Aplicaii ale integralei definite n fizic

Un instrument puternic pentru cercetare n matematic, fizic, mecanic, i alte discipline este o parte integralei definite - unul din conceptele de baz ale analizei matematice. Sensul geometric al integralei - zona de trapez curbilinie. Sensul fizic al integral - 1) non-uniforme fascicul cu densitate de mas, 2) micarea unui punct se deplaseaz n linie dreapt, la o viteza de peste interval de timp.Proprietile integralei definite:1. 2. 3. 4. 5. Dac Utilizarea integralei definite:

Integrala pentru

N MATEMATICN FIZIC

1.Calcularea ariei figurii1.Lucrul A fora de munc

2.Lungimea arcului de curb2.S-cale(mutare)

3.Volumul corpului de rotaie.3.Calcularea masei.4. Calculul momentului de inerie linie, cerc, cilindru.5.Calculul coordonatelor centrului de greutate.6.Cantitatea de cldur, etc

I.Calcularea drumului parcurs de un punct.

Calea,parcurs de un punct pe un drum neregulat ,cu viteza variabil ,peste un interval de timp de la la se determin prin formula Exemple:1. Viteza micrii punctului .De calculat drumul parcurs de acest punct la a 4 secund.

Soluie: , Rezult 2.

Dou corpuri au nceput s se mite n acelai timp, din acelai punct n aceeai direcie ntr-o linie dreapt.Primul corp se mic cu o vitez de , al doilea - cu o vitez .Ct de departe unul de altul vor fi ei dup 5 secunde?Soluie:Este evident c este diferena dintre distana parcurs de primul corp i distana parcurs de al doilea corp

3. Un corp este aruncat pe vertical de la sol cu viteza .Gsii nlimea maxim a corpului n cdere.

Soluie:Corpul atinge nlimea maxim ntr-un timp t atunci cnd viteza este egal cu zero,adic ,de unde .Aplicnd formula gsim II.Calcularea forei

Lucrul,desfurat de o for f(x) prin deplasare dea lungul axei Ox,a punctului material de la x=a pn la x=b ,se determin dup formula .Pentru determinarea lucrului forei deseori se folosete Legea lui Cuka: ,unde -puterea,x-lungimea maxim a spiralei,determinat de puterea F,iar k-coieficient de proporionalitate.1. Spirala n repaus are lungimea de 0,2m.La puterea de 50H spirala se ntinde cu 0,01m.Ce lucru trebuie de efectuat pentru a o ntinde de la 0,22 la 0,32m?

Soluie:Folosind egalitatea ,avem 50=0,01k asadar kK=5000H/m.Gsim limitele de integrare a=0,22-0,2=0,02(m),b=0,32-0,2=0,12(m).Cu ajutorul formulei primim

III.Calcularea lucrului la ridicarea greutiiSarcin:Un rezervor cilindric cu o raz a bazei de 0,5m i o nlime de 2m este umplut cu ap.Calculai lucru care trebuie efectuat pentru a pompa apa din rezervor.rHxdx

Soluie:Selectm la adncimea x stratul orizontal nlimea dx.Lucrul A,care trebuie efectuat,pentru a ridica stratul de ap cu greutatea M la nlimea x este egal cu Mx.Schimbarea adncimii x la un strat mic dx aduce schimbri n volum cu marimea i schimbarea masei .Cu toate astea lucrul final A se schimb cu mrimea .Integrnd aceast egalitate cu schimbari de la 0 la H,primim

IV.Calcularea presiunii lichidului.Valoarea presiunii lichidului pe o suprafa orizontal depinde de adncimea umperii x a acestei suprafee,adic de distana de la supafe la suprafaa lichidului.

Presiunea (H) pe o suprafa orizontal se determin dup formula unde -densitatea lichidului kg/m3;S-suprafaa ,m2;x-adncimea suprafeei.Dac suprafaa,evalund presiunea lichidului,nu este orizontal,atunci presiunea ei este diferit pe adncimi diferite,rezult ,pesiunea lichidului este o funcie adncimii de scufundare R(x)V.Lungimea arcului.

Fie ntr-un plan curba AB,dat de ecuaia ,unde f(x) f,(x)-funcii continue pe intervalul

Atunci difereniala dl lungimea curbei AB se determin prin formula sau ,iar lungimea curbei AB se afl aplicnd formula ,unde a i b snt variabil independent schimbrii x n punctele A i B.Dac curba este dat de drumul ,atunci lungimea drumului curbei AB se determin cu formula ,unde c i d snt variabile independente schimbrii y n punctele A i B.

VI.Centrul de greutatePentru gsirea centrului de greutate se utilizez urmtoarele reguli:

1.Coordonata x centrul de greutate a punctelor A1,A2,....,An cu masa m1,m2,...,mn situate pe puncte coliniare cu coordonatele x1,x2,...,xn se determin dup formula

2.In calculul coordonatelor centrului de greutate putem orice parte a figurii so nlocuim cu un punc material,deplasnd-o n centrul de greutate.Coordonatele centrului de greutate este echivalent[ cu formula

PROBLEME DIVERSE

1. natelor centrului de greutate putem orice parte a figurii so nlocuim cu un punc material,deplasnd-o n centrul de greutaConcentraia unei soluii apoase a unei substane,variaz urmnd legea :

C , fiind grosimea stratului de soluie. Care este cantitatea Q de substan coninut ntr-o coloan vertical de soluie a crei seciune dreapt este S=1 m2 i grosimea variind ntre 0 i 200m ?Solutie:

Considerm un strat foarte mic al coloanei de soluie apoas cu seciunea S si grosimea dx , situat la adncimea x.Cantitatea de substan coninut n acest strat este .Integr]nd de la 0 la 200 se obine

2. O cantitate m=1kg de ap se afl la temperature este pus n contact termic cu un thermostat avnd temperature T=373K.Care este variaia entropiei ,a termostatului i a ansamblului ap-termostat?Soluie:

Cldura primit de ap este

Unde c=4,18*103 este cldura specific a apei.

Variaia de entropie a apei va fi atunci ,

iar variaia de entropie corespunzoare va fi: .Variaia de entropie a ansamblului va fi: 3. .O gleat goal se pune sub robinet i se umple cu ap. t reprezint timpul ct st galeata sub robinet. Debitul apei care curge este egal cu 2,3-0,1t galoane pe minut. Ct ap este n galeat dupa 5 minute?Soluie: Variabila independent este timpul t msurat n minute din momentul n care galeata a fost pus sub robinet. Ni se d formula pentru debitul apei r(t) cu care intr gleata n timpul t. Astfel r(t) va juca rolul unei functii f(x) menionat mai sus.Notm V(t) volumul n galoane a apei din galeat in timpul t. Ne intereseaz V(5) din ce moment ni s-a spus c V(0)=0 (galeata este goal cnd o punem sub robinet) vom avea V(5)=V(5)-V(0) i intervalul de interes este intervalul[0,5]. Functia r(t) este continu n acest interval. Mai mult relaia dintre debitul i schimbarea de volum a apei este astfel dac apa curge n galeat cu un debit constant r n intervalul de timp [c,d] atunci se schimba volumul intre timpul c si d dup formula V(d)-V(c)=r(d-c).

Astfel presupunerile 1 i 2 sunt vf i putem exprima V(5) ca o integral definit:

4. O albin cltorete cu viteza . Unde t-timpul msurat n secunde n momentul plecrii de la stup. Ct de departe ajunge albina n timpul celei de a doua secund? Soluie:

5. Se confecioneaz un vas avnd forma corpului de rotaie determinat de funcia , unei uniti de pe ax corespunzndu-i 10 cm. Verificai dac ncap n acest corp 50 litri de ap.Soluie:10cm=1dm, 1dm3=1l

Calculm volumul corpului de rotaie determinat prin rotirea n jurul axei Ox a graficului funciei f: