INDEPENDENŢA DE DRUM A INTEGRALEI CURBILINII DE SPEŢA A DOUA

În acest paragraf vom analiza cazul când integrala curbilinie de speţa a doua

depinde numai de extremităţile curbei şi nu depinde de curba însăşi. Acest caz este interesant atât din punct de vedere matematic, deoarece calculul unei astfel de integrale este mai simplu, cât şi din punct de vedere practic, deoarece are aplicaţii în termodinamică.

Definiţia 4.6.1. Fie A ⊂ o mulţime deschisă şi fie P, Q, R : A → Ρ, trei

funcţii oarecare. Se numeşte formă diferenţială de gradul întâi pe mulţimea A, de coeficienţi P, Q şi R, următoarea expresie:

3

( ) ( ), , d , , dP x y z x Q x y z yω = + +

( ), , dR x y z z+ , ∀ ( ), ,x y z A∈ . Dacă, în plus P, Q şi R sunt de clasă pe A,

atunci ω se numeşte formă diferenţială de gradul întâi, de clasă .

PCPC

Exemplul 4.6.1. Dacă este diferenţiabilă pe A, atunci

diferenţiala sa de ordinul întâi:

3:f A ⊂ →f f f

df dx dy dzx y z

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ este o formă diferenţială

de gradul întâi pe A, de coeficienţi ,f fx y

∂ ∂∂ ∂

şi fz

∂∂

.

Formele diferenţiale de tipul celui din Exemplul 4.6.1 se numesc exacte. Mai precis:

Definiţia 4.6.2. Forma diferenţială de gradul întâi ( ), , dP x y z xω = +

( ), , dQ x y z y+ ( ), , dR x y z z+ , ∀ ( ), ,x y z A∈ se numeşte exactă, dacă există o

funcţie ( )1f C A∈ astfel încât dfω = , ceea ce revine la următoarele egalităţi pe

A: , ,f f f

P Q Rx y z

∂ ∂= = =

∂ ∂∂∂

.

Observaţia 4.6.1. Dacă considerăm câmpul vectorial , 3:v A →

r

( ), ,v x y z =r

( ) ( ) ( ), , , , , ,P x y z i Q x y z j R x y z k+ +rr r

, ∀ ( ), ,x y z A∈ , atunci forma diferenţială ω , de coeficienţi P, Q şi R, este exactă pe A, dacă v

r este un câmp de

Page 1

Onl

y fo

r stu

dent

s

potenţial, adică dacă ∃ ( )1f C A∈ astfel încât vr

= grad f (Vezi [10], Definiţia 4.14.4).

Teorema 4.6.1. Fie D ⊂ un domeniu şi fie P, Q, şi R trei funcţii reale,

continue pe D. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: 3

(i) Forma diferenţială Pdx Qdy Rdzω = + + este exactă pe D;

(ii) , pentru orice curbă înschisă γ, netedă pe porţiuni,

al cărui suport este inclus în D;

0Pdx Qdy Rdzγ

+ + =∫

(iii) nu depind de drum în domeniul D, în sensul următor:

oricare ar fi două puncte A, B ∈ D şi oricare ar fi două curbe netede pe porţiuni,

Pdx Qdy Rdzγ

+ +∫

1γ şi 2γ care au suporturile incluse în D şi au aceleaşi capete A şi B avem:

1 2

dz Pdx Qdy Rdzγ γ

= + +∫ ∫Pdx Qdy R+ +

Demonstraţie. (i) ⇒ (iii). Prin ipoteză,

există ( )1f C D∈ astfel încât: f

Px

∂=

∂,

fQ

y∂

=∂

, f

Rz

∂=

∂ (1)

Fie A şi B două puncte oarecare din D şi fie γ o curbă netedă pe porţiuni, al cărui suport AB este inclus în D. Dacă ( )x x t= , ,

, este o reprezentare parametrică a curbei γ, atunci A are coordo- natele (

( )y y t=

])

[( ), ,z z t t a b= ∈

( ), ( ), ( )x a y a z a iar B are coordonatele ( )( ), ( ), ( )x b y b z b .

Fig. 1

Fie F: [a, b] → Ρ, funcţia compusă definită astfel: [ ]( ) ( ), ( ), ( )F t f x t y t z t= , t ∈ [a, b].

Ţinând seama de formulele de derivare ale funcţiilor compuse şi de egali- tăţile (1) rezultă:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( )

( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( )

f f fF t x t y t z t x t x t y t z t y t x t y t z t z t

x y zP x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t

∂ ∂ ∂′ ′ ′= + +

∂ ∂ ∂′ ′= + +

′ =

′ (2)

Egalitatea (2) este valabilă pentru orice punct t ∈ [a, b] cu excepţia unui număr finit de puncte şi anume, acele puncte t ∈ [a, b] care corespund punctelor de justapunere a curbelor ce compun γ. Cum egalitatea (2) este adevărată pe [a, b] cu excepţia unei mulţimi neglijabile rezultă:

Page 2

Onl

y fo

r stu

dent

s

′ =[ ] [ ] [ ]( )( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b

a

b

a

Pdx Qdy Rdz

P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t d t

F t dt F b F a f B f A

γ +

+ + =

′ ′= + +

′= = − = −

∫

∫

∫

Aşadar, valoarea integralei nu depinde de forma curbei γ şi depinde numai de capetele sale.

(iii) ⇒ (i) Fie ( )0 0 0 0, ,M x y z D∈ un punct

fixat, fie ( ), ,M x y z D∈ un punct oarecare şi fie γ o curbă netedă pe porţiuni, al cărui suport

0M M este inclus în D. Deoarece prin ipoteză, integrala nu

depinde de drum în domeniul D, rezultă că putem defini o funcţie f : D → Ρ, astfel:

( )0

, ,M M

f x y z Pdx Qdy Rdz= + +∫ , ∀

( ), ,M x y z D∈ .

Fig. 2

Fie ( ), ,N x h y z D+ ∈ şi fie x = t, y = y, z = z, t ∈[ ],x x h+ o reprezentare

parametrică a segmentului de drepte MN . Avem: ( )

0

0

, ,

.

MNM M

M M MN

f x h y z Pdx Qdy Rdz

Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz

+ = + + =

= + + + + +

∫

∫ ∫U

Ţinând seama de Corolarul 2.4.3 de la Teorema de medie rezultă:

( ) ( )( )

( ), ,

, , , , , ,

x h

xMN

Pdx Qdy Rdz P t y z dtf x h y z f x y z P y z h

h h hξ

++ + =

+ −= =

∫ ∫h

,

unde ξ este un punct cuprins între x şi x + h. Folosind din nou faptul că P este

continuă, rezultă că există ( ) ( ) ( )0

, , , ,lim , ,h

f x h y z f x y zP x y z

h→

+ −= .

Aşadar, f

Px

∂=

∂.

În mod asemănător, înlocuind segmentul MN cu un segment paralel cu axa

Oy (respectiv Oz) se arată că f

Qy

∂=

∂ şi

fR

z∂

=∂

, deci ω este exactă.

Page 3

Onl

y fo

r stu

dent

s

(ii) ⇒ (iii) Fie 1 2,γ γ curbele din Figura 1 şi fie ( )1 2γ γ γ −= U . Evident γ este o curbă închisă, netedă pe porţiuni, al cărui suport este inclus în D. Din (iii) rezultă că . Dar 0Pdx Qdy Rdz

γ+ + =∫

( )1 2 1 2

0γ γ γ γ γ−

= + = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Aşadar 1 2

,γ γ

=∫ ∫ adică (ii).

(iii) ⇒ (ii) Fie γ o curbă închisă, netedă pe porţiuni, al cărui suport este inclus în D, fie , t ∈ [a, b] reprezentare parametrică a sa şi fie (( ) ( ), ( ), ( )r t x t y t z t= )

a c b< < oarecare. Notăm cu 1γ curba a cărei reprezentare parametrică este ( )r r t= , t ∈ [a, c] şi cu 2γ curba ( )tr r= , t ∈ [c, b]. Evident

1 2γ γ γ= U . Prin ipoteză ( )( )1 2γ γ

,+ −

=∫ ∫ de unde

rezultă ( )( )1 2

0γ γ γ+ −

= + =∫ ∫ ∫ .

Definiţia 4.6.3. O formă diferenţială de ordinul întâi Pdx Qdy Rdzω = + +

se numeşte închisă pe domeniul 3D ⊂ , dacă P, Q, R sunt de clasă pe D şi

dacă

1CP Qy x

∂ ∂=

∂ ∂,

Q Rz z

∂ ∂=

∂ ∂,

R Px z

∂ ∂=

∂ ∂.

Observaţia 4.6.2. Dacă considerăm câmpul vectorial 3:v D →

r,

( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k= + +rr rr

, ∀ ( ), ,x y z ∈ D atunci ω este închisă dacă şi numai dacă câmpul v

r este irotaţional, adică dacă

rot 0R Q P R Q P

v i jy z z x x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠kr rr rr

.

Teorema 4.6.2. Dacă Pdx Qdy Rdzω = + + este exactă şi este de clasă

pe D, atunci ω este închisă pe D.

1C

Demonstraţie. Prin ipoteză există ( )2f C D∈ astfel încâtf

Px

∂=

∂,

fQ

y∂

=∂

,

fR

z∂

=∂

. Deoarece, în acest caz, derivatele de ordinul doi ale lui f sunt continue,

rezultă că derivatele mixte sunt egale. Avem:

Page 4

Onl

y fo

r stu

dent

s

2 2P f f Q

xy y x x y∂ ∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

,2 2Q f f

z z y y z∂ ∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Ry

, 2 2R f f P

x x z z x z∂ ∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.

Definiţia 4.6.4. O mulţime se numeşte stelată dacă există un punct 3S ⊂

A S∈ cu proprietatea că ∀ M S∈ , segmentul de dreaptă de capete A şi M, pe care-l notăm [ este inclus în S. Reamintim că ],A M

[ ] ( ) [ ]{ }, 1 0,A M t A t B t= − + ∈ 1 . Observaţia 4.6.3. Orice mulţime convexă este stelată, în timp ce afirmaţia

reciprocă nu este în general adevărată. De exemplu mulţimea ( ){ }2 \ ,0 ; 0x x > este stelată (în raport cu ) dar nu exte convexă. (0,0O )

Teorema 4.6.3. Dacă 3D ⊂ esteo mulţime stelată şi deschisă, atunci

orice formă diferenţială închisă pe D este exactă pe D. Demonstraţie. Prin ipoteză, există A ∈ D astfel încât [ ],A M D⊂ , ∀ M ∈ D.

Să presupunem că A are coordonatele (a, b, c) iar M are coordonatele (x, y, z). Fie t ∈ [0,1] oarecare şi fie

( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 , 1 , 1T t A tB t a t x t b t y t c t= − + = − + − + − + z , punctul corespunzător de pe segmentul [ ],A M . Definim o funcţie f : D → Ρ, astfel:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1

0, , df x y z P T x a Q T y b R T z c t= − + − + −⎡ ⎤⎣ ⎦∫

. Ţinând seama de teorema de derivare a integralei cu parametru (Teorema

3.2.2) rezultă:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

0

1

0

d

d .

f P T Q T R TT x a P T T y b T z c t

x x x x x x xP Q R

T t x a P T T t y b T t z c tx x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − + + − + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − + + − + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∫

∫

=

Pe de altă parte, prin ipoteză avem Q Px y

∂ ∂=

∂ ∂ şi

R Px z

∂ ∂=

∂ ∂, deci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

0

1 100

d

d 1 0

f P P PT t x a T t y b T t z c P T t

x x y zd

tP T t tP T P M P A P M P x y zdt

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − + − + − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

= = = ⋅ − ⋅ = =

∫

∫ , , .

=

Page 5

Onl

y fo

r stu

dent

s

Aşadar, f

Px

∂=

∂ şi analog

fQ

y∂

=∂

, f

Rz

∂=

∂, deci ω este exactă.

Exemplul 4.6.2. Să se calculeze ( )( )6,1,1

1,2,3yzdx zxdy xydz+ +∫ . Dacă notăm cu

( ), ,P x y z yz= , ( ), ,Q x y z zx= şi ( ), ,R x y z xy= , atunci forma diferenţială

Pdx Qdy Rdzω = + + este închisă pe deoarece 3 P Qz

y x∂ ∂

= =∂ ∂

; Q R

xz y

∂ ∂= =

∂ ∂;

R Py

x z∂ ∂

= =∂ ∂

. Din Teorema 4.6.3. rezultă că ω este exactă, iar din Teorema 4.6.1

că integrala nu depinde de drum. Aşadar, problema are sens. Deoarece integrala nu depinde de drum, calculul său se poate face alegând un drum avantajos şi anume alegem linia frântă determinată de punctele ( )1,2,3A , ( )6.2.3B , , ( )6,1,3C

( )6,1,1D .

( )( )6,1,1 6 1 1

1,2,3 1 2 32 3 6 3 6 1

30 18 12 0.AB BC CD

yzdx zxdy xydz dt dt dt+ + = + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= − − =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

O soluţie mai simplă se poate da, dacă observăm că ω = df , unde

( ), ,f x y z xyz= . Atunci ( )( )

( )

( )6.1.16,1,11,2,31,2,3

6 6 0yzdx zxdy xydz xyz+ + = = − =∫ .

Observaţia 4.6.4. În plan, o formă diferenţială Pdx Qdyω = + este închisă,

dacă şi 1,P Q C∈P Qy x

∂ ∂=

∂ ∂.

Exemplul 4.6.2. Să se calculeze ( ) ( )22 4 4 1y y x dx x y d

γ− + + −∫ y , unde γ

este cercul 2 2 2 0x y y+ − = .

Dacă norăm cu ( ) 2, 2 4P x y y y x= − + şi cu ( ) ( ), 4Q x y x y 1= − , atunci

(4 1P Q

yy x

∂ ∂= = −

∂ ∂) . Rezultă că Pdx Qdyω = + este închisă în , deci este exactă

în . Cum γ este o curbă închisă, din Teorema 4.6.1 rezultă că valoarea integralei este 0, deci nu e necesar nici un calcul.

2

2

Page 6

Onl

y fo

r stu

dent

s