LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca...

39
Legi de compoziþie Fie M o mulþime nevidã. O aplicaþie : M D M M, (x, y) a (x, y), se numeºte lege de compoziþie (internã) sau operaþie (algebricã, binarã) pe mulþimea M. Elementul (x; y) i M se numeºte compusul lui x cu y prin (în aceastã ordine). De obicei, în loc de (x; y) notãm x C y sau x y o sau x y T sau x y etc. LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA Tabla lui Cayley asociatã legii de compoziþie pe mulþimea M este un tabel cu linii ºi coloane corespunzãtoare elementelor mulþimii M obþinut astfel: la intersecþia liniei a i cu coloana a j se aflã compusul lui a i cu a j prin operaþia . Ori de câte ori notãm (M, C) subînþelegem cã C este o lege de compoziþie internã pe mulþimea nevidã M. 1 2 1 2 ... ... ( , ) j n i i j n a a a a a a a a a a M M M M LLL M Fie M o mulþime nevidã ºi C o lege de compoziþie pe M. O submulþime nevidã H a lui M se numeºte parte stabilã în raport cu legea de compoziþie C dacã: µ x, y i H x C y i H. O lege de compoziþie C se numeºte asociativã dacã: ( ) ( ), , , x y z x y z xy z M . O lege de compoziþie M D M M, (; ) x y x y a se numeºte comutativã dacã , , x y y x x y M . Un element e i M se numeºte element neutru pentru legea de compoziþie C, dacã x Me x x e x . Fie M o mulþime nevidã înzestratã cu o lege de compoziþie C cu element neutru e. Spunem cã un element x i M este simetrizabil în raport cu legea de compoziþie C, dacã existã x i M astfel încât x x x x e . Elementul x cu aceastã proprietate se numeºte simetricul lui x. În cazul în care legea de compoziþie este o lege de adunare (de numere, de matrice, de polinoame, de funcþii, de vectori, ...) folosim denumirea de opus în loc de simetric al unui element. Dacã legea de compoziþie este o lege de înmulþire (de numere, de matrice, de polinoame, de funcþii, ...) folosim denumirea de invers în loc de simetric al unui element. Aceeaºi denumire se foloseºte în cazul în care legea de compoziþie este o lege de compunere de funcþii. autor Bogdan C tin

Transcript of LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca...

Page 1: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

������������ ��

������������������ ������������

��������� ������������ � �������

�������������������� ���������������������� ����������������������������������������

�������� ������������������������ ��������������� ���� ��������������� �����

���� ������������ �� ����������������������� � �� ����� � �T ������� ������

LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA

����������������������������������� ������� � ����������

������������ ����������������������������!����������������

���������� ��������"������������������������������������

����

�"��������������������

��������������� �

���� ���#���������������������� ����$����������������$�

�������!�������������������������� ����

% &

%

&

��� ���

� � �

� �

� � �

� � � �

� � �

��

� ����

������������������ �����'�(����$�� �������!�������������� ���������� �����

���������������� ���������������������������$��� �������!����'�(� ����

������������ ������������

����������� �������'���(���������������������� ����

� � � �� � �� � � � � � � � � � �

�� ������� �� ������������� ���� � � �� � � �� � ��� �������� ���������� ���

� �� � � � � � � �

)�������������������������������������������������$��� �������!����'�(�� ���

� � � � � � � �

������������������ ����!��������������$�� �������!����'�(��������������������

*����������������������������������������������������������$��� �������!����'�(�

�����+������ ��������"�����#�� � � � � � ����������� ��������������������������

������������������������

,����!�����������$��� �������!�������������������������� ���������� ����������� �

���������� ��"������� ����������������"������ ��������� ��� ��������� ������������

�������������������$��� �������!����������������������������� ���������� ����������

������������ �� "������� ����� "������ ��������� �� ������� ��� ��� �� ��������� ������

��������-������� �����������"�������������!�����������$��� �������!������������$�

������������ ��"������

autor Bogdan C tin

Page 2: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

PRIMITIVELE UNEI FUNCTII S2 1 ORA

Page 3: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta
Page 4: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

Integrala nedefinita a unei functii continue s2 1 ora

Page 5: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

�������

)�������� ������"��������������������� �� ����������$�� �������!����' (����

�������������� � �����$��� �������!�����

������� �����������������!� ��

���������������$����������������������������� ��������������� ���������������������

)��������������"��������������������� ����������$�� �������!����'�(�����

�������������� �����$�������������������������������������������

GRUP S2 1 ORA

!������������� ��"���������#������ ������ � � � ����$�����.������������ � �� �

������ � � � � � � ���� � � � �

�������� ���������

& &� � / � � 0 �� 12 $ % %� �� � ��!���������� ���������"�����!�����$���������

��� ��� �������� ������� �� ���� &�

*� �������& &� � / � � 0 %2'$ % $ %� � ��

3%

&�&� / � � 0 2

( % $ % %� �

�&� / �&� 0 �� %2'( % ( % ����!������������������������������"�����!��$������� �

��������� ������� ������������� ��� � ����� ������� ��$�� �&������������� ��� ���������

�� $�� � &� ������ ��� ���������� � ����� �� $�� � &�

.�����������4�����"�� �"������$��������'$�����'$

��������'$

��������������� ���� �#

����������� ��$�� �������������������������������������������"������� ����$�������

(���� ��� '(����� ������� ������������� ��� ���������� �� $�� ��� ��� ��� ��� ���������

� ����� �� $�� ���

GRUPURI DE MATRICE S3 1 ORA

Page 6: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

PRIMITIVE UZUALE S3 1 ORA

Page 7: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta
Page 8: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

�������������������

����%���������"�������������������������4���"������ �5������� ���%� �%�����������

������������������%��6�����������'%�����������������������������������%�

.������ �� � ���'%���� ������� ������������ ���� ������"������ � % %� ����

� �� � � � ��� �� ������%��������� � ������ ����������� �5�������� ����%

'� �

� � �%' � ������$����� �� ��� �������������������/%��&��������2���������!�� � � �

�' � �

GRUPUL DE PERMUTARI S4 1 ORA

���������������&��7���������������������� ����8�����������������$�����

�� ������-����� �

1� %� &� ���� %�

�� �

� ��.����� �"�������������������������������

����������������������������������������"���� �9 99 9� ��

99 ��

� �

�� �

Grupul claselor de resturi modulo n, }1,,2,1{^^^

nZn

),( nZ grup abelian

),( nZ -monoid comutativ ,în care }1),.(..../{)(^

nkcdmmcZkZU nn

Se consideră inelul ( )6 , ,+ ⋅ , unde { }6

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0, 1, 2, 3, 4, 5= .

a) Să se rezolve în 6 ecuaţia ˆ ˆˆ2 5 1x + = .

b) Să se calculeze determinantul

ˆ ˆ ˆ 1 2 3

ˆ ˆ ˆ 2 3 1

ˆ ˆ ˆ 3 1 2

în 6 .

c) Să se rezolve în 6 sistemul de ecuaţii

ˆ ˆ2 4

ˆ ˆ2 5

x y

x y

+ =

+ =.

Page 9: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

PROPRIETATEA DE LINEARITATE A INTEGRALEI NEDEFINITE S4 1 ORA

Page 10: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

���������� �������

����$�������� � � � � ���� � � � ���������"��� � � ���������������"��������� ���

����� � � � � � � � �" � � " � " � � � � �

���� � � � � ���� � � � ����$����������"����� "��� � � ������������������"�����

��� ���� �������%� � � � � � � � �" � � " � " � � � � ���������&��"������ �5�������

*���������$����� � ����� ������"� ���$����� � ��� ������� � �� �����+�������

�!����"����"��� � � ��,����!��������������������$����� ���������������"����$�����

���������� � �

����� ������$������������������"������!����"�����"��� � � ������������������"���

������������������"�������$������� �

MORFISME SI IZOMORFISME DE GRUPURI S5 1 ORA

Page 11: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

Integrale definite

Teorema creşterilor finite

Dacă f(x) este continuă şi derivabilă pe un interval (a,b) atunci există un număr cuprins între a şi b astfel încât să avem:

( ) ( ) ( )( )abcfafbf −=− ' .

Justificarea geometrică a teoriei creşterilor finite

Din figura de mai sus reiese că în intervalul (a, b) există un punct c a cărui ordonată la curbă în punctul M are proprietatea că tangenta geometrică în punctul M este paralelă la AB. Scriem că panta tangentei în M este egală cu panta coardei AB.

ab

afbfcf

−=

)()()(' ,

de unde: f(b) – f(a) = f’(c)(b – a),

adică tocmai relaţia dată de teorema creşterilor finite.

M

A

B

c b x

a

y

0

DEFINIREA INTEGRALEI RIEMAN CU FUNCTII CONTINUE (FORMULA LEIBNIZ-NEWTON) S7 2 ORE

Page 12: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

Noţiuni pregătitoare Considerăm o funcţie definită pe intervalul [a, b]. Împărţim acest

interval în n intervale parţiale prin punctele de diviziune :

a < x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.

În fiecare interval parţial [xi-1, xi] alegem un punct intermediar ξi, adică xi-1 ≤ ξ ≤ xi. Formăm produsul f(ξi)⋅(xi - xi-1) dintre valoarea funcţiei f(x) în punctul intermediar ξi şi lungimea intervalului parţial.

Să facem suma acestor produse:

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ).

...

11

1122011

∑=

−=

−++−+−=n

iiiin

nnnn

xxfS

xxfxxfxxfS

ξ

ξξξ

Dacă notăm, cum se mai obişnuieşte, cu Δxi diferenţa xi - xi-1, atunci:

( )∑=

Δ=n

iiin xfS

1

ξ .

Suma Sn se numeşte sumă integrală a funcţiei f(x). Pentru o altă alegere a punctelor intermediare vom obţine o altă sumă integrală.

Dacă toate sumele integrale au aceeaşi limită finită, când n→∞, indiferent de alegerea punctelor intermediare ξi, spunem că funcţia f(x) este integrabilă pe acest interval, iar limita unică:

( )∑=→∞

Δ=n

iii

n

xfI1

lim ξ .

se numeşte integrală definită a funcţiei f(x) pe intervalul [a, b]. Această integrală se notează:

( )∑∫=→∞

Δ==n

iii

n

b

a

xfxfI1

lim)( ξ .

Numerele a şi b se numesc limite de integrare: a este limita inferioară; iar b este limita superioară.

Page 13: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

Formula Leibniz – Newton

Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta legătura dintre integrala nedefinită (primitiva) unei funcţii şi integrala definită.

Fie f(x) o funcţie, continuă pe un interval [a, b] şi F(x) primitiva ei, deci ( ) ( )dxxfxF ∫= cu: F(x) = f(x). Să împărţim intervalul [a, b] în intervale

parţiale, prin punctele de diviziune:

a < x0 < x1 < x2 < ... < xn = b

şi aplicăm teorema creşterilor finite funcţiei F(x) în fiecare interval parţial:

( )( ) ( )( )1111 )()(')()( −−−− −=−−=− iiiiiiiiii xxfxFxFsauxxFxFxF ξξ , unde ξi de data aceasta este un punct din interiorul intervalului impus de teorema creşterilor finite. Făcând pe i = 1, 2, ..., n în ultima egalitate obţinem:

( )( )( )( )

( )( )

( )( ).)()(

)()(

..........................................................

)()(

)()(

11

11

12212

0111

∑=

−−

−=−

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

−=−

−=−

−=−

n

iiii

nnnn

xxfaFbF

xxfxFbF

xxfxFxF

xxfaFxF

ξ

ξ

ξ

ξ

În partea dreaptă a egalităţii am obţinut tocmai o sumă integrală.

Trecând la limită (n→∞) obţinem )()()( aFbFdxxfb

a

−=∫ , care este formula

Leibniz – Newton. Pentru simplificarea notaţiei diferenţa F(b) – F(a) se mai notează:

)()()()( aFbFxFdxxfb

a

b

a

−==∫ .

Page 14: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

(Monotonia)

PROPRIETATI ALE FUNCTIILOR DE INTEGRARE S8 2 ORE

Page 15: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

Aceste proprietăţi rezultă din formula Leibniz – Newton. 1. Valoarea integralei definite a unei funcţii nu depinde de variabila de

integrare, ci numai de limitele de integrare.

).()()()()()( aFbFdttfaFbFdxxfb

a

b

a

−=−= ∫∫

2. Valoarea integralei definite, cu limitele de integrare egale, este zero.

0)()()( =−=∫ aFaFdxxfa

a

.

3. O integrală definită schimbă semnul dacă schimbăm între ele limitele de integrare.

)()()()()()( bFaFdxxfaFbFdxxfa

b

b

a

−=−= ∫∫

deci:

∫∫ −=a

b

b

a

dxxfdxxf )()(

4. O integrală definită poate fi descompusă într-o sumă de integrale după fragmentarea intervalului, în felul următor:

[ ] [ ] ∫∫∫

∫∫∫

=−=−+−=+

+=

b

a

b

c

c

a

b

c

c

a

b

a

dxxfaFbFcFbFaFcFdxxfdxxf

dxxfdxxfdxxF

)()()()()()()()()(

)()()(

Numărul c nici nu este nevoie să fie între a şi b. Proprietatea poate fi generalizată în felul următor:

∫∫∫∫ +++=b

c

c

c

c

a

b

a n

dxxfdxxfdxxfdxxf )(...)()()(2

1

1

OBSERVATII

Page 16: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

INELE S9 1 ORA

�����

,�� ���� ��� �����!��� ��� �����!�� ������ ��� ����� ��������

)����������!��:�� ����� ��!������������������ ������'�:�(����' (������ �����$�� �

�����!�������!����������������������������������������������� ����

�;���!��:�������$����� ����

�<���!��=������������

������������������ ����� ������"��� ��� ������

������������!��������:����>����:����������:�����>����:����

,�������!��������������������$��� �������!����'�=�(����������������������������

*����������������!����������������������������� ��������1������1� ������1��������!

������������������!���������������������������������

)�������!��������������������� ���������"��������+�������<?�����>��������������!�

)���������������������������� ���������������"���� ���!����������!���������������

������� �� ������������ ����� ���� ����$����

������� ��� �����

7������������+����)������������������������������������������ ������ ���+�����

&�:�?���3%�:�&���@�>�@�:�1�����>�1�:�%�=�������������$��������;�������7������A�B�>�/��:����0���������2

������������������������ ��������A�B��:��=������������������$���

����*������������� �����!���������7�����!*�>�/�"� 0� "���*� �!2���������������

"��������"���*� �!��

.������"������!*��������*���"������������������������������������!��.����� �"�������"�

"���������"�:�����*� �!�� � �� � � � � �" � � " � � � ������*���

"����*� �!��� � �� � � � � �"� � " � � � ������������������������ �������"�������"���"��������

����!� ���� �����������7�����!A+B������������������� ��� ���"�������� ���!�

�!A+B��:�� =�����������

���� "� ���!A+B��������� � "�4��!� �!� �"����������� � "�4����>� "�������!��������!������

������� "������ ����������� ��������� ���������� "��6�������� "������ � "� � ���� ��� "� �

C��������"�����������������"��������������������� ���!���������������"��-�� ���

���������� ���!�������������� ���!��������������"���!A+B� ����"�� ��>�1�

������

)������,�������������� � ����1���%���������������������� ���,�������������!� �

������������������������������������������������������,�������������� ����������

��"������"���,� �, � ������������,�����������, ���������������"����-������"���.

�� �������� ���� ��������"���� ��!����"����� �� ��,� ��, � ����� ������ ��� �����

)�� �!����"��������"����� "� ��!� �!� �� �� ����� �!��:�� =�� ����� �����������������

�������"���������������������"��������������!��-���������������$������"����������

���������������

CORPURI S10 1 ORA

Page 17: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

INTEGRAREA PRIN PARTI S10,S11 3 ORE

Page 18: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

INTEGRAREA PRIN SCHIMBARE DE VARIABILA S11 1 ORA

Teorem (Formula de schimbare de variabil ) Fie RfJba ],[ (J interval din R) dou func ii cu propriet ile: 1) f este continu pe J 2) este derivabil , cu derivata continu pe [a,b]. Atunci

b

a

b

adxxfdtttf

)(

)()()('))(( (4.1.1)

Observa ie. a) Dac Rfdcba ],[],[ sunt dou func ii cu propriet ile: 1') f este continu pe [c,d] 2') este bijectiv , i 1 derivabile cu derivate continue, atunci

b

a

b

adxxxfdttf

)(

)(

1 )()')(())((

Aceast egalitate se mai nume te i a doua formul de schimbare de variabil . b) Datorit formulei Leibniz-Newton toate schimb rile de variabil prezentate la primitive se pot aplica i la calculul integralei definite. Propozi ie. Fie ],0( i R),(:f o func ie continu . Atunci avem: (i)

b

a

a

bbadxxfdxxf ),(,)(,)()(

În particular: a

aadxxfdxxf

0

0),()(,)()(

(ii) Dac f par atunci a

a

adxxfdxxf

0)(2)(

(iii) Dac f impar atunci a

adxxf 0)( .

Demonstra ie. (i) Se face substitu ia xt .

(ii) din (i) 0

0 0)()()(

a

a adxxfdxxfdxxf , de unde

a

a a

a adxxfdxxfdxxfdxxf

0

0 0)(2)()()(

(iii) din (i) 0

0 0)()()(

a

a adxxfdxxfdxxf , de unde

a

a a

adxxfdxxfdxxf

0

00)()()( .

Page 19: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

Corolar. Fie ],0( i R),(:f o func ie continu . Atunci (i) Dac f par

a

aadxxxf ),()(,0)(

(ii) Dac f impar a

a

aadxxxfdxxxf

0),()(,)(2)(

(iii) Dac f arbitrar a

a

adxxfdxxf

0

22 )(2)( i a

aadxxxf ),()(,0)( 2

Exemplu. Ra)( avem: a

a

a a

a

a

a

n xdxxxdxxdxxdx0

12 0cos,0sin,cos2cos .

Propozi ie. Fie RR:f o func ie continu . Atunci avem:

(i) f periodic de perioad Tx

xcdttfT )( (constant ), Rx)( .

(ii) Urm toarele afirma ii sunt echivalente: a) Orice primitiv a lui f este periodic de perioad T. b) f este periodic de perioad T. c)

Tx

xxdttf R)(,0)(

Integrarea prin substituţie

Întrucât pentru rezolvare unei integrale definite de obicei trebuie găsită primitiva funcţiei, se aplică metoda substituţiei exact ca la integralele nedefinite, după care se aplică formula lui Leibnitz – Newton. Se poate găsi integrala definită fără a se mai reveni la vechea variabilă, având însă grijă să schimbăm limitele de integrare impuse de substituţie:

∫=b

a

dxxfI )(

x = ϕ(t) dx = ϕ’(t)dt a = ϕ(t1) b = ϕ(t2)

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ).')( 11211

2

1

2

1

tFtFtFdtttfdxxfI

t

t

t

t

b

a

−==⋅== ∫∫ ϕϕ

Exemplu: .1

4

0∫ +

=x

dxI

Rezolvare: tx = deci 2tx = dx = 2tdt

pentru x = 0 ⇒ t = 0; pentru x = 4 ⇒ t = 2

[ ] ).3ln2(2)1ln(21

112

12

1

2

0

2

0

2

0

4

0

−=+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

+=

+= ∫∫∫ ttdt

tt

tdt

x

dxI

Page 20: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

CALCULUL INTEGRALELOR DE FUNCTII RATIONALE S 14 1 ORA

Orice funcţie raţională f(x) se poate exprima, după cum se ştie, prin

câtul a două polinoame P(x) şi Q(x) adică:

)(

)()(

xQ

xPxf = .

Se numesc fracţii simple, fracţiile raţionale de forma:

bax

A

+;

( )nbax

A

+;

cbxax

A

++2 ; cbxax

BAx

++

+2 ;

( )ncbxax

A

++2;

( )ncbxax

BAx

++

+2

.

unde n ≥ 2, e un număr natural, iar ax2 + bx + c are rădăcini imaginare (b2-4ac<0), deci nu se mai poate descompune în factori reali.

Ne vom ocupa mai întâi de integrarea acestor funcţii cu excepţia ultimilor două, pe care nu le putem cuprinde în prezentul curs.

1. ∫ ∫ ++=+

=+

Cbaxa

A

bax

adx

a

Adx

bax

A)ln( ;

2. ( )∫ +

nbax

Adx ; ax+b=t a

btx

−=

a

dtdx =

( ) ( ) ( )( )

Cbaxna

AC

tna

A

t

dt

a

A

bax

Adxnnn +

+−⋅−=+

−⋅−==

+−−∫∫ 11 1

1

1

1 ;

3. ∫ ++ cbxax

Adx2

; Δ < 0;

Folosind identitatea:

D���������:��=������������ ������������� ����������������������

CORPUL S12 1 ORA�

� �

Page 21: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=++ 2

222

4

4

2 a

acb

a

bxacbxax ,

facem schimbarea de variabilă:

ta

bx =+

2 deci dx = dt

şi notăm:

22

2

4

4K

a

acb−=

−. (b2 - 4ac < 0)

Integrala devine:

Ck

tarctg

ak

A

kt

dt

a

A

cbxax

Adx+=

+=

++ ∫∫ 222,

după care se revine la vechea variabilă.

4. dxcbxax

BAx∫ ++

+2

. În acest caz mai întâi vom face să apară la numărător

derivata de la numitor 2ax + b. Acest lucru se poate realiza uşor, dacă nu se observă imediat, scriind:

( ) βα ++≡+ baxBAx 2 ,

unde coeficienţii α şi β se calculează prin metoda coeficienţilor nedeterminaţi.

Integrala dată se descompune astfel, într-o sumă de două integrale: un logaritm şi o integrală de tipul 3 studiată mai sus.

Considerăm acum integrala funcţiei raţionale oarecare:

∫= dxxQ

xPI

)()(

.

Cazul 1. gradul lui P(x) ≥ gradul lui Q(x). Atunci se poate face împărţirea, având C(x) câtul şi R(x) restul:

Page 22: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

( )( )

( )( )xQ

xRxC

xQ

xP+= )( ,

unde gradul lui R(x) < gradul lui Q(x), iar integrala devine:

dxxQ

xRdxxCI ∫ ∫+=

)()(

)( .

Prima integrală se rezolvă simplu fiind o integrală dintr-un polinom (deci o sumă de puteri), iar a doua s-a redus la o integrală dintr-o fracţie în care gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului.

Cazul 2. gradul lui P(x) < gradul lui Q(x). Vom deosebi şi aici mai multe cazuri în funcţie de Q(x):

a. Numitorul Q(x) are numai rădăcini reale simple:

Q(x) = a(x – x1) (x – x2)... (x – xn).

Atunci fracţia se poate descompune într-o sumă de fracţii simple în felul următor:

n21 - ...

- - )()(

xx

M

xx

B

xx

A

xQ

xP+++= ,

unde constantele A, B, ..., M se determină prin identificare. Integrarea acestor fracţii nu mai prezintă dificultăţi, fiind o sumă de logaritmi:

( ) ( ) ( ) .ln...lnln

- ...

- - )(

)(

21

n21

CxxMxxBxxA

xx

dxM

xx

dxB

xx

dxAdx

xQ

xP

n +−++−+−=

=+++= ∫∫∫∫

b. Numitorul Q(x) are rădăcini reale multiple:

Q(x) = (x - x1)k · Q1(x).

În acest caz fracţia se poate descompune într-o suma de fracţii simple

de forma:

Page 23: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

( ) ( ) )()(

... - - )(

)( 1

11

11 xQ

xQ

xx

M

xx

B

xx

A

xQ

xPkk +

−+++=

−,

unde constantele A, B, ..., M se determină prin identificare.

Fracţia )()(1

xQ

xQ se descompune şi ea în fracţii simple ca în cazul

precedent, fie ca în cazul care urmează. Integrala devine:

( ) ( )dx

xQ

xQ

xx

dxM

xx

dxB

xx

dxAdx

xQ

xPkk ∫∫∫∫∫ +

−+++=

− )()('

... - - )(

)( 1

11

11

.

Integralele din aceste fracţii simple au fost tratate. c. Numitorul Q(x) are şi rădăcini complexe:

)()()( 2

2 xQcbxaxxQ ⋅++= ,

unde trinomul ax2 + bx + c are rădăcini complexe. În acest caz funcţia se descompune într-o sumă de fracţii simple de forma:

)()(

)()( 2

2 xQ

xQ

cbxax

BAx

xQ

xP+

++

+= ,

unde constantele A, B se determină prin identificare.

Fracţia )()(2

xQ

xQ de asemenea se descompune ca în cazurile precedente:

Integrala devine:

∫∫∫ +++

+= dx

xQ

xQdx

cbxax

BAxdx

xQ

xP

)()(

)()( 2

2 .

Integrala din fracţia simplă din membrul II a fost tratată.

Exemplu: Să se rezolve integrala dxxx

xI ∫ −

+=

3

3

)1(1

,

Page 24: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

Rezolvare:

1)1()1()1(1

233

3

−+

−+

−+=

+

x

D

x

C

x

B

x

A

xx

x.

Aducând la acelaşi numitor şi efectuând calculele avem:

( )3

23

3

3

)1(

)3()23(

)1(

1

−+−++−+−++=

+

xx

AxDCBAxDCAxBA

xx

x .

Fracţiile fiind identice, numitorii fiind identici, rezultă că şi numitorii sunt identici. Avem:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=−

=+−+

=−+−

=+

1

03

023

1

A

DCBA

DCA

DA.

Rezolvând sistemul găsim A = -1, B = 2, C = 1, D = 2. Prin urmare:

,)1ln(21

1)1(

1ln

12

)1()1(2

)1(1

2

233

3

Cxxx

x

x

dx

x

dx

x

dx

x

dxdx

xx

xI

+−+−

−−

−−=

=−

+−

+−

+−=−

+= ∫∫∫ ∫∫

sau:

Cx

x

x

xI +

−+

−−=

2

2

)1(ln

)1(.

Exemplu: Să se rezolve integrala dxxx

xI ∫ −

+=

3

3

)1(1

,

Page 25: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

Forma algebrică a unui polinom f∈ C[X] este

f = a0+a1X+a2X2+…+anXn, ai∈ C, i = _____

no, , n≥ 0. Dacă f, g ∈C[X], f=a0+a1X+a2X2+…+anXn, g= b0+b1X+b2X2+…+bnXn, atunci 1. (Egalitatea polinoamelor) Polinomul f este egal cu polinomul g şi scriem f = g ⇔ ai = bi, )(∀ i ≥ 0. 2. (Suma a două polinoame) Suma polinomului f cu polinomul g este polinomul

notat f+g şi egal cu f+g = (a0+b0)+(a1+b1)X+(a1+b1)X2+… 3. (Produsul a două polinoame) Produsul polinomului f cu polinomul g este

polinomul notat fg, egal cu fg = a0b0+( a0b1+ a1b0)X + ( a0b2+ a1b1+a2b0)X2+…

OPERATII CU POLINOAME S 17 1 ORA

Un element f∈A[x] are forma f = a0+a1X+a2X +…+anX , ai∈ A, i =≥ 0 şi se numeşte polinom de nedeterminată X peste A.

Elementele a0, a1,…, an∈ A se numesc coeficienţii polinomului f. În cazul particular când A∈ { }pn ZC,R,Q,,ZZ, se obţin mulţimile de polinoame Z[X] = mulţimea polinoamelor peste Z (sau având coeficienţi întregi), Zn[X] = mulţimea polinoamelor peste Zn(având coeficienţi clase de resturi de

modulo n), Q[X] = mulţimea polinoamelor peste Q, R[X] = mulţimea polinoamelor peste R, C[X] = mulţimea polinoamelor peste C, Zp[X] = mulţimea polinoamelor peste Zp(p – prim). Spre exemplu, f1 = 3-2X+X3∈Z[X], f2 = 2X2̂1̂+ ∈ Z4[X], f3 =

22XX53

21

+− ∈Q[X], f4 = 2- 2X3 + 3X21

∈R[X], f5 = 3+ X21 -(1+i)X2- 3X2 ∈C[X].

Pe mulţimea A[X] se definesc ca şi în cazul lui C[X] următoarele operaţii: 1. (Egalitatea polinoamelor) Dacă f, g ∈ A[X], f = a0+a1X+a2X2+…+anXn, g = b0+b1X+b2X2+…+bnXn, atunci polinomul f este egal

cu g şi scriem: f = g ⇔ ai = bi, )(∀ i ≥ 0. 2. (Suma a două polinoame) Suma polinomului f cu polinomul g este polinomul

notat f+g şi egal cu f+g = (a0+b0)+(a1+b1)X+(a1+b1)X2+… 3. (Produsul a două polinoame) Produsul polinomului f cu polinomul g este

polinomul notat fg, egal cu fg = a0b0+( a0b1+ a1b0)X + ( a0b2+ a1b1+a2b0)X2+…

Obs.

Deci două polinoame sunt egale dacă coeficienţii termenilor care conţin pe X la aceleaşi puteri sunt egali.

Adunarea polinoamelor se face adunând între ei termenii asemenea (cu puteri egal ale lui X). Înmulţirea a două polinoame se face înmulţind fiecare termen din primul polinom cu fiecare termen din al doilea polinom, după care se reduc termenii asemenea (la fel ca în C[X]).

Page 26: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

Exemple. 1. Fie f = X4+5X3+aX2+c∈R[X] şi g = (X2-1)(X+3)(X+2). Să se determine a, b, c astfel încât f = g.

R. Dezvoltând produsul din scrierea lui g avem: g =X4+5X3+5X2-5X-6. Acum

XXX

gf0

2

⇔=6c5b

5a

−=−=

= (am identificat coeficienţii lui X2, X, X0 din cele două

polinoame). 2. Consideră polinoamele f, g ∈R[X], f = X3+5X2-3X+1,

g = a+b(X-1)+c(X-1)2 + d(X-1)3. Să se determine a, b, c, d ∈R astfel încât f =g. Condiţia de egalitate a celor două polinoame este:

0

2

3

XXXX

dcba13d2cb3

3dc5d1

−+−=+−=−

−==

Rezolvând acest sistem de ecuaţii liniare se obţine soluţia a = 4, b = 10, c =8, d = 1. 3. Să se calculeze f+g şi f·g în cazurile: 1) f = X2-5X+1, g = 3x-2, f, g∈ Z[X];

2) f = 53XX21 23 +− , g = XX

31X

21 23 −+− ∈Q[X];

3) f = 1̂XX2̂ 2 ++ , g = 3̂X3̂X2̂ 2 ++ , f, g ∈ Z4[X]; 4) f = 3̂X2̂ + , g = X,4̂X2 + f, g ∈ Z5[X]. R. Avem: 1) f + g = X2-2X+1 şi f·g = 3X3-17X2+13X-2,

f+g, f·g ∈ Z[X];

2) f + g = 5XX38 2 +−− , f·g = 5XX

35X

21X

23X

35X

21 23456 −++−+− , f+g,

f·g ∈ Q[X]; 3) f + g = 0̂ ; f·g = 3̂X2̂X3̂ 2 ++ , f+g, f·g ∈ Z4 [X]; 5) f + g = 3̂XX2 ++ , f·g = X2̂XX2̂ 23 ++ , f+g, f·g ∈ Z5 [X].

GRADUL UNUI POLINOM

Fie f = a0+a1X+a2X2+…+anXn∈ A[X]. Vom scrie prescurtat f = ∑=

n

0i

iiXa .

Def. Se numeşte gradul polinomului f ≠ 0, notat grad(f), cel mai mare număr natural n cu

proprietatea an≠ 0. Dacă f = 0, atunci grad(f) = -∞ . Dacă grad(f) = n, atunci f = a0+a1X+a2X2+…+anXn, an≠ 0. Termenul a0 se numeşte termenul liber al polinomului f, iar coeficientul an≠ 0 se

numeşte coeficientul dominant al polinomului f. Din definiţie rezultă că elementele nenule ale inelului A sunt polinoamele de

gradul zero.

Page 27: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

ARIA UNEI SUPRAFETE PLANE S17 1 ORA

������������������������������ ��������������������

���������� ��������������/�����,����������������������"������,A+B������1���+���������

���������������������0������,A+B����"�����#����"�>��0�:�������� ��$�� ���E�$�� ��

��������1�

TEOREMA IMPARTIRII CU REST S 17 1 ORA

.���������0������ �����������������������"�>��0�)��������������1��������������

������� ���������� ���������� "� ����� ����������

Page 28: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

TEOREMA LUI BEZOUT SI SCHEMA LUI HORNER.DIVIZIBILTATE S18 2 ORE

����,�������������������"������,A+B��*���������"� ������������������������������ 0

"� ����� " �� �� �����+�����2���,A+B���� "�>�� 2�

����,�������������������"������,A+B��*���������"�������������������������������������

������� " �� �� �����"�0��������0�"�

������������������F����� �������������������� "���,A+B������+�3� � ���,A+B� ����

�$�� ��� �������� ��� � �� ���������� "�

�������� ����34������.������� "� ���,A+B� ��� ��� ���������������+� 3� � ���,A+B

������������� ���� "� � ��>�1�

����,������������������"���,A+B������,���������������&��*����������������������

����� ������������ ����+�3�����0�"�����

%

� � 0�

+ � " �

����,� ������������������%

% % 1���

� �

� �" � + � + � + � �� ���,A+B��.������

% &

% %� %� ���

� �

� �" �� + � � + � � ��� ���������������� "������� �� ������� *� �

�����������"�

5��������"����������������**��� ������������"������� ��������"������ ���� ����D��

����������"� ����������������"� �

5��������"����������������6��� ������������"������� ��������"������ ���� ����D��

����������� %�6

" �

Teoremă. Pentru orice f∈ A[X] şi orice a∈A, există q∈ A[X] astfel încât f = (X-a)q+f(a).

. Aplicând teorema împărţirii cu rest, pentru f şi X-a, există q, r ∈ A[X], unice pentru care

f = (X-a)q+r, grad(r)<1. Considerăm aplicaţia x→ f(x) definită pe A cu valori în A. Cum polinoamele f şi (X-a)q+r sunt egale, ele definesc aceeaşi funcţie

polinomială. Deci f(x) = (x-a)q+r, )(∀ x∈ A. Punând aici x = a rezultă f(a) = r. Această teoremă precizează că în cazul în care un polinom f se împarte la

polinomul X-a, atunci restul acestei împărţiri se poate calcula luând valoarea funcţiei polinomiale asociate lui f în x = a, adică f(a).

În cazul împărţirii unui polinom f prin X-a, câtul q şi restul e din teorema împărţirii cu rest se pot determina utilizând cunoscuta schemă a lui Horner. Dacă f = anXn+an-1Xn-1+…+a1X+a0, atunci schema arată astfel:

Xn Xn-1 Xn-2 … X X0 an an-1 an-2 a1 a0

X=a

1-b

a

n

n

2-b

aa·a

n

1nn −+

3-b

ab·b

n

2n2-n −+ …

0b

aa·b

11 + a·b0 +a0 = f(a) = r

Xn-1 Xn-2 Xn-3 … X0

Teoremă. Un element a∈A este rădăcină a polinomului f∈ A[X] dacă şi numai dacă X-a divide

pe f.

Page 29: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

Coeficienţii bn-1, bn-2,…, b0 sunt coeficienţii câtului, adică q = bn-1Xn-1+an-2Xn-2+…+b1X+b0, iar r = f(a) este dat de elementul care apare în ultima rubrică.

Din teorema restului se obţine teoremă a lui Bézout, care stabileşte legătura între divizorii de gradul unu al polinomului f∈ A[X] şi rădăcinile din A ale acestui polinom. Mai precis are loc următoarea Teoremă.

Un element a∈A este rădăcină a polinomului f∈ A[X] dacă şi numai dacă X-a divide pe f.

Probleme rezolvate 1. Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f = 3X3-2X2+3X – 5 ∈Z[X] prin g = X+2. R. Scriem pe g sub forma g = X-(-2) şi alcătuim schema lui Horner. Avem:

X3 X2 X X0 3 -2 3 -5

X = -2 3 (-2)·3 + (-2) = -8 (-2)(-8)+3 = 19 (-2)·19 –5 =-43 = r = f(-2) X2 X X0

Deci câtul este q = 3X2-8X+19, iar restul r = f(-2) = -43. 2. Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f = 2̂X4̂X5̂X2̂ 23 +++ prin g = X+3̂ , f, g∈Z6[X]. R. Avem g = X – (- 3̂ ) = X- 3̂ . Schema lui Horner este:

X3 X2 X X0 2̂ 5̂ 4̂ 2̂

X = 3̂ 2̂ 3̂ · 2̂ + 5̂ = 5̂ 3̂ · 5̂ + 4̂ = 1̂ 3̂ ·1̂+ 2̂ = 5̂ = r = f( 3̂ ) X2 X X0

Deci câtul este q = 2̂ X2+5̂ X+1̂, iar restul este r = f( 3̂ ) = 5̂ .

Page 30: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

3. Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f în cazurile: 1) f = 3X3+2X2-X + 5, g = X2-X, f, g∈Z[X]; 2) f = 2X4-3X2+X, g = - X3+X-2, f, g∈Z[X];

3) f = 31 X3 -2X2+

53 X-

21 , g = 3X2-

21 X, f, g∈Q[X];

4) f = X3 +(-2i+1)X2+(-7-i)X+6i+2, g = X-i, f, g∈C[X]; 5) f = 2̂ X3+3̂X2+ 2̂ X+1̂, g = 5̂ X2+ 2̂ X, f, g∈Z6[X];

R. 1) Avem schema de împărţire cunoscută (observaţg este 1, adică inversabil în Z): 3X3+2X2-X + 5 X2-X - 3X3+2X2 3X+5 5X2- X + 5 Deci q = 3X+5 şi r = 4X+5 -5X2+5X 4X+5

2)

2X4-3X2+X - X3+X-2 - 2X4+2X2-4X -2X Deci q = -2X şi r = -X2-3X -X2-3X

3)

31 X3-2X2+

53 X-

21 3X2-

21 X

23 X181X

31 +− -

5435-X

91

1835− X2-

53 X-

21

Deci q = -

5435-X

91 şi

X10835X

18235 −

r =

540149 X-

21

540149 X-

21

4)

X3 +(-2i+1)X2+(-7-i)X+6i+2 X-i - X3+ i X2 X2+(-i+1)X-6 (-i+1)X2+(-7-i)X+6i+2 -(-i+1)X2+(-i+1)X (-6)X+6i+2 6 X- 6i 2

Deci q = X2+(-i+1)X-6 şi r = 2.

Page 31: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

5) Să observăm că ne plasăm cu împărţirea într-un inel cu divizori ai lui zero. Dar

elementul dominant al lui g este 5̂ , care este inversabil în Z6[X] şi 5̂ -1 = 5̂ .

2̂ X3 + 3̂ X2+ 2̂ X+1̂ 5̂ X2+ 2̂ X 23 X2̂X2̂ −− 4̂ X+5̂

X2 + 2̂ X +1̂

X4̂X- 2 −

- 2̂ X+1̂= 4̂ X+1̂ Pentru a găsi coeficientul primului element al câtului trebuie să avem egalitatea

2̂ = 5̂ ·c1. De aici 2̂ · 5̂ -1= c1, adică c1 = 4̂ . Pentru a găsi coeficientul celui de-al doilea termen al câtului rezolvăm ecuaţia 1̂=

5̂ ·c2. De aici c2 = 5̂ -1 = 5̂ . 4. Să se determine m, n ∈R astfel încât polinomul

f = X4+(m-3)X3+(2m+3)X2-nX+3 împărţit cu X-1 şi respectiv X+1 să dea resturile 5, respectiv 3. R. Restul r obţinut la împărţirea unui polinom f prin X-a este (teorema restului) r = f(a). În cazul nostru avem condiţiile:

⎩⎨⎧

=++=++

⇔⎩⎨⎧

==

0445123

f(-1) 3 f(1) 5

nmnm

cu soluţia m = 5

12 , n = 58

− .

5. Să se determine restul împărţirii polinomului f= X4-3X3+2X2-X+3 prin polinomul g = (X+1)(X-2). R. Desigur, se poate face împărţirea directă a lui f prin g = X2-X-2. Dacă utilizăm teorema împărţirii cu rest a lui f lag avem egalitatea f = gq+r, grad(r)<grad(g) = 2. Deci r poate fi cel mult polinomul de gradul întâi r = aX+b. A determina pe r revine la a găsi pe a şi b. Avem egalitatea de polinoame f = gq+aX+b. Calculăm valoarea acestor polinoame în x = -1 şi respectiv x = 2 (valori în care se anulează g) şi avem relaţiile:

⎩⎨⎧

+=+−=−

.2)2()1(

bafbaf

Cum f(-1) = 10 şi f(2) = 1 se rezolvă sistemul

⎩⎨⎧

=+=+−1210

baba

când obţinem soluţia a = -3, b = 7.

Deci restul este r = -3X+7.

Page 32: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

CMMMC,CMMDC A DOUA OLINOAME SI DESCOMPUNERE IN FACTORI IREDUCTIBILI S19 2 ORE

Def. Fie f, g ∈K[x] ( = corp comutativ) două polinoame.

1. Spunem că g DIVIDE f sau, echivalentul, f se divede cu g, dacă )(∃ h ∈K[x] cu f = gh. Scriem g/h (citim „g divide f”) sau, echivalent, f g (citim „f se divide g”).

2. Spunem că f şi g sunt asociate în divizibilitate dacă se divid reciproc, adică f/g şi g/f.

Scriem f~ g. 3. Spunem că polinoamele f şi g au cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.)

d∈K[x satisfăcând condiţiile: i) d este divizor comun pentru f şi g, adică d/f şi d/g. ii) Orice alt divizor comun pentru f şi g îl divide pe d, adică )(∀ d’∈K[x] cu d’/f

şi d’/g ⇒d’/d. Notăm cu (f, g) c.m.m.d.c. al polinoamelor f şi g. f~ g )(∃ u ∈U(K[x]x) = K*, astfel încât f = ug.

Propoziţie: Pentru f, g ∈K[x] avem echivalenţa:

Altfel spus, două polinoame sunt asociate dacă şi numai dacă diferă printr-un factor inversabil (polinom de gradul zero).

c.m.m.m.c(f,g)=(f g )/c.m.m.d.c(f,g)

Page 33: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

3

Lemă: Fie f, g, q, r ∈ K[x] polinoame legate prin relaţia f = qg+r. Dacă există (g, r) atunci există (f, g) şi avem: (f, g) = (g, r).

Teoremă: Fie f, g ∈ K[x], g≠ 0. Atunci:

i) Şirul de împărţiri cu rest (1) este finit, adică există K≥ astfel încât rk =0. ii) Există c.m.m.d.c. al polinoamelor f şi g şi acesta este ultimul rest nenul, adică

(f, g) = rk-1 când k≥ 2. (Când k = 1 înseamnă că prima împărţire se face exact şi atunci (f, g) = (g, r).

Obs. Oricare două polinoame care reprezintă c.m.m.d.c. a două polinoame fixate, sunt asociate în divizibilitate. Def. Dacă (f, g) = 1 spunem că polinoamele f şi g sunt relativ prime sau prime între ele.

Obs. Există echivalenţa: (f, g) = 1⇔ )(∃ u,v∈K[x] cu uf+vg =1.

Propoziţie: Fie f, g ∈K[x] astfel încât f/gh, iar (f, g) = 1. Atunci f/h.

Def. 1. Un polinom p∈K[x], nenul şi neinversabil (echivalent spus, neasociat cu 0 sau 1 sau, totuna, de grad ≥ 1) se numeşte ireductibil în inelul K[x] sau ireductibil peste corpul K, dacă, abstracţie făcând de asocieri, singurii săi divizori în K[x] sunt 1 şi p. Aceasta înseamnă că: )(∀ q∈K[x], q/p Q = r sau q = 1. 2. Un polinom nenul şi neinversabil care nu este ireductibil se mai numeşte reductibil în K[x].

Exemplu: În orice inel K[x] polinoamele de gradul 1 sunt ireductibile.

Lemă: Fie p∈K[x] un polinom ireductibil şi f∈K[x] un polinom oarecare. Dacă p nu divide f, atunci (p, f) = 1.

Propoziţie: Fie p∈K[x] un polinom nenul şi neinversabil. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1. p este ireductibil în K[x]. 2. )(∀ f, g ∈K[x] cu p/fg ⇒p/f sau p/g. (Aşadar, un polinom este ireductibil dacă şi numai dacă ori de câte ori divide un

produs, rezultă că divide unul din factori).

Page 34: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

4

Lemă: Fie p∈K[x] un polinom ireductibil şi f∈K[x] un polinom oarecare. Dacă p nu divide f, atunci (p, f) = 1.

Propoziţie: Fie p∈K[x] un polinom nenul şi neinversabil. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1. p este ireductibil în K[x]. 2. )(∀ f, g ∈K[x] cu p/fg ⇒p/f sau p/g.

(Aşadar, un polinom este ireductibil dacă şi numai dacă ori de câte ori divide un produs, rezultă că divide unul din factori). Teoremă: Orice polinom nenul şi neinversabil din K[x] se descompune în mod unic într-un produs finit de polinoame ireductibile din K[x]. Unicitatea este înţeleasă abstracţie făcând de asocieri şi de ordinea factorilor. Propoziţie: În inelul C[x] singurele polinoame ireductibile sunt cele de gradul 1. Consecinţă: Orice polinom f∈C[x], nenul şi neinversabil, se descompune în mod unic în factori liniari în inelul C[x].

Propoziţie: Fie p∈K[x] un polinom grad ≥ 2.

i) O condiţie necesară ca polinomul p să fie ireductibil în K[x] este ca el să nu aibă rădăcini în corpul K.

ii) Dacă grad p ∈{ }3,2 , condiţia necesară de la i) este şi suficientă, deci p este ireductibil dacă şi numai dacă nu are rădăcini în K.

Exemplu: Polinomul p = x2+1 ∈R[x], nenul şi neinversabil, se descompune în mod unic în inelul R[x] într-un produs de factori liniari sau factori de gradul 2 fără rădăcini reale.

Consecinţă: Orice polinom f∈R[x], nenul şi neinversabil, se descompune în mod unic în inelul R[x] într-un produs de factori liniari sau factori de gradul 2 fără rădăcini reale. Def. Un polinom f∈R[x] se numeşte polinom primitiv dacă c.m.m.d.c. al tuturor coeficienţilor săi este egal cu 1.

Propoziţie: 1. Orice polinom f∈R[x] se scrie sub forma f = ag, unde a∈Z, iar g∈Z[x] este un polinom primitiv. 2. Orice polinom f∈R[x] se scrie sub forma f = rg, unde r∈Q, iar g∈Z[x] este un polinom primitiv.

Page 35: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

Propoziţie Fie f∈K[x], f = a0 + a1x+…+anxn un polinom de gradul n. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: 1. Polinomul f se descompune în inelul K[x] într-un produs de factori liniari, nu neapărat distincţi X-x1, X-x2,…, X-xn. 2. Rădăcinile polinomului f în corpul K sunt x1, x2,…, xn presupuse nu neapărat distincte. 3. Există egalitatea f = an(X-x1) (X-x2)…( X-xn).

Propoziţie: Fie f∈K[x] un polinom de grad n, care are în corpul K rădăcinile x1, x2,…, xn multiple respectiv de ordin n1, n2,…, nk cu n1+ n2+…,+ nk = n. Atunci, descompunerea lui f în factori ireductibili în inelul K[x] este:

f = an(X-x1)n1 (X-x2) n2…( X-xk) nk unde an este coeficientul dominant al polinomului f.

Page 36: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

Propoziţie: Fie f = anxn + an-1xn-1+…+a1x+a0∈K[x] un polinom de grad n care are în corpul K rădăcinile x1, x2,…, xn, nu neapărat distincte. Atunci au loc egalităţile:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

−=

−=

−=

=

≤≤

≤<<≤

≤≤≤

≤≤

ni1 n

0nj

n)i...ii(1 n

p-npipi2i

n)ji(1 n

2-nji

n

1-n

n)i(1i

.aa

1)(x

.................................

aa

1)(...xxx

................................a

2axx

aa x

p21

Aceste inegalităţi se numesc FORMULELE LUI VIÈTE.

RELATIILE LI VIETTE S20 2 ORE

Dacă f = ][,01

2

2

3

3 XCfaxaxaxa

3

0

321

3

1323121

3

2321

a

axxx

a

axxxxxx

a

axxx

f=a

4

0

4321

4

1432431421321

4

2433121

4

3

4321

01

2

2

3

3

4

4 ][,

a

axxxx

a

axxxxxxxxxxxx

a

axxxxxx

a

axxxx

XCfaxaxaxax

Page 37: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

REZOLVAREA ECUATIILOR ALGEBRICE S 21 2 ORE

Ecuaţii reciproce

Definiţie:O ecuaţie de forma 0,01

1

1

n

n

n

n

n aaxaxaxa pentru care

niaa iin 0, se numeşte ecuaţie reciprocă de gradul n.

Orice ecuaţie reciprocă de grad impar are rădăcina -1.

Ecuaţia reciprocă de gradul IV are forma:a 0,234 aabxcxbxx

Se împarte prin 2x şi devine a 0)1

()1

(2

2 cx

xbx

x ;notez x tx

1şi obţinem o

ecuaţie de gradul II.

Se consideră polinoamele 5, [ ]f g X∈ , 2(3 3 ) 2 2 3f a b X X a b= + + + + şi 22 2 3 2 .g X X a b= + + +

a) Să se determine 5,a b ∈ astfel încât cele două polinoame să fie egale.

b) Pentru 2a b= = să se calculeze în 5 suma (0) (1) (2) (3) (4)f f f f f+ + + + .

c) Pentru 2a b= = să se rezolve în 5 ecuaţia ( ) 0f x = .

a) Egalând coeficienţii termenilor asemenea se obţin valorile 2a = şi 2b = .

b) Se obţine (0) (1) (2) (3) (4) 0f f f f f+ + + + =

c) Se rezolvă ecuaţia 22 2 0x x+ = în 5 şi se obţin soluţiile 1 0x = şi 2 4x = .

Fie polinomul 3 2 4f X aX aX= + − − , [ ]f X∈ .

a) Să se determine a ∈ astfel încât 1 2 3 2x x x+ + = − , unde 1 2 3, ,x x x sunt rădăcinile reale ale

polinomului f .

b) Să se determine a ∈ astfel încât polinomul f să fie divizibil cu polinomul 2 2X − .

c) Să se determine a ∈ pentru care polinomul f are o rădăcină raţională pozitivă.

a) Din relaţiile lui Viete rezultă 2.a = b) Se obţine 2.a = c) Rădăcinile raţionale posibile sunt printre divizorii termenului liber. Se obţin valorile 2a = − sau

5a = − . În mulţimea [ ]XR se consideră polinomul 3 2 1f X pX= + + cu rădăcinile 1 2 3, ,x x x şi .p ∈

a) Să se calculeze ( )f p− .

b) Să se determine p ∈ pentru care polinomul f este divizibil cu 1.X −

c) Să se calculeze în funcţie de p ∈ suma 4 4 41 2 3 .x x x+ +

A doua ecuaţie 1 2 2 3 3 1

1 2 3

1

2

x x x x x x

x x x

+ +⇔ = ; 1 2 3 4x x x = − .

b) 1 1 2 3 2 1 2 1 3 2 3 3 1 2 3, ,s x x x s x x x x x x s x x x= + + = + + = ; ecuaţia: 3 21 2 3 0x s x s x s− + − = ecuaţia cerută

3 22 2 4 0x x x− − + = , deci 2, 2, 4a b c= − = − = .

c) Ecuaţia devine: ( )( )22 2 0x x− − = cu soluţiile: 1 2,32, 2x x= = ± . Soluţiile sistemului sunt

permutările acestora.

Page 38: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta

:

Se consideră polinomul [ ]f X∈ , 3 22f X X aX b= − + + cu rădăcinile 1 2 3, ,x x x .

a) Pentru 1a = şi 0b = să se determine 1 2 3, ,x x x .

b) Ştiind că 2 2 21 2 3 2x x x+ + = , să se arate că 1a = .

c) Ştiind că 2 2 21 2 3( )( )( )f X x X x X x= − − − , să se determine numerele reale a şi b .

( ) 1f p− = .

b) ( )1 0 2 0 2f p p= ⇔ + = ⇔ = − .

c) 2 2 2 21 2 3 1 2 1 3 3 2 1 2 3 1 2 3, 0 , 1x x x p x x x x x x x x x p x x x+ + = − + + = ⇔ + + = = − .

( ) ( )2 2 2 2 2 21 2 1 3 2 3 0 2 1 2x x x x x x p p+ + = − ⋅ − ⋅ − = − . 4 4 4 4

1 2 3 4x x x p p+ + = + .

Polinoame cu coeficienţi reali

Teoremă:Fie f ][XR ,f 0 .Dacă z = a+ib,b 0 este o rădăcină complexă a lui f,atunci:

1) z = a-ib este de asemenea o rădăcină complexă a lui f

1)z şi z au acelaşi ordin de multiplicitate.

Obs. : fzXzX /))((

Polinoame cu coeficienţi raţionali

Teoremă :Fie f ][XQ , f 0 .Dacă x 0 ba este o rădăcină a lui f,unde

a,b QbbQ ,0, ,atunci

1) bax 0 este de asemenea o rădăcină a lui f 2)x 0 , 0x au acelaşi ordin de

multiplicitate.

Obs. : fxXxX /))(( 00

Polinoame cu coeficienţi întregi

Teoremă :fie f= 0,01

1

1

n

n

n

n

n aaxaxaxa ;f ][XZ

1)Dacă x qpq

p,(0 numere prime între ele) este o rădăcină raţională a lui f,atunci

a)p divide termenul liber a 0

b)q divide pe a n

2)Dacă x p0 este o rădăcină întreagă a lui f,atunci p este un divizor al lui a 0 .

Polinoame ireductibile

Definiţie:Fie K un corp comutativ,f un polinom din K[X] cu gradf>0 se numeşte

reductibil peste K dacă există g,q din K[X] cu gradg<gradf,gradq<gradf astfel încât f=gq.

Dacă f nu este reductibil peste K atunci se spune că f este ireductibil peste K.

Prop.:Polinoamele de grad 2 sau 3 din K[X] sunt ireductibile peste K nu au rădăcini

în K.

Page 39: LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta