Indrumar Teoria Sistemelor, UTM 2014

8/9/2019 Indrumar Teoria Sistemelor, UTM 2014

1/52

UNIVERSITATEA TEHNIC A MOLDOVEI

TEORIA SISTEMELOR I

ndrumar la laborator

Chiinu

2014


2/52

3

UNIVERSITATEA TEHNIC A MOLDOVEI

Facultatea Calculatoare, Informatic i Microelectronic

Catedra de Automatic i Tehnologii Informaionale

TEORIA SISTEMELOR Indrumar la laborator

ChiinuU.T.M.

2014


3/52

4

ndrumarul la laborator este destinat studenilor pentruaprofundarea cunotinelorla cursul Teoria sistemelor, care i facstudiile cu frecven la zi la specialitatea 526.3 - Automatic iInformatic i studenilor cu studiile cu frecven la zi ifrecven redus la specialitatea 526.2 - TehnologiiInformaionale.

n ndrumar sunt incluse patru lucrri de laborator n carese vor studia proprietile elementelor tipice i sistemelor automateprin simulare pe calculator cu aplicarea pachetelor de programeKOPRAS i MATLAB.

Prin modul de abordare a problemelor propuse se

urmrete formarea unor deprinderi necesare pentru studiereaproprietilor elementelor i sistemelor automate la aciuneasemnalelor de referin i la modificarea parametrilor elementelorsistemului automat.

Autori: conf. univ., dr. B. Izvoreanulector sup., ing. I. Fiodorovconf. univ. interim., dr. Irina Cojuhari

Redactor responsabil - prof. univ., dr. hab. A. Gremalschi

Recenzentprof. univ., dr. hab. E. Guuleac

U.T.M., 2014


4/52

5

Cuprins

Lucrarea 1.Elemente tipice ale sistemelor automate4

Lucrarea 2.Studierea regimului staionar al sistemelor automatesub aciuni externe.....17

Lucrarea 3.Influena elementelor de corecie asupra

proprietilor sistemelor automate..............23

Lucrarea 4.Sisteme automate cu conducere combinat.........32

Bibliografie.......39

Anexa A.Soluionarea ecuaiilor difereniale liniare cu coeficieniiconstani (concentrai) ..40

Anexa B.Funcii de timp continue i imaginea Laplace..48

Anexa C.Modele matematice ale elementelor tipice...49

Anexa D.Funcii frecveniale ale elementelor tipice........50


5/52

6

LUCRAREA 1

ELEMENTE TIPICE ALE SISTEMELOR AUTOMATE

Obiectivul lucrrii const n studierea proprietilordinamice ale elementelor tipice, ridicarea proceselor tranzitorii, afunciilor frecveniale i studierea metodelor de apreciere aparametrilor funciilor de transfer ale elementelor.

1Noiuni generale

Sistemele cu conducere automata (SCA) reprezint unansamblu de elemente funcionale conectate ntr-un mod anumit casistemul s funcioneze. Aceste elemente ndeplinesc anumitefuncii (de msurare, de amplificare, de execuie etc.) i sedeosebesc dup principiul de aciune, construcie i natur fizic (electrice, termice, hidraulice etc.).

Dinamica (evoluia) sistemului depinde de proprietileinterne ale elementelor sistemului. Pentru a stabili proprietile

sistemului au nsemntate numai ecuaiile ce descriu legturiledintre mrimile de intrare i mrimile de ieire n orice moment detimp i care descriu matematic procesele fizice n aceste elemente.Avnd diferite destinaii, principii de funcionare, construcii inatur fizic, elementele sistemelor automate pot fi descrise cuaceleai ecuaii integro-difereniale, funcii de timp (procesetranzitorii sau pondere, care prezint rspunsul sistemului sau

elementului la semnalul de intrare), funcii de transfer i funciifrecveniale[1-10].Prezentm n forma generalizat modelele matematice care

se utilizeaz pentru descrierea dinamicii elementelor i sistemelorautomate.

Ecuaia diferenial n form compact, omind variabilatimpului se prezint

(1.1)unde x(t) i y(t) sunt semnalul de intrare i derivatele lui irespectiv semnalul de ieire i derivatele lui sau rspunsul


6/52

7

sistemului la semnalul de intrare, coeficienii prezint proprietile interne ale sistemului i senumesc constante de timp (cu dimensiunea secunda la putereaegal cu ordinul derivatei), iar coeficienii

prezint

proprietile semnalului de intrare i de asemenea se numescconstante de timp (cu dimensiunea secunda la puterea egal cuordinul derivatei).

Funciile de timp prezint rspunsul sistemului sauelementului la semnalul de intrare aplicat sistemului.

Funcia de transfer se prezint ca raportul a dou polinoame

mn, (1.2)unde coeficienii din (1.2) au acelai sens ca i n expresia (1.1), iarmn este condiia de realizabilitate fizic sau efectul non-anticipaie. Rdcinile polinomului B(s)=0 zj (j=1, ) suntzerourile lui G(s) i exprim proprietile de anticipaie, iarrdcinile polinomului A(s)=0 pi (i=1, ) sunt polii lui G(s) iexprim proprietile de inerie i polinomul A(s)=0 se numete

ecuaia caracteristic a sistemului sau elementului.Funciile frecvenialese prezint

() (1.3)

, ,unde

este locul de transfer sau amplitudine-faz,

- partea real i imaginar, amplitudine-frecven, - faz-frecven, - unitate imaginar, -frecvena care variaz de la - i n scar logaritmic nbaza 10 (diagrama Bode): amplitudine-frecven careprezint atenuarea rspunsului la frecven i se msoar ndeciBell (dB), faz-frecven prezint fazarspunsului la frecven i se msoar n grade i mai rar n

radiani.


7/52

8

n principiu majoritatea absolut a dinamicii elementelor iproceselor se descriu cu ajutorul ecuaiilor integro-diferenialeneliniare, ns proprietile dinamice la o mare parte de elementeale sistemelor se aproximeaz (liniarizeaz) i pot fi descrise cuajutorul ecuaiilor difereniale liniare (ori liniarizate), aceleaiecuaii integro-difereniale, funcii de timp (tranzitorii, indiciale,pondere etc., care prezint rspunsul sistemului sau elementului lasemnalul de intrare), funcii de transfer i funcii frecveniale.

Elementele care se descriu cu acelai tip de ecuaiidifereniale sau funcii de transfer, dar care se deosebesc numaiprin valorile numerice ale parametrilor se numesc elemente de

transfer de acelai tip. Elementele dinamice tipice se descriu, caregul, cu ecuaii difereniale de ordin nu mai mare dect doi,funcii de timp (tranzitorii, pondere etc.), funcii de transfer ifuncii frecveniale de ordinul respectiv.

Modelele matematice care descriu proprietile interne aleelementelor se clasific dup tipul ecuaiilor difereniale caredescriu dinamica elementelor i proceselor.

n lucrare se studiaz elemente de transfer tipice: ideal,

inerie de ordinul unu, integrator, ideal i real derivativ, oscilantamortizat i timp mort. Pentru aceste elemente se vor ridica ianaliza procesele indiciale cnd la intrare se aplic semnal treaptunitari funciile frecveniale.Pentru ridicarea funciei pondere laintrare se aplic semnal impuls dreptunghiular.

Pentru a studia proprietile dinamice ale elementelor isistemelor se folosesc funciile i caracteristicile de timp ale

sistemelor liniare. n dependen de tipul semnalului aplicat laintrarea elementului, deosebim funcia indicial h(t) ca rspuns lasemnal de tip treapt (unitar) l(t) i funcia pondere w(t) carspuns la semnal de tip impuls dreptunghiular (impuls unitar - ).

Funcia indicial h(t) a elementului sau sistemului liniarcaracterizeaz transferul intrare-ieire i poate fi determinat prinsoluia ecuaiei difereniale construit n timp ori cu ajutorultransformatei Laplace invers a funcie y(s) = G(s)x(s) pentru

semnalul de intrare treapt unitar r(s) = L[1(t)] = l/s:


8/52

9

h(t) =y(t) =L-1[G(s)/s]. (1.4)n lucrare se studiaz metoda de determinare experimental

a valorilor parametrilor f.d.t., pe baza caracteristicilor tranzitorii ifrecveniale.

n fig. 1.1 este reprezentat schema-bloc de simulare aelementului i ridicare a caracteristicilor tranzitorii i frecvenialeale elementelor studiate n lucrare.

Fig. 1.1. Schema-bloc de simulare a elementului dinamic.

n fig. 1.1 sunt utilizate nsemnrile: 1 elementul careformeaz semnalul de intrare, 2-elementul studiat, 3, 4

vizualizatorul care reprezint semnalul n domeniul timp irespectiv n frecven.De rnd cu caracteristicile tranzitorie i pondere, pentru

studierea elementelor i sistemelor automate se folosesc pe largfunciile frecveniale. n fig. 1.2 - 1.7, a) f) sunt reprezentatecaracteristicile: a) procesul indicial h(t), b) funcia ponderew(t),c)locul de transfer,d)amplitudine-frecvenA(),e) faz-frecven

, f) - amplitudine-frecven n scar

logaritmic ale elementelor studiate n lucrare i indicatepunctele specifice, folosite pentru determinarea parametrilorfunciei de transfer ale elementelor.

n practica studierii proprietilor sistemelor automate esterspndit metoda modelrii matematice. Dac ecuaiile caredescriu dinamica obiectului i a modelului su sunt identice, atuncistudierea proprietilor obiectului poate fi redus la studierea

proprietilor modelului.n lucrare modelele elementelor se realizeaz prin simulare

Elementdinamic

1

4

32


9/52

10

pe calculator utiliznd pachetele de programe MATLAB sauKOPRAS.

Element ideal (proporional): ecuaia diferenial i funciade transfer sunt urmtoarele:

(1.5) , (1.6)unde k este coeficientul de transfer, dimensiunea va depinde dedimensiunile mrimilor de intrare i ieire. Funciile indicial,pondere i frecveniale sunt prezentate n fig. 1.2.

Fig.1.2.Caracteristicile elementului ideal.

Element integrator: ecuaia diferenial i funcia detransfer sunt urmtoarele:

(1.7)

a) b)

e)

c) d)

f)


10/52

11

, (1.8)unde Tieste constanta de timp de integrare, dimensiunea secunda,ki =1/Ti este coeficientul invers constantei de timp. Funciile

indicial, pondere i frecveniale sunt prezentate n fig. 1.3.

Fig.1.3.Caracteristicile elementului integrator.

Element cu inerie (ntrziere) de ordinul unu: ecuaiadiferenial i funcia de transfer sunt urmtoarele:

(1.9) , (1.10)unde k este coeficientul de transfer, T constanta de timp,dimensiunea secunda. Funciile indicial, pondere i frecveniale

sunt prezentate n fig. 1.4.

a) b)

c) d)

e) f)


11/52

12

Fig. 1.4.Caracteristicile elementului cu ineriede ordinul unu.

Element ideal i real derivativ (saude anticipare): ecuaiadiferenial i funcia de transfer sunt urmtoarele:Elementul ideal derivativ:

(1.11) , (1.12)unde Td este constanta de timp de derivare, dimensiunea secunda.

Elementul real derivativ:

(1.13)

a) b)

c)d)

e) f)


12/52

13

, (1.14)unde Td este constanta de timp de derivare, dimensiunea secunda,Tp constanta de timp de filtrare sau parazitar, dimensiunea

secunda. Termenul din dreapta a expresiei (1.14) se prezint caprodusul dintre elementul ideal de derivare i elementul de filtrareca element de ntrziere de ordinul unu. Funciile indicial,pondere i frecveniale sunt prezentate n fig. 1.5: pentru elementulideal derivativ curbele 1, iar pentru elementul real derivativcurbele 2.

Fig. 1.5.Caracteristicile elementului derivativ.

Element oscilant amortizat (inerie sau ntrziere de ordinuldoi):

(1.15)

a) b)

c) d)

e) f)


13/52

14

, (1.16)unde k este coeficientul de transfer, T constanta de timp,dimensiunea secunda,

- coeficient de amortizare, adimensional,

este pulsaia natural (exprimatn radiani/secund).Funciile indicial, pondere i frecveniale suntprezentate n fig. 1.6, a) - f): curbele 1 prezint elementul oscilantamortizat, iar curbele 2elementul cu inerie de ordinul doi.

Fig. 1.6.Caracteristicile elementului oscilant amortizat.

a) b)

c) d)

e)f)

21

21

12

1

2

2

1

Tp


14/52

15

Elementul este oscilant amortizat, dac 0 < < l. n caz c=0, elementul este oscilant neamortizat, iar cnd 1 esteelement cu inerie de ordinul doi, care poate fi reprezentat de douelemente cu inerie de ordinul unu nseriate.

Element cu timp mort: ecuaia diferenial i funcia detransfer sunt urmtoarele:

, (1.17) , (1.18)

unde k este coeficientul de transfer, timp mort, dimensiuneasecunda. Funciile indicial, pondere i frecveniale ale

elementului cu timp mort sunt prezentate n fig. 1.7, a) -f).

Fig. 1.7.Caracteristicile elementului cu timp mort.

a) b)

c) d)

e) f)


15/52

16

Aplicnd metoda grafo-analitic, pe baza caracteristicilortranzitorii (determinate experimental la calculator), determinmvalorile numerice ale parametrilor funciei de transfer. Deexemplu, pentru elementul oscilant amortizat dup caracteristicaindicial h(t) (fig. 1.6, a) se determin k, A1, A2, Tp i, ncontinuare, se calculeaz parametrii f.d.t.:coeficientul de transfer keste egal (n proporia corespunztoare) cu ordonat drepteiregimului staionar spre care tinde mrimea de ieire (fig. 1.6, a),iar restul parametrilor se determin din soluionarea sistemului deecuaii:

(1.19) . (1.20)

n Anexele AD sunt prezentate metode de soluionare aecuaiilor difereniale, modele de semnale utilizate n sistemeautomate, modele matematice ale elementelor tipice n domeniiletimp i frecven.

2 Modul de lucru n laborator

1. Pe baza ecuaiilor i funciilor de transfer (1.1) - (1.18)pentru elementele tipice determinai expresiileproceselor indicialeh(t) i funciile frecveniale G(j), A(), () i L() ale acestorelemente (vezi Anexele A-D). (Acest punct se ndeplinete ncursul pregtirii de acas).

2. Utiliznd pachetul de programe MATLAB sauKOPRAS, asamblai schemele modelelor elementelor tipice cudatele numerice indicate de cadrul didactic pentru parametriielementelor i ridicai caracteristicile indiciale i funciile pondereale elementelor ideal, integrator, cu inerie de ordinul unu,derivativ real, oscilant amortizat i neamortizat i cu timp mort.

3. Ridicai caracteristicile frecveniale ale elementelortipice: locul de transfer G(j), amplitudine-frecven A(), faz-frecven () iamplitudine-frecven n scar logaritmicL().

4. Pe baza caracteristicilor de frecven, calculaiparametriifunciilor de transfer ale elementelor tipice: coeficientul de


16/52

17

transfer, constanta de timp i coeficientul de amortizare icomparai-le cu datele obinute n p. 2.

3Coninutul drii de seam

1. Funciile de transfer, tranzitorii i de frecven aleelementelor studiate n lucrare.

2. Schemele de modelare a elementelor tipice.3. Caracteristicile tranzitorii i de frecven ale elementelor.4. Concluzii.

4Chestionar

1. n ce const principiul de clasificare a dispozitivelorfizice n elemente dinamice tipice? Ce se consider elementdinamic tipic?

2. Numii elementele dinamice tip liniare, ce pot fievideniate n sistemele automate. Dai exemple de dispozitivereale, ce corespund elementelor dinamice tipice.

3. Ce se numete caracteristic tranzitorie indicial? Cumse determin funcia tranzitorie, dac cunoatem funcia detransfer?

4. Reprezentai caracteristicile tranzitorii indiciale aleelementelor tipice.

6. Ce prezint caracteristic amplitudine-faz sau loc detransfer, amplitudine-frecven, faz-frecven?

7. Reprezentai caracteristicile lor: locul de transfer G(j),amplitudine-frecvenA() i faz-frecven ().8. Cum se construiesc caracteristicile de frecven

logaritmice asimptote (linii poligonale aproximante)?9. Lmurii cum se determin parametrii funciei de transfer

pe baza caracteristicii tranzitorii pentru fiecare element-tipic.10. Lmurii cum se apreciaz parametrii funciei de

transfer pe baza caracteristicilor G(j), A(), () pentru fiecare

element.


17/52

18

11. Artai cum se va modifica caracteristica locul detransfer G(j) al elementului oscilant, dac valoarea coeficientuluide amortizare se variaz de la 0 pn la 1.


18/52

19

LUCRAREA 2

STUDIEREA REGIMULUI STAIONARAL SISTEMELOR AUTOMATE SUB ACIUNI EXTERNE

Obiectivul lucrrii const n studierea metodelor demajorare a preciziei sistemelor automate i aprecierea influeneiparametrilor sistemului la precizia reproducerii oricror aciuniexterne.

1Noiuni generale

La sinteza sistemelor automate este necesar de a satisfaceperformanele necesare. n rezultatul modificrii semnalului dereferin r(t) la intrarea sistemului (fig. 2.1) ori perturbaiei p(t),mrimea de ieire (rspunsul) poate fi determinat prin expresia:

(2.1)unde y(t) este soluia ecuaiei difereniale ce descrie sistemul,

- componenta liber (regimul tranzitoriu), yf(t) - componenta

forat (regimul staionar) ce depinde de evoluia aciunilor externer(t) ip(t).

Fig. 2.1.Schema-bloc structural a sistemului automat.

Din expresia (2.1) observm c performanele sistemuluiautomat pot fi apreciate conform componentelor yl(t) i yf(t). nacest sens deosebim dou grupuri de performane: primul -

performanele regimului tranzitoriu yl(t), al doilea - performanele

y(t)

p(t)

r(t) e(t)

Gp(s)

G(s)


19/52


20/52


21/52

22

(2.11)Perturbaia se prezint prin expresia p(t)=b0+b1t+b2t

2 if.d.t. a perturbaiei este Gp(s)=kp. De determinat eroarea sistemului

la aciunea acestei perturbaii.Determinm funcia de transfer perturbaie-eroare conform

(2.2):

(2.12)Deoarece perturbaia p(t) are derivate de ordinul nti i

doi, determinm numai coeficienii , i :=0, =kp/k, .Determinm prima i a doua derivat a perturbaiei: i .Utilizm expresia (2.10) dar substituim referina cu

perturbaia pi calculm eroarea sistemului la aciuneaperturbaiei

(2.13)Dup cum rezult din (2.13), n rezultatul urmririi

semnalului perturbaiei p(t) eroarea sistemului analizat creteproporional timpului.Dac perturbaia este p(t)=b0 + t, atunci n

sistem se stabilete o eroare de vitez constant exprimat derelaia ep(t)=kpb1/k. Cum se observ din expresiile de mai sus,coeficienii erorii sunt invers proporionali coeficientului detransfer al sistemului deschis.

2Modul de lucru n laborator

1. Asamblai schema modelului SA (fig. 2.2) pe calculatori stabilii valorile coeficienilor de transfer, numite de cadruldidactic.

2. Determinai valorile erorii statice n raport cu valorilereferinei r(t) i perturbaiei p(t) pentru dou valori alecoeficientului de transfer al sistemului deschis

=10,

=100.


22/52


23/52

24

deschis k=1-20. Valorile a, b i k sunt indicate de ctre cadruldidactic.

8. Mrii cu o unitate gradul astatismului i repetaiexperimentul din p. 7.

9. Conform datelor obinute n pp. 2-8 trasai caracte-risticile respective i comparai-le cu cele calculate.

3 Coninutul driide seam

1. Schemele structurale ale sistemelor studiate n lucrare.2. Funciile e(t)=f(r(t))i e(t)=f(p(t)) calculate.

3. Graficele funciilor tranzitorii.4. Concluzii.

4Chestionar

1. Cum influeneaz coeficientul de transfer al sistemuluideschis asupra preciziei lui?

2. Depinde oare stabilitatea sistemelor automate de

coeficientul de transfer al sistemului deschis?3. Numii metodele de ridicare a preciziei sistemelor

automate.4. Depinde oare stabilitatea sistemelor automate de gradul

astatismului?5. Depinde oare eroarea staionara a sistemului astatic de

punctul de aciune alperturbaiei?


24/52

25

LUCRAREA3

INFLUENA ELEMENTELOR DE CORECIEASUPRAPROPRIETILORSISTEMELOR AUTOMATE

Obiectivul lucrrii const n studierea metodelor decorecie a proprietilor sistemelor automate i influeneiparametrilor elementelor de corecie asupra performanelorsistemelor automate.

1Noiuni generale

Corecia proprietilor dinamice ale sistemelor automate sefolosete pentru a ndeplini cerinele de precizie, stabilitate iperforman ale regimului tranzitoriu [1-10]. Din punct de vedereal cerinelor de precizie (n regim staionar) elementele de coreciea dinamicii sistemelor automate modific coeficientul de transferori ordinul de astatism, pstrnd stabilitatea i performaneleregimului tranzitoriu. Corecia se mai aplic pentru a stabiliza

sistemul instabil, a majora domeniul de stabilitate ori pentru aridica performanele necesare ale regimului tranzitoriu. Corecia serealizeaz cu ajutorul elementelor cu funcii de transfer specialselectate, care se introduc n sistem. Conform metodei deconectare n sistem, elementele decorecie se mpart n elementede conectare n serie, paralel i n reacie (fig. 3.1).

n schemele structurale din fig. 3.1 G0(s), G1(s) i Gc(s)

reprezint funciile de transfer ale elementelor de baz alesistemului, iar Gc(s) este funcia de transfer a elementului decorecie. Elementele de corecie introduc n sistem urmtoareleaciuni suplimentare:

aciuni integrale i prin derivate n circuitul nchis alsistemelor automate;

legturi inverse de corecie, aplicate la unele elemente alesistemului automat;

aciuni de corecie n funcie de perturbaii ori prescrieri iderivatelor lor.


25/52

26

Fig. 3.1.Schema cuplrii elementelor de corecien SA:a) n serie; b) n paralel.

Cele mai utilizate sunt urmtoarele elemente de coreciecuplate n serie: elemente de anticipare, elemente proporional-integrative i elemente proporionale-integrative-derivative.

Elementul de anticipare de ordinul unu se descrie cuurmtoarea funcie de transfer:

Gpd(s) = kp kds, (3.1)Din (3.1) rezult c la acest element mrimea-efect este

alctuit din dou componente: componenta proporional

mrimii-intrare cu coeficientul kp i componenta proporionalderivatei acestei mrimi cu coeficientul kd. Ultima componentpoate fi pozitiv ori negativ. Introducerea n serie a unui astfel deelement n sistemul automat modific funcia de transfer asistemului iniial deschis G(s) = C(s)/D(s), care devine egal cuprodusul funciilor de transfer ale sistemului i elementului decorecie:

, (3.2)

p(t)

r(t) y(t)e(t).G

c(s) .G

0(s)

b)

p(t)

r(t) y(t)e(t) .G1(s)

.G0(s)

Gc(s)

a)


26/52


27/52

28

n circuitul su sunt introduse aciuni derivative de la ordinul unupn la ordinul -1.

Elementele de anticipare, cuplate n circuitul sistemuluiautomat, modific, pe lng domeniul de stabilitate, i viteza derspuns a procesului tranzitoriu. Aciunea derivativ-pozitiv,proporional vitezei de variaie a semnalului de intrare, majoreazsemnalul cnd acesta crete, i invers l micoreaz suplimentarcnd el ncepe a se micora. Prin urmare, o astfel de aciuneforeaz decurgerea procesului tranzitoriu, accelerndu-l. Aciuneaderivativ-negativ acioneaz invers-ncetinete decurgereaprocesului tranzitoriu. n realitate elementele de anticipare posed

o ntrziere substanial n rezultatul creia funcia de transfer iaforma:

, (3.7)unde Tpdkd/kp ,cu alte cuvinte este destul de mic.

Elementul de anticipare real poate fi prezentat ca unelement de anticipare ideal, unit n serie cu un element dentrziere. De aceea toate concluziile de mai sus referitor la

influena elementelor de anticipare ideale asupra domeniului destabilitate i performanelor sistemelor automate se refer i laelementele cu anticipare reale cu diferena c ele au o influenmai slab. Influenta lor scade pn la zero cu majorarea constanteide timp Tpdcnd Tpdtinde ctre kd/kp.

n caz cnd este necesar de a majora gradul de astatism alsistemului, pstrnd stabilitatea i performanele necesare, sefolosesc elemente proporional-integrale. Funcia de transfer aelementului proporional-integral este

, (3.8)Dup cum se vede din (3.8), un astfel de element este

echivalent unirii n serie a elementelor integral i de anticipare deordinul unu, de aceea acest element permite de a mri ordinulastatismului, pstrnd stabilitatea structural a sistemuluiautomat.

Elementele proporionale-integrative-derivative (PID) se

descriu cu funcia de transfer:


28/52

29

, (3.9) =

, (3.10)

unde

este constanta de timp de filtrare (parazitar).

Expresia (3.9) prezint elementul PID ideal, iar (3.10) esteelementul PID real.

Dup cum se vede din (3.9), (3.10), un astfel de elementeste echivalent unirii n serie a elementelor integrator i deanticipare de ordinul doi (real). Prin urmare, elementeleproporionale-integrative-derivative, ca i elementele proporional-integrative, majoreaz ordinul astatismului, dar au o influen mai

puternic asupra dinamicii sistemului automat.Dup cum s-a menionat mai sus, elementele de corecie

pot fi conectate i n form de legturi inverse pentru o parte asistemului (fig. 3.1,b). Dac introducem pentru elementul cufuncia de transfer cu o legtur invers cu funcia detransfer , atunci funcia de transfer echivalent devine

, (3.11)

unde semnul "plus" n numitor corespunde reaciei negative, iarsemnul "minus" - reaciei pozitive. Legturile inverse de coreciese mai mpart, n afar de pozitive i negative, i n legturi rigide,elastice i integratoare. Legturile inverse rigide se realizeaz cuajutorul elementelor statice G2(0)0, care acioneaz n regimurilestaionar i tranzitoriu, pe cnd reacia elastic se realizeaz cuelemente derivative i acioneaz numai n regimul tranzitoriu, de

aceea funcia de transfer a legturii inverse elastice n regimulstaionareste egal cu zero, iar reaciaintegrativ se realizeaz cuelemente integrative care acioneaz n regimurile tranzitoriu istaionar.

Analizm aciunea legturii inverse rigide cu funcia detransfer G2(s) = k2. Admitem c se utilizeaz legtur invers la unelement oscilant amortizat cu funcia de transfer:

Corespunztor (3.11), funcia de transfer echivalent

devine egal cu:


29/52

30

. (3.12)mprim numitorul i numrtorul la i obinem:

, (3.13)unde , ,

.

Din (3.13) urmeaz c reacia negativ rigid micoreazineria elementului din canalul direct i coeficientul de amortizarecare conduce la majorarea oscilaiilor, n caz c >1, o astfel dereacie este justificat, dar dac


30/52

31

Reacia elastic cu ntrziere modific dinamicaelementului din canalul direct n acelai mod ca i reacia rigid cuntrziere.

Pentru sistemele automate liniare ambele metode decorecie sunt echivalente, cu alte cuvinte, elementul de corecie nserie poate fi nlocuit cu un element introdus n reacie i invers ,pstrnd neschimbate proprietile dinamice ale sistemuluiautomat. Dar, indiferent de aceasta, corecia n reacie are o mailarga utilizare din urmtoarele considerente:

legtura invers se realizeaz mai uor, fiindc la intrareaei se aplic un semnal cu o putere mai mare dect puterea

semnalului n punctul unde este aplicat ieirea acestei legturi; legtura invers negativ micoreaz influena

elementelor neliniare i instabilitatea parametrilor lor n acea partea sistemului unde ea este aplicat.

Elementele de corecie conectate n serie sunt mai comoden aplicare n sistemele electrice de curent continuu.


1.

Asamblai modelul schemei structurale a sistemului(fig. 3.2) pe calculator i ridicai caracteristica procesuluitranzitoriu al sistemului.

Fig. 3.2.Schema-bloc structural a SA necorectat.

2. Introducei n modelul sistemului automat elementul decorecie cu funcia de transfer:

,aa cum este indicat n fig. 3.3 i ridicaicaracteristicile tranzitorie,

amplitudine-frecven i faz-frecven pentru valorile lui Tegalecu 1; 0,5; 0,2.

r(t) y(t)e(t)


31/52

32

Fig. 3.3.Schema structural a SA cu corecie-serie.

3. nlocuii n fig. 3.3 elementul de corecie cuanticipare cuelementul proporional-integrativ-derivativ cu funcia de transfer:

.Ridicai caracteristicile tranzitorie, amplitudine-frecven i

faz-frecven pentru valorile ki= 1, 2, 4.4. n schema asamblat n p. 3 introducei o reacie rigid

la un integrator i ridicai caracteristicile tranzitorie, amplitudine-frecven i faz-frecven pentru valorile ki= 1, 2, 4.

5. Conform datelor obinute n pp. 2-5 prezentaicaracteristicile tranzitorii i n frecven (caracteristicileamplitudine-frecven i faz-frecven se traseaz n acelai

sistem de coordonate pentru fiecare punct aparte).

3 Coninutul drii de seam

1. Schemele structurale ale SA studiate n lucrare.2. Graficele caracteristicilor tranzitorii ale SA.3. Graficele caracteristicilor frecvenialeale SA.4. Valorile performanelor SA, determinate din

caracteristicile sistemelor automate studiate.5. Concluzii.

4 Chestionar

1. Numii condiiile necesare i suficiente de stabilitate asistemului automat.

2. Ce nseamn limit a factorului de amplificare asistemului deschis i cum poate fi apreciatvaloarea lui?

y(t)e(t) .Gc(s)

r(t)


32/52

33

3. Determinai f.d.t. a sistemului nchis cu schemastructural din fig. 3.2 i 3.3.

4 Cum se modific performanele procesului tranzitoriu,dac introducem n sistem elemente de corecie cuplate n serie?

5. Numii performanele procesuluitranzitoriu al sistemuluiautomat i metodele aplicate pentru aprecierea lor.

6. Lmurii influena reaciilor rigide i elastice cuplate nsistem asupra caracteristicilor dinamice ale sistemului automat.

7. Dai analiza comparativ a elementelor de corecieintroduse n sistem consecutiv ori n reacie.


33/52

34

LUCRAREA4

SISTEME AUTOMATE CU CONDUCERE COMBINAT

Obiectivul lucrrii const n studierea proprietilordinamice i statice ale sistemelor automate cu conducerecombinat(sisteme automate invariante).

1Noiuni generale

Sistemele n care se utilizeaz principiile de conducere n

funcie de abatere i perturbaie se numesc sisteme automate cuconducere combinat. n funcie de aciunea extern (prescriere oriperturbaie), pentru care este organizat circuitul suplimentar,sistemele automate cu conducere combinat se mpart n douclase: sisteme cu reglare combinat i sisteme combinate de urm-rire [7,8].

Sistemul automat este invariant n raport cu oricare semnalextern, dacdup stabilirea regimului staionar mrimea reglat i

eroarea sistemului nu depind de aceste semnale.Reglarea combinat se aplic pentru a micora influena

unei perturbaii, cea mai puternic, aplicat la obiectul condus.Schema structural a unui astfel de sistem este reprezentat n fig.4.1. Aici GA(s) este funcia de transfer a amplificatorului (A),GEE(s) - funcia de transfer a elementului de execuie (EE), G0(s)i Gp(s) - funciile de transfer intrare-ieire i perturbare-ieire ale

obiectului, Gt(s) - funcia de transfer a traductorului deperturbaie.Circuitul nchis, alctuit din elementele GA(s), GEE(s) i

G0(s), realizeaz reglarea n funcie de abatere, care asigurredarea mrimii conduse Y(s) conform mrimii prescrise R(s) imicoreaz influena perturbaiilor secundare interne i externe.Circuitul suplimentar, n funcie de perturbaia principal P(s)alctuit din elementul Gt(s), are ca scop compensarea aciuniip(t)

asupra mrimii conduse. De aceea, circuitul suplimentar se mainumete circuit de compensare. Circuitul de compensare se


34/52

35

cupleaz de obicei n circuitul direct ori la intrarea elementului decorecie n serie (dac el exist).

Conform schemei structurale a sistemului din fig. 4.1,apreciem funcia de transfer perturbare-ieire:

, (4.1)unde G(s)=GA(s)GEE(s)G0(s) indic funcia de transfer nbucl de-schis.

DacGp(s)=Gt(s)GEE(s)G0(s), (4.2)

atunci funcia de transfer perturbaie-ieire este egal cu zero i,

prin urmare, perturbaia p(t) nu influeneaz asupra mrimiiconduse. n aa caz se spune c mrimea condus y(t) esteinvariant fa de perturbaia p(t). Egalitatea (4.2) este condiiainvariantei depline a lui y(t) fa de p(t). Se numete invarian

Fig. 4.1.Schema-bloc structural a SA cu conducere combinat.deplin, cu precizia componentei de tranziie, independenamrimii conduse y(t) fa de evoluia perturbaiei. ns, valorileiniiale ale perturbaiei i derivatele ei formeaz componenta detranziie a mrimii conduse. Dac valorile iniiale ale perturbaieii derivatele ei nu influeneaz asupra mrimii conduse, are locinvariana absolut, pentru care sunt necesare condiii

suplimentare.

p(t)

y(t)e(t) . .

.

.

.

r(t)


35/52


36/52

37

Fig. 4.2.Schema-bloc structural a SA de reproducerea semnalului de referin.

Conform schemei structurale a sistemului (fig. 4.2),funcia

de transfer n bucl deschis este egal cu: . (4.4)Pentru a reproduce precis semnalul de intrare r(t) e necesar

ca funcia de transfer n bucl nchis s fie egal cu unu, . (4.5)

Pe baza expresiilor (4.4) i (4.5) apreciem funcia detransfer a circuitului de acceleraie:

. (4.6)Pentru a reproduce ideal la ieire mrimea urmrit r(t) desistem, este necesar de a ndeplini egalitatea (4.6), care estecondiia invarianei erorii de urmrire e(t) de mrimea prescrisr(t).

Practic pot fi realizate elemente derivative de ordinul numai mare ca doi, fiindc derivarea semnalului repetat de mai

multe ori este dificil i are eroare i, n rezultat, duce laintensificarea considerabil a nivelului de bruiaj. De aceea, nsistemul combinat de urmrire invariana erorii de urmrire e(t) demrimea prescris r(t) se realizeaz parial cu precizia derivatei deordinile zero, unu i doi. Cu alte cuvinte, poate fi realizatcorespunztor un astatism de ordinul unu, doi i trei, n raport cumrimea urmrit.

Ineria inevitabila a elementelor derivative (dei

nensemnat), inexactitatea aprecierii coeficienilor funciilor detransfer i confecionarea lor aduce la aceea c i invariana

r(t) y(t)e(t) . .

.


37/52

38

parial se realizeaz cu o exactitate pn la o mrime mic.Indiferent de aceasta, circuitul de accelerare sporete substanialprecizia de urmrire a sistemului, din care cauz el beneficiaz deo utilizare larg. Cu ct mai lent se schimb mrimea prescrisr(t), cu att mai mare va fi efectul invarianei pariale e(t), funciede r(t). n ncheiere menionm c circuitul suplimentar nuinflueneaz asupra stabilitii circuitului nchis, ns e necesar cansi aceast legtur sa fie stabil.


1. Apreciai funcia de transfer Gc(s) a circuitului

suplimentar n schema structural a sistemului din fig. 4.3.

Fig. 4.3.Schema-bloc structural a SAcu compensarea perturbaiei.

2.Asamblai pecalculator schema structural a sistemului

din fig. 4.3 i instalai valorile parametrilor sistemului.3. Determinai eroarea staionar e(t) n funcie deperturbaia p(t), n lipsa i prezena circuitului suplimentar.Valorilep(t)=p0care se modific n limitele 110 cu pasul unu ip(t) =Asint cuA i, numite de cadrul didactic.

4. Fixai valoarea p(t) = 1 i ridicai caracteristica tranzito-rie n lipsa i prezena circuitului suplimentar (r(t) = 0).

5. Determinai funcia de transfer a circuitului suplimentarn schema structurala sistemului din fig. 4.4.

r(t)

p(t)

y(t)e(t) .

.


38/52

39

6. Asamblai pe calculator schema structural a sistemuluidin fig. 4.4. Fixai valoarea p(t) = 1(t) i ridicai caracteristicatranzitorie n lipsa i prezena circuitului de compensaie pentruurmtoarele cazuri:

funcia Gt(s)se realizeaz cu precizia primei derivate;

funcia Gt(s) se realizeaz cu precizia derivatei deordinul doi.

7. Determinai funcia de transfer Gf(s) pentru sistemul deurmrire din fig. 4.5 i asamblaisistemul pe calculator. Repetaip. 6 pentru r(t) = 1(t).

8. Aplicai la intrare r(t) = at + bt2 i determinai eroarea

sistemului n lipsa i prezena circuitului suplimentar pentruaceleai cazuri ca i n p. 6.

Fig. 4.4.Schema-bloc structural a SA cu compensareaperturbaiei.

Fig. 4.5.Schema-bloc structural a SA de urmrirea semnalului de referin.

r(t) y(t)e(t)

z(t)

p(t)

r(t)y(t)e(t)

.


39/52

40

3 Coninutul drii de seama

1. Schemele structurale ale sistemelor automate studiate.

2. Graficele funciilor SA:y=f(r), e =f(p) i e=f(r).3. Funciile de transfer ale circuitelor de compensaie.4. Performanele proceselor tranzitorii ale SA.5. Concluzii.

4 Chestionar

1. Determinai funcia de transfer a erorii pentru un sistemautomat cu conducere combinat.2. Ce condiii necesit a fi ndeplinite pentru ca sistemul

automat cu conducere combinat s devin invariant?3. Dai un exemplu de sistem combinat de urmrire.4. Ce numim invarian parial?5. Din ce cauz, practic, e imposibil realizarea unui sistem

invariant deplin?

6. Ce avantaje i dezavantaje posed sistemul automat cuconducere combinatn raport cu abaterea?


40/52

41

Bibliografie

1. IVASHCHENKO, N. N. Avtomaticheskoe regulirovanie.M.: Mashinostroenie, 1978. 736 s.

2. KIM, D. P. Teoria avtomaticheskogo upravlenia. T.1.Lineine sistem. M.: FIZMATLIT, 2003. 288 s.

3. KIM, D. P.; DMITRIEVA, N. D. Sbornik zadach poteorii avtomaticheskogo upravlenia. Lineine sistem. M.:FIZMATLIT, 2007. 168 s.

4. LUKAS, V. A. Teoria avtomaticheskogo upravlenia.M.: Nedra, 1990. 416 s.

5. PANTELEEV, A. V.; BORTAKOVSKII, A. S. Teoriaupravlenia v primerah i zadachah. M.: Vsshaia shkola, 2003.583 s.

6.POZNA, C. Teoria sistemelor automate.Bucureti: MATRIXROM, 2004. 329 p.

7. Teoria avtomaticheskogo upravlenia. Pod red. V. B.IAKOVLEVA. M.: Vsshaia shkola, 2005. 567 s.

8. Teoria avtomaticheskogo upravlenia. Pod red. A. V.

NETUSHILA. M.: Vsshaia shkola, 1976. C.1. 400 s.9. Teoria avtomaticheskogo upravlenia.Pod red.A.A.VORONOVA. M.: Vsshaia shkola, 1986. C. 1. 368 s.

10.VOICU, M. Introducere n automatic. Iai:

Editura Dosoftei, 1998. 237 p.


41/52

42

ANEXA A

Soluionarea ecuaiilor difereniale liniarecu coeficienii constani (concentrai)

Cazul 1. Ecuaia diferenial a elementului cu inerie deordinul doi se prezint

, (A1)iar n forma operaional este

(A2)Soluia general a ecuaiei difereniale de ordinul doi este

(A3)unde este componenta liber a soluiei ecuaiei diferenialeomogene i caracterizeaz regimul dinamic, iar- componentaforat a soluiei ecuaiei difereniale neomogene, care reprezintregimul staionar.

Ecuaia caracteristic pentru ecuaia diferenial omogeneste

(A4)iar rdcinile acesteia au forma

(A5)

unde=/T i = .Caracterul procesului tranzitoriu al elementului depinde de

tipul rdcinilor, care pot fi reale sau complexe.Elementul este oscilant amortizat dac 0


42/52

43

n cnd 1 ( ) este element cuinerie (ntrziere) de ordinul doi, care poate fi reprezentat de douelemente cu inerie de ordinul unu nseriate i rdcinile sunt realede forma

,iar procesul tranzitoriu este aperiodic.

Soluia ecuaiei difereniale omogene se prezint n forma

, (A6)unde sunt constantele condiiilor iniiale, care se vor calculamai jos.

Soluia ecuaiei difereniale neomogene este (A7)Soluia general a ecuaiei difereniale de ordinul doi (A1)

cu componentele calculate prin relaiile (A6) i (A7) se prezint caproces indicial (semnalul de intrare este treapt unitar) i areforma

(A8)Pentru determinarea constantelor necunoscute

este

necesar de a avea dou ecuaii algebrice din care se vor calculaaceste constante.

Prima ecuaie algebric se obine din (A8) la condiiileiniiale nule

(A9)A doua ecuaie algebric se obine prin derivarea expresiei

(A8) la condiiile iniiale nule

(A10)Determinnd constantele necunoscute din sistemulde ecuaii algebrice (A9) i (A10) procesul indicial (A8) este deforma

(A11)Dac admitem c rdcinile ecuaiei difereniale sunt

complexe (A5), atunci procesul tranzitoriu este oscilant amortizat

i se descrie de relaia


43/52

44

(A12)unde

n cazurile cnd ecuaia diferenial pentru element cuinerie de ordinul doi are forma

(A13)atunci ecuaia caracteristic pentru ecuaia diferenial omogeneste

(A14)

i rdcinile acesteia au forma Procesul indicial pentru (A12) este de forma

(A15)Primul termen n (A15) reprezint procesul permanent, iar termenii doi i trei n (A15) reprezint procesul

tranzitoriu Caracterul procesului tranzitoriu depinde de tipul

rdcinilor, care pot fi reale sau complexe.Elementul oscilant amortizat i elementul cu inerie de

ordinul doi au proprieti comune ca statism i inerie, darprocesele tranzitorii ale acestora difer esenial unul de altul.Pentru elementul oscilant amortizat procesul tranzitoriu esteoscilant (rdcinile complexe), iar pentru elementul cu inerie deordinul doi este aperiodic (rdcinile reale).

Metode de soluionare a ecuaiei difereniale utilizndprocedura prezentat n cazul 1) este dificil. Pentru simplificareaprocedurilor de soluionare a ecuaiei difereniale se aplicprocedurile de calcul a funciilor temporale prin aplicareatransformatei Laplace invers de la expresia funciei de transferprezentat prin fracii elementare.

Cazul 2. Prezentm n forma generalizat procedura desoluionare a ecuaiei difereniale care descrie dinamica sistemului

automat la condiii iniiale nule.


44/52

45

Ecuaia diferenial n forma compact, omind variabilatimpului se prezint , (A16)unde r(t) i y(t) sunt semnalul de intrare i derivatele lui irespectiv semnalul de ieire i derivatele lui sau rspunsulsistemului la semnalul de intrare, coeficienii prezint proprietile interne i se numesc constante de timp (cudimensiunea secunda la puterea egal cu ordinul derivatei), iarcoeficienii prezint proprietile semnalului deintrare i de asemenea se numesc constante de timp (cudimensiunea secunda la puterea egal cu ordinul derivatei).

Funcia de transfer se prezint ca raportul a dou polinoame

mn, (A17)unde coeficienii din (A17) au acelai sens ca i n expresia (A16),iar mn este condiia de realizabilitate fizic sau efectul non-anticipaie a sistemului.

Deoarece f.d.t. este o funcie raional (raportul adou polinoame cu coeficienii reali) atunci aceasta poate fi

prezentat i sub forma factorizat

(A18)Dac (s)=0 are zj (j= ) rdcini distincte, atunci acestea

sunt zerourile lui G(s) i polinomul se prezint sub formfactorizat i modeleaz operaii deamplificare i derivare, n esen, are un efect de amplificare-anticipare a mrimii de ieire raportat la mrimea de intrare(exprim proprietile de anticipaie n sistem).

Polinomul ( ) se numete monic i se prezintn forma

DacA(s)=0 arepi (i= ) rdcini distincte, atunci acesteasunt polii lui G(s) i polinomul se prezint sub form factorizat i inversul acestui polinom modeleazoperaii bazate pe integrare. n raportul transferului temporal

intrare-ieire operaiile de integrare au un efect de ntrziere a


45/52

46

mrimii de ieire fa de mrimea de intrare (datorit proprietilorinterne de inerie).

Polinomul ( ) se numete monic i se prezintn forma

n sistemele reale principiul non-anticiprii, conform cruia

efectul nu anticipeaz cauza, n f.d.t. a sistemului G(s) operatorulbazat pe integrare A(s) trebuie s fie dominant fa de operatorulde amplificare-derivareB(s).

Dac este cunoscut funcia de transfer a sistemuluiautomat la intrarea cruia acioneaz semnal treapt unitar i estede forma

, (A19)atunci rspunsul sistemului n forma operaional din (A19) este (A20)

Rspunsul indicial h(t) al sistemului (A20) la aciuneasemnalului de intrare treapt unitar l(t) (n transformata Laplace1/s) se determin cu ajutorul transformatei Laplace inverse nforma

(A21)Dac ecuaia caracteristic a SA are n rdcini

distincte , atunci rspunsul indicial h(t) (A21) al sistemului lacondiii iniiale nule se calculeaz dup relaia

, (A22)unde prima component reprezint regimul permanent , iar adoua component reprezint regimul tranzitoriu .Funcia pondere a SA se calculeaz dup relaia (A22) iobinem

(A23)Din cele prezentate mai sus n relaia (A22) rezult c polii

f.d.t.au un rol determinant n evoluia rspunsului sistemuluipe durata regimului tranzitoriu. La o mrime de intrare oarecare, mrimea de ieire depinde i de polii finii ai lui.


46/52

47

Admitem c mrimea de intrare este o combinaieliniar de funcii de forma mrimei de intrare Atunci se consider c

(t). (A24)

Expresia (A24) n transformata Laplace va fi (s-), (A25)

unde polul i amplitudinea sunt doi parametri, valorile crorase aleg conform necesitilor de funcionare ale sistemuluiautomat.

Expresia rspunsului (A20) n domeniul timpului seprezint n forma

(A26)unde

Componenta reprezint regimul tranzitoriu, evoluiatemporal a creia se determin de exponentele conformpolilor finii ai lui

i de coeficienii

, care depind de

zerourile i de polii lui i de polul lui .Componenta reprezint regimul permanent, evoluiatemporal a creia se determin de exponenta (exist i ni de coeficientul d, care depinde de zerourile i de polii lui

Cazul 3. Dac este cunoscut funcia de transfer (A19) asistemului automat cu condiii iniialenenule

(A27)i semnalul de intrare este prezentat de o funcie raional de forma

(A28)atunci rspunsul sistemului cu condiii iniiale nenule din (A19) i(A27)-(A28) n forma operaional este

(A29)


47/52


48/52

49

depind de polii lui i de polinomul condiiilor iniiale n acest caz rspunsul sistemului este

. (A34)Exemplu. De calculat expresia procesului indicial al

sistemului cu funcia de transfer

Soluionare. Calculm rdcinile ecuaiei caracteristice a

sistemului i obinem , care sunt i polii lui G(s).

Expresia operaional a procesului indicial H(s) alsistemului la intrarea cruia acioneaz semnal treapt unitar seprezent n fracii elementare

Calculm coeficienii

Expresia operaional a procesului indicial al sistemului cu

coeficienii calculai are forma .

Pentru fiecare component a expresiei operaionale a lui

se determin transformata Laplace invers i obinemprocesul indicial n forma


49/52

50

ANEXA B

Funcii de timp continue i imaginea Laplace

Nr.crt. Denumireafunciei Originalf(t) ImagineaF(s)

1 Delta impuls 2 Treapt unitar 3 Funcie ramp 4 Funcie

polinomial

5 Exponenial 6 Exponenial 7 Sinusoid 8 Cosinusoid 9 Sinusoid 10 Produsul

exponenteicu sinusoid


50/52

ANEXA CModele matematice ale elementelor tipice

Tipelement

Ecuaia diferenial Soluia ecuaieidifereniale

Funcia pondere Funcia de transfer

Ideal Inerieordin 1

Integrator

Derivativideal

Derivativreal

1(t)

Oscilantamortizat

/T,=arctg

Timpmort


51/52

50

ANEXA D

Funcii frecveniale ale elementelor tipiceTip

elementLocul detransfer

Amplitudine frecven Faz frecven Logaritmic

Ideal Inerieordin unu

Integrator Derivativideal

Derivativreal

Oscilantamortizat

L()=20lgk-20lgk

Timp

mort


52/52

Indrumar Teoria Sistemelor, UTM 2014

Documents

Transcript of Indrumar Teoria Sistemelor, UTM 2014