FT4 02 Ecuatii de Propagare
description
Transcript of FT4 02 Ecuatii de Propagare
Copyright Paul GASNER 1
2. Ecuaţii de propagare a câmpului electromagnetic.
Noţiuni fundamentale
Copyright Paul GASNER 2
● Ecuaţii Helmholtz pentru medii omogene, izotrope şi infinite
● Unde electromagnetice plane● Unde armonice plane la interfaţa dintre două medii● Formalismul liniilor de transmisie în studiul proceselor
de reflexie-refracţie
Copyright Paul GASNER 3
2.1.1 Ecuaţii Maxwell● pentru un mediu infinit, omogen, izotrop şi linear
– ecuaţii de evoluţie
– ecuaţii de stare
– ecuaţia de continuitate
– relaţii constitutive– forţa electromagnetică
∇×E=−∂B∂ t
∇× H=∂D∂ tJ
∇⋅D=
∇⋅B=0
∇⋅J∂∂ t=0
D=E , B=H , J=EF=q Ev×B
(2.1.1)
(2.1.2)
(2.1.3)(2.1.4)
(2.1.5)
Copyright Paul GASNER 4
2.1.1 Ecuaţii Maxwell● permitivitatea dielectrică a spaţiului liber (vid)
● permeabilitatea magnetică a spaţiului liber (vid)
● viteza luminii
● pentru un mediu polarizabil
● funcţie de mărimile mediul este omogen – neomogen, izotrop – anizotrop, variant - invariant
0=8,854×10−12≃ 10−9
36F /m
0=4×10−7 H /m
c= 1
001/2≃3×108 m/ s
D=0rE=0
EP=0 1e EB=0r
H=0H M=0 1m H
r=0
, r=0
, , , e ,m
(2.1.6)
(2.1.7)
Copyright Paul GASNER 5
2.1.1 Potenţiale electrodinamice● Potenţialul electric scalar Φ● Potenţialul (vector) magnetic● Potenţialul vector electric sau vectorul Hertz
● condiţia de normare Lorentz
A
E=−∇−∂Α∂ t
B=∇×A
=−∇⋅
A=∂ ∂ t
∂∂ t∇⋅A=Const
(2.1.8)
(2.1.9)
(2.1.10)
(2.1.11)
(2.1.12)
Copyright Paul GASNER 6
2.1.2 Ecuaţii d'Alembert (1/2)● aplicând ecuaţiei (1.1.2) se obţine
şi în final:
● se procedează analog cu (1.1.1) şi se ajunge la:
relaţiile (2.1.13) (2.1.14) sunt numite ecuaţii Maxwell de ordinul II, cunoscute însă sub numele de ecuaţiile de propagare d'Alembert pentru câmpurile electric şi magnetic
● operatorul d'Alembert
∇×
∇×∇×E =∇∇⋅E−∇ 2 E=− ∂∂ t∇×B =− ∂
∂ t∇× H =
=− ∂∂ t ∂ E∂ t
J =− ∂2 E∂ t 2 −
∂ J∂ t=− ∂
2 E∂ t 2 −
∂ E∂ t
∇ 2 H− ∂2 H∂ t2 =
∂ H∂ t
≡∇ 2−1v∂2
∂ t2 , v= 1
∇ 2 E− ∂2 E∂ t2 =
∂ E∂ t1∇ (2.1.13)
(2.1.14)
Copyright Paul GASNER 7
2.1.2 Ecuaţii d'Alembert (2/2)
aplicând rotor asupra ecuaţiilor de evoluţie şi ţinând seama de definiţiile potenţialelor electrodinamice şi de condiţia de normare se obţin:
pentru un mediu polarizabil, din ecuaţia de continuitate şi atunci: =−∇⋅P
(2.1.15)
(2.1.16)
E= ∂E∂ t1∇
H= ∂H∂ t
A=−J
=−/
=−1P
(2.1.17)
(2.1.18)
(2.1.19)
Copyright Paul GASNER 8
2.1.3 Ecuaţii Helmholtz● câmpuri armonice
● ecuaţiile Maxwell devin staţionare
(2.1.20)
(2.1.21)
E=ℜ E r e j t , H=ℜ H r e j t prin abuz se notează E≡E r , H≡ H r ş.a.m.d.
∇× H= j DJ
∇×E=− jB
∇⋅D=
∇⋅J j=0
(2.1.22)
(2.1.23)
(2.1.25)
(2.1.24) ∇⋅B=0
Copyright Paul GASNER 9
2.1.3 Ecuaţii Helmholtz● ecuaţiile de propagare (2.1.15) - (2.1.19) devin
unde este vectorul de undă
● Relaţiile (2.1.26) - (2.1.30) se numesc ecuaţiile Helmholtz neomogene pentru câmpuri monocromatice; ele devin omogene pentru medii fără sarcini electrice ρ=0 şi fără pierderi σ=0.
(2.1.26)
(2.1.27)
(2.1.28)(2.1.29)
(2.1.31)
(2.1.30)
∇ 2 Ek 2 E= j E1∇
∇ 2 Hk 2 H= j H
∇ 2 Ak 2 A=−J
∇ 2 k 2 =−/
∇ 2 k 2 =−1P
k=k n=− j , k 2=2
k
Copyright Paul GASNER 10
2.2.1 Unde electromagnetice plane● unda plană este unda descrisă doar de o singură coordonată spaţială (notată de
obicei cu z) ce variază de-a lungul unei drepte (Oz); fie versorul acestei drepte
● în condiţii suficient de generale şi pe o porţiune suficient de mică orice undă poate fi considerată o undă plană
● fie o mărime vectorială
din ecuaţiile de evoluţie se obţin
● componentele Ez şi Hz nu au caracter de undă propagativă:
– Ez se atenuează exponenţial în timp sau, dacă mediul este neconductiv, Ez este constant
– Hz este constant în timp
(2.2.1)
k
f ≡f z = f x z i f y z j f z z k
∇×f =−i∂ f x
∂ zj∂ f y
∂ z=k×∂
f∂ z= ∂∂ z
k×f
∂E z
∂ t E z=0,
∂H z
∂ t=0
(2.2.2)
(2.2.3)
Copyright Paul GASNER 11
2.2.2 Mod de propagare● în cazul undelor plane, câmpul electromagnetic nu are componente pe direcţia de
propagare şi modul de propagare este transversal electromagnetic – TEM
care au soluţii de forma (pentru un mediu fără pierderi σ=0)
şi din ecuaţiile Maxwell de evoluţie
arătând ortogonalitatea vectorilor
● impedanţa caracteristică a mediului
● pentru vid
(2.2.4)
E r , t =E e j t−kz , H r , t = H e j t−kz
E=− k× HE , H , k
(2.2.6)
(2.2.7)
E⋅k=0, H⋅k=0
(2.2.5)
E⋅H=0
= EH=(2.2.8)
0=120≈377
Copyright Paul GASNER 12
2.2.3 Constanta de propagare (1/2)● pentru un mediu cu pierderi σ≠0
care au soluţii de forma (pentru un mediu fără pierderi σ=0)
● vectorul de undă are modulul
● uzual se lucrează cu constanta de propagare
● α măsoară atenuarea la propagarea undei prin mediul disipativ, numindu-se constantă de atenuare
● β măsoară defazajul datorat propagării, numindu-se constantă de fază
(2.2.9)
c=− j='− j ' '=0r
' 1− j tan
(2.2.11)
(2.2.12)
∇× H= jcE
(2.2.10)
(2.2.13)
k 2=2c=k 02 1− j
, k 0
2=2
= j k= j
E r , t =E e− z e j t−kz , H r , t = H e− z e j t−kz
Copyright Paul GASNER 13
2.2.3 Constanta de propagare (2/2)● din (2.2.11), prin ridicare la pătrat şi identificare se obţine
cu soluţia
pentru metale, cu σ foarte mare
pentru o fază constantă ωt-βz=const, se găseşte
(2.2.14)
= 2 1/2 [1 2
22 1/2
1 ]1 /2
(2.2.16)
{2−2=22=
(2.2.15)
(2.2.17) = 1≈ 2
1/2
= 2 1/2 [1 2
22 1/2
−1 ]1 /2
v f=dzdt=
(2.2.18)
Copyright Paul GASNER 14
2.3.1 Condiţii de trecere (1/2)● indicii de refracţie ai mediilor sunt n1=(εr1µr1)
1/2=[(ε1µ1)/(ε0µ0)]1/2, respectiv
n2=(εr2µr2)1/2= [(ε2µ2)/(ε0µ0)]
1/2
● impedanţele caracteristice η1=(µ1/ε1)1/2 şi η2=(µ2/ε2)
1/2
● pentru componentele tangenţiale
pentru componentele normale
(2.3.1) H 1− H 2×n= J s ε1, µ1, σ1
ε2, µ2, σ2 Σ
n E1− E 2×n=0(2.3.2)
D1− D2⋅n=s
B1− B2⋅n=0
(2.3.3)
(2.3.4)
Copyright Paul GASNER 15
2.3.1 Condiţii de trecere (2/2)
● (2.3.2) trebuie să fie valabilă pentru orice t şi în planul Σ
● prima lege a lui Snell:
● a doua lege a lui Snell:
numite şi legile Snell-Descartes● vectorii sunt coplanari şi
(2.3.5)
E i=ℜ E i ej i t−k i⋅r , E r=ℜ E r e j r t−k r⋅r , E t=ℜ E t e
j t t−k t⋅r
r
(2.3.6)
i=r=t
i=r , k i sini=k t sint
(2.3.7)
(2.3.8)
n tk
rk
ik
θt
θi
θr
Σ
1 2
r⋅n=0
k i⋅r=k r⋅r=k t⋅r
k i×r=k r×r=k t×r
k i , k r , k t , n k i=k r
Copyright Paul GASNER 16
2.3.1 Polarizarea undelor● starea de polarizare se stabileşte funcţie
de direcţia vectorului câmp electric în raport cu planul de incidenţă: – polarizare perpendiculară – câmpul
electric perpendicular pe planul de incidenţă, numită şi undă H, undă TE sau polarizare s ("senkrecht")
– polarizare paralelă (câmpul electric paralel cu planul de incidenţă) sau undă E, undă TM, polarizare p.
● în cazul problemelor plane, orice undă poate fi descompusă în două unde, H şi E, independente între ele
● se consideră problema bidimensională – , planul de incidenţă fiind xz, cu axa x în planul de separaţie∂/∂ y=0
θi θr
θt
θi θr
θt
EiEr
Et
Ht
Hr
Hi
ik rk
tk
ik rk
tk
Ei
Hi
Hr
Er
Ht
Etx
z
x
z
n1
n2
n2
n1
a.
b.
Copyright Paul GASNER 17
2.3.2 Unda H● coeficienţii de reflexie şi de transmisie = rapoartele dintre câmpurile
electric reflectat, respectiv transmis şi câmpul electric incident:
– RH şi TH pentru unda H
– RE şi TE pentru unda E● La polarizarea perpendiculară, câmpul electric este pe direcţia y
condiţia de continuitate a componentei tangenţiale a câmpului electric în z=0
de unde se obţin legile (2.3.8), condiţiile de fază şi relaţii între coeficienţi:
E iy=E0 e− jk iz z− jk ix x
E ry=RH E0 e jk rz z− jk rx x
E ty=T H E0 e− jk tz z− jk tx x
(2.3.9)
E iyE ry=E ty(2.3.10)
(2.3.11)
(2.3.12)
k ixk rx=k tx
1RH=T H
Copyright Paul GASNER 18
2.3.2 Unda H● Condiţia la limită la suprafaţa de separaţie pentru câmpul magnetic implică
şi atunci
unde impedanţele de undă sunt
din condiţia de continuitate a câmpului magnetic la z=0
H ix=−E0
Z 1e− jk iz z− jk ix x
H rx=RHE0
Z 1e jk rz z− jk rx x
H tx=−T HE0
Z 1e− jk tz z− jk tx x
(2.3.14)
H x=1
j∂E y
∂ z
(2.3.15)
(2.3.13)
(2.3.16)
Z 1 H=1
k iz, Z 2 H=
2
k tz
H ixH rx=H tx
Copyright Paul GASNER 19
2.3.2 Unda H
primele două formule Fresnel
sau, pentru µ1=µ2=µ0
RH=Z 2 H−Z 1 H
Z 2 HZ 1 H, T H=
2 Z 2 H
Z 2 HZ 1 H
(2.3.18)
1−RH
Z 1 H=
T H
Z 2 H
(2.3.19)
(2.3.17)
RH=n1 cosi−n2 cost
n1 cosin2 cost, T H=
2 n1 cosi
n1 cosin2 cost
Copyright Paul GASNER 20
2.3.3 Unda EProcedând analog ca la unda H, pentru componentele tangenţiale:
şi se obţin aceleaşi legi împreună cu formulele Fresnel
unde impedanţele de undă sunt
sau, pentru µ1=µ2=µ0
RE=Z 2 E−Z 1 E
Z 2 EZ 1 E, T E=
2 Z 2 E
Z 2 EZ 1 E
cosi
cost(2.3.21)
(2.3.22)
(2.3.20)
RH=n2 cost−n1 cosi
n1 cosin2 cost, T H=
2 n1 cosi
n1 cosin2 cost
E ix=E0 cosi e− jk iz z− jk ix x
E rx=RH E0 cosr e jk rz z− jk rx x
E tx=T H E0 cost e− jk tz z− jk tx x
Z 1 E=k iz
1, Z 2 E=
k tz
2
(2.3.23)
cost=[1− n1
n2 2
sin2i ]1 /2
(2.3.24)
Copyright Paul GASNER 21
2.3.4 Formalismul liniilor de transmisie în studiul proceselor de reflexie-refracţie● consideraţii pentru unda E
şi pentru unda H
● Utilizarea acestor relaţii în ecuaţiile Maxwell pentru un mediu i=1,2 conduc la
ecuaţii identice, indici diferiţi → soluţii identice cu indici corespunzători
dV iE
dz=− jk iz Z iE I iE ,
d I iE
dz=− jk iz
V iE
Z iE
(2.3.27)
(2.3.28)
(2.3.25) V E z ⇔E x z , I E z ⇔H y z
V H z ⇔−E y z , I H z ⇔H x z (2.3.26)
dV iH
dz=− jk iz Z iH I iH ,
d I iH
dz=− jk iz
V iH
Z iH
Copyright Paul GASNER 22
2.3.4 Impedanţa de undă● soluţiile ecuaţiilor de propagare
● Impedanţa de undă într-un punct
care, din (2.3.29), devine
● considerând că mediul i începe de la z=0 se găseşte
Z z =V i z I i z
(2.3.30)
(2.3.29)V i z =V i
+ e− jk iz zV i- e jk iz z
I i z =1Z i
V i+ e− jk iz z− 1
Z iV i
- e jk iz z
Z z =Z iV i
+ e− jk iz zV i- e jk iz z
V i+ e− jk iz z−V i
- e jk iz z(2.3.31)
Z z =Z iV i
+V i-
V i+−V i
-(2.3.32)
Copyright Paul GASNER 23
2.3.4 Relaţiile Fresneliar dacă Z(z=0) este cunoscută, atunci
● Cu aceste notaţii relaţiile Fresnel pentru unda H pot fi scrise sub forma
● respectiv pentru unda E
relaţii identice cu cele din paragrafele 2.3.2 2.3.3.
12H=
Z 2 H−Z 1 H
Z 2 HZ 1 H, T 12
H=2 Z 2 H
Z 2 HZ 1 H
(2.3.34)
(2.3.33) Z z =Z iZ 0−Z i tanh k iz zZ i−Z 0 tanh k iz z
(2.3.35) 12E=
Z 2 E−Z 1 E
Z 2 EZ 1 E, T 12
E=2 Z 2 E
Z 2 EZ 1 E
cos1 i
cos2 t
Copyright Paul GASNER 24
Concluzii
● Interpretarea fenomenelor de propagare în spaţiu liber se bazează pe înţelegerea corectă a propagării undelor electromagnetice plane
● La nivel local, procesele de propagare la interfaţa dintre două medii sunt identice cu cele ale undelor plane
● Legile reflexiei şi refracţiei sunt identice cu cele de la optică, dar se preferă utilizarea noţiunii de impedanţă de undă în locul celei de indice de refracţie
● Procesele de propagare în spaţiul liber (unde plane) pot fi modelate analog celor din liniile de transmisie