Memorator matematica

download Memorator matematica

of 64

Transcript of Memorator matematica

CUPRINSALGEBR I. Elemente de logic matematic II. Mulimi III. Relaii binare IV. Funcii V. Operaii cu numere reale VI. Ecuaii i inecuaii de gradul nti VII. Numere complexe VIII. Ecuaii i inecuaii de gradul al II-lea IX. Ecuaii algebrice de gradul III, IV i V X. Logaritmi XI. Metoda induciei matematice XII. Analiz combinatorie XIII. Progresii XIV. Polinoame XV. Permutri, matrici, determinani XVI. Sisteme lineare XVII. Structuri algebrice GEOMETRIE I TRIGONOMETRIEI. Triunghiul II. Poligoane convexe III. Relaii metrice n triunghi IV. Patrulatere V. Poligoane nscrise n cerc VI. Cercul VII. Complemente de geometrie plan VIII. Poliedre IX. Corpuri rotunde X. Funcii trigonometrice XI. Formule trigonometrice XII. Inversarea funciilor trigonometrice XIII. Soluiile ecuaiilor trigonometrice simple XIV. Elemete de geometrie analitic ANLIZ MATEMATIC I. Siruri II. Limite de funcii III. Funcii derivabile IV. Asimptote V. Primitive VI. Integrale definite 1ALGEBRI. Elemente de logic matematicI.1. Noiunea de propoziieDefiniia I.1.1. Se numete propoziie un enun despre care se poate spune c este adevrat sau fals, adr nu i adevrat i fals simultan.Se noteaz cu p,q, P, QEx:1) Q : acesta este un enun care exprim un adevr, deci o propoziie adevrat.2) x + 5 = 3, xN este o propoziie fals, pentru c nu exist nici un numr natural astfel ca x + 5 = 33) x y, x,yN este un enun despre care nu se poate spune nimic. Deci nu este o propoziie.Valoarea logic sau valoarea de adevr a unei propoziii. Dac o propoziie p esteadevratsespunecarevaloarealogicsauvaloareadeadevr: adevrul; aceastvaloaredeadevrsenoteazcusimbolul 1sauai scriem v(p)=1sau (v)p = a. Daca o propoziie qeste fals, se spune c are valoarea de adevr: falsul; aceastvaloaredeadevrsenoteazcusimbolul 0saufi scriem v(q) =0sau v(q) = f.I.2. Operatori logiciNegaiaDefiniia I.1.2. Negaia unei propoziii p este propoziia care este fals cnd p este adevrat i este adevrat cnd p este fals. Se noteaz: non p, 1p, p.Tabela de adevr a propoziieinon pse ntocmete be baza relaiei v(non p) = 1 v(p).p non p1 00 1ConjunciaDefiniia I.2.2.Conjunciaa dou propoziiipiqeste propoziia care este adevrat dac i numai dac fiecare propoziie p i q este adevrat.Se noteaz: p q Tabela de adevr a propoziiei p q este:p qp q1 1 11 0 00 1 00 0 02DisjunciaDefiniia I.2.3.Disjunciaa dou propoziiip iqeste propoziia care este adevratdaci numai daccel puinunadinpropoziiilep, qeste adevrat.Se noteaz: p qTabela de adevr a propoziiei p q este:p qp q1 1 11 0 10 1 10 0 0ImplicaiaDefiniia I.2.4. Implicaia propoziiilor p i q este propoziia care este fals dac i numai dac p este adevrat i q este fals.Se noteaz: (non p) sau q, pq i se citete: p implic q sau dac p, atunci q. Propoziia p este ipoteza, iar propoziia q este concluzia.Tabela de adevr a propoziiei pq este:p q non p(non p)q1 1 0 11 0 0 00 1 1 10 0 1 1Echivalena logicDefiniia I.2.4. Propoziiile p i q sunt echivalente logic, dac i numai dac p, q sunt adevrate sau false simultan.Se noteaz(nonp)qi(nonq)p; (pq) i (qp);pq; se citete: p echivalent cu q sau p dac i numai dac q, p este condiie necesar i suficient pentru q.Tabela de adevr a propoziiei compuse pq este:p q non p non qpq qp (pq)(qp)1 1 0 0 1 1 11 0 0 1 0 1 00 1 1 0 1 0 00 0 1 1 1 1 13I.3. Expresii n calculul propoziiilorPropoziiile p,q, r, fiind date, cu ajutorul operatorilor logici1 ,,,, putem formula diferite expresii, care se numesc formule ale calculului cu propoziiisau expresii logice. Ele se noteaz sau (p,q,r,), (p,q,r,).nlocuindn pep,q,r,cudiferitepropoziii obinemoaltpropoziie, adevrat saunu, a crei valoare de adevr se numetevaloarea expresiei , obinut pentru propoziiile p,q,r, respective.Definiia I.3.1. O expresie logic care se reduce la o propoziie adevrat,oricare ar fi propoziiile p,q,r, se numete tautologie.Definiia I.3.2.Dou expresii logice i se numesc echivalentedac inumai dac pentru orice propoziii p,q,r, cele dou expresii reprezint propoziiicare au aceeai valoare de adevr. n scris se noteaz .I.4. Noiunea de predicatDefiniia I.4.1. Se numete predicat sau propoziie cu variabile un enun care depindedeovariabilsaudemai multevariabilei areproprietateacpentru orice valori date variabilelor se obine o propoziie adevrat sau o propoziie fals.Predicatelesenoteazp(z,y,z,), q(x,y,z,)i potfi unare(deovariabil), binare (de dou variabile), ternare (de trei variabile), etc., variabilele x,y,z, lund valori n mulimi date.Definiia I.4.2. Predicatele p(z,y,z,), q(x,y,z,) se numesc echivalente dac,oricare ar fi valorile pe care le iau x,y,z, n unul i acelai domeniu, propoziiile corespunztoare au aceleai valori de adevr. Scriem p(z,y,z,) q(x,y,z,).I.5. CuantificatoriDefiniiaI.5.1.Fiep(x), cuxM, unpredicat. Dacexist(cel puin)un elementxM, astfelnctpropoziiap(x)esteadevrat, atunciscriem xp(x),(x)p(x)sau(xM)p(x).Simbolulsenumetecuantificatorexisteniali se citete exist.DefiniiaI.5.2.Fiep(x)cuxM, unpredicat. Dacp(x)esteopropoziie adevrat pentru oricexM, atunci scriemxpx,(x)p(x) sau(xM)p(x).Simbolul se numete cuantificator universal i se citete oricare ar fi.Proprietatea de comutativitate a cuantificatorilor:1. (x)(y)p(x,y) (y)(x)p(x,y);2. (x)( y)p(x,y) (y)( x)p(x,y);Reguli de negare:1. 1 ((x)p(x)) ((x)1 (p(x));2. 1 ((x)p(x)) ((x)1 (p(x));3. 1 ((x)(y)p(x,y))((x)(y)1 p(x,y));4. 1 ((x)( y)p(x,y))(( x)( y)1 p(x,y));I.6. Metoda de demonstraie prin reducere la absurdAceast metod se bazeaz pe tautologia (pq) (non pnon q), care ne arat c pentru a demonstra c pq, este totuna cu a demonstra c non pnon q.4I.7. Proprieti fundamentale ale operatorilor logiciOricare ar fi propoziiile p,q,r, avem:1. non(non p) p;2. (pq) (qp) (comutativitatea conjunciei);3. ((pq)r) (p(qr)) (asociativitatea conjunciei);4. (pq) (qp) (comutativitatea disjunciei);5. ((pq) r) (p(qr)) (asociativitatea discjunciei);6. ((pq)(qr))(pr) (tranzitivitatea implicaiei);7. non(pq) (non p)(non q) legile lui de Morgan;non(pq) (non p)(non q)8. (p(qr)) ((pq)(pr)) conjuncia este distributiv n raport cu disjuncia i (p(qr)) ((pq)(pr)) disjuncia este distributiv n raport cu conjunciaII. MulimiModuri dedefinireamulimilor. Mulimilesedefinescfieprinindicarea elementelor lor (de pild {0,1,3} sau {x,y,z}), fie prin specificarea unei proprieti caracteristice a elementelor lor (de exemplu {xR x2 3x + 2 = 0}).Mulimile se noteaz cu litere mari: A, B, C, X, Y, Z, iar elementele lor cu litere mici: a, b, c,Apartenenaunui element laomulime. Dacunelementaaparineunei mulimi A, acesta se noteaz aA i se citete a aparine lui A.Definiie.Mulimeavidestemulimeacarenuarenici unelement. Se noteaz cu .II.1. Egalitatea mulimlor A i B:(A = B) (xA xB) i (yB yA)Proprietile egalitii:1. A, A = A (reflexivitatea);2. (A = B) (B = A) (simetria);3. (A = B B = C) (A = C) (tranzitivitatea);II.2. Incluziunea mulimii A n mulimea B:(A B) (xA x B)Mulimea A se numete o parte sau o submulime a lui B.Proprietile incluziunii:1. A, A A (reflexivitatea);2. (A B) (B A) (A = B) (antisimetria);3. (A B B C) (A C) (tranzitivitatea);4. A, ARelaia de neincluziune se noteaz A B.5II.3. Reuniunea mulimilor A i B:A B = {x xA xB}Proprietile reuniunii:1. A, B: A B = B A (reflexivitatea);2. A, B, C: (A B) C) = A (B C) (asociativitatea);3. A: A A = A (idempotena);4. A: A = A;5. A, B: A A B, B A B.II.4. Intersecia mulimilor A i B:A B = {x xA xB}Proprietile interseciei:1. A, B: A B = B A (comutativitatea);2. A, B, C: (A B) C = A (B C) (asociativitatea);3. A: A A = A (idempotena);4. A: A = 5. A, B: A B A, A B B6. A, B, C: (A B) C = (A C) (B C) (distributivitatea interseciei fa de reuniune);7. A, B, C: (A B) C = (A C) (B C) (distributivitatea reuniunii fa de intersecie);8. A, B: A (A B) = A, A (A B) = A (absorbia).Definiie.MulimileA iBcarenuauniciunelementcomunsenumesc disjuncte. Pentru ele avem A B = .II.5. Diferena mulimilor A i B:A \ B = {x xA xB}Proprietile diferenei:1. A: A \ A = ;2. A, B, C: (A \ B) C = (A C) \ (B C);3. A, B: A \ B = A \ (A B);4. A, B: A = (A B) (A \ B);5. A, B, C: A \ (B C) = (A \ B) \ C;6. A, B, C: A \ (B C) = (A \ B) (A \ C);7. A, B, C: (A B) \ C = (A \ C) (B \ C);8. A, B, C: (A B) \ C = A (B \ C) = (A \ C) B.II.6. Diferena simetric a mulimilor A i B:A B = (A \ B) (B \ A)Proprietile diferenei simetrice:1. A: A A = ;2. A, B: A B = B A (comutativitatea);63. A: A = A = A;4. A, B, C: (A B) C = A (B C) (asociativitatea);5. A, B, C: A (B C) = (A B) (A C);6. A, B: A B = A B \ (A B)II.7. Complementara unei mulimi A n raport cu mulimea E:(A fiind o parte a lui E, adic AE)CEA = {x xE xA}Proprieti: (A, BE)1. CE(CEA) = A (principiul reciprocitii);2. CEA = E \ A;3. CE = E;4. CEE = ;5. A CEA = A (principiul exluderii teriului);6. A CEA = (principiul necontradiciei);7. A B CEB CEA;8. A \ B = CE(A B).II.8. Formulele lui de Morgan (A, BE)CE(A B) = CEA CEB; CE(A B)= CEA CEB.II.9. Produsul cartezian a dou mulimile A i B:A x B = {(a,b) aA bB}Proprietile produsului cartezian ( A,B,C,D avem):1. A x B B x A, dac A B;2. (A x B) (A x C) = A x (B C);3. (A B) x C = (A x C) (B x C);4. (A B) x C = (A x C) (B x C);5. (A \ B) x C = A x C \ B x C;6. (A B) x (C D) = (A x C) (B x D)Definiia II.9.1. Mulimile A i B se numesc echipotente dac exist o bijecie de la A la B.Definiia II.9.2. Fie E o mulime. Aceasta se numete finit dac E = sau dac exist nN, astfel nct E este echipotent cu mulimea {1,2,,n}.DefiniiaII.9.3.OmulimeEsenumeteinfinitdaceanuestefinit. Exemple de mulimi infinite sunt: N, Z, Q, R.Definiia II.9.4.Fie Eo mulime. Aceasta se numete numrabildac este echipoent cu N. Exemplu: Mulimea numerelor raionale.Definiia II.9.5.O mulime se numete cel mult numrabildac este finit sau numrabil.Definiia II.9.6.Fie Eo mulime. Se numete cardinalulacestei mulimi un simboasociat ei, notat EsaucardE, astfel nct E= F ,dacinumai dacEesteechipotentcuF;cardinalul mulimii videsenoteazcu0,7cardinalul mulimii {1,2,,n} cu nN, senoteaz cu n, iar cardinalul mulimii N se noteaz cu x0 (alef zero).Teorema II.9.1. Fie A i B dou mulimi finite. Atunci: A B=A+B- A B Teorema II.9.2. Fie A, B i C trei mulimi finite. Atunci: A B C =A+ B+ C-A B-A C-B C+A B C III. Relaii binareRelaia binar pe o mulimeDefiniia III.1. Fie M o mulime nevid. Se numete relaia binar R pe M o parteaprodusului cartezianMxM. DacxMesterelaiaRcuyM, atunciscriem xRy sau (x,y)R. Deci o relaie binar se refer la perechile de elemente din M.Proprieti ale relaiilor binare pe o mulime:1. Relaia binar R pe mulimea M se numete reflexiv dac aM avem pe aRa.2. Relaia binar Rpe mulimea M se numete simetric dac a,bM avem aRb implic bRa.3. Relaia binar Rpe mulimea M se numete antisimetric dac a,bM,aRb i bRa implic a=b.4. RelaiabinarRpemulimeaM senumetetranzitivdaca,b,cM,aRb implic bRc implic aRc.Definiia III.2.Se numete greficul relaiei Rdefinit pe Mmulimea G = {(x,y) xRy}.Definiia III.3. O relaie binar R definit pe o mulime nevid M se numete relaie de echivalen dac ea este reflexic, tranzitiv i simetric.Exemplu: Fie N mulimea numerelor naturale i numrul 3 fixat. Pe N stabilim urmtoarea relaie R: a i b din N sunt n relaie cu R, dac a i b mprite la 3 dau acelai rest. Scriem a b (mod 3); de pild 4 1 (mod 3). Aceasta este o relaie de echivalen.DefiniiaIII.4.FieMomulime. RorelaiedeechivalenpeMi aun element fixat din M. Se numete clas de echivalen corespunztoare elementuluia mulimea Ca= {x MxRa}. Dou clase de echivalen Cai Cbsau coincid (cnd aRb) sau sunt disjuncte.DefiniiaIII.5.FieMomulimei RorelaiedeechivalenpeM. Se numete mulimea cta lui M n raport cu relaia R i se noteaz M/R mulimea claselor de echivalen.Definiia III.6. Fie M o mulime nevid. Se numete relaie de ordin pe M o relaie binar care este reflexiv, tranzitiv i antisimetric.Se noteaz:

,_

aa amm;6.0 , , , , c b a abc c b am m m m;7.0 , 0 , : > b abab amm m;8. 0 , + +a a a an m n m n m;9. 0 , : > + a a a an m n m n m;10.n m nma a a 0 , ;11.( ) 0 , a a a amnnm m n;12. 0 , > a a an p mn mp;13. 0 , , b a b a b amn qm pn n q m p;14. 0 , a a a an m mn m n;15. 0 , 0 , : : > b a b a b amn qm pn n q m p;16. a a a ,2R;1117.0 ,1 2 1 211 2 + + +a a a an n n;18. ( ) 0 ,1 21 2 ++a a ann;19. 0 , , 2 + + + b a ab b a b a ;20.2 2C A C AB At+ t , dac i numai dac A2 B = C2;21.Expresia conjugat a luib a testeb a +iar pentru3 3b a t este 3 2 3 3 2b ab a + +VI. Ecuaii i inecuaii de gradul ntiVI.1. Ecuaii de gradul nti sau ecuaii afineax + b = 0, a,b,xRFie S mulimea de soluii a acestei ecuaii. Dac1. a 0, x = ab(soluie unic). S = {ab}.2. a = 0 i b 0, ecuaia nu are soluii: S = ;3. a = 0 i b = 0, orice numr real x este soluie a ecuaiei afine date; S = R.Semnul funciei afine f:RR, f(x) = ax + b, a 0x- ab +f(X) semn contrar lui a 0semnul lui aGraficul funciei de gradul nti va fi o linie dreapt.yA(0,b)

xB(ab,0)VI.2. Inecuaii de gradul nti sau ecuaii fineCazul 1. ax + b > 0, a,b,xR. Fie S mulimea soluiilor. Dac:1. a > 0, S =(ab, + );2. a < 0, S = (-,ab);3. a = 0, b > 0, S = R;4. a = 0, b = 0, S = .Cazul 2. ax + b = 0, a,b,xR. Dac:121. a > 0, S = (+,ab]2. a < 0, S = [ab,+)3. a = 0, b = 0, S = R;4. a = 0, b > 0, S = .Inecuaiile ax + b < 0 i ax + b 0 se reduc la cele dou cazuri (prin nmulirea inecuaiei respective cu 1 i schimbarea sensului inegalitilor).VI.3. Modului unui numr real'>< 0 x d a c a x ,0 x d a c a 0 ,0 x d a c a x ,xProprieti: x,yR, avem:1. 0 x0 x;2. x x ;3.y x y x sau y x ;4.a x a a x a ,R;5.x x x ;6.y x y x + +;7.y x y x + 8.y x y x ;9.y x y x y x + + ;10.y x xy ;11.0 , yyxyx.Ecuaii i inecuaii fundamentale, care conin modulul:1.b a x , (a,b,xR, S = mulimea soluiilor)b Sb < 0b = 0 ab >0 {a b; a + b}2.b a x > b Sb < 0 Rb = 0 R\{a}b >0{-,a b){a + b,}3.b a x < b Sb < 0b = 0b >0 {a b; a + b}13VII. Numere complexeDefiniia VII.1. Se numete numr complex orice element z=(a,b) al mulimiiRxR = {(a,b) a,bR}, nzestrate cu dou operaii algebrice, adunarea: z=(a,b),z=(a,b)RxR,z + z = (a + a, b + b)i nmulirea:z=(a,b),z=(a,b)RxR,zz=(aa-bb, ab+ab). Mulimeanumerelorcomplexese noteaz cu C i este corp comutativ.VII.1. Forma algebric a numerelor complexez = a + ib, cu a = (a,0), b = (b,0) i i = (0,1), respectiv i2 = -1.Egalitatea a dou numere complexe z i z:a + ib = a + ib a = a i b = bAdunarea numerelor complexe are proprietile: este asociativ, comutativ, admite ca element neutru pe 0 i orice numr complex a + bi admite un opus a ib.nmulirea numerelor complexe are proprietile:este asociativ, comutativ, admite ca element neutru pe 1 i orice numr complex a+binenuladmiteuninvers( )

,_

++ +ib abb aabi a2 2 2 21;estedistributivfade adunare z(z + z) = zz + zz z,z,zC.Puterile numrului i: mN, i4m = 1, i4m+1 = i, i4m+2 = -1, i4m+3 = -i.Definiia 2.1.1. Dac z = a +bi, atunci numrul a ib se numete conjugatullui z i se noteaz a ib =z ib a + .Au loc urmtoarele proprieti, z,z,zC.1. z +z= 2a;2. z -z= 2bi;3. ' ' z z z z t t ;4. ' ' z z zz ;5.) )( ( '2 2bi a bi a b a zz + + ;6.z zz zzz '';7. ( )nnz z ;8.zzzz ' '

,_

.VII.2. Modulul unui numr complex zCz z z sau 2 2b a z + Avem apoi:1.z z 142.' ' z z z z + +;3.' ' ' z z z z z z + + ;4.' ' z z zz ;5.0 ,' ' zzzzz.VII.2. Forma trigonometric a numerelor complexez = r(cos u + isin u)unde r =z, iar unghiul u[0,2 ) este soluia ecuaiilor trigonometrice rcos u = a i rsin u = b.De exemplu: dac z = -1 i, atunci 45, 2 u z i z = )45sin45(cos 2 i +.VII.4. Formula lui MoivreuR i nN, (cos u + isin u)n = cos(nu) + isin(nu)Consecinele formulei lui Moivrecos nu = cosn u + C2ncosn-2u sin2u + C4ncosn-4u sin4u + ;sin nu = C1ncosn-1u sin u + C3ncosn-3u sin3u + ;tg nu = ... 1...4 4 2 25 5 3 2 1 + + u tg C u tg Cu tg C u tg C tgu Cn nn n n.VII.5. Extragerea rdcinii de ordinul n dintr-un numr complexz = r(cos u + isin u)( )( )( ) 1 ,..., 2 , 1 , 0 ,) 1 2 (sin) 1 2 (cos 11 ,..., 2 , 1 , 0 ,2sin2cos 11 ,..., 2 , 1 , 0 ,2sin2cos1 +++ + 1]1

+++n knkinkn knkinkn knk uink ur zknknnkn Pentru simplificare folosim urmtoarea notaie:( )k kn 1i( )k kn 1

,_

+++ +t +2 22 2 2 2a b abbia b aib aVII.6. Ecuaia binomxn A = 0, AC, A = (cos + isin )xk =A1/nk, k = 1 , 0 n, AR, A < 0;xk = A1/nk, k =1 , 0 n, AR, A > 0;xk =

,_

+++nkinkpn 2sin2cos, k =1 , 0 n, AC\RVIII. Ecuaii i inecuaii de gradul al II-leaVIII.1. Ecuaii de gradul al doileaax2 + bx + c = 0, a,b,cR, a 01. Formule de rezolvare: > 015abx21 + , abx22 , = b2 4ac; sauabx' '1 + , abx' '2 , b = 2b, = b2 ac.2. Formule utile n studiul ecuaiei de gradul al II-lea:x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1x2 = S2 2Px13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2) = S3 2SPx14 + x24 = (x1 + x2)4 2x12x22= S4 4S2P + 2P23.Discuia naturii i semnul rdcinilorn funcie de semnele lui = b2 4ac, P = x1x2, S = x1 + x2.P S Natura i semnul rdcinilor< 0- -Rdcini complexe: ai bx22 , 1 t = 0- -Rdcini reale i egale abx x22 1 P > 0 S > 0 Rdcini reale pozitive> 0P > 0 S < 0 Rdcini reale negativeP < 0 S > 0 Rdcini reale i de semne contrare; cea pozitiv este mai mare dect valoarea absoluta a celei negativiP < 0 S < 0 Rdcini realei desemnecontrare; ceanegativeste mai mare n valoare absolut.4. Semnul funciei f:RR, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,cR> 0: a 0, x1 < x2.x-x1x2+f(x)semnul lui a0semn contrar lui a 0semnul lui a= 0X- x1 = x2 +f(x) semnul lui a 0semnul lui a< 0X- +f(x) semnul lui a5.Graficul funcieif:RR, f(x) = ax2+ bx + c, a,b,cR este o parabol. Aceast funcie se poate scrie i sub forma a abx a x f4 2) (2 +

,_

+ , numit form canonic. y> 0a > 0A(x1,0)B(x2,0)C(0,c)C V

,_

a ab4,216 OAB x D6. Maximul sau minimul funciei de gradul al doilea1. Dac a > 0, funcia f(x) = ax2+ bx + c are un minim egal cu a 4 , minim ce se realizeaz pentru x = ab22. Dac a < 0, funcia f(x) = ax2 + bx + c are un maxim egal cu a 4 , maxim ce se realizeaz pentru x = ab27. Intervale de monotonie pentru funcia de gradul al doileaTeorem. Fie funcia de gradul al doilea f(x) = ax2 + bx + c, a 01. Dac a> 0,funcia festestrictdescresctoarepeintervalul1]1 ab2, (i strict cresctoare pe intervalul

+) ,2ab.2. Daca 0, f(x) = a(X x1)(X x2);2. = 0, f(x) = a(X x1)2;3. < 0, f(x) este ireductibil pe R, deci f(x) = aX2 + bX + cConstruirea unei ecuaii de gradul al doilea cnd se cunosc suma i produsulrdcinilor ei: x2 Sx + P = 0, cu S = x1 + x2 i P = x1x2.Teorem: Ecuaiile ax2 + bx + c = 0 i ax2 + bx + c = 0, a,b,c,a,b,cR, a,a 0, au cel puin o rdcin comun dac i numai dac:a b c 00 a b c= 0 sau (ac ac)2 (ab ab)(bc bc) = 0a b c 00 a b cCondiii necesare i suficiente pentru ca numerele reale date i s fie n anumite relaii cu rdcinile x1 i x2 ale ecuaiei de gradul al doilea f(x)=ax2 + bx + c a,b,cR, a 0, respectiv, pentru ca f(x) s pstreze un semn constant x,xR.Nr.crt.Relaii ntre x1, x2, i Condiii necesare i suficiente171< x1 < < x2 saux1 < < x2 03. af( ) > 04. < ab25. > ab23x1 < < < x21. af( ) < 02. af( ) 04x1 < < x21. af( ) < 05< x1 x21. = 02. af( ) > 03. < ab26x1 x2 < 1. = 02. af( ) > 03.ab2 < 7f(X) = 0, x, xR 1. 02. a > 08f(X) 0, x, xR 1. 02.a < 0Observaie: Rezolvarea ecuaiei biptrate ax2n + bxn + c = 0, nN, n > 2, prin substituia xn = y, se reduce la rezolvarea unei ecuaii de gradul al doilea n y, anume ay2 + by + c = 0 i la rezolvarea a dou ecuaii binome de forma xn = y1, xn = y2.VIII.2. Inecuaii fundamentale de gradul al II-lea1. ax2 + bx + c > 0, a,b,cR, a 0, S = mulimea soluiilor:a S> 0> 0= 0= 0< 0< 0a > 0a < 0a > 0a < 0a > 0a < 0 (-, x1)(x2, +)(x1,x2)R\{x1}R2. 2. ax2 + bx + c 0, a,b,cR, a 0, S = mulimea soluiilor:a S> 0> 0a > 0a < 0(-, x1][x2, +)[x1,x2]18= 0= 0< 0< 0a > 0a < 0a > 0a < 0 R{x1}RInecuaiile ax2 + bx + c < 0 i ax2 + bx + c 0 se reduc la cazurile precedente (prin nmulirea cu 1 i schimbarea sensului acestor inegaliti).VIII.3. Rezolvarea sistemelor de ecuaii cu coeficieni reali1. Sisteme formate dintr-o ecuaie de gradul al doilea i una de gradul ntiAceste sisteme sunt de forma:' + + + + + + +00) (1 1 121 121f y e x d y c x y b x ac b y a xSSe rezolv prin metoda substituiei. n prima ecuaie putem presupune c sau a 0 sau b 0 (dac a = b = 0 atunci prima ecuaie dispare). Presupunnd c b 0, atunci ecuaia ax + by + c =0 este echivalent cu ecuaia bcxbabax cy . Dac substituim n y n cea de a doua ecuaie a sistemului (S), atunci (S) este echivalent cu sistemul:' +

,_

+ +

,_

+

,_

+ 0) ' (1 1 121 121fbcxbae x dbcxbacbcxbax b x abcxbaySRezolvnd ecuaia a doua a sistemului (S) obinemvalorile lui x, apoi, nlocuind n prima ecuaie din sistemul (S) obinem valorile lui y.Discuie.1.Dac ecuaia a doua din sistemul (S) are dou rdcini reale, atunci sistemul (S) are o soluie real.2.Dac ecuaia a doua din sistemul (S) are dou rdcini egale, sau n cazul cnd aceasta este o ecuaie de gradul nti, atunci sistemul (S) are dou soluii reale.3.Dacecuaiaadouaasistemului (S)nuarenici ordcin real, atunci sistemul (S) nu are soluii reale.2. Sisteme de ecuaii omogeneUn astfel de sistem este de forma:' + + + +222 222121 121) (d y c x y b x ad y c x y b x aS19Sistemul (S) se numete omogen deoarece polinoamele a1X2 + b1XY + c1Y2 i a2X2 + b2XY + c2Y2 sunt omogene, n sensul c toate monoamele care apar n scrierea lor au acelai grad.Presupunem mai nti c d1 0 i d2 0. Exist n aces caz numerele reale i diferite de zero astfel nct d1 + d2 = 0. Se nmulete prima ecuaie cu i cea de a doua cu i apoi se adun. Se obine sistemul echivalent:' + + + + + + +0 ) ( ) ( ) () ' (22 1 2 122 2121 121y c c x y b b x a ad y c x y b x aS Notm coeficientul ecuaiei a doua din (S) cu a3,b3,c3. Atunci:' + + + +0) ' (23 323121 121y c x y b x ad y c x y b x aSDeoarece d1 0 sistemul (S) nu are soluia x = 0 i y = 0. Putem presupune c x 0. mprim ecuaia a doua din (S) cu x2 i obinem ecuaia de gradul al doilea n xy: c32

,_

xy+ b3xy + a3 = 0 care, rezolvat, ne d n general dou valori k1 i k2 pentru xy adic, xy= k1 i xy= k2.Rezolvareasistemului (S) esteechivalentcurezolvareaurmtoarelor dou sisteme:' + +121 12111) (d y c x y b x ax k yS i' + +121 12122) (d y c x y b x ax k ySCnd d1 = 0 i d2 = 0, sistemul (S) este de forma (S) i rezolvarea se continu ca pentru sistemul (S).3. Sisteme de ecuaii simetriceDefiniiaVIII.3.3.Oecuaiendounecunoscutesezicesimetricdac nlocuind x cu y i y cu x, ecuaia nu se schimb.Rezolvarea sistemelor de ecuaii simetrice se face astfel: se introduc necunoscutele auxiliare s i p date de relaiile: x + y = s i xy = p.Prin introducerea acestor noi necunoscute s i p, n foarte multe cazuri sistemul se reduce la un sistem de ecuaii format dintr-o ecuaie de gradul nti i o ecuaie de gradul al doilea n necunoscutele s i p.IX. Ecuaii algebrice de gradul III, IV i VIX.1. Ecuaia reciproc de gradul al treilea20ax3 + bx2 tbx ta = 0, a,bR, a 0Rezolvarea ei se reduce la aceea a ecuaiei (x t1)[ax2 + (b + a) + a] = 0IX.2. Ecuaia reciproc de gradul al patruleaax4 tbx3 + cx2 tbx + a = 0, a,b,cR, a 0Rezolvarea ei se reduce la aceea a unei ecuaii de gradul al doilea, prin substituia y = x + x1: a(x2 + 2x1) tb(x + x1) + c = 0 sau ay2 + by + c 2a= 0.IX.2. Ecuaia biptratax4 + bx2 + c = 0, a,b,cR, a 0Cu x = y2, rezult ecuaia ay2 + by + c = 0, deciaac b bx2424 , 3 , 2 , 1 t t X. LogaritmiDefiniia X.1.FieaR*+,a 1ibR*+dounumerereale.Se numete logaritmal numrului real strict pozitiv b exponentul la care trebuie ridicatnumrul a, numit baz, pentru a obine numrul b.Logaritmul numrului b n baza a se noteaz logabEvidentbaa blog . Pentru a = 10 obinem logaritmi zecimali, iar pentru a = e obinem logaritmi naturali.Proprieti:1. logab = logac b = c, (b,c > 0);2. logaa = 1;3. loga1 = 04. logaac = c; logab1=- logab; logax2n = 2n loga x, x 05.) 2 , , 0 ( , log1log > m N m b bmbama ;6. logab logba = 1;7. Formula de schimbare a bazei logaritmului: abbccalogloglog 8. x>0 i y>0 logaxy = logax + logay;9. x>0 i y>0 logayx = logax logay; cologax = - logay10.a>1 i x(0,1) logax < 0; a>1 i x>1 logax > 0;11.00, b>0, a 1, b 1 yxyxbbaaloglogloglog;14.x>0, a>0, a 1, nN logax = logaxn;15.xR, a>0, a 1 ax = exlna.Operaii cu logaritmi zecimali211. Suma a doi logaritmi: se adun separat caracteristicile (se adun algebric, ntruct exist caracteristici pozitive i caracteristici negative) i separat mantisele (care sunt ntotdeauna pozitive n afar de cazul n care ntregul logaritm este negativ); apoi cele dou rezultate se adun algebric.2. Scderea a doi logaritmi: se adun desczutul cu logaritmul scztorului.3. nmulireaunui logaritmcuunnumr ntreg: cndcaracteristicaestepozitiv, nmulireasefacenmodobinuit; cndcaracteristicaestenegativsenmulete separat mantisa i separat caracteristica i se adun algebric rezultatele.4. mprirea unui logaritm printr-un numr ntreg: n cazul cnd caracteristica este pozitiv, mprirea se face obinuit. n cazul n care este negativ se mparte separat mantisa i separat caracteristica; dac nusemparte exact cucaracteristica prin numrul dat, atunci se adaug caracteristicii attea uniti negative cte sunt necesare pentrua avea unnumr divizibil prinmpritorul respectiv i, pentrua nuse modifica rezultatul, se adaug i mantisei tot attea uniti, dar pozitive.X.1. Ecuaii i inecuaii logaritmice fundamentale1. logax = b, a>0, a 1, bR. Soluia: x = ab.2. logax > b, bR. Fie S mulimea soluiilor. Avem:a Sa > 10 < a < 1(ab, +)(0, ab)3. logax < b, bR. Fie S mulimea soluiilor. Avem:a Sa > 10 < a < 1(0, ab)(ab, +)X.2. Ecuaii i inecuaii exponeniale fundamentale1. ax = b, a>0, a 1, b>0. Soluia x = logab, bR2. ax = b, a>0, a 1, b 0, nu are nici o soluie real3. ax > b. Fie S mulimea soluiilor. Avem:a b Sa > 10 < a < 1a > 0a 1b > 0b > 0b < 0(logab, +)(-, logab)R4. ax < b. Fie S mulimea soluiilor. Avem:a b Sa > 10 < a < 1a > 0a 1b > 0b > 0b < 0(-, logab)(logab, +)22XI. Metoda induciei matematiceXI.1. Axioma de recuren a lui PeanoFie A o parte a lui N astfel c:1. 0A2. (nN), nA n+1A. Atunci rezult A = N.XI.2. Metoda induciei matematiceFie P(n) o propoziie care depinde de numrul natural n. Dac avem:1. P(0) adevrat;2. nN, P(n) adevrat P(n+1) adevrat, atunci P(n) este adevrat pentru orice numr natural n.n demonstraie prin metoda induciei matematice (recuren) poate aprea n loc de 0, un numr natural n0, dac n propoziia P(n) pe care vrem s demonstrm am constatat n n0.XI.2. Variant a metodei induciei matematiceFie P(n) o propoziie care depinde de numrul natural n n0. Dac avem:1. P(n0) adevrat;2. (mN, n0 m k) P(m) adevrat P(k) adevrat, atunci P(n) este adevrat pentru orice numr natural n n0.XII. Analiz combinatorieXII.1. PermutriDefiniiaXII.1.1.Omulimempreuncuoordine bine determinatde dispunere a elementelor sale este o mulime ordonat i se notaz (a1,a2,,an).DefiniiaXII.1.2.Senumescpermutrialeunei mulimi Acunelemente toate mulimile ordonate care se pot forma cu cele n elemente ale lui n. Numrulpermutrilora n elemente, nN*, este Pn=1 2 3 n = n!; 0! = 1 (prin definiie).Factoriale (proprieti): n! = (n 1)!n; n! = 1 n1)! (n++XII.2. AranjamenteDefiniia XII.2.1. Se numesc aranjamente a n elemente luate cte m (m n) ale unei mulimi A cu n elemente, toate submulimile ordonate cu cte m elemente care se pot forma din cele n elemente ale mulimii A. Se noteaz Amn.Numrul aranjamentelor a n elemente luate cte m este:Amn = n(n 1)(n m + 1) = m)! (nn!, n m.Proprieti: Ann = Pn; Ann = 0!n! sau Ann= n!; 1 ;0 1 nnnnnA A A.XII.3. Combinri23Definiia XII.3.1. Se numesc combinri a n elemente luate cte m (m n) ale unei mulimi A cu n elemente toate submulimile cu cte m elemente, care se potforma din cele n elemente ale mulimii A. Se noteaz mnC.Proprieti:1.1 ;000 1 C C C n Cnnn n;2.11 1; + mnmnmnm nnnnC C C C C;3. Numrul submulimilor unei mulimi cu n elemente este 2n;4.111 111111... ++ + + + + mmmmmmmnmnmnC C C C C C;5. ) ... (2 11 1211...! !... !!+ + mp p npp npnnC C Cp p pn unde p1 + pm-1 < nXII.4. Binomul lui Newton(x + a)n = n nnk k n knnnnna C a x C a x C x C + + + + + ... ...1 1 0(x a)n = n nnn k k n knk nnnna C a x C a x C x C ) 1 ( ... ) 1 ( ...1 1 0 + + + + unde nNProprieti:1. Termenul de rank k+1 este Tk+1 = (-1)kknCxn-kak;2.knknknknCkk nC Ckk nC1;1111+++++;3. Tk+2 = xakk n+1 Tk+1 sau Tk+2 = xakk n+1Tk+1;4. Numrul termenilor dezvoltrii (x ta)n este n+1;5. Coeficienii termenilor egal deprtai de extremi sunt egali.Relaii importante:2 2 1 2 021 5 3 1 1 4 2 01 0 1 0) ( ... ) ( ) (; 2 ... ; 2 ...; 0 ) 1 ( ... ; 2 ...nn n nnnnn n nnn n nnnnn nn nn n nC C C CC C C C C CC C C C C C+ + + + + + + + + + + + + + Dezvoltri particulare uzuale:1. (a tb)2 = a2 t2ab + b2;2. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac);3. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;4. (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3;5. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc;6. (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.XII.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturaleDac Sp = 1p + 2p + + np, pN, atunci avem:12) 1 2 2 ( ) 1 (;30) 1 9 6 )( 1 (21 (;6) 1 2 )( 1 (;2) 1 (2 2 252 3423 2 1 + + + + +1]1

++ ++n n n nSn n n n nSn nSn n nSn nSOrelaiecarepermitecalculul lui Sp, cndsecunoscSp-1, Sp-2,, S1este formula lui Pascal: (n+a)p+1 = 1+ n S C S C S Cpp p P p p+ + + ++ + + 1 1 12111...XIII. Progresii24XIII.1. Progresii aritmeticeDefiniia XIII.1.1. Se numete progresie aritmetic un ir de numere a1,a2,a3,,an, n care fiecare termen, ncepnd cu a2, se obine din cel precedent prin adugarea unui numr constant numit raia progresiei. Se noteaz a1,a2,a3,an,Dac a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), r raia, n numrul termenilor i Sn suma celor n termeni, atunci avem:an = an-1 + r, n 2 (prin definiie)an = a1 + (n 1)r, n 2 (prin definiie)Sn = a1 + a2 + + an, Sn = 2)n a (an 1 +n21)r (n 2aS1n +Termenii echidistani de extremi. ntr-o progresie aritmetic suma termenilor echidistani de extremi este egal cu suma termenilor extremi: ak + an-k+1 = a1 + an.Observaie. Dac numrul termenilor este impar (n = 2m + 1), atunci exist un termen n mijloc, am+1, astfel nct 2am+1 = a1 + a2m+1.Condiianecesari suficientpentrucatrei termenia,b,c,luatenaceast ordine, s formeze o progresie aritmetic, este s avem 2b = a + c.XIII.2. Progresii geometriceDefiniia XIII.2.1. Se numete progresie geometric un ir de numere a1,a2,a3,,an, n care fiecare termen, ncepnd cu a2, se obine din cel precedent prin nmulirea acestuia cu un acelai numr q (q 0) numitraie.Se noteaz a1,a2,a3,an,Daca1esteprimul termen, ancel de-al n-leatermen(termenul general),q raia, n numrul termenilor i Sn suma celor n termeni, atunci avem:an = qan-1, n 2 (prin definiie)an = a1qn-1, n 2 (an n funcie de a1, q i n)Sn = a1 + a2 + + an, Sn = 1 q1 qan1Sn = 1 q ,q 1q a an 1Termeni echidistani de extremi. ntr-o progresie geometric,produsul a doitermeni echidistani de extremi este egal cu produsul termenilor extremi: apan-p+1 = a1an.Observaie. Dac numrul termenilor este impar (n = 2m + 1) atunci exist un termen la mijloc, am+1, astfel nct 1 2 121 + + m ma a a.Condiia necesar i suficient ca trei numere a,b,c, luate n aceast ordine, s formeze o progresie geometric este s avem b2 = ac.XIV. PolinoameXIV.1. Forma algebric a unui polinomfC[x] este f = a0Xn + a1Xn-1 + a2Xn-2 + + an, unde n este gradul, a0 coeficientul dominant, an termenul liber.25Funcia polinomial asociat lui fC[x] estef~:CCf~( ) = f( ) C; f( ) fiind valoarea polinomului f n .Teorema mpririi cu rest:f,gC[x], g 0 exist polinoamele unice q,rC[x] astfel nct f = gq + r, grad r < grad g.mprirea unui polinom cu X-a: Restul mpririi polinomului fC[x], f 0 la X-a este f(a).Schema lui Horner: ne ajut s aflm ctul q = b0Xn-1+ b1Xn-2+ + bn-1al mpririi polinomului f = a0Xn + a1Xn-1 + a2Xn-2 + + an la binomul X-a; precum i restul acestei mpriri r = f(a);a0a1 an-1ana b0 = a0b1 = ab0+a1 bn-1 = abn-2+an-1r=f(a)=abn-1+anXIV.2. Divizibilitatea polinoamelorDefiniia XIV.2.1. Fie f,gC[x], spunem c g divide pe fi notmg f dac qC[x] astfel nct f=gq.Proprieti:1. af, aC*, fC[x];2. gf i f 0 r = 0;3. gf i f 0 grad f grad g;4. aC* aff;5. ff (refelexivitate);6. fg i gh fh (tranzitivitate);7. fg i gf aC* cu f = ag (f,g sunt asociate n divizibilitate).DefiniiaXIV.2.2.Unpolinom dsenumetecel mai maredivizorcomun (c.m.m.d.c.) al polinoamelor f i g dac:1) df i dg.2)d fid gd dinotm d=(f,g)Definiia XIV.2.3. Dac d=1 atunci f i g se numesc prime ntre ele.DefiniiaXIV.2.4.Unpolinom msenumetecel maimicmultiplucomun (c.m.m.m.c.) al polinoamelor f i g dac:1) fm i gm.2) fm i gm mmTeorem. Dac d=(f,g) atunci m = dg f XIV.3. Rdcinile polinoamelorDefiniia XIV.3.1. Numrul C se numete rdcin a polinomului f dac i numai dacf~( ) = 0.Teorema lui Bezout:Numrul Ceste rdcin a polinomului f 0(X-a) f.Definiia XIV.3.2. Numrul se numete rdcin multipl de ordinul pa polinomului f 0 dac i numai dac (X-a)f iar (X-a)p+1 nu-l divide pe f.Teorem: Dac fC[x] este un polinomde gradulnix1,x2,x3,,xnsunt rdcinile lui cu ordinele de multiplicitatem1,m2,m3,,mnatunci 26nmnm mx X x X x X a f ) ...( ) ( ) (2 12 1 0 unde a0 este coeficientul dominant al lui f, iar m1 + m2 + + mn = grad f.XIV.4. Ecuaii algebriceDefiniia XIV.4.1. O ecuaie de forma f(x) = 0 unde f 0 este un polinom, se numete ecuaie algebric.Teorema lui Abel-Ruffini: Ecuaiile algebrice de grad mai mare dect patru nu se pot rezolva prin radicali.Teorema lui DAlambert-Gauss: Orice ecuaie algebric de grad mai mare sau egal cu unu, are cel puin o rdcin (complex).Formulele lui Viete: Dac numerele x1,x2,,xn sunt rdcinile polinomului fC[x], f = a0Xn + a1Xn-1 + + an, a0 0 atunci:' + + + + + + + + + + + + + ++ + + 02 102 1 1 1 2 1 2 1031 2 4 2 1 3 2 1021 3 2 1 2 1012 1) 1 ( ........ .......... .......... .......... .......... ..........) 1 ( ... ... ... ....... .......... .......... .......... .......... ................ ......aax x xaax x x x x x x x x xaax x x x x x x x xaax x x x x x x xaax x xn nnk km k m k m k k kn n nn n nnXIV.5. Polinoame cu coeficieni din R, Q, ZTeorem: Dac fR[x] admite pe = a + ib, b 0 ca rdcin atunci el admite ca rdcin i pe= a ib, iar iau acelai ordin, de mutiplicitate.Teorem: Dac unpolinom fQ[x] admitepe =a +bd(a,bQ, b 0, dR\Q) cardcin, atunciel admite ipe=abd,iar i au acelai ordin, de mutiplicitate.27Teorem: Dac un polinom fZ[x], grad f 1, admite o rdcin = 2pQ, (p,q) = 1 atunci pan i qa0.n particular dac fZ[x] are rdcina =pZ atunci pan.XV. Permutri, matrici, determinaniXV.1. PermutriDefiniieXV.1.1.FieA={1,2,n}, senumetepermutaredegradulndaac :AA i bijectiv.=

,_

( n ) . . . ( 2 ) ( 1 )n . . . 2 1 Sn mulimea permutrilor de grad n; card Sn = n!1A = e, permutarea identic e =

,_

n. . . 21n. . . 21Compunerea permutrilorFie , Sn atunci o=

,_

( n ) ) ( . . . ( 2 ) ) ( ( 1 ) ) (n. . . 2 1 SnTranspoziiiDefiniia XV.1.2. Fie i,jA, i j, ijSn, ij se numete transpoziie dac:28'j i , k d a c a k ,j k d a c a i ,i k d a c a j ,) (ki j

,_

n. . . i . . . k . . . j. . . 21n. . . j. . . k . . . i. . . 21) (ki jObservaii:1. (ij)-1 = ij;2. Numrul transpoziiilor de grad n este 2nCSignatura (semnul) unei permutriDefiniia XV.1.3. Fie (i,j)AxA, i0 astfelnctan M, nN.Notaie: (an)n 0, anR, R =R {-, +}.Definiia I.1.4.irul (an)n 0, anRare limita a i scriem a ann lim,aR dac n orice vecintate a punctului a se afl toi termenii irului ncepnd de la un anumit rang.Definiia I.1.5.irul esteconvergent,a ann lim,aR,dac >0, N N astfel nct n> N,an - a 0, N N astfel nct an > , n > N.Definiia I.1.7. nnalim dac >0, N N astfel nct an < - , n > N.Dac t nnalim, atunci irul este divergent.I.2. Criterii suficiente de convergen sau de existen a limitei unui ir1. dac 0lim nnb, bn0 ian - a bn atunci a ann lim;2. dac nnblim i an bn atunci + nnalim;3. dac nnblim i an bn atunci nnalim;4. orice ir monoton i mrginit este convergent (criteriul lui Weierstrass);5. dac bn an cn i a c bnnnn lim lim atunci a ann lim;6. criteriul lui Stolz:- dac (bn)n 0 cresctor: nnblim i exist n nn nn b ba a++ 11lim , atuncin nn nnnnn b ba aba++ 11lim lim;- dac (an)n 0, an > 0 i exist nnn aa1lim+ atunci nnnalim =nnn aa1lim+ (Cesaro);- - dac (bn)n 0 cresctor: 0lim lim nnnnb a i exist n nn nn b ba a++ 11lim , atunci52n nn nnnnn b ba aba++ 11lim lim;I.2. Operaii cu iruri convergentea ann lim, b bnn lim, a,bR) 0 daca ( ,lim. 3; ,lim. 2; ) (lim, ) (lim. 1 + + bbabaR a ab a b a b a b annnnnn nnn nn I.3. Operaii cu iruri care au limita ann lim, b bnn lim, a,bR1. dac nnalim i b bnn lim, bR atunci 01lim, ) (lim + + nnn nn ab a,'< > + 0 d a c a ,0 d a c a ,l i mbbb an nn2.+ nnnnb alim lim atunci + + ) (l i mn nnb a, + ) (l i mn nnb a;3. dac nnalimi b bnn lim, bR, atunci + ) (l imn nnb a'< +> 0 d a c a ,0 d a c a ,l i mbbb an nn;4. nnnnb alim lim atunci + ) (l i mn nnb a, + ) (l i mn nnb a;5. dac nnalimi nnblim atunci ) (l i mn nnb a;6. dac 0lim nna atunci nn a1lim dac an > 0 i nn a1lim dac an < 0.I.4. iruri tip 53.!1. . .! 21! 111l i m. 9;11l i m. 8; 1 , 1 . . . 2 1l i m. 7; 0 , 1l i m. 6; )1. . .31211 (l i m. 5; 1 d a c a ,11) . . . 1 (l i m. 4d a c a ,0 s i d a c a ,0 s i d a c a ,d a c a , 0. . .. . .l i m. 30 d a c a ,0 d a c a ,l i m) . . . (l i m. 21 d a c a e x i s t a , n u1 d a c a ,1 d a c a , 11 1 d a c a , 0l i m. 1200111 0111 0000 111 0enenp na anqqq q qp kbap a p kp a p kp kn n b n b n ba n a n a n aaan a a n a n a n aqqqqqnnnnn p p pnnnnnno oo op pp pk kk knknk kk knnn

,_

+ + + +

,_

+ + + +> + + + + +< + + + +'< > > > + +< < II. Limite de funciiNotaii: f:DR, DR, - punct de acumulare a lui D;II.1. Definiii ale limiteiDefiniiaII.1.1.R , ) (lim l l x fx ,dacpentruoricevecintateV aluil exist o vecintate U a lui astfel nct xDU, x , s rezulte f(x)V.Definiia II.1.2. R , ) (lim l l x fx , dac pentru orice ir (xn)n 0, xnD\{ },avnd nnxlim rezult l x fn ) (lim(criteriul cu iruri);54Definiia II.1.3.R , ) (lim l l x fx , dac >0,>0astfel nctxD\{ } ix - < rezultf(x) - l < ;Definiia II.1.4. l x fx) (lim, dac ls = ld = l, unde ) ( lim x f lxxs< i ) ( lim x f lxxd>.II.2. Operaii cu limite de funciif:DR, g:DR, - punct de acumulare a lui D, 1) (liml x fx, 2) (liml x gx, l1,l2R;.) () (lim, 0 daca . 4; ) (lim. 3; ) ( ) (lim. 2; )) ( ) ( (lim. 121212 12 1llx gx fll a x afl l x g x fl l x g x fxxxx + +II.3. Limite tipnn nnn nxa a a a x a x a + + + + + + .. . ) . . . (l im. 111 011 0 ;lim) ... (lim011 0nxnn nxx a a x a x at t + + +mm mnn nmm mnn nx b b ba a ab x b x ba x a x a+ + ++ + ++ + ++ + + ............lim. 211 011 011 011 0 ;lim......lim0011 011 0mnxmm mnn nx x bx ab x b x ba x a x at t + + ++ + +2 , , ,lim. 3 +n N n R xn nx nxxlim , + 1 2limnxx;4. } 1 { \ , ,l i m*+ R a R a axx xxalim , 0lim xxa, dac a > 1;0lim xxa, xxalim , dac 0 < a < 1;5.} 1 { \ f i n i t a , 0 , l o g l o gl i m*+ > R xa ax 55 >xaxxlog lim00 i + xaxloglim dac a > 1;+ >xaxxlog lim00 i xaxloglim dac 0 tgxxxlim227. >ctgxxxlim00, a Z naxxnx10. ; ) 1 (lim,11lim10e x exxxxx +

,_

+ t 11.; 1) 1 ln(lim0+ xxx12. 0 , ln1lim0> a axaxx,13.R r rxxrx +,1 ) 1 (lim0.II.4. Continuitatea funciilorDefiniia II.4.1.Fief:DR,xoD,xo punct deacumularea luiD,feste continu n xo, dac ) ( ) (lim00x f x fx x, xo se numete punct de continuitate.Definiia II.4.2.Fie D, estepunctde discontinuitatede prima spe dac exist i sunt finite limitele laterale n , dar funcia nu este continu n .Definiia II.4.3.Fie D, este punct de discontinuitate de spea a doua dac nu este de prima spe.56Teorem.Dacf:IR,Iinterval ifcontinupeI, atunciJ=f(I)este interval( o funcie continu pe un interval are proprietatea lui Darboux pe acelinterval).III. Funcii derivabileIII.1. Definiia derivatei ntr-un punctf:ER, xoE, xo punct de acumulare a lui E: f(x0) =hx f h x fx xx f x fE h xh x x) ( ) (l i m) ( ) (l i m0 000000 + + fs(x0) = 00) ( ) (lim00x xx f x fx xx x < , fd(x0) = 00) ( ) (lim00x xx f x fx xx x > f(x0) = fs(x0) = fd(x0)Interpretarea geometric:- dac f(x0)R, y - f(x0) = f(x0)(x x0) este ecuaia tangentei la graficul funciei f n punctul A(x0,f(x0));- dac feste continu n x0,fd(x0)= +,fs(x0)= -, sau invers,x0este punct de ntoarcere al graficului;- dacfestecontinunx0i existderivatelelateralenx0,cel puinunafiind finit, dar f nu este derivabil n x0, x0 este punct unghiular al graficului.III.2. Reguli de derivaref,g:ER, f,g derivabile n xE:1. (f + g)(x) = f(x) + g(x);2. (cf)(x) = cf(x), cR;3. (f g)(x) = f(x) g(x) + f(x) g(x)4. dac g(x) 0, ) () ( ' ) ( ) ( ) ( ') (2'x gx g x f x g x fxgf

,_

;5. dac f:IJ, g:JR, f derivabil n x0I i g derivabil n y0 = f(x0), atunci (gof)(x0) = g(y0)f(x0);6. dacf:IJcontinu,bijectiv iderivabil nx0cuf(x0) 0,atuncif-1:JI este derivabil n y0, y0 = f(x0) i f-1(y0) = ) ( '10x f.III.3. Derivatele funciilor elementareFuncia (condiii) Derivata (condiii)C 0xn, nN* nxn-1xr, rR, x>0rxn-10 , x x0 ,21> xxlogax, a 1, a>0, x>0x a1ln157ln x, x>0x1ax, a 1, a>0, x>0ax ln aexexsin x cos xcos x -sin xtg x, xZ k k + ,2) 1 2 (x2cos1ctg x, xZ k k , x2sin1arcsin x, x[0,1]) 1 , 0 ( ,112xxarcos x, x[0,1]) 1 , 0 ( ,112 xxarctg x211x +arcctg x211x +III.4. Derivata funciilor compuseFuncia (condiii) Derivata (condiii)un, nN*nun-1 uur, rR, u>0 uxn-1 u0 , u u0 ,2'> uuulogau, a 1, a>0, u>0uua'ln1ln u, u>0'1uuau, a 1, a>0 au ln a ueueu usin ucos u ucos u- sin u utg u, cos u0'cos12uu ctg u, sin u0'sin12uu arcsin u, u[-1,1]) 1 , 1 ( , '112 u uuarccos u, u[-1,1]) 1 , 1 ( , '112 u uuarctg u'112uu+arcctg u'112uu+uv , u>0uv vln u + v uv-1 u58III.5. Derivatele de ordin superior ale unor funcii elementareFuncia (condiii) Derivata de ordinul n(f(n))xm, mN, m nm(m-1)(m-n+1)xm-nN mxm ,1(-1)nm(m-1)(m+n-1) n mx+1exexax(ln a)n axln x(-1)n-1(n-1)!nx1Funcia (condiii) Derivata de ordinul n(f(n))sin x

,_

+2sin nxcos x

,_

+2cos nxFormula lui Leibniz:f f g f Cg f C g f C g f C g f C g f g fnkk k n knn nnn nnnnnnn n + + + + ) 0 (0) ( ) () ( ) 1 ( 1 ) 2 ( 2 ) 1 ( 1 ) ( ) (,' ... ' ' ' ) (III.6. Proprieti ale funciilor derivabileTeorema lui Fermat:Fie f:IR derivabil pe I. n orice punct extrem local din interiorul lui I, f este nul.Teorema lui Rolle:Dac funcia continuf:[a,b]R este derivabil pe (a,b) i f(a) = f(b) atunci exist c(a,b) astfel nct f(c) = 0.Teorema lui Lagrange:Dac funcia continuf:[a,b]R este derivabil pe (a,b), atunci exist c(a,b) astfel nct ) ( ') ( ) (c fa ba f b f.Teorem. Dac funcia feste continu i derivabil pe I (I interval deschis), atunci: 1. ntre dou rdcini consecutive ale funciei exist cel puin o rdcin a derivatei;2. ntre dou rdcini consecutive ale derivatei exist cel mult o rdcin a funciei.Teorema lui Cauchy:Dacf,g:[a,b]R continue pe [a,b], derivabile pe (a,b) i g(x) 0,x(a,b) atunci c(a,b) astfel nct ) ( ') ( ') ( ) () ( ) (c gc fa g b ga f b fIV. AsimptoteIV.1. Asimptote orizontale (f:DR)59DefiniiaIV.1.1.Dac 1) (liml x fx+ sau2) (liml x fx ,l1,l2R,dreptele y=l1 i y=l2 sunt asimptote orizontale a lui f spre +, respectiv -IV.2. Asimptote oblice (f:DR)Definiia IV.2.1.Dac 0) (lim mxx fxi R n m n m x x fx + , , ] ) ( [l i m dreapta y = mx + n este asimptot oblic a lui f spre +.DefiniiaIV.2.2.Dac 0 ') (lim mxx fxi R n m n x m x fx + ' , ' , ' ] ' ) ( [l i m dreapta y = mx + n este asimptot oblic a lui f spre -.IV.3. Asimptote verticale (f:DR)Definiia IV.3.1. Dac t ) ( lim x fxx, - punct de acumulare a lui D, dreapta x=este asimptot vertical la dreapta a lui f.V. Primitive(integrale nedefinite)Definiia V.1. Fie funcia f:JR, J interval, F:JR este primitiva lui f, dac F este derivabil pe J i F(x) = f(x), xJ.Se noteaz:+ c x F dx x f ) ( ) (Proprieti ale primitivelor:1.[ ] + + dx x f dx x f dx x f x f ) ( ) ( ) ( ) (2 1 2 1;2. dx x f a dx x af ) ( ) (;3. dx x g x f x g x f dx x g x f ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) (.V.1. Prima metod de schimbare a variabileiDac :IJ, f:JR,derivabil pe I, f admite primitive (F), atunci+ c t F dt t t f ) ( ) ( ' )) ( ( V.2. A doua metod de schimbare a variabileiDac :IJ,f:JR, bijectiv, derivabil, cu derivata nenul pe I, ' ) ( f h admite primitive (H) atunci+ c x H dx x f ) ( ) (1 .V.3. Tabel de primitive: (I interval, IR)1.N n R x cnxdx xnn +++, ,11;602. + +++} 1 { \ ) , , 0 ( ,11R x cxd x x ;3.1 , 0 , ,ln > + a a R x caadx axx;4.R I I x c xxdx + , , ln;5.} , { \ , , ln21 12 2a a R I I x ca xa xad xa x ++;6.0 , ,1 12 2 + +a R x caxarctgadxa x;7.R x c x xdx + , cos sin;8.R x c x xdx + , sin cos;9.)' + + Z k k R I I x c t g x d xx 2) 1 2 ( \ , ,c o s12;10.{ } Z k k R I I x c c t g x d xx + \ , ,s i n12;11.)' + + Z k k R I I x c x t g x d x2) 1 2 ( \ , , c o s l n;12.{ } + Z k k R I I x c x c t g x d x \ , , s i n l n;13.( ) R x c a x x dxa x + + + +, ln12 22 2;14.0 ), , ( sau) , ( , ln12 22 2> + + + a a x a x c a x x dxa x;15.0 ), , ( , arcsin12 2> + a a a x caxdxx aV.4. Primitivele funciilor raionale1.0 , 1 , , ) () 1 (1) (1 + ++++a n N n c b axa ndx b axn n;2. + + +0 , ) ln(1a c b axa b axdx;3. ++ +0 , 1 , ,) ( ) 1 (1) (1a n N n cb ax a n b axdxn n;614.b a ca xb xb a b x a xdx ++++ +, ln1) )( (;5. +

,_

++ +0 , 4 b unde ,4 212222a ac ca abxdxa c bx axdx.Substituiile lui Euler:1. 0 daca ,2> t + + a a x t c bx ax ;2. 0 daca ,2> t + + c c tx c bx ax ;3.1212si 0 4 daca ), ( x ac b x x t c bx ax > + +este o rdcin a ecuaiei ax2 + bx + c = 0.VI. Integrale definiteIV.1. Definiia integrabilitii (integrale Riemann)Notaii:f:[a,b]R, = (a = x0, x1, x2, , xn= n)diviziune,xi-1 i xi,i puncte intermediare, (f, ) suma Riemann: nii i ix x f f11) )( ( ) , ( DefiniiaVI.1.1.f senumeteintegrabildacexistnumrul realIfcu proprietatea: > 0, >0astfel nctr pentru orice divizune a lui [a,b] cu < i orice puncte intermediareiare loc < fI f ) , (unde ) (max11 i in ix xSe noteaz:bafdx x f I ) (Proprieti ale integralei definite:1. + +bababadx x g dx x f dx x g x f ) ( ) ( )) ( ) ( ( ;2. + bacabcdx x f dx x f dx x f ) ( ) ( ) (;3. abbadx x f dx x f ) ( ) (; 4.0 ) ( aadx x f.Formula lui Leibniz-Newton:) ( ) ( ) ( a F b F dx x fba (F primitiv a lui f)Teorema de medie:Dac f continu pe [a,b], atunci [a,b] astfel nct: ) ( ) ( ) ( f a b dx x fba Formula de integrare prin pri: bababadx x g x f x g x f dx x g x f ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) (62Formula de schimbare de variabil:Dac :[a,b]J, f:JR, f continu pe J, derivabil cu derivata continu pe [a,b], atunci) () () ( ) ( ' )) ( (babadx x f dt t t f Proprieti de paritate:Dac f:[-a,a]R continu atunci:'aaaf d x x ffd x x f0p a r a d a c a , ) ( 2i m p a r a d a c a , 0) (VI.2. Aplicaii ale integralei definite1. Aria subgraficului f, f:[a,b]R+, f continu: yaria bafdx x f ) ( f

y0abxAria subgraficului f,g, f,g:[a,b]R if(x) g(x) x[a,b]0 a f,g b xaria bag fdx x g x f )] ( ) ( [,2. Volumul corpurilor de rotaie, f:[a,b]R+, f continu: ybafdx x f C vol ) ( ) (2 a b x63 z3. Lungimea graficului f:[a,b]R+, f derivabil cu derivata continu: BA+ badx x f f l2)) ( ' ( 1 ) (a b4. Aria suprafeelor de rotaie:+ bafdx x f x f A2)) ( ' ( 1 ) ( 264