· Web view- un sistem de ecuatii liniare , cu n ecuatii si n necunoscute , care se rezolva...

Clasa a XI-a - 1 Elemente de algebra superioara

Notiunea de MATRICE .

- Vom nota cu C , asa cum am obisnuit , multimea numerelor complexe ;- Fie M = { 1 , 2 , ... , m } , N = { 1 , 2 , ... , n } multimea primelor m , respectiv n , numere

naturale nenule ;- Vom numi matrice de tipul ( m , n ) cu elemente din multimea C , orice functie :

si matricea A sub forma :

adica printr-un tablou cu m linii si n coloane ce cuprinde valorile functiei A .

- in loc de matrice de tipul (m,n) se mai spune matrice cu m linii si n coloane .

- Numerele se numesc elementele matricei A .

- De multe ori pentru matricea A se mai foloseste notatia prescurtata :

sau

- Se observa ca o matrice de tipul (m,n) are elemente .

- Vom nota cu multimea tuturor matricilor de tipul (m,n) avand elementele

numere complexe ( ne referim la ) .

- Alte multimi de matrice : ; ; .

Elemente de algebra superioara


Cazuri particulare ale MATRICILOR

I. Daca n = 1 , o matrice de tipul (m , 1) se numeste matrice coloanamatrice coloana si este de forma :

.

II. Daca m = 1 , o matrice de tipul (1 , n) se numeste matrice liniematrice linie si este de forma :

.

III. Daca m = n , o matrice de tipul (n , n) se numeste matrice patratica de ordinul nmatrice patratica de ordinul n si este de forma :

- Sistemul ordonat de elemente se numeste diagonala diagonala

principalaprincipala a matricei A ;

- Sistemul ordonat de elemente se numeste diagonala diagonala

secundarasecundara a matricei A ;

- Vom nota cu multimea tuturor matricilor patratice de ordinul n cu elemente

complexe .

Exemple de matrici patratice :

- matricea :

unde - diagonala principala iar - diagonala secundara



- matricea :

unde - este diagonala principala iar - este diagonala

secundara .s.a.m.d.

Egalitatea a doua MATRICE

- Fie A si B doua matrice de tipul (m , n) : , adica

si

- Matricile A si B sunt egalesunt egale daca si numai daca sunt egale ca si functii ;

- Deci A = B daca si numai daca oricare ar fi si , ;

- Presupunand ca :

si

atunci A = B daca si numai daca : oricare ar fi si .

- Ca si concluzie generala doua matrice A si B de tipul (m , n) sunt egale daca fiecare element corespunzator liniei si coloane din matricea A este egal cu fiecare element corespunzator aceleiasi linii si coloane din matricea B .

Exemplu :

- Fie matricile : si

cele doua matrici vor fi egale ( A = B ) daca si numai daca :



Operatii cu MATRICE

Adunarea MATRICILOR

- Fie A si B doua matrice de tipul (m , n) : , adica

si

- Se numeste suma matricilor A si B , matricea unde :

oricare ar fi si .

- Matricea C se numeste suma dintre matricile A si B si se noteaza :

C = A + B

- Doua matrice se pot aduna , daca si numai daca sunt de acelasi tip .

Proprietatile adunarii matricilormatricilor :

Pentru orice matrice adunarea matricilor are proprietatile:

1) Este operatie interna : ;



2) Asociativa : , ;

3) Comutativa : , ;

4) Are ca element neutru matricea nula : (care are toate elementele egale cu zero)

,

5) Are element simetric . Orice matrice are o opusa si :

Inmultirea MATRICILOR cu scalari .

Fie matricea si . Numim produsul dintre scalarul si matricea A , matriceamatricea :

Exemplu :

1. Fie si . Vom avea

Proprietatile inmultirii matricilormatricilor cu scalaricu scalari:

1) Daca , atunci : ;

2) Daca si atunci ;

3) Daca si atunci ;



4) Daca si atunci ;

5) Daca , si atunci ;

6) Daca , atunci .

Inmultirea MATRICILOR .

Fie o matrice de tipul (m , n) si o matrice de tipul (n , p) ;

Se numeste produsul matricilorprodusul matricilor A si B ( in aceasta ordine ) matricea :

de tipul (m , p)

unde : oricare ar fi ,

Matricea produs : se noteaza prin : in aceasta ordine .

Operatia prin care oricarui element si oricarui se

asociaza produsul lor se numeste inmultireinmultire .

Sa explicitam mai pe larg cum se inmultesc doua matrice .

Fie si

Daca :

este produsul lor atunci :

Elementele din prima linie a matricei C vor fi :Elemente de algebra superioara


; (numit produsul dintre linia 1 din A si coloana 1 din

B)


B) ........................................................... ;

; (numit produsul dintre linia 1 din A si coloana p

din B)

Elementele liniei a doua din matricea C se obtin inmultind linia 2 a matricei A , pe rand , cu coloanele matricei B , adica :


B)

; (numit produsul dintre linia 2 din A si coloana p

din B)

In general , elementele din linia i a matricei C se obtin inmultind pe rand linia i a matricei A , cu coloanele matricei B .

Observatii necesare intelegerii inmultirii matricilor :

1) Trebuie sa retinem ca are sens sa vorbim de produsul matricei A cu matricea B (in aceasta ordine) numai daca numarul coloanelor matricei A este egal cu numarul liniilor matricei B .

2) Trebuie sa subliniem ca inmultirea matricilor nu este in general o operatie definite pe multimea tuturor matricilor , asa cum rezulta si din observatia 1). Ea este asemantoare compunerii functiilor .

3) Daca si , atunci are sens sa facem produsul

si in acest caz inmultirea matricilor este o operatie definita pe multimea

a matricilor . Trebuie sa observam ca in cazul matricilor patratice (de ordinul n) are sens

sa facem atat produsul AB cat si produsul BA .

Exemplu :- Fie , .

- Cum numarul coloanelor matricei A este egal cu numarul liniilor matricei B , adica cum A este de tipul (2 , 3) si B este de tipul (3 , 4) , are sens sa facem produsul lor care va fi o matrice de tipul (2 , 4) .



Sa presupunem ca , deci C este de forma : , unde :

(am inmultit prima linie a

matricei A cu prima coloana a matricei B ) ;

( am inmultit prima linie a matricei

A cu a doua coloana a matricei B ) ;

( am inmultit prima linie a

matricei A cu a treia coloana a matricei B ) ;

( am inmultit prima linie a

matricei A cu coloana a patra a matricei B ) ;

( am inmultit a doa limie a

matricei A cu prima coloana a matricei B ) ;

( am inmultit a doua linie a

matricei A cu a doua coloana a matricei B ) ;

(am inmultit a doua linie a

maricei A cu a treia coloana a matricei B ) ;

( am inmultit a doua

linie a matricei A cu a patra coloana a matricei B ) ;

Deci .

Exemplu :- Fie si .

Cum numarul coloanelor matricii A nu este egal cu numarul liniilor matricei B , adica A este de

tipul (2 , 4) si B este de tipul (3 , 3) , nu are sens sa facem produsulnu are sens sa facem produsul .

Proprietatile inmultirii matricilormatricilor :

1) Inmultirea este “ asociativa “. Daca , si

, Atunci are loc egalitatea : .

2) Inmultirea este distributiva la stanga si fata de adunare in sensul urmator :



daca , si atunci :

3) Inmultirea este distributiva la dreapta fata de adunare in sensul urmator :

daca , si atunci :

4) In multimea (multimea matricilor patratice de ordinul n ) exista un element neutru

fata de inmultire si anume : matricea patratica de ordinul n : care are

pe diagonala principala numerele 1 iar restul elementelor sunt 0 .

Are proprietatea ca oricare ar fi : .

Exemplu :

etc.

5) In general , adica , inmultirea matricilor nu este comutativainmultirea matricilor nu este comutativa !!!!!!!!

Ridicarea la putere a MATRICILOR patratice.

Definitie :

Daca , definim :

- relatia : ;

si

relatia : , oricare ar fi



Observam ca :

Adica :

.....................

.

Proprietati :

Fie doua matrici care comuta intre ele : .

Relatiile urmatoare se demonstreaza ca si relatiile asemanatoare cu numere :

a) , .

b) ,

.

c) ,

.

d) , (binomul lui Newton) .

Transpusa unei MATRICE

- Fie o matrice de tipul (m , n) ;

- Transpusa matricei A este matricea ; si de tip (n , m)



unde : .

- Se observa ca este o matrice de tipul (n , m) si se obtine din matricea A luand liniile , respectiv coloanele lui A drept coloane , respectiv linii , pentru , mai precis prima linie a matricei este prima coloana a matricei A , a doua linie a matricei este a doua coloana a lui A s.a.m.d. .

Exemple :

- Fie .

- Fie .

Proprietatile transpuseitranspusei :

1) Daca , atunci : .

2) Daca si , atunci : .

3) Daca si , atunci : .

ExercitiulExercitiul nr 1 : nr 1 :



Fie ; . Sa se calculeze :


Fie ; . Sa se calculeze .


Fie matricile si . Sa se calculeze matricea :


Calculeaza : .


Fie : si . Determina numerele x si y stiind ca

.


Fie , . Calculeaza : a). b). .


Fie , si .

Afla stiind ca .


Determina stiind ca : .




Determina stiind ca : .


Determina daca :

.


Determina matricea daca : .


Fie matricele : , , . Calculeaza :

a). ; b). ; c). .


Determina matricele X si Y stiind ca : .


Determina matricele A si B stiind ca : .


Determina matricile stiind ca :



.


Sa se rezolve sistemele matriciale :

a). b). ;

c). d). .


Sa se rezolve sistemele :

a). ;

b). .


Fie matricile si .

Arata ca : .


Fie ; . Sa se calculeze :

a). ; ; ;

b). si ;

c). .




Sa se calculeze :

a). ;

b). ;

c). .


Fie . Daca : sa se calculeze .


Fie matricile , . Daca : , sa se

calculeze : si .


Daca , atunci A verifica ecuatia :

.


Daca . Sa se determine unde .




Fie . Daca sa se calculeze .


In se considera matricea . Arata ca :

a). , ;

b), .


Sa se determine daca se cunoaste ca avem egalitatea :

.


Sa se determine matricea X din ecuatia :

.


Sa se determine x si y , daca avem :

.


Fie matricea . Determina .

ExercitiulExercitiul nr 31 : nr 31 : Elemente de algebra superioara


Sa se determine puterea n a matricilor :

a). b). c).

d). e). f).

g). h). .



a). b). c). .

ExercitiulExercitiul nr 33 : nr 33 : Sa se determine puterea n a matricilor :

a). b). c). d). .



a). b). c).

d). e). f).

g). h). i).

j). k). l). .




Fie matricea : . Sa se calculeze , .


Fie matricea : . Sa se calculeze : .


Sa se gaseasca matricea astfel incat .


Fie . Daca sa se determine astfel incat :

.

Definitia determinantuluideterminantului :



- Consideram matricea patratica , .

- Numarul , unde este multimea tuturor

permutarilor de grad si este signatura permutarii se numeste determinantul matricei A

sau , mai simplu , determinant de ordinul si se noteaza de obicei astfel :

.

- Produsul se numeste termen al determinantuluitermen al determinantului de ordinul . .

- Se obisnuieste sa se spuna despre elementele , liniile si coloanele matricei A ca sunt elementele , liniile , respectiv coloanele determinantului .

- Uneori numarul se mai noteaza prescurtatse mai noteaza prescurtat si sau .

Observatii :

Notiunea de determinant al unei matrice are sens numai pentruare sens numai pentru matricile patratice .

Este deosebire intre matrice si determinantul sau : matricea este o functiematricea este o functie , iar determinantul determinantul matricei este un numarmatricei este un numar .

In formula determinantului unei matrice exista termeni dintre care : au semnul (+) ,

iar au semnul (-) .



Daca ( respectiv , respectiv ) atunci det A este

un numar real ( respectiv rational , respectiv intreg ) .

Definitia determinantului se aplica si matricilor de ordinul 1 , cand . In acest caz

Asa cum a fost definit determinantul de ordinul , pentru si obtinem determinantul de ordinul 2 , respectiv 3 .

Fie matricea patratica de ordinul doi : ;

determinantul matricii A notat :



se calculeaza astfelse calculeaza astfel

adica produsul elementelor de pe diagonala pricipala a matricei A din care se scade produsul elementelor de pe diagonala secundara a matricei A .

Produsele si se numesc termenii determinantului de ordinul.doi

Exemple :

.

.

Fie matricea patratica de ordinul trei : ;



Notam determinantul matricii A : ;

Pentru calculul determinantului de ordinul al treilea exista urmatoarea regula simpla , numita

Regula lui SarrusRegula lui Sarrus sau regula triunghiurilorregula triunghiurilor

Vom expune in cele ce urmeaza regula lui SarrusVom expune in cele ce urmeaza regula lui Sarrus :

- se formeaza urmatorul tablou : se scriu mai intai liniile matricei A si apoi dedesubt se scrie mai intai prima linie si apoi a doua linie a matricei A ;

- In felul acesta se formeaza un tablou cu cinci linii ; - determinantul de ordinul trei folosind regula lui Sarrus va fi egal cu produsul elementelor de pe

cele 3 diagonale principale din care vom scadea produsul elementelor situate pe cele 3 diagonale secundare , adica :

ExempluExemplu :

Calculati determinantul matricii : A= .

.



In cazul calculului determinantilor de ordinul , formula prin care este definit determinantul de ordinul , in general este aproape imposibil de aplicat , datorita calculelor laborioase ce apar .

- de exemplu pentru un determinant de ordinul 4 avem 4! = 24 termeni in formula sa , pentru



n = 5 avem 5! = 120 termeni de calculat , iar pentru n = 10 avem 10! = 3.628.800 termeni de calculat .

Pentru a evita acele calcule laborioase se scot in evidenta o serie de proprietati ale determinantilor de ordinul n , care simplifica de multe ori calculul determinantilor .

Proprietatile determinantilordeterminantilor :

PP11 Determinantul unei matrice coincide cu determinantul matricei transpuse : .Obs. : Aceasta proprietate ne arata ca ori de cate ori avem o proprietate adevarata referitoare la liniile unui determinant , aceeasi proprietate este adevarata si pentru coloanele determinantului .

PP22 Daca toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule , atunci determinantul matricei este nuleste nul .

Exemplu : Fie matricea : . Deoarece linia a 2-a a matricei A are toate elementele

nule .

PP33 Daca intr-o matrice schimbam doua linii (sau coloane) intre ele obtinem o matriceobtinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei initiale .

Exemplu : Fie matricea : . Daca schimbam liniile 1 si 3 intre ele obtinem matricea

: conform proprietatii mai sus mentionate ca : .

PP44 Daca o matrice are doua linii (sau coloane) identice , atunci determinantul sau este nuldeterminantul sau este nul .

Exemplu : Fie matricea : care are doua coloane identice (coloana 1 = coloana 3)

conform proprietatii mai sus mentionate : .

PP55 Daca inmultim elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrice A , cu un numar obtinem o matrice A’ al carei determinant este : .



Exemplu : Fie matricea . Daca inmultim linia a treia cu numarul obtinem

matricea : al carui determinant este folosind proprietatea de mai sus :

Obs. : Aceasta proprietate ne indica faptul ca spre deosebire de matrici unde nu am putut inmulti sau da factor comun numai dintr-o linie sau coloana a matricei la determinant este posibil sa inmultim sau sa dam factor comun numai dintr-o linie sau coloana . Aceasta proprietate ne simplifica calculul determinantilor .

PP66 Daca o linie (sau coloana) a unei matrici patratice este o combinatie liniara de celelalte linii (sau coloane) , atunci determinantul matricei este zerodeterminantul matricei este zero .

Exemplu : Fie matricea : . Cum linia trei este o combinatie liniara a liniei 1

cu linia 2 , adica linia 1 minus linia 2 ne da linia 3 ( ) conform proprietatii de

mai sus ca .

PP77 Daca elementele a doua linii (sau coloane) ale unei matrice sunt proportionale , atunci determinantul matricei este nuldeterminantul matricei este nul .

Exemplu : Fie matricea : . Cum linia 2 si linia a 3-a sunt proportionale , adica

.

PP88 Daca la o linie (sau coloana) a matricei A adunam elementele altei linii (sau coloane) inmultite cu acelasi numar , atunci aceasta matrice are acelasi determinant ca siaceasta matrice are acelasi determinant ca si matricea A .

Exemplu : Fie matricea : . Inmultim prima linie cu 2 si o adunam la linia a treia :

si rezulta matricea : al carui determinant va fi egal cu cel al

matricei A :

.

PP99 Daca determinantii a doua matrice difera printr-o singura linie (sau coloana) , atunci suma lor este egala cu valoarea determinantului care areeste egala cu valoarea determinantului care are pe linia respectiva (coloana respectiva) suma elementelor liniei (sau coloana) celor doi determinanti si restul elementelor egale .



Exemplu : Fie matricea si .

.

PP1010 Determinantul produsului a doua matrice patratice de acelasi ordin este egal cu produsuleste egal cu produsul determinantilor acestor matrice .

Exemplu : Fie si .

.

Notiuni importante si folosite in calculul determinantilor

- Fie :



un determinant de ordinul n .

Minorul elementului a ij :

- Determinantul de ordinul care se obtine suprimand linia i si coloana j din determinantul

d se numeste minorul elementuluiminorul elementului si se noteaza cu .

Complementul algebric al elementului a ij :

- Numarul notat sau :

se numeste complementul algebric al elementuluicomplementul algebric al elementului in determinantul d .

Exemplu : Unui determinant de ordinul n ise pot asocia n2 minori de ordinul n-1 si respectiv n2

complementi algebrici . Fie determinantul de ordinul 3 :

Minorii elementelorMinorii elementelor din d sunt in numar de 9 . Acestia sunt urmatorii :

Complementii algebriciComplementii algebrici ai elementelor din d sunt :



Dezvoltarea unui determinant dupa o linie :

Dezvoltarea determinantului dupa liniaDezvoltarea determinantului dupa linia i esteeste urmatoarea :

Exemplu :

Fie determinantul de ordinul 3 :

Dezvoltarea determinantului dupa prima linie are urmatoarea forma :

.

Dezvoltarea unui determinant dupa o coloana :

Dezvoltarea determinantului dupa coloanaDezvoltarea determinantului dupa coloana j esteeste urmatoarea :



Exemplu :

Fie determinantul de ordinul 3 :

Dezvoltarea determinantului dupa prima coloana are urmatoarea forma :

.

Observatii :

1). Dezvoltarea unui determinant dupa o linie (sau coloana) este cu atat mai avantajoasa cu cat linia (sau coloana) respectiva contine cat mai multe zerouri .

2). Pentru a realiza zerouri pe o linie aplicam operatii cu coloane (folosind P8) si invers .

3). Intr-un determinant de ordinul n se poate aplica P8 de cel mult n-1 ori (daca aplicam P8 de mai multe ori se intra sub incidenta P6 si determinantul se anuleaza in mod defectuos) .

Concluzie finala privind calculul determinantilor :

Pentru a calcula determinanti de ordin superior vom folosi dezvoltarea acestuia dupa o linie sau o coloana , alegand intotdeauna acea linie (sau coloana) ale carui elemente au valoarea zero , sau vom alege un pivot cu ajutorul caruia si a liniei din care face parte (sau coloana) sa facem zero pe coloana respectiva (sau linia respectiva) obtinand astfel un determinant de un ordin mai mic cu o unitate fata de cel initial si vom repeta aceasta operatie pana vom ajunge la un determinant de ordin trei pe care il vom calcula folosind regula lui Saruss binecunoscuta de toata lumea .

Determinant triunghiularDeterminant triunghiular si determinant diagonaldeterminant diagonal :



Este un determinant care areun determinant care are sub diagonala principala sau / si deasupra toate elementele nule ;

El are urmatoarea formaare urmatoarea forma si se calculeazase calculeaza astfel :

Determinant ciclic (Determinant ciclic (circularcircular , , simetricsimetric)) :

Este un determinant care areun determinant care are pe fiecare linie si / sau coloana aceleasi elemente permutate intre ele , de regula circular .

Forma generalaForma generala a unui astfel de determinant arata astfel :

.

Pentru a calcula un astfel de determinant procedam in urmatorul felPentru a calcula un astfel de determinant procedam in urmatorul fel : adunam toate liniile sau coloanele la prima obtinand pe linia sau coloana respectiva un factor comun . Dupa scoaterea factorului comun , pe linia (coloana) pe care acum toate elementele sunt egale cu 1 se pot realiza foarte usor zerouri folosind proprietatile determinantilor mai inainte evidentiate si discutate .

Determinant Determinant VandermondeVandermonde :

Determinantul VandermondeDeterminantul Vandermonde de ordinul n = 2 are urmatoarea forma generalaforma generala si formula deformula de calculcalcul :



sau .

Determinantul VandermondeDeterminantul Vandermonde de ordinul n = 3 are urmatoarea forma generalaforma generala si formula formula de calculde calcul :

sau :

.

In general un determinant Vandermonde de ordinulun determinant Vandermonde de ordinul n cu elementele

are urmatoarea formaforma si formula de calculformula de calcul :

sau :

.



Exercitiul nr. 1 :

Calculati valoarea urmatorilor determinanti :

; ; ; ; ; ; ;

; ; ; ; .

Exercitiul nr. 2 :

Sa se calculeze determinantii de ordinul 3 folosind regula lui Sarrus :

; ; ; ; ;

; ; ; ; .

Exercitiul nr. 3 :

Sa se calculeze determinantii :

; ; ; ;



; ; ; .

; ; ; .

Exercitiul nr. 4 :

Sa se calculeze urmatorii determinanti :

a). b). c).

Exercitiul nr. 5 :

Sa se rezolve ecuatiile urmatoare :

a). b).

c). d).

e). e). .



Consideram matricea A cu m linii si n coloane , nenula , cu elemente numere complexe :

iar un numar natural , astfel incat ( prin min(m,n) intelegem cel mai mic dintre numerele m si n ) .

Daca din matricea A alegem k linii : si k coloane : ,

elementele care se gasesc la intersectia acestor linii si coloane formeaza o matrice patratica de ordin k :

al carui determinant se numeste minor de ordin kminor de ordin k al matricei A .

Definitia Definitia rangului matriceirangului matricei : :

- Fie o matrice nenula ;

- Spunem ca matricea A are rangul r si scriem rangA = r , daca A are un minor nenul de ordin r , iar toti minoriii lui A de ordin mai mare decat r (daca exista) sunt nuli .

Daca A este matricea nula , convenim sa spunem ca matricea are rangul 0 , adica : rang(0m,n)=0 .

Teorema :

- Fie o matrice ;



- Numarul natural este rangul matriceieste rangul matricei A daca si numai daca exista un minor de ordinul

al lui A , nenul , iar toti minorii de ordinul (daca exista) sunt nulisunt nuli .

Teorema :

- Fie si doua matrice ;

- Atunci orice minor de ordin , , al produsului de matrice se poatese poate scrie cascrie ca o combinatie liniara de minori de ordinul ai matricei (sau , ca o combinatie liniara de minori de ordinul ai matricei ) .

Consecinta :

- Rangul produsului a doua matrice este mai mic sau egal cu este mai mic sau egal cu rangul fiecarei matrice .

Calculul Calculul rangului rangului unei matrice unei matrice :

Rangul unei matrice se poate calculase poate calcula in modul urmator :

Fiind data o matrice nenula , aceasta are neaparat un minor de ordinul intai nenul (putem lua orice element nenul al matricei) ;

Daca am gasit un minor de ordinul k nenul , il bordam pe randul cu elementele corespunzatoare ale uneia dintre liniile si uneia dintre coloanele ramase , obtinand astfel toti minorii de ordinul k+1 care-l contin.

Daca toti acesti minori sunt nuli , rangul matricei este r = k .

Daca insa cel putin unul dintre acestia (de ordinul k+1 ) este nenul , atunci retinem unul dintre ei si continuam procedeul .

Numarul minorilor de ordinul r+1 care trebuie considerati este : , pentru a stabili ca o matrice are rangul r nu mai poate fi micsorat . Totusi numarul de calcule necesar pentru a afla rangul unei matrice se poate reduce in diverse cazuri particulare .

Observatii :

Rangul unei matrice ramane neschimbat , dacaramane neschimbat , daca :

1). Multiplu unei linii (coloane) se aduna la o alta linie (coloana) .

2). Liniile (coloanele) se schimba intre ele .



Rangul unei matrice mai poate fi calculatRangul unei matrice mai poate fi calculat si folosind transformarile elementare , operatii de schimbare intre ele a liniilor sau coloanelor , sau prin adunarea lor , operatie repetata pana cand ajungem sa avem minimum de elemente diferite de zero rangul matriceirangul matricei A este egal cueste egal cu numarul

elementelor diferite de zero .

Exemplu :

Sa se calculeze rangul matricei : .

Rezolvare :

- rangul matricii este cel putin r = 1 deoarece exista cel putin un element diferit de zero ; - alegem un minor principal de ordinul doi din matricea data , dar care sa fie diferit de zero :

minor care devine minor principal deoarece valoarea sa este diferita de zero rangul matricei date devine cel putin : r = 2 in conditiile date si conform proprietatilor de calcul ;

- dupa ce am gasit minorul principal vom calcula minorii caracteristici , obtinuti prin bordarea minorului principal cu coloana si linia aferenta lui , acestia fiind in numar de doi :

si

care au valorile : si conforma proprietatilor si metodelor de calcul ale

rangului unei matrice ca rangul este : r = 3 , deoarece cel putin unul dintre minorii caracteristici

este diferit de zero : .

- Cum numai putem calcula nici un minor caracteristic de un grad mai mare decat ultimii , adica n = 3 , rangul matricii A este in final : .

- daca cei doi minori caracteristici : !!!!!!!!!!

Exercitiul 1Exercitiul 1 : :Elemente de algebra superioara


Sa se determine rangul umatoarelor matrice :

a). b). c). d). .

Exercitiul 2Exercitiul 2 : :

Calculeaza rangul matricelor :

a). b). c). d).

e). f). g).

h). i). j).

k). l). m).

n). o).

p). r). s).



t). u). v).


Sa se calculeze rangul urmatoarelor matrice pentru diferitele valori ale lui :

1). 2). 3).

4). 5). 6).

7). 8). .


Determina parametrul real a pentru care rangul matricei este egal

cu 2 .


Determina valorile parametrilor si astfel incat matricea A :

a). sa aiba rangul 2 ;

b). are rangul 3 .




Sa se afle valorile lui , pentru care matricea : are rangul minim .

Exercitiul 7Exercitiul 7 : :(exercitii din culegerea prof. Gheorghe – Adalbert Schneider )

Sa se calculeze in functie de rangul matricilor :

1). 2). 3).

4). 5).

6). .


Sa se calculeze in functie de rangul matricilor :

1). 2). 3).

4). 5). .




Se considera matricile : ; . Sa se afle

numerele astfel incat celedoua matrici sa aiba acelasi rang .


Sa se determine rangul matricii : .


Sa se calculeze rangul fiecareia din urmatoarele matrici :

a). b).

c). d).

e). f).

g). h). .



Vom introduce in continuare cateva notiuni care ne vor ajuta in studiul matricei inversabile :

MatriceMatrice singularasingulara ((sau degenerata) :) :

- o matrice patratica se numeste singularase numeste singulara (sau degenerata) dacadaca determinantul sau este nuldeterminantul sau este nul .

MatriceMatrice nesingularanesingulara ((sau nedegenerata) :) :

-o matrice patratica se numeste nesingularase numeste nesingulara (sau nedegenerata) dacadaca determinantul sau este determinantul sau este diferit de zerodiferit de zero .

DefinitiaDefinitia matricei inversabilematricei inversabile : :

- Fie A o matrice patraticamatrice patratica de ordin n ; - Se spune caSe spune ca A este inversabila dacaeste inversabila daca exista o matriceo matrice B patratica de ordinpatratica de ordin n astfel incat :

- Matricea B se numeste inversa matriceiinversa matricei A .- Observam , de asemenea , ca sisi A esteeste inversa luiinversa lui B .

- Vom notaVom nota inversa matriceiinversa matricei A , daca existadaca exista , cucu A -1 .

Teorema :

Inversa unei matrice patratice , daca exista , este unicaeste unica .



Teorema :

O matrice patratica este inversabila daca si numai dacaeste inversabila daca si numai daca este nesingulara , adica : .

Fie Fie o matrice patratica de ordinul n . o matrice patratica de ordinul n .

1)1) Calculam determinantul matricei A : Calculam determinantul matricei A : . Daca . Daca atunci A este inversabila . atunci A este inversabila .

2)2) Determinam matricea transpusa Determinam matricea transpusa : : . .

3)3) Determinam matricea adjuncta : Determinam matricea adjuncta : care se obtine prin care se obtine prin

inlocuirea fiecarui element din inlocuirea fiecarui element din cu complementul sau algebric : cu complementul sau algebric : , adica : , adica :

; ; ; .......... ; ; .......... ; ; ..... ; ; ..... ;

4)4) Se scrie inversa : Se scrie inversa : , ,



adica : adica : . .

ExempluExemplu : :

Sa se afle daca matricea urmatoare este inversabila si in caz afirmativ sa se gaseasca inversa sa::

. .

1). 1). Calculam determinantul matricei A :

Cum matricea A admite inversa si anume :

2). Calculam unde :

;

;

;

;



;

;

;

;

.

Avem :

Scriem inversa :

. .



Ecuatii matriciale de tipul : A X = B .

- Fie ecuatia : , unde A este o matrice inversabila .

- Vom afla matriceaVom afla matricea X urmand urmatorii pasi :

Ecuatii matriciale de tipul : X A= B .

- Fie ecuatia : , unde A este o matrice inversabila .


Ecuatii matriciale de tipul : A X B= C .

- Fie ecuatia : , unde A si B sunt matrici inversabile .





Sa se afle daca matricele urmatoare sunt inversabile si in caz afirmativ sa se gaseasca inversele lor :

1). 2). 3). 4). 5).

6). 7). 8). 9).

10). 11). 12).

13). 14). 13).


Sa se determine , astfel incat urmatoarele matrice sa fie inversabile si sa se afle apoi inversele lor :

1). 2). 3).

4). 5). 6).

7). 8). 9).




Sa se rezolve urmatoarele ecuatii matriciale :

1). 2).

3). 4).


Sa se rezolve urmatoarele ecuatii matriciale :

1). 2).

3). 4).

5).

6). .


Sa se determine valorile parametrului real m astfel incat matricea :

sa fie inversabila pentru orice .




Se considera matricea : .

a). Calculeaza determinantul si rangul matricei A ;

b). Calculeaza si sa se verifice identitatea : ;

c). Arata ca matricea este inversabila si calculeaza-i inversa .

Notiunea de : sisteme de ecuatii liniaresisteme de ecuatii liniare .

- Sistemele de ecuatii algebrice de gradul intai cu mai multe necunoscuteSistemele de ecuatii algebrice de gradul intai cu mai multe necunoscute sau asa cum li se mai spune de obicei , sisteme de ecuatii liniare .



- Forma generala a unui sistem de ecuatii liniareForma generala a unui sistem de ecuatii liniare , de m ecuatii cu n necunoscute , esteeste :

unde :- coeficientii necunoscutelor formeaza o matrice cuformeaza o matrice cu m linii si n coloane :

numita matricea coeficientilor sistemului sau , simplu ,

matricea sistemului .

- matricea cu m linii si n+1 coloane :

care se ontine adaugand la coloanele matricei A

coloana termenilor liberi se numeste matricea extinsa a sistemuluimatricea extinsa a sistemului .

- Sistemul de ecuatii liniare mai poate fi scris condensat sub formamai poate fi scris condensat sub forma :

Solutie a sistemului de ecuatii liniaresistemului de ecuatii liniare .

- Un sistem de numere : se numeste solutie a sistemuluise numeste solutie a sistemului , dacadaca inlocuind

necunoscutele respectiv prin aceste numere , toate ecuatiile acestui sistem sunt toate ecuatiile acestui sistem sunt

verificateverificate , adica :

Sistem de ecuatii incompatibilincompatibil .



- Un sistemUn sistem de ecuatii care nu are solutiinu are solutii se numeste incompatibilincompatibil .

Sistem de ecuatii compatibilcompatibil .

- Un sistemUn sistem de ecuatii liniare care are cel putin o solutieare cel putin o solutie se numeste compatibilcompatibil .

Sistem de ecuatii compatibil determinatcompatibil determinat .

- Un sistem compatibilUn sistem compatibil se numeste determinatdeterminat daca are o singura solutieo singura solutie .

Sistem de ecuatii compatibil nedeterminatcompatibil nedeterminat .

- Un sistem compatibilUn sistem compatibil se numeste nedeterminatnedeterminat daca are mai mult decat o solutieare mai mult decat o solutie .

Metode de stabilire a multimii solutiilor sistemului liniarmultimii solutiilor sistemului liniar.

- Determinarea multimii solutiilorDeterminarea multimii solutiilor sistemului liniar se face prinse face prin rezolvarea acestuia prin rezolvarea acestuia prin diferite metode carediferite metode care ne vor permite sa decidem daca un sistem de ecuatii dat este compatibil sau nu , iar in cazul in care este compatibil , sa putem spune daca este determinat sau nu , si sa dam procedee de gasire a tuturor solutiilor sale .

- Aplicam regula lui CramerAplicam regula lui Cramer , pentru aflarea multimii solutiilor , doar in cazul sistemelor de doar in cazul sistemelor de ecuatii liniare la careecuatii liniare la care numarul ecuatiilor este egal cu numarul necunocutelornumarul ecuatiilor este egal cu numarul necunocutelor , adica in cazul unui sistem de n ecuatii cu n necunoscute , care are urmatoarea forma generalacare are urmatoarea forma generala :

- un sistem de ecuatii liniare , cu n ecuatii si n necunoscute , care se rezolva aplicand regula lui CRAMER este compatibil determinateste compatibil determinat ( are solutie unica ) ;

- aflarea multimii solutiilor unui sistem de ecuatii liniare la care numarul ecuatiilor este egal cu numarul necunoscutelor se poate face prin aplicarea regulii lui CRAMER daca si numai daca determinantul matricii sistemului este diferit de zerodeterminantul matricii sistemului este diferit de zero , adica :



- Daca atunci sistemul are o solutie unicaatunci sistemul are o solutie unica , anume :

; ; ..... ;

unde : sunt determinantii obtinuti din prin

inlocuirea coloanei cu coloana termenilor liberi , adica :

.....

.

ExempluExemplu : :

Sa se rezolve sistemul de ecuatii liniare :Sa se rezolve sistemul de ecuatii liniare :

. .

Rezolvare :

- deoarece numarul ecuatiilor este egal cu numarul necunoscutelor ( 3 ) ne putem gandi sa aplicam regula lui Cramer pt. aflarea solutiilor sistemului liniar dat , dar , cu conditia ca determinantul matricii sistemului sa fie diferit de zero ;

- vom calcula determinantul matricii sistemului liniar dat :



avem matricea sistemului :

determinantul matricii sistemului este : ;

- deoarece nu putem aplica regula lui Cramer pentru aflarea multimii solutiilor sistemului sistemul nu este compatibil determinat ( nu are solutie unica ) ;

- precizam ca desii determinantul sistemului este egal cu zero ( ) asta nu inseamna ca sistemul este incompatibil ( nu admite solutii ) ci doar ca nu va fii compatibil determinat , deoarece nu se poate aplica regula lui Cramer .

ExempluExemplu : :

Sa se rezolve sistemul de ecuatii liniare : . Rezolvare :

- deoarece numarul ecuatiilor este egal cu numarul necunoscutelor ( 3 ) ne putem gandi sa aplicam regula lui Cramer pt. aflarea solutiilor sistemului liniar dat , dar , cu conditia ca determinantul matricii sistemului sa fie diferit de zero ;

- vom calcula determinantul matricii sistemului liniar dat :

avem matricea sistemului :

determinantul matricii sistemului este : ;

- deoarece pentru aflarea multimii solutiilor sistemului liniar dat vom aplica regula lui Cramer sistemul este compatibil determinat ( are solutie unica ) cu solutiile :

unde :

;



;

.

Sa se rezolve urmatoarele sisteme de ecuatii cu ajutorul regulii lui Cramer :

a). b).

c). d).

e). f).

g). h).



i). j).

k). l).

m). n).

Vom discuta in cele ce urmeaza rezolvarea sistemelor oarecare de ecuatii liniare de mm ecuatii cu ecuatii cu nn necunoscute necunoscute .

- Fie un sistem de ecuatii liniare , cu m ecuatii si n necunoscute :

.

- In aflarea multimii solutiilor sistemului dat se pune problema compatibilitatii acestuia . - Analizam matricea a coeficientilor sistemului si matricea extinsa , care se obtine din

completand coloanele sale cu coloana termenilor liberi ai sistemului :

- Este evident ca , deoarece minorii matricei se gasesc printre minorii

matricei .

- Presupunem ca rangul matricei sistemului este : .

- Pentru a stabili daca un sistem liniar de m ecuatii cu n necunoscute este compatibil vom folosi una din urmatoarele teoreme : teorema Kronecker-Capelli sau teorema lui Rouche .

Teorema Kronecker - CapelliKronecker - Capelli .

Un sistem de ecuatii liniare este compatibil daca si numai daca rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse .



Teorema lui Rouchelui Rouche.

Un sistem de ecuatii liniare este compatibil daca si numai daca toti determinantii caracteristici sunt nuli .

Observatii :

1). Teorema lui Kronecker – Capelli ne permite sa decidem dacane permite sa decidem daca sistemul este compatibil sau nu , dar nu ne da un mijloc practic de aflare a tuturor solutiilor sistemului dat .

2). Daca r = n , sistemul are acelasi numar de ecuatii si de necunoscutesistemul are acelasi numar de ecuatii si de necunoscute , iar determinantul sau este nenuleste nenul .In acest caz , sistemul are o unica solutie , pe care o putem calcula cu formulele lui Cramer . 3). Daca r < n atunci sistemul areatunci sistemul are :

- numarul ecuatiilor egal cu numarul necunoscutelor dar determinantul sau egal cu zero situatie in care nu mai putem aplica regula lui Cramernu mai putem aplica regula lui Cramer ;

- numarul ecuatiilor diferite de numarul necunoscutelor caz in care pt. aflarea multimii solutiilor sistemului aplicam cele doua teoreme mai sus enuntateaplicam cele doua teoreme mai sus enuntate .

Metoda de rezolvare a sistemelora sistemelor

1. Studiem daca sistemul este compatibil . Pentru aceasta determinam rangul sistemului (r) si aplicam una din cele doua teoreme din care ne va rezulta compatibilitatea sau incompatibilitatea sistemului .

a). Daca sistemul este incompatibil ;

b). Daca sistemul este compatibil nedeterminat (are mai multe solutii).

2. Pentru gasirea solutiilor unui sistem compatibil procedam astfel :

- alegem determinantul principal , determinantul de ordinul r diferit de zero , si specificam ecuatiile principale , necunoscutele principale (cele continute in determinantul principal) si necunoscutele secundare ale sistemului .

- pastram din sistemul dat doar ecuatiile principale in care vom trece necunoscutele secundare in dreapta egalului ;

- vom atribui fiecarui necunoscute secundare cate o valoare arbitrara ; - vom rezolva sistemul astfel obtinut cu ajutorul regulii lui Cramer .



ExercitiulExercitiul 1 : 1 :

Sa se rezolve sistemele urmatoare :

1). 2).

3). 4).

5). 6).

7). 8).

9). 10).

11). 12).


Pentru ce valori ale lui m sistemele liniare urmatoare sunt compatibile :

1). 2). 3). .


Sa se determine astfel incat sistemele urmatoare sa fie compatibil nedeterminat :



1). 2).

3). 4).


Sa se determine astfel incat sistemele urmatoare sa fie incompatibile :

1). 2).

3). 4).


Rezolva sistemele liniare urmatoare in raport cu parametrul real :

1). 2).

3). 4).

5). 6).


Sa se determine si astfel incat sistemele urmatoare sa fie compatibile :

a). b).




Sa se determine , si astfel incat sistemele urmatoare sa fie compatibile , iar matricea sistemului sa aiba rangul 2 :

1). 2). .


Sa se rezolve sistemele urmatoare . Discutie dupa parametrii reali , , , .

1). 2).

3). 4).

5). 6). .


Se considera sistemul : , .

a). Sa se scrie matricea A a sistemului pt. m = 0 si sa se calculeze .

b). Exista valori ale parametrului pt. care sistemul este compatibil simplu nedeterminat ?


Se considera sistemul : .

a). Sa se rezolve sistemul in cazul .

b). Sa se determine parametrul astfel incat sistemul sa fie compatibil determinat .

c). Sa se determine parametrul astfel incat sistemul sa fie incompatibil .


Fie sistemul : .

a). Sa se determine astfel incat sistemul sa fie compatibil determinat .

b). Sa se stabileasca valorile lui si pt. care sistemul este incompatibil .

c). Pentru si sa se rezolve sistemul dat .




Aflati astfel incat sistemul sa fie compatibil iar

matricea sistemului sa aiba rangul doi .


Pentru care valori ale parametrilor reali si sistemul :

este compatibil simplu nedeterminat ?


Fie sistemul

; .

a). Calculati determinantul sistemului .

b). Determinati astfel incat sistemul sa fie compatibil determinat .

c). Pentru si , studiati natura sistemului si rezolvati sistemul .

Notiunea de : sisteme de ecuatii liniare omogenesisteme de ecuatii liniare omogene .

Un sistem de ecuatii liniare se numeste omogenomogen daca termenul liber al fiecarei ecuatii este nul (adica fiecare ecuatie este omogena) .

Forma generalaForma generala a unui sistem omogen de ecuatii liniare esteeste :

.

Observatii :



1). Un sistem omogen este intotdeauna compatibileste intotdeauna compatibil .- termenii liberi fiind nuli , rezulta ca adaugand la coloanele matricei sistemului coloana nula a

termenilor liberi rangul nu se schimba conform teoremei Kroneker – Capelli , este compatibil .

2). Se vede direct ca un astfel de sistem admite solutia nulaadmite solutia nula : .

ImportantImportant :

Sa presupunem ca matricea A a coeficientilor este de rang r .

1). Daca (numarul necunoscutelor) , atunci solutia nula este singura solutiesolutia nula este singura solutie a sistemului .

2). Daca (numarul necunoscutelor) , atunci sistemul are si solutii nenuleare si solutii nenule . Pentru a gasi solutiile , se utilizeaza acelasi procedeu ca in cazul sistemelor arbitrare .

Observatii :

1). Remarcamca un sistem de n ecuatii liniare omogene cu n necunoscute are solutii nenule dacaare solutii nenule daca si numai daca determinantul sau este nul .

2). Daca un sistem de ecuatii liniare omogene are numarul ecuatiilor mai mic decat cel al necunoscutelor , sistemul are solutii nenulesistemul are solutii nenule .

Exercitiul nr. 1 :Exercitiul nr. 1 :

Sa se determine astfel incat sistemul urmator sa aiba solutii nenule si , in acest caz , sa se rezolve :

.


Sa se rezolve sistemele :

1). 2).



3). 4). .


Sa se rezolve sistemele omogene urmatoare discutand dupa valorile parametrilor reali corespunzatori :

1). 2).

3). 4).

5). 6).

7). 8).

.


Sa se determine valorile parametrilor reali corespunzatori astfel incat sistemele sa aiba solutii diferite de solutia zero :

1). 2).

3). 4).

5). 6). .


· Web view- un sistem de ecuatii liniare , cu n ecuatii si n necunoscute , care se rezolva...

Documents

Transcript of · Web view- un sistem de ecuatii liniare , cu n ecuatii si n necunoscute , care se rezolva...