Ecuatii Si Inecuatii Trigonometrice

Transformari identice ale expresiilor algebrice

Ecuatii si inecuatii trigonometrice

I. Ecuatii trigonometrice

Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice.

Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul

sinx = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a, a R. (1)

Cum rezolvarea ecuatiilor trigonometrice se reduce la rezolvarea ecuatiilor de tipul (1) (utilizand diferite transformari), vom aminti afirmatiile de baza referitor solutiile ecuatiilor (1).

Afirmatia 1. Ecuatia

sinx = a, a R, (2)

pentru |a| > 1 solutii nu are, iar pentru |a| 1 multimea solutiilor ei se contine in formula

x = (-1)narcsina + n, n Z, (3)

unde arcsina [-[()/ 2];[()/ 2]] este unghiul, sinusul caruia este egal cu a, iar Z desemneaza multimea numerelor intregi, sau, echivalent (tinand seama de paritatea lui n), in totaliatea

x = arcsina + 2k,

k Z.

x = - arcsina + 2k,

(4)

Nota 1. Daca in ecuatia (2) a {0;-1;1} solutiile ei (3) se scriu mai simplu, si anume

sinx = 0 x = n, n Z,

sinx = 1 x = /2 + 2n, n Z,

sinx = -1 x = -/2 + 2n, n Z.

Exemplul 1. Sa se rezolve ecuatiile

Rezolvare. a) Cum conform (3) solutiile ecuatiei date sunt

sau tinand seama ca se obtine

b) Similar exemplului a) se obtine sau, tinand seama arcsinus ca functia este o functie impara,

c) Cum rezulta ca ecuatia data nu are solutii.


cosx = a (5)

pentru |a| > 1 nu are solutii, iar pentru |a| 1 multimea solutiilor ei se contine in formula

x = arccosa + 2n, n Z, (6)

unde arccosa [0;] este unghiul, cosinusul caruia este egal cu a.

Nota 2. Daca in ecuatia (5) a {0;1;-1} solutiile ei (6) se scriu mai simplu, si anume

cosx = 0 x = /2 + n, n Z,

cosx = 1 x = 2n, n Z,

cosx = -1 x = + 2n, n Z.

Exemplul 2. Sa se rezolve ecuatiile:

a) cosx = -1/2; b) cosx = 2/3; c) Rezolvare. a) Cum conform (6) solutiile ecuatiei date sunt sau tinand seama ca se obtine b) Similar exemplului a) se obtine c) Cum ecuatia data nu are solutii.


tgx = a, a R (7)

are solutiile

x = arctga + n, n Z, (8)

unde arctga (-/2;/2) este unghiul, tangenta caruia este egala cu a.


ctgx = a, a R (9)

are solutiile

x = arcctga + n, n Z, (10)

unde arcctga (0;) este unghiul, cotangenta caruia este egala cu a.


a) tgx = 1; b) tgx = -2; c) ctgx = -1; d) ctgx = 3.

Rezolvare. a) Conform (8) solutiile ecuatiei date sunt x = arctg1 + n, n Z, sau tinand seama ca se obtine b) Similar exemplului precedent se obtine x = arctg(-2) + n, n Z, sau tinand seama ca arctangenta este o functie impara, x = -arctg2 + n, n Z.

c) Se tine seama de (10) si se obtine

x = arcctg (-1) + n, n Z,

sau, cum d) Similar exemplului c) se obtine x = arcctg3 + n, n Z.

Observatie. Ecuatiile

sin f(x) = a, cos f(x) = a, tg f(x) = a, ctg f(x) = a (11)

prin intermediul substitutiei f(x) = t se reduc la rezolvarea ecuatiilor (1).


a) sin(2x - 1) = 1; b) cos(x2 + 4) = -1; c) d) ctgx3 = -2.

Rezolvare. a)

sin(2x - 1) = 1

sint = 1,

t = 2x - 1,

2x - 1 = /2 + 2n, n Z

2x = /2 + 2n + 1, n Z x = /4 + n + 1/2, n Z.

b)

cos(x2 + 4) = -1

cost = -1,

t = x2 + 4,

x2 + 4 = + 2n, n Z,

+ 2n 4,

x2 = + 2n - 4, n = 1,2,3,... n = 1,2,3,...

(se tine seama ca radicalul de ordin par exista doar din valori nenegative).

c) 2x = /3 + n, n Z d) ctgx3 = -2 x3 = arcctg(-2) + n, n Z Ecuatii trigonometrice reductibile la ecuatii de gradul al doilea

Ecuatia

asin2x + bsinx + c = 0, a, b, c R, a 0 (12)

prin intermediul substitutiei t = sinx, (|t| 1) se reduce la ecuatia patrata at2 + bt + c = 0.


a) 2sin2x - 5sinx + 2 = 0; b) sin22x - sin2x = 0; c) sin2x - sinx + 6 = 0.

Rezolvare. a) Se noteaza sinx = t si ecuatia devine

2t2 - 5t + 2 = 0,

de unde t1 = 1/2 si t2 = 2. Cum |t| 1, ramane t = 1/2 si prin urmare ecuatia initiala este echivalenta cu ecuatia

sinx = 1/2,

solutiile careia sunt (a se vedea (3)) b) Se noteaza sinx = t si se obtine ecuatia patrata t2 - t = 0 cu solutiile t1 = 0 si t2 = 1. Astfel ecuatia initiala este echivalenta cu totalitatea de ecuatii

sin2x = 0,

sin2x = 1,

de unde

c) Similar exemplelor precedente se obtine ecuatia patrata t2 - t + 6 = 0, care nu are solutii. Rezulta ca si ecuatia trigonometrica nu are solutii.

Ecuatiile

acos2x + bcosx + c = 0, (13)

atg2x + btgx + c = 0, (14)

actg2x + bctgx + c = 0, (15)

unde a, b, c R, a 0 se rezolva similar ecuatiei (12).

In cazul ecuatiei (13) se tine seama ca t = cosx in modul urmeaza sa nu intreaca unu, iar pentru t = tgx (t = ctgx) in ecuatia (14) (respectiv (15)) restrictii nu sunt.


a) 6cos2x - 5cosx + 1 = 0; b) tg22x - 4tg2x + 3 = 0; c) Rezolvare. a) Se noteaza cosx = t si se obtine ecuatia patrata

6t2 - 5t + 1 = 0

cu solutiile t = 1/3 si t2 = 1/2. Cum ambele solutii verifica conditia |t| 1 se obtine totalitatea

cosx = 1/3,

cosx = 1/2,

de unde b) Se noteaza tg2x = t si se obtine ecuatia patrata

t2 - 4t + 3 = 0

cu solutiile t1 = 1 si t2 = 3. Prin urmare

tg2x = 1,

tg2x = 3,2x = arctg3 + k, k Z,

de unde c) Se rezolva similar exemplului precedent si se obtine x = 2arcctg2 + 2k, n, k Z.

Ecuatia

acos2x + bsinx + c = 0, (16)

utilizand identitatea trigonometrica de baza sin2x + cos2x = 1, se reduce la rezolvarea unei ecuatii de tipul (12):

a(1 - sin2x) + bsinx + c = 0.

Similar, ecuatia

asin2x + bcosx + c = 0 (17)

se reduce la rezolvarea unei ecuatii de tipul (13):

a(1 - cos2x) + bcosx + c = 0.

Utilizand formulele

cos2x = 1 - 2sin2x, cos2x = 2cos2x - 1

ecuatiile

acos2x + bsinx + c = 0, (18)

acos2x + bcosx + c = 0, (19)

se reduc la rezolvarea ecuatiilor de tipul (12) si respectiv (13).


a) 2sin2x + 5cosx - 5 = 0; b) Rezolvare. a) Cum sin2x = 1 - cos2x, ecuatia devine

2(1 - cos2x) + 5cosx - 5 = 0

sau

2cos2x - 5cosx + 3 = 0,

de unde cosx = 3/2 (aceasta ecuatie nu are solutii) sau cosx = 1, cu solutiile x = 2k, k Z.

b) Cum cos4x = 1 - 2sin22x, ecuatia devine

sau

de unde

sin2x = 0,

si Ecuatia

atgx + bctgx + c = 0 (20)

tinand seama ca tgxctgx = 1 () prin intermediul substitutiei t = tgx (atunci ctgx = 1/t) se reduce la o ecuatie trigonometrica de tipul (14).

Exemplul 8. Sa se rezolve ecuatia:

Rezolvare. Cum si ecuatia devine

tgx + 5ctgx - 6 = 0.

Se noteaza tgx = t, atunci si se obtine ecuatia patrata

t2 - 6t + 5 = 0

cu solutiile t1 = 1 si t2 = 5. Asadar

tgx = 1,

tgx = 5,x = arctg5 + n, n Z.

Ecuatii omogene

Ecuatia

a0sinnx + a1sinn-1xcosx + ... + ak-1sinxcosn-1x + ancosnx = 0, (21)

unde a0an 0, se numeste ecuatie omogena de gradul n in raport cu sinx si cosx.

Cum nu verifica ecuatia (21) (toti termenii, incepand cu al doilea sunt nuli, iar primul este diferit de zero) multiplicand ecuatia cu se obtine ecuatia echivalenta

a0tgnx + a1tgn-1x + ... + an-1tgx + an = 0

care prin substitutia tgx = t, se reduce la rezolvarea unei ecuatii algebrice de gradul n.


a) sin2x - cos2x = 0;c) 5sin2x + 5sinxcosx = 3;

b) sin2x + sin2x - 3cos2x = 0; d)

Rezolvare. a) Ecuatia a) reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul intai. Se multiplica cu si se obtine ecuatia liniara in raport cu tg2x

tg2x - 1 = 0

de unde tg2x = 1 si b) Cum sin2x = 2sinxcosx ecuatia b) se scrie sin2x + 2sinxcosx - 3cos2x = 0 si reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se multiplica cu si se obtine ecuatia patrata

tg2x + 2tgx - 3 = 0

cu solutiile tgx = -3 si tgx = 1. Prin urmare

x = -arctg3 + n, n Z,

c) Se scrie 3 = 31 = 3(sin2x + cos2x) si ecuatia devine

5sin2x + 5sinxcosx = 3sin2x + 3cos2x

sau

2sin2x + 5sinxcosx - 3cos2x = 0

adica o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se rezolva similar exemplelor precedente si se obtin solutiile x = -arctg3 + k, k Z si d) Cum cos2x = cos2x - sin2x, sin2x = 2sinxcosx, ecuatia devine

sau

adica este o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se multiplica cu si se obtine ecuatia patrata

cu solutia sau, rationalizand numitorul, Asadar, Metoda transformarii sumei functiilor trigonometrice in produs.

Ecuatiile de forma

sin(x) sin(x) = 0 (22)

cos(x) cos(x) = 0 (23)

cu ajutorul formulelor transformarii sumei in produs

(24)

(25)

(26)

se reduc la ecuatii trigonometrice simple.


a) sin3x + sinx = 0; c) cos5x = sin3x;

b) cosx + cos3x = 0;d) sinx + cos2x + sin3x + cos4x = 0.

Rezolvare. a)

sin3x + sinx = 0

sin2x = 0,

cosx = 0,

(se observa ca solutiile se contin in solutiile - a se desena cercul trigonometric si a se depune pe el solutiile obtinute).

b) cosx + cos3x = 0 2cos2xcos(-x) = 0. Cum functia cosinus este o functie para, se obtine totalitatea

cos2x = 0,

cosx = 0,

de unde c) Cum (formulele de reducere) se obtine ecuatia

sau

de unde, tinand seama ca functia sinus este impara, iar functia cosinus este para, se obtine totalitatea

sau

d) Se grupeaza convenabil: (sinx + sin3x) + (cos2x + cos4x) = 0, se aplica formulele (24) si (25) si se obtine ecuatia

2sin2xcosx + 2cos3xcosx = 0

sau

2cosx(sin2x + cos3x) = 0,

de unde rezulta totalitatea de ecuatii

cosx = 0,

sin2x + cos3x = 0.

Din prima ecuatie se obtine Ecuatia secunda a totalitatii se rezolva similar exemplului c) si se obtine (se contine in solutia deja obtinuta) si Asadar solutiile ecuatiei initiale sunt Metoda transformarii produsului in suma(utilizarea formulelor sin( ), cos( )).


a) cosxcos2x - sinxsin2x = 1; b) cosxcos3x = cos4x.

Rezolvare. a) cosxcos2x - sinxsin2x = 1 cos(x + 2x) = 1 cos3x = 1 3x = 2k, k Z b) Cum se obtine

sau cos2x - cos4x = 0, de unde rezulta

2sin(-x)sin3x = 0.

Ultima ecuatie este echivalenta cu totalitatea

sinx = 0,

sin3x = 0,

de unde (solutiile primei ecuatii se contin in solutiile ecuatiei secunde).

Metoda micsorarii puterii

Aceasta metoda utilizeaza formulele

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

in scopul micsorarii gradului ecuatiei ce urmeaza a fi rezolvate. Formulele (27) si (28) se utilizeaza si la rezolvarea ecuatiilor

sin2ax + sin2bx = sin2cx + sin2dx, (32)

cos2ax + cos2bx = cos2cx + cos2dx, (33)

daca numerele a, b, c si d verifica una din conditiile a + b = c + d sau a - b = c - d.


a) cos2x + cos22x + cos23x = 3/2;

b) sin42x + cos42x = sin2xcos2x;

c) cos6x + sin6x = cos2x.

Rezolvare. a) Se utilizeaza formula (27) si se obtine ecuatia echivalenta

sau

cos2x + cos4x + cos6x = 0.

Se grupeaza convenabil si se obtine

(cos2x + cos6x) + cos4x = 0 2cos4xcos2x + cos4x = 0

cos4x(2cos2x + 1) = 0 cos4x = 0,

cos2x = -1/2,

b) Cum (a se vedea (29)) iar ecuatia devine

sau sin42x + sin4x - 2 = 0, de unde rezulta sin4x = 1 si c) Cum ecuatia devine

de unde rezulta totalitatea

cos2x = 1, x = n, n Z,

cos2x = 1/3,

Ecuatii de tipul

asinx + bcosx = c, abc 0. (34)

Se propun urmatoarele metode de rezolvare a ecuatiilor de forma (34):

a) Reducerea la o ecuatie omogena de gradul al doilea in raport cu si Se scrie

si ecuatia (34) devine

- omogena de gradul 2 daca (c - b)(b + c) 0, sau, in caz contrar, se reduce la rezolvarea unei ecuatii omogene de gradul 1 si a unei ecuatii de tipul (2) sau (5).


a) sin2x + cos2x = 1; b) Rezolvare. a)

sin2x + cos2x = 1 2sinxcosx + cos2x - sin2x = sin2x + cos2x

2sinxcosx - 2sin2x = 0 2sinx(cosx - sinx) = 0

sinx = 0,

cosx - sinx = 0,

sinx = 0,

tgx = 1,

x = k, k Z,

b) b) Utilizarea formulelor

(35)

Cu ajutorul formulelor indicate, ecuatia (34) se reduce al o ecuatie patrata in raport cu Se tine seama ca aplicarea acestor formule aduce la pierderea solutiilor = + 2k, k Z, din ce cauza se verifica (prin substituirea directa in ecuatia initiala), daca ele sunt sau ba solutii ale ecuatiei (34).


a) sin2x + cos2x = 1; b) Rezolvare. a) Cum si cum nu verifica ecuatia data, ecuatia este echivalenta cu ecuatia

sau 1 + tg2x = 2tgx + 1 - tg2x,

de unde rezulta

tgx = 0,

tgx = 1,

x = k, k Z,

b) Se aplica formulele (35 ) si se obtine

x + 2k, k Z,

sau

x + 2k, k Z,

de unde

x + 2k,

si Verificarea directa arata ca si x = + 2k, k Z sunt solutii ale ecuatiei date. Asadar solutiile ecuatiei date sunt c) Metoda unghiului auxiliar.

Cum abc 0 ecuatia (34) se scrie

(36)

si cum si rezulta ca exista un unghi , astfel incat

si (37)

sau un unghi , astfel incat

si (38)

Atunci ecuatia (36) se scrie

sau

Ultimile ecuatii nu prezinta greutati in rezolvare.

Nota. Se observa ca ecuatia (34) are solutii daca si numai daca iar valoarea maxima a functiei f(x) = asinx + bcosx este si valoarea minima este -.


a) sin2x + cos2x = 1; b) 3sinx + 4cosx = 5; c) Rezolvare. a)

sin2x + cos2x = 1

x = n, n Z,

b)

3sinx + 4cosx = 5

sinxcos + cosxsin = 1,

sin = 4/5; cos = 3/5,

sin(x + ) = 1,

tg = 4/3,

c) Cum valoarea maxima a membrului din stanga ecuatiei este si rezulta ca ecuatia nu are solutii.

Ecuatii de tipul F(sinx cosx, sinxcosx) = 0.

Ecuatiile de asa tip se rezolva cu ajutorul substitutiei Exemplul 16. Sa se rezolve ecuatiile:

a) 2(sinx + cosx) + sin2x + 1 = 0;

b) 1 - sin2x = cosx - sinx;

c)

Rezolvare. a) Se noteaza t = sinx + cosx, atunci t2 = (sinx + cosx)2 = 1 + sin2x, si ecuatia devine 2t + t2 = 0, de unde t = 0 sau t = -2. Cum ecuatia sinx + cosx = -2 nu are solutii, ramane sinx + cosx = 0 - ecuatie omogena de gradul intai cu solutiile b) Se noteaza cosx - sinx = t, atunci sin2x = 1 - t2 si ecuatia devine t2 = t cu solutiile t = 0, t = 1. Asadar

cosx - sinx = 0, 1 - tgx = 0,

cosx - sinx = 1,

c) DVA al ecuatiei este In DVA ecuatia se scrie

sinx + cosx - 5sinxcosx + 1 = 0.

Se noteaza t = sinx + cosx si se obtine ecuatia patrata

5t2 - 2t - 7 = 0,

cu solutiile t = -1 si t = 7/5. Prin urmare sinx + cosx = -1, de unde (nu verifica DVA al ecuatiei) sinx + cosx = 7/5, de unde Metoda descompunerii in factori

Aceasta metoda este una din cele mai frecvente si presupune o cunoastere satisfacatoare a formulelor trigonometrice.


a) sin3x - cos3x = cos2x;

b) sin3x - sin2x + 2cosx = 2cos2x - sinx;

c) 4sinx + 2cosx = 2 + 3tgx.

Rezolvare. a) sin3x - cos3x = cos2x (sinx - cosx)(sin2x + sinxcosx + cos2x) = cos2x - sin2x (sinx - cosx)(1 + sinxcosx + (cosx + sinx)) = 0

sinx - cosx = 0,

1 + sinxcosx + (cosx + sinx) = 0,

tgx = 1,

t = sinx + cosx,

t2 + 2t + 1 = 0,

t = sinx + cosx,

sinx + cosx = -1,

x = + 2m, m Z.

b) Se trec toti termenii in stanga ecuatiei si se grupeaza convenabil:

(sin3x + sinx) + 2cosx - (sin2x + 2cos2x) = 0.

Se utilizeaza formulele sumei sinusurilor si sinusului unghiului dublu si se obtine

(2sin2xcosx + 2cosx) - (2sinxcosx + 2cos2x) = 0

sau

2cosx[(sin2x + 1) - (sinx + cosx)] = 0.

Se tine seama ca sin2x + 1 = 2sinxcosx + sin2x + cos2x = (sinx + cosx)2 si ecuatia devine

2cosx[(sinx + cosx)2 - (sinx + cosx)] = 0

sau

2cosx(sinx + cosx)(sinx + cosx - 1) = 0,

de unde se obtine totalitatea

cosx = 0,

sinx + cosx = 0,

sinx + cosx - 1 = 0.

Din prima ecuatie a totalitatii se obtine Cea secunda reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul intai cu solutiile Ecuatia a treia se rezolva, de exemplu, prin metoda introducerii unghiului auxiliar si are solutiile x = 2n, n Z si Ultimul set de solutii se contine in multimea solutiilor primei ecuatii si prin urmare multimea solutiilor ecuatiei initiale este

c) DVA al ecuatiei este Ecuatia se scrie

sau

4sinxcosx + 2cos2x - 2cosx - 3sinx = 0.

Se grupeaza convenabil:

2cosx(2sinx - 1) + (2cos2x - 3sinx) = 0,

sau, cum 2cos2x = 2(1 - sin2x) = 2 - 2sin2x,

2cosx(2sinx - 1) + (2 - 3sinx - 2sin2x) = 0.

Cum 2 - 3sinx - 2sin2x = 2 - 4sinx + sinx - 2sin2x = 2(1 - 2sinx) + sinx(1 - 2sinx) = (1 - 2sinx)(2 + sinx), ecuatia devine

2cosx(2sinx - 1) + (1 - 2sinx)(2 + sinx) = 0,

sau

(2sinx - 1)(2cosx - sinx - 2) = 0.

Cum ecuatia se scrie

de unde rezulta

sinx = 1/2, cu solutiile

cu solutiile x = 2m, m Z,

cu solutiile

Toate solutiile obtinute verifica DVA al ecuatiei.

In incheiere vom prezenta unele metode utile de rezolvare a ecuatiilor trigonometrice.


a) cosx + cos2x + cos3x + ... + cosnx = n, n N, n 1;

b) sinx + sin2x + sin3x + ... + sinnx = n, n N, n 2;

c) sin11x + cos11x = 1;

d) sin10x - cos7x = 1;

e)

f) 3sin2x + 4cos6xcos2x + 2sin10x = 7;

g)

h) 4sin2x - 4sin23xsinx + sin23x = 0;

i)

j) cosxcos2xcos4xcos8x = 1/16.

Rezolvare. a) Cum pentru orice m natural |cosmx| 1, membrul din stanga ecuatiei va fi egal cu n daca si numai daca fiecare termen va fi egal cu unu. Asadar rezulta sistemul

cosx = 1,

cos2x = 1,

...

cosnx = 1

cu solutiile x = 2k, k Z.

b) Se rezolva similar exemplului a) si se obtine sistemul

sinx = 1,

sin2x = 1,

...

sinnx = 1,

care este incompatibil. Intr-adevar, solutiile primei ecuatii: nu verifica a doua ecuatie a sistemului: Prin urmare ecuatia nu are solutii.

c) Cum sin11x sin2x, cos11x cos2x implica sin11x + cos11x sin2x + cos2x, sau sin11x + cos11x 1, iar in ultima inegalitate semnul egalitatii se atinge daca si numai daca

sinx = 0,

cosx = 1,

sinx = 1,

cosx = 0.

rezulta ca ecuatia are solutiile x = 2m, m Z (din primul sistem al totalitatii) si (din sistemul secund).

d) Se utilizeaza acelasi procedeu ca si in exemplul precedent: sin10x sin2x, -cos7x cos2x, de unde sin10x - cos7x 1 si, prin urmare, semnul egalitatii se atinge cand

sin10x = sin2x,

-cos7x = cos2x,

adica sinx {0;-1;1}, iar cosx {0;-1}. Asadar se obtine e) Cum |cos2x| 1, membrul din stanga ecuatiei va fi egal cu minus unu, daca si numai daca

Din rezulta x = + 4n si atunci cos2x = cos(2 + 8n) = 1 -1, adica primul sistem al totalitatii este incompatibil. Din rezulta x = - + 4k si atunci cos2(- + 4k) = cos2 = 1, deci x = - + 4k, k Z sunt solutiile sistemului (si ecuatiei enuntate).

f) Cum 3sin2x + 4cos6xcos2x 3sin2x + 4cos2x 5 (a se vedea nota la Metoda unghiului auxiliar), 2sin10x 2 se obtine 3sin2x + 4cos6xcos2x + 2sin10x 7, si semnul egalitatii se atinge doar pentru

|cos6x| = 1,

sin10x = 1,

sau sin6x = 0,

sin10x = 1,

de unde

Ultimul sistem este incompatibil. In adevar

conduce la ecuatia in numere intregi

10n = 3 + 6m sau 10n - 6m = 3

care nu are solutii: diferenta a doua numere pare nu este un numar impar. Prin urmare ecuatia enuntata nu are solutii.

g) Ecuatia se scrie

sau

Membrul din stanga nu intrece doi ( cos2x 1), prin urmare ecuatia are solutii daca si numai daca

cos2x = 1,

sau

x = n, n Z.

Sistemul obtinut (si deci si ecuatia initiala) are solutii daca vor exista asa n, k Z astfel incat

sau

1 + 4k = 5n

de unde 4k = 5n - 1 sau 4k = 4n + (n - 1). Asadar, n - 1 urmeaza a fi divizibil prin 4, adica

n - 1 = 4s, s Z

de unde n = 4s + 1 si cum 1 + 4k = 5n, adica 4k = 5(4s + 1) - 1 se obtine k = 5s + 1, si

x = + 4s, s Z.

h) Membrul din stanga ecuatiei se considera trinom patrat in raport cu sinx. Discriminantul acestui trinom este

D = 16sin43x - 16sin23x,

de unde rezulta ca ecuatia enuntata va avea solutii doar pentru sin23x 0 sau sin23x 1. Prin urmare (cum sin2 0 si sin2 1) ecuatia poate avea solutii doar daca sin23x = 0 sau sin23x = 1 adica respectiv Se substituie in ecuatie si se obtine

1. Cum sin2n = 0, ramane de unde n = 3m, m Z, adica din primul set se obtine solutiile x = m, m Z.

2. Cum se obtine

adica

de unde rezulta sau adica Asadar solutiile ecuatiei date sunt

x = n, n Z, i) Se noteaza cos2 x = t si ecuatia devine

sau

de unde

|4t - 1| + |4t - 3| = 2.

Se tine seama ca |4t - 3| = |3 - 4t| si 2 = |2| = |4t - 1 + 3 - 4t| si utilizand proprietatile modulului se obtine inecuatia

(4t - 1)(3 - 4t) 0,

de unde

adica sau Din ultima inecuatie se obtine (a se vedea tema Inecuatii trigonometrice) solutiile ecuatiei enuntate

j) Cum x = k, k Z nu sunt solutii ale ecuatiei date (cosk = 1, cos2k = cos4k = cos8k = 1) se multiplica ambii membri ai ecuatiei cu 16sinx si se utilizeaza formula sinusului unghiului dublu

16sinxcosxcos2xcos4xcos8x = sinx,

8sin2xcos2xcos4xcos8x = sinx,

4sin4xcos4xcos8x = sinx,

2sin8xcos8x = sinx,

sin16x = sinx,

sau sin16x - sinx = 0, de unde k 15s, s Z (deoarece x m) si m Z, m 17s + 8, s Z.

Exercitii pentru autoevaluare

Sa se rezolve ecuatiile

1. 2sin2x - 1 = cosx;

2. 7tgx - 4ctgx = 12;

3. tg2x - 3tgx + 2 = 0;

4. 6cos2x + 5cosx + 1 = 0;

5. sin2x - cos2x = cosx;

6. 3cos2x + 4sinxcosx + 5sin2x = 2;

7. 3cos2x - sin2x - 2sinxcosx = 0;

8. 9. cos3xcos6x = cos5xcos8x;

10. sin2x + sin22x = sin23x + sin24x;

11. 1/2(sin4x + cos4x) = sin2xcos2x + sinxcosx - 1/2;

12. cos3x = cosx;

13. sin2x = sinx;

14. sin5x = cos13x;

15. cos2x + 3|cosx| - 4 = 0;

16. 8sin2xcos2x + 4sin2x - 1 = (sinx + cosx)2;

17. 18. 8cos4x = 3 + 5cos4x;

19. 20. 2sin4x - 3sin22x = 1;

21. 22. 6cos2x + cos3x = cosx;

23. sin2x + cos2x + sinx + cosx + 1 = 0;

24. tg2x = 4cos2x - ctgx;

Ecuatii Si Inecuatii Trigonometrice

Documents

Transcript of Ecuatii Si Inecuatii Trigonometrice