ECUATII LOGARITMICE

1

FIŞA CU PROBLEME

1.Să se rezolve inecuaţiile şi ecuaţiile

a) 04423 =−−+ xxx

b) xx

x>

−+56

54

c) 342 −>− xxx

d) 11642 2 +−=−+− xxxx

e) 16 2 +=−− xxx

f) 122 −>+ xxx

g) 35243

8+−−=

−− xxx

x

h) 0783456 222 =+−−+−++− xxxxxx

i) 1123 =−+− xx

j) 26533 23 −>−+− xxxx

k) ( )8112

41

21 2+

+−<+

+−xxxx

l) 0;49149121

21

≠=

++

+

−

xxx

m) 5118

18133

33

=−−+

++−xx

xx

n) 14250552 −<+− xxx

o) xa

xaxaxaxa=

−−+−++ (discuţie după Ra∈ )

p) Să se rezolve şi discute ecuaţia , discutându-se după valorile parametrului real m :

21212 =−−+−+ xxmxx .

2

Soluţie : condiţii de existenţă : [ )

( )[ )+∞∈⇔≥−+

∈⇔≤+−⇔+−≥⇔↑−≥⇔≥−−

+∞∈⇔≥−=∆

,1012

2,32048312412012

,10116

2222

xxx

xxxxxxxxxx

xx

.

După intersecţie rezultă [ ]2;1∈x .

Cu substituţia 01 ≥=− yx avem 12 += yx şi ecuaţia echivalentă

: 21121212 22 =−++⇔=+−+++ ymyyymyy .

y 0 +1 ∞+

1+y y+1 y+1

1−y -y+1 0 y-1

( )yE y+1+m(-y+1) y+1+m(y-1)

Dacă [ ]1,0∈y avem y+1+m(-y+1)=2 ( )1,1,1

11=∈≠=

⇔−=−⇔mRymy

mmy .

Dacă [ )+∞∈ ,1y avem y+1+m(y-1)=2 ( )1,1,1

11−=∈−≠=

⇔+=+⇔mRymy

mmy

Revenind la substituţia 01 ≥=− yx avem soluţia { }

[ ) [ ]1,1,,11,1,2−∈+∞∈

−∉=mx

mx

r) 11223 3 22 =−−− xx

Soluţie : condiţii de existenţă :

+∞∪

−∞−∈⇔≥ ,

36

36,

322 xx

Notăm

=−

=−

vx

ux3 2

2

1

23 cu condiţia implicită u≥0.

Prin ridicare la putere avem :

=−

=−32

22

123

vxux de unde prin eliminarea lui x obţinem ecuaţia :

13 32 += vu

3

( ) ( ) 0443044313144131213

12 223323232 =−−⇔=−−⇔+=++⇔+=+⇒

+=

=−vvvvvvvvvvv

vuvu

−=

==

⇒

32

20

3

2

1

v

vv

Condiţia de existenţă 31

321 332 −≥⇒≥+= vvx deci toate 3 soluţiile sunt acceptabile.Se

obţin soluţiile

±±±957,3,1 .

2. 3 2 3 23 35 2 2 1 6x x x x x− + + + + − + − =

2.Determinaţi elementele mulţimii : { }xxxRx −≥+−∈ 365/ 2

3.Să se rezolve sistemele de ecuaţii :

a)

+−=+−=−

33

3

8yxyxyxyx

b)

=−−+=−−+

8244

yxyxyxyx { }40,41=S

c)

=+

=+−

+−+

53

10

22 yxyxyx

yxyx

( ) ( ){ }1,2;1,2 −−=S

d) ( )

=−+

=−++

8)(6

6 23

3

yxyxyxyx

e)

−=−+=−+1214322

yxxyxyyx

f)

=−+=−++

17363

yxxyxyx

g )

−=++=++−=++

19

1

333

222

zyxzyx

zyx

4

h)

=+=−

yyxxxyyx2

34232

322

i)

=−+=++

22)(3

2

22

xyyxyxyx

j)

=−+−=−

33 23 2 77

xyyxyxyx

4.Să se rezolve ecuaţiile şi inecuaţiile :

a) 28824 1 ≤+ +xx

b) 3521 53353 ++++ ⋅−=+ xxxx

c) 1227

21

3229 −++−=− xxxx

d) 05005525 33 =−⋅− −− xx

e) 5439 313 22

=− +++ xx

f) 121 66222 +++ +=++ xxxxx

g) 6427

43

3106

<

−+− xx

h) 18991

=+ xx

i) 15,1 694 ++ =+ xxx

j) 012264331

=+−+

xx

k) 12005210102 3122 =⋅⋅−⋅ ++ xxxx

l) 096132 12 =+⋅− − xxx

m) 302222 123 =+++ +++ xxxx

n) 096132 12 =+⋅− − xxx

o) 302222 123 =+++ +++ xxxx

p) 222 11 2

=+ +− xx

q) ( ) ( ) 459 3log1log 95 =− +− xx y

5

ECUAŢII EXPONENŢIALE ŞI LOGARITMICE DE FORMA

f(x)=g(x)

Obs : când se cere rezolvarea unei ecuaţii de forma ( ) ( )xgxf = pot interveni următoarele

situaţii :

i) f- strict monotonă şi g- funcţie constantă ⇒ ecuaţia are o singură soluţie;(X)

ii) f – strict crescătoare ; g -strict descrescătoare ⇒ f-g strict monotonă şi atunci ecuaţia

( )( ) 0=− xgf are soluţie unică care se observă ;(X)

iii) f- strict convexă (concavă) şi g- constantă sau liniară⇒ ecuaţia are cel mult 2

soluţii(XI)

iv) f- convexă şi g- concavă ⇒ f-g convexă şi atunci ecuaţia ( )( ) 0=− xgf are cel mult 2

soluţii (XI).

v) dacă atât f cât şi g sunt convexe se aplică teorema lui Lagrange (clasa XI)

Propr: i) Dacă α>0 şi f convexă atunci α.f convexă;

ii) Suma a 2 funcţii convexe este convexă;

iii) Dacă φ(u) convexă şi crescătoare iar u=f(x) este convexă atunci şi funcţia

compusă φ(f(x))va fi convexă;

iv) O funcţie f(x) convexă pe intervalul I , diferită de o constantă , nu poate atinge

valoarea cea mai mare în interiorul intervalului.

Câte rădăcini reale are ecuaţia :

−=

−

21log

31log

31

21 xx ?

1. xxxxxxxx 6040302412564278 +++=+++

Soluţie : ecuaţia din enunţ este echivalentă cu :

⇔⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+++ xxxxxxxxxxxxxxxx 5435425324325432 3333

abdcdabcdabcdcba +++=+++⇔ 3333

6

Însă 0,,,3333 >∀+++≥+++ dcbaabdcdabcdabcdcba cu egalitate d.n.d. a=b=c=d.

De aici rezultă x=0.

2. xxx 543 =+

Soluţie : observăm că x=2 este soluţie a ecuaţiei date . Pt. a demonstra că soluţia

obţinută este unică , în cazul acestui tip de ecuaţii se procedează în felul următor :

• se împarte ecuaţia la puterea bazei celei mai mari : 154

53

=

+

xx

;

• se arată că expresia obţinută ( ) ∗+→

+

= RRfxf

xx

:;54

53 este injectivă sau

strict monotonă.

• în ambele cazuri orice paralelă la axa OX va intersecta graficul funcţiei într-un

singur punct şi atunci soluţia ecuaţiei f(x)=a , unde ∗+∈ Ra va fi unică.

În particular ( )xx

xf

+

=

54

53 este strict descrescătoare , ca fiind suma a 2 funcţii strict

descrescătoare ( ) 1=⇒ xf are singura soluţie x=2.

Obs: orice funcţie strict monotonă este injectivă.

3. ( ) ( ) 3132132532 3 −=−−−xx .

Soluţie : avem ( ) 31526323

−=− şi ecuaţia se mai poate scrie :

( ) ( ) 3132132531526 33 −=−−−xx

Se observă că x=3 este soluţie a ecuaţiei , arătăm că e unică.

Deoarece 32531526 −<− voi împărţi ecuaţia la termenul cel mai mare :

( )1

325

2131332531526

3

3

=−

−+

−−

x

x

Întru-cât 21313 > avem mai sus sumă de funcţii strict descrescătoare ; unica soluţie este

x=3.

4. xxxxxx 20...161514...21 +++=+++

Soluţie :

7

11520...

1517

1516

1514...

152

151

15:20...161514...21

=

−−

−

−

++

+

⇔

⇔+++=+++

xxxxxx

xxxxxxx

Ecuaţia va avea soluţie unică deoarece funcţia din membrul stâng este strict

descrescătoare iar în membrul drept avem o constantă. Se verifică că x=0 e unica soluţie.

5. xxxxxxxx 15121091413118 +++=+++

6. xxxxxxxx 2224 5133213532 +⋅⋅=⋅+⋅

Soluţie : xxxxxxxx 2224 5133213532 +⋅⋅=⋅+⋅ xxxxxxxx 135:5131213512 22 ⋅+⋅=⋅+⇔

⇔

⋅+=+

⋅⇔

x

x

x

x

x

xx

x

135

135

5121

135122 xxxx 22

135

1312

135

1312

+

=

+

Dacă notez xx

=

=

135;

1312 βα avem

( ) ( )( )

=+=

⇔=−+−⇔=−−−⇔+=+1

0102222

βαβα

βαβαβαβαβαβα

Avem ecuaţiile :

=⇔=

+

=⇔

=

21135

1312

0135

1312

x

xxx

xx

Să se rezolve ecuaţia : ( )xxxx 1542251411 −=+ Soluţie :

( )( )

1251542

2514

2511

25:2515421411

1542251411

=

+

+

⇒

⇒=++⇐

−=+

↓↓↓

xxx

xxxxx

xxxx

Deoarece în ultima relaţie avem o sumă de trei funcţii descrescătoare , ecuaţia va avea o unică soluţie . Se observă că x=2 este unica soluţie .

7. ( ) xxx 323

6 log2log =+

Soluţie : condiţie de existenţă x>0.

8

Se încearcă să se aducă ecuaţia la o formă exponenţială prin notarea valorii comune a

celor doi logaritmi cu u :

( ) Ruuxxx ∈==+ ,log2log 323

6

( )⇒

=⇒=

=+⇒

==+

23

23

3

236

32

log

6

log2log u

u

xux

xx

uxuxx

⇒⋅=+ uuuuu

3:2333 23

143

414:413213

222222 =

+

⇒=+=+⇒

uuuuu

uu

sau - ecuaţie ce are soluţia u=2.

Cum ( ) ∗+→

+

= RRfxf

xx

:;43

41 22 este strict descrescătoare pe R , soluţia va fi unică .

RMT42009. ( ) ( )3 22 log log sintgx x=

Soluţie : condiţie de existenţă 0 cos 02 ;2

sin 0 sin 0 2tgx x

x k kx x

ππ π> > ⇔ ⇔ ∈ + > >

.



( ) ( )3 22 log log sin ,tgx x u u R= = ∈

( )( )

223

22

22

2

2 log 33log sin sin 4sin 2

sin 431 sin 1 4

43 12 4 4 12 3 : 3 4 13

u u

uu

uu

u

uu u u u u u u u

tgx u tg xtgxx u xx

xtg xx

= = =⇒ ⇒ = = =

⇒ = ⇔ =− −

⇔ − = ⇔ + = ⇔ + =

Ecuaţia de mai sus are soluţia unică u=-1, deoarece în membrul stâng avem o sumă a

două funcţii strict crescătoare . 11 sin 22 6

u x x kπ π= − ⇔ = ⇔ = +

Cum ( ) ∗+→

+

= RRfxf

xx

:;43

41 22 este strict descrescătoare pe R , soluţia va fi unică .

9

8. ( ) xxxx 6463

14 loglog =++




( )⇒

==⇒⋅==++

⇒=

=++uu

uuu

xxxx

uxuxxx

6

63

64

6314

2647214

loglog

⇒⋅=++ uuuuuu 2:72222 23

171

72

747:712471222 =

+

+

⇒=++=++⇒

uuuuuuuuuu sau - ecuaţie ce are

soluţia u=1.

Cum ( ) ∗+→

+

+

= RRfxf

xxx

:;71

72

74 este strict descrescătoare pe R , soluţia va fi

unică .

8. Să se rezolve ecuaţia : ( )3 488 1024log logx x x x+ + =

9. ( ) xxx 94

12 log21log =+

10. ( ) xx 32 log1log =+

11. ( ) ( ) Nxxx ∈+=+ ,23log32log2 23

11.Câte soluţii are ecuaţia ( ) ( )axbx ba −=− loglog unde 10 <<< ab ?

11. Câte soluţii reale are ecuaţia ( ) ( )2lg12log 2 +=+ xxx

11. ( ) na

naa xxxn loglog =+

+ , unde a>1 , 2, ≥∈ nNn sunt date.



celor doi logaritmi cu t :

( ) ( ) ( ) ⇒++=+⇒

=

+=+ ⋅ tntnttn

tn

tnn

aaaaaaax

aaxx:

1=

++

+

⇒t

n

t

n

n

aaa

aaa

10

Deoarece funcţia ( )t

n

t

n

n

aaa

aaatf

++

+

= este strict descrescătoare , ecuaţia f(t)=1 are

soluţia unică t=1 de unde nax = .

11. Să se rezolve în R ecuaţia : ( )2122log 2

22

2 ++

=+xxx

Soluţie :



( ) ∗+∈=

++

=+ Ruuxxx ,

2122log 2

22

2

( ) ( )⇒

+=+

≥⇒≥−

=⇒

+=+=+

2222

2

22

2

21210

222

21222

xux

ux

xuxx

uu

2

2 22

2212

22

+

−=+

−⇒

uu

u ( )( ) ( ) ( ) 01442222142 2222 =−+−+−−⇔ uuu uu

În membrul stâng avem suma a 3 expresii pozitive , întru-cât 21

≥u , deci egalitate nu

poate fi decât dacă 021

=⇒= xu .

12. ( ) xxxxx 32

32 log21log +=+++ .

Soluţie : condiţie de existenţă x>0 .

( ) 0log1log2 32

32 =−+++− xxxxx

01log3log122

332 =

+++−+−

xxxxx

( ) 03

1log12

32 =

+++−

xxxx

Însă ( ) 01 2 ≥−x şi 01log1131log

31log 33

2

3 ≥≥

++=

++x

xxxx

cu egalitate în (1) dacă x=1 şi în (2) dacă 121=⇔=+ x

xx

11

Unica soluţie este x=1. q.e.d.

13.21

3loglog

3log

63

233

=

−

xxx

12. Să se rezolve în R ecuaţia : xxxx 5243 +=+

Soluţie : scriem xxxx 4523 −=− (1).

Observăm că dacă împărţim la puterea bazei celei mai mari obţinem

152

54

53

=

−

+

xxx

; însă nu obţinem o funcţie monotonă.

Aplicăm o altă metodă : pres. x fixat şi fie [ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) x

x

yygg

yyff

=+∞→

=+∞→

,,05,4:

,,03,2:.

Aplicănd teorema lui Lagrange funcţiilor f , g pe intervalele disjuncte [2,3] resp. [4,5]

rezultă că există ( ) ( ) ( ) ( )5,43,2 21 ∈∈ xşix λλ a.î. ( )( )xxxx

xxx

xxx

12

11

4523

−

−

⋅=−⋅=−λλ .

Atunci (1) ( ) ( )( )10

02

112

11 =

=⇒=−⇔ −−

xx

xxx xx λλ sunt singurele soluţii . q.e.d.

OBS: Este important ca intervalele pe care aplicăm teorema creşterilor finite să fie

disjuncte deci λ1 ≠ λ2.

13. ( ) ( ) ( ) ( )xxxx322332233333 ++−=++−

Soluţie :

14. xxxx 109154 +=+ .

15. xxxxxx 65227423 +⋅+=+⋅+ .

14. ( )( ) ( ) ( ) 12322313 +−=+−−− xxx xxxx

15. ( ) ( )2 3log 3 log 22 1 3x x+ = + +

Soluţie : condiţie de existenţă 23

≥x

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12232232232313 1 =

+−

⇔+=−⇔+=−−−− +x

xxxxx

xxxxxxxx

Rămâne soluţia dată de 21223

=⇔=+− x

xx .

12

15. 32523 231 +=⋅+ −− xxx .

Soluţie : observ că x=1 şi x=2 sunt soluţii ale ecuaţiei date.

Pentru a demonstra că acestea sunt singurele soluţii consider ( ) 32523 231 −−⋅+= −− xxxxf şi

atunci derivata ( )

−

+

=⋅−⋅+=′ −− 2ln

435ln

85

523ln

8382ln235ln523ln3 231

xxxxxxxf este

descrescătoare pe R deci ecuaţia ( ) 0=′ xf are o singură rădăcină pe R.

Alcătuind şirul lui Rolle rezultă că f are exact două rădăcini care le-am determinat

( ) ( ) 010 == ff .

16. Câte rădăcini reale are ecuaţia :

−=

−

21log

31log

31

21 xx ?

Soluţie( clasa a XI-a):

Condiţii de existenţă

+∞∈ ,

21x .

−=

−

⇔

=−

=−

⇒=

−=

−

31

21

31

21

31

21

21

31

21log

31log

31

21

tt

t

t

not

x

xtxx ecuaţie care are soluţia

x=1.Cercetăm dacă mai sunt şi alte soluţii.

Fie ( )

−−

−

=→

31

21

31

21,:

tt

tfRRf avem ( ) ⇔=

−

=′ 0

31ln

31

21ln

21 tt

tf

( )2,12ln3ln

2lnln3lnln

23ln

2ln3lnln

2ln3lnlog

2ln3ln

23

230 ∈

−−

===⇔=

⇔ t

t

t ∞− 1 t0 2 ∞+

( )tf ′ + + + + 0 - - -

f(t) 0 <0

Rezultă că f are exact 2 rădăcini , pe 1 şi pe ( )2,0t∈α .

În consecinţă ecuaţia dată are rădăcini pe 31

21

65

+

α

şi .

13. Să se rezolve în R ecuaţia 01lg10lg 24lg =−−+ xxx x .

13

Soluţie : xxx xx2lglglg 1010 =⇒= . Notăm tx =2lg .

Ecuaţia devine 011010 2 =−−+ ttt . Funcţiile ( ) ( ) 110;10,:, 2 −−==→ tttgtfRRgf t

sunt convexe pe R , deci funcţia f+g este convexă pe R , aşadar ecuaţia ( )( ) 0=+ tgf are

cel mult 2 soluţii.

Observăm că ( )( ) 00 =+ gf şi ( )( ) { }

∈⇔∈⇒=+

101,101,001 xtgf .

14. Rxxxx

xx ∈=−

+− ;12

322

32

Soluţie :

( )( ) ( ) 03:222

322232

222

2222

2

22

≠−−−−=−⇔

−=−⇔=−+

−

−−

xxxxx

xxxx

xxx

xxxxxx

12

222

22

−=−−

−⇔

−

xxx

xxx

(1)

Deoarece funcţia ( ) xxfRRf 2;: =→ + este strict crescătoare rezultă că raportul

( ) ( )21

21

21 ,0 xxxx

xfxf≠∀≥

−− ; contradicţie cu (1).

Deci pt. { }3,0∉x nu putem avea egalitate în (1).

Rămâne numai cazul { }3,032 ∈⇔=− xxxx care verifică ecuaţia dată.

15. 0,122

23 32

≠+

=− xx

xxx

15. [ ] [ ]xxx 56525 ⋅=+ .

Soluţie : ecuaţia este echiv. cu : [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } 6555:56525 =+⇔⋅=+ + xxxxxxx

1. [ ] 0≤x şi cum { } [ ) [ ] { } 655551,0 10 =+<+⇒∈ xxx deci nu avem soluţii.

2. [ ] 1=x { } { } [ ] { } 101015.

=+=+=⇒=⇒=⇒ xxxxxec

3. [ ] 2≥x[ ]

{ }[ ] { } 62655

155255

0>≥+⇒

=≥

≥⇒ xx

x

x

deci nu avem soluţii.

14

Rămâne soluţia x=1.

15. Să se determine numărul soluţiilor ecuaţiei : { } [ ] xxx 543 =+

16. Să se rezolve inecuaţia : xxxx 64123 +≥+

Soluţie : observăm că x=0 este soluţie a inecuaţiei date. Consider cazurile :

i) x>0

Conform inegalităţii mediilor avem : 0,646662362123 ≥∀+≥+=⋅=≥+ xxxxxxxxx

deci orice nr. pozitiv este soluţie a inecuaţiei.

ii) x<0 ; notăm u=-x>0 şi inecuaţia se rescrie : ⇔+≥+ −−−− uuuu 64123

uuuuu

1261

41

121

31

⋅

+

≥

+

⇔ uuu 2314 +≥+⇔

Deoarece în ambii membrii avem funcţii convexe aplicăm teorema lui Lagrange pt.

funcţiile :

[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) u

u

yygg

yyff

=+∞→

=+∞→

,,02,1:

,,04,3:.

Ambele fiind continue şi derivabile pe intervalele respective rezultă că există

( ) ( )2,14,3 ∈∈ bşia a.î. 1

1

1234

−

−

⋅=−=−

uuu

uuu

buua .

Inecuaţia devine : ( ) 101

110

1111 ≥

⇔≥≥−⇔⋅≥⋅

−−−

>−−−− ⇔

uuu

uuuuu

bababaubuau şi cum

a>b 1101 −≤⇔≥⇔≥−⇔ xuu

( ] [ )+∞∪−∞−= ,01,S

3.a) Demonstrati ca ( )43 2log 4 3 2log 3 ,x x R+ ≥ ∀ ∈ .

b) Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia :

( ) ( ) ( )4 3 2 23 5 2 3log 4 3 log 1 log 1 log 4x x x+ + + + + =

15

ALTE TIPURI DE ECUAŢII ŞI INECUAŢII

1).(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)=3x2

2). ( ) ( )42442 112)2( −+=++−− xxxxx

3) ( )( ) ( )2

222 1212)2( −≥−−−−−− xxxxxx

4) 113 ≥−− xx

5) 211 5 25 2 =−−+−+ xxxx

6) ( ) ( )( ) ( ) 128

4111

1188

4242

=−++

+−+++xx

xxxx

7) 110623 =++− xx

Soluţie : condiţie de existenţă 10−≥x

cu notaţia

=−

=+

ux

vx3 62

10

=−

=+⇔

3

2

6210

uxvx de unde prin eliminarea lui x între cele 2 ecuaţii se

ajunge la 262 32 =−uv

Se obţine sistemul :

=−

=+

262132 uv

vu ( ) 0244202612 2332 =++−⇔=−−−⇒ uuuuu

( )( ) 201242 2 =⇒=+−+⇔ uuuu

72623 =⇒=− xx

8) ( ) ( ) 30639

39663955

55

=−−−

−−−−−xx

xxxx

16

LOGARITMI

bxba ax log=⇔=

În scrierea balog , a este numit baza logaritmului, 1,0 ≠≠ aa ; b este numărul pt. care se

calculează logaritmul.

Numărul balog reprezintă exponentul puterii la care trebuie ridicată baza a pentru a

obţine numărul b.

Exemple :

25

5

21

9

32

52log

2log

399.213log

82.38log

=⇔=

===

==

xx

calculeazăsenu

căpt

căpt

01log0log 0 =⇔= aa a

na

a

naa

na

a

na

a

1log

21log

log

1log

=

=

=

=

FORMULE UTILE :

• yxyx aaa loglog)(log +=⋅ (logaritmul produsului este suma logaritmilor)

• yxyx

aaa logloglog −= (logaritmul câtului este diferenţa logaritmilor)

• xx aa log1log −=

• Rnxnx an

a ∈∀⋅= ;loglog

17

• Nnn

xx ana ∈∀= ;loglog

• a

xxb

ba log1loglog ⋅= (formula de schimbare a bazei logaritmului aceluiaşi număr)

Consecinţe :

• a

bb

a log1log =

• xxa

xx aa

aaa

loglog1logloglog 11 −=⇒⋅=

• ba ba =log

• ab cc ba loglog =

Ecuaţii elementare :

bxba ax log=⇔=

ca axcx =⇔=log

ccx bxbxcb =⇔=⇔=log

1a). ( ) ( ) 5lg2lg6lg3lg +=++− xx { }4=S

1b). ( ) ( ) 4lg7lg2lg1lg −=++− xx

1. 2loglog2

316 =+ xx xx { }3 44;4=S

Soluţie : condiţii de existenţă 2;161;0 ≠≠> xxx

⇔=+ 2log21log3

216 xx xx

2

2log2

116log

3=+⇔

xxx

x

2)2log1(2

12log41

3=

−+

+⇔

xx

etc.

2. xx xx 8log8log4loglog 16422 +=+

18

Soluţie : condiţii de existenţă 41;

21;0 ≠≠> xxx

( )4

log3log8log41

16log18log8log 2

222

216xxxx +

=+=⋅=

xxxx22

2

42 log1

22log4log

2log14log

+===

xxxx22

2

84 log2

34log8log

4log18log

+===

4log8log8loglog 24162 xxxx −=− xx

xx22

22 log1

2log23

4log3log

+−

+=

+−⇔

( )( )( )xx

xx

22

22

log1log21log

41log3

++−

=− ( ) ( )( ) 0

log1log21

431log

222 =

++

−−⇔xx

x

21log2 =⇒= xx , cealaltă cu notaţia ux =2log implică 0293 2 =++ uu cu soluţiile

6579

2/1±−

=u sau 6579

2/1 2±−

=x

=±−6

579

2;2S

2. a) Să se arate că relaţia yxyx aaa ⋅=+ 222

implică x=y.

b) Să se rezolve ecuaţia : xxxx aaa ⋅=+ 22

3. Calculaţi :

100log...logloglog 243132 ≠>>++++ ++ xxaaaaa n

xxxx n

4. ( ) ( ) 2log1log 312 33 xxx xx =−+−

5. xx x 1002lg =+ { }10=S

a) 2 32 log 3 logx xx x=

b) 2 33 log 2 logx xx x= .

Soluţie :

19

a) ( )33 2 3

2 3

log2 2 log 2 log log 23 log 3

xx

x

x xx

= ⇔ = ⇔ =

b) ( )33 3 3

2 2

log3 3 log 2 log log 22 log 2

xx

x

x xx

= ⇔ = ⇔ =

6. ( ) ( )14log2log22log2 1333 −+=−+ −xx { }4=S

7. ( ) ( ) 2sin2cos2 1264 22

=−++ +−− xxx xx

8. xxx cba +=2 în ipoteza că abc = .

Soluţie : xxx cba +=2 ( ) ( ) ⇒=+−⇔+−= 22 :0220xx

xxxxx abababcab

2

2

2

2

2012012

xnot

x

x

x

x

abzunde

zz

b

a

a

b

==+−⇔=+−

{ }1;2022 −∈⇒=−+⇔ zzz

Soluţia acceptabilă este z=1şi atunci x=0.

8. Fie ( ), , 1,a b c∈ ∞ . Rezolvaţi ecuaţia : ( )2 2 3x x x x x x x xa a b b c a b c+ + = + −

9. Să se arate că dacă yx zy lg11

lg11

10;10 −− == atunci zx lg11

10 −=

10. 412222 278987898

xxx

xxxxxxxx+

=

+−−+−+

+−++−

Soluţie :

Condiţii de existenţă : ( ) ( )

( ) ( ) ( ] [ )+∞∪∞−∈⇒

+∞⊂∞−∈⇔≥+−

+∞+∪−∞−∈⇔≥+−,71,

,71,078

,7474,0982

2

xxxx

xxx.

Cu notaţiile : ( ) ( ) 78;98 22 +−=+−= xxxFxxxE ecuaţia se mai poate scrie :

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2441

22 22:2xxxxx

xFxExFxE ==−+++

(1)

( ) ( ) ( ) ( ) 221

21

21

21 22 =

−+

+

xx

xFxExFxE

20

Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 122

221

21

21

21 22 ==

−=

−⋅

+

xFxExFxExFxExx

Cu notaţia ( ) =xα ( ) ( ) 2

21

21 x

xFxE

+ avem ( ) ( ) ( )( ) 0121 2 =−⇔=+ x

xx α

αα

( ) ( ) 11==⇔

xx

αα ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 1

21

21

21

21 22 =

−=

+

xx

xFxExFxE

0=⇔ x sau ( ) ( ) ( ) ( ) 121

21

21

21

=−=+ xFxExFxE (1).

Relaţiile (1) dau ( ) ( ) 0;2 == xFxE { }7,10782 ∈⇔=+−⇔ xxx

{ }7,1,0=S

11. Să se rezolve ecuaţia

( )42222 22222

xxx

nmnaxxmaxxnaxxmaxx −=

+−−+−+

+−++− ;

unde Rnma ∈,, ; 0≥> nm şi ma ≥ .

Soluţie :

Condiţii de existenţă : ( ] [ )( ] [ )

+∞++∪−−∞−∈⇔≥+−

+∞−+∪−−∞−∈⇔≥+−

,,02

,,02

222

222

naanaaxnaxx

maamaaxmaxx.

Deoarece 0≥> nm intersecţia dă ( ] [ )+∞−+∪−−∞−∈ ;, 22 naanaax

Cu notaţiile : ( ) ( ) naxxxFmaxxxE +−=+−= 2;2 22 ecuaţia se mai poate scrie :

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )24422 :2xxxxx

nmnmnmxFxExFxE −=−−=−++ (1)

( ) ( ) ( ) ( ) 21111 22 =

−−

−+

−+

−

xx

xFnm

xEnm

xFnm

xEnm

(1)

Avem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11111 2222 =

−−

=

−−

=

−−

−⋅

−+

−

xxxx

nmnm

nmxFxExF

nmxE

nmxF

nmxE

nm

21

Ştim că dacă produsul a 2 expresii este constant , atunci suma este minimă când

expresiile sunt egale.

( ) ( ) ( ) ( ) kxFnm

xEnm

xFnm

xEnm

xx

=

−−

−=

−+

−22 1111

0=⇔ x (2) sau ( ) ( ) ( ) ( )xFnm

xEnm

xFnm

xEnm −

−−

=−

+−

1111 (3).

În ambele cazuri (2) şi (3) se obţine k=1 şi valoarea minimă este 2.

Atunci ecuaţia din (1) va avea numai soluţiile obţinute din (2) şi (3).

Relaţiile (3) dau ( ) ( ) 0; =−= xFnmxE )(4;02 22 nanaxx −=∆=+−⇔

Deoarece 0≥∆ ; ecuaţia ( ) 0=xF are 2 soluţii eventual confundate : naax −±= 22/1 .

Întru-cât x=0 verifică ecuaţia avem soluţiile { }naaS −±= 2;0 .

12. ( ) 0;0lg244 22 >=++− xyxyxx

=

21,2S

13. ( ) ( ) ( ) ( ) 2;,1;1...31

2111log...1log1log 32 ≥+∞−∈

++

+

=−+++++++ nx

nnxxx

xxx

n 14.

1,0;043log

61log1log6log 61

2

61

2 ≠>=++++ xxxx

x

x

Soluţie : folosim formula xx aa

loglog 1 −=

xxx 6

16

61 loglog1log =−= −

( ) 6log226log1log

161log

61log 1 xx

x

xx

x

=−⋅−=⋅=

6log2

6log1log 6

xx

x ==

ynot

xx

xx

x ==++++ 6log;043

6log26log2

6log16log 2

2

043221

22 =++++⇒

yy

yy ,etc.

22

=361;

61S

15. 014

2coslog2sinlog4212 =+

++

πxx

++±= πππ karctgkS

31;

4

16. 0log40log14log 43

162

2

=+− xxx xxx

17. axa

axaxax a

xa

xa

xa

a =+++ 2222 loglogloglog

18. ( ) ( )13log279log 12

12 ++=+ −− xx

19. [ ] 3log31log 33 =

++ xx

Soluţie :

[ ] 331log3 =

++⇒= yyyx

Dar avem [ ] [ ] [ ] 1131

31

+=+

+<

+≤ yyyy [ ] 2

31,1 =

+=⇒ yy (altă posibilitate nu există)

deci

∈∩

<+≤

<≤2,

35

3312

21y

y

y

∈⇔<≤⇒ 23

5

3 3,32log35 xx

INECUAŢII LOGARITMICE

Rezolvarea lor se bazează pe faptul că funcţia logaritmică este strict crescătoare dacă

baza este supraunitară şi este strict descrescătoare dacă baza este subunitară.

<<>

><⇔<

10

1;log

aax

aaxcx c

c

a

<<>

><⇔<

10

1;log

xxb

xxbcb c

c

x

<<<

>>⇔

10;

1;

xbx

xbx

c

c

23

1. ( ) 02log 2

21 >+ xx

2. 03

12loglog 22

4 <

+−

+ x

xx

Soluţie : condiţii de existenţă

( )( )

+∞∪−∞−∈⇔

+∞−∈⇔

>+−

>+

tabelulvezix

x

xx

x

,213,

,4

03

12

02

4

( )

+∞∪−−∈⇒ ,,2

13,4x

i)condiţia ( )2,412

40 −−∈⇒<+

< xx

( )3,030

37

023122

3121

312log1log

312loglog 2

242

24

−∞−∈⇔<+⇔>+−

⇔

>−+−

⇔>+−

⇔>+−

⇔<

+−

⇒ ++

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

Intersectând condiţia cu soluţia avem ( )3,4 −−∈x .

ii) condiţia ( )+∞−∈⇒>+ ,212

4 xx

Se obţine ca şi mai sus ( )+∞−∈ ,3x .

Intersectând condiţia cu soluţia avem ( )+∞−∈ ,2x .

Reunind cele două cazuri avem ( ) ( )+∞−∪−−∈ ,23,4x (1).

Intersectând condiţia de existenţă cu soluţia (1) avem ( )

+∞∪−−∈ ,

213,4x q.e.d.

3. ( ) 1,0;0156log 2 ≠><++ aaxxa

4. ( ) ( ) 1,0;34log353log 2 ≠>−<−− aaxxx aa

x ∞− -3 21 ∞+

2x-1 - - - - - - 0 + + +

3+x - - - 0 + + + + +

E + + + / - - 0 + + +

24

5. 1,0;156

54log ≠><−+ xx

xx

x

Soluţie : condiţia de existenţă { }1\56,0

56,

450

5654

..............................0

∈⇒

−∈⇒>

−+>

xxx

xx

x ∞− 45

− 56 ∞+

4x+5 - - - 0 + + + + +

6-5x + + + + 0 - -

E - - - / + + 0 - -

Scriem xx

xxx log

5654log <

−+ şi distingem cazurile :

i) ( )1,0∈x

∞−∈⇒>−⇒>

−+−

⇒>−−+

⇒>−+

⇒56,0560

565250

5654

5654 2

xxxxxx

xxx

xxbază

subunitară

Intersectând soluţiile se obţine Φ=S

ii) ( )+∞∈ ,1x

+∞∈⇒<−⇒<

−+−

⇒<−−+

⇒<−+

⇒ ,560560

565250

5654

5654 2

supxx

xxxx

xxx

xxbaza

raunitară

Intersectând soluţiile se obţine

+∞= ,

56S .

Reunind soluţiile pe cazuri avem

+∞∈ ,

56x (1).

Intersectând soluţia (1) cu condiţia de existenţă avem Φ=S q.e.d.

6. 0loglog >+ xx axa (discuţie după a>0)

7. ( ) 1,0;62log4log ≠>+< aax xaa

25

8. ( ) 7log2333log 9124

3 <+− +xx

9. { }2,1,0;21

254log 2 ±∉≥

−− x

xx

x

Soluţie :

Condiţie de existenţă :

+∞∈⇒>− ,

45054 xx (1).

2222 log

254log

21

254log x

xx

xx

xxx ≥

−−

⇔≥

−−

Deoarece ⇒

+∞∈ ,

45x 12 >x

xxxxxx 254

254 2 −≥−⇔≥

−−

⇒

( ) ( )[ ]

∈−

+∞∪∞−∈−=−

2,0;2

,20,;22 2

2

2

xxx

xxxxx

Rezultă subcazurile :

1) ( ) ( )+∞∪∞−∈ ,20,x

[ ]5;1056542 22 ∈⇒≤+−⇒−≤−⇒ xxxxxx intersectând avem ( ]5;2∈x

2) [ ]2;0∈x

( ] [ )+∞+∪−∞−∈⇒≥−+⇒−≤−⇒ ,1616,052542 22 xxxxxx , intersectând avem

[ ]2,16 −∈x .

Reunim cazurile [ ]5;16 −∈x (2)

Intersectând acum (2) cu condiţia (1) avem [ ] { }2\5;16 −∈x .

10. 4

1loglog 23

29

xx −≥

11. ( ) ( ) 693log33log 1

313 −<−⋅− +xx

12. xx xx 2log)2(log +>+

26

Soluţie : condiţia de existenţă ( ) { }1\,002

0

+∞∈⇔>+

>x

xx (*)

Notez ( ) yxx =+ 2log şi atunci ecuaţia se rescrie

( ) ( )+∞∪−∈⇔>−

⇔>−⇔> ,10,101011 2

yy

yy

yy

y

y ∞− - - -1 - - - 0 + + +1 + + ∞+

y2-1 + + + 0 - - - 0 + + +

E - - - 0 + + / - - 0 + + +

i) ( )1,0∈x (1)

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )221;2121;211

01210211020211

2121log2log1log2log1log

12log02log1101

212

+−∈⇔+−∈−>⇔

<−−−>⇔>−+

−>⇔<>+−−>⇔

<+>+>⇔>+<+<⇔

>+<+<−⇔><<−

xxşix

xxşixx

xxşixsauxx

şix

xxsauxx

xxsauxx

xsauxysauy

baza

subunitarăxxxxx

xx

Intersectând soluţia (2) cu restricţia (1) avem ( )1,0∈x .

ii) ( )+∞∈ ,1x (3)

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )41;,2121,1

01210211020211

2121log2log1log2log1log

12log02log1101

212

−∞−∈⇔+∞+∪−∞−∈−<⇔

>−−−<⇔<−+

−<⇔><+−−<⇔

>+<+<⇔>+<+<⇔

>+<+<−⇔><<−

xxşix

xxşixx

xxşixsauxx

şix

xxsauxx

xxsauxx

xsauxysauy

baza

subunitarăxxxxx

xx

Intersectând soluţia (4) cu restricţia (3) nu avem soluţie în acest caz.

Reunind soluţiile obţinute pe cazuri şi intersectând cu condiţia (*) avem ( )1,0∈x q.e.d.

13. ( ) 1)23(loglog 2

212 ≤+− xx

Soluţie :

27

( ) 1)23(loglog 2

212 ≤+− xx ( ) 2232log)23(loglog 2

22

212 ≥+−⇔≤+−⇔ xxxx

baza

subunitară

( ) ( ) ( )+∞∪∞−∈⇔≥−⇔ ,30,03 xxx q.e.d.

14. ( )1,0,22log2log ∈≥+

++

baba

abba

abba .

15. 0;43loglog1 19831983 >>−+− xxx

16. 0;1,0,1log12

log51

>≠><+

+−

xaaxx aa

Soluţie :

1log12

log51

<+

+− xx aa

01log12

log51

<−+

+−

⇔xx aa

) )( )( )) 01

log12

log51 log5log1

log5log1

<−+

+−

⇔ −+−+

xx

a

x

a

xaa

aa

xx

( )( ) 0log1log5

6log5log2

<+−

+−xx

xx

aa

aa ( )( ) yxxx

xx not

aaa

aa =<+−

−−⇔ log;0

log1log5)3)(log2(log

y ∞− -1 2 3 5 ∞+

(y-2)(y-3) + + + + + 0 - - 0 + + +

(5-y)(y+1) -- - - 0 + + + + + 0 - - - -

E - - - / + + 0 - - 0 + + / - -

( ) ( ) +∞∪∪−∞−∈⇒ ,53,21,y

i) ( )1,0∈a

+∞∈⇒>⇒<⇒−< ,111loglog1log

ax

ax

axx aaa

22log axxa <⇒>

33log axxa >⇒<

28

55log axxa <⇒>

( ) ( )523 ,,,1 aaaa

x ∞−∪∪

+∞∈⇒

ii) ( )+∞∈ ,1a

∈⇒>⇒<⇒−<

ax

ax

axx aaa

1,011loglog1log

22log axxa >⇒>

33log axxa <⇒<

55log axxa >⇒>

( ) ( )+∞∪∪

∈⇒ ,,1,0 532 aaa

ax

17. { }35;0;2135log

2

25,0 ±∉−>− xx

x

Soluţie :

Condiţia de existenţă ( ) ( )( ) 035350351035 22

<+−

⇔<−

⇔−⋅>−

xxx

xx

xx

x ∞− 35− 0 35 ∞+

x2-35 + + + 0 -- - - - 0 + + +

x - - - - - 0 + + + +

E(x) - - - 0 + + + 1 - - - 0 + + +

( ) ( )35,035, ∪−∞−∈⇒ x (1).

023523541log35log

2135log

2221

41

2

41

2

25,0 <−−

⇔<−

⇒

>

−⇒−>

− −

xx

xx

xx

xx baza

subunitară

( ) ⇔>−+

⇔<−−

⇔ −⋅ 03520235 22

1 xxx

xxx

29

x ∞− -7 0 5 ∞+

x2+2x-35 + + + 0 - - - - 0 + + +

x - - - - - 0 + + + +

E(x) - - - 0 + + + / - - - 0 + + +

( ) ( )+∞∪−∈⇒ ,50,7x

Intersectând soluţia obţinută cu condiţia de existenţă (1) avem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )35;535;7,50,735,035, ∪−−=+∞∪−∩∪−∞−∈⇒ x

18. 2;0;16

86log2

2

≠>>+− xxxx

x

Soluţie : condiţii de existenţă ( ) ( ) ( ) ( )+∞∪∈⇔

+∞∪∞−∈⇔>+−≠>

,42,0,42,086

2;02 x

xxxxx (1)

2log

686log

2

2

2

xxxxx >

+−

i) ( )2,0∈x (2) ( )8;108926

86 2)32

∈⇔<+−⇔<+−

⇒ xxxxxxbaza

subunitară

Intersectând soluţia obţinută cu restricţia (2) avem ( ) ( ) ( )2,12,08,1 =∩∈x

ii) ( )+∞∈ ,4x (3) ( ) ( )+∞∪∞−∈⇔>+−⇔>+−

⇒ ,81,08926

86 2)32

xxxxxxbaza

subunitară

Intersectând soluţia obţinută cu restricţia (3) avem ( ) ( ) ( ) ( )+∞=+∞∩+∞∪∞−∈ ,8,4,81,x

Reunind soluţiile obţinute în cazurile i) şi ii) avem soluţia finală : ( ) ( )+∞∪∈ ,82,1x

18. ( )22 2log 1 log 6 2x x x x+ − = −

19. ( )3

34log 1 log 9x x + =

19. ( ) 0;2010lg2 <≤− − xx x

Soluţie :

( ) ⇔≤− − 2010lg2 xx ( ) [ ]4,5020201020 22lg2 −∈⇔≤−+⇔−≤−⇔≤−⇔ − xxxxxx x

Intersectând soluţia obţinută cu condiţia de existenţă avem ( ) ( ) ( )0,50,4,5 −=∞−∩−∈x

30

20. Să se arate că : 56log5log4log3log 5432 >+++

21. ( ) ( )34log353log 2 −<+− xxx aa

22. ( ) 7log2333log 3124

3 <+− +xx

23. 131log

2

31 >

+−

xx

24. 111loglog

212 >

+−

xx

INEGALITĂŢI LOGARITMICE

25. Să se arate că : 23logloglog ≥++ yxz zxyzxy unde ( ) ( )+∞∈∈ ,1,,1,0,, zyxsauzyx .

26.Dacă a,b,c ( )+∞∈ ,1 atunci 12

log2

log2

log ≥

+

+

+ baaccb

cba

27.Dacă a,b,c ( )+∞∈ ,1 atunci 2 2 2log log log 1

log 2log log 2log log 2loga b c

b c c a a b

b c ac a a b b c

+ + ≥+ + +

.

28.Dacă a,b,c ( )+∞∈ ,1 sau a,b,c ( )0,1∈ atunci

( )log log log 4 log log loga b c ab bc cabc ca ab c a b+ + ≥ + +

29. Fie a,b,c ( )+∞∈ ,1 .Aratati ca : 2 2 2log log log 1a b b c c a

a b c+ + ≤ .

30.Să se arate că ( )2 2

log log ; , 1,a b a ba a b b a b a b+ ++ ≤ + ∀ ∈ ∞

31

SISTEME DE ECUAŢII EXPONENŢIALE ŞI LOGARITMICE

a)

=+

=+

−

−−

865

2522

yy

yy

xx

xx

a) 4 2 4 2

2 2 4

2 2 128x y y x

x y+ +

+ =

+ =

b) ( ) 0,;

loglog>

+=−=

yxyyxyx

yx

xx

xy

c)

=+

=+

1716

31loglog22

42

yxy

x

d)

=⋅

−=⋅

1log2log

2log12loglog

2

12

2 x

y

y

xx

Soluţie : prelucrez a doua ecuaţie :

2log2log2log

22log1log2

2log

22log

log2log2log

1log2log

22

2

22

2

xxyy

yyyy

y

xx

y

x===⇒=⋅⇒

=⋅=

=⋅

yx =⇒ care înlocuită în prima ecuaţie dă :

32

2222log2log112log11log

log2log12loglog 2

2

212 =⇒=⇔=⇔−=−⇔−=⇔−=⋅ yy

y

yy yyyyy

Soluţia este 2== yx .

e) ( )

−−

=−++

=−−

yxyyxyx

yx

2621

25010 lg3

{ }30;34=S

f)

=−=+

23232loglog 23

yx

yx

g) 0,;3loglog2

0loglog

22

>

=+=−

yxyx

yx xy

h)

=⋅=−

576234)(log 2

yx

xy

i)

=−=−

0350)5()3(

lglg

5lg3lg

yx

yx

j)

==⋅−

71lg21lg

2 yxyx

k)

⋅==++−

xy

xyxx282

11822

l)

=+−

=

−

−−

1183665

32

23

yxxy

yxyx

m)

==

⋅

+

2413

coscos

2cos2cos

yx

yx

+= ππ kS

43

SISTEME CIRCULARE

1.

=−

=−

55

2

2

xyyx

2.

=+

=+

abxyabyx

2

2

3.

+=

+=

aybxybyaxx

3

3

33

4.

+=

+=

yxyyxx

55

3

3

.

5.

=+

=+

4242

2

2

xyyx

6.

+−=

−=3

3

33

xxyyyx

7.

+−+=

+−+=

545

545

xxy

yyx

Soluţie 1 :

( )

=+++

−+++

+

=−⇔=

+++−

++++−⇔

+++−

−+++

−=−⇔+−+++−+=−⇒

+−+=

+−+=

055

14545

11

00

551

454511

554545554545

545

545

yxxy

yx

yxxyyx

yxxy

xyxyyxyxxyyx

xxy

yyx

a) 5450 +−+=⇒=⇒=− xxxxyyx (1)

Observăm că ecuaţia (1) are soluţia x=4 .Aceasta este unică deoarece dacă raţionalizăm

avem ecuaţia echivalentă 545

40+++

=xx

x unde în stânga avem o funcţie strict

crescătoare iar în dreapta o funcţie strict descrescătoare.Atunci sistemul are unica soluţie

( )4,4 .

8.

=+

=+

axyayx

2

2

9.GM1/1984.

=+

=+

−

−

1

1

1

1

ax

y

ay

x

10.

=−−−=−−−

0112201122

2

2

xyyx (generalizare )

34

11.GM 11/1987.

=−+−=−+−

0101

23

23

yxyxyx

12. Să se rezolve sistemul :

( )( )( )

=+++

=+++=+++

xzzzzyyyyxxx

1lg1lg1lg

2

2

2

Soluţie1 : cu notaţia f:R→R , ( ) ( )1lg 2 +++= xxxxf sistemul devine :

( )( )( )

===

xzfzyfyxf

(1).

Deoarece suma a 2 funcţii strict crescătoare este strict crescătoare şi funcţia compusă a 2

funcţii strict crescătoare este strict crescătoare rezultă că f este strict crescătoare şi

fff este strict crescătoare .

Aplicănd metoda substituţiei se ajunge la ecuaţia ( )( ) xxfff =

( ) ( ) ( )( )

zyxzyxxzy

zfyfxf ==⇒≤≤≤≤

⇔≤≤1

Din ( ) 0;0;01lg 2 ===⇒=+++ zyxxxxx

( )0,0,0=S

Solutie 2 :

( ) ( )

( )( )

2

2

2

lg 1

lg 1

lg 1

notx x x y f x

y y y z

z z z x

+ + + = = + + + = + + + =

unde ( ) ( )

( )

2

2

2

: , lg 1

1 1 ln10 0,1 ln10

f R R f x x x x

xf x x Rx

→ = + + +

+ + ⋅′ = > ∀ ∈+ ⋅

x −∞ 0 +∞

f’(x) + + + + +

f(x) −∞ 0 +∞

35

Functia data transforma intervalul [ )0,+∞ in el insusi , iar f este crescatoare pe acest

interval si putem aplica T1 :

( ) ( ) ( ) ( )3 2 2lg 1 lg 1 0 0f x x f x x x x x x x x x= ⇔ = ⇔ + + + = ⇔ + + = ⇔ = cu ( )0,0,0S =

13. Fiind date numerele [ ]1,1,, −∈cba rezolvaţi sistemul :

=−+−

=−+−

=−+−

czxxzbyzzyaxyyx

22

22

22

111111

Soluţie : condiţii de existenţă : [ ]1,1,, −∈zyx

Avem

( )( )( )

( ) cbazyx

cxzbzyayx

cxzbzyayx

arcsinarcsinarcsin2...........................................

arcsinarcsinarcsin

arcsinarcsinarcsin

++=++

=+=+=+

⇔

=+=+=+

2arcsinarcsinarcsin acbz −+

=⇒ şi analoagele. q.e.d.

14.

=+

=+=+

xxzzzzyyyyxx

2

2

2

222

( olimpiadă Germania 1980 ) .

15.

=−+−=−+−=−+−

xzzzzyyyyxxx

287228722872

23

23

23

( Matematika v şkole 1985)

16.GM.4/1991.

+=+=

+=

2

2

2

121212

xxzzzyyyx

.

Solutie :

( )( )( )

( ) 2: , 2 1x f yy f z unde f R R f x x xz f x

= = → = + =

.

36

Avem ( )2

2

1 2 0,1

xf x x Rx

+′ = > ∀ ∈+

de unde rezulta ca functia f este strict crescatoare si pe

baza teoremei 1 avem ( ) ( ) ( )3 2 21 1 1 0 0f a a f a a a a a a a a= ⇔ = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ =

deci unica solutie a sistemului este ( )0,0,0

17.( )( )( )

+=+=+=

xzzzyyyxx

121212

22

22

22

Solutie :

( )

2

2

2

2

2

2

21

21

21

zxz

yzy

xy f xx

= +

= +

= =

+

unde ( )

( )( )

2

2 2

22

2 1: , 2 11 1

4

1

xf R R f xx x

xf xx

→ = = − + +

′ =+

x −∞ 0 1 +∞

f’(x) - - - - 0 + + +

f(x) 2 0 1 2

Avem ( )( ) ( ) ( )[ )( ) [ ) ( )

,0 0,2 1

0, 0,2 2

f

f

−∞ =

+∞ =.

In cazul (1) intervalele sunt disjuncte deci nu avem solutie iar in cazul (2) functia

transforma intervalul [0,1] in el insusi , iar f este crescatoare pe acest interval si putem

aplica T1 : ( ) ( ) ( )232

2 1 0 11

af a a f a a a a a aa

= ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =+

cu ( )1,1,1S =

18.

=−+=−+=−+

020202

255

255

255

zzxxyyzzxxyy

( Bulgaria 1987 ).

37

Solutie :

( )( )( )

( ) ( )( )

42 555

22 22

2 1, 21 11

y f xx x xz f y unde f x f xx xxx f z

− =− ′= = = + + + =

x −∞ -1 0 1 +∞

f’(x) - - - 0 + + 0 - -

f(x) 0 -1 0 1 0

Functia f transforma intervalul [ ]1,1− in el insusi si este crescatoare pe acest interval de

unde cu teorema 1 avem :

( ) ( ) ( )( ) { }23 2 25

2

2 1 1 0 1,0,11

af a a f a a a a a a aa

= ⇔ = ⇔ = ⇔ − + = ⇔ ∈ −+

cu

( ) ( ) ( ){ }0,0,0 , 1, 1, 1 , 1,1,1S = − − − .

19.

=−+−=−+−=−+−

027279027279027279

23

23

23

zzxyyzxxy

( Matematika v şkole 1980).

Solutie :

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )( )

333

33 33 33 3

223333

39 2 33 : 3 ,

3 3 33

noty x x f x

xz y y unde f R R f x x x f xx x

x z z

= − − = − ′= − − → = − − = − + = − −

x −∞ 32

3 +∞

f’(x) - - - - 0 + + +

f(x) +∞

33 22

3 +∞

38

Functia f transforma intervalul [ )3,+∞ in el insusi si este crescatoare pe acest interval de

unde cu teorema 1 avem : ( ) ( ) ( )33 33 3 3f a a f a a a a a a= ⇔ = ⇔ − − = ⇔ = cu

( )3,3,3S = .

20.RMT1/1981.

=−+−=−+−=−+−

033033033

3223

3223

3223

ayaayzazaazyaxaaxx

Solutie :

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )( )

333

3 33 3 3 2 2 33 3

333

3

22 2 33

: 3 3 ,

3 23 3 3

noty x x a f x

z y y a unde f R R f x a x a ax a x a

x z z a

a a x af xax a x a

= − − = = − − → = − − = − + = − −

−′ =+ −

x −∞ 2a a +∞

f’(x) - - - - 0 + + +

f(x) +∞

3 22

a a +∞

Functia f transforma intervalul [ ),a +∞ in el insusi si este crescatoare pe acest interval de

unde cu teorema 1 avem : ( ) ( ) ( )33 33f y y f y y y y a y y a= ⇔ = ⇔ − − = ⇔ = cu

( ), ,S a a a= .

21.

=−=−=−

cbxazcbzaycbyax

2

2

2

unde .0,0,0 >>> cba

Solutie : se va rezolva mai jos aceasta problema generalizata.

39

22.

=+

=+

=+

ax

z

az

y

ay

x

1

1

1

( olimpiadă Olanda )

Solutie :

( )1

1

1

notx a f y

y

y az

z ax

= − = = − = −

unde ( )

( ) 2

1: ,

1 0

f R R f x ax

f xx

→ = −

′ = > deci f crescatoare pe R.

x −∞ a

2 42

a a− − 2 4

2a a+ − 0

( )f x′ + + + + + + + +

( )f x a 1a

a−

2 42

a a− − 2 4

2a a+ − +∞ −∞

Avem ( )( ) ( ) ( )[ )( ) ( ) ( )

,0 , 1

0, , 2

f a

f a

−∞ = +∞

+∞ = −∞. Distingem cazurile :

i) a<0 ; in cazul (2) intervalele sunt disjuncte deci nu avem solutie iar in cazul (1)

intersectia ne da intervalul ( ),0a . Caut un interval care sa fie transformat prin functia f in

acelasi interval , deci caut solutiile ecuatiei f(x)=x .Acestea sunt 2

1/24

2a ax ± −

= .

Cand a<0 avem ( )

( ) ( )

2 2 2

22

2

22 2 2 2 2

4 4 02 2

4 42

4 02

4 4 1 4 42

a a a a

a a a a a A

a a

a a a a a a a a a A

+ − − −= <

+ −> ⇔ − >

− −<

− −> ⇔ − − > ⋅ − ⇒ − < − ↑ ⇒ − <

40

Prin urmare functia f transforma intervalul 2 24 4,

2 2a a a a − − + −

in el insusi.

Pe acest interval functia f fiind crescatoare avem ( ) ( )21

3 42

T a af x x f x x x ± − = ⇔ = ⇔ ∈

.

2 2 24 4 4, ,2 2 2

a a a a a aS ± − ± − ± − =

ii) Daca a>0 se gasesc aceleasi solutii.

23. GM.2/1991

−=−

−=−−=−

32

32

32

431431431

xxzzzyyyx

24. GM.10/1998.( )( )( )

+=++=++=+

xzzzxzyyyzxyxxy

131313

3

3

3

25. RMT2/1985. ( )( )( )( )( )( )

=++=++=++

yzzxyyzxx

912291229122

.

Solutie :

( )( ) ( )

( )( )

( )( )

1 2 2 19

1 2 2 191 2 2 19

notx x z f x

y y x

z z y

+ + = = + + = + + =

unde ( ) ( )( )

( )

1: , 2 2 19

4 59

f R R f x x x

xf x

→ = + +

+′ =

x −∞ 54

− 1 +∞

f’(x) - - - 0 + + + +

f(x) +∞ 18

− 1 +∞

41

Observ ca ( )

[ )( ) [ ) ( )

5 1, , 14 8

1, 1, 2

f

f

−∞ − = − +∞ +∞ = +∞

.In cazul (1) intervalele sunt disjuncte deci nu

putem avea solutie iar in cazul (2) f find crescatoare cu teorema 1 avem

( ) ( )1

3 1T

f x x f x x x= ⇔ = ⇔ = si solutia sistemului ( )1,1,1 .

26.GM 9-10/1982.

=−=−=−

cxbazczbaycybax

27. Să se rezolve sistemul :

+=

+=

+=

yyz

zzx

xxy

2

2

2

Soluţie 1 :

cu notaţia f:R*→R , ( )x

xxf 2+= sistemul devine :

( )( )( )

===

xzfzyfyxf

(1).

i) Pres că ( ) ( )

00023

>⇒>⇒> yzx . Observ că dacă 0>x avem ( ) 222=⋅≥+=

xx

xxxf

medii.

deci 2,2,2 ≥≥≥ zyx (4) .

Din

( ) ( )23

2321112231112

2

2

2

44=⋅≤

++=++≤⇒

++=++⇒

+=

+=

+=

zyxzyx

zyxzyx

yyz

zzx

xxy

( ) ( ) ( ) 2022223000

===⇒=−+−+−⇒=++⇒≥≥≥

zyxzyxzyx

este unica soluţie .

42

ii) Pres . că ( ) ( )

00023

<⇒<⇒< yzx .Observ că sistemul nu se schimbă dacă

zzyyxx −→−→−→ , deci dacă are soluţia ( )aaa ,, atunci are şi soluţia ( )aaa −−− ,, .

( ) ( ){ }2,2,2;2,2,2 −−−=S .

Soluţie 2 : ecuaţia y

yx 22 += privită în y are forma ( )24022 22 −=∆=+− xxyy . Ca să

avem soluţii trebuie ca ( ] [ )+∞∪−∞−∈⇔≥∆ ,22,0 x şi 222/1 −±= xxy

a) xyxxyxxy ≥⇒≥−=−⇒−+= 022 22 , iar din celelalte ecuaţii se obţine

zxyz ≥≥ ; deci 2===⇒≥≥≥ zyxyzxy

b) xyxxyxxy ≤⇒≤−−=−⇒−−= 022 22 , iar din celelalte ecuaţii se obţine

zxyz ≤≤ ; deci 2−===⇒≤≤≤ zyxyzxy .

Obs :

i) un sistem de forma (1) se numeşte sistem circular de gradul 3 .

ii) Dacă permutăm circular necunoscutele x,y,z ( xzyx →→→ ) sistemul nu se

schimbă.

iii) Un sistem circular de gradul 2 nu este altceva decât un sistem simetric.

iv) Un sistem circular de gradul n are forma generală :

( )( )

( )( )

==

==

−

1

1

32

21

...................

xfxxfx

xfxxfx

n

nn

(5)

v) Un sistem circular dacă admite soluţie atunci aceasta este de forma ( )aaa ,, ,

Ra∈ .

vi) Cu metoda substituţiei rezolvarea sistemului (5) se reduce la a rezolva ecuaţia :

( ) ( )( ) ( )1321 ...... xfffxffxfxfunctiin

====

−

( )22 xfx n=

43

…………….

( )nn

n xfx =

Deci un sistem circular admite numai soluţii de forma ( )aaa ,...,, unde a este soluţie a

ecuaţiei ( )afa n= .

vii) În anumite cazuri ecuaţia ( )afa n= este imposibil de rezolvat de exemplu în

cazul sistemului (27) avem ( ) ( )

+=→+∞

xxxfRf 2

21,,0: şi de rezolvat

ecuaţia ( )afa 3= .

Definiţie : fie AAf →: unde RA⊆ este o mulţime închisă .Un punct al mulţimii A se

numeşte punct fix dacă este soluţie a ecuaţiei ( ) xxf = .

Obs : a este punct fix pentru funcţia f dacă este abscisa unui punct de intersecţie a

graficului funcţiei f cu prima bisectoare ( o funcţie dată poate să nu aibă puncte fixe sau

să aibă unul sau mai multe puncte fixe ).Vom nota cu Ff mulţimea tuturor punctelor fixe

ale funcţiei f .

Teoremă 1 : Dacă AAf →: unde RA⊆ este o mulţime închisă şi { }aFf = iar f strict

crescătoare atunci { }aF nf = .

Exemplu 27 : pt . funcţia ( )

+=→

xxxfAAf 2

21,: avem ( ] [ )+∞∪−∞−= ,22,Im f .

Rezultă că A este închisă faţă de funcţia f dacă ]( [ )+∞∪−∞−= ,22,A .Studiem dacă f

crescătoare . Avem ( ) Axx

xxf ∈>−

=′ ,02

22

2

Deci f strict crescătoare pe A . Atunci ecuaţia ( ) aaf =3 este echivalentă cu

( ) Aaaaa

aaaf ∈±=⇔=⇔=

+⇔= 222

21 2 .Q.E.D.

Obs : dacă f strict descrescătoare atunci teorema nu mai are loc.

Contraexemplu : ( ) { } ( ) ( )( ) ( ) xxxffxfFxxfRRf f =−−==⇒=⇒−=→ 20,: deci

RFf =2 .În acest caz vom utiliza un alt criteriu dat de teorema de mai jos.

44

Teoremă 2 : dacă AAf →: unde RA⊆ este o mulţime închisă are proprietatea că

( ) ( ) Ayxyxcyfxf ∈∀−≤− ,; unde 10 <≤ c atunci { } ∗∈∀== NnaFF nff , .

Exemplu7: avem [ ) ( )545

40545,,5:+++

=+−+=+∞−xx

xxxff deci este

descrescătoare şi vom aplica teorema 2. Avem ( )+∞= ,0Im f deci ( )+∞= ,0A

( ) ( ) ( )

yx

yxyxyx

yxyx

yxyx

yx

yxyxyyxxyfxf

−≤

+−≤

++++

+++−≤

+++−

−+++

−=

=+−+−+−+=+++−+−+=−

≥≥≥≥

532

521

4521

551

45451

554545

554545545545

554545

Deci ( ) ( ) Ayxyxcyfxf ∈∀−≤− ,; şi atunci ecuaţia ( )( ) ( ) xxfxxff =⇔=

28. GM 11-12/1986.

( )( )( )( )

=−=−=−=−

12121212

axuauzazyayx

Solutie :

( ) ( )

( )

( )

( )

{ } ( ) ( ) ( )( )2

12

12 1 1: , 0,

1 2 22

12

notx f y

y a

yz a

unde f R a R f x f x x Rx a x az

u a

ux a

∗

= = −

= − ′− → = = − < ∀ ∈ − − = − = −

x −∞

2 12

a a− + a 2 1

2a a+ + +∞

f’(x) - - - - -

f(x) 0

2 12

a a− + −∞ +∞ 2 1

2a a+ + 0

45

29. GM.10/1991

=++=++=++=++

xuuuzzzyyyxx

45454545

2

2

2

2

.

Solutie :

( )( )( )( )

x f uu f zz f yy f x

= = = =

unde ( )( )

2: , 5 4

2 5

f R R f x x x

f x x

→ = + +

′ = +

x −∞ 52

− +∞

f’(x) - - - 0 + + +

f(x) +∞ 94

− +∞

Avem ( )

( )

5 9, , 12 4

5 9, , 22 4

f

f

−∞ − = − +∞ − +∞ = − +∞

In cazul (1) intervalele sunt disjuncte deci nu putem avea solutie.

In cazul (2) consider restrictia lui f pe care o notez tot cu

( ) 29 9: , , , 5 44 4

f f x x x − +∞ → − +∞ = + + .Deoarece f crescatoare pe 9 ,

4 − +∞

avem cu

T.1 ( ) ( ) ( ) ( )24 92 0 2 , 2, 2, 24

f a a f a a a a S = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = − ∈ − +∞ ⇒ = − − − .

30. RMT1/1990.

=+=+=+=+

xuuzzyyx

21212121

2

2

2

2

.

46

31. GM.7/1991

=−=−

=−=−

−

cbxaxcbxax

cbxaxcbxax

n

nn21

21

232

221

......................... a,b,c>0.

Solutie : din prima ecuatie a sistemului rezulta

( ) ( ) ( )2 2 2: ,

notc by c by bx f y unde f R R f y f y ya a a+ + ′= = → = = .

x −∞ 0

2 42

a a bcb

− − 2 4

2a a bc

b+ − +∞

f’(x) - - - 0 + + + + + +

f(x) +∞ c

a

2 42

a a bcb

− − 2 4

2a a bc

b+ − +∞

Avem ( )( ) ( )

[ )( ) ( )

,0 , 1

0, , 2

cfacfa

−∞ = +∞ +∞ = +∞

In cazul (1) intervalele sunt disjuncte deci nu putem avea solutie.

In cazul (2) consider restrictia lui f pe care o notez tot cu f

[ ) ( )2

: 0, , ,c c byf f ya a

+ +∞ → +∞ = .Deoarece f crescatoare pe [ )0,+∞ teorema 1 cere

solutiile ecuatiei ( )2

2 20 4c bxf x x x bx ax c a bca+

= ⇔ = ⇔ − + = ∆ = − .Disting cazurile

i) 2 4a bc< ⇒ ecuatia nu are solutii deci sistemul nu are solutii.

ii) 2 4a bc= ⇒ ecuatia are o solutie , ,2 2 2 2a a a ax Sb b b b

= ⇒ =

iii) 2

21/2

442

a a bca bc xb

± −> ⇒ =

Solutiile sunt amandoua pozitive.

47

Inseamna ca functia f transforma intervalul 2 24 4,

2 2a a bc a a bc

b b

− − + −

in el insusi si cu

T1 pe acest interval se obtin solutiile date tocmai de capetele intervalului.

2 2 24 4 4, ,2 2 2

a a bc a a bc a a bcSb b b

± − ± − ± − = .

32. GM.5/1992

−=

−=−=

12....................

1212

21

232

221

xx

xxxx

n

.

Solutie :

( )( )

( )

( )

1 2

2 3 2

1

: , 2 1....................

n

x f xx f x

unde f R R f x x

x f x

= = → = − =

( ) 4f x x′ =

x −∞ -1 12

− 0 1 +∞

f’(x) - - - - - 0 + + + +

f(x) +∞ 1 12

− -1 1 +∞

Functia f transforma intervalul [ )1,+∞ in el insusi , aici functia este crescatoare si cu

teorema 1 avem ( ) ( )3 2 12 1 0 ,12

f a a f a a a a a = ⇔ = ⇔ − − = ⇔ ∈ −

convine numai

( )1,1,1S = .

Functia f transforma intervalul 1 ,12

− in el insusi dar are monotonie oscilanta .

Voi aplica teorema 1 separat pe intervalele [ ]1 ,0 0,12

si − .

Avem 1 1: ,0 , 12 2

f − → − − si cu T1

48

( ) ( )3 2 12 1 02

f a a f a a a a a= ⇔ = ⇔ − − = ⇔ = − si obtin 1 1 1, ,2 2 2

S = − − −

.

Apoi [ ] [ ]: 0,1 1,1f → − si cu T1

( ) ( )3 22 1 0 1f a a f a a a a a= ⇔ = ⇔ − − = ⇔ = si obtin ( )1,1,1S = .

33.Determinaţi soluţiile strict pozitive ale sistemului :

=−

=−=−

12

322

221

1..................

11

xx

xxxx

n

.

Solutie :

( )( )

( )( )

( ) ( )

2 121 2

3 2222 3

121

1

11

................. : , 1 , 2..................1 n n

n

n

x f xx x x f xx x

unde f R R f x x f x xx f x

x xx f x

−

= − = = − = ′⇔ → = − = −

= − = =

x −∞ 1 5

2− − 1 5

2− 0 1 +∞

f’(x) + + + 0 - - - - -

f(x) −∞ 1 5

2− − 1 5

2− 1 0 −∞

Functia f transforma intervalul 1 5 1 5,2 2

− − −

in el insusi si f este crescatoare pe acest

interval , deci cu teorema 1 avem ( ) ( ) 2 1 512

nf a a f a a a a a − ± = ⇔ = ⇔ − = ⇔ ∈

cu

solutiile 1 5 1 5 1 5, ,...,2 2 2

S − ± − ± − ± =

49

34.

=+

=+

=+

1

32

2

21

1

22.........................

22

22

xx

x

xx

x

xx

x

nn

35.

+=

+=

+=

+=

−−

nn

nnn

xaxx

xaxx

xaxx

xaxx

1

11

223

112

2

2

...................

2

2

Solutie :

( )2 1 11

3 22

11

1

122

122

...................

122

122

not

n nn

nn

ax x f xx

ax xx

ax xx

ax xx

−−

= + =

= + = +

= +

unde ( )

( )2

2

1: ,2

2

af R R f x xx

x af x cu radacinile ax

→ = +

−′ = ±

x −∞ a− 0 a +∞

f’(x) + + + 0 - - - - - - 0 + + +

f(x) −∞ a− −∞ +∞ a +∞

Avem

(( ) ( ( )

( )( ) ( ( )

( )( ) ( ( )

( )( ) ( ) ( )

, , 1

,0 , 2

0, , 3

, , 4

f a a

f a a

f a a

f a a

−∞ = −∞

− = −∞ −

= +∞

+∞ = +∞

50

Observ ca in cazurile (2) si (3) intervalele sunt disjuncte , deci nu putem avea solutie.

In cazul (1) avem

( ) ( ) ( )21

2,2

Tn x af I I f crescatoare f x x f x x x x a x a

x+

= − ⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Obtinem solutia ( ), ,a a a .

In cazul (4) avem

( ) ( ) ( )21

2,2

Tn x af I I f crescatoare f x x f x x x x a x a

x+

= − ⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = −

Obtinem solutia ( ), ,a a a− − −

5. Să se rezolve în numere reale sistemul : 23 2

23 2

23 2

x yy

y zz

z xx

= +

= + = +

36.

21 2 122 3 2

21

1 2 21 2 2

..................1 2 2n n

x x xx x x

x x x

+ = ≥ + = ≥ + = ≥

37. GM.6/1987.Fie , 2 , ,n N n a b R∈ ≥ ∈ . Să se arate că sistemul de inecuaţii

+≤+≤

+≤+≤

−

baxxbaxx

baxxbaxx

n

nn

12

21

322

221

........................ are soluţie unică în Rn cba =+⇔ 42 .

38.

=+=+=+

zxz

yzy

xyx

543543543

39. ( )( )( )

3 4 5 13 4 5 23 4 5 3

x y z

z x y

y z x

+ = + = + =

.

51

Solutie : putem presupune fara a restrange generalitatea ca x y z≤ ≤ (4). ( ) ( )3 1

5 3 4 3 4 5x y z x y zx y z x z≤ ≤ ⇒ = + ≥ + = ⇒ ≥ (5). Din (4) si (5) rezulta ca x y z= = iar din (1)

avem 3 4 5x x x+ = cu solutia 2 si pentru sistem avem solutia unica (2,2,2).

40. ( )( )( )

3 4 5 5 13 4 5 5 23 4 5 5 3

x x x x

y y y y

z z z z

yxx

+ + = ⋅ + + = ⋅ + + = ⋅

39.( )

( ) ( )( )

+−

=−

=+−

x

xx

x

yyy

y

1181

1612

322

PROBLEME DIVERSE

1. Fie numerele 521 ,...,, aaa în progresie geometrică astfel încât suma logaritmilor în baza

3 a acestor numere să fie egală cu 2. Să se găsească aceste numere ştiind că 2log3

53 −=

aa .

ECUATII LOGARITMICE

Documents

Transcript of ECUATII LOGARITMICE