Ecuatii diferential.Bond-graph

download Ecuatii diferential.Bond-graph

of 28

  • date post

    30-Oct-2014
  • Category

    Documents

  • view

    34
  • download

    4

Embed Size (px)

description

Ecuatii cu diferente

Transcript of Ecuatii diferential.Bond-graph

3. REZOLVAREA ECUA|IILOR CU DERIVATE PAR|IALEEcua\iile cu derivate par\iale (EDP) descriu diverse fenomene fizice.C`teva exemple sunt prezentate @n continuare.1. Problema coardei vibrante. Presupunem o coard[ flexibil[,inextensibil[ care la @nceput coincide cu axa Ox. Ea este scoas[ dinechilibru ]i dup[ momentul ini\ial asupra ei nu mai ac\ioneaz[ nici ofor\[ Presupunem c[ mi]carea fiec[rui punct al coardei se face @n planul(x,u) unde u este devia\ia coardei de la pozi\ia de echilibru u = u(x,t). Easatisface EDP liniar[ (3.1)2ux2 = 1a2 2ut2unde a este o constant[ ce depinde de propriet[\ile fizice ale coardei.Vibra\iile transversale ale unei membrane sub\iri, care @n pozi\ia deechilibru se afl[ @n planul x,y sunt descrise de EDP (3.2)2ux2 + 2uy2 = 1a2 2ut2Aceste ecua\ii descriu precis doar micile oscila\ii ale coardei.2. Problema c`mpului nesta\ionar la temperatur[. Dac[ se@nc[lze]te o por\iune a suprafe\ei unui corp omogen , atunci @n corp apareun c`mp de temperatur[. Temperatura se schimb[ de la un punct la altul]i de la un moment la altul. Temperatura u(x,y,z,t) satisface EDP k = ct. (3.3)2ux2 + 2uy2 + 2uz2 = kutAceast[ ecua\ie se nume]te ecua\ia propag[rii c[ldurii. Expresia (3.4) u = 2ux2 + 2uy2 + 2uz2se nume]te operatorul lui Laplace. 3. Problema c`mpului sta\ionar de temperatur[ Dac[ c`mpul de temperatur[ este constant @n timp adic[ u este func\ie decoordonate spa\iale u(x,y,z) ecua\ia c[ldurii devine(3.5) u = 0Alt exemplu de EDP ce apare @n aplica\ii este ecua\ia biarmonic[(3.6) 2u = (u) = f(x)unde x este un vector. Ecua\ia biarmonic[ @n 2 variabile este important[ @n diverse aplica\ii (3.7)4ux4 + 4ux2y2 + 4uy4 = f(x, y)3.1 Clasificarea EDP#n general o EDP cu m variabile independente se poate scrie suforma(3.8) F(x1, ..., xm, ux1, ..., uxm, 2ux1, ..., kuxm) = 0Ordinul cel mai @nalt k al derivatei func\iei necunoscute u este ordinuecua\iei. #n aplica\ii apar @n principal EDP de ordinul 2 de forma(3.9)f,k=1mAjk(x) 2uxjxk = f|\x, u, Ak(x) uxk|.unde Ak (x), Ajk(x) ]i f sunt func\ii date. Acest tip de EDP se nume]tcvasiliniar[. Pentru ecua\ia nu con\ine termeni diferi\i j k ]i ci suma lor Ajk(x) 2uxjxk Akj(x) 2uxjxk (Ajk + Akj ) 2uxjxkNoi vom presupune c[ Ajk(x) = Akj(x)EDP de ordin 2 se clasific[ dup[ propriet[\ile valorilor proprii almatricii coeficien\ilor termenilor Akj(x) ai ecua\iei date (matricecoeficien\ilor dominan\i)(3.10)

A11.. .. A1m. .Am1.. .. Amm((((unde Ajk = Akj .Matricea este simetric[ ]i valorile proprii sunt reale.Fie - num[rul de valori proprii pozitive - num[rul de valori proprii negative - num[rul de valori proprii nule Se va spune c[ EDP este de tipul @n punctul x. Dac[ se schimb (, , )semnele tuturor coeficien\ilor EDP, ]i @]i schimb[ locul, deci tipuril ]i sunt identice. (, , ) (, , )1A) Tipul (m,0,0) sau (0,m,0) se nume]te eliptic. O EDP este detip eliptic @ntr-un punct x dac[ @n acest punct toate valorile proprii alematricii coeficien\ilor derivatelor de ordin 2 sunt diferite de 0 ]i auacela]i semn. De exemplu ecua\ia (3.11) u =i=1m2uxi2 = f(x)este de tip eliptic. Matricea coeficien\ilor dominan\i este matricea unitate.B) Tipul (m-1,0,1) = (0,m-1,1) se nume]te parabolic. Matriceacoeficien\ilor dominan\i are o valoare proprie nul[ ]i celelalte toate deacela]i semn. Exemplul cel mai important de EDP de tip parabolic esteecua\ia c[ldurii(3.12) k uxm i=1m12uxi2 = f(x)C) Tipul (m-1,1,0) = (1,m-1,0) se nume]te hiperbolic. Matriceacoeficien\ilor dominan\i are toate valorile proprii diferite de 0 ]i unadifer[ ca semn de toate celelalte. Exemplul cel mai important de EDP detip hiperbolic este ecua\ia undelor(3.13)2uxm2 i=1m12uxi2 = f(x)Exemplu. Fie EDP(3.14) (1 + y2)2ux2 2xy 2uxy + (1 + x2)2uy2 = 0Matricea coeficien\ilor dominan\i este A =

1 + y2 xyxy 1 + x2 (( (3.15) I A =

(1 + y2) xyxy (1 + x2) (( = 0Ecua\ia caracteristic[ a matricii A este(3.16) 2 (2 + x2 + y2) + (1 + x2)(1 + y2) x2y2 = 0cu valorile proprii 1 = 12 = 1 + x2 + y2deci EDP este de tipul (2,0,0) @n orice punct. Exemplu Fie EDP(3.17) y2ux2 + 2uy2 = 0Matricea coeficien\ilor dominan\i este A =

y 00 1 ((cu valorile proprii ]i 1 = 1 2 = yDeci pentru y > 0 EDP are tipul (2,0,0). Pentru y 0 1, 2este de tip hiperbolic.3) Pentru au acela]i semn, deci EDP est B2 4AC < 0 1, 2de tip eliptic.3.2 Condi\ii la limit[Pentru descrierea complet[ a unei probleme sunt necesare condi\ii la frontier[. Fie EDP oarecare2(3.19) L(u) = f(x)Consider[m c[ solu\ia acestei EDP este definit[ ]i are sens pe un anumitdomeniu din Rm ]i fie frontiera acestui domeniu. Pe frontiera acestui domeniu sau pe o parte a ei se dau valorile unor expresiidiferen\iale ale solu\iei c[utate k = 1,2, .., l (3.20) Gku = k(x)Aceste rela\ii se numesc condi\ii la limit[.Exemplu. Dac[ se d[ avem problema lui Dirichlet. u = (x) Dac[ se d[ avem problema lui Neumann.u = (x)3.3 Diferen\e finiteSe consider[ o func\ie y(x) cu valorile y0, y1,.....yn ale acestei func\ii @npunctele echidistante x0, x1, ....xn. Distan\a @ntre puncte este egal[ cu h.xxxyyy01 n01 nFig. 3.1Se define]te operatorul de transla\ie T astfel(3.21) Tyi = yi+1iar(3.22) Tnyi = T(Tn1yi) = yi+n(3.23) T0yi = yideci(3.24) T0 = I3.3.1 Diferen\e regresiveDiferen\a regresiv[ de ordin 1 se define]te cu rela\ia(3.25) yi = yi yi1Diferen\a regresiv[ de ordin n se define]te ca (3.26) nyi = (n1yi)Putem scrie = T0 T1 = I T1nyi = (I T1)n = I Cn1T1 + Cn2T2 + (1)nTnPentru n=2 avem= 2yi = (yi) = (yi yi1) = yi yi1 yi1 + yi2 = yi 2T1yi + T2yiCoeficien\ii valorilor func\iei @n nodurile echidistante coinci yicu cei ai binomului lui Newton n = (I T1)nSe pot exprima derivatele unei func\ii cu ajutorul diferen\eloregresive ]i invers. Pentru aceasta se consider[ dezvoltarea @n serie Tayloa lui y(x+h) @n jurul punctului xy(x + h) = y(x) + h1!y (x) + h22!y (x) + ....Se noteaz[ operatorul de derivare cu D ]i rezult[ y(x + h) = y(x) + hD1! y(x) + h2D22! y(x) + .... = (1 + hD1! + h2D22! + ....)y(x)sau y(x + h) = ehDy(x)]iy(x) = ehDy(x + h)deciyi = yi yi1 = yi ehDyi = (1 ehD)yiExist[ deci rela\iile(3.27) = 1 ehD ehD = 1 3Exprimarea diferen\elor regresive @n func\ie de derivate diferen\a de ordin I(3.28) = 1 ehD = hD h2D22! + h3D33! ... diferen\a de ordin II(3.29) 2 = h2D2 h3D3 + 712h4D4 .... diferen\a de ordin III (3.30) 3 = (1 ehD)3 = h3D3 32h4D4 + 54h5D5 ... Exprimarea derivatelor @n func\ie de diferen\eSe porne]te de la rela\ia care se logaritmeaz[ ehD = 1 hD = ln(1 ) = (+ 22 + 33 + ...)deci(3.31) hD = + 22 + 33 + ... derivata de ordin ILu`nd din dezvoltarea @n serie Taylor de mai sus doar primultermen ob\inem(3.32) Dyi = yi = 1hyi = yi yi1hEroarea de aproximare se deduce astfel = hD h2D22! + ...deciD = h + hD22! h2D33! + ...Primul termen neglijat este deci eroarea de aproximare este e=O(h)=hD22! .hy2!Lu`nd doi termeni din dezvoltarea @n serie Taylor avem(3.33) D = 1h(+ 22 ) = 12h(3yi 4yi1 + yi2)Eroarea de aproximare se deduce astfel+ 22 = hD 13h3D3 + ...deciDyi = 1h(+ 22 )yi + 13h2D3yi + ...Primul termen neglijat este deci eroarea de aproximare este 13h2D3yi e = O(h2) = 13h2yi derivata de ordin IISe ridic[ la p[trat expresia lui hD(3.34) h2D2 = 2 + 3 + 11124 + ...Lu`nd un termen din aceast[ dezvoltare @n serie, ob\inem(3.35) D2 = 2h2 = 1h2(yi 2yi1 + yi2)Lu`nd doi termeni din dezvoltarea @n serie, ob\inem (3.36) D2 = 1h2(2 + 3) = 1h2(2yi 5yi1 + 4yi2 yi3)Erorile de aproximare se deduc astfel. Pentru prima expresieD2 = 1h22 + hD3 ...deci primul termen neglijat este ]i . hD3 e = O(h) = hyPentru a doua expresie avem2 + 3 = h2D2 1112h4D4 + ...deciD2yi = 1h2(2 + 3)yi + 1112h2D4yi + ...]i primul termen neglijat este deci 1112h2D4 e = O(h2) = 1112h2yIVSe poate ar[ta c[ lu`nd primul termen din dezvoltarea @n seriTaylor , eroarea de aproximare a derivatelor cu diferen\e regresive estpropor\ional[ cu h, lu`nd doi termeni, eroarea este propor\ional[ cu hetc.43.3.2 Diferen\e progresiveDiferen\a progresiv[ de ordin I se define]te ca(3.37) yi = yi+1 yi]i cea de ordinul n(3.38) nyi = (n1yi)Utiliz`nd operatorul de transla\ie diferen\ele progresive seexprim[ ca = T T0 = T I(3.39)n = (T I)n = Tn Cn1Tn1 + .... + (1)nICoeficien\ii valorilor func\iei @n noduri sunt cei ai binomului lui Newton.#ntre diferen\ele progresive ]i regresive exist[ rela\ia + = T T1La fel ca @n cazul diferen\elor regresive se poate demonstra rela\iayi = (ehD 1)yideci (3.40) = ehD 1 ehD = 1 + Exprimarea diferen\elor @n func\ie de derivateSe dezvolt[ @n serie Taylor expresia = ehD 1]i se ob\ine(3.41) = hD+ h2D22! + h3D33! + ...(3.42) 2 = h2D2 + h3D3 + 712h4D4 + .....(3.43) 3 = h3D3 + 32h4D4 + ....Expresia derivatelor @n func\ie de diferen\eSe dezvolt[ @n serie Taylor lnehD = ln(1 + ) lnehD = hD = ln(1 + ) = 22 + 33 44 + ... derivata de ordin I Se ia un termen din dezvoltarea @n serie Taylor de mai sus(3.44) D = hDin (3.41) avem D = h hD22 + .....deci eroarea de aproximare este e = O(h) = hy2Pentru doi termeni din dezvoltarea @n serie avem aproximarea(3.45) D = 1h( 22 )sau(3.46) yi = 12h(yi+2 + 4yi1 3yi)Din (3.41) ]i (3.42) se deduceD = 1h( 22 ) + 13h3D3 + ...deci eroarea de aproximare este e = O(h2) = 13h2y derivata de ordin II Se calculeaz[ h2D2 = 2 3 + 11124 + .....Lu`nd primul termen din dezvoltare, avem (3.47) D2 = 1h22deci(3.48) D2yi = 1h2(yi+2 2yi+1 + yi)Din (3.42) se ob\ineD2 = 1h22 hD3 + ...deci eroarea de aproximare estee = O(h) = hyLu`nd primii doi te