3. REZOLVAREA ECUA|IILOR CU DERIVATE PAR|IALE

Ecua\iile cu derivate par\iale (EDP) descriu diverse fenomene fizice.C`teva exemple sunt prezentate @n continuare.

1. Problema coardei vibrante. Presupunem o coard[ flexibil[,inextensibil[ care la @nceput coincide cu axa Ox. Ea este scoas[ dinechilibru ]i dup[ momentul ini\ial asupra ei nu mai ac\ioneaz[ nici ofor\[ Presupunem c[ mi]carea fiec[rui punct al coardei se face @n planul(x,u) unde u este devia\ia coardei de la pozi\ia de echilibru u = u(x,t). Easatisface EDP liniar[

(3.1)∂2u∂x2

= 1a2

∂2u∂t2

unde a este o constant[ ce depinde de propriet[\ile fizice ale coardei.Vibra\iile transversale ale unei membrane sub\iri, care @n pozi\ia deechilibru se afl[ @n planul x,y sunt descrise de EDP

(3.2)∂2u∂x2

+ ∂2u∂y2

= 1a2

∂2u∂t2

Aceste ecua\ii descriu precis doar micile oscila\ii ale coardei.2. Problema c`mpului nesta\ionar la temperatur[. Dac[ se

@nc[lze]te o por\iune a suprafe\ei unui corp omogen , atunci @n corp apareun c`mp de temperatur[. Temperatura se schimb[ de la un punct la altul]i de la un moment la altul. Temperatura u(x,y,z,t) satisface EDP

k = ct. (3.3)∂2u∂x2

+ ∂2u∂y2

+ ∂2u∂z2

= k∂u∂t

Aceast[ ecua\ie se nume]te ecua\ia propag[rii c[ldurii. Expresia

(3.4)∆u = ∂2u∂x2

+ ∂2u∂y2

+ ∂2u∂z2

se nume]te operatorul lui Laplace. 3. Problema c`mpului sta\ionar de temperatur[

Dac[ c`mpul de temperatur[ este constant @n timp adic[ u este func\ie decoordonate spa\iale u(x,y,z) ecua\ia c[ldurii devine

(3.5)∆u = 0Alt exemplu de EDP ce apare @n aplica\ii este ecua\ia biarmonic[

(3.6)∆2u = ∆(∆u) = f(x)unde x este un vector. Ecua\ia biarmonic[ @n 2 variabile este important[ @n diverse aplica\ii

(3.7)∂4u∂x4

+ ∂4u∂x2∂y2

+ ∂4u∂y4

= f(x, y)

3.1 Clasificarea EDP#n general o EDP cu m variabile independente se poate scrie su

forma

(3.8)F(x1, ..., xm, ∂u∂x1, ..., ∂u

∂xm, ∂

2u∂x1, ..., ∂ku

∂xm) = 0

Ordinul cel mai @nalt k al derivatei func\iei necunoscute u este ordinuecua\iei. #n aplica\ii apar @n principal EDP de ordinul 2 de forma

(3.9)Σf,k=1

mAjk

(x) ∂2u∂xj∂xk

= fx,u,Ak(x)∂u∂xk

unde Ak (x), Ajk (x) ]i f sunt func\ii date. Acest tip de EDP se nume]tcvasiliniar[. Pentru ecua\ia nu con\ine termeni diferi\i j ≠ k

]i ci suma lor Ajk(x) ∂2u∂xj∂xk

Akj(x) ∂2u∂xj∂xk (Ajk + Akj) ∂2u

∂xj∂xkNoi vom presupune c[ Ajk(x) = Akj(x)

EDP de ordin 2 se clasific[ dup[ propriet[\ile valorilor proprii almatricii coeficien\ilor termenilor Akj(x) ai ecua\iei date (matricecoeficien\ilor dominan\i)

(3.10)

A11.. .. A1m. .

Am1.. .. Amm

unde Ajk = Akj .Matricea este simetric[ ]i valorile proprii sunt reale.Fie - num[rul de valori proprii pozitive α

- num[rul de valori proprii negativeβ - num[rul de valori proprii nuleγ

Se va spune c[ EDP este de tipul @n punctul x. Dac[ se schimb(α,β, γ)semnele tuturor coeficien\ilor EDP, ]i @]i schimb[ locul, deci tipurilα β

]i sunt identice.(α,β, γ) (β,α, γ)

1

A) Tipul (m,0,0) sau (0,m,0) se nume]te eliptic. O EDP este detip eliptic @ntr-un punct x dac[ @n acest punct toate valorile proprii alematricii coeficien\ilor derivatelor de ordin 2 sunt diferite de 0 ]i auacela]i semn. De exemplu ecua\ia

(3.11)∆u = Σi=1

m ∂2u∂xi2

= f(x)

este de tip eliptic. Matricea coeficien\ilor dominan\i este matricea unitate.B) Tipul (m-1,0,1) = (0,m-1,1) se nume]te parabolic. Matricea

coeficien\ilor dominan\i are o valoare proprie nul[ ]i celelalte toate deacela]i semn. Exemplul cel mai important de EDP de tip parabolic esteecua\ia c[ldurii

(3.12)k ∂u∂xm

− Σi=1

m−1 ∂2u∂xi2

= f(x)

C) Tipul (m-1,1,0) = (1,m-1,0) se nume]te hiperbolic. Matriceacoeficien\ilor dominan\i are toate valorile proprii diferite de 0 ]i unadifer[ ca semn de toate celelalte. Exemplul cel mai important de EDP detip hiperbolic este ecua\ia undelor

(3.13)∂2u∂xm2

− Σi=1

m−1 ∂2u∂xi2

= f(x)

Exemplu. Fie EDP

(3.14)(1 + y2)∂2u∂x2

− 2xy ∂2u∂x∂y + (1 + x2)∂2u

∂y2= 0

Matricea coeficien\ilor dominan\i este

A =

1 + y2 xyxy 1 + x2

(3.15)λI − A =

λ − (1 + y2) −xy−xy λ − (1 + x2)

= 0

Ecua\ia caracteristic[ a matricii A este

(3.16)λ2 − (2 + x2 + y2)λ + (1 + x2)(1 + y2) − x2y2 = 0

cu valorile proprii λ1 = 1λ2 = 1 + x2 + y2

deci EDP este de tipul (2,0,0) @n orice punct. Exemplu Fie EDP

(3.17)y∂2u∂x2

+ ∂2u∂y2

= 0

Matricea coeficien\ilor dominan\i este

A =

y 00 1

cu valorile proprii ]i λ1 = 1 λ2 = yDeci pentru y > 0 EDP are tipul (2,0,0). Pentru y<0 EDP are tipu(1,1,0), iar pentru EDP are tipul (1,0,1).y = 0Exemplu Fie EDP

(3.18)A(x, y)∂2u∂x2

+ B(x, y) ∂2u∂x∂y +C(x, y)∂2u

∂y2= fx, y,u,

∂u∂x ,

∂u∂y

Matricea coeficien\ilor dominan\i este

]i det

A B

2B2 C

λ − 2 −B2−B2 λ −C

= λ2 − (A +C)λ + AC − B2

4R[d[cinile acestei ecua\ii sunt

λ1,2 =(A +C) ± (A +C)2 + (B2 − 4AC)

21) Pentru avem ]i , deci EDB2 − 4AC = 0 λ1 = 0 λ2 = A +C

este de tip parabolic.2) Pentru au semne contrare, deci EDB2 − 4AC > 0 λ1,λ2

este de tip hiperbolic.3) Pentru au acela]i semn, deci EDP estB2 − 4AC < 0 λ1,λ2

de tip eliptic.

3.2 Condi\ii la limit[Pentru descrierea complet[ a unei probleme sunt necesare

condi\ii la frontier[. Fie EDP oarecare

2

(3.19)L(u) = f(x)Consider[m c[ solu\ia acestei EDP este definit[ ]i are sens pe un anumitdomeniu din Rm ]i fie frontiera acestui domeniu. Pe frontieraΩ Γacestui domeniu sau pe o parte a ei se dau valorile unor expresiidiferen\iale ale solu\iei c[utate

k = 1,2, .., l (3.20)Gku Γ = ϕk(x)

Aceste rela\ii se numesc condi\ii la limit[.Exemplu. Dac[ se d[ avem problema lui Dirichlet.u Γ = ϕ(x)

Dac[ se d[ avem problema lui Neumann.∂u∂ν Γ

= ψ(x)

3.3 Diferen\e finiteSe consider[ o func\ie y(x) cu valorile y0, y1,.....yn ale acestei func\ii @npunctele echidistante x0, x1, ....xn. Distan\a @ntre puncte este egal[ cu h.

xx x

yy y

0 1 n

01 n

Fig. 3.1

Se define]te operatorul de transla\ie T astfel(3.21)Tyi = yi+1

iar(3.22)Tnyi = T(Tn−1yi) = yi+n

(3.23)T0yi = yi

deci(3.24)T0 = I

3.3.1 Diferen\e regresiveDiferen\a regresiv[ de ordin 1 se define]te cu rela\ia

(3.25)∇yi = yi − yi−1Diferen\a regresiv[ de ordin n se define]te ca

(3.26)∇nyi = ∇(∇n−1yi)Putem scrie

∇ = T0 − T−1 = I − T−1

∇nyi = (I − T−1)n = I −Cn1T−1 +Cn2T−2 + (−1)nT−n

Pentru n=2 avem

=∇2yi = ∇(∇yi) = ∇(yi − yi−1) = yi − yi−1 − yi−1 + yi−2

= yi − 2T−1yi + T−2yi

Coeficien\ii valorilor func\iei @n nodurile echidistante coinciyicu cei ai binomului lui Newton

∇n = (I − T−1)n

Se pot exprima derivatele unei func\ii cu ajutorul diferen\eloregresive ]i invers. Pentru aceasta se consider[ dezvoltarea @n serie Tayloa lui y(x+h) @n jurul punctului x

y(x + h) = y(x) + h1!y (x) + h2

2! y (x) + ....

Se noteaz[ operatorul de derivare cu D ]i rezult[

y(x + h) = y(x) + hD1! y(x) + h2D22! y(x) + .... = (1 + hD1! + h

2D22! + ....)y(x)

sau y(x + h) = ehDy(x)]i

y(x) = e−hDy(x + h)deci

∇yi = yi − yi−1 = yi − e−hDyi = (1 − e−hD)yiExist[ deci rela\iile

(3.27)∇ = 1 − e−hD e−hD = 1 − ∇

3

Exprimarea diferen\elor regresive @n func\ie de derivate diferen\a de ordin I

(3.28)∇ = 1 − e−hD = hD − h2D22! + h

3D33! − ...

diferen\a de ordin II

(3.29)∇2 = h2D2 − h3D3 + 712h

4D4 − ....

diferen\a de ordin III

(3.30)∇3 = (1 − e−hD)3 = h3D3 − 32h4D4 + 54h

5D5 − ...

Exprimarea derivatelor @n func\ie de diferen\eSe porne]te de la rela\ia care se logaritmeaz[e−hD = 1 − ∇

−hD = ln(1 − ∇) = −(∇ + ∇2

2 + ∇3

3 + ...)deci

(3.31)hD = ∇ + ∇2

2 + ∇3

3 + ...

derivata de ordin ILu`nd din dezvoltarea @n serie Taylor de mai sus doar primul

termen ob\inem

(3.32)Dyi = yi = 1h∇yi =yi − yi−1h

Eroarea de aproximare se deduce astfel

∇ = hD − h2D22! + ...

deci

D = ∇h + hD

2

2! − h2D33! + ...

Primul termen neglijat este deci eroarea de aproximare este e=O(h)=hD22!

.hy”2!

Lu`nd doi termeni din dezvoltarea @n serie Taylor avem

(3.33)D = 1h(∇ + ∇2

2 ) = 12h(3yi − 4yi−1 + yi−2)

Eroarea de aproximare se deduce astfel

∇ + ∇2

2 = hD − 13h3D3 + ...

deci

Dyi = 1h(∇ + ∇2

2 )yi + 13h2D3yi + ...

Primul termen neglijat este

deci eroarea de aproximare este 13h

2D3yi e = O(h2) = 13h2yi

derivata de ordin IISe ridic[ la p[trat expresia lui hD

(3.34)h2D2 = ∇2 + ∇3 + 1112∇4 + ...

Lu`nd un termen din aceast[ dezvoltare @n serie, ob\inem

(3.35)D2 = ∇2

h2= 1h2

(yi − 2yi−1 + yi−2)

Lu`nd doi termeni din dezvoltarea @n serie, ob\inem

(3.36)D2 = 1h2

(∇2 + ∇3) = 1h2

(2yi − 5yi−1 + 4yi−2 − yi−3)

Erorile de aproximare se deduc astfel. Pentru prima expresie

D2 = 1h2

∇2 + hD3 − ...

deci primul termen neglijat este ]i .hD3 e = O(h) = hyPentru a doua expresie avem

∇2 + ∇3 = h2D2 − 1112h4D4 + ...

deci

D2yi = 1h2

(∇2 + ∇3)yi + 1112h2D4yi + ...

]i primul termen neglijat este deci 1112h

2D4 e = O(h2) = 1112h2yIV

Se poate ar[ta c[ lu`nd primul termen din dezvoltarea @n seriTaylor , eroarea de aproximare a derivatelor cu diferen\e regresive estpropor\ional[ cu h, lu`nd doi termeni, eroarea este propor\ional[ cu hetc.

4

3.3.2 Diferen\e progresiveDiferen\a progresiv[ de ordin I se define]te ca

(3.37)∆yi = yi+1 − yi]i cea de ordinul n

(3.38)∆nyi = ∆(∆n−1yi)

Utiliz`nd operatorul de transla\ie diferen\ele progresive seexprim[ ca

∆ = T − T0 = T − I(3.39)

∆n = (T − I)n = Tn −Cn1Tn−1 + .... + (−1)nICoeficien\ii valorilor func\iei @n noduri sunt cei ai binomului lui Newton.#ntre diferen\ele progresive ]i regresive exist[ rela\ia

∆ + ∇ = T − T−1

La fel ca @n cazul diferen\elor regresive se poate demonstra rela\ia

∆yi = (ehD − 1)yideci

(3.40)∆ = ehD − 1 ehD = 1 + ∆

Exprimarea diferen\elor @n func\ie de derivateSe dezvolt[ @n serie Taylor expresia

∆ = ehD − 1]i se ob\ine

(3.41)∆ = hD + h2D22! + h

3D33! + ...

(3.42)∆2 = h2D2 + h3D3 + 712h

4D4 + .....

(3.43)∆3 = h3D3 + 32h4D4 + ....

Expresia derivatelor @n func\ie de diferen\eSe dezvolt[ @n serie Taylor ln ehD = ln(1 + ∆)

ln ehD = hD = ln(1 + ∆) = ∆ − ∆22 + ∆3

3 − ∆44 + ...

derivata de ordin I•Se ia un termen din dezvoltarea @n serie Taylor de mai sus

(3.44)D = ∆h

Din (3.41) avem

D = ∆h − hD

2

2 + .....

deci eroarea de aproximare este e = O(h) = −hy2

Pentru doi termeni din dezvoltarea @n serie avem aproximarea

(3.45)D = 1h(∆ − ∆22 )

sau

(3.46)yi = 12h(−yi+2 + 4yi−1 − 3yi)

Din (3.41) ]i (3.42) se deduce

D = 1h(∆ − ∆22 ) + 13h

3D3 + ...

deci eroarea de aproximare este e = O(h2) = 13h2y

derivata de ordin II•Se calculeaz[

h2D2 = ∆2 − ∆3 + 1112∆4 + .....

Lu`nd primul termen din dezvoltare, avem

(3.47)D2 = 1h2

∆2

deci

(3.48)D2yi = 1h2

(yi+2 − 2yi+1 + yi)

Din (3.42) se ob\ine

D2 = 1h2

∆2 − hD3 + ...

deci eroarea de aproximare este

e = O(h) = hy

Lu`nd primii doi termeni din dezvoltarea @n serie avem

5

(3.49)D2 = 1h2

(∆2 − ∆3)

Din (3.42) ]i (3.43) se ob\ine

∆2 − ∆3 = h2D2 − 1112h4D4 + ....

]i eroarea de aproximare este

e = O(h2) = 1112h2y(IV)

Se poate ar[ta c[ lu`nd primul termen din dezvoltare @n serieTaylor, eroarea de aproximare a derivatelor cu diferen\e regresive estepropor\ional[ cu h, lu`nd doi termeni, eroarea de aproximare estepropor\ional[ cu , etc.h2

3.3.3 Diferen\e centrateDiferen\a centrat[ de ordinul I se define]te @n felul urm[tor

(3.50)δyi = y(xi+ 12 ) − y(xi− 12 ) = yi+ 12 − yi− 12 = (ehD2 − e− hD2 )yi

iar diferen\a centrat[ de ordin n

(3.51)δnyi = δ(δn−1yi)

#n expresia acesor diferen\e intervin noduri dispuse simetric @nraport cu xi. Se poate scrie

(3.52)δ = ehD2 − e− hD2

sauδ = T

12 − T− 12

]i (3.53)δn = (T

12 − T− 12 )n

δ2 = T − 2I+T−1 = ∆ − ∇

#n diferen\ele centrate impare, apar valorile func\iei @n punctele

intermediare , etc., care nu se cunosc.i + 12, i − 12Pentru a le elimina, se utilizeaz[ opera\ia de mediere definit[µ

ca

(3.54)µyi = 12(y1+ 12 + y1− 12)

x

yy y

xi-1

i-1

i

i

i+1

i+1

xxi- 1

2xi+ 1

2

Fig. 3.2sau

(3.55)µ = 12(T12 + T− 12 )

Diferen\ele centrate impare se @nlocuiesc cu .δk µδk

Exemplu

µδ = 12(T12 + T− 12 )(T

12 − T− 12 ) = 12(T − T−1) = 12(∆ + ∇)

deci

(3.56)µδyi = 12(yi+1 − yi−1)Analog

(3.57)µδ3 = 12(∆ + ∇)(∆ − ∇) = 12(∆2 − ∇2)

Rela\ia @ntre ]i se deduce astfelµ δ

µ2 = 14(T+2I+T−1) = 14δ2+I

Expresiile diferen\elor @n func\ie de derivateSe deduc prin dezvoltare @n serie

(3.58)µδ = 12(ehD − e−hD) = hD + h3D33! + h

5D55! + ...

(3.59)δ2 = ehD − 2 + e−hD = 2(h2D22! + h

4D44! + .....)

(3.60)µδ3 = h3D3 + 14h5D5 + ...

6

Expresiile derivatelor @n func\ie de diferen\e derivata de ordin I•

(3.61)µδ = 12(ehD − e−hD) = sh(hD)

(3.62)hD = arg sh (µδ) = µδ −µ3δ3

3! +3µ5δ55! + .....

Lu`nd primul termen din aceast[ dezvoltare @n serie avem

(3.63)D = 1hµδ

deci

Dyi = yi = 12h(yi+1 − yi−1)

Eroarea de aproximare se deduce din (3.58)

D = µδ − h3D33! − ...

deci

e = O(h2) = −h2y3!

Lu`nd primii doi termeni din dezvoltare avem

(3.64)D = 1h(µδ −µ3δ3

6 ) =µδh (1 − (1 + δ2

4 )δ6)

Din (3.59) ]i (3.60) avem

D = 1h(µδ −µδ3

3! ) − h4D5 24120 + ....

deci eroarea de aproximare estee = O(h4)

derivata de ordin II•

(3.65)h2D2 = δ2 − δ412 + ...

Lu`nd primul termen din dezvoltarea @n serie (3.65) se ob\ineaproximarea

(3.66)D2 = δ2h2

=(yi+1 − 2yi + yi−1)

h2

cu eroarea de aproximare

e = 2h2D44! y = O(h2)

Lu`nd primii doi termeni din dezvoltare, avem

(3.67)D2 = 1h2

(δ2 − δ412)

Re\in`nd deci primul termen, din dezvolt[rile @n serie se ob\ierori de aproximare deordinul , re\in`nd doi termeni, din dezvolt[rilh2@n serie se ob\in erori de ordinul .h4

3.4 EDP de tip hiperbolic1) Problema cu condi\ii ini\iale.

Consider[m o EDP de ordinul I de forma

(3.68)∂u∂t + c∂u

∂t = 0

unde c>0 este o constant[ ]i condi\iile ini\iale sunt u(x,0)=f(x) pentr0<x<1. Ecua\ia apare la curgerea fluidelor printr-un tub.

Pentru rezolvarea numeric[ se contruie]te @n domeniul 0<x<1 t>0 o re\ea rectangular[.

l-1

l

l+1

0 x

D A

B

C

E

F

G

L

M

j j+1j-1

t

Fig.3.3 Re\ea rectangular[ unde ]i x = j∆x t = l ⋅ ∆t

Fie u(x,t) solu\ia EDP. Se dezvolt[ @n serie Taylor @n raport cu@n jurul punctului A.

(3.69)uA = uB + ∆t1!

∂uB∂t + ∆t2

2!∂2uB∂t2

+ ......

7

A) Se re\in din dezvoltarea @n serie doi termeni

uA = (1 + ∆t ∂∂t)uB

]i \in`nd cont de EDP

(3.70)uA = (1 + c∆t ∂∂x)uB

Se va aproxima derivata cu diferen\a progresiv[∂uB∂x

. Not`nd parametrul re\elei , se ob\ine∇ = 1∆x(uB − uE) α = ∆t

∆xuA = (1 − αc)uB + αcuE

Formula de calcul va fi deci

(3.71)ujl+1 = (1 − αc)ujl + αcuj−1l

cu condi\ia ini\ial[ ]i este o schem[ cu dou[ nivele.uj0 =f jB) Re\in`nd trei termeni din dezvoltarea @n serie, se ob\ine

uA = (1 + ∆t ∂∂t + ∆t2

2∂2

∂t2)uB

Din EDP se deduce

∂2u∂t2

= c2 ∂2u∂x2

]i ob\inem

(3.72)uA = (uB − c∆t∂uB∂x + (∆t)22 c2 ∂2uB

∂x2)

Se utilizeaz[ operatorul cu diferen\e centrate pentru a aproximaderivatele

∂u∂x = 1

2h(uj+1 − uj−1)

∂2u∂x2

= 1h2

(uj+1 − 2uj + uj−1)

deci

uA = uB − αc2 (uL − uE) + 12α2c2(uL − 2uB + uE)

sau

(3.73)ujl+1 = (1 − α2c2)ujl − 12αc(1 − αc)uj+1l + 12αc(1 + αc)uj−1l

, f=0,....,Nuj0 =f jSchema se nume]te Lax-Wendroff ]i este o schem[ cu dou[ nivele.Not`nd cu Ul

j solu\ia exact[ a ecua\iei @n punctul (j,l) eroarea dtrunchiere este

ε jl = ujl −Ujl

]i satisface ecua\ia cu diferen\e

ε jl+1 = (1 − α2c2)εjl − 12αc(1 − αc)ε j+1l + 12αc(1 + αc)εj−1l +O((∆t)3)

Pentru a ar[ta aceasta, dezvolt[m @n serie Taylor termenii din formul[ @jurul punctului uB

uA = uB + ∆t∂uB∂t + (∆t)22!

∂2u∂t2

+ 13!(∆t)3 ∂2u

∂t3+ ...

uE = uB − ∆x∂uB∂x + (∆x)2

2!∂2u∂x2

+ 13!(∆x)3 ∂3u∂x3

+ ...

uL = uB + ∆x∂u∂x + (∆x)2

2!∂2u∂x2

+ 13!(∆x)3 ∂2u

∂x3+ ...

Se ob\ine

uA = uB − αc∂uB∂x + α2c2

2!∂2u∂x2

+ 13![c∆t(∆x)2 ∂3u∂x2

+ (∆t)3 ∂3u∂t3

] + ...

Dac[ sc[dem expresia aproxim[rii, ob\inem

e = 13![c∆t(∆x)

2 ∂3u∂x3

+ (∆t)3 ∂3u∂t3

]

C) Se re\in trei termeni din dezvoltarea @n serie, ]i @nlocuind c∂2uB∂t2

diferen\a centrat[ , ob\inem1(∆t)2

(uA − 2uB + uC)

uA = uC − αc(uL − uE)sau

(3.74)ujl+1 = ujl−1 − αc(uj+1l − uj−1l )

.uj0 =f jdeci, este o schem[ cu trei nivele

8

Transformarea EDP de tip hiperbolic @n EDOFie ecua\ia undelor

∂2u∂t2

= c2 ∂2u∂x2

ce descrie vibra\iile unei coarde de lungime l fixat[ la ambele capete.Condi\iile la limit[ ]i ini\iale sunt

u(0,t)=0; u(l,t)=0 u(x, 0) = f(x)∂u∂t (x, 0) = 0

Se @mparte intervalul l @n N puncte echidistante ]i se utilizeaz[

diferen\ele centrate pentru a exprima derivata .∂2u∂x2

Se ob\ine sistemul de ecua\iid2undt2

= 1h2

(un+1 − 2un + un−1)

@n condi\iile ini\iale

un(0) = f(nh)

dun(0)dt = 0

pentru n=1,...,N-1 ]i

d2u0dt2

= 0

d2uNdt2

= 0

3.5 Rezolvarea ecua\iilor cu derivate par\iale de tipparabolic

Ecua\iile cu derivate par\iale (EDP) de tip parabolic secaracterizeaz[ prin faptul c[ matricea coeficien\ilor dominan\i are ovaloare proprie nul[. Func\ia necunoscut[ depinde de timp ]i de c`tevavariabile spa\iale. Pentru a determina solu\ia se cere precizat domeniul @ncare vrem s[ o determin[m ]i condi\iile ini\iale (pentru t=0) ]i la limit[.

Consider[m ecua\ia c[ldurii

(3.75)∂u∂t = ∂2u

∂x2

cu condi\ia ini\ial[ u(x,0)=f(x), ]i condi\iile la limit[ 0 ≤ x ≤ 1 ]i .u(0, t) = g1(t) u(1, t) = g2(t)

Vom c[uta solu\ia pentru . Pe domeniul de calcul se consider[ 0 ≤ t ≤ Tre\ea rectangular[ cu pa]ii pe axa x ]i pe axa t.∆x = h ∆t = kA) Vom @nlocui derivatele cu diferen\e (progresive pentru axa t, centratepentru axa x).

ujl+1 − ujl

k =uj+1l − 2ujl + uj+1l

h2

Not`nd , avem formulakh2

= α

(3.76)ujl+1 = (1 − 2α)ujl + α(uj+1l + uj−1l )

Pentru calculul erorilor de trunchiere se dezvolt[ termenii dinformul[ @n serie Taylor @n jurul punctului .uj

l

ujl+1 = ujl + k∂u∂t + k

2

2!∂2u∂t2

+ ...

uj+1l = ujl − h∂u∂x + h

2

2!∂2u∂x2

− ....

..uj−1l = ujl + h∂u∂x + h

2

2!∂2u∂x2

+ ..

Not`nd cu solu\ia real[ avemUjl+1

Ujl+1 = ujl + αh2 ∂2u∂x2

+ α k4

12∂4u∂x4

+ ....

Eroarea de trunchiere este deci

12k2[∂2u

∂t2− 16α

∂4u∂x4

] = O(k2)

Fie diferen\a @ntre solu\ia exact[ ]i cea @n nodul re\elei. Ea satisfacε jl

ecua\ia ε jl+1 = (1 − 2α)ε j

l + α(ε j+1l + ε j−1

l ) +O(k2) Algoritmul de calculFie EDP

9

, ∂u∂t = ∂2u

∂x20 ≤ x ≤ 1

u(0, t) = g1(t),u(1, t) = g2(t),u(x, 0) = f(x)

u1l+1 = (1 − 2α)u1l + α(u2l + u0l ); u0l = g1(lk)

u2l+1 = (1 − 2α)u2l + α(u3l + u1l )............................................uJ−1l = (1 − 2α)uJ−1l + α(uJl + uJ−2l ); uJl = g2(lk)

Acest sistem de J-1 ecua\ii se scrie astfel

u1l+1

.

.

.uJ−1l+1

=

1 − 2α α 0 −− 0α 1 − 2α α −− 0−− −− −− −−−− −− α 1 − 2α α−− −− −− α 1 − 2α

u1l

.

.

.uJ−1l

+ α

g1l

0.0g2l

sau sub forma matriceal[

ul+1 = Aul + αgl

Eroarea de propagare satisface rela\ia

ε l = ul −Ul

Aceast[ eroare r[m`ne m[rginit[ dac[ valorile proprii ζ i ≤ 1Aceste valori proprii au expresia

ζ i = 1 − 4α sin2 iπ2J

de unde rezult[ condi\ia de stabilitate 0 < α ≤ 12B) Pentru se folose]te o combina\ie liniar[ @ntre diferen\ele centrate∂2u

∂x2

]i ]i ob\inemδ2ujl+1 δ2ujl

(3.77)ujl+1 − ujl

k = 1h2

[ϑ(uj+1l+1 − 2ujl+1 + uj−1l+1) + (1 − ϑ)(uj+1l − 2ujl + uj−1l )]

unde 0 ≤ ϑ ≤ 1.

Pentru schema se nume]te Crank-Nicolson. Not`nd ϑ = 12kh2

= α

, formula are expresia

(3.78)(1 + α)ujl+1 − 12α(uj+1l+1 + uj−1l+1) = (1 − α)ujl + α2 (uj+1l + uj−1l )

Algoritmul de calcul

Exemplu. Fie ecua\ia ∂u∂t = ∂2u

∂x2, 0 ≤ x ≤ 1,

@n condi\iile ini\iale ]i la limit[ men\ionate.Membrul drept al formulei Crank-Nicolson este cunoscut

(1 − α)ujl + α2 (uj+1l + uj−1l ) = dj

Fie Avem deci de calculat ,j=0, ... .J∆x = h = 1J . ujl

Pentru un l oarecare avem

−αu0l+1 + 2(1 + α)u1l+1 − αu2l+1 = d1

−αu1l+1 + 2(1 + α)u2l+1 − αu3l+1 = d2...................................................−αuJ−2l+1 + 2(1 + α)uJ−1l+1 − αuJl+1 = dJ−1

Dar ]i sunt cunoscute din condi\iile la limit[u0l+1 uJl+1

u0l+1 = g1[(l + 1)∆t]uJl+1 = g2[(l + 1)∆t]

deci sistemul are J-1 ecua\ii ]i J-1 necunoscute. El se poate rezolva priorice metod[ direct[ sau iterativ[ (de exemplu metoda Gauss-Seidedeoarece matricea coeficien\ilor este cu diagonal[ dominant[.

EDP de tip parabolic cu dou[ variabile spa\ialeFie EDP

∂u∂t = ∂2u

∂x2+ ∂2u

∂y2

@n condi\ii ini\iale ]i la limit[ date. Vom presupune c[ pa]ii ddiscretizare pe cele dou[ axe x ]i y sunt egali . Schema de∆x = ∆y = h

10

aproximare a ecua\iei va fi

uj,kl+1 − uj,kl = α(δx2uj,kl + δy2uj,kl )

unde α = ∆t(∆x)2

δx2uj,kl = uj+1,kl − 2uj,kl + uj−1,kl

δy2uj,kl = uj,k+1l − 2uj,kl + uj,k−1l

Condi\ia de stabilitate este ]i schema este explicit[.0 ≤ α ≤ 12Dac[ se aproximeaz[

(3.79)∂2u∂x2

= 12h2

(δx2uj,kl + δx2uj,k

l+1)

se ob\ine schema implicit[ Crank-Nicolson. Se poate demonstra c[schema este necondi\ionat stabil[.

Transformarea EDP de tip parabolic @n EDOExemplu.Fie EDP

∂u∂t = c∂2u

∂x2, 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0

Condi\ia ini\ial[ este iar condi\iile la limit[ suntu(x, 0) = Tm,u(0,t)=0 , u(L,y)=0 . Ecua\ia descrie transmisia c[ldurii @ntr-un mediuoarecare . Mediul are ini\ial o temperatur[ ]i se afl[ @ntre dou[ bareTmmen\inute la temperatura 0. Pentru rezolvarea problemei se @mparteintervalul @n J p[r\i egale, .[0,L] ∆x = L

JSe utilizeaz[ diferen\e centrate de ordin II pentru aproximarea

derivatei . Se ob\ine sistemul de ecua\ii diferen\iale∂2u∂x2

i=1,...,J-1duidt = c

h2(ui+1 − 2ui + ui−1) ,

du0dt = 0

duJdt = 0

@n condi\iile ini\ialeu0 = 0

, i=1,...,J-1ui(0) = Tm

uJ(0) = 0

3.6 EDP de tip elipticEDP de tip eliptic se caracterizeaz[ prin faptul c[ matrice

coeficien\ilor dominan\i are toate valorile proprii de acela]i semnExemple importante de EDP de tip eliptic sunt ecua\iile Laplace ecua\ia Poisson. Se define]te operatorul Laplace

(3.80)∆u = Σi=1

m ∂2u∂xi2

Ecua\ia∆u = 0

poart[ numele de ecua\ia Laplace, iar ecua\ia∆u = f

este ecua\ia Poisson. Condi\ia la limit[ este u=g.Pentru rezolvarea problemei @n domeniul @n care se cere solu\ia s

alege o re\ea rectangular[ de puncte cu pa]ii h ]i k pe axele x ]i y, iaderivatele se @nlocuiesc cu diferen\e finite. Utiliz`nd diferen\ele centrateformulele de aproximare sunt (vezi fig. 3.4)

∂uB∂x = 1

2h(uL − uE)

∂2uB∂x2

= 1h2

(uL − 2uB + uE)

∂2uB∂y2

= 1k2

(uA − 2uB + uC)

Fig. 3.4 Re\ea rectangular[

Pentru h=k operatorul Laplace are expresia

(3.81)∆u = 1h2

(ui+1,j − 4ui,j + ui+1,j + ui,j+1 + ui,j−1)

Eroarea local[ de trunchiere este O(h4) +O(k4)

A

BE L

KD

j j+1j-1

l+1

C

11

Exemplu. Se d[ ecua\ia Laplace

∆u = ∂2u∂x2

+ ∂2u∂y2

= 0

care descrie distribu\ia sta\ionar[ a temperaturii u(x,y) @ntr-un corpbidimensional , cu temperatura pe conturul corpului dat[ (condi\ia lalimit[).

Fie o plac[ p[trat[ de dimensiune L izolat[ complet cutemperatura pe contorul pl[cii dat[ ca @n fig. 3.5. Se alege pasul de

discretizare ]i rezult[ sistemul de ecua\ii urm[torh = L4

0

0

0

0

0

0

0 0 0

100 100 100

121

343

565

Fig. 3.5 −4u1 + 100 + u2 + u3 = 0−4u2 + 2u1 + u4 + 100 = 0−4u3 + u4 + u5 = 0−4u4 + 2u3 + u2 + u6 = 0−4u5 + u3 + u6 = 0−4u6 + 2u5 + u4 = 0

Acest sistem de ecua\ii liniare are matrice band[.Dac[ domeniul are conturul format din drepte paralele cu axele

Ox, Oy, condi\iile la limit[ permit calculul solu\iei @n toate nodurileinterioare ale re\elei.

Dac[ frontiera este o curb[ oarecare, schema cu diferen\e sepoate aplica doar nodurilor interioare. Pentru punctele adiacentefrontierei , adic[ cele care sunt distan\ate la mai pu\in de h frontier[ peaxa Ox, sau la mai pu\in de k pe axa Oy derivatele se aproximeaz[ cuformule speciale.

4. MODELAREA SISTEMELOR FIZICE PRIN METODAGRAFULUI DE LEGTURI

Modelarea sistemelor complexe - a]a cum sunt majoritatesistemelor @nt`lnite @n practic[ - a ridicat probleme deosebite ]i a necesitadezvolt[ri teoretice bazate pe principii fundamentale din fizic[ (LagrangeMaxwell, Hamilton). Ca o direc\ie @n modelarea sistemelor a fost g[sireunei metode generale care s[ fie comun[ tuturor tipurilor de sisteme care s[ nu depind[ de natura sistemului. Modelarea prin graf de lag[turi (bond-graphs) const[ @n: localiza propriet[\ile unui sistem fizic, a le reprezenta prin elementideale de stocare, disipare sau transformare a energiei (cinetice, elasticegravita\ionale, electrice, magnetice, chimice, termice, hidraulicepneumatice) çi a exploata grafic cuplajele dintre aceste elemente.

Graful de lag[turi descrie explicit structura fizic[ a unui sistemçi structura de calcul asociat[. Graful de lag[turi se bazeaz[ preprezentarea grafic[ a schimburilor energetice @ntre elementele de bazale unui sistem fizic çi foloseçte @n acest scop variabilele generalizatefort çi flux. Utilizarea variabilelor energetice asigur[ o modelare unitara sistemelor @n care se vehiculeaz[ diferite forme de energie.Modelele matematice ob\inute pot fi liniare sau neliniare, iar proprietatede neliniaritate a modelului poate fi identificat[ ca legat[ de structur[ / sau de componente. Alegerea variabilelor de stare, totdeauna asociatunei componente a sistemului sau unui fenomen fizic dau modeluluastfel ob\inut o realitate fizic[. Consider`nd unice conexiunile cauzal@ntre elemente din graful de leg[turi se pot ob\ine

- ecua\iile de stare ale sistemului- informa\ii @n ceea ce priveçte domeniile de varia\ie

dinamicilor sistemului çi variabilelor corespunz[toare- informa\ii asupra propriet[\ilor structurale ale sistemului.Reprezentarea sistemelor const[ const[ @n general @n trecerea d

la sistemele inginere]ti la sistemele de ecua\ii printr-o cre]tere abstractiz[rii de la dreapta la st`nga (figura 4.1). Partea central[ diaceast[ figur[ face trecerea de la circuite la schemele bloc utilizate @teoria sistemelor automate. Graful de leg[turi se g[se]te la mijloc, ca combina\ie a circuitelor ]i a diagramelor bloc av`nd majoritateavantajelor oferite de acestea.

12

Sisteme deecua\ii

Diagram[bloc

Graf de CircuiteSisteme

inginere]ti

nivel abstractizare

leg[turi

Fig. 4.1 Reprezentarea sistemelor4.1 Reprezentarea transferului de putere. Variabile generalizate

Pentru a introduce no\iunile de baz[ ale metodei grafului deleg[turi çi pentru a scoate @n eviden\[ domeniul de aplicabilitate alacesteia vom considera trei sisteme: unul mecanic (a), unul electric (b) çiunul hidraulic (c)

F FA B

v v

a) sistem mecanic

A B

i

u

b) sistem electric

A BQ

c) sistem hidraulicp

Fig. 4.2 Sisteme fizice

Fluxul de energie schimbat @ntre subsistemele A çi B estereprezentat prin simbolul

sensul s[ge\ii corespunz`nd sensului pozitiv al puterii, iar pe semis[geat[se trec variabilele care dau puterea instantanee (P = @n mecanic[,F ⋅ v

@n electricitate, @n hidraulic[).P = u ⋅ i P = Q ⋅ p

A BFv

a) sistem mecanic

A Bu i

b) sistem electric

AQ

c) sistem hidraulicp B

Fig. 4.3 Transferul de putereVariabilele care definesc puterea schimbat[ @ntre subsisteme sunt

numite variabile generalizate de efort çi de flux notate cu e çi f (sauvariabile de putere) @nc`t - indiferent de domeniul de aplica\ie - avem

P = e ⋅ fConven\ional, se reprezint[ @ntotdeauna leg[tura cu semis[geata

@n jos çi spre dreapta

ef

Fig. 4.4 Reprezentarea transferului de putere

Energia schimbat[ este prin defini\ie

E(t) = ∫0t P(τ)dτ , E(0)=0

Vom defini @n continuare variabilele de energie prin urm[toarelrela\ii

- moment (generalizat) p(t) = ∫0

t

e(τ)dτ , cu p(0) = 0(4.1)

- deplasare (generalizat[) q(t) = ∫0

t

f(τ)dτ , cu q(0) = 0

Pentru sistemele mecanice avemP = Fv

q(t) = ∫0

t

v(τ)dτ

deci coresponden\a f ↔ vP = Mω

q(t) = ∫0

t

ω(τ)dτ

deci coresponden\a f ↔ ωPentru un circuit electric avem

P = uiΦ = Li

deci coresponden\a f ↔ iSemnifica\ia variabilelor generalizate pentru diferite domenii fizice estprezentat[ @n tabelul 4.1

Domeniul fizic e f p(t)

mecanic miçc.transla\iemiçc. rota\ie

for\a Fcuplul M

viteza vvit. ung. w

impuls pmoment cinetic L

electric tensiune u curent i flux magnetic F

hidraulic presiune p debit Q(volumic)

impuls de presiune pp

Tabelul 4.1

13

4.2 Elementele grafului de leg[turi4.2.1 Elemente pasive. Acestea transform[ energia care le este

furnizat[ @n energie disipat[ sau stocat[. Semis[geata se reprezint[@ntotdeauna intr`nd @n aceste elemente.

Elemente R - utilizate pentru modelarea tuturor fenomenelor celeag[ efortul de flux (rezisten\e electrice, rezisten\e hidraulice, diodele,amortizoare, fenomene de frecare). Elementele R sunt elemente disipative de energie. Legea (liniar[sau neliniar[) care le caracterizeaz[ este

(4.2)ΦR(e, f) = 0iar reprezentarea general[ este

ef R : R (.)

Fig. 4.5 Reprezantarea elementelor Runde R(.) indic[ parametrul care intervine @n lege (dac[ aceasta esteliniar[) sau indic[ dependen\a de un parametru (dac[ legea este neliniar[).

ui

PQ

Fig. 4.6 Exemple de elemente RExemple de elemente de tip R ]i variabilele de putere asociate

sunt prezentate @n fig. 4.6.u = R1i

ui R : R 1

F = kv

Fv

R : k

Elemente C - utilizate pentru modelarea fenomenelor fizice celeag[ efortul de deplasare (resorturi, acumulatoare, condensatoare,rezervoare de stocare, toate fenomenele de elasticitate saucompresibilitate). Elementele C sunt elemente de stocare a energiei.

Legea (liniar[ sau neliniar[) care le caracterizeaz[ este

(4.3)ΦC(e, q) = 0iar reprezentarea general[ este

e

f = dqdt

C : C (.)

unde C (.) indic[ parametrul care intervine @n lege (dac[ aceastesteliniar[) sau indic[ dependen\a de un parametru (dac[ aceasta estneliniar[).

Q

i uC

e f

o o o

o o o

F

x.

pFig. 4.7 Exemple de elemente C

Exemple de elemente de tip C ]i variabilele de putere asociate sunprezentate @n fig. 4.7.

Elemente I - utilizate pentru modelarea fenomenelor ce leagfluxul de moment (masa @n miçcare de transla\ie, momentul de iner\ie @miçcare de rota\ie, inductan\ele etc). Elementele I sunt elemente dstocare a energiei.

Legea (liniar[ sau neliniar[) care le caracterizeaz[ este(4.4)ΦI(p, f) = 0

iar reprezentarea general[ este

I : I (.) e = dp

dtf

unde I (.) indic[ parametrul care intervine @n lege (dac[ aceasta estliniar[) sau indic[ dependen\a de un parametru (dac[ aceasta estneliniar[).

e

fI u

i m F

x .

M

ω

Fig. 4.8 Exemple de elemente I

14

Exemple de elemente de tip C ]i variabilele de putere asociate suntprezentate @n fig. 4.8.

4.2.2 Elemente active. Acestea furnizeaz[ putere sistemului.Avem

- sursa de efort (for\a de greutate, generatoare de tensiune, pompehidraulice) reprezentate ca

Se - sursa de flux (viteza aplicat[, generatoare de curent)

reprezentate ca

Sf

Semis[geata iese @ntotdeuna din surs[.#n ambele cazuri, una din cele dou[ variabile (efort sau flux) este

presupus[ cunoscut[, çi independent[ de variabila complementar[ indus[,care depinde de sistem.

o

o

o

o

Se Sf

Fig. 4.9 Elemente active4.2.3 Elemente de jonc\iune - notate cu 0, 1, TF, GY servesc

cupl[rii elementelor R, C, I çi surselor çi compun structura de jonc\iune amodelului, corespunz[toare arhitecturii sistemului.

Jonc\iunea 0 - se asociaz[ elementelor supuse la acelaçi efort(no\iunea de efort comun corespunde de exemplu @n mecanic[elementelor @n serie - aceeaçi for\[ - @n electricitate sau @n hidraulic[elementelor @n paralel - aceeaçi tensiune sau aceeaçi presiune).

Rela\iile care caracterizeaz[ o jonc\iune 0 se pot pune sub forma- egalitatea eforturilor pentru toate leg[turile av`nd o extremitate

la jonc\iune- suma algebric[ a fluxurilor este egal[ cu zero.Ponderarea fluxurilor se face cu semnul (+) sau (-) dup[ cum

semis[geata intr[ sau iese @n jonc\iunea 0.

e1f1

e2 f2

e4 f4 e3f3

0

e1 = e2 = e3 = e4

f1 + f2 − f3 − f4 = 0Pentru jonc\iunea 0 din exemplul de mai sus, bilan\ul puterilo

este dat de rela\ia urm[toare:e1f1 + e2f2 − e3f3 − e4f4 = 0

Jonc\iunea 1 - se asociaz[ elementelor supuse la acelaçi flu(no\iunea de flux comun corespunde de exemplu @n mecanic[ asocierelementelor @n paralel - aceeaçi vitez[ - @n electricitate sau @n hidraulicasocierii elementelor @n serie - acelaçi curent sau acelaçi debit volumic).

Rela\iile care caracterizeaz[ o jonc\iune 1 se pot pune sub forma- egalitatea fluxurilor pentru toate leg[turile av`nd o extremitat

la jonc\iune- suma algebric[ a eforturilor este egal[ cu zero.Ponderarea eforturilor se face cu semnul (+) sau (-) dup[ cum

semis[geata intr[ @n jonc\iunea 1 sau iese.

e1f1

e2 f2

e4 f4 e3f3

1

f1 = f2 = f3 = f4

e1 + e2 − e3 − e4 = 0Pentru jonc\iunea 1 din exemplul de mai sus, bilan\ul puterilo

este dat de rela\ia urm[toare:e1f1 + e2f2 − e3f3 − e4f4 = 0

Transformator TF - este un element conservativ de putere çi arrol de convertor. Se reprezint[ astfel

15

TF

m. .

e 2

f 2

e 1

f1 çi este caracterizat prin rela\iile

e1 = m ⋅ e2

(4.5) f2 = m ⋅ f1

sau

e2 = 1m ⋅ e1

f1 = 1m ⋅ f2

unde m este modulul transformatorului. #n aceste rela\ii intr[rile sunt e2,f1, respectiv, e1, f2.

Exemple: transformatorul electric, un sistem de scripe\i, unsistem de angrenaje etc.

Aceast[ modelare presupune neglijabile fenomenele de iner\ie, defrecare, de @nc[lzire care antreneaz[ pierderi de putere.

M1

ω1

P2 Q2

+

F1 F2 x. 1 x

. 2

M1 ω1

ω2

M2

TFe1

f1 f2

e2 mi1 i2

u1 u2* *

Fig. 4.10 Exemple de elemente TFExemple de elemente de tip transformator ]i variabilele de putere asociatesunt prezentate @n fig. 4.10.

Giratorul GY - este un element conservativ de putere ]i are rol deconvertor, corespunz`nd unui cuadripol, reprezentat prin

. .e 2

f 2

e1

f1

GYr

çi caracterizat prin rela\iile

e1 = r ⋅ f2 (7.6)

e2 = r ⋅ f1

sau

f2 = 1r ⋅ e1

f1 = 1r ⋅ e2

cu r modulul giratorului. #n aceste rela\ii intr[rile sunt f2, f1, respectiv, ee2.

Exemple de elemente modelate prin girator: giroscoputraductorul Hall.

Observa\ie: Elementele TF çi GY sunt importante pentru reprezenta transform[rile de putere @ntre domenii. Pentru transformareputerii hidraulice @n putere mecanic[ de exemplu (un cilindru hidraulic

se va folosi un transformator TF (cu ; S sec\iunea pistonului) iam = 1S

pentru transformarea puterii electrice @n putere mecanic[ (@ntr-un motode curent continuu) se va folosi un girator GY (cu r = coeficientul dcuplu al motorului).

4.2.5 Construirea modelelor grafului de leg[turiSisteme mecanice unidimensionale Etape:1. Se fixeaz[ o direc\ie de referin\[ pentru orientarea pozitiv[

vitezelor;2. Se caut[ diferitele viteze ce intervin @n sistem çi li se asociaz

jonc\iuni 1;3. Se determin[ rela\iile @ntre viteze çi se reprezint[ prin jonc\iun

0 plasate @ntre jonc\iunile 1 asociate vitezelor ce intervin @n aceste rela\ii;4. Se unesc jonc\iunile @ntre ele prin leg[turi; orientare

semis[ge\ilor este cea fixat[ prin referin\[;5. Se introduc elementele corespunz[toare vitezelor çi sursele;6. Dac[ este posibil, graful se simplific[ (nodurile cu vitez[ nul

se elimin[ @mpreun[ cu toate leg[turile care-i sunt ataçate).Situa\iile urm[toare sunt echivalente

01

16

M1F(t)

v1

k1

k2

x

A

Fig. 4.11 Sistem mecanic

F(t):Se1

0

0

1

C:1

K 2

C:1

K 1

R:b1

I:M1

v1

mv

Fig. 4.12 Graful sistemului mecanic din fig. 4.11Sisteme electrice Etape:1. Se fixeaz[ sensurile de circula\ie ale curen\ilor;2. Pentru fiecare nod al circuitului se introduce o jonc\iune 0;3. Se introduc jonc\iuni 1 @ntre jonc\iunile 0 pentru a indica

diferen\ele de tensiune çi se plaseaz[ elementele corespunz[toare;4. Se ataçeaz[ semis[ge\ile, al c[ror sens corespunde sensului

curen\ilor;5. Se alege un nod particular ca nod de tensiune de referin\[ çi se

simplific[ graul. Nodul de tensiune de referin\[ se elimin[ precum çi toateleg[turile care-i sunt ataçate.

01

Urm[toarele situa\ii sunt echivalente

Dou[ exemple de grafuri de leg[turi pentru sisteme electrice sunprezentate @n fig. 4.13 - 4.18.

a b

E C

R

L

dFig. 4.13 Circuit electric

1

uaiR

0a

uaiR

1

ur iRubiR

0b ub

iL 1uLiL

1ub iC

0

iL ud

d

iCu d

uciC

udiR

EiR

S :Ee

iR b ubiL

ub iC

Fig. 4.14 Graful circuitului din fig. 4.13

EiR

S :Ee 1

ur iRubiR

0ubiL

ub iC

Fig. 4.15 Graful simplificat al circuitului din fig. 4.13

17

x x

x x

xE

x xa b c

d

e

f

g

R1 R2

R3

C L1L2

Fig. 4.16 Circuit electric

1

0 1 0

1

0

1

1 0

1 TF

10

1 0

10

a b c

d

e

f

g

RR

R1 23

E

CL1

Fig. 4.17 Graful de leg[turi al circuitului din fig. 4.16

1 0 1 TF 1E

R R R

C L

1 2 3

1L2

Fig. 4.18 Graful simplificat al circuitului din fig. 4.16

Sisteme hidraulice

Etapele sunt aceleaçi ca @n cazul sistemelor electrice, jonc\iunil0 fiind asociate nodurilor de presiune diferit[. Graful este apoi simplificaaleg`nd un nod de presiune particular, care corespunde @n generapresiunii atmosferice.

4.2.6. CauzalitateDeoarece modelul grafului reprezint[ arhitectura sistemului @

care apar schimburile de putere @ntre elemente, acesta ne permite sdefinim structura de calcul çi s[ punem @n eviden\[ rela\iile cauz[ - efec@n interiorul sistemului.

Dac[ dou[ subsisteme A çi B sunt cuplate çi schimb[ putere dou[ situa\ii sunt posibileP = e ⋅ f

- A aplic[ un efort e lui B, care reac\ioneaz[ trimi\`ndu-i lui A uflux f; - A @i trimite un flux f lui B, care-i r[spunde printr-un efort e.

Cele dou[ cazuri conduc la cele dou[ dou[ scheme diferite difig. 4.20.

A B A Bef

ef

a) b)Fig. 4.20 Dou[ situa\ii de cauzalitate

Pentru a lua @n calcul aceste rela\ii cauz[ - efect çi pentru a lreprezenta @n modelul grafului se introduce indicatorul cauzaIndicatorul cauzal este plasat prin conven\ie la elementul pentru carefortul este o m[rime de intrare, fluxul fiind atunci o m[rime de intrarpentru elementul opus çi se reprezint[ perpendicular pe leg[tur[. Pozi\iacestui indicator cauzal este @ntotdeauna independent[ de sensusemis[ge\ii ca @n fig. 4.21

A B sau Ae f

ef

Fig. 4.21 Orientarea cauzal[

18

S[geata corespunz[toare lui e este totdeauna @ndreptat[ c[tre indicatorulcauzal.

E

Rx xi S e

i

u = ESurs[ Receptor

i

uR

Fig. 4.22 Exemplu de afectare a cauzalit[\ii4.2.6.1 Cauzalit[\i obligatorii . Efortul impus printr-o surs[ de

efort çi fluxul impus printr-o surs[ de flux sunt totdeauna date cunoscutepentru sistem ceea ce impune pozi\ia indicatorului cauzal.

e

fSe Sf

a) b)

4.2.6.2 Cauzalit[\i pentru elementele R, C, IElement R#n cazul liniar, avem dou[ situa\ii

dac[ f este dat pentru Re = R ⋅ f

dac[ e este dat pentru Rf = 1R

⋅ e

cu urm[toarea reprezentaree

f

e

fR sau R

a) b)deci nu exist[ o cauzalitate preferen\ial[.

Dac[ R este neliniar (rezisten\e hidraulice, diode) cauzalitateaapare ca o constr`ngere obligatorie precum la surse.

Elemente C çi IDac[ rela\iile ce caracterizeaz[ elementele C çi I sunt scrise sub

forma

sau (4.9)eC = ΨC(∫ fCdt) eI = ddt

ΨI

−1(fI)

presupune c[ f este dat pentru elementele C çi I çi deci avem urm[toareapozi\ie a indicatorului cauzal

e

f

e

fC çi I

]i deci cauzalitate integral[ pentru elementul C

e = 1C ∫ fdt

]i cauzalitate derivat[ pentru elementul I

e = Ldfdt

Dac[ rela\iile ce caracterizeaz[ aceste elemente au forma

sau (4.10)fC = ddt

ΨC

−1(eC) fI = ΨI

∫ eIdt

presupune c[ e este dat pentru elementele C çi I çi avem

f

e

fC çi I

e

cauzalitate derivat[ derivat[ pentru elementul C

f = Cdedt

]i cauzalitate integral[ pentru elementul I

f = 1L ∫ edt

Din considerente de calcul numeric vom @ncerca s[ afect[m elementeloC çi I o cauzalitate integral[ asociat[ unei legi de tip integral ceea ccorespunde unei cauzalit[\i:

-flux ca intrare pentru C

e = 1C ∫ fdt

-efort ca intrare pentru I

f = 1L ∫ edt

Jonc\iunea 0 |in`nd cont de rela\iile ce caracterizeaz[ jonc\iunea 0

e1 = e2 = ... = en (4.11)

Σi=1

n

(±fi) = 0

trebuie s[ stabilim ce efort d[ valoarea sa altor eforturi çi @n consecin\[ cflux trebuie calculat @n func\ie de fluxuri ce au valoarea cunoscut[.

19

Exemplu Fie circuitul din fig. 4.23. Pentru acest circuit, tensiunea u1 estecunoscut[, deci u1=u2=u3=u4 ]i fluxurile i2, i3 ]i i4 sunt cunoscute, deci i1

este dat dei1= -i2+i3+i4

u1i1

u2 i2

u4 i4 u3i3

0u1

i1

i2i 4i3

Fig. 4.23 Circuit electricDeci la o jonc\iune 0, un singur efort d[ valoarea sa altora, ceea ceconduce la urm[toarea regul[: un singur indicator cauzal l`ng[ ojonc\iune 0. Fluxul de la acel indicator cauzal este flux de ie]ire.

Jonc\iunea 1|in`nd cont de rela\iile ce caracterizeaz[ aceast[ jonc\iune

f1 = f2 = ... = fn(4.12)

Σi=1

n

(±ei) = 0

çi din aceleaçi considerente ca la jonc\iunea 0, un singur flux d[ valoareasa celorlate. Regula de afectare a cauzalit[\ii este urm[toarea: o singur[leg[tur[ f[r[ indicator cauzal l`ng[ o jonc\iune 1. Efortul f[r[ indicatorcauzal este efort de ie]ire.

Transformatorul TFDac[ çi sunt cunoscute, rela\iile ce caracterizeaz[e2 f1

transformatorul sunte1 = m ⋅ e2

(4.13)f2 = m ⋅ f1

çi cauzalitatea se afecteaz[ astfel

. .e 2

f 1

TF

m

Dac[ çi sunt cunoscute, aveme1 f2

e2 = 1m ⋅ e1

(4.14)f1 = 1

m ⋅ f2

çi afectarea cauzalit[\ii se face astfel

. .e 1 TF

m f 2 Regula de afectare a cauzalit[\ii este urm[toarea: un singu

indicator cauzal l`ng[ un TF.Giratorul GYDac[ fluxurile sunt cunoscute, rela\iile ce caracterizeaz[ ace

element sunte1 = r ⋅ f2

(4.15)e2 = r ⋅ f1

çi cauzalitatea se afecteaz[ astfel

f 2 f1

. .GYr

Dac[, dimpotriv[, eforturile sunt cunoscute, avem

f2 = 1r ⋅ e1

(4.16)f1 = 1

r ⋅ e2

çi afectarea cauzalit[\ii se face astfel

. .GYr

e1 e2

Regula de stabilire a cauzalit[\ii este urm[toarea: nu avemindicator cauzal sau avem dou[ inidicatoare cauzale l`ng[ un GY.

Etape @n afectarea cauzalit[\ii:1. Se afecteaz[ cauzalitatea surselor, cu implica\ii asupra restulu

elementelor çi cu respectarea restric\iilor de cauzalitate;2. Se pun toate elementele I çi C @n cauzalitate integral[; s

afecteaz[ cauzalitatea obligatorie a elementelor R neliniare;3. Se afecteaz[ cauzalitatea jonc\iunilor 0, 1, TF, GY.

20

4. Se afecteaz[ cauzalitatea elementelor R liniare @n func\ie deposibilit[\ile r[mase;

5. Se caut[ conflicte de cauzalitate. #n caz de conflict, relu[m dela etapa a doua çi modific[m cauzalitatea elementelor I sau C aflate laoriginea conflictului.

Pentru circuitul din fig. 4.17, afectarea cauzalit[\ii este prezentat[@n fig. 4.24.

1 0 1 TF 1S :Ee

R:R1 R:R2

C R:R3

I:L1 I:L2

Fig. 4.24 Graf de leg[turiExemplu Fie circuitul electric din figura 4. 25 pentru care graful deleg[turi este prezentatb @n figura 4. 26 ]i graful simplificat @n figura 4. 27.

a

E

b

L

d

x

x

x xcR1

R2

C

Fig. 4. 25 Circuit electric

1

0a

1 0

d

S :Ee 11

0

1 0cb

R:R1

I:LR:R2

C

Fig. 4.26 Graful de leg[turi al circuitului electric din fig. 4.25

1 0S :Ee

R:R1 I:L

R:R2C

Fig. 4.27 Graful simplificat al circuitului electric din fig. 4.25

Avem dou[ situa\ii de afectare a cauzalit[\ii prezentate @n fig. 4.28 ]i fig4.29.

1 0S :Ee

R:R1 I:L

R:R2C

Fig. 4.28 O situa\ie de afectare a cauzalit[\ii

21

1 0

C

R:R1 I:L

R:R2

S :Ee

Fig. 4.29 O situa\ie de afectare a cauzalit[\ii

4.2.7 No\iunea de semnalReprezentarea unui semnal Atunci c`nd una din cele dou[ variabile de efort sau de flux este

foarte mic[, puterea transmis[ este neglijabil[, iar pentru reprezentareaclasic[ a unui semnal se pot utiliza simbolurile

e sauf

Aceasta este o leg[tur[ de informa\ie çi nu una de putere. Acesttip de leg[turi ne permite s[ facem s[ apar[ @n modelul grafului deleg[turi traductoarele çi instrumentele de m[sur[ (presupuse ideale),operatorii de calcul precum integratoarele, sumatoarele saucomparatoarele, çi toat[ re\eaua corectoare ce furnizeaz[ un semnal decomand[ provenit dintr-un calcul efectuat plec`nd de la o m[sur[.

Astfel, vom nota traductoarele de efort çi de flux afectate decauzalitate:

D : D çi D : De fe

Un sistem de reglare este reprezentat ca @n fig. 4.30.

Regulator EE Sistemcondus

Traductor

+ -

Fig. 4.30 Sistem de reglareSurse comandateAtunci c`nd sursa nu este idependent[, se poate utiliza no\iune

de surs[ comandat[. Avem astfel- surs[ de efort comandat[ @n efort cu se reprezint[e2 = k(e1)

. .f 2

e1

k

e2 Se

- surs[ de efort comandat[ @n flux cu se reprezint[e2 = k(f1)

. .f 2 f

1 k

e2 S e

- surs[ de flux comandat[ @n efort cu se reprezint[f2 = k(e1)

. .f 2

e1

k

e2 Sf

- surs[ de flux comandat[ @n flux cu se reprezint[f2 = k(f1)

. .f 2

f1 k

e2 Sf

4.3 Propriet[\ile cauzale ale unui graf de leg[turiModelul grafului de leg[turi al unui sistem fizic se situeaz[ @ntr

schema fizic[ a acestuia çi modelul matematic asociat. El arat[ arhitectursistemului çi organizarea sa cauzal[ prin punerea @n eviden\[ a rela\iilocauz[ - efect care intervin @ntre elementele sale.

4.3.1 Legile constitutive ale elementelor R, C, I

22

Legea constitutiv[ a unui element R, C, I corespunde legii careleag[ variabila de intrare a acestui element cu variabila de ieçire. Astfelavem

- pentru un element C @n cauzalitate integral[sau (4.17)eC = ΨC(∫ fCdt) eC = ΨC(qC)

sC

e

f

1

eC

fC

#n cazul liniar, utiliz`nd transformata Laplace , putem s[ definimtransmitan\a elementului C prin

EC(s)FC(s) = 1

Cs- pentru un element C @n cauzalitate derivat[

(4.18)fC = ddt

ΨC

−1(eC) sau qC = ΨC

−1(eC)

sC

e

f

eC

fC

definim @n cazul liniar tansmitan\aFC(s)EC(s)

= C ⋅ s

- pentru un element I @n cauzalitate integral[(4.19)fI = ΨI(∫ eIdt) sau fI = ΨI(pI)

e

f

1sI

eI

fI

I

definim @n cazul liniar transmitan\aFI(s)EI(s) = 1

I ⋅ s- pentru un element I @n cauzalitate derivat[

sau (4.20)eI = ddt

ΨI

−1(fI) pI = ΨI

−1(fI)

eI

fI

I sI

e

f

definim @n cazul liniar transmitan\aEI(s)FI(s)

= I ⋅ s

- pentru un element R cele dou[ situa\ii de cauzalitate dau doulegi constitutive

eR

f R

R

(4.21)eR = ΨR(fR) sau eR = R ⋅ fR

@n cazul @n care fR este intrare ]i e

R

f RR

23

(4.22)fR = ΨR−1(eR) sau fR = 1

R⋅ eR

@n cazul @n care eR este intrare4.3.2 Schema bloc asociat[ grafului de legaturiPlec`nd de la structura graphs-ului de legaturi, schema bloc se

poate deduce scriind succesiv legile structurale asociate jonc\iunilor çilegile constitutive ale elementelor.

Exemplu. Fie circuitul electric din figura 4.31. Grafulcorespunz[tor este reprezentat @in fig. 4.32, iar graful simplificat @n fig4..33.

a

E

bL

d

x

x

x xcR1

R2 C v(t)

Fig. 4.31 Circuit electric

1

0a

1 0

d

S :Ee 11

0

1 0cb

R:R1

R:R2

uaiS

uaiL

uL iL

I:L

ubiL

ubiR1

iR1uR1

uc

uc

u c

ic

ic

iR1

iR2

icud

udiRL

ciR2

ud

iS

Fig. 4.32 Graful de legaturi al circuitului din fig. 4.31

1 0S e

CR:R 1

I:L R:R 2

E

2

13

4

5

6

Fig. 4.33 Graful simplificat al circuitului din fig. 4.31Rela\iile structurale ale grafului sunt-pentru jonc\iunea 1

f1=f2=f3=f4

e2= e1 - e3 - e4

- pentru jonc\iunea 0e4= e5 = e6 f6=f4-f5

Ecua\iile elementelor suntf2 = ϕL(∫ e2edt)e3 = ϕ3(f3)e6 = ϕC(∫ i6dt)e5 = ϕ5(f5)

Rezult[ schema bloc din fig. 4.34.

ϕR1ϕR2

-1

ϕCϕ L+ -

- + -f2

f5

f6e1e2

e6=E

e3 f 3

Fig. 4.34 Schema bloc a circuitului din fig. 4.31sau scriind ecua\iile elementelor, schema bloc din fig. 4.35.

24

1sL1sL1sL

1R2

1sC

R1

+ -- + -

f2

f5

f6e1 e2e6=E

f 3e3

Fig. 4.35 Schema bloc a circuitului din fig. 4.314.3.3 Cale cauzal[ çi bucl[ cauzal[O cale cauzal[ @ntr-un graf de legaturi este o alternan\[ de

leg[turi çi elemente de baz[, numite noduri astfel @nc`t- pentru graful de legaturi acauzal, secven\a formeaz[ un lan\

simplu;- toate nodurile @n secven\[ au o cauzalitate complet[ çi corect[;- dou[ leg[turi ale c[ii cauzale au @ntr-un acelaçi nod orient[ri

cauzale opuse.O cale cauzal[ este simpl[ dac[ ea este parcurs[ urm`nd

@ntotdeauna aceeaçi variabil[.

1 0 1f f

0e

f f

e e e e

Fig. 4.36 Cale cauzal[ simpl[O cale cauzal[ este mixt[ dac[ trebuie s[ schimb[m variabila

atunci c`nd o parcurgem.

f fGY

e e1 1

Fig. 4.37 Cale cauzal[ mixt[

f1

R

efe

Fig. 4.38 Cale cauzal[ mixt[Dou[ elemente P1 çi P2 , ( ) sunt conectatR, C, I, Se, Sf,De, Df

cauzal dac[ variabila de intrare a unuia este influen\at[ de variabila dieçire a celuilalt.

Un lan\ de ac\iune este o cale cauzal[ @ntre o surs[ çi utraductor.

O bucl[ cauzal[ este o cale cauzal[ @nchis[ plec`nd din ieçireunui element R, C sau I çi revenind la intrarea aceluiaçi element f[r[ sparcurg[ aceeaçi leg[tur[ urm`nd aceeaçi variabil[ de mai multe ori.

f

e1

f1

e10

e2

f2

R

Fig. 4.39 Bucl[ cauzal[

1 0 TFm. .

11 2 3 4 5eSe1

e5e2 e3 e4

Fig. 4.40 Drum cauzalExemplu. Fie circuitul electric din fig. 4.41 pentru care graful simplificateste reprezentat in fig. 4.42.

25

E

L R1

R2 C

Fig. 4.41 Circuit electric

1 0S e

cR:R1

I:L R:R2

E1 4

e2

e3 e6

e5e4

f 2

f 3f 6

f 5

Fig. 4.42 Graful simplificat al circuitului din fig. 4.41

1sC

1R2

+ -f5f4

e5e4 e6

f6

sL R1

f3f2

e3

e4e2

e1

1

+ -

f1 = f2 = f3 = f4 e4 = e5 = e6

e2 = e1 − e3 − e4 f6 = f4 − f5

e(s)e(s) = −R1

Lsf5

f6= 1

R2Cs

e1

e2 e4

e3

11

2

34

e44

e5

e6

5

6

0

R:R2

CFig. 4.43 Bucle cauzale

4.4 Ecua\iile de stare asociate grafului de leg[turi4.4.1 Vectorul de stareVectorul de stare notat x este compus din variabilele de energie

çi q asociate elementelor I çi C.

(4.23)x =

PI

qC

Se impun urm[toarele observa\ii- vectorul de stare nu apare @n graf, ci numai derivata sa

(4.24).x=

eI

fC

- dac[ toate elementele I çi C sunt @n cauzalitate integral[ atuncdimensiunea lui x d[ ordinul modelului;

- dac[ printre cele n elemente I çi C, nd sunt @n cauzalitatderivat[, atunci vectorul x se descompune @n xi (de dimensiune ncomponente statice independente çi @n xd (de dimensiune nd) componentstatice dependente.

4.4.2 Ecua\ii de starePentru a ob\ine ecua\iile de stare sub forma

.x= f(x, u)

(4.25)y = h(x)se procedeaz[ astfel

- se scriu legile de structur[ asociate jonc\iunilor \in`nd cont dcauzalitate;

- se scriu legile constitutive ale elementelor;- se combin[ diferite legi dintre cele de mai sus pentru a explicit

derivatele variabilelor de stare.

26

Exemplu. Fie circuitul electric din fig. 4.41. Graful simplificat esteprezentat @n figura 4.44, iar ecua\iile de stare se deduc din figura 4.45.

1 0S e

R1

I:L R2

E

2

13

4

5

6

C

e2 p2.

f6q6.

=

=

Fig. 4.44 Graful simplificat al circuitului din figura 4.41

ϕR1ϕR2

-1

ϕCϕ L+ -

- + -e6dt

e6e5 =

q6f6f2 = f 4

dte 2 = p2

.p2

e3f2 = f 3 f5

e1=E

Fig. 4.45 Schema bloc4.4.3 Elemente I sau C @n cauzalitate derivat[Fie circuitul din fig. 4.46 pentru care graful simplificat este

prezentat @n fig. 4.48. Se afecteaz[ cauzalitatea obligatorie sursei E. Sepune elementul C2 @n cauzalitate integral[ ]i rezult[ celelalte cauzalit[\i.

a

E

bx

x

xR

C1 C2

cFig. 4.46 Circuit electric

Legile de structur[ sunt- pentru jonc\iunea 1

e2 = e1 − e3

f1 = f2 = f3

- pentru jonc\iunea 0

f5 = f3 − f4

e5 = e3 = e4

Legile elementelor sunte2 = Rf2

e4 =q4

C1

e5 =q5

C2

Ecua\iile de stare sunt⋅q4 = d

dt(

q5

C2)C1

⋅q5 =

E − q5

C2

R−

⋅q4

Modelul este de ordinul I, doar variabila q5 este independent[.

1

0a

E11

0

1 0

c

b

R

C:C1 C:C2

Fig. 4.47 Graful circuitului din fig. 4.46

1 0

C:C2

C:C1

E

2

1 3

4

5

R

f3

f5 =q5

.

f4=q4

.

Fig. 4.48 Graful simplificat al circuitului din fig. 4.46

27

Pentru a ilustra avantajele model[rii prin grafuri de leg[turi ]i aeviden\ia posibilit[\ile oferite de aceast[ metod[ pretabil[ @n moddeosebit pentru modelarea sistemelor fizice care au @n structura lor subsisteme de natur[ fizic[ diferit[, se prezint[ @n fig. 4.49 dou[ sisteme:unul electric ]i unul hidraulic.

1 TF 10

R C I RI R

Sf1

2 3

4 5

6 7

8

9

10

Motor

M

ω

P

Q

Fig. 4.49 Graful unui circuit electric ]i al unei ac\ion[ri hidrauliceSe constat[ c[ @n ciuda faptului c[ @n aceste structuri fizice au loc

fenomene fizice complet diferite, modelul bond-graphs este acela]i.

28