Tema 5

Extensiuni ale integralei Riemann

Modulul 5.1 - Integrale definite, cu parametru. Integrale improprii.

Integrale definite, cu parametru

Studiul integralelor definite cu parametru real este intim legat de reprezentarea integrală a funcţiilor reale de o variabilă reală care apare în descrierea matematică a multor fenomene din: economie, fizică, tehnica etc. Fie [a, b] ⊂ R un interval mărginit şi A ⊂ R o mulţime oarecare, funcţia reală f : [a, b] × A→ R depinde de două variabile reale: x ∈ [a, b] şi y ∈ A. Dacă f este bine definită în raport cu x pe [a, b] şi integrabilă Riemann după x, atunci există integrala definită:

( ),b

af x y dx∫ care depinde de parametrul real y, y ∈ A. Funcţia:

( ) ( ) ( )1 : ; , ,Rb

aF A F y f x y dx y A→ = ∫ ∈

este dată printr-o integrală definită care depinde de parametrul real y, atunci când f satisface condiţiile precizate. Vom studia proprietăţile funcţiei F din (1): existenţa limitei pentru y0 ∈ A’ ∩ R (y0 punct de acumulare pentru A), continuitate, derivabilitate şi integrabilitate. Dacă F nu este simplu calculabilă din (1), vom preciza în ce condiţii au loc transferurile de proprietăţi de la f : [a, b] × A→ R la F dată prin (1). Definiţia 5.1 Funcţia f : [a, b] × A→ R tinde uniform pe [a, b] către funcţia g : [a, b]→ R pentru y → y0 cu y0 ∈ A' ∩ R, dacă şi numai dacă avem:

( )( ) ( )

( ) ( ) [ ]0 00, 0 a.î. cu şi '

2, , ,

Ry A y y y A

f x y g x x a b

⎧∀ε > ∃δ ε > ∀ ∈ − < δ ε ∈ ∩⎪⎨⇒ − < ε ∀ ∈⎪⎩

notat: [ ],u

a bf g⎯⎯⎯→ pentru y → y0 sau ( ) ( ) [ ]0

lim , , ,u

y yf x y g x x a b

→= ∈ .

Teorema 5.1 (Transfer de trecere la limită) Fie f : [a, b] × A→ R funcţie continuă pe [a, b] pentru ∀y ∈ A. Dacă există limita ( ) ( )

00lim , cu ' R

y yg x f x y y A

→= ∈ ∩ şi f tinde uniform către g pe [a, b] în y0, atunci

avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

3 lim lim , lim ,b b b

y y y y y ya a aF y f x y dx f x y dx g x dx

→ → →

⎡ ⎤= = =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫

123

Demonstraţie. Se aplică (2) cu ( 0b ab a

)ε− >

− şi în ipotezele teoremei, avem:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( ) ( )0

0

, ,

cu şi , lim .

b b b b

a a a a

b

y y a

f x y dx g x dx f x y g x dx dxb a

y A y y x a b F y g x dx→

ε− ≤ − <

−

∀ ∈ − < δ ε ∀ ∈ ⇒ =

∫ ∫ ∫ ∫

∫

,= ε

Teorema 5.2 (Transfer de continuitate) Fie f : D ⊂ R2 → R cu D = [a, b] × [c, d] o funcţie continuă pe D, atunci F este continuă pe [c, d]. Demonstraţia revine la a dovedi că ∀ y0 ∈[c, d] există

00lim ( ) ( )

y yF y F y

→= . În

ipoteza f continuă pe D compactă (închisă şi mărginită), rezultă f uniform continuă pe D şi conform definiţiei, avem:

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

' ''0, 0 a.î. ', ' , '', '' cu

' ''4

', ' '', '' , 0 . În ipotezele din

x xx y x y D

y y

f x y f x y b ab a

⎧ ⎧ − < δ ε⎪∀ε > ∃δ ε > ∀ ∈⎪ ⎨⎪ − < δ ε⎪⎩⎨⎪ ε⇒ − < − >⎪ −⎩

enunţ şi folosind (4), se obţine:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0

0 0

0 0

0 0

, ,

, , , ,

pentru - există lim ,

b b

a a

b b

a a

b

y ya

F y F y f x y dx f x y dx

f x y f x y dx f x y f x y dx

dx y y F y F yb a →

− = − =

⎡ ⎤= − ≤ − <⎣ ⎦

ε< = ε < δ ε ⇒ =

−

∫ ∫

∫ ∫

∫

[ ] [0 , continuă pe ,y c d F c d∀ ∈ ⇒ ]

∈

.◄ Teorema 5.3 (Transfer de derivabilitate) Dacă f : [a, b] × [c, d] → R este continuă şi există fy' (derivata parţială a lui f în raport cu y) funcţie continuă pe D = [a, b] × [c, d], atunci F este derivabilă pe [c, d] şi avem:

( ) ( ) ( ) [ ]5 ' ' , , ,b

ya

F y f x y dx y c d= ∀∫

Demonstraţie. F este derivabilă pe [c, d], dacă pentru ∀y0 ∈ [c, d]

există ( ) ( ) ( )

0

00

0

lim ' Ry y

F y F yF y

y y→

−= ∈

−. Derivata parţială a lui f în raport cu y în y0

∈ [c, d] este dată prin:

124

( ) ( ) ( )0

00

0

, ,' , lim Ry y y

f x y f x yf x y

y y→

−=

−∈ şi cum fy' este continuă pe D este şi funcţie

integrabilă în raport cu x pe [a, b]. Folosind teorema 5.1, obţinem:

( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 0

0 0

, ,lim lim

b

y y y y a

F y F y f x y f x ydx

y y y y→ →

− −= =

− −∫

( ) ( ) ( ) ( )0

00 0

0

, ,lim ' , ' ,R

b b

yy ya a

f x y f x ydx f x y dx F y

y y→

⎡ ⎤−= =⎢ ⎥−⎣ ⎦∫ ∫ = ∈

F

,

[ ]0 ,y c d∀ ∈ ⇒ este derivabilă pe [c, d] şi are loc formula (5). ◄ Teorema 5.4 (Transfer de integrabilitate) Dacă f : [a, b] × [c, d] → R este funcţie continuă pe compactul D = [a, b] × [c, d], atunci F este integrabilă pe [c, d] şi avem:

( ) ( ) ( ) ( )6 ,b

d d b d

c c a ca

F y dy f x y dx dy f x y dy dx⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Demonstraţia formulei (6) - în bibliografie ([5], [11], [14], [17]). ◄ Cazul mai general de funcţii definite prin integrale Riemann care depind de un parametru este atunci când şi limitele de integrare a, b sunt funcţii de acest parametru. Fie α, β : [c, d] → [a, b] continue, avem:

( ) [ ] ( ) ( )( )

( )7 : , ,R,

y

yG c d G y f x y dx

β

α→ = ∫

Teorema 5.5 (Formula de derivare a lui Leibniz) Fie f : [a, b] × [c, d] → R şi α, β : [c, d] → [a, b]. Dacă sunt îndeplinite condiţiile: 1) f continuă pe D = [a, b] × [c, d] 2) există fy' continuă pe D, 3) α, β ∈ C1 ( [c, d] ), atunci G este derivabilă şi are loc formula lui Leibniz:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )8 ' ' ' ' ,

y

yy

G y f y y y f y y y f x y dxβ

α⎡ ⎤ ⎡ ⎤= β ⋅ β − α ⋅ α +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫ , [ ],y c d∀ ∈ .

Demonstraţia în bibliografie ([5], [11], [14], [17]). ◄ Teorema 5.6 (Transfer de integrabilitate) Fie f : [a, b] × [c, d] → R o funcţie continuă şi α, β : [c, d] → [a, b] continue pe [c,d], atunci G din (7) este integrabilă pe [c, d] şi avem:

( ) ( ) ( )( )

( )9 ,

d d y

c c yG y dy f x y dy

β

α

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫

Demonstraţia în capitolul Integrala dublă şi în bibliografie ([5], [11], [14], [17]). ◄ 125

Exemple.

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2

0

22

0 0

1 sin sin cu

1 1cos 2 cos 2 cos 2 cos 22 4

Ro F y x y x y dx y F y

y x dx y x

π

ππ

= − + ∈ ⇒

π⎡ ⎤= − − = −⎣ ⎦

∫

∫ 4

=

⇒

( ) cos 2 ,4

RyF y yπ⇒ = ∀ ∈

( ) ( ) ( ) ( )

( )

112 2

2 20 0

22 2

12 , 0, ln2

11 1ln 1 ln ln , 02 2

xo

x

xdxF y y F y x yx y

yy y y

y

=

=

= ∈ ∞ ⇒ = ++

++ − = ∀ >

∫ =

( ) ( ) ( )2 22 2

03 2 cu 0, 2

yo G y xy x dx y xy x y x y= − ∈ ∞ ⇒ − = − −∫ 2 şi prin

schimbarea de variabilă x t y

x y tdx dt= +⎧

− = ⇒ ⎨ =⎩şi

( )

( ) ( )

22 2 2

0

2 22 2 2 2

2 2

2

02

2

arcsin

, 0,2

y y

y

t yt yy y

y yt yt y

x t yG y xy x dx y t dt

x y t y

y t tdt y t y t y t dtyy t

yG y y

−

==

− −=−=−

= → = −⎧= − = − =⎨

= → =⎩

−= = + − − −

−

π⇒ = ∀ ∈ ∞

∫ ∫

∫ ∫ 2 ⇒

Integrale improprii

Integrala Riemann s-a definit pe intervale compacte din R şi orice funcţie

integrabilă în mod necesar este mărginită. O extensiune a integralei Riemann se obţine înlăturând un dintre aceste două condiţii: interval de integrare compact (închis şi mărginit), funcţia de integrat mărginită. Vom defini un alt concept de integrală considerând funcţii de integrat arbitrare (adică mărginite sau nemărginite în vecinătatea unui punct) şi intervale de integrat arbitrare (mărginite, nemărginite sau închise, neînchise). Sensul geometric al noului concept de integrală este determinat de calculul ariilor unor mulţimi din plan mărginite de graficul unei funcţii, asimptote orizontale, asimptote verticale, drepte paralele cu Oy şi axa Ox. Acest nou concept de integrală se va numi integrală improprie sau integrală generalizată sau integrală pe interval necompact.

126

Să calculăm aria mulţimilor din plan mărginite de graficul unei funcţii continue, pozitivă şi o asimptotă orizontală, avem cazurile:

f : [a, ∞) → R continuă, f > 0 şi y = α asimptotă orizontală

( ) ( )u

au f x= dx∫A şi cercetăm

dacă există:

( ) ( )0 0

lim lim Ru

u u af x dx

→ →= ∈∫A u .

f : (−∞, b] → R continuă, f > 0 şi y = α asimptotă orizontală

( ) ( )b

vv f x= ∫A dx şi cercetăm

dacă există: ( )limv→−∞

=A v

( )lim Rb

v vf x dx

→−∞= ∈∫

f : R → R, f continuă, f > 0 şi y = α asimptotă orizontală

( ) ( ),u

vv u f x dx= ∫A şi

cercetăm dacă există

( ) ( )lim lim , Ru

u uvv v

f x dx v u→+∞ →+∞→−∞ →−∞

= ∈∫ A .

Fie f : I − {c} → R şi punctul x = c ∈ I este punct singular al lui f dacă există V ∈ V (c) a. î. f este nemărginită pe V ∩ I; în acest caz graficul lui f admite asimptotă verticală x = c. Vom considera intervale necompacte din R de forma: [a, c) cu c ≤ +∞, (c, b] cu c ≤ −∞ şi (a, b) cu a ≥ −∞, b ≤ +∞. Să calculăm aria mulţimilor din plan mărginite de graficul unei funcţii continue, pozitivă, axa Ox şi o asimptotă verticală; avem cazurile:

f : [a, c) → R, x = c punct singular şi dreapta x = c asimptotă verticală

( ) ( ),u

vv u f x dx= ∫A

şi cercetăm dacă există

x = a

A(a,0 0 M(u,0) x

y

] [

y = α

N(v,0) 0 B(b,0) x

y

y = α

N(v,0) 0 M(u,0) x

y

] [

y =

y

A(a,0) [ M(u,0)

x = c

0 x]

127

y

N(v,0) [

B(b,0)

x = a

0 x]

( ) ( )lim lim Ru

u c u c au c a u c

u f x dx→ →< < <

= ∈∫A

f : (c, b] → R, x = c punct singular şi dreapta x = c asimptotă verticală

( ) ( )b

vv f x= dx∫A şi cercetăm dacă există

( ) ( )lim lim Ab

v c v ccv c b v c

f x dx v→ →> > >

= ∈∫ R

y

N(v,0) M(u,0)

x = a

0 x

x = b

) ] ( [

f : (a, b) → R, x1 = a, x2 = b puncte singulare şi dreptele x1 = a şi x2 = b

asimptote verticale şi

cercetăm dacă există

( ) ( ),u

vu v f x d= ∫A x

( ) ( )lim , lim Ru

v a v a vu b u ba v u b a v u b

v u f x dx→ →→ →< < < < < <

= ∈∫A

Exemple. 1o f : [0, ∞) → R,

( ) 2

11

f xx

=+

, Gf are asimptota

orizontală y = 0 şi aria de calculat:

( ) 2 00arctg arctg

1

u udxu x ux

= = =+∫A

( )

⇒

lim lim arctg2

Ru u

u→∞ →∞

π= = ∈A= A u

M(u,0) x

(0,1)

0

y

2o f : [0, 1) → R, ( )2

1

1f x

x=

− are

x = 1 punct singular şi dreapta x = 1 asimptotă la graficul lui f; aria de calculat:

( ) 020arcsin arcsin

1

u udx x ux

= =−∫A u

( )1 1

1

lim lim arcsin2

Ru uu

u→ →<

π= = ∈A= A u M(u,0)

x

0

y

x = 1

128

Observaţii

1. Prin schimbarea de variabilă ( ) ( ) ( ),

t c ax t t

c t−

= ϕ ϕ =−

cu

[ ) [ ) [ )( )1: , , şia c a C a cϕ → ∞ ϕ∈ , se aplică intervalul necompact şi mărginit [a, c) pe intervalul închis şi nemărginit [a, ∞). 2. Din acest motiv vom studia un singur tip de integrală improprie pentru f : [a, ∞) → R cu interval de integrare nemărginit (tip I); cazul f : [a, c) → R cu x = c punct singular (tip II) se va reduce prin

( )x t= ϕ la primul caz. 3. După discuţia precedentă şi exemplele rezolvate se constată cerinţa obligatorie pentru f de a fi local integrabilă (integrabilă pe orice compact din mulţimea sa de definiţie) pe mulţimea sa de definiţie. 4. Dacă f : [a, ∞) → R este local integrabilă pentru ∀u > a asociem lui f integrala parţială:

( ) ( ) ( )1 ,notu

af x dx F u u a= ∀∫ >

<

care este o integrală Riemann. La fel pentru f : (−∞, b] → R, avem:

( ) ( ) ( )1' ,b

vG v f x dx v b= ∀∫ şi cazul f : R → R,

( ) ( ) ( )1'' , pentru , cuRu

vH u v f x dx u v v u= ∀ ∈∫ <

∈

.

Definiţia 5.2 1] Fie f : [a, ∞) → R local integrabilă şi ∀u > a. Dacă există limita finită

( ) ( ) ( ) 12 lim lim Ru

u uaf x dx F u I

→∞ →∞= =∫

prin definiţie, integrala improprie din f pe [a, ∞), notată, ( )a

f x dx∞

∫

este convergentă sau are sens în R şi valoarea ei este ( )1a

I f x dx∞

= ∫ . Dacă limita

(2) nu există sau este infinită integrala improprie ( )a

f x dx∞

∫ este divergentă sau

nu are sens. 2] Fie f : (−∞, b] local integrabilă şi ∀v < b variabil. Dacă există limita finită:

( ) ( ) ( ) 23 lim limb

v vVf x dx G V I

→−∞ →−∞= =∫ R∈

prin definiţie, integrala improprie din f pe (−∞, b], notată ( )b

f x dx−∞∫ este

convergentă sau are sens în R şi valoarea ei este

129

( )2

bI f x dx

−∞= ∫ . Dacă limita (3) nu există sau este infinită integrala improprie

( )b

f x dx−∞∫ este divergentă sau nu are sens.

3] Fie f : R → R local integrabilă şi ∀u, v ∈ R variabili cu v < u. Dacă există limita finită

( ) ( ) ( ) 34 lim lim , Ru

v vvu u

f x dx H u v I→−∞ →−∞→+∞ →+∞

= =∫ ∈ ,

prin definiţie, integrala improprie din f pe R = (−∞, ∞), notată, ( )f x dx∞

−∞∫ este

convergentă sau are sens în R şi valoarea ei este ( ) 3f x dx I∞

−∞=∫ .

Definiţia 5.3 1o] Fie f : [a, c) → R cu x = c punct singular, f local integrabilă şi ∀u variabil cu a < u < c. Dacă există limita finită:

( ) ( ) ( ) 15 lim lim Ru

u c u cau c u c

f x dx F u J→ →< <

= =∫ ∈

prin definiţie, integrala improprie din f pe [a, c), notată, ( )c

af x dx

−

∫

este convergentă sau are sens în R şi valoarea ei este ( ) 1

c

af x dx J

−

=∫ . Dacă limita

(5) nu există sau este infinită, integrala improprie ( )c

af x dx

−

∫ este divergentă sau

nu are sens. 2o] Fie f : [a, c) → R cu x = a, punct singular, f local integrabilă şi ∀v variabil cu a < v < c. Dacă există limita finită:

( ) ( ) ( ) 26 lim lim Rc

v a v avv a v a

f x dx G v J→ →> >

= =∫ ∈

prin definiţie, integrala inproprie din f pe (a, c], notată, ( )c

af x dx

+∫ este

convergentă sau are sens în R şi valoarea ei este ( ) 2

c

af x dx J

+=∫ . Dacă limita (6)

nu există sau este infinită, integrala improprie ( )c

af x dx

+∫ este divergentă sau nu

are sens. 3o] Fie f : (a, c) → R cu x1 = a, x2 = c puncte singulare, f local integrabilă şi ∀u, v ∈ (a, c) variabili cu a < v < u < c. Dacă există limita finită:

130

( ) ( ) ( ) 37 lim lim , Ru

v a v avu c u ca v u c

f x dx H u v J→ →→ →< < <

= =∫ ∈

prin definiţie, integrala inproprie din f pe (a, c), notată, ( )c

af x dx

−

+∫ este

convergentă sau are sens în R şi valoarea ei este ( ) 2

c

af x dx J

−

+=∫ . Dacă limita (7)

nu există sau este infinită, integrala improprie ( )c

af x dx

−

+∫ este divergentă sau nu

are sens. Exemple.

1o ( ) ( )00 0 0 0; lim lim ' lim

u u ux x x x u

u u ue dx e dx e dx e dx e

∞ ∞− − − − −

→∞ →∞ →∞= = − = −∫ ∫ ∫ ∫ =

xe dx−

( )0

lim 1 1u

ue

∞−

→∞= − = ⇒ ∫ convergentă cu valoarea

01 xe dx

∞−= ∫ .

2o ( ) ( )11 1 1; lim lim lim

u ux x x x u

u u ue dx e dx e dx e e e

∞ ∞

→∞ →∞ →∞= = = − = +∫ ∫ ∫ ∞⇒

1

xe dx∞

⇒ ∫ este divergentă.

3o ( )11 1 1

ln ; ln lim ln lim lnu u

u uxdx xdx xdx x x x

∞ ∞

→∞ →∞⎡ ⎤= = − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫

( ) ( )1

lim ln 1 lim ln 1 1 lnu u

u u u u u xdx∞

→∞ →∞⎡ ⎤= − + = − + = ∞⇒⎣ ⎦ ∫ este

divergentă.

4o 2 2 2

1; lim lim arctg4 4 4 2 2

uu

v vv vu u

dx dx dx xx x x

∞ ∞

→−∞ →−∞−∞ −∞→∞ →∞

⎡ ⎤= = =⎢ ⎥

+ + + ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫

( ) ( )1 1 1 1lim arctg arctg arctg arctg2 2 2 2 2 2v

u

u v→−∞→∞

⎡ ⎤= − = +∞ −⎢ ⎥⎣ ⎦−∞ =

12 2 2 2⎡ ⎤π π⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎢ ⎥

⎝ ⎠⎣ ⎦

π

5o 1 1

1 1 00 0 01

; lim lim 2 11 1 1

u u

u uu

dx dx dx xx x x

− −

→ →<

⎡ ⎤= = − − =⎢ ⎥⎣ ⎦− − −∫ ∫ ∫

( ) 1

1 0lim 2 1 2 2

1u

dxxx

−

→− − + = ⇒

−∫ este convergentă cu

1

02

1dx

x

−

=−∫ .

131

6o ( )1 1 1 1

0 00 00

ln ; ln lim ln lim lnvv vv

v

xdx xdx xdx x x x→ →+ +>

⎡ ⎤= = − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫

[ ]1

0 0lim 1 ln 1 lnv

v v v xdx→ +

= − − + = − ⇒ ∫ este convergentă cu 1

01 ln xdx

+− = ∫ .

7o 11 1 1 1

2 2 20 0 00 0 00 0

1 1; lim lim lim 1v v vv vv v

dx dx dx dx2x x x x v→ → →+ + +

> >

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = − + = +∞⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ x

este divergentă.

8o cu 0 şi 0; limu

ua a a

dx dxa x dxa

x dxx x

∞ ∞ ∞−α −α

α α →∞> α > = =∫ ∫ ∫ =∫

11 1

ln ; 1 ln ln ; 1lim lim 1 1 11 ; 1; 1 11

u

a

uu u

a

x u a

x u a→∞ →∞−α+

α− α−

⎧ α = − α =⎧⎪⎪ ⎪= ⎡ ⎤⎨ ⎨ − α ≠α ≠ ⎢ ⎥⎪ ⎪ −α ⎣ ⎦⎩− α⎪⎩

( )[ ]

( )1 1

1

lim ln ln ; 1 ; 1lim ; 0 11 1 1lim ; 1 11 ; 1

1

u

u

u

u aF u

u aa

→∞

→∞α− α−→∞

α−

⎧⎪⎧ − α = ∞ α =⎪⎪ ⎪= = ∞⎨ ⎨⎡ ⎤− α ≠⎪ ⎪⎢ ⎥− α ⎣ ⎦⎩ ⎪ α >α −⎪⎩

< α <

a

dxx

∞

α⇒ ∫ este convergentă pentru α > 1 cu valoarea

( ) 1

11 a

dxa x

∞

α− α=α − ∫ şi divergentă pentru α ≤ 1.

9o ( ) ( )

( )cu 0 limc c u

u ca a au c

dx dx c x dxc x c x

− − −λ

λ λ →<

λ > ⇒ = − =− −∫ ∫ ∫

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )1

1 1

ln ln ; 1ln ; 1lim lim 1 1 11 ; 1; 1 11

u

a

u c u cu c

c a c uc x

c xc a c a

−λ+→ →< λ− λ−

⎧ − − − λ =⎧− − λ = ⎪⎪ ⎪ ⎡ ⎤= =⎨ ⎨⎢ ⎥− λ ≠− − λ ≠⎪ ⎪ − λ ⎢ ⎥− −− λ⎩ ⎪ ⎣ ⎦⎩

( )( ) ( )

( ) ( )1 1

lim ln ln ; 1

lim 1 1 1lim ; 11

u c

u cu c

u c

c a c u

F u

c a c u

→

→< λ− λ−→

⎧ ⎡ ⎤− − − λ =⎣ ⎦⎪⎪ ⎧ ⎫⇒ = ⇒⎡ ⎤⎨ ⎪ ⎪⎢ ⎥− λ ≠⎪ ⎨ ⎬− λ ⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭⎩

132

( )

( )

( )1

; 1lim ; 1

1 1 ; 11

c

u c au c

dxF uc x

c a

−

λ→<

λ−

⎧⎪∞ λ =⎪⎪⇒ = ∞ λ > ⇒⎨

−⎪⎪ ⋅ λ <− λ⎪ −⎩

∫ este convergentă pentru λ<1

cu valoarea ( ) ( )1

1 11

c

a

dxc a c x

−

λ− λ⋅ =− λ − −∫ şi este divergentă pentru λ≥1.

Observaţii. 1. Integralele improprii sau pe interval necompact cu f : [a, c) → R, c ≤ +∞ sunt de două tipuri:

I pentru c = ∞, avem ( )a

f x dx∞

∫ de tip I sau integrală pe interval

nemărginit

II pentru c ∈ R finit şi x = c punct singular al lui f, avem ( )c

af x dx

−

∫ de tip

II sau integrală improprie din funcţie nemărginită (în x = c limita superioară).

2. Prin schimbarea de variabilă ( ) ( ) ( ),

t c ax t t

c t−

= ϕ ϕ =−

cu [ )( )1 ,C a cϕ∈

intervalul [a, c) este aplicat pe [a, ∞) şi la fel ( )1 cxt xx c a

−= ϕ =+ −

aplică [a, ∞)

pe [a, c). Se va studia numai teoria integralelor improprii cu interval nemărginit (de tip I).

3. Pentru ( )2

bI f x dx

−∞= ∫ convergentă prin schimbarea de variabilă x = −t se

obţine ( ) 1b

f t dt I∞

−− − =∫ care este de forma ( )

af x dx

∞

∫ .

4. Prin teorema de reducere: Teorema 5.7 (Teorema de reducere) Fie f : R → R o funcţie local integrabilă pe R.

(i) Dacă ( )3I f x dx∞

−∞= ∫ este convergentă, atunci pentru ∀a ∈ R sunt convergente

integralele: ( ) ( )1 2şia

aI f x dx I f x dx

∞

−∞= =∫ ∫ şi are loc formula de reducere:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 18a

af x dx f x dx f x dx I I I

∞ ∞

−∞ −∞= + =∫ ∫ ∫ +

(ii) Dacă există a ∈ R a.î. integralele improprii ( )2

aI f x dx

−∞= ∫ şi

133

( )1a

I f x dx∞

= ∫ sunt convergente atunci ( ) 3f x dx I∞

−∞=∫ este convergentă şi are

loc formula de reducere (8). Demonstraţia în bibliografie ([5], [6]). ◄ 5. Dintre integralele improprii cu interval nemărginit se vor studia numai cele de

tipul ( ) 1

notat

af x dx I

∞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠∫ .

6. Integralele improprii mixte, cu intervalul de integrare nemărginit şi integrandul are cel puţin un punct singular se vor descompune în integrale improprii de tip I şi de tip II, izolând punctul singular. Exemple.

( )

( )( )0 0

cu : 0, ,1 1

Rdx dxfx x x

∞ ∞

∞ →+ +∫ ∫ x

are în x = 0

punct singular şi se consideră ∀δ > 0, deci: ( )0

f x dxδ

+∫ de tip II şi

( )f x dx∞

δ∫ de tip I definite prin:

( ) ( )2 0 000

lim lim 2arctg1 1v v vv

v

dx dxJ xx x x x

δ δ δ

→ →+>

⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎝ ⎠+ +∫ ∫ =

( )0

lim 2arctg 2arctg 2arctgv

v→

= δ − = δ

( ) ( )1 lim lim 2arctg1 1

u u

u u

dx dxI xx x x x

∞

→∞ →∞ δδ δ

⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎝ ⎠+ +∫ ∫ =

( ) ( )0lim 2arctg 2arctg 2 2arctg

2 1u

dxux x

∞

→∞ +

π= − δ = − δ ⇒

+∫ =

2 1 2arctg 2arctgJ I= + = δ + π − δ = π . Definiţia 5.4 Fie f : [a, ∞) → R funcţie local integrabilă.

1] Integrala improprie ( )a

f x dx∞

∫ este prin definiţie absolut

convergentă dacă şi numai dacă, integrala improprie ( )a

f x dx∞

∫ este convergentă.

134

2] Integrala improprie ( )a

f x dx∞

∫ este prin definiţie simplu convergentă sau

semiconvergentă, dacă şi numai dacă, ( )a

f x dx∞

∫ este convergentă şi nu este

absolut convergentă ( ( )a

f x dx∞

∫ este divergentă).

Teorema 5.8 (Criteriul general al lui Cauchy sau teorema lui Cauchy) Fie f : [a, ∞) → R funcţie local integrabilă. Integrala improprie

( )a

f x dx∞

∫ este convergentă ⇔

( )( ) ( )

( )

0

''

0'

0, oricât de mare dorim a.î. ', '' [ , ) cu9

' ''u

u

u u

u u u f x dx

⎧∀ε > ∃ ε ∀ ∈ ∞⎪⎨

< < ⇒ ≤ ε⎪⎩ ∫

u a

Demonstraţia în bibliografie ([5], [6], [11], [16]). ◄ Consecinţa 5.1 Fie f : [a, ∞) → R funcţie local integrabilă şi care are limita la (+∞).

Dacă ( )a

f x dx∞

∫ este convergentă, atunci (în mod necesar) ( )lim 0x

f x→∞

= .

Demonstraţia este o consecinţă imediată a teoremei lui Cauchy (5.8). ◄ Consecinţa 5.2

Fie f : [a, ∞) → R funcţie local integrabilă. Dacă integrala improprie ( )a

f x dx∞

∫

este absolut convergentă, atunci ea este convergentă. Demonstraţie. Aplicând teorema lui Cauchy şi folosind o proprietate a integralei definite, avem: ∀u', u'' > a cu u' < u'', avem

( ) ( )'' ''

' '

u u

u uf x dx f x dx≤∫ ∫ .◄

Observaţii 1. Dacă f : [a, ∞) → R funcţie local integrabilă şi există ( )lim 0

xf x l

→∞= ≠ ,

atunci ( )a

f x dx∞

∫ este divergentă (condiţie suficientă).

2. În cazul [a, b] ⊂ R interval compact are loc situaţia: f integrabilă pe [a, b] ⇒ | f | integrabilă pe [a, b].

În cazul [a, ∞) ⊂ R interval compact are loc situaţia: ( )a

f x dx∞

∫ convergentă

( )a

f x dx∞

⇒ ∫ convergentă; reciproca nu este în general adevărată, conform

definiţiei 5.4 o integrală simplu convergentă nu este şi absolut convergentă.

135

Teorema 5.9

Dacă integrala ( )a

f x dx∞

∫ este convergentă, atunci pentru orice şir

( ) 1[ , )n n

b a>⊂ ∞ crescător şi cu ( )0 1lim nn

b a b b→∞

= +∞ = < <… seria numerică

( )1

0

n

n

n b

bn

f x dx+

=∑∫ este convergentă şi are loc egalitatea:

( ) ( ) ( )1

0

10n

n

b

a bn

f x dx f x dx+

∞∞

=

=∑∫ ∫ .

Demonstraţia în bibliografie ([5], [6], [11], [16]). ◄ Observaţii 1. Teorema 5.9 pune în evidenţă legătura dintre Teoria integralelor improprii şi Teoria seriilor numerice. 2. Din acest motiv se va pune în evidenţă o analogie între criteriile de convergenţă pentru integrale improprii şi criteriile de convergenţă pentru serii numerice. 3. Studiul integralelor improprii cuprinde două probleme: I natura integralei improprii: fie convergentă, fie divergentă II valoarea numerică a unei integrale improprii convergentă.

Modulul 5.2 - Criterii de convergenţă pentru integrale improprii şi metode de calcul. Integrale improprii remarcabile

Criterii de convergenţă pentru integrale improprii

Vom prezenta criterii de convergenţă pentru integrale improprii cu integrantul de semn constant (pozitiv) şi cu integrantul de semn oarecare pe intervalul de integrare. Fie f ≥ 0, ∀ x ≥ a şi f local integrabilă pe [a, ∞); atunci f = |f | şi convergenţa

afdx

∞

∫ coincide cu convergenţa absolută. În acest caz pentru ∀ u >

a variabil, integrala parţială F(u) = ( )u

af x dx∫ şi ∀u1<u2, avem:

1 2

1( ) ( ) ( )u u

a aF u f x dx f x dx= ≤ = 2 2

1 11 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

u u u

a u u∫ ∫ f x dx f x dx F u f x dx F u+ = + =∫ ∫ ∫ , deci F

este funcţie monoton crescătoare. Există lim ( )u

F u→∞

⇔ F funcţie crescătoare este

mărginită superior (majorată) pentru u →∞. Teorema 5.10 Fie f : [a, ∞) →R pozitivă şi local integrabilă. Integrala improprie ( )

af x dx

∞

∫ este convergentă dacă şi numai dacă, integrala parţială F(u) este mărginită superior pe [a, ∞) pentru u →∞. Demonstraţie. ( )

af x dx

∞

∫ convergentă 1lim ( )def

uF u I

→∞⇔∃ = R∈ ⇔ F monoton

crescătoare pe [a, ∞) este mărginită superior.◄

136

Teorema 5.11 (Criteriul de comparaţie cu inegalităţi) Fie f , g: [a, ∞) →R pozitive şi local integrabile. Dacă avem (1°): f (x)≤g(x), ∀ x≥a, atunci au loc afirmaţiile: 1) convergentă ⇒ ( )

ag x dx

∞

∫ ( )a

f x dx∞

∫ convergentă;

2) ( )a

f x dx∞

∫ divergentă ⇒ divergentă. ( )a

g x dx∞

∫ Demonstraţie. Din f (x) ≤ g(x), ∀ x ≥ a ⇒ F(u) = u

afdx∫ ≤ G(u) = , ∀ u >

a. 1) Dacă convergentă ⇒ G(u) mărginită superior pentru u →∞ şi F(u)

≤ G(u), ∀ u > a ⇒ F(u) mărginită superior pentru u→∞

u

agdx∫

( )a

g x dx∞

∫.1T⇒ ( )

af x dx

∞

∫ convergentă.

2) ( )a

f x dx∞

∫ divergentă , F(u) crescătoare şi pozitivă ⇒ F(u)

nemărginită superior şi cum F(u) ≤ G(u), ∀ u > a ⇒ G(u) nemărginită superior pentru u →∞, G(u) crescătoare şi pozitivă ⇒

lim ( )def

uF u

→∞⇒ = ∞

lim ( )u

G u→∞

= ∞def

⇒ divergentă.◄ ( )a

g x dx∞

∫ Teorema 5.12 (Criteriul de comparaţie cu limită) Fie f , g: [a, ∞) →R pozitive şi local integrabile. Dacă există limita (2°)

[( )lim , 0,( )x

f x l lg x→∞

= ∈ ∞] atunci au loc afirmaţiile:

1°) pentru l finit (l < ∞) şi convergentă ⇒ ( )a

g x dx∞

∫ ( )a

f x dx∞

∫ convergentă;

2°) pentru l nenul (l >0) şi divergentă ⇒ ( )a

g x dx∞

∫ ( )a

f x dx∞

∫ divergentă;

3°) pentru 0 < l < +∞, integralele ( )a

f x dx∞

∫ şi au aceeaşi natură. ( )a

g x dx∞

∫

Demonstraţie. Ipoteza (2°) ⇔(2°)’ 0, 0 şi a. î. u u a x uε ε ε a∀ε > ∃ > > ∀ > > şi folosind teorema 2° se obţin afirmaţiile din enunţ

([5], [11], [16]). ◄ ( ) ( )( ) ( ) ( )l g x f x l g x⇒ −ε < + ε

Teorema 5.13 (Criteriul în α) Fie f : [a, ∞) →R pozitivă şi local integrabilă. (i) Dacă există α > 1 a. î. (3°) lim ( )

xx f x lα

→∞= < ∞ atunci: ( )

af x dx

∞

∫ convergentă;

(ii) Dacă există α ≤ 1 a. î. (4°) lim ( ) 0x

x f x lα

→∞= > atunci: ( )

af x dx

∞

∫ divergentă.

Demonstraţie. Se aplică teorema 3° cu 1( ) , 0g x x axα= ∀ ≥ > şi 1

adx

x∞

α∫

convergentă pentru α > 1 şi divergentă pentru α ≤ 1 (exemplul 8°).◄

137

Teorema 5.14 (Criteriul în λ) Fie f : [a, c) →R cu x = c punct singular şi f pozitivă şi local integrabilă pe [a, c). (i) Dacă există λ <1 astfel încât (5°) ( )lim ( )

x cx c

c x f x lλ

→<

− = < ∞ atunci: ( )a

f x dx∞

∫ este

convergentă;

(ii) Dacă există λ ≥ 1 astfel încât (6°) ( )lim ( ) 0x cx c

c x f x lλ

→>

− = > atunci: ( )a

f x dx∞

∫ este

divergentă.

Demonstraţie. Se aplică teorema 3° cu ( )

1( )g xc x λ=−

şi cu ( )

c

a

dxc x λ−∫

convergentă pentru λ< 1 şi divergentă pentru λ ≥ 1 (exemplul 9°).◄

Teorema 5.15 (Criteriul integral al lui Cauchy) Fie f : [1, ∞) →R o funcţie descrescătoare şi pozitivă, atunci integrala improprie

1( )f x dx

∞

∫ şi seria numerică 1

( )n

f n∞

=∑ au aceeaşi natură.

Demonstraţia în bibliografie ([5], [6], [11], [16]).◄ Teorema 5.16 (Criteriul tip Abel - Dirichlet) Fie f , g: [a, ∞) →R local integrabile. Dacă sunt îndeplinite condiţiile: 1°) f este continuă şi are o primitivă mărginită F pe [a, ∞) ( sup | ( ) |

x aM F x

≥= );

2°) g∈C1([a, ∞)) şi g este monoton descrescătoare cu atunci lim ( ) 0x

g x→∞

=

( ) ( )a

f x g x dx∞

∫ este convergentă. Demonstraţia în bibliografie ([5], [6], [11], [16]).◄ Consecinta 5.3 Fie f , g: [a, ∞) →R local integrabile. Dacă sunt îndeplinite condiţiile: 1°)

afdx

∞

∫ este convergentă;

2°) g este monoton descrescătoare şi lim ( )x

g x l→∞

= ∈R , atunci ( ) ( )a

f x g x dx∞

∫ este

convergentă. Consecinţa 5.4 Fie f , g: [a, ∞) →R local integrabile. Dacă sunt îndeplinite condiţiile: 1°) ( )

af x dx

∞

∫ are integralele parţiale mărginite;

2°) g este monoton descrescătoare şi lim ( ) 0x

g x→∞

= , atunci ( ) ( )a

f x g x dx∞

∫ este

convergentă.

138

Exemple. 1°. ( )sin , 0 avem : ( ) sin cos cos 2, 0

u

a a

x dx a F u xdx a u ux

∞> = = − ≤∫ ∫ ∀ >

1şi ( )g xx

= descrescătoare cu lim ( ) 0x

g x→∞

= ⇒ sina

x dxx

∞

∫ este convergentă.

2°. (sin , 0, 0a

x dx a ) x

∞

α > α >∫ convergentă, deoarece ( ) sinu

aF u xdx= =∫

(1cos cos 1, 0 şi ( ) 0a u u g x )xα= − ≤ ∀ > = α > descrescătoare cu . lim ( ) 0

xg x

→∞=

3°. ( )2

2

1 şi (ln ) lnn

dxn x n x

∞ ∞

αα=∑ ∫ au aceeaşi natură după criteriul integral al lui Cauchy

(teorema 6°). Avem, după criteriul de condensare al lui Cauchy,

( )22 2 2

1 12 2ln 22 ln 2

nn n

nn na

n

α∞ ∞ ∞

α

1α

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ convergentă pentru α >1 şi divergentă

pentru α ≤ 1 ⇒( )2

2

1 şi (ln ) lnn

dxn x x x

∞ ∞

αα=∑ ∫ sunt convergente pentru α >1 şi divergente

pentru α ≤ 1.

4° 2

7 20 2 3 2 1x dx

x x x∞

+ − +∫ (convergentă dupa criteriul în α cu α = 5).

5°. 31

ln1

x dxx

∞

+∫ (convergentă dupa criteriul în α cu α = 2).

6°. 0

xxe dx∞ −∫ convergentă ∀α >1 ( )lim 0, 1x

xx xeα −

→∞∃ = ∀α > .

7°. 41 1

xe dxx

∞

+∫ divergentă; 4lim ( ) lim1

x

x x

x ex f xx

αα

→∞ →∞= = ∞

+ pentru α = 1.

8°. 1

0 (1 ) (1 )dx

x x x

−

+ + −∫ convergentă (există 0

0

1lim ( ) 1 şi = ;2x

x

x f x lλ

→>

= = λ există

( )1

1

1 1lim 1 ( ) şi =2 2x

x

x f x lλ

→<

− = = λ ).

9°. 1

21 (2 ) 1

dxx x

−

− + + −∫ convergentă (există ( )

11

1lim 1 ( ) cu = ;22x

x

x f xλ

→−>−

+ = λ1 există

( )1

1

1 1lim 1 ( ) cu =23 2x

x

x f xλ

→<

− = λ ).

10°. 1

0

dxx+

∫ divergentă (există ). 0

0

lim ( ) 1 cu = 1xx

x f xλ

→>

= λ

Metode de calcul pentru integrale improprii Vom reformula metodele de calcul pentru integrala Riemann în cazul

integralelor improprii.

139

Teorema 5.17 (Formula Leibniz - Newton). Fie f : [a, ∞) →R local integrabilă şi care admite o primitivă φ. Integrala

( )a

f x dx∞

∫ este convergentă, dacă şi numai dacă, există în R limita:

şi are loc formula Leibniz – Newton: ( )lim ( )not

xx

→∞φ = φ ∞ ∈R

(7) ( )( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )aa x

f x dx x a x a∞ ∞

→∞= φ = φ ∞ −φ = φ −φ∫ .

Consecinţa 5.5 Fie f : [a, ∞) →R este funcţie continuă, atunci pentru orice primitivă a sa φ,

( )a

f x dx∞

∫ este convergentă ⇔ există lim ( )not

x→∞φ = φ ∞ ∈R şi are loc formula (7) .

Teorema 5.18 (Formula de integrare prin părţi) Fie f , g : [a, ∞)→ R cu f , g ∈ C1([a, ∞)) şi astfel încât lim( )( )

xfg x

→∞∈R iar

este convergentă atunci şi ( ) '( )a

g x f x dx∞

∫ ( ) '( )a

f x g x dx∞

∫ este convergentă şi are loc formula de integrare prin părţi: (8) ( ) '( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )

b

a axf x g x dx f x g x f a g a f x g x dx

∞

→∞= − −∫ ∫ .

Teorema 5.19 (Schimbarea de variabilă într-o integrală improprie) Fie f : [a, ∞)→ R o funcţie continuă şi ϕ : [α, β)→ [a, ∞) -∞ < α< β ≤ +∞, ϕ bijectivă şi ϕ ∈C1([α, β)), atunci ( )

af x dx

∞

∫ este convergentă, dacă şi numai dacă,

( ) 'f dtβ−

αϕ ⋅ϕ∫ este convergentă şi are loc formula schimbării de variabilă:

(9) ( )( ) ( ) '( )a

f x dx f t t dt∞ β−

α= ϕ ⋅ϕ∫ ∫ .

Demonstraţiile de la teoremele 5.17 – 5.19 pornesc de la aplicarea formulelor de calcul pentru F(u) = ( )

u

af x dx∫ care este integrală Riemann şi folosind ipotezele,

rezultă formulele de calcul (7), (8) şi (9).◄ Exemplu. 2

20 (1 ) 4

dx2x x

−

+ −∫ este convergentă ( ( )

22

1lim 2 ( ) cu =2x

x

x f x lλ

→<

∃ − = λ ). Fie

[ )2cos ( ) cu : 0, 2 ,02

x t t π⎛= = ϕ ϕ → ⎜⎤⎥⎝ ⎦ şi avem:

2

2 20 (1 ) 4

dxx x

−

=+ −

∫

( )2 2

2 220 0

2sin , tg ( ) arctg ,1 4cos 11 4cos 2sin

tdt dt dyt y t y y dtt yt t

π π

−= − = = ⇒ = φ = =

+ ++∫ ∫

cu [ ): 0, 0,2π⎡ ⎤φ → ∞⎢ ⎥⎣ ⎦

şi avem: 2

2 20 (1 ) 4

dxx x

−

+ −∫

2

20 1 4cos

dtt

π

= =+∫

140

2 2000

2

1 1 1arctg lim arctg arctg4 1 5 5 5 5 5 5 511

y

dt dy y yy y

y

∞∞∞

→∞

0 12π⎡ ⎤= ⋅ = = = − =⎢ ⎥+ + ⎣ ⎦+

+

∫ ∫ ⋅

Integrale improprii remarcabile

I. Integrala Dirichlet: 0

sin , cu 0 x dxx

∞

α α >∫ fixat şi considerăm:

1

1 201

sin sin,x xI dx I dxx x

∞

α+= =∫ ∫ α . Avem: 2 1

1

sin 1 cosxI dxx x

∞∞

α α x= = −∫

1 11 1

cos cos coscos lim cos1 cos1x

dx x x x1

1

x dx dxx x x x

∞ ∞

α+ α α+ α+→∞

⎛ ⎞−α = − + −α = −α⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

∞

∫ şi

11

cos x dxx

∞

α+∫ este absolut convergentă ( 1 1 11

cos 1 1 cu x

dxx x x

∞

α+ α+ α+≤ ∫ convergentă) ⇒

21

sin xI dxx

∞

α= ∫ este convergentă pentru α>0.

Pentru 1

10

sin xI dxxα

+

= ∫ este convergentă, există limită 0

0

0 ;0 1sinlim1 ; 1x

x

xxα→

>

< α <⎧= ⎨ α =⎩

şi în

cazul α ∈(1, 2) există limită 1

00

sinlim 1xx

xxx

α−α→

>

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

. În concluzie 1

0

sin x dxxα

+∫ este

convergentă pentru α∈(0,2) şi divergentă pentru α≥2 ,

21 10

sin sin 1 1 1 ,2

a

1

x x I dxx x x x xα α− α−

+

= ⋅ ≥ ⋅ = ∫ α− divergentă pentru α ≥ 2; a > 0.

II. Integralele lui Fresnel: 2

0

sin x dx∞

∫ şi 2

0

cos x dx∞

∫ sunt convergente , prin substituţia

x t= (t > 0) se obţine: 2

00

1 sinsin2

tx dx dtt

∞∞

=∫ ∫ şi

2

00

1 coscos2

tx dx dtt

∞∞

=∫ ∫ convergente cu 12

α = .

III. Integralele lui Euler. Funcţia beta: ( ) ( )1

11

0

, 1 qpp q x x d−−β = −∫ x şi funcţia gama

1

0

( ) p xp x e dx∞

− −Γ = ∫ . Aplicând criteriul în λ (teorema 5) se arată că β(p, q) este

convergentă pentru p>0 şi q>0; aplicând criteriul în α (teorema 4) se arată că Γ(p) este convergentă pentru p>0. (Bibliografie [5], [11], [16]). Folosind metoda integrării prin părţi (teorema II) se deduc următoarele proprietăţi ale funcţiilor β(p, q) şi Γ(p): (10) β(p, q) = β(q, p); ∀ p > 0, q>0;

141

(11) β(p, q) = ( ) ( )( )

1 ! 1 !, ,

1 !p q

p qp q− −

∀ ∈+ −

N

(12) Γ(p + 1) = pΓ(p), ∀ p ≥ 0; Γ(n + 1) = n!, ∀ n∈N.

( )

( )

( ) ( )13. ( , ) , 0, 0( )

( ,1 )0 11 1 sin14. , şi 0 12 2

0 1

115. ( ) (1 ) ;0 1;sin 2

p qp q p qp q

p ppp

qp

p p pp

Γ Γβ = ∀ > >

Γ +

π⎧β − =< <⎧ ⎪⎛ ⎞ πβ = π⇒ ⎨ ⎨⎜ ⎟ < <⎝ ⎠ ⎩ ⎪ < <⎩π ⎛ ⎞Γ Γ − = < < Γ = π⎜ ⎟π ⎝ ⎠

IV. Integrala Euler – Poisson. Integrala Gauss.

(Integrala Euler – Poisson) 122

0 0

1 1 1 ,2 2 2

x te dx t e dt−

∞ ∞− −

2π⎛ ⎞= = Γ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ cu substituţiile:

( )22 10, , , lim 0, 1 .2

x

x

dtx t x t dx x et

α −

→∞= > = = = ∀α >

(Integrala Gauss) 2 2 2 20

0 ( ) 0

2x x x x

x t

e dx e dx e dx e dx∞ ∞ ∞

− − − −

−∞ −∞ =−

= + = =∫ ∫ ∫ ∫ π

2 12 2

0 0

1 1 1 , (Poisson)2 2 22

x te dx t e dt−

∞ ∞− − π⎛ ⎞= = Γ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ cu substituţiile:

2 10, 2 ,

2 2x dtt x t dx

t= > = = .

Observaţie. Funcţia ( )

(2

221( ) cu fixa )ţi2

x a

bf x e x a bb

−−= ∈ ∈ ∈

π*+R R, R se numeşte în

“Teoria probabilităţilor” “densitatea normală”. Folosind convenabil integrala

Poisson 22

0 2x

e dx∞

− π=∫ se arată că ( ) 1f x dx

∞

−∞=∫ şi aceasta se numeşte “integrala

probabilităţilor” [17].

142