G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

103
h 4 ..Biblioteca profesorului de matematicf," G. MORO$ANU ECUATII DIFERENTIALE. q/\- ICOLECTIVUL DE CONDUCERE AL COLECTIEI APLICATII A, r,.t CAIUS IACOB, pre$edintele Secfiei de gtiinle mate_ ,natice a Academiei Republicii dJrfl.tl""'n"*anin, oordonator. .' .: : NICOLAE TEODORESCU, pregedintele Societ5lii de natematici din Republica Socialistd n"_a"a' []! i)i dr- doc. RADU MIRON, Universitatea ,,A1. I. Cuza,,, i) ,.' dr. ION CUCULESCU, Universitatea din Bucureqti. l" ,1. dr. DAN pApUC, Universitatea din Timiqoara. 1'r' r. fl1. PETRU MOCANU, Universitatea din Cluj_Napoca. Prol dr. OCTAVIAN STANA$ILA, Institutul no,,runn,. l,,ucureSti. ililllilllllllillllillllil |[ ":rl::r^'' EDITURA ACADENIIEI REPUBLICU SOCIALISTE RON{ANIA Bucureqti, 1989 'Lhliversltalea din ldg S,fMtNr P MAiFI/Ar /lA

Transcript of G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

Page 1: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

h

4

..Biblioteca

profesorului de matematicf,"

G. MORO$ANU

ECUATII DIFERENTIALE. q/\-

ICOLECTIVUL DE CONDUCERE AL COLECTIEIAPLICATII

A, r,.t CAIUS IACOB, pre$edintele Secfiei de gtiinle mate_,natice a Academiei Republicii dJrfl.tl""'n"*anin,oordonator.

.' .: : NICOLAE TEODORESCU, pregedintele Societ5lii denatematici din Republica Socialistd n"_a"a'[]! i)i dr- doc. RADU MIRON, Universitatea ,,A1. I. Cuza,,,

i) ,.' dr. ION CUCULESCU, Universitatea din Bucureqti.l" ,1. dr. DAN pApUC, Universitatea din Timiqoara.1'r' r. fl1. PETRU MOCANU, Universitatea din Cluj_Napoca.Prol dr. OCTAVIAN STANA$ILA, Institutul no,,runn,.l,,ucureSti.

ililllilllllllillllillllil |[ ":rl::r^''EDITURA ACADENIIEI

REPUBLICU SOCIALISTE RON{ANIABucureqti, 1989

'Lhliversltalea din ldg

S,fMtNr P MAiFI/Ar /lA

Page 2: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

I , R E F A I / i

Dif ferential Equations. Applications

!,nrf rfepenrrrra:rrxble ypaBHeHut, f lpriueuxrta

Dutotiti rrunterca':i'.' ip..t,:,;Il;ii,t:,,',i:l::,i,';i,,',i!:i,$!iiiri,'i,t,!i;"T:iifii:il,"i{!ii",ti:,i!!"'i:iiil:l;::","i,1;':iii:;:!i ",1;;;^o;;1;;i;'ttutoi"""i;,,:."']i"i;';i?;":il;';;;il;i;;";;;;;;.;.'.rr 'r. rn cu st'�ir'inil''iiJ;".i;'iiji,',,;r:'w:i::,"';,,, ,,i";;*:;t:1':.L-;:,;,i:io'!)"'J;: "01

:iiv'i^:'t.jlii,:ii;*:r'*l,ixil"'t:!r:,:'t,i::::',:i];i::i:ili:';::;:"i;'**'urli!!'l'i#!i"f;i'''p n'Ii^""r u'"n intr e'tuttti matr:ri ut'h aIaI -este

l)nidii

r:,nii:i;:!ii,i:"ii',i!:"';i;,;,,;i;;!"iii::,i:;::;iiiii!-*,tii,[::'" '. l l i).".' i,,r,,,i^. 1t'ia i "ogu:o' "i"t t.�"tut' ;i prol'leme cu

-cutqct'r nlat

xiiii ,i:;!,,,i1jj:ji';;,t;,i':yi;:i,:i:i,,;ru m; T"":::'i't'i':i';'x; )':!i)tii f,':;:,: !iiy";');,!ii';:ii:rlt';lrr1,';1.1rr,.";l:;:::oni';',x':i:i{,,,:l,ii[{:"i;jzi:ii^:t:;: j'ni,';!::l"tit,l;[:n'{i::i;:i;':t:;i;l*::"";'ri:ii:{::ii!.;:'l:r

#ffi;-,1:"u,':f;,",""ii,i"i,ir!,'f[i',,u"']^o'ti'"''i"desciise.

'e mue'' t i z a f e ,lcn sd segeneral ''0rlantd.qnat de'e

foartelernd; iord.inaret.ce ), rn'

munual.lud lu lu i .cile, im'citiloruerii maPrcbIern

tn leauercilateanii ll

exislent,i tlifereteze ingi

Autotrn sprij

efccliv

iribuir i d e r

re l-andlos P

; e . - t t t : i , 1 " , t ; . ;

Rezoluarttr si (ttttt l izareu unor ytroblmrc *' , ' ::: i :-::"i::t '",,: ' : '" 'p;-,,,u,,!|ii!'ioii'i",,ii,'s',i,,il"f il,ll,,,i,'ii,ii:;:::,:;;ii:t;:i:::::""r;'::;i';!;;

dtlermtrutett

rsIlN 973-27-0062-9

EDITURA ACADEMIEI REPUBLICII SOCIALISTE ROMANIA

R. ?9?17. Bucuresti, Calea Victo.iei lrr. 125.

i i i i iiiit,.. I r at n r ::yf(t'a! +4&.l:;':t!ii::';',x:::#-!^"'ffi tr;-ffi ;,_ j:7,:*:;,:;#;i;:il';!i;l';lii",n::,:,:::,',','1i,i;,1"1i;i'ri,i"{,i,i,i',i'" i:.,',:,i;::;::J,i',,:i:,:,i;';it'i,\ifiT::!:tii:X!':,",:i',,';;,ii'ii,"i^i,ii7;i,ii"ii'l,i'::.:.:.:i:,,*,:^:,21iI"li,l,ioX^ill,',,,1',';i,,:J"o"i' ;:';'i,i:",',i,l,,ixii"i,'l,i,",,i,li i,^i;i:';i;i ,iii: * .i!:xlp;i!;l,i^',,ib:;tf;;'"Xiip:::,'iilif!,i',it')i'i"' 'l'i'ii i'il "":' ,ii' -a'.::!::::,:'fi:i,:,i:::;bi^:,:11;,f:::":lt,ii"ii"pi:"i'ti,i|,i '":"liir" si ̂'',^'n,':*,i'J':",:;1i:De f ca l r n l e fes su l t s r p r ' u t r u r r r t , ( - L 'G . " , ' . , . f e r t t l i de

tu ,tiirnli' ,iiiiitut,,n ;i ' rrlirorrmarec .,s "tu-!::!:^",::t::':::::^l'"

orr,uor*'i,oiX'"',!!i'i;,",i',i::i::i. i: iil, iii;i'i'!'ii"itii iii::,!: u,',il,i1i!: !li,',,i,1,i[iT!,lIx";;:,,1;r':"{iJi'itii'i,iiiil,ii"tii"i;"',,i}ii"ti ,'i irniiitotrn soirriiror

f

Page 3: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

I )e uscmenet . r t r t t i l i i h . s idif icullt e, unelo lt rrtrr f incic,si t l ideclic.

problemele alese stnt de diuerse grade tle,ctm ce-i conferd un inalt niuel ;titntiltc

' , ' , ' , ' , ' , ' ,1 . ' ," ' ,1': ," ' . ' . :, .,...,

t,rohleme lt i lorrrlr. l t.t l .epcndenln soluli i tor de ttatele ini-li,,:,',,,',,,,',,:.,!::':.,',.,,,..t.r,i.. ttrL,trrt^i t,, "ri,tinto-ii ;i^"rjrri'rilr' r,i:r,iiii"'i tlXi_'i,:;',',",;,:,'

,',:.:.,:,:,',:,'.,,!,'.'.'".:.'.:'....'t::*"" '''r""'".ailiiiilioi ii "',,"i'ii,\i,iii.i ill"i-',i,:i,:,:,,,';:,,',,"';li":'.:,,.'.',.".:'i.,,:':.",1.: .::,,,,,it, a,.Li,,,i1il;i'piii,iiii",Tr'J,fi,i!'i,',',',i,','''i,',:,',',,1:.:,..!4ttthq titt tnui" "':i'niiiti'i-..ii'i"i,'rrli""iiiiiri|'fi'""iii"ifr

i r t l i r r t t l t t t r r t r r .',1,:,,",',','1,!.':,:,:,:,',',:,:i.:.'t:,t

,t:.:,:.ll:! ,,,:! conline, .cartea .se impune aut prn,,,1,:,,::,:!^:,.::.,,,,:ii rr.rr,t,tL ! tdiriri dt ,,,iiii,'l.ri,r." rr'.riiir'!ii.,\r1lri!,r!i, f"','l',!,iiliii'";,,,:),',,,:,'",,t,'.',i." ,:,'::',:.:F':.",i'ii".,n.'i.""'"ii;ri'i,iii,; ffi,?',"

"r',t,ottc,etle lun ant tt tt thsott!t nri^nrr-ti-irrit,il'r'i"',oiiiii,,rliii"!'"',r;1!

7'eoriu eruali i lor l i l tcnliutc ordirrdre, ca mai lode ramurile mele-mdicii, lrace ln pre;enl prinlr-un proces de imboqdtire ;i modernizare,ul?l ln unlinul cll si lrr /r,,r lr r i. l iuidenl, e:;te necesar ca acest fenomcn sd sercfletlr irt rrrrsrrri/e.si ntunuelcle rqre se atlrescazd studenli lor gi, in oeneral,luluror rrlor ctte drtresc sd se inil ieze in aceusld tl isciplind intporlttnld.Dul)11 I, irrro uulorului. rnanualtt l .. l icuali i t l i ferenliale", semnat deProf. \. lJurbu de la L'niuersitalea..,\1. I. Cuza" Iapi, rdspunde foartehine tn:lui dc:iderat. , lt:est menuql prc:intd, tnlr-o formd modernd 9inccesil, i i i . l t r inci p al cle prabletne ul e teori ei ecuali i lor diferenliale ordinare(unelc ltrt lre acestea negdsinclu-sc in manualele si lratetele clasice), in-sistind rr:trpra aspeclelor cslitalioc ale acestei teorii.

(:r!t ' , is?a tle fuld a fosf scrisri cu inlenlia de a ?rtsoli acest munual.De tcccu. ltroblemcle stnt tntpdr{i le in capilola. urmtnd structura manualului.Au losl in'clusc problcme si er'ercilii, (dit simple cit ;i mai dificile, tm-preLttld ru soluli i le lor conplele. sau aproupe complete. Penlru ca cit itorulsir-1i 1ttt l ,ql etperienla gi deprinderile oblinule tn urma pmcurlleri i ma-terit lulri t l in cupitolele I-V, n fost inclrrsr,i la s/ir,si l o l isld de,,Problenterectpitu Lati ue' ' , nesollt l ionate. Jlajoritatea problemelor prezentate tn ledau fos! discntate cu stutlenli i t le lu Facultalee de )Ialematicd, Uniuersitatea,.AL I. Cu:a" In;i, tn catlrul lecli i lor t inule cle aulor le enii II,tu per ico t la 1951-19t9 .

l)eri conline ;i probleme carc nu se gd3Qsc in culegerile er.istenle,acest wltrrrt nu t.sle suficienl penlrtL cei inlcresali sd tnuele ecuali i t l i feren-liulr, cr'tt: rcr lrebui deci sd cottsulte gi alte le e sau sd formuleze ingigiproblenu. crr eiLrlorul cdrora sd-;i clari l ice chutiunile teoretice. Autorulsperd, lr ' l :t.^;. cd prc:en[a culeqere ua consli lui penlru rcegtia un prim sprij insi rrrr ir irT'r/s 1to:i l iu in aclioilalea lor.

l i i [: iogrofia conline nuntai luudri care au fost uti l izate efectiu tnk'.rr.

Aulrrul er f i indatorul luluror celor care ar pulea cottlr ibui leinlhundli l irea cdrli i t le faln prin sullesti i, cri l ici sutt propureri de noiprohlemt.

Autnrul mullume;te indeosebi profesorului \ ' . Bubt4 cqre l-a tn-dearnal i i suic rceasld culeoere ;i cue l-o sprij init i I mod genetns prinnunuro.,.\ ! stlgcsli i t i di.scurii.

_ Prin boniiliu si diuersitatea, n.alerialului, a melodelor clasice ;i mo_Itut,: inqrnios rtIiIi:qIc. a romento.rii lor putir' ir, ' i ' ' l i i ira)iii"rnui ,,,n,"rtuutdr de lntttane oriqinate ce itustreaid "r"t, ioi"ijii' ilitematica mo_o-::,:,r:-o.,:!,:!.iruui.cuntitati!;i.catitatiu at Aiuersilir-friaiiii" ru, dir-i',x',': ,:j':::::,:,,t:'.','.:.,"::.!':^!-'r:::,itj.1l: -!yld" ioii,i'tti.Tiioi'o,to'-r,i ),:.:::":::'!::i".:'.'..::,','," '1i," ":!! nt i tatot;ase-,-,l,ioiiii'i; ",;;;;;i1""';;r.i^"b!!::, !: ,uuutii tilerenliale e:.istenre prr,i rr'-pi.="i i"'"iil"lii,r,i.i,tle specialifutr.

.,^^ -,?nllri,,r,-,,,,,tl itt^t.ttrtttti ri, a stilului eleuat, care face stndiul acesteialm..,e.bil d.e 1,ldcul. eit si q rrumdrului lnsemnat iet,tuLut, trr sr .r umqr.rr.Lur Insemnal de problente propuse intl,,::!; ,"::,1i;::":,: :li!i::!it .d: utitd atit .studenliiiii"i,faJit",' i" i",,^,ti''a,f:,,::.1,,r^l u:,i i,::ti!:t"d,^ tehnice, cu ;t iiii*iiuii-ii' i,iii",ii,t'i,t'"iiii|'eti]o:i:,','i:: "'1":,,.':":!!:',':i.":! supenoi.pientiu p;;;';;,;;;;';;;';;i"r ;i semi-,:.ri:!!,r, li a,ttor sp.ec.i.ttirti..fdinttoriiali ,r';";r;;ii; ;;'iirit'"iti,' i"i,'iti,

i!,!.t,f;ti1!,,y y!,ilern{iatr ordiiare. n, irririJo.-"[iii,,i" ,,ii"ai"',rifi'if"::l:!d::,f,":!:::,trtqdtirea.studentitor in,;A;;;;;;;;;;,,;;;",;;;;;;^';:,,ir"!:,rr, ,, pentiu rerturite de eriui ai "rorritor'i"piiiiiii"iii, ti,'uata^trrutIiccal.

,r,, ,iiiiii*l;i,iilii,i:.";l;l:i,,,,:, ,1;ri:0,,;i,:Il,!;,tu:|0 :!l,i;,0:,[::n!;N-. LUCA

5 T ; : -

Page 4: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

, . .1u ! , t . r '

. , , ! , ^ i r t ld r t t ! pn t f to ru lu i N . Luca, curc u c i l i t in leqru lrrr trtslri r trr tt : i u f icttt i ,r t l i t,rrsc oltscruati i, ,o* o, ioii i i iuit i i"eriminartatIuutir ut)t i. l)? tnqtti(ntel t, i i unde probletne incluse ti Url- iu lol ais-<.uttttr t u 1,rr,[. D. pelratanu. (u core oulorul a auut priri i i i i ae a cola_lnrt. I)t rernrLrcal, de tscmeneu.,<:d una, proitrrii.'iii,' ji.'tfi ctrp, I anl'1.:l selrctionate ttin cartcu l)robteme a"'_""",ii.i- . tiiif."'

O. ^nau.' l 'uluror, aulorul le mnllufiu:sle cdltluros !

G. MORO)-ANU

I

t,

I I

I t

Ii

incd

(1) / = l/,, /.1[,

I.I. trIL,TODE ELEXIEN'I'-\RD DE INTEGRARE ,\

ricuA'f IILOR 1)IFEni'lYf I-\Ll:l

r.. lictiATll ct' \'lfir.\IilLIi Slll'.tRAlll[l]

Sir colsiderim ecrta! ia difeleni ial ir r l t ' fotma

.r ' /( / t l ( . t ) .(EV S)

d i fc r cn l

r rnde f : l l 1 r1 . [cR 'R 5 i g : ] . r1 . . , [ c -R -? r r . ] " l . - l - : r [1 ' , in t f r rnc l i i

o r r t in , ,L ' i i , " in p lu . , I "n r i

se i r rn lcaza pe ]11 , r ' r [ In to r ra ic le ]11 ' / t [ '

]r1, er[ pot i i ; i nemirrgirrite

l:rainte de a aritta cum sr: rczol\i l (E\.S), aurintirt l urlt i tr ' l i)rea

Vor l n r tmi so l t i / i c De in ie rucr lu l I cR p .n t ru ec l ra l iacite o frrnclit ' rcali r icfhrit i pc trn

cleschis din R3) o f urrclir ' .r ' : I -[ i,pe /, adici

F( f , c ( l ) . . r ' ( l ) ) :0 . (v ) le I '

Sc strbitr!t ' lege ci r tste aslf( ' l incit (l r(l), r '( l)) cste in tlottrr:nitt l

f r r1 lcJ ic i F pent r l r I e I .

-{tLrrci cincl ne r,otl� refe la o solulie vom intl icit t le regulS inlet-. ,u f , , f i " "n i " aceas ta c . te t l t f i l i t i r (dac i I 'a f i l ros ih i l ch ia r in te l .a l r r l

nraxirnal).I leven im acutn la tc t ra f ia (E \S)pe carc Dc- l l t r l p r t rPus s -o n r r l l i z i rm '

P l e s u p u n c m c i . r ' 1 1 / r . l c l h . 1 ' [ e s l e s o l t r l i e p L r ' l t t t ( E V S ' \ t r n r i '

er ident,

dclir-abil i pe f ; i care rclif icir ccttalia

\ _ : \ l r s ) ( r s .) t t - t )

Page 5: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

,N

tII

:Itilt5i

I

r , , , 1 ' ' / , , r " , l ' l | t l

(2)

in ie1. 6[ i i 1 parcurge o vecinttate

este in domeniul funclici G-r) gs1.p l r rs cund i l ia Cat r Ih -v . r ( /o ) . r .u .

.a se tnteqt e:c ecuali i lc:

l ' , u i I i | | l , r l | l

i r r i l r t c r r ; r l r r l l 1 r , / ! [ i i J 0 : r ( f o ) . N o t { mvt o :( ' ' r ) : J ; (0 . 9e l r1 . r r [ .

Reciproc, orice funclie de forma (1), t lefinitn pe rrn i ltervalcare aceasti fulclie are sens, este solulie pentlu ecualia tlati.

pe

Datorit i ipotezelor, G dcfinelte o funclie derivabil i (cu derivata con_

liii':]r t: lil;l,l"tJ.;t:;l"mo,,otoni ii"r"t i*""et",'1" iJii gto p"ioate'vorr.i a" r,i"rj" ii, "".,i' "9lii,.f,^,?uoJ. 1f,lli,kJ,;il,JH;::;:are aceteasi proprietili ca func!ia 6 D;;",;,;;i;ii"'ili IJ'iili *.r"

(3) ",.q,,, -i11",0", ,=',,. ,",;

. -

rezulti ci solufia e are exprcsia

( 4 ) r l t y : 6 . r ( i - \r J l (s)dsJ' te l tb tzI .

Reciprc,c, o fnnclic :r==r(1) definitn de relalia (4) (unde ro

r.lSolulie.

r :z(l) cit 9i

Separind variabilele se obline ecualia

( E ) u ' : _ , u , r2 t , 1

( l ' 1) r 'a2 l . re :0.

l r d l 1(21-1)r l r :0 .

A intcgla o asemenea ecualie inscamni a gisi rt.it fulrctii lefunclii le l:/(r) care satisfac cluatia.

Softr/ie. Fie ecualia (fornal echivalcntl cn cea dati)

(E) r'� --. - -14- ,2.t I

s!II

t

I

a punctului 1o astfel

solutie pentru (EyS)

este arbitrart

incit J /(s)dsverificirrd in

t .

Sola/ir. Este o ecuafieslrs Avcl l l :

r ' :21( l +r:) .cu variabile separabile. Cu notaliile de mai

/, r:R*n, /(r):21, s(x): t +"r>0.orice sol.fie. r:r(1) a ecualiei datc r.erifici (pc intervalur s{u de exis_terrti r rclatia

\ - r :2 \ sds (1n . : r ^eR)

arctc .r =_ 12 *C

r ' : tg ( t r+C) (Ce lR)

sau

sau

( l )

l0

Deoarece cxpresia f(l): -2q(t2-1) nu arc scrs pculnt l----1 si l:1iar q(1)-* se anuleazi in c:0 ar trebui sri considerinr, conform clis-cu{iei teoretice, gase cazuri distincte. l lsir, cunr expresii le primitivelorrimin aceleagi in toate cazurile, se pot rezolva simultan toatc cazurile:

d . r _ _ 2 / d l f d r | . : t . t l

, - t 2 - ; - J ; - - )

. ,

A;adar ! : ln l I , -1 | f C, C e R, sau . r : r . (1 , C) :l n l : 1 + C

pentru toli leR pertru can, cxpresia are sens. licstriclii le luncfiilor,' 'r(4, C), CelR. la intelvalelt: care alcdtuicsc rrllfimile lor de defirril ieconstituie solrrfii pentru (E), dcci ti pentm ccualia iniliali. f)e exemplu.pentrLt C<0 restrictii le funclii lor Ir-'r(1, C) Ia irtcrral,' lc l-co.-(l 4e-c1tn1, I (1 4s-1u2, -1t. l-1, --l[, ]1, (l +c c)lr'[,

](1 -; slc[72,+ccI sint solulii. In ecualia inifiald nu apar disco:rl in Lr i ti l i le l:-19i l:fl. De aceea sintem tentali se extindern prin continuitate solu-lii le r(I, C), atribuindu-le valoarea 0 in l:-1 si t:,1. Acest lucrLr nueste insi posibil dcoarece extensiile oblinute nu sirrt frrrclii derilabile(n ic i micar la tera l ) in t : -1 t i l : +1.

ln general, de aici inaintc, vom evita asemenea tliscrr!ii anrirtru:rJitt'.Astfcl, in cazul de f ald putem spune simplu cd 3: --*-1-. 6 = n3

l D r l r - I l + Csint sotulii ale ecualiei inifiale. llulfimea solufiilor rnai conline.funcliaidentic nuli (o(t):O, leni), solulie care s-a pieldut prin iurpir.lirt.

l 1

Page 6: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

I sau

r . r r l r ' . . l . r l , , r r l fo l r r ra l r . ch i r . t l cu t i cu ccr ra ! ia iu i l ia l i . In t r . -adcr i r ,. r (1 ) 0 . /e l l l s i 1 ( . r ' ) -1 /2 . . r '€R. s i t r t so l r r ! i i pen t lu ecua l ia in i t ia l i darr r r r po i f i sohr f i i pen t lu (E) .

Intcglind (E) oblinem

l D l r . - l e ' / z i 2 t - 1 l , ! - K , K e R ,

r e ' t 2 t , 2 l , 1 l t / { : e , C = l R \ { 0 } ,

ecrralia inil iali ale soluli i le te'rz 12t-1 ltte:6, C € lR,doli solu!i i particulare i ldicate mai sus corespund ca-

21(.r -1)dl -j-(l! -.1)(:"-. -1) dr:0.

Sepalinct r ar.i irbitclc oblirlem =

dr: -* clt. Inte-

r - lD ( . r l -1 )e : ln l t r - .1 1 -K, I { e lR,

e" (t2 -4\: (:(r +1)r, C = R\ {0r .

Solufie. Conform consideralii lor teoretice ficttte' ar'em:

t a 3 t t ' n

\ - j + : \ t ds sa l l r c tg r - - ' - r ' - -< r < - '| | ) - t 2 |1 0

Solulia Ploblemei este

.,X c.

- ! - = t < ;

, :0

. : ur"ao, 1, I > 1. 'I ! . . . , .

r .r^.r. . - r /a3 -1 |

| . r ' ( ! ) este mdrgin i ta pc l r t ru t - +co '

oeci r: te [r

+l),

{;6',1t *') "^ln concl uzie,deoatece celez u l u i C : 0 .

.3., bis

Solulie.

grild gisim

sau

(acestea sub folnri

. tr i A t

.soirr lie. \ fi == - \ sr l s cls s a tt,ll ! 1,'-']:'' Ia'l- :ri.-"""i ' - - 6 *

r : (2c a. r ' t r / ' � - l ) r /2 . /e L, r . .1 ! r r r rdn ' r ' 1 a lcs i r r f '

f r . I :I r : -I

I ' s t n x

l -

I l im r ( l ; : - .t l - @

/ a rt t1 . . /

ln p lus, r la i areur so l r r l i i le x( l ) = -1, 1( r ) - - -2 , 1(c)= $2 care s-oupicrdut priu irnphr'li lc. I--ltint'lc dorrir pot fi inelobate in familia tle so-lu ! i i ob! inr t i r a l lc l ior lLr i ld C.*0. I : r co lc luz ie, so lut i i le s inr :

Solulie. Avem o ecrtalie crt variabile scparabile ctt

f : lo. f co[-10. +. [ . f i l ) " : i l3

9;|0, r[-]0. -j z[ 9(r'r - ' 1,/sirt 'r '

So lu / i c . Cr r

e'(t'� -'t ') : C(r +1) !, C€lR

i r r rp l ic i t i ) ; i :u - : -1 .

. t : ' = ' ( r - f ) ! f 1 .r--'.'7

subst i tu l ia /y r - l fe obl ine ecua! ia

Caz t<0 ntt ne iutereseazd.-*-'ern ui". la domeniu pentrtr t interr alrrl -ln ̂ -[ dcoarece acesta

"ontinu"pun"iur- i7i. nezotvind ""un-1io, f"ti a !int scama de condiliz

imp sr i . gds im solut i i lc

r = r ( / . c r - r ' . .o ' ( | r r ' ) , " l " t l '

unde I sat is face: r>o ; i l l+Cl ( l Penlnr C 0 se obLi lc sotut i rI

(un ic i ) a Problemci date, adic i :

cu r ariabilela substitu!ieseparabile y',-y!. I lczoll ind aceusti ccualie 9i rcr-enipd

gas i r r r s , , l r r f i i l e , I I

. (CF t ) . s i . r l .

Sri se re:o1r'c uutti[ourele prc[tlcnte:

v 5 .

L2

, {:idtT:,) 8 .

Page 7: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

,

t

t:

i

r' |I

t

5I

!

I

t

t

I

Solri/ ic. Ecrratia rlatir adrnitei familia de soluli i

r : r (1, C):( l +Ce'rrus, Ceni.Prin urmarrg, singura solufie a problemei puse este r(l)=1.

39. Sd se arute cd fiecarc atbd intellmld (r ecLraliei ,,: y 1,*,

I t '+1poserld dou{t asinplole orizon lqle.

Solrrlie. Notim, ca de obicei, G(ut:t dl r,. --\' r ( ' � r i u(v ' - lVF. ( . to t lR) . E ' iderr t ,

G de-fineqte o funcfic bijcctirl dc la R la R, continli 9i cu der.rlata con_t i r r r r i . Sol r r t i i te ecrrat ic i consider" t " l i " i J" t " 'a" ; j " ; . i ; , ' " " ' '

r { r , -G , l ( - -+ j ) , , - ot J o V s r . l I

- "

unde l0 este arbitrar in lR ,i r0:.r(10).

Evident, existi gi sint f inite l imitele

datoregt€ faptului c[ functia din membrul secund, ca funcfie de (t, r),este omogene de grad zero.

Amlntim cd funclia f:f(t r) se numeste omogeni de gr.ad n daclpentru oricc k>0 avem f(kt, kr)=t;" 511,,',.

Obserualia 1, O ecuatie de forma

(*)

(*x)

unde M:M(/, r) 9i N:N(/, o) sint functii omogene de acelagi erad,este formal echivalenti cu o ecualie de tip (EO), deoarece -.lf/llf sepoate scrie ca o funclie de r/1.

Obserualia 2. Fie ecuatia

,':/(#ffi)

M(t, ,)r'+N(1, ;L..):0,

(c , l . c , r r1 , ,1 , c teR) ,

pe trn intt.r 'r 'al.

Atunci (,;.r) se reduce la

unde f este def in i l . i s i cont i r rud

Presupunem ca r=_i1 I l+0.l u 1 u l I

t i accstca silt distincte

Nc ocupitr lctrrn de ecuali i de forma(Eo) x, =. h(rlt),unde lr:]t, l[*R cste continul li, in plus, indeplinegtc contlifia:

_ h ( l _q+0 , ( v ) i e la , i [ .P,rirr

rsLrbsiitutia @. (EO) se reduce la ecualia cu variabile separabile,r :- carc,sc |ezolr-d ca mai suS, Denumirea de ecualie omogeni se

t.t

ai' rf -*+ jit

Id s ' I a , s * r , u J

prin srrbstituJ.iile !:r-ro, s.:l-lo, unilc (t0. .r0) este solulia sistemuluialgebric

J (llo , r.fo+r 0 -I o r l o l l l x o . r c r o .

Ecuatia in y 9i s oblinuti este de iorma (EO). Evidclt, in cazul c:c1:0,ecualia (**) este deja de forma (EO) 9i substitulia nu mai este necesari.

Dac[ A:0, atunci sintem in una din situalii le:i) a:a1:0 (ecualie cu variabile separabile);ii) D:r1:0 (in acest caz solutiile sint

' -:I i{ ' ':r] orl:J t d r l + . r ,

i i i) a1:01:0, a+0, b+0 (ecualia se reduce la una cu variabileseparabile cu substitulia ll :at +br +c) t

iv) a:b:0, a1+0, bt*o (caz simetric cu (ii i));

\ ) a+0, b*0, ar*o, \ *0 9 i ar la :b1lb:k

deoalece

i d s_ \ _ ' - t V V e DI . r : i - T ' \ ' r 0 - - \ '

1 5

Page 8: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

(deoarece atunci orl +rr:l -/r(rrl + 1,.f ) ecualia se rednce Ia unu "i uo.ru-bile separabile cu substitLr!ia y==(lr+rr).

Obserrtt l ia 3. Unele ecuafii pot f i aduse la forma omogenA prinsubstitutia xr:u'. Exponentul z este o nccunoscuti pe care incercams-o determiulm din condil ia ca t 'cualia difercnliali. in I 9i rt obfinutiprin substitulia de ntai sus si f ie de foma (tt), cu M 5i N omogene deacela5i crad.

S i se 1P:o f t 'e e rua l i i te :

10 . t r ' - r - te " t t .

Atunci, solulii le ccuafiei inifiale sint:

n(E): i-eE'

Cu-substitulia r':1u ecualia devine

rr ' : - l " ' .t

Rezolvind aceaste ecualie cu variabile separabilctuiie se oblin solu!iile ecualiei ini!iale:

r: * n ln c,, c € p, +oo[, I

r : - l l n 1 u 6 1 , 6 = 1 - o , 0 [ ,

I f . 2tzr' :tz 1_r2.

Solrrfic. Este o ecuatie de forrna (*). Cu substitutia r:ru aceasta

devine (pentru t t0) , ' : (u : : l )1 Rezolv ind aceaste ecuat ie g ls im so-' 2 1

lu!ii lea : 1 , t e l _ o , 0 [ ,

u : l , t e p , + c o [ ,

u - u ( 1 , C ) : l - j - , , C > 0 . f e l r ( i : 1 . 2 , 3 , 4 ) , u n d e f , : l - - , - l l ,I n C l l J C '

1 , - l r , o { , / " : l o . 1 r . r , : t t -C - c ' ' - ' +co t '

16

Ecrrrl ia este echir-aleutir cv t ': i l-e"ft car€ este o ecualie

c r r i ;R - lR de f in i t i p r in

gi levenind la subst!

x : L l e R :

r :1-- ! - - , c>0, te I . ( i :1 , i :4) ,

ldcl t I

1 t -l-.. 6".5 1e I, u f,r : l r n c l r l

, I o . d a c i ' l ' o ' i c - o l ,

I r . d rLcn t ( { r

J : I- l t - - - , d a c ' t 1 e 1 1 ( C t r r '( lrrcl

I t - 2 ' . t = 1 ,r - l ln( - L / '

I t , , > 0 ( C > 0 ] .

Desigur ali observat ce solulii le oblinutc cu ajutorul ecuafiei in u,definite pe l--, {, p, +"o[, 1" 9i f' au putttt fi extinse 9i cuplatein punctu l l :0 .

Obsaualic. ln exercifii le care urmeazi vom proceda formal gi vompreciza doar forma solutiilor, firi a mai specilica intervalele lor de exis'ien!i gi eventualelc extensii in punctele singulare. De exemplu, in exer-eiliul de fa!i, am putea spune simplu cI solufiile sint

r : t ; r : t - - ] j - , C. ' ,0 .h c l t l

invitat sd p|ocedeze t iguros,

l r ' - r==(1+r) ln l t i .

Solulie.

de t ip (EO)

1>_;

It < -

C

Cititorul insi este

J r2.

Solulic. Ecualia este cchivalenti cu r: '

+(r +f)m [t

+:)'

Cu substitulia (c:/ry' aceasta de'ine\---l

u' :a 11 1a) lD (1 +r) .t

Rczolvind accastl ecuafie 9i releli ld la substitrr! ie gisim solrr! i i le:

c : t (ec ' -1 ) , CeR.

W,W*'Fl- l l l*95

t - c-d. lt0l

Page 9: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

t'*.u,,"

f ornd implicitd)

1 rn.

(4t -3r)dt F(2r -:Jr)dr:0.

o_ccuatie de [orma (*). Solulii le sale sint datc (subpr in ( r - l ) ( r - -21) :C, CeR.

tr'-r-Y1/fii

Solulie.ec r r r t ia

Cu substitulii le l"-. r +2, s:f -3 pi apoi y:s1 se obtine

du

d3

u(1-f . xg)

( 1 + u ) '

ln final se oblin solufiile

r+2:Ce-b'a '#r, CeR.

18. (r +1-2)d, +(t - r -F4)dr:0. \\

Solttlie. Cu substituliile s:1+l Si g:r-.1 ecualia devinel(s+Y)ds+(. \ -y)dg-0.

ln filal sr: obiin solrrliilc:

r r pryz [ [ ' - L1z- : ' " - r l , c , ceR.' l l r + r t , . . r J

- ' - - - 'n

t I rOJ (21+r+t), t / r41-t 2-r.- 3)d.r:0.- v,Solrr/ ie. F'acern substitulia u-:r+2t. Se ob[in soluli i le

( r ' l -21 1)c ' : r "+ r = 4 . , C€R.

t ( .20 . 13( . r ' l ) . , r .

Solulie. lncercdrn sI aducern ecuaiir )a forrna (*) cu substituiia,

:3 '_ . S" ob f ine ecr ra f i r in u :

ola 4-1u' la uzo

rraLe este de folua (*) daci 3f(z-t)- 2a:4, adicl c:2. Rezolvindccuaf ia in u (cu a :2 ) :

' 2tauu' la : tr '

5i revenind la substitulia f:u2 sc gisesc soluli i lc ecualiei inif iale:

r:r2; r._-r?fl -L-.|, C -.0t rn c l t l ,t l

zt.

,----..So1rr/ic. Procedind ca in exercilitl precedent gisim ci substitrr!iaq 9transforrni ecualia iniliali i ltr-o ecualie de forma (x). ll final,riFFfi,, rn 56lu1iilq '

, . ' o

Sohrfie. Este o ecuafie de lorma ({-) cu solutiitc

\ . r : / ; r : - t ; t q 1 / a z - 1 t : C . C . R \ { 0 } .

15 ' , ' . 2 t - rl+2.- 5

Solr r / ,e . Este o ecuaf ie de forma 1-** '1 . a : l ' - t

l : , *0. , r . -I l 2 l

temul alqebric

[ 2lo -.r'a tl

I[ /o ]2ro _ir ,0

are soluf ia lo . -=1, t " :2 . Cu subst i tu t i i lc'

I Y:' -z'?

I r r _ lecrratia datir dcvine

dr : - r j Ids .\ 1 2!r

Aceas lu s t r l zo l r i r c r subs t i t t r l i a 17 r r i s i se oL t in so lL r l i i l e

(rr2 ari --1)s: - C. , (l € l j t

Revc l i rdu-sc Ia suLs t i t r r f i i se g iscsc . , r l r r l . i i l e ccua l ie i in i ! ia re :

t'2 --12 llx -itr.-- C, C eR .

(r -1+2)r '+l -a -1:0.

r - t - 1r " l ( c ' l r l \ a l cn l i r | l ? ' - . - : - - - : - - - - - ca rc se l ezo l r . d

, - t + 2

oblinindu,sc in linal

(x -t)2 +4r -2t =--C , C e R.

.'-- z{-::tLl'.I t r - r - I ,

_ 1 6 .

.(iolir / ie. I ir:rrat ia

cu sdbs l i lu l ia r . /== .1 -1 ,

1 t

2t'4t--4{i.

Page 10: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

I

t t^/ ' t; t:t/ .,: t; in t: J1,/ i - l .-.t, C -.r).

2 ! . (12 , r '2 1 ) r " - : 2 / '3 - 0 .

So lu f ie . Subs t i tu l ia r ' - r r 1 adr rce ecuaf ia la fo ru ta o rnogen i ( * . ) .S i observ im c i p r in aceas t i r s r rLs t i tu f ie se p ie r t l c so l r r ! ia ; r ( t ) ;0 . lnf ina l . so lu f i i l e ecua{ ie i in i ! ia lc s in t

_ L 1 ; . 6 e 1 1 .I t ' " "

4r'\qP 21' t '1 ' " \ ' / i t+ '

Sola / ie . Cr r s t rbs l i t r r t ia r r . :12 . r2 r .cua ! ia sc adr rce l r Io tma r , rno : Ie t r ' r(x ) ia r aceas ta d in u r rn i se l rans fo l rnd in t r -o ccuat ie c t r ra r iab i le sepu-rabilc cu substitufia obi;nuiti u:/U. Er.ident se poate fact t l irect srrbsti-t r r t ia y :1 r2 . So lu l i i l e s in t :

r ==0; 1 r2 :1 ;

:j'. ICUATII DIFIjI$l\'l'Itt,l] LINIARI.: DH OnDrr-t L irll it

Aces tea s i n t ec t raJ i i r l c f o t r l a

(EI , ) :r' ' = {l(l)r l-r(1).

unde c , / r : l /1 , / r [ cR-"R s in l con l i luc Pc l1 r . 1z [ ( rn iug in i t sau nu)Dac i r : r ( l ) , 11( l< / , cs te o so lu t i c pent ru (E I - ) a t r rnc i ln rn t t i t ind (EL)

cr exp(-J a(s)ds), unde 10 este arbitrar in l l1, lr[ se obfirt '

- ' !^"o'. r ' ( l ) 1 . - / , ( l ) r ' " l e y i . , " 1 .

IDeci

Jcir),r . r - J"r"ta.(+ l r ( l )=-e" ( ro+Jl r ( " ) " " d" \ . f e l / r . 1g[ ,'. Irunde eo este urr nunir real arbitrar, Reciproc, se verifici ugor cl oricefuncfie z r(r), /ell1. 1r[ dati pdn formnla (+) este solulie pentru (EL).De fapt forrnula (+) erprimi solulia ecuafiei (EL) cu condilia Cauchyn( to) : .10.

?0

Ohscrwlie. Uucori este Inai conr etttLil sir folosinr utmitoalea forma; , f , r r r r r r l r . i ( { t )

(+ rlis) ''9_=::{:llll:"Jrq}_-1,":9ll

cr r lo r rvc r r ! ia cn J c r ( f )d l es te o p l i rn i l i r i f i xa t i a fu lc l ie i a :a ( l ) (aceea) iin arnbelc pozil i i din (+ bis).

Sd se i lr leqrc:e etuuli i le:

. r ' + . r l q l = -cos I

Sol r r l ie . Not i r l c r I t ( l i ez l i l te l la l r r l I . - l h r , ; +k? ! [ .

Ec rralia dat.ir estc l iniari

iDten al 1r ectttt!. ia aIe

c r r a ( r ) . . - - t s / r , ( ) = l . 1 . / * . P e l i e c a r e

sol rr!ii lc

z .[[ -r: -r"r;r c - o

r r lde lo cstc a lb i t la l in 1r . ! i ao at l - r i t l l r i l R. I ' r i r r ur tnale so lu l i i le s iu t

r : C o o s t l s i n l , C e R , t - . 1 , ( l : e Z \ s a u , s i t n p l t t ,

r : C c o s I s i ; r / .

:5. r' +21:':. .2te-1'.

Solrrlie. r:r'-'�Jro' ' tZIu-" "rlrot41, 1e13

s a u \ "\ r : ( C + t 2 ) e - r ' .

l ( ; . i . r ' - - f . , ] - r i3 " , ' ' / .

Solrr/ic. Ecualia se rnai sclic (pcntrrr /10)

r':f- .u -i 12 cos l.I

Solufi i le acestci ecuali i ( l i l iare) sint

, t+ , - - , f+J c " ' J l l c o s l ' e "

adicn dl, pentlu I e I - co,0[ sau I e p, -1- m[,

- J t I d , i

r = ( ' r o [ r r - , . |

3 l u ' "r r l

2 l

Page 11: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

r : / ' � (C- j -s in f ) , 1e l co, Q 9 i

r:12(C lsin l), , € 10, +oo[.

Pentru ccualia initiali solrrfii le silt

r : / ' � (C*s in l ) , I eR (CeR)

27. (s in ' �x1 l c tg e)x ' - 1 .

Solu/ie. Ecualia estc neliniard in z. Ea este iusl liniari in l:

J!:t ctg x 1.sinr:rdr

Aceasta din urmi arc solulii lc

l: (sin :r) (C -cos c)

(evident pentm re]kr, ([f1)r[, i 'eR) cale silt solulii (sub forml im-pliciti) pentru ecualia iniliall

(28. ) (2e ' - r ) r ' = l .\_./

Solufic. Ecuatia cstc liniarl in /r Se gisesc solutiile l:e"-tCe-'.

29. ( l ' -1)c 's in r+2t cos r :21-2t3,

So/ulic. Este o ecuatie liniari in y:cos.r:

c ' - :+ Y+2r (pent r ' , t€R\ { -1 . l } ) .

Astfel, oblinern soluJiile:

cos r : ( t2 - -$ l ln C l12- l , C>O.

Evident, solu[ii le sint date sub fonni impliciti ;i nu sint precizate in-tewalele de existenli.

} . l r l - : I l l L l ' l r - l - l - L l

0

Solufie. Este o ccua!ie integrall. O solrrf ie a irccsl.ci ccuafii insearnndo functie continui :z:r(l), /elp, care verif ici idcntic ecuafia. I i,vidcut,, va fi atunci derivabil i cu dcrivata continuS. D1g1 a:r(l) cste solulicpentru ecualia integrali, atnnci ea ra fi de asemenea solutie pcntru ccua-fia l iniard (obfinltd prin derivare)

integr-ali. Dcci,

Solu/ic. Se lalioleazd ca ir excrcitiul precedent, nurnai c[ incazul de fati ecuatia se derivcazi de doui ori (oblinindu-se ecuajialiniari r':r*sin1). In final sc glsegte solutia

c_ - _ r , + s i n I l cos t , I e lR .

2

? 32. Sd sc arate cd existd ct solulie gi numoi una singurd a ccualtea

Q tr,. (2tz+tb +t2ctre urz limild finild penlrLt t - q .

Solu/ie. Rezolvind ccrralia gisim solufiile

. r . : t ( / , C) : /c , t (C+ je- , '<1s1, r=p p3py.o .

E r i d t ' n t , dac i ( l - l - J e . t d r 10 , a tunc ia

lnu l r (1 , C) | : *oo.

Pentru C: -Je-.'ds se obline solulia0

ar1;y: -ter, ie-,.ds, 1e tR.

Cu regula lui L'Hospital sc arati c5.

l im e* ( l ) :

forrrta

; r - ( ,e ' l , 1eR.

c[ doar pentrrr C:2, r verif ice ecltatiaecua!iei iutegrale este

r - 2er -1, , .= l l i .

I t

[ (l -s).r(srcis f r(s)ds + sin t.

adice r este de

Se obsen i apoirunica solufie a

z:t

2

22

r ' : r '+1 ,

23

Page 12: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

I

Q) Sf * gdseascd solulii lc ptohl.mti

| [ ! r r ' c o s 1 - r s i n - ] - - 1 ,

I ' tI l im c(f)-0.I r {-

Solufic. Rezolvlnd ecuaiia dati se oblin solutiile

r'-: (. cos 1 4";n 1, I ; 'oI t

r : c cos 1+ . i n 1 . l <o (CcR) .t l

Atunci, evident, solulia problemei puse este

r:s in l , I >0.t

3{. Fic /d0, {co[ -R o firnclie continud ast fcl

. l im /(l):0.

Sd sc demorctreze cd orice ,";:;, " ecualiei liniarc

r ' + a r : l ( t ) , t 2 0 @ > 0 )conueroc la zerc feltru I -oo.

Solrrfic. Fie t-r(t), t>O o solulie oarecare a ecualiei date,t

r( t ) :e " , [ r . ( r))1J e." / (s) ds] , 1>0.Atunci, evident,

x ( 0 ) l + J c o r l / . , ) l d sI r ( t ) l< - - - - - i -

, t>-o.

Daci f este astfel incitJe.' /(s) lds< 1. .'a, atulci din inegalitateaa

de mai sus rezult5 clar ci c(l) -O,!pentr.u lroc. ln caz contrar, adi.,

J u" t i ( " ) ds: +m, se a ju i r (e la concl r rz ia t lor i l i r cr r r .egula l r : i L ' I l os-a 'p i ta l , fo los indrr -se ipoteza c i r / (1) -0, pontru L: . .

35, Sd sc aral. cd ecua[rda

r ' : (1 acos t )e . cosr l

u in t i l c o so lu { i . per iod icd L ln ic i .

Solufic. Solufi i lc ecua!iei sint

r : . r (1 , C)= ( r+ ! l ! ' (C__ J . - ' - . ' , , " cos2s ds) , CeR.

, ^ ' tI l r i d c r r f p o t r l r r t C . / I e

' ' n " , , ) . r ' t l ! r r \ , t r la

l im l r (1 , C) | - -Fco

( lec i , pentnr accs t i C , r ( / . ( l ) l r r cs tc pe l i<x l i c i ,

I ' en t ru C J e - ' - ' l n ' co \2 ! ds sc ob ! i t re so l t r ! ia0

. r ^ ( / r J t ' ' r " : s ra ? r , * 2 i coq2 { l+ { ) ds0

care es le pcr iod ic i , cu per ioada 2^- .

1'. I iCU,\' l 'u l]r i l lNoULLI

Sint ecuafii dc f olrna

(EI f ) r ' : d( t ) r +r( l ) . lc ,

r r r l l c ' t , l : l / 1 . / r [ c R . ] R s i r l l t t n c t i i c o t r l i r r r r e i a l e = R \ { 0 , 1 } . ( C a z r l i l e' o s i r 1 a r r fo \ t dc j r s t r rd ia t .e ) . Pen l lu in teg la l r la r rne i ecr ra l i i (EB)s t ' Io loses l ,e sch i rnba lea{1 / . r1 'a ; o l ) l in iDdu-sc o t ' c r ra f ie l i r ia r l in necLr -Ios f l a l / .

in leqre :c c tu r r { i i Ie

J / : . I r fos 1+42 cos I

e . Es te o ecr ra l ie Bcr ' : tou l l i ' c t t z=- .2 . Sch i rnbr t lea t ; . - r l ne

ecrr ali a

y ' - -4 coc I . cos I

adici

\-7Solrrl i

co r : r l r rce la

Page 13: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

]

,

IT I: . :

i

a

r' t

I

a

t5t

I

5II

ia;

37.

Solufie. Ecu af iela ecual ia

care are solutiile

Ecualia in y are soluti i le

y : ce- ! t ! t -1 'Prin urmare, funcli i le

r , - - :_ , ce l -oo . 11gp, a -1 , r= re ;a€ r ' r i I

' r - - - ] - t l - ' l t ' J r ' ( k c z ,. , . , , n , I L . J

unde fr:]arcsin (ln C)-f2kzr, arcsirr (ln C) f2(/r f 1)zr[, sint solLrri i alee c t r a ! i c i i n i ! i a l e . I n p l r r s , r ( t l = . 0 . 1 € R e s t c s o l r l i e .

Obse )alie, Ecralia dati se poate de aseDrcucil lczolva ca o ccualiecu !a abile separabilc.

lc' {r: -. l5.rict: 0.

Bernor r l l i cu r :3 . Sch i rnbarca y - r -2 ne condnce

I rl 2v +2t'et tra

a:12(C l2 lz t t 41gt -1 - .1cr ) , C€"1 i . le lR .

Atunci, fLrnc!i i le definite prin

. - + - J , c . g- tJ L Tz l r r ' - l l e ' - | "

(considerate pe inten'alcle deschisc pc care c*plc.ia are se!s) sirt iolrr! i ipen tnr cc r ra l ia in i l ia l i . ln p l r rs . ru r r i uv t .n r so lu ! ia . r ' ( l ) :0 , 1eR.

l j8 . , r ' . 21 t1 / i 1 ,1 , . .

Sola/ic. Ecua!it ' Bernoull i cu a:1 12. Daci r esl' o solulie nebanali,a t t rnc i y :y ' i r e r i f i c i ecua! ia

f u' :2!l ), t2,

adi<:it, 1/i cstc dc folma

1 / i== rn tc I r | , C>0 1 i I> .1 /C s r r r f 1 - t /C .

Deci, solu!iile ecualiei ililiale sint:

r . : f hPC l t | , C>O, t>1 r lC ,

r : l a ln lC l l i , C>0 , l < - l l c ,

26

r '.=t), 1e tri.

: i9 , , , ' i 1 : - i .

Solu/ic. Ecuatie Berlroull i c1 a: -2. Sotuli i le sint: .:1[C+i t

1 ' l t l r r .

Ce l l , pen t l r r I parcur . { i ld in te rva le pe (a r . ( ' . r r r r rsc a r r r r l caz l

. i c n t e n u c o n l i n p u n c l u l 1 . O .

r . 40 . e ' /3s in r :h ' - 2 r .

. So lu l ie . Cons idcr i r r r l 1 , r / d rep t f i rnc f ie r recunoscr r t i (de e) se ob-l r n e o c c t r a l i e B c r n n l l i i c r r a i l . S o l r r ' ! i i l e s i r r l :

1 :12 ( ( i - -cos r . ) C € R

(acL\tea sub formi irnplicit i si f i l i a sc pnciza irterr alele tle existenli)s i , in p lus , so lu l ia bana l i e -0 , 1eR.

I 11 . t ( . r I l ) . r ' -1 r r ' - .1 , ( , r+ l ) r .

So lu / ie . Ecua! ie Bcr lou l l i in I cLr c . -2 . So lu l i i l e s in t :

r + l : C t + t I n l t + 1 l , C c f t(cces tea sub fon l r i in lp l i ( i l r i r s i

r : - 1 , 1 € R .

; . LC tA l t r l r r t u f f i .rA,ryjltrti!!$g!-

Fie ecuatia

(ED' I 'E ) 9 ( / . : , i f l i ( l , r ' r r / :0 .

u rde g , 1 t :Qc lR2 ' l l s i r t co l l i r r r r t . (Q cs te o u ru l l i rne desch is i ) ; i cx -presia

9(t, e)tt1-| /r(1, .r.) dr

cste- o diferenliali totall exactir pe O. Cu altc curirte, eristl .F.eCl(Q)a-:tfel incit

( * ) ! ! - r t . , , . , , r 1 . r t ' tb !

, - t r , ; l r - / r ( r . . r ' ) , ( r , J ) e t t .

I r r p lus . se p lesupu l te c i / r l0 pe O.

,, tl; '

t

Ir l

Page 14: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

Drc i r r : r ( l ) . r . / ( t rn i , le t r r l ) t s le o so l r r l i c pent ru (EDtE) '

r t u rc i

(lrr(1, rj =0 adicir 1;(1, r) f l ' /e I '

u r lde C es te o co t ts tan t i t rca l i l . I i cc ip toc ' r ' c la l ia F( l ' r '1 :C (CeR)

tlcfinc5te (confolur lcolernei frttrc!i i lol irnplicite) o frrnclir ' r '=r(l) Pe un

aturnit interlal, cit l l estt ' soJrrfie peutnt (l lD'f11) pe act'st interval'

t r Ia i 'exac t , pcn t t ' t t f i t ' ca le ( /0 . r0 )€O. cx is t ! o so l t l l i e l ru ic i r ' r : r { l ) *

ecr ra l ie i ( l i l i t ' l i ) , r l t f i t r i t l i r r t r ' -o vec i r i t ta tc a p r rnc tu lu i lo ' care le l i f i c i

i l pius corrrl i f ir .r(lJ ro. I it i t lcnt, aceastir solulie este definit i de

relatiaF(1, t): lr(l ' ro)'

Pcntrrt aplicart ' i t lcoltrrrl i frtncIi i lol irnplicite s-a lolosil coldil ia cheie:

tr +0 pe l).Petttr,, r vedea tirt, l o ecttalie este ctt diferenliali totalir cxact*

se poate folosi trtttt i ttolrla tt:oreiuir t l in attaliz6:

Teorern{. Se presit2ttne cit {l e;!c un tlon:r.tt irt sitnplu conr'r f i

do/d..-. dlr/dr erisfd 9i sirrl ronlinue pe Q 'l l trnri ' cnndil io neces(rd ti

sttrf iciettt ir ctt e.,*Ptcsiq 4(lf-, /rdJ si f ie o l i lrrctrl i 'r l ir tolald eutttd pe {l

este ca

1.x ii\ -1 ( r , c ) $ <r , .1 , (v) (1 , r ) ,= ! ) .

De rt.cnrctre(l, conrli l i( (-r+x) es[c neccsru i si suficicn&i r:tt irt!eqrulelc L:urit i '

l ini i J rr<lf f/rrlr, crr ,4. R puntle arbihare In I ' sd nu l ipindd ie tlr m"

(irnrlt irr! ir ' I l condi!i i lc [eort'ttrci, fttrtc! ' ia F ':stc rlati Ptin

l

/ i i 1 . , i { a (s . . r 1 , l s { i r1 t , , . i )d i "=

t . .

' J o(s, .r,,)rl 's ' J irlt i)tl i

u lde ( / 0 . . r ' n ) us l c r t t t l l L t t l c t l r b i t t a l i t r O .

Fat, l( tr i l i l r ' ! l laIr l . I lnt 'or i o ecua!ie de It-r lmir

( E) qr1. . r ) F i r ( / ' r ) r ' ' - 0 '

, . r . r r f cs te oxrc t i r , poate l i l ra .ns fo rura l i in t r -o (EDfE) p | i r r i r rmu l l i l ea

r rr rrrr asa-nrrtrt it [u:tot integrunt, si ziccm p(1, r) cu p(1' r) 10, (l ' r) e O.

I ' r r ' s t r l r t tnem, in p lus , c i 'PeCl (O) . Dac i r ne p las im in cond i l i i l e teore tne i

rlc nrai sus, condil ia (*x) pentru ectralia amplif icatd se scrie

+-!+ (1' r)eQ

( "1 ) t , i ! - t ! -p ( - -L \ ( r . x )ee .A t , r b t t

[)1i]r uIn]ar.c. dacii pUter[ ohli|c o solulie p:p(t, e) a ull imei

t r r r ' i i r rs l f t ' l l nc i t p l0 pc f ) (sar r pc t tn subdomeniu a l lu i O) ' a tunc i

eur ra t ia (D) es te redus i la o ecr ra f i c c r r d i fe rc l f ia l i to ta l i exac t i pe Q

( l ) r ' un s r tbdonreu iu a l lu i Q) .

Voru amiu t i dou i r s i l r r r l i i no tab i le in care p poate f i de ternr ina t :

a r P r c s l p r n c m c i e x p l e s i r

f [ -eS- - -4 ] ? { l ' ( in l , , t )c r idor t i de } ; ./ r t l r A t )

, \ l r rn t i se poate de termina f l c to r r r l i l l cg ra l t , c = 'p ( l ) ( indcpe l rdcn t de r )

ca so lu - t ie a cc r ta l ie i

f er r ' ; 'I ' r P r e s l f r r r r . t t r r , i l r p t e s i l

1 l , t i a l- l : - :

- l - ) 1 r ) ( i nde i , end , ' r ' l h dc l ) .3 t r t r r t

{ t unc i , se poa l c i l e t e ;n , i na p ca f t l r l c l i e n t rma i de r ' ca so lu t r i e a ecua l i e i

d c . ,

;i: ?(r 'p'

Sti se ir elye;e etLtuli i le

( ' ,2 ) l \1 r ' l . f r l r r . . l1 - i r ) . r ' { r .

Jo lu f i c . Not i tn 9 (1 , . r )= l i l r - - i r ' , i (1 , . r ) :21 (2 t - i r ) ' (1 , r ) e= I l r '

Ecuafia este o (ED1'E) Pc Il!. cltnrtece

'g - i ! : { t t - t c , , r , ( t , r . )E f i2 .br Al

7

29

Page 15: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

Prin urmarc, cxisti F e Cr(Rr) care verificl sistemul

!! : 8r t -i ", 9! - 2t(2t _ni'tt')'0t dx .'

lntr-adcrlr, din prina ecualie a sistemului urmeazl ci

F(t, r) -4tzx -Str' $ P(t).

Funcfia g:9(c) se determiui din condilia ca F si velil ice a doua ecualie

a sisternului.

q ' ( r ) :0 .

Astfel, una din fr,',c!iilc F estc

F(t, r):412r -5txr, (1, :r';- 1tr2.

Deci, soluliile ecuaiici date sint

4l2r -11t2.=C.

sint t late sub folmi implicit ir; i f ir '6 precizarea intervalelor de

3l(l +2x!ft l12.tit l1!2 | 2,rzldr- 0.

.Snhrfic. Notir

q(I, x)- ' :"1\l-r '21)). /r(1, e)' 2r(312^f2r2)' I lcualia

e..te o (tr1)' l l .) ) pc R2. deoarecr'

9: lL:pn, ( t , o) e 1tr2.Ax At

Deci, existi p e [r(fr'�) care verilicit sistemttl:

L:0, tL:n.a t - ? r

Din prima ecualie a sistemulrti obfilem

F(1, r-) .:13 f 31'�r: i9(r)

Functia o: @(r) se dcterminl din coutiil ia ca .F- sin e ril ice a doyd \uatiedil| i istem.

';dicr: q'(x):4c. Deci, sohliile ccurr{iei inifiale c4tdate

(sub f orml implicitl) Prin:

J4 j-3rx1r '|/3. (;.

i ) | , I - i i , 1 1 , [ - - , . r - 1 ] 4 . , . , , .( : 1 ' , , , . . ; ) ' , . , ' l l " ' I , , ' * 1 r i : , ' " 1 -^ r i

30

Sof r r l ia . Es te o ecua!ie crr difercnliali lotale execti. Solu,ti i le sint:

t/ t, +rl +n t.r I i-1==6.

r(er'-41) dl +(e', -21)d.r =- 0.o ecualie cu diferenliali totali exacti. Solufiile sint:

e t ' - 212 t -C .

/ s i n 2 l . , \ , . / s i n z l \ -l - + l l ( l r -F l x- - : - - : - ldx-0.l . r / t e ' l

o ecrralie cu iiferenliali totali exacti. Soluiii le sints i n z l , l g + E ,

x 2

47. (1 -)rr)dt -1-tr(r l)dr::0.

Solu/ i€ . NotAm g( t , r \ :1 t tzx, h( t , z) : t?(p t ) . Avem

+t3!-_!!_l:_3. pentru l+o si r*1.h \ a , a t J !

A l r r rc i . co l fo rm c ons ideraJ i i lo r . l { .o rc t i cc , se po t lc dc tc r . rn ina u l l fac lo ri r l c r l ra l t p= ,p( l ) , ca so lu l ie a ecra t i r . i

#- *i'I )c exenp lu , se poatc lua ca fac to r in tcgra l t eUt ,L .

As t fe l , ec r ra { ia

( f . )0,+1..- , ,u. :0,cclrivalenti (pentru t+0) cu cea inifial{, este o ecrratie cu diferenfialEIolalI exacti. Rezolvind-o gdsim solulii le

*-"-I:"lrr plus, ecuafia il i l iali admite sohrlia t(r):0, r €lR.

.1E. (l sin cf.r cos c)dl -f(1 cos r-z sin c)dc:0.

Solrr/ic. Proccdind ca in exercitiul precedent se gdsegte factofulItrlcgranL p(r):e'. lnrnulfind ecrra!ia date cu acesi Iactor inlegrant

: l l

(l,-

Solrrlic. Este

46.

Solu/ie. Este

Solulii ledefinitie.

t"

Page 16: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

sc obline o ectralieexactl. In final se

r e ?

echivalenti, carc, in plrts, este cu dilelcll iali totali

obfin solLrl i i le

et(l sin r sin .u +r cos .x): C.

2.rdf f l( ln f, - l-2 lnt -l )da:0.

r (2 l r r I i - ln : t 2) : C.

x2(21. 3,r) l (7 -31.r').r:':0.

ca rlc olricci, u(l, t1 -.. t:2(2t '-3.t ), /i(1, r).-7 31.r'�

)

' t l

I

I

I t

I

Solu/ie. Plocedind ca mai inairte se gisegte factorul integrant

, r (11- ! . Ecr ra t ia da tn mut t ip l i ca t i cu acer l fac to r in tegran t dc ! i le' l

o ccrra[ie crr diteren!iali i totalir e\acti. Lrr f inal sc oblin solrrl i i le

' ev'Solufic. Nolr'tm,

f)i oarece

1 | ,tt ,lt'l :.1t r l ; ; J

' - - a ' pe l r r ' r ' r +0 9 i 2 ' -3 r ' ' { ( r '

rczLr l td c i se poate de termina un fac to r in tegran t p p ( .u ) , c r so l t r f i c aec ir a!iei

P== ap.

Dcc i , se poate l r r r p1 r ' ) :1 . lnmt r l l i n t i ecua l ia da t i r cu aces t fac to r

intcgralt se obfine o ecua!ie echira]entir, (pentru rl0), care' iu Plus,eslr: cu diferenliall totali exactir. Prin rczolvarea acesteia oblinemsolLrli i le

t2r _3tr2 _7 : C.t.

(care sint 5i soluti i pentru ecualia init iali). I l plus, ecuafia ini! ialIadrnite solulia banali (r(l)=O) care s-a pierdut prin inmulfirea cu fac-t orul integrant.

51. (r 'f 1)(.r ' cos , +cos r) *(sin 1-l sin ;r -e2 sin I -

-2lr cos r -lrzsin s)x':0

Sohr/ i r . Not5m

q(1, r ) : ( r r * l ) ( r 'cos 1 ic .s r r )

ft(/, r):sin | -1 sin r -e2 sin | -2h cos ,:u -lozsin t.

f--,I

Deoarece

l [ a t ' - * , - - 4 ' l p o n l l r . r " c o s l ] c o s r ' l 0 )

t l a t a , J r ' � + l "

se poate determina p:p(r), ca solufie a ecuaiiei

d p : _ 4 r , " .

dr .-ri 1 '

De exemplu, expresia p(c):---1- poate i i luati ca factor integlant.(r:,+1):: -

lntr-adevir, irmll l irea ecuatiei date cu p(r) ne conduce la o ecualieechivaienti care este, in plus, o (EDfE). Rezolvind aceaste ecualie

gisim solu!iile. r s i n / - / c o s r _ / .

r e . l

rezolue ecualia liniard

r '= � c( l ) r f D( l )

52. Sti se

(EL)

prin nrcloda factorului inlelqant. Ca de obicei.

a, A:[r, trf . n *n , continue.

Soirriic. Se colstatl ci sintem in situafia cind se poate determinaun factor integrant 9:p(l), ca solulic a ecualiei (cu variabile separabile)

jli: -a(r)p.

De exempln, putem lua * ,

- Ja(s)dsp:p(r)e '" , 1eft1, l2l,

.unde lo este uu numir lixat in intervalul ]11, l{.

lnmullind (EL) cu acest factor integrant obtinem o ecuatie (echivalent[) cn diferentiall totale exactd. Rezolvarea acesteia ne condttce lalormula obignrriti care exprimi solulii le ecualiei liniare.

56.se determine cite un factor integrant de forma indicatl pentruurmltoarele ecualii qi apoi s[ se rezolve aceste ecuatii:

( . r3 -1)d, +(z, ' � r +1 i : ! -1)dr :Q; P:p( l+r) .

1 . . *

t -

Solrrl ic. l irctorul integrant (dacir existl) r 'crif ici ecualia

.*) (r 'ezi corsidcrafi i le teoretice legate de no!iLr.nea de factor integrant).

c-de 1003 33

Page 17: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

l l llnse

cazul de fa!5 p se cautd de lolma p:p(t+r)' De aceea ectra!ia(*x;)

scrie astfel:

(2t2:t +txz -1) p'(l 1r) -(r3 -1) p'( I -l-r):

:(2r'�-4lr) P(l -f c)

sau(t +r)P'(t+r): -2P(l -l--e)'

Prin urmale, se poate l t ta P: ; l - . lnmul l in t l er t rat ia dat i c t t acest( r+xF

o, se obiitte o ecualie cu diferenliald totali exa-ctl echilalenti (pentru

l - 1 r + o 1 c u c c a i n i t i a t i . l n f i n a l s e o b l i r r ' o l r r l i i l c

t . r ' � *1=. C(r *1) '

ln plus, ectralia dati mai arc sollrlia x'' / ' (ral{' s il pilldutprin

inmullirea cu p,

,54. (31+2r +r ' � )d l +( l +4 l r + i r r ' � )d r =0; p '=: ( l f t ' ! ) '

Solulie. Cu p de forma indicati, ecrralia (-**-..) sc scric sub {olma

(l *llr tF5e'�)p'�(t J-r!) --2r(31+2xr +x!)?'�(i I r!) '-=

:(1 --2r)P(l f .r')

sau( l +r?)p ' (1+r ' � ) : p( l + . . r : ) .

Deci , r r t r tern lua p: l f r2 . Folos inc l rc t 's t facto l i t r tegrant se obl in cn

procederr l o l - , i5nrr i t sohr l i i le :

t3 +th +21:r'�-1 21.13 -hr4+15 ' (--

sau r.

( +r)(t I-r'�)'�= (l '

55. l (1 - r )dt f ( l ' -1 r )dc:0; p :p( [ ' � - f r ' ) '

Solrrfie. Cu p de forrna irclicali se determini din ectralia (***)

factorul irtcgrant p:(lrfr') slz lnfinal' se oblin solulii le t-r-�:6'

{ t'+ "'

56. rl21!sin (l2fr)fcos (l'fr)ldl f l[c sin(t'+r) +cos(/'�+r)]dr:0;

. _ Solulie. Cu ajutorul ecualiei (**.*) sc detcr.rui:ri V .llt2ri.

l inal, se ob!.in solulii le

cos (1, -fe): Clr;

in p lus. ec la l ia dat i mai adl r i te so l r r l i i lc i { l )=0 s i 1( f )=0.-.-.-

0". l:qfT Rr((:AIr..-Forma : tenera l i a unei ecua! . i i R iccal i cs le ut - r i , r - r loarc l

( l l l t ) r ' : a( t ) r - !D( t ) ; l r ;c(1) ,rrnde- {r.. r, c _sint { unc] i i ̂ rcale definite 9i continrre pt, rrn irler.ral (posibilncmirginit)

, l t,. tzt.. n. ln general, o (EIi) nrr si, poalt, intceii princ \adra tu . ' fo tus i .

dac i sc cur roa t tc o so l r r f ie . r ._ f f t ; pcnr i i r ( i lR)aceas ta se reduce la o ec l ra t ie Bcrnou l l i p r i r r s "h i r r i la rca d , : f r rn t t iey-r'-?. NIai departe. ccrra!i:r Bt:r.r oull i in y s., t.r,;,.f ,, i :nre i"rr-"".,,"i i"l i n ia r '5 p r in sch imbarca : , -17 l . Pr . in u rmar . ( ,se poatc fo los i sch imbar .eat l i rec l i e :g -p l care ne conduce la o ecr ra t i c l i l i a r . i - r i r l l cc r r loscr r ta : .

Ex is t i r cazur i spec ia le (cxcept ind cazr r r i le v iz ib i l c l rosr : r r tc t , t r :c ( l )=0 ; r ( t )=0 ; ,1 l , } , e func l i i cons ta l te e tc . ) c ind (E I ] ) po t I i i r r t cer .a te .f )e exe r r rp l r ' . I io

a 1 / y = 5 , l ( / ) i , o ; r ( / r j ^ .- t

: - t . t ' .unde co, lo, r lo sint consta)l te rcale. In accst caz srrbsi i i ' , r t i ;1

. .1(1y=.-1 ;11y

ne conducr, la o ccualic cu r.ariabilc 9,gpalabile.Uneori sc incearci determinarea unei soluli i pafti(. l l larc dc o lr.rn-

miti formi, sugerati de forma coeficienti lor ecualiei.

-. Sri se inlerlre:e urmdtonrcle ecuali i Ritcdi gti:|, l( l r i t lnil soluli i lep r l i ru lo tP ind i rq le '

7 i . . r ' - - . r2s in /+2 r 'n i . . r (1 , - |cos2l (os /

t.I

I

t,I,

I

Solulie. Schimbarea

care are soluli i le

r : - ] . +L nc corr r luce

r ' :2 : tg I +s in /

C cos 1a : - - - -

cos2l 3 qa

,-/l a e c u a ! i a ( l i l i a r l )

,l

j' " +'L)'l'tu\w

'LA E34

P: P(tc).

Page 18: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

Deci, Pt l ingi

58'

Soltt{ic.

59.

SoIulie.

solulia indicati, ecualia dat[ mai posedi solrtii le

1 . 3 cosrlI : - - + - '

cos I 3c-cosdl

(t2 +1)r.' :4tr2 +2,(4J'� +3)o +4ts(t'�+1);

e(t): -1 -t'�'

Procerlind ca in exerciiiul Precedent gesim:

- .- -1 - P )--)--'' ' C ( r r + t ) + 2

l : 0 : 1 ( l ) . - 1 .

2t(1 I\,/ l)r ' +2\t I r ' -r -

' / t - l '. - r - L v '

t t c

se in leqreze ecua i i i [e "

Solrrfie. Este o

In tegr i ld -o Pe

r : 2 t 4+ {c-j""'0"

X' : 12 -t2 +7

o solulie particrrlard este

e'' : ' - c - i " - . t

'

dr' -:x2 +2xet: c2l +et

par"ticulari este 9(/):e,. Apoi, mai glsirn sG.

63.

Solu/ie. Evident,objin solulii le

vL.

SoIu/ie. O solu!ie

Iut i ik : c :er-p-L.

g( l ) :1 . Apoi , se mai

oarectre ale unei

I

t

sd

@

62. a' : a2 l6x -4t2 !ll '

Soluiin Cirutirn o sotulie particulard de forma rrnui polinom de

sradll i l l i i irr f. ln acest ̂od-t" d:;;;;io; solulra 9()=_2r-3' Cu aceasti

iolu!ie par ii 'rirlara- se. rezolva "t"*ii"- nit""ti in mod obignuit' obtinin-

du-se te le la l te so lu l l l :

nt r -ac le r . . l r , c t laceas t i t subs t i t r r l ieseob l ineec l ra f iacuvaf iab i le

,-,, _ _"2 _y3: _2.

aceasta ;i revenincl la substitulie se oblin solulii le

1. . - - :-

r Cl ! tx , , t t

t2 t:' *tr *t2:x2 --4 '

: lr '+.f ' �++:0.

ecualie Riccati care se Poate integra cu substitutia

ecuo l i i de

eslc conslattt.

Solu/ie. Amintirn cE dace 9:9(l) este o solrrJie particulard pentru(ER) (vezi consideratiile teoretice), atunci, cu substitulia z.:.r-g,(ER) se transformi in ecualia Bernoulli

z' :la(t) l2b(t)e(t)lz lb(t)22.

Fie i:r(r) o solulie pentru (ER) distinctd de rr 9i rr. Considerim

funclia y:y(l) definitd prin yi1) : "tD:L:lL. Jininrl seama de faptul

x( l ) - r , ( l )ci z-r1 ;i e-r, verif ici ecuafia Bernoull i sclish mai sus, avem

y ' ( r ) - ( r - x t ) ' ( r - r t - (c - " r - r ' � ) ' -

(jr - rr)r

:D(,)[rdt) *f,(,)]y(l).Pr in u rmale

jou, t,, o-', t,tt o," , \ , .1 - . , , , , _C,eh ; C j +0 ( j :3 . . l ) .cr(r)- rr(l)

-\ceste relali i demonstreaz d rezultatul.

Fie tt t", r", rn palru solutii distinclelip Riccali. Sd se uate cd biraporlul

.r( l)- .rr( i) . r .( l)- cr( l)

ca(r) ,'(t) c.(t)- cr(l)

6 1 .

Snl r r { ie . Procedind ca in exerciliul precedent se obfin solufiile:

, 4 2' '

I '

4 6 r r - t r t

JO

3T

Page 19: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

Obseru t l ie . Dac I sc cu loas l .c o so l r r t ie par t i cu la r i g :g ( t ) pent ru(Etl), atunci. pcnl.ru rczollarca (L)R), sint neces."e dou6 cr.adraturi,d e o a t t c c c r r s c h i n l b a r e o J = ? F L s r . , , l , t i r r e o t c u a f i e l i n i a r i r i n ? ( p e n t r ui r te i lu r lea c r l rc ia s in t l cccs t lc

-dor r i r . , ,ad la t r r r i J . Dac i sc c r rnosc dou i

soltit i i parl. icrlale pentru (Eft), sI zicem rr:s1O Di :rz:rz(l), atLrlcipelrtnr a rczolva (l iR) cste jtccesarii o singuri cvadraturi,- deJarece, cumanr r'.1zut. f rrnctir y - -111, (r-.:r(l) este solulie pentru (ER), distinctide . r r f r . r - ) ' , . r i f i t j o cc r r l l i c c r r var iab i ie separab i le (carc se in tcqrcaz icu { t c \a ( l f i l t r r ra i ) . ln f inc , dac i r sc c r r losc t re i so lu l i i par t i cu la re pent ru(EI l l ' a t r r rc i pcn t r rL a i l l l cg ra ( t iR) 'u n ra i es te necesar i n ic i o cvadra-tulir. ' \ct.st fapl cste o consecinti directi a proprietdli i de mai srrs re-fe l i to i rc la b i lapor ' lu l a pa t r . r r so l r r f i i ,

7 ' . I l : t . \ ' t l . \ ( ; l t 1 \ t ; t : . t : ( j L - l l , t ljl{rRlur. }rE1 oDA prrR.l}rFjfnul,ur ( i i )O eut l i t Laq t Ourc t ' s tu 6 r ,c la t ie de f o rma

(EL.\) ;r.. -19(.r,) f 0(a.,),

unde e . a€( ; r ( / \ ( / { , s1 f r i l r iu lc l ru l a l axe i rea le ) s i , iu p lus ,

?G) 1 fo , ( v )Ea I .Dacd- r . - . ( l ) c " l c so lu l i c pcn t ru (DI .A) pc un aDun i t in te r . r .a l , a tu lc i ,der i r ind ( I iL , \ ) . r ,b l inem (pc " " " i in t " . , :a l ; ,

r' == c(r' \ + t., (.1.. ) x,, ++, (x, ) :t,,. . l r

S a t r . J l r , l r r l | : . r " . o l r l i r r t ' r r t

dt . r ' t t t , , . ' - ' tp ,-:-

<1p t)- . l(p) | ?(p)accrrsti ccuatic (l irriarit i l t _1(p)) gisim

(i) l:rr(p, c) ({_.etR).Atunc i . d i t (ELA) sc ob l i rc

(ii) .t- t:(p, (:). ?(p) ++0?).Relalii lc (i), (ii) rr:prezintir sotufia r scrisd sub formiparanctrui 2). I)eci, orice solulie pentru (ELA) se poaie

Q A

parametrica (i), (ii). Reciproc, se r erilicl sirnpluprin (i), (ii), unde 1:F(p. C) cste sohrlie pentlLr

ar * q,@) t , :!:1p\trP P-';: '-r; ;6'

sat is tace (EL. \ ) .

O ecttalie CIair..tr,/ este de forrna

(ECL) r 1 . r ' 1- .11. , ' r ,

unde 0eC1(1) . Dac i r . : r ( l ) t : s te so lu l i c pent r r r (ECI - ) pe un anumi tinterYal, irtunci r"(11.rJ'(.r ')):0 pe acel interval. Deci. rr] 'a airi situali i lepos ib i le es te i ' :C , ad ic i (vcz i ( l iCL) )

(i) .f _ ail +0(C).O a l td s i tua ! ie pos ib i ld cs tc

I t ':.,'b)I r p i ' t p t+e t t I

runde prin p aln notat J'.

I ieciproc, orice fLruclie de iorma (j) cste solulie pentru (ECL)(pent lu C<I . ) . I )e asemelea , in anumi te cond i l . i i . curba da t i paramet r icprin (j j) cste culbi intesrali pertru (l iCL). .,\sl.fcl, atirmafia are loc daci0" tx is tS i i + " *O.

Frrncli i lc (j) reprezinti a5a-nurnita solulie (inteqmld) oeneraltipentrLr (i iCL). Crrrba (j j) se numette inteqruld sinuulard.' ea nu se poateob{ine din familia (j) prin particul ariz area constantei C 5i reprezintitocrlai infirtulir loarea familiei de drepte definite de (j).

Elidclt. orice arc din irtegrala singulari prcllrnl1-.it cu tangcntala unu l d in cape! , \a t p rc lung i t c i r tangcntc le la ambe le capete cons t i -t r : ie o nou l in tcg la ld pcn t lu (ECL) .

Ob-sert,tt l ie. l letoda paramt'tmlui indicatr'r mai srrs se poate folosiin gener i r l pcn t ru ecua l i i r l c fo rma r : f ( t , , - ' ) sar r pc l l lu ecuat i i de fonreI : f (x , : t ' ) , ad ic i pent ru ecr ra f i i nc rezo lvab i l t ' i n r lpor t cu der i r l ta , darlezo l rab i le in rapor t cu r i ;au cu 1 .

S i rP in lc , t t p :e e t r r t l i i l r :

A!, r : l (1 l ' :u ' ) - i . ( r ' ) r .Solu l ie . Ecua l ie Lag la lge . Toate cond i l i i l e cnumela te in cor rs i t le -

raii i le teorctice sint indeplinite cLr I...R. I icira!ia (e) se scrie in cazitl

ca ottce func!ie dati

II

l r

II

ta

(e)

Rezoh in<l

parametricd (cuscrie sub lorma

Page 20: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

l t , , ,jr de fa!6: ::-: -t-2p.h , . o o, . parametnc p n ( \ 'ez r

I

Prin urmare, solulii le ecua!iei il i l iale sint date

(i), {ii)):

! l:Ce-n -2(p -1)I .1':C(l +p)e-, -p, +2.

"''i, W) r:h'.4<r/4aa.

,,t,- So/rrlie. Ecualie Clairaut cu r!: R* p dati prin tt@f :t/TW.Evident, qeC.(R). Solulii le ecualidi sint (confom cu (j) si (jj)):

l i

Ir

li 'rl ,

l t l

u l

l l r

ln t( itl

t:Ct alrt t ag, (C eR) (integr.ala generali)

( in lcgra la s i lg r la rh) .

Parametrul p poate fi eliminat 9i inlecrala singular.?l se nai scrie subI orma

t ' . - a 1 / 1 - 1 1 t € l . I . r [ .

care reprezinte ecualia sernicercului superior de razit lnitate. Cum erade alteptat, acest scmiccrc este infdguritoarca familiei de drepte re-prezentate de solulia generali (!czi f igura 1).

SoIuliz. Ecuatie Clairaut:

r :Ct+L C6, (CelR) ( in tegra la genera le) s i5

( t: -p,

{ I . ( in legra la s i : tgu)ar5)

\ u

sau, dupl eliminarea

Fi8. 1

r :h '4 ! 6 'Y .

parametntlui P.'

c- t .1 ( - t )5/ . , t<0.

, : ! ' ' '+ r ' .2

,.68. l

S[ observdm c[ orice arc al semicercului lneltionat impreuri cutangenta dnsd la unul din capetele sale sau impreuni cu tangeltele dusela ambele capcte reprezinti dc aseme:rea o curbh intccr.ali I ecuafieidate. De exemplu, funclia

| ,-rrt.,.f- ' +]x ' r ' ' - l

. r , , , - f 'u i lI V' t" t 'y? I 'este dc asorlenea sollrtic pentru ecualia dati.

Obseruulie. Pentrtt ecua!iile Clairaut car.e urmeaze nu !om mentionadecit integralelc date de lclal.ii le (j) l l (jj). De asemenea, nu rom maifigura cnrbele integrale. Lisim accasta in searna cititorului.

,li,

1 . Solalie. Ecualie Lagrange (cn l:!co, 6| sau .f:[, +"o]).Solu$iile sint:

I':i-*'ft-i*i)i 1c 'n1

l,:9-z*1' ++),p)0; in plus, mai avctn solulia r(l)=1, care se oblineunde p<0 sau

lu lnd c ' : p :0.

Page 21: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

t70. r : lJ ,_ ln : r , .

Solu/ie. Ecua!ie Clairaut:

lr =. Cl_tn C, (C >0), I e IR ;i

l ' : t ! , , - _ r / r > o r s a u . i I n r t t 2 r > 0 .I J : r - l n P

71. r : l ( r ' ) , -1 .

Sol r r l ie . l lcual ie Lagrange. Solu! i i le s in t :

I t - 1 [ c , ' - - ] - )| ( p - t i : t r : p ' l

1 , (CeR) ,I . r . - - . l c p " t p _ ' l ,( . p _ t ) . [ . : l p

u n d e p . ' f ) s a u 0 < p < 1 s a u p > l s i i n c i :

e ( l ) = l 1 'c a r e s e o l , l i n e p e n l n t . ) ' - f l .

72. r_=. t , (1+sin r , ) .

Sol r r / ie . Ecu a l ic Cl r i lar r t :

. r : C ( l f s i n C ) ( C € R ) , t e R 9 i

J I "- -si,t p -1) cos p[ : r : _p2 cos p.

7:1. r:(r,), f2(r,f.

Sol r r / ie . Ecrraf ie Lagryrgc. So!u! i i le s in t :

I l _ 2 1 , : , p . I C r r . = r B ,I t - 1 , , 2Pr

; i . r ( , ) =0.

g. :L-:tr' tl(:x'\i .Soliriie. Se utilizt'azir nretocla parametrului. Astfel,

p: ?,' -,31. Atrnci avcrudr

42

I)cci t:t, -12P3 '

dr:pdt:tdp 1p<lt -2tp!dt 3t2p2dp

5 a u

2p3dl: (1 -3tpz\dp,

care este o ecualie l iniari in l: l(p). ln i inal se gisesc rrrmitoarcle soltrf i ipen t ru ecuaf ia in i ! ia l i

( | { ^ t - . il r - " l ( . v t P - r lI p ' t t( ( c € R )| l t

| ., .:_l C. \/ n t t(2 _Ctr p It p l . J

(unde p >0 sau p <0) 9 i i l c l r (1 ) =0 .

F3. I i.r 1 .r ': /11 .r" t.\--..So la f ie . Not l rn p : r ' . , \ t r rnc i ; -1a : - '1 t ! , l J ;17r . D t ' c i

5d . r :5pdf - 2 ,pdp +2r rU +pd l l ldpsau

2(2p -t)dt: -(2p -r )dp,care are so lu ! i i l e

t -2p:0 i i 2l r p - (1, ((l e lR).

Pr in u rmare , ecuaf ia in i l ia l i a le so lu ! i i l e :

t . lJ - - : . l - l t LC l f . ' ' . , , - - . r , .

4 t

II .

, l

It

I rr ;

( i 8 . )

Sol r r l ie . Not im

I) cci

| .. (r')'�[(r')'� -i 2].

, d Jp . : J : - ' . \ r t l l l ( l

1-P' � (Ps f 2) '

dr :pdf =- lp ! (p: 1 1)dp

notdm

P.in Lr rmare, solu!i i le sint

I I tt!,(rr l2\

I - - i , , ' , a 1 , ' 1 r ; . r r l - { t .

43

Page 22: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

II

I

I r

t t . . r ' z -J f , ' +c r - 0 .

Solu/ie. Cu metoda parametrului se gEsesc solufi i le:

x : L2et t2 i r : Ge ' : t r C e R\ l0 l ) .

C

80. nEZOLI'AnBA plllN CVADRA It]-nI .{ UXOn DCUATII DEORDIN SUPtsNIOR

Ecuafii le de f orrna

F( t ,x ( t ) , r ( t+1) , . . . , i . - r , ) ) :0 ( / r <n)

se t rans forDrd cu sL tbs t i tu l ia y : j {e ) in

F( t ' ! l ' U" . . . , t / i ' - r ) ) -0 .

Daci-aceasta din trrrnir sc poate rezoha, atunci se rcline la substituliaI i cu t i E i se g isesc so lu f i i l e . f : J (1 ) . Ma i amin t im c i ecua l i i l e de fo rma

i r ( . r ' , c ' , . . . . x ' i ' ) ) :0

i; i reduc ordinrrl cu o unit{rte crr ajrrtor.ul substituliei r,:p 5i consi_derhrd p drept loua frrlc!ic necrrnoscuti, iar o ar.ipt noui variabil iindependentS.

De rernarcat cI nrai cxistl gi altc l iprrr. i de eclali i de ordin sLrpeliorcare se pot ittecra pdn cr adraturi.

Sd se rezoloe ecuuli i lc :

78. r{a)+i!-{3):0-

So lu f i c . r ' i 3 '= - Cre- '+ ? : ( - ' r - l -a . ' . t + C" t2 -Cp t , CJeIR ( .1 : j ,2 ,3 ,4 ) .

75. 21r ' r , , :1r , 'y: - 1.

. , , Sr , r l r r ! ie . Sr rLs l iL r r f ia r " . : y ne co lduc t . la cc r ra f ia cu r .a r iab i le sepa_rabile

care are sohll i i lc

2t tJ !), : u2 _1

9( r ) = + l ; U (1 )=_ l ;t -C (s2 - t ) , (C€R\ {0 } ) .

r : l+(:1, r- =, l+Cz (C1, Crep;

Asttel, funclii le

t {

' int solufi i pentrt ecua!ia ini! ialit. Cclclalte solLrfi i se oblitt rezolvird(p f in n re toda paramct ru lu i ) ccLra t ia

1 :C [ ( r : ' ) : - 1 ] . (C€ ,R \ i0 ] ) .r (li c:r

I r:c(P: -l ), -| . r - : C p 3 , C 3 1 C = R \ ( l r i . . . . e l R ) ,l 3

sau, c l r rp i c l in t i la r t a pararue t r i r lL r i :

4 ( l {C)3 : { lC( r -C3) ' , (C€R\ {0} , C : r -R) .

De remarcat ci rezolvarea ecualiei inif iale sL' pttea ini:epe 5i cu srrhsti-

Soiu fie.considelind p

rezolva ecua!ia folosinca f lnc f ie de u, ecual ia sc sc l ic

g +L)2 ,2xD lL:0.' ' ' . 1 . . .

care este o ecualie omogenl, cu solulii le:

p'�: t(, +C) (C € lR).

substituJia p: r' si

Revenindu-se la substitulie 9i f inindu-se cont de condil i i le inil iale segiselte solulia (unici a) problemei Cauchv consi.leratt::

m " ' ! 3 r ' t " : 0 .

ecuatia prin rr" se obfine:

( ln I z"es | ) ' :0 i

r ' , zB:C, (C € [ i \ {0 ] t .

.\r ' ind in vedere faptul cr'r prin impiirl irea cu rr" s-a picrdut soluliarrrrlS, rezulti ci mulJimea soluli i lor ecualiei inil ialc coincidc cu mulfimeaso l r r l i i l o r ecuaf i i lo r :

r . , ra_ C, (C e R r .

81.

Joiulr?. r nlparyrno

sau

'2 +(r ' )? -2rx " :0

Page 23: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

I

n

t l ' ,l l

l ttl

I r trd

Cu subs t i tu l iadevin

Plin urmare

sau

Solu lie.de 2, ecual ia

r ' :p 9 i in le lcg i rd p ca f r rDcl ie de r ecuai i i le l ' f :C

d p . ^'

. i r

( r-r; ')!:6ta:r -6'

f '

{ . , ,1 , , c rx2-c (c . c reR) ,L :.t I

clr'r: (c1 +cr), +c

x( l ) -a '3 (Cr , Cr , C3, C€R) :

rs ider ind p ca func l iese scl lc

'-. *---l

f tt" -r'-l2rr.' .f. 1

' 1

Dupi imp i r l i rea c r r 12 ecr ra l ia se scr ie :

{+ l ' (+ .2 } ' sa ' r ? * - - ' , r c , ( ceR) ,\ r , t 2 ) r

adici o familie de ecualii cu var.iabilc separabile. ln final,toarele solufii pentnr ecualia initiali;

l n l -' I r- co

- Xr"*r", ({),>0, c.eR),

' ;],-:416. (G e= R).

84. Sd se re:olue nroltknu-

I U x l . 1 i t . , o

I . f ( l I : . . r " r l r , o .

Sof t r f ie . Sch inbarea de ra r iab i l i / : c r l r . co l rduce la ecua l ia

d f 1 d.. l- : - | |

{ - f ., r : t n : ,

Efectuind acum schirnbarca dc lunc!ie r':e 2r.r r, obfinem ecualia

tl_a: c,,d ; r

in care variabila r nu apale explicit. Astfel, cu o noud schimbare,p : d y l d . . , s e a j n g e l a e c r r a l i c t l c o r r l i r r r r l i n i i i

p ! L : s ! .' d r

Integrind aceastl ecualie, se giise;tc

pz:2e! +C.Folosind condi,tii le inifiale, gisim C:0, adici

{*)' ,"'.t d r . ,

('

Solulie.

gdsim urml-

care au solrrf i i le

S I

t --..; s )

Dec i

sau

:t'P !! -�2t't \n r: P2 '' .l.r

Pr ima s i tua l ie : p-0.+r :C, (C eR).

A dorra s i tua l ie :

d/ , :1 p n2 ln r .d r

p:r ' :e1C1flnrfr

-|' 1tu t; -= Cr.atnr..,z (C, = n).d /

Analizind caznrile Cr:0, Cr >0, Cr<0, mai gisirn, alituri de solufiileindicate mai sus (atlici funclii le constante), urmitoarele solulii pentru

ecuafia iniliali:

1n .___J_, 1f, c lR1,

. ln r: Ci tg (C3l -l-Ca), (C3, C* e P;'

tn I tn c- c"

' :2c5t +c6, (cs>0, c6ef t ) .I In r+C6 |

46

Page 24: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

I

Integrird aceasti ecnalie, folosind condilii le iniliale gi revenind apoi lasubstitutii, se gdseste in final solulia problemei iniliale;

. ,11. -- 2 . /e lo. exp ( l PJn\I .l ' � {1 - :Jz l r r t ) -

cuCLI

I.2. IIODEI,E MATEMATICE ITEPREZENTATEPRIN ECUATII DIFEREN' I IALE

85. Sd se qdseascd loate fttnclii le reule deriutbile :r:a(r), leR,proprietatea cd abscisa pundului de interseclie a ld.ngenlei Ia grtficatr Ot este jumdlatc d.in abscisa punctului de tanqenlll.

Solufie. Fie llf(a, B) un punct arbitrar fixat pe graficulunei funcliiin punctu ll=."(l) .din familia ceutati. Ecualia tangentei la grafic

r11(2. p) cste

r -p :9 ' (z ) ( l - : t ) .

Plin urnare, abscisa pulctului de interseclie a tangentei cu axa Oleste

?'(a-)

Am presupus pentrlr rnoment ch 9'Qjt'}..\tunci, condilia din enun!ulproblenrei se scrie

, - -]-- -,.1,.

Prin urtnare, r:p(l) satisface ecralia diferenliali

t :

" ,

2 x '

pentm orice l€R cu ?;'(l)+0. Solufiile acestei ecualii sint:

c :C1' , leR\{0} ' (C€R\{0}) .

Aqadar, olice funcfie neconstanti din familia ciutatS. este in mod ne-cesar dc f orma

c: Ct ! , te tR. (C€R\{0}) .

Se poate admite ci in l:0 aceste funcfii verifici proprietatea din enunl.

48

De asemenea, se Poate adrnite ci f[ncl.ia identic nuli verifici aceastlproprietat€. Deci orice luncfie din familia ciutati se afli printre para-bolele

a:Ct2, t€R (C e lR) .

Reciproc, orice asemenea Parabol:t are proprietatea din enunt.

86. Sd se scfie ecualia diferetliald carc desuic oarialia cwenluluielectric inlr-un eircuit formul dinlr o hol,tind de iniluctanld L, un rczistord.e rezistenld fi ;i o sursri tle lensiune eleclroltotoare consttntd E, legaletn setie.

Sola/ ic . ' fcns i r r r r t 'a la bol t re lc bobi r ( i , u t ( l ) ' estc d. r t I Pf i r r

ut'.:L!!'dl

unde i (1) este curentu l d in c i rcu i t la I r lomclrLrr i f . iar tens i t tnea la bornelerezistorului, u n(l), este

u n : R i .

tegea a douir a lui I{ilchhoii sc scrie

u t l u a : E , s a u L 3 + R i : D ,

care este tocmai ecuatia diferenliali ciutati.

87, lJn puncl mulerial se miscd rectiliniu cu ucceLetttliu tl:--f(l)( | cofttinud Si'poziliud ) 9i se opregle dupd T secunde le- ln momentul ini'

i i 'rt t:cl. Sd si scric eiialia mircdrii pi sd se nrde cd lungimca spaliului

porcurs ie puncl ln in terualu l de l i r t tp [0 . ? l cs la X:J/ l ( )d l .

Solu/ie. Ecualia mi;cili i este

(E) t": --f(t).

unde r:r(l) reprezinti spatiul parcurs din momentul inilial pinn la

momentul l. Conform enun!ulrri, avcm conditii le

(Cr) c(0):0' (cJ t'(r):o.

Integrind (,1;) pe lt. ?l 5i folosind (Cs) avem

I

r ' ( l ) : t l (s)ds, 0<t<r.I

t 'n

Irt ,

l tl t

I r ,, d

| - c-da r0 l l 4!

Page 25: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

Intearilrd din nou pe [0, T) 5i folosild (C1) gisim

x,,..= ( r) -_=1 ar 1 n"ia"b i

sau, folosild forrlula de intcgrarc pr.i:r pirl i :

7

x:Jli(t)dl. (l.E.D.r A 6\!$ Se considerd in spatiul Or1:r.r. tlrcupla uuriabild

(Dt r2 - . l r , , . r r - : / r ,1r r r1.

ule punclului.Solrr/ie. Elirninind parametrul 1

geneteu2d o suprafald (S),(5) nsl/ef incit acceleralia sadeducd ecualiile de miscare

qisim ectrat.ia suprafelei:

f(.r1, er,. r:") : : Br1 r"r. __rl *2rf; =._O.

acceleralia A.-,i' i -Ft'; j -fri tr sl r.:-iminir in planul taneent

, l ! - r , ; - ' L . , i : t u .crr -

hr, ?r,

Folos i ; r t l , , i rua l . i i l r ' t l rp tc i var . iaL i l c r i ) ) , ec r r l l j i r (11 s ( , poate sc i ie ca occuaf ic i . , . r .1 :

unrle I reprezi.rtlcl lintpul. Aceasld dreaptdUtr pturcl nateriel P se mi;cd pe suprufr.lar itmirre in plunul l(nlent in p /c (S). ^Sri se

8t Doud puncle Pv P, de aceea;i masd m se migcd, fdrd frecore,pe arele Ory gi tespecliu Or, ule unui sistem de ate reclangulare xyot";i se alrat reciproc ctt o forlll tlt mdrime f(r\, unie r rcprezintd distanladinbe I '1 , i Pz (f coriinud ). PLcntpunirul cd cele dond puncte porne\cdin reputs, sd se aralc cd ele ajttnq in ofiuinea O in acelagi l inp, orieare

t fi poziliite lor iniliale (cl, o), (0, r2) cu r?*0, x2+0.Solrr/ie. Firi a se micgora gcleralitatea se poate presupune ci

"9>O ll r3>0. Notim prin c1-.r1(t) abscisa punctului P1 5i prinrz: rz(t) ordonata pnnctlrlui Pr, ambele la momentul l. Forla cu careeste atras punctul P1 de citre punctul Pe cste

I'= : t0) -:! i :n-'' -\/i +&'

ulldc a, ; sint versolii axelot de coordonatc. Deoarece P1 este constrinssI sc rnilte pe Orr, asxprn sa acl.ioneaze doar componenta fo{ei F dupndireclia axei Or1:

FF fo l iDupi k 'gca lu i Nerv ton vom l \ .a

(Er) ^ri. . - ilr)L.

l n mo< i : r r l r lo r l so ob l inc :

( E J n , . r ' r , , 1 1 r 1 J .

Din (Itr) si (E) se oblinc ecualia

q:�'l -r|' r.r:o saLr (cr.r'z --z'r.rz)':0,

llteqrind pe [0, ll qi linind conl rle condifii le inilialc r;(0):a;(0) -.0ipulctele P1, P, incep migcarea din repaus) gdsim:

I

I ,i r

I l

Itr

(s)Cotrtl i l ia cas t sc r ie :

( l )

lnril

( :

( : l l a c s l l : , r ' ( , : , r i i :

I ' r i ; L : i r r i . l i i " . r : , r ioc l cor rspunz i to r ,

' 1: l '1. r ' r ?/! .r i .

I

Bl r ' : ro r r l l i . In tecr in< l - , , r l i r s i rn so l r r t i i l e :

r1. :o; 1, : - l - , (c € t rd|t ( t : _ ( : )

r ' :0: . r ' " - - ] -t 2 + C

. , 1 , . , " = � - - i i - ' 1

' : 1 1 : t 2 r A

' \ '

rp l_ � r i z2 , , . , , , + ( f ) -0 .Pr ' i l t r rn rue

" :t l t ) . +or( l) .

\sL[cl, este cvident ci ct gi t2 sc anuleaz6 simultan (cu altc crrrintei) ' si P2 atlng simultan originea). Mai mult, segmentul P1P, se rni5cI

lrrrlrriel cu el insugi pind cind acesta atinge originea (Inoment in clrt: ser,., lrce la un putrct care coincide crr originea).

5051

Page 26: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

l l l l. Ur) lt!nd rttrtlrrirtl sc niscti itt pltnul .vrot, sul, ec{iutree ufluictnrp rLc forlc ie contpotrertlc

/ , | - ' , . I : , 2 ! : - .r; rr

Sri se rrfr l ini i le de lorl i. (. lnirt l irt: r i o l inie tle lorld cslc o cttt[t i t t:urteste, in fiecue puncl (l r iu. lnngLttl i t 'edorului fortd ).

S t r lu f ie . Ecuaf ia d i l c re r ! iaL i n l i r r i i l , , r dc fo r { i cs lc

ad ic i r , in caz r r i nos t r - r r ,

2rrr2dxr +(1 -ti -prj;ar,:0.

Se potte vedc& ci aceasti ecualie s(, poate tlalslrrrraa irrtr '-o ecuatiecu d i fe renJ ia l :1 to ta l i cxac t i p r in i r r rnu l ! i le i r c t r fac to ru l i r leCra l t

. , 2P : l , / . 1 2 . i l ( l l C i l

: ' , d.rr [f i-, 4l , ' ". n.... I ' .. ., i )

P t i l i l l e { r 'a re sc ob t in so l r r l i i l l

2 2 . .I l ' l : 1 2 ' ( , r ' ) - 1 .

aclici l o familic ,1,, .*r..r,ri.

liiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiil. O barcti porneste la nonttrtlrtl t:O dirttL-un punct Ro de pemalul unui, f luaiu care curge uniform (u uileza uoti tneintie:ti urtiform cuuileza a1 (fald de apd) spre un punct O de pe malut opus. Sd se aflelraiecloria su ul^olr d si l inpul t lt lruucrsrl.e dw:i lerlorul uitezci stlerelali le este conslunl tndrc d spre punclul 0.

So/u/ie. Alcgcrl repcr.rrl .rror:o crr Ocr in clir.eclia 5i sclsul vitezeiape i l i no tar rn c r r . r ! . r ! (e !>0) coor r l ru r r l .e lc punc t r r l r r i R6. Cons ider imba lca ca un p l lnc t n ta te r ia l R( . r r . .u : ) . \ ' i teza abso l r r l i a punc t r r lu i Besre( l ) i r . t . t . f i .

unde i este versorul vectorului 86. ia. i este versorul axei Or1. Notindcu i vclsonrl axei O1'. avem

Pr i l u r rnare , componente le : r ( / ) . . r , : (1 ) a l t ' r cc to t t t l r t i t l r c t i f i c i r cc t r r r l i i l e

dor dc"

l-!t , l t " 1!/.,1 . ,2 ,J! , i+rZ

In p l r rs . r rcm cond i l i i l c i l i l i a lc

(3) r(01-r'!, :rd0):t!.

Din (2 ) sc ' )h1 . in t ecra f ia d i fc rc . r r f ia l l ' r (o rnoc t ' r r i \ :

r,1 L.tlr l ;(r,01/r', 1rj - irr.r 'r )t ir, ().

Inl.cglind accrstir r. ' t uafic sc Qitst'sc solti l i i lc

r . l ' r.,-ra1/ x'.nt'r .t:x" ', ((l .())

'L ' ti ( f"fo/'r 'l

": , l;,,^ --, JIt l

II

ItIt l tl t

l lrI t '

l t l

rd

s a l l

(.1)

l icualia (.1), cu f. ' f ixatir prin condifi i lo i l i ! iale (3), rePlezitrt i ecualiat ra icc to f i c i abso l r r tc a b l rc i i (a p r tnc tL r lu i R) rapot la te la s is tcmul dereferinli alcs. l) in (.1) se vedc cii btlca poatrc atinge prrncttt l O numaidac i r r1>r ro (a r l i c i r rn i r in rea r i t czc i r r ' l r r l i vc a b i t ' c i i dep i t ;e ; te pe aceea ar itezei apt' i).

Pcltru a afla timpul de tlr lclsar.c ',1'

folosirn a doua ecrralie dint - l ) \ i r l ) . rh ' unr lc r ledr rcem:

dr - ' [ 9 , ' , * "=J11 0 . , ...:.r L (.ri)!./', c I

Irl.e{r' ind aecasti ccrra!ie sc giseste

l= - - l ( r r ; r ! , r ! , r ro , l1 ) .

.\trr nci

?:l im t(r:; e!, e-!, uo, rr1).,'.o

ln cazrrl a1g uo sc obline ci ? este infinit (adicir se ajunge la

de mai sus, cE, in acest caz, barca nu poate atinge O). Lisdmcititorului calculul efectiv al lui T.

concluzialn seama

53

i t - � - \ ; - ' "

i

t/{8" 1Q4,'

Page 27: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

f,Z. Un punct mderial de nusri rn se m$cd pe o tlreapld cdtre

, cenlrul O care il alruge cu t"rlo + 1f >0). rrnde t. cste distantrt de IuI. puncl la centrul O. Mi;caren tncepe cinrl punctul se afld la distanla t:a'

(a>0). Sd se afle tintpul rlupd cte punctul malerial eiun(te In centrul O-

rr La momertul inilial, sd zicem 1:0, punctul material se g{seite il repaus' la distanla z:a de centrul O, adicir

93. Se considcr i modelul chintic (propus

, l ! Y . - t Y .

1,.., r ! r f ^ i _ : ^ n

i!,,- rZ -T-^3

- : - ra

k.x1+x3 :- xr+B'

de P. Hanusse )

i l )

(2 )

(3)

(l)

I

IrI'

l t '

l t ,

lnf;rl

Solu/ie. Confornr lt 'ei i Irri Newton ar.em:

mk d2t_ _ _ m _ ,tt dt2

r1o1 . a, 3110, o.d /

Prin urmart, avcm dc rezolvat o problemi. . k

t : - - - - . l ' en t ru a in legra aceas l i cc r ra l i c

Atunc i , ec r ra ! ia se scr ie sub fo rma

piL:_a.dr iL"

Aceasta are solufiile

P2:V*{ : '

Jinind cont si de condifii le Cauchv, gisim

(rY --!-gz-f1'

care estc o ecuaiie cu variabile scpar.abilc. Rezolvind accasti ccuaticgi t inind cont de coldil ia r(0)=.c ci. irn

t-1:'\/ e, ,-t,- .

atinge centlul O (deci

ciiutat este al/[

Cauchy pentru ecuafia

facem srrbstituti a t ' == p.

( H )

unde A ;i R rcprezintd specfu dt intrare ;i respecliu specia de ie;fie, alccdror concenbali i a;i b slnf nvn{inute conslante ;i unifotme in inleriorulaolumului de rcaclie. Pritt l ;,. k i arn notat constantele i le uilezd ale reec-li i lor t l irerle ,i respectiu irrl l isc (i-1, 2,3,4). Sd .se scric .sislemul ecttrt-l i i lor cinetice rcprezenlitul uriali concenlrali i lor specii lor internediareXr' X'r, &-

Solrr/ie. Sc loltazii crr rr corlcentrali i le specii lor intermediareXr (i:1, 2, 3,). Crnr:iderim pt'ntru moment doar prima reaclie,(f l) (1). l latoritn rcacfici dircctc concentrafia 11 a speciei X1 creqte cuviteza 1i1arr. \ccasti i presrrprrlcre estc sulicient de naturali 9i s-adovedit ci esle in colcordal{ir crr rczultrtele experimentale. ln acelagitimp, datorit l rcacfiei inverse, colcertra{ia 31 scade crr viteza k-1:uf. Prin

urmal t ' . t i l r r i r n rodr l r l r l con l iue doar l t ' l c l ia ( I /1 (1) , a tunc i an ' avea os i r g u t i t c t t a ! i t t i r c l i t i i :

A1ur1- l ' -1 r f .d r =

Cititorul va putea constata ci pentru modelul (I l) alem urmdtorulsistem de ecuafii cinetice:

i-l:/ irorr - l i -,rf - k"rlrrf A'-,r!

dr"#--

/'rtt*, - 'L- ̂rl- k"rrt" * k -rtl

?: l 'rrzrr-A 'r!- koclt '4k-aDrr'

Obserualie. Pe parcursul accstui volum vom mai intilni gi alte rno-dcle reprezentate plin ecualii diferenfiale pe care le vom analiza dindiverse puncte de vedcle.

Agadar, punctul materialDeci, intervalul de timp

54

r *0) pertru t -u211/T.

Page 28: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

t

t l

I

, 'I

r .3 . TNEGAtTTITT

. 94. Fic c:[0,? l-[0, +eI o funcli. continud uerilicinrl inegalitatec

' 1 r t<c ,1cr ( -$ ds . o<r< T ,/ V t - s

unde C1 ,si C" stnt conslanle reale. Alunci

r( l )<, \ f (C1, Cr,T ) , 0<t< ?' .

(M eslc o constatid cure depinde numai tle Ct, Cz, 'l:).

Solufic. Evident' putem presuptrne C1>0, C2>0. Fie e>0 su-I ic ient de mic. Atunci , pentru 0<s<l<€, atem:

' , . r - , . . t E , -

r ( s ) <Cr+Cr \ - - d r (Cr *C : . f sup r ( t ) ! \ - !<. d v r -

" ( 0 " . . t , J V , - .

(C r *2Cz / " { r : l ! , ' ( . t . | .Sd not lm r*( l ) : sup c(r) , le[0, ?1. Atunci , inegal i tatea de mai sus

0<r<airnplici

, r * ( l ) {C t+2c ra , / ; r * ( l ) , 03 r<e .

Pentru I >e prr tern scr ie;

De ren tarca t c l f t rnc ! ia r * : [0 . 7 ' ] -R es le o f t l t t c l ie con l in t t6 P t i t t t t t - t t ta re ,

folosind lerna lui Gronwall, rezttltatul t lolit trrmeaz.l din ult ima inegail late.

95. Fie O un domeniu din IR' 9i f:/(1, r):A--R o fLlnclie ton'

l in d ;Ji loc{I l ipsthilziurtit in r. Dncd r.=r(t) esle o func{ie de clcd

Cr t,erif icitrt l

I r ,(r)</(r, 2(/)), to<I< ?'

I r ( / o ) < r o

ii y-y(l) este o ollri futt(li( dr dusi O1 oerificirtl

I u ' ( t \ ' l ( ' Y ( l ) ) ' 10<r<?

I y(/o): ro.

IrI

l lt'l

l l tl l r

ln(lt

. r ( s ) q C , f C " \ - : i : d ; - t . 4 r \ - * , l ; - o ( s < 1 .

d v ' - ' , " r 'cale implici

. r * r l ) < r l r - l - : \ r + r r r r l : - r 2 ( : " \ / : t ' t t . . i . - l ., \ ' ! ,

Avind in vedc lc ; i i l ega l i ta tea s tab i l i t i r i r r cazr r l l (e , u l rneaz i

(r -2(: z 4v/; )e . ( 1.) -< cr -F j= ( o -r"-iar, 0 < I < ?',! . J o

sau, alegind e:110t, Cr\ ,

a lunc i u 'cm . r ( t l < l i ( t ) . lo< l < 7 .

.Solttf ie. Prcstrprrlcrn pti l i t l tsttrt l t:5 uristr-r lrello, 7'l astfcl irrcit

x r ( l ! ) >y(11) . Cons ider iun f r rnc ! ia

: ( l ) - . r i l ) t i ( l ) .

Si obsen im cir :(10) (0 5i z(/1),: 0. Notiin ctr I ' cca mai tnare laloarc a

I r r i I d i l iu tc l la lu l [10 . 1 r [ in carc : sc anr r leaz i . l l x i s tcn la punc t r l l t r i l .

es te i r \ ieura t : r de fap t r i l c i In r r l f i rnea

A - l / € [ / 0 . t 1 l : : ( f ) , 0 ]

es te ner id i t ( ( l i / r p t ' ( |p f ie t r l .ea lu i Da l l lo r rx ) ; i i r rch is i r (dcoar t ' ce : es te

conti o uit).Si rnai obscrvitu ci exist.l ttu conpact l lcQ astft ' l incit

( f , r ( l ) ) eJ f i i ( t , a ( l ) ) e I ( , per t ru t e [42 , 1 r ] .

- \ s l l c l . r ro t i r t l c t t 1 - co ls tan ta L ipsch i tz a f t t t t c { i c i / co t t ' s l l t t t rz i t l "e re

rnu l ! i rn i i K . r r le rn :

: r ' ( / ) -y ' ( ) q f ( / , r ( t ) ) / ( t , j / (1 ) ) <1- [ . r {1 ) l / ( / ) ] . l ) t ) r t l r r /2< l< f r .

a d i c i: ' ( l ) < r : ( / ) , pent r t r l : -<1<r r ,

-s r r r r . in tcg l in t l pe [ / " . 1 l s i i i n i r r r ] cor r t c i : (1 r ) { ) s i : ( l )> ( , pc l / " , 11 ] , g is im

I

0 < : ( l ) < .L J : (s) ( ls , / ' -< / ( / r ..r *(t) ,< 2C, -F SC? [J

56

r * ( s ) d s , 0 < 1 1 L

Page 29: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

4Cu iqegalitatea lui Gronwall avem atunci

: ( t )=0 , t rg / ( /1 ,

ceea cc contrazice faptul ci z(()>0.

P | i l l r r rn ta r .c r ( t ) < 1 / (1 ) , (V) / - [1u . . / , ] .

,- ..,-r,r!t. -t"r,"r,nynen (d sinlell i t.t rondil i i lc pt uhlenei Pr"ecederrfe. f)rcirn plus auenl: x(T):! l(T), atuncl

r(t): s(t), ( V)/ e[/0, ?].Solu/ie. Colform solu_tiei problemei preccdentc avern

Prin nrmare, :(l)>0 pe un ilterval 10, 1d. Avcm de aritat ci z(l) >0.l>0. Presupunern ci :(1) ar dt'r.t ' l l i (0 iltr-un purct situat la dreaptalui lo, Atunci, z(t) ar aalrnile ul maxinr local pozitiv intr-uu punct 11,adici

: ( l r ) > 0 . : ' ( / r ) : 0 .

J in ind seama de(*) i i de condi f ia g( l )>0 vorn avea i l p l r rs : : " ( l i ; ,0 .Insi aceasta contrazice faptul ci ,r este un punct de maxinr local. Prinurmare avem intr-adcr ir:

: (1) >0, (VV>0. Q.E.D.r 98. Dacri r:x (l) so{isf/?cc

I l l , r r t ' , l , ( . n t ru t c l a .b ll d cI e (o): r(1,): r' (a): r'(b)-.0,

atunc i t ( l )2 0 , (V) le [a , t r l .

Solulie. Funcfia o" este converi in intervalul [a,b]. Si mai obseryim ce

t a

r ' ( l ) , J r " (s)ds, e i l ) :J e ' (s)ds, a( lSD, '

J o"(s)ds:0, J r:'(s)ds: u.

Astfel, concluzia nurrcazl foi6sincl urirf icele funcli i lor e", lt ' gi r.

t l

t l

t l ,t l

l l r

I

It,li,llt l l

J I

r ll l rl l r

ln tt

r (1 )<y ( l ) , 10< r< T .Prcsuprilem,. prin absurd, cir ar exista rrlr /1€[/0,qu( /1 t . Raf io r r in r l Ia le l c r r pent r r r p ro l r l c rna-ex l \ l i r o cons l t t r l i , .0>O f t : \ l f l ' l i t r c i t

?f astiel incit z(t1) 4precedentl rezult6 ci

sa

adici,avcnl

*l '(t-u(,) l*rJy(t) :r(r)1, /0</< ?,

f, 1",. ' tn0)-"{,) l i >0. rg<1< ?,funclia 1*e'r Iy(t)-r(l)] cstc crescdtoarc pc [/0, Tl, prin 111111irr",

0:er." [y(T) _.2(")]> er.', Iu(11) _..(1r)]>0,C | l c i l c c e s l ( . t l , 5 r d . t ) . 1 . : . 1 , .

9 t ' , P t cs t t J t t t r t en t ( i i x , ye ( : . ! r c t i [ i ( d

unde

[ . r "1p( l r r ' -g( r v -0. t>O,I

1 u" +p(t \ ! t ' -q(t)n -o, t>0.i o(0):y(0), d (.0). v,(o),

p, qec[0, +oc| s i q(t)>0, 1>0..\lunci auent r(1) >y(t), I >0.Solu/ie. Notind z:, -y, averu

2,, lp(t72, _ t1(t\z >0, t20- - (0 r : ' ( o ) ,n

( * )

5859

Page 30: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

-

I .

I

aI t

I, t l

ta

I l

l l l

l l ,

, Capitolul

EXTSTENTA $I UNICITATE lN

Sd s? 4.ise(srri un i lr l(Ittul oarc((rc Pe carc et:isld o tolulie penlrt

l ierure dirt prnhkutele Certchll t lde ntui . io.s. 1n plus, .sri se ullutle.eprimelc lrei aprc.r' ir:n,l! i i suLcesiuc (i leru!i i Picatd ) pertlru Iircoc dinsolnli i lc pt olt lentrhr (ituchy totlsiderale.

t l . J

r ' . 2 l ) -3 , r5

I r(0)= t)

S o l r r f i e . F i c A l ( l , r \ e R | / l l l < r l , i r l < b } , u l d c a ; i l s i l tnigte nunt:r'e rcalc pozitivc fixatc. Iivident, frtttclia f:A 'lQ tlefirtit.i lpdn f (1, r ) . 21+iJr5 .s lc cont inr r i i pe A; i l ipschi tz iar6 in r (c t t cors-tanta L ipschi lz / , - .1 i ) l ) r ) . l ) r in ut rnatc (vez i Tcorcrna 1. Cap. I I d i r lV. Balbu [2]), problema Cauchl' adnite o solulie unicl dcfiniti celprr ! in pr . i r r t r . r ' r r l r r l I D. ;1 . r r rde 8= i t r f (u , l , / -1 I ) , cu ]11:sup { l / (1 . r ) l ; . . l ) - l l . l r r , . , , z r r l r l I f : . r . r . 1 / e , t . , : 1 , , 1 . I ) , . , i

r i r r f [ , r . o i .

t l , / ! : i i ' ,

I )c cxcrnp l r r , t lac i r l t t l tn c 1 /2 s i 1 , . l , a t r r t rc i , l -1 / '1 . Dcc i , p rob lemaCrr r r 'h r ' : ld t r t i te o so lu ! i r : u r r i c i c l f i l i t i i c t : l p t t l i t r p t ' in ic rva l r r l I l / ' l '- F 1 / t l .

Pr i rn r ' l c l rc i ap lox i rna ! . i i succ t ' s i r . c a )c so l r t ! ie i s i t r t

0o (1 )

.f lu )

l z ( r )

f(s. rr' ,1 | ))

l l r . } ' i \ l | , , \ | ( - l s . i { r u ) r l i 1 ' - L

S o f t i f i e . I i i c A : { ( 1 , r , g ) e R r / l l l 3 l , l r - 1 < 1 , y - 2 l : l } .Dvident . i r r rc l i i le f r :A*R ( i :1 ,2) def in i te pr in

f\(t, L !l\: x I-92 -3a +2

- l"(t' ' 'L-' l l): 12 -2x -g -t

sr'nt continue 9i lipschitziene in (r, y) pe 1- Atunci, conforrn'I'eoremei 2dirr Cap. II, $ 2, din cartea lui V. Barbu [2], urrneaz! c[ existi o solufief : r (1) . a==r( l ) l rcnt ru problcua Cauc] l ' considcrat i , def i l i t i ce l pu l inpc in lcrva l r r l [ -b , 3 ] , ur tk ' ] . : in f (1 , 1 / r11) , c l r

- 1 1 . : r r r a s s u p { l / r ( / , . . . y ) l ; ( 1 . 1 , y ) € A } .t _ l , 2

f)e r, t rt ce

sup { i /(1, r, 9) i (1, r, y) € A} :4 qi

suP { I fr(l, r' Y) L ; (' ' ;r" irl - l] == 5,

rezrr l t i c i r so lu l ia ex is t i ce l pr r t in pc i r t t r ra lu l [ - l / ; , 1 / i l .1r 'c i aptox imal i i succesive a le so l r r ! ic i sr " r r t :

. r o ( 1 , - I . r / o ( / r - - 2 :

il

PROBIJMA CAUC.AY

P rirncle

ln.d,

+ J /'(s,

II

II1

ItJ

l d l ) : 1 11(s), y l ( .s))d.s: 1 +l - t r + -1i t3+ t

r t+ t r ' ,

r 1 ( s 1 . r 7 1 ( s ) ) t i , , . 2 3 / 1 t r . r 1 6 a .

tt1 pr obleuta Ourrr:hy

{ e ' : r s + e - "I x ( l ) ) . . - I

tdmite o sohtliel!fr r:x(l), care c.risld ,pe inlcruulul f t-l/9, 1/91

f i pe acest in ler0ol 0<: l (1)<2.

l'

v:(l) :2+J L(s,

7. Sd se arale.lr ' . -.r- l-tr -: lr/ i 2

g' = az -2r. 11 I

.r '( i)).- I

v (0 )=-2

60t 1

Page 31: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

r Solufic. Fie dreptunghiul A: {(t, eyepzTIrrrnei ia f:A*R definiti prin

l , i < l / 9 , l c - 1 i q t ) ,Sd.se orrlte e i i ptolt lntt ( turht1

I

d lU( , . i >

/ ( / , r ) : . r3 ,1 e t '

este continui pe A ;i l ipschitziani in r. Calcrrl ind

M:sup { | f(t, r) t ; (t, r) e tr} =, e,

t i u n i n e i n d r c p t u n g h i r r l A a v e m i n p l r r s : O < . r { / } < : . 1 - / .d se arale cd problema Cauchll

J .r ' :2e- ' t+ln( l+r ' r )

[ :r'(f)) =�- rt

are o solutie unicd, definitd Pe R''

Solrrfie. Not.5m cu f:f(t' r:) funclia: R,1R*lR' detiniti de tnem-

brul al tloilea al ecLraliei. Deoatecc

?f __ 2x sinNr e_,,sinr,, (VXr, r])eiRr,

i c l ' +1

rez r , l l r - L ca / c ' t e l t , ca l l i psch i l z i ann i t r r '

I , ' -, . i , ' ' ' ' "[ ,r(o)=- I

vedem ci (in virtutea teoremei de existenli;i unicitate) problema Cauchvadnite o solulie unici c-c(l) definitd pe intervalul ,f :[ _S, S], unde8=-"in(1/9, l/9):U9, adici I:[-1l9, 1/9]. Intrrrcit qr.aiicul solutiei

I

tl

tlliIrt l tl l

t l

u ll l rI l '

l t trdr

adnrile o soltrl ie unitd tlefinitd pe IA.

Solulie. Funclia /:Rr-R dcfiritai dc urcrnblul t loi al ccualiei cstecontinui pe R2. De ascmcnca. !inild searna rle faptrrl cd

| . ! _ ( , , r . , 1 _ 2 1 . t - i s 1 . ( f , : r ) e R s .l z ' r | ' t

rezull i,r. lolosinil tcorema lui I.agrargc, ci / este l ipschitziani ir raportcu c (cu constanta Z:1). Fie a>0, D>0. Si considerim problemaC a u c h y p e d r e p t u n g h i u l A : { ( t , r ; e p z ; I l < d , l c l < l , } . D i nteorcma de existenld gi unicitate lczultl ci pe intcrvalul I:a_S, S1,r r rde I : in f {a , = ' i _ I , ex is t i o so lu t ie un ic r i . l i v ident , pent ruI :+ jn (1+ b , ) . lorice a>0 se poate alege D suficient de marc astfel incit g:a. I le aiciconc luz ia dor i ld .

.Obseraa{ ic . F ic A- : { (1 , r )epyp ' . t_ t0 i < (1} ,s i / :A . *g ,

continrrir ; i l ipschitziani in r. ,,\trrlei. t l i :f inintl 5ir.ul aproximali i lor suc-cesi|c pe [10-a, lofa] si repetind (k,rrlonstratia lcoremri de exislcnligi rrrricitalc urrneazi ci problerna Cauch;,

.t : [(t, at. a(i,)\ lro e. iR,

arc o solutit ' ir l icir definil l chiar pc i( u. 1,,,, nl. Corrr:lrrzia exercil iuluirezu l t l s i i J i r r l ccs tc c i ) , l s ideraLr .

62

Fie c>0 albitrar'. Aplicind tcorcrna de cxistell i gi.unicitatc pe

ar -p t " r l r , i i " l l l i ; . ; i -d ' , I | <o , l " r -1 ' (n l ' qds im cd ( ] i s r i r

o solutie unici a Prortemet t "ti"ttl date rlefinitd pe | -3' -31:[

- 'r ' 't l '

a;; ; ""1" arbitiar, urmeaze ca solutia saturati este deiinitl pe R'-- 61OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOSa

se slabileascd penlrn fiectre tiintre ecuatiile urmdloare dttcd

"rxffioiiii- f iitiiirii I "i" cdror' tyafice sd se ldie intr-un punct ([o' ro)

din planul tor:

a) r':2tr +r3 -fz; fr) r".= 21.r -l-r3 -12

1 i Solrrlie. a) F'rrrrclia f:lR'�-' i i i definill pril

\ ft t, r)-2h +x3 -.t2

este continud pc lJt'� 5i local lipschitziann in r' Dcci' . ( V)(lo' {o).i E'"r.ria ,(j ' ,t"rrirJ,� " n'ira ,6,lo, to) a ecuaiiei care trece prin.(lo' ro) (defi

;il"i";t-;';;i"elate a 'lui"ro)'"

crt alte cuvinte' l Lr pot exista doue so-

i.iitr i-oii"i"l,i',ir" "eioi g."ril* J se taie intr-un pttnct din plan.l lor'

b) Deoarcce I este continul pe IR2 9i I ocal lipschitziani.in t rczulti

" ' , rv i r l . ,^ , u^)!R3. cxist ; " i " r" t i " 'unic i r i / ' L l " .g9\. a ecrrat ie i

l ; ; f ; ; i ; '$" :$i : ; i " i i " t " r l i ' l Inr ast tel inci t r (r0) . r0: i ' ' { t ' ) :g ' -P" ' ' : :

"ii"le- " intirtit"te de sol14ii ali ecuaiiei ale ciror qrr{ice trec pflnr}rrn

punct (10, zo) din planrrl 1O:r, annme

a:r(t, ls, ro. yo), l/o€lR.

l )ec i , r i sp t tns t t l cs tc a . f i rmat i r '

E$U ", sluhileoscd Pentructi,:1,>/r ,loud "olulii (tl istincle ) aletntt-un pi'n(l (to, ri din Planul

l iecare tl in ecuali i le urmdloare dacd

c'dror qrafice sd fie langente rnul qlttt iL

IOr :

6-1

Page 32: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

l l

t l l

t l

,

l t lt l t

I

lttlt,l l,t l l

ull l l

llr

lurcdl

I

t' a ) ' x ' : ' 21 t , | -x : t - -1 : , 51 z " :21 . l fes -12 , c ) : t " ' :2 t r+ f Pr

Solulic. Avind i l ycclere cele discutatc la cxelci! iul precj:delt,rispursul este negativ i l cazurile a) si b). ln cazLrl c) r ' ispirns{l esteafirnratir. lntr-adcrir, sir obsclr'. im inti i cir (V) (10, r0, y0, z0)EIR'existi o solufie unicl r=-r(to, to, 90, :o) a ecualiei c) astfel incit r(lo):ro,r'( lo\:!o,:o^"(/o). :0. I leci. dal (/0, ro) orice doud soluli i

:r:r(1, /0, .xo. l/0, ro)

r - . r ( / , /0 . r '0 . lo . :o ) , c r t :o f 2o .

sa t is fac p rop l i c la l r 'a cc r t i r .

j -T l \ i r r so l t , t i i ' r p ru r t t i c ir-)

. r ' , , / | . r j

Qt I . - .1 . : i l

salis/ac simrr/lon rcnrli l t i le x(0)=1, xr'(0) 2?

Sof t r l ie . Dac i n .=1 , n ic iuna. l lac i n :2 , una s ingr r t i . Dac i r n - '3 , oinfi l i tate. (Vezi 9i solu,ti i le celor doui exercil i i precedenLr';.

/ $.f Sr ,onsiderd probl?mq CLrurlt lt\_-a

(P'c') | 't ' : f(t' t)

[ ]r(10): fo,

unrle f esle o lunclie reald lefinilit pc drcptuncltiul

A : { ( 1 . r ) € [ i . J i l t - 1 0 i ( n , l e - r o l < l ] ,

f este rcntinud pe L, Si lipschitziand in .x pe A. pis a:c(f), solulia unicdc (P.C.), care eristd cel pulin pe inleruahtl 1-[r0-8, l0+3], 8::irif(a, D/M), unde .L/:suP { | ftt, ") I ; (1, r) e tr} . Fie, de asemenca, {r,\girut aprorimtlii lor succesite perttru .:;oltrlie. :l lunci, dat e>0, sd. se gd-seascd un ranq N(:) tstfel irtctt pcnfur n >N(e) .rd ouetl

s u p l . t , ( / ) - r ( l ) | . : e .

Solrrfie. Din rlcrnrxstlalia tcorernt'i de existelfir ;i ttricitate avetne la !uarea

IJ { 1-l} '. r , ( i , . . r " r ( 1 ) , < - - : " : t : :

. t e l i n - 1 , 2 . . . . .

colstanta Lipschitz a luncliei /. Plin urrnare,

l r , * , ( l ) - . r " ( l ) | ( .

q I r " . r ( l ) - r . e _ 1 ( l ) | { i c , * r _ ( l ) - r n * , - , f t ) i + . . . + l r " + ( t ) - f " ( t ) 1 <

Ultima expresie (mai pulin factorul I1/Z) este tocmai restul de ordinuln din dezloltarea Taylor a lui e6'.

Deoarece a*(f);c(t), unif orm pt' f, rezultd din evaluarea de

mai sus (trecind la limitl cr p + co);

l r i ( t ) - r ( t ) l < r t \ \ r L D ) ' , ! e L n : 1 , 2 , . . .

r. /--J i I

Pentru a indica rangul "("),:r:, in problemi, si observlm intii cir , A l ! + t / t t r t t r - r t \_ . , < . . 'r / r T i ) l ( n - i - l r ' r l l - t

'

Ast f t l , putc111 5q1ig

- r i ( t r - r ( t ) I < J 1 8

\ \ r t b ) '

* ' \ t 8 e r z . t e r , n : 1 , 2 , . . .

n + t / 2 n ! n r lt= tn

ln concluzie, rangul N(e) cenrt poate fi ales astfel:

N(e1:9, 6s.5 r t8"o1-1 g I 5 ;

..,, r -1r8ca,- ..t . _ .rr8ea,. \ ( e r : l - - l L o a c a - - l > u .L c l e

unde [rl inseamnl partea intreagi a lui r.

10. Considerdm prcblema Couchg

I t' : f(1, r\(P'c') t *(oi:''

unde l :L , : { (1 , r )e lRr ; to<r<d, l . r - rn I <bl -R estcptesupun?m cd df/dt 9i d//dr ccistd gi sin! c6ntinuc pcM, L Si D, lrei numere pozitioe, ostfel lnctt

conlinud. MdlL. Dcci, crisld

uldc L este

64 ! - : - d . 1 0 U

sle I / l<M, i r l#l*r ,ui "ol#+r#l*n.

65

Page 33: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

In parlicular, { este lipschitziand tn r pe A,, deci, e std o solulie unicdt.:a1l), tel:lto, t0+81, cu 8:min (a, blM). Fie N un numtu lnhegpo.itiu suficienl de mare. Sd se determine eroarea comisd prin uprori-

. ,t3marea ualor i i . r ( t r ) , t&:10+l -cu h(k:1,2, . . . , N) , unde r r , 12, . . . , . .N

stnt dote de sclrcma lui Euler cu pasul (conslanl,) ft:}/N.

Solufie. Prin ipotezi, 11, az,..., rN lerificl ecualia cu diferente(schema lui Euler)

(SE) ry "1 :4J-h f (16 r1 ) , f t :0 ,1 , . . . , N - 1 ,

j , und" ro este ch iar data in i ! ia lb a (P.C. t .

Si obsen im ci

t

t'l t

l t ,It

, l t t

f l tll ,tl lrnxta l

u l lI l t ,l l t,

l lctt

r(1i-1)-r(ti)r/r/(ri. r(rr)) - J1[Jl i/1.] ti^. r(E*)1.' 2 L 2 t ' a . r l ' '

unde Er este un numir iltre & gi fua1.

Scizind din ultima rela-tic (S.E.) ob!inen

:r(/r11) -crar:r(/&) -rr +/i[f(1r, r(/i)) /(11, rr)]{

+ i 1 [ r 1 ' ' l I -z t t ' + l l l J (q* x {q t r ) '

Deoarece f(l*, r(tr)) - f(tx,:r*1:!{I!Jl 1.r1t*.; rrl, rrr<le Ir este unI 1

numir intre c(h) 9i :rr, avem

l r ( f u , r ) - r * . r | ( r (h ) - r t - r l t L r (& ) - r r l +34 .' 2

Am folosit faptul cd (1r,c({4;e6 (r'ezi tdort'rna de existenJir gi uni-citate) 9i (fu, rir)eA. Pentru a arlta cd (1*, l")=A, este snficient siar i t im c i ( / i , c r )eA ( f ' :0 , 1 , . . . , N) . Or acest fapt rezul t i ugord in (S.E.) .

Not ind Ei : le( / " ) -c* l , k :0, l , . . . , N, avem

E r , r < ( 1 r r I - ) E l a i 1 1 , 1 - 0 . 1 , . . . , N - 1 ,2

sau, not ind A:1+hL s i f i :2 l1 xvgn

Er+r ( /Er *8.

66

,il Atnnti, deoalece .Eo:O, se arat6 ugor ce

E " < B l ' - 1 , A : 0 , 1 , . . . , N - 1 .

1 - 1

Prir urmare

E " < r ' l ' [ ( l ] h L ) . . l l <

D i ' ( e u 4 - l ) , l . - 0 , ' | . . . . . \ ' . l .. r " ' 2 L

In conchrzie, (lcoarece ,hft(3, erorile lfr lerif icl inegrL'itatea

D* g r 'n ie t , - l ; , l . .1 . 2 . . . . . N .

2 l

11, Presupunem cd sinlem in condil i i le erercil iultt i prccclertl. Sft

se rlclarmine eroerea comisd prin aprorimarea soluliei 2r(Icle a:r(t)

pe I : l l o ,10+81 cu fun( : l ia t : i ( l \ r l t td p f in i ( /1 : r7 r 51 ! ( r . * r r i ) ,

1 r ( l ( 1 r + r , f t : 0 , 1 , , . . , N - 1 ) .

(Euirlent funclit i ure drepl grafit l infu poli l lonald olt l i ttuli i prin cottecltrcQ

punclelor (lr, rr)). Nota,ti i le sint cele din exercif iul prt 'ct 't lcrt-

Solu/ie. Uti l izi ld formtrla lui Taylor, alem

r(r) : r(rr) f (1 -l.r )/(/r, r(r*)1 1 1 1 l - Q' [ + + | +l{0,.'{o"l),2 L A t ; l J

p e n t n r / r ( t ( l t 1 r ( k : 0 ' 1 , , . . ' N - l ) .

I lnde 0r este un nttmil intre fu gi lr+r'

lrttrrrcit

t(t)=- x* l(t -tr)f(l*, cr), 1r ( l ( fu+r,a\-cnl

l r ( l ) - f ( f ) I < E i * / t

+ il | [/r flll (o*. i(0"))l l L . i

' a r J

r rnd t ' Er : I r ( f * ) -z r | .

/(1*, c(rr)) -- f(fu, ci) | *

g0 a i l ) r r1 f ,4 ( t (1 r . , r ,

Folosind solulia exercil iului precedent, ar.em

l r ( r ) * f ( r ) l<(1 +nr) e l : - -a*_ �u+* . to< l<10+8.

67

Page 34: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

-

Eroarea cstc deci de ordinul lui li:8/N.

12. Considerdm problema Cauchg

I r ' : t - r t

I e(0):0.a) Sd se arate cd aceastd ptoblemd are o solulie unicd x:t(t), care

etisld cel pulin pentru 0qtgl pi in qcest inleraal _1 gr(0 g l_- b) Sd se scrie schema lui Euler pentru (prorimatea talorilor so-luliei r:\l) in notlurile ti:i/N, ft:i,2,..., N fN intreg pozitiu su_ficient de mare).

c) Sd se delermine o mdrime a pasului h:llN astfet inctt eroarcac-omisd in aprotimareo Dolorilor r(ti cu .rt (dat de schema.Dulcr scrisdIa b ) ) sd nu depdseascd 10"a.

l r ' - t , o < t < t| 1 l t 2 ! r 2II r(0):0

in orice puncl t din infarualul [0' 1].

Sol r r l ie . F ie A: { ( t , z)eR' � ; 0<l<1, r i <1} - \ t t rnc i ev ident '

furclia /:A-R, definiti de membrtrl doi al ecuafiei' este coDtinle pe

A ; i l ipschi tz iand in r , cn constanta , : . lo i# l : l

Deoarece

llf :sup lf l :1, reztrltd cA existi o solulie unici a problemei Cauchv'

definitd pe [0, 1].

Penlru a aproxima valoarea e(l*), unclc l* cstc ttn punct fixat

dir ]0, 11, se consideri o partil ic a intervalului [0' 1*] prin nodurile

1. : r l *

, k :0, 1 , , . . , lV. Schema lu i Euler se scr ic in cazrr l de fa l i ast fe l :,\

I - I ' r r , f 1 l l z - r . ? l - t . l . - 0 , 1 , . . . . N - 1 .I

x 1 - 1 = r - , . + " l ' - [ . v J

- ' * J

II ro -u.

AtLrnci (r'ezi soluiia problemei t0), r(l') se aproxirncazi prin lv cu

etoArea

D,r, : l r ( l+)-rr . 1 g -2: 1"" ' ' - t ) '

Deoarece

. ' . r " * l j l + f A : * " * l l + , ^ " , . ' , i <4 ,' ' i , l a t

' ' a ' a ' l r r ' r ' - " ' ' ' { t / ' ' r ' l I

:,c poate lua l l:4. Astfel avem

gr a 2'1:-

1e'' -l; < 2(a -1)n'N

j 14. Sri se orale cd problema Cattcltq

I r' :t2 ar2

I r(0):0

rr,lrti i l solulie unicd aoind un inlerual marim de rtefin il ie de fo: ma i-T ' Tlt ;

t r t t l t ' 1 - - T < * a .

t ll lt lt l

, ' l

l!il

dqnfl,dttl(frlttl,

,r,itlq

llrr.al

Solulie. a) Fie A: l(1, r)e[4,functia /:l -lR, definiti de membrulA;i lipschitziani in l, cu constantaM:sltp l f I :1, rezLrlti din teorema

zi i le f lur rc tu lu i a) . Ret i lem ce 8:1.

xr ,1 :11 f / r ( la - r ! ) : r r f + [+-q) k :0 , 1 , . . . , a r - l

c t E r i r l en l , D :sup 1J l11 ' /

l : ; .6 ' l o t

' a r l

Din cele ardtate nrai sus (r'ezi solufia exercil iutui l0) avem:

1 1 g S l l q o r - 1 1 - 5

: f j - (e r - l ) l ' :1 ' 2 ' - ' N '

Pentru ca eroarea comisi se nu depigeasce. 10-. alegem

ry, J_1!l 1e. _ r;.

De exemplu, pentru N: :5.106 (adic i t :2 .10- . ) eroarea este maimici decit 10-a.

13. Sd se delermine o marEine superioard. a ercfii pe carc o comitemprin folosirea metodei lui Euler cu pasul h penlru a odsi ualoarea apro -matiud s soluliei urmdloarei probleme Cauchg:

68

l 0 < l < 1 , l r I < 1 1 . E v i d e n t ,doi al ecualiei este continui petr:4. Tinind cont de faptul idde existenli qi unicitate conctu-

u,lI

69

Page 35: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

J

I t

I

t tr t l

, l l

i tt ' l

l ) ltlt

t

lttlltl lll l l

trtult l rl lr

tnlctl

. Solulie. frunctia /:IiXlR*R definiti prin f(1, r):12+r2 estecontinuit 5i local lipschitziani in :u. Prin u1rnsrc, existi o solulie Lrnicix:?(l) a problemei Cauchl, tlt ' i i l it i pe un interval rnaxinr, si ziceml-T" 7 '1 . cr r 0<?<m ; i 0<?1<oo. Vom ar i ta in cont inuare cd?< +cc. Pt'ntnr aceasta. si presrrpunem, prin absurd, ci T: *co.Atunci , pc. l r t lu l> l , avem

9 ' ( l ) ) 1 f 9 , ( t ) .Deci

t

I p ' " '

r t s ) l - 1 , 1 ) j ,) l ' ; : r"1

acl ici

I

arctg g( / ) 2 arctg 9(1) +t -1, t> 1,

ceea cc cstc absrrrd (arctq ?(t) <i.12). Deci, intr-adcvir, T <n.

Si rr�ai observlrn ci f unclia r: -9( -l) este solulie pentruacecasi problcn.l Cauchr'. Deci, din unicitatea soluliei, 9 este o funclieirnpari. Din aceasti cauzI, intervalul maxim de definilie pentru r:9(t)este simetric fali de l:0, adicr-r T1: T.

Rimirre dc demonstnt tloar ci T >1f212. Pentrrr aceasta, siconsideram problcma Cauchv pe d|eptunghiu l A: { ( t , e)e l t : ; ;1 I 3o,| ,. ' i < r] , cu a >0, D >0, deocamdati arbitrare. Dir teorema de exis-

tenlir li unicitatc rezulti ci solutiir:p(l) existi cel pulin pe interr.alul

[ - 3 . , l l . r r n d e f , n i n f a , n , . 1 . S , , o L s c n - i m c d . p e 1 1 1 1 , , ( > 0 , t i x a t ,

t d 3 . . . r 2 ,nrasirnrl cxplcsiei blfu, +l)2) se realizeazi pentru D:( si este 1/2u.Pe de alti parte. mir (d, 1/2{) este cel mai mare citnd a..=t/i i2.prinurmare. alcgincl a:t,:1/i1Z se ob-tine 8:\/112. De aici concluzia' t> \ / t !2 . r r l i c i loc r r ra i ceea cc vo ia rn .

15. Sd se arulc cir problentt

I r ' ] , ra: [ , t>-0

I r(o): tedmite o solulie unicd tlefinild pe [0, ]co[.

5o/u/ic. Evident, sint indeplinite condil i i le de existenti localdpi lnicitate a solufiei. Fic [0, ?[ intcrvalul maxim al soluliei (unice)

70

r-r(l). Vom arita ci T: +co. Presupunem contrariul: T< +oo'Atunci, deoarece r'(l):l-p'(l)gl, (V)l€[0, ?[, se ob]ine, prin integrare

r ( t )<113, ( v )1€ [0 , 4 .

Pe de ali i parte, vom areta ci

(b ) e ( l ) >0 , (V) le [O ' T [ .

Evident r(l)>0 pe un inten'al [0' fr[c[0, ?[, deoarece c(0):1. Pre-

suDunenl ci [0, ?r[ este intenalul maxim pe care e(l)>0. Se ariten ce

T,: ?. Intr- 'adevir. daca am admite ctr T1<7, atunci (din maximali-tatea lui T1 ;i continuitatea solufiei) ar rezulta ci e(?):0, deci:r '(Tt)::Tr>0; prin rtrmare, r '( l)>0 pc o vecindtate a lui ?1 deci :r(,) este

stl ict clesCitoare pe o vecinetate a lui ?r, adic[ t(?1)>0 (contradicfie !).Deci (b) are loc. Din (a) 5i (b) urmeaze ci solulia este merginite pe

t0, ?t. Din teorema de cornpoftale la frontieri, rezttlt i atunci ci situafia'T < + . r nu es te Pos ib i l i . Q. l l .D .

.d l{i. Sd se arate cd problema Caucltg

I ' ' ' 'I t ' . "I[ .r(0) ro.

cu t0 € [i\ {0} , admile o solu{ie unicd x:t(t) clefinitti pe R. In plus,

sd se arate cd lim r(t), l im r(l) €riild ti sinl /inile., - + 6 , + - @

Solufie. Aplicind tcorerna de cxistel{i 5i rrnicitate se deduce ca

pe un interval 8(l<8 cxisti solu-tie unici. Elident, aceaste solulie

poate fi plelungiti pind la ttu interval maxirnal, si zicern l?-' T{. Von

ar i ta in cont inuare c i ?- : -oo ; i ?* :10o. Pentru aceasta, s i ob-

se|r'irn mai intii ci r'(l)>0, (V)r€l?-, ?*[, adici r(l) este strict cresci-

l , ' r s s O " 1 a - . T , [ . \ " o m a r i t a a c r t m c i

s u p l r ( l ) | < f o o .? - < t < l +

Pertru aceasta, si prcsupunem cd cxisti l0e]T-, T+[, astfel incit

r (10)> I (dec i r ( l )> r ( t i> 1 , pentnL 1€ [10 , ?+ [ ) . A tunc i

r ' ( l ) g-L, I €Uo. T ' [ .1 + l '

(a )

Page 36: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

' ' rn cazu l rn care

,,1 , Analog se

J, Prin urmare, pentru 1€[lo, ?+[, alem, ,

a rlsr . r ( l ) < . ( ro ) *

) : : x ( /0 ) + (a rc tg | _ a rc tg r0 ) < x ( to ) + f t .

t' i,, , Deci

Iraptul cd problema Cauchv datd n[ are solufie unic6 nu contraziceleorema de (existente gi) unicitate intrucit func{ia definiti de membnrldoi al ecuatiei nu este Lipscbitz continui in r.

18. Consklerdm problema CduchU

(P.c.) t t':l(t)!s(t)I s(,0):co,

unde. f;R'-Ri este presupusd continud gi rlisipatittd (atticd (f(u) -f(t\,a-u)<0, (V)u, ue13"1 iar g: lR- lRr este cont inud. Simlo lu l ( . , . j ' r r -prezinld prod.usul scalar ln lRr. Sd se arale cd, ( V) (lo, ro) e lR x R', (F.C.)ddmile^ o solulic -un,icd r:t(L to. zo\ definitd pe- semiqra tto, +"ct.

Solu/ie. Cazul g(l) =0 este studiat in cartea lul V. Barbu [2. ieorema12, Cap. II]. Problerna de fali este o lrioare generalizare a teoremeicitate. Existenta soluliei esle asigurati de teorema lui Peano. Sd de-monstrim, mai intii uniciJatea (globaln) a solulici. Plesrrpunem, prin.contradicfie, ci ar exista doui solulii distincte a:o(l) si e:l(1), ai,irdun interval comun de existenlir la dreapta, si zicem .I-[10. 10+E[,8>0. Este evident atunci ci

e,(r) _{,(r):/( r(r)) _/(0(r)), r e r.lnmulfind scalar aceasti relalie cu ?(1)-+0) si folosind condi]ia tledisipativitate obtinem

@'(t) -'!' (t)' e(r) -'..(r)) go, 1 € r.sa l l

* i l t ( t ' l ( / ) " l g o , 1 e l .

t rnde f l . [1 . inseamnl norma encl id ian i pe Ro.

Din r r l t ima inegal i la te ohl i r rcr ' r . in tegr i r rd pc l /0 . / ] .

ll p(r) _r-(r) i I < _7(r0) __ ,t(10) lil:o, r - r

lX 'c i , 9 ( l ) : { (1 ) , -1€1, ccea ce cont raz ice prcsrpr r rc lea c i c q i i s i r tr l i s l inc te pe / , ln cont inuarer p ropune l l i i t i to r .L r lu i s I obsene c i , lafl l ca in cazul obiqnrrit, existi o solulie saturati Ia dreapta peltrrr (p.C.).I )( ' ascmenea, se demonstreazi Ia fel tcorema (le conportarc la frontjefl.f i i c r :9 (1) , le l to , T l , so l l ia sa tura t i l r d reapta i (p .C. ) . \ ' o rn a r i taI r r con t inuare c i ? : +co . p rcsr rpunem cont ra r iu l : ?4 - j . c r . A t . r r l c i ;l r r r r r r r l l i n r l s c a l a r e c l t a l i a

e'1t) : / (e)( t )) +r(1), 1€[10. ?[

73

sup {r(1); ?-<t< ?*} q r(10) fa..tun asemenea 1o nu existi, atunci acest supremum este g 1.aratd cA

in i { . r ( l ) ; T_<I<T*} >-cn.

t

r l

P ltlt

t l tn,Ittltt t l

tru lt l lllr

lnJ,.

s t l p i r ( t ) l < + c o .I _ < r < I .

Cu teorema_de comportare Ia frontieri rezLrlti atunci ci ?._: _- ca, 5lT" : *o. Din ce le de rnai sus . rezul t i , er . ident , 5 i faptu l c i r1 t ) arel i m i t e f i n i t e p e n t n r / - + r s i / . . - ) . .

17. Sri se rezolve problcmq|.

- t + ( t ' +41 )1 t2

2

it12): -1 .

Solrr/ ie. Cu schinrbarea l l:4:..*t2 ecrralia dcr.inc

!)' :2gt/2'

Aceasta cste o ccnalie cu variabile scparabile, cu soluti i le

y : 0 . 1 e R ;

U : ( t _ l , C ) z , 1 € [ _ C , * o o [ ( C e ] R ) .

Re le t ind Ia s r iLs t i tu f ie sc gascsc so l r r ! i i l e ecr ra i i t . i i n i ! ia le :

, t : - - l z l4 , l€ iR ;

r : C ( C 4 2 t ) 1 4 , 1 € [ _ C , j : c [ ( C e R ) .

Dintrt ' accstea, doud r.elif ici si condil ia Cauchl.

x : -1214, t eR i

s : l _ / , t e [ 2 , + c c [ .

72

Page 37: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

J

cu 9(1) ; i folosind condi,t ia de

] i leor lr :<(r(o) 'de Lude, prin integrarc pe [10, l],

I l r t , l t ' 3 "

disipati\.itate, ob!inem:

?(t)) +(r(,), e(l)), t€[0, ?|,

rezulti

l l . \ l i q(s) 11. ds*- )(x)

-r, jt y(,) 1". lr .r(s) r" <rs, 1e[/0, T[.

Util izind acLrrrr Proirozil ia 2. Cap. I, din cartea lui V- Barbu [2], putemscr ie

7 l

l l e( t) i l "< l l ro 1 ' . - ' 1 l i cG) l l , crs+l l (0) l l , (" 10), t€[0,4.t o

Deei. solrr! ia cslr nrirrqinit i pe [0, ?[ fapt ce contrazice concluziateoremci de corqportare la floutierl. Asadar, ?: ioo. Si observim cdpentru a_ arita mirginirea funcliei p(l) pe [10, T[ se poate lace apel chiarla lenra lui Grolsall o|i;nuitir, dupi ce se majoreazi mernbrui doi din(i i) (I o ciurtit{t( ' in cart apart l l ?(s) 3.

lf. Sc con*it i 'r 'r i prolt lcma Cauchy

| . t "+ar+p( . r ' ) : l i ( t ) ,(I r '(10):ro, x'(to):90,

unde a>.0. p:R-.R csle tottl inud si crcs(dtoate, iar lr: lR -iR esle conlinLrd.Atu-t1(i, (V\l-a,.r 'n. Jrnel{. proltlemrL Cuucl:u arlmite o solrtl ie unicd definitd.pe [/0. f cc[.

5o1 i r / i c . C l s r rbs t i t r r ! ia , : 1 / i t cc r ra t ia t lev ine

S+. r:(*):,,t 'r '

Evident. p gi i satisfac accleagi condil i i ca p 9i /r. I)e aceea, ptttempresuPuue (t:1. Atunci, notind o':1,1, problema Cauchl- t lrt i se scrie:

f , r f . r l f y l - [0 I i , , p:| - l l : l

| ,r Lir. l L- . .-9(vt j ' l / r(rr l ' ' -

(I f.r"l t*r'l .I LrrJ,- '" -Ly"r

Se poate vcdea u lo r c i s i l tem in cond i ! i i l c cx t ' rc i ! in l r r i p rece t lcn t . t lerunde colclrizia dot' it ir.

r2ll, in teoria uti:otropicd u relulivit ir l i i , dnloruld lui \ ' .G. Rollytnsli i ,ccttrrl iu de p\)paqarc a ra:ei cle lumind in r?(i ltdlqle(t un€i mcse nt' l i .!(teitt ori lJi l le, esle

r"'= -- -r; r ' l-rr(l).l i r i ;

po: i1 i l r i . r r :R- ,Rr e: lc o lhnr l ie r r r r r i i r r r i r i supi rsr i

l l r ? ( 1 ) l " < C , 1 e R .

2::x(t\ ((u rrclori in JR3J esle leclorul le po:i(ie ul unriei de lumind.de ohicei. l:. . It. tnseararld nor u t 'u(l i l iLui.it.

a ) S i i se c rc le c i i (V) /oeR. (V) r '0e t r l s \ r0 r . e . r i s l r ! o so l r r f ie un icdu er:uuliei cure lrece prin (lo, ro).

r b) Sd sc ttrde cd etisl ir r>0, usllt l inti l orirc lruiedorie uue lan t ln re t u l t : lo p leac i i d in t r -un punr t lo€S( l t , r ) . t ,=n t ; lu l , < f ] ,) ' t)=tt. r itnine in s/ern S10, r1, (O usantutt,u s/crri sc nrrl lre,sle fn uslrofi: icd

v ' r i r r r re .s le , ,nur l l ine inpor ia r l l ( i " . ).Solirl ie. a) Fie /oeft $i r '0eR3\.r0). f ixati. Sir corrsit lerinr sfcla

i r r , h is i S(n6 , 16) cu 01r01 l l : r ro l l " . d tc i S( rn . ro ) l l con l ine or iq i r r , r .S( :r.riar ulor ci Irrnc!ia f: l(t,,r). definitr-r dc m,:nrblnl doi al ccuaf it i ,l l r i l . r | . ' .ponente le f t ( i :1 , 2 , 3 ) l ipsch i tz i rne i l . r pc ^5( , r0 , 16) .

' \ s t fe l , teorema de c r is ten l i 5 i un i t i t r l c sc p r : r te ap l i ca . r l t ' t ' xc rnp lL r ,l ) , 1 - l (1 . . r ) ; l l -10 | (a , re1 , ] , r r r i t k ' / r ' .L r ' c r rbu l inscr is i r r S( :uo , r 'o )l r f , l r . \ - pa la le l r cu p lane lc dc coordo la t r , .

lrt Estc srficient si gisim un r>0 astfcl incit, olice tlaicctolie,Irrr,. lr i u!I rnorne]rt so plcacii dintr-un pllnct yo, situat orirrtrt lt pc coujl' r l . r . i S ( ( t . r ) (ad ic l I yo l l , : r ) , iu l l i i n in t t l io r t t l s l t ' r ' t ' i . O asc i t t c t r t 'a

I

l l

lttt

ilt4ttdtttrlul l rll'

ttl.'t

t1I '

1

2Ll ro ll3 + li I(o)

g1' ; t -L g$/n u), (Vlr ,€R ci

i ,1"1: 1 r,("7y'a), (vl=R.

unde .i esle o conslenlireslrici ici

t t l('.t

undc

Page 38: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

v

I

traiectorie nu este altceva decit reprezentarea soluliei 9(l):r(1, so, yo)ln spalirl Orlrrr, (numit;i spaliul fazelor). Daci se noteazi cu n(yo)versorul normalei exterioare in yo la sfera S(0, 7), atunci, o condiliesuficienti ca traiectoria care pleacd din yo sd intre in sfera S(0, r) este

(7'(sf , n(yo)) <0,

unde (. , .) reprezinti prodLrsul scalar in IR8. Si obserr'Em ci n(y0)este chiar lersonrl vcctonrlui yo:.150i. Deci, relatia precedenti se rnaiscrie echivalent

(p ' (sn) , yo)<0,

sau, linind seama de Iaptrrl cI ? este solu!ie,

.... _l_ (u(so), yo) <0 .;

Deoarcce ll u(1) ll" < C, I e R ii deci

(r(so), 1/e) ( Cr

este c lar c i o condi l ic mai tarc c lcc i t cca de mai sus este

! ! + h < 0

sau, echilalent.

r ' ' '(m'tf C)1t2'

Deci. pentru 0.:r --- (nr'/ C)t/r. rnul!imea S(0, r)\{0} este invariantl.

r 21. S? considerri sislenrril

, I r' ' - e! -l-9 sin a:'

I y ' : -1 +xy +cos y.

a) Sri se nrnlc cri (V) (10. r '0, yo)eR3 erislit o solulic rrnicd a sisle-mului, r:r '( l), y:U(!), astlel incil c(10):ro, y(ls):Uo;

b) Sd .se cerce[e-e solu{i i le qle ciror truieclot' i i pleacd de pe axeleplanului rog;

c) Sd se ar'(/e cii lr aietlori i le car( Pleatd din ptimul cadran (l>0'

If )>.0) rrirnin ftolo Penlt u ot irc t.

;i solulia g:0, 1e IR) .

Se observl cl, traiectoria oricdrei solulii din plinra familie esteseniiaxa {(r, 0); rq0} (parcursS. in scns direct); apoi, traiectoriaoricirei solulii din a doua fanilie este semiaxa {(r, 0); ,>0} (parcursiin sens direct), iar traiectoria solutiei banale este punctul O(0,0). Evi-dent, solufii le puse in evideDti mai sus sint tocmai solutiile sistemului(S) care pleaci de pe axa Or. Se poate spune agadar ci axa Or este omullime invarianti pentru sistemul (S). Si mai remarc6m ci, oricesolulie din prima familie (a doua familie) converge la (0, 0) pentrut-qi (respectiv pentru l* -c6).

SoluJiile sistemului (Sr), ale ciror traiectorii pleacl de pe axasint :

I t : 0

i r :2 arctg ( l1C)*2kr , teR (CeR, t ieZ)

9i solufiile constante

t z :O

I y:2kzr (k-z).Traiectoria unei solulii dilr prima familie (corespunzdtoare unui keZ)cste segmentul {(0, y); 2.kiE <y<2(k+1)r}, parcurs in sens contrarsensului axei Oy. Aceasti solufie converge Ia (0, 21rr) pentru t+co gila (0,2(/t f 1)l;) pentru l--o6. Solulii le puse in evidenfi pentru sis-ternul (Sr) sint tocmai solulii le sistemului (S) care pleace de pe axa Og.,\stfel, axa Og este de asemenea o multime invarianti pentru sistemul (S).

( 5 r ) i r ' : o '

Si deterrnirim intii solulii ledc pe a\a Or. Astfel, avem

b) Considcrim sistemele

1

v : 0

I r'' : o{ J , ) :

I U'= - l + cos y.

sistemului (51) ale ciror traiectori iurmitoarele frmili i de solLrl i i :

/ € l C . + { [ ( C € R ) ,

1 e 1 , . o , C [ ( C e R ) ,

plcacdl l

t lf t

(s)

I{

I

l 'J

Solutie. a) Funcli i lc clcfinite tle nembrul doi al sistemulrri sintconlinLrc pe IR2 gi au dctir-atc parlialc continue pe iR2. Ptin ttrmare, se

i poatc aplica teorcma dc existerl l gi ttnicitatc.

76

77

Page 39: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

-

c) Drrpd disculia antcrioari este erident ci orice traiectorie calepleaci din primul cadran (r>0, y>0) rimine acolo pentru orice l.lntr-adevir, daci am presupune ci o asernenea traiectorie int.ilnepteruna din semiaxele pozitivc ar insenna, (datorith rrnicitifi i), s:i l ie com-plet colfinutl in acea seJniaxi, ceea ce este absutd.

22, Considerdm sis|emLrl

J r ' : e u - 2 s i n r U

I a' : -' 1"""a) Sii.sc crale cti, (V)(1o, oo, y0)eR3, crislt i o solrrf ie utl ic(i .r $is-

lenului, t.:r(l), l t:a(t), astlel incil r(lo):ao, ,(10):to.

b) Sti "^e arale cd orice truiectorie care pleaci t l in semipl(ttul

{(r,y)=R.; t>0} rdnttne acolo penlru orice l. ' lcclu;i luuu pettlrtts e m i p l o n u l { ( . r . I r c R ' : . r . n ; .

Solrrl ie. a) Se aplici lcorcma de cxistenli ,si rrnicitate.

b) Este srficient si alit{m ci axa Oy cste o- mull ime inr-ariantipentru sistemul dat (r 'ezi qi exercil iul precedent). Irtr-adevir, so'l l l i i lesistemului care pleacl de pe axa Oy sint

I

Irj

r r - { )t "I y : - l n ( C - l ) , 1 e 1 - o o , C [

;i traiectoriile acestora coincid cu axa Oy.

r 23. Sd se arule cd orice treieclorie corespunzdloare unei sohtlii asislenului

( t , : 1 2 _ u _ l(s) |' t 1 r ' - r ( Y f l )

cue pleacd din discul D(0, 1): {(2, y).R'; :t2 +g'<1} rdmtne tnacesl disr penlru orirc t (altfel spus, D(0, 1) esle o mu\ime inuatiantdpenfrrr (S)).

Solrrfie. Este su{icient sI aritim ci cercul C(0, 1) este o mullimeinlarianti pentru (S) (vezi qi cele doui probleme de mai sus). Pentruaceasta, lie r(l), y(t) o solulie, care la un moment oarecare l:lo, pleaci

dintr-un punct (co, yJ=C(0, 1), adiei "Z+c3:1. Pe intervalul ei dedefinifie. aceastd solulie r crificd:

d 1rr1ry -1-y1r; -l l:2r(r)r'(t) +2y (t)!t' (t\ :2r(t)It2(,) +y,(t) -1 l.

78

( C e R )

I

( s r )

79

Prin u.mare

, i",,,n"r r ( t )1yr( t ) -1: [ r r ( I0)+yr(10)-1]e 'o :0 .

Deci, intr-adevir, (r:(l), y(t))eC(0, 1), pentnr orice I din dorneniul deexistenli al acestei solufii. De altfel, interlalul de exi-.tcntI al acesteisolrrli i cste R deoarcce ea este mirginiti.

24. Se considerd urmdtoerele douir scltente$isteme lermodinamice deschise (ue;i l4l)

t eaclionale ale unor

lir-1 i-^,t _ i-1,1

/ '-r

- r 1 f - \ n - ; , \ n

h "

- \g r - - \ r - - : . t11 r "

\ . l \ . - > ' 1 .- \ 3 - I : r

I _ - ; \ l

.Ii s

- \ l i - \ - - - ; \ r t l j

- r o i - ^ I _ . 1 2 + _ D 1 '

untle A este specia de inlrurc; B, Il1 sinl speciile de ie;ie, iar X(i:1,4)sint speeiile interDrcdiare. Concenlrulii le speciilor A, B. 81 sinl nrcnli-ttule constanle ti uniforme tn intetiorul uolttmttlui de reaclie. ll l ai eract,presupunem cd loale acesle conccnbalii sint etale cu 1. Constantele de ui{czdl : t , k- i au oalor i le : k t :1 ( i :1 ,6) , t ' - i :0 ,1 ( i :1 . 2 , 3 , 5 , 6) , k_4:0,005.Sc noteazd cu rr concenltalii le speciilor X, (i:lA). Sd se crale cri sis-rntele d.iferenliule, care desuiu euohrliu concentrulii lor rr asociate mo-rlclelor (H) (P, Hanusse ) pi (E) sin/:

(H)

d f ^ l _ - - \ 1

l 1

t"x1+x2:- 2xe

lr,"

t:,v , t . + t 1 .^2 -1 �^ -

! : - ! .

,t-r

t . l

xl+x3 :- xl +ll

( E )

u I r, I l-.r, -0,1 r'f -r, r" I 0.1 "r3 "

-l

; l x '

| - | t t t r -o t r j - r , , ' r ' , f0 ' l r i

Il_ "3_l

i_.r '2r3 -0,1.r ' j . r1r ' " f0.005rr _l

Page 40: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

-r

(s,, + ti] [1';1;i#*i-.",*.-,,.,](3)

(4)

ay -O,1a21_� qr" 4O,l J3>0, pentru a2 < e2 < d2,

aL -0Ja1 - d$z + o,l a7<0, pentru a2 < :rz < q,

Penlru 0 < 8.<ll1 se noleazd: ./

6 \ J o r d ' . ds -3 /3 , d4- 10-?8 . a , -a - /300; .' - ' I dr :11, { i r :10 11+1, a3:10(10 l I+1) , Ar :10r(10 I f +1) .

Sd se arale cd: (V)3ep,1/31 9i (V) .1I>21, urmdloarele interuale tles-cftise (3 9i |-tl imensionale\

B3(8, l{):l ar Ati ar, d2i ay ddt

AJ8, .1I): ldr, a\i uz, A2i %, dBi aa, drf

sint inttarianle penflu sislemele ( S1) .s i res pec!iu (Sr). Folosintl aceasld proprie-lote sii se lragd concluzii prirtind prelungibilitalea solulii lor, mdrginircasolu l i i lor , po: i l i t , i la lea sol r t l i i lor .

Solu/ie. Modelul (H) (propus de P. Hanusse) a mai fost considerat(r'ezi problema 03 din Cap. I) si am constatat ci, intr-adevi.r, sisternuldiferen!iat care descrie evolutia concentralii lor. speciilor Xr, Xs, Xgeste (Sr). Cititorul va constata ci modelului (E) ii corespunde sistemuldiferenlial (Sr). Si alntim acurn cao paralelipipedul

B3(8' 1'll): {(yr' yr, yr) =lRt; ar1!Jt<dt, uz<-llz<dz, dr<gs<4}

(cu ar , dr ( i :1 ,2,3) def i l i te p l i r (1) ) este o mul l ime inr .ar iant l pentrus is temul (S1) , pentru or ice Del0. l /31 9 i pentru or ice i l4>21 (adic i ,orice traiectode a sistemului (Sr) care pleaci din B"(8, M), la un momentoarecare 10, rimine in Br(8, rtt), pentru orice l>lo). Evident, p€ntru caaceasta si se intimple, este sulicient ca orice traiectorie care pleaci depe frontiera paralelipipedului Br(o', -11) si fie orientati spre interiorulacestui paralelipiped, adice (produsul scalar)

(5) u"q-0, \a12 -ap"-y O, tJ ,Z>o, pentru d1<or<dr , a t<3r<E,

(6) d24 _'},ld| - a2rr+ 0,1r3--.0, pentru alqrlqtir, ar<cr<ii1,

(7\ a . rz_-} , |a? dsrr +0,00511 > '0, pentnr a1(11(d1, ar<cs<ds,

(Sr q.x2-O,1a?- a. r t -1 .0,0()5cr . 0 , penl l t r or<: t r<dr , a2<12<d2.

Vonr ar l ta c l , pent |u u- dt ( i , .1 ,2,3 '1 date pI i ! (1) , toa[e i r rcgal i t i f i le(3)- (8ts in t sat is fdcute. Sa remarc im i r t i i c i i , pcntr t r s t igs )e l0, i /3 f

Inegalilo.tea (3) (cu a1:8) are loc chiar pentru rz€R.

Inegal i ta lea (4) (cu r i t - i I I221; ar t loc de asomenea, deoarece

t l tf ,

t lrl l l

tltrl? l

l t ldr

arIttlttdltn lfltu(i

,ltqItd

t tatt

(2) (f(.r1, 12, rr), v(r1, rr, rr)) <0,

c i

(e)

I)r in urmale . irerlalitatea

Inegalitatea (7) esLe

pentru orice punct (21, rcr, rr) aparlinind frontierei lui Br(8, M), unde\\rL, 12, rx) reprezinti un versor oarecare al conului normal la frontieriin punctut (x1, 12. JB). iar /: JR3 *lR3 este funclia definiti de membrulal doilea al sistemulrri (Sr). S5. observim ce daci (zr, rr,:rr) este ininteriorul unei fete a paralelipipedului, atunci v(xy, rr, xn'S coincide curersorul axci (reperului Oc1 rrrr) perpendiculare pe fafa respectivi(deci , v este in acest caz unul d in vector i i (+1, 0, 0) , (0 , +1,O), (0,O,+1)) .Prin urmare, (2) se poate rescrie echivalent astfel:

80

riddcinile xr--fv -a1/ffit76lt- ale ecualiei

sat i . lac0,1r! -il '/ r, f l11 --0,1r\'1':0

;xl -.y'r@ -loff <0 < a2: 8/3 :

strt a{zaltz -rcv >a2.. .toIv +1'.lnegaliftrlea (5). Pentru a dovedi (5) este suficicnl si obsetrim ci

x!-10a"xs-all lOc1ar 10, (V) z, = R.

Ineg itatea (6). Pentru a arita (6) este suficiert si demonstrim

r?"'_rcarr" at +10afi2<0, ds<rs<ar.()bservem cE zerourile membrulrri sti ls dil (9) satisfac

5 Az-\/ 26 dl-10 dfi"<a",

5 dt2+\/ 26 dtr-10 at|>as.

(9) este satisficuti.

de asernt:rlea sa Iisfic rrti, dcoarccc

a.c, - 0 ,1 d3+(0,005-drr or '0 .

| .t-da lett

c, <0,005 9i

t 1

Page 41: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

J

I

aI

I

Il l

,lnff,l,1

r,iif,l,qta

Ineqalilalea (8) urmcazi din

crcr -0,1d! 1-n1 (0,005 -riJ: a1(O,fi)J rir)<0.

ln conr luz ie, (v) 8rp. r /31, i l l 2 21, para le l ip ipcdut 8r(5, , i l r ) ( .s tc in \a-r iant penl ru s is temul (S1) . As l fe l . am al i ta t de fapt a i pr imul oc lant

Rn: {(y" !2, vr)eR8; t/r >.0, .y, >0, y3--.0 }poate fi acoperit cu paralelipipede inrarianle pcltr.u (Sr).

Concluzii, Solulia sistemului (S1). a cirei traiectorie pleaci la unmoment. -oarecare 1o dintr-un ;runct arbitrar (r?, "!, rh -n... poate fiprelungiti pe semiaxa [ro, **[, deoarece tiaiectoria rimine intr-unparalelipiped BB(8. lf4) -Rl care con!.ine punctul (.1. cl, r3). e""stfapt sc datoreste teoremei de comportare Ia frontier!. Cele aretate maisus ne pcrnit si, tragcm trei conclrrzii importante. anume: (VX'eR,(v)(r?, 23, 13) =R1.

(i) existd- o solulie (rrnici, deoarece / este local lipschitziani)r:;r(1; to, ri, rl, r3), dcfinili pe semiaxa [ro, +ca[;

(ii) r este mirginitb si(ii i) componentele sale sint pozitir.e:

r(t. to, r!, r!. "!1>0. l z rn(atlicl modelul (II) este rcalist dil prnct de yedcr(. fizic).

Se poatc arita rrutneric cd existit o lraiectoric inchisd a sistemului(S1) (care corespundc la o solulie periodici), conlinuti in R1. astfelinoit, olice traieclolic a sistemului (S,.) care pleaci din R] se apropieasimptotic de aceastd traiectorie speciali (nrimitir fictu limitd) itt;cicind t - co.

In cazrrl sisternului (52) se poatr. rk.rlolstla i.l nrod an.rlos ceinterr l l r r l 4 d i r r rensional

1J,1(3, r\1)-. IQt, y". tt", gr)-ll ia; ni. j//..(ii(i: i-io lestc invar iant pentnr (Sr) , pentru or icc Nep, l /31 s i j l i>21. Ast fe l ,

, t 'sl t. srficit,nt si avem inegalitntile (3)-(0) qi, in plrrs,

(10) n"r",0.7al,a"rna0,1cf-a"c1.1-0,00521>0, perrtru ar<cr(

< d r ( i : 1 , 2 . 4 )(11) d"r" - .O.1 i?-drzo l -0 .1r i -d3r1+0,005c1a0, pentru a1glg

< {ir (i =- 1, 2. 4)

B 2

(12) arx" O, l o i - a^t , {F0,1r , >0, pentru o1g21g1ir ( i :2 ,3)

(13) A.\-Ojl q7-A,txz-1-0.1zr.:- 0, pentru (r <:ti <di (i=:2, 3).

Dcoarece inegalitdlikr (3)-(6) au fost deja dovedite mai sus, rimindt: aritat inegalititile 00) -03).

Inegalilaleu (10). Este suficient si rernarcim cl (iinind cont dealeqcr i le cant i lS l i lo l a1. ar , co)

,..'- 10or"o,- a!110d2(. +ar(0,05 1oar) >0, ( V) rn eR.

Ineqdilalea (11). Este suficient si ardtim ci

(14) rl- toa"rn- a!-y 10aro. -l- a1(0,05 - 10dr) <0, a{<r{<dr.

Calculind ridicinile membrului sting din (14) vedem ci una din cleeste negativi (deci -<ar;, iar cealalti depd;e9te strict pe da. Astlel (14)este satisfecuta.

Ineaalitelea (12) este satisflcute, deoarece, evident,

aa(a3 -0,1d{) I cr(0,1 -an)>0.

Ineqelilalea (13) este de asernenea verilicati deoarece

aa(a. t f ) , l r i , ) - l .ar (0,1 -d4) . d2(0,1 dr)<0.

ln con<rluzic, ( V)Del0,lifl $ 7I>21, intervalrrl Il1(8, ;t't) este invariantpentru sistemul (Sr).

Concluziile cflrc rezulti dilr acest fapt sint similarc celor din cazrrlsistc4ului (S1).

+-25. Se consideri sistemul

I t ' : u| 9 ' : -2 rs r '

Sd se orttle cd (V)(lo, ro, 9o)-lRa erisld o solulie unicd, r:x(l),r;.- u(l), rr sislernrlui, salislddnd condilii le CaucitT e(lo):ro, 9(lo):90;i. acetsld solulie are ca inltual nttrim de definilie axa numerelor rcale.14ai mull, toale solultile sislemulrri sint periodice.

Solufie. Evident, (V)(lo, ro, go) e lR3, sistemul admite o solrrfierilici r.::r(l), y:y(t) definiti pc o vecinetate a lui ,o astlel incit r(ln):

.16. u(/6)- t/0. Pe acea vecinitatt. avem

( -2r3 -r:)r' : g V'

83

Page 42: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

J

,l

IIr.1

il

s a t t , i t l r , : r r r l r , , r r ,

Pr in

( f )

y , ( 1 1 ; . r r ( l r r r ( l ; 9 i ; . r l 1 r l .n l ruarc, ( ; r (1) ,9(1)) sc r i t l i r p t . r . t r rba

r / : r i , , ] ! - c (C:u3+;r ' ; - l J r ; ) .

Aceasta es tc o c rnh i r i r rch is i d i r r I l l u , r l log . . \sadar , so l r r l ia es le r l i r . -g in i l i r pc in tc r la l t r l max in t lo cx is l t ' l t i . De accca. cor fo t . l l i l r .o r0 l l c lde cornpor ta rc la f ro l l ie re , i l te l r : r l l l r rL i t l i rn t l c cx is te l t i l s t f ]R .

I l i r rn ine de l i l - r la l pe l io r l i c i l r te iL . l )ac i i . ro : i7o- .0 , l l r rnc i so i r r t iacorespunz i to t rc cs l t ' so l r r t ia ba la l i . I ) l ' s r rp r r l c rn dec i c i lu s in te tn iuaccas t i s i lua l i | bana l . i . ad ic i C>0. Pnnc t r r l ( r ( t ) , y (1 ) ) sc mi rcx pecr r lha ( l ) c r r l i tez r

rr(r) -([.r '(f ) l! f[y'(t)Y)tt2:(u2(t ) +r2(/)[2rr(/) ., 1 l,)r/:,

lns i f r rnc l i r / dc f in i t i r pe c r r rba ( l ' ) (o n r r r l ! imc cor rpac t iL ) p r . in

I(r ' Y) -: ( u' +] :(2..:r '+'I)2)r/2

a r , r ' J , t r i r ' i t r t f ' o z i l i \ I ' , . ( l ' ' . s i 7 i ' r . m i , 0 .

I )eoa lecc u l l )>uo>( ) . r r I r r reaz i r c I ( , r ( l ) , y ( l ) ) t l t l r i i c s i r se i r i Ioar .c i rin t r - ru r l in lp f i t r i l T - -0 i l p r r r r r , l r r l r ie p lecare r0 : r (10) . Vo: l l ( lo ) .D e c i

: r ( /u f ? r , ro . u ( ta+ ' t l : ! lo .

Sl-r obsi'rr irrl cir perrchel clc fLrlc!i i

t ( f ) : - r( l+?), 9(r)-= ' / ( l +?). t e Rconstituie o solrrlit pentru sistemul dat. Cum f(10)::r'u si !(er:rriurmeaz i . r l i l r r t r i t i t i r I r ' , c l r

. r ( 1 ) . i ( / ) . r ' ( 1 . 1 ' / ' ) . 1 e R .

v( . t ) - ! l ( . l l - .u ( . t -1 7 ' ) . 1en i .

ad ic i . in t r -adcr i i r ' , so l r r t ia r ' ( l ) , l / ( i ) cs tc por iod ic r l cu per ioa t la ? . Q. I t .D .

Olnerua l ie . Cr r lba { l ) es te t ( }c r r i r i reprezcntarca so l r r f ie i in spa l iu lfazelor (sarr orbila, sau traiectolia solir l iei).

+ 2fi. Sri se uralt ci (V)(/0. ro. r7o)eRs ecualin

{ + - : u7 + x z

ulmil. o solulie unicd, r ' .r:(t), rtslfel in.i l .r(/o) =:ro, r '(/o).-yo. .I{aiarul/. r:r(/) are interualul rrarirn rlr ltf irt i l ie utrt reald si esle periodicd.

.5o l r r f i c . Se t rece . ca de r rb ic l i . dc la cc r ra t ia de ord i l r r l do i la s is -Icur t r l dc o lc l in r r l in t i i

I t.. ' ' l t

| ! | - ' '

I l c o l l i n r r ; u r ' . s t ' r a ! i o l c a z i t c a l l c r c t t i l i t r l I r t c c c t l t ' t t l .

17. 1"ic .r ' t( l) t i r l ' j(1) soluli i pt tttt i tt lrtnrl I Petrltu ecuali i le

.L' /(1, .r '), !t ' !t\.t, I\,

unrle f, t: l xD-il i ' sirrl <:ortt iture. l) f i irt i trn lontartirr rl in i i i ' . ln plas,(lr)c/}l

t . l ( t . x ) . l ( t , y ) i , < , r , l l r ? i l . , (V) /E1 i . r ' . t l€D : i

l / ( / ' . r ) ' 9 ( 1 , r ) l " < r ' ( V ) l e 1 ' r e I ) '

urule L si t, sinl utnstar c pLt:i l iuc, Si se untle ci

l l 7 ( r ) ' i ( r ) . < l l < p ( 1 0 ) - 0 ( 1 0 ) l l , . e ' , ' J i ' L 1 c r ' ' " r l ) , ( v ) l € L" I

unde to eslc fi.tul irt I. Aiti, u tle o/,r '.ei. r,t l i)olt l l ] l l . inrc(tnnd normderrclidiond irr lR".

Solrrf ic. Scriern on g -si g sitrl solrr! i i altr celor doui ecua!ii, scidemapoi tclt ' dorrir idt:ntit6!i gi intcglit ln pe [/0. l]qrer,r>r.1. .\stfel, oblinem

.1(r) -,1(r) .: e(r6) -+(t,) -F it/(", ?(s)) e(s, n(s))lds:

t

- ?(10) , , /o) + J l f (s , i (s) ) / ( . r . - tsr t l t ls i

, t n

1J1;is, gisil e(s, 1(s))|els.

\plicind nornra 5i folosind ipotczelc dcdttcenr apoi:

i l c(r)--t(r) i l . < l l q(to)- ' l (10) l l . +lJ1l e(s)-0(s) l l . ( l r+

+l( t - to) , le I , t 2 lo .a8.1

85

Page 43: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

,

I

II

t l

I

I

1l

dta

Se aplici acrrn ineqalitatea lui Gr.onwall:

I e(t)-{(t) ll, < ll e(o)-t(,01 11, 11(r (1)i-I

+r,Jt ll e(to)- {(r0) ll" + r(s - r0)F ttt-ctts, tef, !>-to.

Dupi-calcule cleltentare, se deducr. inegali l.atca ccrul.i i pr.ntru lef,t>to. Pe o cale conrplct aserninitoarc sc ol)l ine inegali lat;a .i pcntcrit e r , , < / 0 .

28. Sd se arate cd. problema Cauchy

I x ' - s in (e- Pr)

I r(/o)- ro

admile o solulie unicd dclinitd pe R, (V)(10. ro)eRr. ,4poi sd se e|aluezecu ct I poate aarn solu l iq r r (1 ,0. . ro \ , penl ru 0</<| . / . r ld d? solu l iabo\q!4 -o ecualiei, tlacii ro oaria)d cu "ioi'

putin a"-ryifd lraii,i 1 ." I a< 1/10O.Solalie. Functia definiti de.mernbrul doi al ecuatiei estc continuide (1, r)e112 si lipschitziani in r (cu constanta L:1). Astfel, ( V)(lo, ro)e

^:5._.1^:g^b]T" tauch;' admite .o solutie unica aeririila i" 'h

l"onronnoDserva!rer. ferute la probrema .1 de mai sus). util izi'd acum evaluarcaorn excrct!rt|l prccedenl. avcnr

l r ( t , 0 , r o ) , - x ( 1 , 0 , 0 ) l : l r ( 1 , 0 , r o ) l g i r o j e , 0 g l E l .Pr in r rmare, pentru 0<1<1 t i l l 'o l< l /100, avem

I r(1, 0, ro) I < -l- <0,03.

,, ?9. S{ se c.Dolueze ci! poatc rario solulio erualiei penlr ului,r +srn r-:u, u?rifichd conditii le iniliale 40):x,(0)__0, ir; interuolrtld? lfmp 0<r<T, dacd se adqugd. Ia membrul doi al ecualiei o functiecontinud g(t), cu l9(1) I <0,1 (care repre:intd o forld' iiterioird ).'

Sola/ie. Cu notalia c'==y, ecrrafia r.,, -1_sin r=.o(l) se scrie

d [ . . ] _ f r / I t o Ia i l y J - L - s i n . r J r I e 1 r 1 l '

cu mernbrrrl doi o frrnc{ie Iipschitziani in (e, y) cu colstanta ,[, 1( ln ra lo r t c l t norma euc l id ian i l . As t fe l . p rob lema Cn l tch t ,pentnr ecuat iadat5 , cu or ice . . t r ip le t_ ( /0 . . r 'u . rTo i+ iR3. "dmi t " o so l r , t i i i r ; i c i . . ; i t :to, ro. yo) definit i pe R.

86

Folosird cvalrrlrca din exercitiul 27 avem

I . t ( l ; 0 , 0 , ( ) ) I < 0 , l ( c ? , ' l ) , 0 < t < 1 ' .

30. .F'ie r un numdr reul poziliu. Sd se uale cd, oricare u. fi funcliu9:[-r, 0f rp, conlinud, etisld o funclie unicd x:l r, +co[+R, .rrindrestriclitt 7rr' [(1, ocI deriuabild cu deripdu conlinrrd .si salisfdclnd:

(c.I .)(E)

r ( l ) : 9 (1 ) , ( V)1 e [ - r , 0 ]

r ' ( t t - r ( l t [ r ( l . r ) l r , (V) 1>0.

(In (E), o'(0) inscamnd deriuala Ia dreapla a funclici r:x(t\ tn t-�O.Ecuatia (D) cslc o u;a-zisd ecualie cu intirziere iar (C.I.) csle condililCauchu esocield ei,). Sri se mai qrele cd funclia r- lx(1) | c.slc descres-cdloare pe [0, ] m[ ,si lim r(l) , 0.

, - d

Solrr/ic. Se consideri sirul de plobleme Cauchl

/p. \ f . r ' ' ( l t l1(r-r)1 ' � . r ( / ) . 0</(rI ; r ( l ) r ' ? ( l I ) .

/ p _ \ J . r " 1 l r - l . r , ( / / ) f . r ' ( l ) , n r < l < ( n + l ) r| . r ( n r . 1 - r " 1 r r 1 1 , ( n . - 1 , 2 , . . . ) ,

uDde r" : r , (1) , (n 1)r '3 /gnr (n- .1,2, . . . ) reprez inth so lu l ia problcmei(P,). Aceste problcnrc se rezolvi srrcccsil oblinindu-se solulii le (unice)

. t

r1 ( l r - g (O texp i . J l 91s - r r l ?ds | , 0 (1 ( r .

r ' . ( t ) : r ( r ) " *p1 - i1 "1 " r ) l ! d$ l , r< r<2 r ,o

x, r (1) - r ' , (nr ) exp { - J [ . r , (s - r ) ] rds] , nr< l<(n+l ) l

Definim acum functia c:[-r, *o[*R prin

9( l ) , - r < l <0r ( l ) , 0 ( t ( r

Page 44: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

i l

3 t

Se observd rrlor ci

r , *1 (nr10)=r , (nr-0) (n:1, 2 , . . . ) ,

ad ic i

r ' ( n r + 0 ) : r - ' ( n r - 0 ) ( n : 1 , 2 , . . . ) .

Deci , - f r rnc l ia- r : r ( l ) , t le f in i th mai sus. are rest r ic ! ia la [0 , fco[ drr i_tabi lS. In p lus. aceast i rest r ic ! ie rer i f ic i ecrra l ia ( l l ) f i -are de; ivatacontinn6, tocmai din faptul cd verifici (E). Aleqcrea constaqtelor 9(0),c1(r), ,.., r"(nr), ... s a ficut in mod unic pentru a se asigura continui-tatca funcliei c:r(l). Prin urmare, funclia x:r.(l), coDstnriti mai srrs,este unica funclic cu proprietll i le cerute.

lnmultind ecualia (E) cu r(t) se ghseqte

( * ) ^L* t< , l f : - [ r ( r ) f . [ : ( r - r ) la<o. />0 .2 d r "

adici l* lr(t) | este descrescitoare pe [0, ccf (deci, in particular,lt(t) I are limitd li l it ir pentru l-co). trIai depalte, iltecrind (x) pe

intervalu l [ r , l l , />r , ob l inern

t' I .( /)P. 1t. .r . ,r: . j . . . : . , l ' ' : - \ l r ' ( s r r ' l x ( s - r ' r r d s .

Pt in urmare

J [sG)],. [r(s -.)fds.. + cc.

sau iDc i , fo los ina fapLu l c : i / - r (1 ) c -s tc ck :scresc i t .oa lc ,

Deci, evident, r(l) -{J,

91. .Se considerri

J 1.1"t 1r, ls 1 . 1.

p e l l l l l l l - m .

Sc nci prcsupunc cri (E) crc o solu{ic delinitd pc [0, +oo[ pi mdrtinild.Aftrnci (E) admitc cel pulin o slILIlie periodit:d (teorema lui il4assera.).

Solurit. Fie r.: z.(l) o solutie a ecuatiei (E) definiti pe [0, {co[;i rnhrginiti, adicl

( 1 ) s u p l r . ( l ) l - - ' l / - - : + o c .t > '

Evidr .n t , f r rnc l i i l e de f in i le p r i l

r i ( l ) - r ' N ( / l n ? \ . ( n : 1 , 2 , . . . )

s in t so lu l i i a le ec t ra f ie i ( I i ) pe [ { t . r z [ . sa t i s f i c i ld

( 2 ) l r , ( 1 ) l < ? t / , ( v ) / > 0 , ( Y ) n : 1 , 2 . . . .

Daci pentru t ln n €N a\etn : rn(0) - e ' , * r (0) , a t r lnc i ' d in propr ie tatea deunicitate,

r " ( l ) = . r "or( l ) ' (Y) l>0 '

adic l

r " ( l ) - r , (1 f ? ' ) , (V) l>0.

A;adar :r" este o solu!ie pcriodici ;i denronstra!ia este termi!rali.Prcsupunem acum ci x0(0) +.fr(0). Pentrtt fixarca ideilor' si zicern cA.ro(0).<xr(0). I)in proprietatea tle rrnicitatc vom avea atunci

(3)

Din (3) se obl i le

(4)

Rclalii le (2) 9i (4)

( i \

l ) r ' r le a l t i r pa l t t ' ,

ro( f ) . : - . r1(1) . (V) 1> 0.

r , ( l ) <r , r (1) , ( V) 1> 0.

arali ci existh

l im r , ( l ) : i ( / ) . (V) l>0.

din lforerna lUi \\'cierstlass, a\cnr

(E)

unr le f :10, +co[ XR-RT >tl ast fcl incit

i : ' l (1 , r ) , I> t ) ,

esle Lonlinud, loul lipschil:itnd in r ti eri.\ld

s u p { l f ( l ' r ) l ; l > 0 ' t = t l / l t " ' + ' a

I) f i I | nrlnare

( { j ) r , ( l ) - r ' , , ( s ) : J / ( t , r ' " ( : ) ) t l : ( Z I . - , � I

t V l r , r > 0 , ( V ) r r e N .

Conform cr i te r iu lu i lu i Arze l l , rez r r l t l d i l (2 ) t i ( ( j ) ( rez i ; i ( i r ) ' i r

8 8

( V ) t ' = [ 0 . z [ . r e R .

Page 45: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

) rI

f rIl i

(7) lin f"O:C(), uniform pe orice intcrr.al compact din [0. +ool.

Deci t estt continni oe I0. +oo[ $i C este solulie a ecua]iei (E), fapt certzulti prin trecere ia iimiin ,r,,

r,trr- r"(0) -t i/(s, .r,(s))cls.

Mai mult, deoarecc

rr+(0):r,("), (V) n e[.t,

obiinem, prin trecere la lirniti,

i(0): r( r).ln f ine, <leoarecc t(l +T), t >t, es.te de ascme nea o solutie a ecuariei (E)rezul td d in propr . ie tatea de r rn ic i ta te c i

t ( t ) : i ( t+T) , t>0.

Evident, cazul r.o(0) >lr1(0) conduce Ia acelagi rezultat, e.E.D.

. Capitolul III

SISTEME DIFERENIIALE LINIARE

Si se integreze ectralii le:

t" -5r' .14x:0,

, ' ' , : a : 0 '

r(rt -4r' +4r-O,

r"' -ilr ' +2r:.O,

r (a) +8r , , l_ l0r : f r ,

i ' -4r' +8r-e2t sin 21,

r " +r j : , s in I ,

,/, -_:)r, _ 3/2 +sin 51,

d' +7 x:' +\0r -* tc-2' cos 51,

a" +3i,:' +2x .. -:-,. e , , i 1

(k) c" +a: -

,cos t

o) r " ' -ps: - i4 l r r I

(m) t i r " ' { l r ' - r :O,

(n) (, -2)'r" -3(t -2)t +4r:t' t>2 '

Solu/ii. (a) Ecuafia caracteristice corespunzitoareIerenliale (a) este ulmitoarca:

),, _5r +4:0.

l .

(4,

(b)

tc )

(d)

(e)

c)(g)

(h)

(i)

(i)

ecuagiei di-

Page 46: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

-{" ,= 0 ,*J.

I, atlI

TI

1ti rf l{ l

. . 4 c , . 1 5 1 - " r , . s o l r r l i i L . 1 s i r r r 1 , l , , i . 1 l , r . 2 t . p r i r rr r e ' . r ' ^ ear fo ln rerz . r r r r r s is lc r r r fu ldamcn la l deec t ra ! ia (a ) . Dec i , so l r r f i i l c cc r ra ! i c i (a ) s in t_

urmare funclii lcso lu! i i pentru

r - {1e,n{;et., t e !l (C1. al" e R).

Q) l . lc r raf ia caracter is t ic l ( ) .3 .1 -0) ur .c so l r r t i i lc (s i rnplc) ) ,1 :1,l ; r . . _

) . . f : - f * iY . ) . - f - i f f l l s is te rn Iu l t lamc l ta l de so l r i t i i pen t ru

tc r ra ! ia (b ) rs l . c fo l rna t d i t r func t i i l e : t1 . -e r , 1 r :o r l : qos {1 , 1 r -' t

-=e-i/2 sin # t. p.in urmare, solrrf i i le ecLraliei (b) sint

x ( ; r , / | Cr . r / r16r r , !1 , - t . . c - I : . in \ . j / .

(c) Soluli i le eclatiei car.acterisiicc sint ^r: -\/r, tr.==/1 ar,rt-,elecu mul t ip l i c i la tca 2 . [ ] r r s is ten t f r rn r la rncr r ta l de so l r r l i i c ' s1c fo r .mr t t l i nfunc l i i l c :

p E ' , lg j i ' , " ,1 i r , 6J i t .

Dcc i , so l r r l i i l c rc r ra ! i c i ( r ) s in t

r . - ( ( . '1 .1 -Cr tye- r i ; ' i - (Cr fCr l )cJ t r .

. . (d ) So iu ! i i l ' te r ra f i c i la r . rc te r . i s t i cc : i ,1 . .1 / r l r rb l i ) 5 i ) , r :_2 . p " .1 ,s r l lu l i i l r c { :ua l i c i ( ( l ) s in t

. i . . . { ( , ' r -Fc : i )c r , l -c rc .2 r .

(e ) Rczo l l i i tn i l t i i cc r r : l ! ia onrogc l l i r . l l c la t ia c l i .ac tc r . i s t i c i) , t f8 ) . , ,1 ,16 0) a r r : so lu l i i ) c ) , r : . 2 i . i . l - -2 i , ambc le c l i rb le . Un s is tem

tunr la rnc l r ta l dc s ,o l r r t i i pen t r r r ccu l t f ia o tnogcna l

f t | ) I ' , . , l ( t i . 0

cs tc fon t ra l ( l i l r :cos 2 / , l cos 2 / . s i l 11 , / : " i t r f t .

Dec i , ec r ra t i l om( , . . t l J l i x rc so lu l i i l c

. r ' . / , i O ,1 ) cos 2 / , (C r i _ f ; ! l ) i i J r 2 / .

o so lu ! i c p r r r t i c r r l , r r ; ' t p r ' r ; r l r r r { ( l l ; t r i i t n ( f r , r l oqcn i de f o rma[ 2 , C a p . I I L S S l )

l r n p r l r i i n d i r r if ica ltr,

i si rclif icc ecuafi:r neonrogeni dati gisim. plir identi-

a -1116, b - . '0 . c= ' 1 /16 .

I )cc i so lu l i i l e ecua l ie i ( la te s jn t

c:(Cr+crl) cos 2f {((ir -l- Ct1) sin 2f f i( l):

( f . . , . : ,6 -1 , cos 2 / - r ( / . " | / ; r1 i s in 21 , r - l ( /2 - l ) .

( f r So l l l ! i i l c ecr ra f ie i ca lac te r is l i cc a ta ia te ecua l ie i omogrne s?nti.t:2 2i. ).t.2+21. Deci. ecnafia omogenl are sohli i le

e -: (lrr,2, cos 2l J C.e?rsitr 2l

Ciritr 'rn rcum o soll l ie particulari pentru ecualia neomogend de for.ma(c f . V . Barbu [2 , Cap. I I I , !5 ] ,

i:tezt(q cos 2l -1 I sin 21t.

I lrrprrnirrd lui f, sI r erif ice ecua!ia lconogeli se geseslc, plin idcnlr-f i care . r i 114 , b :0 . Pr in u rnrar t . so l r r l i i l e ecr ra l ie i ( f ) s i l t

.r:(C1 cos 2l f C, sil 2l)ezr -1 r.2r cos 21

(g i So lUt i i le tc r ra t i c i car rc tc [ i s t i cc : ) .1 : - i , i . , s : i . C i r i t i r rn oso lu f ie par t i cu la l i dc f o rma

i- 1[(ri i f- l) cos I f(cl gd) sin 1].

Irnpunind lLri ' . sI verif icc ecualia datd gisim

t r = . l14 , b :c :O, d :114.

Pr i l l rmare , so l r r [ i i l c ocua l ie i da !c s in t

r ' , C r c r r s I J C . s i r t - 1 ( s i n 1 - l c o s i ) .' 1 '

(h ) So lu f i i l e ecua l ie i carac te l i s t i ce : ] . r :0 , ) .s . -5 . C iu t im o so lu l iepa l t i cu la r i pent ru ecua l ia r ' " - i r . r ' :31 ! de fo l rna h : l (a l2+bt+c) .

E fec tu ind ca lcu le lc g is i rnCeut in t acurn(c f . V . L l r lb r r

92

. r ' . ( I ' � l l l , l c .

t3

Page 47: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

C[utim acumde fornra is-d

aditive) din sistemnl 'a

o solufie particular[ pentru ecuatia x" -5r':sin5tcos 5l nD sin 5t. Drrpi calcule gisim

l

I

- Ti1:;; (cos 5l --sin 5l).

Atunci, o solulie particulara pentru ecualia'1h1 este t:ir+t2. livident,se putea ciuta de la inceput o solulie particulari pentru ecuatia (h) deforma

t:t(alz +bl +c) +d cos 5l fe sin 5t

9i rezrrltatul ar fi fost acelagi. ln concluzie, solrrli i le ecrraliei (h) sint

x : C | +Czebt +it(0 +tll).-

- c , + c " e - t ( r , | 3 , I 6 l - t 1 r " o s j t - s i n 5 t ) .

5 ( 5 2 s t b o

(i) Solufiile ecuafiei caractcristice: ).1: --5, i.": -2. Ciuthm osolulie particularb de lorma

t- e 2rl(al +h) cos 5l f(cl frl) sin 5ll.

I-esdm in seama cititorrrlrri tleterrninarea constantelor a, D, c, d. So-lrrli i le ccualiei (i) vor fi urrnirtoarcle:

r=:Cre it -.|-C"e 2t-lf(t).

(j) Solufiile ecuatiei caracteristice: Lr: -9, lz: -1. Prin urmare,un sistem fundamental de sotrrli i pentm ecualia omogend este:

' f l c 2 ' ' J 2 - f - l '

Pentru determinarea unei solulii particulare a ecualiei neomogene (j)vom folosi metoda variatiei constantelor (Laurange). Aceasti metodiar fi putut li folositi 9i in exercili i le prccedcnte (e)-(i). Metoda constl(in cazul de fald) in q,g4lta o solrrl ie parlicrtlari de forma

(r-l:1,,11rrr(l) *rr1t t.rrlt i \ ' , ,1t tc ' � ' +'."(l lc t.

'nd" r,rncliire)sfi;;;,;;;;';'l-.i un," ntu ," ni5te constante

i f\ l' :, xi +'.^r, ,o

'iir�'.,+.1'".r',. - -lI 1-c'

si l r l

er, , r ec t Y . : - - .

I f'.,( 2' +'i, 'r ' o

,| - 2;; " " -'";,. ': -l-'t

' ' t + c l

, e 'y , : - , ao rca

Yr: -e.+ln (1 -.{-e,) -1-x1,

yr:ln (1 *e,) *Xa (I(1, B, el3;.Prin urmare, o solutie particulare este

i: _e_, +e_2, ln (1 +er) +e_, ln (1 fe,).Deci, solutii le ecualiei (j) sint

r.:Cf-zr +Cze-, +e-r,ln (l +e,) +e- r ln (1 +er),(k) Se foloseste metoda variati€i constantelor. Un sistem funda-

mental de. solulii pentru ecuafia omogeni este: rr:cost, ,z:sin t.Se cautl o solufie particulari de forma

j:,-(r) cos I f7r(t) sin t,

rurrtlc yr, yz se determini din slsternul

I vi "o" ,+Y; sin ,:ut

. 1 1

I -Yi sin | {'Y I cos r- -;'

De remarcat cd ecualia (k) trebuie considerat, rpc inten.ale de forma(2k-1)3, (2r{+ l ) I [ . keZ. DupA catcrr le . obf inem

y r : l n l c o s t | * K u . h : t + E , .Deci, o solufie particulari pentnr ecualia (k) este

i :cos t . ln I cos I J f l s in l ..,\5adar, solutiile ccuafiei (k) sirrt

l :Cr cos /+C2 s in,+cos t . ln lcos/ | f l s in l , (C1, Cre lp)

pe fit 'c:rre interval (2ft -1) I , ek +\ !I, k eZ,.

Page 48: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

( l t Un s is le rn f i r ldaure l ta l de so iu l i i per r t ru ecua i ia ouogen l es te :

xr:€-,, rz .,7, au5 L-1. r"--e,/: 5i1!1 1.2

Pertru deterrniuarea urei soluti i parl-icularc a ecrraliei neomogene (1)se poate folosi metoda rarialiei constantelor. De altfel, se vede rrsor cio solulie particulari este

: i : In 1 ( t : -0 ) .

Pr in u rmare , so lu l i i l e cc r ra t ie i ( l ) (care ar r : se t rs per tn r 1>0) s in t

' t i t ;J . - C r c - I + C ? r ' r / 2 c u : \ ' I ; / : 3 ' . r . ! s i l l

\ ' , 1 / . . I n l . / t 0 ( C r . e , . C . c R r .

(n r ) Es te n " " , , .1 i ' r le l ip I i r r l , . r ' . . \ r r r i r t i rn cd o t -c r r . r t i c ELr le r es tcde f o rma:

tn x (n) +a i r - t r (n - r ) + . . . +a" r1J ,+o , , r : / ( t ) ,

unde I variaze intr-un subinterval din lR\{0}, / este o frruclie realdctrrrt inul pe acel subinterval, iar dr, az,,,.,an sint nigte constante reale.Es tc L rgor de vezut c i sch imbarea de var iab i l i s : ln l l i ne conduce Iao ecualie l i l iari cn coeficicnli colstaDli. Sd folosim accastb schimbarein cazul ecualiei (m). Astfcl, avem

.C : j. ,1" tf1 d, ,

d s . d l i d s

' : a { 9 - u ' } ,1'� I ds' ds ./

' " ' : 1 {u " ' - ' ' j 1+ r 91 .t3 [ ds, dsr ds. l

Pr in r t r rnare , ecuat i i i (m) dev i t rc :

_9\ _3 ! :13 3l _3:6, 5=xq.d5: drz ds

Rezolvind aceastai ull. imi ecua,tie girsim soluli i le

r: Cre'*Cese, *C"s2e, (C1, C2, C.eft).

Revenind Ia substitulie, gisim soluii i le ecualiei (m):

r - - .K l fK . l . l l i 1 i f x r l l r r : i I (K1 , K | , K , e11 i

unde 1e l -oo , q sau l€10, +co [ .

96

(u) Este o ecual ie .Eulcr cu argument t lans lat . Ev ident , in cazulde lafd substitulia va fi: s:ln (l-2). Cu accastd substitulie ecualia (n)devinc:

d , x , d r , r - ^ r , .

ds2 ds

Cum aceasta din urmi are solutiile:

c:(C1f Crs)er, fe, {1/2

ucmeazi ci ecualia (n) are solulii le

r,:(t -2)2[C1{C, ln (l-2)]fl-3/2 (C1, C.eR), undg f ell, }oo[.g. Sd sc rezolue problema Cauchy

I

| (r -t)r" -x' alr:Ot . -I r(0) -- II

I r ' (0 ) :1 . .

Solufie. Evident, problema dati are in vecinitatea punctului l:0solu[ie unici, de f orma

"r1l t .- l- a"r".

Impunind acestei funcfii si verifice ecualia dat5, g.lsim relatii le

2a2 -at:Oti

n2a- - ta , t : : ! * , @ : 2 , 3 , . , , ) .n(n+ 1)

Din eondifii le iniliale deducem d0:dl:1. Deci

a2:1121, as:113t , , , , , a , : l ln l ' . . .

Prin urmare, solulia problemei este

r( lr : D - :er

i i accasta solufir. existi pe R.

3. Sd se rezolue ecualia r" -2tz' -2t:0,

97t - c-dr r00!

Page 49: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

1l l

Tt,

Solufie. Este o ecualie cu coeficienli funclii analitice pe JR. Oricesolulie va fi de forma

r i r l - i a" r " ,;=o

cu o.elR coelicienti nedetermina!i. Atunci avem

r ' ( t) : f na"r '-r ,

r " ( / ) : I n ( n - 1 ) o o l o 2 - L l n : . 2 ) ( n + I ) { , { r 1 " .n - 2 r : 0

Impunind lui c sir verif ice (formal) ecualir, qirsirn rtrmitoarea lormullde recurenfe

2o , r " : 3 , l r : 0 , 1 , 2 , . . .

n + 2

Astfel, toti coCicienli i o,, \or putea fi determinati dacir se ci,rrosc prjrniido i , ao 9 i_a1. Ne propunem sb dc ter .min im, de excrnp lu , so lu f ia C: f ( l )ca-re verif ici condil i i le Cauchl' r(0):1 9i a'(0):0. Atunci nn:1 9i 2r:Q.Din formula de recurenfd de rnai sus se ghse;te atl l jrci utor ci:

1c e r : ; l $ i d z r . | r : 0 . / i : 0 , 1 , 2 , . . .

Atunci, solufia ciutati se scrie

-9- jiU): L

- l ! t= c,- , /€R.

P3"1 t:lq) este orice ",ru .L,lU" a ecualiei, arirnci (conform TeoremeiIui Liouli l le)

t ( f ) r ( l )

t'(0 a'(I): C e , r , 1 € R ( C e l R ) .

Prin urmare

ln concluzie,

-l i+\ --s" ,2, 1etR.d t ( r ( l ) ,

solulii le ecua!iei date sintt

, ( r ) :Cret '+CJ eP- ' ! ds, ,e tR (C, Crep1.0

98

4. Se considerd ecualia (Iui Legendre )

(l -t2)r" -2tr' +p(p +1)a:0,

unrle p este o constanld reald.

a) Sd se gdseascd dottll solulii l iniar indepetrdentc tn ueciniildeapuru luhr i t :0 .

b) Sd se arale cd decd p esle lnlreq neneqatit, alunti urut dinlresolut i i le aceste i ecual i i in juru l pundt t l r t i t :0 etQ , tn pol ; t tont .

Solrr/ie. Orice solulie in vecinitatea punctulri l:0 are forma

e(r):ia"r".

Impunind acestci funcfi i si vcrif ice (forrnal) ecria!ia dati se gdsesc

rr;or urmirtoarele relali i intre coeficienti i an:

2( l , +p(p +1) :0; 0o? -2r1+p(p + l )d1:0 s i

(n + 2)(n + 1)d,+, - n(n -1 )ao-2nd, +p(p + 1) ( lD: 0.

gi, in geleral,

. , n p l p - 2 ) . . . t p 2 n t 2 \ ( p 1 \ t p F 3 ) . . . r p r : ' : n - l ) - / - ro 2 a - \ - t t = a o ( n l . ! . . . . ) .

ln particular

IJe ascmenca

Gfifi@r'-"'-'r

Page 50: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

Pentnt no.:1 ti or:0 se obtine

rr (1t : l l - ) l ( - l ) ' i ' (p-2)" (p*2n+2xp+ 1)(p+3)" (p l -2n-1) ,3 '

i : r Qn)l

iar pentru co-O si a1:1 se obtine

. _ p 2 \ D 2 _ , . t , D 2 _ l s r . . . l D ? - ( 2 n - : l 2 lo " - . t t i - + d o

(2n) !

a"o . , r : ( -11 t ( p ' - r2 ) (p2- 2 : !p1- (zn t f l

a1 , (n :1 ,2 , . . . ) .

I )ec i . pentru co:1 s i cr :0 ,

. ' \ ( r )=.1+ Ll t - r l '' : l

i l f pen t ru do :O i i o t : I

t t t p , - : 21 . . . 102 ( l n - l ) ? l . . " "

(2n) !

gisin

x"(1, : t + \ - a - l r". L

\\o):

(p - 1J@(" - 3r...(p - 2n + 1t@ +2,(p + 41...@ +2nl(2n+ l , I

t2i+l

ambele selii avind raza de convergenfb l. Deci, r, si r, sint solutii aleecualiei lrri Legendre pc intervalul l-1, 1[ 9i sint liniar independentedeoarece rvronskianul accstora este nenul in 1:0:

r(0) rl0)

r;(0) r;(0)

r , rr) : r -pi t - t t " t 'z t2\ t '2 ' . . . . , - - -- ]1, ' ' ' " ' , "( : lnr 1) |

arnbele serii alinrl raza de conver{enli l . Deci 11 ;i r, si lt soirrf i i pentruec t :a l ia lu i Ceb is t : r ' pe ] -1 , l I s i s in t l in ia r independt 'n te deoarece wrons-k ianu l lo r es te nenu l in 1 :0 .

b ) Er ider r t , dac i p es te un numi l na t r r ra l , n . a tunc i una d in t re-scluli i ic .r1, r" giisite mai sus, este un polinorn dc grad n,

6, Sd sc inleqtere efialia

( t , +1)L" -2 l r ' - l2x : I I ( l ! +1) .

So lu l ie . CaLr l i rn r in t i i o so lu l ie pa i t i cu la l i r pc i l t fu ecuat ia onogen l ,

t i c fo l rna : . . ! a , l ' , u r rdcc , ,eRs iu tcoef ic ie ; r ! i l tde tc lmina l i . Impu-t -o

l i : rd l r r i r s I rc l i f i ce ccr ra l ia omor lc lh c is in r (p l i1 r id t ' l i i f i ca rc ) re la ! i i Jc :

( az'- aoIJ , r , 0II ( r r - - l ) ( n - : )| 1 t " . . , - . ( l " , n c l ' l r u r l , J .( -

( F | ! ) , n t 2 r

, \ r i fe l . a lcg ind (de excrnp lu ) t to :0 s i c r :1 se g i \e \ te so)u f ia pa l t i c t r la l ll . . i r r I i e i o m o g e n e

1 0

0 1

- b) Evideut, daci p cste un intreg nenegativ n, atunci una dintresolufiile 11,rr, gisite mai sus, este un polinom de gfad n.

Observalie. Un multiplu al acestei solulii polinomiale care in f:lare valoarea 1, se nume;te polinom Legendre gi se noteazi p.(l).

D e e x e r n p l r r :

Po( t r ' t ; P l t t t - t i Pzt t t

= t " - | , t . r . * .0 .

5. Se considerd ecualia (Iui Cebi;eu )(l -tz)r''' -tr' +P'�r : 0, (p € [i) .

a) Sri se gdseascd tloud solulti liniar independenlc in oecindtateupunclului t:O.

b) Sti se arate cd, tn cazul cind p este nalural, ecualia ad.mile o so-lulie polinomiald.

Solu/ie. a) Orice solulie a ecualiei (lui Cebigev) ln vecinitateapunctLrlui 1:0 are f orma

r(f : f 4,r".

Impunind acestei funclii si satisfacl (formal) ecuafia lui Cebigev seobfine:

100

I ' r I l r ' i i a

I | , . i l l e :

<icterrnil l oformeze rrl

:l'1 _=' l'

a doLra so)u t ie 12 as is tem fu r damer ta l ,

rc r ,a l ie i o tn r ' {c lc as t fe l i r c i tse po : r te fo los i teorerna lu i

I C l

Page 51: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

sau inci, lLrird dc

: lJ l l ' : . ( l ' l c , , " l r ) , c+0,t r l \ . , 1 2 ! r ,

I

t r : ( t t l :C ( t , l _ l ) . C #0 .

I r',(/) |

excmplu C:1, obl inem

,r ; : . . r + / ' + l

sau

7r ( r ) -hn ( l + t , ) { l s i gn 11K1 .L 2 J

i , r ( l ) : ( l -a rc tg l ) s ion l f Kr , (Er , Kr=nt l ,

define;tc prin

siSrr t : I

I ' dacl l<0

I o, dacr t:o

[ + l ' dace , >0-

It,

tI

$l'flt l

t ,il

Una dintre solu!i i le tcestei ecr;. i i i i cst:

I 2 : ' l ! - l '

Pr in u rmare . un ,s is tem fundamel t r r l de so tu l i i pen t ru ecua l ia o t t ro3en ieste

xr : I , x "== l ! - l

Vom c iu ta acum o so lu { ie Par t i c t l :a l i p i ln t ru ecua l ia neomogc l r l da ta 'de forma

.i :.,.(1)r(l) +ir( ti.t"it :I{t)t ly"(x/'� -1),

unde yr, T2 st dcterrnini (in mod rrnic, pini la nigte constante aditive)d in s is te tnu l

I r - , . , (1 )+( r r - l )y r ( / r -0II ^(;(t) +2t'i;(): I t l.

Astlel, gisim

. , ' 1 1 1 - - � t ! : ! ) l L . . . ' - ( t \ : ' ' ' l ,

I - i i : l t + l

sau

unde s ign se

t02

( l )

103

I n concluzie, soluliite ecualiei date sint

r-Cl lCr(t2- l) | l / l l ln ( l +rr)- 9l+L 2 J

n(P -1) sign 1 (t -arctg ,), (C1, CreP;.

7. Sd se gdseascli o ecualie integrald echiualentd cu ecualia dife-rcnliald

a" +(dzr:f(1, r), I e 111, lr[c R,

unde f:lt 1, tr[XR-R este o lunclic confinud iar <,t este o consltntd realdpozi t iud.

Solu/ie. Fie n:11r, lr[-R o funclie continui. Prin metoda varia-fiei constantelor se gese;te ci soiulii lc ecnaliei

t" {<,:t2r,:h(t), tr<t <t,sint

r : ( l ) :Cr g6s t , l /n6, , in . r -p 1 j s in <o( l -s) i (s)ds, t t< t<r2,

unde C1, Cr = lR iar lo € l1r, 1r[

Atunci, evident, ecualia dati este echivalentl cu ecualia integralS

;r(l): Cr cos cll +C2 sin <'l I +1 t

+- [ sin o(l -s)/(s, z(s))ds, t\<t<tz.o j

8, Consideftm ecuatia

E) r " ' +p( t ) r ' +q( t ) r :o , t e I ,

unde p gi q sint funclii reale leftnite ;i contirtue pe inlerualul .Ic lR. Cecondilie trcbuie sd lndeplineascd p gi q pentru ca ecualia (E) sd admilddoui solulii l iniar indepcndenle ry x, leqate prin relalia

' x$i rirr':l, 7 e 1.

x cs te o so lu l i c a ec i ra l i c i(E), atunci, conform teo-

( rt)Sohi f ie . Dac I

t t n lc i lu i L iouv i l le , a\-em

I

t '

T , ,

Il

X-1

r'i

r , r l

'i l:"' '=',. ; l

Page 52: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

runde (l

are m

t '

x '

r "

cslc o constartir reali. Prin urrnale, derivind (1) l inie cu l inie,

t ' ' ; l l ' ' r 1 : r z.i "!

l+l , r, r,

r i . ; l 1 r ' r , r i

I*lI

r l

,,,

ti

r2

lrz

&

T '

xo' l:,,=,ad ic I ,

(2)

Reciproc, si

r .rr 12 l, 1

I J r . 1 2 - 0 , / e I .

r ' r i r ; l

c i r : sa t i s f l c : ' rc ru i i . r (2 ) , , \ tLu lc i a le ln

' : ll r r ' . r l . -0 , I e l .; ; l

31 i r r .1 r + t . r ' r 12 +p . r2+q. r "

presuP.rncir

T

t '

rn -7 p:. { qt.

Deci

ad ic i , I in ind cont

r'

:tn lpt:' t-r1.r

dc (R) , a lcrn

x" '+P: t '+q ' . r :0 , le I .

A ;a t la r , am nr i i x l c l /E) s i r .2 ) s i t r t cc l t i ra le : r l t . S i r ob : ' i ' r ' r i r t l . i r , in

r i r tu lea cond i { i t i { I l ) , c (ua i ia r (31 sc sc i iL ' s r rb fc r t : i l t

r" '+(t i t r_�r t r ' j ) . r - l l r : r . - - .1, , , . )" :0, t=1,

Pr in u lnare , dac l ( l t ) es le ind t 'p l i r t i t l , a lem

(3) p: t l i r " - .^rr i , 1:r ' t r i_� l i3, , I*1.

Pe de a l t i par te , der i r in t l dc dou i o i i re la l i l iR) , g is imr

( 4 ) J r . r 2 - . r ' 1 . 1 2 x . r 2 - x 1 . t 2 , | e L

1 0 4

' : ir r rx , ] : t ) , l€1.

0 0 l

Deoarece tr, ra-Cs(I), rezulte ce (4) se poate deriYa inci o date' ob-

finindu-se astfel

fr <ri r" -,r,i1 :''r,1 _�'i ir, t' t'

Avindu-se in vedere (3), aceasti relafie arati cn peCl(l) ti

( 5 \ P ' : q , t e l

Agadar, (5) este o condilie necesc|d pentru ca (R) si fie indepliniti. Sepoate demonslra ci (5) este, de astmcnt'4, o condi[ie sulicienfri. SI pre-sr)punem cd (5) este indepl in i t5 . At t rnc i . ecuaf ia (E) se scr ie sub lorma

(6) (t" lpr)' :0, t e I.

Ii ie .ir, t, solulii l iniar iudependente pentru ecualia

(7)

Rczu l t [ uSor c i

s a u

adici

(8)

r " +p r :O , l e I .

ir,tr*trti:0, tet,

lelJ.r-irtrl':0, t-t,

a i ; - t i t r :c, t -1,

unde C este o constantir nenule, deoarece .ft, iz sint liniar indepcnderlttciar membrul intii al relaliei (8) reprezintir tocmai $r'onskianul asociatacestor doui solufii. Rezulti atunci ci rr:nlr si rr:(1lC)is sint so)r:!iil in iar independente pentnr (7) , dec i ; i pe l t ru (6) , re t i l ic ind condi l ia (R) .

9. Se consirlerd ecutlia

iE) .r" {cr' ,-b :/(l),

arrrle c, DDDDDelR stnl dale astfel incil r tidiicinile ecu<{iei caracteristi(e ak\aleuuuliei omogene uerificd.

i .2<) .1<0,

irr /;R*lR esle continud pi mdrginild (ndicri sup { | ltit ; t -f*} :ri<+oo). Sdse gdseascd o solulie mdryLnild peF. a ecutLlir:i (E) qi sri sc

r dte ci orice altd solulie tinde asinPlolic la uct,r""ld solulie pcnL u l - lcr.'..5,: r€ lt.i dre, in plus, cl|, dacd. I eslc periorlicd, alunci solulia n'.(itgitti ldes't de uv l l tenea p(t iodic, i .

1 0 5

Page 53: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

Srla/ie. Pentru a determina solufiile ecualiei (E) avem nevoiede o solufie particulari. Aceasta se poate determina cu ajutorul metodeivarialiei constantelor. .\numc, se caute aceastl solulie de forma

i :yr(t)eu,' f v2(t)ci1,

cu yr, 72 velificind sistemul

I ri(r)el',+r!1ryei.,:o{I L,ii1r;ei,, arri;(qe)..r: f(t).

Dupi calcule constatim cI una din solLrfi i le particl iare esteI

1t ( 4 : . ' \ [ c z r ( r - , ) - e ; . : ( r - n ] f i s ) d s :

;1 r .

+_;__ \ (ei," _91.")fl, _rr)dut . 1 _ / . ! J

0

; i , in p lus ,

s r r p . i , 1 r r . < t :

I f c i , " - d . , 1 6 s - - L .t t - t - ) / t / z

adicd r cste mirrgiuitir pe JR.

ln t ruc i t so l i r ! i i lc ec i ra! ie i (D) se scr iu

r(1; Cr. C"\: Crei.,, +C"ei,'+t(t), (Cr, C2eR)

ti ).? < ).r<0 r'czrltir

l i r } i . r (1 ; Cr , Cj ) - t (1) l -0 . (V) Cr , Creni .

ln s f i r ,s i t , presupi l r i ' r1 c i / es l r . p , ' r . io : l i l i i . s i z ic tnr de per ioadi T>0.Atunci

j 1 / . 1 - 7 r - r i 1 , t , ' . " ' . " r 1 t 1 I u l d u :| | | , J

0

Deci i este periodici de acceagi perioadi.

10. Sri se rezoloe problema Cauclty

I r" +r:f(t), t eR,

l e ( 0 ) : c ' ( 0 ) = = 0 ,

anrle /:lR -R este definitd Prin

, . , , | ' ' d a ( . r < l

/ \ " l l d a c i i l

Solu/ie. Evident, / cste continue pe R. Din teorema de existcn!i

r;i unicitate pentru problema Cauchl asociati unci ec alii diferenJiale

liniare de ordinul n (care se deduce din teorerna corespunzitoare pentru

sisteme diferenliale de ordinul intii) rezulti ci problcma de fali are

sotulie unici definiti pe lR, dc clasi C2. Ptntnt a qirsi accastd soltt-tie

considerlm mai intii problema

{ P ) 1 . " + r - r . r e ( z . l lI t(0)- ' r ' (0) o'

Sol r r l i i l e ecr ia f ie i c "+r ' :1 , 1<1, s in t

r : C r c o s f - f C r s i n l - l - 1 , / e l c a , 1 1 . ( C r , C : e R ) .

I)intre acestea doar una singirrd verif ici (P), antinte

c 1 ( 1 ) : l - s i n l , 1 e l ' : ' 1 1 .

Apo i . ecua l ia x : " + : t : :1 , f >1 , a rc so lu l i i l e

: r ( 1 ; c , p ) : e c o s l f S s i n l + 1 , 1 > 1 , ( a , P o R ) .

Von deterrnina ni)te constantc ao, po astft l ir lctt jrs(I):J(l; c(0 po)'

.1, si verif ice concli l i i lc

r r (1 - l 0 ) - . .11(1 { r ) '

r r ( 1 * 0 ) ' - r t ( 1 - t t '

| | ' l ( le J r ( l ) : t -s in l . Dup i ca lc t t le sc g is t ; t r ' ( in mod r t r r i t )

z r ( l ) : s i l ( l - l ) s i n I i 1 . 1 ' - 1

1 i . .

0

- . - e t ' " t [ ( t ! )d i ! : r " ( t ) , (V) leR.

107

Page 54: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

Atunc i , ev ident , func l ia i : R-R t le f in i t i p l indev! i( l): l

'r1(l) ' 1< 1

| .r,,( l). t>1este de clasi C, pe R ;i r.crif ici,r prob)crna Cauchv dat[.

ct Obserua{ie. O alti cale este- lrrmitoarea: se dctermind o solufieparticutari c pcnrnr ecualia dari t; i ; ' ; ; i ;;" ' ' , ";t"rif,r constantetor.Dec i so lu l i i l e ecuat ic i da te s in t

D r_ .Cr cos l *Cr s i l t_F . r . ( t ) .Apo i se dc ter rn in i i C1, ( i " r i i

eond i ! i i l c Ca i ichy r : (0 ) : r , (0 ) :0 .t l . ,Se cons ider r i p ro l i cma ( la l in t i t ) :

(E) , r " - i i r (1 ) . r . , - f { r ( t ) . r : / ( i ) , a< /< t r

' c l ' 1 ' ' " " ' - B t ' ( o \ - t[ . , . ] . ( / . r + A.f , ( r) :d,

Imprrniud lui r si salisfacir (C.L.) l i l inird co:ri c - 'r

c.r, (d)+ Pti(d):o ;i iry'l)f 8e.(i'):o'

c! [rr.r(()+ 3.r;(r)] -c

L

Cr[ ' , 'xr(r '+r-.rr(t ,r l l ' , ' . ' ' , ' , ;r . '11 ; '1i ' ' ' -1- 6.. ; A'- ' J

I I L L

Pe de alti parte avem

car(d)+ i j3;((l) #0

caci alttel, in baza ipotezei lundamcntale, ar Iczrrlh xr(l)=0' fapt ce

cortrazice ipoteza. In mod aualog

Yrl ( r )+8r i (b) *0.

C": cl@xr(a) { Pr'"(tL) '

a i " { s ) t { sC1- l t / (T. r r (D)+ I r , ( r , r r1- \ ' ! l1 ! r ,1*-

c unde n. I eR r:i l' S r d , im i le ipo lc :e

(E .0 . )

" (c. i- .o.)

ere nLunei solulie borttl i i . Fia tpentt.u t.r'.\).) io,, ,utisin,' pi,ii,;:;l:(|),rlm,l,!0 o::Xu";:ii!:: tyTr;.f,n,!r"l;',:i,u't1,1,i,':l,i'"",:;: !',-:'."r?ir"1

'',aiii'i 'oi,ii,i inii,'i.",',,, pout,

. . Sr l t ' . l i t ^ . Es t r , . r io r .n l r t i r r ip , r tez r r f , i l , r l r r r rnn l r l i c i

i j l l i,,' ' i,; i"'"'J'ii,lii i,,;ll i ':::ll"l,rr..r':or r rr dc :r:r rt ii

"1;;,1,1,;,,i'i',;,,i:,,i;i,y,,,1,;,t),,;i;,,!'f:'l"letoa1. a:' f ec[(1, b].r' __- (r(t ):r,+ {r.(l).r._=0

{ r.r(o) * pr ,(a) _ r)

[ .,.e(il)] 8r,(b):0

fu; rc ! i i le . r r , r ,pentnr (E.O.) .

Prin urmare

ln concluzie, funclia

, ( .-(s)r,,0 /(s)d..,-J ' t 'G)

rcr i f ic i problerna (E) , (C.L. ) . Ur ic i ta [eafrrrdamentali. lntr-ader'lr, daci tr, iz t Inc i i r - is este so lu l ie pentru (E.0. ) ,

t(r) : ;#*;Lr,, + ;#a; *\ r'(r)'r'(s) an- ds ayrlr)+8rr(r) o'rz,?) + ?;2( a)

+ [ [rr(s)xr(f l- xr(1)r.(s) ]-l-::- 63:r r ] ( 5 ,

b

_ drrft) - + cr,{r) . +i rlPla l(s)ds +

Y.r(r)+Eri(D) ar2(a)+P'2(dr J rr (s'

,io:ijiljl ::[i]1 0 , ( V ) 1 e [ c , D ] .

Ci i i : r i . loc l l \ t l ia f ie i co lsra l t r lor sc g is t : ,c so lu l i i le ecual ie i (E) :

x(li -.. Cr.fr(1) + Clrr(I) -l .l [xl(s)-r,(i ) _ .r1r r).r"(s.;]_EL 6",, eIa, 1,], tC.r, C2 e it).$.(r)

i 0 8

t e [ a , L l

solLrjiei rezulti tot din iPoterasint soiulii pentru (E), (C.L.),(C.L.O.), deci ir -ts =0.

109

Page 55: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

DacI dclinim frurclia G: [4, D] 1[c, D] -lR prin

[ '1")" , (0, s<t

c(r, s).-{ l:,u|

' r ( 0 r l o , l < s ,

[ $'(s)

atunci solulia problemei (E), (C.L.) se scrie6

-r{rr=--! l{. + - l#-,_ +\ crt... i11.tor. re[,!. D].. . . r r { f r I d r r { D ) r x 2 ( d r I 1 r ' 2 ( o r

I

Funclia G poarti nunele de funclie Green.

Obserualie. Ipotcza funclarrrcntali implice in mod necesat

l a l * i S l > 0 ; i j r l + i 8 l > 0 .

lntr-adevir, dacl, de exemplu, a:p:0, atunci ar exista (in baza teore-mei de existenfl ;i unicitate pentnt problema Cauchy) o infinitate desolulii nebanale care verilici (E.O.), (C.L.O.), ceea ce contrazice ipoteza

fundamenta ld.

12. Sd se rc:olue problema (Ia limild )

(E) r " - -o r : /7 , o< t< t ,

Io ' (0 ) f2 r (0 ) :1(c .L . ) i c , (1 )_2r ( t ) :2 .

Sofulie. Se arati uqor ci. ipoteza fundamentall (vezi ex. precedent)cste r,erificati. lntr.adevir, solulii le ecualiei omogene

Se determinl apoi doui soluli i lebanale 11, 22 pcntm ecuatia(E.O.) (deci lr1, x2 au. forma (1)) astfel incit z. si r eri l ice prinra condifie

din (C.L.O.) iar r, cea de a doua condil ie din (C.L.O.). Se gisesc, spreexemDlu,

xr(l): e3' + 5e-3,,

'r2(l): i le3(r- 2) + e3-t'

Wronskianul acestor solulii este ly(1):-6. Prin urnrare, cu notalii leexerciliului precedent, avem:

I - ( e 3 ' + J e ' 3 ' / ( i e 3 t r ) J c 3 , ) / 0 . 0 < s < 1 - - < lG ( r . s ) : ( , " , . - " . . , -

[ - ( e r t { 5 e r ' ) ( i e 3 ' r ) + e 3 ' , / 6 . O < 1 < s ^ < l i

rf (v11(,) -l- 8r'i (0 )) :2e3l(e6- 25-t ;

(i(.ix.k) + p.f:(r)i e6i (2i - eo).

Astfel, se poate sclie f(l), unica soiulie r ploblenrci (E), (C.I..), folosindLr-se lormula ind icat i in cxerc i l iLr l p loccdrrut . t is ln aceasta in seamacititorului.

13. Sd se re:olue problunit llu limilit)

j r " - i - r - f t l ) , 0 g 1 < ' r i 2

\ e(0):.r(r:i 2) =. 0.

u n d e f e C l 0 . ; 1 2 1 .

Solu/ie. Ecrralia orlogc]lit .r" -1-.r:0 cu condilii le la limitn r(0)::r@12):0 admite doar solrrlia Lanali. Solulii le ecualiei omogenerr:sin I Si 12:cos l, verilici plima si rcspe ctiv a dorr:r condilie Ia limiti.Prin urmare (r'ezi solulia exelciliului 1l de mai sus) problema la limitidatE admite o solulie unich, datd prin

i 12

:i(l): j C(1, s) /(.s)<ls, o<l<r/2,0

r rnde C- C( t . s) es le def in i t i pr in

[ - s i n s ' c o s 1 , 0 ( . s ( 1 ( r y ' 2G(/ , s) : {- " ' " '

t - s i n l . c o s s . 0 < l ( s ( r / 2 .

(E.o.)sint

( 1 )

g i , impunind lu i r s i

(c.L.o.)

se obline C1:C2-O.

1 1 0

r." -9x:O

r: Cr ear *Cg €-s'

serifice

{ a ' ( 0 ) } z r ( 0 ) : 0I c ' (1) -2c(1) :0,

1 1 1

Page 56: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

14. Se considerd lunc l i i le au: [0 ,1] -R ( i , j :0 ,1, . . . ,n) sa l is f r i -clnd conrliti i le

as e Cr [o, l ] ( i , j :0 , t ' . . . , n) ;

o , , ( l ) > 0 , 0 3 1 9 1 ;

larl(1iii1'. ror-f;.1' t :o

( V ) E : ( q o , 4 r , . , . , 4 , ) e R " + t , ( V ) 1 € [ 0 , 1 ] ( c o > 0 ) .

arale cd problema la limild

! l - I r , [c iy( / r . r r ,Ft ) - /1 f ) ( /= q0, t ) lf , J=0

, - ( r (Q): rdr(1) . :0 ( j :0 ,1, . . . , n _1)

(EO)

( i )

(i i)

( i i i \

Sd se

o.dmile a solu(ie unicd.

So/u/ie. Si aritim intii cI problerna (E), (CL) are cel mult o.so/irlie. Pentrrr aceasta este suficient si demonstrim ci ecualia omogeni

i ( -1),[or(t)r.()f,):0,tJ:o

cu condilii le (CL), admite numai solufia banali. Astfel, daci reCr'[O,1]este solulie pentru (EO), (CL), atunci, inrnulfind (EO) cu c(l) qi integrindecualia oblinuti pe [0,1]se obline (dupi integreri prin pirli repetate)

(E)

(cr.)

]inind

n l

I J as(l)d.r(nr(,l(Odt.:0.{,r:0 0

colt de condifia (i i i) avemI

J rr(r)dl :0,0

adici r:(l) =0.

E:!:istenla. ln virtutea teoremei lui Weierstrass 9i a conditiei (ii),iunc!ia aoo isi atinge infimrrmul qi accsta este un numdr strict pozitir..Prin urnare, (EO) admite un sistem fundamental de solutii, se zicemtrt, 12, ..., c"o. Deci, solulii le ecualiei (E) sint

( l )

t72

x : l J L r J i ( t ) +x ( t ) ,a=1

( : t )

1 1 3

unde i esle o solutie particulari a..., C2.l este un vector arbitrar dinexisti un vector c astfel incit r dat

I rlrt(0 tCr: -t(0),a r l

2r

)] rl 'r(l lCr: -i(t),( - l

Acesta este un sistern algetrric, liniar,. . . , 2n) , cu matr icea

r1(0)

x;(0)

t c r ra t ie i (E) , ia l c . -co l [C1, Cr , . . .R2 ' , ln con l in r ra re , r 'om ard ta c lde formula (1) verif ici (CL), adicn:

( . 1 :0 ,1 , . . . , n -1 ) ,

( i : 0 ,1 , . . . , n -1 ) .

i l necr r r roscr r le le Cr ( i l . l , . . .

rr(0) ... rr"(0)

ri{o) r;,(0)

R .

r l . - ' ) (1) r t ' - ' r (1) . . . r l " t t11,

I\Iatricea R este nesingularl. lntr-adevIr, s6 amintirn ct problema (EO),(CL) adurite uumai solulia banali. Deoarece solutiile ecua{iei (EO)sint de forma

2n

r(1):D C'r(t),

faptul cI problenra (EO), (CL) adrnite doar solrrf ia banali, se poateexp rima echivaltnt astfel:

2 n

.r(t)-..)- f. 'r i( l) r 'erif ici (CL)+r(l) =0,

2a

.ltc==0.+f crri(1t=0.i - l

xl.-1)(0)

x( i )

x ; ( l )

rf -1t(0)

rr(1)

ri|.J)

rl-'t(0)

rz.(l)

";'( I )

Page 57: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

P(. de altl parte, cum ?r,To, ,... .r2r este ttr sistem fnndamental de solu[iipentru (EO), ar em

2 b

(4) L l ( j r . r r ( l ) =0=+r: -co l [ ( .1 . ( i ' . . . ( ] "1 ' { }i - l

(Veclolul urtl din IR2' u fost notat crr o).

Prin urmale, t l i l (3) l i (4), se oh!inc irnplicalia

B c : 0 = c 1 ) .

Cu altt crNinte, sistetnul l ir ia| si ornoge! Bc:O admite doar solt{ia

balali. Deci, dct -lt+0. ln conclttzie, sistemul (2) admite o solulie unici

c:col[C'r, Cr, ..., f] ' ,,1. (lu aceiti C', frrnclia r, dati prin formrrla (1)'

veril icir problt 'nur (l i), (CL). Q.E.D.Oltserutlie- ln mod complet aseminitor se poate demorstra exis-

tenf.r solu!i i lor pt'ntlu tcrralia (D) crr condil i i le la l imiti bilocale

(CI - ) ' r ' r1101:41 , r ( t t ( l \ : l r r U :0 ,1 , . . , , n -1 ) '

unde c1. l i sint tt iste constante leale fixate.

Drcmplu. Problema la l imiti

r" -etr:l(t\ (f € c[0.1])

: r (0) :00, x( l ) . . ro

a(lnrite o solulie unici r€C'�[0,11.

NOT,{. Pentrrr cci ilteresali si eileascii despre probleme la limitimai gcnerale decit accstea lecomandirn lucrnrilc [14]' [15].

15. Sri se rezoloe ccualia ln distriDirli i

r"a4r4':6' '

frndr NrFT)'(R) esle lelinild Prin

8119) : c ( l ) ' (V) o e rD(R) .

Solulie. Soluli i le distribrr{i i ale ectraliei r '" +4r= '282, in 0'(- a '2\sirt tocmai soluli i lc clasice alc eclraiit i

t " {4 t :0 , 1e l - co , 2 [ .

ln mod analr,rg, solrr(. i i le distribtr! i i ale lcrra!iei

1 1 4

r." +4x-282. in Q'(.2.* t\

1 1 5

coincid crr solrrl i i lc clasice ale eeualiei

. r"+,1r- .0. 1€ P. + .o[ .

Prin urtnare, solrf i i le distribufi i a| ' ccrra!iei

t " i - a ' 3 *23 ,

sirrl. (distribuli i din A'(R\ de tip) f rrle ti i r lc forma

. , , , I C , c o s 2 l r a ; r s i n 2 / . p c r t r . r r 1 ; - 2.r'(r ).=�{I C, cos 2/ f ( i , s in 21. pel t ru 1.-2.

F-aptrrl ci :r1l) r,erif icir ecualia datir in clrrrrl inscatl l i ci

r"(o)+4 r{p)- 2.+,(2i ( V)o eClfl(R)

sa l l

t (?) gx l?) ' - 2?(2) . ( V)p e ( ; f (R) ,

rrndc {i esl.e dclivatl obi;nuiti rlc or.riinrrl <loi a funcliei g. finind contci .u este o (distlibulir de Lip) fllrrr.!ic de forrna indicati, ultima r.cla!.icl;e rnai soit' aslfel

{ . r . : : . r U I { r . 2 t l : t I . r . , , t

l . , t J . r . : t t l 2 9 1 2 i . ( v ) ? . : ( ; f ( R )2 d , . 2 @

sarr, irrtegrind prir parrli,

2 ) 2 @

. r ? l - . t e l + r , i l i , p I i - J ( : i + 4 r ) e d t + J ( i +2 2 2

+4r)pdt:2q(2). ( V|9 e Co'(R).

l ' l r i t ior t , ce le doni iDtcgra le s i t r t l r r lc . t lec i

[ r (2 t ) ) r ' (2 ]0) l 4r (2)* [ . i r {2+t) ) - i (9- t ) ) ] . - (2) - }9(} ) ,

(v)e ' ( r f (O) .

\ r i , : rs t l re la i ie arc loc daci g i nr r rnr i dacd

I t(2 -0) .r(2 ]0) si{I t(2+o) t(2 - o):2

Page 58: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

saLr

I)c ci

Aladar, oricetip) frrnclie de

i (.r cos.l ; (., sirr I -, ( l.r cos,l -l (, 'r sir 4

[ -(! si l l 1 -] (." cos 1 ,r (. ' . sin 4 -(lr cos 4 - I .

( lr 4.1 -! sin 4 si (, 'r: ( i" - cos l.

s o l u l i o ( l i s l r i h t i , ; r r r r r a t i ' , i d a l c e . l e , , l r l i s r r i h r r l i r . , t nforlna

s in t so l r r ! i i Jc r ' las ice a le aces te i cc r ra t i i co ls idera tc pe 11 , i o : [ , r ( l i c : r

r= ( i "e ' f Cresr , 1E l l , oo [ (C. , Cae]R) .

l ) r ' i n r rmare . so lu f i i l e d is t r ibu f i i t le ccuaI i r : i (11) s in t (d is t l ib r r i i i r l i l12'(R) de l ip) frtrrcli i dt' forrta

[ ( - .p t ( "a ! l_ / . per r t l r r / z l .- " '

I Crc ' pC. " " , . l ) , . I t | r / /1 .

l ' ap l r r l c i r . r i1 ) r 'e l i f i c i r ccua{ ia ( l l ) i r scarur r i r

! ' ( , : ) 3 t : ' ( c t l2 . r (p ) : / (7 ) . (V)?€r l f (R) ,

sa t l

.r( i) 3r( i) 1-2..-(e)=./(e), (v)eecff(R),

rrrrdc .!. I reprezinti dcrivatelc obi;nuite dc olt l inLrl i l t i i 5i doi alefrrncliei g. ' f ini ld cont cd ;r este o (distribulie de tip) funclie de fornrai r r , l i l a l i r n a i s r r s . r r l l i n r a l r . l a l i e s o m a i s c r i e

o l l l

J l i r l / r i J r ' gd r l - 2J r ' ?d f + J r f r l t 3J r t cd r *2J red t -l l r t

: _J

(2t 3) ertt. ( v ) e e t--o- 1P1.

l)rrpir irtt 'r lr ' :-rri plin pirl i r 'orn obIirl rrlaJia echivalentir

l l l

. r ? | . . . I i t , , l + J r . t 3 . i f 2 . r ) ed r - t - r i l - . q l - 3 . ? l +t l t l

I

l_J ( i -3 i+2r ' 2t*3)cdl=-,0, (v)ee{; f l ( lR).

l ) coa lcc t . r es t t ' t l c fo l rna i ld ica l i r , cc lc dou i l i t r t cgra le s in t nuk j i l r , ' t r t .l i ir ivalt ' trt,

i ( l ) [ . r '0 t ) ) -e.(1 +0) l- f e(1)[ t ( r +0)- t(r-0)]3r(1 ]0)-3t(1 --

-0)l=' 0. { v) ? e (rf (lR).

. \ceast i l la l ic are loc daci r l i n l r r r ra i dacd

i r ' (1 - { ) ) =. f ( l +0) s iI

t i ( l ' -o) . , ; i (1 F()) ,

r ( l ) : ( 1 1 c o ( 1 2 1 I ( . , s i n 2 1 ; I 0 ' I r t ; r t t t t l > 2 '

I s i r 2 ( 2 . l ) , n c n t l r 1 < - i ( a . r . ( 1 , ' . l i ) .

I lcciploc, se poa[c ari i la u;rrl t l 'r or.ice furrcfir. de acoastir for.rrt ir (crr (.r.( l "eR) es t t o so l l l l i e d is t r ibu l ie pent ru ec l la t ia da l i . peDt r

l l ccas t l rt 'stt ' suficierl. sir arit im ci funcfia

, , . [ O , p , . r t n t / 2 .o { t ) a

l s i l 2 ( 2 f ) . p c r r l r ' r i i ( 2

es te o so lu ! ie par l i c r r ia l i a cc r ra l i c i r la l r ' .

lG. Fic f : R -R r1elirri/r i lr in

[2t -l i . darri t g 1,/ (1 ) . {

1 0 . dacr i I >1 .

Se noteazd lot cu f dislribuliu (le tip funcfie) din A,(R) qencrattide funclia f. Sd se rczoloe ecualia In distribul i

{ l i r . r " 3 . r " , . - . l r B 1

.lohr/ic. Sol rr f i i le dist r. ibrf i i alc tcLra.l ici

r " 3x ' +2 l - 2 t : : , i t Q ' ( . r , 1 )

si-nt tocrnai solu!i i lc clasice alc accstci t ' t,rrali i corrsiderate pr intervatl ll - ; c . l [ . a r r rue

r :c re i l czez , i t , t= l -o , 1 [ (c1 , c re f t ) .

A l a l o g . s o l u ! i i l c < i i s l l i b r l i i l l r c c r ; a l i c i

r " 3r '+2. r -0 in 2 ' (1 , I .c)

117

Page 59: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

sau

I Cre -tC2e, f I .-C'refC,e2

I Cre *2/1,c'� ;1 =C"c 12CneLsau ilr{. i

( ; r - ( j " i i C . . , C r I e r .

lrt corrtluzie, soluli i le ecuatiei (I1) sint iD ruotl leccsaL (rl istl iLrr[i i qetru-rate dt) funcli i de forma

( + r . r ( / ) crcr +c"ort F { t l

l "nt ' " .I e r r . p e l | l r / I ( f : r . C , c R ) .

Rrc iJ r ro t . o r ice funr f ie d i l accsat i t las i i cs le so l r r l ie pent r r r ec r ra l ia (E) .( thse tua l ie . I )up l cunr sc rec lc . so lu l i i l e d is t r ibu l i i a le ecr ra t ie i

date sirrt funcli i :r:r(l) dirr Cl(R), i l f i l i t derivalri le in olice prrnct dirR, cr, exceplia punctulrri l : l (vezi (+)). ln phrs. aceste functi i verif ichec tl alia

i ( t)-3i(t) t2t(t) : /(r), (v) r-R\ {u .Prin rrrmarc, soluti i le distr. ibuli i ale cr:uatiei (E) sint solu!i i Calatheo-dory ale ecualiei (E) (ele verif ici ecuafia in sens a.p.t.). f)f fapt, o ase-menea solulie se obline adunind o solulie oarecale (clasicr-r t a ecLraliei

!tr]fg.ene cg solulia (Caratheodon) par.ticrrlari f, a ecuatiei lel)tnosene,definit i pli l

Solufie. (at () solutie Caratheodory pentru problcnta tlatir eslco func t ie r : r (1 . \ . l> l . a l rso l r r l c r rn l i l r r i pc o r ice s t tb in ten 'a l cor r tpac Ia l i r i t t ' r ' r a lu lu i [1 . +€ [ (p l i r r rnua le dc l i r lb i l i r ap lo l tpc pcs t ( ' to !(a.p.t.) pe acest interval) si ca|c Yeril ici ecuatia a.p.t. f>1 si, ir Plrrs.r(l): ._1. Si arit: im ilt i i ci problema (a) admile cel multo solulie Car u'theodora. Pcntlrr erccasla estc srrficient si ohserviitn ci singura solu!ieCara lhcr , t l l l t i r I r ob l r . rue i

I . r ' ' - !1 . r l r ' / I( t ') i

r ; r . ( l ) : O

estc so lu ! ie ba la l i . ln t r -adcrnr , dac i e .= �9 ( l ) , 1> 1 r 'e l i f i c i in sensCarathcodor-\, problerna (P), aturci

?(l) .4 : j ,e1"; t ls. l ) I ,I

dec i g es te de c las i Cr 9 i rc l i f i c i t (P) i r sens c las ic . I l couc l r rz ic p ( l )= (1 .Iit istenlo. Se rezolri inti i problema

I a ' + 2 / r = 2 f , 1 < l < 2 .

[ . r ( l r=. 1 .

Se gisegte solu,t ia (clasicir)

e 1 ( l r = 1 - 2 c r - ! ' , I ( l ( 2 .

Rezolvim acum problertra

I x ' +2!"" -- t , t>2

\ r12) - - . r1 (2r= .1 2 t I .

Se gesette solulia (clasicA.)

. I | ( . r r r 9 \ , 1 l r , l r , rJ z ( r ) _ . , + . ,

, \ tur rc i . er ident , tunc; ia O.-c t iu i r i lu iu

t r 4 - { ' t ( 1 ) ' t < - t E 2

I .fr(r), I -'2

csle unica solutie Caratheodor) lr('Itru problelra (a). Ea lerifici ccrtafiadatd peste tot pe intervalul [1, i-.c[ cu exceplia punctului t' 2.

(b) Unicilateu solutiei Calathcrttlotv rezttlti ptintt'-ttn atgttttretrtasrruinitol celui folosit la problenra (al.

tr ( r ) - (t

17. Sri sc qdseascd soluli ipro\lenrc Ouuchll:

t , p( 'n t nr 1 < ler 1. pent l r r I >1.

le iri sens (:arallpedotu ale rndloarchl

( a )i f / l x t r l r r r I ' l < q

. r ' + 2 1 . r . Il / , p e t l t t l ; . 2

r r ( l ) - I ,

(r' I jtl l.' l ; pcnt r l I < I

peltnl / > I

1 1 9

Page 60: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

l i . t: islcnta. Se rezolr.i inIi i pr-ollr.rrra

. r " + 2 . r ' + r - c t , l < l

a (0) ( ) , . r ' { { ) ) l .

{ i scs te so l r r t i r ( t l l s i c i )

' r1 i t ) - / ! l l ! / . 1 .1 .

lezo l r I apo i l t loL le r r ra :

i . r " l -2 . f ' i . . r 0 . 1> I

i n:(1)- . r , ( l ) I .h 1

) ;| ' ' { l ) ' ; ' l ) . , ' h l '\ -

gaseste solulia (clasicl)

I . r : ( / )= 1(2/ , I i t . t +r , )e ?,

SoIu{ ie , Un ic i ta tac . Pres t tp t t t t t ' tu c i a t 'ex is ta do t t i so l r r ! i i d is t i t t c t .e

f1, i |2 irr sensul precizat. Deoatecc p t 'ste ctcsr:i loatc ar-em altrnci

1.- r l ( t ) | r ' i ( r )1 . I11( f ) , r , ( / ) ] )0 ' { t .P. t . l>( }

sau

1 1 . . , 1 / 1 . r , r l r l z ̂ . < 0 . a . p . l . I - 0 .

Pr in r r r rnare. fu lc l ia

t H . r r ( 1 ) . r j ( / ) : . / > C

este descresc i toare. Ctrm in I 0 ra loalea sa es lc 0 r 'ezrr l l i c i r :1( l ) :: '*'z(t), t2O.

Itfislenfu. Colsidcritrr prohletna Catrchl'

| . r "+. r - I

i . .10;, .n.Elident, solu!ia acestci problcmc vcfif ici ectratia (E), atit l imP cit

la lo r i le sa le r im in i r r i r ten-a l r r l ' l

* ,2 [ . Pr i r t t rna te , f tuc l ia r r ( l ) :

: l -1 - l -e I es le so l r f ie pent ru ( l i ) . (C . I . ) pc in tc r . !a lu l [0 , ' I [ , t rndc

T >'2 r'cl if ici t-cla!:ia' f - - l ) c

' r . .2 .

De asetletrea, estc cridert cir lttnclia cotrstalt ir .r ' .(1i=2 vcrit icir (E)

pe)rtnl l> ?. Plin rrrmat'c, func!ia

' P t t t I t l + o ' ' l < l < 7 -

' 1 2 . t t '

cs l l so lu ! i c C,a l r r l J rco t l r t t l l ) f r t l t r r ( l ' l ) . t ( . . I . ) t Ia i t l t r l t , 7 cs tc i r t r le f i : r i t

r l c r i lah i l i pc [0 , +oo[ cu t r t rp { i r t p t tn r : t t r lu i 1 - ' f l i ve l i l i c i (E) in o r ice

prur r ' I d i l [0 , f oo [ cu except ia punc l l r lL r i 1 - 7 .

I9. Se considcrri frtttr l iu nrull iuorti p tefinilt i pe ittert 'c|ul [1.], u)( ( l ) ) p r , in

p t t t l t u 2 =0

l )? t t l t u \ ) .12 t l

pet lu 7- -a

t > t .

I t r conc l r rz ie . f r rnc t i r r

r ' ( l ) I I 1 ( l ) ' 1 < 1 '

[ . f , ( l ) , / > 1

esle-in Cr(iR), clr a' absolul continui pe or.ice i ltrn,al courpact clin R(de fapt c este infinit derirabil i pe .try111 ), c verif icE ec[atia inorice

. prrnrt I =R\ {l} si condil i i le i i ,, lnr' aat". J)eci, aceasti

fonc t ie es te (u l i ca) so l i r l . ie C; r r .a theodo lv pe l t r i r p rob lema (b) .

. 18. ,Se consirlard funrlia nri, lt int: i p telinitd pe inlerntrlul l_a.21PUn

, . , - , . [ 2 . 1 ' , t t t r u t - 2 .- '

l : . r t . y n t t r t t - 2 .

Sit se uule td proltlentt Cturhy

(D) . r , l /€=3 ( l r ) . I : ,0

(c.I .) .r(o) oadnile o sohttie Coralheodortt unit:d r. ulsolt (:onlinuit pe olirc int(ru(cont pact t l in [0, -i oc[.

120

,,,,- { ];:. _,'i127

Page 61: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

;i nrufJimca

U : I u e l - ( o . T ) ; 0 g u ( l ) 9 . , , a . p . t . 1 = l ( ) .7 [ r i J i r ( l ) d i : ] i ,

(0<8<77) .

Fie to l i : ta l | l t t [0 ,a ] . I ' t t t l ru r rE{ : . \ c r ro l? t t : { i cu r . so lu l i c t in sur r ( . r r ra -tlcodory t problemei CaucJtl l

Ouzul 2: to:a. Atrrlci. .r ' , = ri. prlt r rr otice rt e U.

CtL.ul i. {t .r 'o 3 r cxp( - .}). Sir cousiderirm ploblcrna Carrchl.

.r'(l) +u(t)r(l):0 (o <1.-: ?')

.r((l): .ro.

( ' 1 ) r , ( f ) - r o e x p ( j r ( s ) d x ) , o < f < ? , r r e l i ,

nu pl'r l l"rseste i.rr1t.r 'ralrrl [0, rrl. Int r '-adr.r ' ir r ' , ir ' ! cslf clcs(irloart si t l t 'ci

r o < r ' u ( l ) < r o c ) : p D < ( .

Se obscr r i r a t r r r rc i c i i : t , , t la t i i d r : ( .1 ) es tc so lu ! i c pc l l l r r ( l - ) , (C .1 . ) .

Cu:ul 4: c exp( -d' t -: :r 'o =: rr . lrr acest t.az se obser'\ ' i ci peltruor ice a e U so lu ! ia p rob len tc i (Eo) , (C. I . ) ia va loarea ro exp 3>a i | I l - -T .Datorii i pr(rpriel, irt i i l l l i Dalborrr. rrzll l t i r ' : i cxistir 1. e 10, Tl irr caleso lu [ in p lob lemc i ( l i , ) , (C .1 . ) ia va loer rca c , l . i t ' /u p l in i r l p r rnc t cu accas t ip ropr ic ta te . A tunc i . func l ia

I ', . , , , | " o c \ l ' { J r { s , ( 1 x , . r t < / < / .- ' " '

| ' � r

I r . l u < - l < ' | .

t ' s le so l ' r t i t (Ca la lh r , r , r lo l r , r P t ' i r l r r r ( I . l ) . (C . I . ) .

E t is len lu 1 l i t r l i . l l cazr r i i r ' I s i 2 . sc l toa t t ' a lcgr . c l l cp l r r l ! o r i rcu=U. dcoa lcce so l r r ! iu p lob lc rnc i ( l i ) , (C .1 . ) cs le ac t ' cz r ; i pen t rL r to f ir re , [ I : r * ;0 , in p r i rnu l caz (dcc i . 1 ' . { l ' x ' j - ( } ) s i r *=c . in a l do i l ca caz(dec i , iF (u* ) : . r t? ) . \ io rn ana l i za acr rn r

Cd:x1 : i :0 . ' : . r0<( oxp( E) . f J i r cxp lcs ia so luJ i t i e . , in tu i rn c i

, ;u ,1 ' . ] l " ( P ' r ' Pc l0 ' t r l'

10, a.p.r . pe l ( , : r ' [ .

r r r r t le 11 sc de tc l rn in i r e l i l co ld i l ia t r i ' eU, ad ic i r 1 r : } i y l i , in mor l co-lespunzitd,

1 2 3

( 80)

l c . t . )

SolLr t ia t rcs te ia ,

(E)

(c. r.)(Se ua arilu ti i .ruftsllcl in(i l r '* .r,x

-r ' ( t )+ rr( t ) f , ( t ) e p(r(1)) (0<t<?)

r(0): eo.

et is l t i ; i es le un icd) . Sd se ura le cd e l i s l i i u ' x 'eUrn(tinti:ee.i fun({ionala l:[/ ' ]R, t lefitt i t i t prirr

' t l

t l istinge rnai nul [e

( l )

(2)

I

I r l r r t - J . r , , ( / ) ( l / . r re { ' .

ladicti F(rr) -1F(ri*,r, (V)u e Ll). S(i s? d?[enninc electin o asemcnea puechc(rrx, .r,*) si tdouret nru.tintit u lui [;.

So lu / ie . I . i r r re [ : . \ ' o rn a l i i l a rna i i : r t r ' i r i r i i r i l a le r r so lu t ie i pont rnprob lema (E) , (C. I . ) . Presupr r rcm cr - r r ' , , . i , s i r t dor r i r so lu t i i i r sensCaratheodorv, corespunzitoare lui ri si notirm cu :,, t l i fcr.en!a lor'. Elit lent

-:,(l) +u(r)z.(l) e p(r,(l)) - p(r,(1) r. a.p.l. 1€ 10, Tl--"(o) o '

l lnru l f ind (1) cu : , ( l ) ; i fo los i ld r r tonotor ia f r rnc l i i ' i g , o l r t i r rcr t

( 3 , I a t : ( t t < u ( t t r : ( 1 ) < 7 : , { / ) . a . p . t . / , l l l 7 1 .: t d I ! '

Dacii integrirnr (,3) pe [0, /]; i lotosirn (2). girsim

:,(r)<2i,j:l(sttls. 0 <t < 1 .

Dr:ci, in baza lcrnci lui Gr.onrvall. avem :u=0 pc [i).

D:(istenla solutiei problenrci (I i ), (1.{:.). \onrcaz r l r i :

Cuz t t l l : xo : - \ . - { t r r r rc i , (E) ,orice u e U.

722

. { + r r ) . r - * r l r - j . o n * p ( t t , . i t 3 / ( i i ;"

[ . r6r .xp8, 3, , - . .< t<?(C.1 . ) admi te so l r r ! ia bar ra l i , pe l t ru

Page 62: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

I Itrtr-aclcvirr, dacir rr csto o alt i frrlcl ie dil {, si r:n cste solrr! in coi.espurr-z i r loare . a t r r r rc i t , r i r lo t r l . r ' , , l r l i nge ra loarea t r tax i rn l ' t , .uocxp d . . in l r - i tnp^rn-c t 1,ZDl,. I), 'rr:rl lcc r<rr*...1 a.p.t. pe 10, 8/-'1. r.czri lt i i f,.,, -{.r,* pe[0,- ] i7]. Dc a.s('rtelcll. inlr.ucit tx -r:oexp o' (r 'aloar.ca rrarirnii pentruo_r ice rn . u€U) , pcn tnr d /7<1< '1 ' , r r .cnr . r .u ( r ' x ' , pc [D/1 , , ? ' ] . Dcc i ,l i ( i t I < F(a " ) . r r r r l '

F (u* ) : r 'u "x l , a (1- -c \p ( d ) f T"1 f ) / i . .

Cq:u l 1 . . t c \p ( -3 ) . . - . r0 r r . F i r i r r ) l c f ia r rx de f i r i t i p r . i I :

. , * , , . I , r r ' l ) . l l ) ' f l ^ ' . [ ." " ' - I 'J. a.| .r . pe 1d,., . , r l .

Atrrnci, solufia probk.rnci (l i), (C.I.) cste

. .x , , , I . r 'u , .xp( . .y ' ) . O < 1< ( I 1 . . ) l I { o / . r0 } .. . , ' r i

[ { , ( l / y ) tn ( ( / . ro )< /<r .

Se cons ta t i l r soL c i t l ) .n ln t o r ice r re l /

. r , (1 ) Er -x ( l ) , 0< /< ? ' ,

arl icir

F(u) E I(rr 'F),

rrl r lt '

/ " ( l l ' ( ) ( ( I - . r0 ) /1 , r ( (? - ( l / . . , ) l J r i ( r '0 ) ) .

S i i r rbscr r i r ru c i - r la d rcapta pr r rc t l r l r r i 1o =( l / . , , ) l l ( c / . r 'o ) . r i * no l t . c f i

n ro r l i f i r :a l o r ic r ru r . c r r co l r l i l i a ca x - r . s i I im in . { i l { : ( t r l i c i r J u ru f . )A . :

- , l _ In(n/.ro)), f i ir i .ca.r*"..:ra sir sc urodil icc. I)eci, t 'xistir o itrf irri late

dc a leqc l i l ) , ' J r ln r r i 'F . r , l

Obse.Lortl ie. l)r 'oirlerl:r l)r '(,corl( ' l t i csle o TtroDlerrrri sirnpli r le crinlrol,en \c lna t i de a)a-z is t r l : : i ; [ c t t t dc r r la rc t [ . ] ) , iC , l . ) . L : se l r r rncs tc rn r r l t imoatonlroalelor (conen:ilor ) tdnrisibile. [-rr r.ortr.o] rr 'r 'e I i carc nraxnnr-z.eaz-a funcliu ohiettit F s(' l l tmeslc tottlntl rtJtl inu ial .r:-x -= r.* - sfuireoplinwld.

20. Sc con.siderri Tttolt leuut Cutcltq

(E) .r" -i-.u e -sign.r', l :,t)

(!.t I r(0)::ro, r:'(0i au.

724

r t t t , i t s i : ' . ru l t t - i fu t t r ! ru tu l l t ru ; t d (hu i ld p t i r l

I ' i uulia (E.\ de$(rie elolulia alrsr:isci r(l) a unui puncl melerial de ntusllu i l i !c, totr:; lr ins sd rtintitt i i pe o t ',ttr1tld.si srrptr.r 1c dortti forle:

o Iorl i l t rutr' l iune clt"l ir i <,t2.r' i 1,, (uici s-r laal to==1 perrlrrr

, t l i t t ld l t l i t r r t ; r ' s i r r ' . i 11) .

O us tnrc r t t r r fo r ld de l t ru t r i r l tu rec l tu l n l i s ( ( te (se luce peo supra fa l i t

5ri re nr t/c cri ( V I .r ' ,,. t j ie-F. pt ohlenru (E), (C.I.) (rdmile o solulie( :a t { t theodor ! r in icd 1eC1[0 , - l { [ . r , : r . ' t i :o lu l con t inud pe or ice in le rudco lpuc l d in [0 . 1 , "c [ .

f)c escnvttert. sti st tttalt r i tnisturart rt artrc i:?(:i i tt Lintp fitt i t.

. \ r , / t t1 tc . S i r a l i r t i r r r r i l t i i t t tL i , ) ! t l ru s { r i l l l . i e i . Prcs l rpLr r r t ' rn c i l r l r ' r i r l . ri l , , r r so l t i t i i d is t inc te J1 , r '2 e ( i r [ { } , - ] co I l i i l 1 r ' r r p rob ]ern l Carch \(u ) . (C .1 . ) ( r . r ' . . y0e ]? f i xa l i . I ) i r r re la l ia

( r ' r r ' , ) " r ' r . r ' .e (s icn r i - - , \ i l l j r x ; ) . a .p . l . l : ' l )

r l r , r i , r r r rL

( . r I . r - r ' ' ( . r ' r . r , r

l ----.o.

1 F ' l l . f 1 l l , . f " r / r l ' l , - f J t r ( l t . f " l l l l :

f s lc descrcsca i toare J rc [0 . - l .o : [ . l )eoa lcce i t r 1 . - ( t aceas l i r fL r l c t i r iar u io l r r ra 0 , r r lmeaz i c i r . r l ( / ) . l " l i ) . 1 )0 . ceca c r co l t raz icc p tes l lp l l r l c fca( a , .1 , s i . re s in t . d is l i t rc l r : . I )cc i r r r r i c i ta t t 'a cs l , . r lo rcc l i t i r .

\ i de t t ro r rs l | i i r r a ( r : r l / , . t r i s / , l r i . l Ia i in l i i s i r rc ru l i rc i ru c i , pc r r t r Il o - = l 1 . 1 ] s i r l n ( ) . 1 u r ) c l i a c o r s l l r l i i . r { l r - - . r . e s l c I n i c l ) s o l l r l i cp c r r l r L r l . ) r . ( C . 1 . ) .

.'",',-l :' ', illil i.;

si l u,

I!Jt

t t , ,

/ , , . ' , t t t , - r ' ' ' l ' r ' ' 1 r " \ : ' i i ' i " l ' r '

ru r n rarc . l i r rc ! i l

1 2 5

Page 63: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

Sir considerlm acum sitila.tia in rero f,.,,=R si yo>O. Evident,so l r l i : r . r11J a p loblcmr i

ilti ' .r" -l-r== -i

(C.1. ) .r(0): ro, .z'(0): yo

este de asemelea sohrlie pentru (E), (C.I.) atita linp cit .r'(l) >0. Pr.inrrrnrare funciia

r ( r ) : ( ro .F1) cos / +yo s in I -1

eslc solrrlie pentru (E), (C.I ) pe un inteLval [0, z[ pe calc

r i ( l ) : - (cof l ) s in t+yo cos l>0.

Notind g(t):ri (l) se poate vedea usor ci

[c( l ) -1- l f ]9 f ( / ) - ( io- j - l )2+t3.0<1<.r .

Prir urmare, traiectoria l*(.r'1(l). trr(1)),0-<l<a, r'eprczertati in plannloO17 (spafiul fazelor). este ar"ul -1G al ccrcului cu centrul in B(-1,0);i dc razi [(r"*l)r*13 ]/2. (Vezi lisrira 2). Presupunem ci lg cade lar l I l . a p l 1 p t , n " t , t t ' r i t { ! . 0 } . a d i c e

I i v i r le r l . o so lu l ie pent lu (E) es te so l r r t ie pc l t lu ( l i ) a t i t t imp( ' i l . r ' ( / ) -1 ) . As t fe l , rezo lv ind ( I , l ) , (C . l . l1 (o rs l l l t i l l l c i r f t rn r . l i r

r"(l):(.r ' f t\ cos (/ z) 1, 1- t-. l . t.^' l ir

esl.e solufic pentlrr (E) pe i ltclvalrrl lr, a -,II ; i traiecLolia l- (,r '2(1),

a :L ( l ) ) , z l . a f ; . co i r rc ide cu scmicerc r r l NPQ cent la t in .4 (1 ,0 ) deraz i i r ! 1 . Ma i ru r r l t , fu rc l ia

, , , , l r { t \ ' o ( t < t

l - r , ( l r . t - l . a -

este dc c las l Cr . cu r ' abso lu t cor r t in r r i r pe [0 , e 1 ;1 , es tc i lde l i l i t de l i -vab i l i pe ] { ) ,c r } r [ cu cxcept ia punc t r r lu i l= .=a $ i vc r i f i c i r (E) pe l0 ,c r * t [cu except ia punc tu lu i 1 : , ( , p rccum l i cord i l i i l c (C.1 . ) . Procedeu l d t 'construire a soluliei poate fi conti luat in acclaqi rnod, traiecl o-ria soluliei in spaliul fazelor, fr,(.r (t), r '(/)), f i ind for-mati din semi-cercuri, centrate altelnativ in r1 5i B. Mi;carea inceteazi atunci cintltraiectoria iDti l leste segnreutul IJ.,1. .\cest fapt sc intinrpli la unInoment, sh zict,m T = z -'r, l:;t (/r e N), dup.i carc solrrl ia se poate conti-D l l a c l )

r 1 t ) . - r { t ' ) . l ) ? .

I ' lr idcnt, procedeul de construilc e solrrl ir i este r':r labil pentru oricef,o, l,to€R, ln plus, a rezultat ; i fal)tul cal nrigcar.ea se amortizeazi iutimp finit.

Se r.orsideri acunr(R)

( c . l . ) r

1ztt

. t1= , I ( . f . i l )2 L r l2 l r , ' : I l .

I.ig. 2

p rob lema Ca , r , b l

: . " - l . l l .

. r ' { a ) . . r l , r ' t i a ) { ) .

21.

(s)

v'Se considerd :islemul de ecualii tl i lerenlide liniar si omoqtn

J .ri .-= r, cosr I . (1 sin t cos l lr,

Ix; .=(1 -l sir) I cos l)rr +.re sinll.

Sll se artle cd nt[ricea

fe r ros l - . s i l I Ix t l ) : l e ,

s i n ! cos t Itsle o mulrice fundontuitld penlrri (S).

(b) Sd s? delernrirte .rolrr{in si--lenrirlrri lS) rrrrc uetif id aottrl i l i i lef r { ( } ) . 1 . r2 (0) :0 .

1r't Sri se dctermitrc solufi i le sislcnruhri (S) carc Datif iLi conli l i i ' t

r ( ( , \ 0 . . r ; (0 ) :2 .

1 2 ,

Page 64: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

Solulic. (ttt Sc relif ici ulor cir

i r1:e, cos I f r1-= - sil I' | r r - . e , s i : r 1 i t

i r r . c o s 1 ,

s i r r t so l r r l i i pc r r l lL r (S) . l l p l r rs . s ro r rsk ianr r i accs tora ,

W( t )gdetx ( t ) c i+0 , ( V) t e tR .

I r ' i n u rnr { r 'e , cor fo r rn ' l ' co r .e r lc i 3 . Cap. I I I , $2 d in \ - . l l aLbu [21 .X( l )

cs lc in t i -adc l i r o u ta l r i ce fundarncnta l .a l

(b ) , \ r i r rd la d is l roz i t ie rua l r ' i c ra f r rndarn t 'n1r l i - \ ( l ) , so l r i t i i l cs is tcuru lu i (S) se sc l iu as l fc l

| . r ' , ( / \ I | /1 , I I r ; , e , cos i / . , s i r r I I| " I a ' , , , 1 ^ l I

L . . , r r r j x ( / ) [ r : r l L c , " , . i n r , c : c o . , J t t ' ' r ; ' - w , '

Impun ind cond i l i i l c e r (O) l , : r . " ( ( ) ) . .0 se c i rs t ' sc Cr -1 , C, .0 ,ad i r i so l i r f ia c i r r r I a t i i es {c :

.11 t ' / c rs 1 . . r . t , r s in 1 .

(c1 Sc couslatir rrsol ct-r sirr3-trr.a sollr l ie care lcl if icd coudil i i lerr(0):0, ,.-i(0): t ".r,'.

r r . - .2e t cos 1 . x " - -2 e ' q in 1 .

22, Sd sc inlcrlreze sislemul

f t r '+x r I 2q l2cos I

\ ,y ' - -2, to -o ( l >o)

So1a1 ie . l i l im in in r l r r -se r7 , se a . ju rge Ia ecr ra l i r in : r

t2.r'" 2lr ' ) 2.r ' t!(1 sir I I 2 cos l). t:,0. l ' , tr i i.\ceasta est(. o ccrrafic de tip Iluler'. t leci se poel.e integra cLr ajut$rulsrrbstituliei I, cr. -\poi, se calculeazir y din prima eciralie a sistimuluida t . E fec tu ind ca lc r r l c le , se g i i sesc so l r r f i i te

x -CLI +2C2t2 +31 sint --21rp(1),

g:. --C j -3C"12 it lsint {3lrp(l),

I _ , .0 ( a l l , ( j re l { } ,

turde p(l) este o prirnit ir. ir a funcliei (l/ l) cos t, t>01

128

23. Fie X(l) o motrice fundunenlulii a sislemultti

(S) r ' : A( t ) r ,

u n d e A ( t ) : [ o y ( { ) ] , c u a r 1 : I c l R * R c o n l i n u e p e I ( i , i : 1 , 2 . . . , , n ) 'I l i ind un inlerual. Sd se ante cd [X(t)tf 1 esle o matrice lundumenlalda sislemului (udjuncl ),

( S adj) r' : -A(t)r x,

und6 indicele superior 7' indicd operalia de transpunere.

Solufie. Deoarece

tlet [X(l)"] !:--!- +0, t e I,- d. , X( i )

tot ce a|em de demonstrat este ce

{x( t ' l I - -A ( t \ r [xr t ) " ] ' r ' 1c1 '

Derivind identitatea IXO] 1 X(l):1, se obtine

I x { r ) l r - l x r r ) - -3 lx ( l ) l ' r x ( l ) .' '

d / d l ' '

De aici, tinind "oo1 4" -1 X(l) ==A(I)XC), se deduced i

-11x1rr;-' - -[x(r)fr.4(r)

sau, aplicind operalia de ttanspunere,

{txto'r': -A(r)"[x(orf r

Sd se rezolue urmd.toarele sisteme dilerenliale liniarc:

I r ' : r +u{I u' : -2t +4Y

ecuafie y:o'-c Ai, inlocuind in a doua ecua-

t " *5t ' 16r :0.

r,:Crezt 1Cre't.

Q.E.D.

'

So/u/ie. Din prima

!ie, se obline ecuatia in

r\ceasta are solulii le

J - ; - t r l00l

Page 65: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

urmare, sistemul dat are solulii le

I r:Cgzt +C2e3t

\ g :CP2t {2Cre3' , (Cr , Cr=P; '

25.

rrnde I este un contur inchis, rectif icabil, din planul conplcx (dt'exernplurun cerc), cu diametrul sulicient de mare, astfel incit ).r, tr2, ..., ),r se aflSir i l terioml domeninlui delimitat-de f, Atunci, conform teoremei re-ziduurilor,

er/. , tR,(). ,) .t : r

unde R,().r) este reziduul funcfiei (matriciale)

) . - " t ' ( i1 / ) .

d e t ( 1 1 - , 1 )

ir polul ),1. f)eci

R'(rr) : - -L l imr t n , t r t l - ) ,

Ir ' . cazrr l de fa! ir

r' :3r, -g +z

!t' :r +ll +zz' :4r. -g +42.

Solufie. Vom calcula matricca etl, ttnde A este matricea coefi-

cien!ilor, adici

f r - l l l" t ; '1 r l

l 4 - l 4 l

Deoarece. e'�/ este o matrice fundamentali a sistemrrltli ' ttrmeazi cE

solulii le sistemului vor fi:

I . t r ' 1 | c ' lI Yftt | " ' ' I C. I { ' lr ' c, c3eR)L r t t l I l c ' J

Vom aminti aici citeva chestiuni teorelice legatc de rezolvarea sistemelor

diferenliale l iniare crt coeficien!i conslar!i '

, l : ' l . [ : ' l+ l * l , l { ' l .l r ' J L r ' I

unde .4 este o matrice pitraticd de orclinrrl n' cu componcnte reele

@e-n"(R)).Si notdm cu ()'I-l4.)* matricea adjunct[ asociati matricii

11-,4 9i cu ),1, Ie, ..., }'r ridicinile ecualiei caracteristice det ()'I-'4):0'

ct Drultiplicitdtile mr, m2, , me (m1+In2+ *mt:n)' S[ amintim

c ' l

- ^ t

er,:(2zri)-1 J eI(rI' .4) ldl:(2zi)-r [ de;r---,

(]'I-A)"d].,n

130

d ' t I l " i t t i - i , t ' " 1 , , I r r + - [

d 7 . , r I d r t t i r - t ,

- ' l

l n , I - r ld e t ( I 1 . , { ) : - 1 I - - 1 1 1 ( ) . 1 ) ( ) . 2 ) ( } . . r t .

| - 4 1 ) . 4 1

I)cc i i ,1=-1, ) .2 .2 , ) , , : . -5 (cu m1:1pr :nt , , 1) . Apoi

f l, -5)' -t5 -i +3 ). 2 I(lI -,{)* .: |

'^ )., -7i' +8 ). 2 | .L +r. -s -), - I i ) . 2)! J

Cr i io rmrr la dc nra i sus a lem

R,r r r -1 , r r ) * a [ I ; i I. | ' l - t ; ; l

" , , 1 - r r o l , , , 1 r - : 3 IR,(2).: Tl 2 _2 o I , n,(5)- -l ; _.r :r l.I 3 -3 0 I I 15 -d r I

,\s1lcl, soluliilc sisternului dat sint

I r ' r t r ] | . , II ut r r l - -1n,r t r 4R,(2\ - r F,{ i ) l I r ' l rcr . c" . / , -R)I z(rr j L- - -f-..-_,2 I e., I

,,tA' r 131

Page 66: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

rr r rleazir ci solLr-ti i lesistemului sil l de forl..r (vezi [2, pp.

[ .rrrr Il U ( t ) f

: e t v ' 1 e : ' \ ' , * e 5 ' \ ' : .L : ( l ) I

es -e9l)

' (,r :.,{ i ** +f *J +c,(i :--;) +c,t -, +tr

u(r) == c{a - :e" +f *,] +cdi +"-+) +ca( -e, +eE):(r):c,( - :'- "" 1l o,) n c,(-i +e' _f,) +c,{", +:"u),

runde f,.: Cr7.1.

Sch imbind cons ta l te lc . solu!iile se mai scriu:

lritt:(,ret 1i"ezt a4"{t

!(tl:af'-2eze* +e 3e5l.(ti,, fl-1c, -3ire,, +3i3e5,.

Alle rezolodri.

. : x . ' -3 r+y .

lnlocrrind pe .: in celelalte doui ecuali i avem

I v ' -2v:x ' -zrI g'-3y- -x" +7 3:' - 8r..

Scdzind acum ecualiile, gdsim

tl : t, , _ljr. l6x .

InlocLrind acest g in una din cele doui ecualii de mai sus, obtinem

r"'_ 8lc" 177x' -lolc:0.

Dripi cum ne aFteptam, ecualia ln c oblinuti are drept polinom carac-teristic tocmai polinomul caracteristic al matricii A (vezi [2, p. 991).Astfel, se determini r:r(t; Cv Cg, Cr), apoi y, apoi z.

Iati acum inci o rezolvare.Deoarece ecualia caracteristici are rldlcinile

( + )

r rnde V1, Vr , V,(+) iD s is tern s ir i f ice ccr ia t i i le

s in t vec t r r l i cons tau ! i ( t r id imet rs io r ra l i ) . In locr r indi rJcn l i I c^nd, sc cons ta td c i l /1 , V , . V , t tebu ie s I ve-

A Vr: Vr, /4 l '":21'2, r1 \. ' ..-- r-) V3,

ad i r i ioc tua i ecua l i i l e care da i r vec to i i i p lop l i i : r i mat r i c i i ,4 . Rezo l l indares te ecua! i i , oh{ inenr

t t l I t l . . t l lr , c , l r l . v , - r . "1 . , l . ' r ' " - . ,1 r l . (cr , c" , c3€?).

| , r J I - 3 -| I :t I

Cu acegt i V1 , 1 /2 , V3 t r ip le te le de f in i te de (+) s in t so lu l i i pen t rus is temul da t .

26.

So l r r l i c . \ :om ca lc r r la n : rL r i r : i ' a c ' ' . u : rc le l :

no la l i i l e e rnoscute (vez i exe lc i ! iu l p recedent ) . a

det(),I -A ): (I -p)3.

Apo i

l,::fi::'

| ).. 5), +6 2t. -5 3r +7 |: l i 2 ),2,5) ' . +7 D,-5 I

I i - 2 - ) . - f 3 i . ' 2 ] , - 1 I

[ 1 2 - 3 I

| 1 I 2 l . c ul r - 1 4 l

\ t l n :

132

l r :1 , ) . r :2 , \ :5 ,

(),/ ,A )*

r33

Page 67: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

a.tuti

e,. : R,(2) ==1 11n j -

1e1'1lr-A)* l :

: { } " ' ' l t . t t . r - ' r )*+ 2/- l ( r r ,1;* ; -911u-4, ' , ] }^_, . -

,.., I 2t +2 - - 1z 1./tt t2 -6t IT l 2 t t 2 - . 2 t t 2 t 2 l 4 t I

| 2 1 t 2 - 2 t - t 2 l 4 t + 2 J

sol r i ! i i lc s is tcrnulLr i s in t :Astfel,

l r r r r I [ ( r , II v i r , l . " ' ' I c , l , c ' , c2. c,e lR.| , 1 r r J I r , . I

Dacd se schirubir rrrnstantele, solul i i le se mai scriu:

I . r t / ' r : ' 1 ( . 1 r , ( . - l 1 t . " 1 2 tl -

jrrl)-ez'1 C, q ui"-1er+24)t-c7,1

[:(1r cr,[ (:\ (., - 1Ca-G2+2is\t -i3t2l.

0 all i lezolrare: Dcoarece ecualia caracteristici are ridicinat r ip l I i , , .=2 , rozr r i l i r c i r so luJ i i le au lo rma

I x(,) |( + \

| l / { / ' l - - c ! ' \ ' r t , l e 2 t V z i l ' e z ' V s -

L : ( l ) |l n locLr ind (n ) i r r s is te rn g i iden t i f i c i ld se a ju lge la s is temul a lgebr ic

' f , r r , - z r ' , 1 r "

I ,,1 \'z= 2 V, _:1V3

I .A \ '3_ : V3 .

D in a t fe ia ecuat ie g [s i r l l

",*l_ii'

folosind acum a doua ecualie g6sim:

l r : , Iv,-l g,-?9" lL ' C 2 - 2 C " l

ln sfirEit, din prima ecua!ie,

f c ' lvr : l -c l c r 6c3 l ,

L C|_C|_|C" luode C1, Cr. C, sint ri- irs'Latrte reale arbitrare.

27 . l ; ' : * i - '[ : ' - 3 r . 1 - :

Solulie. CalcLrlim matricea cr/. unde

f 1 - 1 - 1 Ie : l 1 1 o IL 3 o 1 J

Avem det ().1-A):(I -1)(),, -2). +5),

care admite ridicinile ),.r:1, i2:1+2i, ),a:1-2i. Este momentul sefacem o observalie generald care ugureazi calculLrl matricii e,/. Anume,dace )., este o ridicini complexi a ecualiei caractedstice (deci conju-gatul seu ),, este de asemenea ridircini caracteristica, cu aceeali multi-plicitate), atuuci

R,(),1): R 1().r),

uude Rp,y.1 roteazir uratricea f onlati ou conj ugatele compo.nenLcrormatricii nr(Ir. L5.sim in seama cititorului demonstraiia acestui faptelemeDtar. Priu urmare, surna urrnitoare (care intervine in calculul

matricii etd) se scrie

R,al, +R,(lr=-2Rc {R,().1)} ,unde Re {Rr(I)} inseamni matricea formali cLr pirl i le reale ale cotrlpo-

uentelor matrici i R,(),y).

135

Page 68: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

..ln exerciiiul de fall cste deci suficient si gbsim I?,(t) 9i Re {R(l ff2i)] qi aturrci

el ' :n,(1) +2Re {n,(1 +2i)} .Ar cm

I r.p,-ty -7,-j-1 -),-1(i,r -,4 )* : | ), +2 ).2 -2^ +4 ^ -2

L 3r -3 1,2 -i +l

0 2 l

i i l -" , |

-2(2 cos 2 l fs in 2 l ) 2 s i r 2 /- - | 3 c o s 2 1 2 s i n 2 t L r r , 2 l

n L 3(cos 2f (l sin 2l) it cos 2i

5i solulii le sistemului dat sc scrirr. ca dc ollicr.,i.

[ : r t t | | , , , II t r t t t 1 " ' ' I c , l . rc r . c" . c"eR)[ : ( / ) l l / : . I

I r" !5t.^' -2a' -i-u 028. ,l

[ 2r" i r . r , - t / ,+ ix , ]_2 ' l :0

Solu/ie. Se aduce sistemul Ia forrna nonaail. PcntrLr aceasta serezolvi intii sistemul in raporf crr r'" si r1'. dupi carc se efectueazl sub-stitu!ia r':;. Se ob!irc astfcl sistlrrrrrl

t l ' ' L ' ' ' ; :

- _ z . L _ : t i - .

Atun c i

Pettru accsta se

. f 0"":+ | 3' 1 3

l (s i r 21- . ros 2 l ) I- -2 s i l 21 cos 2f ) |--2 sin 2l llcos 21 J

caul at r[atric('a err, utrde

[ , , n t l. 4 : l 1 { ) 3 l .

L - l I I I

dc i (7 .1 -1) : i7 , 1) ! ( i ,+1)Avent

136

rldicinile I1:1 (dubli) ;i ]rr: -1. 4poi,

I r r - ] . - 3 - t r(),r-A)*: I r+5 ).'�-r+2 -3i\+1

L -zr -t -l t2

.R , (1 ) : l im 1 [ { ( ^ r -A )x l :

Lfl (r^ t / .+r I

II '

J .r" : - ' : . . -y +.r 'tI I : r - ; ' t

r / : *x" l - r ' 2 . r .

dora cc i ta l ic ob, t ine rn

J" ' - r " -x i +x.={) s .a.ar .d.

, [ -or;r -2t +1 2t +t -l

: i - l +( .1- r ) 4 t -4(1+1) l .'L -or-r --2t-�r 2t+J J

[ - 1 - l - r ]n , r - r , - I l 4 4 t l .

' l l I l j

Astfel, solulii le sistcmului in r, y, : siirt

I r r t y l | " c ' II V t t t 1 . [ n r ' ] ) - F , { r ' l I C , ! r C r . C : . C r e i ? ) .L : ( r t J l c , J

Pr ime le doud compouente r ( t ) , r r ( t ) cors l i t t t ie so l r r l i i l e s is temul r r i in i [ ia1 .

Obserualie. Se poate 1:iroceda 5i alt let. .\stfel rezolvind sisfenruJ in

raport cu r" ; i 17' giisitn:

Din prima ecualie

l r locuind pe u in a

137

Page 69: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

r (o ) - 1 , y (o ) :0 , : ( t l t t : , , .

Sc ,u11r . "n* a rn i l t i car so lu l i i l t , s is ten tur i l ; , r r ( ,u log€ l

. l : ' l , [ : l l , / , ( 1 , . / € r .; l 1 , 1 ' l i , l "

l : lL . " J L ; , IundeAe-2,(R) ; i i :1cR- i l " cste o f r r rc f ie ( r .ector ia l i ) cont inu i peiutervalll l 1. se lepr.czitrlit srrb forma

(10 = I ; Cr , Cr , . . . , C" e le ) .

Pril X(/) s-a notat o nratrice f LrrrclamentalI a sistemului omogen cores-punzitor. Este convenabil sir uti l izim chiar matricea X(t):e,r, deoareceputem spune d i rcc t c i in r - r rsa e i es te X- l ( l ) : e - r r ' : X( -0 .

Sisteruul onog-cn asociat sistcmului de fa!i a fost deja considerat( r 'ez i t ' xe rc i t r 'u l P{ i . ) . \ s l t c l , a ru ! i z i r t a tunc i c l

19. Sri se re:olpe sistemul dilerenlial liniar neomogen

f " ' r l 2 g - 3 : 1 2 e z r

i U'- r-l ! -L2: -2e2tt : ' . . . r - y - r i . - 2 l e 2 t .

Sd se g ti.sea.' c ti opci .,r,rl/ltr ,:ar - t t:"tiicd ._qditiite..

A t u n c i

I d1;sr ;iis-1-2X-r (s ) l ( r ) :1 - ' ' a | ( r ) = -

| -$3- ; . . : r - .1s 2

I _.s3 _is: _2j

xrlr-e,, . i ;; ' , .".,; ' f , ! l , f i , l .

I :.1: l- ::t l! --41 +21

' I

IJ

L 1::: I "' il :: l.i"

"r*a"| '-'

i t" , i l- ' i l '

l l, 1 , ! ( 0 ) : : ( 0 ) - 0

Prin rrrntare, solufi i le sisternlrltt i clat silt:

i . t r r I l l . , - l l ' l 1 - ' t ' ' : r t ' 1 2 tI l l | | | : rI I l l | | , { iI y , t ' l : " ' " { l c ' l t l

' - - ' - ! 3 2 t 2l l l l r lr I r ' ^ , I j " _ r t " t . .l

' " ' - i l l ' " - t

- 4 JSe vede uqor ce solirt ia care r erif icit condil i i le z(0)=

colespurde constantelor Cr:1' Cr: CB:0.

i lO. Sti se rlr iseascri .solrrl i i le sislenrtltt i r l i ferenlit

[ . r ' i . " ' . r" , - tII t : - "I t , , l 1 - ] 1 3 .

Solufie. Din l l l t imele tlolri ecttali i arettr:

c r :e i ; i r1 ' - r . - r . . . . r ' i r i .

l r r tocu ind in p l i rna ccua l ie a s is ten t t r l t t i ( la t . S Is i rn

t'r ' ;t ' i - ;,^',r-i.t "- ' - l.

Accastit ecualie :rrc soluli i le

r r : (Cr +C, l )e '+C3c- t - l ( ( . '1 , f - ' r ' {13€[ i ) .

Reren ind la snbs t i tu l i i l e l i r c t l te . ob f i t rem

3r : - Czc ' - 2c3e- t - 1 '

x . = : ( C l + C . + C ' l ) e ' - ( i r t ' - l .

3|. Se cottsit lerd nLulricetr

3 l

_|

tntLlr icca e' l

i r 0. { . . - l -1 2

l o 1

S,i *r, grisearcri det cr /rirt i n :,e calcultt

1 3 9

Page 70: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

.l r'.1,1,i1 : ( t ) : 1 l ' (0)c o

Pt in urrnare. a l ind i l lc t lc re c I ' lV(0) :1 q i / r J :2, a lem.lv(ll:

er r.

Suf ic ien lu . I " ie 1 ) '0 l i xa t . D i i i t l cz ro l ta rca de rna i sus rezu l t : r ,

in traza condi-tiei (C), ci pentrlr N natrtral, srrficient de Inate' lnatricee

e ' ' , J a re toa te e lemel te le t renegat ive . Pr iu r t t l t ta te , la fe l es te s i tu i i t t i cea

e .1 r (e .1 r l . ! ,n ' . Dec i J en( ! - " ; / (s ) ; ,0 , />0 pcr l l ru o | i c t ' func f ie cont i r lu i f ,0

c u f ( t \ > 0 , t > 0 .} i l . Fie f , r=C[0, l ] . Sl i se uale t i r proLlentu lu l imi ld

(s) I r+ ! " : f ( t ) 'I I - r . " : a ( t ) , 0 < t < 1

(CL) t (0) : t / (0) : r (1) : Y( l ) : t )

udmite o so lu. t ie unicd ( r , y)eC! [0, 1 ]xC' [0, 1 ] .

Softrlie. Sl aritim mai intii ci problema (S), (CL) admite cel multo :olLllie. Aceasta revine la a alita ci sistelnlrl omogen

(so) r +9" :0t y -x" : ( \ ,

Sola/ie. Amintimsistem ril

Notdm W(t) : det er i . Ina\'e n]

l r t co t rc l r rz ie

:]2. I iecti: o conrli l ietu prollentei

(Pr )

sd l ie niu'rl irt i td i i t[erior le sol(Pr)

e.\lc .r(l

(c)

cd e'1 este o nratrice fltndamentald pentru

r ' : . {e .

baza teorc ' rnei lu i L iour i l le ( i 'ez i [2 , p . g l ] ) ,

t l c t r : r : l1 : (1 ) :c ! .

-{:(or) , ntrdrice ptitruticd ctt elernenle din lR. Sd "(€ a/olenecesard l i \rrf it ietid ut orice solulie r:r '(1), de clasd Cr"

I , ro . ,t r(o) - c,

u l r a ! - . g ( l

i ! ' .-,4a,[ , \ ( )1 . . c ,

1 > 0

). u problenei

1 > 0 cu condilii le la limitl (CL), admite numai solulia banali. lntr-adevir,dace r(l), y(f) verifici (SO), atlnci, inmullind cu c(l) prima ecuatie diu(SO) li "u y1t) " aoua ecualie din (SO), apoi adunind ecualiile oblinute 9iin tegr i rd de la 0 la 1, ob l inem:

I

I r "vd t :o

n i l > 0 , pcn l r .L ! to l i i l j .So lu l i c . Ncrc . \ i tu i l r : r r . l i l i dc l { , ruLr l ! iu rea so lL r f i i l o r p lob lemc i (p r )

co i l c i r le cu r l r r l l i n ica so l i r ! i i to r p rob le tne lo r

(Pr)J i

' .-. t.r .f f(r). t > t)

I r ' ( i ) ) : c,u n d e / - f t l ) s i l l f n , r c l i i ( r ' r ' c t o : . i a l c ) r ' o : r t i r r , r , i ; i / ( l ) ; 0 . p r i n u r . m a r e . at l , ,n : . " l o l i ce so l r l i , : . r ' . f ( l ) i l l ) rob l ( rn lc i (p r ) cs te n r , - r13 in i t i i l fe r io rd e y ( / ) ( a d i c i l l / / ) - r ( 1 r ) r 0 ) c s l f 1 . o i u 1 r a c r i a s p i r r r c c i

t

J , . " - . , 1 i . 14x26 , 12 6 .

pcnt ru . o l i ce f r r l c l i c cor , l i i n r r i r / c r i r ' , ru ipo i r r , r i te l rc reqat i le . Dar aceas tain rp l i c i r fap tu l c i r o leu t , ' r+ .e le r la t r . i c i i r : . { rs i r r t ncnrg i t i r .e pent ru />0 .J i l i : rd co l t , i l c dczr o l ta r .ca

e i , __ f _ - .11 i . . .dcrlucerrr inier.l iat cir (C' rsi.c o coldil ie ueccsar.a.

140

3 'o: J(r ' �+v'�)dl+ lq"dt-

0 0

I

: J 1r, 1yr;at -p1rg' -r' g\o

Daci, in plus, t(r), y(l) veriiici (CL) atunci,!

I g'aY'1dt:0,o

( lec i , r ( t ) =0, y( l ) =0.

Rezolvind sistemul (SO) (fdr[ condilii le (CL)) se gisescl r r f i i l e

4 / - - / " -crr2( l ) -c ' r3(, ) +( * ' ) J : L L i . . i \ r , ; 9 = : L z r t \ r / -

t - 1

evident,

utor so-

1 4 1

Page 71: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

2r r n d e r . : p

+C3.rr ( l ) , (Cr €R, i :1 , l ) ,

1r . . l i .; --:- - ---.,'-,-\- :1; .1" 1,

- sin _)- i 1; f , . , -r cu5 jyj

1;2 - 2 - 2

t ;- 5i1 Ja 1.

Pentnr a ali i la ci ploblema (SO), (CL) adrnite l luInai soluii i i b:lnalir sepoate folosi gi alt i calc: ir locuirr I Fi t dali dc forruulcle (*) in (CL) l ise a junge la co lc luz ia c i C I - C2:C3:Cr :O. Per t r a g is i so lu f i i l es is temr lu i (S) ( f l c ind abs t rac f ic per t ru monent de (CI - ) ) es te na tura ls i c i i r r t l rn aces te so ln t i i s r rb fo rma

4

. r== f i1 ( l ) r1 ( l )t - 1

y : ;,r(1).r1(1) -",111)r'r(t) -.,.r(1)|I3(t) +.r.r(t)x.a(r).

Sistemul r arialiei colstantelor (diu carc se detcrmini f, (tl, i:t.A)este rrrmdtortrl:

r si r -7 r q, 1 r r.;'" 1 x oy'n : O-r"1i ar4|*r rti -lrrn:0

. t , t . tl f

' , I . r") . , . ; +-( . r1 : r t -1"+J-- t . r , - . r r f , . ;+(. f r +jrr) . . . ; /

\ ' 2 , , l 2 v t \ t _-{ Jr .) i r..r-- -t.f r 1 .t 2l-l 2! -(xS ix,r )y: --lI" -r all a- 9,

LIn calcul eleltrentar rre arati cir determina]rtul xccstui sistem (in necunos-cutele yl) este

-!(l) = -4,

deci ij(i:1,a) se determinir in nrod unic. Electuind calculele se obtine

..', -.4{l K,(r), (i -i:z),

742

unde ,4.r siat constante arbitrare ial furrcli i le . l i i sint dale plin formu-Ie le

Kr t l ) - - L i1 .11* ; '11 .1 . , , x ! )+4 . ( r r - r2 ) ld l ,4 6

Xrtr \ o ! ( . r31

x:) l / . i . l " r . r . ) L ( . r1 - r") ld l .

1 rKr1 / t

; J ( x1 f . r3 r l / ' ( r r ' . r ' . , ) - ' r ' l r s ' r ' r a )1d1 .

1 lK4O:

7 j ( r f+. r ! ) [ l ( r . - . r1) - - f . ( r3- i - r ' r ) ]d t .

Deci, solulii le sistemului (S) sint

I . . -3 . t , . , . , r , , - t - t , t t .l - ,I r , . l " r r ( 1 ) . 1 r . , . r 1 ) . l r . , , r l ) - . 1 " , r 1 t - - \ - ( f ) .

un der *4_I U r l t . v r X ; r l r . r , r l t .

I , t , f :X" t , , . 'A) - - . I {1(1) : i , ( l ) / i r ( l ) , r ' . (1)+K3( l ) r4( , ) .

Impunind condi f i i le r (0 i :u(0) , -0 obf i ] lcnt -1. , ,= ' - -J1; dn: ,1r , 3d ig[

Jr : . {1 [ r r (1) . r3( t ) l+A! [ . r , : ( t ) i - . r4( t ) ]+ U( t ) ,

I s =. - - l r [ : r r ( l ) - l - r r ( l ) ] - ] - '1 . [ . r ' r ( l ) - r ] ( l ) ] ] v( l ) .

1n sf i rg i t , inrpur t inc l condi ! i ik ' r (1) :u(1) :0 sc deter ln in i ( i r i modunic) constante le ,11 "s i .1 , . ant tnr :

I u f . ' : n , tL-(1) g' l i - "n, l-- \(1)chl-- sinl-

A , : _ + ,/ : : \ / F \ 1

, l .n ,1" | ** { " I r .n ' { : i l ' ' , lv ' l lL \ l / \ l I \ r , t \ 2 u

t,r, . ',: t

.," € * t,r, *tl "o" €: 2 2 2-

.[.r,tii"",d. - \ ",,(]:'1.,",[ll]l| \ : / l z / \ : : l \ 2 r l

143

Page 72: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

I M. Fie f,9eC[0, 1] ii .1I €,At r([i), o malrice pozitiu semidefinitd,Sd se erqle cd problernr Io limil' i

[ "+!]"-f( t \ ,(s) I

I y -r" :g(t) , 0 <t < 1

/ltu,tor-l l;roil

/ | x ' (o) | . . | , ,0 , 1( c L ) i l t - . l r t Il l v ' ' t l I

' . r ( 1 r l| l l t l

l l : ' '(1) -l l-v(t) |admite o so lu l ie unicd ( r , y) = C, [0, 1 ]xCr lQ, 11.

Solutie. SI aretim cA problema (S), (CL) admite cel mult o solufie.Per.tnr aceasta. este suficient si observlm cE sistemul omogen

(SO) I r+9" :O, y- t t " :O

cu condilii le la limiti (CL) admite nunrai solulia banali. lntr-adevirfie r:r(t), V:g(t), o solulie pentru (SO), (CL). Atunci, procedind cain exerci!iul precedent, obtinem

, t , - ,

(l) Ie" +vr) at +try' -r 'ul l ,_j --O

sau, finind cont ae 1JL), "'e-

l -1 l(2) J 1rz 1yz;at 41e10),s(01, c(r), y{l)ll,r]" lDeoarece M este pozitiv semidefiaitn, aiprimului membr.u din (2) este nenegativ. print ( l ) =0 s i y( l ) =0.

Exislenla. Si notdm cu (c1, y1) solulia (unici a) sistemului (S)cu conditii le la limiti

,,r(0) II

s(0) |t : u

r(1) |I

e(l) _ldoilea termen al

urmare, (2) implicl:

144

c (0) :y(0) :c( l ) : y(1) :0 .

1 4 5

l , , , l . l a (x is t i i s i r , r I r l r l c Qr is i p r i t r t r rc t r ,da ' . a r ia ! ie ip r r , l , l ' t ' rna precedcn l i t t . Von a fa la i t t con l in t ta re c itS( ) r cLr cond i f i i l c l r l i rn i t i

rr(01 rr(0)

ro(0) -r"(0)

. r ' . r ,1 j .x ,41

rl1) -xrri 1J

r . o t r s l an l c l o l ( r ' ez is i s l cmr rJ o r t r ogen

I r'(oll 1-'iol Ir r'tor | ", i y(ol I, e L ) u o i | , - - . r r i l .I ri '(1)

| I "(t)

|,_ r ' (1) i lv(t) I

rurdc i r , , :co l [ - t i , t0r . , . , (0) . y , ( t . r i (1 ,1. a<]ur i t ,(r". 1," . At l : tr i , ( . . idrnl. Jl . . ' l { ' rh{ ir .r . l -r t .x2, I , t l l t1r r iobicmei ( l j ) , (CL).

o so lu l i f . s i i z icern1rr4s va 1i rr solrl[ ie

I )Lrp i r cum arn r izut Ia pro l - r iema prcccdcnt i i , so luf i i ic s is l t rn i r lLr i( SO) sint de Iormrr

| -,-i r = = ) . C , . r , t t t

/ : I i - 1

I / . a ^ . r r { 1 r ( l t . r p r l t - ( y t " t l - C - . r , t l / C r c l R . i - I l ', t : t l ,

| ' . " , , ; 2 , .

i t , - " ' c n s \ : / r r r - t ' s i t t . ! - l 1 :r r , 1 ^

L 1 : , . ; ' i , '

[ .. , ' c',s ]-: ;: r, , ' � . irr ): 1.

A : ,ac ia r , t i r rn ine s i a r i ten c i r ex is [a n i t te cons tan te C( i . 1J ) , as l fc l,nLr " .1 . I l da t i de t3 j s i te r i f i ce (CI - ) ' . Pcn t |u aceas ta , s i no l r r rn

( i r r r r ' : , co l [a : (0 ) . y (0 ) , r { ] . t / (1 ) l

t { i r c :co l [ c r . c2 . c3 ' c r l .

' f i n i r rc i ron t de 113 i . a rcm

(t-t rtt -- l)c.

r in< le

I ;rr(0i

i.t : -rr(o)

, r r ( 1 )

I - r r (1)

" ' : (o l

rr(t))

rr(1 \

a r ( 1 )

Page 73: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

l ) e l r s r ' r r c t r oa .

(8)

t t l r l t r R : - -

co l I r t t { t ) .

- . r , ( ( r)

- - x r { ( l )

r ' ; (1 \

: l r i I )

r t ( l J ) . 1 4

r.^ /n I

J r \ r , . {

r : ( l ) . r '3

rr' ' lJD lrir ,.0=+ r(l) ={).

faptrri r:I a1. .r2, . i3. :1, sint l i l i l l independente si ! iuindci r cstc dat de folnula (3), tr.ern, de asemcne:\ im_

I ' r r r L r l n a r e

( l l r r r , * R D r r t ' 0 < + r u . 0 .

l i r ' l r r t i i l e (10) 5 i (11) sc na i sc r i r r as l fe l

ra*BD lrrl >0. ( V)ur e tria, u #0.

l)1'ri. matricer RD r este pozitiv doliri l i . I)eoarece, prin ipotezl. . ' l fcslc pozitiv senridefinit5 rezultir cr-i Inatricca . '1 :BD-1+114 este. de., ', rnrinea, pozitiv definit i. ln particular, -rrucleul matrici i ,4 (notat.\ ' f-,1)) t 'ste subspa!itrl nul al spafirrlrri Ra. I)rrpir ttn rezultat cunosctrt, l ir alqebre l iniari, pentru oricc ,,1 e-Zr(lR-\ avern

lRa:N( . '1 )@ I rn .1 '

r r r r l c ImA rcprez i l t i r i rnag inea ( ,p ( ' .a to r r r l t r i d r : f i r l i t de mat r ice t - -1 .l r r cazu l ( le fa l i , dcoarece N/A\ - . 10 ] . \ { )n l avea

Im ,4 . . . hn I l l l l 1 ' .F i l l ) . -1R4.

l ) r ' i j r u rmalc , ccua l ia (9 ) adrn i le o so l i r ! i r ' ( ch ia r L r l r i c l ) , s [ z icem 0r .\ ' i r r la r , ex is t i r t tn vec tor ( t t t t i c )

1 r lo l [ f ' ' - i Cr l D l i t '

; r s l fe l inc i t l r rnc t i i l e r - . i / : ob l in r r t t ' t l i n Io ln t t t l l l e ( l l ) in c31s p111sm

t) , : - ( "1 , ( i i l - l I s i l t sor r r t i i l r l r t tL r p tob l t ' i t ta (SO) , (C] - ) ' . Q.E.D.

Ol t . ;e roo l i c . Ca un c : rc tc i ! iu s r iP l i t l t ' . r t la t , j l i r : rca l . i s i demonst ra t i

r i . t cn !a s i r rn ic i ta tea so l r t ! . ie i pc . r r t l r r s is tcn t t l

, sr | '+u" ' f t t ' t '

I y -r." ,7 t', (f. q .= (:'�0, 1l)

t condi!i i le periodice

r (0 )= .y10) ; . x (1 ) :1 / r l r : . r ' (0 )= . y ' (0 ) ; r ' ( l )= .y ' (1 )

-\o/d. Pentru cei interesali s:r t iteascI despre ptoblerne la l irrt it i

r l, L, erea;i rraturl cu cele dc rnli .r i 's rccomandirn lrlcrnri le [141. [1 )1.

i i5. ,Sd se gdseascd deriuatele in raporl cu paramelrul sau r:u tlt lele

in i l iq le . u le so lu { i i l o r ecua l i i l o r s i s i . . r1 l r re lo r de mt i . ios :

. f ' r 0 ) . 4 ' ( 1 ) . . r ' ' ( l ' l i n .

Si alirt irn acurn cir D este o rnatl iccarn in t i r l c i l (SO) . r , i : r ,ond i t i i l e

(0) . ; p) |(0) ., (0) I( 1 ) ' : , t , 1

( 1 ) r r ( 1 ) l .

ncsi:rgrrlarii. PeIrtru aceasta si

f (o )= r (1 i . - r (0 ) - q (1) :0 .

adrn i i c l r r l l i so l r r l i r r I t r ra l i r . Cu a l te c r r l i l l c ( r 'ez i ( r - r ) - (7 ) ) ,

D c : 0 . + c . 0 .

(Aici 0 rrotcazi vectorul nul din 1R!).

Prin urmare, detDl0. Acest fapt se poatc rlcmonstra si direct,lolosild formulele ( ). Sn observdm acrrm cA, ir baza notali i lor (5). (6);i a relali i lor (7), (8), condil ia (Cl) se scric rstf,,1

(9 ) i - ' , . t . . , . , , . , . ' , t ' ; r I )0=-BD l i i ,+ - l / , r r .

Sil afitr-rDr cI matri< ea BD-1 cstc pozil i\ dc{i ir i l i"!. Pentru a(,ca,\ta. sea r i r i i rn c i r pent ru r r r i cc vcc tor ' , c r , ) [ ( i1 . ( i . . r , . C , l func ! i i1 r , c , gdatc de fo l rnu lc lc ( l l ) sa t i - \ fac s isL( ]mUl ( \o ) . . \ s t [ , ,1 . a \ .em rc l r f ia ( l ) .C t r a i l c cur i r t r ' . ! in i . r r r l cor t de (5 ) , (6 ) . (7 ) . 1 '8 r r r r fHr

( l { ) ;I

1 | j 1 6 I t t I U : l l i . t f \ ( l l t l

o

p. r ) l f ' r r ) r i c ( ' r 'en f , r , ad j , i r . c ' ch i \a lcn t . ( \ c , r j 171 . i iap l r r l cd D cs te inver -sab i i l i ) pc r r l i t r o l i cc t i rc lRa. Arn r ro ta t cu r r r * r i , c to r r r l u r t ranspr rs Ma ir i r r ' l l . < ! i , r ( 1 0 ) r c z r r l l r i :

Ar i l t l i l r c r l c lescanra c le fapLr r lI ) ' i ( . t i a

t4 i i

l x ' : r+ / ( t i . r : )

-I r t o r= r , , / , i - i r i f , l , = ;e( l ) =0=+c:0 .

r47

Page 74: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

(b )[

;r'' : x +r'! +1.r3.

i r{zr:rn' o*-i.._":'t

(c )I

r' -4ttt2.

{ v ' : t +; i , , ,

I r(0) =. y(o). tt;

u nde

x( l ,

I 4 3

t . l " a u l2t I o A'|. h -.o

[ .r " .r ' (r -r 1 r:., ,),r":.( d r { r\ t i '

! . r ' { r i ) - l . r r r f , : f , 3 ] : ?

Sotuti.. l" toaL,' Jzr,, i le ",,r, ,"O.rl.:U" concli-1.i i le lcollnclor ctedr l i rab i l i ta te ( rcz i V . Barbu [2 . Cap. I l l . $7J t .

(a) Notim

/(1, r '. ),).:r+7.(l - r,)I

t t t t ' - ' t ! . i . .. / ) - o

r rd t , r ( / . ) , ) es te so l r r l ia p ro | i c rn t i (a ; .

. \1u lc i , 17(1) sa t is l l cc ecra l i l i i r . , a l ia l ie

(E.V.r ! , ' - '0:J-( , x,({ ,0), ( ) u +i) l -U. r(1.0). ( ))

I n rp renr !5 c r1 o r r r l i t i r i l r i t i a l i

( C . l \ r , i O ( i .

E . , i r . r r r1 , r (1 , 0 t " r ' r . I r l i n u r rna lc . i . ! r ' r , l ) l , . r i l r (E ,V. t . (C . I . t se sc l i c

( I i \ I t , ' . t1 y i _ i r ,2 t . l c . I . t r / t ( ) )= 0

| 1 ) i r l c r , ) r ' . q i ' i .

r / { l ' f : ' I 1

( L ) ) , r l ; t r . / t , . r , , ' - r , , ' s i t l ' l

r o ) es l r ' so )u l i a p roL lL . r r r r i C l r i c l r r ' ( b ) .

r l l . \ : . )

l i r i r l r .n t ,

;o l r r ! ie i

I )( ci. l ./

, 1 . 1 . \ : . )

(s.v. )

imprertni ctt

t c .L )Pe de a l t i i par tc , r (1 ,0 ) ,

. \ t r rnc i , (S .V. ) , (C . I . ) sc

(s.v.)

. c . I . )Astfel, se gise;te

.ril, 0) -- 0.

(C . I . ) r (2 ) . - 1 .

U l l ) : e ' t .

\ t unc i i . i ( l ) r c l i f i ca p l ob lu r r ra

t f

! t ' ! ( t . r 1 i . t ) r . q . , C . l . r , ( 2 t - 1 .' /.r

problema (b) crr ro= 0 atlnitc solrrl ia banalir. Din unicitatea

:eTlr l ta c i l

lel i f ic l"r:

!1' -- lr,' i ; r

conc l r i z ie

c ) Not im

u1r r==-3- .r (t, 7,) |:). lr= o

u(r):-I- y11, 1;l.,t. l),-1o

urde (lr(1, i,), y(1, i)) este solu!ia plcrbletnei (c). ,\turci u, u verif ici

. is Lemrrl in varialic

I u ' :8trr(1. 0)uII u ' : i r . t t 1 , 0 )

r r (0) :u(0) :0.

y(1,0) ver i f icn (c) cu i , :0 .

r (1,0) : fa , q( r , 0) : r .

stl i ( '

Dupi calcule gisim

u' : ,\t2u

u' .- 514

u(0) , : r r (0 ) :0 .

r r ( l ) :18

u( l ) :16 .

14r

Page 75: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

( d ) Resc r i c r r r p ro i r ! r - : l t l r t r l i c l r i , l t r . o l t i t .m i Ca r r ch l pe l t r r r un s i s t c l ldi fcl t .n! ial r l t ' ordinu! int i i :

Not i i r ; r

tutrdt' r '(1, ).),

( s. \ '.)

( d ' )

( C . 1 . ; u ( 0 ) = l J ( ( ) r = ( ) ,

a t l t ca . r , ' ,e r i f i ch p rob lema CaLrch l

I u " - . u ' - � z u , c 2 ' * eII a (0 ) : u ' (01 *0 .

Dup i cu lc l le g is in

r r l l ) = - l s z r - t r r ' . [ 5 - a l " ' - r - 1 .i 2 . r [ J 6 t J 8

Ol$u ta t i t : . Teoren la r l c de l i rab i l i ta te se I )oa tc i l . la l ) l : t pcn t ruecuali i de ordil superior.. I- i isi irrr acest lrrcrrr in scama cititoirrlrri, ca unexercil iu elemt'r1ar, Astfel, confortn acestei adlptirri, in cazu) de falir.se plrtea scri( ' direct ecualia in ralialie pentrrr l.

( " ' - "

I !/"- (r -i 1 ): - i.1' +qt ,I r / 0 ) . , y ( O i . ] .

r r{11 . -1-.p11. 1,1 . , ' ,1 '=. -191t, f r l0 l l 1 t ) l r - r

y(1, ).) r 'erif ici problema (d)'. Atunci rr, rr rcr.if icr-r

r i__

l

Capitolul IV

TEORIA STABILTIATII

l . F ie t : [0 , - ] -oc i * I l o fL ln ( l i t ' u i l l i nur1 . Sr i sc e ta le ( :d pen l tecu0 l iu(E) . r ' i r1 1 ) r '" '',r'!i,ilil'll

li'i,oi),'lii,',',,,,i.r cslc sirr/i/rr rt,L,ti si rtumai decd( t ) [ ' , ' , i . t r t u : . t . t o .

unde IV\lo,\ este finti I ' t,t l tu orirt 1,,:,:(t.

' i i t So/u/ia .r 1) es1( ult; lo.u1 sl(l) i ld t lutd si rl lntai dacirI. n r( 2 ) J , r r : , ' : ; t t ) I - t o ( t r l l , o r r s t , r

i i i ) So lu / i c ] - l l e${e us iu t l lo l i t s l , ] i , i l i duca i s i ru ' .n : ! . i . i dacdt

/ t ) i i r r . [ , ' r . , r l . , r , , '

i \ ) So1! i / i ( . r ' ) ( . r / c u r r i lb t r i t | ! . \ t r : . I , i | , ! i r . * l t th i I i r ] , r t r i ; i n r tmu i t lu tdexisld c/.>0 St C20 u;u inti l

t( 4 )

J r - r r s l l l . r . ; 1 - , , 1 l o . r . ! t l o > 0 .t4

Se ;lie cd, in generul, esle ulerfuuld liulrtma:

stabil itate

stabil itatt / rrl i lorrni ,..asimptotici stabil itate.unif orma ''^ ,V

s tab i l i t a l -cas i r r tp t0 t i ca

l 5 l

Page 76: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

Sd se uulc, folosinl proprieldli le de ntai sur penllu ecuLtlitt (.E\. cd celcpatru tipuri d.e s{ubil itute stnt loate tl istincte.

.So1 i r1 ie . ( i ) . \ : . -L t lm in t i i c i (1 ) i rnp l i c i s tab i l i ta tea so l r r ! ie i banr le .

l r l l r , l c r : r r . 4 i n r l l " l r l i n e m c b

I a(s)ds

l r ( 1 . l o . x o ) l : l r o e ' .

p r ) ] l f r , ' / . / , d e i D d r r l i c e

' ro i (E(e 10 , . " t t ' ' o '

Dec i , (1 ) es te su f ic icn td pent lu s t ab i l i ta te a so l r r t io i b rna le .pent ru a a r l taneces i la tea co ld i t ie i ( l ) . sA presupnnem c i aceas ta nu are loc pent ruun lo>0. A tunc i . sc poa l ( 'q is i u r s iJ l '+co ns t f t ' l i nc i t :

. f r r i . ) d s > l n n o r - = 1 , 2 , . , , )

r'(1,,, 10, :r'o) I tr'1t .l.o I ,

, ( ) r i r poate f j s tab i l l .

la fo l ea ( i ) .

(3 )+(1) . l )ec i , (3 ) i rnp l i c [ s tab i l i ta tea soJr r l ie i bana le .c i

r(1, 10. . ia) i-1, ( V) l0 > 0. ( V) zo e p.

I ) c t i , ( i l ) r : s t e s L r i i r i , , r r l i p r r r l i r r s l - a I i l i t a t . r , l a \ j r 1 l ) 1 , , t i r i u s o l l t ! , , i l r ; , . , a 1 c .I ) e l t r r i a d t ' r no t r s l i a l r ces i l i i t c i r co l r d i l . j { . i ( : l ) , s i i l t r . c s l puue t ) I c i accas tan -a r f i a ( i e \ i l a l d , ad i { i r a f t , x i r r i r r n g i r . 1 , , , cp ; i r r p 111q51 N>0 as t f e li nc i t

( i r ' ) E l ident , ( '1 )+(2) ; r l c r i . ( '11 inp l i c i s lab i i i ta lc r r r r r r i fo t . t t t i i a

so l r r l ie i l :0 . l fa i n ru ]1 , d i : r ( .1 ) r rz r r l t i i c i . Pu t r t l t t o r i c t e - 0 , e \ i s t i

' / '" :, '0 astlel incit

n (1 . 10 . . r0 ) i . - : . . pc l l t r r l - to> ' l ' "

pcn t ru o r ice : , , cLr : ro <1 . I ) t : c i . ( -1 ) es tc s l r l i c i t ' n t l i p I r r l I r r s ta i r i l i -1a tea as inp to t i c l t r l i f o t tn i t .

S l d c L t i ' i t s l r i n t a ( t i n . . r r l r i i i J l L i r ' r r a s i r n p t o t i c i r t l l l i f c r t ' l r e ' r -

I r r f i c i bana l t ' i r tp l i c i i4 ) .ln t t 'adev i r , deoare(e ; r ( l t s ic t l t l i fo r t l l as i l t tp to t i c s t i l l l i l i i , t r t l r l ' r t za

cI ( 3)10 >0 astfel irci l.:

(V) e - - : '0 , ( l ) 1 ' " - - '0 as l fc l i t i c i t i x (1 ' / r . . . ro ) ' :e

pe : r t r r r 1 ) lo l - -T . , o l i caLe a l f i r ' r= ,3 ' c t l i ro I - iu . I )c a i r r i sc dedt t i : t :

une diat cir se pot. aleg(' 0.:,/ i < 1 si ?' ,: '0 aslfel incit

( ' a t t Ir i t * \ 1 , i J o ( r )ds

I / i p ' n r r t r /> 7 ' .

t t .

Pe de a l ta l Par te , c t l l l l x r " '0 cs le i t r pa l i i t i r la I l tn i fo r r l t sLab i l i , r ' czLr l t idil ( i i) cir existir A >0 uslfr: l i trcit

(o ) " .p { ' i * 'u19at

!< - { , p " , , t r ' , , 0< l< : t .' t i " IAleg ind acum

I'r I .4t , t ,

, { } ' i f n l r \ I l r . I n - )

: r ' p o a t e a r i i t . a c i ( . . r ) ; i r { i r i r a ! ) l i ( ' i 1 l ) .

- \ s t fe l , f ie 1>10, a rb i t ra r , da I I i r i r l . , \ ' , t r : r t i t " i i s t r i t r t t ra t r r Ia l r t s l fe l

inc i t

( 8 ) l r n t ' l ' ' i ' 1 0 + ( r n + 1 ) ? ' .

F i . r los i r rd acum (5) f i i { i ) dedr r r f i I

{ t " I . .c \ p i f a ( s ) d s | 5 . { / r " ' . l ) 1 0 ,

l ' : l

. .n " -11(10) . ,

Pr i t r r t l r la le

ceea ce lua t l c i ] r '

( i i ) Sc a la t r - r

( i i i ) E l identln p lus , (3 ) a ra t i

l i r r i

I u r s ] d s > l l \ , ( n - l . - 1 . . . ) .

P t i t r r r l r l a r ' t '

c A t t ' ( o l l l . l i t z t c ( '

1 5 2

l . ? ( / , , , 1 0 . . r o ) I > N l : r , o l ,

l r l o p r i r ' l r i l l l L r l { , s l l t i ) i l i t a l ( ' : t s i n o l o l i c i a s o l r r l i c i b a n a l e .

t o J

Page 77: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

J t t (s)ds < ln . { - i rn InA, t>10.

Folos ind (7 ) . (8 ) . ( ! l r se ob t i l c (4 ) .

S i i a r r - l t i rn acur l c i r c . . l { ' j ) i r t r i r t ip r r l i de s tab i l i ta tc s i l t c l i s l i l c tcfo ios i ld p loP l ie t i l i l l ( i ) - ( i ! ) . I r t r : I l r r rcc ts ta s in t su f ic icn tc u r . i r r i r loar . t l cercmpie :

' E r e n p l u l 1 . ( l ( l ) : 3 1 t 1 s i u 1 ) ( l - t s i n t ) j , t 2 0 .

d l

Se arati rrsur ci aceasti lunclie verif icl (1), cu r1.I(10):= - (10s in lo - l , /2 t ! dar nu le r i f i c l n ic i cond i l ia (2 ) n ic i iond i l ia (3 ) ( i k rc ir t (1 ) ru r ver i f i c i n ic i (4 ) , in t r tc i t ( -1 ) - (2 ) s i (4 )+(3) ) .

aorca

Dternplul 2. ( ( l ) cos I , I > 0.

Aceasti f lnclie satisface (2) crr l l /:2 dar nu satisface (3) (decinu sa t is facc n ic i ( ,1 ) i .

L ' r . , , , , ^ 1 , , t a . , , t ,u t , , '

cu z sa l i s f i c i r r r i co l r i i f i a

l . - . . . " 1 r t t ' .

I l r i d c r l . l r | r ' i l s l i - r f t u r c l i L r r L ' r i i l r . , r f . i 1 . l , { ' r l ( i t i t : i p a t l . . s e l t o i i t r ' a r i i t

c : ia t e a s t i l f u r r c { i c n t i r t ' r i f i c i l l ) . l ) r . \ l p , l t r ( , n t p r i n i r l l s r u r ! r ' i r o x i s t i r ocons tan td r ' 11 ( i r r dcpe lde l t i de 1o ) as t f e l i nc i t ( 2 ) s i i f i , ' r e r . i f i ca t i r pen t ruo r i ce 10>0 , a ( l i c r i

+ t ' I s i r r r ^ ( 1 . i t , - ,

] ] , t > o ,

(10)

Alegem

( 1 1 )

1 [ s i n I i r , l l r * a l . t o [ s i r r l r . ( 1 o l 1 l - t l ] \ l 1 . 1 0 .

10 . - s2N f t - 1 , t : e " "+ "12 _ ' .

cu "\ natulai sulicient de rnare. lnlocuind in (10) /o si I dali de relalii le(i1) (cu rV suficient de rnarc) se ajunge la o contradiclie. Deci, intr-gdevir.,a(l) nu ve-rificir (2) (deci nici (4)). Se mai precizim c[ nrullimea iunctiilorcare vedficd ('1) nu este lidi (de exemplu c(l) =- a., t>.0, cu a>0,apartine acestqi nulf irni).

1 5 4

O b s e r u u { i t . i n c i e r t r , , t r s t : r t t , i , p l o i r r i c f i r ! i l o r ' ( i ) - ( i \ r l r t L a r r l f r t l o s i t

r cz i l l t l l i c t eo r i ' ! i f c t l i n c i ' t zu l s i s l tme lo r d i f c l c i r l i n l e gc t t t r r a l t i l t ' o l l ! ce

r l t ' n r r - r l s t . r a ! i i l c t i i t t ' t t c s i r r l f t ' a r I t s i l uP i . .

+ 9 . l r i e / : [ { ) , I : : [ ' I t o f un t l i t t o t t l i t i , ' ; t , ' t | i f i ( i t l d r c ]u l i l i t l

l c i

( l i l

[ / r l r l /

o (ons tan ld rcu ld po : i t iod . S t i sc t t r r t l r cd :o l t t l i rL l i l o l t t l t i u c (u t l l i r i

. r " l [ (o : I I ( l ) ] . r ' - ( )

un i lo rn t s lub i l r i .

.5o fur l ie . DLrp i i I rn t a rJ l \ ' i i zu t i r r c r | r ' t i l i LL l i r l i l r Cap. I I I t ' c r rL ( ia

s e P o a t e s c l i t ' t ' < I t i , l r l I t r t s l t I l , t ; t t a

r ' ( l ) : C 1 c o s c r l { ( . ; " s i r o l - - - l J / ( r ) r ( s ) s i r . r , r ( / - - s ) d s , ( ( i 1 . C " = r r i r

P r i n u i n a r c . s o l t t l i u c ( r " f ; " i f f i l . " . i f i " ; , r r i r r , : r t l i l i i i c C a i t c h l r ' ( / , , ) ' r ' n ,

r ' ' i 10) : l lD sa l i s fac t cc ' ra t ia i r t cg ' : r l i

J ( 1 . l o . . , , i . l i o l r 0 ' , , \ ' , , / u r :

: ' , ' i : r c ' i l / , r

t'

J 1 t , , 1 t i ' . 1 , , . : r ' 0 . u0 \ s i t r o (1 s ) r l ' '

I ) c a i c i t l c t l t t ce t r r :

.r ' ' ( t , 19, e0, I /0)- . t , , t ' r si ; t ' I / 1e) .- l / , , rrrs c) l i 1o) -

I

f / ( ' t t t t l r r ' I 0 l / 0 ) c o c ' ) ( / J ' r i '

Prin Lr rmare ,

t 'I r ' (1 . 10, xo, i /0) 1 r 'o i - i y , , I

t - J l 's i . r ' (s . /0 , ]0 . l l0) dx. />/0 '

sarr , fo los int l inegal i ta tcr r f i t , 'u , , * , , f f . i ' "1 lo i cr r r r r l i f ia (C) . i rve l r r (p lnt lLr

o r i c e l o > 0 )

l : L ( 1 , 1 0 , . r o , l l 0 ) ( C o ; : , 1 . ( , . r 0 r - l t l i o ) . 1 > / 0 .

; ' I

tr G)

( E )

7r i

Page 78: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

lrr Irrod aseinil i t lor. ar-ern

i? ' (1 . 10 , r '0 . i /6 ) (Co: rs t . ( . rn i I to I ) . 1> Io .

I ro los iud . sp le exe4p lu , j r ) r 'u ra c l rnax . r l i : r l i l ! i r l l i rnc lc r io r r i incgn l i t i r t is , ' sc r iu as t fc l

Jr(1, /0, ro, q()) .l

Io'(t, to. r',,, yu)-l< ,'t1

I

l . , r , o .Pct t [ . t t t o | i cc 102( ) . L r r rdc i l I , ' s t r r r c0 ] rs ta l ) t r - r ( i l rdcp . ] lden te de / . ) . Dea ic i fezu l t i r t : r i so) r r ! ia bar l r i i l r (s l f ' J r i fo r ! ^ s tn l ) i i i i . (pcu t . r ( le i iD i t . ias l r i L i l i t i t i i i n c a z r r l c c l a ! i i l o l t l t , l r . d i r r s r 1 1 , , , r i , r i . r , 2 i [ 2 . C r p . I \ r , 5 D 1 ] ) .

:f, t l i ind cii mdrir:eq

i;J

X r t ; f " c o t i - - s i r r l l

[ , ' t s in / cos I Jcsle o

( s )

tntIrice luntlaurcrrt(I i pctrlt u sislenrul t l i Ierenlial l iniur

I r , . r r c o : r 1 - r ' l . . , i n l . c o s i r . r ,

I r i : ( 1 f s i n l . c o s 1 ) ; r , ] - n , s i n 2 1 ,

s(i ,c ccrcelr:e stebil i lalK ':olu !iei lurtule c sislcnu/ui (S).

Softr/ ie. S-a vrl if ical. t lcja ci X(l) cste i ltr_adevir o matrice tnncla_t i r r n . t a l i p , l t r - r r { S ) ( \ p z i s o l u t i a e x . 2 1 , C a p . 1 I I ) . l ) e n t n r a d e c i d e ( l a c esot r r t ra t ra l ra lA es te s tab i l i r , r r t ca lc r r la Io rDra nr ;L t r . i c i i X( l ) . S i amin i i rnc.a Nlrr spaliLrl J)/."(El) (al nall icclor pirtratice de or.dinul cioi cu eiemclted i r R) toa te normc le s iu t ech iva le t r t r : . ln cazu l d r fa l i es te con lcnab i l' i f , , l o s i r r L r r o r n r a . , c r r c l i d i i r r r i .

| 2 \ t /2' -4 l.- lD (:r l '( /)-1= (.a - -ntz(F).. i

i I

l . l s l c l l so r dc \ ' 5z I t c ; - l

X(1) i l , . (c : , t i - 1) t / ' .J l , t i . , r , , r r , f , , r ' r , r \ ' . Uar l , , r f !1 , 1 .co: .c l ra 1, Cap. IV, so lu l ia banald estel l l ( r j l ' l i j r . I l t J l d \ , , r l l r ( , . , , . . i . l " r r r . l i r i . r n t r l i l l l i r r i a r . u r m e a Z i c d o r i c eso lu f i t a s i : . l r : rn t r lu i (S) c :1 { ' ( ie ascDlenea ins ta } } i i .1 ( in t r -un cuv in t . (S)es te ins t ah i l ) .

OLtse tL t r t l ie , _Ev id t t r l . i J i , l l t ru a cerce ta s tab i l i ta tea s is temulu i (S) ,

sc poa l .e fo los i d i r .ec t dc f i l i ! . ia s lab i l i t i i ! i i .

1 5 6

f . S d s e r i t r t . t t t t : i t t : e ( a t . l ( n : i t , o $ [ l t l i e ( o n s l u t t h i , r i / r ] i r i , l ! . i r , :1 r l : ) t r , j i

x ' . = l ( : t ) , . ; kLh i l i l u t eu es le ec l t i u tL l c r t l i cu s l e r i l i t a l c ( u r t i f o rn td s i: ; lulr i l r t t i lea asintp{ot icr i esle echiuulett l i r cu r l trhi l i lulea uintplot i tr i tr t t i lc,tntt .

. 501a l i e . I i i r r i a : c r r : s l | i t l ge S i , | c f r l i l i l i c t : i t poaLc p r ( ' sL rpL ru r i L. ! l c \ o r b a r l e s r ; l L r l i a l n : r a l i t . D i n p : o p r i i ' l a t - i ' l d t , t n i c i I l l c a s o l r i t i i l o r( , i l r t s . e p res Ip l r ne i r 11p l i c i t a t t r nc i c i nd i c r ] r i l ] i de s ] l L i l i l i t l r ' ) i l \ c i t i

. / r 1 . 1 r ) . . t o l : . r ' , . i i , . 1 1 . . r , r l .

r . I . r l l ' r , , i , r , r ' r i I ' n b ' , , ' , r ' , , : j : z i i i e r l r r i l r ' .

t i . S t , t t t ' i : l e . i t r : . '

u - l / , " ; u ; ' t ] . /

: .a t :e dunons l te : ( i r i (c r i l i , r ' i r1 i r r i' , . f i i i l r r n ! ] , I t , t . : , 1 ' , ; . i

: . { t t u t , a l , . r l . r , = l i l

i l , r . r j l , j , : ' l L i r L l e : t i dd t i n i Lc e r u r r l i c i l F l )rturrt t t i r ler:d . : in! inlcpl ir t i l r Lant! i l i i lc:

(1 . t . .D .

157

a I 1 _ > ( ) . ( . J : l l . ( : i ' . , ; - i r ' 1 .

S o l r r / i r . I i r ' /

1 . i ' ,

, r i r l - r ' ; : r i l , , , i l ' I { l . l l ' l

l r V i i l , ' :

.rrrr, (r.r ((i;.- - ; . r .. . " 1 ( ; ' . 1 - i- ),. i ,

r . ' r e l f , , r , l i l ' r r , , r l i 1 i , r l i s r ' : i , l i ; r i i , ' . 1 ' , : t i t r l r , t , : t i l

1 I

/ \ ' - ' i ' . r1 . ; | ' / . . - /

( \ ' , , . ) .1) , , i . .r t , t .

l ) r . . r , i ) i i l i e D t ' i r i l , t i - i c ) . ; ( i 1 : t ' . i , - ' t : r , ' j . r i i r ; , . s j l \ - r rr ' z l r l : r , d 1 - i ) s i r ; . , , . l i r i c r , - r r l . r r , r . L . t i r , L i . , i . : , ' 7 . . r . c s t er i l l , i ( I e g a l i \ ' : r l . . \ - s a c l : i . ) , r - , , - . ' . i ' L ' l i l ; . i ; a t i ' : . i , . 1 / . , L ' r , l i r . . p o z i l i , .

\ : , j , i . I , r i , i i 1 , , , r , ; r , . \ ' i i . . . , . . , , . , . i

( l ) . . r ( ) . r - l ) . ! r i ; . r ) . , , i ( / r - i i i

' l ' ) " i ) 1 - i i ' : - ) t 7 : ( ) ' ) ( l

j r . r r r : . s i r P r ( r s r , l l , . r : r r : r ; l ] ( i I j ) I i . , . i r c o . r , , l i l i i i , r l r : l l . 1 1 . i ' . t t . , ' 1 .

l ) i : r {Y r ) r ' ezu l [ i . a t r r c i r r i ] l r r c j ] l o r i d , , r : i ! i t t ' l i i i : r t ' g l l - t i r . s r , z i t ' : t r L; . ' l r . l ) e ( : i , t o t r l i r ( 1 . , ) , ) . r i " , r . l i . l r c r t l . u a 1 . r r ' . i n l ( l c ! j r o r s t r a t i i l e t l i l

i i c i c . I t t s i r a l i t i r r r t i ) . 1 1 r , " , : 0 . O i , ac , ' s t f ap l ; L ' z r r i l i r r l i l r c l a t i r

Page 79: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

f t . F re / :R"*R" o f r :n t l i ( tu t l inu i i .. i t ! , t i ? ( u q l i e i

I ' y t ' ; r t pun r rn , d e r i s l d o so l t t l i e ,

/ ( . . tt :u pt 0pt ielele(

J r l

( t )

l i rn . t (1 ) . . . r ' - e l f t ' .

\ c u t t r le t ( i r@ es /co , i . r l i r l i . \ la l iona t iu t tes le i e r t t l i i ,ud icd le -1 : t ) .

Sohr/ie. Dcoarece / fsle corti.Drii, a|erl l

I i r r r r ' ' (1 ) - : l i rn f l r ( l ) ) . - / ( r - ) .

--\plici ld tcorerna lui I-aqlanqc (pcrllrr corrrpo:rr.ntele r; ale func!ieir-ectoriale e) oblinem:

r ( r n - l - 1 ) r ' i ( / i r r . r ' I i . ) , u r i r r r - - - i i ' , - , } r f l .

A t r r t rc i (deoarece pr i l ipoLez i . r ( / ) , xo . p ( 'n t l . r r 1 - .o )

(2 ) l l , , )

. ; t i ; i 0 . ( i 1 ,2 . . . . , n ) .

l ) r ' L i . l o l r r s i r r d ( 1 ) \ i ( 2 1 , , r l r r i r r r , r r r / ( r ' . , . ) . ( ) . ( _ ) . E . D .

7. Sri "e rtrtelcze sltt lt i l i lulctL : rri ici l ,(nele u urmiiloarclot. atuuli isi r jslcnie di ferenliale

(a) .r ' 1.r i l l2r'

| . r ' . l l, ( D r II v ,= r3 r1 1_vr )

(c) 2r-" +i(1 +.1(r'X):0

[ . f - : ' l - :

y 1 , l r I t , , . . , r + .II : , : l - -

Solrrl ie. (a) Se poatr: folosi problerna I dil acest eapitol, uldr:

a ( t ) -4 -3 t2 .

f ci., i<ls:4(l - lo) -, ire - rj),

156

s i dcc i , I r r ind

f

E r i d e l t ,

l - = l o i r . s ) 0 . a r e r n

. r ( r ) d s = = : ( 1 - : l / ; : l / ( j \ s r t < s i l s ! ) , ( V ) 1 . > ( ) .

Pr i l r r l r r r t le

s( l s ! ) -s( i r s j ) ' . - '9 'v l ! s , {V)s>0.9

j n f 9 a " < , ( 1 . . / o ) . 1 > t o > 0 .

lrt cortclttzie, soluJ.ia balali cste unilorrn asirnptotic siabil ir dt.oalr rccoldif ia (.1) din ploblcrna l cste indeplinit i cu C 5 si e-1.

b)( Evident /V) (10, ao, 9o) elR3 sistemul admit0 o solu[ie unica.(c(1), ri( l)), definit i pe o yecinitate a lui 1o astfel incit r(t ')::r0, 9(/0).=:r70. Pe acea vecinitate avem

.x}a ' . A ! l 't + u ,

sal l , l1r tcgf lDd.

: r . ( l ) 2 l r r [1 +, r r ( l )J l j 2Lr(1 1yf ) .

Deci, (r(l), y(/)) sc aflir pe curba

ea -2 ln (1 *yr ) :C, (C:r l -2 ln (1 I yo)r ) .

Acest fapt re sugereazi cd solulia banalb estc jnslabili. Sd arltim ri-glrros acest lucru. Considerirn, tlc exemplrr, ao, t/o)0 suficient de rnicigi notim solulia corespunzitoare r:9(l), u:r!(li. Pr.esupunind, princontradic f ie , c i so lu l ia banal5 estc s tabi l i r , ar r . t 'z r r l i r r : r l r rnc i c i so]Lr ! ia.r:<p(1). y:t!(1) existi pe [1n, *oc[ (/020) 9i este urailginill. Deoalecco, ') r'erifici sistc mul (b), se vede ugor ce p'(l) >O si i 'f i) >0, 1;. ld.

Deci, existdl in q( l ) :9- , t im , l (0 : r i r - .

unde ro< g@<co,yo<r i -<oo. Pe de a l t i par te ( rez i cxcr .c i f iu l precc-dent), (rpo, tl-) ar fi solufie stationard pentru sistemut (b). adic[ q- ..:,|i,-:0. Astfcl, ar rczrrlta cE r0<0, ,0<0, carc cstc o contradictic:Asarlar solulia balalir cste instahild.

15f. i

Page 80: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

(c ) A s tud ia s lab i l i ta lca so l r r l i l i bana le a cc t ia l ie i (c ) es fc ech iva-

len t cu a s t i r . l i a s tab i l i ta tca so lu l ie i bana le a s is temt r l l r i

l t : vl r I I' ' l t / ' . . - - - - . t ' ( l F l , : : ) .

Ralionind ca ir cxcrc. 25. Cap. l l , sc poate arlta c6, pcntrLt ctice/0, ao, g0elR. cxisti o solu[ie rinici. r(1):a(1, 10. ro. yo), t](1):r(t. l , ' ,eu, yo) (r 'erif icinci coldif i i le Carrchv ;r '(10):rc, g(fo)-yo). definit i pc i i

; i . in -p lus , accas l i so l i r f ie es tc o rcp lczcn tare para tnc t r i c i r a c t l rbe i in -clri:,c' din planul rO17

( l '1 2r - r+ rn ( l +4u r ) .=2 .161 - in (1 *4y , j ) .c icc i , (e ( l ) . y ( t ) \ cs lc . in par i . i c t r la r , per iod ic i .

D in fap t t I c i

2x2( t , to . to , ro )+ ln (1 + iu2( l , lu . . ro . 1 , ro ) , t =2 . r ' l i - ln (1 + ,193)

r c z r l i i i m c d i a t . a p i i l i l r l r l i l l t : t r l , ' i i : r i t i l . c i r s o l u f i a b a r e l i . i . f ) . 7 - - 0e l t ! ' u ; [ , t t u t t ' i l ' i .

i n i r r r : i l p : r ' . r r r ' , : i , , ' r . t , , . j 1 ' - - ' 1 i 1 . f ) i r ' , r | b a ( f ) ( d c I i t i a i e c l r r | i a

so i r f i c i con ' - sp r r r z : - , i o l r t i i l t c l o t l o , 1 tn ) nu i n l i l neg te o r i g i l ea . se poa te

p rec i za c i r so l , r ! i i i l ) l i i r r l i r t n c : ! c t r . " i i r t p !o i i c s l u l t i l d .

Ohse rua l i c . S t ' poa l c r r c l i ' l r t l r l : r i i f t t t t c r ' i a

l - { r ' . r i ) , 2 . r ! i l r r i 1 f t r ; ' )

e s l e o l r l ( L i r ' i , i a p r u r , r v p t l l r t t s i s l l t t t , t l ( c ) ' .

( d ) Es t l r n s i s l t r l d i f ' . ' r cn ! i a i l i r i r r cu coc f i c i en l i co rs l a i t f i , g1

mal r lcca ' l o I

t l

1 l - . ,3

Rrt i r i c i r i l c L r . r ' r rc l r l i . ' i cc a lc n taL . r ' i c j i ' { . ad i i i t r i t l f t c i r t i l c r rc r ra l i c i

det { }.I - r\): 0

(). +3)(). ' + 5r. +7):0.

7.r : -3, ).2;i.- l; t-;ti r/il.

- 2

l- 1

sa l l

s i n t

iL i i

Deci, A este hurwitziani (toate riddcinilc sale car.acteristice anpaltea real6 <0). Prin urmare, colform V. Barbu [2, Cap. V,$2,Cor,rlar 1], solulia banali este ari i/nplolic etponenlial slaDiki (chiarlnifo.m, deoarcce sistemul este autonom).

8. Sd se studieze prin meloda primei aprofintali i slabil itt lea so.dlu l iei banale a utmdtoarclor sisleme:

d ( a )

(b)

y - (c )

) r . ' :2ra -r +a

I a ' :5r4 +tJ ' +2:t . -3g,

J o': l1(3eI'- 2 cos r)

I g ' :2. ' - \ / 8+12c,

I r ' : t g ( : - y ) - 2 . rI v ' : r . /o+ra. +a",| , : - 3 y ,

( d r { ;;i"i,i.11,",.So/ufii (a) Notdm cu /, 9i /, funclii le definite de membrii secunzi

ai ecualiilor sistemului dat. Se calculeazi matricea Jacobi asociatd:

P r in R{ddcinile

caracteristice ale matricii.4, adicd solulii le ecuafiei

det (II-,4):0 (f este matricea unitate de ordinul doi),

' , i l i i . r : -z-VT f i ) " : -2+/T.

Pril rrrmale, :1 este hurwitziani, deci solufia banale este asimpto-fi| stabilir (chiar unilorm asimptotic s/aDild deoarece sistemul este au-l ? , | l i , t t ) .

',', :1fr "1fV',:'., ;l:]*rmare, not ind ' { :J(0,0), ^. . "- [ - ; l : ] .

r , - . . c-dr t00t 161

Page 81: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

(b) Cu notaf i i le

J(r'

i te la exelcil iul precedent

2 sin r 3eY

folosi

Iur: I

avenl

IIt .

Ridicinile caracteristice ale matricii A sint: )'r: -2, 1'r:3. De-oarece o rAdecind caracteristice este strict pozitil l, Iezttltir cit soltttiabanali este instabild.

(c) Notdm au fr fz, /, luncli i le definite cle nlellLri i secunziecua l i i l o r s is temulu i (c ) . Sc ca lcu leaz i n ra tdcca . lacob i asoc ia t i :

I eh tft ?tt l

l r . t u , , I

. I ah ift if, It ) : l i - , , , . l -t i " i t 3 & |t r Z r T l

-2 -1 lcos, ( ; -y) 1 /cos ' ( ; -y)

6h/ g +nr !$3e, o

0 - 3 0

(0, 0 , 0) , avem

J ( r ' u '

[-2A : l 2

l lr 0

Ecu alia caracteristici estc :

3et-2 cos c :Je, 2 cos r

2e" 4(8+12!l)-2t3

t 0 3 lo : 1 , 1 J .

- 1 1- 3 0- 3 0

I_ l

t

tNot ind ,4:J

det (11-..1).- 0sau

i.8 + 5r' +8). +6:0.Din criteriul lui Hurrvitz (r'ezi exercifiul 5), urnreaz[ ctr toate rldicinile€cuatiei caracteristice au partea real6 negative. Prin urmare, solutiabanali a sistemrrlui (c) este unilorm asimptolic sln"bild,

162

(d) Cu notali i le precedelltc a\crn

[ t o n l- l | 0 o 0 I

L o - z r J .l i r - rd ic in i le carac ter is t i ce a le na t r i c i i A s in t : ) . r . :0 . i z ' - ) t :1 .

Dec i , so l r r l ia bana l i es te ins tab i ld .

11. Sd .re griseascd ualori le patantch i lar retl i (rrt 5i (1t) penttu care.duli( nulit a urmdloarelor sisteme rl i lerenliale esle a;intplotic stahild.

| . t ' ' . t - u t l + l t z , I . , l J r ( r l l r r ) P 't l

I t t ' . t ' r ' z ! l - ' , ' ' o ' l , / ' . + ' ' . ,

Solu l i i . (a ) Mat r icca . ]acob i asoc ia l i , ca lcu la t i i j r punc tu l . r==0

i I r t l4 - i ' i ' s t e A : | , . , l . l t a d n c i l i l c s a l e c a i r r c t c r i s l i ' r ( r 7 . r . i " \ e l i f i c i

- U J

t : c r ra ! iai,, _.1_2). _3 _oD:0.

S.i obscrviur ei i l+).2:. -2. Deci, pcntru ca solulia Latrall si f ie asiutp-totic stabile (sau, echiralent, ;1 si f ie hurlitziani) cste strficient cal r ) ,2 >0 ad ic i :

a l < -3 .

I a le - l I(b ) Cu ac t ta ; i no ia l ie , a rem A: l

11 I J . Co l , l i l i i l e su i i -

c ie r i le ca ,4 s i ' t ie hurw i tz ia l i (dec i so lL r ! ia bana l i r s i l i e as impto t ic

r , tab i l i ) s in t : i . r+ ) ' .2<0, ) .1 ) . , >0 , unde ) '1 , ) ' , Ie r i f i c i cc t ra ! ia

1,_f 1a3l raa4i ,==0.t . - , e

l ) r ' c i , cond iJ i i le de mai sus , se scr iu :

a +e <O, a +eb >0 satr eD > c >e.

l(1. S(i s3 gdseascd soluli i le slalionarc (sau soluli i lc de achil ibrtt\t l t rtr ntdlourelor sisteme diferenliale,si sd se sludieze stabil i lulea lot:

Y ( : r lJ r ' : ( r ' - 1 ) ( y - l )I v ' : .v-2,

to. t

Page 82: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

].(b)

tfc)'

So/u/ii. (a)

Matr icea. Iacobi

I x ' : ut "I y ' :s in (e*y) ,

[ .r': -e'-r.-ss'

I V '= 4: - t s in 1"r1y;I z' :tn(t -3x -22).

Existi doui solutii stafionare:

r : 1 , g : 2 i i r : 2 , g : 1 .

asociatd sistemului este

" r r r , u) : [ v - l r -1 I- l _ g r J .

Pentru a ver lea daci so l t ia . r :1 . V:2 este s tabi l i ca lcut im

. / ( r , 2 , [ 1 o lL 2 r l .

l1e-1t ! , ln1t r ic ,e,are . , , . . s i j )gurd rdddcin i cacacter is t ic i (dubte) l - - t .uecr. prrma sotulie slalionard este instabild.

Calcul im acum

/ ( r , l ) : [ : : lL r 2 1 .Rddicinile caracteristice ale matricii J(2, 1) sint ^,:+l_\/r, j,z::+l+lr. Deci, so/u/ia r:2, tJ:l esle, de asemenea, in"totii i.

"

(b) Soluliite stalionare sint: r-:4.r, A:0 (keZ). Matricea Jacobi:

r(*'e)-[ .o.(l+u, .*,1*r, ].f o 1 lDeci J(kzr' o): l

1-r1" ( rt" I rt =21.

Ridncinile caracteristice ale matricii J(kn, 0):, r :lr:-;-:-, iz:li!-I. pentru I. par pi i,: _1_i Vrt , lr: -

-7+i f . pentru k impar. .

164

Prin urmare, sola.lii le

r : 2 p r , g : 0 1 p e Z )

sinl instabile, in timp ce softrfii/e

r : (2p +1)7r , V:0 (p =Z)

sinf asimptotic stabile (deci uniform asintplotic stabile, deoarece sistenulest { r autonom).

(c) Solufi i le stationare: r.:O, V:l;7i. : -O (k eZ).

Matricea Jacobi:

| - " ' 0 3 e3 '

. / r . r ' . y . : l = l -3 cos ( r '+y r -3 cos ( . j + ry ) {

f . -3 l (1 -3 . r -2 ; ) 0 -21(1-3r -22)

De c i ,

[ - ' q 3

J ( o . r n . 0 ) : l 3 r - l ) I 1 3 { - l ) : I Il - 3 0 - 2

rurr l idicinile caracteristice:

) . r :3(-1) l+r, ) , r : ( -3- i l3 ' ) 12, ) . . : ( . - - .1 i i \ / 35)12.

Irlin urmare, sola/iile

t :0 , r1 : )P7, z :0 (1, <Z\

sint uniform asimptolic stabile. in timp ce softr/ii le

r :0 , V- (2p l1) r , : :0 (p eZ)

:ittL inslabile.

ll. Se considerd sistemul diferential

I f ' : - c + ( r + t ' ) y( ) r

\ p g , : r _ ( z 1 D ) y ,

nt r ' | " ; . . o ? ' le un parqmd t tn i r s i O- .q<h.

I ,./ ri.{1crn notlelea:i tea(lii le enzimalice.

t i t Sd se studie:e s ta l t i l i la tea solu l ie i Lant le .

165

Page 83: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

. ( i i ) S n s e u r a l e t d p i i r n u l a u l t u n . C - : { ( . , y ) . n r , r . 2 0 , y 2 0 1 ,es le o n tu l l in rc inuar ian l i i l c r r l ru (S) .

(i i i) Pre,;rrpirren ci l,r, l , .sinl duti conslante reule salisfdcind con-l1 - b,)1, .

dil i i le b,-<li a ----:--:- b.

_ .Sr i se n ra le t :d d rep lunqh iu l D , - { ( r , y )= lRr ; 0grg t r1 , 0qygE l" I e;rle o mull ime inltr. iunl(i pe ru sistemul (S).

Solir/ ie. 1i) [Iatl ict 'a .]acobi asoeiati sisteruului (S) este

[ . r , r . u r + a I. / ( . f . 9 )

| I r I

l ' t t u ' - j ( r + ' ) J

Deoarecer nrrtrit ' t 'a "I(0, 0) esle hrrnvitziani, rezulti ci solufia banalles te un i fo r r r i as impto t ic s tab i l i i

( i i) Prrl.r 'rr r l i l irt:r ci C* r'str: o mulfinre i l lar.ianti cslc sirf icients i a ld t i r l t ra icc to l i i i c ca le p lc rc i de pe f ro r t ie ra lu i C* (ad ic i i dc pesemiaxe le poz i l i re u lc lepcr i r l r i i : rOy) in t r i i l C* .

Ma i in t i i . r r r ig i lea O(0 ,0) es l t ' r rn punc t s ta l ionar . . Sd cons ider imun p[nct (r0. 0), .r '0 >0 de pr axa O.r'. Vector.ul tangeDl i! (.r.0, 0) Ia tra-iectoria talc plrtci di,r ac('sL plrnct ale compotrcntele -ro<0 5i r"/,r. >>0 (\czi sistenrrri (S1). Pe de -alt i parte, vectorul tangent in (0, yo),yo >0 (de pe axa Oy) la traicctoria care pleacl din acest pirnct arc cornpo-nentele rry0>0 si Dyo/g.<0. Prin rrrmare, afirrnalia (i i) este do\edite.Aceasta arat:t cir i lodelul (S) este lcalist, din ptrlct de r.edere fizic (esteas igura th ex is lc i r fa so lu l i i l o l poz i t i v t ) .

(i i i) Se poate vedea ci lraiectoria care pleaci dintr-un pulct arbi-trar (k' pe lairrl i lc drepturehiirlrri D iritr i in l) (r 'ector.ul taugent latraiectolie in att ' l punct eslo orielrtat spre interiorul lLti D). Lirsirm inseama c i t i to l r r lL r i s i ver i f i ce accs l - fap t .

12. Sri se u; ule cti, pe rtit rr otiq !0, gn, ;oeiR, proli lunt Caucity

+f il [ -i!i!,,':'!t-'-r )l : l : l : ; l

166

(s) [ , ' - 'g" 2 tg -2! - r

\ g' :2r '12t21e'tt 2u ,

167

admite o solulie unicd, definttd pe semiuta [lo' *"o['Sd se arate' in plus'

cd solulia banald a sislemului este lllobal usimptotic slabild (adicd orice

solulie tinde la solulid banald pentru l 'o.:=.)'

Solufie. Evictent, urembrul al doilea al sistemului dat defilleite o

funclie: R; -* R3 local lipschitziarrl. Prin ulmare' este asiguratl existenta

unei solutii unice pentru problema Cauchy' definite pe un interval

maximal, sl zicem ]c, p[(care conline f0)'

Fie c(t),'9(l), 2(t), tel.t, p[ accastd sollr]ie Notim

V(l):3t'�(l) +Y'0)+2.2(t), t = le, 9['

Folosiucl faptul ci .r(l), y(l), :(l) \ 'critici sistemul dat gisim ca

u v(t): -or{t) - 1.1y!(l) - 20:!(l) - 614(l) -2v4(f) -424(t)'

dl

r e l e , 9 [

Prin ulmare

-l yi1, .- -2 Y(t r. I e lz. 9[,dl

saud

[ e ! ' y ( t ) ] < 0 , l e l a , 9 [ .d t '

Deci

VO < (10) e-2 i ' - td ' I€ la ' P[ '

Asttel, in riltrttea teotetrtei clc cotuportare la frontieri' solulia este defi-

nitn pe ]a, cc[, deci, iu particrrlar' pe [lo,-ra cc[' Mai rnult' tot din rclalia

de mai sLts, se vccle ci olice soltrlie tinde la solutia banale Pentru t - co '

Deci, solulia banali csti: qlobal asimptotic tl(tl)il i l (chiar uniforn asrnp'

tolic stabiltt, deoarece sistcrnui este atltonom)'

obserualie' Evident' lunclia v(r' y' z):3:t:! ' lg2l2:! estc o lunctie

Liapunov Pentru sistemul dat.

13. Sd se stlrdie.e sl(tl)ilitufeu slluliei '' - -t2' !:t tt sislemultti

Page 84: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

Solu/ie. Se verifici ugor ce r: -t2, g:l este solufie. Fic.indschimbarea i:t atr, i: y -t sistemul (S) devine:

: t - -

{ : ) | x ' _ _ . T _ 2 9 + u 2

I i ' :zi+"-'! *t 'Evident, a studia stabilitatea soluliei t: _12,_ y:t a sistemului (S)este echilalent cu a studia stabilitatea soluliei i:0, i:0 a sistemului(S). Pentru acest sistem matricea .lacobi asociati, calcuiati in z:0,9:0, este

_ r _1 _2 1. -1 : l I

1 2 - 2 l .

Deoarece , i este hurrv i tz ia : rb rI

rL .d ic i r r i le <r lc ca lar ter is t ice f i i r rd ) , r :

: I - i J 1 ' . ^ - - . l . , r l i t2 - 2 - ' . 2 -

. ' . . ,

J . l r l r r l e r z i r i s o l r r l i r h r r r a l i a . i , l e -

mului 1S) este uniforra asimptotic st.abil i i , adici, echivalent. solutiat : * t2 , V : t a s is temulu i (S) es tc r rn ip r r r r u : : impto l i c s lub i ld .

14. Sd se studieze stfi i l i lulee solu l iei b(rn(rle u ut.nli lout elat. stslcnl

. Sgtutii: (a) lncercim s[ lolosim metoda primei aproxirnalii. ]fa-tricea Jacobi asociati, calculati in c:0, y:0 este

I 0 1 ' lA : l ,

L - 1 o l .

lntrucit rIdlcinile caracteristice ale matricii .4 sint ].1: *i, lz:i, luputem decide astfel dacl solulia banalh este stabili sau nu. De aceea,vom incerca si construim o lunclie Liapunov.Pentru aceasta nu existeo metodl generali. ln cazul de la!i, este natural si clutlm o functietiapunov de forma

V"h(r , V) :ar2 +bU, @, b>0) .

lntr-adevir, se \.ede ugol ci funclia tr'(f,, r):r't+y. este o functie!-i3Punov pentru sistemril dat, cleoarece (vezi V. Birbu [2, Cap. iV$aD:

v = cl(R:), r.(0, 0):0,

v (c , y )>0 , ( v ) ( r , y )+ (0 ,0 ) ,

( y - r syAn l - . r . . 3a31J I : - 2 ra 04a<0 .at ?!l

Mai mult

(y -xs) lL + ( - r . - i r4a1JI . 0 . ( V) ( r . , ) + (0, 0) .? r ; ' J

Priq urmare, solulia banali este asinptotic stabil i (chiar unilon asimp-lotic stabild, deoarece sistemul cste autonom).

(b) Se cauti o iunclie Liapunov cle for.ma V"D indicrti in exercif iul(a). Se giseste, de exemplu, funcfia Liapunov

1( r . y ) :2 r , a lyz .

Clr .aceaste funclie Liaprrnor' se poatc \ cdea ce solr! in ltruald este asimp-totic stabilS (deci uni/orm asintptotic stabild ).

(c ) Ev ident , lL rnc l ia V( r , y ) .= r '4+1 i4 es te o f r rnc l ie I_ iapr r r rovpent tu s is temul (c ) . S i ver i f i c i rn cor rd i l ia che ie :

- .r 4aJJ-..rrr,rl-L -0. { V) (.r. t) 61R2.ar ag

Prirr rrrrrrare, solufia banall estc stabilA ((leci uttiform slabil i ). La aceastarc t t t rc luz ie se poate a junge, " i p r iu fo los i lea c l i rec td a de f i l i ! i c i s ta l_ r i l i t i ! i i .

dilercnliale:

{ ' (a)

tr(b) {(c) t

(d )

{

$,) i/(f) t

I :u'.: p ..r{ -[ 9 , : _ . r _ . 3ua,

.r,_ _:l i / -r?3

!l ' :2r -3tJ3,

!l ' ::t:a!1,

.r''.- - 2, , -r'(r -r')!g':3.r' -Jgs(e -y)i,

r / : -x +Y - - ) .B

!l' =- 2rJ -x3,

J': - I 3y - ie ! :3

! l ' - : l i t - tJ 1-2.3- ' : - t t -21J.

168169

Page 85: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

lntr-adevlr, se vede ugor (ca in cxerciliul 7 (c)) cn traiectoria unei so-lufii care pleaci dintr-un punct (f0, yo) descrie periodic curba inchisi

ra 1va:r l1 : r l .

Plin unnale (rezi si cxerciJiul anrintit rnai sLrs) solulia banall esteuniform sltbild dar nu e.sle asimplolic slabild.

(d) Funcl ia

\ ' ( r , y) :3r , , 2y2

este o func!ie I-i:rpunov pentru sistcrnul (d). Cu accastd funclie tiapunovrezul t i r c l so lu! ia banal l estc s tabi l i r (dcc i un i form s la6i ld) .

(e) Frrnc! ia

\'\x' l l l =':tt +2Y2

este o funcl ie I - iapLruov pcntru s is tenrr l (e) .

Solrrjia banalir cstc anilorin usirnplolic slLtbild.

( f ) F Lrpcf ia

\t(r., g. z\:2rz +2a2 +24este o funcl ic L iapurrur ' p t ; r t r r i s is tcmul ( f ) . Solu l ia banald este uni lor rnsla l ) I I .

15. Sri se sludie:e skii l i l t t lea soluliei bartde a ecttaliei (pendulului )

r " + / i ( l ) r ' +s i l r :0 ,

utde lt esle o futtclie rcdti continud cu t 'alori nenegaliue,

Solrl ie. Sir rolsirlelirm sistenrul t le ordinul inti i asociat ecuariei

t ' : v

V' : -s i l l r - f i ( i )y .

' ir(f, x, y): I -cos .- alu:.' 2 "

Se verii ici ugol cir V esle o frr: icfie Liapunor', (de exernplu) pe Q:- { 1 . . r . y t : / ) 0 . r r r u r 1 . r ' . . 1 7 r ( 1 , .

Prin ulmare, solrif ia banali a sistenulri i esle stabil i, adici soluliabarall a ccualici dat{, cste slaDili.

770

lG, Sc consirlerri sislemul

(S) | t ' : -a ( t ) r -b ( l )Y +4r (1 . r , u )

\ r ' :D(l)r-c(l) lt 1-s2(t, :t: ' ! iJ'

u o d c :

( i ) a . l , c : [0 , +co [ -R s in t func f i i co ] r t inLre ;

( i i ) ( l ) 3 ; - - ( ) us t fe l i r t c t l n ( l )2 8 , c ( l )> 3 , pen l ' ' i i 0 ] i (e l> t ) ;

t i i i l ./,. 0" sinl funcli i rerLlc unlinue delhite pe do letritt l

1 r r . r . g tJhd i>0 , . r '+U '< / ' ] ( r>0) . &r rc l l i l t sc l t i l : i ene in ( r ' y ) s i '

in pftij,

( i r ) 1 ; ,n 1 ! : I : ! l U (J :1 ,2 ) , uu i fo l r r t i l tapo t t cu l .r : + j / r ,0( . r -+ u-r ' l -

Sd se arate cr! (S) nrlmife soll l{ io bottuld,si ttrertslc esle usintploiic sluhild'

So lu f ie . D in cond ig ia ( i \ ) 5 i d i l co t r l i l r t iLn fca f t r l c t i iL r r ' { / t rezLr l t i r

t i ( t , 0 ' 0 ) = = 0 , ( V ) r > 0 ( i ' - 1 ' 2 ) '

P l in u rmare , s is tcmul (S ; ad tn i l c so iu l ia l r r t r :a l r i \ - t r i t l a r i ta c i i f t t t t c ! ia, l e f i r r i t i p r i t r

1 . .\ - ( / , . ) . r / ) - - ( . r ' - 1 / ' 1 .

carc i l ro tn p lc t i za tua i ios , cs lc o f i l l l c l ie L iapr l l to r '

cir

I 1 ' ( 1 , r . 9 1 = . . { 1 o ( l ) . { , ( l r r / , a 1 l l . t . l | l I ' l - [ , l i

) f ( ( l ) t I -a.L-

+ ! l r ( i , x , u ) l< -3 ( r !+ r r )+ l x ' 1 / r (1 ' r ' ' ! i ) - U l a / : (1 ' x ' y ) i '

l n baza cond i f i t ' i ( i r ' t . cx is t i e ) -0 as t fc l i t rc i l p t ' . t t t i t t , : - - :e y <e ; t

pent ru o r ic t r 12 0 ,

i x 4 r ( 1 . ) . r / ' J / i / : r i . . ' " n

1 1 t ' , ' ' '

l) eci

(+) \1;(/, r, y) ( i

pe un tlonteniu Pep e l t l u ( S ) .

Si observittrdatc :

({t

Cons id t ' r '5n luuc ! ia

( \ ! l y ' ) . ( V ) l > ( 1 . r ' ' : 3 . Y < e .

Page 86: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

Pfin urmare, I ' este funclie Liaprrnov pentru (S) pe domeniul

t ( 1 , r ' . 9 ) e p a ; t > 0 , i x , I < e , / . q l < " ) .ln plrrs, are Ioc (x). ln concluzie, soltLlia banalit esle asimplolic stal)i ld.

. 17. Fie /:R'-1" tontinuii..sd se at ate ctt t lucd t(t) eslc o soiulieperiodicd nercnstanl(i L1 \istemullt i (autonom )

. t ' : l ( t ) ,

atunci:t(.1.1..nu e:le |.Jintplulic:iabilt i . Sti se qencrri l ize:e rcaullatul la cazrrlt lne t so tu l r r opr0apo p , r io t l i , r ne(un .k tn le -

-^_ ,^ j : l , , l l " : Pr r -s r rp . rncrn . p r i l

. con t rad ic t i c , c : i . r . - ( t ) es te (o so lu l iep e l l o d l c u ! l c c o l : : l t j , l i ; . i \ l : i r r L p l n t i r - . t t b i l i . D C o a r e c e J . ( 1 , J r

e s r eidentic constanti. r.ezrrlt ir ci eri it;, to;n astft: l incit r (10);i i . Cum .r(t)es te s i ,con t iD i r i i pe R ( i r r p r r t i c r r la r . con t in l l in 1 : i " ) u rmeaz i ca( V) u >fl existi o- :,0 si r ;-0 as el incit

f..: .r.( to) _r.i /o + g) <u,undc l l . i i cs lc o ro lu i i o r r . r ,c l c pe Ro.

* . - I l l iCcnt . r ( / - l -d ) fs te c lc asrn l t rca o so lu l i c a s is tenru lu i a , : l (a ) .F i r in r l r l r > l l . r f i c i , . t r t c l t r l i c s i apo i f i x i rm i , , r *o , i - - .o ra"punr l to ,3 '0 r i r r t o : , t f ' .1 i r rc i l . i f i , , . r : , r , .p : i r ' i r r , , i - , l , f " i , , "q^ l i i " , " " i ' " n , " i , , , . .Deoarece t (1 ) cs le p rc - (upLrs i as impLo l ic s tab i l l a r .c "m

: j r j , i . i (1 ) _ . r r t +3) :0 .

, d 6

l i n ind cor t cL" ( l l t r l , . p l r . iod i , . ! . . , i z icem r le per i , r rd i I : -n , a \ .e n . l(i Jirn I r(/o -2r l ) -.r(10 r-D,l-m T) i :

: i r ( / o ) - . . i r 1 0 + ; )c i lLc cs lc r l c0n t r l r l j t . i i t , L l r r - r ,1a ! ia

.r{lo) .r.(10 -l 31 _--,1;:.f).

De c i l l l ) n l t ' -< tc rs i : lp to i i c s lab i l i .

Pc ] r l l l t : l do | la ] )x i t { ' t r p rob l t , ine i , s i a t lu r i t cnr c i , o f l l nc t ie , i r :R* R,s e 1 i r ) i r f s t e o p r r t u p c p c r i r y l i c i t d o c i { d c f i n i t i a l n j B o h r ) : 1 V 1 s : > 0 e r i r l dl , - -0 t r . r l / r l in t i l o t i re in l t t ru l t t , r l , lp l t t r t , t . i t r te 1 . . " , i : i t l e tn to , -n+ t l . r r ,_line un nun:,dt : (nuntit ._apnitpe peiioadd ) astJa tnlcti (V) leR.l1 .n (1 . * : ) - l ( l ) I - : : . Er ic l l r l . r , r i te . f r l r . l i e p , , r io r l i c i c " t . -apruop" pe_r iod ic i . Rec jp foc l ' l ces Ic i a f i r rn l f i i , , r r " . f " , ju q" " "o f , a l l ' e r .e ra ta .

772

F ie acu tn . l ( l ) o so lL t t i r apr -oape p t l io r i i c r ' r r l cc r l l s t l ru l ; l s i : l tn r r r l r ix ' : f ( : r ) . Dcc i . cx is t i /o>0 as t te l inc i t x 'a lo ) 10 . ; \5adar , se po t N l rgc ( l i rf el ca mai srrs) u, D, r >0 suf icicnt de rl ici astf cl jocit

r '< l l c/10) -r(to+8) <'r.

Dco l r .ecc : t (1 , cs te aproape per iod ic i rezu l t i c i , p , . ' t r1 r , , e : f /3 , ex is tel> . ( r , as t fe l inc i t , o l i ce in tc r \a l [m/ . {n+1)1 ] . n r € } . con l ine uu numi r-",, crr pr'0plictatca

) 1 . x ( l + r ) - 1 ( r ) i < 1 . t V ) t * R .

Presupunem acum, prin co.rtl i tdictie, ci tr ir) este asimptotic stabil i.Atuuci, pentru nr suficicnt de mare, ar-err1

I c(fo 1t,,) r(10 f 8 f r") l l < l.

Sc l i ind acrm ci

I r (10) - r . (10+3) l l < I o0o) - r (10+: , , ) I * I e ( to f r , ) -c ( te*

*8*.-) l l + l l u(t.+8+r,,) -e(lofb) l l ,rezultd, din cele de mai sus, ci pentru m suficient de rnare

l r x (10) .x (10+8) tc i - i+ f - - . ,

care este in contradicfie cu relaiia

lt r(tol -.r(/o+8) ll >r.

Deci r(r) nu este asimptotic stabili.

18. Se considerd sislemul diferenlial(s) r,': A(t)r +l(t), t>0,unde A esle o matrice de tip n xn de funclii continue pe [0, o[ iar f csteo funclie ucctoriald cu componente conlinue pe [0, co[. Se mai presupunerd solulia bans.Id a sistemului omogen

(s .o . ) r ' : A(t t r,,le uniform asimplotic slabild si cd

, + lr l ) sup I l i f (s) i l ds<oo,

r lo .r

773

Page 87: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

atl

tie(

Fie X(l) o matricebanal i a s is tcrnrr lu iva le l l i cu

(2)

r rnde N,ar rn n r tu r i l(S) . ad ic l :

t r l . I , l r 1 1 1 1 1 , ; 1 1 1 l t i t t I t t ) t t t a r , t .(s ) " , le l r , i ' r , / in i i , i ' 0 " ' i ; , ' ;1 ' ' ' * ' 5 r i s r ' r t r r r l c " t , t t " : :o tL t l r t , r . ! i r / r / i r r ,1 r i

So / r i l i n . Dooar r .ce o" R" : : i :

dor r i normc s i r r l ech ivq lpn lp . a , ,1* r ,c , ' l r s t r l ( 'Tc cA 11 . 1 , es tc t io rma uut , p f ln

l l c l l : r u a x { l r , i ; i : 1 , , . . , n } .Pc spaliul lfto R vont considcra norma

J' i ' . t l " " " l ,

n" ' ' t v lA ' tQt t tL '4 /^ tRt .

(iilbii'H'�i::' i,,!i;111, "!i;o;l;,l"lgiii, ..x,:"::1j,1

Capitolul V

INTEGRALE PRIME $I ECUATII CU DERTVATEPANTIALE DE ORDINUT, INTII

Pentru sistenele lilerenlitle ;t futtt:l i i le p rlate mai.fos sri sedacd relalii le g:C sinl inteltrde nrin?.

[ . , : 1l I

lu ' - . t : . ' : ' , 12 l -2 t -1; i ' t2 . . t r i11,

( b) I .r" =.1 1/.It ,,r

[ ! i ' . r 2 - - ' i ' : : " l t . t i t ' ] - , : , , . ' r - - : - 1 l r r r '

i . t c l , d , d r . ,

:t: lJz -:r-u u

So l r r / i i . ( a ) Pen t ru ca re l a . t . i l e i :C i : i r f i c i n t cg ia l a p l im : t pen t ru

(a) este necesar gi srrf icient sl f ie rtrr i l ical ir lclaf ia

i ' 9 , _ l ; , r , t - I - , , : r , _ . r . r - 0 . ( i l . l ) .

t t ar t Lt l

Astfel, g,:Ct cstt ' integ-ral i 1:rt i rni deoarcce

2l -r2!l ::1 'r')2 -('t'U

iD timp ce g2:C2 trt l este integrali pt' imir deoarece

-U +2x r '1+b.+0.

a(b.) Deoarepe

* ,n *#<,'ny2\:ry(tns -2ty) +(c +v1[a - rrJ*0

t .uerifice

( a )

i i x ( l ) X 1( lo ) r j < r \ : e -d{ r - ,o ) . t> to>o,s i | t , . o , r s t j r n t e t s t r i , . L l p o z i l i \ . e,rr,rar. r j ic ",.; , ; ; ' . ' ; i ; ; ' ; *, l i : , :#:; l l"f j : , f l , : ; l :

r'(1) -'-, x(1)x r(0)r (0) + i x()x- r(s)/(s)ds, / 2 0.0Deci, folosild estirlarca (2), a"em:

l l ; t (1) l j <N l l ?{0) l l e-a'+Ne d ie*rr zo L" , - ^Pcrrtrr r r i r r r i ro ia t lcrno^slral ia. esle . rrL,""r ' r ; ; ; ; ;^ " ; ,(3)

ilio "-", j*,rr /(s) ll ds q oo.P e n t n r a c c l s l l r r o r l r r t i l i z a i oa \ .em:

. . . - - * .po teza (1 ) . As t fc l , pent ru l€ [N, N+ l [ ,

I v , * t.- d' J edrr fis) - 15 g p-,rv D .f *, l l fis) 11. ds E

! f + l< C e - " D e d l : C c - a x e d

" ( n + r h - r < C n 2 ot - | e t _ t

- " " n _ t ,

l + l

t::lt I ll /(s) il ds. Deci, (3) estc do\,edit{.

undc

174* * * * (r +r/') :"v (-+ -iJ+] t"" +u'r =o

Page 88: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

urmeaz6. cd 91:C1 nu este inlcgralat pr.imi, in t imp ce gr:C, este inte-grald primd.

(c) Deoarece

J-?j-.12 1_ j3L

u: _ i"'a x ; u '

- - \ - ' ' g \ : 2 x g t - 2 r g z = 0

;i

*: .*4r.+ A( - . , ,1 i : - - lu: =0.1r ?g " d. lt !).

" -

urmeazd ci relalii l e 9r: [r, 92: C, sint, anrbel e, integrale prime pentru (c).2. Sri se Lezolue sislemele difercnliale neliniarc:

( a ) [ t : !

{ '| . . , s( r . _2U_ 1 '( l ( x - 1 )

d:r dy d:

z2- U! z tJ

d0 dg

c g z - x r -gz

(a) Putem folosi metoda eliminirii. Din prima ecualie

U : t t t ' 'lnlocuincl in a <loua ecualie, gisim ecualia in c

'" : '(')!"

Aceasti ecuarie se rhai scrie

#:,";_\'Pdn impedir€a cu z' s-au pierdut solufiite r(r) = C (C €R\ {1 } ).Din ultima ecnalie se obline

, ' : Cr(c -1)? (CreR\{0}) .Deci

! : c r ,nc" (c ,eR\ {o} , c reR) .1 - . r

776

A;adar , so lu ! i i l e ecLra ! ic i in : r s i r r l .

r , . lcrt - cr

ln concluzie, soluli i le sistemului (a) sint

. 1:, - crr+c"'

. t r . - - ( :1 t

(c , . c , €R) .'- ((lr l+ ' l ')! -

(b) Peltru a lezolva (b) este srrficiclt sir determinAmprime independenle. Aslfel, dil ccualia

d U d !sau Ydg: - zdz,

; g

ob!incrn integrala primi

!12 4 .2 :C| .

Scr i i ld acr rm s is tc rnu l (b ) in fo r rna

dr :dU - 1/dr

se obline

z2_ !t2 z2 !2

obl i rcm, apl ic ind o propr ie tatc a propor ! i i lor ,

l r ' - d(y : ) .

Deci, o a doua irtegmle prime pen[ru (b) este

r -gz:Cz.

Se verifici ugol ci cqle doui integrale prirne sint independente func!ional,deci acestea reprezinti tocmai soluriile sistemului (b) (sub lormh im-pl ic i tn) .

- . d x d u , . , r(c ) D i i r ec ra l ia i : : : . ob f i r rcm in tegra la p r ime : - -Cr .

u g

Scriind aculr sistcmul (c) sub forma

d(r') d(s') dz

2rz 2u" z_xz_- v2

dc d( :+ r ,+ t1r z + f + U z

douir integrale

(b)

( c )

Soluli i .

r r - c-de 1003 177

Page 89: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

Deci, o a do a integrali prirnir este

1+ xz-t !r2 _ C,.

Sd sc delermine soluli i le urmiitout elot ecuali i cu deriaalc. parli-alct

sc deduce integrala primi (a sistemului caracteristic);

x2- l l '-, cr

parte, folosind o proprietate a ploporti i lot ', oblinem din

d(x -D - d t sau d(e-y fz ) :0 .

y-t t - rJ

.\9adar, o a doua integrale prirni, i ldepcndenti (funclional) de prirna,cs te :

x. l l +.:C".

Deci, soluli i le ecualiei (a) sint date, i l Iolttt i implicit i, prin

F(rz .-r12, .r ' ,y {| ' :) -0,

rrnde F: lR2 'R sint frrncii i dc clasir Cl arbitrare.

(b) Sistemul caracteristic asociat ecualiei (b) este

3 .Pe de alti1 S . C . ) ' :

(a )

(b)

(c)

(d )

(e)

b: t).U; +.r- : r -u '

L t - 4 .r: ! l- - a"-:9.,

, l !-2v+ =,3!:0,dl t a:

r4 - ; . r ;1J: -a1.14 a.1. ! ! : " , - 1 ,0 t , a u

xJL;-u 3' :2- ru.

(f) "r#-7,#:-r(t+n),

(C) @'rn_�trl;f,)}!-+r"rr#*

, " a u a u+ .ri-- F.r3.rr- = 0.

Solufii. (a) r\soeiem ecualiei (a) sisternul caracteristicd E

ds

du

ds

d3

(s.c.)

sar r , in f o rm6 s imet r ic i ,

( s.c.)'

Din pr in ra ecua l ie a s is temulu i (S .C. . ) 'ob l inem in tegra la p r im i

12 + l l z :c \ .Apo i , d in ecua l ia

dx dz

.,htirem o a doua integral{ primir (independenti de prima)

' - - ( : " .

i 'r ir) uuare, solulii le ecuafiei (b) siut/ - \

F I 1 2 + u 2 , - l o , F = c I .I " t J

I 9 : , , 1ds

| "t t ' � r2) 'r-Il o :\

" - ' ! t '

d r d , d z

; : - " - ; '

(s.c.)

sau, in f ormi simetricE,

(s.c.)'Din ecualia

d.r _ dy

ll x

d r dU

t r

t_ IJ

179

Page 90: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

(c) Sistemul calactclistic

rlr- : td.\

d s -

d,-

ds

Solu ! i i l e sa le s i r r t :

I r.- . Krc"| lt:Kr"-"'| ".-.K""II u : C r .

Eliminitrd s se oblin urmiitoarclc trei irrlcgr.alc pr.irne:

u -(:r a.rt l .-(:,. ara . (:,r.

Deci, soluli i le ecrraiiei (c) sint:

- l ' ( r r . e 2 q , . r : ) : 0 ,

u t tde F : lR3 -R es te o func l i t dc c tas i r C l a lb i t ra r i . Exp l i c i t i t rd , a lem

u:f(rrlt, ,r:), /e Cl.

(d) Asocierrr ecualici (d) sistemul caracteristic, in form{ simetrici:

d1/

g+x . : r r y : : e - -1

Folosi ld proprietdJi ale propo{i i1or.. obl irrcm

De a ic i e i rs im t r rmi toan lc t lo r t - r in te g r ' : r lo p t . in t , :

: j r . : l l

J - a r I u

Prio !r'mare, solulii le ecttaliei

t c + v

(e) Siste mul caractcristic,

dx

(d ) s in t :

l---- l- r). l: € Cl.

in folrni sinretricS, este

dv d :

x : t J : r y

f ) in p l ima ec t ra l ie a s is tomr t l t t i carac tc t i s t i c g ls im in tegra la p r im i ;

- . ! r l .

l r , lo , r i r r r l " r C1g in cc r ra ! ia 31 - I - l i s i rn cc r ra f ia l in ia r iu i a a

d . = ! : C r l ld l l ] '

Accasta are soluli i le

: !l(C2 Cfl),

Reveu ind Ia subs t i t r r l ia r : :Cry , g i rs im o a dor ta in tegra l i p r i t l [

x,+ : O".!l

Prin urmare, solrr! i i le ecualiei (e) sint

r { r . r + - l =0 . F . c r .' t v '

* ' c i(f) Sistemul calacteristic, in lormi simetricd:

de d!

r l f . - U: ' r {1-r . t?)

Din prima ecualie gisim irtegrala primi

T 9 : C t

l.olosind aceasti integrali primd in ecrtalia

u " : - u t ,

rg t(1+ /)ob{irem ecuaiia

r(l f r ') d.u: -C1dz.

1 E 1

Page 91: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

Aceasta are solutiile

, r-rr+{+j1:c,.2 !

Deci, o a doua integrall prirrri este

, u , 1 3 - - 1 . " = 1 . " .2 1

A;adar'. solufi i le ecualiei (f) sint:

I t z r a \

F l r u . t t l z + ^ + j - l - 0 . F - / . ' I .t : 1 t

( t , S i \ t e m u l c a r a c t e r i s l i c '

dr, z d.rn- ; ; = r l l t I l 1 2 - - J 3 J 4 '

' d r . , l r

- : - : IzJt , - : - :U,

dr ' 2- : , T 3 .dt

O p l im i i l tegra ld p r im i es te : u : ( i1 .

Pentru a gisi celelalte trei integrale prime, scriem sistcurul format

din primele patru ecuatii sub forml simetrici;

d*, d", d"" drr

rr"n- ","! rrrr rl rrc.

Din ecua!ii lc

d,'t - di! sl

se gisesc alte doui integrale prime:

rs:Crzr, rn:C"t2 in Prima ecualieebtinem

dzr

Ac,c-4:c,i" 'Integrind aceasti ecuatie oblinern:

(C rCr-r)e"tc':Q'n'

tl2

Plin urmare, o a palra integrali prirni eslt '

t? r,r e,1,,"= c!.

Deci , so luf i i le ecual ie i (g) s in l

'--r(;';'(? '.') ""i'Junde f sint functii de clasi Cr arbitrare.

4. Sd st rczoloe urmdloerele problene Catchg:

dr, drr

t x l L 2 : w 2 l , r d 1 2 : u r .

a sistemLrl ui in lormh

l;-vfi: ', '1 , " , ' : , . . = - r ,

l ,*-"*: ,- , ,I ( r ) r : t , , . - y ' ;

I r*+1l : -+z,y !L: , , ,

I , " , . . : r , 4uz +zz- ,1:

| 2 "n r .3L +zs .sh r . JL- s . rh . . ,

l ( , ' , . :u : , '

| "s:L a,, - i !-s",

I t" l ' : _�zt, 11:22;

| { , - , t ! + r v - 4 * - , 2 , .

I ( r t ' - y -u . . . 1 : r : r ;

| ff+<rl -,)*-I rr(0, z1: r,

( a )

(b )

(c )

( d )

(c)

lnlocuin d

simetricl,

(g)

[83

Page 92: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

I i ' aa "

az : ! L - o '(h)

I ,, at il l

I / r f o . r " , Y ) - I Y '

P unindprin (I)

O primd integralS

Din ccual ia

integr ali .are trece. " . : :1 , go : : r r , l " : : i t . g is in t s r rp |a fa !a(sub forrnir parametlici):

[ -""" t-t

! u==ue t

t -[ : r r r r ' r ' - " '

I i " , i l :0 ,(i) | ,- '--, ox,

II r , { r1 . . . . rn r . t t -z \ / i+r t - i i . , .

Softr/i i . (a). .\ rezolva problema Cauchv (a) insearnni a de-termina solrrl ia ecrraliei date (suprafata integrali) care tlece prin cur.ba(l). Aceasti curbi se scrie parametric (de exr:mplu) astfel:( l ) : r : g r ( u ) = 1 , l t : q z e t ) = r r , ; : 9 ( a ) = u .

Si verificdm daci sint indeplinite condifii le teoremei de(V. Barbu 12, pp. 17,1,-1751. Mai intii, s{ obserlem ce tunctiileg2(u)=u sint independente funcfional. De asemenea, (notind a1,^ , , - \ClenIIl lUl -, -:-1. A\'enl.

d r Au I

I r t1 (c1( r r ) , 9 . ( r i \ , 9 (u ) ) ( r r (? r ( t ) , ? r (u ) , ? ( . r ) )

-.-9L 1111 i& rirt

1 . t t I

l o i l t * . ' ' ( v ) r r € i R

Asociem sistemul caracterislic

existentd

9(u) = 1,a2 coefi-

II

E l i rn in ind paramet r i i s , r i . q is i rn so l r r t i l . sub fo r rn i rxp l i c i t i .

i " l J ( ' ! u ! ' x 1 7 '

(b) Atit la act'st excltl i l iu, cit si la erle ce rrlneazi, rr. lunti iur Iaver i f i carea co ld i l i i l o r teoren t i dc cx is tc : r ! i . C i t i lo r . r r l iDs i t ru t r .cbu iesi renunlel

SistemLrl caracteristic cstr

( lr

prime este

( s.c.)

Acesta admite so l u l i i l e

d l

d r

e - . r * J o

ll -- lJoe-'

: - - : c r / o { 1 - . - r r

z. u- x

obtinem o a dora integrali prirui:

222 +( r - ! t )2 :C 2 .

Cr:le dotrir integrale prirne r<rplrzintir sblrr! i i le sisternului caractelistic.( la te imp l ic i t (ca lc s in t s i so l l ! : i i l ) r l t lu ecua l ia (b ) ) . D in t re accs teao vont deterrnina pc acor.l! f l !-c lctrl i 'zitrt i suprafa!a ce conline curba (f).

Deoarece (f) se poate da paramt't l ic pii l

( l | ) : r ' 1 . l - . u . : - - u 2 ,

c o n d i f i i l e c a s u p r a f a f r i n t e g l l ' i r . i i r r r r ! i l i r c r : r b a ( f ) s i n L :

1 + u { . 1

' I U

r - 17==Cr .

d(.r J) (1:

2 & . + ( l - . r ) r - C r .

184 185

Page 93: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

Eliminind u, gesim relafia

( * ) 2 ( C L - 1 ) 4 + ( 2 _ C 1 \ 2 : C 2 .

Agadar, solu-tia problemei (b) este

Obseratlie. Solulia problemei (b) se poate obtine, de asemeneaca la exerciliul precedent. Am prelerat si scriem sistemul caracteristicsub forme simetric5, deoarece solutrii le sale se obtin astfel imediat, subforma celor doui integrale prime $i, in plus, nu mai apare parametruls. NIai mult, relaiia (*) se poate obgine direct, firi scrierea parametricia curbei (I), deci liri introducerea parametrului u, care, oricum seelimin6. Anume, rclatia (*) se poate obline eliminind r, y, z din sis-temul format din intcgralele prime gbsite gi ecuafiile care dau curba (l).

(c) Curba (f) se poate scrie parametric astfel:

r :2 , l l :cos. r , z :2 s in u.

Sisternul caracteristic:dt

xz +a t 2xg

oblinem integrala pri rlS

Pe de alti partc, din ecualia (omogeni)

d r dg

)i2+ Uz 2xg

oLi inem o al t i i r tcsrale pr ime:

(tr) ' " :cz.g

ln locuind in ( \ ) 9 i (12) r :2 , y :cos u, r :2 s in u gesim

l s i n z u _ a , l - c o s ? u

rt - l ' - : ( / t .cas u crrs d

1t6

sau, eliminind a, a\en' (c, , lc, \ (q_ cr\ :416.

d y

rrrmare. suprafa!a integrall, cirtttali, t 's:te

(22 - 4x. .+ 4u2)(.i r.: i - iy'!) 3{J

(d) S is temul car ' { i ( t ( r i s l i c :

d r d t

In legra le p r i rne :

2 ch r 2 ! sh r : . sh r

- : = 6 ! . l t . =c , .

/ / _

ch:r

z d i l s i s t cnu l con rp rs t l i l i n l cg ra le l e p r i ne i i c c t ra l i i l e

( l '), obliuem rclal ia r

c, _ C,.ch Cr

integrali cAutalit este:

E l iu r in ind l , t , ' ,

care da r r cu tba

Dcci, suprafa!a

:2 chr=.. r./2 ch I 'g

c l r l c t o r i s l i c :

dx _ d! j : , .

r t r " t :

Pr in

(e) Sisternttl

Integrale prirne:

Din ecualia +:

-S1

( l r )

, t ) - t t | - O r

E l im in ind t , y , ; d in s is tc rn r r l fo r tna t

curbe i ( l ) , g ls im re la l ia :

c r c :+c ,+1 :0 ,

adici suprafala integralat certatit este:

c l l

' o " .

i l teglalele prime 9 i ecua! i i le

( r 2 - y r ) : 3 + . { r ; + 1 3 : C .

lt7

Page 94: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

(f) Sistemul caracteristic,

d x

d 0

ale solulii le

[ .r' '- c"(ru -- :or" 1- ;u)I

i Y " : c ' ( Y o - : o e " * : 6 )I[ : : : 0 c 2 " ,

corespunzitoare condilii ior Cauchy

r (0 ) . - i to . y ( ( ) ) :90 , ; (0 ) = : .20 .

Si observim ci (l) se poate sclie pararnetric astfel:

( l ) a : u , ! t - u - 2 , . : , ' l - 2 u .

Lu ind ro : :u , go : :u -2 , ; r := -1-2 t r in rc la l i i l e care dau so lu l i i l e s is -tenului

-caracteristic g.lsim ccuali i lc parametrice (cu parametri i s, u)

alc suprafelei integrale ciutatc:

[ ' , " 1 r ( l - 2 ' , ) e " - u ]I{ V = " , " 1 t l t l - 2 r t 1 e ' 1 r r iI[ : - t l - : r r t n t " '

sa t r , e l im in in t l s 9 i u ,(3r ' l- y + 1:)(.u - Y) -.' l::0.

(g) Sistemul caractcfisLic csItr tttntittortrl:

rls

d r

drr

Acesta are solufi i lc

I t : ' a t .Ij r r re- ' 1 2e 'o . sh sIt ai .: ltl

corcspunzltoare condiJii lol Cauchl

1(0):fo, r({)) ..r0, .r(0)..=uo.

I)r 'ol)lrnra (g) i lsearnni, in all i Ltlurt 'rri. gusilca unei suprafete integraleu : e (1 ,J ) a ccua l ie i cL l dcr i \ l l f par l iaJc da tc care t rece pr in curba(d leapta)

( f ) t -O, t : : c . u :a (z parar lc t f l l rea l ) .

In locLr ind acum, dup6 p loce de r r i t rUroscr r l . /o : :0 , co : :a , u0 : :a { , seg:rsc;tc suprafa!a integrali ciutatl (solulia problemei Cauchy date),s t ib f o lmi paramet r ic i :

. l -"c i - l - 2sh s

II - 1-

5 a u , e l i rn in ind pararne t r i i s s i a , ub l iner t

. { : e r ( . r - 2 s h 1 ) .

( h ) S i s l e r r r r r l c a r a r ' l n r i . l i r ' , . 1 , .

/ o /

.A.cest a are solu! i i lc :

d.s

dr

1 : s + i o

c:.r.+ r0

g :2 : i i - 1 /0

t r : l l l .

1 8 8 1 8 9

Page 95: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

I _, . - [ i l ' . r r ]( c ) | " \ t u '

l r f r . / r r . - u i

l n lo l r i r r r l ln : :0 , to : - -2 , uo : -p , no : . :ap(c . , p eR) ,p r r ' l r i , i r rc i t ia r rch l , s t rb foun i r paramet r ic l

l , 'J , : " 1 , ,I

lI Y : 2 s + PII u : n g

sr r r . c l im i r r ind pa lamet r i i s , c , B ,

u:(.r - t)(s -2t).

(i) Sistemul caracteristic estc:

dr ': : r : r i ( i _ = 1 , . . . , n )ds

ou_ : : : t , .dr

se obline solu!ia

Acesta are solulii lc:f . . r ^ , ( i l . . . . , n 1t - ' - - , 'II l r : u0 .

l r r l . r , r i r r r l . r ' f a r ( i l . . . . . r r l r r . r l : 1 , , , u , 2 1 / o l 1 * l l , , o

o l r t i r rc so l r r ! ia p rob lemei Cauchv , s t tb fo rnr l paramct r icd :

c r :a te ' ( i :1 , , n -1 )

u -2\/A+.-+e;saLr, climinind Parametri i s, cr,

ty/ ,l+ ... + "2, ,', -:----:

5. Si se rezolve urmltoarele jJotpmu C"u.try neliniarer

I . ( )

t a= Az| __ ___ i r ._ _ry __+vJg. . r ,

(d) | ' r ou dx f l l

I r f r r . - 0 . : 2yz :t ? - b= A r . , 1 b . d : r

I . " , n F ' , i + . . . + r , ; r / [ ; " ; )

(e) 1 fecualia Clairaut generalizati)IL ( f ) i r r : u . ( i . = 1 , ' n - l ) ' . r : r . : 1 , : : e r r ,

runde f este o funclie de n Yariabile, suficient de rcgulati.

I a l a = a : _ l

(f) | arl ar, ara

| 1I1 rr :ur, r2:uz, rs: I , z:uf1ul1s1uraur1.

Solulii. (a) Curba (dreapta) (l) se scrie parametric astfel:

r : 0 , l t - t . : - - 1 ( l e l R ) .

ca de ob ice i , p : ! , q . j : - . A tuuc i . ec t ta l ia da t l sc sc r ic :' b : t ' e A

F( r , A , z , p , q ) t :x .p +yq-pq:O.

Se mai noteazi x:!!, v:3!, z:L, p:3!, Q:!1. 41rn"1, "i"ru,n''t0t aa ?z Ap ?q

caracteristic asociat ecuatici neliniare (4) se scrie astfel:

: : :Pcs

P:SiL:nP +oo

dP : _-tx+oztd r '

9: -tv +ozt.

( f )

Se noteazS,

( + )

( a )

. ;At l l

" |'t )

Az Az a: a?r - -+1 , - - - : : r ,

AE -

Ad Ax AU

( r ) r :o , z : e ;:! J:- -!,xg:O

( f ) I J :0 , z :2 r2 :

i \ , r . (s.c.)

( b )

1 9 t

Page 96: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

In cazul de falir. ar'cur

dx-:-:3 -q

da/

ds

f :r(e*t)+(u _.pr -pq (vezi (+))

dp

dq

colldil i i le Cauchv x.(0):c0, g(0):yo, z(0)::0.se o l ) t i l l e t lnn i toarea so lu l i c pent ru (S .C. ) :

t 1 1 1. : i ,n -; ?oJe, * ; 4,c-,

t l l rr/ lr io - /b.l , ' . / ,,r '

11== _ putloo z'

1-.%e ' .

Amintirn cil pcltrn a gisi srrprafa!a intecr.nli care verif icd ecuatia

tl care trece

(r)se determindteristic) prin

ln cazul de

adrcaro:0, A o: zo: po:t, qo:|.

Ficind inlocuirile in solutia sistemtrlui caractedstic, glsim suprafataintegrali ciutatd, sub form[ parametricd:

sau, eliminind

r : -sh s

y : l c h s

parametrii , ti s,

-_ y(JiTF+ cl'zJ ta&

fa[d, avem:

I ro-o' uo: r'

l tqo-Poqo:o

I oo:t '

Imp uniudu-se:Po' q0):qo,

III

(b) Pentru rezolvareaorerciiii de acelagi tip careexerciliul precedent. AsUel,

9i, deci,

X:4U, Y:*4r . , Z:0, P:q ' Q:P.

Sistemul caracteristic:

acestui exercifiu precum 5i a celor citevaurmeaz5, vom folosi aceleagi notalii ca lain cazul de fald,

F:pq-4rg

F(r, y, z, p, q) -{)

plintr-o crr rbi

. r : e ( r ) , y : , | ( / ) , z : t ( t ) (q , * , t -C t ) ,

ro, Vo,:0, po, .10 (care intervin in solufia sistemuluicondi!i i le

I to:e(o' vo:w\ zo:x(t)

I O(r, ,0, .:0, po, go):O

I n on' () *to|' ( ) : t"' (t).

(s.G.)

dt

d s _

du- - : ' : p

( l z ^

d s . . .

-::+s

dr

rt - C-dr l00t 193

Page 97: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

Se rezolvl sistemele liniare constituite din pr.ima 9i ultima ecualie gi,:::l-1^til, j d9u: $j a patra €cualie a sistehului caracteriitic. apoi'segase$rt_2. dtn a treia ecuatie. Impxnindu-se condifli le Caucty jqOy_

:1g:.1!91=gqt,,(0):zo. p(0) :p" q1o;:qo, se ouginti u.naioa.ia sotuliepen[ru slstemul caracteristic:

Ir : f , o c h 2 s t g o s h 2 s

y: u. ch 2s *1 p^ sh 2s

p:2yo sh 2s -|po ch 2s

{:2co sh 2s +qo ch 2s

z : z o a 2 [ p ( r ) g ( ; ) d r - : n 1 2 [ 1 2 r 0 s h 2 : 1- b '

' " " 0 '

+qo ch 2i)(2gosh2r {po ch 2t)dr.

Curba (parabola) (l) se scrie parametric astfel:

( I ) r : t , g :0, z :2t2.

Se determini aclrn a0, Vo, .0, po, q0 din sistemul(

I ro :L Vo:0, zh:2t2

I pogo:oI

t Po:+t 'adici

ro:1, yo:0, z6:212, po:.11, qo-_e,lnlocuindu-se ace;ti ;lo, lJ o, :o, po, qo in solulia sistemului caracteristic,se gAsette suprafala integrald cdutati, sub formd parametrici:

( r : t ch 2sI{ u :21 sh 2sI

| " :2 t , ,h 4,

sau, eliminild palametrii l pi s,

(c , F:P +,1" _�3r' -1 ' Sistemul caracteristic:

I rnpr rn ind cond i ! i i l e Cat rchv r (0 ) : r0 , t (0 ) : t0 'g(0):go, gdsim solulia

g:zqos +go

::s3 +3ros2 *(po 1Zq3;. +ro

p:3s2 *6r os *Po

8:Qo '

Curba (dreapta) (

( f )

Datelc iniliale :ro,

se scrie parametric

r : 0 , g : l ' z : t .

go, zo, po, q0 se dctermine din sislemtll

I to:o' Y': t ' :o:t

{ po +q3 -s.3 -r :oII q o : t '

ad ice : ro :0 , go :zo : t , 2o :0 , go : l . Aces l r ' r se in locu icsc in so l t r l ia

sistemuL-ui ca;;cte;istic t ieterminati mai srts, obfinindrr-sc strplafa!a

intcgralS ciutat6, sub formi parametrica:

f ": 'I

7 Y:2s+t

I z:s3 ]2s ;1.

le:tt :| !!: zq

l : "i5 :p+zq'l : "

t :l 0 9 n

; (0 ) : :0 , P(0) :Po,

194

z:2r2 +9212.

195

Page 98: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

Eliminind parametrii s gi I, oblinem, z :z t ag.

(d) Cu procedeul utilizat in exercitiile precedente se gesette solutia

z:2rz +2y2 +sr|.

(e ) Facem nota l i i l e ob ignu i t "L : O, ( i :1 ,2 , . . . , n ) . A tunc i ,a4

ecualia se scrie

F( r1 , . . . , r , , : , p1 . . . . , p " ) : : i r , p ,+ / (1u . . . , pJ -z :0 .a - l

Mai notim !' x,. !!- . z. 3L:p, (i.:1,2, ...,n). Sistemut carac-Ax, a: ?pl

teristic este

/ * : r ' , ( i : 1 ,2 , . . . , n )

l 1 l. / : ) ' p r P r\ d s ? -l ' . ,I

I te ,_ _ (Xr*p f l ) e_1, . . . ,n ) ,\ d s

dr, 6L- : r r - F - t - ( r : r , . . . , n )

* ' i p, ' , t f , pJ z- f (1t . . . . .p. )+ i p,9o" t i '

? , ' ap , " H '

- ap ,

3& :6 ( i : 1 , . . . , n ) .os

Sistemul caracteristic cu condilii le Cauchy

r , (0) :c l , p , (0) :p: ( i : I . . . . , n) , z( ( \ ) :zo

o?':fr, tci, ..., n"^t (i:r, ..., n)

lo,: i piof -1 p\, .., po,).l - l

DeterminEm "cu- r ! , p : ( i : l , . ,n) ; i zo d in re la l i i le

r f : 9 r ( u 1 , . . . , u , - 1 ) ( i : 1 , . . . , n )

zo:9(u1, . . . , u , ,_1)

p(r to , . . , ,0 , , "0 , p I , . . . , p l ) :0

A " 2e, ae

*L, , ; ,a- (ur ' ' uo r \ : - (ur ' ' u ' - r ) ( i :1 '

runcle 91, ..., 9", 9 sint funclii le ce definesc varietateade la!5, aceste rclalii se scriu astfel:

. . . , n - l )

( l ) . ln cazul

o _ . . - . 0 ., r . : { r ( l : l , . . . , n - l ) , x i : r

" 0 - " _

s - 0 0 - , 0 0 .z o : i , x t p r + / ( p t . , . , , p . )a - l

p?: e"'

pi:o ( j :2,t , . . . , n -1)

r ! : u 1 ( i : 1 , . . . , n - 1 1 , r ! : 1

p j :e ' ,

p?:o 0 :2 ,3 , . . . , n -1 )

e' ' r / re ! ' +p0, - r l (e . \ 0 . . . . .0 , p l r .solufia

I a : t ' i +ahu ' -o l ( i . - 1 . . . . . n ]

l z : ( zo+ ro )e ._boI p , :p l ( i :1 . . . . , n)

Presupunemr rport cu pl.

ci / este astlel incit ultima ecuafie sc poate rezolva inln locuind atunci e f , P l ( i :1 , . . . , n) , :0 , dat i de u l t imcle

196197

Page 99: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

de

(H)

c u

rela!i i, i t solulia sisternulrri caracteristicutati.

se obtine hipersuprafala ci-

variabil din spatiul R"+r

dr.- .=:PrPr

""311;:,,"ft". Considcrem,hiperpla.nul

: . l, ).,rr Fnlr. ),2, ..., ),,)i : l

r . - tP / ; i - l - r

in raport cu Ji gisim relalii le'= :i,,1i:t-n1.6r, I

Eliminind ).r din (H) ti ( + ) se obgine tocmai ecualia Clairautgenelalizatd. Prirr ulmare, ecua!ia Clairaut generalizati este ecua!iadiferenliali a farnil iei de hiperplane (H).

(f) Cu nota!i i le folosite Ia cxelcit inl precedent avem

I I- ' pr}rr, -tI

/ x , :o ( i :1 .2 .3 )\ z n

t ^. I P ' p "1 ' " . l t r :p rps , Pa. .p tpz .

Sistemrrl

Determinind rl, p? (i: t.z.rl,zo din condifi i le

x9":t, "o:u1, a"f;+3(ur +utrl:ur, rf;:r",

p\plpl:t

p9:a(u? +t)pl:e(,? +t)

9i lnlocuind in solufia sistemului caracteristic se obfine solutia problemei

(f), sub f ormi Parametricd:

, I . :u ,+ - - - - - - -' 3 (d i+ l )

. sa":uo+'----;-

3(u;+ 1)

' 13 -1+9(u?+1) (u?+1) r

z: ul aul13(u1-1- ur) { 3s

srltnliirr-ffii,', **sjl.a'',,.ii,'\re.;r-- idtrr-

paranretrii

Delivind

( + )

ca rac tc r is l i c :

I\

ch)

dr, dic.

;:PzPa, r:PrPs'

E : rPtPzP":'s

cu coldil i i le CaLL

( i : 1 , 2 , 3 , )

.t,0, p,1o;:pi 1t: r,z, r,;,r,:r! aplpls",:rlaplplt

or: r! 1p?p3": : ;o +3s

pt:pl Q:r ,2,3).

:(0):zo are sol ulia

dp t ads

IIIiIII

198

Page 100: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

PROBLEME RECAPITULATIVE

l. Sd se gdseascd o curbd cu proprielatea cd orice tangentd lormcazdcu axele d.e coordonale un lri.unghi de arie 2a2.

^, . 2.. qd se arste cd o ecualie Clairaut tn r este, de asemenea, o ecualiaClairaut ln t.

3. Sd sz delermine 9eC(1R) astfel tnclt ecualia(E) l3t2 *q'(.r)l dt +[3r, -l(q(r) +cos c)] dr::0sd lie cu dilercnliald lolald eraclii. Apoi sd se rezolue (E).

/r. Stl se gdseascri solulia problemei

I c,: qr +pr(1) +1Il r r 0 ) : 0 ,

unde 0<2p<cr< 1.

6. Sd se integrezc ecuuliile.

(a)

(b)

(c)

r:r( l +2r')+3(r ') . ,l(r')2 -2:rt' -l:0,

13 a1r'1a r1r'-O (fndicoli€. Folosimsubst i tu l ia : J ' :1u) .

^^-8. In -uirful B d triunghiului rlreptunghic tsoscel ABC (nris d::90-.) se .alld in repauslun punct nalerial. La un moment dut, tn celclr-et,oirlirti ale lriunghtului. itrep sd u:lioneze trei forle carc alrag punctulmate-rrat. se presupune cd ace.:te forle s?nt proporlionale cu distii la, fac_torul de, proporlionalitok fiintl acilasi pentri toate vtrfurile. Sd se clescfieeDolu{m pundulu i malu ia l .

7, Sti se arale cd problema Cauchg

I ;"-'-' e" all +tt'�Y' I > 01I x(o)= - xo

200

II ad.milc o soluli. unicd definitd pe un interval mdrginit.

S. Sit sc aralc cd, (V) fo, roeF"' problemd Cauchg

I t' :3r2tE je (e fO\I

I c(to):ro

admitc o soluli. (locdld) unicd'

9. Pcntru care lriplele (r0, ixo, y0) €lR3 etistd o solulie (locald) unicdo, Problcmci

I r":r' at/i

t;r;:le. Sit sc studieze continuitalea solnlii lor problemei Caucltg

I r . ' +? . r : - ' t , t>OII r (0) : ro e lP

ln raport cu paramelrul ̂ eR'.

ll. Fie ecualiaJ" +4r: cos2 v t'

Dupd cum se rtie, acesstd eualie tlescLie, de exemplu, ntiscarea unui os-

cili lor mccani'c (cu frecareu nuld). Sri se dc{etmine eeR' penlru care

are loc lenomcnul de rezonanld-

12. Sd se integreze ecualiile:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(a)

r."' +x,:7 +t2 +t4,,. '{5) -J:110 +er,

I2x" +t r ' - r :13,

(1+1)r" +1r ' - r : (1 +1) ' � ,

le" +\t -1)x':12.

13. Sd se rczolue sislemele dilerenliale:

I : t " +n" -s ' +s:o\ r ' 1r nY" 1Y':o'

201

Page 101: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

(b) I h' +ar -2s:t +r

I tV' -3r, -g:2t, t>O.14. Sd se re:.olue problemele Cauchg -

( a ) I r " + 4 x ' + l 3 r - 4 s i n l - l 2 c o s 1

t x(0) 0. x ' (0) - - 2:

( b ) I 1 ( 1 - l ) x " r ( 3 / I ) r ' + r : o

I x (2 ) 1 . x ' (2 ) _ t .

15. Sd se odseascd funclia Green pentru problema Ia limitd

I (1 +l)0" - l r ' -0:1+1

I c(0): r ( l ) :0gi sd se rezolue aceusld problemi.

18, Fie q b, f trei lunclii rcde continue pe un interual I c.W,.ecualia

unde 8. eO'(R) se definegte prin

8"(p) : p(a) , ( V)e e2(R).

Se consitlerd urmdlouele setttri rle condilii la limild:

( i ) e(0) :a"(0) : r (b) : r " (1, )==0 (D >a)

(anbele capele ele b(rei slnl sirnplu spriJinire);

( i i ) r (0) :c" ( t ) ) :e( l ) : r " (L) :0 (b >a)

(un capdt firat ori:onlal (incaslrnlT iur t:elilull .sirnplu sp/Uinil);

( i i i ) 1(0) : r ' (0) : r ( r ) :x i ' ( l l ) :0 (1, , .u)

(untbele tupele fixale otizontel).

Sd se re:o lue problemelc: (n)- l - ( i ) , (E)+( i i ) s i (E)+( i i i ) .

10. Sd se re:o l te prohlcmt

| . " - , - . - D 8 ; - - . i l ? r - t rI r - ,I r'(o) - o. .r"(ol -- 1

(mi;ctLre ttrntonicti perlulald prin irnpulsrrri pet iolice),

20. Srl .se rrdscrrscri solrrf in (in sens (luailtodorlJ) petlttLr problenta

1 - @

I r " . . ! t . l r , i t r t . 1 - rI . i :o

I 'r '1o 1 1'19' 6'

Llnd.e H esle funclfu Ileatiskle, ulicit

I l ( t \ : l 1 ' P e n t l t r 1 2 0

[ 0, pentlu l <-().

21. Sri se slurl ie:.e stabil i luleu soltt!, ici (1, 1) l sis/cm:r1rti diferenlial

J r ' :1 -.rv

I v':. -c'.

22. Sd se (eNele.e slal)i l i lalcu soluliei I 'uturk u etuuliei

x.(1) J_ii-(3) +r,, _l_J, , i_ r:0.

r." +a(t)r' +b(t)r : l(t), t e r,

arc soluli i le parliculare a1, :r2, ra pen(rLr

r l

ciI

r,

:I:2

1

cqre

r3

f3I

atunci, sd se arale cd solttli i le ecualiei stnt:

r : C1(12 _rr) l-Cr(r, _:rr) 1rr,

17, Sd se calcule:e

3(cos ,lt) 9i -1 (sil .,tid t '

unde A - J/l"(R) (n =N*).

lB. Se considerd ecualia (bar.ei elasli(:eincdrctilura P concenlratir tn punctul :. '-a,[ 5 , p . 3181) :

(E)

20i

*0, te I ,

(C1, C, elRl.

) ,

de lreulale neglijabild, cua>O; Dezi, de cxemplu,

: { (4 ) :p .dd in Z , ( iR) ,

203

Page 102: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

(a)

(b)

23. Sd se sludieze stabilitatea soluliei nule a sistemului

I t ':ag -6a2"+t

\ V' : -r, -dy"""'

unde e, b, c, d >0 ;i n eNl.

U. Sd se studie:e stabilittrlea solttli i lor slalionare ale ecualiei (IuiDuffing)

r" -fo2e -fDe3:0 ((,):'0, .) €lR).

25. Sri.rc tezolue urntdlouele sisteme diferenliale;i sd se reprezintesolttli i le lor in spaliul fu.elor (planul xOy\:

(i) (S) aie sllulie T-petiodicd unicd;

(i i) sinquru solLlt ie T-periodicd n sisfemaftti r '=A(t)r esle

solttlia banald;

(i iD det (1-X(7)) 10, unde X(t) este o mattice fundamentaldq. sislemului omogen.

29. Sri se arate cd (Y) a,beF. problcma la l i nitd

I r " : r * , 0 < l < l

I e(0) :c , t (1) : D

admite o singurd solulie reC'� [0,1], rrnde c*::max (c,0).

Indicalie. Observ[m ci solutia, daci existd, este o functie convexepe [0,11. Astfel, se'disting mai multe cazuri in funcfie de pozifia punc-telor n, D faJE de origine.

30. Sd se remlue problema

I t " : r * t > 0

I o(0):a, sup{ lc(t) l ; t> 0}> o,unde a este un numer real dat.

Inilicalie. Se arate intli unicitatea, dovedind c6 pltlatul diferenpia doui solutii este o functie convexi (deci, fiind 9i mnrginitl pe semiaxl,este descrescatoare). Apoi, se poat€ gesi ugor solutia

r(t) = a, daci a <0 Ei

x( t ) :ae- ' , dacd a>0.

I r ' : ( t -y)(1 c, -y,)

I y': (e *y)(1 -:c" -9,),

I ..'-.. - y -0(r'� +y,)

| !l' : x +!l -y(r2 'r!t2).

In l i ca l ie , Sc t rece la coordo i ia te po la re .

2{i. Sir sc rezolle urt}itoalelc problerle Cauchl,-:

(a ) [ { , ) '

r ; ; " ( ; ) ' - , ,

1| . l '=,, =-- v'.( ..1

( b ) [ r r . / ' ' l ' -t - t t "

) ) : 1 ' ' l

I . z \ 2

| . ' . . - o = . . l f . , ; I r n t 2 t .)

27. Sd se so ic t tuu l ju i i fe rcn l ia l i l i n ia r r i . s i on tor tend de ord in min imadnr i tc so lu f i i f c t , | 1 . t -2 , ? ' ,

211, Fie sisle uul

r':,.1(/)r + t.(l),

_undc , .1( l ) : (n , , ( l ) ) , D( l ) :co l ( l t ( t ) , . . . , b , , ( t ) cu areC(R)( i r i :: 1,n ),bteC(R),( i: 1,n ), loete fLrnctiile al, b, fiind T-periodice (T> 0).Sri se arole ci urmitoarclc lrei conrlil i i stnt echiualente:

204

(s)

Page 103: G. Morosanu - Ecuatii Diferentiale Aplicatii

1. D.Ii, -{ro\ysmith & C.i\t. Place. O linarg dillcrcntial zqlrdlia s, Chapman and Halt,London, 1982.

2, V. Barbu, Ecualii difercnliale, Ed. Junimea, Iagi, 1985.3. E.F. Beckenbach & R. Belhnan, Ineq nl i t ies, Spdnger-\ 'cr lag, Berl in/I jeiclelberg/

/N*ew York/Tokyo, 1983.4. G. Bourcearru & G. Iloroganu, 'l'he stud? ol the eoolutiorr ol somc sctl-organi.c(j che-

mi(./ l syslems, . forrnal of ( jhemicat physics, BZ(2), (1985), 3665_3601.5. 1.. BraDd, Diffetcnlial and diflerence egraiions, JohD \vite\, & Sons, IDc., New

Iork/LondoD/Sidue)., 1966.6. F. Brauer & J.,t. Nohel, OrdirLtlrU diftercntisl €qualions, \{._{. BenjanriD, Inc.,

Nciv York/,\rnstel dam. 1967.7. F. llrancr & J..\. Nohcl, QurlitatiDe thrcrll of or(tinarn diffcrential €qoarionj, \v.A,

l leniamin, Inc., Ncw York/,\msterdam, 1969.8. IL Braun, DitlteDtiel equutiD s an(l Il1eit applicdlions, Spr.iDger-Verlag, Bertin, 19?5.9. J. (]rdrlin, Dillercntial pquotions. Inttuduction and qualitative ffteorfl, t{arcel Dekker,

New Yorli, 1980.10. N. Firrizio & (;. t-adas, Ordinarll difterenliat equations uith modc'n applications,

\\adsworth Publishing ConDany, lnc., Belmont, Cnli fornia, 1978.11. . \ . I lainovi( i , I l (ual i i di focnl iate $i eutal i i inte1rale, Ed. didacticd $i pedagogicr,

Bucuresti , 1965.12. A. I lalanAy, l :cual i i di fercnl iate, Ed. didacticd ! i pedagogicd, Bucule$ti , 19?2.13. tr{.L. Iirasnov, A.I. Kisetyov & c.L }Iakarenko, l book ol problems in otlinar|

diff.rcnlial equations, I[ir pubtishers, Mosco.w, 1981.14. G. f,{oro$anr, I:cualii netiniare t)e cwtrtlii gi.rpticalii, Ilditura Academiei, Ilucure$u,

1986.15. C. Ilor'o$:rrrn. \oltlinear eDolulion equations and .lppticetians, Ed. Academtci lleidel

Publishing (1o., Bucuregtl-Dordrecht/Boston/Lancaster/Tokyo, 1988.16. V. Olariu ti T. Stdndtiltr, E\alii diferenliate $i cu iteri\atc pdrlioae, Editua tehnicil,

Bucuresti , 1982.17. N.Fl, PaYel. DifferetLti, equotions, floe in,ariance and epplicdtions, Reseatch Notes

in Na th . I l J . I ' i t n ran . Bos ton /London /Me lbou r [e , iC84 .18. -'\, Philippov, Recueil (le prcbl,mes d'Cquations difftrcntielles, tr{ir, Moscou, 19?6.19. L.C. Piccinini, G. Stampacchia & G. Vidossich, O inarg diflerential equdlions in ,Rtf

Springer-Verlag, Nelv Yort'/Berlin/Heidelberg/Tokyo, 1984.20. A. Radu, Probleme (te me.dnic{:, Editura didacticd fi pedagogici, Bucur€$ti, 1g?8.21. E. Rogai, Etercilii $i probtente de ecualii difercnliale $i intelttule, Ed. tehnict, Bu-

curesti, 1965.22, I.A. Rus, Gh. lt{icula, P. Pavel tt B.p. lonescu, probleme de ecualii ditercnlidle

ti cu de Date pal/i.11e, Editura dtdactici ti ledagogicd, Bucr|Iefu. 1982.

C U P R I N S

r: ' | rr tolul l . lN'IRODUCERIi

1.1. M€totlo elementare ile lntcgmre a ccuarlilor dllercnuele "" ""

\ecual i i cu rariabi le separabi le . . .

2' . Ecuaii i omosene .. . . . . . .

3 " t , . ua i i l . l i f c r cn t i r l e l i n i r t e de o rd inu l l n l i i . . . . . . . . . . . . . . . .. f i Flcuatr i i Bemoull i . . . . . . . . . .

5". Ecuati i cu difercnl ixl i totalS cxactd. Factor integraqt . . .

6 " . EcuA t i i l l i c ca t i . . . . . . . . . . . .

-tr. licualii Lagrange. Flcualii Clairaat. Iletoda paramehului

8", Rezolvarea plin c\'adrrt[ri a ullor ccuatii de ordin

s u p e r t o r . . . . . . . . . . - . . . . 1 1

I.2. odel€ nratematlc€ rcprczenlrlo prin ecratit dtlerctrttale " "" 48

\. Ineoautett

, ,,,,,i;tlr1. II. Extsr.tt{Ti qt uNtcl r.\'l'E l\ PRoITLEIIA c.{uclrY - ' 60

t ( , ' t ) lolul I I I . SISIEIIE DIFERIINTIALI' Ll-)-. IAnE "" '

- ,/' \( i r , , , , l u l I V . T l i o R I A S l A B l l , l l A [ I l . . I '

I ,

(1. r',t,)lul V. INTEGRALE I'Rll{It 9I ECUATII CII'DEnIYATE PARTIALE DIt

0 n D I N U L | N r 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . t 11

B I B L I O G R A F I E

I

0L4

38

151

PROBLDME RBCAPTTUI,]IIIIE

206