ecuatii diferentiale

52
1 ecuatii MULTIPLE CHOICE 1. -- Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este a. c. b. d. 2. -- Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este a. c. b. d.

Transcript of ecuatii diferentiale

Page 1: ecuatii diferentiale

1

ecuatii

MULTIPLE CHOICE

1. --

Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

a. c.

b. d.

2. --

Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

a. c.

b. d.

Page 2: ecuatii diferentiale

2

3. --

Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

a. c.

b. d.

4. --

Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

a. c.

b. d.

5. --

Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

a. c.

b. d.

Page 3: ecuatii diferentiale

3

6. --

Se da ecuatia diferentiala

Sa se identifice intre ecuatiile cu derivatele partiale de mai jos acea ecuatie care admite ecuatia de mai sus ca ecuatie a caracteristicilor:

a.

b.

c.

d.

7. --

Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un

domeniu este

. Atunci daca pe D ecuatia de mai sus este de tip

a. hiperbolic c. eliptic

b. parabolic d. nu putem decide tipul ecuatiei

Page 4: ecuatii diferentiale

4

8. --

Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un

domeniu este

. Atunci daca pe D ecuatia de mai sus este de tip

a. hiperbolic c. eliptic

b. parabolic d. nu putem decide tipul ecuatiei

9. --

Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un

domeniu este

. Atunci daca pe D ecuatia de mai sus este de tip

a. hiperbolic c. eliptic

b. parabolic d. criteriul nu decide tipul ecuatiei

10. --

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu . Ecuatia

caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

sinx⋅ y' 2 − 2cosx⋅ y'− sinx= 0

. Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip

a. hiperbolic c. eliptic

b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus

Page 5: ecuatii diferentiale

5

11. --

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe . Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

. Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip

a. hiperbolic c. eliptic

b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus

12. --

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

y' 2 − cosx ⋅ y'+ 3 = 0

Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip

a. hiperbolic c. eliptic

b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus

13. --

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

y' 2 − 2cosx ⋅ y'+ 4 = 0

Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip

a. hiperbolic c. eliptic

b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus

Page 6: ecuatii diferentiale

6

14. --

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu cu ecuatie

a caracteristicilor asociata

. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca , cu

functii reale si distincte in fiecare punct .

Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip

a. hiperbolic c. eliptic

b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus

15. --

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu . Ecuatia

caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca cu functie reala in

fiecare punct .

Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip

a. hiperbolic c. eliptic

b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus

Page 7: ecuatii diferentiale

7

16. --

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu . Ecuatia

caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca , cu

functii complex conjugate asa ca in fiecare punct , nu

este reala.

Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip

a. hiperbolic c. eliptic

b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus

17. --

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. cu .

Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale

a. c.

b. d.

Page 8: ecuatii diferentiale

8

18. --

Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. cu .

Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale

a. c.

b. d.

19. --

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. cu .

Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale.

a. c.

b. d.

Page 9: ecuatii diferentiale

9

20. --

Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip hiperbolic este

a.

b.

c.

d.

21. --

Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip parabolic este

a.

b.

c.

d.

Page 10: ecuatii diferentiale

10

22. --

Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip eliptic este

a.

b.

c.

d.

23. --

Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip hiperbolic. este

a. c.

b. d.

24. --

Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip parabolic. este

a. c.

b. d.

Page 11: ecuatii diferentiale

11

25. --

Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip eliptic. este

a. c.

b. d.

26. --

Forma canonica a ecuatiei

este

a. c.

b. d.

Page 12: ecuatii diferentiale

12

27. --

Forma canonica a ecuatiei

este

a. c.

b. d.

28. --

Forma canonica a ecuatiei

este

a. c.

b. d.

Page 13: ecuatii diferentiale

13

29. --

Forma canonica a ecuatiei

este

a. c.

b. d.

30. --

Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este

Atunci ecuatia este de tip

a. hiperbolic c. eliptic

b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus

31. --

Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este

Atunci ecuatia este de tip

a. hiperbolic c. eliptic

b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus

Page 14: ecuatii diferentiale

14

32. --

Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este

Atunci ecuatia este de tip

a. hiperbolic c. eliptic

b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus

Page 15: ecuatii diferentiale

15

33. --

Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti . este

De aici rezulta ca

a.

unde f este functie de clasa .

b.

unde f,g sunt functii de clasa .

c.

unde f este functie de clasa .

d.

unde f,g sunt functii de clasa .

e. Niciuna din variantele de mai sus

Page 16: ecuatii diferentiale

16

34. --

Ecuatia

unde c>0 este o constanta , reprezinta

a. ecuatia propagarii caldurii

b. problema Dirichlet pentru disc

c. ecuatia coardei vibrante in absenta fortelor perturbatoare

d. ecuatia neomogena a coardei vibrante

e. Niciuna din variantele de mai sus

35. --

Ecuatia

reprezinta o forma particulara a

a. ecuatiei propagarii caldurii

b. problemei Dirichlet pentru disc

c. ecuatiei coardei vibrante in absenta fortelor perturbatoare

d. ecuatiei neomemogene a coardei vibrante

e. Niciuna din variantele de mai sus

Page 17: ecuatii diferentiale

17

36. --

Se considera ecuatia

pentru si .

O conditie de tipul pentru orice reprezinta

a. O conditie la limita c. Niciuna din variantele de mai sus

b. O conditie initiala

37. --

Se considera ecuatia

pentru si .

O conditie de tipul , pentru reprezinta

a. O conditie la limita c. Niciuna din variantele de mai sus

b. O conditie initiala

38. --

Forma canonica a ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare este

a. c.

b. d.

Page 18: ecuatii diferentiale

18

39. --

Pentru ecuatia coardei vibrante fara forte perturbatoare conditiile

sunt

a. conditii initiale c. conditii necesare

b. conditii la limita d. niciuna din variantele de mai sus

40. --

Consideram ecuatia coardei vibrante fara forte perturbatoare cu conditiile initiale

si conditiile la limita

si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma

a. c.

b. d.

Page 19: ecuatii diferentiale

19

41. --

Consideram urmatoarea ecuatie

(8)

a>0. Aceasta este

a. ecuatia omogena a coardei vibrantec. ecuatia propagarii caldurii

b. ecuatia neomogena a coardei vibranted. ecuatia lui Laplace

42. --

Consideram urmatoarea ecuatie

(9)

a>0. Aceasta este o ecuatie de tip

a. hiperbolic c. eliptic

b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus.

Page 20: ecuatii diferentiale

20

43. --

Consideram ecuatia propagarii caldurii

cu conditia initiala

si conditiile pe frontiera

si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma

a. c.

b. d.

44. --

Consideram urmatoarea ecuatie

(11)

Aceasta este

a. ecuatia omogena a coardei vibrantec. ecuatia caldurii

b. ecuatia neomogena a coardei vibranted. ecuatia lui Laplace

Page 21: ecuatii diferentiale

21

45. --

Consideram urmatoarea ecuatie

(12)

Aceasta este o ecuatie de tip

a. hiperbolic c. eliptic

b. parabolic d. nicuna din variantele de mai sus

46. --

Pentru rezolvarea problemei Dirichlet pentru disc

a. se trece la coordonate polare dupa care se aplica metoda separarii variabilelor

b. se aplica metoda separarii variabilelor dupa care se trece la coordonate polare

c. se reduce problema Dirichlet la forma canonica utilizandu-se metoda caracteristicilor

d. niciuna din variantele de mai sus

47.

1. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabila :

a. ξ=y+x; η =2x c. ξ=y+x; η =x

b. ξ=y-x; η =2x d. ξ=y+x; η =2xy

Page 22: ecuatii diferentiale

22

TRUE/FALSE

1. --

Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti are forma

unde a,b,c sunt niste numere reale constante.

2. Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

Page 23: ecuatii diferentiale

1

Ecuatii cu derivate partiale

MULTIPLE CHOICE

1. Să se rezolve problema Cauchy pentru ecuaŃia:

2 2

2 20

u u

t x

∂ ∂− =∂ ∂

cu condiŃiile ini Ńiale:

20 0, 0t t

uu x

t= =∂= =∂

a. ( ) 2 2,u x t t x= +b. ( ) 2 2,u x t t x= −

c. ( ) ( ) ( ) ( )1, ,

2u x t x t x tϕ ϕ ϕ= − + + ⋅ - funcŃie arbitrară.

d. ( ) ( ) ( ) ( )1, ,

2u x t x t x tϕ ϕ ϕ= − − + ⋅ - funcŃie arbitrară.

2. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:

2 2

2 2

0 0

4 0

0, t t

u u

t xu

u xt= =

∂ ∂− = ∂ ∂ ∂ = = ∂

a. ( ) ( ) ( ) ( )1, 2 2 ,

4u x t x t x tϕ ϕ ϕ= − + + ⋅ - funcŃie arbitrară.

b. ( ),u x t xt=

c. ( ) ( )2 2,u x t x tϕ= + , ( )ϕ ⋅ - funcŃie arbitrară.

d. ( ) 2 2,u x t t x= +

3. DeterminaŃi forma unei coarde la momentul 2

ta

π= dacă mişcarea ei este definită de ecuaŃia:

2 22

2 2

u ua

t x

∂ ∂−∂ ∂

şi de condiŃiile ini Ńiale 0 0sin , 1t t

uu x

t= =∂= =∂

.

a. ( ), sin cosu x t ax t t= +b. ( ), sin cosu x t x t t= +

c. ( ),2

u x ta

π=

d. ( ) 1, sin cos

2u x t x at

a=

Page 24: ecuatii diferentiale

2

4. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:

2 2

2 2

0 0

0

, t t

u u

t xu

u x xt= =

∂ ∂− = ∂ ∂ ∂ = = − ∂

a. ( ) ( ), 1u x t t x= −b. ( ) ( ), 1u x t x t= −c. ( ),u x t tx=d. ( ) ( ), 1u x t x t= −

5. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:

2 22

2 2

0 0

0

0, cost t

u ua

t xu

u xt= =

∂ ∂− = ∂ ∂ ∂ = = ∂

a. ( ) 1, cos sinu x t x at

a=

b. ( ) 1, sin cosu x t x at

a=

c. ( ) 1, sin cosu x t x x

a=

d. ( ) 1, cos sinu x t at x

a=

6. Să se găsească forma unei coarde la momentul t π= dacă mişcarea sa este definită de ecuaŃia:

2 2

2 2

0 0

0

sin , cost t

u u

t xu

u x xt= =

∂ ∂− = ∂ ∂ ∂ = = ∂

a. cosu x=b. sinu x= −c. cosu x= −d. sinu x=

Page 25: ecuatii diferentiale

3

7. Să se aducă la forma canonică indicând transformările de variabile:2 2 2

2 22 3 2 6 0.

u u u u u

x x y y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a.2 1

0 , , 32

u ux y x yξ η

ξ η ξ∂ ∂+ = = + = −

∂ ∂ ∂

b.2 1

0 , , 32

u ux y x yξ η

ξ η ξ∂ ∂− = = + = −

∂ ∂ ∂

c.2 1

0 , , 32

u ux y x yξ η

ξ η ξ∂ ∂+ = = − = +

∂ ∂ ∂

d.2 1

0 , , 32

u ux y x yξ η

ξ η ξ∂ ∂− = = + = +

∂ ∂ ∂

8. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:

2 2 2

2 24 5 2 0

u u u u u

x x y y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a.2 2

2 20 , 2 ,

u u ux y xξ η

ξ η η∂ ∂ ∂+ + = = + = −∂ ∂ ∂

b.2 2

2 20 , 2 ,

u u ux y xξ η

ξ η η∂ ∂ ∂+ + = = − =∂ ∂ ∂

c.2 2

2 20 , 2 ,

u u ux y xξ η

ξ η η∂ ∂ ∂− + = = − =∂ ∂ ∂

d.2 2

2 20 , 2 ,

u u ux y xξ η

ξ η η∂ ∂ ∂+ − = = − =∂ ∂ ∂

9. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:

2 2 2

2 22 0.

u u u u ucu

x x y y x yα β∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a. ( )2

2 0 , ,

u u ucu x y yα β β ξ η

η ξ η∂ ∂ ∂− + + + = = − =∂ ∂ ∂

b. ( )2

2 0 , ,

u u ucu x y yα β β ξ η

η ξ η∂ ∂ ∂+ − − + = = + =∂ ∂ ∂

c. ( )2

2 0 , ,

u u ucu x y yα β β ξ η

η ξ η∂ ∂ ∂+ + + + = = + =∂ ∂ ∂

d. ( )2

2 0 , ,

u u ucu x y yα β β ξ η

η ξ η∂ ∂ ∂+ + + + = = + =∂ ∂ ∂

Page 26: ecuatii diferentiale

4

10. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate

( )2 2 2

22 2

2cos 3 sin 0u u u u

x x yx x y y y

∂ ∂ ∂ ∂− − + − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a.2

0 , 2 sin , 2 -sin -16

u u ux x y x x y

η ξ ξ ηξ η ξ η

∂ − ∂ ∂+ − = = + + = ∂ ∂ ∂ ∂

b.2

0 , 2 sin , 2 -sin -16

u u ux x y x x y

η ξ ξ ηξ η ξ η

∂ − ∂ ∂+ + = = + + = ∂ ∂ ∂ ∂

c.2

0 , 2 sin , 2 -sin -16

u u ux x y x x y

η ξ ξ ηξ η ξ η

∂ − ∂ ∂+ − = = − + = ∂ ∂ ∂ ∂

d.2

0 , 2 sin , 2 -sin -32

u u ux x y x x y

η ξ ξ ηξ η ξ η

∂ − ∂ ∂+ − = = + + = ∂ ∂ ∂ ∂

11. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate2 2 2

2 22 2

2 2 0.u u u u

y xy x yx x y y y

∂ ∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a.2 2

2 2 22 2

1 1 0 , ,

2

u u u ux y xξ η

ξ η ξ η ξ η η∂ ∂ ∂ ∂+ + ⋅ + ⋅ = = − =∂ ∂ − ∂ ∂

b.2 2

2 2 22 2

1 1 0 , ,

2

u u u ux y xξ η

ξ η ξ η ξ η η∂ ∂ ∂ ∂− + ⋅ + ⋅ = = − =∂ ∂ − ∂ ∂

c.2 2

2 2 22 2

1 1 0 , ,

2

u u u ux y xξ η

ξ η ξ η ξ η η∂ ∂ ∂ ∂+ − ⋅ + ⋅ = = + =∂ ∂ − ∂ ∂

d.2 2

2 2 22 2

1 1 0 , ,

u u u ux y xξ η

ξ η ξ η ξ η η∂ ∂ ∂ ∂+ + ⋅ + ⋅ = = + =∂ ∂ + ∂ ∂

12. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:2 2 2

2 2 32 2

2 0.u u u u

tg x y tgx y tg xx x y y x

∂ ∂ ∂ ∂− + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a.2

20 , sin ,

u uy x y

ξ ξ ηη η ξ

∂ ∂− ⋅ = = =∂ ∂

b.2

2 2

20 , sin ,

u uy x y

ξ ξ ηη η ξ

∂ ∂− ⋅ = = =∂ ∂

c.2

20 , sin ,

u uy x y

ξ ξ ηη η ξ

∂ ∂+ ⋅ = = = −∂ ∂

d.2

20 , sin ,

u uy x y

ξ ξ ηη η ξ

∂ ∂+ ⋅ = = = −∂ ∂

Page 27: ecuatii diferentiale

5

13. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:

2 2 2

22 2

12sin cos cos sin 2 0.

2

u u u u ux x x x

x x y y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a.2 1

cos 0 , cos , cos2 2

u ux y x x y x

ξ η ξ ηξ η η∂ + ∂− = = − + = − −

∂ ∂ ∂

b.2 1

cos 0 , cos , cos2 2

u ux y x x y x

ξ η ξ ηξ η η∂ + ∂− = = − + = − −

∂ ∂ ∂

c.2 1

cos 0 , cos , cos2 2

u ux y x x y x

ξ η ξ ηξ η η∂ + ∂+ = = + + = − −

∂ ∂ ∂

d.2 1

cos 0 , cos , cos2 2

u ux y x x y x

ξ η ξ ηξ η η∂ − ∂+ = = + + = − −

∂ ∂ ∂

14. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:2 2 2

2 2 42 2

2 3 2 4 16 0.u u u u u

x xy y x y x ux x y y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − − + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a.2 1 1

0 , , 4 2

u u u xu x y

yξ η

ξ η η ξ ξ η∂ ∂ ∂+ ⋅ − + = = − =

∂ ∂ ∂ ∂

b.2 1 1

0 , , 4 2

u u u xu x y

yξ η

ξ η η ξ ξ η∂ ∂ ∂+ ⋅ − + = = + =

∂ ∂ ∂ ∂

c.2 1 1

0 , , 4

u u u xu xy

yξ η

ξ η η ξ ξ η∂ ∂ ∂− ⋅ + + = = =

∂ ∂ ∂ ∂

d.2 31 1

0 , , 4

u u u xu xy

yξ η

ξ η η ξ ξ η∂ ∂ ∂+ ⋅ − + = = =

∂ ∂ ∂ ∂

15. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:

( ) ( )2 2

2 22 2

1 1 0.u u u u

x y x yx y x y

∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =∂ ∂ ∂ ∂

a. ( ) ( )2 22 2

2 20 , ln 1 , ln 1

u ux x y yξ η

ξ η∂ ∂+ = = + + = + +∂ ∂

b. ( ) ( )2 22 2

2 20 , ln 1 , ln 1

u ux x y yξ η

ξ η∂ ∂− = = + + = + +∂ ∂

c. ( ) ( )2 22 2

2 20 , ln 1 , ln 3 1 9

u ux x y yξ η

ξ η∂ ∂+ = = + + = + +∂ ∂

d. ( ) ( )2 22 2

2 20 , ln 2 1 4 , ln 1

u ux x y yξ η

ξ η∂ ∂− = = + + = + +∂ ∂

Page 28: ecuatii diferentiale

6

16. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:2 2 2

2 22 2

sin 2 sin 0.u u u

x y x yx x y y

∂ ∂ ∂− + =∂ ∂ ∂ ∂

a.2

2 2 2

20 , ln ,

2

u u xy y

ξ ξ ηη ξ η ξ

∂ ∂− ⋅ = = =∂ + ∂

b.2

2 2 2

20 , ,

2

u u xytg y

ξ ξ ηη ξ η ξ

∂ ∂− ⋅ = = =∂ + ∂

c.2

2 2 2

20 , ,

u u xtg y

y

ξ ξ ηη ξ η ξ

∂ ∂+ ⋅ = = =∂ + ∂

d.2

2 2 2

20 , ,

2

u u yxtg y

ξ ξ ηη ξ η ξ

∂ ∂− ⋅ = = = −∂ + ∂

17. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:2 2 2

2 22 2

2 2 0.u u u u

cth x y cthx y yx x y x y

∂ ∂ ∂ ∂− + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a.2

2 2

10 , ,

1

u u uy chx shxξ η ξ η

η η ξ η ∂ ∂ ∂+ − = = = ∂ − ∂ ∂

b.2

2 2

10 , ,

1

u u uy shx chxξ η ξ η

η η ξ η ∂ ∂ ∂+ − = = = ∂ + ∂ ∂

c.2

2 2

10 , ,

1

u u uy chx shxξ η ξ η

η η ξ η ∂ ∂ ∂+ + = = = ∂ + ∂ ∂

d.2

2 2

10 , ,

1

u u uy chx yshxη ξ ξ η

η η ξ η ∂ ∂ ∂− + = = = ∂ + ∂ ∂

Page 29: ecuatii diferentiale

7

18. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută:

2 2

2 20.

u uy

x y

∂ ∂+ =∂ ∂

a. ecuaŃia este de tip eliptic dacă 0y> ,iar, forma canonică este:

( )32 22

2 2

1 20 , , 0

3 3

u u ux y yξ η

ξ η η η∂ ∂ ∂+ + = = = >∂ ∂ ∂

b. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă 0y> , iar forma canonică este:

( )32 22

2 2

1 20 , , 0

3 3

u u ux y yξ η

ξ η η η∂ ∂ ∂− + = = = >∂ ∂ ∂

c. ecuaŃia este de tip hiperbolic pentru 0y< , iar forma canonică este:

( )( )

( )

32

2

32

21 30 , 0

26

3

x yu u u

y

x y

ξ

ξ η η ξ ξ η η

= − − ∂ ∂ ∂ + + = < ∂ ∂ − ∂ ∂ = + −

d. ecuaŃia este de tip eliptic pentru 0y< , iar forma canonică este:

( )( )

( )

32

2 2

2 2 32

21 30 , 0

26

3

x yu u u u

y

x y

ξ

ξ η η ξ ξ η η

= − − ∂ ∂ ∂ ∂ + + = < ∂ ∂ − ∂ ∂ = + −

19. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută:

2 2

2 20 , unde constant

u u uy

x y yα α∂ ∂ ∂+ + = =

∂ ∂ ∂a. ecuaŃia este de tip eliptic dacă 0y< , iar forma canonică este:

( )2 2

2 2

2 10 , , 2 , 0

u u ux y y

α ξ ηξ η η η

∂ ∂ − ∂+ + = = = − <∂ ∂ ∂

b. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă 0y< , iar forma canonică este:

( )2

122 0 , 02

x yu u uy

x y

α ξξ η ξ η ξ η η

− = − − ∂ ∂ ∂ − − = < ∂ ∂ − ∂ ∂ = + −c. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă 0y< , iar forma canonică este:

( )2 2

2 2

2 10 , , 2 , 0

u u ux y y

α ξ ηξ η η η

∂ ∂ − ∂− + = = = − <∂ ∂ ∂

d. ecuaŃia este de tip eliptic dacă 0y> , iar forma canonică este:

( )2 2

2 2

122 0 , 02

x yu u u uy

x y

α ξξ η ξ η ξ η η

− = − − ∂ ∂ ∂ ∂ + − − = < ∂ ∂ − ∂ ∂ = + −

Page 30: ecuatii diferentiale

8

20. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută:

2 2

2 2 0

u uy x

x y

∂ ∂+ =∂ ∂

a. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă 0 , 0, x y< < iar, forma canonică este:

( )

( )

3322 2

2 2 3322

1 10 ,

3

x yu u u

x y

ξη ξ

ξ η η ξ ξ ηη

= − − ∂ ∂ ∂ + − = ∂ ∂ − ∂ ∂ = − +

b. ecuaŃia este de tip eliptic dacă 0 , 0, x y< < iar forma canonică este:

( )

( )

32 2 2

2 2 3

2

1 10 ,

3 3

xu u u u

y

ξξ η ξ ξ η η η

= −∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ = −c. ecuaŃia este de tip eliptic dacă 0 , 0, x y> > iar, forma canonică este:

( )

( )

32 2 2

2 2 3

2

1 10 ,

3 3

xu u u u

y

ξξ η ξ ξ η η η

= −∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ = −d. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă 0 , 0, x y> > iar, forma canonică este:

( )

( )

3322 2

2 2 3322

1 10 ,

3

x yu u u

x y

ξη ξ

ξ η η ξ ξ ηη

= − − ∂ ∂ ∂ + − = ∂ ∂ − ∂ ∂ = − +

Page 31: ecuatii diferentiale

9

21. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută:

2 2

2 20

u ux y

x y

∂ ∂+ =∂ ∂

a. ecuaŃia este de tip eliptic pe interiorul cercului 2 2 1x y+ = , iar, forma canonică este:

2 22 2

2 2

10 , ,

1 1

x yu u y

x xξ η

ξ η+ −∂ ∂+ = = =

∂ ∂ − −b. ecuaŃia este de tip hiperbolic pe exteriorul cercului 2 2 1x y+ = , iar forma canonică

este:2 22 2

2 2

10 , ,

1 1

x yu u y

x xξ η

ξ η+ −∂ ∂− = = =

∂ ∂ − −c. ecuaŃia este de tip hiperbolic pe interiorul cercului 2 2 1x y+ = , iar forma canonică

este:2 22 2

2 2

10 , ,

1 1

x yu u y

x xξ η

ξ η− −∂ ∂− = = =

∂ ∂ − −d. ecuaŃia este de tip eliptic pe exteriorul cercului 2 2 1x y+ = , iar forma canonică

este:2 22 2

2 2

10 , ,

1 1

x yu u y

x xξ η

ξ η− −∂ ∂+ = = =

∂ ∂ − −

22. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută:

( ) ( )2 2 2

2 22 2

1 2 1 2 2 0u u u u u

x xy y x yx x y y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − − + − − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a. pentru 2 21 0 x y− + > ecuaŃia este de tip hiperbolic, iar, forma canonică este:2 22 2

2 2

10 , ,

1 1

x yu u y

x xξ η

ξ η− +∂ ∂− = = =

∂ ∂ + +b. pentru 2 21 0 x y− + < ecuaŃia este de tip hiperbolic, iar, forma canonică este:

2 22 2

2 2

10 , ,

1 1

x yu u y

x xξ η

ξ η− −∂ ∂− = = =

∂ ∂ + +c. pentru 2 21 0 x y− + > ecuaŃia este de tip eliptic, iar, forma canonică este:

2 22 2

2 2

10 , ,

1 1

x yu u y

x xξ η

ξ η− +∂ ∂+ = = =

∂ ∂ + +d. pentru 2 21 0 x y− + < ecuaŃia este de tip eliptic, iar, forma canonică este:

2 22 2

2 2

10 , ,

1 1

x yu u y

x xξ η

ξ η− −∂ ∂+ = = =

∂ ∂ + +

Page 32: ecuatii diferentiale

10

23. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2 2 2

22 2

2sin cos cos 0u u u u

x x xx x y y y

∂ ∂ ∂ ∂− − − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂a. ( ) ( ) ( ), cos cosu x y x y x x y xϕ ψ= + + + − −b. ( ) ( ) ( ), cos cosu x y x y x x y xϕ ψ= + − + − +c. ( ) ( ) ( ), sin sinu x y x y x x y xϕ ψ= + − + − +d. ( ) ( ) ( ), sin sinu x y x y x x y xϕ ψ= − − + − +

24. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:

a. ( )2 2

2 2

10 , 0, 0 .

2

u u u ux y x y

x y x y

∂ ∂ ∂ ∂− + − = > > ∂ ∂ ∂ ∂

b. ( ) ( ) ( ), 0, 0u x y x y x y x yϕ ψ= − − − + − + − < <

c. ( ) ( ) ( ), , 0u x y x y x y x yϕ ψ= − + + >

d. ( ) ( ) ( ), 0, 0u x y x y x y x yϕ ψ= − − + − + < >

25. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2 2

2 22 2

2 0u u u

x y yx y y

∂ ∂ ∂− − =∂ ∂ ∂

a. ( ) ( )2

2, ,

x xu x y x y

y yϕ ψ

= +

b. ( ) ( ),x y

u x y x y xyy xϕ ψ = ⋅ +

c. ( ) ( ), ,x y

u x y x yy x

ϕ ψ = +

d. ( ) ( ), ,x y

u x y x yy xϕ ψ = +

26. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2 2 2

2 22 2

2 0u u u u u

x xy y x yx x y y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a. ( ) ( ) ( ), lnu x y x y y x yϕ ψ= ⋅ + ⋅b. ( ) ( ) ( ), , lnu x y x y y x yϕ ψ= + ⋅

c. ( ) ( ), lnx

u x y x y yy

ϕ ψ = ⋅ +

d. ( ) ( ) ( ), , lny

u x y x y x yx

ϕ ψ= + ⋅

Page 33: ecuatii diferentiale

11

27. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2

2 22

u ux x

x x y

∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂

a. ( )( )

,

xx y

yu x y

x

ϕ ψ ⋅ + =

b. ( ) ( ) ( ),

x y x yu x y

x

ϕ ψ− + +=

c. ( ) ( ) ( ),

x y x yu x y

y

ϕ ψ− + +=

d. ( )( )

,

xx y

yu x y

y

ϕ ψ ⋅ + =

28. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:

( )2

0u u u

x yx y x y

∂ ∂ ∂− − + =∂ ∂ ∂ ∂

a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2, , unde şi Y y sunt funcŃii arbitrare

X x Y yu x y X x

x y=

+

b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , unde şi Y y sunt funcŃii arbitrareX x Y y

u x y X xx y

⋅=

c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , unde şi Y y sunt funcŃii arbitrareX x Y y

u x y X xx y

−=

d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , unde şi Y y sunt funcŃii arbitrareX x Y y

u x y X xx y

+=

+

29. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2

0u u u

y x xyux y x y

∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂ ∂

a. ( ) ( )2 2

2,x y x

u x y e yy

ϕ ψ+−

= +

b. ( ) ( ) ( )2 2

2,x y

u x y e x y x yϕ ψ+

= + + −

c. ( ) ( ) ( )2 2

2,x y

u x y e x y x yϕ ψ+−

= + + −

d. ( ) ( ) ( )2 2

2,x y

u x y e x yϕ ψ+−

= +

Page 34: ecuatii diferentiale

12

30. Utizând schimbarea de variabile independente :

, , y z

z yx x

ξ η ζ= = = −

să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

2 2 2 0u u u u u u

x xy y yz z zxx x y y y z z z x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a. ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , unde , şi ,y z y z

u x y z z yx x x x

ϕ ψ ϕ ψ = − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

b. ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , unde , şi ,y z y z

u x y z z yx x x x

ϕ ψ ϕ ψ = + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , unde , şi ,y z y z

u x y z z y x yx x x x

ϕ ψ ϕ ψ = − + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

d. ( ) ( ) ( ), , , , , unde , şi ,y z y z

u x y z xyx x x x

ϕ ψ ϕ ψ = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

31. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:

( )2 2 2 2

211 12 22 11 22 122 2 2

2 u u u u

a a a a a at x x y y

∂ ∂ ∂ ∂= + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a. ( ) ( ) ( )12 22 12 22, , , , u x y t x a t y a t x a t y a tϕ ψ= + + + − −

unde şi sunt funcŃii arbitrare.ϕ ψb. ( ) ( ) ( )11 22 11 22, , , , u x y t x a t y a t x a t y a tϕ ψ= + + + − −

unde şi sunt funcŃii arbitrare.ϕ ψc. ( ) ( ) ( )22 12 22 12, , , , u x y t x a t y a t x a t y a tϕ ψ= + + + − −

unde şi sunt funcŃii arbitrare.ϕ ψd. ( ) ( ) ( )11 22 11 22, , , , u x y t x a t y a t x a t y a tϕ ψ= + − + − −

unde şi sunt funcŃii arbitrare.ϕ ψ

Page 35: ecuatii diferentiale

13

32. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:4 4 4

4 2 2 42 0

u u u

x x y y

∂ ∂ ∂− + =∂ ∂ ∂ ∂a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4,u x y yf x xf y f x y f x y= + + − + + ,

( ) ( )unde 1,4 sunt funcŃii arbitrarekf k⋅ =

b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4,u x y xf x yf y f x y f x y= + + − + + ,

( ) ( )unde 1,4 sunt funcŃii arbitrarekf k⋅ =

c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4,u x y x y f x y x y f x y f x y f x y= − + + + − + − + +

( ) ( )unde 1,4 sunt funcŃii arbitrarekf k⋅ =

d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4,u x y xf x yf y x y f x y x y f x y= + + + − + − +

( ) ( )unde 1,4 sunt funcŃii arbitrarekf k⋅ =

33. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:2 2 2

22 2 0

0

2 3 0 , 3 , 0y

y

u u u uu x

x x y y y==

∂ ∂ ∂ ∂+ − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a. ( ) 2 2, 3u x y x y= −b. ( ) 2 2, 3u x y x y= −c. ( ) 2 2, 3u x y x y= +d. ( ) 2 2, 3u x y x y= +

Page 36: ecuatii diferentiale

14

34. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 20 12 2 0

0

1 1 0 , u , y

y

u u u u ux y x y x x

x y x y yϕ ϕ

==

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + + − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a. ( )2 2 2

0 0 1

1 1 1 1 1 1,

2 2 2 2 2

zu x y dz

z z

β

α

α βϕ ϕ ϕα β

− − −= −

( )( ) 22 2

2

1unde, 1 1 ,

1

x xx x y y

y yα β + += + + + + =

+ +

b. ( )2 2 2

0 0 1

1 1 1 1 1 1,

2 2 2 2 2

zu x y dz

z z

β

α

α βϕ ϕ ϕα β

+ + −= −

( )( ) 22 2

2

1unde, 1 1 ,

1

x xx x y y

y yα β + += + + + + =

+ +

c. ( )2 2 2

0 0 1

1 1 1 1 1 1,

2 2 2 2 2

zu x y dz

z z

β

α

α βϕ ϕ ϕα β

− − −= −

( )( ) 22 2

2

1unde, 1 1 ,

1

x xx x y y

y yα β − += − + + + =

+ +

d. ( )2 2 2

0 0 1

1 1 1 1 1 1,

2 2 2 2 2

zu x y dz

z z

β

α

α βϕ ϕ ϕα β

+ + −= −

( )( ) 22 2

2

1unde, 1 1 ,

1

x xx x y y

y yα β − += − + + + =

+ +

35. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:

( ) ( )2 2 2

20 12 2 sin

sin

2cos sin sin 0 , u , y x

y x

u u u u ux x x x x

x x y y y yϕ ϕ

==

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a. ( ) ( ) ( ) ( )sin

0 0 1

sin

1 1, sin sin

2 2

x x y

x x y

u x y x x y x x y z dzϕ ϕ ϕ+ +

− −

= + + + − − + ∫

b. ( ) ( ) ( ) ( )sin

0 0 1

sin

1 1, sin sin

2 2

x x y

x x y

u x y x x y x x y z dzϕ ϕ ϕ− +

+ −

= − + + + − + ∫

c. ( ) ( ) ( ) ( )cos

0 0 1

cos

1 1, cos cos

2 2

x x y

x x y

u x y x x y x x y z dzϕ ϕ ϕ− +

+ −

= − + + + − + ∫

d. ( ) ( ) ( ) ( )cos

0 0 1

cos

1 1, cos cos

2 2

x x y

x x y

u x y x x y x x y z dzϕ ϕ ϕ+ +

+ −

= + + + + − + ∫

Page 37: ecuatii diferentiale

15

36. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:

( ) ( )2 2 2

2 2 00

4 5 0, u , y

y

u u u u u uf x F x

x x y y x y y==

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a. ( ) ( ) ( ) ( )5 5

6 6 65,

6

y yx x

x y z z

x y x y

u x y f x y e e f z dz e F z dz

− −−

− −

′= − + −

∫ ∫

b. ( ) ( ) ( ) ( )5 5

6 6 65,

6

y yx x

x y z z

x y x y

u x y f x y e e f z dz e F z dz

+ ++−

− −

′= + + −

∫ ∫

c. ( ) ( ) ( ) ( )5 5

6 6 65,

6

y yx x

x y z z

x y x y

u x y f x y e e f z dz e F z dz

− −+−

+ +

′= + + −

∫ ∫

d. ( ) ( ) ( ) ( )5 5

6 6 65,

6

y yx x

x y z z

x y x y

u x y f x y e e f z dz e F z dz

− −+ − −

+ +

′= + + −

∫ ∫

37. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:

( ) ( )2 2 2

2 20 12 2 1

1

2 3 0 , , y

y

u u u ux xy y u x x

x x y y yϕ ϕ

==

∂ ∂ ∂ ∂− − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a. ( ) ( ) ( ) ( )4 4

7 7

4 40 0 0 1

3 1 3 3,

4 4 16 4

x x

y y

x y x y

xu x y x y y y x x y x dx x y x x dx

yϕ ϕ ϕ ϕ

− − = + + −

∫ ∫

b. ( ) ( ) ( ) ( )4 4

7 72 24 4

0 0 0 1

3 1 3 3,

4 4 16 4

x x

y y

x y x y

xu x y xy y xy x x dx x y x x dx

yϕ ϕ ϕ ϕ

− − = + + −

∫ ∫

c. ( ) ( ) ( ) ( )4 4

7 73 34 44 44

0 0 0 1

3 1 3 3,

4 4 16 4

x x

y y

x y x y

xu x y x y y x y x x dx x y x x dx

yϕ ϕ ϕ ϕ

− − = + + −

∫ ∫

d. ( ) ( ) ( ) ( )3 3

7 73 34 44 43

0 0 0 1

3 1 3 3,

4 4 16 4

x x

y y

x y x y

xu x y x y y x y x x dx x y x x dx

yϕ ϕ ϕ ϕ

− − = + + −

∫ ∫

Page 38: ecuatii diferentiale

1

grele_ecuatii

MULTIPLE CHOICE

1. --

Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca , . Se

integreaza aceste ecuatii si se gaseste . Daca ecuatia cu derivate partiale este de tip hiperbolic pe D atunci schimbarea de variabile pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei este

a.

b. Avem si schimbarea de variabile potrivita este

c. Avem ca functiile si sunt complex conjugate si schimbarea

de variabile potrivita este

d. niciuna din variantele de mai sus

Page 39: ecuatii diferentiale

2

2. --

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. cu .

Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale

a. c.

b. d.

3. --

Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de

variabile . Notam Atunci este adevarat ca

a. c.

b. d.

Page 40: ecuatii diferentiale

3

4. --

Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de

variabile . Notam Atunci este adevarat ca

a. c.

b. d.

5. --

Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de

variabile . Notam Atunci

contine (cu + sau - in fata) termenul

a. c.

b. d.

Page 41: ecuatii diferentiale

4

6. --

Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de

variabile . Notam Atunci

contine (cu + sau - in fata) termenul

a. c.

b. d.

7. --

Forma canonica a ecuatiei

este

a. c.

b. d.

Page 42: ecuatii diferentiale

5

8. --

Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este

De aici rezulta ca

a.

unde f este o functie ce admite primitive cel putin local.

b.

unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local.

c.

unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local.

d.

unde f este functie ce admite primitive cel putin local.

Page 43: ecuatii diferentiale

6

9. --

Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este

De aici rezulta ca

a.

unde f este functie de clasa .

b.

unde f este functie de clasa .

c.

unde f este functie de clasa .

d.

unde f,g sunt functii de clasa .

Page 44: ecuatii diferentiale

7

10. --

Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este

De aici rezulta ca

a.

unde f este o functie ce admite primitive cel putin local.

b.

unde f este functie ce admite primitive cel putin local.

c.

unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local.

d.

unde f este functie ce admite primitive cel putin local.

Page 45: ecuatii diferentiale

8

11. --

Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este

De aici rezulta ca

a.

unde f este functie de clasa .

b.

unde f,g sunt functii de clasa .

c.

unde f este functie de clasa .

d.

unde f,g sunt functii de clasa .

Page 46: ecuatii diferentiale

9

12. --

Solutiile generale ale ecuatiei caracteristicilor asociate ecuatiei

unde c este o constanta , sunt

a. unde numere reale

b. unde numere reale

c. unde numere reale

d. unde numere reale

13. --

Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii liniare omogene cu derivate partiale de ordin 2 este

unde c este o constanta .

Care este schimbarea de variabile potrivita pentru aducerea ecuatiei cu derivate partiale la forma canonica?

a. c.

b. d.

Page 47: ecuatii diferentiale

10

14. --

Pentru rezolvarea ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare, cu constanta c=1 se aduce ecuatia la forma canonica si apoi se rezolva ecuatia care rezulta. Se obtine

a.

unde f este functie de clasa .

b.

unde f,g sunt functii de clasa .

c.

unde f,g sunt functii de clasa .

d.

unde f,g sunt functii de clasa .

e. Niciuna din variantele de mai sus

Page 48: ecuatii diferentiale

11

15. --

Se aplica metoda separarii variabilelor ecuatiei cu derivate partiale

(1)

Se cauta o solutie de forma

. Rezulta atunci ca

X,T satisfac ecuatia

a. c.

b. d.

Page 49: ecuatii diferentiale

12

16. --

Consideram urmatoarea ecuatie

(10)

cu conditia initiala

si conditiile pe frontiera

si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma

. Rezulta atunci ca exista un numar constant k asa ca X,T satisfac ecuatia

a. c.

b. d.

Page 50: ecuatii diferentiale

1

Ecuatii

TRUE/FALSE

1. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie :

Folosim schimbarea de variabila ξ =3y-x ; η =x+y.

2. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabila ξ=y-x; η =2x.

3. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabila ξ=2x-y; η =3x.

4. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile ξ=x+2y; η =2x-y.

5. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-y; η =3x.

Page 51: ecuatii diferentiale

2

6. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile ξ=x+y; η =x.

7. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-3y; η=3x-y.

8. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile ξ=x+3y; η =x.

9. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-3y; η =x-y.

10. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-3y; η =x-y.

Page 52: ecuatii diferentiale

3

11. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile ξ=-x+y; η =-x+2y.