Sisteme de ecuatii liniare

Prof. Dana Cârcoană

Colegiul National “Lucian Blaga” Sebes

Notiuni generaleNotiuni generale

Definitia 1:Definitia 1: Sistemul Sistemul

(1)(1)

unde aunde aijij , b , bi i ∈∈R , i R , i ∈∈ {1,…,m}, j {1,…,m}, j ∈∈{1,…,n} se {1,…,n} se numeste numeste sistem de m sistem de m ecuatiiecuatii

liniare cu n necunoscute.liniare cu n necunoscute.

Definitia 2:Definitia 2: Numerele reale Numerele reale xx11, x, x22, x, x33, … , x, … , xnn care verifica fiecare care verifica fiecare ecuatie a sistemului (1) reprezinta solutia sistemului (1).A rezolvaecuatie a sistemului (1) reprezinta solutia sistemului (1).A rezolvasistemul (1) inseamna a-i determina toate solutiile.sistemul (1) inseamna a-i determina toate solutiile.

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22221121

11212111

.............................................

Definitia 3: Un sistem de ecuatii liniare care :

- are solutie unica se numeste sistem compatibil

determinat;

- are o infinitate de solutii se numeste sistem compatibil

nedeterminat;

-nu are solutii se numeste sistem incompatibil.

Definitia 4. Sistemul (1) se numeste omogen daca toti termenii liberi

sint egali cu zero.

NotatiiNotatii

Matricea

se numeste matricea sistemului (1)

Matricea

se numeste matricea extinsa

a sistemului (1).

mmnm2m1

22n2221

11n 1211

b a a a.....................................

b a a ab a a a

A

mnm3m2m1

2n232221

1n131211

a a a a ......................................

a a a a a a a a

A

se numeste matricea termenilor liberi

se numeste matricea necunoscutelor

Observatie:

AX = B este forma matriceala a sistemului (1).

n

m

x

xx

X

b

bb

B

2

1

2

1

Rezolvarea matriceala a sistemelor liniare de n ecuatii Rezolvarea matriceala a sistemelor liniare de n ecuatii cu n necunoscutecu n necunoscute

Fie sistemulFie sistemul

Etapa1: -se scrie sistemul sub forma AX = B si se calculeaza detA;Etapa1: -se scrie sistemul sub forma AX = B si se calculeaza detA;

Etapa 2:-daca detA Etapa 2:-daca detA ≠≠ 0, se calculeaza A 0, se calculeaza A-1 -1 ;;

Etapa 3: -solutia sistemului este X =AEtapa 3: -solutia sistemului este X =A -1-1B. B.

Observatie: daca detA = 0, atunci sistemul poate fi compatibil nedeterminat sauObservatie: daca detA = 0, atunci sistemul poate fi compatibil nedeterminat sau incompatibil.incompatibil.

ExempluExemplu: Sa se rezolve sistemul urmator utilizind metoda matriceala: : Sa se rezolve sistemul urmator utilizind metoda matriceala:

244422

12

zyxzyxzyx

nnnnn

nn

bxaxa

bxaxa

11

11111..................................

Sistemul dat se scrie astfel:Sistemul dat se scrie astfel:

Deci , Deci ,

241

4 1 42 1- 22 1 1

zyx

1024 1 42 1- 22 1 1

det

AA

333231

232221

131211

a a a a a a

A ; 4 2 21 1- 14 2 1

aaa

At

4222 21- 1)1(

2)24(4 21 1)1(

6244 2 1 1)1(

3113

2112

1111

a

a

a

2)42(2 22 1)1(

4844 24 1)1(

0)88(4 24 2)1(

3223

2222

1221

a

a

a

3211 - 12 1)1(

3)41(1 14 1)1(

6421 1-4 2 )1(

3333

2332

1331

a

a

a

3- 3 6 2 4- 0 4 2- 6

A

3- 3 6 2 4- 0 4 2- 6

2

1

det

11 AA

A

241

1Azyx

6 63

zyx

6

63

zyx

Aplicatii 1. Utilizind metoda matriceala sa se rezolve sistemele:

a). b).

c).

2. Utilizind metoda matriceala , sa se rezolve sistemele urmatoare in functie de parametrul real m:

a). b).

34532

yxyx

244422

12

zyxzyxzyx

442112

zyxzyxzyx

1212

myxymx

321

mzyxzmyxzymx

Metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor de n ecuatii cu Metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor de n ecuatii cu n necunoscuten necunoscute

Fie sistemul Fie sistemul

(1)(1)

Teorema:Teorema: Daca pentru sistemul de ecuatii liniare (1) d = Daca pentru sistemul de ecuatii liniare (1) d = detA detA ≠≠ 0 atunci sistemul este 0 atunci sistemul este compatibil determinatcompatibil determinat , iar solutia este data de formulele , iar solutia este data de formulele

(2)(2)

unde este determinantul obtinut din d prin inlocuirea coloanei i cu coloana termenilorunde este determinantul obtinut din d prin inlocuirea coloanei i cu coloana termenilor

liberi , celelalte coloane raminind neschimbate.liberi , celelalte coloane raminind neschimbate.

Obs: 1). – in conditiile teoremei de mai sus , sistemul (1) se numeste sistem de tip Cramer;Obs: 1). – in conditiile teoremei de mai sus , sistemul (1) se numeste sistem de tip Cramer;

2). – formulele (2) se numesc formulele lui Cramer. 2). – formulele (2) se numesc formulele lui Cramer.

nnnnn

nn

bxaxa

bxaxa

11

11111..................................

d

dx

d

dx

d

dx n

n ,,, 22

11

id

ExempleExemple 1.Sa1.Sa se rezolve urmatorul sistem cu ajutorul regulii lui Cramer: se rezolve urmatorul sistem cu ajutorul regulii lui Cramer:

Rezolvare: determinantul sistemului esteRezolvare: determinantul sistemului este

d =d = = = = 10 = 10

= = -10 = -10(-14 – 60) = 740= = -10 = -10(-14 – 60) = 740

643242436324

22432

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

1- 4 3 2 2 1- 4 3 3 2 1 4-4 3 2- 1

14

13

12

432

cccccc

9- 2- 7 2 10- 10- 10 3 19 14 7- 4-0 0 0 1

9- 2- 7 10- 10- 10 19 14 7

9- 2- 7 1- 1- 1

19 14 7

2- 5 7 0 0 1

12 7 7

2- 512 7

Pentru ca d Pentru ca d ≠ ≠ 0 , sistemul este compatibil determinat. Avem:0 , sistemul este compatibil determinat. Avem:

Deci, Deci,

SSolutia sistemului este S={(1, -2, 3 , 2 )}olutia sistemului este S={(1, -2, 3 , 2 )}

740

1- 4 3 6 2 1- 4 4-3 2 1 6 4 3 2- 22

1 d 1480

1- 4 6 2 2 1- 4- 3 3 2 6 4-4 3 22 1

2 d

1480

6 4 3 2 4- 1- 4 3 6 2 1 4-

22 3 2- 1

4 d2220

1- 6 3 2 2 4- 4 3 3 6 1 4-4 22 2- 1

3 d

1740

74011

d

dx 2

740

148022

d

dx

3740

222033

d

dx 2

740

148044

d

dx

2. Sa se arate ca sistemul are solutie unica daca si numai daca 2. Sa se arate ca sistemul are solutie unica daca si numai daca

Rezolvare: determinantul sistemului esteRezolvare: determinantul sistemului este

= -2= -2αβγαβγ

Sistemul este compatibil determinat d Sistemul este compatibil determinat d ≠ ≠ 0 0 αβγαβγ ≠ ≠ 0 .In acest caz solutia 0 .In acest caz solutia sistemului este data de formulele lui Cramer. Avemsistemului este data de formulele lui Cramer. Avem

= = = =

= =

Deci, , , Deci, , ,

zyzxyx

0

0

0

d

0

0 xd

223

0

0 yd

223

0 0

zd223

2

222 x

2

222 y

2

222 z

Aplicatii 1. Sa se rezolve sistemele urmatoare utilizind regula lui Cramer:

a). b).

2. Sa se determine parametrul real m astfel incit sistemele de mai jos sa aiba solutie unica:

a). b).

c).

722732

03

zyxzyx

zyx

3ty 3x2t-2y 2x2t2z2y

2tzyx

3235222

zyxmztxzymx

111

mzyxzmyxzymx

00022

zmyxzmymxzymx

Rezolvarea sistemelor de m ecuatii cu n necunoscuteRezolvarea sistemelor de m ecuatii cu n necunoscute

Fie sistemulFie sistemul

(1).(1).

Teorema lui Kronecker-Capelli:Teorema lui Kronecker-Capelli: Sistemul de ecuatii liniare (1) este compatibil Sistemul de ecuatii liniare (1) este compatibil

daca si numai daca rangA = rangdaca si numai daca rangA = rangĀ.Ā.

Metoda de lucru:Metoda de lucru:

- fie rangA = rangĀ = r- fie rangA = rangĀ = r

- din rangA = r - din rangA = r in A in A minorul d = minorul d = ≠ ≠ 0 numit minor principal0 numit minor principal

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22221121

11212111

.............................................

mnm3m2m1

2n232221

1n131211

a a a a ......................................

a a a a a a a a

A

mmnm2m1

22n2221

11n 1211

b a a a.....................................

b a a ab a a a

A

rr1

1r11

a ..................

a

ra

a

- necunoscutele ale caror coeficienti apar in d se numesc necunoscute principale;- necunoscutele ale caror coeficienti apar in d se numesc necunoscute principale;

-ecuatiile ale caror coeficienti apar in d se numesc ecuatii principale;-ecuatiile ale caror coeficienti apar in d se numesc ecuatii principale;

-necunoscutele ale caror coeficienti nu apar in d se numesc necunoscute secundare; lor -necunoscutele ale caror coeficienti nu apar in d se numesc necunoscute secundare; lor li se vor atribui valori arbitrare (li se vor atribui valori arbitrare ( , , , , , , , etc.).; , etc.).;

-rezulta un sistem de r ecuatii cu r necunoscute care se rezolva cu regula lui Cramer.-rezulta un sistem de r ecuatii cu r necunoscute care se rezolva cu regula lui Cramer.

Exemplu: 1. Sa se rezolve sistemul: Exemplu: 1. Sa se rezolve sistemul:

Rezolvare: A= Rezolvare: A= Ā = Ā =

d = = 3 d = = 3 ≠ ≠ 0 si = 0 , =0 0 si = 0 , =0 rangA = 2 rangA = 2

d este minor principal; deoarece = 0 d este minor principal; deoarece = 0 rangĀ = 2 rangĀ = 2

132322122

tzyxtzyxtzyx

3 1 2- 31 2 1 12 1 1- 2

1 3 1 2- 32 1 2 1 11 2 1 1- 2

1 11- 2

1 2- 32 1 11 1- 2

3 2- 31 1 12 1- 2

1 2- 32 1 11 1- 2

deoarece rangA = rangĀ sistemul este compatibil nedeterminat;

x , y sint necunoscute principale

z , t sint necunoscute secundare; notam z = , t = , unde ,

Avem sistemul cu solutiile x =1 - - si y = 1 -

Solutia sistemului dat este

2. Rezolvati sistemul :

Avem A = si Ā =

22212

yxyx

, ,

11

tzyx

0915411112

032132

zyxzyxzyxzyx

9 15- 411 12- 13- 2 11 3- 2

0 9 15- 41- 11 12- 10 3- 2 11- 1 3- 2

d = = 28 ≠ 0 rangA = 3 iar d este minor principal

= 14 ≠ 0 rangĀ = 4

Deoarece rangA ≠ rangĀ sistemul este incompatibil.

Observatie: In exemplul anterior se observa ca pentru a calcula rangul matricei Ā am bordat minorul principal cu elementele corespunzatoare coloanei termenilor liberi si elementele de pe linia ramasa in Ā. De aici deducem urmatoarea definitie:

Definitie: Minorul obtinut prin bordarea minorului principal cu elementele corespunzatoare coloanei termenilor liberi si elementele corespunzatoare unei linii ramase in Ā se numeste minor caracteristic.

Teorema lui Rouche: Un sistem de ecuatii liniare este compatibil toti minorii caracteristici sint nuli.

Obs: metoda de determinare a solutiilor sistemului este cea descrisa la teorema lui Kronecker- Capelli.

9 15- 411 12- 1

3- 2 1

0 9 15- 41- 11 12- 10 3- 2 11- 1 3- 2

AplicatiiAplicatii

1.Sa se rezolve sistemul1.Sa se rezolve sistemul

Rezolvare: avem d= = -5Rezolvare: avem d= = -5≠ ≠ 0 si , ,0 si , ,

Deci d este minor principal. Minorii caracteristici sint:Deci d este minor principal. Minorii caracteristici sint:

si , deci sistemul este compatibil.si , deci sistemul este compatibil.

Avem: xAvem: x11 , x , x22 necunoscute principale si x necunoscute principale si x33 , x , x44 necunoscute secundare. necunoscute secundare.

Notam xNotam x33 = = , x , x44 = = . Avem sistemul de tip Cramer . Avem sistemul de tip Cramer

Cu solutiile xCu solutiile x11 = -2 - = -2 - + + si x si x22 = 3 + = 3 + - - . Solutia generala a sistemului dat este:. Solutia generala a sistemului dat este:

32233223

522532

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

1- 13 2

02 1 32 1- 11- 3 2 0

2- 1 32- 1- 11 3 2 0

2- 1- 3-2 1- 1 1- 3 2

03- 1 35- 1- 15 3 2 0

3 1- 3-5- 1- 1 5 3 2

225

53221

21xxxx

, ,

32

4

3

2

1

xxxx

2. Sa se determine 2. Sa se determine si si astfel incit urmatoarele sisteme sa fie compatibile astfel incit urmatoarele sisteme sa fie compatibile

a). b). a). b).

Rezolvare: a). A = si Rezolvare: a). A = si Ā =Ā =

Avem d= = 6 Avem d= = 6 ≠ ≠ 0 iar si 0 iar si rangA = 2 iar d este rangA = 2 iar d este

minor principal.Sistemul este compatibil minor principal.Sistemul este compatibil toti minorii caracteristici sint nuli.Exista un toti minorii caracteristici sint nuli.Exista un singur minor caracteristic, deci trebuie sa avem singur minor caracteristic, deci trebuie sa avem

- 4 = 0- 4 = 0

= 4. = 4.

b). A= ; Ā = b). A= ; Ā =

1323222

122

tzyxtzyxtzyx

yxyxyxyx

23

3223

3 1 2- 32 4 2 22 1 1- 2

1 3 1 2- 3 2 4 2 2

1 2 1 1- 2

2 21- 2 0

1 1- 34 2 21 1- 2 0

3 2- 32 2 22 1- 2

01 2- 3

2 21 1- 2

1 21- 3

2 13- 1

1 2 1- 3

3 2 12- 3- 1

Avem d = = 5 ≠ 0 rangA = 2 iar d este minor principal. Sistemul este

compatibil toti minorii caracteristici sint nuli.Avem

= 2 si = 3.

3. Sa se rezolve sistemul ,

Solutie: d = = ( - 1)2

( + 2)

Cazul 1. daca ≠ 1 si ≠ -2 atunci d ≠ 0 iar sistemul este compatibil determinat, solutia fiind data de formulele lui Cramer.

dx = = ( - 1)2 ,, dy = = ( - 1)2, dz = = ( - 1)2

2 13- 1

0 1- 3

3 2 12- 3- 1

0

1 23 2 12- 3- 1

111

zyxzyxzyx

1 11 11 1

1 1

1 11 1 1

1 11 1 11 1

1 1 11 11 1

solutia sistemului este x = y = z =solutia sistemului este x = y = z =

Cazul 2. daca Cazul 2. daca = 1 , sistemul se reduce la ecuatia x + y + z = 1 iar solutia sistemului este = 1 , sistemul se reduce la ecuatia x + y + z = 1 iar solutia sistemului este

x = 1- x = 1- - - , y = , y = , z = , z = unde unde , ,

Cazul 3. daca Cazul 3. daca = -2 avem sistemul = -2 avem sistemul

d = 0 si minorul = 3 d = 0 si minorul = 3 ≠ ≠ 0 este minor principal. Singurul minor caracteristic este0 este minor principal. Singurul minor caracteristic este

= 9 = 9 ≠ ≠ 0 deci sistemul este incompatibil.0 deci sistemul este incompatibil.

2

1

1212

12

zyxzyxzyx

2- 1 1 2

1 1 1 1 2- 1 1 1 2

Aplicatii1. Sa se rezolve sistemele urmatoare:

a). b). c).

2. Sa se rezolve si sa se discute dupa valorile parametrilor reali m si n sistemele:

a). b).

124032122

zyxzyxzyx

3320332

14523

zyxtzyxtzyx

1236

324223

32

zyxzyxzyxzyxzyx

1252123122

nzymxzymxzymx

11

zynxzmyxnzyx

Sisteme de ecuatii liniare omogeneSisteme de ecuatii liniare omogene

Sistemul se numeste sistem omogen.Sistemul se numeste sistem omogen.

Observatii: 1. – un sistem omogen este intotdeauna compatibil ( intotdeauna rangA = Observatii: 1. – un sistem omogen este intotdeauna compatibil ( intotdeauna rangA =

rangrangĀ, deci conform teoremei lui KroneckerĀ, deci conform teoremei lui Kronecker – Capelli sistemul este – Capelli sistemul este

compatibil);compatibil);

2. – daca rangA = r atunci avem urmatoarele situatii:2. – daca rangA = r atunci avem urmatoarele situatii:

a). pentru r = n singura solutie a sistemului omogen este solutia nula;a). pentru r = n singura solutie a sistemului omogen este solutia nula;

b). pentru r < n sistemul are si solutii nenule ; se utilizeaza metodele b). pentru r < n sistemul are si solutii nenule ; se utilizeaza metodele

invatate anterior pentru determinarea solutiilor sistemului .invatate anterior pentru determinarea solutiilor sistemului .

3. –daca m = n atunci sistemul are solutii nenule 3. –daca m = n atunci sistemul are solutii nenule detA = 0; detA = 0;

4. –daca m < n atunci sistemul are solutii nenule.4. –daca m < n atunci sistemul are solutii nenule.

Exemplu: Sa se determine Exemplu: Sa se determine astfel incit sistemul urmator sa astfel incit sistemul urmator sa aiba solutii nenule si , in acest caz sa se rezolve:aiba solutii nenule si , in acest caz sa se rezolve:

0................................0

11

1111

nmnm

nn

xaxa

xaxa

d= = … = -d= = … = -

Cazul 1. daca Cazul 1. daca ≠≠0 0 sistemul are solutia unica x = y =z = t = 0 ; sistemul are solutia unica x = y =z = t = 0 ;

Cazul 2. daca Cazul 2. daca = 0 = 0 sistemul are solutii nenule; in acest caz avem sistemul sistemul are solutii nenule; in acest caz avem sistemul

Minorul d’ = = -3 Minorul d’ = = -3 ≠ ≠ 0 este principal; 0 este principal;

02)1(20

033202

tzyxtzyxtzyx

tzyx

2 1- 21 1 1 13- 3 1- 21- 1 2- 1

0220

033202

zyxtzyxtzyx

tzyx

1 1 13 1- 21 2- 1

- - x , y , z sint necunoscute principalex , y , z sint necunoscute principale

t = t = - necunoscuta secundara; avem de rezolvat sistemul de tip Cramer - necunoscuta secundara; avem de rezolvat sistemul de tip Cramer

Solutia este x = , y = , z = 3Solutia este x = , y = , z = 3

Deci , pentru Deci , pentru = 0 solutia generala a sistemului omogen dat este: = 0 solutia generala a sistemului omogen dat este:

zyxzyxzyx

3322

3

10 3

2

,3

3

23

10

tz

y

x

Aplicatii 1.Sa se rezolve sistemele urmatoare:

a). b). c).

2.Se considera sistemul

a). Sa se determine parametrul real m astfel incit sistemul sa aiba solutie unica..

b). Pentru m = 1 determinati solutia sistemului.

02505430332

zyxzyxzyx

051050484

02

zyxzyx

zyx

0272013135

075

tzyxtzyx

tzyx

000

zymxmyxymx