¼a �e neagr¼a este qi = 1�pi, i = 1; n). Se extrage câte o bil¼adin �ecare din cele n urne si se cere probabilitatea evenimentului Xk c¼a dintrecele n bile astfel extrase k sunt albe si n� k negre.Evident 0 < pi < 1, i = 1; n si 0 � k � n.Dac¼a Ai este evenimentul c¼a bila extras¼a din Ui este alb¼a atunci P (Ai) = pi

si P (Ai) = 1� pi = qi.Evenimentul a c¼arui probabilitate se cere poate � scris(1.5.8) Xk = [(Ai1 \Ai2 \ � � � \Aik \Aik+1 \Aik+2 \ � � � \Ain);unde (i1; i2; : : : ; in) este o permutare a numerelor 1; 2; : : : ; n, iar reunirea se

face dup¼a toate aceste permut¼ari.

53

Deoarece evenimentele Ai1 ; Ai2 ; : : : ; Aik ; Aik+1 ; Aik+2 ; : : : ; Ain sunt total in-dependente (ele referindu-se la rezultate ale unor extrageri din urne diferite), seobtine

P (Ai1 \Ai2 \ � � � \Aik \Aik+1 \Aik+2 \ � � � \Ain) =

= P (Ai1)P (Ai2) : : : P (Aik)P (Aik+1)P (Aik+2) : : : P (Ain) =

= pi1pi2 : : : pikqik+1qik+2 : : : qin :

Evenimentele reunirii din membrul drept al relatiei (1.5.8) �ind incompati-bile dou¼a câte dou¼a rezult¼a c¼a P (Xk) va � suma produselor

pi1pi2 : : : pikqik+1qik+2 : : : qin

pentru toate permut¼arile (i1; i2; : : : ; in) ale numerelor naturale 1; 2; : : : ; n.Se constat¼a usor c¼a suma aceasta este egal¼a cu coe�cientul lui tk din polino-

mul de gradul n în t (p1t+q1)(p2t+q2) : : : (pnt+qq), astfel încât probabilitateaP (Xk) este dat¼a de relatia

(1.5.9)nPk=0

P (Xk)tk =nQi=1

(pit+ qi):

Remarc¼am faptul c¼a dac¼a în schema urnelor lui Poisson consider¼am toatecele n urne identice (adic¼a pi = p, qi = q, i = 1; n) atunci relatia (1.5.9) devine

nXk=0

P (Xk)tk = (pt+ q)n;

astfel încât

P (Xk) = Cknpkqn�k;

adic¼a P (Xk) = Pn(k) dat de relatia (1.5.4).Exemplu. O întreprindere agricol¼a cultiv¼a grâu în 3 ferme. Din date statis-

tice se stie c¼a probabilitatea ca într-un an oarecare productia de grâu la hectars¼a dep¼aseasc¼a 3000 kg este p1 = 0; 5 la prima ferm¼a, p2 = 0; 4 la a doua sip3 = 0; 6 la ferma a treia. Se cere probabilitatea evenimentului X c¼a într-unanumit an productia de grâu la hectar s¼a dep¼aseasc¼a 4000 kg la cel putin dou¼adin cele trei ferme.S¼a not¼am cu Xk evenimentul c¼a exact în k dintre cele 3 ferme productia

de grâu în anul respectiv dep¼aseste 3000 kg la hectar, k = 0; 3. Se observ¼a c¼aevenimentul Xk este de tipul celor descrise în schema urnelor lui Poisson.Vom avea

P (X) = P (X2 [X3) = P (X2) + P (X3):

Relatia (1.5.9) ne d¼a

(0; 4t+ 0; 6)(0; 5t+ 0; 5)(0; 6t+ 0; 4) =

= 0; 12 + 0; 38t+ 0; 38t2 + 0; 12t3;

54

astfel c¼a P (X2) = 0; 38 si P (X3) = 0; 12, deci

P (X) = 0; 38 + 0; 12 = 0; 50:

UNITATEA 2. Variabile aleatoare. Repartitii clasicede probabilitate

2.1. Variabile aleatoarePân¼a acum evenimentele au fost studiate mai întâi din punct de vedere

calitativ iar o dat¼a cu introducerea probabilit¼atilor si din punct de vedere can-titativ. Studiul se extinde prin considerarea unei notiuni noi, aceea de variabil¼aaleatoare, variabil¼a care va juca un rol similar în teoria probabilit¼atilor ca sivariabila din cadrul analizei matematice sau din alt¼a parte a matematicii.În cazul variabilelor aleatoare valorile vor � luate dintr-o anumit¼a multime

nu în mod cert ci numai cu o anumit¼a probabilitate. Ca notatie pentru vari-abila aleatoare se utilizeaz¼a de obicei literele mari sau pot � utilizate si literelegrecesti: �; �::::Consider¼am un câmp de probabilitate (;K; P )De�nitia 1. Se numeste variabil¼a aleatoare real¼a orice aplicatie

X : �! R

aplicatie care asociaz¼a �ec¼arei probe ! un num¼ar real X (!) ;

! 7�! X (!)

astfel încâtX�1 (�1; x) 2 K 8x 2 R:

Aici, prin X�1 (�1; x) am notat evenimentul identi�cat cu multimea pro-belor ! 2 astfel încât X (!) < x :

X�1 (�1; x) = f!; ! 2 ; X (!) < xg :

Observatia 1. În cele ce urmeaz¼a vom avea în vedere dou¼a categorii devariabile aleatoare si anume:- variabile aleatoare de tip discret- variabile aleatoare de tip continuuVariabilele aleatoare de tip discret sunt variabile aleatoare pentru care multimea

valorilor (codomeniul lui X) este o multime �nit¼a sau num¼arabil¼a de forma

M = fxi jxi 2 Rgi2I ; I � N:

Variabila aleatoare de tip continuu este variabila aleatoare a c¼arui codomeniulM este un interval M = [a; b] � R închis sau nu.Exemplul 2. Not¼am cuX variabila aleatoare care reprezint¼a suma punctelor

obtinute la aruncarea a dou¼a zaruri. Atunci

M = f2; 3; 4; 5; 6; :::; 11; 12g :

55

Exemplul 3. Fie = f!1; !2; !3g; K = f;; f!1g; f!2; !3g;g; M =fx1; x2g � R; x1 < x2:Ar¼at¼am c¼a X : ! M; X(!1) = x1; X(!2) = x2; X(!3) = x2 este o

variabil¼a aleatoare.X�1((�1; x)) = ; pentru orice x � x1;X�1((�1; x)) = f!1g pentru orice x1 < x � x2;X�1((�1; x)) = f!2; !3g pentru orice x > x2.De�nitia 4. Dac¼a X este o variabil¼a aleatoare de tip discret atunci numim

functie de probabilitate si o not¼am cu fX : M �! R functia care asociaz¼a�ec¼arui xi 7�! fX (xi) = P (fX = xig) unde fX = xig reprezint¼a evenimentulca variabila aleatoare discret¼a X ia valoarea xi:Observatia 5. Atunci când nu e pericol de confuzie indicele X de la functia

f se va omite si vom nota f (xi) cu pi , unde pi reprezint¼a probabilitatea eveni-mentului ca variabila X s¼a ia valoarea xi: Se constat¼a f¼ar¼a greutate c¼a sistemulde evenimente fX = xigi2I este un sistem complet de evenimente si atunci vor� îndeplinite întodeauna urm¼atoarele dou¼a conditii:( P

i2Ipi = 1

pi � 0; i 2 I

Astfel variabilei aleatoare de tip discret X i se asociaz¼a un tabel (tablou) derepartitie (distributie) de forma:

X :

�xipi

�i2Isau detaliat X :

�x1 x2 ::: xn :::p1 p2 ::: pn :::

�:

Se vede c¼a repartitia (distributia) contine pe prima linie valorile pe carevariabila aleatoare le ia, de obicei scrise o singur¼a dat¼a si în ordine cresc¼atoare,iar pe linia a doua sunt trecute probabilit¼atile cu care variabila aleatoare X iavaloarea corespunz¼atoare (pi).Exemplul 6. Revenim la primul exemplu din aceast¼a sectiune si cerem în

plus s¼a construim distributia acestei variabile aleatoare:

X =

�2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12136

236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

�:

2.2. Operatii cu variabile aleatoare de tip discret

Ca si cu variabilele obisnuite si cu variabilele aleatoare se pot face operatii.Pentru �ecare nou¼a variabil¼a obtinut¼a dup¼a efectuarea operatiilor trebuie s¼acunoastem tabloul de repartitie:1. Adunarea unei variabile aleatoare X cu un num¼ar constant: C +X

C +X :

�C + xipi

�i2I

2. Înmultirea unei variabile cu o constant¼a

C X :

�C xipi

�i2I

56

3. Ridicarea la putere. Fie k 2 N

Xk :

�xkipi

�i2I

când au sens xki se poate lua k 2 Z sau chiar k 2 R.4. Suma a dou¼a variabile aleatoare X;Y : X + Y

X :

�xipi

�i2I

; Y :

�yiqi

�i2I

=) X + Y :

�xi + yjPij

�i2I; j2J

undePij = P [fX = xig \ fY = yjg]

Caz particular: Atunci când X si Y sunt independente

fX = xig si fY = yjg 8 (i; j) 2 I � J

vor � tot independente deci Pij este produsul:

Pij = pi qj :

4. Produsul a dou¼a variabile aleatoare

X Y :

�xiyjPij

�i2I; j2J

Pij = P [fX = xig \ fY = yjg]

Exemplul 7. Se consider¼a variabilele aleatoare de distributii

X :

��1 0 20:3 0:5 0:2

�Y :

��2 10:4 0:6

�Presupunem c¼a acestea sunt independente. S¼a se efectueze urm¼atoarele operatii:2X; 3 + Y; X4; X + Y; X Y; X

Y :

2X :

��2 0 40:3 0:5 0:2

�;

3 + Y :

�1 40:4 0:6

�;

X4 :

�0 1 160:5 0:3 0:2

�;

X + Y :

��3 0 �2 1 0 30:12 0:18 0:2 0:3 0:08 0:12

�X + Y :

��3 �2 0 1 30:12 0:2 0:26 0:3 0:12

�;

Y �1 :

�� 12 1

0:4 0:6

�;

XY = X Y �1 :

�(�1)

�� 12

�= 1

2 (�1) 1 = �1 0 0 �1 20:12 0:18 0:2 0:3 0:08 0:12

�XY :

��1 0 1

2 20:26 0:5 0:12 0:12

�2.3. Functia de repartitie

57

Studiul variabilelor aleatoare se poate considera si prin intermediul uneinoi functii asociate variabilei aleatoare. Aceast¼a functie numit¼a uneori functie�cumulativ¼a a probabilit¼atilor� are o serie de propriet¼ati foarte usor de ex-ploatat.mai ales când e vorba de a evalua probabilit¼atile unor evenimente con-struite cu variabile aleatoare.Fie X o variabil¼a aleatoare discret¼a.De�nitia 8. Se numeste functie de repartitie asociat¼a lui X si se noteaz¼a

cu FX : R �! [0; 1] ; functia care asociaz¼a x 7�! FX (x) ; de�nit¼a prin:

FXdef= P (fX < xg) :

Observatia 9. Atunci când nu exist¼a pericolul de confuzie se va renunta laindicele X si la acoladele din membrul drept:

F (x) = P (X < x) :

Exemplul 10. S¼a construim functia de repartitie pentru variabila aleatoareX din exemplul 7Studiem �ecare caz în parte:

x � �1 =) F (x) = P (X < x) = P (;) = 0�1 < x � 0 =) F (x) = P (X < x) = P (x = �1) = 0:30 < x � 2 =) F (x) = P (X < x) = P (fx = �1g [ fx = 0g) == 0:3 + 0:5 = 0:8

x > 2 =) F (x) = P (X < x) = 1

deci putem scrie:

=) F (x) =

8>><>>:0; x � �1

0:3; �1 < x � 00:8; 0 < x � 21; x > 2

:

Propriet¼ati ale functiei de repartitie:

Folosind doar de�nitia si propriet¼ati ale probabilit¼atilor se deduc urm¼atoarelepropriet¼ati ale functiei de repartitie:1. 0 � F (x) � 1:2. F (�1) = lim

x!�1F (x) = 0:

3. F (+1) = limx!+1

F (x) = 1:

3. F cresc¼atoare: 8 x0; x00 2 R

x0 < x00 =) F (x0) � F (x00) :

4. F este continu¼a la stânga 8 x� 2 R,

F (x�) = F (x� � 0) = limx!0x<x�

F (x) :

5. 8 x0; x00 2 R ; cu x0 < x00 :

58

P (x0 � X < x00) = F (x00)� F (x0) :

2.4. Variabile de tip continuu

În aplicatii variabilele aleatoare de tip discret nu sunt întotdeauna su�ciente.Într-adev¼ar exist¼a probleme care sunt descrise de variabile aleatoare care nu suntdiscrete.Exemplul 11. Greutatea unui produs e reprezentat¼a printr-o variabil¼a

aleatoare care ia orice valoare dintr-un anumit interval: Este nevoie s¼a se aib¼aîn vedere o variabil¼a aleatoare de tip continuu.De�nitia 12. Variabila aleatoare real¼a X este de tip continuu dac¼a functia

sa de repartitie F este dat¼a printr-o relatie de forma:

F (x) =

xZ�1

f (t) dt

f �ind o functie integrabil¼a pe orice interval de forma (�1; x); x 2 R.Functia de repartitie a unei variabile aleatoare de tip continuu se bucur¼a de

aceleasi propriet¼ati ca si în cazul variabilelor aleatoare de tip discret precum side propriet¼ati speci�ce.Observatia 13. Din de�nitia de mai sus si având în vedere propriet¼atile

integralelor avem:

f(x) = F 0d(x) = lim�x!0�x>0

F (x+�x)� F (x)�x

:

De�nitia 14. Functia f se numeste functie densitate de probabilitate avariabilei aleatoare de tip continuu, functie care are propriet¼ati similare cu aceleaale functiei de probabilitate din cazul discret.Teorema 15. Dac¼a F este functie de repartitie a unei variabile aleatoare

continue atunci densitatea de probabilitate f are urm¼atoarele propriet¼ati:

1:f(x) � 0; (8)x 2 R

2:

1Z�1

f(t)dt = 1 .

Observatia 16. Dup¼a cum în cazul variabilei aleatoare discrete aveam oasa zis¼a repartitie, adic¼a un tablou cu dou¼a linii, pe prima linie �ind trecutevalorile variabilei iar pe a doua functia de probabilitate, tot asa si la variabilelealeatoare de tip continuu vom considera o asa zis¼a repartitie sau distribuitie.Astfel, pentru o variabil¼a aleatoare de tip continuu care ia valori doar dintr-uninterval [a; b] repartitia va avea forma:

X :

�x

f(x)

�x2R

f(x) � 0 (8)x 2 R1Z

�1

f(t)dt = 1:

59

2.5. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare

Studiul variabilei aleatoare atât de tip discret cât si de tip continuu se ex-tinde prin introducerea unor caracteristici numerice cu ajutorul c¼arora se dauinformatii suplimentare despre ele. Aceste caracteristici se împart în mai multecategorii:

� de grupare - care evidentiaz¼a niste numere în jurul c¼arora se grupeaz¼avalorile variabilelor,

� de împr¼astiere (de dep¼artare) care dau informatii asupra gradului de dep¼ar-tare a valorilor variabilelor fat¼a de o caracteristic¼a de grupare principal¼a,

� privind forma distributiei: simetrie, asimetrie, boltire, turtire, etc.

2.5.1. Caracteristici de grupare

Sunt niste numere care se determin¼a pornind de la variabila aleatoare con-siderat¼a, numere în jurul c¼arora se grupeaz¼a toate valorile variabilei aleatoare.

Valoarea medie

De�nitia 17. Se numeste valoarea medie a variabilei aleatoare X si senoteaz¼a M (X) num¼arul calculabil prin una din relatiile:

M (X) =Xi2I

xipi ; -dac¼a X este variabil¼a aleatoare discret¼a

M (X) =

Z +1

�1xf (x) dx:; dac¼a X este variabil¼a aleatoare continu¼a

Exemplul 18. X :

��2 1 20:4 0:3 0:3

�=)

M (X) = �0:8 + 0:3 + 0:6 = 0; 1

Exemplul 19. X :

�x

f (x)

�x2R

unde f (x) =

�3x2 x 2 [0; 1]0 în rest

M (X) =

Z +1

�1xf (x) dx =

Z 1

0

x 3x2dx = 3x4

4

��10 =

3

4

Propozitia 20. Valoarea medie are câteva propriet¼ati. Astfel dac¼a X si Ysunt variabile aleatoare, c o constant¼a, avem:1. M (cX) = cM (X) :

2. M (C) = c unde C :�c1

�:

3. M (X + Y ) =M (X) +M (Y ) :4. M (X � Y ) =M (X) M (Y ) ; dac¼a X;Y - independente5. Xmin �M (X) � Xmax unde Xmin ; Xmax sunt valorile minime si maxime

pe care le poate lua X sia � M (X) � b unde X este o variabil¼a aleatoare continu¼a, iar [a; b] e

intervalul pentru care fX (x) 6= 0:

60

Valoarea medie este considerat¼a cea mai important¼a dintre caracteristicilede grupare.

Valoarea modal¼a (moda)

De�nitia 21. Se numeste valoarea modal¼a a variabilei aleatoare X num¼arulnotat cu M� (X) care este valoarea variabilei X cu cea mai mare probabilitate(valoarea cea mai probabil¼a) pentru variabila aleatoare discret¼a respectiv argu-mentul pentru care f are valoare maxim¼a în cazul variabilelor de tip continuu.Exemplul 22. Pentru variabila aleatoare prezentat¼a în exemplul 18 avem:

M� (X) = �2:Exemplul 23. Fie X din exemplul 19. Avem M� (X) = 1:

Valoarea median¼a

De�nitia 24. Se numeste valoare median¼a a variabilei aleatoare X num¼arulMe (X) care împarte repartitia în dou¼a p¼arti egale, adic¼a e num¼arul pentru careP (X < Me (X)) = P (X �Me (X))Observatia 25. În cazul când se utilizeaz¼a functia de repartitie din de�nitia

8 se deduce c¼a F (Me (X)) =12 , adic¼a valoarea medie e solutia inecuatiilor

F (Me (X)) �1

2si F (Me (X)) �

1

2:

Exemplul 26. În cazul variabilei X din exemplul 19 avem:

F (x) =

8<:0 x � 0R x

03t2dt x 2 (0; 1]1 x > 1

=) F (x) =

8<: 0 x � 0x3 x 2 (0; 1]1 x > 1

=) F (x) =1

2adic¼a x3 =

1

2=) x =

13p2=Me (X) :

Momente de ordin superior

În aceeasi categorie de caracteristici de grupare �gureaz¼a asa zisele momentede ordin superior. În unele aplicatii este nevoie s¼a se utilizeze puterile naturaleale unei variabile aleatoare X2; X3; :::; Xk; valori pentru care caracteristicile degrupare principale joac¼a un rol important. Astfel introducem momentele deordin superior în urm¼atoarea de�nitie:De�nitia 27. Se numeste moment de ordin k al variabilei aleatoare X si

se noteaz¼a �k:num¼arul:�k =M

�Xk�:

Observatia 28. Se observ¼a c¼a �1 =M (X) ; �0 = 1:Observatia 29. Cele mai des utilizate în aplicatii sunt: �2; �3; �4:

Exemplul 30. Fie X :

��2 1 20:4 0:3 0:3

�: Avem:

�2 =M�X2�= (�2)2 0:4 + 120:3 + 220:3 = 1:6 + 0:3 + 1:2 = 3:1

�3 =M�X3�= (�8) 0:4 + 0:3 + 8 0:3 = 3:2 + 0:3 + 2:4 = 5:9

�4 =M�X4�= 16 0:4 + 0:3 + 16 0:3 = 6:4 + 0:3 + 4:8 = 11:5

61

Exemplul 31. Pentru X :

�x3x2

�x2[0;1]

avem:

�2 =

Z 1

0

x23x2dx =3

5;

�3 =

Z 1

0

x33x2dx =1

2;

�4 =

Z 1

0

x43x2dx =3

7:

2.5.2. Caracteristici de împr¼astiere (sau de dep¼artare)

Dup¼a ce au fost analizate principalele caracteristici de grupare vom evi-dentia cât de dep¼artate sunt valorile variabilei fat¼a de o valoare de grupare.Într-adev¼ar, valoarea medie d¼a informatii asupra num¼arului în jurul c¼aruia segrupeaz¼a valoarile variabilei, dar acestea nu sunt de ajuns. De exemplu în cazulvariabilelor aleatoare care pot � diferite dar s¼a aib¼a aceeasi valoare medie.

Exemplul 32. Fie variabilele X1 :

��1 112

12

�si X2 :

��100 10012

12

�:

Avem:M (X1) =M (X2) = 0:

cu toate c¼a valorile lor difer¼a semni�cativ.Exist¼a mai multe caracteristici de împr¼astiere. Cele mai des utilizate sunt

urm¼atoarele:

- dispersia (varianta)

- abaterea medie p¼atratic¼a

- momente centrate de ordin superior

Dispersia

Dispersia este cea mai important¼a caracteristic¼a de împr¼astiere.De�nitia 33. Se numeste dispersia variabilei aleatoare X num¼arul notat

D (X) de�nit ca valoare medie a p¼atratului variabilei aleatoare abatere [X �M (X)]; adic¼a num¼arul:

D (X) =Mh(X �M (X))

2i:

Observatia 34. Avem:

D (X) =Xi2I

(xi �M (X))2pi �X variabil¼a aleatoare discret¼a

D (X) =

Z 1

�1(x�M (X))

2f (x) dx �X variabil¼a aleatoare continu¼a.

62

Propozitia 35. Se demonstreaz¼a c¼a dispersia are urm¼atoarele propriet¼ati:1. D (X) � 0:2. D (cX) = c2D (X) :3. D (c) = 0:4. D (X � Y ) = D (X)+ D (Y ) ; dac¼a X;Y - independente.5. D (X) =M

�X2�� (M (X))

2= �2 � �21:

Exemplul 36. Pentru X :

��2 1 20:4 0:3 0:3

�avem M (X) = 0:1:

D (X) = (�2� 0:1)2 0:4 + (1� 0:1)2 0:3 + (2� 0:1)2 0:3 = 3: 09:Sau D (X) = �2 � �21 = 3:1� 0:01 = 3: 09:Exemplul 37. În cazul variabilei aleatoare continue din exemplul 19 avem:D (X) =

R 10

�x� 3

4

�23x2dx = 3

R 10(x4 � 3

2x3 + 9

16x2)dx = 3

80

Sau D(X) = �2 � �21 = 35 �

916 =

380 :

Exemplul 38. Pentru X1 din exemplul 32 avem:

D (X1) = (�1� 0)21

2+ (1� 0)2 1

2= 1;

iar pentru X2 din acelasi exemplu vom avea:

D (X2) = (�100� 0)21

2+ (100� 0)2 1

2= 2

1002

2= 10000:

Abaterea medie p¼atratic¼a

De�nitia 39. Se numeste abatere medie p¼atratic¼a a variabilei aleatoare Xsi se noteaz¼a � (X) num¼arul dat prin relatia

� (X) =pD (X):

Observatia 40. Abaterea medie p¼atratic¼a a fost introdus¼a pentru c¼a unit¼atilede m¼asur¼a ale acesteia sunt exact aceleasi cu unit¼atile de m¼asur¼a ale valorilorvariabilei aleatoare.

Momente centrate de ordin superior

Pentru k 2 N se introduc ca o extensie a dispersiei momentele centrate deordin superior prin de�nitiaDe�nitia 41. Se numeste moment centrat de ordinil k al variabilei aleatoare

X si se noteaz¼a �k valoarea medie a puterii k a variabilei abatere

�k =Mh(X �M (X))

ki:

Observatia 42. �1 = 0; �2 = D (X) :Cele mai des utilizate sunt �3; �4:Are loc urm¼atorul rezultat:Teorema 43. Între momentele centrate de ordin superior �k si momentele

de ordin superior �k exist¼a relatia de leg¼atur¼a:

�k =kXi=0

Cik (�1)i�k�i (�1)

i:

63

În particular avem:

�2 = �2 � �21;�3 = �3 � 3�2�1 + 2�31;�4 = �4 � 4�3�1 + 6�2�21 � 3�41:

Demonstratie. Demonstratia se face folosind de�nitia 41 a momentuluicentrat de ordin superior, formula binomului lui Newton pentru (X �M (X))

k

si propriet¼atile valorii medii.

2.6. Distributii clasice ale variabilelor aleatoare

Tipurile de distributii clasice se asociaz¼a schemelor clasice de probabilitate.

Distributii de variabile aleatoare discrete:

a) Distributia binomial¼a (corespunz¼atoare schemei urnei cu bila revenit¼a):

X :

�k

Cknpkqn�k

�k=0;n

; p+ q = 1; p; q > 0:

b) Distributia hipergeometric¼a (corespunz¼atoare schemei urnei cu bila nerevenit¼a):

X :

�k

Cka �C

n�kb

Cna+b

�k=0;n

:

c) Distributia lui Poisson (se obtine printr-un proces de trecere la limit¼a dindistributia binomial¼a - n!1 , np = � (const.))

X :

�k

�k

k! e��

�k=0;1;:::

d) Distributia lui Pascal (corespunz¼atoare schemei lui Pascal):

X :

�k

Ckn+k�1 � pn � qk

�k=0;1;:::

; p+ q = 1; p; q > 0

Caz particular, pentru n = 1 avem distributia geometric¼a:

X :

�k

p � qk

�k=0;1;:::

; p+ q = 1; p; q > 0:

Distributii de variabile aleatoare continue:

a) Distributia uniform¼a:

X :

�x1b�a

�x2[a;b]

:

64

b) Distributia normal¼a este cea mai des utilizat¼a:

X :

�x

1�p2�e�

(x�m)2

2�2

�x2(�1;1)

; �;m 2 R; � > 0:

În leg¼atur¼a cu aceast¼a distributie amintim urm¼atorul rezultat (IntegralaEuler-Poisson-Gauss):

1Z�1

e�t2

2 dt =p2�:

Media si dispersia in cazul distributiilor clasice

Prezent¼am în continuare valoarea medie si dispersia în cazul variabileloraleatoare care urmeaz¼a distributii clasice.

:

Distributia M(X) D(X)Binomial¼a np npq

Hipergeometric¼a n aa+b n a

a+bba+b

a+b�na+b�1

Poisson � �Pascal (Geometric¼a) 1

pqp2

Uniform¼a a+b2

(b�a)212

Normal¼a m �2

:


2.7.1. Se studiaz¼a alegerea unui proiect de modernizare a unei companii.S-au prezentat 3 proiecte care pot �viabile sau nu. Dac¼a not¼am cu Ai; i = 1; 3,evenimentul "proiectul i este viabil", s¼a se exprime în functie de A1; A2; A3urm¼atoarele evenimente:a) toate proiectele sunt viabile;b) cel putin un proiect este viabil;c) dou¼a proiecte sunt viabile;d) cel mult dou¼a proiecte sunt viabile;e) un singur proiect este viabil.Rezolvare:Not¼am cu �Ai; i = 1; 3, evenimentul "proiectul i nu este viabil".a) Not¼am cu A evenimentul �toate proiectele sunt viabile�A = A1\A2\A3,

adic¼a toate cele 3 proiecte sunt rentabile.b) Not¼am cu B evenimentul �cel putin un proiect este viabil�si astfel putem

scrie B = A1 [A2 [A3c) Not¼am cu C evenimentul �dou¼a proiecte sunt viabile�.C =

�A1 \A2 \ �A3

�[�A1 \ �A2 \A3

�[��A1 \A3 \A3

�d) Not¼am cu D evenimentul �cel mult dou¼a proiecte sunt viabile�. Eveni-

mentul D este echivalent cu a spune c¼a: nici un proiect nu este viabil, doar unproiect este viabil sau dou¼a proiecte sunt viabile.

D =��A1 \ �A2 \ �A3

�[�A1 \ �A2 \ �A3

�[��A1 \A2 \ �A3

�[��A1 \ �A2 \A3

�[C:

e) Not¼am cu E evenimentul �un singur proiect este viabil�. Atunci:E =

�A1 \ �A2 \ �A3

�[��A1 \A2 \ �A3

�[��A1 \ �A2 \A3

�:

65

2.7.2. O moned¼a este aruncat¼a de 3 ori si secventa de m¼arci si steme esteînregistrat¼a.a) Scrieti spatiul evenimentelor elementare b) Scrieti urm¼atoarele evenimente, folosind evenimentele elementare:A-s¼a apar¼a cel putin 2 stemeB-primele 2 arunc¼ari sunt stemeC-ultima aruncare este marc¼ac) Determinati urm¼atoarele evenimente:1) CA ; 2) A \B; 3) A [ CRezolvare: Spatiul evenimentelor aleatoare este: = fSSS; SSM; SMS;MSS; MMS; MSM; SMM;MMMg, unde cu S

not¼am aparitia stemei, iar cu M aparitia m¼arcii.b) Evenimentele A;B;C;se scriu folosind evenimentele elementare din

dup¼a cum urmeaz¼a:A = fSSS; SSM; SMS; MSSgB = fSSM;SSSgC = fSSM; SMM;MMM; MSMgc) Evenimentele CA; A \B;A [B se scriu folosind punctul b) astfel:CA = �A = fSMM;MMM;MMS;MSM gA \B = fSSM;SSSgA [ C = fSSS; SSM; SMS;MSS; SMM; MMM;MSMg2.7.3. Presupunem c¼a într-o camer¼a sunt 5 persoane. Care este probabili-

tatea ca cel putin 2 persoane s¼a aib¼a aceiasi zi de nastere.Solutie: Fie A evenimentul �cel putin 2 persoane au aceiasi zi de nastere�.

Atunci �A este evenimentul �cele 5 persoane au zile de natere diferite�Presupunem c¼a anul are 365 zileAsadar P

��A�= 365 364 363 362 361

3655

Deci, P (A) = 1� P��A�= 1� 365 364 363 362 361

3655

2.7.4. In România numerele de înmatriculare ale masinilor au 7 caractere:2 litere urmate de 2 cifre si alte trei litere. Dac¼a toate secventele de 7 caracteresunt egal probabile, care este probabilitatea ca num¼arul de înmatriculare al uneimasini noi s¼a nu contin¼a cifre si litere identice?Rezolvare:Not¼am cu A evenimentul cerut.Alfabetul contine 26 litere, iar cifrele de pe num¼arul de înmatriculare pot

�: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Num¼arul total de pl¼acute de înmatriculare este 265 �102(corespunz¼atoare celor 5 litere si 2 cifre). Num¼arul pl¼acutelor ce contin literesi cifre diferite este: (26 25) � (10 9) � (24 23 22) (corespunz¼atoare primelor 2litere diferite, urmate de 2 cifre diferite si alte trei litere diferite de primele 2 sidiferite între ele).Deci, P (A) = 26 25 10 9 24 23 22

265102 = 0; 597

2:7:5: Fie PB (A) = 12 ; P �B (A) =

12 si PA (B) =

12 . Se cere :

a) s¼a se determine P (A) si P (B).b) evenimentele A si B sunt independente?Rezolvare:Folosind de�nitia probabilit¼atii conditionate se obtin·e:PB (A) =

P (A\B)P (B) = 1

2

P �B (A) =P(A\ �B)P( �B)

= P (AnB)1�P (B) =

P (A)�P (A\B)1�P (B) = 1

2

PA (B) =P (B\A)P (A) = P (A\B)

P (A) = 12

66

Dac¼a not¼am P (A) = x; P (B) = y; P (A \B) = z, se obtine sistemulliniar:8<:

zy =

12

x�z1�y =

12

zx =

12

,

8<: z = 12y

z = 12x

x� z = 12 �

12y

, de unde prin calcule x = 12 ; y = 1

2 ;

z = 14 .In concluzie: P (A) = 1

2 ; P (B) = 12

Conditia ca evenimentele A si B s¼a �e independente este: P (A \B) =P (A) P (B)Deoarece P (A \B) = 1

4 =1212 = P (A) P (B) se obtine c¼a evenimentele A

si B sunt independente.2.7.6. O �rm¼a de asigur¼ari are clienti din 3 categorii de risc: ridicat, mediu,

sc¼azut, care au respectiv probabilit¼atile de a cere desp¼agubiri în caz de accidente:0,02, 0,01, 0,0025 într-un an. Proportiile celor 3 categorii de clienti în cadrulcompaniei sunt respectiv 10%, 20%, 70%. Care este probabilitatea ca un cliental �rmei s¼a �e desp¼agubit? Care este proportia de desp¼agubiri ce provin într-unan de la clientii cu risc ridicat?Rezolvare:Not¼am cu B evenimentul �un client al companiei este desp¼agu-

bit�si cu:A1-evenimentul �clientul provine din categoria de risc ridicat�A2-evenimentul �clientul provine din categoria de risc mediu�A3-evenimentul �clientul provine din categoria de risc sc¼azut�Sistemul fA1; A2; A3g, formeaz¼a un sistem complet de evenimente deoarece

reuniunea lor este evenimentul sigur si sunt dou¼a câte dou¼a incompatibile.Astfel conform formulei probabilit¼atii totale:

P (B) = P (A1) P�BA1

�+P (A2) P

�BA2

�+P (A3) P

�BA3

�= 0; 1 0; 02+0; 2

0; 01 + 0; 7 0; 025 = 0; 00575:Pentru a r¼aspunde la a doua întrebare folosim formula lui Bayes:P (A1=B) =

P (A1) P (B=A1)P (A1) P (B=A1)+P (A2)P (B=A2)+P (A3)P (B=A3)

= 0;1 0;020;00575 = 0; 347:

2.7.7. La o loterie sunt 100 bilete, din care 10 sunt câstig¼atoare. O persoan¼acump¼ar¼a 15 bilete. S¼ase determine probabilitatea ca:a) 1 bilet s¼a �e câstig¼ator;b) s¼a se obtin¼a toate cele 10 bilete câstig¼atoare;c) cel putin 2 bilete s¼a �e câstig¼atoare.Rezolvare: Se aplic¼a schema urnei cu 2 st¼ari si bila nerevenit¼a.

a) P10;90 (1; 14) =C110 C14

90

C15100

b) P10;90 (10; 5) =C1010 C5

90

C15100

c) Fie A evenimentul ca �cel putin 2 bilete s¼a �e câstig¼atoare�. Consider¼am�A evenimentul contrar ca ca cel mult unul din cele 15 cump¼arate s¼a �e câstig¼ator.Are loc:

P��A�= P10;90 (0; 15)+ P10;90 (1; 14) =

C010 C15

90

C15100

+C110 C14

90

C15100

Probabilitatea cerut¼a va � P (A) = 1� P��A�

2.7.8. Un depozit de piese auto are în stoc piese de la 4 furnizori în urm¼a-toarele cantit¼ati: 100 de la furnizorul F1, 50 de la F2, 30 de la F3 si 80 de laF4.In decursul unei s¼apt¼amâni, depozitul a vândut 45 piese. Care e probabili-

tatea ca din cele 45 de piese vândute, 15 s¼a provin¼a de la furnizorul F1, 5 de laF2, 10 de la F3 si 15 de la F4.

67

Rezolvare: Se aplic¼a schema urnei cu 4 st¼ari si bila nerevenit¼a, undea1 = 100; a2 = 50; a3 = 30; a4 = 80

k1 = 15; k2 = 5; k3 = 10; k4 = 15. Probabilitatea cerut¼a este:

P100;50;30;80 (15; 5; 10; 15) =C15100 C

550 C

1030 C

1580

C45260

2.7.9. Pe parcursul unei s¼apt¼amâni s-a dat predictia cursului valutar, astfelîncât cursul poate s¼a creasc¼a zilnic cu probabilitatea 1

4 , respectiv s¼a scad¼a cuprobabilitatea 3

4 . Stabiliti probabilitatea ca:a) în 5 zile ale s¼apt¼amânii cursul valutar s¼a creasc¼a;b) în cel mult 3 zile cursul valutar s¼a creasc¼a;c) în cel putin 2 zile cursul valutar s¼a creasc¼a;Rezolvare: Consider¼am evenimentul A �cursul valutar s¼a creasc¼a într-o

zi�. In �ecare zi poate avea loc A sau �A.Se aplic¼a schema urnei cu 2 st¼ari si bila revenit¼a (schema binomial¼a), unde:

n = 7; p = P (A) = 14 ; q = P

��A�= 3

4 ,Probabilitatea de a se produce A de k ori este: P (k) = Ck7 p

kq7�k.a) Probabilitatea cerut¼a este: P7 (5) = C57 p

5q7�5 = C57�14

�5 � 34

�2b) Probabilitatea cerut¼a este:3P

k=0

P7 (k) =3P

k=0

Ck7 pk q7�k =

3Pk=0

Ck7�14

�k � 34

�7�k.

c) Not¼am cu C evenimentul �cursul valutar s¼a creasc¼a în cel putin 2 zile�.Atunci C este evenimentul: �cursul valutar s¼a nu creasc¼a în nici o zi sau s¼acreasc¼a într-o zi�. Asadar putem scrie:

P�C�= P7 (0) + P7 (1) = C07

�14

�0 � 34

�7+ C17

�14

�1 � 34

�6Probabilitatea cerut¼a este:P (C) = 1� P

��C�.

2.7.10. Un supermarket vinde urm¼atoarele sortimente de cafea: natural¼a,cappuccino si expresso. Probabilitatea ca un client s¼a cumpere cafea natural¼aeste 0,55, cappuccino 0,3, iar expresso 0,15.Determinati probabilitatea ca din 100 clienti, 70 s¼a cumpere cafea natural¼a,

20 s¼a cumpere cappuccino, iar 10 s¼a cumpere expresso.Rezolvare: Aplic¼am schema urnei cu 3 st¼ari si bila revenit¼a (schema multino-

mial¼a)Fie Ai, evenimentul ca un client s¼a cumpere sortimentul i de cafea , i = 1; 3.

Avem evident:p1 = P (A1) = 0; 55, p2 = P (A2) = 0; 3, p3 = P (A3) = 0; 15, n = 100,

k1 = 70, k2 = 20, k3 = 10Probabilitatea cerut¼a este:P100 (70; 20; 10) =

100!70!20!10! (0; 55)

70(0; 30)

20(0; 15)

10

2.7.11. Care e probabilitatea ca al 80-lea client care intr¼a într-o banc¼a, s¼a�e a 20-a persoan¼a care încheie o polit¼a de asigurare, stiind c¼a probabilitatea cacineva s¼a încheie o polit¼a de asigurare este de 0,6.Rezolvare: Se aplic¼a schema lui Pascal cu n = 80 (num¼arul clientilor),

k = 20 (num¼arul succeselor), p = 0; 6, q = 0; 4.Probabilitatea cerut¼a este: Ck�1n�1 p

k qn�k = C1979 (0; 6)20(0; 4)

60.2.7.12. La trei reprezentante ale concernului Nokia se g¼asesc telefoane mo-

bile cu ecran color sau alb-negru în urm¼atoarele proportii: la prima reprezen-tant¼a 14 cu ecran color si 16 cu ecran alb-negru, la a doua 13 cu ecran color si17 cu ecran alb-negru, iar la a treia 14 cu ecran color si 18 cu ecran alb-negru.

68

Se alege la întâmplare câte un telefon mobil de la �ecare reprezentant¼a, pentrua � supus unor probe de veri�care. Care e probabilitatea ca din cele 3 telefoanealese dou¼a s¼a �e cu ecran color, iar unul cu ecran alb-negru?Rezolvare:Aplic¼am schema lui Poisson. Pentru aceasta not¼am cu pi pro-babilitatea ca telefonul ales de la reprezentanta i s¼a aib¼a ecran color, i = 1; 3.

Avem c¼a:p1 =

1430 ; q1 =

1630 ; p2 =

1330 ; q2 =

1730 ; p3 =

1432 ; q3 =

1832

Conform schemei lui Poisson, probabilitatea cerut¼a este dat¼a de coe�cientullui t2 al polinomului(p1t+ q1) (p2t+ q2) (p3t+ q3)adic¼a de:

p1p2q3 + p1q2p3 + q1p2p3 =1430

1330

1832 +

1430

1730

1432 +

1630

1330

1432 = 0; 33.

Teme de control

2.8. Exercitii si probleme propuse

2.8.1. In drum spre locul de munc¼a un om trece prin 3 intersectii consecu-tive, semaforizate. La �ecare semafor se opreste sau îsi continu¼a drumul. Dac¼anot¼am cu Ai; i = 1; 3 evenimentul �la intersectia i continu¼a drumul�, s¼a seexprime folosind A1; A2; A3 urm¼atoarele evenimente:a) persoana are liber la toate intersectiile,b) persoana opreste la toate intersectiile,c) persoana opreste la cel putin o intersectie,d) persoana opreste la cel mult o intersectie.R¼aspuns:a) A = A1 \A2 \A3b) B = �A1 \ �A2 \ �A3c) C = �A1 [ �A2 [ �A3d) D = A [

�A1 \A2 \ �A3

�[�A1 \ �A2 \A3

�[��A1 \A2 \A3

�2.8.2. Se arunc¼a o moned¼a de dou¼a ori. Care este probabilitatea ca marca

s¼a apar¼a cel putin o dat¼a?R¼aspuns: p = 0; 752.8.3. Doi tr¼ag¼atori trag simultan asupra unei tinte. Probabilitatea de a

nimeri tinta este p, respectiv p2cu p 2 (0; 1) pentru cei doi. Stabiliti valoarealui p astfel încât probabilitatea ca primul s¼a nimereasc¼a tinta si al doilea s¼a nuo loveasc¼a s¼a �e cel putin egal¼a cu 0; 375.

R¼aspuns: p 2h12 ;

p13�14

i2.8.4. Se arunc¼a 2 zaruri. Care este probabilitatea ca suma fetelor s¼a �e 6,

stiind c¼a suma acestor fete a dat un num¼ar par?R¼aspuns:Folosind formula probabilit¼atii conditionate se obtine p = 5

18 .2.8.5. Un lift ce contine 5 persoane se poate opri la oricare din cele 7 etaje

ale unei cl¼adiri. Care este probabilitatea ca 2 persoane s¼a nu coboare la acelasietaj?R¼aspuns: 0; 152.8.6. Ocompanie produce în 3 schimburi. Intr-o anumit¼a zi, 1% din arti-

colele produse de I schimb sunt defecte, 2% din cele produse în al II-lea schimbsi 3% din al III-lea schimb. Dac¼a cele trei schimburi au aceeiasi productivitate,care este probabilitate ca un produs din acea zi s¼a �e defect? Dac¼a un produseste defect, care este probabilitatea ca el s¼a � fost fabricat în schimbul al III-lea?

69

R¼aspuns: Folosind formula probilit¼atii totale si formula lui Bayes se obtine:0; 02 respectiv 0; 52.8.7. Presupunem c¼a ocupatiile în cadrul unei mari companii sunt gru-

pate în 3 nivele de performant¼a: superior (U), mijlociu (M), si inferior (L).U1reprezint¼a evenimentul c¼a tat¼al este în nivelul superior, iar U2 evenimentulc¼a �ul este în nivel superior, etc. S-a determinat urm¼atorul tabel privind mo-bilitatea ocupational¼a unde indicele1 se refer¼a la tat¼a, iar indicele 2 la �u:

FiuTat�a U2 M2 L2U1 0; 45 0; 48 0; 07M1 0; 05 0; 70 0; 25L1 0; 01 0; 50 0; 49

Prima linie a tabelului se citeste astfel: dac¼a tat¼al este în nivelul ocupationalU probabilitatea ca �ul s¼a �e în U este 0; 45, probabilitatea ca �ul s¼a în M este0; 48, respectiv probabilitatea ca �ul s¼a �e în L este 0,07 (celelalte linii aletabelului se citesc analog). Presupunem c¼a 10% din generatia tat¼alui suntU ,40% sunt M si 50% în L. Care este probabilitatea ca un �u din generatiaurm¼atoare s¼a �e în U? Dac¼a un �u este în nivelul ocupational U , care esteprobabilitatea ca tat¼al s¼a � fost în U?R¼aspuns: Folosind formula probilit¼atii totale si formula lui Bayes se obtine:

0; 07 si 0; 64.2.8.8. Intr-un lot de 400 piese, 10 sunt defecte. Se aleg aleator 20 piese. S¼a

se calculeze probabilitatea ca între piesele alese :a) 4 piese s¼a �e defecte;b) s¼a �e cel mult 6 piese defecte;c) s¼a nu �e nici o pies¼a defect¼a

R¼aspuns: a) P10;390 (4; 16) =C410 C

16390

C20400

; b)6P

k=0

P10;390 (k; 20� k); c)

P10;390 (0; 20)2.8.9. O comisie international¼a este format¼a din 5 români, 7 italieni, 4

olandezi si 6 elvetieni. Se aleg la întâmplare 10 persoane pentru a forma osubcomisie. S¼a se calculeze probabilitatea ca din cele 10 persoane alese, 2 s¼a �eromâni, 3 italieni, 3 olandezi si 2 elvetieni.

R¼aspuns: P5;7;4;6 (2; 3; 3; 2) =C25 C

37 C

34 C

26

C1022

2.8.10. Pe parcursul a 10 zile de var¼a s-a dat prognoza meteo astfel încâtzilnic pot c¼adea precipitatii cu probabilitatea 0,2.Calculati probabilitatea de aploua:a) în 3 zile;b) în cel mult 4 zile;c) în cel putin 3 zile.

R¼aspuns: a) P10 (3) = C310 (0; 2)3(0; 8)

7; b)4P

K=0

P10 (k); c) 1 �2P

K=0

P10 (k).

2.8.11. Se arunc¼a un zar de 20 de ori. S¼a se calculeze probabilitatea ca de8 ori s¼a apar¼a un num¼ar prim, de 10 ori un num¼ar compus si de 2 ori fata cu unpunct.

R¼aspuns: P20 (8; 10; 2) =20!

8! 10! 2!

�36

�2 � 26

�10 � 16

�2

70

2.8.12. Avem 4 grupe de studenti: în prima grup¼a sunt 20 fete si 5 b¼aieti, îna doua grup¼a sunt 15 fete si 10 b¼aieti, în a treia grup¼a sunt 10 fete si 15 b¼aieti, îna patra grup¼a sunt 24 fete si 1 b¼aiat. Se alege câte un student din �ecare grup¼apentru a participa la o actiune publicitar¼a pentru promovarea unui produs.S¼a se calculeze probabilitatea ca între studentii alesi:a) trei s¼a �e fete;b) s¼a �e numai fete;c) s¼a �e cel putin o fat¼a.R¼aspuns: Se aplic¼a schema lui Poissona) 0; 453, b) 2025

1525

1025

2425 = 0; 184, c) 1� 5

251025

1525

125 = 0; 998

Rezumat modulIn acest modul s-au introdus notiunile de eveniment, probabilitate, operatii

cu evenimente.S-au de�nit variabilele aleatoare de tip discret si continuu, functiade repartitie precum si caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare.In cazul repartitiilor clasice, s-au precizat functiile de probabilitate si den-

sitate de probabilitate si au fost calculate valorile medii si dispersiile acestorvariabile aleatoare.

Bibliogra�e modul1. Colectiv, Elemente de teoria probabilitatilor si statistica matemetica pen-

tru economisti, Ed. Todesco, Cluj-Napoca, 2004.3. Mihoc I., Calculul probabilitatilor si statistica matematica, lito UBB,

Cluj-Napoca, 1998.4. Muresan A.S., Blaga P., Matematici aplicate in economie, vol. I, Ed.


III. Anexe

Bibliogra�a completa a cursului:

1. Colectiv, Elemente de Algebra liniara si Analiza matematica pentrueconomisti, Ed. Todesco, Cluj-Napoca, 2003.2. Colectiv, Elemente de teoria probabilitatilor si statistica matemetica pen-

tru economisti, Ed. Todesco, Cluj-Napoca, 2004.3. Mihoc M., Mihoc I., Matematici aplicate in economie. Analiza matema-

tica, Ed. Presa Universitara Clujeana, Cluj-Napoca, 2000,4. Muresan A.S., Blaga P., Matematici aplicate in economie, vol. I, Ed.

Transilvania Press, Cluj-Napoca, 19965. Colectiv, Analiza matematica, Teoria Probabilitatilor si Algebra liniara

aplicate in economie, Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 2008.6. Colectiv, Elemente de teoria probabilitatilor si statistica matemetica pen-

tru economisti, Ed. Todesco, Cluj-Napoca, 2004.7. Mihoc I., Calculul probabilitatilor si statistica matematica, lito UBB,

Cluj-Napoca, 1998.8. Muresan A.S., Blaga P., Matematici aplicate in economie, vol. I, Ed.


71

Scurta biogra�e a titularilor de curs

Numele si prenumele MURESAN ANTON SILVIUData nasterii 31 mai 1947Functia didactic¼a actual¼a ProfesorInstitutia la care este titular Catedra de Statistica-Previziuni-Matematica,

FSEGA, UBBStudii Data absolvirii InstitutiaDoctorat in matematica 1976 UBBLicenta in matematica 1970 UBBBacalaureat 1965 Sc. Medie nr. 2 Baia MareCariera didactic¼a �Denumirea functiei didactic Perioada Calitatea

Titular/asociat Institutiade înv¼at¼amântProfesor universitar 1994-prezent Titular UBBConferentiar universitar 1990-1994 Titular UBBLector universitar 1976-1990 Titular UBBAsistent universitar 1974-1976 Titular UBBAsistent universitar 1970-1974 Stagiar UBBPublicatii, alte rezultate ale activit¼atii didactice si de cercetare stiinti�c¼a

Num¼arC¼arti, monogra�i, materiale de studiu 63Alte articole 47Particip¼ari la conferinte internationale 15Particip¼ari la conferinte interne 29Membru în comitete de organizare sau stiinti�ce ale unor conferinte 5Alte rezultate (denumirea) Premiu UBB 1Visiting Professor Italia Univ. La Sapienza Roma 1Activit¼ati în domeniul ID Denumirea/perioada Institutia organiza-

toareProfesor Matem. aplicate in economie UBBProfesor Matem. �nanciare si actuariale UBBProfesor Teoria jocurilor si aplicatii UBB

Numele si prenumele FILIP DIANA ANDRADAData nasterii 18-03-1969Functia didactic¼a actual¼a ConferentiarInstitutia la care este titular Catedra de Statistica-Previziuni-Matematica,

FSEGA, UBBStudii Data absolvirii InstitutiaDoctorat in matematica 1999 UBBLicenta in matematica 1993 UBBBacalaureat 1988 Liceul "Nicolae Balcescu"Cluj-

NapocaDenumirea functiei didactic Perioada Calitatea

Titular/asociat Institutiade înv¼at¼amântConferentiar universitar 2004 - prezent Titular UBBLector universitar 2000 - 2004 Titular UBB

72

Asistent universitar 1996 - 2000 Titular UBB

Preparator universitar 1994-1996 Titular UBB

Profesor de matematica 1993-1994 Titular Liceul TraianVuia Cluj-NapocaPublicatii, alte rezultate ale activit¼atii didactice si de cercetare stiinti�c¼a

Num¼arC¼arti, monogra�i, materiale de studiu 6Articole BDI 6Particip¼ari la conferinte internationale 8Particip¼ari la conferinte interne 12Membru în comitete de organizare sau stiinti�ce ale unor conferinte 4Activit¼ati în domeniul ID Denumirea Institutia organizatoareConferentiar Matem. aplicate in economie UBBConferentiar Matem. �nanciare si actuariale UBB

Numele si prenumele CURT PAULAData nasterii 31 mai 1964Functia didactic¼a actual¼a ConferentiarInstitutia la care este titular Catedra de Statistica-Previziuni-Matematica,

FSEGA, UBBStudii Data absolvirii InstitutiaDoctorat in matematica 1997 UBBLicenta in matematica 1986 UBBBacalaureat 1982 Liceul �Andrei Muresanu"

DejDenumirea functiei didactic Perioada Calitatea

Titular/asociat Institutiade înv¼at¼amântConferentiar universitar 2003-prezent Titular UBBLector universitar 1995-2003 Titular UBBAsistent universitar 1990-1995 Titular UBBPublicatii, alte rezultate ale activit¼atii didactice si de cercetare stiinti�c¼a

Num¼arC¼arti, monogra�i, materiale de studiu 6Articole BDI 27Particip¼ari la conferinte internationale 15Particip¼ari la conferinte interne 10Membru în comitete de organizare sau stiinti�ce ale unor conferinte 5Activit¼ati în domeniul ID Denumirea Institutia organizatoareConferentiar Matem. aplicate in economie UBBConferentiar Matem. �nanciare si actuariale UBB

Numele si prenumele MIHOC MARIAData nasterii 27-01-1941Functia didactic¼a actual¼a ConferentiarInstitutia la care este titular Catedra de Statistica-Previziuni-Matematica,

FSEGA, UBBStudii Data absolvirii Institutia

73

Doctorat in matematica 1981 UBBLicenta in matematica 1963 UBBBacalaureat 1957 - Liceul Teoretic �G. Cosbuc�(Regina

Maria) Cluj-NapocaDenumirea functiei didactic Perioada Calitatea

Titular/asociat Institutiade înv¼at¼amântConferentiar universitar 1995 - Titular UBBLector universitar 1990 �1995 Titular UBBCercetator 1963 �1990 Titular UBBPublicatii, alte rezultate ale activit¼atii didactice si de cercetare stiinti�c¼a

Num¼arC¼arti, monogra�i, materiale de studiu 16Articole BDI 25Particip¼ari la conferinte internationale 27Particip¼ari la conferinte interne 40Activit¼ati în domeniul ID Denumirea Institutia organizatoareConferentiar Matem. aplicate in economie UBBConferentiar Matem. �nanciare si actuariale UBB

Numele si prenumele RAP ILIEData nasterii 29-09-1940Functia didactic¼a actual¼a LectorInstitutia la care este titular Catedra de Statistica-Previziuni-Matematica,

FSEGA, UBBStudii Data absolvirii InstitutiaLicenta in matematica 1963 UBBBacalaureat 1956 Liceul Alba IuliaDenumirea functiei didactic Perioada Calitatea

Titular/asociat Institutiade înv¼at¼amântLector universitar 1973 - Titular UBBAsistent 1968 - 1973 Titular UBBCercetator 1963 �1968 Titular Institutul de

Fizica Atomica ClujPublicatii, alte rezultate ale activit¼atii didactice si de cercetare stiinti�c¼a

Num¼arC¼arti, monogra�i, materiale de studiu 15Articole BDI 33Particip¼ari la conferinte internationale 2Particip¼ari la conferinte interne 2Contracte de cercetare 12Activit¼ati în domeniul ID Denumirea Institutia organizatoareLector Matem. aplicate in economie UBBLector Matem. �nanciare si actuariale UBB

Numele si prenumele RADU VOICHITAData nasterii 04-08-1974Functia didactic¼a actual¼a Lector

74

Institutia la care este titular Catedra de Statistica-Previziuni-Matematica,FSEGA, UBBStudii Data absolvirii InstitutiaDoctorat in matematica 2006 UBBLicenta in matematica 1996 UBBBacalaureat 1988-1992 Liceul "Emil Racovita"Cluj-

NapocaDenumirea functiei didactic Perioada Calitatea

Titular/asociat Institutiade înv¼at¼amântLector universitar 2005-prezent Titular UBBAsistent universitar 2000-2005 Titular UBBPreparator 1998-2000 Titular UBBPublicatii, alte rezultate ale activit¼atii didactice si de cercetare stiinti�c¼a

Num¼arC¼arti, monogra�i, materiale de studiu 9Articole BDI 3Particip¼ari la conferinte internationale 4Particip¼ari la conferinte interne 6Membru în comitete de organizare sau stiinti�ce ale unor conferinte 1Activit¼ati în domeniul ID Denumirea Institutia organizatoareLector Matem. aplicate in economie UBBLector Matem. �nanciare si actuariale UBB

Manual matematica

Documents

Transcript of Manual matematica