Ecuatii diofantice. Metode elementare de rezolvare a ecuatiilor diofantice.

Diofant, (Diophantus din Alexandria)(325-403 e.n) celebru matematician grec este considerat creatorul algebrei. Nu se poate preciza cu exactitate epoca in care a trait. Este cunoscut pentru cartea sa “Aritmetica”, lucrare in care trateaza ecuatiile algebrice si teoria numerelor. Algebra lui Diofant in matematica a ajuns in Europa prin intermadiul arabilor.Contributia principala a lui Diofant in matematica o constituie metodele de rezolvare a ecuatiilor nedeterminate, numite “ecuatii diofantice” pe care le-a prezentat sub cele mai variate forme, fara sad ea o metoda generala de rezolvare.

Problema privind datele lui Diofant:- O legenda spune ca pe mormantul lui Diofant se afla inscriptia: “Aici este inmormantat Diofant si piatra de mormant arata cat a trait. A sasea parte din viata i-a fost copilaria minunata, iar tineretea sa luminoasa este a 12-a parte. Dupa inca a saptea parte s-a casatorit iar 5 ani dupa aceea a avut un fiu, caruia i-a fost harazit sa traiasca doar jumatate din cat a trait total. In mare mahnire a murit batranul la 4 ani dup ace i-a murit fiul. Cati ani a trait Diofant?”Rezolvare: Notam cu n varsta lui Diofant

Din relatia: obtinem n=84.

Ecuatia diofantica – ecuatie de forma:

unde f este functie de n variabile n 2.

Ecuatie diofantica algebrica – f este functie polinomiala cu coeficienti intregi.

Un n-uplu care satisface (1) se numeste solutie a ecuatiei (1)

Ecuatie solvabila – ecuatie cu una sau mai multe solutii.Se urmaresc urmatoarele:

1. Este ecuatia solvabila?2. In caz de solvabilitate este nr. solutiilor finit sau infinit?3. In caz de solvabilitate, sa se dea toate solutiile ecuatiei.

Ecuatii diofantice de gradul intai:

O ecuatie diofantica de gradul intai cu doua necunoscute este de forma ,

.

Perechea care verifica se numeste solutie particulara.

Teorema: Conditia necesare si suficienta ca ec sa admita solutie este ca d|c unde d=(a,b).

Teorema: Daca ec. diofantica ax+by=c are solutia particulara si d=(a,b) sol. generala a

ecuatiei este:

Ex: 1) a) Sa se determine cel mai mare divisor comun al numerelor intregi 1215 si -2755 si sa se exprime acesta ca o conbinatie liniara a celor doua numere.

b) Sa se resolve in ecuatia 1215x-2755y=560.

Solutie: a) d=(1215,-2755)=(2755,1215). Aplicam algoritmul lui Euclid:

Pentru a afla u,v astfel incat d=1215u+(-2755)v folosim alg. de mai sus:

Deci 5=1215 (-195)+(-2755) (-86)

b) Avem 51560, deci ecuatia are solutii. Cum 560=5 112 solutia particulara este

iar solutia generala: .

Consideram cazul ecuatiilor diofantice de gradul intai cu n necunoscute ,n 1:

, unde ,fixate, - numere nenule.

Rezolvarea unei ecuatii diofantice ce gradul intai cu n necunoscute se reduce la rezolvarea unei ecuatii diofantice de gradul intai cu doua necunoascute si a unei ecuatii diofantice de gradul intai cu n-1 necunoscute. Solutia generala depinde de n-1 parametrii intregi.

Ex: Sa se resolve in ecuatia diofantica:

.

Solutia: (60,-148,-272,316)=4, 4144=> ecuatia are solutie

sau

Metode elementare de studio a ecuatiei diofantice

1. Metoda descompunerii consta in scrierea ecuatiei sub forma

Folosind descompunerea in

factori primi a lui a, obtinem un nr. finit de descompuneri in k factori intregi Din fiecare

descompunere obtinem , .

2. Metoda inegalitatii in rezolvarea ecuatiei diofantice consta in aflarea unor intervale in care se afla necunoscutele, restrangand astfel nr. de probabilitati, pt aflarea necunoscutelor.

Ex:

1) Fie p,q numere prime. Rezolvati in numere intregi nenule ecuatia: