LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca...
Transcript of LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA · Procedeul de calcul al integralei definite ca...
������������ ��
������������������ ������������
��������� ������������ � �������
�������������������� ���������������������� ����������������������������������������
�������� ������������������������ ��������������� ���� ��������������� �����
���� ������������ �� ����������������������� � �� ����� � �T ������� ������
LEGE DE COMPOZITIE.TABLA . PROPRIETATI S1 1 ORA
����������������������������������� ������� � ����������
������������ ����������������������������!����������������
���������� ��������"������������������������������������
����
�"��������������������
��������������� �
���� ���#���������������������� ����$����������������$�
�������!�������������������������� ����
% &
%
&
��� ���
� � �
� �
� � �
�
� � � �
�
�
� � �
�
��
� ����
�
������������������ �����'�(����$�� �������!�������������� ���������� �����
���������������� ���������������������������$��� �������!����'�(� ����
������������ ������������
����������� �������'���(���������������������� ����
� � � �� � �� � � � � � � � � � �
�� ������� �� ������������� ���� � � �� � � �� � ��� �������� ���������� ���
� �� � � � � � � �
)�������������������������������������������������$��� �������!����'�(�� ���
� � � � � � � �
������������������ ����!��������������$�� �������!����'�(��������������������
*����������������������������������������������������������$��� �������!����'�(�
�����+������ ��������"�����#�� � � � � � ����������� ��������������������������
������������������������
,����!�����������$��� �������!�������������������������� ���������� ����������� �
���������� ��"������� ����������������"������ ��������� ��� ��������� ������������
�������������������$��� �������!����������������������������� ���������� ����������
������������ �� "������� ����� "������ ��������� �� ������� ��� ��� �� ��������� ������
��������-������� �����������"�������������!�����������$��� �������!������������$�
������������ ��"������
autor Bogdan C tin
PRIMITIVELE UNEI FUNCTII S2 1 ORA
Integrala nedefinita a unei functii continue s2 1 ora
�������
)�������� ������"��������������������� �� ����������$�� �������!����' (����
�������������� � �����$��� �������!�����
������� �����������������!� ��
���������������$����������������������������� ��������������� ���������������������
)��������������"��������������������� ����������$�� �������!����'�(�����
�������������� �����$�������������������������������������������
GRUP S2 1 ORA
!������������� ��"���������#������ ������ � � � ����$�����.������������ � �� �
������ � � � � � � ���� � � � �
�������� ���������
& &� � / � � 0 �� 12 $ % %� �� � ��!���������� ���������"�����!�����$���������
��� ��� �������� ������� �� ���� &�
*� �������& &� � / � � 0 %2'$ % $ %� � ��
3%
&�&� / � � 0 2
�
( % $ % %� �
�&� / �&� 0 �� %2'( % ( % ����!������������������������������"�����!��$������� �
��������� ������� ������������� ��� � ����� ������� ��$�� �&������������� ��� ���������
�� $�� � &� ������ ��� ���������� � ����� �� $�� � &�
.�����������4�����"�� �"������$��������'$�����'$
��������'$
��������������� ���� �#
����������� ��$�� �������������������������������������������"������� ����$�������
(���� ��� '(����� ������� ������������� ��� ���������� �� $�� ��� ��� ��� ��� ���������
� ����� �� $�� ���
GRUPURI DE MATRICE S3 1 ORA
PRIMITIVE UZUALE S3 1 ORA
�������������������
����%���������"�������������������������4���"������ �5������� ���%� �%�����������
������������������%��6�����������'%�����������������������������������%�
.������ �� � ���'%���� ������� ������������ ���� ������"������ � % %� ����
� �� � � � ��� �� ������%��������� � ������ ����������� �5�������� ����%
'� �
� � �%' � ������$����� �� ��� �������������������/%��&��������2���������!�� � � �
�' � �
GRUPUL DE PERMUTARI S4 1 ORA
���������������&��7���������������������� ����8�����������������$�����
�� ������-����� �
1� %� &� ���� %�
�� �
� ��.����� �"�������������������������������
����������������������������������������"���� �9 99 9� ��
99 ��
� �
�� �
Grupul claselor de resturi modulo n, }1,,2,1{^^^
nZn
),( nZ grup abelian
),( nZ -monoid comutativ ,în care }1),.(..../{)(^
nkcdmmcZkZU nn
Se consideră inelul ( )6 , ,+ ⋅ , unde { }6
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0, 1, 2, 3, 4, 5= .
a) Să se rezolve în 6 ecuaţia ˆ ˆˆ2 5 1x + = .
b) Să se calculeze determinantul
ˆ ˆ ˆ 1 2 3
ˆ ˆ ˆ 2 3 1
ˆ ˆ ˆ 3 1 2
în 6 .
c) Să se rezolve în 6 sistemul de ecuaţii
ˆ ˆ2 4
ˆ ˆ2 5
x y
x y
+ =
+ =.
PROPRIETATEA DE LINEARITATE A INTEGRALEI NEDEFINITE S4 1 ORA
���������� �������
����$�������� � � � � ���� � � � ���������"��� � � ���������������"��������� ���
����� � � � � � � � �" � � " � " � � � � �
���� � � � � ���� � � � ����$����������"����� "��� � � ������������������"�����
��� ���� �������%� � � � � � � � �" � � " � " � � � � ���������&��"������ �5�������
*���������$����� � ����� ������"� ���$����� � ��� ������� � �� �����+�������
�!����"����"��� � � ��,����!��������������������$����� ���������������"����$�����
���������� � �
����� ������$������������������"������!����"�����"��� � � ������������������"���
������������������"�������$������� �
MORFISME SI IZOMORFISME DE GRUPURI S5 1 ORA
Integrale definite
Teorema creşterilor finite
Dacă f(x) este continuă şi derivabilă pe un interval (a,b) atunci există un număr cuprins între a şi b astfel încât să avem:
( ) ( ) ( )( )abcfafbf −=− ' .
Justificarea geometrică a teoriei creşterilor finite
Din figura de mai sus reiese că în intervalul (a, b) există un punct c a cărui ordonată la curbă în punctul M are proprietatea că tangenta geometrică în punctul M este paralelă la AB. Scriem că panta tangentei în M este egală cu panta coardei AB.
ab
afbfcf
−
−=
)()()(' ,
de unde: f(b) – f(a) = f’(c)(b – a),
adică tocmai relaţia dată de teorema creşterilor finite.
M
A
B
c b x
a
y
0
DEFINIREA INTEGRALEI RIEMAN CU FUNCTII CONTINUE (FORMULA LEIBNIZ-NEWTON) S7 2 ORE
Noţiuni pregătitoare Considerăm o funcţie definită pe intervalul [a, b]. Împărţim acest
interval în n intervale parţiale prin punctele de diviziune :
a < x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.
În fiecare interval parţial [xi-1, xi] alegem un punct intermediar ξi, adică xi-1 ≤ ξ ≤ xi. Formăm produsul f(ξi)⋅(xi - xi-1) dintre valoarea funcţiei f(x) în punctul intermediar ξi şi lungimea intervalului parţial.
Să facem suma acestor produse:
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ).
...
11
1122011
∑=
−
−
−=
−++−+−=n
iiiin
nnnn
xxfS
xxfxxfxxfS
ξ
ξξξ
Dacă notăm, cum se mai obişnuieşte, cu Δxi diferenţa xi - xi-1, atunci:
( )∑=
Δ=n
iiin xfS
1
ξ .
Suma Sn se numeşte sumă integrală a funcţiei f(x). Pentru o altă alegere a punctelor intermediare vom obţine o altă sumă integrală.
Dacă toate sumele integrale au aceeaşi limită finită, când n→∞, indiferent de alegerea punctelor intermediare ξi, spunem că funcţia f(x) este integrabilă pe acest interval, iar limita unică:
( )∑=→∞
Δ=n
iii
n
xfI1
lim ξ .
se numeşte integrală definită a funcţiei f(x) pe intervalul [a, b]. Această integrală se notează:
( )∑∫=→∞
Δ==n
iii
n
b
a
xfxfI1
lim)( ξ .
Numerele a şi b se numesc limite de integrare: a este limita inferioară; iar b este limita superioară.
Formula Leibniz – Newton
Procedeul de calcul al integralei definite ca limită a sumelor integrale necesită calcule dificile. În continuare se va arăta legătura dintre integrala nedefinită (primitiva) unei funcţii şi integrala definită.
Fie f(x) o funcţie, continuă pe un interval [a, b] şi F(x) primitiva ei, deci ( ) ( )dxxfxF ∫= cu: F(x) = f(x). Să împărţim intervalul [a, b] în intervale
parţiale, prin punctele de diviziune:
a < x0 < x1 < x2 < ... < xn = b
şi aplicăm teorema creşterilor finite funcţiei F(x) în fiecare interval parţial:
( )( ) ( )( )1111 )()(')()( −−−− −=−−=− iiiiiiiiii xxfxFxFsauxxFxFxF ξξ , unde ξi de data aceasta este un punct din interiorul intervalului impus de teorema creşterilor finite. Făcând pe i = 1, 2, ..., n în ultima egalitate obţinem:
( )( )( )( )
( )( )
( )( ).)()(
)()(
..........................................................
)()(
)()(
11
11
12212
0111
∑=
−
−−
−=−
+
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
−=−
−=−
−=−
n
iiii
nnnn
xxfaFbF
xxfxFbF
xxfxFxF
xxfaFxF
ξ
ξ
ξ
ξ
În partea dreaptă a egalităţii am obţinut tocmai o sumă integrală.
Trecând la limită (n→∞) obţinem )()()( aFbFdxxfb
a
−=∫ , care este formula
Leibniz – Newton. Pentru simplificarea notaţiei diferenţa F(b) – F(a) se mai notează:
)()()()( aFbFxFdxxfb
a
b
a
−==∫ .
(Monotonia)
PROPRIETATI ALE FUNCTIILOR DE INTEGRARE S8 2 ORE
Aceste proprietăţi rezultă din formula Leibniz – Newton. 1. Valoarea integralei definite a unei funcţii nu depinde de variabila de
integrare, ci numai de limitele de integrare.
).()()()()()( aFbFdttfaFbFdxxfb
a
b
a
−=−= ∫∫
2. Valoarea integralei definite, cu limitele de integrare egale, este zero.
0)()()( =−=∫ aFaFdxxfa
a
.
3. O integrală definită schimbă semnul dacă schimbăm între ele limitele de integrare.
)()()()()()( bFaFdxxfaFbFdxxfa
b
b
a
−=−= ∫∫
deci:
∫∫ −=a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
4. O integrală definită poate fi descompusă într-o sumă de integrale după fragmentarea intervalului, în felul următor:
[ ] [ ] ∫∫∫
∫∫∫
=−=−+−=+
+=
b
a
b
c
c
a
b
c
c
a
b
a
dxxfaFbFcFbFaFcFdxxfdxxf
dxxfdxxfdxxF
)()()()()()()()()(
)()()(
Numărul c nici nu este nevoie să fie între a şi b. Proprietatea poate fi generalizată în felul următor:
∫∫∫∫ +++=b
c
c
c
c
a
b
a n
dxxfdxxfdxxfdxxf )(...)()()(2
1
1
OBSERVATII
INELE S9 1 ORA
�����
,�� ���� ��� �����!��� ��� �����!�� ������ ��� ����� ��������
)����������!��:�� ����� ��!������������������ ������'�:�(����' (������ �����$�� �
�����!�������!����������������������������������������������� ����
�;���!��:�������$����� ����
�<���!��=������������
������������������ ����� ������"��� ��� ������
������������!��������:����>����:����������:�����>����:����
,�������!��������������������$��� �������!����'�=�(����������������������������
*����������������!����������������������������� ��������1������1� ������1��������!
������������������!���������������������������������
)�������!��������������������� ���������"��������+�������<?�����>��������������!�
)���������������������������� ���������������"���� ���!����������!���������������
������� �� ������������ ����� ���� ����$����
������� ��� �����
7������������+����)������������������������������������������ ������ ���+�����
&�:�?���3%�:�&���@�>�@�:�1�����>�1�:�%�=�������������$��������;�������7������A�B�>�/��:����0���������2
������������������������ ��������A�B��:��=������������������$���
����*������������� �����!���������7�����!*�>�/�"� 0� "���*� �!2���������������
"��������"���*� �!��
.������"������!*��������*���"������������������������������������!��.����� �"�������"�
"���������"�:�����*� �!�� � �� � � � � �" � � " � � � ������*���
"����*� �!��� � �� � � � � �"� � " � � � ������������������������ �������"�������"���"��������
����!� ���� �����������7�����!A+B������������������� ��� ���"�������� ���!�
�!A+B��:�� =�����������
���� "� ���!A+B��������� � "�4��!� �!� �"����������� � "�4����>� "�������!��������!������
������� "������ ����������� ��������� ���������� "��6�������� "������ � "� � ���� ��� "� �
C��������"�����������������"��������������������� ���!���������������"��-�� ���
���������� ���!�������������� ���!��������������"���!A+B� ����"�� ��>�1�
������
)������,�������������� � ����1���%���������������������� ���,�������������!� �
������������������������������������������������������,�������������� ����������
��"������"���,� �, � ������������,�����������, ���������������"����-������"���.
�� �������� ���� ��������"���� ��!����"����� �� ��,� ��, � ����� ������ ��� �����
)�� �!����"��������"����� "� ��!� �!� �� �� ����� �!��:�� =�� ����� �����������������
�������"���������������������"��������������!��-���������������$������"����������
���������������
CORPURI S10 1 ORA
INTEGRAREA PRIN PARTI S10,S11 3 ORE
INTEGRAREA PRIN SCHIMBARE DE VARIABILA S11 1 ORA
Teorem (Formula de schimbare de variabil ) Fie RfJba ],[ (J interval din R) dou func ii cu propriet ile: 1) f este continu pe J 2) este derivabil , cu derivata continu pe [a,b]. Atunci
b
a
b
adxxfdtttf
)(
)()()('))(( (4.1.1)
Observa ie. a) Dac Rfdcba ],[],[ sunt dou func ii cu propriet ile: 1') f este continu pe [c,d] 2') este bijectiv , i 1 derivabile cu derivate continue, atunci
b
a
b
adxxxfdttf
)(
)(
1 )()')(())((
Aceast egalitate se mai nume te i a doua formul de schimbare de variabil . b) Datorit formulei Leibniz-Newton toate schimb rile de variabil prezentate la primitive se pot aplica i la calculul integralei definite. Propozi ie. Fie ],0( i R),(:f o func ie continu . Atunci avem: (i)
b
a
a
bbadxxfdxxf ),(,)(,)()(
În particular: a
aadxxfdxxf
0
0),()(,)()(
(ii) Dac f par atunci a
a
adxxfdxxf
0)(2)(
(iii) Dac f impar atunci a
adxxf 0)( .
Demonstra ie. (i) Se face substitu ia xt .
(ii) din (i) 0
0 0)()()(
a
a adxxfdxxfdxxf , de unde
a
a a
a adxxfdxxfdxxfdxxf
0
0 0)(2)()()(
(iii) din (i) 0
0 0)()()(
a
a adxxfdxxfdxxf , de unde
a
a a
adxxfdxxfdxxf
0
00)()()( .
Corolar. Fie ],0( i R),(:f o func ie continu . Atunci (i) Dac f par
a
aadxxxf ),()(,0)(
(ii) Dac f impar a
a
aadxxxfdxxxf
0),()(,)(2)(
(iii) Dac f arbitrar a
a
adxxfdxxf
0
22 )(2)( i a
aadxxxf ),()(,0)( 2
Exemplu. Ra)( avem: a
a
a a
a
a
a
n xdxxxdxxdxxdx0
12 0cos,0sin,cos2cos .
Propozi ie. Fie RR:f o func ie continu . Atunci avem:
(i) f periodic de perioad Tx
xcdttfT )( (constant ), Rx)( .
(ii) Urm toarele afirma ii sunt echivalente: a) Orice primitiv a lui f este periodic de perioad T. b) f este periodic de perioad T. c)
Tx
xxdttf R)(,0)(
Integrarea prin substituţie
Întrucât pentru rezolvare unei integrale definite de obicei trebuie găsită primitiva funcţiei, se aplică metoda substituţiei exact ca la integralele nedefinite, după care se aplică formula lui Leibnitz – Newton. Se poate găsi integrala definită fără a se mai reveni la vechea variabilă, având însă grijă să schimbăm limitele de integrare impuse de substituţie:
∫=b
a
dxxfI )(
x = ϕ(t) dx = ϕ’(t)dt a = ϕ(t1) b = ϕ(t2)
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ).')( 11211
2
1
2
1
tFtFtFdtttfdxxfI
t
t
t
t
b
a
−==⋅== ∫∫ ϕϕ
Exemplu: .1
4
0∫ +
=x
dxI
Rezolvare: tx = deci 2tx = dx = 2tdt
pentru x = 0 ⇒ t = 0; pentru x = 4 ⇒ t = 2
[ ] ).3ln2(2)1ln(21
112
12
1
2
0
2
0
2
0
4
0
−=+−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−=
+=
+= ∫∫∫ ttdt
tt
tdt
x
dxI
CALCULUL INTEGRALELOR DE FUNCTII RATIONALE S 14 1 ORA
Orice funcţie raţională f(x) se poate exprima, după cum se ştie, prin
câtul a două polinoame P(x) şi Q(x) adică:
)(
)()(
xQ
xPxf = .
Se numesc fracţii simple, fracţiile raţionale de forma:
bax
A
+;
( )nbax
A
+;
cbxax
A
++2 ; cbxax
BAx
++
+2 ;
( )ncbxax
A
++2;
( )ncbxax
BAx
++
+2
.
unde n ≥ 2, e un număr natural, iar ax2 + bx + c are rădăcini imaginare (b2-4ac<0), deci nu se mai poate descompune în factori reali.
Ne vom ocupa mai întâi de integrarea acestor funcţii cu excepţia ultimilor două, pe care nu le putem cuprinde în prezentul curs.
1. ∫ ∫ ++=+
=+
Cbaxa
A
bax
adx
a
Adx
bax
A)ln( ;
2. ( )∫ +
nbax
Adx ; ax+b=t a
btx
−=
a
dtdx =
( ) ( ) ( )( )
Cbaxna
AC
tna
A
t
dt
a
A
bax
Adxnnn +
+−⋅−=+
−⋅−==
+−−∫∫ 11 1
1
1
1 ;
3. ∫ ++ cbxax
Adx2
; Δ < 0;
Folosind identitatea:
D���������:��=������������ ������������� ����������������������
CORPUL S12 1 ORA�
� �
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+=++ 2
222
4
4
2 a
acb
a
bxacbxax ,
facem schimbarea de variabilă:
ta
bx =+
2 deci dx = dt
şi notăm:
22
2
4
4K
a
acb−=
−. (b2 - 4ac < 0)
Integrala devine:
Ck
tarctg
ak
A
kt
dt
a
A
cbxax
Adx+=
+=
++ ∫∫ 222,
după care se revine la vechea variabilă.
4. dxcbxax
BAx∫ ++
+2
. În acest caz mai întâi vom face să apară la numărător
derivata de la numitor 2ax + b. Acest lucru se poate realiza uşor, dacă nu se observă imediat, scriind:
( ) βα ++≡+ baxBAx 2 ,
unde coeficienţii α şi β se calculează prin metoda coeficienţilor nedeterminaţi.
Integrala dată se descompune astfel, într-o sumă de două integrale: un logaritm şi o integrală de tipul 3 studiată mai sus.
Considerăm acum integrala funcţiei raţionale oarecare:
∫= dxxQ
xPI
)()(
.
Cazul 1. gradul lui P(x) ≥ gradul lui Q(x). Atunci se poate face împărţirea, având C(x) câtul şi R(x) restul:
( )( )
( )( )xQ
xRxC
xQ
xP+= )( ,
unde gradul lui R(x) < gradul lui Q(x), iar integrala devine:
dxxQ
xRdxxCI ∫ ∫+=
)()(
)( .
Prima integrală se rezolvă simplu fiind o integrală dintr-un polinom (deci o sumă de puteri), iar a doua s-a redus la o integrală dintr-o fracţie în care gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului.
Cazul 2. gradul lui P(x) < gradul lui Q(x). Vom deosebi şi aici mai multe cazuri în funcţie de Q(x):
a. Numitorul Q(x) are numai rădăcini reale simple:
Q(x) = a(x – x1) (x – x2)... (x – xn).
Atunci fracţia se poate descompune într-o sumă de fracţii simple în felul următor:
n21 - ...
- - )()(
xx
M
xx
B
xx
A
xQ
xP+++= ,
unde constantele A, B, ..., M se determină prin identificare. Integrarea acestor fracţii nu mai prezintă dificultăţi, fiind o sumă de logaritmi:
( ) ( ) ( ) .ln...lnln
- ...
- - )(
)(
21
n21
CxxMxxBxxA
xx
dxM
xx
dxB
xx
dxAdx
xQ
xP
n +−++−+−=
=+++= ∫∫∫∫
b. Numitorul Q(x) are rădăcini reale multiple:
Q(x) = (x - x1)k · Q1(x).
În acest caz fracţia se poate descompune într-o suma de fracţii simple
de forma:
( ) ( ) )()(
... - - )(
)( 1
11
11 xQ
xQ
xx
M
xx
B
xx
A
xQ
xPkk +
−+++=
−,
unde constantele A, B, ..., M se determină prin identificare.
Fracţia )()(1
xQ
xQ se descompune şi ea în fracţii simple ca în cazul
precedent, fie ca în cazul care urmează. Integrala devine:
( ) ( )dx
xQ
xQ
xx
dxM
xx
dxB
xx
dxAdx
xQ
xPkk ∫∫∫∫∫ +
−+++=
− )()('
... - - )(
)( 1
11
11
.
Integralele din aceste fracţii simple au fost tratate. c. Numitorul Q(x) are şi rădăcini complexe:
)()()( 2
2 xQcbxaxxQ ⋅++= ,
unde trinomul ax2 + bx + c are rădăcini complexe. În acest caz funcţia se descompune într-o sumă de fracţii simple de forma:
)()(
)()( 2
2 xQ
xQ
cbxax
BAx
xQ
xP+
++
+= ,
unde constantele A, B se determină prin identificare.
Fracţia )()(2
xQ
xQ de asemenea se descompune ca în cazurile precedente:
Integrala devine:
∫∫∫ +++
+= dx
xQ
xQdx
cbxax
BAxdx
xQ
xP
)()(
)()( 2
2 .
Integrala din fracţia simplă din membrul II a fost tratată.
Exemplu: Să se rezolve integrala dxxx
xI ∫ −
+=
3
3
)1(1
,
Rezolvare:
1)1()1()1(1
233
3
−+
−+
−+=
−
+
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x.
Aducând la acelaşi numitor şi efectuând calculele avem:
( )3
23
3
3
)1(
)3()23(
)1(
1
−
−+−++−+−++=
−
+
xx
AxDCBAxDCAxBA
xx
x .
Fracţiile fiind identice, numitorii fiind identici, rezultă că şi numitorii sunt identici. Avem:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=+−+
=−+−
=+
1
03
023
1
A
DCBA
DCA
DA.
Rezolvând sistemul găsim A = -1, B = 2, C = 1, D = 2. Prin urmare:
,)1ln(21
1)1(
1ln
12
)1()1(2
)1(1
2
233
3
Cxxx
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
dxdx
xx
xI
+−+−
−−
−−=
=−
+−
+−
+−=−
+= ∫∫∫ ∫∫
sau:
Cx
x
x
xI +
−+
−−=
2
2
)1(ln
)1(.
Exemplu: Să se rezolve integrala dxxx
xI ∫ −
+=
3
3
)1(1
,
Forma algebrică a unui polinom f∈ C[X] este
f = a0+a1X+a2X2+…+anXn, ai∈ C, i = _____
no, , n≥ 0. Dacă f, g ∈C[X], f=a0+a1X+a2X2+…+anXn, g= b0+b1X+b2X2+…+bnXn, atunci 1. (Egalitatea polinoamelor) Polinomul f este egal cu polinomul g şi scriem f = g ⇔ ai = bi, )(∀ i ≥ 0. 2. (Suma a două polinoame) Suma polinomului f cu polinomul g este polinomul
notat f+g şi egal cu f+g = (a0+b0)+(a1+b1)X+(a1+b1)X2+… 3. (Produsul a două polinoame) Produsul polinomului f cu polinomul g este
polinomul notat fg, egal cu fg = a0b0+( a0b1+ a1b0)X + ( a0b2+ a1b1+a2b0)X2+…
OPERATII CU POLINOAME S 17 1 ORA
Un element f∈A[x] are forma f = a0+a1X+a2X +…+anX , ai∈ A, i =≥ 0 şi se numeşte polinom de nedeterminată X peste A.
Elementele a0, a1,…, an∈ A se numesc coeficienţii polinomului f. În cazul particular când A∈ { }pn ZC,R,Q,,ZZ, se obţin mulţimile de polinoame Z[X] = mulţimea polinoamelor peste Z (sau având coeficienţi întregi), Zn[X] = mulţimea polinoamelor peste Zn(având coeficienţi clase de resturi de
modulo n), Q[X] = mulţimea polinoamelor peste Q, R[X] = mulţimea polinoamelor peste R, C[X] = mulţimea polinoamelor peste C, Zp[X] = mulţimea polinoamelor peste Zp(p – prim). Spre exemplu, f1 = 3-2X+X3∈Z[X], f2 = 2X2̂1̂+ ∈ Z4[X], f3 =
22XX53
21
+− ∈Q[X], f4 = 2- 2X3 + 3X21
∈R[X], f5 = 3+ X21 -(1+i)X2- 3X2 ∈C[X].
Pe mulţimea A[X] se definesc ca şi în cazul lui C[X] următoarele operaţii: 1. (Egalitatea polinoamelor) Dacă f, g ∈ A[X], f = a0+a1X+a2X2+…+anXn, g = b0+b1X+b2X2+…+bnXn, atunci polinomul f este egal
cu g şi scriem: f = g ⇔ ai = bi, )(∀ i ≥ 0. 2. (Suma a două polinoame) Suma polinomului f cu polinomul g este polinomul
notat f+g şi egal cu f+g = (a0+b0)+(a1+b1)X+(a1+b1)X2+… 3. (Produsul a două polinoame) Produsul polinomului f cu polinomul g este
polinomul notat fg, egal cu fg = a0b0+( a0b1+ a1b0)X + ( a0b2+ a1b1+a2b0)X2+…
Obs.
Deci două polinoame sunt egale dacă coeficienţii termenilor care conţin pe X la aceleaşi puteri sunt egali.
Adunarea polinoamelor se face adunând între ei termenii asemenea (cu puteri egal ale lui X). Înmulţirea a două polinoame se face înmulţind fiecare termen din primul polinom cu fiecare termen din al doilea polinom, după care se reduc termenii asemenea (la fel ca în C[X]).
Exemple. 1. Fie f = X4+5X3+aX2+c∈R[X] şi g = (X2-1)(X+3)(X+2). Să se determine a, b, c astfel încât f = g.
R. Dezvoltând produsul din scrierea lui g avem: g =X4+5X3+5X2-5X-6. Acum
XXX
gf0
2
⇔=6c5b
5a
−=−=
= (am identificat coeficienţii lui X2, X, X0 din cele două
polinoame). 2. Consideră polinoamele f, g ∈R[X], f = X3+5X2-3X+1,
g = a+b(X-1)+c(X-1)2 + d(X-1)3. Să se determine a, b, c, d ∈R astfel încât f =g. Condiţia de egalitate a celor două polinoame este:
0
2
3
XXXX
dcba13d2cb3
3dc5d1
−+−=+−=−
−==
Rezolvând acest sistem de ecuaţii liniare se obţine soluţia a = 4, b = 10, c =8, d = 1. 3. Să se calculeze f+g şi f·g în cazurile: 1) f = X2-5X+1, g = 3x-2, f, g∈ Z[X];
2) f = 53XX21 23 +− , g = XX
31X
21 23 −+− ∈Q[X];
3) f = 1̂XX2̂ 2 ++ , g = 3̂X3̂X2̂ 2 ++ , f, g ∈ Z4[X]; 4) f = 3̂X2̂ + , g = X,4̂X2 + f, g ∈ Z5[X]. R. Avem: 1) f + g = X2-2X+1 şi f·g = 3X3-17X2+13X-2,
f+g, f·g ∈ Z[X];
2) f + g = 5XX38 2 +−− , f·g = 5XX
35X
21X
23X
35X
21 23456 −++−+− , f+g,
f·g ∈ Q[X]; 3) f + g = 0̂ ; f·g = 3̂X2̂X3̂ 2 ++ , f+g, f·g ∈ Z4 [X]; 5) f + g = 3̂XX2 ++ , f·g = X2̂XX2̂ 23 ++ , f+g, f·g ∈ Z5 [X].
GRADUL UNUI POLINOM
Fie f = a0+a1X+a2X2+…+anXn∈ A[X]. Vom scrie prescurtat f = ∑=
n
0i
iiXa .
Def. Se numeşte gradul polinomului f ≠ 0, notat grad(f), cel mai mare număr natural n cu
proprietatea an≠ 0. Dacă f = 0, atunci grad(f) = -∞ . Dacă grad(f) = n, atunci f = a0+a1X+a2X2+…+anXn, an≠ 0. Termenul a0 se numeşte termenul liber al polinomului f, iar coeficientul an≠ 0 se
numeşte coeficientul dominant al polinomului f. Din definiţie rezultă că elementele nenule ale inelului A sunt polinoamele de
gradul zero.
ARIA UNEI SUPRAFETE PLANE S17 1 ORA
������������������������������ ��������������������
���������� ��������������/�����,����������������������"������,A+B������1���+���������
���������������������0������,A+B����"�����#����"�>��0�:�������� ��$�� ���E�$�� ��
��������1�
TEOREMA IMPARTIRII CU REST S 17 1 ORA
.���������0������ �����������������������"�>��0�)��������������1��������������
������� ���������� ���������� "� ����� ����������
TEOREMA LUI BEZOUT SI SCHEMA LUI HORNER.DIVIZIBILTATE S18 2 ORE
����,�������������������"������,A+B��*���������"� ������������������������������ 0
"� ����� " �� �� �����+�����2���,A+B���� "�>�� 2�
����,�������������������"������,A+B��*���������"�������������������������������������
������� " �� �� �����"�0��������0�"�
������������������F����� �������������������� "���,A+B������+�3� � ���,A+B� ����
�$�� ��� �������� ��� � �� ���������� "�
�������� ����34������.������� "� ���,A+B� ��� ��� ���������������+� 3� � ���,A+B
������������� ���� "� � ��>�1�
����,������������������"���,A+B������,���������������&��*����������������������
����� ������������ ����+�3�����0�"�����
%
� � 0�
+ � " �
����,� ������������������%
% % 1���
� �
� �" � + � + � + � �� ���,A+B��.������
% &
% %� %� ���
� �
� �" �� + � � + � � ��� ���������������� "������� �� ������� *� �
�����������"�
5��������"����������������**��� ������������"������� ��������"������ ���� ����D��
����������"� ����������������"� �
5��������"����������������6��� ������������"������� ��������"������ ���� ����D��
����������� %�6
" �
Teoremă. Pentru orice f∈ A[X] şi orice a∈A, există q∈ A[X] astfel încât f = (X-a)q+f(a).
. Aplicând teorema împărţirii cu rest, pentru f şi X-a, există q, r ∈ A[X], unice pentru care
f = (X-a)q+r, grad(r)<1. Considerăm aplicaţia x→ f(x) definită pe A cu valori în A. Cum polinoamele f şi (X-a)q+r sunt egale, ele definesc aceeaşi funcţie
polinomială. Deci f(x) = (x-a)q+r, )(∀ x∈ A. Punând aici x = a rezultă f(a) = r. Această teoremă precizează că în cazul în care un polinom f se împarte la
polinomul X-a, atunci restul acestei împărţiri se poate calcula luând valoarea funcţiei polinomiale asociate lui f în x = a, adică f(a).
În cazul împărţirii unui polinom f prin X-a, câtul q şi restul e din teorema împărţirii cu rest se pot determina utilizând cunoscuta schemă a lui Horner. Dacă f = anXn+an-1Xn-1+…+a1X+a0, atunci schema arată astfel:
Xn Xn-1 Xn-2 … X X0 an an-1 an-2 a1 a0
X=a
1-b
a
n
n
2-b
aa·a
n
1nn −+
3-b
ab·b
n
2n2-n −+ …
0b
aa·b
11 + a·b0 +a0 = f(a) = r
Xn-1 Xn-2 Xn-3 … X0
Teoremă. Un element a∈A este rădăcină a polinomului f∈ A[X] dacă şi numai dacă X-a divide
pe f.
Coeficienţii bn-1, bn-2,…, b0 sunt coeficienţii câtului, adică q = bn-1Xn-1+an-2Xn-2+…+b1X+b0, iar r = f(a) este dat de elementul care apare în ultima rubrică.
Din teorema restului se obţine teoremă a lui Bézout, care stabileşte legătura între divizorii de gradul unu al polinomului f∈ A[X] şi rădăcinile din A ale acestui polinom. Mai precis are loc următoarea Teoremă.
Un element a∈A este rădăcină a polinomului f∈ A[X] dacă şi numai dacă X-a divide pe f.
Probleme rezolvate 1. Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f = 3X3-2X2+3X – 5 ∈Z[X] prin g = X+2. R. Scriem pe g sub forma g = X-(-2) şi alcătuim schema lui Horner. Avem:
X3 X2 X X0 3 -2 3 -5
X = -2 3 (-2)·3 + (-2) = -8 (-2)(-8)+3 = 19 (-2)·19 –5 =-43 = r = f(-2) X2 X X0
Deci câtul este q = 3X2-8X+19, iar restul r = f(-2) = -43. 2. Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f = 2̂X4̂X5̂X2̂ 23 +++ prin g = X+3̂ , f, g∈Z6[X]. R. Avem g = X – (- 3̂ ) = X- 3̂ . Schema lui Horner este:
X3 X2 X X0 2̂ 5̂ 4̂ 2̂
X = 3̂ 2̂ 3̂ · 2̂ + 5̂ = 5̂ 3̂ · 5̂ + 4̂ = 1̂ 3̂ ·1̂+ 2̂ = 5̂ = r = f( 3̂ ) X2 X X0
Deci câtul este q = 2̂ X2+5̂ X+1̂, iar restul este r = f( 3̂ ) = 5̂ .
3. Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f în cazurile: 1) f = 3X3+2X2-X + 5, g = X2-X, f, g∈Z[X]; 2) f = 2X4-3X2+X, g = - X3+X-2, f, g∈Z[X];
3) f = 31 X3 -2X2+
53 X-
21 , g = 3X2-
21 X, f, g∈Q[X];
4) f = X3 +(-2i+1)X2+(-7-i)X+6i+2, g = X-i, f, g∈C[X]; 5) f = 2̂ X3+3̂X2+ 2̂ X+1̂, g = 5̂ X2+ 2̂ X, f, g∈Z6[X];
R. 1) Avem schema de împărţire cunoscută (observaţg este 1, adică inversabil în Z): 3X3+2X2-X + 5 X2-X - 3X3+2X2 3X+5 5X2- X + 5 Deci q = 3X+5 şi r = 4X+5 -5X2+5X 4X+5
2)
2X4-3X2+X - X3+X-2 - 2X4+2X2-4X -2X Deci q = -2X şi r = -X2-3X -X2-3X
3)
31 X3-2X2+
53 X-
21 3X2-
21 X
23 X181X
31 +− -
5435-X
91
1835− X2-
53 X-
21
Deci q = -
5435-X
91 şi
X10835X
18235 −
r =
540149 X-
21
540149 X-
21
4)
X3 +(-2i+1)X2+(-7-i)X+6i+2 X-i - X3+ i X2 X2+(-i+1)X-6 (-i+1)X2+(-7-i)X+6i+2 -(-i+1)X2+(-i+1)X (-6)X+6i+2 6 X- 6i 2
Deci q = X2+(-i+1)X-6 şi r = 2.
5) Să observăm că ne plasăm cu împărţirea într-un inel cu divizori ai lui zero. Dar
elementul dominant al lui g este 5̂ , care este inversabil în Z6[X] şi 5̂ -1 = 5̂ .
2̂ X3 + 3̂ X2+ 2̂ X+1̂ 5̂ X2+ 2̂ X 23 X2̂X2̂ −− 4̂ X+5̂
X2 + 2̂ X +1̂
X4̂X- 2 −
- 2̂ X+1̂= 4̂ X+1̂ Pentru a găsi coeficientul primului element al câtului trebuie să avem egalitatea
2̂ = 5̂ ·c1. De aici 2̂ · 5̂ -1= c1, adică c1 = 4̂ . Pentru a găsi coeficientul celui de-al doilea termen al câtului rezolvăm ecuaţia 1̂=
5̂ ·c2. De aici c2 = 5̂ -1 = 5̂ . 4. Să se determine m, n ∈R astfel încât polinomul
f = X4+(m-3)X3+(2m+3)X2-nX+3 împărţit cu X-1 şi respectiv X+1 să dea resturile 5, respectiv 3. R. Restul r obţinut la împărţirea unui polinom f prin X-a este (teorema restului) r = f(a). În cazul nostru avem condiţiile:
⎩⎨⎧
=++=++
⇔⎩⎨⎧
==
0445123
f(-1) 3 f(1) 5
nmnm
cu soluţia m = 5
12 , n = 58
− .
5. Să se determine restul împărţirii polinomului f= X4-3X3+2X2-X+3 prin polinomul g = (X+1)(X-2). R. Desigur, se poate face împărţirea directă a lui f prin g = X2-X-2. Dacă utilizăm teorema împărţirii cu rest a lui f lag avem egalitatea f = gq+r, grad(r)<grad(g) = 2. Deci r poate fi cel mult polinomul de gradul întâi r = aX+b. A determina pe r revine la a găsi pe a şi b. Avem egalitatea de polinoame f = gq+aX+b. Calculăm valoarea acestor polinoame în x = -1 şi respectiv x = 2 (valori în care se anulează g) şi avem relaţiile:
⎩⎨⎧
+=+−=−
.2)2()1(
bafbaf
Cum f(-1) = 10 şi f(2) = 1 se rezolvă sistemul
⎩⎨⎧
=+=+−1210
baba
când obţinem soluţia a = -3, b = 7.
Deci restul este r = -3X+7.
CMMMC,CMMDC A DOUA OLINOAME SI DESCOMPUNERE IN FACTORI IREDUCTIBILI S19 2 ORE
Def. Fie f, g ∈K[x] ( = corp comutativ) două polinoame.
1. Spunem că g DIVIDE f sau, echivalentul, f se divede cu g, dacă )(∃ h ∈K[x] cu f = gh. Scriem g/h (citim „g divide f”) sau, echivalent, f g (citim „f se divide g”).
2. Spunem că f şi g sunt asociate în divizibilitate dacă se divid reciproc, adică f/g şi g/f.
Scriem f~ g. 3. Spunem că polinoamele f şi g au cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.)
d∈K[x satisfăcând condiţiile: i) d este divizor comun pentru f şi g, adică d/f şi d/g. ii) Orice alt divizor comun pentru f şi g îl divide pe d, adică )(∀ d’∈K[x] cu d’/f
şi d’/g ⇒d’/d. Notăm cu (f, g) c.m.m.d.c. al polinoamelor f şi g. f~ g )(∃ u ∈U(K[x]x) = K*, astfel încât f = ug.
Propoziţie: Pentru f, g ∈K[x] avem echivalenţa:
Altfel spus, două polinoame sunt asociate dacă şi numai dacă diferă printr-un factor inversabil (polinom de gradul zero).
c.m.m.m.c(f,g)=(f g )/c.m.m.d.c(f,g)
3
Lemă: Fie f, g, q, r ∈ K[x] polinoame legate prin relaţia f = qg+r. Dacă există (g, r) atunci există (f, g) şi avem: (f, g) = (g, r).
Teoremă: Fie f, g ∈ K[x], g≠ 0. Atunci:
i) Şirul de împărţiri cu rest (1) este finit, adică există K≥ astfel încât rk =0. ii) Există c.m.m.d.c. al polinoamelor f şi g şi acesta este ultimul rest nenul, adică
(f, g) = rk-1 când k≥ 2. (Când k = 1 înseamnă că prima împărţire se face exact şi atunci (f, g) = (g, r).
Obs. Oricare două polinoame care reprezintă c.m.m.d.c. a două polinoame fixate, sunt asociate în divizibilitate. Def. Dacă (f, g) = 1 spunem că polinoamele f şi g sunt relativ prime sau prime între ele.
Obs. Există echivalenţa: (f, g) = 1⇔ )(∃ u,v∈K[x] cu uf+vg =1.
Propoziţie: Fie f, g ∈K[x] astfel încât f/gh, iar (f, g) = 1. Atunci f/h.
Def. 1. Un polinom p∈K[x], nenul şi neinversabil (echivalent spus, neasociat cu 0 sau 1 sau, totuna, de grad ≥ 1) se numeşte ireductibil în inelul K[x] sau ireductibil peste corpul K, dacă, abstracţie făcând de asocieri, singurii săi divizori în K[x] sunt 1 şi p. Aceasta înseamnă că: )(∀ q∈K[x], q/p Q = r sau q = 1. 2. Un polinom nenul şi neinversabil care nu este ireductibil se mai numeşte reductibil în K[x].
Exemplu: În orice inel K[x] polinoamele de gradul 1 sunt ireductibile.
Lemă: Fie p∈K[x] un polinom ireductibil şi f∈K[x] un polinom oarecare. Dacă p nu divide f, atunci (p, f) = 1.
Propoziţie: Fie p∈K[x] un polinom nenul şi neinversabil. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
1. p este ireductibil în K[x]. 2. )(∀ f, g ∈K[x] cu p/fg ⇒p/f sau p/g. (Aşadar, un polinom este ireductibil dacă şi numai dacă ori de câte ori divide un
produs, rezultă că divide unul din factori).
4
Lemă: Fie p∈K[x] un polinom ireductibil şi f∈K[x] un polinom oarecare. Dacă p nu divide f, atunci (p, f) = 1.
Propoziţie: Fie p∈K[x] un polinom nenul şi neinversabil. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
1. p este ireductibil în K[x]. 2. )(∀ f, g ∈K[x] cu p/fg ⇒p/f sau p/g.
(Aşadar, un polinom este ireductibil dacă şi numai dacă ori de câte ori divide un produs, rezultă că divide unul din factori). Teoremă: Orice polinom nenul şi neinversabil din K[x] se descompune în mod unic într-un produs finit de polinoame ireductibile din K[x]. Unicitatea este înţeleasă abstracţie făcând de asocieri şi de ordinea factorilor. Propoziţie: În inelul C[x] singurele polinoame ireductibile sunt cele de gradul 1. Consecinţă: Orice polinom f∈C[x], nenul şi neinversabil, se descompune în mod unic în factori liniari în inelul C[x].
Propoziţie: Fie p∈K[x] un polinom grad ≥ 2.
i) O condiţie necesară ca polinomul p să fie ireductibil în K[x] este ca el să nu aibă rădăcini în corpul K.
ii) Dacă grad p ∈{ }3,2 , condiţia necesară de la i) este şi suficientă, deci p este ireductibil dacă şi numai dacă nu are rădăcini în K.
Exemplu: Polinomul p = x2+1 ∈R[x], nenul şi neinversabil, se descompune în mod unic în inelul R[x] într-un produs de factori liniari sau factori de gradul 2 fără rădăcini reale.
Consecinţă: Orice polinom f∈R[x], nenul şi neinversabil, se descompune în mod unic în inelul R[x] într-un produs de factori liniari sau factori de gradul 2 fără rădăcini reale. Def. Un polinom f∈R[x] se numeşte polinom primitiv dacă c.m.m.d.c. al tuturor coeficienţilor săi este egal cu 1.
Propoziţie: 1. Orice polinom f∈R[x] se scrie sub forma f = ag, unde a∈Z, iar g∈Z[x] este un polinom primitiv. 2. Orice polinom f∈R[x] se scrie sub forma f = rg, unde r∈Q, iar g∈Z[x] este un polinom primitiv.
Propoziţie Fie f∈K[x], f = a0 + a1x+…+anxn un polinom de gradul n. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: 1. Polinomul f se descompune în inelul K[x] într-un produs de factori liniari, nu neapărat distincţi X-x1, X-x2,…, X-xn. 2. Rădăcinile polinomului f în corpul K sunt x1, x2,…, xn presupuse nu neapărat distincte. 3. Există egalitatea f = an(X-x1) (X-x2)…( X-xn).
Propoziţie: Fie f∈K[x] un polinom de grad n, care are în corpul K rădăcinile x1, x2,…, xn multiple respectiv de ordin n1, n2,…, nk cu n1+ n2+…,+ nk = n. Atunci, descompunerea lui f în factori ireductibili în inelul K[x] este:
f = an(X-x1)n1 (X-x2) n2…( X-xk) nk unde an este coeficientul dominant al polinomului f.
Propoziţie: Fie f = anxn + an-1xn-1+…+a1x+a0∈K[x] un polinom de grad n care are în corpul K rădăcinile x1, x2,…, xn, nu neapărat distincte. Atunci au loc egalităţile:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=
−=
−=
=
∏
∑
∑
∑
≤≤
≤<<≤
≤≤≤
≤≤
ni1 n
0nj
n)i...ii(1 n
p-npipi2i
n)ji(1 n
2-nji
n
1-n
n)i(1i
.aa
1)(x
.................................
aa
1)(...xxx
................................a
2axx
aa x
p21
Aceste inegalităţi se numesc FORMULELE LUI VIÈTE.
RELATIILE LI VIETTE S20 2 ORE
Dacă f = ][,01
2
2
3
3 XCfaxaxaxa
3
0
321
3
1323121
3
2321
a
axxx
a
axxxxxx
a
axxx
f=a
4
0
4321
4
1432431421321
4
2433121
4
3
4321
01
2
2
3
3
4
4 ][,
a
axxxx
a
axxxxxxxxxxxx
a
axxxxxx
a
axxxx
XCfaxaxaxax
REZOLVAREA ECUATIILOR ALGEBRICE S 21 2 ORE
Ecuaţii reciproce
Definiţie:O ecuaţie de forma 0,01
1
1
n
n
n
n
n aaxaxaxa pentru care
niaa iin 0, se numeşte ecuaţie reciprocă de gradul n.
Orice ecuaţie reciprocă de grad impar are rădăcina -1.
Ecuaţia reciprocă de gradul IV are forma:a 0,234 aabxcxbxx
Se împarte prin 2x şi devine a 0)1
()1
(2
2 cx
xbx
x ;notez x tx
1şi obţinem o
ecuaţie de gradul II.
Se consideră polinoamele 5, [ ]f g X∈ , 2(3 3 ) 2 2 3f a b X X a b= + + + + şi 22 2 3 2 .g X X a b= + + +
a) Să se determine 5,a b ∈ astfel încât cele două polinoame să fie egale.
b) Pentru 2a b= = să se calculeze în 5 suma (0) (1) (2) (3) (4)f f f f f+ + + + .
c) Pentru 2a b= = să se rezolve în 5 ecuaţia ( ) 0f x = .
a) Egalând coeficienţii termenilor asemenea se obţin valorile 2a = şi 2b = .
b) Se obţine (0) (1) (2) (3) (4) 0f f f f f+ + + + =
c) Se rezolvă ecuaţia 22 2 0x x+ = în 5 şi se obţin soluţiile 1 0x = şi 2 4x = .
Fie polinomul 3 2 4f X aX aX= + − − , [ ]f X∈ .
a) Să se determine a ∈ astfel încât 1 2 3 2x x x+ + = − , unde 1 2 3, ,x x x sunt rădăcinile reale ale
polinomului f .
b) Să se determine a ∈ astfel încât polinomul f să fie divizibil cu polinomul 2 2X − .
c) Să se determine a ∈ pentru care polinomul f are o rădăcină raţională pozitivă.
a) Din relaţiile lui Viete rezultă 2.a = b) Se obţine 2.a = c) Rădăcinile raţionale posibile sunt printre divizorii termenului liber. Se obţin valorile 2a = − sau
5a = − . În mulţimea [ ]XR se consideră polinomul 3 2 1f X pX= + + cu rădăcinile 1 2 3, ,x x x şi .p ∈
a) Să se calculeze ( )f p− .
b) Să se determine p ∈ pentru care polinomul f este divizibil cu 1.X −
c) Să se calculeze în funcţie de p ∈ suma 4 4 41 2 3 .x x x+ +
A doua ecuaţie 1 2 2 3 3 1
1 2 3
1
2
x x x x x x
x x x
+ +⇔ = ; 1 2 3 4x x x = − .
b) 1 1 2 3 2 1 2 1 3 2 3 3 1 2 3, ,s x x x s x x x x x x s x x x= + + = + + = ; ecuaţia: 3 21 2 3 0x s x s x s− + − = ecuaţia cerută
3 22 2 4 0x x x− − + = , deci 2, 2, 4a b c= − = − = .
c) Ecuaţia devine: ( )( )22 2 0x x− − = cu soluţiile: 1 2,32, 2x x= = ± . Soluţiile sistemului sunt
permutările acestora.
:
Se consideră polinomul [ ]f X∈ , 3 22f X X aX b= − + + cu rădăcinile 1 2 3, ,x x x .
a) Pentru 1a = şi 0b = să se determine 1 2 3, ,x x x .
b) Ştiind că 2 2 21 2 3 2x x x+ + = , să se arate că 1a = .
c) Ştiind că 2 2 21 2 3( )( )( )f X x X x X x= − − − , să se determine numerele reale a şi b .
( ) 1f p− = .
b) ( )1 0 2 0 2f p p= ⇔ + = ⇔ = − .
c) 2 2 2 21 2 3 1 2 1 3 3 2 1 2 3 1 2 3, 0 , 1x x x p x x x x x x x x x p x x x+ + = − + + = ⇔ + + = = − .
( ) ( )2 2 2 2 2 21 2 1 3 2 3 0 2 1 2x x x x x x p p+ + = − ⋅ − ⋅ − = − . 4 4 4 4
1 2 3 4x x x p p+ + = + .
Polinoame cu coeficienţi reali
Teoremă:Fie f ][XR ,f 0 .Dacă z = a+ib,b 0 este o rădăcină complexă a lui f,atunci:
1) z = a-ib este de asemenea o rădăcină complexă a lui f
1)z şi z au acelaşi ordin de multiplicitate.
Obs. : fzXzX /))((
Polinoame cu coeficienţi raţionali
Teoremă :Fie f ][XQ , f 0 .Dacă x 0 ba este o rădăcină a lui f,unde
a,b QbbQ ,0, ,atunci
1) bax 0 este de asemenea o rădăcină a lui f 2)x 0 , 0x au acelaşi ordin de
multiplicitate.
Obs. : fxXxX /))(( 00
Polinoame cu coeficienţi întregi
Teoremă :fie f= 0,01
1
1
n
n
n
n
n aaxaxaxa ;f ][XZ
1)Dacă x qpq
p,(0 numere prime între ele) este o rădăcină raţională a lui f,atunci
a)p divide termenul liber a 0
b)q divide pe a n
2)Dacă x p0 este o rădăcină întreagă a lui f,atunci p este un divizor al lui a 0 .
Polinoame ireductibile
Definiţie:Fie K un corp comutativ,f un polinom din K[X] cu gradf>0 se numeşte
reductibil peste K dacă există g,q din K[X] cu gradg<gradf,gradq<gradf astfel încât f=gq.
Dacă f nu este reductibil peste K atunci se spune că f este ireductibil peste K.
Prop.:Polinoamele de grad 2 sau 3 din K[X] sunt ireductibile peste K nu au rădăcini
în K.