transformari integrale

Transformri integrale i funcii complexe cu aplicaii

n tehnic

Volumul 2 Transformri integrale

Valeriu PREPELI, Monica PRVAN, Antonela TOMA

Gheorghe BARBU, Liliana POPA, Daniela ROU

Cartea a fost elaborata ^n cadrul proiectului POSDRU/56/1.2/S/32768,\Formarea cadrelor didactice universitare si a studentilor ^n domeniul uti-lizarii unor instrumente moderne de predare-^nvatare-evaluare pentru disci-plinele matematice, ^n vederea crearii de competente performante si practicepentru piata muncii".

Finantat din Fondul Social European si implementat de catre MinisterulEducatiei, Cercetarii, Tineretului si Sportului, ^n colaborare cu The Red Point,Oameni si Companii, Universitatea din Bucuresti, Universitatea Tehnica deConstructii din Bucuresti, Universitatea \ Politehnica" din Bucuresti, Uni-versitatea din Pitesti, Universitatea Tehnica \ Gheorghe Asachi" din Iasi,Universitatea de Vest din Timisoara, Universitatea \ Dunarea de Jos" dinGalati, Universitatea Tehnica din Cluj-Napoca, Universitatea \1 Decembrie1918" din Alba-Iulia, proiectul contribuie ^n mod direct la realizarea obiectivu-lui general al Programului Operational Sectorial de Dezvoltare a ResurselorUmane { POSDRU si se ^nscrie ^n domeniul major de interventie 1.2 Calitate^n ^nvatama^ntul superior.

Proiectul are ca obiectiv adaptarea programelor de studii ale disciplinelormatematice la cerintele pietei muncii si crearea de mecanisme si instrumentede extindere a oportunit~atilor de ^nv~atare.

Evaluarea nevoilor educationale obiective ale cadrelor didactice si studenti-lor legate de utilizarea matematicii ^n ^nvatama^ntul superior, masterate si doc-torate precum si analizarea ecacitatii si relevantei curriculelor actuale la nivelde performanta si ecienta, ^n vederea dezvoltarii de cunostinte si competentepentru studentii care ^nvata discipline matematice ^n universitati, reprezintaobiective specice de interes ^n cadrul proiectului. Dezvoltarea si armonizareacurriculelor universitare ale disciplinelor matematice, conform exigentelor depe piata muncii, elaborarea si implementarea unui program de formare acadrelor didactice si a studentilor interesati din universitatile partenere, bazatpe dezvoltarea si armonizarea de curriculum, crearea unei baze de resurseinovative, moderne si functionale pentru predarea-^nvatarea-evaluarea ^n dis-ciplinele matematice pentru ^nvatama^ntul universitar sunt obiectivele specicecare au ca raspuns materialul de fata.

Formarea de competente cheie de matematica si informatica presupunecrearea de abilitati de care ecare individ are nevoie pentru dezvoltarea per-sonala, incluziune sociala si insertie pe piata muncii. Se poate constata ^nsaca programele disciplinelor de matematica nu au ^ntotdeauna ^n vedere iden-ticarea si sprijinirea elevilor si studentilor potential talentati la matematica.Totusi, studiul matematicii a evoluat ^n exigente pa^na a ajunge sa accepteprovocarea de a folosi noile tehnologii ^n procesul de predare-^nvatare-evaluarepentru a face matematica mai atractiva.

I^n acest context, analiza exibilitatii curriculei, ^nsotita de analiza metode-lor si instrumentelor folosite pentru identicarea si motivarea studentilor talen-

tati la matematica ar putea raspunde deopotriva cerintelor de masa, ca^t sicelor de elita.

Viziunea pe termen lung a acestui proiect preconizeaza determinarea unorschimbari ^n abordarea fenomenului matematic pe mai multe planuri: infor-marea unui numar ca^t mai mare de membri ai societatii ^n legatura cu rolul silocul matematicii ^n educatia de baza ^n instructie si ^n descoperirile stiinticemenite sa ^mbunatateasca calitatea vietii, inclusiv popularizarea unor maridescoperiri tehnice, si nu numai, ^n care matematica cea mai avansata a ju-cat un rol hotara^tor. De asemenea, se urmareste evidentierea a noi motivatiisolide pentru ^nvatarea si studiul matematicii la nivelele de baza si la nivel deperformanta; stimularea creativitatii si formarea la viitorii cercetatori matem-aticieni a unei atitudini deschise fata de ^nsusirea aspectelor specice din altestiinte, ^n scopul participarii cu succes ^n echipe mixte de cercetare sau aabordarii unei cercetari inter si multi disciplinare; identicarea unor formede pregatire adecvata de matematica pentru viitorii studenti ai disciplinelormatematice, ^n scopul utilizarii la nivel de performanta a aparatului matematic^n construirea unei cariere profesionale.

Cuprins

1 Preliminarii 5

1.1 Spatii de functii integrabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Spatiul Hilbert al functiilor de patrat integrabil . . . . . 5

1.1.2 Produs de convolutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Serii Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Functii complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.1 Limite si continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.2 Derivabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.3 Functii complexe elementare . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.4 Integrarea functiilor complexe de variabila complexa . . 27

1.3.5 Reprezentarea functiilor complexe prin serii . . . . . . . 30

1.3.6 Singularitatile unei functii complexe . . . . . . . . . . . 34

1.3.7 Teoria reziduurilor si aplicatii . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.4 Distributii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.4.1 Derivarea distributiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.4.2 Convolutia distributiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2 Transformarea Fourier 59

2.1 Transformarea Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.1.1 Clasa functiilor rapid descrescatoare S . . . . . . . . . . 66

2.1.2 Transformarile sinus si cosinus . . . . . . . . . . . . . . 71

2.1.3 Aplicatii ale transformarii Fourier . . . . . . . . . . . . 71

2.2 Transformarea Fourier discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.3 Distributii temperate si transformarea Fourier . . . . . . . . . . 79

2.3.1 Rezolvarea unor ecuatii diferentiale. . . . . . . . . . . . 87

2.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3 Transformarea Laplace 103

3.1 Transformarea Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.1.1 Proprietati ale transformarii Laplace . . . . . . . . . . . 105

3.2 Calculul inversei transformarii Laplace . . . . . . . . . . . . . . 113

CUPRINS

3.2.1 Utilizarea proprietatii de liniaritate . . . . . . . . . . . . 1133.2.2 Formula Mellin-Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.2.3 Formula lui Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.3 Aplicatii ale transformarii Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.3.1 Rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuatii / sisteme

de ecuatii diferentiale cu coecienti constanti . . . . . . 1193.3.2 Rezolvarea ecuatiilor integrale de tip Volterra . . . . . . 1223.3.3 Studiul circuitului R.L.C. . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4 Transformarea Z 1274.1 Proprietatile transformarii Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.2 Transformarea Z inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.3 Aplicatii ale transformarii Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5 Alte transformari 1635.1 Transformarea Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.2 Transformarea Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.3 Transformarea Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.4 Transformarea Z bilaterala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.5 Transformarea Walsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.6 Transformarea Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.7 Transformarea Laplace bidimensionala hibrida . . . . . . . . . 170

6 Tabele 1776.1 Transformarea Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.2 Transformarea Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.3 Transformarea Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Bibliograe

Prefata

Calculul operational si transformarile integrale sunt instrumente deosebit deutile ^n rezolvarea multor probleme de analiza matematica, ecuatii diferentiale,ecuatii cu derivate partiale, functii speciale, probabilitati, teoria asteptarii, ter-modinamica, inginerie electrica, electronica, automatica, mecanica etc. Trans-formarea Laplace are numeroase aplicatii ^n rezolvarea unor probleme Cauchy,^n zica, ingineria electrica etc. Transformarea Fourier se foloseste pe scaralarga ^n probleme la limita sau ^n procesarea semnalelor. Transformarile mul-tidimensionale intervin ^n studiul sistemelor multidimensionale (2D si nD),datorita numeroaselor aplicatii ^n diferite domenii cum ar procesarea imag-inilor, tomograa computerizata, geozica, seismologie etc.

Transformarile integrale au fost impuse de existenta unor tipuri de prob-leme dicil de rezolvat ^n forma lor originala, dar care devin abordabile printr-otransformare. Astfel ecuatiile diferentiale sau integro-diferentiale ^n "domeniultimp" devin simple ecuatii algebrice ^n "domeniul frecventa" prin aplicareatransformarii Laplace. Apoi transformarea inversa produce solutia din dome-niul initial corespunzatoare solutiei algebrice. Prin aplicarea transformariiFourier la ecuatia caldurii (ecuatie cu derivate partiale de ordinul al doilea) seobtine o ecuatie diferentiala simpla. Metodele frecventiale, bazate pe trans-formarea Laplace (^n cazul continuu) si pe transformarea Z (^n cazul discret)au contribuit decisiv la dezvoltarea teoriei sistemelor si controlului.

Istoria transformarilor integrale ^si are radacinile ^n secolul 18. Un precur-sor a fost Jean le Rond D'Alembert, care ^n 1747 a utilizat suprapunerea unorfunctii sinus pentru a descrie oscilatiile corzilor de vioara.

Metoda de calcul al coecientilor care poarta numele lui Fourier a fost defapt propusa de Leonhard Euler ^n 1777 si a fost apoi utilizata ^n 1807 deJoseph, baron Fourier pentru studiul ecuatiei caldurii. Seriile Fourier, utilepentru reprezentarea functiilor ^n intervale nite, au fost extinse de el la in-tervale innite, conduca^nd la integrala si transformarea Fourier.

Gottfried Leibniz a introdus operatori pentru reprezentarea operatiilor dederivare si integrare. Aceste idei au fost continuate si extinse de L.F.A. Ar-bogast, M. Servois si de matematicienii englezi Heargrave, Boole, Bownin,Carmichael, Doukin, Graves, Murphy, Spottiswoode si Sylvester. Astfel, R.

B. Carmichael (1855) si George Boole (1859) au aplicat metodele operatorialela ecuatii diferentiale si ecuatii cu derivate partiale.

Oliver Heaviside a elaborat metodele calculului operational necesare re-zolvarii unor ecuatii diferentiale, ^n special ^n lucrarile sale asupra teoriei elec-tricitatii (1892), electromagnetismului (1899) sau al ecuatiilor zicii matem-

atice (1892-1894). El a utilizat operatorul D = ddt

^ntr-un mod de calculalgebric, obtina^nd rezultate fundamentale ^n tehnica si ^n zica, dar si uneleincorecte, neind interesat de conditii de existenta.

Au fost apoi mai multe ^ncercari de a justica metodele operationale for-male ale lui Heaviside. La ^nceputul secolului 20 o serie de matematicieniprintre care Wagner (1916), Carson (1922) si Doetsch (1930) au realizat conex-iunea calculului operational cu transformarea Laplace si au pus metodele luiHeaviside pe o baza riguroasa, combina^nd metodele algebrice si cele analitice.Ei au utilizat doua spatii, cel al functiilor original si cel al transformatelor.

I^n 1954, matematicianul francez Laurent Schwartz a introdus conceptul dedistributie, stabilind proprietatile de baza, operatiile cu distributii, extinza^ndtransformarea Fourier la distributii temperate. Matematicianul polonez JanMikusinski a dat ^n 1960 o alta denitie a distributiilor (prin ca^turi de convolu-tii), realiza^nd o revenire radicala la metodele algebrice ^ntr-o teorie care uti-lizeaza operatori, fara restrictii de convergenta a transformarilor integrale.Tot el a realizat o introducere elementara a transformarii Fourier ^n teoriadistributiilor (1966), ca si M.J. Lighthill (1958), J. Arsac (1961) sau H.J. Bre-mermann si L. Durand (1961). Laurent Schwartz a fost primul cercetatorcare a introdus transformarea Laplace a distributiilor pleca^nd de la transfor-marea Fourier (1957). Alte metode de denire a transformarii Laplace pen-tru distributii au fost dezvoltate de A. H. Zemanian (1965) (care a extins ladistributii si alte transformari), T. Ishihara (1961), Gheorghe Marinescu siConstantin Tudor (1967).

Scopul acestei carti este de a-l introduce pe cititor ^n teoria celor maiimportante transformari care sunt utilizate ^n cursurile de matematica, zica,stiinte ingineresti si de a-l familiariza cu metodele de rezolvare cu ajutorulacestor transformari a ecuatiilor diferentiale, cu derivate partiale, integralesau cu diferente.

Capitolul 1 contine preliminarii necesare dezvoltarii teoriei si aplicatiilortransformarilor integrale. Sunt prezentate spatiile de functii integrabile careadmit transformate, seriile Fourier si implicarea lor ^n istoria denirii trans-formarii Fourier. Deoarece majoritatea transformatelor sunt functii de unasau mai multe variabile complexe (cu semnicatia de frecventa a semnalelor),un paragraf este destinat celor mai importante notiuni si tehnici din teoriafunctiilor complexe. Elementele de teoria distributiilor care ^ncheie capitolulsunt motivate de importanta si extinderea utilizarii transformatelor Fourier si

Laplace ale distributiilor.Transformarea Fourier este studiata ^n Capitolul 2. Sunt expuse prin-

cipalele proprietati ale transformatelor functiilor absolut integrabile si apoipentru functiile rapid descrescatoare, inclusiv formula de inversiune. Un para-graf include aplicatii ale transformarii Fourier (Teorema de esantionare WKSsi relatia de incertitudine). Studiul este completat cu transformarea Fourierdiscreta si transformarea Fourier a distributiilor temperate.

Capitolul 3 este dedicat transformarii Laplace. Principalele proprietati(liniaritate, asemanare, ^nta^rziere, deplasare, derivarea si integrarea originalu-lui si a imaginii, convolutie) sunt expuse ^mpreuna cu exemple care ilustreazaactiunea si aplicatiile lor. Urmeaza metode de determinare a originaluluisi aplicatii ale transformarii Laplace la rezolvarea problemei Cauchy pentruecuatii si sisteme de ecuatii diferentiale, la ecuatii integrale de tip Volterra sau^n studiul circuitului RLC.

Capitolul 4 prezinta transformarea Z cu proprietatile corespunzatoare celorale transformarii Laplace, completate cu teoremele produsului imaginilor si alevalorilor initiale si nale. Metodele specice de determinare a originalului siaplicatii la ecuatii cu diferente si la sistemele comandate discrete sunt urmatede probleme rezolvate si propuse.

Capitolul 5 are un rol complementar, prezenta^nd succint alte transformaricare nu sunt studiate ^n cursurile de matematici speciale, dar au aplicatii ^ninginerie (procesarea semnalelor sau a imaginilor etc.). Lista lor cuprindetransformarile Mellin, Hankel, Hilbert, Z bilaterala, Walsh, Haar, Laplacebilaterala hibrida. Pentru a facilita rezolvarea problemelor cu instrumentelecalculului operational, ^n anexe sunt date transformatele Fourier, Laplace si Zale principalelor functii original care apar ^n aplicatii.

Textul are un caracter autocontinut realizat prin prezentarea notiunilorpreliminare ^n primul capitol si prin explicarea si demonstrarea rezultatelorexpuse. Cititorul care detine cunostintele de baza ale analizei matematicepoate sa ^nteleaga si sa aplice tehnicile transformarilor integrale si discrete,ava^nd la dispozitie numeroase exemple, aplicatii si probleme rezolvate. Cartease adreseaza cadrelor didactice si studentilor de la studiile de licenta, masteratsau doctorat, precum si cercetatorilor din domeniile matematicilor aplicate,automatica, electronica, inginerie electrica etc.

Autorii

La realizarea materialului a contribuit si conf. dr. ing. Luminita Scrip-cariu, prin propunerea unor aplicatii practice.

Capitolul 1

Preliminarii

1.1 Spatii de functii integrabile

1.1.1 Spatiul Hilbert al functiilor de patrat integrabil

Fie H un spatiu vectorial peste R sau C. Se numeste produs scalar pe H oaplicatie < : ; : >: H H ! C cu proprietatile:

1: (x; x) > 0; (x; x) = 0, x = 02: (x+ y; z) = (x; z) + (y; z)3: (x; y) = (x; y)

4: (x; y) = (y; x):

Propozitia 1.1.1 (inegalitatea lui Schwarz).

j(x; y)j 6 kxjk kyk:

Pentru demonstratie observam ca rezultatul este evident daca y = 0. Pentruy 6= 0 scriem ca

< x+ y; x+ y > > 0:

Alega^nd = < x; y >kyk2 se obtine exact concluzia. Pe baza acestei inegalitatirezulta ca aplicatia

kxk =p(x; x)

este o norma, adica are proprietatile:

1: kxk > 0; kxk = 0, x = 02: kxk = jjkxk3: kx+ yk 6 kxk+ kyk:

5

6 CAPITOLUL 1. PRELIMINARII

Tot pe baza inegalitatii lui Schwarz deducem ca, pentru x 6= 0 si y 6= 0 areloc

j < x; y > jkxkkyk 2 [1; 1]. Aceasta observatie permite denirea unghiului a doi

vetori nenuli din H ca unicul 2 [0; ] pentru care:

cos =j < x; y > jkxkkyk

I^n particular, vom spune ca vectorii nenuli x, y sunt ortogonali daca < x; y >=0. Existenta normei permite introducerea urmatoarelor notiuni:

Un sir xn 2 H se numeste convergent la x 2 H daca 8" > 0 9n" 2 Nastfel ca

kxn xk < "; 8n > n":Un sir xn 2 H se numeste Cauchy sau fundamental, daca 8" > 0 9n" 2 Nastfel ca:

kxn xn+pk < "; 8n > n";8p 2 N:Se arata imediat ca orice sir convergent este Cauchy. Daca reciproc, oricesir Cauchy este convergent atunci spatiul se numeste complet. Un spatiu cuprodus scalar complet se numeste Hilbert.

Exemplul 1.1.1. Spatiile Rn sau Cn sunt spatii Hilbert fata de produsulscalar:

(x; y) = x1y1 + + xnyn:

Exemplul 1.1.2. Spatiul l2 = f(xn); n 2 N; xn 2 R sau C;1Xn=0

jxnj2

1.1. SPATII DE FUNCTII INTEGRABILE 7

Pentru p = 2 se obtine spatiul L2(I), care este spatiu Hilbert fata de produsulscalar. Functiile din L2(I) se numesc functii de patrat integrabil.

(f; g) =

ZIf(x)g(x)dx: (1.1)

Inegalitatea Schwarz devine ^n acest caz:ZIf(x)g(x)dx

6sZ

Ijf(x)j2 dx

sZIjg(x)j2dx:

Convergenta ^n norma spatiului L2(I) se numeste ^n medie patratica.Daca ^n particular H este un spatiu de functii, reamintim alte tipuri de

convergenta.Sirul fn converge punctual la f , daca 8x 2 [a; b], sirul numeric fn(x)

converge la f(x), adica:

8x 2 [a; b];8" > 0;9n";x; astfel ^nc^at jfn(x) f(x)j < ":Sirul fn converge uniform la f , daca:

8" > 0;9n"; astfel ^nc^at jfn(x) f(x)j < "; 8x 2 [a; b]:Sa observam ca daca un sir converge uniform, atunci converge si ^n mediepatratica. Din convergenta ^n medie patratica nu rezulta nici convergentauniforma nici cea simpla.

Este evident faptul ca multimea tuturor functiilor continue pe [a; b], notataC[a; b], satisface C[a; b] L2[a; b]. Spatiul L2[a; b] mai contine:

functii continue pe portiuni, pentru care exista o partitie a intervalului[a; b], a = x0 < x1 < : : : < xn = b astfel ca

i. f sa e continua pe (xk; xk+1)

ii. exista limitele laterale f(x0+0); ; f(xk0); f(xk+0); ; f(xn0)nite.

functii monotone pe portiuni pentru care exista o partitie a intervalului[a; b], a = x0 < x1 < : : : < xn = b astfel ca

i. f sa e monotona pe (xk; xk+1).

ii. f este marginita.

Sa vedem ca^teva exemple de functii din aceste clase. Consideram

f(x) =

x sin 1x x 6= 00 x = 0


1

0

0,5

-0,5

0,5x

10

-1

-0,5-1

0,8

0,4

0,6

0,2

-0,2x

10,5-0,5-100

sin 1x x sin1x

Figura 1.1:

Functia este continua pe [; ], marginita, dar nu este monotona pe portiuni.Functia f(x) =

1

xeste monotona pe portiuni, dar nu este marginita si nu

este din L2(I), daca 0 2 I.O functie masurabila f : R ! C integrabila pe orice interval marginit

[a; b] R se numeste local integrabila. Notam multimea claselor de astfel defunctii cu L1loc(R).

Evident ca daca f este integrabila pe R, atunci ea este din L1loc(R), darexista functii local integrabile pe R, care nu sunt integrabile: de exemplufunctia constanta 1 este local integrabila dar nu este integrabila pe R.

1.1.2 Produs de convolutie

Denitia 1.1.1. Date doua functii masurabile f; g : R! C, numim produsde convolutie functia:

(f ? g)(x) =

Z 11

f(y)g(x y) dy:

daca integrala exista macar pentru aproape orice x .

Evident, daca facem schimbarea de variabila x y = u, atunci

(f ? g)(x) =

Z 11

f(y)g(x y) dy =Z 11

f(x u)g(u) du = (g ? f)(x)

1.1. SPATII DE FUNCTII INTEGRABILE 9

deci daca exista, produsul de convolutie este comutativ. Indicam trei situatiiuzuale ^n care produsul de convolutie exista si este o functie local integrabilape R.

Daca f; g : R ! C sunt integrabile, atunci f ? g exista si este o functieintegrabila; ^ntr-adevar, Z 1

1jf ? gj(x) dx =

=

Z 11

jZ 11

f(y)g(x y) dyj dx 6Z 11

Z 11

jf(y)jjg(x y)j dy dx =

=

Z 11

jf(x)j dxZ 11

jg(y x)j dt =Z 11

jf(x)j dxZ 11

jg(u)j du 0 si sa calculam

jZ A0(f ? g)(x) dxj 6

Z A0

Z t0jf(y)jjg(x y)j dx dy =

=

Z A0jf(y)j dy

Z Ayjg(x y)j dx =

Z A0jf(y)j dy

Z Ay0

jg(u)j du < +1;

deci f ? g este local integrabila.

Daca f; g : R! C sunt local integrabile si una dintre functii are suportcompact, atunci f ? g 2 L1loc(R).I^ntr-adevar, presupunem ca supp f [A1; A1]; atunciZ 1

1f(y)g(x y) dy =

Z A1A1

f(y)g(x y) dy


exista si deci produsul de convolutie este bine denit; e acum A > 0;sa aratam ca produsul este integrabil pe [A;A].

jZ AA

Z A1A1

f(y)g(x y) dxdyj 6Z AA

Z A1A1

jf(y)jjg(x y)j dydx =

=

Z A1A1

jf(y)jdyZ AA

jg(x y)jdx =Z A1A1

jf(y)jdyZ AyAy

jg(u)j du 6

6Z A1A1

jf(y)j dyZ A+A1AA1

jg(u)j du

1.2. SERII FOURIER 11

+nX

k=0

ckck(ek; ek) = (f; f)+nX

k=0

j(f; ek)j2 ck(ek; f) ck(f; ek) +

Xjckj2

nX

k=0

j(f; ek)j2 = (f; f) +nX

k=0

(j(f; ek) ckj2)nX

k=0

j(f; ek)j2:

Deci

kf yk2 = (f; f) +nX

k=0

(j(f; ek) ckj2)nX

k=0

j(f; ek)j2: (1.3)

Norma este minima daca ck = (f; ek), iar elementul cautat este:

y =nX

k=0

(f; ek)ek

si reprezinta proiectia lui f pe subspatiul generat de e0; e1; : : : ; en.

Inegalitatea lui Bessel. Daca ^n (1.3) ^nlocuim ck = (f; ek), avem:

kf yk2 = (f; f)nX

k=0

j(f; ek)j2

de unde deducem

kfk2 >nX

k=0

j(f; ek)j2: (1.4)

inegalitate care se numeste inegalitatea lui Bessel.Daca sistemul ortonormat este innit e0; e1; : : : ; en; : : : pentru orice n xat

se obtine o cea mai buna aproximare de forma sn =

nXk=0

(f; ek)ek. De fapt sn

este sirul sumelor partiale pentru seria

1Xk=0

(f; ek)ek: (1.5)

Seria (1.5) se numeste seria Fourier asociata lui f , iar

ck = (f; ek) (1.6)

se numesc coecientii Fourier. Spunem ca seria (1.5) converge ^n H la s daca

sirul sumelor partiale converge ^n H la s. Notam s =

1Xk=0

(f; ek)ek.

Ne punem problema sa studiem ^n ce cazuri seria Fourier a elementuluis are ca suma pe acesta si ce proprietati suplimentare de convergenta se potstabili.


Propozitia 1.2.1. Daca e0; e1; : : : ; en; : : : este un sistem ortogonal, atunci1Xn=0

en converge (^n H) daca si numai daca

1Xn=0

kenk2 converge (serie cu ter-meni pozitivi).

Demonstratie. Armatia rezulta imediat, daca tinem cont de relatia

ken+1+ +emk2 = (en+1+ +em; en+1+ +em) = ken+1k2+ +kemk2;

pentru m > n.

Teorema 1.2.1. Seria Fourier (1.5) converge ^ntotdeauna ^n H.

Demonstratie. Din propozitia precedenta, seria1Xk=0

(f; ek)ek converge daca

si numai daca1Xk=0

j(f; ek)j2 converge, iar seria numerica din membrul al doileaeste convergenta din inegalitatea lui Bessel.

Teorema 1.2.2. Fie e1; e1; : : : ; en; : : : un sistem ortonormat. Atunci urma-toarele armatii sunt echivalente.

1. f =1Xk=0

(f; ek)ek

2. kfk2 =1Xk=0

j(f; ek)j2.

Demonstratie. Sa demonstram 1) 2. Are loc

kfk2 = (1Xk=0

(f; ek)ek;

1Xk=0

(f; ek)ek) =

1Xk=0

j(f; ek)j2

deci 2 este adevarata.

Pentru armatia 2) 1, avem

kf 1Xk=0

(f; ek)ekk = kfk2 1Xk=0

k(f; ek)j2;

de unde deducem

kfk2 =1Xk=0

j(f; ek)j2: (1.7)

Relatia (1.7) se numeste egalitatea lui Parseval.


Teorema 1.2.3. Urmatoarele armatii sunt echivalente1. Pentru orice f 2 H, are loc:

f =

1Xn=0

(f; en)en:

2. Daca g 2 H are proprietatea (g; en) = 0; 8n 2 N, atunci g = 0.Demonstratie. Aratam ca 1 ) 2. Fie g 2 H, astfel ca (g; en) = 0. Atunciseria sa Fourier este 0, deci:

g =

1Xn=0

(g; en)en = 0:

2) 1. Daca f 2 H si1Xn=0

(f; en)en este seria Fourier asociata, atunci:

(f 1Xn=0

(f; en)en; en) = (f; en) (f; en) = 0

deci are loc:

f =

1Xn=0

(f; en)en:

Observatia 1.2.1. Daca g0; g1; : : : ; gn; : : : este un sistem ortogonal iar gn 6= 0,8n, atunci

en =gnkgnk

devine un sistem ortonormat. Seria Fourier asociata este

1Xn=0

(f; en)en =1Xn=0

(f;gnkgnk)

gnkgnk =

1Xn=0

(f; gn)

kgnk2 gn: (1.8)

Deci coecientii Fourier ^n acest caz sunt

(f; gn)

kgnk2 : (1.9)

Serii Fourier clasice (trigonometrice)

I^n spatiul L2[; ], sistemul de functii 1; cos t; sin t; : : : ; sinnt; cosnt; : : :unde n 2 N, este ortogonal, relativ la produsul scalar:

(f; g) =

Z

f(t)g(t) dt:


Se demonstreaza usor egalitatile

(cosnt; cosmt) = (sinnt; sinmt) = 0;8m 6= n;m; n 2 N

(sinmt; cosnt) = 0; 8m;n 2 Nk1k2 = 2; k cosntk2 = ; k sinntk2 = :

I^nlocuind ^n (1.8), gasim seria Fourier asociata functiei f

a02+

1Xn=1

(an cosnx+ bn sinnx) (1.10)

unde 8>>>:an =

1

Z

f(x) cosnx dx; n = 0; 1; 2 : : :

bn =1

Z

f(x) sinnx dx; n = 1; 2 : : :(1.11)

sunt coecientii Fourier. Coecientii formeaza spectrul discret al lui f .

Observatia 1.2.2. Daca f este o functie para, rezulta bn = 0, iar daca f esteimpara an = 0.

Deorece functia din formula (1.10) este denita pe R si periodica se puneproblema egalitatii seriei din (1.10), cu functia initiala pe R. I^n acest caz seprelungeste f prin periodicitate, astfel

f(x) =

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

f(x+ 2); x 2 (3;)

f() + f()2

; x = f(x) x 2 (; )

f() + f()2

; x =

f(x 2); x 2 (; 3)

Daca f este o functie de perioada 2, atunci ^n formulele (1.11) se poateface integrarea pe orice interval de lungime 2.

Egalitatea lui Parseval devine, ^nlocuind ^n (1.7):Z

f2(x)dx = (a202+

1Xn=1

(a2n + b2n)): (1.12)


Serie Fourier de cosinusuriFie f : [0; )! R si fp prelungirea prin paritate, adica:

fp(x) =

f(x; ) x 2 [0; )f(x); x 2 (; 0):

Atunci coecientii Fourier sunt:8>>>>>>:an =

1

l

Z llf(x) cos

nx

ldx

bn =1

l

Z llf(x) sin

nx

ldx:

(1.14)

Serii Fourier sub forma complexa

Familiaei nt; n 2 Z; i2 = 1


formeaza un sistem ortogonal ^n L2[; ]; ^ntr-adevar:Z

ei nt ei nt dt =ei (nm)tnm

= 0iar norma este:

kei ntk2 =Z jei ntj2 dt = 2:

Fie f : [; )! C. I^nlocuim ^n (1.8) si obtinem seria Fourier bilaterala+1X

n=1cne

i nt (1.15)

unde coecientii cn sunt dati de:

cn =1

2

Z

f(x)ei nx dx: (1.16)

Sa stabilim legatura dintre seriile (1.10) si (1.15); daca folosim denitia

exponentialei ^n complex ei nt = cosnt+ i sinnt, avem imediat c0 =a02

si:

cnei nt + cnei nt = (cn + cn) cosnt+ i(cn cn) sinnt =

=1

2

Z

(ei nx + ei nx)f(x) dx cosnt+

+i1

2

Z

(ei nx ei nx)f(x) dx sinnt =

= an cosnt+ bn sinnt:

Observam ca suma partiala a seriei (1.10) coincide cu suma partiala simetricaa seriei (1.15). De asemenea seria (1.15) poate simetric convergenta, ^nsensul ca exista

limn!1

nXk=n

ckei kt

dar nu este convergenta, adica nu exista

limn!1;m!1

nXk=m

ckei kt:

I^n cazul seriilor sub forma complexa, egalitatea lui Parseval devine:Z jf(x)j2dx = 2

1Xn=1

jcnj2: (1.17)


Sa mai observam ca daca

f(z) =1Xn=0

anzn; z 2 C

este o serie de puteri si calculam acesta serie pe cercul unitate, adica pentruz = ein avem

f(z) =

1Xn=0

(an cosn + bn sinn);

deci se obtine o serie Fourier. Daca raza de convergenta este > 1, atunci seriaFourier este convergenta.

Convergenta unei serii Fourier ^ntr-un punct si pe o multime

Fie f o functie periodica si seria sa Fourier asociata sub forma (1.15).Evaluam sirul sumelor partiale.

sm;n(t) =

nXk=m

ckeikt =

1

2

nXk=m

Z

f(x)ei kx dxei kt =

=1

2

Z

f(x)nX

k=mei k(t x) dx =

=1

2

Z

f(x)ei m(t x) 1 ei (t x)(n+m+ 1)1 ei (t x)

dx =

=1

2

Z

f(x)ei m(t x) ei (t x)(n+ 1)

e

j

2(t x)

[email protected] i2 (t x) e i2 (t x)1A dx =

=1

2

Z

f(x)ei (t x)(m+ 1

2) ei (t x)(n+

1

2)

e i2(t x) e

i

2(t x)

dx =

=1

2

Z

f(t+ u)eiu(m+

1

2) eiu(n+

1

2)

eiu

2 eiu

2

du =

=1

4i

Z

f(t+ u)eiu(m+

12) eiu(n+ 12 )sin u2

du:

Daca aplicam calculul precedent functiei identic 1, gasim:


1 =1

4i

Z

eiu(m+12) eiu(n+ 12 )sin u2

du

si prin scadere avem:

sm;n(t) f(t) = 14i

Z

(f(t+ u) f(t))eiu(m+ 1

2) eiu(n+ 12 )sin u2

du: (1.18)

Daca ^n (1.18) punem m = n, obtinem:

sn(t) f(t) = 12

Z

(f(t+ u) f(t))sin2n+12 u

sin u2du: (1.19)

I^n practica intervin urmatoarele situatii.

Daca f are ^n t0 derivata nita, atunci

limm;n!1 sm;n(t0) = f(t0):

Daca f are ^n t0 punct de discontinuitate de speta I si exista f 0(t0 +0); f 0(t0 0), sumele partiale simetrice ale seriei Fourier converg si

limm;n!1 sm;n(t0) =

f(t0 + 0) + f(t0 0)2

:

Criteriul Dirichlet Daca f : [; ) ! R este monotona pe portiunisi este marginita, atunci pentru orice t0 2 (; ) are loc:

f(t0 + 0) + f(t0 0)2

=ao2+

1Xn=1

(an cosnt0 + bn sinnt0):

I^n particular, daca f este continua ^n t0, atunci suma seriei Fourier coincidecu valoarea functiei.

Aplicatia 1.2.1. Sa dezvoltam ^n serie de sinusuri functia

f(t) = t2

; 0 6 t < :

Prelungirea prin imparitate este

fi(t) =

8


1

0

0,5

-0,5

-1

x

3210-3 -1-2

Figura 1.2: Fenomenul Gibbs

Evident ca an = 0, iar

bn =2

Z 0

t2

sinnt dt =2

( t

2

cosnt

nj0 +

1

2

Z 0

cosnt

ndt) =

1

n:

Deci are loc scrierea

f(t) =

1Xn=1

sinnt

n; t 2 (; ):

Aplicatia 1.2.2. (fenomenul Gibbs) Sa dezvoltam ^n serie Fourier

f(x) =

8


Deci b2n = 0 si b2n+1 =4

(2n+ 1). Rezulta egalitatea

f(x) =

8>>>>>:1Xn=0

4

(2n+ 1)sin(2n+ 1)x x 2 (; ) n f0g

0 x = 0:

Sa aproximam functia cu sirul sumelor partiale. Daca n = 0, avem

f(x) 4sinx

pentru n = 1

f(x) 4(sinx+

1

3sin 3x):

Reprezentam aceste functii si obtinem gracul de mai sus. Se poate demonstraca limita ordonatei primului maxim, pentru n!1 este aproximativ 1; 17.Teorema 1.2.4 (Fejer). Daca f : R ! R este continua si periodica deperioada 2, atunci sirul mediilor aritmetice ale lui sk converge uniform la f ,adica

n =s0 + s1 + + sn

n+ 1! f; uniform pe (;+):

Demonstratie. Avem:

n(t) =1

n+ 1

1

2

nXk=0

Z

f(t+ u)sin 2k+12 u

sin u2du =

=1

2(n+ 1)

Z

f(t+ u)

nXk=0

sin 2k+12 u sinu2

sin2 u2du =

=1

2(n+ 1)

Z

f(t+ u)nX

k=0

cos ku cos(k + 1)u2 sin2 u2

du =

=1

2(n+ 1)

Z

f(t+ u)1 cos(n+ 1)u

2 sin2 u2du =

=1

2(n+ 1)

Z

f(t+ u)sin2 2n+12 u

2 sin2 u2du:

Evaluam diferenta

n(t) f(t) = 12

Z

f(t+ u) f(t)n+ 1

sin2 2n+12 u

2 sin2 u2du:


Notam 't(u) =f(t+ u) f(t)

n+ 1si Kn(u) =

sin2 2n+12 u

2 sin2 u2. Aplicam modulul si

majoram, dupa care deducem:

jn(t) f(t)j 6 1

Z j't(u)jjKn(u)j du:

Din continuitatea lui f , pentru orice " > 0, exista 2 (0; ) astfel ca j't(u)j 0 exista ("; z0) astfel ^nca^t 8z 2 D cu proprietatea

0 < jz z0j < avem jf(z) lj < ".2. pentru orice vecinatate V a lui l exista o vecinatate U a lui z0 astfel

^nca^t 8z 2 D \ U , avem f(z) 2 V .3. pentru orice sir (zn)n2N D cu lim

n!1 zn = z0, sirul (f(zn))n2N esteconvergent si lim

n!1 f(zn) = l.

Propozitia 1.3.1. limz!z0

f(z) = l = l1 + il2 daca si numai daca

l1 = lim(x;y)!(x0;y0)

u(x; y) si l2 = lim(x;y)!(x0;y0)

v(x; y):

Denitia 1.3.2. Fie z0 2 D un punct de acumulare al multimii D. Functiaf : D ! C se numeste continua ^n z0 daca (9) lim

z!z0f(z) = f(z0).

Functia f : D ! C este continua ^n punctul z0 daca si numai daca oricarear " > 0, exista un (") > 0 astfel ^nca^t pentru orice z 2 D cu proprietateaca jz z0j < (") sa avem jf(z) f(z0)j < ".Propozitia 1.3.2. Continuitatea functiei f ^n z0 este echivalenta cu continu-itatea functiilor u , v ^n punctul (x0; y0).

Denitia 1.3.3. Functia f : D ! C este marginita pe D daca exista oconstanta 0 < M


1.3.2 Derivabilitate

Denitia 1.3.4. Fie z0 2 D. Functia f : D ! C este derivabila (monogena)^n z0 daca:

(9) limz!z0

f(z) f(z0)z z0

not= f 0(z0)

(sau (9) limh!0

f(z0 + h) f(z0)h

not= f 0(z0)) si este nita.

Denitia 1.3.5. O functie f : D ! C derivabila ^n orice punct din D senumeste olomorfa (analitica) pe D.

Teorema 1.3.1. Fie f; g : D ! C doua functii complexe de variabila com-plexa. Daca f si g sunt monogene ^ntr-un punct z0 2 D , atunci si functiilef g , fg , f=g (g(z0) 6= 0) sunt monogene ^n acest punct si ^ntre derivatelelor exista relatiile :

1.

[f(z)]0z=z0 = f0(z0); 2 C

2.

[f(z) g(z)]0z=z0 = f 0(z0) g0(z0)3.

[f(z)g(z)]0z=z0 = f0(z0)g(z0) + f(z0)g0(z0)

4. f(z)

g(z)

0z=z0

=f 0(z0)g(z0) f(z0)g0(z0)

[g(z0)]2:

Teorema 1.3.2. Fie D1; D2 C doua domenii si f : D1 ! C , g : D2 ! C.Daca f este monogena ^ntr-un punct z0 2 D1 si g este monogena ^n punctulw0 = f(z0) 2 D2 atunci functia compusa h = g f este monogena ^n z0 siavem :

[h(z)]0z=z0 = g0(f(z0))f 0(z0):

Teorema 1.3.3 (Cauchy-Riemann). Fie f : D ! C. f este monogena ^nz0 2 D, daca si numai daca u , v sunt diferentiabile ^n (x0; y0) iar derivatelelor partiale satisfac conditiile:8>>>>>:

@u

@x(x0; y0) =

@v

@y(x0; y0)

@u

@y(x0; y0) = @v

@x(x0; y0)

(1.21)

1.3. FUNCTII COMPLEXE 25

numite conditiile de monogenitate Cauchy-Riemann. I^n acest caz avem:

f 0(z0) [email protected]

@x(x0; y0) + i

@v

@x(x0; y0) =

@v

@y(x0; y0) [email protected]

@x(x0; y0): (1.22)

Observatia 1.3.1. Orice functie monogena ^ntr-un punct este continua ^nacel punct. Reciproca nu este adevarata.

Aplicatia 1.3.1 Functia f(z) = z este continua ^n orice punct z0 dar nu estemonogena.

Corolarul 1.3.1. Daca o functie este olomorfa ^ntr-un domeniu D si arederivata nula, atunci ea este constanta ^n domeniul D.

Observatia 1.3.2. Ca o consecinta a teoremei Cauchy-Riemann, se poatedetermina o functie olomorfa pe un domeniu, ca^nd i se cunoaste partea realasau partea imaginara.

Aplicatia 1.3.2. Sa se determine functia olomorfa (pe C) f = u + iv stiindca

u(x; y) = ex cos y si f(0) = 1:

Din prima conditie a lui Cauchy-Riemann se obtine

@u

@x= ex cos y ;

@v

@y= ex cos y

ceea ce ^nseamna ca

v(x; y) =

Zex cos y dy = ex sin y + '(x):

Din a doua conditie a lui Cauchy-Riemann se obtine

@u

@y= ex sin y ; @v

@x= ex sin y + '0(x)

de unde rezulta ca ca '0(x) = 0 adica '(x) = c: Din conditia f(0) = 1 rezultac = 0 si deci expresia functiei este data de

f(z) = ex cos y + iex sin y = ez:

1.3.3 Functii complexe elementare

Functiile complexe elementare sunt extensii la multimea C a functiilor denitepe R.

Functia putere: f : C! C, f(z) = zn, n 2 Nf(z) = zn = rn(cosn + i sinn):


Functia polinomiala: f : C! C, f(z) = anzn+ an1zn1+ + a1z+ a0,n 2 N, a0; a1; ; an 2 C, an 6= 0 este olomorfa pe C, iar derivata sa areaceeasi forma ca ^n cazul functiilor reale.

Functia rationala: f : fz 2 CjQ(z) 6= 0g ! C, f(z) = P (z)Q(z)

este olomorfa

pe tot domeniul fz 2 CjQ(z) 6= 0g , iar derivata sa are aceeasi forma ca ^ncazul functiilor reale.

Functia radical de ordin n: f(z) = npz, n 2 N , n > 2

f(z) = npz = n

pr(cos + i sin ) = n

pr

cos

+ 2k

n+ i sin

+ 2k

n

k = 0; n 1. Functia radical nu este olomorfa pe tot planul C.Functia exponentiala: f : C! C, f(z) = ez,

f(z) = ez = ex+iy = exeiy = ex(cos y + i sin y):

Functia exponentiala este olomorfa pe C, iar (ez)0 = ez ; ^n plus, este periodicade perioada principala 2i.

Functia logaritmica: f : C n f0g ! C, f(z) = ln z,

f(z) = ln z = ln(rei(+2k)) = ln r + ln ei(+2k) = ln r + i( + 2k)

unde k 2 Z.Functia putere generalizata: f : C n f0g ! C, f(z) = z , 2 C

f(z) = z = e ln z:

Functii circulare (sinus si cosinus):8>:sin z =

eiz eiz2i

cos z =eiz + eiz

2

(formulele lui Euler): (1.23)

Functii hiperbolice:

8>:sh z =

ez ez2

ch z =ez + ez

2

(1.24)


1.3.4 Integrarea functiilor complexe de variabila complexa

Fie f : D ! C si o curba de lungime nita D , ale carei ecuatii parametricesunt date de

x = x(t)y = y(t)

t 2 [a; b], neteda sau neteda pe portiuni, iar f continua pe , Luam o diviziuneprin punctele a = t0 < t1 < < tn = b si notam zk = x(tk) + iy(tk) 2 . Peecare arc ce uneste zk1 cu zk (1 6 k 6 n) alegem un punct k 2 . Formamsumele :

Sn(f; ; dn) =

nXk=1

f(k)(zk zk1):

Notam dn := maxfjzk zk1jg. Dacalim

dn!0Sn(f; ; dn)

exista, indiferent de alegerea punctelor k spunem ca functia este integrabila

de-a lungul curbei ^ntre a si b si se noteaza limita cu

Zf(z)dz. Are locZ

f(z)dz =

Z[u(x; y) dx v(x; y) dy] + i

Z[u(x; y) dy + v(x; y) dx] :

(1.25)

Aplicatia 1.3.3. Sa se calculeze I =

Zz dz de la z = 0 la z = 4 + 2i de-a

lungul curbei data de z = t2 + it.Pentru z = 0 si z = 4 + 2i pe curba avem t = 0 si t = 2.

I =

Z 20(t2 it) d(t2 + it) =

Z 20(2t3 + t it) dt = 10 8i

3:

Fie : jz z0j = r ; atunci I =Z

dz

z z0 = 2i . Se stie ca z z0 = rei,

2 [0; 2] dz = rieid , deci se obtine : I =Z 20

id = 2i.

Lungimea drumului de integrare : z = z(t), t 2 [a; b] este data de formula:

L() =

Z bajz0(t)j dt:

Fie D C, o curba D , neteda sau neteda pe portiuni si f : D ! Ccontinua pe . Fie M = sup

z2jf(z)j. I^n aceste conditii avemZf(z)dz

6ML():


Teorema 1.3.4 (teorema fundamentala a lui Cauchy). Fie D un dome-niu simplu conex iar f : D ! C , f 2 C1(D).

Atunci

Zf(z)dz = 0 , oricare ar curba simpla, ^nchisa, neteda sau

neteda pe portiuni, situata ^n ^ntregime ^n D.

Denitia 1.3.6. O multime deschisa si conexa a carei frontiera este formatadin mai multe curbe ^nchise se numeste multiplu conexa.

Observatia 1.3.3. I^n cazul ^n care domeniul este multiplu conex se utilizeazageneralizarea teoremei fundamentale a lui Cauchy.

Teorema 1.3.5 (generalizarea teoremei fundamentale a lui Cauchy).Daca :

a) D este un domeniu multiplu conex delimitat de curba 0 ^n exterior sicurbele k 1 6 k 6 n ^n interior, netede sau netede pe portiuni, care suntfrontiere ale unor domenii marginite Dk;

b) f : D ! C este olomorfa pe D, atunci:Z0

f(z)dz =

Z1

f(z)dz +

Z2

f(z)dz + +Zn

f(z)dz: (1.26)

Observatia 1.3.4. Sensul pozitiv de parcurgere al unei curbe ^nchise estesensul ^n care deplasa^ndu-ne de-a lungul curbei, domeniul delimitat de aceastarama^ne ^n partea sta^nga (sensul trigonometric).

Teorema 1.3.6 (consecinta teoremei lui Cauchy). Daca :

a) D este un domeniu simplu conex ;

b) L1; L2 D sunt doua arce de curba simple, netede sau netede pe portiunicare au aceleasi extremitati z0 si z si sunt orientate de la z0 la z ;

c) f : D ! C , f este olomorfa pe D, atunci:ZL1

f(z)dz =

ZL1

f(z)dz:

Teorema 1.3.7 (formula integrala a lui Cauchy). Daca:

a) D este un domeniu simplu conex;

b) f : D ! C este olomorfa pe D , atunci oricare ar curba situata ^n^ntregime ^n D, neteda sau neteda pe portiuni si oricare ar z 2 domeniulmarginit de , are loc formula:

f(z) =1

2i

Z

f(t)

t z dt: (1.27)


Observatia 1.3.5. Formula integrala a lui Cauchy este consecinta directaa teoremei integrale a lui Cauchy, obtina^nd o relatie foarte importanta ^ntrevalorile functiei pe frontiera domeniului si valorile functiei ^n interiorul dome-niului.

Cu alte cuvinte, daca functia este olomorfa pe un domeniu si i se cunoscvalorile pe o curba, formula integrala a lui Cauchy ne permite sa calculamvalorile functiei ^n orice punct din interiorul acelei curbe. Aceasta proprietateeste specica functiilor de variabila complexa.

Aplicatia 1.3.4. Sa se calculeze integrala :

I =

Zjz+ij=2

cos z

z(z 3i)dz:

Se aplica formula integrala a lui Cauchy si se obtine

I = 2i

cos z

z 3ijz=0 = 2

3:

Denitia 1.3.7. Fie f : D ! C o functie continua si D un arc de curbaneted sau neted pe portiuni. Functia

F (z) =

Z

f(t)

t z dt; 8z 2 C n (1.28)

se numeste integrala de tip Cauchy.

Teorema 1.3.8. Functia F (z) (integrala de tip Cauchy) este olomorfa ^n Cn,iar derivata sa se obtine deriva^nd sub semnul de integrare ^n raport cu z:

F 0(z) =Z

f(t)

(t z)2 dt; 8z 2 C n : (1.29)

Teorema 1.3.9. Daca :

a) D este un domeniu simplu conex :

b) f : D ! C este olomorfa pe D;c) este o curba simpla ^nchisa, neteda sau neteda pe portiuni, situata ^n

^ntregime ^n D, ^mpreuna cu domeniul pe care ^l margineste.

Atunci functia f este indenit derivabila (admite derivate de orice ordin)pe D si avem:

f (n)(z) =n!

2i

Z

f(t)

(t z)n+1 dt;8z 2 : (1.30)


Aplicatia 1.3.5. Sa se calculeze integrala:

I =

Zjz1j=3

z

(z 2)3(z + 5) dz:

I =2i

2!

z

z + 5

00jz=2 = 10i

27:

Teorema 1.3.10 (Morera). Daca :a) D este un domeniu simplu conex,b) f : D ! C este continua ^n D,c) oricare ar curba simpla, ^nchisa, neteda sau neteda pe portiuni,

situata ^n ^ntregime ^n D are locR f(z) dz = 0 atunci functia f este olomorfa

^n D.

Teorema 1.3.11 (Liouville). Fie f : C! C o functie olomorfa si marginita^n tot planul complex. Atunci f este constanta.

1.3.5 Reprezentarea functiilor complexe prin serii

Se numeste serie de numere complexe suma

1Xn=1

zn = z1 + z2 + + zn + (1.31)

unde zn 2 C, 8n > 1 .Se spune ca o serie numerica este convergenta si are suma S daca sirul

sumelor partiale converge catre S, ceea ce ^nseamna ca (9) limn!1Sn = S, unde

Sn = z1 + z2 + + zn )1Xn=1

zn = S . Altfel, seria se numeste divergenta.

Seria

1Xn=1

zn, cu zn = xn + iyn este convergenta si are suma S = X + iY daca

si numai daca seriile reale

1Xn=1

xn si

1Xn=1

yn sunt convergente si au suma X,

respectiv Y .Fie (fn)n>1 un sir de functii complexe, fn : D C ! C. Se numeste

serie de functii complexe suma

1Xn=1

fn. O clasa importanta de serii de functii

o constituie seriile de puteri numite si serii ^ntregi.

Denitia 1.3.8. Se numeste serie de puteri o serie de forma:

1Xn=0

cn(z z0)n = c0 + c1(z z0) + c2(z z0)2 + + cn(z z0)n +


unde z0; z; cn 2 C pentru n > 0.

Seria Taylor

Fie f : D ! C o functie olomorfa pe D si z0 2 D un punct arbitrar. Seria1Xn=0

cn(z z0)n = c0+ c1(z z0) + c2(z z0)2+ + cn(z z0)n+ (1.32)

unde

cn =f (n)(z0)

n!

se numeste seria Taylor a functiei f ^n jurul lui z0. Pentru z0 = 0 seria senumeste serie MacLaurin.

Teorema 1.3.12. Fie F : D C ! C o functie olomorfa pe D si z0 2 D.Fie (z0; r) un disc deschis cu centrul ^n z0 si raza r , a carui frontiera onotam cu .

Daca := [ D , atunci seria Taylor a functiei f ^n jurul punctuluiz0 este convergenta pe si oricare ar z din interiorul acestui disc are locegalitatea:

f(z) = f(z0) +z z01!

f 0(z0) + + (z z0)n

n!f (n)(z0) +

I^n mod resc se pune ^ntrebarea daca seria

1Xn=0

f (n)(z0)

n!(z z0)n

este convergenta si spre cine converge.

Teorema 1.3.13 (Abel). Pentru orice serie de puteri

1Xn=0

cn(z z0)n

exista R 2 [0;1] , numit raza de convergenta , astfel ^nca^t seria converge ^ndiscul jzj < R si diverge ^n exteriorul sau. I^n plus:

R =1

lim supn!1 npjcnj :

Denitia 1.3.9. Orice functie olomorfa pe C se numeste functie ^ntreaga.


Observatia 1.3.6. 1. Functiile polinomiale, exponentiale, hiperbolice si cir-culare sunt ^ntregi.

2. Seria Taylor a unei functii ^ntregi ^n jurul oricarui punct din D are razade convergenta R =1.

Aplicatia 1.3.6. Functia f : C ! C, f(z) = ez este olomorfa pe C sideci admite dezvoltare ^n serie Taylor ^n jurul oricarui punct din C. Cumf (n)(z) = ez , (8)n > 0 rezulta ca

ez = ez0 +z z01!

ez0 + + (z z0)n

n!ez0 +

Pentru z0 = 0 se obtine

ez = 1 +z

1!+ + z

n

n!+ (8)z 2 C:

Analog se obtin dezvoltarile ^n serie MacLaurin ale altor functii ^ntregi:

sin z = z z3

3!+z5

5!+ + (1)n z

2n+1

(2n+ 1)!+ ; (8)z 2 C

cos z = 1 z2

2!+z4

4!+ + (1)n z

2n

(2n)!+ ; (8)z 2 C

sh z = z +z3

3!+z5

5!+ + z

2n+1

(2n+ 1)!+ ; (8)z 2 C

ch z = 1 +z2

2!+z4

4!+ + z

2n

(2n)!+ ; (8)z 2 C

Un rol important ^l au seriile geometrice:

1

1 z = 1 + z + z2 + + zn + ; pentru jzj < 1

1

1 + z= 1 z + z2 + (1)nzn + ; pentru jzj < 1:

Aplicatia 1.3.7. Dezvoltati functia f : C n fi; ig ! C, f(z) = 1(1 + z2)2

^n

serie Mac Laurin.

1

1 + z2= 1 z2 + z4 + (1)nz2n +

Se deriveaza :

2z(1 + z2)2

= 2z + 4z3 + (1)n2nz2n1 +


sau1

(1 + z2)2= 1 2z2 + (1)nnz2n2 + : : :

Serii LaurentVom nota (z0; r; R) := fzjr < jz z0j < Rg o coroana circulara. Fie f :(z0; r; R)! C olomorfa pe D.Denitia 1.3.10. Se numeste serie Laurent a functiei f centrata ^n z0 o seriede forma:

1Xn=1

cn(z z0)n =

= + cn(z z0)n + +

c1z z0 +c0+c1(zz0)+ +cn(zz0)

n+ (1.33)

unde cn =1

2i

Z

f(t)

(z z0)n+1 dt: (1.34)

Unei serii Laurent i se asociaza doua serii de functii :

1Xn=1

cn(z z0)n

care se numeste partea principala si

1Xn=0

cn(z z0)n

care se numeste partea tayloriana.

Denitia 1.3.11. Seria Laurent este convergenta ^ntr-un punct z din C dacapartea principala si partea tayloriana sunt convergente ^n punctul z.

Suma unei serii Laurent, convergenta ^ntr-un punct z este egala cu sumapartii principale, la care se adauga suma partii tayloriene. O serie Laurenteste convergenta pe o coroana circulara (z0; r; R) si suma sa este olomorfape aceasta coroana circulara.

Teorema 1.3.14. Fie f : D C! C o functie olomorfa pe D si z0 2 D unpunct arbitrar.

Presupunem ca fz 2 Cjr 6 jz z0j 6 Rg D. Atunci functia admite odezvoltare ^n serie Laurent, convergenta pe acesta coroana si oricare ar z ^ninteriorul ei are loc egalitatea :

f(z) =

1Xn=1

cn(z z0)n


unde

cn =1

2i

Z

f(t)

(t z0)n+1dt

ind un cerc cu centrul ^n z0 si de raza 2 [r;R].

Aplicatia 1.3.8. Dezvoltati functia f(z) =ez

(z 2)3 ^n serie Laurent ^n jurullui z0 = 2.

Notam u = z 2, ceea ce ^nseamna ca vom dezvolta ^n serie functia:f(u) =

eu+2

u3^n jurul punctului u0 = 0.

f(u) = e2eu

u3= e2

1

u3

1 +

u

1!+ + u

n

n!+

=

= e2

1

(z 2)3 +1

(z 2)21

2(z 2) + +(z 2)n3

n!+

:

Aplicatia 1.3.9. Sa se dezvolte ^n serie de puteri ale lui z functia f : C nf2; 3g ! C , f(z) = 1

(z 2)(z 3) ^n coroana circulara 2 < jzj < 3.

f(z) =1

z 3 1

z 2 = 1

3(1 z3) 1z(1 2z )

=

= 13

1 +

z

3+z2

32+ + z

n

3n+

1z

1 +

2

z+

22

z2+ ++2

n

zn+

=

1Xn=0

zn

3n+1

1Xn=1

2n1zn:

1.3.6 Singularitatile unei functii complexe

Denitia 1.3.12. Punctul z0 2 C este un punct singular al functiei f daca^n orice vecinatate (z0; r) = fz 2 C; jz z0j < rg a lui z0 se gasesc ata^tpuncte ^n care f este monogena ca^t si puncte ^n care f nu este monogena saunu este denita.

Denitia 1.3.13. Punctul z0 2 C se numeste punct singular izolat al luif daca exista un numar real r > 0 astfel ^nca^t f este olomorfa ^n coroanacirculara fz 2 C; 0 < jz z0j < rg dar nu este denita sau nu este monogena^n z0.

Denitia 1.3.14. Punctul1 este punct singular izolat pentru functia f , carenu este denita ^n 1, daca f este olomorfa pe exteriorul unui disc de razaorica^t de mare centrat ^n origine.


I^n ceea ce priveste natura punctelor singulare izolate ale functiei f , existatrei posibilitati:

1) Punctul singular izolat z0 2 C se numeste punct singular aparent(^nlaturabil, eliminabil) al lui f daca (9) lim

z!z0f(z) = l 2 C.

Aplicatia 1.3.10. Pentru functia f(z) =sin z

zpunctul z0 = 0 este punct

singular aparent, pentru ca ^n acest punct functia nu este denita, pe C n f0gfunctia este olomorfa, iar lim

z!0f(z) = 1.

2) Punctul singular izolat z0 2 C se numeste punct singular esential alfunctiei f daca nu exista lim

z!z0f(z) .

Aplicatia 1.3.11. Pentru functia f(z) = e1=z2punctul z0 = 0 este punct

singular esential pentru ca functia nu este denita ^n punctul z0 = 0, indolomorfa pe C n f0g si cum pentru z = x 2 R

limx!0

f(x) =1

iar pentru z = iy cu y 2 R avem

limy!0

f(iy) = 0

rezulta ca limz!0

f(z) nu exista .

3) Punctul singular izolat z0 2 C se numeste pol de ordinul n > 1 alfunctiei f daca (9) lim

z!z0(z z0)nf(z) si este din C n f0g .

Aplicatia 1.3.12. Pentru functia f(z) =1

z(1 z) punctele z = 0 si z = 1sunt poli de ordinul 1 (poli simpli) pentru ca functia nu este denita ^n

aceste puncte, ind olomorfa pe C n f0; 1g si limz!0

zf(z) = limz!0

1

1 z = 1 ,

limz!1

(z 1)f(z) = limz!1

1z

= 1 .

Denitia 1.3.15. O functie f se numeste meromorfa ^ntr-un domeniu, daca^n acel domeniu nu are alte singularitati deca^t poli.

Teorema 1.3.15. Daca punctul z0 2 C este un punct singular izolat aparentpentru functia f atunci exista o vecinatate (z0; r) a lui z0 ^n care poseda odezvoltare ^n serie Laurent de tipul

f(z) =1Xn=0

cn(z z0)n

ceea ce ^nseamna ca partea principala a seriei Laurent este zero.


Teorema 1.3.16. Punctul z0 2 C este pol de ordin m pentru functia f dacasi numai daca exista o vecinatate (z0; r) a lui z0 ^n care

f(z) =1X

n=mcn(z z0)n

cu cm 6= 0, ceea ce ^nseamna ca partea principala a dezvoltarii are numai unnumar nit de termeni nenuli.

Teorema 1.3.17. Punctul z0 2 C este un punct singular esential pentrufunctia f daca si numai daca exista o vecinatate (z0; r) a lui z0 ^n care

f(z) =

1Xn=1

cn(z z0)n

cu fm 2 N; cm 6= 0g multime innita.

Punctul innit

I^n cazul ^n care functia complexa este denita ^n planul complex pentrujzj > R, punctul 1 constituie un punct singular izolat al functiei date.

I^n ceea ce priveste natura punctului 1 ca punct singular izolat pentruo functie f , studiul sau se reduce la studiul punctului z = 0 pentru functia

f

1

z

.

Dezvoltarea ^n serie Laurent a functiei f ^n vecinatatea punctului 1, seobtine din dezvoltarea ^n serie a functiei '(z) = f

1

z

^n vecinatatea punc-

tului 0, ^nlocuind pe z cu1

z. Se obtine:

f(z) =

1Xn=1

cnzn +1Xn=0

cnzn; jzj > R:

Aplicatia 1.3.13. Functia f : Cnf0g ! C , f(z) = zz3 + z

are o singularitate

aparenta ^n z = 0, deoarece limz!0

f(z) =1

2si polii z1 = i, z2 = i . Functia

'(z) = f

1

z

=

z2

1 + z2

este olomorfa ^n jurul punctului z = 0, deci 1 este singularitate aparentapentru functia f .


1.3.7 Teoria reziduurilor si aplicatii

Fie f : D ! C iar z0 un punct singular izolat al functiei f , iar :

f(z) =

1Xn=1

cn(z z0)n

dezvoltarea ^n serie Laurent.

Denitia 1.3.16. Se numeste reziduul functiei f ^n punctul z0 si se noteazaRez (f; z0) numarul denit de relatia :

Rez (f; z0) =1

2i

Zf(z) dz (1.35)

unde este un cerc cu centrul ^n z0 situat ^n coroana circulara de raza ,0 < < r , parcurs ^n sens pozitiv.

Teorema 1.3.18. Fie f : D ! C o functie olomorfa pe D, cu exceptiapunctului singular izolat z0, atunci calculul reziduului functiei f ^n punctul z0se poate face astfel :

1) Rez (f; z0) = c1 unde c1 este coecientul lui1

z z0 din dezvoltarea^n serie Laurent a functiei f pe 0 < jz z0j < r.

2)

Rez (f; z0) =1

(m 1)! limz!z0 [(z z0)mf(z)](m1)

daca z0 este un pol al functiei f si m este ordinul sau de multiplicitate.

3)

Rez (f; z0) =g(z0)

h0(z0)

daca z0 este un pol simplu al functiei f si f se poate scrie ca un ca^t de doua

functii olomorfe f =g

h, h(z0) 6= 0 .

I^n situatia punctului 1, f este olomorfa pe exteriorul unui disc de razaorica^t de mare. Notam cu R frontiera discului de raza R, cu centrul ^n origine,(0; R) . Orientarea acestei frontiere se face de asa maniera ^nca^t parcurga^nd-o, exteriorul discului rama^ne ^n sta^nga, adica invers deca^t orientarea normala,motiv pentru care se noteaza cu R.

Denitia 1.3.17. Se numeste reziduul functiei f ^n punctul 1 si se noteazacu Rez(f;1) coecientul lui z1 din dezvoltarea ^n serie Laurent a functiei f^n vecinatatea punctului de la innit, luat cu semn schimbat (c1).


O exprimare echivalenta :

Rez(f;1) = 12i

ZR

f(z) dz sau Rez(f;1) = 12i

ZR

f(z) dz:

Transformarea =1

zduce exteriorul discului de raza R ^n interiorul discului

de raza 1R , ambele centrate ^n 0. De asemenea, =1

zduce punctul z = 0 ^n

punctul 1 si punctul 1 ^n z = 0 .Teorema 1.3.19. Calculul reziduului ^n punctul 1 al lui f se reduce la cal-culul reziduului ^n punctul = 0 al functiei g() = 1

2f

1

.

Observatia 1.3.7. T ina^nd seama de faptul ca Rez(f;1) = 12i

ZR

f(z) dz,

rezulta Rez(f;1) = c1 , unde c1 este coecientul lui 1 din dezvoltarea luig ^n vecinatatea lui = 0.

Teorema 1.3.20 (teorema reziduurilor). Fie f : D ! C si o curbasimpla ^nchisa, neteda sau neteda pe portiuni, inclusa ^n ^ntregime ^n D. Dacaf este olomorfa pe D, cu exceptia unui numar nit de puncte singulare izolatea1; a2; ; an situate ^n domeniul D , ind delimitat de frontiera care nu trece prin niciunul din aceste puncte, atunciZ

f(z) dz = 2i

nXk=1

Rez (f; ak): (1.36)

Observatia 1.3.8. 1. Teorema reziduurilor poate considerata ca o consecintaa teoremei lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe.

2. Teorema reziduurilor prezinta mare importanta deoarece reduce calcululunor integrale la calculul unor reziduuri, care de cele mai multe ori nu prezintadicultati.

3. I^n cazul ca^nd numarul punctelor singulare izolate ale functiei este foartemare, aplicarea teoremei reziduurilor poate conduce la calcule laborioase. I^naceasta situatie se poate calcula reziduul functiei ^n punctul 1 .Corolarul 1.3.2. Daca f are ^n tot planul complex numai un numar nit depuncte singulare izolate, atunci suma tuturor reziduurilor acestei functii estenula

Rez (f;1) +nX

k=1

Rez (f; ak) = 0 (1.37)

1.4. DISTRIBUTII 39

1.4 Distributii

I^ncercarea de a deni concepte ideale cum ar : impulsul unitar, densitateaunei sarcini etc. conduce la o notiune care generalizeaza conceptul de functie.Sa consideram un exemplu si anume impulsul ideal unitar.

0,4

0,2

0

0,1

x

3210-1-3 -2

0,5

0,3

2

1

1,5

0

x

10-3 2-2

0,5

3-1

" = 1 " = 1; 0:5; 0:2

Figura 1.3: Impulsul unitar

Impulsul unitar la momentul t = 0 este denit prin

h"(t) =

( 12"

t 2 [";+"]0 t =2 ["; "]:

Observam ca Z +11

h"(t) dt = 1:

Ne punem problema sa denim impulsul concentrat ^n t = 0, lua^nd " ca^tmai mic, adica trecem la limita pentru "! 0 si obtinem

lim"!0

h"(t) =

0; t 6= 0+1; t = 0:

Valoarea limitei precedente a fost notata cu (t) si considerata pentru primadata de catre Dirac, in "Principiile mecanicii cuantice", ^n 1930. Acest calculreecta faptul ca nu putem masura impulsul ^ntr-un punct, ci doar "impulsurilemedii" ^n vecinatatea punctului considerat. Bazele matematice au fost puseulterior de catre Sobolev si Schwarz.


Spatiul functiilor test

Fie ' : R! C o functie; denim suportul prin ^nchiderea multimii pentrucare ' nu se anuleaza, adica

supp ' = ft 2 Rj'(t) 6= 0g:

Se poate demonstra ca suportul este complementara celei mai mari multimideschise pe care ' se anuleaza.

Aplicatia 1.4.1. Sa determinam suportul pentru urmatoarele functii:

1. h"

2. u(t) =

1; t > 00; t < 0:

Observam ca cea mai mare multime ^nchisa ^n afara careia h" se an-uleaza este [";+"]. Analog, suportul functiei unitate, sau a lui Heavisideeste [0;+1).

Daca functia ' admite derivate de orice ordin, vom spune ca este indenitderivabila si vom nota ' 2 C1(R). Introducem urmatoarea clasa de functii

D = f' 2 C1(R) j supp ' marginitg :

Prin denitie suportul este o multime ^nchisa, deci marginirea suportului esteechivalenta cu faptul ca suportul este o multime compacta si clasa D se mainumeste clasa functiilor indenit derivabile cu suport compact.

Elementele din D se numesc functii test. Se constata usor ca D este spatiuvectorial peste corpul numerelor complexe C; ^ntr-adevar daca ';'1; '2 2 Dsi 2 C, atunci ' 2 C1(R), '1 + '2 2 C1(R) iar supp ' = supp ', iarsupp ( '1 + '2) supp '1 [ supp '2:

Functiile h", considerate anterior, au suport marginit, dar nu sunt nicimacar continue pe R. Functia et; t 2 R satisface conditia de a din C1(R),dar are suportul toata multimea reala R. Sa dam un exemplu remarcabil defunctie test.

Exemplul 1.4.1. Functia denita prin

!"(t) =

(c"e

"2

t2"2 ; jtj < "0; jtj > "

unde c" 2 R este astfel ales ^nca^tZ +11

!"(t) dt = 1

este functie test si este cunoscuta sub numele de scuta.

1.4. DISTRIBUTII 41

0,35

0,25

0,05

0,3

0,2

0,1

0,15

0

x

210-2 -1

1,6

0,8

1,2

0,4

x

2-2 -1 00

1

" = 1 " = 1; 0:5; 0:2

Figura 1.4:

Vom arata ca !1 este o functie din C1(R). I^n acest caz functia devine

!1(t) =

(c1e

1t21 ; jtj < 1

0; jtj > 1:Se poate vedea usor faptul ca lim

t!1!1 = 0. Deci functia este continua. Pen-

tru a stabili derivabilitatea ^n 1, este sucient, din corolarul lui Lagrange,

sa calculam limt%1

!01(t). La sta^nga lui 1 derivata este !01(t) =

2t(t2 1)2 e

1t21 .

Este sucient sa calculam limt%1

1

(t 1)2 e1

t1 . Facem schimbarea y = 1t1 si con-

statam ca atunci ca^nd t % 1, y & 1 si limita revine deci la limy&1

y2ey.

Aplica^nd de doua ori regula lui l'Hospital deducem ca aceasta limita este 0,deci !01(0) = 0. Analog ^n t = 1. Deci !1 este derivabila. Analog se arataca derivata este continua; apoi un rationament prin inductie arata ca !1 esteo functie din C1(R).

Urmatoarea lema indica un procedeu general de a construi functii test cusuportul pe un deschis oarecare.

Lema 1.4.1. Pentru orice interval (a; b) R si " > 0 exista 2 C1(R), cuurmatoarele proprietati:

1. 0 6 6 12. (t) = 1 pentru t 2 (a "; b+ ")3. (t) = 0, pentru t =2 (a 3"; b+ 3").


Convergenta ^n D

Pe multimea D introducem denim convergenta sirurilor.

Denitia 1.4.1. Fie 'n; ' 2 D; n 2 N, sirul 'n converge ^n D la ' si notamD

'n ! 'daca exista A > 0, astfel ca supp 'n; supp ' [A;A]) si

uniform

'(k)n ! '(k)

8k 2 N; n ! +1 ( convergenta este uniforma). Vom mai nota 'n ! ' ^nD.

Indicam ca^teva operatii cu functii test, care au ca rezultat tot functii test.Daca f este o functie oarecare de clasa C1(R) si ' o functie test, atunci prin^nmultrea lor, se obtine tot o functie test. Daca ', functie test este compusacu at + b, rezultatul este tot o functie test. De asemenea, daca derivam ofunctie test, rezultatul este tot o functie test.

Se poate demonstra ca operatiile anterioare sunt continue; sa aratam ^n

cazul derivarii. Daca 'n ! ' ^n D, sa aratam ca '(m)n ! '(m) ^n D. Estesucient sa observam ca suporturile derivatelor de ordinul m rama^n ^n acelasimultime si ca

('(m)n )(k) = '(m+k)n ! '(m+k); uniform n!1:

Notiunea de distributie

Denitia 1.4.2. Functionala T : D! C se numeste distributie daca1. T este liniara, adica T (1'1 + 2'2) = 1T ('1) + 2T ('2);

81; 2 2 C,2. T este continua (prin siruri), adica 8'n 2 D; 'n ! ' ^n D rezulta

T ('n)! T ('):Convergenta precedenta are loc ^n spatiul numerelor complexe C, cu topolo-

gia uzuala. Notam cu D0, multimea tuturor distributiilor, care se mai numestedualul lui D. Vom folosi diferite notatii

T (') = (T; ') = (T (t); '(t))

ultima pentru a indica explicit variabila independenta a functiei test; nu sepoate deni valoarea unei distributii ^ntr-un punct, totusi vom folosi notatiapentru a pune ^n evidenta asupra carei variabile se aplica distributia.

1.4. DISTRIBUTII 43

Denitia 1.4.3. Sirul Tn 2 D0 converge slab la T 2 D0 daca pentru orice' 2 D, are loc:

(Tn; ')! (T; '):Se poate demonstra ca D0 este complet relativ la convergenta slaba.

Teorema 1.4.1. Daca Tn este un sir din D0 cu proprietatea ca pentru orice

' 2 D sirul numeric (Tn; ') este convergent, atunci functionala T denitaprin:

(T; ') = limn!+1(Tn; ')

este din D0:

Denitia 1.4.4. Daca Tn 2 D0; n 2 N atunci spunem ca seria+1Xn=1

Tn este

slab convergenta la T ^n D0, daca sirul sumelor partiale Sn = T1 + + Tneste slab convergent la T si notam

+1Xn=1

Tn = T:

Exemple de distributii

Distributii de tip functie (regulate) Pentru o functie local integrabilaf , denim distributia generata prin formula:

Tf : D! C; (Tf ; ') =Z +11

f(t)'(t) dt; 8' 2 D: (1.38)

Observam ca integrala este bine denita, deoarece f ind local integrabila,integrala din membrul al doilea este pe un interval compact, dat de suportulfunctiei test. Sa aratam ca formula (1.38) deneste o distributie. Mai ^nta^iliniaritatea.

(Tf ; 1'1 + 2'2) =

Z +11

f(t)(1'1(t) + 2'2(t)) dt =

= 1

Z +11

f(t)'1(t) dt+ 2

Z +11

f(t)'2(t) dt = 1(Tf ; '1) + 2(Tf ; '2):

Apoi, daca 'n ! ', ^n D, atunci prin trecere la limita sub semnul integralei,(situatie posibila datorita convergentei uniforme), rezulta:

(Tf ; 'n) =

Z +11

f(t)'n(t) dx!Z +11

f(t)'(t) dt = (Tf ; '):


Daca de exemplu f = u, functia unitate, obtinem distributia Heaviside:

(Tu; ') =

Z +10

'(t) dt;8' 2 D: (1.39)

Urmatoarea lema arata ca ^ntre distributiile regulate si clasele de functiilocal integrabile se poate stabili o corespondenta biunivoca.

Lema 1.4.2 (du Bois-Raymond). Fie f o functie local integrabila pe R.Atunci Tf = 0 daca si numai daca f = 0 aproape peste tot.

Pe baza acestei leme putem considera ca functiile local integrabile suntcazuri particulare de distributii, ceea ce justica denumirea de functii gener-alizate.

Observatia 1.4.1. Daca aplicam aceasta lema, observam ca modica^nd val-orile unei functii ^ntr-o multime cel mult numarabila, se obtine aceeasi distri-butie generata.

De exemplu sa alegem functiile

u(t) =

1 t > 00 t < 0

si u1(t) =

8>:1 t > 01

2t = 0

0 t < 0

atunci ele genereaza aceeesi distributie si anume Heaviside, adica Tu = Tu1 .

Distributii singulare.

O distributie este singulara daca nu exista nici o functie local integrabilacare sa o genereze ^n sensul formulei (1.38). Denim distributiile Dirac prin:

: D! C (; ') = '(0); 8' 2 D (1.40)a : D! C (a; ') = '(a); a 2 R; 8' 2 D: (1.41)

Se poate arata ca formulele precedente denesc distributii si faptul cadistributia Dirac este singulara. Sa dam ca^teva aplicatii legate de distributiaDirac.

Aplicatia 1.4.2. Sirul distributiilor generate de h 1nconverge slab la distributia

Dirac . Sa aratam ca

limn!+1

ZRh 1n'(t) dt = '(0)

1.4. DISTRIBUTII 45

pentru orice ' 2 D. Din continuitatea functiei test, pentru orice > 0, exista"0 astfel ca daca jtj < "0, rezulta j'(t) '(o)j < . Avem atunci

jZRh 1n(t)'(t) dt '(0)j = j

ZRh 1n(t)('(t) '(0)) dtj 6

6ZRh 1n(t)j'(t) '(0)j dt <

ZRh 1n(t) dt = ;

de unde rezulta armatia.

Aplicatia 1.4.3. Seria+1Xn=1

n este convergenta slab.

E sucient sa remarcam ca pentru orice ' 2 D, suma+1Xn=1

(n; ') este o

suma nita.

O distributie poate generata de functii care nu sunt local integrabile,astfel se obtin distributii valori principale.

Exemplul 1.4.2. Functionala notata V p1

tsi denita prin:

(V p1

t; ') = vp

Z +11

'(t)

tdt = lim

"&0

Z "1

'(t)

tdt+

Z +1"

'(t)

tdt

(1.42)

este o distributie.

Functia1

tnu este integrabila pe nici un interval care contine originea. Sa

demonstram ca formula (1.42) deneste o distributie. Pentru aceasta aratammai ^nta^i ca exista limita din membrul al doilea. Deoarece ' este nula ^n afaraunui interval [A;A] si

lim"&0

Z "A

'(t)

tdt+

Z A"

'(t)

tdt

= 0

limita din denitie (1.42) exista simultan cu urmatoarea

lim"&0

Z "1

'(t) '(0)t

dt+

Z +1"

'(t) '(0)t

dt

:

Ultima integrala exista deoarece

j'(t) '(0)t

j 6 supt2[A;A]

j'0(t)j < +1:


Evident corespondenta ' ! (V p1t ; ') este liniara. Sa mai aratam ca estesi continua prin siruri. Fie 'n ! 0 ^n D; atunci exista r > 0, astfel casupp'n [r; r]; 8n > 1. Ca mai ^nainte

(V p1

t; 'n) = vp

Z rr

'n(t) 'n(0)t

dt:

Dar

j'n(t) 'n(0)t

j 6 supt2[r;r]

j'0n(t)j ! 0 pentru n! +1:

Deci j(V p1t ; 'n)j ! 0, daca n! 0.Alte consecinte ale convergentei slabe sunt date de formulele din exemplul

urmator.

Aplicatia 1.4.4. Au loc urmatoarele egalitati:

lim"!0

Z +11

'(t)

t+ i"dt = i'(0) + V p

Z +11

'(t)

tdt

lim"!0

Z +11

'(t)

t i" dt = i'(0) + V pZ +11

'(t)

tdt:

(1.43)

numite formulele lui Sohotski.Demonstram prima egalitate. Daca ' = 0 pentru jxj > A, atunci

lim"!0

Z +11

'(t)

t+ i"dt = lim

"!0

Z AA

t i"t2 + "2

'(t) dt =

= '(0) lim"!0

Z AA

t i"t2 + "2

dt+ lim"!0

Z AA

(t i")('(t) '(0))t2 + "2

dt =

= 2i'(0) lim"!0

arctgA

"+

Z AA

'(t) '(0)t

dt =

= i'(0) + V pZ +11

'(t)

tdt:

Relatia de mai sus exprima convergenta ^n D0 a sirului1

t+ i", daca " ! 0;

notam valoarea limitei cu1

t+ i0. Analog se obtine si cea de a doua relatie.

Suportul unei distributii

Desi dupa cum am precizat, nu se poate vorbi despre valoarea unei distributii^ntr-un punct, se poate deni faptul ca o distributie se anuleaza pe o multimedeschisa.

1.4. DISTRIBUTII 47

Denitia 1.4.5. Fie T 2 D0; spunem ca T se anuleaza pe multimea deschisaD R, daca 8' 2 D, cu supp ' D, are loc (T; ') = 0.

Denitia 1.4.6. Fie T 2 D0; numim suportul distributiei T complementaracelei mai mari multimi deschise pe care T se anuleaza. Notam suportul cusupp T .

Aplicatia 1.4.5. Sa determinam suportul distributiilor Dirac si Heaviside.

1 supp a = a, deoarece a se anuleaza pe R n fag.2. supp Tu = [0;+1), unde reamintim ca Tu este distributia Heaviside.

Distributii cu suport compact

Daca notam cu

E = ff : R! C; f 2 C1(R)gdenim urmatoarea convergenta a sirurilor: 'n ! ' ^n E, daca '(k)n ! '(k),uniform pe orice compact K R.

Notam cu E0 multimea tuturor functionalelor T : E ! C; liniare si con-tinue, relativ la convergenta de mai sus. Se poate demonstra ca multimeadistributiilor cu suport compact coincide cu E0.

Operatii cu distributii

Denitia 1.4.7. Daca T1; T2 2 D0, denim suma T1+T2, ca distributia datade:

(T1 + T2; ') = (T1; ') + (T2; '); 8' 2 D: (1.44)Daca 2 C; T 2 D0, denim ^nmultirea cu scalar prin:

(T; ') = (T; '): (1.45)

Daca f 2 C1(R) si T 2 D0 denim ^nmultirea cu functii indenit derivabileprin:

(f T; ') = (T; f '): (1.46)

Se poate demonstra ca prin formulele precedente sunt denite de ecaredata distributii, dar lasam demonstratia pe seama cititorului.

Denitia 1.4.8. Daca T 2 D0, iar u = at+ b; a 6= 0, formula:

(T (at+ b); '(t)) =1

jaj(T (u); 'u ba

) (1.47)

se numste distributia obtinuta prin schimbarea variabilei.


Se poate arata ca T (at + b) este o distributie. Daca f 2 L1loc(R), atunciformula (1.47) reprezinta schimbarea de variabila ^ntr-o integrala.

Aplicatia 1.4.6. Sa demonstram ca distributia Dirac are proprietatile:

((at+ b); '(t)) =1

jaj'(b

a) (1.48)

((at); '(t)) =1

jaj'(0) =1

jaj(; ') (1.49)

(t) = (t) (1.50)(t a) = a: (1.51)

Daca aplicam formula (1.47) pentru obtinem (1.48). Pentru b = 0; a 6=0 avem (1.49). Din egalitatea precedenta deducem "paritatea" distributieiDirac, adica (1.50). Daca a = 1; b = a, atunci

((t a); '(t)) = ((u); '(u+ a)) = '(a) = (a; ');

de unde se obtine (1.51).

1.4.1 Derivarea distributiilor

Denitia 1.4.9. Daca T 2 D0, atunci denim derivata sa de ordin n 2 Neste denita prin:

(T (n); ') = (1)n(T; '(n)) 8' 2 D: (1.52)

Fie f 2 L1loc(R) si presupunem ca derivata exista si este tot din L1loc(R).Are locZ +1

1f 0(t)'(t) dt = f(t)'(t)j+11

Z +11

f(t)'0(t) dt; 8' 2 D:

Deoarece ' se anuleaza ^n afara unui compact, din formula precedenta rezulta

(Tf 0 ; ') = (Tf ; '0):

Deci ^n acest caz derivata distributiei generate de f coincide cu distributiagenerata de derivata lui f .

Aplicatia 1.4.7. Sa calculam derivatele distributiei Dirac si derivata distri-butiei Heaviside.

Pentru Dirac, folosind denitia avem:

((n); ') = (1)n'(n)(0)

1.4. DISTRIBUTII 49

Derivata distributiei Heaviside este T 0u = : I^ntr-adevar

(T 0u; ') = Z +10

'0(t) dt = '(0) = (; '):

Vom da ^n continuare cateva formule de derivare de mare utilitate practica.

Teorema 1.4.2. Daca f admite derivata de ordin n din L1loc(R) si derivatelef 0; f 00; ; f (n) au ^n t = 0 punct de discontinuitate de prima speta atunci:

T(n)f = Tf (n) + n1 + + 0(n1) (1.53)

unde k = f(k)(0 + 0) f (k)(0 0) este saltul derivatei de ordin k ^n t = 0.

Demonstratie. Sa demonstram armatia pentru n = 1, adica

T 0f = Tf 0 + 0:

Avem

(T 0f ; ') = (Tf ; '0) = Z +10

f(t)'0(t) dt =

= f(t)'(t)j01 f(t)'(t)j+10 +Z +11

f 0(t)'(t)dt = (Tf 0 ; ') + 0(; '):

Demonstratia completa presupune rationament prin inductie, dar trecerea dela n la n + 1 se face asemanator cu situatia de mai sus si o lasam ^n seamacititorului.

Aplicatia 1.4.8. Sa calculam derivatele functiei f(t) = u(t) cos t.Calculam primele derivate, observa^nd pentru ^nceput ca ^n t = 0, functia

nu este derivabila. Avem

f 0(t) = u(t) sin t 1 = 0f 00(t) = u(t) cos t 2 = 1f 000(t) = u(t) sin t 3 = 0:

Urmeaza

T(n)f = Tu(t) cos(n) t +

[n+12

]Xk=1

2(k1)n(2k1)

unde 2(k1) = (1)k1.Generalizare. I^n ipotezele precedente, daca punctul de discontinuitate

este t = a, atunci saltul functiilor se ia ^n t = a, iar distributiile se ^nlocuiesccu a.

T(n)f = Tf (n) + n1a + + 0(n1)a (1.54)

unde k = f(k)(a+ 0) f (k)(a 0):


Teorema 1.4.3. Daca f 2 C1(R) si T 2 D0, atunci are loc:

(f T )(n) = f (n)T + C1nf(n1)T 0 + + f T (n): (1.55)

Demonstratie. Formula poate demonstrata prin inductie; noi vom aratadoar cazul n = 1.

((f T )0; ') = (f T; '0) = (T; f'0) = (T; (f')0 f 0') =

= (T 0; f') + (T; f 0') = (f T 0; ') + (f 0 T; '):

I^n egalitatile precedente s-au folosit formulele de derivare a distributiilor siprodusul unei distributii cu o functie de clasa C1(R).

Teorema 1.4.4. Daca f , functie local integrabila are pe orice interval margi-nit un numar nit de puncte tk de discontinuitate de prima speta, iar f estederivabila pe R n ftkg, atunci are loc

T 0f = Tf 0 ++1Xk=1

(f(tk + 0) f(tk 0))tk : (1.56)

Demonstratia este imediata, daca folosim prima teorema de derivare.

Aplicatia 1.4.9. Sa determinam derivata distributiei generate de prelungireaprin periodicitate a functiei f : [1; 1)! R; f(t) = t pe R.

Prelungim prin periodicitate functia f : [1; 1)! R; f(t) = t pe R; atunciea genereaza o distributie a carei derivata dupa formula precedenta este

T 0f = Tf 0 +Xk2Z

(f((2k 1) + 0) f((2k 1) 0)))2k1

si cum f 0 = 0 pe R n f2k 1g, avem

T 0f = 2Xk2Z

2k1:

Aplicatia 1.4.10. [formula lui Poisson de ^nsumare] Pentru orice ' 2 Dare loc:

+1Xn=1

'(n) =

+1Xn=1

Z 11

'(!)ein2! d!: (1.57)

Fie h : [0; 2)! R functia denita prin:

h(t) =t

2 t

2

4:

1.4. DISTRIBUTII 51

Ea admite dezvoltare ^n serie Fourier sub forma complexa

h(t) =+1X

n=1cne

int; cn =1

2

Z 20

h(t)eint dt:

Daca efectuam calculele, obtinem

h(t) =

6 1

2

+1Xn=1;n6=0

1

n2eint:

Seria din membrul al doilea poate derivata ^n sensul teoriei distributiilor,

deoarece, din

eintn2 = 1n2 , rezulta uniform convergenta. Vom deriva aceasta

serie de doua ori; folosind formula (1.56) si faptul ca prelungirea prin periodic-

itate a lui h este continua, iar prelungirea prin periodicitate a lui h0 =1

2 t2

;

t 2 (0; 2) este discontinua pe R n f2ng are loc

T 00h = 1

2T1 +

+1Xn=1

2n(1

2+

1

2):

Egala^nd aceasta serie cu derivata de doua ori a seriei anterioare, avem

12

T1 +

+1Xn=1

2n =1

2

+1Xn=1;n6=0

Teint :

Alegem t =2!

!0si folosim asemanarea (1.50) si (1.51) distributiei Dirac, avem

+1Xn=1

(! n!0) = 1!0

+1Xn=1

Tei n 2!!0

:

Daca particularizam !0 = 1, pentru orice ' 2 D are loc formula cautata.

1.4.2 Convolutia distributiilor

Daca f; g 2 L1loc(R) admit produs de convolutie din L1loc(R), atunci acestagenereaza o distributie si anume

(Tf ? Tg; ') =

Z +11

(f ? g)(t)'(t) dt =

Z +11

Z +11

f(s)g(t s) ds'(t) dt =


=

Z +11

f(s) ds

Z +11

g(t s)'(t) dt =Z +11

f(s) ds

Z +11

g(u)'(s+ u) du:

Daca '(s+ t) ar apartine lui D (ceea ce ^n general nu se ^nta^mpla), tina^ndcont de denitia distributiei de tip functie, ultimul membru poate scrisformal (Tf (s); (Tg(u); '(s+u)), dar ^n general acest lucru nu este corect denit.Constructia ce urmeaza repara acest neajuns, introduca^nd o alta operatie cudistributii si anume produsul direct. Cu ajutorul acesteia denim ulteriorprodusul de convolutie al distributiilor.

Produsul direct al distributiilorVom considera clasa functiilor test pe R2, adica

D(R2) = f' : R2 ! C; ' 2 C1(R2); supp ' compactg:

Fie doua distributii (de o variabila), denite pe D(R); pentru orice ' 2 D(R2)denim functionala

(S(s) T (t); '(s; t)) = (S(s); (T (t); '(s; t))): (1.58)

Aratam ca aceasta relatie deneste o distributie, care se va numi produsuldirect al distributiilor S, T . Mentionam o lema, care constituie un instrumenttehnic util.

Lema 1.4.3. Fie T 2 D0 si ' 2 D(R2) atunci functia

(s) = (T (t); '(s; t))

este din D(R) si

(n)(s) = (T (t);@n

@sn'(s; t)): (1.59)

Revenind la denitia produsului direct, constatam ca functionala denitade (1.58) este liniara, datorita faptului ca S; T sunt liniare. Sa demonstramca functionala este si continua. Fie 'k ! '; k ! +1 ^n D(R2). Din lemaprecedenta, rezulta

(T (t); 'k(s; t))! (T (t); '(s; t)); k ! +1

^n D(R), iar din continuitatea lui S pe D(R).

(S(s); (T (t); 'k(s; t)))! (S(s); (T (t); 'k(s; t))):

Astfel relatia (1.58) deneste o distributie.

1.4. DISTRIBUTII 53

Teorema 1.4.5 (comutativitatea produsului direct). Fie S; T 2 D0(R)are loc

S(s) T (t) = T (t) S(s):

Teorema 1.4.6 (derivarea produsului direct). Daca S; T sunt doua distri-butii, atunci are loc

d

ds(S(s) T (t)) = S0(s) T (t): (1.60)

Produsul de convolutie al distributiilorDaca ' 2 D, functia '(s + t) nu este o functie test, neava^nd suportul

compact. Pentru a corecta acest fapt, o vom ^nmulti cu functii care au suportcompact, iar produsul de convolutie poate acum denit.

Denitia 1.4.10. Sirul k 2 D(R2) tinde la 1 ^n R2, dacaa. pentru orice compact K R2 exista n0, astfel ca k(s; t) = 1 pentru

(s; t) 2 K si k > n0b. functiile k si toate derivatele lor partiale sunt uniform marginite pe

R2, adica pentru orice = (1; 2) exista c astfel ca

jDk(s; t)j [email protected]+2jk(s; t)@[email protected]

6 c; k = 1; 2; : : :Denitia 1.4.11. Fie S; T 2 D0 astfel ca pentru orice k 2 D(R2) care tindela 1 ^n R2, exista limita sirului numeric

limk!+1

(S(s) T (t); k(s; t)'(s+ t)); 8' 2 D(R): (1.61)

Valoarea acestei limite o numim produs de convolutie si o notam (S ? T; ').

Relatia precedenta deneste o functionala; sa demonstram ca este o distri-butie. Fie 'n ! '; n!1 ^n D, atunci:

k(s; t)'n(s+ t)! k(s; t)'(s+ t):

Deoarece produsul direct S T este o functionala continua, obtinem:

(S(s) T (t); k(s; t)'n(s+ t))! (S(s) T (t); k(s; t)'(s+ t))

deci functionala denita de (1.61) este continua. Vom analiza ^n continuareca^teva situatii ^n care exista produsul de convolutie.


Teorema 1.4.7. Fie T 2 D0, atunci exista T ? si ? T si are loc:

T ? = ? T = T:

Demonstratie. Fie ' 2 D(R) si k un sir de functii din D(R2) care tindela 1 ^n R2. Atunci k(s; 0)'(s)! '(s); k !1 ^n D(R) si

limk!1

(T (s) (t); k(s; t)'(s+ t)) = limk!

(T (s); k(s; 0)'(s)) = (T (s); '(s))

deci exista T ? = T . Din comutativitatea produsului direct rezulta si ?T =T .

Mai general se poate demonstra urmatoarea teorema.

Teorema 1.4.8. Daca T; S 2 D0 si T are suport compact, atunci convolutiaT ? S exista si este

(S ? T; ') = (S(s) T (t); (t)'(s+ t)); 8' 2 D

unde 2 D si este 1 ^ntr-o vecinatate a lui supp T .Demonstratie. Presupunem supp S ftj jtj < Ag si 2 D(R); = 1pe o vecinatate a suportului lui S, iar supp S(0; A). Fie ' 2 D(R) cusupp' S(0; A1) si k(s; t) 2 D(R2) un sir care tinde la 1 ^n R2. Pentru nsucient de mare

(t)k(s; t)'(s+ t) = (t)'(s+ t):

Egalitatea precedenta decurge din faptul ca (t)'(s+ t) 2 D(R2). I^ntr-adevar' 2 C1(R2), iar

supp (t)'(s+ t) f(s; t)j js+ tj 6 A1; jtj < Ag

iar aceasta multime este marginita. Deoarece T = T rezulta,

(S ? T; ') = limk!1

(S(s) T (t); k(s; t)'(s+ t)) =

= limk!1

(S(s) (t)T (t); (t)k(s; t)'(s+ t)) =

= limk!1

(S(s) T (t)k(s; t)'(s+ t)) =

= (S(s) T (t); (t)'(s+ t)); 8' 2 D:

Se mai pot dovedi armatiile urmatoare:

1. Daca Tn ! T ^n D0 atunci Tn ? S ! T ? S.

1.4. DISTRIBUTII 55

2. Daca Sn ! S ^n D0 si Sn; S au suporturile ^nchise ^ntr-o multimemarginita, atunci T ? Sn ! R ? S.Aplicatia 1.4.11. Pentru orice a; b 2 R are loc:

a ? b = a+b:

I^ntr-adevar, din teorema precedenta pentru o functie egala cu 1 pe ovecinatate a lui fbg, are loc

(a ? b; ') = (a(s) '(b); '(s+ t)) =

(a(s); (b(t); '(s+ t)) = (a(s); '(s+ b)) = '(a+ b) = (a+b; '):

Dam ^n continuare ca^teva proprietati ale convolutiei, daca aceasta operatieeste denita.

Teorema 1.4.9 (liniaritatea produsului de convolutie). Daca T1; T2; T3 2D0 astfel ca T1 ? T3; T2 ? T3 sa e denite, atunci pentru orice 1; 2 2 R areloc

(1T1 + 2T2) ? T3 = 1T1 ? T3 + 2T2 ? T3:

Observatia 1.4.2. I^n general convolutia nu este o operatie continua de la D0

la D0, dupa cum rezulta din exemplul urmator.

(t k)! 0; k !1

^n D0, deoarece 8' 2 D are loc ((t k); ') = '(k) ! 0; k ! 1; pe de altaparte

1 ? (t k) = 1;care nu tinde la 0.

Din comutativitatea produsului direct, rezulta comutativitatea convolutiei,dupa cum se arma mai jos.

Teorema 1.4.10 (comutativitatea produsului de convolutie). Daca ex-ista T ? S, atunci exista si S ? T si sunt egale.

Teorema 1.4.11 (derivarea produsului de convolutie)). Daca exista T ?S, atunci exista T (n) ? S si T ? S(n) si are loc:

(S ? T )(n) = S(n) ? T = S ? T (n)


Corolarul 1.4.1. Daca T 2 D0, atunci are loc

T (n) = ? T (n) = (n) ? T: (1.62)

Observatia 1.4.3. Din existenta convolutiilor T (n) ? S; T ? S(n), nu rezultaexistenta convolutiei T ? S, dupa cum deducem din exemplul de mai jos.

T 0u ? T1 = ? T1 = T1

Tu ? T01 = Tu ? 0 = 0:

Teorema 1.4.12 (translatia convolutiei). Daca exista S ?T , atunci existasi S(s+ h) ? T (s) si are loc:

S(s+ h) ? T (s) = S ? T (s+ h); 8h 2 R

Teorema 1.4.13. Daca S; T 2 D0+ atunci exista S ?T , apartine lui D0+ si areloc

(S ? T; ') = (S(s) T (t); 1(s)2(t)'(s+ t)); ' 2 D;unde 1; 2 2 C1(R) si sunt egale cu 1 ^ntr-o vecinatate a semiaxei [0;+1)si nule pentru t < 0, sucient de mare ^n valoare absoluta.

Observatia 1.4.4. I^n general convolutia distributiilor nu este o operatie aso-ciativa, dupa cum rezulta din exemplul umator.

Aplicatia 1.4.12. Aratati ca produsul de convolutie al distributiilor Tu; 0 si

T1 nu este asociativ.I^ntr-adevar au loc:

(Tu ? 0) ? T1 = (T 0u ? ) ? T1 = ( ? ) ? T1 = T1

Tu ? (0 ? T1) = Tu ? ( ? T 01) = Tu ? ( ? T0) = T0:

Fie D0+ multimea distributiilor cu suportul ^n [0;1): Se poate demonstra ca^n D0+ convolutia este asociativa.

Teorema 1.4.14. Convolutia distributiilor din D0+ este o operatie asociativa,adica

T1 ? (T2 ? T3) = (T1 ? T2) ? T3:

Aplicatia 1.4.13. Fie S; T 2 D0+ doua distributii cunoscute; sa determinamU 2 D0+astfel ca

S ? U = T:

1.4. DISTRIBUTII 57

Daca T = , solutia U daca exista o vom nota S1 si o vom numi inversadistributiei S. Daca exista inversa S1, atunci ecuatia admite solutie unica deforma

U = S1 ? T:

I^ntr-adevar S1 ? T este solutie, deoarece

S ? (S1 ? T ) = (S ? S1) ? T = ? T = T:

Daca ar exista doua solutii, U1; U2, atunci din S ? U1 = T; S ? U2 = T rezultaS ? (U1 U2) = 0, de unde S1 ? (S ? (U1 U2)) = (S1 ? S) ? (U1 U2) =U1 U2 = 0 si deci U1 = U2.

Capitolul 2

Transformarea Fourier

2.1 Transformarea Fourier

Denitia 2.1.1. Fie f : R ! C o functie din L1(R). Functia F : R ! Cdenita prin:

F (!) =

Z +11

f(x)ei!x dx; i2 = 1 (2.1)

se numeste transformata Fourier a functiei f .

Vom folosi notatiile

F (!) = F[f(x)](!):

iar uneori vom renunta la argumentele celor doua functii, daca acest lucru nueste esential. Uneori transformata se mai noteaza bf(!). Sa mai observam caare loc

F (!) = F (!):Din acest motiv este sucient sa cunoastem F (!) pentru valori ! > 0.

Denitia 2.1.2. Corespondenta

f(x) =) F (!)

se numeste transformare Fourier.

Observatia 2.1.1. Transformarea Fourier este liniara.

Interpretare zica Daca (;6) este o multime ordonata ale carei ele-mente se numesc momente, o functie f : ! R se numeste semnal. Daca R, este un interval, semnalul este continual, iar daca = f0; 1; : : : ; N 1gse mai numeste discret.

59

60 CAPITOLUL 2. TRANSFORMAREA FOURIER

0,8

0,4

1

0,6

0,2

x

21-1 0-2 =)

1,6

1,2

0,8

2

0,4

x

420-4 -2

Semnalul f(x) = ejxj Spectrul ^n frecventa F (!)

Figura 2.1: Transformarea Fourier

F (!) este numit spectrul ^n frecventa si ind cu valori complexe admitereprezentarea F (!) = A(!) ei(!), unde (!) = argF (!) reprezinta faza defrecventa, iar A(!) = jF (!)j este amplitudinea ^n frecventa; putem spune caF listeaza amplitudinile F (!) ale oscilatiilor armonice ei!t.

Pe scurt unui semnal i se asociaza transformata sa; daca semnalul se trans-mite pe un canal de transmisie, zic se citeste de fapt spectrul sau ^n frecventasi problema este de a identica semnalul corespunzator.

Teorema 2.1.1

transformari integrale

Documents

Transcript of transformari integrale

Mate.info.Ro.1441 Integrale Duble

Gazul perfect. Transformari. Amestecuri de gaze perfecte

Cap.3 Transformari geometrice

TRANSFORMARI INTEGRALE UNITARE - imag.pub.roimag.pub.ro/ro/cursuri/archive/09.pdf · Operatii integrale Noua valoare a oricarui pixel din imaginea prelucrata rezulta din combinarea

Transformari Spectaculoase Ale Actorilor - pps

No¸tiunea de transformare liniara˘ Transformari …math.etti.tuiasi.ro/lpopa/transformari_liniare.pdfNo¸tiunea de transformare liniara˘ Transformari liniare între spa¸tii ﬁnit

Integrale nedefinite Rezolvate

CORPURI, CARACTERISTICI, PROPRIETATI, TRANSFORMARI- proiect

Integrale de suprafata

Integrale definite prezpp (2)

Integrale Toate Tipurile

Mate1 Exercitii Integrale Curbilinii

Transformari geometrice in spatiu

Integrale Suprafata Si Triple

integrale curbilinii

Matematica - Integrale

Transformari spectaculoase ale actorilor

Ecuatii integrale Fredholm-Volterra

Transformari de faza

Integrale cu parametrumath.etti.tuiasi.ro:81/rosu/didactic/MS I_Slides... · 2018. 1. 5. · Integrale proprii cu parametru Integrale improprii cu parametru Integralele lui Euler