Am intrat deja activ în mileniul III, în care facem alegeri şi trăim consecinţele lor. Schimbările cotidiene devin o realitate aproape inevitabilă, iar lucrul cel mai permanent în viaţa umană este continuitatea aproape neîntreruptă a schimbării. Trebuie să fim conştienţi de faptul că totul se

schimbă permanent şi să percepem „ rupturile” apărute ca normale sau mai puţin dureroase. Totul în activitatea umană evoluează. Această evoluţie se face prin schimbări repetate sau prin salturi. Noutatea este o regulă, o prezenţă constantă în felul de a percepe lumea. Fără inovare nimic nu ar exista, deoarece însăşi procesul viaţa este bazat pe inovare. Anume viaţa ne oferă cel mai bun serviciu atunci cînd ne pune piedici în cale. Anume datorită acestor obstacole de dezvoltăm permanent, acumulăm noi experienţe şi ne transformăm permanent în ceea ce dorim să fim.

Puternic stabilită în realităţile contemporane şi cu implicaţii în toate domeniile, matematica zilelor noastre devine tot mai mult modelul spre care privesc cu încredere şi interes celelalte ştiinţe. Matematica a pătruns treptat din ce în ce mai mult în sfera conceptului de cultură generală şi de cultură de specialitate, lăsînd puţine sectoare lipsite de prezenţa ei.

Trecerea sistematică de la învăţămîntul informativ la cel formativ va fi posibil numai prin rezolvarea unui număr optimal de probleme şi situaţii probleme, utilizînd diverse strategii în rezolvarea lor, prin însuşirea unor metode spicifice anumitor clase de probleme.

Pentru însuşirea mai profundă a materiei de Curriculum la matematică sunt propuse probleme şi exerciţii ce prezintă un grad sporit de dificultate. Ele constituie subiecte pentru examenele de BAC, la olimpiade şi alte concursuri.

În cursul contemporan de matematică din liceu un loc aparte îl ocupă parametrul. Parametrul este un puternic instrument de dezvoltare a gîndirii logice, lărgeşte cu mult clasa problemelor şi exerciţiilor rezolvabile în liceu. Pentru elevii claselor de liceu nu prezintă dificultăţi de a rezolva ecuaţii de tipul ax = b, în mulţimea numerelor întregi. Problema se complică, atunci cînd coeficienţii a,b,c depind de careva parametru. În cadrul rezolvării problemelor cu parametru nu se cere pur şi simplu de a rezolva ecuaţia propusă, ci şi să se discute după parametrul dat. Deci, la rezolvarea problemelor cu parametru, elevii trebuie să manifeste intuiţie matematică, ingeniozitate, spirit inventativ, calităţi care trebuie noi profesorii să le dezvoltăm pe parcursul anilor de şcoală.

Voi începe cu rezolvarea ecuaţiilor liniare care conţin parametri. Nu prezintă nici o problemă rezolvarea în mulţimea numerelor reale a ecuaţiilor de forma ax = b, unde a, b depind de un parametru.

Dacă a = 0 şi b = 0 atunci ecuaţia ia forma 0x = 0 Atunci S = R, adică ecuaţia admite o infinitate de soluţii. Dacă a = 0 şi atunci ecuaţia ia forma 0x = b. Atunci S=Ø

Dacă şi b oricare, atunci ecuaţia admite o singură soluţie

Exemplul 1.

Să se rezolve ecuatia şi să se discute după parametrul real m.

Rezolvare:

Rezolvăm ecuatia liniară obtinută: Dacă m = 0, ecuatia ia forma 0x = −2 Deci, S=Ø

Dacă m = −1, ecuatia ia forma 0x = −3 Deci, S=Ø

Dacă atunci ecuatia va admite o soluţie

Soluţia obtinută trebuie să satisfacă conditia . Să verificăm această conditie. Pentru aceasta rezolvăm ecuatia :

Deci, pentru numitorul fractiei devine zero, ceea ce contravine conditiei de egalitate a unei fractii cu zero.

Răspuns : Dacă S=Ø

Dacă

Rezolvati independent ecuatia:

Răspuns: Dacă S=Ø

Dacă atunci

Să rezolvăm o ecuaţie cu parametru care se reduce la ecuaţie liniară.

Exemplul 2

Determinaţi toate valorile reale ale parametrului m , pentru care ecuaţia nu are soluţii.

Rezolvare:

Aceasta este o ecuaţie liniară în raport cu 3x. Deci vom cerceta cazul cînd ecuaţia liniară nu are soluţii. Şi deoarece este o ecuaţie exponenţială, nu va avea soluţii atunci cînd

Răspuns:

Rezolvaţi independent: Determinaţi valorile reale ale parametrului m, pentru care ecuaţia admite o singură soluţie reală. Determinaţi această soluţie.

Ecuaţia dată va admite o singură soluţie atunci cînd

Răspuns : Pe intervalul dat soluţia ecuaţiei va fi

Exemplul 3.

Pentru ce valori ale parametrului real a ecuaţia va admite o soluţie negativă ?

Rezolvare :

Aceasta este o ecuaţie exponenţială în raport cu 4x-2 , care se reduce la o ecuaţie liniară şi va avea o soluţie atunci cînd

În acest interval ecuaţia va admite soluţia

Să determinăm valorile parametrului real a pentru care soluţia obţinută este negativă. Rezolvăm sistemul:

Răspuns : pentru ecuaţia va avea o soluţie negativă.

În cadrul ecuaţiilor cu parametru un loc aparte îl ocupă ecuaţiile de gradul doi cu parametru. Rezolvînd mai multe ecuaţii de gradul doi cu parametru am dedus unele condiţii sau relaţii dintre coeficienţii ecuaţiei şi soluțiile ei. Fie ecuaţia de gradul doi ax2 + bx + c =0, unde a, b, c sunt coeficienţi care depind de parametri reali.

1. Ecuaţia pătrată admite două soluţii reale distincte atunci cînd

2. Ecuaţia pătrată admite o soluţie reală atunci cînd

3. Ecuaţia pătrată admite două soluţii reale de acelaşi semn atunci cînd

4. Ecuaţia pătrată admite două soluţii reale pozitive atunci cînd

5. Ecuaţia pătrată admite două soluţiii reale negative atunci cînd

6.Ecuaţia pătrată admite două soluţiii reale de semne opuse atunci cînd

7.Ecuaţia pătrată admite două soluţii reale de semne opuse şi soluţia pozitivă mai mare decît soluţia negativă după modul atunci cînd

8. Ecuaţia pătrată admite două soluţii reale de semne opuse şi soluţia negativă după modul este mai mare atunci cînd :

9. Ecuaţia pătrată admite două soluţii dintre care una este zero, iar cealaltă este negativă atunci cînd : 10. Ecuaţia pătrată admite două soluţii dintre care una este zero, iar a doua este pozitivă atunci cînd Deseori se cere să se discute soluţiile ecuaţiei după valorile parametrului. A discuta soluţiile ecuaţiei înseamnă în general a stabili condiţiile în care aceasta admite rădăcini într-o mulţime dată şi a determina apoi numărul lor, semnele lor etc. În cazul cel mai frecvent mulţimea dată este mulţimea numerelor reale R, uneori mulţimea numerelor complexe C.

Exercițiul 3Să se rezolve ecuaţia şi să se discute soluţiile ei după parametrul real m .

Rezolvare:

1. Pentru m = 1 ecuaţia ia forma

2. Pentru m + 2 = 0 adică pentru m = − 2 , ecuaţia se scrie astfel

3. Să calculăm valorile parametrului pentru cazul cînd soluţiile ecuaţiei vor fi egale : adică

Dacă atunci ecuaţia are o soluţie

4. Dacă ecuaţia va admite două soluţii reale distincte

5. Să calculăm valorile parametrului m din intervalul pentru care soluţiile ecuaţiei sunt reale şi pozitive:

adică

Deci, dacă ecuaţia are două soluţii reale pozitive.

6. Să calculăm valorile parametrului m din intervalul pentru care soluţiile sunt reale şi negative adică

Deci, pentru ecuaţia are două soluţii reale negative.

7. Să calculăm valorile parametrului m din intervalul pentru care ecuaţia admite soluţii reale de semne opuse

adică

Pentru ecuaţia admite două soluţii reale de semne opuse.

Răspuns : Dacă ecuaţia nu admite soluţii reale

Dacă ecuaţia are o soluţie reală

Dacă ecuaţia are două soluţii reale negative

Dacă ecuaţia are două soluţii

Dacă ecuaţia are două soluţii reale de semne opuse.

Dacă m = 1 ecuaţia are o singură soluţie

Dacă ecuaţia are două soluţii reale pozitive.

Există însă probleme a căror rezolvare impune cercetarea condiţiilor în care o ecuaţie admite soluţii într-o submulţime a mulţimii numerelor reale, care rezultă din condiţiile problemei respective. Vom rezolva această problemă în cazul cînd submulţimea este un interval dat pentru ecuaţia de gradul doi.

Exemplul 4.Se dă ecuaţia . 1). Să se discute soluţiile ecuaţiei , ştiind că

2). Fără să se rezolve ecuaţia , să se afle m astfel încît

Rezolvare:

1. Dacă m = 2 ecuaţi ia forma adică ecuaţia are două soluţii x1 = 0 ; x2 = 4.

2. Dacă m = 0 ecuaţia se transformă în x2 + 2 = 0, care nu are soluţii reale. Are soluţii complexe.3. Ecuaţia va avea soluţii reale atunci cînd adică 4. Dacă ecuaţia nu are soluţii reale, adică are soluţii complexe.5. Să calculăm valorile parametrului m din domeniul pentru care ambele soluţii sunt reale şi pozitive. 6. Să calculăm valorile parametrului m din domeniul pentru care ambele soluţii sunt reale şi negative. 7. Să calculăm valorile parametrului m din domeniul pentru care ambele soluţii sunt reale şi de semne diferite.

Răspuns: I: Dacă ecuaţia are două soluţii negativeDacă ecuaţia nu are soluţii realeDacă ecuaţia are două soluţii

reale pozitiveDacă m = 2, ecuaţia are soluţiile x1 = 0, x2 = 4Dacă ecuaţia are două soluţii de semne diferite

II. Să calculăm valorile parametrului m pentru care se satisface condiţia

Efectuăm careva transformări cu expresia În rezultat avem

. Conform relaţiilor lui Viete obţinem :

Răspuns II : Pentru este satisfăcută condiţia.

Exemplul 5.

Să se determine toate valorile reale ale parametrului k pentru care ecuaţia are soluţii reale şi diferite. Cîte soluţii a acestei ecuaţii sunt situate în intervalul în dependenţă de parametrul k ?

Rezolvare :Pentru ca soluţiile ecuaţiei să fie reale şi distincte e necesar ca Deci, pentru ecuația va avea două soluţii reale distincte. Conform relaţiilor lui Viete avem : Deoarece semisuma soluţiilor ecuaţiei este înseamnă, că una din soluţii este mai mare decît , iar cealaltă mai mică ca , adică . Deci, intervalului îi va aparţine numai o soluţie x1, fiind pozitivă. A doua soluţie , atunci rezultă , că ambele soluţii sunt pozitive, adică . Deci, pentru în intervalul este situată numai o soluţie, cea mai mică

Răspuns : Pentru în intervalul este situată o singură soluţie

Exemplul 6.

Fie dată ecuaţia : R. Pentru ce valori reale ale lui m ecuaţia are o soluţie unică?

Rezolvare :Pentru ca ecuaţia pătrată exponenţială să admită o soluţie unică e necesar să fie satisfăcute următoarele condiţii:

Răspuns: Pentru ecuaţia va admite o soluţie unică.

Inecuaţii cu o singură necunoscută cu parametru

Fie date două funcţii numerice f(x) şi g(x) şi fie D mulţimea ce reprezintă intersecţia domeniilor de definiţie a acestor funcţii, adică . Dacă se cere de aflat toate numerele x0 din D pentru care este justă inegalitatea numerică ,

atunci se spune că este dată o inecuaţie cu o singură necunoscută . Mulţimea D este numită domeniul valorilor admisibile al necunoscutei,( DVA ), iar x0 este soluţie a inecuaţiei.

În mod analog trebuie formulate şi înţelese problemele : să se rezolve inecuaţiile f(x) > g(x), f(x) ≤ g(x), f(x) ≥ g (x). Mulţimea soluţiilor unei inecuaţii reprezintă , de regulă, o mulţime infinită de numere şi de aceea verificarea ei este dificilă. Unica metodă, care garantează justeţea răspunsului constă în faptul, că la rezolvarea inecuaţiilor trebuie efectuate astfel de transformări, încît să se păstreze echivalenţa inecuaţiilor.

Două inecuaţii sunt echivalente dacă mulţimile soluţiilor lor coincid.Aducem afirmaţiile de bază cu privire la echivalenţa inecuaţiilor , care se formulează şi se demonstrează pe baza proprietăţilor inegalităţilor

numerice.

1. Inecuaţiile f(x) > g(x) şi f(x) – g(x) > 0 sunt echivalente

2. Inecuaţiile f(x) > g(x) şi f(x) + a > g(x) + a sunt echivalente pentru orice a real.

3. Inecuaţiile f(x) > g(x) şi af(x) > ag(x) sunt echivalente pentru orice a pozitiv.

4. Inecuaţiile f(x) > g(x) şi af(x) < ag(x) sunt echivelente pentru orice a negativ.

5. Inecuaţiile şi f(x) > g(x) sunt echivalente pentru orice număr fixat a > 1

6. Inecuaţiile şi f(x )< g(x) sunt echivalente pentru orice număr fixat 0 < a < 1

7. Fie n un număr natural şi pe mulţimea A funcţiile y = f(x) şi y = g(x) sunt nenegative. Atunci pe această mulime inecuaiile f(x) > g(x) şi sunt echivalente.

8. Fie a un număr fixat din domeniul şi pe mulţimea A funcţiile y = f(x) şi y = g(x) sunt pozitive. Atunci pe această mulţime sunt echivalente inecuaţiile şi f(x ) > g (x).

9. Fie a un număr fixat din domeniul (0;1) şi pe mulţimea A funcţiile y = f(x) şi y = g(x) sunt pozitive. Atunci pe această mulţime sunt echivalente inecuaţiile şi f(x) < g(x) .

10. Fie că pe mulţimea M , care se conţine în DVA al inecuaţiei f(x) > g(x), funcţia este pozitivă . Atunci pe această mulţime sînt echivalente inecuaţiile şi

Fiecare dintre inecuaţiile de forma ax > b, ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b , unde a şi b sunt numere reale sau funcţii de parametri, iar x este o necunoscută se numeşte inecuaţie liniară cu o necunoscută cu parametru.

Considerăm inecuaţia ax > b , la rezolvarea căreia vom deosebi următoarele cazuri : 1). Dacă a > 0 atunci

2). Dacă a < 0 atunci

3). Dacă a = 0 şi b < 0, obţinem inecuaţia 0x > b, care este verificată de orice valoare reală a necunoscutei x.

4). Dacă a = 0 şi b > 0, obţinem inecuaţia 0x > b, care nu are soluţii.

Exemplul 1.

Să se rezolve inecuaţia : .

Rezolvare: Efectuînd unele transformări , inecuaţia dată ia forma

Dacă , atunci

Dacă , atunci

Dacă a = 1, atunci inecuaţia ia forma 0x > 8, care nu are soluţiiDacă a = − 1 , atunci inecuaţia devine 0x > −8 , care este verificată de orice x real.

Exemplul 2.

Pentru care valori ale parametrului k inecuaţia este verificată de valorile necunoscutei ?

Rezolvare:Vom considera funcţia graficul căreia reprezintă o linie dreaptă pentru orice valoare a parametrului k.Se observă că pe segmentul , atunci şi numai atunci, cînd Efectuînd careva transformări necesare , obţinem

Deci, pentru inecuaţia este verificată de valorile necunoscutei

Răspuns:

Fiecare dintre inecuaţiile de forma ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0 , ax2 + bx + c ≥ 0 , ax2 + bx + c ≤ 0 ,unde a ≠ 0 se numeşte inecuaţie de gradul doi sau inecuaţie pătrată cu o necunoscută, iar a, b, c sunt numere reale sau depind de parametru. Rezolvarea inecuaţiilor pătrate cu parametri necesită cunoaşterea profundă a proprietăţilor trinomului pătrat

Exemplul 3.

De rezolvat inecuaţia Rezolvare:Dacă m = 1 atunci inecuaţia ia forma Dacă R \ atunci soluţiile inecuaţiei vor depinde de valorile discriminantului şi de valorile lui m – 1 . Calculăm discriminantul : Determinăm semnul discriminantului.

. Determinăm semnul expresiei m – 1 .

Depunem toate valorile obţinute pe o dreaptă:

Δ + + + + + + + + + + - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + +

m – 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 + + + + + + + +

Calculăm rădăcinile trinomului asociat inecuaţiei: şi

Răspuns : Dacă

Dacă S=R

Dacă m = 1

Dacă

Exemplul 4

Determinaţi valorile reale ale parametrului a , pentru care funcţia este crescătoare pe R.

Rezolvare :O funcţie este crescătoare pe R atunci cînd f ' (x) ≥ 0. f ' (x ) =

Să determinăm valorile reale ale lui a pentru care are loc inecuaţia ≥ 0. Observăm, că este o inecuaţie pătrată cu

parametru. Verificăm pentru început

Dacă a=1 avem că f '(x) =2 > 0. Deci, este realizată condiţia problemei.Dacă a = −1 avem că f '(x) = − 4x + 2, care nu este nenegativă pentru orice x real. Prin urmare, nu este realizată condiţia problemei.

Dacă R\ obţinem că f '(x) ≥ 0

Am obţinut, că f '(x) ≥ 0 pentru

Răspuns : Pentru f ' (x) ≥ 0 pentru orice valoarea reală a lui x , adică f (x) este crescătoare.

Pentru lucrul independent:

1. Determinaţi valoarea maximă a parametrului real a , pentru care funcţia este monoton

descrescătoare pe R.2. Pentru care valori reale ale parametrului real a , funcţia admite puncte critice ?3. Fie funcţia Determinaţi valorile lui m pentru care funcţia f este descrescătoare pe R.4. Fie funcţia determinaţi parametrul real m pentru care D = R.5. Pentru care valori ale parametrului real a ecuaţia are o unică soluţie?

Ciuga Maria, profesor de matematică, Grad didactic întîiLiceul Teoretic “ M. Eminescu”or. Drochia

e-mail maria.ciuga@gmail.com tel.mob. 069945020 tel. dom. 025224520