Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

57
Ecuat ¸ii ¸ si sisteme diferent ¸iale Teodor Stihi December 16, 2014

description

Ecuatii si sisteme diferentiale

Transcript of Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

Page 1: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

Ecuatii si sisteme diferentiale

Teodor Stihi

December 16, 2014

Page 2: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

2

Page 3: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

Cuprins

1 Notiuni introductive 5

2 Ecuatii diferentiale liniare (EDL) 7

2.1 EDL cu coeficienti constanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Cazul omogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.2 Cazul neomogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 EDL cu coeficienti variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 EDL Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.2 EDL de ordinul al II-lea generala . . . . . . . . . . . . 22

2.3 EDL de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.1 Cazul omogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.2 Cazul neomogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Sisteme diferentiale liniare (SDL) 29

3.1 SDL cu coeficienti constanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1 Forma normala a unui SDL . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.2 Solutia SDL omogen cu coeficienti constanti. . . . . . 32

3.1.3 Solutia SDL neomogen cu coeficienti constanti. . . . . 35

3.1.4 Metoda reducerii SDL la o EDL . . . . . . . . . . . . 36

4 Metoda transformatei Laplace 39

4.1 Notiuni introductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1.1 Transformata Laplace si proprietatile ei . . . . . . . . . 39

4.1.2 Rezolvarea problemei cu conditii initiale . . . . . . . . 43

4.1.3 Functia ”treapta unitate” a lui Heaviside . . . . . . . . 46

4.1.4 EDL cu membru drept-functie cu salt . . . . . . . . . . 50

4.1.5 Transformata Laplace pentru SDL . . . . . . . . . . . . 52

3

Page 4: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

4 CUPRINS

5 ANEXA 555.1 Algoritm de calcul al matricei eAt . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Page 5: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

Cap. 1

Notiuni introductive

5

Page 6: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

6 CAP. 1. NOTIUNI INTRODUCTIVE

Page 7: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

Cap. 2

Ecuatii diferentiale liniare(EDL)

Daca ın §1.4.2 ne-am ocupat de ecuatiile diferentiale liniare de ordinul I,acum vom trece la cele de ordin superior, dar avand coeficienti constanti saucare sunt reductibile la cele cu coeficienti constanti.

2.1 EDL cu coeficienti constanti

Vom studia pentru ınceput acest tip de ecuatii avand ordinul al II-lea. Eleau forma generala

y′′(t) + ay′(t) + by(t) = f(t), a, b ∈ R (2.1)

si apar ın probleme de dinamica punctului material, circuite electrice etc.Acestor edl li se pot adauga- conditii initiale, cum am ıntalnit ın capitolul I:1

y(t0) = y0, y′(t0) = y′0, (2.2)

- sau conditii la limita (problema bilocala) de tipul:

y(t0) = y0, y(t1) = y1 unde t0 < t1.

1Reamintim ca ın acest caz avem o problema cu conditii initiale: PCI.

7

Page 8: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

8 CAP. 2. ECUATII DIFERENTIALE LINIARE (EDL)

2.1.1 Cazul omogen

Acesta este cazul ın care f(t) ≡ 0. Pentru a determina solutia generala a edlde ordinul al II-lea omogena

y′′(t) + ay′(t) + by(t) = 0, a, b ∈ R (2.3)

cautam solutii de forma exponentiala2 y(t) = eλt. Introducand-o ın ecuatiegasim, prin grupare de termeni si factorizare

(λ2 + aλ+ b)eλt = 0.

Intrucat eλt 6= 0 trebuie ca

P (λ) = λ2 + aλ+ b = 0. (2.4)

Aceasta ecuatie se numeste ecuatia caracteristica a edl de ordinul al II-lea(2.3) si, ın functie de semnul discriminantului sau δ = a2 − 4b, distingemurmatoarele 3 cazuri:

I. δ > 0 : λ1,2 = −a2±√δ2

, edl (2.3) avand solutiile particulare eλ1t, eλ2t

si solutia generala

y(t) = C1eλ1t + C2e

λ2t; (2.5)

II. δ = 0 : λ1 = λ2 = −a2, edl (2.3) avand solutiile particulare eλ1t, teλ1t

si solutia generala

y(t) = C1eλ1t + C2te

λ1t; (2.6)

III. δ < 0 : λ1,2 = −a2± i

√δ2

, edl (2.3) avand solutiile particularecomplexe eλ1t, eλ2t.

Comentarii. 1. Justificarea faptului ca daca y1(t) si y2(t) verifica (2.3),atunci orice combinatie liniara a lor C1y1(t) + C2y2(t) o verifica, se bazeazape liniaritatea si omogenitatea acestei e.d. si o lasam ca exercitiu.2. Pentru o abordare adecvata a acestei proprietati, sa consideram operatoruldiferential liniar de ordinul al II-lea cu coeficienti constanti

L[y(t)] = y′′(t) + ay(t) + by(t). (2.7)

2Reamintim ca si ın cazul edl de ordinul I omogena (1.10) solutia avea formaexponentiala, desi mai complicata, coeficientul functiei necunoscute y fiind o functie con-tinua oarecare.

Page 9: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

2.1. EDL CU COEFICIENTI CONSTANTI 9

Notand cu D operatorul de derivare ın raport cu t : Dy = y′(t) si definindpolinomul operatorial de gradul al II-lea

P (D) = D2 + aD + b, (2.8)

operatorul L[y(t)] se poate exprima sub forma P (D)y, iar ecuatia (2.3) subforma

P (D)y = D2y + aDy + by = 0. (2.9)

Enuntam cateva

Proprietati ale polinoamelor operatoriale:3

i. P (D)(αy + βz) = αP (D)y + βP (D)z (liniaritatea).

ii. P (D)ekt = ektP (k)

iii. P (D)ektu = ektP (D + k)u

iv. P (D)Q(D)u = Q(D)P (D)u,

unde u = u(t), Q(D) = D2 + pD + q si a, p, q sunt scalari.Vom utiliza aceste proprietati pentru a determina solutii ale problemelor cuconditii initiale, ın fiecare din cele trei cazuri mentionate anterior.

Cazul I. Radacini reale si distincte: λ1 6= λ2. Solutia generala este ınacest caz: C1e

λ1t + C2eλ2t.

Justificare. Este combinatia liniara a doua solutii liniar independente ale

edl (2.3). Verificam: P (D)eλjtii= eλjtP (λj) = eλjt0 = 0 pentru j = 1, 2.

Liniar independenta: daca C1eλ1t + C2e

λ2t ≡ 0, derivam ın raport cu t:C1λ1e

λ1t+C2λ2teλ2 ≡ 0. Acest sistem liniar 2×2 ın necunoscutele C1, C2 are

determinantul (λ2− λ1)e(λ1+λ2)t 6= 0 (verificati!) deci o singura solutie:(0, 0).Exemplul 1. In circuitul RLC sunt cuplati ın serie4: o rezistenta de 3

Ohmi, o bobina cu inductanta de 1 Henri si un condensator de 0.5 Farazi.La momentul t = 0 condensatorul este ıncarcat cu sarcina de 2 Coulombi,iar curentul ın circuit este de I(0) = 4 Amperi. Sa se determine graficuldescarcarii sarcinii Q(t) ın acest circuit.

3Aceste proprietati sunt valabile pentru polinoame operatoriale de orice grad.4Vezi figura de mai jos.

Page 10: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

10 CAP. 2. ECUATII DIFERENTIALE LINIARE (EDL)

R. Legea Kirchhoff a tensiunilor pentru acest circuit se exprima, ın cazul defata, sub forma

LQ′′(t) +RQ′(t) +1

CQ(t) = 0.

Introducand datele problemei gasim

Q′′(t) + 3Q′(t) + 2Q(t) = 0,

iar conditiile initiale sunt Q(0) = 2C,Q′(0) = I(0) = 4A.Ecuatia caracteristica este λ2 + 3λ + 2 = 0 cu δ = 1 si radacinile −1 si −2.Solutia generala corespunzatoare acestui caz este Q(t) = C1e

−2t+C2e−t. Din

conditii: C1 + C2 = 2−C1 − 2C2 = 4

rezulta C1 = 8, C2 = −6, iar solutia particulara este Q(t) = 8e−t − 6e−2t.Pentru a face un studiu comparativ, calculam ınca doua solutii adiacente:cand I(0) = 0A, respectiv I(0) = 8A. Corespunzator obtinem:

Q(t) = 4e−t − 2e−2t si Q(t) = 12e−t − 10e−2t.

Cazul II. Radacini reale si egale: λ1 = λ2. In acest caz P (λ) = (λ−λ1)2,iar solutia generala este: C1e

λ1t + C2teλ1t.

Justificare. Verificarea edl pentru solutii: P (D)eλ1t = eλ1tP (λ1) ≡ 0.P (D)eλ1tt = (D − λ1)2eλ1tt = (D − λ1)eλ1t(D − λ1 + λ1)t =eλ1t(D− λ1 + λ1)Dt = eλ1tD1 = eλ1t0 = 0, unde am utilizat proprietatea iii.Totodata, conditia de dependenta liniara a doua functii y1(t), y2(t) poate fiexprimata astfel ∃α ∈ R : y2(t) ≡ αy1(t).

Page 11: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

2.1. EDL CU COEFICIENTI CONSTANTI 11

Intrucat pentru solutiile gasite y1(t) = eλ1t, y2(t) = teλ1t raportul estey2(t)

y1(t)≡ t neconstant, rezulta independenta lor liniara.

Exemplul 2. Schimband valorile a doua componente: R=4Ω si C=0.25F si pastrand celelate date ale problemei precedente, gasim ecuatia

Q′′(t) + 4Q′(t) + 4Q(t) = 0,

pentru care δ = 0. Radacinile vor fi egale: λ1 = λ2 = −2, furnizand o singurasolutie Q1(t) = e−2t. Conform celor demonstrate, solutia generala este

Q(t) = C1e−2t + C2te

−2t = (C1 + C2t)e−2t.

Determinand solutiile particulare corespunzatoare conditiilor initiale din ex-emplul 1, obtinem pe rand (verificati!)

(4t+ 2)e−2t, (8t+ 2)e−2t, (12t+ 2)e−2t.

Graficele lor sunt reprezentate ın figura urmatoare

Ce diferenta constatati ıntre cele trei curbe din exemplul 1 si cele din exem-plul acesta?

Cazul III. Radacini complex conjugate: λ1,2 = −a±i√4b−a2

2= −1

2a ± iω.

Ecuatia descrie, ın acest caz, un fenomen de tip oscilatoriu exprimat mate-matic sub forma

y(t) = e−at2 (C1 cosωt+ C2 sinωt) = Ae−

at2 sin(ωt+ φ), (2.10)

Page 12: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

12 CAP. 2. ECUATII DIFERENTIALE LINIARE (EDL)

undeA =√C2

1 + C22 este amplitudinea maxima a oscilatiilor, ω este frecventa

unghiulara, iar φ = Arctg(C1/C2) este unghiul de faza.

Dar sa explicam mai ıntai cum s-a trecut de la solutiile exponentiale cuexponent complex y1,2(t) = exp[(−1

2a ± iω)t] si de la combinatia lor liniara

K1y1(t) + K2y2(t) cu coeficienti complecsi, la forma trigonometrica (2.10).Pentru aceasta vom face o scurta incursiune ıntr-un capitol de Analiza com-plexa dezvoltand ın serie MacLaurin exponentiala complexa eit, t ∈ R.5Astfel

eit = 1 + it+(it)2

2!+

(it)3

3!+

(it)4

4!+

(it)5

5!+ · · · =

1− t2

2!+t4

4!−+ · · ·+ i

(t− t3

3!+t5

5!−+ . . .

)= cos t+ i sin t.

Probabil cititorul a identificat ın cele doua parti - reala si imaginara - a serieicomplexe, dezvoltarile ın serii MacLaurin ale functiilor cos t si sin t.

Astfel, doua dintre solutiile edl (2.3) se exprima, ın cazul de fata, subforma y1,2(t) = e−

at2 (cosωt+i sinωt). atunci, datorita liniaritatii si omogenitatii

acestei edl, orice combinatie liniara a lor, cu coeficienti reali sau complecsi,

este de asemenea solutie. In particular functiiley1 + y2

2= e

−at2 cosωt si

y1 − y22i

= e−at2 sinωt pe care le-am utilizat mai sus.

Pentru a stabili ca (2.10) este, ın acest caz, solutia generala a edl (2.3),ramane de aratat ca cele doua functii sunt liniar independente.Exercitiu. Propunem cititorului sa dovedeasca acest fapt utilizand una - laalegere - din cele doua metode anterior folosite ın cazul I si respectiv II.

Exemplul 3. Reluam sistemul mecanic masa - resort descris ın exemplul4, §1.1 pentru masa m = 1kg, constanta elastica a resortului este k = 1N/m,iar conditiile initiale sunt y(0) = 1/

√3m, y′(0) = 1m/s. Edl a procesului

este my′′(t) = −ky(t) adica y′′(t)+y(t) = 0, iar solutia sa generala C1 cos t+C2 sin t. Din conditiile initiale gasim C1 = 1/

√3, C2 = 1, solutia particulara

putand fi pusa sub forma y(t) = 2/√

3 sin(t+π/6) (explicati!). Ea reprezintaoscilatii sinusoidale de amplitudine maxima 2/

√3, perioada p = 2π si unghi

de faza φ = π/6.

5Ea se obtine din dezvoltarea exponentialei reale et, ınlocuind t cu it, rearanjand ter-menii si tinand seama ca i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1 etc.

Page 13: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

2.1. EDL CU COEFICIENTI CONSTANTI 13

Exemplul 4. In sistemul mecanic anterior discutat vom introduce un dis-pozitiv de amortizare a oscilatilor (vezi figura alaturata), ecuatia sa diferentialacapatand astfel forma my′′(t) + cy′(t) + ky(t) = 0, unde cy′(t) este termenulde amortizare.

Daca c = 1, celelalte date raman aceleasi, atunci edl va fi y′′(t)+y′(t)+y(t) =0, cu ecuatia caracteristica λ2 + λ+ 1 = 0 si radacinile λ1,2 = (−1± i

√3)/2.

Solutia generala corespunzatoare va capata astfel forma

y(t) = C1e− t

2 cos

√3t

2+ C2e

− t2 sin

√3t

2,

iar din conditiile initiale C1 = 1√3, C2 = 1+2

√3

2. Graficul acestei solutii ne

arata ca dupa doua alternante ea se stinge aproape complet.

2.1.2 Cazul neomogen

Cand din exteriorul unui sistem fizic, sistem a carui lege de functionare estereprezentata printr-o edl si omogena, se exercita o actiune asupra sa, aceastaecuatie primeste si un termen liber, devenind neomogena.

Page 14: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

14 CAP. 2. ECUATII DIFERENTIALE LINIARE (EDL)

Exemplu. In circuitul RLC din exemplul 1 se ınseriaza o sursa de curentalternativ a carui t.e.m. este data de functia E(t) = 0, 5 sin t V (vezi figura).

Atunci ecuatia de functionare a noului sistem devine

Q′′(t) + 3Q′(t) + 2Q(t) = 0, 5 sin t,

iar solutia corespunzatoare acelorasi conditii initiale ca mai sus: Q(0) =2C, Q′(0) = 4A, se va determina cu urmatoarea

Proprietate. Solutia generala a edl neomogene L[y(t)] = f(t) este sumadintre solutia generala a edl omogene corespunzatoare L[y(t)] = 0 si o solutieparticulara (oarecare) a edl neomogene date.

Aici solutia generala omogena fiind Q0(t) = C1e−2t + C2e

−t, iar cea par-ticulara neomogena 6 Qp(t) = 1

20(sin t− 3 cos t), solutia generala va fi Q(t) =

C1e−2t + C2e

−t + 120

(sin t− 3 cos t). Punand, pe rand, conditiile initiale dinexemplul 1, obtinem solutiile particulare ale caror grafice au fost reprezen-tate ın figura anterioara. Comparati-le cu cele reprezentate ın primele douaexemple.

Vom explica ın cele ce urmeaza doua metode de determinare a uneisolutii particulare pentru edl neomogena L[y(t)] = f(t). Prima dintre eleeste mai simpla, angrenand doar calcul algebric. Ea se aplica ın cazurile

6Conf. exemplului urmator.

Page 15: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

2.1. EDL CU COEFICIENTI CONSTANTI 15

cand derivatele functiei f(t) sunt de aceeasi forma cu ea; e.g. polinom,functie exponentiala, functiile sin si cos, precum si combinatii cu acestea(conf. tabelului urmator). A doua, aplicabila oricarei functii f(t) continuepe un interval, presupune si calcul de integrale. Incepem cu prezentare celeidintai intitulata

Metoda coeficientilor nedeterminati

In cazul cand functia f(t) este de unul din tipurile descrise ın tabelul urmator,o solutie particulara yp(t) de forma predeterminata, pentru edl cu coeficienticonstanti P (D)y = f(t), poate fi obtinuta prin ınlocuire directa ın ecuatie siidentificarea coeficientilor pe care aceasta forma ıi presupune.

f(t) yp(t)

1. keαt Ceαt

2. ktn Cntn + Cn−1t

n−1 + · · ·+ C0

3. k1 cosωt+ k2 sinωt C1 cosωt+ C2 sinωt4. eαt(k1 cosωt+ k2 sinωt) eαt(C1 cosωt+ C2 sinωt)

Exemplu. Vom determina, pe baza acestei metode, solutia particularaQp(t) din exemplul anterior. Functia f(t) = 0, 5 sin t se incadreaza ın tabel lapunctul 3. Astfel ıncat vom cauta o solutie de formaQp(t) = C1 cos t+C2 sin tsi pe care o vom introduce ın ecuatia Q′′(t) + 3Q′(t) + 2Q(t) = 0, 5 sin t.

Iata un model practic de a face aceasta ınlocuire:

2×Qp = C1 cos t+ C2 sin t3×Q′p = −C1 sin t+ C2 cos t

Q′′p = −C1 cos t− C2 sin t

Q′′ + 3Q′ + 2Q = (C1 + 3C2) cos t+ (C2 − 3C1) sin t

Rezolvand sistemul liniar:C1 + 3C2 = 0, C2 − 3C1 = 0, 5, obtinem C1 = − 3

20, C2 = 1

20.

Metoda variatiei parametrilor (Lagrange)

Este o generalizare a metodei utilizate ın cazul edl de ordinul I (§1.4.2). Eapoate fi aplicata nu numai ın cazul edl cu coeficienti constanti, ci a tuturoredl pentru care se cunoaste solutia generala omogena. O vom explica plecand

Page 16: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

16 CAP. 2. ECUATII DIFERENTIALE LINIARE (EDL)

de la o edl de ordinul al II-lea, fara a presupune ca are coeficienti constanti.Fie asadar edl7

L[y] = y′′ + ay′ + by = f (2.11)

si fie doua solutii liniar independente y1 si y2 pentru edl omogena cores-punzatoare:

L[y1] = L[y2] = 0. (2.12)

Intrucat solutia generala omogena este y0 = C1y1 +C2y2, vom arata ca existao solutie particulara neomogena de forma

yp = u1y1 + u2y2. (2.13)

Demonstratia, ca si ın cazul edl de ordinul I, revine la determinarea celordoi coeficienti-functii u1 si u2. Ceea ce se face calculand L[yp]. Incepem cuderivatele lui yp:

y′p = u′1y1 + u′2y2 + u1y′1 + u2y

′2 (2.14)

Observatia ce trebuie facuta acum este ca, avand de determinat doua functiinecunoscute si de satisfacut doar o singura conditie: verificarea edl neomo-gene, la alegerea lui yp putem introduce o conditie suplimentara. Aceastaeste

u′1y1 + u′2y2 = 0. (2.15)

Astfel calculul derivatei y′′p se simplifica

y′′p = u′1y′1 + u′2y

′2 + u1y

′′1 + u2y

′′2 . (2.16)

Introducem ın edl neomogena (2.11) expresiile lui yp, y′p si y′′p din (2.13), (2.14)

si (2.16), grupand termenii acestei ecuatii ce contin u1 respectiv u2; se obtine

u1(y′′1 + ay′1 + by1) + u2(y

′′2 + ay′2 + by2) + u′1y

′1 + u′2y

′2 = f.

Observam ca parantezele reprezinta L[y1] si L[y2], deci conf. (2.12) sunt nule.Ultima relatie se reduce astfel la

u′1y′1 + u′2y

′2 = f. (2.17)

7Intrucat coeficientii si necunoscuta sunt functii de variabila t nu mai notam aceastaın mod explicit.

Page 17: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

2.1. EDL CU COEFICIENTI CONSTANTI 17

Relatiile (2.15) si (2.17) reprezinta un sistem algebric 2× 2 ın necunoscuteleu′1, u

′2 si avand determinantul

W [y1, y2] =

∣∣∣∣ y1 y2y′1 y′2

∣∣∣∣ . (2.18)

El se numeste Wronskianul celor doua solutii omogene.

Formula lui Abel pentru Wronskianul solutiilor omogene8 y1, y2 este

W (t) = W (t0)exp

(−∫ t

t0

a(τ)dτ

)(2.19)

si ne arata ca1) daca W (t) se anuleaza ıntr-un pct din domeniul de continuitate al coefi-cientului a(t), atunci este identic nul; si2) daca W (t) este nenul ıntr-un pct din domeniul de continuitate al coefi-cientului a(t), atunci este nenul ın tot acest domeniu.

Daca W [y1, y2] ≡ 0 atunci are loc relatiay′1y1

=y′2y2

, care prin integrare

conduce la y1 = Cy2, C fiind o constanta (explicati!). Ceea ce contraziceindependenta liniara a celor doua solutii. Concluzia finala este ca sistemulalgebric (2.15),(2.17) este nesingular, iar formulele lui Cramer permit expri-marea derivatelor u′1 si u′2 sub forma

u′1 = −y2fW

, u′2 =y1f

W.

Prin integrarea lor rezulta

u1 = −∫y2f

Wdτ, u2 =

∫y1f

Wdτ.

Introducandu-le apoi ın (2.13) se obtine formula de calcul a solutiei par-ticulare neomogene

yp = −y1∫y2f

Wdτ + y2

∫y1f

Wdτ. (2.20)

8Demonstratia o gasiti ın §2.2.2.

Page 18: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

18 CAP. 2. ECUATII DIFERENTIALE LINIARE (EDL)

Exemplu. Sa se determine solutia generala a edl neomogene

y′′ + y =1

cos t.

R. Ecuatia caracteristica λ2 +1 = 0 avand radacinile λ1,2 = ±i, solutia gene-rala omogena se va reprezenta: fie printr-o combinatie liniara cu coeficienticomplecsi K1e

it + K2e−it, fie prin combinatia liniara C1 cos t + C2 sin t cu

C1, C2 ∈ R (vezi §2.1.1 cazul III). Plecand de la a doua dintre ele, vomdetermina solutia particulara yp = u1 cos t+u2 sin t utilizand metoda variatieiparametrilor. Sistemul algebric (2.15),(2.17) va capata ın acest caz forma

u′1 cos t + u′2 sin t = 0−u′1 sin t + u′2 cos t = 1

cos t

Determinantul sau - Wroskianul celor doua solutii omogene -fiind nenul

W [cos t, sin t] =

∣∣∣∣ cos t sin t− sin t cos t

∣∣∣∣ = 1,

solutia sa unica va fi

u′1 =

∣∣∣∣ 0 sin t1

cos tcos t

∣∣∣∣ = − tan t, u′2 =

∣∣∣∣ cos t 0− sin t 1

cos t

∣∣∣∣ = 1.

Prin urmare u1 = −∫

sin tcos t

dt =ln| cos t| si u2 =∫dt = t.

Astfel ıncat solutia particulara neomogena va fi yp = (cos t)ln| cos t|+ t sin t,iar solutia generala y = C1 cos t+ C2 sin t+ yp.

Observatie. Intrucat functia f(t) = 1cos t

nu se ıncadreaza ın tipurilede membri drepti mentionati ın tabelul de mai sus, metoda coeficientilornedeterminati nu putea fi aplicata ın acest caz.

Fenomenul de rezonanta

Cand membrul drept f(t) reprezinta o solutie a edl omogene, solutia parti-culara neomogena corespunzatoare yp nu poate fi cea prescrisa in tabel. Siaceasta pentru simplul motiv ca ınlocuind-o ın edl ar da 0 si nu f(t)!

Exemplu. Edl neomogena y′′+y = 2 cos t nu poate avea solutii de formaC1 cos t+C2 sin t, asa cum prevede tabelul de mai sus, deoarece acestea suntsolutii ale edl omogene corespunzatoare. In acest caz se cauta solutii partic-ulare de forma yp = t(C1 cos t+ C2 sin t).

Page 19: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

2.1. EDL CU COEFICIENTI CONSTANTI 19

Prin derivare si ınlocuire obtinemyp = t(C1 cos t+ C2 sin t)y′p = C1 cos t+ C2 sin t+ t(−C1 sin t+ C2 cos t)y′′p = −2C1 sin t+ 2C2 cos t− t(C1 cos t+ C2 sin t)

y′′p + yp = 2C2 cos t− 2C1 sin t.

Identificand apoi coeficientii celor doi membri drepti ai edl

2 cos t = 2C2 cos t− 2C1 sin t,

gasim C1 = 0, C2 = 1, adica yp = t sin t.Pentru a ıntelege semnificatia fizica a acestei situatii vom analiza graficele

solutiilor a doua probleme cu conditii initiale nule: y(0) = 0, y′(0) = 0, pen-tru edl y′′+y = 3 sin 2t si y′′+y = 2 cos t. 9 Solutia celei dintai este diferentaa doua sinusoide 2 sin t−sin 2t - functie marginita si periodica cu perioada 2πsi care reprezinta oscilatiile periodice ale sistemului masa - resort fara amorti-zare.

Solutia celei dintai este diferentaa doua sinusoide 2 sin t − sin 2t- functie marginita si periodicacu perioada 2π si care reprezintaoscilatiile periodice ale sistemuluimasa - resort fara amortizare.

Solutia celei de a doua ecuatiieste t sin t (grafic cu linie ıntrerupta)- functie nemarginita si neperiodica.Fenomenul acesta de crestere a am-plitudinii oscilatiilor se datoreaza coincidentei dintre frecventa unghiularaproprie a sistemului ω = 1 (vezi §2.1.1 cazul III) si cea a termenului liber2 cos t. El poarta numele de rezonanta.

Principiul suprapunerii (sau superpozitiei)

Vom enunta un principiu general ce guverneaza nu numai toate edl, ci sisistemele diferentiale liniare precum si alte tipuri de ecuatii liniare. Aicipentru cazul particular al edl P (D)y = f(t).

9Pentru semnificatia fizica a edl omogene corespunzatoare vezi exemplul 3 din §2.1.1..

Page 20: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

20 CAP. 2. ECUATII DIFERENTIALE LINIARE (EDL)

Daca f(t) =∑n

j=1 fj(t) si daca P (D)ypj = fj(t), j = 1, . . . , n, atunci

yp =∑n

j=1 ypj este solutie (particulara) pentru P (D)y = f(t).

Spre exemplu, daca membrul drept al edl P (D)y = f(t) este suma a douafunctii f(t) = f1(t)+f2(t) si daca yp1 si yp2 sunt solutii particulare pentru celedoua edl: P (D)yp1 = f1(t), respectiv P (D)yp2 = f2(t), atunci yp = yp1 + yp2este solutie (particulara) pentru P (D)y = f1(t) + f2(t).

Exemplu. Membrul drept al edl y′′+y =2 + cos 2t

cos tse poate descompune

astfel: 2 cos t +1

cos t. Intrucat, asa cum am vzut, ın cele doua exemple

anterioare, edl y′′ + y = 2 cos t are solutia particulara t sin t, iar edl y′′ + y =1

cos t: solutia particulara (cos t) ln | cos t|+ t sin t.

Asadar, conform principiului superpozitiei, edl data va avea solutia par-ticulara yp = (cos t) ln | cos t|+ 2t sin t.

Observatie. (cos t) ln | cos t|+ t sin t nu este solutie pentru edl din exem-plu, asa cum usor se poate vedea.

2.2 EDL cu coeficienti variabili

2.2.1 EDL Euler-Cauchy

Edl de ordinul al II-lea de acest tip, ın variabila x si functia necunoscutay(x), au forma generala

L[y(x)] = x2y′′(x) + axy′(x) + by(x) = f(x) unde a, b ∈ R si x 6= 0. (2.21)

Printre edl cu coeficienti variabili, acesta este singurul tip ce poate fi rezol-vat cu metode generale, ıntrucat este reductibil la cel cu coeficienti constanti.Reducerea se realizeaza prin schimbarea de variabila x = et daca x > 0 saux = −et daca x < 0. Sa determinam relatia dintre cei doi operatori de

derivare,d

dxsi D =

d

dt, ce decurge din schimbarea mentionata.

Notam z(t) = y(et) si rezulta Dz =dz

dt=dy

dx

dx

dt=dy

dxet ⇔ dy

dx= e−tDz.

Page 21: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

2.2. EDL CU COEFICIENTI VARIABILI 21

Apoid

dx

(dy

dx

)= e−tD(e−tDz) = e−2t(D2 −D)z = e−2tD(D − 1)z. 10

Ecuatia (2.21) se va transforma astfel ın

D(D − 1)z + aDz + bz = f(et) (2.22)

sau, notand cu P(D) = D(D − 1) + aD + b = D2 + (a− 1)D + b polinomuloperatorial atasat edl Euler - Cauchy, sub forma P(D)z = f(et).

Exemplu. Sa se determine solutia p.c.i. atasata edl E.C.

x2y′′(x) + xy′(x) + y(x) = 2 cos lnx (x > 0), unde y(1) = y′(1) = 0.

R. Prin schimbarea de variabila x = et edl devine (D2 + 1)z = 2 cos t, iarconditiile initiale corespunzatoare vor fi z(0) = Dz(0) = 0.Asa cum am aratat ın exemplul anterior, din §2.1.2, solutia acestei p.c.i.este t sin t. Prin schimbarea de variabila t = lnx, inversa celei operate initial,obtinem solutia p.c.i pentru edl E.C.

y(x) = ln x cos lnx (x > 0).

Observatie. Asa cum am constatat, operatorul diferential liniar Euler-Cauchy L[y(x)] (2.21) se transforma, prin schimbarea de variabila x = et,ıntr-un operator diferential liniar cu coeficienti constanti P (D)z(t). Intrucatsolutiile edl si omogene P (D)z = 0 11 sunt de forma z = eλt, deducem casolutiile edl si omogene E.C. L[y(x)] = 0 sunt de forma y(x) = eλ lnx = xλ,unde x > 0. Inlocuind ın ecuatie gasim

L[xλ] = [λ(λ− 1) + aλ+ b]xλ.

Ceea ce ne conduce la polinomul caracteristic P(λ) = λ2 + (a− 1)λ+ b al edlE.C. omogene.

10Aceasta regula de derivare se poate generaliza astfel:dky

dxk= e−ktD(D−1) . . . (D−k+1).

11Multimea lor alcatuieste nucleul acestui operator liniar (cf. Algebra Liniara.)

Page 22: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

22 CAP. 2. ECUATII DIFERENTIALE LINIARE (EDL)

2.2.2 EDL de ordinul al II-lea generala

O astfel de ecuatie are forma

y′′(x) + a(x)y′(x) + b(x)y(x) = f(x), (2.23)

unde functiile a(x), b(x) si f(x) sunt definite ın intervalul I ⊂ R.Definitie. O solutie a acestei edl este o functie y = φ(x) definita si

avand derivate continui de ordinele I si II ın I, care ınlocuita, ımpreuna cuderivatele sale ın ecuatia (2.23), conduc la o identitate ın I.

Acestei e.d. i se ataseaza, de obicei, conditiile initiale

y(x0) = y0, si y′(x0) = y′0 (2.24)

unde x0 ∈ I, iar y0, y′0 ∈ R.

Teorema de existenta si unicitate a solutiei p.c.i. (2.23),(2.24).1. Daca functiile a(x), b(x) si f(x) sunt definite si continui ın intervalul

I ⊂ R, atunci exista o solutie y = φ(x) ın intervalul I si care verifica conditiile(2.24) ın x0 ∈ I.

2.Functia φ(x) este unica solutie pentru (2.23) si (2.24) pe intervalul I.Fara demonstratie.

EDL de ordinul al II-lea omogena

Consideram operatorul diferential liniar de ordinul al II-lea cu coeficientivariabili

L[y] = y′′ + a(x)y′ + b(x)y (2.25)

unde a(x) si b(x) sunt functii continui ın I.

Proprietatea 1. Multimea S2 a tuturor solutiilor edl omogene L[y] = 0este un spatiu vectorial real cu dimensiunea 2.

Demonstratie. In primul rand, conform conditiilor din definitia notiuniide solutie S2 este o submultime a spatiului vectorial real al tuturor functiilorde clasa C2

I(R).

Exercitiu. Aratati ca ∀α, β ∈ R ∀φ, ψ ∈ S2 : αφ+ βψ ∈ S2.

Page 23: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

2.2. EDL CU COEFICIENTI VARIABILI 23

Vom arata ca exista o baza a lui S2 alcatuita din doua solutii liniar in-dependente ale edl omogene L[y] = 0. Aceste solutii, le notam φ(x) si ψ(x),sunt cele care satisfac conditiile initiale φ(x0) = 1, φ′(x0) = 0 si respectivψ(x0) = 0, ψ′(x0) = 1, iar existenta lor se bazeaza pe teorema anterioara.

Liniar independenta. Fie α, β ∈ R astfel ıncat αφ(x) + βψ(x) ≡ 0.Derivand obtinem αφ′(x) + βψ′(x) ≡ 0. si pentru x = x0, din cele douaidentitati rezulta: α = 0, β = 0.

Sistem de generatori. Sa aratam ca genereaza spatiul S2. Pentruaceasta vom considera o solutie oarecare χ ∈ S2, urmand a determina coeficientiiα si β astfel ıncat: ∀x ∈ I : χ(x) = αφ(x) + βψ(x).

Alegem α = χ(x0) si β = χ′(x0). Functia χ1(x) = χ(x0)φ(x)+χ′(x0)ψ(x)fiind combinatie liniara a doua solutii, este deasemenea solutie si verificarelatiile

χ1(x0) = χ(x0)φ(x0) + χ′(x0)ψ(x0) = χ(x0),

χ′1(x0) = χ′(x0)φ′(x0) + χ(x0)ψ

′(x0) = χ′(x0).

Explicati! Atunci, conf. proprietatii de unicitate (vezi teorema pctul 2),rezulta ca χ ≡ χ1. M

Asadar pentru a determina solutia generala a edl omogene

L[y] = y′′(x) + a(x)y′(x) + b(x)y(x) = 0 (2.26)

trebuie sa determinam doua solutii liniar independente φ1(x) si φ2(x) ale sale.In cele ce urmeaza vom vedea ca plecand de la o astfel de solutie neidenticnula a ei se poate ajunge la solutia generala. Pentru moment ınsa revenimla un instrument util de lucru: determinantul wronskian W [y1, y2] a douasolutii pentru (2.26).12

Reamintim ca daca L[y1] = L[y2] = 0 atunci

W [y1, y2] =

∣∣∣∣ y1 y2y′1 y′2

∣∣∣∣verifica formula lui Abel

W (x) = W (x0)exp

(−∫ x

x0

a(τ)dτ

).

12A se vedea Metoda variatiei parametrilor ın §2.1.2.

Page 24: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

24 CAP. 2. ECUATII DIFERENTIALE LINIARE (EDL)

Demonstratie.

dW

dx= (y1y

′2 − y′1y2)′ = y1y

′′2 − y′′1y2 =

si utilizand edl (2.26)

= y1(−a(x)y′2 − y2)− y2(−a(x)y′1 − y1) = −a(x)W.

Solutia acestei e.d. separabile este W (x) = Cexp(−∫ xx0a(τ)dτ

). Pentru

x = x0 rezulta C = W (x0).4

Problema. Cunoscand o solutie (nenula) y1 pentru edl omogena (2.26),cum putem determina o a doua solutie liniar independenta de ea?R. Utilizand formula de mai sus si notand y solutia cautata putem scrie ca

y1y′ − y′1y = exp

(−∫ x

x0

a(τ)dτ

)(2.27)

unde x0 are o valoare aleasa convenabil.

Exemplu. x2y′′ + y′ − 2y = 0, cu solutia particulara y1 = 2x2 + 2x + 1.R. Aici a(x) = 1

x2, iar formula lui Abel poate fi scrisa astfel

W [y1, y] = (2x2+2x+1)y′−(4x+2)y = exp

(−∫ x

1

1/τ 2dτ

)= exp

(1

x− 1

).

Solutia generala a acestei edl de ordinul I este C(2x2+2x+1)+x2exp

(1

x− 1

).

Astfel alegand solutia particulara pentru C = 0, obtinem pentru edl data

solutia y2 = x2exp

(1

x− 1

)si solutia generala13

C1(2x2 + 2x+ 1) + C2x

2exp

(1

x− 1

).

13Echivalenta cu C1(2x2 + 2x+ 1) + C2x2exp

(1

x

).

Page 25: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

2.3. EDL DE ORDIN SUPERIOR 25

EDL de ordinul al II-lea neomogena

Aplicand, ca si ın cazul celorlalte edl discutate pana acum, metoda variatieiparametrilor si cunoscand solutia generala omogena corespunzatoare

y0 = C1y1 + C2y2,

cautam o solutie particulara neomogena de forma

yp = u1y1 + u2y2.

Asa cum am vazut ın §2.1.2, derivatele celor doua functii necunoscute u1 siu2, aici functii de x, se obtin din relatiile

u′1y1 + u′2y2 = 0,

u′1y′1 + u′2y

′2 = f,

prin formulele

u′1 = −y2fW

, u′2 =y1f

W,

unde W = W [y1, y2] este wronskianul celor doua solutii omogene.Exemplu. Cunoscand solutia generala omogena y = C1 + C2 lnx cores-

punzatoare edl y′′ +1

xy′ =

1

x2(x > 0), sa se determine solutia ei generala.

R. Din sistemul algebricu′1 + u′2 lnx = 0

1

xu′2 =

1

x2

obtinem u′2 =1

x, apoi u′1 = − lnx

xsi prin integrare u1 = − ln2 x

2, u2 = lnx.

Solutia particulara neomogena va fi yp = − ln2 x

2+ ln2 x =

ln2 x

2, iar cea

generala y = C1 + C2 lnx+ln2 x

2.

2.3 EDL de ordin superior

Daca pana aici am lucrat numai cu edl de ordinul al II-lea, tip frecvent ıntalnitın aplicatii, acum vom trata si edl cu ordin mai ınalt. Vom constata astfel

Page 26: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

26 CAP. 2. ECUATII DIFERENTIALE LINIARE (EDL)

cum se aplica acestor cazuri, metodele expuse anterior. Mentionam si faptulca astfel de situatii apar, de obicei, prin reducerea sistemelor diferentialeliniare la o singura edl.14 Forma generala a unei edl omogene de ordinul n ınfunctia necunoscuta y(x) este

L[y(x)] = y(n) + a1y(n−1) + · · ·+ an−1y

′ + any = f(x) (2.28)

unde coeficientii ak si f(x) sunt functii de x definite si continui ıntr-un intervalI al dreptei reale.

Problema cu conditii initiale atasata ecuatiei (2.28) consta ın determinareasolutiei y(x) care sa verifice urmatoarele n relatii:

y(x0) = y0, y′(x0) = y′0, . . . , y

(n−1)(x0) = y(n−1)0 , (2.29)

unde x0 ∈ I, iar y0, y′0, . . . , y

(n−1)0 sunt numere reale. Teorema de existenta

si unicitate a solutiei p.c.i. enuntata ın §2.2.2 este valabila si cu referire laecuatia (2.28) si conditiile (2.29).

2.3.1 Cazul omogen

Acesta este cazul ın care f(x) = 0.Vom discuta doar ecuatiile cu coeficienti constanti si cele reductibile la aces-tea, i.e. ecuatiile Euler-Cauchy. Astfel, daca toti coeficientii ak sunt numere(reale), ecuatia caracteristica (2.4) devine

λn + a1λn−1 + · · ·+ an−1λ+ an = 0 (2.30)

Notand P (λ) polinomul din membrul stang al acestei ecuatii, conform teore-mei fundamentale a algebrei el se descompune ıntr-un produs de factori degradul I, respectiv de gradul al II-lea, factori cu coeficienti reali, ce pot apareridicati la diverse puteri:15

P (λ) = (λ−λ1)m1 . . . (λ−λm)mq(λ2+s1λ+p1)n1 . . . (λ2+srλ+pr)

nr ,unde m1 + · · ·+mq + 2n1 + · · ·+ 2nr = n.Fiecarui factor (λ − λi)mi ıi corespund, ın solutia generala, mi solutii liniarindependente:

14A se vedea §3.1.4, exemplul 2.15Factorii de gradul I: (λ− λi)mi corespund radacinilor reale cu multiplicitatea mi, iar

cei de gradul al II-lea la puterea ni - cate unei perechi de radacini complex conjugate,ambele cu multiplicitatea ni.

Page 27: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

2.3. EDL DE ORDIN SUPERIOR 27

yj = xjeλix, j = 0, 1, . . . ,mi − 1.Similar, fiecarui factor (λ2 +skλ+pk)

nk ıi corespund, ın solutia generala, 2nksolutii liniar independente:

yj = xjeαkx cos βkx, zj = xjeαkx sin βkx, j = 0, 1, . . . , nk − 1,unde αk± iβk sunt radacinile complex conjugate ale trinomului λ2 +skλ+pk.

Exemple. 1. Sa se determine solutia p.c.i. y′′′− 6y′′+ 12y′− 8y = 0, cuy(0) = 1, y′(0) = 0, y′′(0) = −1.R. P (λ) = (λ− 2)3, deci solutia generala va fi y = C1e

2x +C2xe2x +C3x

2e2x.Din conditiile initiale deducem:

y(0) = C1 = 1, y′(0) = 2 + C2 = 0, C2 = −2 y′′(0) = 4− 8 + 2C3 = −1,

deci C3 = 32. Astfel ıncat: y =

1

2e2x(3x2 − 4x+ 2).

2. Sa se determine solutia p.c.i. y′′′ − 3y′′ + y′ − 3y = 0, cu y(0) = 1, y′(0) =0, y′′(0) = −1.R. P (λ) = (λ− 3)(λ2 + 1), iar solutia generala: C1e

3x + C2 cosx+ C3 sinx.Conditiile initiale dau sistemul C1 + C2 = 0, 3C1 + C3 = 0, 9C1 − C2 = −1,au solutia C1 = 0, C2 = 1, C3 = 0. Adica y(x) = cos x.

3. Solutia p.c.i. yiv + 4y′′′ + 8y′′ + 8y′ + 4y = 0 cu y(0) = 1, y′(0) =−1, y′′(0) = 1, y′′′(0) = −1.R. P (λ) = (λ2 + 2λ+ 2)2 corespunde unei la solutii generale de forma

y(x) = e−x[(C1x+ C2) cosx+ (C3x+ C4) sinx].

Punand conditiile initiale obtinem sistemulC2 = 1, C1−C2 +C4 = −1, −2C1 + 2C2− 2C4 = 1, 2C2− 6C3 + 2C4 = −1cu solutia C1 = 0, C2 = 1, C3 = 1/2, C4 = 0. Astfel, solutia cautata va fi1

2e−x(2 cosx+ x sinx).

2.3.2 Cazul neomogen

Cand f(x) 6≡ 0 solutia generala a edl L[y(x)] = f(x) se compune, cum amvazut ın §2.1.2, din solutia generala omogena la care se adauga o solutieparticulara neomogena. Aceasta din urma depinde atat de solutia omogena,cat si de f(x). Cat priveste metodele de determinare a unei astfel de solutiiparticulare, ele depind de termenul liber f(x) si sunt cele explicate ın §2.1.2.

Page 28: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

28 CAP. 2. ECUATII DIFERENTIALE LINIARE (EDL)

Page 29: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

Cap. 3

Sisteme diferentiale liniare(SDL)

3.1 SDL cu coeficienti constanti

3.1.1 Forma normala a unui SDL

Un sistem diferential liniar avand n ecuatii si n functii necunoscute x1(t), . . . , xn(t)are urmatoarea forma normala

x1 = a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn + b1x2 = a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn + b2...

...xn = an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn + bn

. (3.1)

unde xj reprezinta derivateledxidt

, iar aij si bi sunt functii de t.

Observatie.In cazul coeficientilor constanti, de care ne vom ocupa mai jos,aij sunt constante reale, iar bi = bi(t) functii reale.

Definitie. O solutie a problemei (3.1) cu conditiile initiale:

x1(t0) = x01, . . . , xn(t0) = x0n unde t0 ∈ I si x01, . . . , x0n ∈ R, (3.2)

este un vector de functii x1(t), . . . , xn(t) definite si derivabile ın intervalul I,functii care ınlocuite, ımpreuna cu derivatele lor, ın relatiile (3.1) conduc latot atatea identitati si care verifica relatiile (3.2).

29

Page 30: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

30 CAP. 3. SISTEME DIFERENTIALE LINIARE (SDL)

Teorema de existenta si unicitate.Vom presupune ca atat coeficientii aij(t) cat si functiile bi(t) sunt con-

tinue si marginite ın intervalul I ⊂ R. Atunci exista si sunt unice functiilex1(t), . . . , xn(t) definite ın itervalul I si care verifica relatiile (3.1) si (3.2).Fara demonstratie.

Relatiile (3.1) si (3.2) pot fi scrise mai compact ın

Notatia vectoriala. Astfel daca A(t) = [aij(t)] este matricea n × n defunctii-coeficienti si b(t) = [b1(t) · · ·n (t)]T vectorul coloana de functii-termeniliberi, iar x(t) = [x1(t) . . . xn(t)]T , x(t) = [x1 . . . xn]T , vectorii-coloana defunctii necunoscute si respectiv derivatele lor, atunci (3.1) si (3.2) vor deveni

x(t) = A(t)x(t) + b(t), (3.3)

respectivx(t0) = x0, (3.4)

unde x0 = [x01 . . . x0n]T ∈ Rn.

Reducerea la forma normala. SDL reprezinta legi matematice aleunor sisteme fizice sau de alta natura si de aceea nu apar ıntotdeauna subaceasta forma speciala. Metodele de rezolvare a lor necesita, precum vomvedea, reprezentarea ın forma normala. Transformarea se poate realiza prinprelucrari algebrice ale ecuatiilor si/sau prin schimbari de functii necunos-cute. Iata doua exemple:

Exemplul 1. In circuitul urmator1 sursa de curent continuu are tensi-unea E=12V,

1Vezi si §1.4.2, exemplul 1.

Page 31: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

3.1. SDL CU COEFICIENTI CONSTANTI 31

inductanta bobinei este L=1Henry,condensatorul are capacitatea C=0,25Farazi,iar rezistentele au R1=4Ω, R2=6Ω. Aplicand legea tensiunilor ın fiecaredin cele doua ochiuri de retea prin care trec curentii i1(t) si i2(t), obtinemecuatiile:

Li′1(t) +R1(i1(t)− i2(t)) = E, R2i2(t) +R1(i2(t)− i1(t)) +1

C

∫i2(t)dt = 0.

Presupunand ca la momentul t = 0 prin circuit nu trece curent, sa se deter-mine i1(t) si i2(t) la momentul t > 0.

Dupa cum se observa, a doua ecuatie este integrala, nu diferentiala. Prin

derivare ea devine R2i′2(t) + R1(i

′2(t) − i′1(t)) +

1

Ci2(t) = 0. Inlocuim acum

valorile pieselor componente ın cele doua edl si obtinem SDL urmator:

i′1(t) + 4(i′1(t)− i′2(t)) = 12, 6i′2(t) + 4(i′2(t)− i′1(t)) + 4i2(t) = 0.

Pentru a-l aduce la forma normala el trebuie rezolvat (algebric) ın functie denecunoscutele i′1(t) si i′2(t); ceea ce conduce la

i′1(t) = −4i1(t) + 4i2(t) + 12i′2(t) = −1, 6i1(t) + 1, 6i2(t) + 4, 8.

(3.5)

Acestui SDL i se adauga, conform problemei, conditiile initiale

i1(0) = i2(0) = 0. (3.6)

In reprezentarea matriceala (3.3), (3.4) aceste relatii devin[i′1i′2

]=

[−4 4−1, 6 1, 6

] [i1i2

]+

[124, 8

], (3.7)

[i1(0)i2(0)

]=

[00

]. (3.8)

Exemplul 2. In figura de mai jos sunt reprezentate doua pozitii ale unuisistem de mase si resorturi. Prima este cea de repaos, iar a doua ın miscare.Deplasarile se fac pe verticala si ın sens descendent. Corespunzator celordoua mase m1 = 1 si m2 = 1, ele sunt notate y1, respectiv y2.

Page 32: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

32 CAP. 3. SISTEME DIFERENTIALE LINIARE (SDL)

Aplicand legea a doua a dinamicii si pe cea a luiHooke2, resorturile avand constantele elastice k1 =3, respectiv k2 = 2, obtinem ecuatiile de misare

..y1 = −3y1 + 2(y2 − y1) = −5y1 + 2y2..y2 = −2(y2 − y1) = 2y1 − 2y2.

(3.9)Lor le atasam conditiile initiale

y1(0) = 1, y1(0) = −2√

6

y2(0) = 2, y2(0) =√

6.(3.10)

Pentru a aduce aceasta problema cu conditii initialela forma sa normala vom introduce noi variabile astfel

x1 = y1, x2 = y1, x3 = y2, x4 = y2. (3.11)

Noul SDL poate fi astfel reprezentat matriceal sub forma x = Ax unde

A =

0 1 0 0−5 0 2 00 0 0 12 0 −2 0

, (3.12)

iar conditia initiala corespunzatoare este

x(0) = [1 − 2√

6 2√

6]T . (3.13)

3.1.2 Solutia SDL omogen cu coeficienti constanti.

Pentru a obtine solutia unui astfel de sistem diferential, vom apela la notiuneade matrice exponentiala eAt a unei matrice An×n de numere.

Matricea exponentiala eAt; proprietati.

Aceasta notiune a fost introdusa ın cap.6, §6.4 din Algebra Liniara. O reluampentru mai multa claritate.

Daca A ∈Mn(R) si t ∈ R seria de puteri de matrice

I +1

1!At+

1

2!A2t2 + · · ·+ 1

n!Antn + . . . (3.14)

2Vezi si §1.1. pctul 7

Page 33: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

3.1. SDL CU COEFICIENTI CONSTANTI 33

este absolut si uniform convergenta pentru orice t ∈ R, |t| ≤ a. 3 Ea definestefunctia de t:

eAt : R −→Mn(R),

functie derivabila, termen cu termen, ın raport cu t; anume

d

dteAt = 0 +

1

1!A+

1

2!2A2t+

1

3!3A3t2 + · · ·+ 1

n!nAntn−1 + · · · =

A

(I +

1

1!At+

1

2!A2t2 + · · ·+ 1

(n− 1)!An−1tn−1 + . . .

)= AeAt.

Ceea ce conduce la formula

d

dteAt = AeAt. (3.15)

Observatii. 1. Similar se poate deduce si formulad

dteAt = eAtA, de unde

rezulta relatiaAeAt = eAtA. (3.16)

2. Formula binomului lui Newton poate fi exprimata sub forma compacta

urmatoare:4 (a + b)n = n!∑

j+k=n

ajbk

j!k!. Demonstratia, bazata pe inductie, uti-

lizeaza comutativitatea produsului numerelor. Ea nu poate fi extinsa asadarla matricele A,B ∈Mn(R) decat ın cazul cand ele comuta.

Proprietate. Daca matricele A,B ∈ Mn(R) comuta, i.e. AB = BA,atunci

∀t ∈ R : e(A+B)t = eAteBt. (3.17)

Demonstratie. Intrucat, conform celor de mai sus, are loc pentru orice nrelatia

(A+B)n = n!∑j+k=n

(At)j(Bt)k

j!k!,

prin trecere la limita (pentru n→∞) obtinem urmatoarele egalitati

e(A+B)t =∞∑n=0

∑j+k=n

(At)j(Bt)k

j!k!=∞∑j=0

(At)j

j!

∞∑k=0

(Bt)k

k!= eAteBt.4

3In norma ||A|| ce se poate defini considerand matricea A ca un vector din Rn×n. VeziA.L. cap.5.

4Verificati pentru n = 2 si n = 3.

Page 34: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

34 CAP. 3. SISTEME DIFERENTIALE LINIARE (SDL)

Consecinta. Daca AB = BA atunci ∀t ∈ R : eAteBt = eBteAt.

Teorema de existenta si unicitate. Daca A ∈ Mn(R), x0 ∈ Rn sit0 ∈ R sunt fixati, atunci problema cu conditie initiala

x(t) = Ax(t), x(0) = x0 (3.18)

pentru sistemul diferential si omogen, are solutia unica

x(t) = eAtx0. (3.19)

Demonstratie. Existenta. Derivand (3.19), conform (3.15) obtinem

x(t) =d

dteAtx0 = AeAtx0 = Ax(t), ∀t ∈ R.

Totodata x(0) = e0tx0 = Ix0 = x0, ceea ce arata ca x(t) = eAtx0 este solutie.

Unicitatea. Daca z(t) este o solutie pentru p.c.i. (3.18) vom considerafunctia y(t) = e−Atz(t). Conform (3.15) si regulei de derivare a unui produs,rezulta

y(t) = −Ae−Atz(t)+e−Atz(t) = −Ae−Atz(t)+e−AtAz(t) = (−Ae−At+e−AtA)z(t)

care, conform (3.16), este 0z(t) = 0; deci y(t) ≡ const.Dar pentru t = 0, y(t) = x0 deci y(t) ≡ x0. Astfel ıncat revenind la

definitia lui y(t) rezulta x0 ≡ e−Atz(t), adica z(t) = eAtx0 ≡ x(t).4

Exemplu. x(t) =

[−2 −11 −2

]x(t) = 0, x(0) =

[10

].

R. Intrucat eAt = e−2t[

cos t − sin tsin t cos t

], (vezi exemplul???) solutia p.c.i.

va fi x(t) = e−2t[

cos t − sin tsin t cos t

] [10

]= e−2t

[cos tsin t

].

Observatie. In coordonate po-lare ecuatia ei este ρ = e−2θ sireprezinta grafic o spirala logarit-mica (vezi figura).

Page 35: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

3.1. SDL CU COEFICIENTI CONSTANTI 35

3.1.3 Solutia SDL neomogen cu coeficienti constanti.

Similar cazului ecuatiilor diferentiale liniare discutate ın capitolul precedent,solutia generala a unui SDL neomogen (3.3) se obtine adaugand solutiei gen-erale omogene corespunzatoare, o solutie particulara neomogena. In cazul sis-temului cu coeficienti constanti, aceasta solutie poate fi determinata printr-oformula. Aceasta se construieste cu ajutorul matricei exponentiale eAt si atermenului liber b(t) din (3.3), astfel

xp(t) = eAt∫ t

0

e−Aτb(τ)dτ. (3.20)

Verificam ca xp(t) este o solutie (particulara) a sistemului neomogen (3.3).Pentru aceasta o introducem ın el:

xp = AeAt∫ t

0

e−Aτb(τ)dτ + eAte−Atb(t).

Am utilizat formula de derivare a produsului si pe cea de derivare a integraleicu limita variabila de integrare (i.e. primitiva integrandului). Deoarece ma-tricele A si −A comuta, din (3.17) rezulta eAte−At = e0t = I, astfel ıncatrelatia devine

xp = AeAt∫ t

0

e−Aτb(τ)dτ + Ib(t) = Axp(t) + b(t)

si verificarea este ıncheiata.Prin adaugarea ei la solutia generala omogena, ce poate fi exprimata ınlocuindın (3.19) vectorul conditie initiala x0 cu un vector de constante si dimensiunecorespunzatoare c ∈ Rn, obtinem solutia generala neomogena sub forma

x(t) = eAtc+ eAt∫ t

0

e−Aτb(τ)dτ. (3.21)

Observatie. Inlocuind ın aceasta formula vectorul c cu vectorul-conditieinitiala x0, obtinem chiar solutia particulara a p.c.i.

x(t) = Ax(t) + b(t), x(0) = x0.

Puteti explica de ce?

Page 36: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

36 CAP. 3. SISTEME DIFERENTIALE LINIARE (SDL)

Exemplu. Daca sistemului liniar si omogen din exemplul precedent ıiadaugam termenul liber [1 1]T , noul SDL neomogen, astfel obtinut, va aveasolutia particulara

xp(t) = e−2t[

cos t − sin tsin t cos t

] ∫ t

0

e−2τ[

cos τ − sin τsin τ cos τ

] [11

]dτ

Facand calculele gasim vectorul-coloana

xp(t) =

[1

5− 1

5(cos t− 3 sin t),

3

5− 1

5(3 cos t+ sin t)

]T.

Adaugad acest vector solutiei generale omogene,

x(t) = e−2t[

cos t − sin tsin t cos t

] [c1c2

]+ xp(t).

am obtinut solutia generala pentru SDL neomogen.

3.1.4 Metoda reducerii SDL la o EDL

O cale alternativa pentru determinarea solutiei generale a unui SDL estecea a reducerii lui la o EDL liniare de acelasi tip cu sistemul: omogen sauneomogen. Aceasta reducere se realizeaza prin operatii algebrice efectuateasupra operatorilor diferentiali si este asemanatoare metodei eliminarii suc-cesive aplicate sistemelor algebrice liniare.

Exemplul 1. Reluam sistemul neomogen din exemplul precedent uti-

lizand ca notatie pentru derivatad

dtnotatia D (conf. §2.1.1). Astfel cele

doua edl ale sistemului vor fiDx1 = −2x1 − x2 + 1Dx2 = x1 − 2x2 + 1

.

Separam apoi necunoscutele de termenii liberi utizand ın continuare notatiaoperatoriala (vezi referinta citata)

(D + 2)x1 + x2 = 1−x1 + (D + 2)x2 = 1

.

Procedeul reducerii consta aici ın a aplica primei ecuatii operatorul (D + 2)scazand-o apoi din a doua ecuatie. Rezulta −(D + 2)2x1 − x1 = −1, ecuatie

Page 37: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

3.1. SDL CU COEFICIENTI CONSTANTI 37

echivalenta cu (D2+4D+5)x1 = 1. Ecuatia caracteristica este λ2+4λ+5 = 0,iar radacinile ei sunt λ1,2 = −2± i. In virtutea celor stabilite ın §2.1.1 cazulIII si a tabelului din §2.1.2, solutia generala corespunzatoare va fi

x1 = C1e−2t cos t+ C2e

−2t sin t+1

5.

Inlocuind-o ın prima ecuatie (nu ın a doua!5) obtinem

x2 = −(D + 2)x1 + 1 =3

5− C1e

−2t cos t+ C2e−2t sin t.

Observatie. Rezultatul astfel obtinut coincide, ın mod firesc, cu cel dedusprin metoda matriceala.

Exemplul 2. Sistemul diferential din §3.1.1, exemplul 2, se va scrie ınnotatia operatoriala astfel

(D2 + 5)y1 − 2y2 = 0−2y1 + (D2 + 2)y2 = 0

.

Aplicand primei ecuatii operatorul1

2(D2 +2) si adunand-o la ecuatia a doua,

obtinem

1

2(D2 + 5)(D2 + 2)y1 − 2y1 = 0⇔ (D4 + 7D2 + 6)y1 = 0,

Radacinile ecuatiei sale caracteristice λ4 + 7λ2 + 6 = 0 sunt λ1,2 = ±i siλ3,4 = ±

√6i. Astfel ıncat solutia generala corespunzatoare ei va fi

y1 = C1 cos t+ C2 sin t+ C3 cos√

6t+ C4 sin√

6t.

Pentru a obtine functia necunoscuta y2 trebuie, asa cum am explicat mai sus,sa utilizam prima ecuatie, ın care aceasta functie apare nederivata

y2 =1

2(D2+5)y1 =

1

2y′′1+

5

2y1 = 2C1 cos t+2C2 sin t−1

2C3 cos

√6t−1

2C4 sin

√6t.

5Daca o introducem ın a doua ecuatie, obtinem o noua edl (de ordinul I) ın necunoscutax2. Ceea ce conduce, prin rezolvarea sa, la aparitia unei a treia constante arbitrare ınsolutia sistemului. Faptul acesta contravine teoremei de unicitate a solutiei p.c.i. Explicatide ce!

Page 38: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

38 CAP. 3. SISTEME DIFERENTIALE LINIARE (SDL)

Impunand conditiile (3.10) de maisus, se obtine solutia sistemului fiziccu doua mase si doua resorturi din§3.1.1:y1(t) = cos t− 2 sin

√6t,

y2(t) = 2 cos t+ sin√

6t,cu reprezentarea grafica alaturata.

Page 39: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

Cap. 4

Metoda transformatei Laplace

4.1 Notiuni introductive

In acest capitol vom dezvolta o metoda de rezolvare a problemelor cu conditiiinitiale pentru ecuatiile si sistemele diferentiale liniare cu coeficienti constantimai eficienta si mai generala decat cele descrise ın capitolul precedent. Ease bazeaza pe o transformare integrala importanta si care reprezinta un in-strument principal de lucru ın fizica, inginerie si alte domenii cu caracteraplicativ. Incepem prezentarea sa.

4.1.1 Transformata Laplace si proprietatile ei

Aceasta transformata se aplica functiilor de variabila reala si valori realef(t), t ≥ 0 - functii care au urmatoarele doua proprietati:

a) exista M,k ≥ 0 : ∀t ≥ 0, |f(t)| ≤Mekt.1

b) f(t) este continua pe portiuni. Aceasta ınseamna ca ın fiecare intervalfinit [a, b] ⊂ R+ functia are cel mult un numar finit de puncte de discon-tinuitate, puncte ın care limitele laterale exista si sunt finite. (In figuraurmatoare este reprezentat graficul unei astfel de functie. S-au marcat prinbuline valorile ei ın punctele de salt).

1De exemplu functiile et2

, 1/t, 1/(t− 1) etc, nu au aceasta proprietate.

39

Page 40: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

40 CAP. 4. METODA TRANSFORMATEI LAPLACE

Definitia transformatei LaplaceDaca functia f(t), definita pentru orice t ≥ 0, verifica cele doua proprietati a)si b)2, notam cu F (s) sau L(f) integrala improprie cu parametru3 urmatoare

F (s) = L[f ] =

∫ ∞0

e−stf(t)dt (4.1)

Ea se numete imaginea prin L a functiei f(t), iar aceasta nume Exemplul1. Calculam L[t] =

∫∞0te−stf(t)dt.

Primitiva integrandului, determinata prin parti, este: −1

s

(t+

1

s

)e−st si

calculata ıntre limitele t→∞ si t = 0 are ca rezultat

limt→∞

[− tse−st − 1

s2e−st +

1

s2

]=

1

s2

pentru orice s > 0.Existenta transformatei L(f)Functia e−stf(t) continua pe portiuni (conditia b) este integrabila pe oriceinterval finit al axei t. Daca s > k, unde k este cel din conditia a, atunci ınbaza acesteia

|L[f ]| =∣∣∣∣∫ ∞

0

e−stf(t)dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ ∞0

e−st|f(t|dt ≤∫ ∞0

Mekte−stdt =M

s− k,

ceea ce demonstreaza convergenta integralei improprii pentru s ın intervalulmentionat.

Alte exemple. 2. L[1] =∫∞0e−stdt =

[−1

se−st

]∞t=0

=1

s, pentru s > 0.

3. L[eat] =∫∞0e−steatdt =

[1

a− se−(s−a)t

]∞t=0

=1

s− a, pentru s > a.

2Caz ın care i se mai spune L - transformabila.3Vezi cursul de Analiza matematica; aici parametrul este s > a ≥ 0, unde a va fi

precizat ın cazul fiecarei functii.

Page 41: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

4.1. NOTIUNI INTRODUCTIVE 41

Transformata Laplace inversa Daca exista transformata F (s) pentrus > k, atunci aceasta este unica (pe intervalul dat) si preimaginea sa f(t)defineste transformata Laplace inversa

L−1[F (s)] = f(t) (4.2)

Liniaritatea transformatei Laplace

∀f(t), g(t) L− transformabile si ∀a, b ∈ R :

L[af(t) + bg(t)] = aL[f(t)] + bL[g(t)]. (4.3)

Conform unei teoreme din Algebra liniara, daca o aplicatie liniara este in-versabila (i.e. injectiva) atunci inversa ei este liniara:4

L−1[af(t) + bg(t)] = aL−1[f(t)] + bL−1[g(t)]. (4.4)

Aplicatii

1. L[cosh t] =1

2L[eat] +

1

2L[e−at] =

1

2

(1

s− a+

1

s+ a

)=

s

s2 − a2;

2. L[sinh t] =1

2L[eat]− 1

2L[e−at] =

1

2

(1

s− a− 1

s+ a

)=

a

s2 − a2;

unde s2 − a2 > 0, deci s > |a|.Urmatoarele doua formule vor fi deduse utilizand exponentiala complexa

(vezi Cap.2 §2.1.1, cazul III): eit = cos t + i sin t. Din ea putem deduce sie−it = cos t− i sin t, pentru ca apoi, prin adunare si scadere, sa rezulte

cos t =eit + e−it

2, sin t =

eit − e−it

2i.

Astfel

L[cos t] =1

2

(L[eit] + L[e−it]

), L[sin t] =

1

2i

(L[eit]− L[e−it]

). (∗)

Prin extinderea formulei din exemplul 3 anterior, obtinem

L[eit] =1

s− isi L[e−it] =

1

s+ i

4Aici inversa L−1 este definita pe imaginea lui L,

Page 42: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

42 CAP. 4. METODA TRANSFORMATEI LAPLACE

pe care ınlocuindu-le ın (∗) gasim

L[cos t] =1

2

(1

s− i+

1

s+ i

)=

s

s2 − i2=

s

s2 + 1,

si similar

L[sin t] =1

2i

(1

s− i− 1

s+ i

)=

1

s2 − i2=

1

s2 + 1.

Intr-o forma mai generala ele se prezinta astfel

L[cosωt] =s

s2 + ω2si L[sinωt] =

ω

s2 + ω2,

pentru orice ω ∈ R.

Deplasarea imaginii (s-deplasarea)

L[eatf(t)] = F (s− a) (4.5)

unde F (s) = L[f(t)] si daca s > k reprezinta domeniul de existenta pentruF (s), atunci cel pentru F (s − a) este s > k + a. Aplicand ambilor membritransformata L−1, formula poate fi scrisa

eatf(t) = L−1[F (s− a)]. (4.6)

Demonstratie. Inlocuim s cu s− a ın (4.1) si obtinem

F (s− a) =

∫ ∞0

e−(s−a)tf(t)dt =

∫ ∞0

e−st[eatf(t)]dt = L[eatf(t)].4

Transformata Laplace a derivatei

L[f ′(t)] = sL[f(t)]− f(0) (4.7)

unde f(t) este continua ın [0,∞), iar f(t) si f ′(t) sunt L-transformabile.Demonstratie. Daca f ′ este continua5, integrand prin parti obtinem

L[f ′(t)] =

∫ ∞0

e−stf ′(t)dt =[e−stf(t)

]∞t=0

+ s

∫ ∞0

e−stf(t)dt.

5Desi demonstratia o facem pentru acest caz, ea poate fi extinsa si la cazul continuitatiipe portiuni (conditia b).

Page 43: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

4.1. NOTIUNI INTRODUCTIVE 43

In baza primei proprietati a L-transformabilitatii, rezulta ca pentru s > k :limt→∞

e−st|f(t)| ≤ M limt→∞

e−(s−k)t = 0. Astfel, membrul drept al integrarii prin

parti coincide cu membrul drept din formula (4.7). Daca f ′(t) si f ′′(t) satisfacaceleasi conditii ca f(t) si f ′(t) din (4.7), atunci aplicand de doua ori aceastaformula, gasim

L[f ′′(t)] = s2L[f(t)]− sf(0)− f ′(0). (4.8)

Astfel, ın ipoteze adecvate, se pot determina transformatele Laplace alederivatelor functiei f(t) de orice ordin.

Transformata Laplace a primitivei

L[∫ t

0

f(τ)dτ

]=

1

sF (s) (4.9)

Demonstratie. Deoarece f(t) este continua pe portiuni (conditia b), primitivasa g(t) =

∫ t0f(τ)dτ este continua. In plus

|g(t)| =∣∣∣∣∫ t

0

f(τ)dτ

∣∣∣∣ ≤ ∫ t

0

|f(τ)|dτ ≤M

∫ t

0

ekτdτ =M

k(ekt − 1) ≤ M

kekt,

unde k si M sunt constantele corespunzatoare din conditia a pentru f(t).Astfel ıncat functiei g(t) i se poate aplica formula (4.7)

L[g′(t)] = sL[g(t)]− g(0) = sL[g(t)]

Ceea ce conduce imediat la formula (4.9), deoarece s > 0

4.1.2 Rezolvarea problemei cu conditii initiale

Transformata Laplace ofera cea mai directa si simpla metoda de rezolvarea acestui tip de probleme pentru EDL si SDL cu coeficienti constanti. Saurmarim pentru ınceput cazul edl cu coeficienti constanti. Metoda parcurgetrei etape:

I. L-transformarea EDL ıntr-o ecuatie algebrica avand drept necunoscutaY (s) = L[y(t)].

II. Determinarea algebrica a necunoscutei Y (s).III. Revenirea, prin L−1[Y (s)], la solutia cautata y(t).

Page 44: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

44 CAP. 4. METODA TRANSFORMATEI LAPLACE

Exemplul 1. Se cere determinarea solutiei edl y′(t) − y(t) = et caresatisface conditia (initiala) y(0) = 1.R. Etapa I-a: L[y′(t)− y(t)] = L[et]⇔ L[y′(t)]− L[y(t)] = L[et].Notam L[y(t)] = Y (s), apoi utilizand (4.7) si exemplul 3 §2.1.1, obtinem

sY (s)− 1 + Y (s) =1

s− 1.

Etapa a II-a: din aceasta ecuatie extragem Y (s) =s

(s− 1)2.

Etapa a III-a: descompunem rezultatul ın fractii simple

Y (s) =1

(s− 1)2+

1

s− 1si aplicam, membru cu membru, L−1; obtinem

y(t) = L−1[Y (s)] = L−1[

1

(s− 1)2

]+ L−1

[1

s− 1

]. Pentru a determina

L−1[

1

(s− 1)2

]apelam la formulele (4.5) si (4.6) luand a = 1 si F (s) =

1

s2.

Intrucat L[t] =1

s2(vezi exemplul 1 §2.1.1) va rezulta ca L[ett] =

1

(s− 1)2de

unde L−1[

1

(s− 1)2

]= ett. Deoarece L[et] =

1

s− 1, deci L−1

[1

s− 1

]= et,

solutia problemei va fi y(t) = ett+ et.

Exemplul 2. Se cauta solutia ecuatiei y′′(t) − 3y′(t) + 2y(t) = cos t caresatisface conditiile y(0) = 1, y′(0) = 0.R. Etapa I-a: Aplicand transformata L celor doi membri, obtinem, utilizandsi formula (4.8)

s2Y (s)− sy(0)− y′(0)− 3(sY (s)− y(0)) + 2Y (s) =s

s2 + 1.

Inlocuind apoi valorile conditiilor initiale si grupand termenii gasim

(s2 − 3s+ 2)Y (s) = s− 3 +s

s2 + 1.

Etapa a II-a: extragem Y (s) =s3 − 3s2 + 2s− 3

(s2 − 3s+ 2)(s2 + 1).

Etapa a III-a: Descompunem rezultatul ın fractii simple

Y (s) =3

2(s− 1)− 3

5(s− 2)+

s

10(s2 + 1)− 3

10(s2 + 1),

Page 45: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

4.1. NOTIUNI INTRODUCTIVE 45

si aplicam, membru cu membru, L−1 utilizand tabelele anterioare; obtinem

y(t) =3

2et − 3

5e2t +

1

10cos t− 3

10sin t.

Tabel de transformate Laplace uzuale.

f(t) F (s) f(t) F (s)

1 11

s7 cosωt

s

s2 + ω2

2 t1

s28 sinωt

ω

s2 + ω2

3 t22!

s39 cosh at

s

s2 − a2

4 tn(n = 0, 1, 2, . . . )n!

sn+110 sinh at

a

s2 − a2

5 ta(a > 0)Γ(a+ 1)

sa+111 eat cosωt

s− a(s− a)2 + ω2

6 eat1

s− a12 eat sinωt

ω

(s− a)2 + ω2

Cazul conditiilor initiale ın t0 6= 0. Formulele (4.7) si (4.8) - de calculal transformatei Laplace pentru derivate - presupun conditii initiale date ınt = 0. Atunci cand ele sunt date ın t0 6= 0, se efectueaza translatia devariabila t = τ + t0, prin care sunt readuse ın origine .

Exemplul 3. Sa se determine solutia problemei cu conditii initiale

y′′(t)− y(t) = t, y(1) = 1, y′(1) = 0.

R. Punand t = τ + 1 rezultad

dt=

d

dτasa ıncat daca notam

∼y(τ) = y(t),

noua problema va fi

Page 46: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

46 CAP. 4. METODA TRANSFORMATEI LAPLACE

d2∼y

dτ− ∼y = τ + 1, cu conditiile

∼y(0) = 1,

d∼y

dτ(0) = 0.

In prima etapa obtinem (s2 − 1)∼Y = s+

1

s2, iar din a doua etapa

∼Y =

s3 + 1

s2(s2 − 1)=

1

s− 1− 1

s2.

Prin transformarea inversa:∼y(τ) = eτ − τ si revenind la variabila t si functia

y(t) obtinemy(t) = et−1 − (t− 1).

4.1.3 Functia ”treapta unitate” a lui Heaviside

Transformata Laplace este nu numai un instrument avantajos de a rezolvaprobleme cu conditii initiale, asa cum am vazut deja, ci permite si gasireaunor solutii pentru acestea ın cazuri ın care metodele discutate ın §2.1 nu potopera. Mai precis este vorba despre acele edl neomogene al caror membrudrept are discontinuitati.6 Astfel de functii modeleaza fenomene frecventıntalnite ın electricitate, mecanica, probabilitati etc. Conceptele matematiceprin care se realizeaza aceasta modelare sunt ”trepta unitate” u(t − a) si”impulsul Dirac” δ(t− a). Ne vom ocupa ın continuare de primul dintre ele.

Treapta unitate sau functia lui Heaviside (dupa numele inginerului englezcare a introdus-o si utilizat-o) este definita astfel

u(t− a) =

0 daca t < a1 daca t > a

unde a ≥ 0 fixat. (4.10)

Graficul sau este,

6Aici vom discuta cazul functiilor continue pe portiuni (vezi proprietatea b din §4.1.1).

Page 47: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

4.1. NOTIUNI INTRODUCTIVE 47

iar transformata Laplace

L[u(t−a)] =

∫ ∞0

e−stu(t−a)dt =

∫ ∞a

e−st1dt =

[−e−st

s

]∞t=a

=e−as

s(4.11)

unde a ≥ 0, s > 0.Printre rolurile importante ale treptei Heaviside u(t− a) se numara cele

de a ”aprinde”, ”stinge” sau ”ıntarzia” intrarea ın functiune a unor actiunireprezentate prin functii. Un exemplu ıl constituie semnalul periodic reprezen-tat de functia f(t) = 5 sin t. Urmariti pe grafice consecintele ınmultirii, perand, a lui f(t) si f(t− 2), cu u(t− 2).

In cazul (B) f(t) ramane ”stinsa” pana la momentul t = 2, cand se aprinde;pe cand ın cazul (C) f(t) se translateaza cu t = 2 unitati de timp.Problema. Trasati graficul functiei f(t)u(2− t). Ce actiune descrie acesta?

Deplasarea originalului (t-deplasarea)

L[f(t− a)u(t− a)] = e−asF (s) (4.12)

si aplicand ambilor termeni L−1:

f(t− a)u(t− a) = L−1[e−asF (s)] (4.13)

Demonstratie. Intrucat F (s) =∫∞0e−sτf(τ)dτ rezulta e−asF (s) =

∫∞0e−s(τ+a)f(τ)dτ .

Prin schimbarea de variabila τ + a = t rezulta dτ = dt si egalitatea devine

e−asF (s) =

∫ ∞a

e−stf(t− a)dt.

Page 48: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

48 CAP. 4. METODA TRANSFORMATEI LAPLACE

Pentru a readuce limita inferioara de integrare la 0 apelam la functia treaptaınmultind integrandul cu u(t− a). Obtinem astfel relatia

e−asF (s) =

∫ ∞0

e−stf(t− a)u(t− a)dt.4

Aplicatie importanta. In probleme aplicative apar frecvent funtii definitepe cazuri (ramuri) si ale caror transformate trebuie determinate. Metodase bazeaza pe rescrierea lor drept sume de produse ıntre functiile date, cuargument translatat, si combinatii de functii - treapta.

Exemplul 1. Sa se determine L[f(t)] unde

f(t) =

t daca 0 < t <

π

2cos t daca

π

2< t < π

0 daca t > π

Metoda I-a. Transformam, mai ıntai, definitia pe ramuri a functiei f(t) ıntr-o suma de functii definite pe intervalele disjuncte (0, π/2), (π/2, π), (π,∞):

f(t) = t[u(t)− u

(t− π

2

)]+ cos t

[u(t− π

2

)− u(t− π)

].

Pentru a putea aplica formula (4.12) trebuie ca aceasta suma sa fie rescrisa,la randul ei, numai din termeni de forma f(t − a)u(t − a). Incepem cu re-

scrierea primului termen t[u(t)− u

(t− π

2

)]pe care mai ıntai ıl dezvoltam

si apoi ıl rescriem astfel:

tu(t)− tu(t− π

2

)= tu(t)−

(t− π

2

)u(t− π

2

)− π

2u(t− π

2

).

Aplicand (4.12) pentru acest prim termen, gasim

L[t(u(t)− u

(t− π

2

))]= L[tu(t)]−L

[(t− π

2

)u(t− π

2

)]−π

2L[u(t− π

2

)]=

=1

s2− e−πs/2 1

s2− π

2

(e−πs/2

s

).

Dezvoltam al doilea termen

cos t[u(t− π

2

)− u(t− π)

]= cos t u

(t− π

2

)− cos t u (t− π) =

Page 49: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

4.1. NOTIUNI INTRODUCTIVE 49

= cos(t− π

2+π

2

)u(t− π

2

)−cos(t−π+π)u(t−π) = − sin

(t− π

2

)u(t− π

2

)+

+ cos(t− π)u(t− π).Aplicam (4.12) si obtinem

L[cos t

(u(t− π

2

)− u(t− π)

)]= −L

[sin(t− π

2

)u(t− π

2

)]+L[cos(t−π)u(t−π)] =

= −e−πs/2 1

1 + s2+ e−πs

s

1 + s2.

In final gasim

L[f(t)] =1

s2− e−

πs2

(1

s2+

1

s2 + 1+π/2

s

)+ e−πs

s

s2 + 1.

Observatie utila. Pentru a evita trecerea de la termenii f(t)u(t− a) lacei de forma f(t− a)u(t− a), ın general mai laborioasa, puteti aplica directtransformata Laplace celor dintai prin formula

L [f(t)u(t− a)] = e−asL [f(t+ a)] . (4.14)

Metoda a II-a. Astfel, utilizand ın exemplul precedent formula (4.14),obtinem pe rand

L [tu(t)] = L[t] =1

s2,

L[−tu(t− π

2)]

= −e−πs/2L[t+

π

2

]= −e−πs/2

(1

s2+π/2

s

),

L[cos tu(t− π

2)]

= e−πs/2L[cos tu(t+

π

2)]

= e−πs/2L [− sin t] = −e−πs/2

s2 + 1,

L [− cos tu(t− π)] = −e−πsL [cos(t+ π)] = e−πsL [cos t] = e−πss

s2 + 1.

Adunand aceste patru transformate obtinem acelasi rezultat ca mai sus.

Problema inversa. Dandu-se transformata F (s) a unei functii definitape intervale, sa se determine L−1[F (s)].

Exemplul 2. Sa se determine

L−1[

e−s

(s+ 1)2+

e−2s

s2 + π2

].

Page 50: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

50 CAP. 4. METODA TRANSFORMATEI LAPLACE

R. Pentru a determina L−1 [e−asF (s)] plecam de la (4.13), care ne conduce

la f(t) = L−1[F (s)]. Astfel L−1[

1

(s+ 1)2

]= e−tt (vezi tabelul 1(2) si (4.5)).

Atunci, conf. (4.13), L−1[

e−s

(s+ 1)2

]= e1−t(t− 1)u(t− 1).

Similar L−1[

1

s2 + π2

]=

1

πsin πt (Tabel 2(7)). Deci conf. (4.13)

L−1[

e−2s

s2 + π2

]=

1

πsin π(t− 2) u(t− 2) si ın concluzie

L−1[

e−s

(s+ 1)2+

e−2s

s2 + π2

]= e1−t(t− 1)u(t− 1) +

1

πsin π(t− 2) u(t− 2).

4.1.4 EDL cu membru drept-functie cu salt

In multe probleme aplicative ce conduc la edl neomogene, membrul dreptreprezina o functie avand discontinuitati de speta I-a (i.e. cu limite lateralefinite). Ea se poate reprezenta cu ajutorul treptei unitate, iar transformataLaplace constituie metoda adecvata de a obtine ın acest caz solutia uneiprobleme cu conditii initiale.

Exemplul 1. Solutia problemei y′(t)+y(t) = u(t−1)−u(t−2), y(0) = 0.

R. Aplicam L si obtinem sY (s) − y(0) + Y (s) =1

s(e−s − e−2s). Inlocuim

y(0) = 0 si extragem Y (s) =e−s − e−2s

s(s+ 1). Deoarece L−1

[e−s(

1

s− 1

s+ 1

)]=

(1− e1−t)u(t− 1) si L−1[e−2s

(1

s− 1

s+ 1

)]= (1− e2−t)u(t− 2)

(exemplul 2, §4.1.3) obtinem solutia de tip ”dinte defierastrau”

f(t) =

0 daca 0 < t < 1

1− e1−t daca 1 ≤ t < 2e2−t − e1−t daca t ≥ 2

Page 51: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

4.1. NOTIUNI INTRODUCTIVE 51

Functia Delta (impuls unitar)

Se noteaza δ(t) si fara fi propriu-zis o functie7, ea joaca un rol important ınmodelarea unor fenomene bruste, de pilda ”lovitura de ciocan”. Proprietatileei se exprima frecvent prin intermediul unor integrale improprii. Iata douadintre ele:

1.

∫ ∞0

δ(t− a)dt = 1, (4.15)

si pentru orice functie f(t) continua pe [0,∞):

2.

∫ ∞0

f(t)δ(t− a)dt = f(a). (4.16)

Inlocuind ın (4.16) f(t) cu e−ts deducem L - transformata lui δ(t− a):

L [δ(t− a)] = e−as. (4.17)

Exemplul 2. Vom studia efectul produs de o actiune brusca (idealinstantanee), modelata prin functia δ, asupra unui sistem masa-resort cuamortizor (vezi exemplul 4 §2.1.1) la momentul t = 1 . Edl si neomogena asistemului fizic este

y′′(t) + 5y′(t) + 6y(t) = δ(t− 1),

iar conditiile initiale : y(0) = y′(0) = 0, arata ca sistemul s-a aflat la ınceputın pozitia de repaus.

R. Aplicand L : s2Y (s) + 5sY (s) + 6Y (s) = e−s,

de unde Y (s) =e−s

s2 + 5s+ 6=

e−s

s+ 2− e−s

s+ 3.

Astfel y(t) = L−1[e−s

s+ 2

]− L−1

[e−s

s+ 3

]=

e2−2tu(t− 1)− e3−3tu(t− 1).

7Ea reprezinta o functie generalizata sau distributie.

Page 52: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

52 CAP. 4. METODA TRANSFORMATEI LAPLACE

4.1.5 Transformata Laplace pentru SDL

Metoda transformatei Laplace se aplica sistemelor diferentiale liniare exactla fel cum se aplica si ecuatiilor diferentiale liniare.

Exemplul 1. Sa se determine solutia SDLy′ = zz′ = −4y + δ(t− π)

care verifica conditii initiale y(0) = 0, z(0) = 0.R. Aplicand L ın ambele ecuatii obtinem sistemul algebric

sY = ZsZ = −4Y + e−πs

avand solutia Y =e−πs

s2 + 4, Z =

se−πs

s2 + 4.

Prin transformarea inversa obtinem solutiile cautate.8

y(t) =sin 2(t− π)

2u(t− π), z(t) =

cos 2(t− π)

2u(t− π).

Rezolvarea vectoriala. Reluam notatia (3.3) a unui astfel de sistem ınforma normala

x(t) = Ax(t) + b(t)

si a conditiei initiale corespunzatoare x(0) (vezi §3.1.1). Transformata Laplacea acestuia poate fi si ea realizata vectorial astfel:

Cazul 2× 2.

L[x1(t)x2(t)

]=

[L[x1(t)]L[x2(t)]

]=

[sX1(s)− x1(0)sX2(s)− x2(0)

]= sX(s)− x(0),

unde X(s) este transformata Laplace a vectorului de functii x(t). Intro-ducandu-l ın sistemul algebric

sX(s)− x(0) = AX(s) +B(s), (4.18)

8Deoarece solutiile sunt functii periodice cu perioada 2π, miscarea este si ea periodica.Reprezentand parametric ın planul yOz curba y = y(t), z = z(t) obtinem un cerc de raza1/2, iar punctul (y(t), z(t)) ıncepe sa se roteasca pe acest cerc de la momentul t = π.

Page 53: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

4.1. NOTIUNI INTRODUCTIVE 53

unde B(s) reprezinta vectorul L[b(t)] al transformatelor Laplace ai termenilorliberi bj(t), j = 1, 2 din cele doua ecuatii ale sistemului diferential dat.Solutia vectoriala a sistemului (4.18) poate fi scrisa atunci astfel

X(s) = Z(s)(B(s) + x(0)) unde Z(s) = (sI2 − A)−1. (4.19)

Observatie. Pentru ca matricea Z(s) sa existe trebuie ca s 6∈ Spec(A).Explicati de ce.

Efectuand transformata inversa a vectorului X(s) obtinem solutia pro-blemei cu conditia initiala considerata.

Exemplul 2.

x =

[2 11 2

]x+

[t−t

], x(0) =

[10

].

Aplicam transformata L acestei ecuatii vectoriale si obtinem

sX(s)−[

10

]=

[2 11 2

]X(s) +

1

s2

[1−1

].

Intrucat aici

sI2−A =

[s− 2 −1−1 s− 2

], (sI2−A)−1 =

1

(s− 1)(s− 3)

[s− 2 1

1 s− 2

],

rezulta ca

X(s) = (sI2 − A)−1(

1

s2

[1−1

])=

1

s2(s− 1)(s− 3)

[s− 33− s

]=

=1

s2(s− 1)

[1−1

], iar x(t) =

1

2

[3et + e3t − 2t− 2e3t − 3et + 2t+ 2

].

Page 54: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

54 CAP. 4. METODA TRANSFORMATEI LAPLACE

Tabel de transformate Laplace inverse

F (s) f(t) F (s) f(t)

11

s1 13

1

s2 − a2sinh at/a

21

s2t 14

s

s2 − a2cosh at

31

sntn−1

(n− 1)!15

1

(s− a)2 + ω2eat sinhωt

41√s

1√πt

16s− a

(s− a)2 + ω2eat cosωt

51

s3/22√t/π

171

s(s2 + ω2)

1− cosωt

ω2

61

sa(a > 0)

ta−1

Γ(a)18

1

s2(s2 + ω2)

ωt− sinωt

ω3

71

s− aeat 19

1

(s2 + ω2)2sinωt− ωt cosωt

2ω3

81

(s− a)2teat 20

s

(s2 + ω2)2sinωt

91

(s− a)ntn−1eat

(n− 1)!21

s2

(s2 + ω2)2sinωt+ ωt cosωt

101

(s− a)k; (k > 0)

tk−1eat

Γ(k)22

√s− a−

√s− b ebt − eat

2√πt3

111

s2 + ω2

sinωt

ω23

1√se−k/s

1√πt

cos 2√kt

12s

s2 + ω2cosωt 24 e−k

√s; (k > 0)

k

2√πt3

e−k2/4t

Page 55: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

Cap. 5

ANEXA

5.1 Algoritm de calcul al matricei eAt

.Explicam ın cele ce urmeaza o metoda de calcul al exponentialei oricarei

matrice patrate A ∈Mn(R) : eAt pentru orice t ∈ R. Ea se bazeaza pe urmatorul

Rezultat. Pentru orice matrice A ∈Mn(R) exista functiile de t:

α0, α1, . . . , αn−1

unic determinate, astfel ıncat pentru orice t ∈ R:

eAt = αn−1An−1tn−1 + · · ·+ α1At+ α0In. (5.1)

In plus, considerand polinomul

r(λ) = αn−1λn−1 + · · ·+ α1λ+ α0, (5.2)

pentru fiecare valoare proprie λ ∈ Spec(A) are loc relatia

r(λt) = eλt; (5.3)

iar daca multiplicitatea m = mλ > 1, atunci au loc si urmatoarele m − 1relatii

r′(λt) = eλt, . . . , rm−1(λt) = eλt. (5.4)

Deducem de aici un algoritm ın trei pasi pentru a determina matriceaexponentiala eAt pentru A ∈Mn(R).

55

Page 56: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

56 CAP. 5. ANEXA

Algoritm de constructie a matricei eAt.1

Pasul 1. Se determina valorile proprii distincte λ1, . . . , λp ale matricei A simultiplicitatile lor corespunzatoare: m1, . . . ,mp.

Pasul 2. Pentru fiecare λj ∈ Spec(A) se construiesc:- relatia (5.3), iar- daca mj > 1, atunci si relatiile (5.4) corespunzatoare.Apoi se rezolva sistemul liniar n×n asfel obtinut extragand valorile necunos-cutelor α0, α1, . . . , αn−1.

Pasul 3. Se introduc aceste valori ın relatia (5.1) obtinandu-se astfel ma-tricea eAt.

Exemple.

1. A =

[1 30 1

], Spec(A) = 1, m = 2.

Relatiile (5.3) vor fi

r(t) = α1t+ α0 = et

r′(t) = α1 = etdin care extragem

α0 = (1− t)et, α1 = et.Introducandu-le ın (5.1) obtinem

eAt = α1At+α0I2 = et[t 3t0 t

]+(1−t)et

[1 00 1

]=

[et 3tet

0 et

]= et

[1 3t0 1

].

2. A =

0 0 01 0 01 0 1

, Spec(A) = 0, 1, m1 = 2, m2 = 1.

Din relatiile

r(0t) = α2(0t)

2 + α1(0t) + α0 = e0t = 1r′(0t) = 2α2(0t) + α1 = e0t = 1r(1t) = α2(1t)

2 + α1(1t) + α0 = e1t = et

obtinem α0 = 1, α1 = 1, α2 =et − t− 1

t2,

1Pentru calculul manual, algoritmul este fezabil ın cazul matricelor 2 × 2, iar pentrumatricele 3× 3 doar ın cazul celor simple.

Page 57: Ecuatii Si Sisteme Diferentiale

5.2. EXERCITII 57

eAt = α2A2t2+α1At+α0I3 =

α0 0 0α1t α0 0

α2t2 + α1t 0 α2t

2 + α1t+ α0

=

1 0 0t 1 0

et − 1 0 et

.3. A =

[0 −11 0

], Spec(A) = −i, i (i =

√−1), m1 = m2 = 1.

Relatiile (5.3) vor fi

r(−it) = α1(−it) + α0 = e−it

r(it) = α1it+ α0 = eitdin care extragem

α0 =eit + e−it

2= cos t, α1 =

eit − e−it

2it=

sin t

t.

eAt = α1At+ α0I2 =sin t

t

[0 −11 0

]t+ cos t

[1 00 1

]=

[cos t − sin tsin t cos t

].

5.2 Exercitii

Determinati solutiile urmatoarelor probleme cu conditii initiale: a) cu metodeledescrise ın §2.1, daca se poate; b) cu metoda transformatei Laplace.Verificati, ın cazul folosirii ambelor metode, coincidenta rezultatelor obtinute.

1. x′ − 2x = 4, x(0) = 1. 2. x′ + 2x = 10e3t, x(0) = 6.

3. x′−4x = 2e2t+e4t, x(0) = 0. 4. x′′−3x′+2x = 2e3t, x(0) = 5, x′(0) = 7.

5. x′′ − 4x = 24 cos 2t, x(0) = 3, x′(0) = 4.

6. x′′ + 5x′ + 6x = 4t, x(0) = 0, x′(0) = 0.

7. x′′ + x =

t daca 0 < t < 10 daca t > 1

, x(0) = x′(0) = 0.

8. x′′ + x = δ(t− 2π), x(0) = 10, x′(0) = 0.

9. x′′ + 3x′ − 4x = 6e2t−2, x(1) = 4, x′(1) = 5.

10. x′1 = 5x1 + x2, x′2 = x1 + 5x2, x1(0) = 1, x2(0) = −3.

11. x′1 + x2 = 0, x1 + x′2 = 2 cos t, x1(0) = 1, x2(0) = 0.

12. x′1 = x2 + 1− u(t− 1), x′2 = −x1 + 1− u(t− 1), x1(0) = x2(0) = 0.