Ecuatii de Grad Superior

download Ecuatii de Grad Superior

of 28

  • date post

    25-Oct-2014
  • Category

    Documents

  • view

    119
  • download

    4

Embed Size (px)

Transcript of Ecuatii de Grad Superior

RELAIILE LUI VIETE1.Determinai rdcinile polinomului m x x x f + + 10 52 4 tiind c ntre ele avem relaia22 1 + x x.2.Determinai Q m i rdcinile polinomului m x x mx x f + + 8 3 22 3 4 tiind c admite rdcina5 2 + .Obs : tim c rdcinile multiple ale unui polinom au urmtoarea proprietate : dac x0 e rdcin multipl de ordinul k a polinomului P atunci are loc :( ) ( )( )( ) 0 ...010 0 x P x P x Pk i ( )( ) 00 x P k. Aceast proprietate ne arat c rdcinile multiple ale unui polinom P sunt rdcinile c.m.m.d.c. al polinoamelor P i P.Obs: n cazul n care P are grad mai mare se aplic algoritmul lui Euclid pt. aflarea c.m.m.d.c. al lui P i P.Propr. Fie P i Q dou polinoame de grad n din [ ] X C.Aceste polinoame au aceleai rdcini coeficienii termenilor de acelai grad sunt proporionali.APLICAII.1. Aflai rdcinile multiple ale polinomului ( ) 3 52 3+ + x x x x P2. Ecuaia 0 32 4 + + x x x poate avea o rdcin tripl ?Soluie : ( ) + + x x x x P2 43Dac x0 e rdcin tripl avem : ( ) ( ) ( ) 00 0 0 x P x P x P i ( ) 00 x P( )( )( ) x x Px x Px x x P246 126 423 + ( ) ( )210 1 2 6 02 / 120t x x x PFie 2 2 2 221210 ,_

P xns 4302144 321 ,_

+ ,_

P P1Fie 2 2 2 221210 + ,_

P xns 4302144 321 ,_

+ ,_

P PSoluii : ' 432 2 i ' 432 23.S se determine m i n astfel ca0 23 4 + + + n x mx xs aib o rdcin tripl.Soluie : ( ) + + x x x x P2 43Dac x0 e rdcin tripl avem : ( ) ( ) ( ) 00 0 0 x P x P x P i ( ) 00 x P( )( )( ) m x x Pmx x x Pmx x x P6 246 122 3 422 3+ + + + ( )( )( )' + + + + + +* * * 0 6 12* * 0 2 3 4* 0 2020203003040mx xmx xn x mx x ultima ecuaie fiind echivalent cu ( ) 0 2 60 0 + m x xI. x0=0 nu verific ecuaia (**);II.20mx i din (**) 1 2 0 803 + x m mDin (*) rezult n=-1.Deci m=2 , n=-1 i rdcina tripl x0=1.4.S se determine parametrul real m i s se rezolve n R ecuaia 0 4 4 22 3 + + + x mx xtiind c areo rdcin dubl.Soluie : ( ) 4 4 22 3+ + + x mx x x PDac x0 e rdcin dubl avem : ( ) ( ) 00 0 x P x P i ( ) 00 x P( )( )( ) 122 124 2 62 + + + x Pm x x Pmx x x P2( )( ) ( ) 2 0 4 2 20 4 2 8 0 4 2 2 : 0 8 4 2 ........ .......... .......... .......... .......... .......... ..........0 8 8 2 40 4 2 6200 4 4 2* 0 4 2 60 020 0030 030 0300203002030 002030020 + + + ' + + ' + + + + +x x x xx x x x x xx mx xx mx x xx mx xmx xDin (*) pt. x0=2 avem m=-7 i ecuaia ( ) ( ) 0 2 1 2 0 4 4 8 8 2 0 4 4 7 22 2 2 3 2 3 + + + + + + x x x x x x x x x xSe obine rdcina dubl x0=2 i 211 x.5. S se afle condiia ca ecuaia 02 4 5 + + + p nx mx x s aib o rdcin tripl.Soluie : ( ) p nx mx x x P + + + 2 4 5Dac x0 e rdcin tripl avem : ( ) ( ) ( ) 00 0 0 x P x P x P i ( ) 00 x P( )( ) n mx x x Pnx mx x x P2 12 202 4 52 33 4+ + + + ( )( )( )' + + + + + + +* * * 0 2 12 20* * 0 2 4 5* 0203003040204050n mx xnx mx xp nx mx x ecuaia (**) fiind echivalent cu ( ) 0 2 4 52030 0 + + n mx x xI. Dac x0=0 atunci n=p=0 i ec. devine04 5 + mx xcare are rdcina cvadrupl x=0.II. Dac 00 x ( )1580 8 15 0 8 15* * * 0 2 4 50 2 12 200 0203020302030mx m x mx xn mx xn mx x + + ' + + + +Din (***) avem 3675128m n Din (*) avem ( )) ) )55125362621524533 353 32 33 3 22030202040501517 215 317 3 215215 3128156415822564225 3128156415822564m m mm mm mn mx x x nx mx x p

,_

+ +

,_

+ + + + 3Relaiile cutate sunt : ' 55123271517 215 32m pm n5. Aflai rdcinile multiple ale polinomului ( ) 3 52 3+ + x x x x P6. S se afle condiiile ca ecuaiile03 + + c bx axi03 + + a bx cxs aib 2 rdcini comune. 7. Se cere condiia pentru care ecuaia0 44 + q px xs aib o rdcin dubl.S se deduc expresiile lui p i q n funcie raional de un parametru.8. S se determine parametrii m, n, p astfel ca ecuaia ( ) 0 103 4 6 + + + + p nx x mx x x P s aib o rdcin cuadrupl.( ) ( ) ( ) ( ) 00 0 0 0 x P x P x P x P i ( )( ) 00 x P IV( )( )( ) 60 24 12060 12 3030 4 632 42 3 5+ + + + + + + mx x x Px mx x x Pn x mx x x P

( )( )( ) ( )( ) ( ) ' + + + + + + + + + + +* * * * 0 5 2 10 12* * * 0 10 2 5 6* * 0 30 4 6* 0 10030030 02030500304060mx xmx x xn x mx xp nx x mx x (***) 00 x i din (****) 60=0 imposibil.Rmne { }02 01 03030030030, , 1 1 ...... .......... 0 5 50 5 2 100 10 2 5 ' + + + +x x xmx xmx xRdcina01 e complex i nu poate fi cvadrupl cci atunci polinomul din enun ar avea ca rdcin cvadrupl i pe 01 02 , deci P ar avea gradul minim 8 , contradicie.Rmne x0=1 ca rd. cvadrupl.2150 5 2 10 + + m m , din (**) n=-6 , din(***) 25 p.9.S se determine parametrii m, n, p astfel ca ecuaia ( ) 0 52 4 6 + + + x x x x x Ps aib o rdcin cuadrupl.4Soluie : ( ) ( ) ( ) ( ) 00 0 0 0 x P x P x P x P i ( )( ) 00 x P IV( )( )( ) x x x Px x x Px x x x P120 1202 60 302 20 632 43 5 + + +

( )( ) ( )( ) ( )( ) ' + + + + + + * * * * 0 5* * * 0 1 120* * 0 30 15 2* 0 2 20 6020406020 0204003050 x x x xx xx xx x x (***) 0 00 x(***) 10 x . 5 , 16 , 15 10. S se determine parametrii m, n, p astfel ca ecuaia ( ) 02 4 + + + r qx px x x P s aib o rdcin tripl i apoi s se rezolve.Soluie : ( ) ( ) ( ) 00 0 0 x P x P x P i ( ) 00 x P.( )( ) ( ) p x p x x Pq px x x P+ + + + 2 236 2 2 122 4

( )( )( )' + + + + + +6* * * 0 6* * 0 2 4* 0202003002040px p xq px xr x q px xnlocuind n (**) nmulit cu x0 , adic 1260 300 2 322020400204002040pr pxr px xr qx px xqx px x ' +' + + + + +Din (**)2 ( ) ( )2782 4 2 432202020302pp x x px x q + + Rezult condiiile 3 28 96 27 p rp q ECUAII DE GRAD SUPERIOR1. S se determine parametrul real a i s se rezolve ecuaia ( ) 0 73 + + a x a xtiind c are o rdcin ntreag .Soluie : Z k k a a Z x ,1 5 rdcin a ecuaiei ( )( )( ) ( ) 7 17 10 7223 ; + + kk aaa a(*)Dac =0 atunci a=0 7 ; 0 0 73 / 2 13t x x x xDac 0 ( ) 6 11 16 1 17 17 12222 ; kZ m m ; 6 1 i nlocuind1 6 + m n (*) avem { } 1 , 1 1 1 2 6 6 : 6 12 36 62 2 + + m m m m m k m m mki) m=1 rezult =7 , k=7 , a=49 + + ++ .... .... .......... ..........49 7 ... ...... ..........49 7 ..........56 7 .........77 7....... 749 56222 323xx xx xx xx xxx x277 73 / 2t xii) m=-1 , =-5 , k=-3 , a=15 + + + + + ...... .... .......... ..........15 3 ...... ...... ..........25 5 ... ..........22 5 .........53 5....... 715 22222 323xx xx xx xx xxx x213 53 / 2t xDeci { } 49 , 15 , 0 a.2.Fie ecuaia0 13 + + mx x .6a) Determinai Z m tiind c ecuaia admite o rdcin ntreag.b) Construii ecuaia ce are ca rdcini inversele rdcinilor ecuaiei date.c) Rezolvai ecuaia pt. m=-2.Soluie : 1 11t Z xDac 0 1 m iar dac 2 1 m 2. FieR 33 .a) s se arate c este un numr iraionalb) s se arate c nu exist un polinom nenul cu coeficieni raionali de grad strict mai mic dect trei care s aib pe ca rdcin.3. Fie f:RR , ( ) b ax x x f + + 3 . Demonstrai c [ ] ( ) 1 . . 1 , 2 c f a c.Soluie : caut pe c printre valorile -2,1,0.Avem ( )( )( )( )( )( )( )'' ++ + ++ + ;+ + + 2 1 2 2 28 2 22 1 18 2 201 12 8 2f b af b af b af b ab fb a fb a f( ) ( ) ( ) 6 1 2 2 0 3 3 + + f f f b sau ( ) ( ) ( ) 6 1 2 0 3 2 + f f f( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 3 2 6 6 1 2 0 3 2 f f f f f f + + + Fie ( ) ( ) ( ) { } 1 6 6 3 2 6 1 , 0 , 2 max + + m m m m m f f f mDeci exist { } ( ) 1 . . 1 , 0 , 2 c f a c q.e.d.Relaii ntre coeficieni pentru ca o ecuaie de grad 3 s aib toate rdcinile reale .4.Fie ecuaia02 3 + + + c bx ax x .a) O condiie necesar ca ecuaia s aib toate rdcinile reale este cab a 32b) O condiie suficient ca ecuaia s aib toate rdcinile reale este ca ( ) ( )32233 4 2 6 27 b a a ab c + Dem :7a) scriem relaiile lui Viete :' + + + +c x x xb x x x x x xa x x x3 2 11 3 3 2 2 13 2 1 O condiie suficient ca ecuaia ( ) 02 3 + + + c bx ax x x fnots aib toate rdcinile reale se obine alctuind irul lui Rolle.Dac un polinom are toate rdcinile reale atunci i derivatele lui au toate rdcinile reale .Se rezolv ecuaiile ( ) 0 2 32 + + b ax x x fcu rd. 33,2/2/1b a ax x t ( ) 0 2 6 + a x x f cu rd. 3//0ax Punem condiiile pt. ( ) x f s aib toate rdcinile reale: ( ) ( ) ( ) 0 0 0//0> + > f x f fSe gsete b aa b af 3 033322 ,_

i se obine condiia necesar.b) Punem condiiile pt. ( ) x f s aib toate rdcinile reale: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 , 0/2/1> + < f x f x f fPentru simplitate notm x1/= i apoi se elimin din sistemul :( )( )' 00ff obinndu-se condiia : ( ) b aab c b a a3 293322 Notm x2/= i apoi se elimin din sistemul :( )( )' 00ff obinndu-se condiia : ( ) b aab c b a a3 293322 + Cele 2 condiii se pot scrie condensat( ) ( )32233 4 2 6 27 b a a ab c + .q.e.d.Obs: dac a=0 condiia se scrie0 27 42 3 + c b sau04 272 3 + c b.8Generalizare : gsii o condiie necesar ca ecuaia

,_

+ + +2 , , 1 , 0 ...11 0n n i R a a x a x ai nn n s aib toate rdcinile reale.Soluie : din inegalitatea lui Cauchy ( ) ( )22 12 2221... ...n nx x x x x x n + + + + + +aplicat pt. rd. ecuaiei din enun i folosind relaiile lui Viete obinem :21 1212 ,_

11]1

,_

< niin j ij iniix x x x nsau ( ) ( )2 0212002202120210220212 1 2 1 2 a na a n aaaaanaaaaaan

,_

q.e.d.Generalizare : gsii condiia necesar i suficient ca ecuaia

,_

+ + 3 , 0 , , 0 n a R b a b ax xn, n impar s aib toate rdcinile reale.Soluie : fie ( ) b ax x x fn+ + Avem ( ) a nx x fn+ 1 cu rd. 12 / 1 t nnax .Observm c este necesar condiia0 a .Cum ( ) ( ) + + f f ,este necesar i suficient s avem ( ) ( ) 0 02 1 x f x f(1).Pentru simplitate notm 1 nnai 1 nna .( )( )' 00ff

( )( ) ( ) ' + + ' + + +n nb a nnb na na nn b aa nnnnn: 100001 ( )( )( )11 1 nnann ann ab (2)( )( )' 00ff

( )( ) ( ) ' + + ' + + +n nb a nnb na na nn b aa nnnnn: 100001 ( )( )( )11 1 nnann ann ab (3).9Relaiile (2) i (3) se pot scrie condensat ( ) ( )nn nnpar nnnn ab saunann ab11111 1 sau011 ,_

+ ,_

n nnanb5.Fie ( ) c bx ax x x P + + + 2 3un polinom cu toate rdci